고등학교 확률과 통계 수업교재 - iseulbee.com · [3] 이슬비, 고등학생을 위한 고급미적분학, 수학 나라의 앨리스 (2013) [4] 황선욱 외 12인, 고등학교

AN INTRODUCTION TO

PROBABILITY AND STATISTICS

확률과�통계개념 핵심정리 + 필수문제

이슬비,� 2018

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이 책은 비상교육에서 출판한

중학교 교과서와 고등학교 확률과 통계 교과서의 내용을

재구성하여 제작되었습니다.

2018년 5월 30일 수정

머 리 말

수학은 자연 현상을 추상화하고 본질을 분석하여 숨어있는 원리를 발견하고 미래를 예측하는 학문입니다. 특히

확률과 통계는 우리의 삶에 나타나는 현상을 수학적으로 분석하고 경향성을 파악하여 그 본질을 찾아냄으로써

자연과학뿐만 아니라 사회과학에서도 그 응용 분야가 넓은 과목입니다.

이 책은 확률과 통계의 기초 내용을 담은 교재로서, 학교 수업과 병행하여 예습용 또는 복습용으로 사용할 수 있

습니다. 확률과 통계의 내용을 15개의 주제로 나누고, 각 주제별로 ‘개념 핵심정리’와 기초적인 필수 문제를 선정

하여 실었습니다. 또한 확률과 통계를 공부하기 위해 필요한 4개 주제를 함께 실어 이전 학년도의 수학 지식이

부족한 경우에도 이 책을 통해 원활히 학습할 수 있도록 하였습니다.

이 책이 기초 수학을 공부하는 많은 분들께 도움이 되기를 바랍니다.

이슬비

01 순열과�조합 10~27쪽

01. 경우의 수 ····················································· 10

02. 문자의 사용과 식의 값 ································ 14

03. 순열 ······························································ 16

04. 조합 ······························································ 20

05. 식의 계산 ····················································· 24

06. 이항정리 ······················································· 26

02 확률 28~39쪽

07. 집합의 연산 ·················································· 28

08. 확률의 뜻 ····················································· 30

09. 확률의 성질 ·················································· 32

10. 조건부확률 ···················································· 36

11. 사건의 독립과 종속 ····································· 38

03 통계와�확률분포 40~63쪽

12. 자료의 정리 ·················································· 40

13. 이산확률변수 ················································ 44

14. 이항분포 ······················································· 48

15. 다항함수의 미적분 ······································· 50

16. 연속확률변수 ················································ 54

17. 정규분포 ······················································· 56

18. 표본평균과 표본비율 ···································· 60

19. 모평균과 모비율의 추정 ······························ 62

부록 64쪽

∙ 표준정규분포표 ················································ 64

참고문헌

[1] 김원경 외 11인, 고등학교 확률과 통계 교과서, 비상교육 (2014)

[2] 김원경 외 8인, 중학교 수학 교과서, 비상교육 (2014)

[3] 이슬비, 고등학생을 위한 고급미적분학, 수학 나라의 앨리스 (2013)

[4] 황선욱 외 12인, 고등학교 미적분과 통계 기본 교과서, 좋은책 신사고 (2009)

• 이 책은 비상교육에서 출판한 고등학교 확률과 통계 교과서의 내용을 재구성하여 제작되었습니다.

• 이 책은 네이버에서 제공한 나눔글꼴이 사용되었습니다.

차례 _ Contents

10 고등학교�확률과�통계

1 오른쪽 그림과 같이 부터 까지의 자연수가 각각 적힌 구슬 개

가 들어 있는 상자에서 구슬 한 개를 임의로 꺼낼 때, 다음 경우의

수를 구하여라.

⑴ 의 배수가 적힌 구슬이 나오는 경우의 수

⑵ 이하 또는 이상인 수가 적힌 구슬이 나오는 경우의 수

⑶ 짝수가 아닌 수가 적힌 구슬이 나오는 경우의 수

2 제주도에 있는 올레길 코스 개와 한라산 등반 코스 개 중에서 한 코스만을 골라 걷기로

하였다. 이때 코스를 고를 수 있는 모든 경우의 수를 구하여라.

