하중,응력,변형률 - 세인에듀seinedu.co.kr/save_data/study/10639_2.pdf · 세인에듀 () 사이버국가자격 평생교육원 - 1 - 하중,응력,변형률 제1장에서

세인에듀 (www.sein.co.kr) 사이버국가자격 평생교육원

- 1 -

제1장 하중,응력,변형률

제1장에서 시험에 나오는 주요 유형 (암기를 해야만 1분30초에 한문제 해결가능합니다)☞(수직응력) σ=

P수직A

,(수직응력은 하중이 항상 단면에 수직하게 작용하는 응력)

(전단응력) τ=P평행A

,(전당응력은 하중이 항상 단면에 평형하게 작용하는 응력)

(포와송 비) μ=ε'ε

=(△dd

)

(△ll

)=

△d․l△l․d

=1m , (단면적 변형률) εA=

ΔΑΑ

=2 με, (체적변형률) ε v=Δvv

= ε(1-2μ)

여기서 m:포와송수 (힘이 작용하지않는 방향의 변형률) ε'= (△dd

), (힘이 작용하는 방향의 변형률) ε= (△ll

)

(응력과 변형률의 관계=Hook의 법칙): (수직응력) σ=E․ ε=E×△ℓℓ

, (전단응력) τ=G× γ=G×λ s

ℓ

1mE=2G(m+1)=3K(m-2) 여기서 m(포와송의 수), E(종탄성계수), G(횡탄성계수), K(체적탄성계수)

세힘의 합성 F₁

sinθ₁=

F₂sinθ₂

=F₃

sinθ₃

1. 재료역학( 材料力學, strength of materials) 정의

여러가지 종류의 하중을 받는 재료에 나타나는 응력, 변형, 변형률 등을 고려하여 재료의 안전성 여부를 해석학적인 수법으로 구하는

학문

2. 재료역학의 기본적 가정

(1)모든 부재는 Newton 정역학적 평형조건을 만족한다. -(힘의 평형조건, 모멘트의 평형조건)

(2)모든 부재는 완전탄성체이다. -(재료의 외력에 대한 변형은 탄성한도 이내에서는 외력에 비례하고 외력을 제거하면 변형도 소멸 된다)

(3)재료는 균질이며 등방성을 가지고 있다.

하중(load): 기계, 기계구조물에 가하는 외력

1. 단위: 국제단위(SI),중력단위를 사용하고 있다.

국제단위(System Internationl) : ( 힘= 질량 ×단위가속도) F=m×a, 1N=1Kg×1m/s2

중력단위(공학단위) : (무게 = 질량 ×중력가속도) W=m×g, 1Kgf=1Kgm×9.8m/s2

1Kgf =9.8N

구 분 거 리 질 량 시 간 힘 일 동 력

SI단위

MKS단위계 m Kg Sec 1N=1Kg×m/S 2 1J=1N×1m 1W=1J/sec

CGS단위계 Cm g Sec dyne erg 1W=1J/sec

공학단위 중력단위계m

CmKgfㆍs2/m

sec

minkgf Kgf․m 1ps=75kgf․m/sec

※참고: 2001년 1회 시험부터 SI단위로 시험에 출제되고 있음으로 SI 단위위주로 공부 하여야 합니다.


- 2 -

2. 하중의 종류

(1)작용상태에 따른 분류

ⓛ축 하중=수직하중(axial load)-단면에 수직한 하중(같은 축선상에 하중이 있어야 한다)

㉠인장하중:재료를 늘리는 하중 P P

㉡압축하중:재료를 줄이는 하중 P P

②전단 하중(shearing load)-단면에 평행한 하중

P

P

(2) 작용속도에 따른 분류

① 정하중-정지상태에서 가해지는 하중

② 동하중-움직이면서 가해지는 하중

㉠반복하중-한쪽방향으로 일정한 하중이 반복되는 하중

㉡교번하중-하중의 크기와 방향이 교대로 변화하는 하중

㉢충격하중-짧은 시간에 순간적으로 작용하는 하중

(3) 분포상태 따른 분류

① 집중하중-한 지점에 집중적으로 작용하는 하중

② 분포하중-어느 구간에 걸쳐서 작용하는 하중

㉠균일분포하중-어느 구간에 걸쳐서 하중이 균일하게 작용하는 하중

㉡비균일분포하중-어느 구간 걸쳐서 하중이 불규칙하게 작용하는 하중

P

집중하중 균일분포하중 비균일 분포하중

응력(Stress): 재료에 하중이 가해지면, 그 하중에 대응하는 내부적인 저항력(내력)이 발생하고 재료역학에서 이것을 응력이라

한다.

응력= 하중단면적 ,σ=

FA

F와(과) A의 비 = F대A의 비

A에 대한 F의 비 = A에 대한 F= A당 F

(단위) Kgf/㎠ , Kgf/㎟

, N/㎡ = Pa , Psi= Pound per squre inch = lb/in2

1. 응력의 종류

(1) 축응력 = 수직응력= 법선응력(normal stress) : 축하중에 의한 하중(같은 선상에 하중이 작용해야됨)

① 인장응력 - 인장하중에 의한 응력

② 압축응력 - 압축하중에 의한 응력

(2) 전단응력-전단하중에 의한 응력

(수직응력은 단면에 항상 수직) σ=

PA

, (전단응력은 단면에 항상 평행) τ=PA


- 3 -

변형률(Strain): 원래의 길이에 대한 변형량

변형률=변형량원래의길이 , ε=

Δℓℓ

1. 변형률의 종류

(1) 수직하중에 의한 변형률

① 종변형률=축방향 변형률=세로방향 변형률=길이방향 변형률= 힘이 작용하는 방향의 변형률

② 횡변형률=반지름방향변형률=가로방향변형률=힘이작용하지 않는 방향의변형률

P Pd d'

ℓ ℓ́

<변형전> <변형후>

․종변형률 ε=△ℓℓ

=ℓ'-ℓ

ℓ

․횡변형률 ε'=△dd

=d-d '

d

여기서, △ℓ:길이방향 변형량

△d:직경방향 변형량

․ 변형률의 관계 : 포아송의 비 μ(Poisson's ratio) .포아송의 수 m(Poisson's number)

(포와송의 비) μ=ε'ε

=

△dd

△ℓℓ

=△d․ℓ△ℓ․d

=1m

③ 단면적 변형률 ε A=변형된단면적(△A)원래의단면적(A)

PP

h

b

PPb`

h`

ll`

<변형전> <변형후>

․변형후 길이 l '=l+Δ l=l+ε×l=l (1+ε)

․변형후 폭 b'=b-Δb=b-ε'×b=b(1-ε')=b (1-με)

εA=A-A'

A=

bh-b'h'bh

=bh-bh (1-μ ε) 2

bh=1-(1- μ ε) 2=2 μ ε

(단면적 변형률) εA=

ΔΑΑ

=2 με

④ 체적변형률 εV=변형된 체적(ΔＶ)원래의 체적(Ｖ)

(처음체적) Ｖ=b×h×ℓ

(나중체적) Ｖ'=b'×h'×ℓ'=b(1-με)×h(1-με)×ℓ(1+ε)=bhℓ(1-μ ε) 2×(1+ε)=ε(1-2μ)

(체적변형률) ε v=Δvv

= ε(1-2μ), εv≧0, (1-2 μ) ≧ 0 그러므로 μ ≦ 12

(2) 전단하중에 의한 변형률=전단변형률

γ : 전단병형률 =각변형률

γ=λ s

ℓ= tanθ ≒θ［rad］


- 4 -

(3) 수직변형률과 전단변형률의 관계

(수직변형률)ε=bcob

=λ scos45

lcos45

=λ s

lcos 245=

γ2

θ

λS

l

a

b

c

o

응력과 변형률의 관계

σ극한강도=최대응력

사용응력

허용응력

비례한도

✗ 파 괴 강

도

E

ε

항복응력

1. σw : 사용응력(Working Stress) -사용할 수 있는 응력 = 영구변형없이 구조물을 안전하게 사용할 수 있는 응력

2. σa : 허용응력(allow stress) - 사용응력으로 선정한 안전한 범위의 응력 = 사용응력의 상한응력

3. σu:극한강도(최대응력)

4. 응력의 관계

σw≦ σa= σ u

S 여기서, S:안전율

5. 인장강도=최대하중최초의 단면적 (인장시험의 최대하중을 최초의 단면적으로 나눈값)

6. Hook's 의 법칙≒응력과 변형률의 법칙

(1) 수직응력을 받는 경우

σ=E․ ε=E×

△ℓℓ

, (변형량) △ℓ=σ․ℓE

=F․ℓA․E

여기서, E=비례계수 = 종탄성계수 = 세로탄성계수 = 영계수(Young's modulds)

(2) 전단응력을 받는 경우

(전단응력) τ=G× γ=G×

λ s

ℓ ,(전단변형량) λS=

τ․ℓG

=F S

A×

ℓG

여기서, G=횡탄성 계수=가로탄성계수=전단탄성계수

(3)체적변화에 대한 응력과 변형률의 관계

(응력) σ=K ε v= K

△VV

여기서, K= 체적탄성계수


- 5 -

σ xσ x

σ y

σ y

① εx=σ x

E-

νσ y

E

② ε y=σ y

E-

νσ x

E← σ y에 대해 정리하면 σ y= εyE+νσ x ⋯①식에 대입

εx=σ x

E-

ν (ε yE+νσ x)

E=

σ x-νε yE-ν 2σ x

E=

σ x(1-ν 2 )-νε yE

E

εxE+νε yE= σ x(1-ν 2 )

평면응력의Hook's low

σ x=E(εx+νε y)

(1-ν 2 )=

E(1-ν 2 )

(εx+νε y)

σ y=E(εx+νε y)

(1-ν 2 )=

E(1-ν 2 )

(ε y+νεx)

여기서 ν:포와송의 비 E:종탄성계수

7. 탄성계수의 관계식

μ=ε'ε

=1m, ε'=

εm

= σm․E

ε χ=σ χ

E- ε' y- ε' z=

σ x

E-

σ y

mE-

σ z

mE

ε y=σ y

E- ε' χ- ε' z=

σ y

E-

σ χ

mE-

σ z

mE

ε z=σ z

E- ε' χ- ε' y=

σ z

E-

σ x

mE-

σ y

mE

σ χ= σ y= σ z= σ,

ε χ= ε y= ε z= εσ y

σ x

σ z

σ y

σ x

ε=σE

-2σmE

=σ(m-2)

mE ‥‥‥‥‥‥①

K= σε v

= σ3ε

, ε=σ3K

‥‥‥‥‥②

①=② σ(m-2)mE

= σ3K

▶탄성계수의 관계식

1mE=2G(m+1)=3K(m-2)여기서 m(포와송의 수), E(종탄성계수), G(횡탄성계수), K(체적탄성계수)

▣2축응력(평면응력)상태의 Hook's low 기사시험만 출제됨

▣3축응력(평면응력)상태의 Hook's low 기사시험만 출제됨

σ y

σ x

σ z

σ y

σ x

εx=σ x

E-

νσ y

E-

νσ z

E

ε y=σ y

E-

νσ x

E-

νσ z

E

ε z=σ z

E-

νσ y

E-

νσ x

E

응력의

항으로 고치면

σx=E

(1+ν)(1-2ν)[ (1-ν)εx+ν(ε y+ε z)]

σ y=E

(1+ν)(1-2ν)[ (1-ν)ε y+ν(εx+ε z)]

σ z=E

(1+ν)(1-2ν)[ (1-ν)ε z+ν(εx+ε y)]


- 6 -

수 정적 평형 조건

1. 힘의 평형조건 ΣF=0

①∑FX=0(X 방향 힘의 총합은 0 이다)