0101경우의�수경우의�수

풀이 118쪽

개념 핵심정리 (1) 경우의 수

① 시행 : 같은 조건에서 반복할 수 있는 실험이나 관찰.

② 사건 : 시행에 의하여 나타나는 결과.

③ 경우의 수 : 사건이 일어나는 가짓수.

(2) 경우의 수의 계산

① 여사건 (반대 사건)

(사건 가 일어나지 않을 경우의 수)(전체 경우의 수)(사건 가 일어나는 경우의 수)

② 합의 법칙

한 번의 시행에서 두 사건 , 가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 가 일어나는 경우의 수가

, 사건 가 일어나는 경우의 수가 일 때,

(사건 또는 사건 가 일어나는 경우의 수) = .

③ 곱의 법칙

두 번의 시행에서, 사건 가 일어나는 경우의 수가 , 그 각각에 대하여 사건 가 일어나는

경우의 수가 일 때,

(사건 와 사건 가 모두 일어나는 경우의 수) = × .

1101.� 경우의�수

3 오른쪽 그림과 같이 등분한 서로 다른 원판 두 개에 부터

까지의 수가 각각 적혀 있다. 두 원판이 각각 돌다가 멈출

때, 두 원판의 각 바늘이 가리킨 수의 합이 또는 가 되는

모든 경우의 수를 구하여라. (단, 바늘이 경계선을 가리키는

경우는 생각하지 않는다.)

4 주영이는 매점에서 파는 간식 중 김밥, 샌드위치, 삶은 달걀 중에서

한 가지와 주스, 우유, 생수 중에서 한 가지를 선택하여 사려고 한다.

주영이가 간식을 선택할 수 있는 모든 경우의 수를 구하여라.

5 네 개의 숫자 , , , 중에서 숫자 두 개를 동시에 뽑아 만들 수 있는 두 자리의 자연수는

모두 몇 개인지 구하여라.

6 네 명의 후보자 중에서 다음과 같이 2명을 뽑는 모든 경우의 수를 구하여라.

⑴ 회장 1명과 부회장 1명

⑵ 대표 2명


7 두 개의 주사위 A, B를 던질 때 A 또는 B에서 홀수의 눈이 나오는 경우의 수를 구하여라.

8 한 개의 주사위를 던질 때 나온 눈의 수가 짝수이면서 동시에 3의 배수인 경우의 수를 구하여라.

9 크기가 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 또는 인 경우의

수를 구하여라.

10 부터 까지의 자연수 중에서 의 배수 또는 의 배수의 개수를 구하여라.

1301.� 경우의�수

11 선아는 주머니 속에 원짜리 동전 개, 원짜리 동전 개, 원짜리 동전 개를 가지고 있

다. 이 동전을 사용하여 원짜리 음료수 한 개를 사려고 할 때, 지불할 수 있는 모든 방법의 수

를 구하여라.

12 오른쪽 그림과 같은 도로가 있다. 집에서 출발하여 문구

점을 거쳐 도서관까지 가는 모든 경우의 수를 구하여라.

(단, 같은 지점을 두 번 이상 지나지 않는다.)

13 다음 수의 약수의 개수를 구하여라.

⑴ ⑵

Self Check! 공부한 날짜는 20 년 월 일 복습한 날짜는 20 년 월 일

공부한 내용은 □ 쉬웠어요! □ 보통이었어요! □ 어려웠어요! (어려운 내용은 꼭 복습합시다!)

꼭 기억하고 싶은 내용을 아래에 적어봅시다.


1 다음을 곱셈 기호를 생략하여 간단하게 나타내어라.

⑴ × × ⑵ ×

⑶ × ⑷ × ×

⑸ × × × × ⑹ × × × × ×

⑺ × ⑻ ×

2 다음을 나눗셈 기호를 생략하여 간단하게 나타내어라.

⑴ ÷ ⑵ ÷

⑶ ÷ ⑷ ÷

⑸ ÷ ⑹ × ÷

⑺ ÷ ⑻ ÷

3 다음을 곱셈 기호와 나눗셈 기호를 생략하여 간단하게 나타내어라.

⑴ ÷ × ⑵ × ÷

⑶ × ÷ ⑷ × ÷

0202문자의�사용과�식의�값�문자의�사용과�식의�값� 복습내용

풀이 118쪽

개념 핵심정리 (1) 곱셈 기호의 생략

① 수와 문자 사이의 곱에서는 곱셈 기호 ×를 생략하고 수는 문자 앞에 쓴다.

� × , × , × , ×

② 문자와 문자의 곱에서는 곱셈 기호 ×를 생략하고, 문자는 보통 알파벳 순서로 쓴다.

� × × × ×

③ 같은 문자의 곱에서는 곱셈 기호 ×를 생략하고, 거듭제곱으로 나타낸다.

� × × × ×

④ 괄호가 있는 곱셈에서는 곱해지는 수나 문자를 괄호 앞에 쓴다.

� × , ×

(2) 나눗셈 기호의 생략 : 나눗셈 기호 ÷를 생략할 때에는 분수의 꼴로 나타낸다.

� ÷

, ÷

(3) 식의 값 : 문자를 포함한 식에서 문자 대신 수를 바꾸어 넣는 것을 대입이라고 부르며, 문자에 수를

대입하여 계산한 결과를 식의 값이라고 부른다.

� 식 에 를 대입하면 식의 값은 × 이다.

1502.� 문자의�사용과�식의�값

4 다음을 기호 ×, ÷를 생략한 식으로 나타내어라.

⑴ 자루에 원인 연필 한 자루의 값

⑵ 원짜리 동전 개와 원짜리 동전 개를 합한 금액

⑶ 쪽인 책을 하루에 쪽씩 일 동안 읽었을 때, 남은 쪽수

5 다음을 구하여라.

⑴ 일 때, 의 값

⑵ 일 때, 의 값

6 일 때 다음 식의 값을 구하여라.

⑴ ⑵

⑶

⑷

7 , 일 때, 다음 식의 값을 구하여라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷





1 경훈이는 4종류의 아이스크림 A, B, C, D 중에서 서로 다른 두 종류를 골라

콘 위에 순서대로 얹으려고 한다. 이때 얹는 모든 방법의 수를 구하여라.

2 다음 값을 구하여라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷


⑴ P ⑵ P

⑶ P ⑷ P

0303순열순열

풀이 118쪽

개념 핵심정리 (1) 계승 : 부터 까지의 자연수를 차례로 곱한 것을 로 나타낸다. ( 팩토리얼)

� × × × � × × × × × ×

※ 단, 인 것으로 약속한다.

(2) 순열 : 서로 다른 개의 물건 중 개를 택하는 경우의 수를 순열이라고 부르며 P로 나타낸다.

① P

② P ③ P

� P × � P × ×

(3) 여러 가지 순열

① 원순열 : 서로 다른 개의 물건을 원형으로 배열하는 방법의 수는

.

② 중복순열 : 서로 다른 개의 물건에서 개를 택하는 중복순열의 수는 ∏ .

③ 같은 것이 있는 순열 : 개 중에서 같은 것이 각각 , , 개씩 있을 때 개를 모두 일렬로

배열하는 순열의 수는

. (단, )

1703.� 순열

4 다음 경우의 수를 구하여라.

⑴ 10명의 후보 중에서 반장, 부반장, 총무를 각각 1명씩 선출하는 모든 방법의 수

⑵ 서로 다른 8개의 상자에 서로 다른 5개의 공을 넣을 때, 각 상자에 많아야 한 개의 공을

넣는 모든 방법의 수

5 원탁회의는 6세기 무렵 영국의 아서왕이 기사들과 상하 구별 없이 원탁

에 앉아 회의를 한 것에서 유래되었다고 한다. 4명의 기사 A, B, C, D가

회의를 할 때, 원탁에 둘러앉는 방법의 수를 구하여라.

6 다음 경우의 수를 구하여라.