②∑Fy=0(Y 방향 힘의 총합은 0 이다)

③∑M=0(임의의 점 주위에 대한 각힘의 모멘트 총합은 0이다)

2. 힘의 합성

①두힘의 합성

F₂

F₁

Rθ

R= F₁²+F₂²+2F₁F₂cosθ

②세힘의 합성(Lami의 정리)

θ₃ θ₂

F₁

F₂ F₃θ₁

F₁sinθ₁

=F₂

sinθ₂=

F₃sinθ₃

3. 중간 하중을 받는 경우

절단법 : 잘라서 한 쪽 방향의 힘만 고려

P PQ Q

l1 l2 l3

(전체변형량) δ t= δ 1+ δ 2+ δ 3=F 1 l 1

A E+

F 2 l 2

A E+

F 3 l 3

A E

응력 집중

(공칭응력) σ n=PA

=P

(b-d)t

(최대응력) σ max = α × σ n

여기서, α= 응력집중계수 = 형상 계수

p

p

b

t

σmax

d


- 7 -

제2장 재료의 정역학

제2장에서 시험에 나오는 주요 유형 (암기를 해야만 1분30초에 한문제 해결가능함)☞

(병렬로 조합된 봉의 나타나는 응력) σ 1=P E 1

A 1 E 1+ A 2 E 2

σ 2=P E 2

A 1 E 1+ A 2 E 2

(자중을 고려한 처짐량) λ=γ l 2

2E=

W l2AE

여기서 γ:비중량 W:자중

(열응력) σ th=E⋅ε th=E⋅α⋅ΔT=Pth

A 여기서 α는 선팽창계수(1/℃) 온도차: ΔT

(단위 체적당 저장되는 탄성에너지) u=UV

= σ 2

2E=

(E ε) 2

2E=

E 2 ε 2

2E=

E ε 2

2(Kgf․cm/cm 3)

수(내압을 받는 얇은 원통에 나타나는 응력) : (원주 방향응력) σ y=P⋅d2 t

, (축방향응력) σx=P⋅d4 t

조합된 봉의 응력과 변형량

1.직렬 조합 단면 (작용하는 하중이 같다. P1=P2=P)

(1)응력

σ 1=PA 1

σ 2=PA 2

(2)변형량

Δl= Δl 1+ Δl 2=P l 1

A 1 E 1

+P l 2

A 2 E 2

P

P

l 2

l

l 1

2.병렬 조합단면 (변형량이 같다. ε 1= ε 2= ε) (1)변형량

Δl= Δl 1= Δl 2=P 1 l

A 1 E 1

=P 2 l

A 2 E 2

(2)변형률

ε 1= ε 2=σ 1

E 1

=σ 2

E 2

A1 E2 σ2

P

l

A1 E1

σ1

(3)각 재료에 작용하는 응력

P= P 1+ P 2= σ 1 A 1+ σ 2 A 2= σ 1 A 1+E 2

E 1

σ 1 A 2 = σ 1 (A 1 E 1+ A 2 E 2

E 1

)

∵ σ 1=P E 1

A 1 E 1+ A 2 E 2

∵ σ 2=P E 2

A 1 E 1+ A 2 E 2

(4)각 재료에 가해지는 하중

P 1= σ 1× A 1=P E 1 A 1

A 1 E 1+ A 2 E 2

P 2= σ 2× A 2=P E 2 A 2

A 1 E 1+ A 2 E 2


- 8 -

자중을 고려한 응력 및 변형량

1.균일 단면봉

(전체의 자중) W= γ(비중량)×V(체적)

(1) x지점에서의 응력 σ x

σx=Wx

A= γ․A․x

A= γ․x

ld x

d x'

Wx

(2) x지점에서의 변형률 ε x

εx=dx́ -dx

dx=

dλdx

=σ x

E

(3)자중에 의한 처짐량 λ

dλdx

=σx

E=

γxE

, dλ=γxE

dx

적분하면, ⌠⌡

l

0dλ=⌠

⌡

l

0

γxE

dx , (처짐량) λ=γE×

l 2

2=

γ l 2

2E×

AA

=γAl×l2AE

=W l2AE

자중을 고려한 처짐량 λ=

γ l 2

2E=

W l2AE

여기서 γ:비중량 W:자중

(4)자중과 외력이 동시에 작용할 때 전체 늘음량 λ

λ=W l2AE

+P lAE

여기서 W : 봉의 무게 (자중) P : 외력

P

W l

2.균일 강도봉 ( σ=const)

모든 단면에 대하여 자중을 고려해도 σ가 일정하여 단면적의 변화가 요구된다.

λ=PlAE

=σlE

온도 변화에 의한 응력 및 변형량

T 1 : 처음온도

T 2 : 나중온도 T1 T2

1. T 1> T 2 , 재료는 수축됨으로 인장 열응력 발생

2. T 1< T 2 , 재료는 인장됨으로 압축 열응력 발생

주의, 자유단에서는 열응력 발생하지 않음

Hook`s Law에서 σ=E⋅ε

(열응력) σ th=E⋅ε th=E⋅α⋅ΔT=Pth

A

여기서 α는 선팽창계수(1/℃) 열 변형률 ε th=α⋅ΔT 열 변형량 Δl th= ε th⋅l, 열에 의한 힘 P th= σ th×A


- 9 -

충격에 의한 응력과 변형량

1.정적 응력과 정적 변형

(1)정적응력 σ 0=WA

(2)정적늘음량 λ 0=WlAE

=σ 0

E

2. 탄성에너지 (1)역학적 에너지(Energy) ① (위치에너지) E p=mgh

② (운동에너지) E k=12m v 2

m

h

(2)탄성에너지 U=σ 2V2 E

P

L d δ

P

δ

탄성한도

면적A = 탄성에너지 U

(미소부분의 탄성에너지) dU=P dδ 단,P=A EL

δ

U=⌠⌡dU=⌠

⌡

L

0

A EL

δ dδ ∴U=AE δ 2

2 L=

P δ2

U=12Pδ=

12

P 2 lAE

=P 2 lA2AEA

=P 2Al

2 A 2E=

σ 2Al2E

=σ 2V2E

U=12

P s δ s=12

P 2sl

AG=

P 2slA

2AGA=

P 2Al2 A 2G

=τ 2Al2G

=τ 2V2G

여기서, σ : 수직응력

τ : 전단응력

V : 체적

E : 종탄성계수

G : 횡탄성계수

u(최대탄성에너지):단위 체적당 탄성에너지(Resilience)

u=UV

=σ 2

2E=

(E ε) 2

2E=

E 2 ε 2

2E=

E ε 2

2(Kgf․cm/cm 3)

2.충격에 의한 응력과 변형량

(1) 위치에너지 Ep = W ( h + δ ) (2) 탄성에너지 U=

σ 2Al2E

에너지보존법칙에 의해 EP=U W(h+δ)=

σ 2Al2E

에서 σ 2Al=2EW(h+δ)= 2EWh+2EWδ

σ 2Al-2EWδ-2EWh=0 σ 2-2EW(σlE

)-2EWh=0

Al σ 2-2Wlσ-2EWh=0→σ에 대한 2차 방정식

W

hA

l

δ

◈근의 공식 - 참고 a x 2+bx+c=0 (단, a ≠0) x=

-b± b 2-4ac2a

, b 짝수일 때 x=-b'± b' 2-ac

a(단, b '=

b2)

(충격응력) σ=Wl± Wl 2+Al (2EWh)

Al=

W l±W l 1+2EAhW l

A l=

WA

( 1+ 1+2hλ 0

)


- 10 -

(충격에 의한 응력) σ= σ 0(1+ 1+2hλ 0

) σ 0 : 정적응력

(충격에 의한 늘음량) λ= σlE

= λ 0(1+ 1+2hλ 0

) λ 0 : 정적늘음량

여기서 h≃0이면 σ=2 σ 0, λ=2λ 0

그러므로 충격응력은 정격응력의 최소한 2배가 된다.

수 압력을 받는 얇은 원통에 나타나는 응력

σ yt

t

d

l

P

(원주방향응력) σ y=P⋅d2 t

(축방향응력) σx=P⋅d4 t

σx

여기서, t :두께, d :내경, P :작용응력, ℓ:원통의 길이

1. 원주방향의 응력(Hoopstress) σ y ∑F y=0, F σy=FP

F σy=2×( t×l)×σ y , F p=P×d×l

∴ σ y=P⋅d2 t

σ yσ y

σ yσ y

σ y

σ y

σ yP

σ y

2. 축 방향응력=세로방향 응력 σx

∑Fx=0, F σx=FP, F σx=π⋅d⋅t×σx, FP=P× π

4d 2

∴ σx=P⋅d4 t

σ x

P

σ x

여기서, 같은 압력에 의해 발생하는 최고 응력

σ max = σ 1=P⋅d2t

≤σ a, σ max≤σ a=σ u

S=

P⋅d2t

(내압을 받는 얇은 원통의 두께) t ≧P×d×S2×σ u×η

+C

여기서 σ a = 허용응력 , σ u = 극한강도, S =안전율, η = 이음 효율, C = 부식여유, d = 원통의 내경

얇은 회전체의 응력

σ y

σ y

σ xσ x

D

N(rpm)

ωV

t

ll

A

πD

여기서 D:원통의 내경[mm], N:회전수[rpm], ω:각속도[rad/s], V:원주속도[mm/s], R:원통의 반지름, A:압력을 받는 단면적, t:용기의 두께

① 속도의 관계 V=ω×R=π⋅D⋅N

60

② 원심력에 의해 회전체 내면에 압력발생

(원통에 발생하는 압력) P=FA

=원심력단면적 =

m⋅aA

=

Wg×R ω 2

A


- 11 -

P=W×R ω 2

gA= γ⋅A⋅t×R ω 2

gA= γ⋅t×R ω 2

g

(압력에 의한 원주방향 응력) σ y

σ y=P×D2×t

=γ⋅t⋅R w2×D

2×t×g=

γ⋅R w2×2R2×g

=γ⋅R 2⋅w2

g

(얇은 회전체의 원주방향응력) σ y=γ⋅V2

g=

γ⋅( πDN60

) 2

g


- 12 -

제3장 Mohrs Circle 여러 가지 응력들이 함께 작용할 때 이들의 응력의 상태를 파악하기 위한 응력상태를 원으로 나타낸 응력원이다.