⑴ 다섯 종류의 놀이기구 중에서 중복을 허락하여 3개를 순서대로 타는 모든 방법의 수

⑵ 서로 다른 6개의 어항에 서로 다른 4마리의 물고기를 넣는 모든 방법의 수


7 중복을 허락하여 5개의 숫자 0, 1, 2, 3, 4로 만들 수 있는 다섯 자리 자연수 중에서 짝수의 개수

를 구하여라.

8 5개의 문자 를 일렬로 배열하는 모든 경우의 수를 구하여라.

9 모양과 크기가 같은 빨간 깃발 2개, 파란 깃발 3개, 노란 깃발 2개를 모두 일렬로 배열하여 만들

수 있는 신호의 수를 구하여라.

10 부모와 아들 1명, 딸 3명이 원탁에 둘러앉을 때, 아들 양옆에 부모가 앉는 모든 방법의 수를 구하

여라.

1903.� 순열

11 오른쪽 그림과 같은 도로망이 있다. 지점 P에서 지점 Q까지 가는

최단 경로의 수를 구하여라.

12 오른쪽 그림과 같은 도로망이 있다. 지점 P에서 지점 R를 거쳐

지점 Q까지 가는 최단 경로의 수를 구하여라.

13 6개의 문자 C, O, F, F, E, E를 일렬로 배열할 때, 문자 C가 짝수 번째에 오는 모든 배열의 수를

구하여라.






⑴ C ⑵ C

⑶ C ⑷ C

2 다음을 구하여라.

⑴ 명의 학생 중에서 임원 3명을 선출하는 모든 방법의 수

⑵ 서로 다른 8개의 상자에 똑같은 5개의 공을 넣을 때, 각 상자에 많아야 한 개의 공을 넣는

모든 방법의 수

0404조합조합

풀이 118쪽

개념 핵심정리 (1) 조합 : 서로 다른 개의 물건에서 순서를 생각하지 않고 개를 택하는 경우의 수를 조합이라고

부르며 C로 나타낸다.

① C P

② C

� C ×

× � C × ×

× ×

(2) 중복조합 : 서로 다른 개에서 중복을 허락하여 개를 택하는 조합을 중복조합이라고 부르며 H로

나타낸다. 중복조합은 H C로 계산한다.

(3) 분할

① 집합의 분할 : 원소의 개수가 인 집합을 개의 부분집합으로 분할할 때, 이 분할의 수를 기호로

로 나타낸다.

② 자연수의 분할 : 자연수 을 개의 자연수로 분할할 때, 이 분할의 수를 기호로 로 나타

낸다.

2104.� 조합

3 남학생 7명과 여학생 3명 중에서 학생 4명을 뽑아 봉사활동을

가려고 할 때, 다음을 구하여라.

⑴ 학생 4명을 뽑는 경우의 수

⑵ 남학생 2명과 여학생 2명을 뽑는 경우의 수

4 오른쪽 그림은 큰 직사각형을 작은 정사각형 12개로 등분한 것이다.

이 그림에 있는 선분만을 이용하여 만들 수 있는 사각형 중에서 정사

각형이 아닌 직사각형의 개수를 구하여라.


⑴ H ⑵ H

6 다음 방법의 수를 구하여라.

⑴ 다섯 종류의 과일 중에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 모든 방법의 수

⑵ 서로 다른 6개의 상자에 똑같은 5개의 공을 넣는 모든 방법의 수


7 방정식 에 대하여 다음을 구하여라.

⑴ 음이 아닌 정수해의 개수

⑵ 양의 정수해의 개수

8 1부터 20까지의 자연수 중에서 서로 다른 3개의 자연수를 뽑을 때, 홀수와 짝수가 모두 포함되는

경우의 수를 구하여라.


⑴ ⑵

⑶ ⑷

2304.� 조합

10 똑같은 3개의 상자에 똑같은 10개의 공을 넣을 때, 빈 상자가 없도록 넣는 모든 방법의 수를

구하여라.


⑴ ⑵

⑶ ⑷

12 똑같은 4개의 상자에 서로 다른 6개의 공을 넣을 때, 빈 상자가 없도록 넣는 모든 방법의 수를

구하여라.





1 다음을 계산하여라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸ ⑹

2 다음을 계산하여라.

⑴ × ⑵ ×

⑶ ×

⑷ ×

⑸

× ⑹ ×

3 다음 식을 간단히 하여라.

⑴ ⑵ ⑶

⑷ ⑸ ⑹

0505식의�계산�식의�계산� 복습내용

풀이 118쪽

개념 핵심정리 (1) 지수법칙 : 수 , 와 자연수 , 에 대하여 다음이 성립한다.

① ② ÷

③ ④

⑤

(2) 단항식의 계산

① 문자와 차수가 같은 항을 동류항이라고 부른다.

② 동류항끼리 더하거나 뺄 때에는 계수만 더하거나 뺀다.

③ 단항식의 곱셈과 나눗셈은 지수법칙을 이용하여 계산한다.

(3) 다항식의 계산

① ②

③ ④

⑤ ⑥

⑦ ⑧

2505.� 식의�계산

4 다음 덧셈과 뺄셈을 계산하여라.

⑴

⑵

⑶

⑷

5 지수법칙을 이용하여 다음을 간단히 하여라.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸ × ⑹ ÷

⑺ × × ⑻ × ÷

6 다음 식을 전개하여라.

⑴

⑵

⑶

⑷

7 다음 식을 전개하여라.

⑴

⑵

⑶

⑷





1 의 전개식을 구하여라.



4

의 전개식에서 상수항을 구하여라.

0606이항정리이항정리

풀이 118쪽

개념 핵심정리 (1) 이항정리 : 이 자연수일 때 다음이 성립한다.

C C C ⋯ C

위 식에서 C를 이항계수라고 부른다.

(2) 파스칼의 삼각형

2706.� 이항정리

5

의 전개식에서 의 계수를 구하여라.

6

의 전개식에서 상수항을 구하여라.

7 파스칼의 삼각형을 이용하여 의 전개식을 구하여라.

8 이 자연수일 때, 다음 등식이 성립함을 보이려고 한다.

C C C ⋯ C

빈칸에 알맞은 내용을 써 넣어라.

이항정리를 이용하여 을 전개하면 다음과 같다.

이 식의 양변에 을 대입하면 다음과 같다.

C C C ⋯ C





1 세 집합 , , 에 대하여 다음을 구하여라.

(단, 전체집합은 모든 자연수의 집합이다.)

⑴ ∪ ⑵ ∩

⑶ ∩∩ ⑷ ∩

2 집합 { 은 미만의 소수}의 부분집합을 모두 구하여라.

3 집합 에 대하여 ∩ , 을 만족시키는 집합 의 개수를

구하여라.

0707집합의�연산�집합의�연산� 복습내용

풀이 118쪽

개념 핵심정리 (1) 집합의 뜻

① 집합 : 명백하게 구분되는 대상을 모아놓은 것.

② 원소 : 가 에 속할 때 기호로 ∈로 나타낸다. 이때 를 의 원소라고 부른다.

③ 원소나열법 : 와 같이 원소를 나열하여 집합을 나타내는 방법.

④ 조건제시법 : 와 같이 조건을 제시하여 집합을 나타내는 방법.

⑤ 부분집합 : 집합 의 원소가 모두 에도 속할 때 ‘는 의 부분집합이다’라고 말하고,

기호로 ⊂ 로 나타낸다.

⑥ 공집합 : 원소를 가지고 있지 않은 집합을 공집합이라고 부르며 ∅으로 나타낸다.

⑦ 원소의 개수 : 집합 의 원소의 개수를 로 나타낸다.

(2) 집합의 연산

① 합집합 : ∪ ∈ 또는 ∈

② 교집합 : ∩ ∈ 그리고 ∈

③ 차집합 : ∈ 그리고 ∉

(3) 전체집합과 여집합

① 전체집합 : 대상이 되는 영역의 부분집합을 생각할 때, 대상이 되는 영역을 전체집합이라고 부른다.