제3장에서 시험에 나오는 주요 유형 (Mohr's의 응력원을 그리는 방법을 알면 모든 문제 해결)☞ (1축응력의 임의의 경사각에 나타나는 수직응력) σ n= σ x cos²θ

(1축응력의 임의의 경사각에 나타나는 전단응력) τ=σ χ

2sin2θ

(2축응력의 임의의 경사각에 나타나는 수직응력) σ n=(σ χ+σ y

2)+(

σ χ-σ y

2) cos 2θ

(2축응력의 임의의 경가각에 나타나는 전단응력) τθ =(σ χ-σ y

2)sin2θ

(조합응력에 나타나는 최대 주응력) σ 1=(σ χ+σ y

2)+ (

σ χ-σ y

2)²+τ ²yχ

(조합응력에 나타나는 최소주응력) σ 2=( σχ+σy2

)- (σ χ-σ y

2)²+τ ²yχ

(조합응력에 나타나는 최대전단응력) τ max = (σ χ-σ y

2)²+τ ²yχ

최대,최소 주응력상태에서는 반드시 전단응력은 0 이다

단순응력(simple stress): 축방향 하중이 1개, 존재하는 응력(1축응력)

P

P

Pθ θ

Ps

An

A

σx

Pn

θ

A=An cosθ, (경사면에 수직한힘)Pn=P cosθ, (경사면에 평행한힘)Ps=P sinθ

1. 수학적 방법을 통한 응력구하기

① 수직응력 σx=PA

② 임의의 경사각 θ에 나타나는 법선응력 σ n

σ n==Pn

A n=

PcosθA

cosθ

==PA

cos ²θ=σ x cos²θ

③ 임의의 경사각 θ에 나타나는 전단응력 τ

τ=Ps

A n

=Psinθ

Acosθ

=PA

cosθsinθ=σχ

sin2θ2

=σχ

2sin2θ

2. Mohr's Circle을 이용한 응력구하기


- 13 -

σ nσ n'

σ n

P

σ n'

τ'

τ'

τ

τ

θP

(1)작용응력 σ χ=PA

(2)좌표점 (0,0), ( σ χ,0 )

(3)중심좌표 (σ χ

2,0 )

(4)반지름 R=σ χ

2

(5)임의의 경사각 θ에서의 법선응력 σ n

σ n=σ x

2+Rcos2θ =

σ χ

2+

σ χ

2cos2θ =

σ χ

2(1+ cos2θ) = σ x cos 2θ

τ

σ x

σ

R

(σ x,0)

․●

․2θ

R

τ θ

σ n

σ n'

(6) 임의의 경사각 θ에 나타난 전단응력 τ θ

τ θ = Rsin2θ=σ χ

2sin2θ

(7) 공액 법선응력

σ n'=σ χ

2-Rcos2θ=

σ χ

2-

σ χ

2cos2θ

=σ χ

2(1- cos2θ)=σ χsin²θ

(8) 공액전단응력

τ'=-τ=-σχ

2sin2θ

◆참고.삼각함수

cos (α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ

여기서 α=β=θ,

cos2θ= cos²θ- sin²θ…①

1= cos²θ+ sin²θ…②

cos²θ=1+cos2θ

2, sin²θ=

1-cos2θ2

sin (α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

여기서 α=β=θ

sin2θ= 2sinθcosθ

∴ sinθcosθ=sin2θ

2

(9) 최대,최소주응력 σ₁= σ χ,(최소주응력σ₂=0)

(10) 최대전단응력 τ max =R=σ χ

2

(11) σ n'+ σ n= σ χ

(12) θ=45°일때 τ= σ n'= σ n=σ χ

2

2축 응력: 축방향 하중이 2개 작용, 인장력 ㊉, 압축력 ㊀

1. 작용력 σ χ, σ y

σ χ> σ y

2. 작용점 ( σ χ,0 ),( σ y,0 )

3. 중심좌표 (σ χ+ σ y

2,0 )

4. 반지름 R= (σ χ- σ y

2)

5. 임의의 경사각 θ에서의 법선응력

σ n=(σ χ+ σ y

2)+Rcos2θ=(

σ χ+σ y

2)+(

σ χ-σ y

2) cos2θ

σ x

σ y

σ y

σ x

τ

τ'τ

τ'


- 14 -

6. 임의의 경사각 θ에서의 전단응력

τθ=R sin2θ =(σ χ-σ y

2)sin2θ

7. 공액 법선응력 σ n'=(σ χ+σ y

2)-Rcos2θ

=(σ χ+σ y

2) -(

σ χ-σ y

2) cos 2θ

8. 공액전단응력 τ'=-τ=-(σχ-σ y

2)sin2θ

9. 최대주응력 σ₁=σχ,최소응력σ₂=σ y

10. 최대전단응력 τ max =R=σ χ-σ y

2

σ x+σ y

2

σ y

τ

σ

σ x

σ n

2θ

σ n'

σ x-σ y

2

11. 2축응력의 여러 가지 형태

① σ χ= σ y

σ y

σ y

σ x σ x

τ

σ x= σ y

●

σ

② σχ=-σ y일때(≒순수전단응력상태)

σ y

σ y

σ y

σ xσ x σ x

σ

τ

조합응력(평면응력)

(1)작용응력 τyχ, τχy, σχ, σy

전단응력은 항상 쌍으로 존재하고 그 크기는 같다.

xτ xyτ xy

τ yx

z

y

τ yx

τ xy

x

y

τ yx

τ xy

τ yx

τ xy

x

γ2

γ2

y

도시한 순수전단상태에 정역학적 평형방정식을 적용하면

전단응력×면적=힘 의 관계로부터

∑F x=0 ; τ yx(윗면)․dxdz=τ yx(밑면 ) dxdz

τ y χ 여기서 y=작용면,x=작용방향


- 15 -

∑F y=0 ; τ xy(오른쪽면 )․dydz=τ xy(왼쪽면 ) dydz

따라서 τ 윗면= τ 밑면, τ 오른쪽면= τ 왼쪽면 의 관계가 성립한다.

또, 힘×팔=모멘트 의 관계로부터

∑Mz=0 ; τ xy dydz․dx-τ yx dxdz․dy=0

따라서 τ xy= τ yx 를 확장 적용하면 일반적인 상태에서

τ xy= τ yx, τ yz= τ zy, τ zx= τ xz 가 성립한다.

(2)작용 응력 (수직응력) : σ χ > σ y , (전단응력) : τ yχ,-τ χy

작용점 (σ χ,+ τ yχ ),(σ y,-τ χy )

(3)중심좌표 (σ χ+σ y

2,0 )

(4)반지름 R= (σ χ-σ y

2)²+τ yχ²

(5)임의의 경사각 θ에서의 법선응력

σ n=(σ χ+σ y

2)+Rcos(2θ+a) =(

σχ+σ y

2)+R(cos2 θ cosα-sin2 θ sinα)

=σ χ+σ y

2+Rcos2θ(

σ χ-σ y

2R

- sin2θτ yχ

R) = (

σ χ+σ y

2)+(

σ χ-σ y

2)cos2θ-τ yχsin2θ

(6)임의의 경사각 θ에서의 전단응력 τθ

τθ=R sin(2θ+α) =R( sinαcos2θ+cosαsin2θ) =R (τ yχ

Rcos2θ+

σ χ-σ y

2R

sin2θ)

= τ yχcos2θ+(σ χ-σ y

2) sin 2θ

(7)최대주응력 σ 1, σ 1=(σ χ+σ y

2)+R= (

σ χ+σ y

2)+ (

σ χ-σ y

2)²+τ ²yχ

(8)최소주응력 σ 2, σ 2=(σχ+σy

2)-R=(

σχ+σy2

)- (σχ-σ y

2)²+τ ²yχ

(9)최대전단응력 τ max =R= (σ χ-σ y

2)²+τ ²yχ

(10)주응력이 되기 위한 각 α tanα=τ yχ

(σ χ-σ y

2)

,α=tan -1 (2τ yχ

σ χ-σ y

)

σ y

σ y

τ yx

σ xσ x

τ xyτ yx

τ xy

x

y

(σ y,-τ yx)

τ

ασ 2

σ' n

σ n

(σ x,τ yx)

2θ

σC

σ y

τθ

σ x+σ y

2

σ x

σ 1

τ yx

σ x-σ y

2

α

R τ yx

C

α

σ x-σ y

2


- 16 -

(11)변형률의 MORE'S 응력원 그리기 기사시험만 출제됨

σ

τ

ε

γ2

(응력 Mohr's circle)

(변형률 Mohr's circle)

적용할때σ ⇒ε

τ ⇒γ2

(최대수직변형률) ε 1=(εχ+εy

2)+ (

εχ-ε y

2)²+(

γ yχ

2) ²

(최대수직변형률) ε 1=(εχ+εy

2)- (

εχ-ε y

2)²+(

γ yχ

2) ²

(γ max

2)= (

ε χ-ε y

2)²+(

γ yχ

2) ²

(최대전단변형률) γ max =2 (εχ-ε y

2)²+(

γ yχ

2) ²


- 17 -

제4장 평면도형의 성질

제4장에서 시험에 나오는 주요 유형 (각 평면도형의 형상계수 값을 암기 하여야만 된다.)☞사각형,중실,중공의 형상계수값을 암기 하여야만 된다

구분 수학적 표현 공식활용 사각형 중실축 중공축

단면1차

모멘트

Qx, Q y

Qx=⌠⌡ydA

Q y=⌠⌡xdA

Qχ= yA

Q y= χA

b

h

DD 1

D 2

x=D 1

D 2

단면2차

모멘트

I χ, I y

Ix=⌠⌡y2dA

I x=K2yA

I y=K2xA

Ix=bh 3

12

I y=hb3

12

Ix=I y=πD 4

64Ix=I y=

πD42

64(1-χ 4)

극단면2차

모멘트

I p

I p=⌠⌡r 2dA I p=Iχ+I y I p=

bh12

(b2+h 2) I p=πD 4

32 I p=πD4

2

32(1-χ 4 )

단면계수

Z

Z x=Iχ

e χ

Z y=I ye y

Z=Mσ b

Z x=bh 2

6

Z y=hb2

6

Z x=Z y=πD 3

32 Z x=Z y=πD3

2

32(1-x4 )

극단면

계수

Z p

Z p=I pe

Z p=Tτ

Z p=πD 3

16 Z p=πD 3

2

16(1-x4 )

(평형축 정리) Ix'= IX+a 2A

여기서 I x':새로운 축의 단면2차 모멘트 a:도심에서 떨어진 거리 IX:도심축에서의 단면2차 모멘트 A:단면적

(삼각형 도심에서 단면2차모멘트) Ix=

bh³36

(삼각형 밑변에서 단면2차모멘트) Ix'=bh³12

관성 모멘트

1. 모멘트(Moment)의 종류

①힘모멘트=힘 ×최단거리

②단면모멘트=단면 ×거리

1) 단면 1차 모멘트=단면 × 거리 1 여기서, 거리는 평면의 도심

2) 단면 2차 모멘트=단면 × 거리 2 여기서, 거리는 평면의 회전반경

2. 단면 1차 모멘트 Qχ, Qy

①χ축에 대한 단면 1차 모멘트 Qχ

Qχ=(dA₁×y₁)+(dA²×y₂)+…(dAn×yn) = ∑i = 1

dA iy i

=⌠⌡A

y dA=yA

②y축에 대한 단면 1차 모멘트 Qy

Qy=(dA₁×χ₁)+(dA₂×χ₂)+…dAnχn= ∑i = 1

dA iχ i

=⌠⌡A

χdA= xA

x

y

x2

y 2

y 1

x1dA 2

dA 1

①,②⇒에서

(도심)-y

=Qχ

A=

χ축단면1차모멘트전체단면 =A₁y₁+A₂y₂+A₃y3

A₁+A₂+A₃

(도심)-x

=Qχ

A=

y축단면1차모멘트전체단면 =A₁χ₁+A₂χ₂+A₃χ₃

A₁+A₂+A₃


- 18 -

1)사각단면의 도심구하기

b

h

ydx

x

dA =dy ×b

dy

xQy=

⌠⌡χdA=⌠

⌡χhdχ=h⌠⌡

b

0χdχ=h×

b²2

=hb×b2=A× x

Qx=⌠⌡ydA=⌠

⌡y bdy=b⌠⌡

h

0ydy=b×

h²2

=bh×h2

=A× y

2)반원의 도심 구하기

y=4R3π

y=rsinθ dA=r⋅dθ⋅dr

θdθ

3. 단면 2차 모멘트 = 관성 모멘트

① χ축 단면 2차 모멘트 I x=⌠⌡A

y²dA=Akχ²

② y축 단면 2차 모멘트 I y =⌠⌡A

x2dA=Ak2y

(1)사각단면(b×h)일 때 (도심축에 대한 단면 2차 모멘트)