② 여집합 : 에 속하지 않는 원소들의 모임을 의 부분집합이라고 부르며 로 나타낸다.

즉 전체집합이 일 때, 이다.

� ‘유리수가 아닌 수는 무리수이다’라고 말할 때 전체집합은 모든 실수의 집합이다.

2907.� 집합의�연산

4 두 집합 , 에 대하여 ∩ 일 때, 실수 의

값을 구하여라.

5 , 일 때, 집합 ∈ ∈ 의 부분집합의 개수를 구하여라.

6 전체집합 의 두 부분집합 , 에 대하여 ⊂ 일 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

① ∩ ② ∪ ③ ∅

④ ⊂ ⑤ ∩

7 공집합이 아닌 두 집합 , 가 있을 때, 다음 중 ∪ 과 같은 집합은?

① ∪ ② ∩ ③ ∩

④ ⑤

8 명의 학생에게 A , B 두 문제를 풀게 하였더니 A를 푼 학생은 명, B를 푼 학생은 명,

A와 B 중 하나도 풀지 못한 학생은 명이었다. 이때 A만 푼 학생의 수를 구하여라.





1 주사위 한 개를 던져 나오는 눈의 수를 확인하는 시행에서 다음을 구하여라.

⑴ 표본공간

⑵ 짝수의 눈이 나오는 사건

⑶ 근원사건

2 어느 실험 연구에 의하면 빛만 비추었을 때 토종 민들레는 씨앗 개 중에서 개가 발아한다고

한다. 이 실험과 같은 조건에서 토종 민들레 씨앗이 발아할 확률을 구하여라.

3 모양과 크기가 같은 카드 장에 오른쪽 그림과 같이 봉사

활동 내용이 적혀 있다. 이 중에서 카드 한 장을 임의로

뽑을 때, 재능 기부가 적힌 카드가 뽑힐 확률을 구하여라.

0808확률의�뜻확률의�뜻

풀이 118쪽

개념 핵심정리 (1) 시행과 사건

① 시행 : 동일한 조건 아래에서 여러 번 반복할 수 있으며 그 결과가 우연에 의하여 결정되는

실험이나 관찰.

② 표본공간 : 어떤 시행에서 나올 수 있는 모든 결과들의 집합.

③ 사건 : 표본공간의 부분집합.

④ 근원사건 : 표본공간의 부분집합 중에서 한 개의 원소로 이루어진 사건.

(2) 확률

① 확률의 표현 : 어떤 시행에서 사건 가 일어날 확률을 기호로 P 로 나타낸다.

② 수학적 확률 : 어떤 시행의 표본공간 가 유한집합이고 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두

같을 때, 사건 가 일어날 확률은 다음과 같다.

P 표본공간 의 원소의 개수

사건 의 원소의 개수

③ 통계적 확률 : 어떤 시행을 번 반복할 때 사건 가 번 일어났다고 하자. 이때 을 한없이 크게

함에 따라 상대도수

이 일정한 값 에 가까워지면 를 사건 가 일어날 통계적 확률이라고

부른다.

3108.� 확률의�뜻

4 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 두 눈의 수의

합이 일 확률을 구하여라.

5 두 명의 학생이 가위바위보를 한 번 할 때, 비길 확률을 구하여라.

6 세 명의 학생이 가위바위보를 한 번 할 때, 승부가 나지 않을 확률을

구하여라.

7 다음 두 학생의 대화에서 옳지 않은 부분을 찾고, 그 이유를 설명하여라.





1 주사위 한 개를 던지고 나온 눈의 사건을 확인하는 시행에서 다음 사건을 집합으로 나타내고,

서로 배반사건인 것을 구하여라.

⑴ 짝수의 눈이 나오는 사건

⑵ 의 약수의 눈이 나오는 사건

⑶ 홀수의 눈이 나오는 사건

⑷ 의 배수의 눈이 나오는 사건

2 부터 까지의 자연수가 각각 적힌 공 개가 들어 있는 주머니에서 임의로 공 한 개를 꺼낼 때

다음 물음에 답하여라.