Qx =⌠⌡ydA=⌠

⌡r sinθrdθ×dr =⌠⌡

R

or ²dr×2⌠⌡

π2

0sinθdθ =

R ³3×2×［-cos π

2-( cos 0)］ =

R³3×2=

2R 3

3

Qx =2R⁴3

=y× πR²2

∴ y=2R³3×

2πR²

=4R3π

I x =⌠⌡y²dA=⌠

⌡

+h2

-h2

y²×bdy = b h³12

I y =⌠⌡x²dA=⌠

⌡

+b2

-b2

x²×bdy = h b³12

-h2

y

xy

dy+ h

2

(2)원형단면의 2차 모멘트

dA=r⋅dθ⋅dr

y=rsinθ

rdθ

θ

dA

χ drr

dθdA

y

dr

y


- 19 -

Ix=⌠⌡A

y²dA=⌠⌡

⌠⌡(r ² sin ²θ)r․dθ․dr =⌠

⌡

R

0r 3dr×⌠⌡

π2

0

(1- cos2θ)2

dθ=R⁴4×

42

⌠⌡

π2

0(1- cos2θ)dθ

=R⁴4×

42［θ-

12

sin2θ］π2

0 =R 4

4×

42×

π2

=πR 4

4=

πD 4

64

중실축의 단면2차모멘트 Ix= I y =

πD⁴64

(3)중공축 = 속이 빈 축

D 2

D 1

y

x

I= π64

( D 42- D 4

1)

=πD4

2

64(1- (

D₁D₂

)⁴)=πD₂⁴

64(1-χ⁴)

여기서 (내외경비) x=D 1

D 2

4. 극단면 2차 모멘트=극 관성 모멘튼 I p

≒원점에 대한 단면 2차 모멘트

x

y

χ

γ ｙ

dA

I p =⌠⌡A

r ²dA =I x+I y

= ⌠⌡A

(χ²+y²)dA

= ⌠⌡A

χ²dA+⌠⌡A

y²dA

=Ix+I y

1)사각 단면

y

x

b

h

I p =Ix+I y

=

bh 3

12+

b3h

12

=bh12

(b²+h²)

(사각단면의 x 축의 단면 2차 모멘트) Ix=b h³12

(사각단면의 y 축의 단면 2차 모멘트) I y=h b³12

(사각단면의 극단면 2차 모멘트) I p=I x+I y=hb12

(b2+h 2)

2)원형단면

χ

y

D

I p =πD 4

64+

πD 4

64=

πD 4

32

3)중공축

D 2

y

xD 1

IP=π32

( D 42- D 4

1)

=πD4

2

32(1- (

D₁D₂

)⁴)=πD 4

2

32(1-χ⁴)

여기서 (내외경비) x=D 1

D 2


- 20 -

5. 단면계수 Z=Ie

;도형의 도심을 지나는 축에 관한 단면 2차 모멘트를 그 축에서 도형의 끝단까지의 연직거리를 나눈 것을 단면계수라 한다.

▶ 6장에서 배우는 굽힘모멘트와 관계가 있다(M= σ․Z)

1)사각단면

y

hχ

b

Z x=

bh 3

12h2

=bh 2

6 , Z y=

hb3

12b2

=hb2

6

2)원형단면

y

xD Z x=Z y=

Ixe

=

πD 4

64D2

=πD 3

32

3)중공축

D 2

y

xD 1

Z=

π(D42-D4

1)

64D 2

2

= π32

(D42-D4

1)

D₂

=πD⁴(1-χ⁴)

32D₂ =

πD32(1-χ⁴)

32

6. 극단면 계수 ZP =I pe

;도형의 도심을 지나는 축에 관한 극단면 2차 모멘트(Ip)를 2축에서 도형의 끝단까지의 연직거리를 나눈 것을 극단면 계수라 한다.

▶5장에서 비트림과 관계가 있다. (T = τ․Zp)

1)중실축의 극단면계수y

D

x

Z p=I pe

=

πD 4

32D2

= πD 3

16

2)중공축의 극단면계수

y

D 1 D 2

x ZP=

IPe

=

π(D42-D4

1 )

32D₂2

=π16

(D42-D4

1 )

D₂

=πD 4

2

16⋅

(1-x4 )D 2

=πD 3

2

16(1-x4)

7. 단면상승모멘트

IXY = ⌠⌡x y dA = x yA ⇒ x y는 도형의 도심이다. 도형의 도심에서는 항상 단면상승모멘트는 0의 값을 가진다.


- 21 -

정리하면

구분 수학적 표현 공식활용 사각형 중실축 중공축

단면1차

모멘트

Qx, Q y

Qx=⌠⌡ydA

Q y=⌠⌡xdA

Qχ= yA

Q y= χA

b

h

DD 1

D 2

x=D 1

D 2

단면2차

모멘트

I χ, I y

Ix=⌠⌡y2dA

I x=K2yA

I y=K2xA

Ix=bh 3

12

I y=hb3

12

Ix=I y=πD 4

64Ix=I y=

πD42

64(1-χ 4)

극단면2차

모멘트

I p

I p=⌠⌡r 2dA I p=Iχ+I y I p=

bh12

(b2+h 2) I p=πD 4

32 I p=πD4

2

32(1-χ 4 )

단면계수

Z

Z x=Iχ

e χ

Z y=I ye y

Z=Mσ b

Z x=bh 2

6

Z y=hb2

6

Z x=Z y=πD 3

32 Z x=Z y=πD3

2

32(1-x4 )

극단면

계수

Z p

Z p=I pe

Z p=Tτ

Z p=πD 3

16 Z p=πD 3

2

16(1-x4 )

평형축 정리

Ix' =⌠⌡A

(a+y)²dA =⌠⌡A

(y²+2ya+a ²)dA

=⌠⌡A

y²dA+2a⌠⌡AydA+⌠

⌡Aa²dA =I

X+a 2A

x

x'

a

y

y

y'dA

Ix'= IX+a 2A 여기서 I x':새로운 축의 단면2차 모멘트 a:도심에서 떨어진 거리

IX:도심축에서의 단면2차 모멘트 A:단면적

삼각형의 단면2차 모멘트

x

y

dy

yby

h

dA= dy ×by =dy×b(h-y)

h

h:b=(h-y):by b(h-y)=hby, ∴by=b(h-y)

h

Ix=⌠⌡y²dA=⌠

⌡

h

0y²×

b(h-y)h

dy

=bh

⌠⌡

h

0(y²h-y³)dy =

bh［ h

y³3

-y⁴4

］

=bh［

h⁴3

-h⁴4

］ =bh×

h⁴12

=bh³12

평행축 정리를 이용하여 Ix'=I

x+a 2A

도심에서 단면 2차 모멘트 Ix= I x

'-a 2A

Ix=

bh³12

-(h3)²×

bh2

=bh³12

-h²9×

bh2

=bh³12

-bh³18

=bh³36

(삼각형 도심에서 단면2차모멘트) Ix=

bh³36

(삼각형 밑변에서 단면2차모멘트) Ix'=bh³12


- 22 -

제5장 비틀림

제5장에서 시험에 나오는 주요 유형 (암기를 해야만 1분30초에 한문제 해결가능 합니다)☞(비틀림 모멘트) T=τ max×ZP 여기서 τ max (비틀림 전단응력) ZP:극단면계수

(비틀림각) θ=TlGIP

[rad] 여기서 T:비틀림 모멘트 l:보의 길이 G: 횡탄성계수 IP:극단면 2차모멘트

동력, 비틀림,회전수의 관계 T=716.2Hps

N[Kg․m] =7018.76

Hps

N[J ], T=974

HKW

N[Kg․m] =9545.2

HKW

Ｎ[J ]

Hps:전달동력[PS], Hkw:전달동력[KW ] N:회전수

원형축의 비틀림

․

l

T

RR

P

θSγ

여기서

l : 보의 길이

γ: 전단 변형률

θ : 비틀림각

R : 반지름

P : 접선력

tan γ =ｓl

=Ｒθl

≒γ = τG

Hook'slow에서 τ=G×r

(1) 비틀림 응력 (전단력이 작용)

τ=GRθ

l, τ=f (R)

(R= 0 ⇒ τ=0, R=R ⇒ τ max =GRθ

l)

(2) 비틀림 응력과 토크의 관계

γ=τG

=Rθl

τ max≤τ a

dr

r

dA

R

τmax

τr

여기서

τ r : 임의의 반경 r 에서의 전단응력

dT : 미소면적 dA에서의 토크

미소토크=미소힘×거리=(응력×미소단면적)×거리 dT=dF×r = (τ r×dA)×r

T=⌠⌡A

dT=⌠⌡A

τ r rad =⌠⌡

rR

τ max×r dA=τ max

R⌠⌡A

r 2dA=τ max

I pR

= τ max×ZP

(비틀림 모멘트) T=τ max×ZP

비틀림각 θ[㎭] ; 비틀림각은 축의 강성을 설계하는 값이다.

①강도(strength); 재료에 부하가 걸린 경우, 재료가 파단되기까지의 변형저항을 표현하는 총칭

ex)인장강도, 압축강도

②강성 (stiffness=rigidity); 하중에 대한 변형저항으로 특히 비틀림에 의한 저항

①=②에서

τ=GRθl

⋯①, τ=TZP

⋯②


- 23 -

θ=Tl

Z pGR=

TlIPG

[rad] θ=TlGIP

×180π

。(도)

(비틀림각) θ=TlGIP

[rad] 여기서 T:비틀림 모멘트 l:보의 길이

G: 횡탄성계수 IP:극단면 2차모멘트

비틀림 모멘트와 전달동력의 관계

동력= 일시간 = 힘×거리시간 =힘 ×속도 H=

Wt

=F×St

=F×V, H=F×V=F×R×ω=T×ω=T×2πN60

V=ω×R=πDN60

여기서 V:원주속도, ω:각속도, N:분당회전수[rpm]

①동력H가 마력(ps)를 주어질 때 1Ps=75Kgf ․m/s

T=602π×75×

Hps

N=716.2

Hps

NKgf․m

T=716.2Hps

N[Kg․m] = 7018.76

Hps

N[J ]

T=71620Hps

N[Kg․cm] = 7018.76

Hps

N[J ]

T=716200Hps

N[Kg․mm] = 7018.76

Hps

N[J ]

②동력H가[kw]로 주어질 때 1KW=102Kgf․m/s

T=602π×102×

HKW

N=974

HKW

NKgf․m

T=974HKW

N[Kg․m] =9545.2

HKW

Ｎ[J ]

T=97400HKW

N[Kg․cm] = 9545.2

HKW

Ｎ[J ]

T=974000HKW

N[Kg․mm] =9545.2

HKW

Ｎ[J ]


- 24 -

제6장 보(Beam)

제6장에서 시험에 나오는 주요 유형 (전단력선도,굽힘모멘트선도을 그릴 있어야 합니다.)☞외팔보의 전단력선도(SFD),굽힘모멘트선도(BMD)

오른팔보의 전단력선도(SFD),굽힘모멘트선도(BMD):

외팔보의 전단력선도 값이 (+양의 값)이고 전단력의 크기,모멘트의 크기는 같다.

단순보의 전단력선도(SFD),굽힘모멘트선도(BMD)

단순보에 우력(M0)이 작용할 때

수분포하중( w), ,전단력( F), 굽힘모멘트(M)의 관계 ω=dFdx

=d (

dMdx

)

dx=

d 2Mdx2


- 25 -

지점의 종류

1)회전 지점 2)가동지점 3)고정지점

P P

Rx

MP

R

x

Ry Ry Ry

x,y방향의 반력작용 y방향의 반력작용 x,y방향의 반력,반력모멘트 발생

보의 종류

1) 해석방법에 따라

①정정보 : 평형방정식만으로 미지의 반력을 구할수 있는 보

P PPP

<외팔보> <단순보> <돌출보>

②부정정보: 평형방정식 만으로 미지의 반력을 구할 수 없는 보

PP

<양단지지보> <일단고정 타단지지> <연속보>

보에 작용하는 하중의 종류

1)집중하중

p

2)분포하중

①균일분포하중 ② 비균일 분포하중

w w

⌠⌡

l

0ωxｄx=P(분포하중의면적)=(집중하중의크기)

※ 분포하중의 크기 ω는 단위길이당 작용하는 힘 ω[㎏/ｍ]이고, 분포하중의 크기는 집중하중으로 등가시킬 수 있다.


- 26 -

보의 반력 계산법

①단순보의 반력계산하기

1)집중하중이 작용할 때

Rb

a b

lRa

P

Ｒａ=

Ｐ⋅bl

,Ｒｂ=

Ｐ⋅ａl

2)균일분포하중이 작용할 때

w

Ra

l

Rb

Ｒａ=ｗl2

,Ｒｂ=ｗl2

3)삼각 분포 하중이 작용 할 때

Ra Rb

l

w

P=w l2

2l3

l3

Ｒａ=ｗl6

,Ｒｂ=ｗl3

수 전단력 선도 (Shearing Force Diagram) S.F.D

굽힘모멘트 선도 (Bending Moment Diagram)B.M.D

1) 분포하중, 전단력,굽힘 모멘트의 관계

dx

M+dM

0F

M ω

dx F+dF

①∑Fy=0, +F-(F+dF)-ωdx=0

-dF=ωdx ∴ω=dFdx

(분포하중) ω=

dFdx

, ωdx=dF

②∑Mo=0, +M-(M+dM)+(F+dF)dx-(ωdx)×dx2

=0, -dM+Fd x+dFdx-ωdx2

2=0 → 고차항무시

dM=Fdx, F=dMdx

(전단력은 굽힘모멘트의 기울기)

ω=

dFdx

=d (

dMdx

)

dx=

d 2Mdx2


- 27 -

2) 부호의 약속

+F

MF

M

3) 전단력선도(SFD)와 굽힘모멘트선도(BMD) 그리는 순서

①반력과 반력 모멘트을 구한다.

②하중의 연속유무에 따라 구간을 나눈다

③구간을 나누어서 각 구간의 자유물체도를 그린다

④자유물체도에서 힘의 평형조건과 모멘트의 평형조건을 이용 부호의 약속에 맞게 선도를 그린다.

3. 단순보의 단력선도, 굽힘모멘트선도

①집중하중이 작용할 때

a b

ℓ

S.F.D

x2

Pbℓ

=Ra

R b

R b=Paℓ

x1

Pa bℓ

B.M.D

P

R a

① 구간 0≤x1≤a

Fx

x1

Mx

R a

Mmax =M x2 =b=R b×b=Pbal

+F x1-R a-0, F x1

= +R a

+M x1-R a×x1=0, M x1

=R a×x1

Mmax =M x1 =a=R a×a=Pbal

② 구간 0≤x2≤b

R bx2

Mx

F x

+F x2

+R b=0, F x2=-R b

+M x2-R b×x2=0

M x2=R b×x2

②균일분포하중이 작용할 때

wℓ2

w l 2

8

x

w

ℓ

-wl2

S.F.D

B.M.D

l2

∑Ｆｙ＝０,

Ｆ x =Ｒａ - ω x= ω l2

-ω x

Ｆ x= ｏ＝ωl2

, Ｆｘ= l ＝-ωl2

∑Ｍ x =０

+Ｍｘ+ｘ2

(ωx)-Ｒａ x=0

Ｍｘ=Ｒａx-ｗ2

x²= ω×l2

x- ω2

x²

Ｍｘ=ｏ＝0, Ｍｘ= l ＝０

Mmax = Mx=

l2

= ωl 2

8


- 28 -

③삼각분포하중이 작용할 때

l

l3

wℓ3

ω

wℓ6

w l 2

9 3

x3

Fx

Mx

12wxx

Wx

R a

xR a

x

R b=wℓ3

R a=wℓ6

P=ω l2

∑Ｆｙ=0,

Ｒａ=wl6

, Ｒｂ =wl3

여기서,l：w =x：wx, ∴wx=w xl

Ｆｘ=Ｒａ-12wx x=

ω x6

-12

ω x²l

Ｆ x=ｏ＝ω l6

, Ｆ x= l＝- ω l3

∑Ｍ x=０,

+Ｍx+12

ωx x⋅x3-Ｒａ x＝０

Ｍx=Ｒａ x-12

w xl

⋅x⋅x3

= ω l6

x- ω x³6 l

Ｍx=ｏ＝０,Ｍx= l＝０,

Mmax = Ｍx=

l3

＝wl 2

9 3

Ｆx=ｄＭx

ｄｘ＝０일때,모멘트의최대.최소점

Ｆx=ｄＭx

ｄｘ＝０,을만족시키는x=

l3

2. 오른팔보 , 외팔보

1) 집중하중이 작용할 때

- P⋅l

MA=P⋅ℓP P MA=P⋅ℓ

l l

B.M.D

R a=P R a=P

S.F.D

+P

-P

-P⋅l

+

- -

-


- 29 -

2) 균일 분포하중이 작용할 때

MB=12wℓ 2

w

R a=wℓ

B.M.D

-12wℓ 2-

12wℓ 2

MB=12wℓ 2

ℓ

Rb=wℓ

+wℓ

S.F.D

-wℓ

ℓ

- -

-+

1차

2차 2차

1차

3) 삼각형 분포하중이 작용할 때

MB=wℓ 2

6MA=wℓ 2

6

B.M.D

R a=12wℓ

-wℓ2

-wℓ 2

6

R b=12wℓ

-wℓ 2

6

S.F.D

+wℓ2

S.F.D

B.M.D

- -

-+2차

2차

3차3차


- 30 -

3. 보에 우력이 발생할 때

(최대 굽힘모멘트 )Mmax =Pa

우력이 작용 할 때의 자유물체도

P

a2

a2

x2

x1

RbM=P⋅a

Pacl

Pabl

RaP

b cℓ

RbRa

Pal

R a=R b=Ml

=Pal

①０≤x1≤b

Mx

Ra x1

Fx

∑Ｍ=０,+Ｍx-Ｒａ x=0

Ｍ x=Ｒａ x₁=Ｐａ

lx₁

Ｍｘ=ｂ＝Ｐａｂ

l

②０≤x2≤Ｃ

Mx Fx

x2

Rb

∑Ｍ=０,+Ｍ x-Ｒ b x=0

Ｍ x=Ｒ b x2=Ｐａ

lx2

Ｍｘ= c＝Ｐａc

l

4. 돌출보

1)집중하중이 작용할 때

10kg

2m

S.F.D

B.M.D

8

26

2m2m

4

12

6kg

R a R b

∑Ｆｙ=０

Ｒａ+Ｒｂ=16

∑Ｍａ=0

(10×2)- (Ｒ b×4)+(6×6)= 0

∴Ｒａ=16-14=2㎏

Ｒｂ=20+36

4=14㎏


- 31 -

2)균일분포 하중이 작용할 때

w=600kg/m

S.F.D

R b

2m 4m 2m

1200

1200

1200

1200

R a

600×8 =4800kg

R a Rb=2400kg =2400kg

＊참고: 알아야 할 적분공식

⌠⌡Ｘⁿｄｘ=

Ｘｎ+1

ｎ+1+Ｃ단,Ｘ=-1

⌠⌡Ｘ

-1ｄx=ｌｎ｜Ｘ｜+Ｃ

⌠⌡(ａＸ+ｂ)ⁿｄｘ=

1ａ

(ａＸ+ｂ) ｎ+1

ｎ+1+Ｃ

⌠⌡ｓｉｎ(ａx+ｂ)dx=-

1ａｃｏｓ(ａx+ｂ)+Ｃ


- 32 -

제7장 보속의 응력

제7장에서 시험에 나오는 주요 유형 (암기를 해야만 1분30초에 한문제 해결가능함)☞ (굽힘모멘트)M=σ Z 여기서 σ:굽힘응력 Z:단면계수

1ρ

=M

I⋅E= σ

E e 여기서 ρ :곡률반경 I :단면2차모멘트 M :굽힘모멘트 E :탄성계수

(굽힘에 의해 보속에 발생되는 전단응력)굽힘에 의한 보속의 전단응력) τ=FQb I

여기서, F : 전단력 , b : τ 를 구하고자하는그 위치에서의 폭 I : 단면전체의 2차 모멘트

Q : τ 를 구하고자 하는 그 위치에서 상단에 실린 1차 모멘트

(굽힘에 의해 발생되는 사각형 내의 최대전단응력) τ max =32

τ av

(굽힘에 의해 발생되는 원형 내의 최대전단응력) τ max =43

τ av

(보에서 굽힘모멘트와 비틀림모멘트가 동시에 작용될 때 보속에 나타나는 최대수직응력) σ max

σ max =Me

Z 여기서 (상당굽힘 모멘트) Me=

12(M+ M2+T 2 )

(보에서 굽힘모멘트와 비틀림모멘트가 동시에 작용될 때 보속에 나타나는 최대전단응력) τ max

τ max =T e

Z P 여기서 (상당 비틀림 모멘트) T e= M2+T 2

보속의 굽힘응력

P P aa

L

R aR b

S.F.D

B.M.D

순수굽힘

ρ : ℓ =y : Δl ,에서

(변형량) Δl=lyρ

l

M M

θ

ρ

y

Δl

l '

1. 굽힘응력과 변형률

①변형률 ε=l '-ll

=Δll

=

lyρl

=yρ

②응력 σ y=E⋅ε=E×yρ

=E⋅y

ρ

③응력과 모멘트의 관계


- 33 -

h

y

M

dF

dA

y

1ρ

=σ y

E⋅y=

ME⋅I

여기서 , 1ρ

=곡률

미소모멘트 = 미소힘 × 거리 = (응력 × 미소단면적 ) × 거리

dM=dF×y= σ y×dA×y

⌠⌡dM=⌠

⌡Ey2

ρ×dA

M=Eρ

⌠⌡y2dA=

Eρ

I,

∴M=σ yI

y= σ max

Ih2

= σ max Zx

M=σ Z 여기서 M:굽힘모멘트 σ:굽힘응력 Z:단면계수

1ρ

=M

I⋅E= σ

E e 여기서 ρ :곡률반경 I :단면2차모멘트 M :굽힘모멘트 E :탄성계수

굽힘 모멘트에 의한 전단응력

y 1

p

h2

m

F

M

n

q

n'

p'

F

q'

F'

M+dM

중립축

dx

b

h2

dF=σ ydA=Eyρ

dA

⌠⌡

h2

y1

dF=⌠⌡

h2

y1

Eyρ

dA,

1ρ

=M

E⋅I,

Eρ

=MI

⇒

F=⌠⌡

h2

y1

Eyρ

dA =⌠⌡

h2

y1

MyI

dA⋅⋅⋅①

dF

m'

y

n'

p'

y 1

q'

F '=⌠⌡

h2

y1

(M+dM)yI

⋅dA⋅⋅⋅⋅⋅⋅②

Fτ=τ⋅dA=τ×b×dx⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅③

⌠⌡

h2

y1

MyI

dA-⌠⌡

h2

y1

(M+dM)I

+τbdx=0

τbdx=⌠⌡

h2

y1

dMI

dA ∴τ=1

bdx⌠⌡

h2

y1

d M⋅yI

dA

h/2 dF

m'

y

n'

p'

y 1

q'

τ=dMbdxI

⌠⌡

h2

y1

ydA =FQb I


- 34 -

굽힘에 의한 보속의 전단응력 τ=FQb I

F : 전단력 , b : τ 를 구하고자하는그 위치에서의 폭 : 단면전체의 2차 모멘트

Q : τ 를 구하고자 하는 그 위치에서 상단에 실린 1차 모멘트

1. 사각 단면 ( b×h )의 경우 굽힘에 의한 최대 전단응력

b

h

h2

Q=h4×

bh2

=bh 2

8, τ=

F⋅Qb⋅I

=F×

bh 2

8

b×bh 3

12

=32×

FA

τ av:평균전단응력

τ max =

32

τ av

2. 원형단면의 경우

y=4R3πR

Q=4R3π×

πR 2

2=

4R 3

6, I= πD 4

64=

πR 4

4

τ=FQbI

=F×

4R 3

6

2R× πR 4

4

=4F

3πR 2

τ max =43

τ av τ av:평균전단응력

재료의 조합응력

Hps․N

σ xσ x

τσ y

τ

σ y

E•Mσ xσ x

L

P

σ x = 순수굽힘응력( σ b)

σ y = 0

τ = 순수비틀림응력

σ b=MZ

=32M

πd 3

τ=TZ p

=16T

πd 3

①최대주응력설

σ max =12(σ x+σ y)+

12

(σ x+σ y)2+4τ =

12

σ b+12

σ2b+4τ 2 =

12(σ b+ σ 2

b+4τ 2)

=12(32M

πd 3 + (32M

πd 3 ) 2+4(16T

πd 3 ) 2

σ max =12(32M

πd 3 +32

πd 3 M2+T 2 )

Me= σ max × Z=12(32M

πd 3 +32

πd 3 M2+T 2)× πd 3

32

(상당굽힘 모멘트) Me=12(M+ M2+T 2 )


- 35 -

(보에서 굽힘모멘트와 비틀림모멘트가 동시에 작용될 때 보속에 나타나는 최대수직응력) σ max

σ max =Me

Z 여기서 (상당굽힘 모멘트) Me=

12(M+ M2+T 2 )

②최대 전단응력설

τ max =12

σ 2b+4τ 2 =

12

(32

πd 3 ) 2+4×(16T

πd 3 ) 2

τ max =12×

32

πd 3 M2+T 2

T e= τ max × Z P=12×

32

πd 3 M2+T 2 × πd 3

16

(상당 비틀림 모멘트) T e= M2+T 2

(보에서 굽힘모멘트와 비틀림모멘트가 동시에 작용될 때 보속에 나타나는 최대전단응력) τ max

τ max =T e

Z P 여기서 (상당 비틀림 모멘트) T e= M2+T 2

축경 설계

①굽힘 모멘트만 고려한 직경 DM , M=σ b⋅Z=σ b×πd 3

32

DM= 3 32×Mπ×σ b

②비틀림 모멘트만 고려한 직경 DT, T=τ⋅Z p= τ×πd 3

16

DT=3 16×T

π×τ

③상당비틀림 모멘트만 고려한 직경 DTe

DTe=3

16×T e

π×τ

④상당굽힘 모멘트를 고려한 직경 DMe

DMe=3

32×Me

π×σ

①,②,③,④ 직경중 가장 큰 직경을 얻으면 된다.


- 36 -

제8장 보의 처짐

제8장에서 시험에 나오는 주요 유형 (보에 발생되는 처짐량과 처짐각을 암기 해야만 합니다.)☞(처짐곡선의 미분방정식에 의한 처짐구하기 y''=(-)

Mx

EI Mx :임의의 x지점에서의 모멘트 EI: 강성계수

면적모멘트법에 처짐 구하기 (처짐각) y´=1EI

AM (처짐량) y=δ=AM

EI-x

AM : B.M.D(굽힘 모멘트선도)의 면적 x : 처짐을 구하고자 하는 그 위치로부터 B.M.D의 도심까지의 거리

(곡선식이 n차 일때의 면적) AM=h ln+1

, (곡선식이 n차 일때의 도심) x́ =l

n+2

탄성에너지법(카스틸리아노의 정리)에 의한 처짐 구하기 (처짐량)δ=∂U∂P

,(처짐각)θ=∂U∂M

, (탄성에너지)U=M2l2EI

우리들의 방법에 의한 처짐 구하기

P=w lP PP P=w lP=w l

FMAX=KP 1 1 1/2 1/2 1/2 1/2

MMAX=KPl 1 1/2 1/4 1/8 1/8 1/12

δMAX=P l 3

KEI 3 8 48 384/5 192 384

θMAX=P l 2

KEI 2 6 16 24 64 125

여기서 FMAX :최대전단력 MMAX :최대굽힘모멘트 δMAX :최대처짐량 θMAX :최대굽힘각

수 단순보에 나타나는 처짐각과 처짐량

① 단순보에 임의의 지점에 집중하중이 작용 할 때

R a=P bℓ

△θa θb△

a bP

R b=P aℓ

c●

x=l 2-b2

3에서(최대처짐) δ max =

Pb( l 2-b2)

32

9 3EI

θａ=Pab(l+b)

6 lEI, θ b=

Pab(l+a)6 lEI

(하중이 작용하는 점의 처짐량) δ c=Pa 2 b2

3lEI

②단순보의 끝단에 우력(M)이 작용할때

R b=MℓR a=

Mℓ

△δmax

θA θB△

Ml3

(A단의 굽힘각) θA= y 'x= 0=

Ml6EI

,

(B단의 굽힘각) θB= y 'x= l=

Ml3EI

∴x=l3 위치에서 δmax가 발생된다.

(최대 처짐량) δ max =Ｍ l²

9 3ＥＩ


- 37 -

▶ 보의 처짐 해석 방법

(곡선식이 n차 일때의 면적) AM=h ln+1

, (곡선식이 n차 일때의 도심) x́ =l

n+2

① 처짐곡선의 미분방정식

② 면적모멘트법

③ 중첩법

④ 탄성에너지법(=카스틸리아노의 정리)

⑤ 우리들의 방법

처짐곡선의 미분 방정식

y

dx

y

y

x

dy

dθ

ds

ρ

θ

θ

dx

dy

ds

dx = ds cosΘ

Θ= 0 일 때 dx = ds

tanθ=dydx

Θ = 0 일 때

tanθ≈θ=dydx

ds=ρ×dθ , 1ρ

=dθds

, 1ρ

=dθdx

=d

dydxdx

∴1ρ

=d 2ydx2 =

Mx

E⋅I .

y''=(-)Mx

EI ..............①처짐곡선의 미분방정식

① 식을 적분하면 y'(x)=1EI

⌠⌡Mx==θx(처짐각)⋅⋅⋅②

② 식을 적분하면 y(x)=1EI

⌠⌡

⌠⌡Mx= δx(처짐량)⋅⋅⋅③

① 식을 미분하면 1EI

dMx

dx=y''' ,

1EI

Fx=y'''⋅⋅⋅④

④ 식을 미분하면 1EI

dFx

dx=y'''' ,

1EI

Wx=y''''⋅⋅⋅⑤

정리하면

(-)1EI

Wx=y'''' Wx : 분포하중

(-)1EI

Fx=y''' F x : 전단력

(-)1EI

Mx=y'' Mx : 모멘트

(-)1EI

⌠⌡Mxdx=y' y '

x=θ x = 곡선의 기울기

(-)⌠⌡⌠⌡Mxdx=y y x= δ x = 곡선의 처짐량


- 38 -

1) 처짐곡선의 미분방정식의 적용

(1)외팔보

① 우력을 받는 외팔보

M

θmax

δ max

Mx+

M

M

F x

+Mx+M=0

Mx=-M

EIy''=-Mx

EIy''=M⋅⋅⋅①

① 식을 적분하면 EIy'=Mx+c 1⋅⋅⋅②

② 식을 적분하면 EIy=M2

x2+c 1x+c 2⋅⋅⋅③

여기서 적분상수결정

(고정단의 처짐각은 0이다) y 'x= l =0. M⋅l+c 1=0 ∴C1=-M⋅l

(고정단의 처짐량의 0이다) y x= l=0 , M2

l 2-Ml 2+C 2=0 ∴C 2=Ml 2

2

(처짐각의 일반해) y 'x=

1EI

(M x-Ml)

(처짐량의 일반해) y x=1EI

(M2

x2-Mlx+Ml 2

2)

x=0 , 일 때 θ max ,δ max 발생

외팔보가 자유단에서 우력이 발생할 때

(최대 처짐각) y 'x= 0 =θ max =-

MlEI

(최대 처짐량) y x= 0= δ max =Ml 2

2EI

②집중하중을 받는 외팔보

δmax

P

θmax

x

EIy''=-Mx = P x⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅① ①식 적분하면,

EIy'=P2

x2+C 1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅② ②식 적분하면,

EIy=P2×

x3

3+C 1x+c 2⋅⋅⋅⋅⋅③

경계조건 이용해서 적분상수 결정

y 'x= l =0 0=

P2

l 2+C 1=0 ∴C 1=-P2

l 2

y x= l=0 0=Pl 3

6-

P2

l 3+C 2=0 ∴C 2=2Pl 3

6=

Pl 3

3


- 39 -

일반해

y'=1EI

(P2

x2-P2

l 2) (최대처짐각) θ max = y' x= 0=+Pl 2

2EI

y=1EI

(P6

x3-P2

l 2x+Pl 3

3) (최대처짐량) δ max = y x= 0=+

P l 3

3EI

③ 균일 분포 하중이 작용하는 외팔보

RB

w(㎏/m)

δmaxθmax

+

Mx

wx

EIy''=-Mx =w x2

2

EIy '=w2×

x3

3+C 1

EIy=w6×

x4

4+C 1x+C 2 =

wl 4

24-

wl 4

6+C 2

경계조건을 이용하여 적분상수 구하기

x=l 이면, y'=0 =wl 3

6+C 1 ∴C 1=-

wl 3

6

x=l 이면, y= 0 ∴C 2=wl 4

8

일반해

(처짐각의 일반해) y'=1EI

(wl 3

6-

wl 3

6)

(처짐량의 일반해) yx=1EI

(wl 4

24-

wl 3

6x+

wl 4

8)

x= 0 일 때 최대 처짐과 최대 처짐각이 발생

외팔보가 균일 분포 하중을 받을 때

(최대 처짐각) θ max =-w l 3

6EI

(최대 처짐량) δ max =w l 4

8EI

2) 단순보의 처짐계산

① 우력을 받는 단순보

R b=MℓR a=

Mℓ

+Ra

x△

Mx

δmaxθA θB

dydx

=0

△

M

F x

EIy''=-Ml

x, EIy'=-M2l

x2+C 1, EIy=-M2l×

x2

3+C 1x+C 2

x=0 일때 , y = 0 , ∴ C 2=0

x=l 일때,y=0, 0=-M6l

l 3+C 1l=0 ∴ C 1=Ml6


- 40 -

일반해

y=1EI

(-M6l

x3+Ml6

x)

dydx

=y'=1EI

(-M2l

x2+Ml6

)

θA= y 'x= 0=

Ml6EI

θB= y 'x= l=

Ml3EI

단순보에서 B 지점에서 우력이 작용할 때

(A단의 굽힘각) θA= y 'x= 0=

Ml6EI

,

(B단의 굽힘각) θB= y 'x= l=

Ml3EI

최대처짐이 발생되는 x의 위치⇨굽힘각이 0 이 되는 위치이다

ｄｙｄx

=0인위치 0=Ｍ2L

x²=Ｍl6

∴x=l3

=0.577l

단순보의 B 지점에서 우력 M 이 작용할 때

∴x=l3 위치에서 δmax가 발생된다.

(최대 처짐량) δ max =Ｍ l²

9 3ＥＩ

② 단순보에 임의의 지점에 집중하중이 작용 할 때

R a=P bℓ

+

Rax△

Mx

θA θB△

a bP

F x

R b=P aℓ

x=l 2-b2

3에서

(최대처짐) δ max =Pb( l 2-b2)

32

9 3EI

첫번째구간 0≤x≤a에서

EIy″= -P bl

x →x에관해두번적분하면

EIy′= -P b2l

x²+ c 1

EIy= -P b6 l

x³+C₁x+C₂

두번째구간 a≤x≤l 에서

EIy″= -P bl

x+P(x-a) →x에관해두번적분하면

EIy′= -P b2l

x²+P2(x-a) 2+ D 1

EIy= -P b6 l

x³+P6(x-a) 3+D₁x+D₂

첫 번째 구간의 일반해

y' x=-Ｐ b6EIl

( l 2-b2-3x2)

y=Pbx

6ＥＩl( l 2-b2-x2)

두번째 구간의 일반해

y'x=-Ｐ b6EIl

( ( l 2-b2)+3 lb

(x-a) 2-3x2))

y=Pb

6ＥＩl( (

l6(x-a) 3+(l 2-b2)x-x3)

경계조건 x=a에서 기울기 와 처짐량이 같아야 함으로 C 1=D 1 , C 2=D 2

x=0 에서y=0 이므로 C 2=D 2=0

x= l 에서y= 0 이므로 C 1=D 1=P b6 l

( l 2-b2)

위 일반식을 이용하여 최대 처짐이 발생하는 x의 위치

y'x=-Pb6EIl

( l 2-b2-3x2)=0 을 만족하는 x이다 ∴x=l 2-b2

3


- 41 -

단순보의 중앙에 집중하중 P가 작용할 경우

(A,B지점의 처짐각) θａ=θｂ=P l 2

16EI

(최대 처짐량) δ max = yl =

l2

=P l 3

48EI

단순보의 임의의 집중하중 P가 작용할 경우

θａ=Pab(l+b)

6 lEI, θ b=

Pab(l+a)6 lEI

(하중이 작용하는 점의 처짐량) δ c=Pa 2 b2

3lEI

③균일분포하중을 받는 단순보

△

xFx

Ra

+Mx

R a=wl2

θA

R b=wl2

θB

wwl

Mx+ω x2

2-R ax=0 ∴Mx=R a x- ω x2

2 , EIy''=-Mx=+

ω x2

2-

ω l2

x

EIy'=+ω x3

6-

ω l4

x2+c 1 EIy=+ω x4

24-

ω l12

x3+c 1x+c 2

경계조건 x=0 에서y=0 이므로 ∴C₂=0

일반해 y'=1EI

(ω6

x3-ωl4

x²+ ω l³24

), y=1EI

(ω24

x4-ωl12

x³+ ωl³24

x)

x=l 에서y=0 이므로∴C₁=ωl³24

단순보에서 균일 분포하중이 작용 할때

(지점의 굽힘각) y'x= 0=θａ=θｂ=ω l 3

24EI (최대처짐량)

yx=

l2

= δ max =5ω l 4

384EI

면적 모멘트법

EIy˝=-Mx

y''=Mx

EI→한번적분하면 y´=

1EI

⌠⌡Mxdx=

1EI

AM →적분하면

y=1EI

⌠⌡

⌠⌡Mxdx=

1EI

⌠⌡AM dx=

AM

EIx

(처짐각) y´=1EI

AM (처짐량) y=δ=AM

EI-x

AM : B.M.D(굽힘 모멘트선도)의 면적

x : 처짐을 구하고자 하는 그 위치로부터 B.M.D의 도심까지의 거리

▶면적과 도심 구하는 일반식

h

l

x'

n차 도심

x

AM=

h ln+1

x́ =l

n+2


- 42 -

Pl

M0차

BMD

l

wl 2

6P․l

2차 3차

wl 2

2

M

1차

AM=M×l AM=12Pl⋅l AM=

13

W l 2

2×l AM=

14

W l 3

6×l

x'=12l x'=

13l x'=

14l x'=

15l

x=12l x=

23l x=

34l x=

45l

θA=1EI

Ml θA=1EI

Pl 2

2θA=

1EI

w l 3

6θA=

1EI

w l 3

24

δMAX= δA=M l 2

2EIδA=

Pl 3

3EIδA=

wl 4

8EIδA=

w l 4

36EI

▶면적모멘트법의 응용

x2

x3

x1A 32wℓ 2

8

W

A 1A 2

ℓ/2 ℓ/2

wℓ 2

8

B.M.D

(자유단의처짐각)θ=AM

EI=

A 1+A 2+A 3

EI

(최대처짐량)δ max =AM

EI-x

=A 1x1+A 2x2+A 3x3

EI

중첩법

(전체처짐량)δ=δ₁+δ₂

δ₁=5Pl 3

48EI, θ₁=

P₁l 2

8EI

δ₂=P l 3

3EI, θ₂=

P₂l 2

2EI

δ 1

P

l6

(5l6

)

GPl2

δ 2

2l3

Pl G

l3

P

l2

l

P P

+


- 43 -

탄성 에너지법

▶카스틸리아노의 정리 : 탄성에너지를 이용한 처짐량 계산하는 방법

(처짐량)δ=∂U∂P


M

θ

M M

ρθ

그림에서

l= ρ×θ,1ρ

=θl

=MEI

θ=M lEI

U=12M×θ=

12M

MlEI

=M2l2EI

1)자유단에 집중하중을 받는 외팔보에 저장되는 굽힘 탄성에너지 :U

P

dxx

Ra = P

du : 미소거리 dx 에서의 저장되는 탄성에너지

dU=M2

xdx

2EI⌠⌡

l

0du=⌠

⌡M2

xdx

2EI

U=⌠⌡

l

0

M2xdx

2EI

U=1

2EI⌠⌡

l

0P2 x2dx=

P2

2EI×

l 3

3=

P2l 3

6EI

(처짐량)δ=∂U∂P

=P l 3

3EI

탄성에너지법에서, (처짐량)δ=∂U∂P


, (탄성에너지)U=M2l2EI

수우리들의 방법

▶ 비례계수 K값만 기억하자

P=w lP PP P=w lP=w l

FMAX=KP 1 1 1/2 1/2 1/2 1/2

MMAX=KPl 1 1/2 1/4 1/8 1/8 1/12

δMAX=P l 3

KEI 3 8 48 384/5 192 384

θMAX=P l 2

KEI 2 6 16 24 64 125

여기서 FMAX :최대전단력 MMAX :최대굽힘모멘트 δMAX :최대처짐량 θMAX :최대굽힘각


- 44 -

제9장 부정정보 정역학적 평형방정식 ( ∑F=0,∑M=0)식 만으로 미지의 반력, 반력모멘트를 구할 수 없는 보로서 제한조건을 이용하여

미지의 반력, 반력모멘트를 구할수 있는 보.

제9장에서 시험에 나오는 주요 유형 (정정보을 중첩시킴으로써 부정정보의 반력,반력모멘트를 구할수 있다.)☞

R b

P

a b

R a

①일단고정 타단 지지보에 중앙에 집중 하중이 작용할때

(고정단의 반력) R a=1116

P, (지지단의 반력) R b=516

P, (고정단의 반력모멘트) MA=316

Pl=Mmax

②일단고정 타단 지지보에 균일 분포하중이 작용할때

(고정단의 반력) R a=58wl , (지지단의 반력) R b=

38wl , (고정단의 반력모멘트) MA=

wl 3

8

RA

MB

RB

PMA

a b

③양단고정보에서 집중하중이 작용할 때

RA=Pb2

l 3(3a+b), RB=

Pa 2

l 3(3b+a), MA=

Pab2

l 2, MB=

Pba 2

l 2

Ra Rb

w ④양단고정보에서 균일 분포하중이 작용할 때

(고정단의 굽힘모멘트)Ma=Mb=wl 2

12=Mmax, (중간단의 모멘트) M중간단=

w l 2

24

(지점의반력) R a=R b=wl2

부정정보의 종류 및 해석

1)일반고정 타단 자유보

① 집중하중을 받을 때

R b

+ l

δ R b

P

≡

Pa

R b

P

a b

R a

a3

aδP

BMD 선도

( l-a3)

제한조건 |δP| = |δRb| δR b=

R bl3

3EI δP=

12Pa×a(l-

a3)×

1EI

∴일반해 R a=Pb2l 3

(3l 2-b2), R b=Pa 2

2l 3(3l-a) Ma=

Pb2l 2

(l 2-b2)

일단고정 타단지지보에서 중앙에 집중하중이 작용할때

(고정단의 반력) R a=1116

P, (지지단의 반력) R b=516

P, (고정단의 반력모멘트) MA=316

Pl=Mmax

② 균일분포 하중을 받을 때


- 45 -

δwR b

δ Rb

(분포하중에 의한 자유단의 처짐) δw=wl 4

8EI

(반력에 의한 자유단의 처짐) δRb=R bl

3

3EI

제한조건 |δw| = |δRb| R a=58wl , R b=

38wl , MA=

wl 3

8

M max의 위치: x=58l Mmax =

9 ωl 2

128

일단고정 타단지지보에서 균일분포하중이 작용할 때

(고정단의 반력) R a=58wl , (지지단의 반력) R b=

38wl , (고정단의 반력모멘트) MA=

wl 3

8

2) 양단 고정보

① 집중하중을 받을 때

RA

MB

RB

PMA

a b

PMA MB

(그림1) (그림2) (그림3)

(θA1=P a b(l+b)

6lEI)= (θA2=

Ma l

3EI)+(θA3=

Ma l

6EI)......①식

(θB1=P a b(l+a)

6lEI)= (θB2=

Mb l

6EI)+(θB3=

Mb l

3EI).......②식

RA+RB=P⋅⋅⋅⋅⋅③식, ∑MA=0⋅⋅⋅⋅⋅④식 미지수 4개와 식 4개가 있으므로 반력, 반력모멘트를 구할 수 있다.

양단고정보에서 집중하중이 작용할 때

RA=Pb2

l 3(3a+b), RB=

Pa 2

l 3(3b+a), MA=

Pab2

l 2, MB=

Pba 2

l 2

여기서 a=b=l2일 경우 MA=MB=Mmax=

Pl8

=M중간단

② 균일분포 하중을 받을 때

δRb=

RBl3

3EI

Mbδ Rb

Rb

δMb=

MBl2

2EIRa RbδW=

wl 4

8EI

δw

w

<제한조건>

|δw+δMb|= |δRb| ( δW=wl 4

8EI)+( δMb=

MBl2

2EI)=( δRb=

RBl3

3EI)

힘의 평형조건과 모멘트의 평형조건으로

Ma=Mb=wl 2

12=Mmax, M중간단=

w l 2

24 R a=R b=

wl2


- 46 -

양단고정보에서 균일 분포하중이 작용할 때

(고정단의 굽힘모멘트) Ma=Mb=wl 2

12=Mmax, (중간단의 모멘트) M중간단=

w l 2

24

(지점의반력) R a=R b=wl2

l

BMD

BMD

RARB

P

l2

l2

SFD

+P/2

-P/2

-Pl8-

Pl8

+Pl8

RAR B

w

+wl2

-wl2

wl 2

12wl 2

12

-wl 2

24

3. 연속보

≡R a R b

w

δw

+R a R c R b

w

R c

δ Rc

제한조건 δw=δRc,5wl 4

384EI=

R cl3

48EI

∴ R c=5wl8

, R a=R b=3wl16

코일 스프링

P

D

d

여기서

D:코일의 평균직경

d: 코일의 소선직경

K:스프링상수[kg/Cm]

C:스프링지수

δ:스프링의 늘음량[Cm]

n:감김수

(1)스프링 상수 K

P=Kδ ,

K=Pδ[kg/cm]( 단위길이를 늘이는데 필요한 하중)

(2)스프링 지수 C , C=Dd

(3) 스프링에 생기는 전단응력


- 47 -

① (하중 P에 의해 생기는 전단응력) τ 1, τ 1=P

π4d 2

=4P

πd 2

② 비틀림에 의한 전단응력 τ 2, T=τ 2⋅ZP=P⋅R , τ 2=P⋅RZP

=P⋅R×16

πd 3

③ 최대 전단응력 τ max

τ max =8PDK'

πd 3 =8PCK'

πd 2 =8PC 3K'

πD 2 (Kwall의응력수정계수) K'=4C-14C-4

+0.615C

(4)스프링의 처짐량 δ

δ=R×θ=D2×

T⋅lG×IP

=8D 3nPG d 4 =

8C 3nPGd

=8C 4nPG D

(5)스프링의 연결

직 렬 연 결 병 렬 연 결

K1

K2

W

(등가스프링상수)Keq

1Keq

=1K1

+1K2

(늘음량) δ=WKeq

K1 K2

W

(등가스프링상수)Keq

Keq=K1+K2

(늘음량) δ=WKeq

(6)탄성에너지의 계산

w

δ

u=12wδ

U=12Pδ=

P2×

8D 3PnG d 4 =

4D 3P2nG d 4 =4×(

τπd 3

K'8D) 2

D 3n

Gd 4 W=τπD 3

K'8D

(τ=K' 8WD

πd 3 )에서 U=π4d 2×πDN× τ 2

4K2G=V× τ 2

4K'2G

판스프링

1)삼각판 스프링

(1)굽힘응력 σ b=6Wlb0h

2 , (2) 최대 처짐량 δ max =6Wl 3

b0h3E

2)겹판 스프링

삼각판스프링에서 l →l2, W→

W2

(1) 굽힘응력 σ b=3Wl

2nbh 2 (2)최대처짐량 σ max =3Wl 3

8nbh 3E

W

W2

W2

b:강판의 너비

b0:전체강판의 너비 b0=n×b

W:집중하중

E:탄성계수

n:판의 수

h:높이


- 48 -

제10장 기둥(column)

제10장에서 시험에 나오는 주요 유형 (암기를 해야만 1분30초에 한문제 해결가능함)☞

(세장비)λ=(기둥의길이)l

(최소회전반경)K=

lIA

D

원일 경우 K=D4

,

H

B 사각형일 경우 K= 작은길이2 3

(편심하중을 받는 기둥의 최대응력) σ max = σ n+σ b =PA

+MZ

(장주에 나타나는 좌굴하중) PB=nπ²EIl 2

, (장주에 나타나는 좌굴응력) σB=nπ²Eλ²

여기서, n :단말계수 EI:강성계수 l:기둥의 길이 λ:세장비

일단고정타단자유: n =1/4 양단회전: n=1 일단고정타단회전: n=2 양단고정: n=4

기둥의 종류

① 단주:세장비가 30이하인 기둥

② 장주:세장비가 160이상인 기둥 ,

(세장비)λ=(기둥의길이)l

(최소회전반경)K=

lIA

③ (최소회전반경) K

D

원일 경우 K=D4

,

H

B 사각형일 경우 K= 작은길이2 3

편심하중을 받는 단주 =PA

-MZ

≡σ b

σ b

σ n=PA

σ b=MZ

+σ maxσ n

ap

e

p M=P a

σ min

(기둥에 나타나는 최소응력) σ min = σ n-σ b =PA

-MZ

(기둥에 나타나는 최대응력) σ max =σ n+σ b =PA

+MZ

σ min＞ 0 일 때 항상 압축만 일어난다. σ b=MZ

σ min =PA

-MZ

=PA

-Pae×AI×A

=PA

(1-aeAI

)=PA

(1-aeAk²A

)

∴( 1-aek²

)＞ 0 일 때 압축만 발생 a=k²e

일 때 압축만 일어난다. (a=핵반경=핵심)이라 한다.


- 49 -

1)원형단면 일 때 핵심구하기

D /

8 (핵심)a=K²e

=

D²16D2

=D8

여기서 K2=IA

=

πD⁴64

πD²4

=D²16

2)사각단면 일때의 핵심 구하기

b6

h

b

h6

a y=Ky²

e=

h²12h2

=h6

Ky2=

IxA

=

bh³12bh

=h²12

a y=h6, a χ=

b6

장주: 긴 봉에 축방향 하중이 작용할 때 좌굴이 일어난다.

1.오일러의 공식(Euler's formula)

여기서, n : 단말계수 = 기둥의 고정계수

<일단고정타단자유> <양단회전> <일단고정타단회전> <양단고정>

n =1/4 n=1 n=2 n=4

(1)좌굴하중 PB=nπ²EIℓ²

(2)좌굴응력 σB =PB

A =

n π ²EIl 2

×1A

=n π ²EK²A

l 2×

1A

=n π ²EK²

l 2=

n π ²Eλ²

(3) Ps=PB

S 여기서, S:안전율 Ps:안전하중

(장주에 나타나는 좌굴하중) PB=nπ²EIl 2

, (장주에 나타나는 좌굴응력) σB=nπ²Eλ²

여기서, n :단말계수 EI:강성계수 l:기둥의 길이 λ:세장비


- 50 -

•재료역학 공식모음•

1 수직응력, 전단응력 σ=PA

, τ=P s

A ( P : 수직하중 Ps : 전단하중 )

2 수직변형률 ε=△ℓℓ

, ε '=△DD

(△ℓ : 세로 변형량 △D : 가로 변형량 )

3 전단변형률 γ=λ s

ℓ ( λ s : 전단 변형량 )

4 포와송의 비 μ=ε '

ε=

△ℓ×Dℓ×△D

=1m ( m : 포와송수 )

5 후크의 법칙 σ=E×ε , τ=G ×γ ( E : 종탄성계수 G : 횡탄성계수 )

6 길이 변형량 △ℓ=PℓAE

, λ s=P sℓ

AG, (△ℓ: 수직하중에 의한 변형량 , λ s : 전단하중에 의한 변형량 )

7 단면적 변형률 체적 변형률 εA=2 με , εv= ε(1-2μ)

8 탄성계수의 관계 1Em=2G(m+1)=3K(m-2)

9 두힘의 합성 F= F 12+F 2

2+2 F 1 F 2 cosθ

10 세힘의 합성(Lami의 정리) F 1

sin θ 1

=F 2

sin θ 2

=F 3

sin θ 3

11 응력의 관계 σw≤σ σ=σ u

S ( σw : 사용응력, σ σ : 허용응력, σ u : 극한응력, S : 안전율 )

12 응력집중 σ max = α× σ n ( α : 응력집중계수, σ n : 공칭응력 )

13 병렬조합 단면의 응력 σ 1=P E 1

A 1 E 1+ A 2 E 2

, σ 2=P E 2

A 1 E 1+ A 2 E 2

14 자중을 고려한 늘음량 δw=γℓ 2

2E=

W ℓ2AE ( γ : 비중량, W : 자중 )

15 열응력 σ=E ε th=E×α×△T (ε th : 열변형률, α : 선팽창계수, △T : 온도변화량 )

16 탄성에너지 U=12Pλ=

σ 2Aℓ2E , u=

σ 2

2E ( u : 최대탄성에너지 )

17 충격에 의한 응력, 늘음량 σ= σ 0 [1+ 1+2hλ 0

] , λ= λ 0 [1+ 1+2hλ 0

], ( σ 0 : 정적응력, λ 0 : 정적늘음량 )

18 내압을 받는 얇은 원통의 응력 σ y=PD2t

, σx=PD4t

( P : 압력, D : 내경, t : 두께 )

19 얇은 회전체의 응력 σ y=γv 2

g ( γ : 비중량, v :원주속도 )

20 단순응력 상태의 경사면 수직응력 σ n= σ x cos2θ

21 단순응력 상태의 경사면 전단응력 τ=12

σxsin2θ

22 2축응력 상태의경사면 수직응력 σ 'n=

12( σ x+ σ y )+

12( σ x- σ y ) cos2θ

23 2축응력 상태의경사면 전단응력 τθ=12( σ x- σ y ) sin2θ

24 평면응력 상태의 최대, 최소 주응력 σ 1,2=12( σ x+ σ y )±

12

(σx-σ y )2+4τ 2

25) 평면의 성질 공식 정리

수학적표현 공 식도형의 종류

사각형 중실축 중공축

단면

1차

모멘트

Q y=⌠⌡xdA

Qx=⌠⌡xdA

y=A 1 y 1+ A 2 y 2

A 1+ A 2

x=A 1 x 1+ A 2 x 2

A 1+ A 2

y=h2

x =b2

y= x=d2

내외경비:

x=d 1 (내경)

d 2 (외경)

단면

2차

모멘트

Ix=⌠⌡y2dA

I y=⌠⌡x2dA

K x=I x

A

K y=I y

A

I x=bh 3

12

I y=hb 3

12

I x= I y=πd 4

64 I x= I y=πd 2

4

64(1-x4 )

극단면

2차

모멘트

I p=⌠⌡r 2dA I p= I x+ I y I p=

bh12

(b2+h 2) I p=πd 4

32 I p=πd 2

4

32(1-x4 )

단면

계수Z=

I xC

Z=Mσ b

Z x=bh 2

6 Z y=

hb2

6Z x=Z y=

πd 3

32 Z x=Z y=πd 2

3

32(1-x4 )

극단면

계수Z p=

IPC

Z p=Tτ a

Z p=πd 3

16 Z p=πd 2

3

16(1-x4 )


- 51 -

26 토크와 전단응력의 관계 T= τ×ZP= τ×πd 3

16

27 토크와 동력과의 관계

T=716.2×HPS

N[kg⋅m]=7018.76×

HPS

N[J]

T=974×HKW

N[kg⋅m]=9545.2 ×

HKW

N[J]

28 비틀림각 θ=TℓGI p

[γad] ( G :횡탄성계수 )

29. 보공식 정리

보의 종류 반 력 최대굽힘모멘트 Mmax 최대 굽힘각 θ max 최대처짐량 δ max

M0

― Mo Moℓ

EI Moℓ2

2EI

P

R b=P Pℓ Pℓ 2

2EI Pℓ 3

3EI

wR b=wℓ wℓ 2

2 wℓ 3

6EI wℓ 4

8EI

△ △

M0 R a=R b=M0

ℓ Mo

θA=Moℓ

3EI

θB=Moℓ6EI

Moℓ2

9 3EI

x=ℓ3

일때

△ △

PR a=R b=

P2

Pℓ4 Pℓ 2

16EI Pℓ 3

48EI

△ △a b

P R a=Pbℓ

R b=Paℓ

Pabℓ

θA=Pab(ℓ+b)

6ℓEI

θB=Pab(ℓ+a)

6ℓEI

δ c=Pa 2b2

3ℓEI

△ △

wR a=R b=

wℓ2 wℓ 2

8 wℓ 3

24EI 5wℓ 4

384EI

△△

w R a=wℓ 2

6

R b=wℓ 2

3

wℓ 2

9 3 - -

△

P R a=5P16

R b=11P16

MA=Mmax=316

pℓ - -

△

w R a=3wℓ8

R b=5wℓ8

9wℓ 2

128 x=

5ℓ8

일때 - -

a b

PR a=

Pb2

ℓ 3 (3a+b) MA=Pb2aℓ 2 MB=

Pa 2bℓ 2 a=b=

ℓ2

일때 Pℓ 2

64EI a=b=ℓ2

일때 Pℓ 3

192EI

wR a=R b=

wℓ2

MA=MB=wℓ 2

12

(중간단의모멘트) wℓ 2

24

wℓ 3

125EI wℓ 4

384EI

△△△A C B

R a=R b=3wℓ16

R c=5wℓ8

Mc=wℓ 2

32 - -

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하중,응력,변형률 - 세인에듀seinedu.co.kr/save_data/study/10639_2.pdf · 세인에듀 () 사이버국가자격 평생교육원 - 1 - 하중,응력,변형률 제1장에서