⑴ 공에 적힌 수가 의 배수인 사건 를 구하여라.

⑵ 공에 적힌 수가 의 배수인 사건 를 구하여라.

⑶ 와 가 배반사건인지 확인하여라.

⑷ 의 여사건과 의 여사건을 각각 구하여라.

0909확률의�성질확률의�성질

풀이 118쪽

개념 핵심정리 (1) 확률의 기본 성질

① 임의의 사건 에 대하여 ≤ P ≤ .

② 표본공간 에 대하여 P .

③ 절대로 일어나지 않는 사건 ∅에 대하여 P∅ .

(2) 배반사건과 여사건

① 배반사건 : 서로 동시에 일어날 수 없는 사건을 배반사건이라고 부른다.

(즉 ∩ ∅일 때 두 사건 와 를 배반사건이라고 부른다.)

② 여사건 : 어떤 사건 에 대하여, 가 일어나지 않는 사건을 의 여사건이라고 부른다.

(즉 를 의 여사건이라고 부른다.)

③ 여사건의 확률 : 사건 에 대한 여사건 의 확률은 P P .

(3) 확률의 덧셈정리

① 두 사건 , 에 대하여 P ∪ P P P ∩ .

② 두 사건 , 가 서로 배반사건이면 P∪ P P .

3309.� 확률의�성질

3 개의 숫자 , , , 가 각 면에 적힌 정사면체 한 개를 두 번 던질 때, 바닥과 닿은 면에

적힌 수의 합이 인 사건을 , 수가 모두 홀수인 사건을 라 하자. 다음 물음에 답하여라.

⑴ 두 사건 , 가 서로 배반사건인지 판별하여라.

⑵ ∪ 의 여사건을 구하여라.

4 바구니 안에 모양과 크기가 같은 포도 맛 사탕 개와 딸기 맛 사탕

개가 들어 있다. 이 바구니에서 사탕 한 개를 임의로 꺼낼 때,

다음을 구하여라.

⑴ 포도 맛 사탕이 나올 확률

⑵ 오렌지 맛 사탕이 나올 확률

⑶ 포도 맛 또는 딸기 맛 사탕이 나올 확률

5 흰 공 개와 검은 공 개가 들어 있는 주머니에서 임의로 공 개를 동시에 꺼낼 때, 다음을

구하여라.

⑴ 흰 공이 개 나올 확률

⑵ 검은 공이 개 이상 나올 확률

6 어느 회사의 제품 개 중에는 불량품 개가 들어 있다고 한다. 이들 제품 중에서 제품 한 개를

임의로 고를 때, 합격품이 나올 확률을 구하여라.

7 농구 동아리 회원인 장훈이의 자유투 성공률은 라고 한다.

장훈이가 자유투를 던질 때, 실패할 확률을 구하여라.


8 서로 다른 두 개의 동전을 동시에 던질 때, 적어도 한 개는

앞면이 나올 확률을 구하여라.

9 ○, ×로 답하는 시험에서 두 문제의 답을 임의로 선택할 때, 두 문제 중에서 적어도 한 문제는 맞

힐 확률을 구하여라.

10 오른쪽 그림과 같이 서로 다른 주머니 두 개에 , , , , 의

수가 각각 적힌 공 개가 들어 있다. 두 주머니에서 각각 공 한

개를 임의로 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적힌 수가 서로 다를 확률을 구

하여라.

11 게임 카드 장 중에는 K카드 장, Q카드 장이 들어 있다. 이

카드를 잘 섞어 한 장을 임의로 뽑을 때, K 또는 Q 카드가 뽑힐

확률을 구하여라.

12 어떤 오디션 프로그램에서 두 참가자 A , B가 본선에 진출할 확률이 각각

,

일 때, 참가자

A만 본선에 진출할 확률을 구하여라.

13 주머니 속에 파란 구슬 개와 흰 구슬 개가 들어 있다. 이 주머니에서

구슬 한 개를 꺼내 색을 확인하고 주머니에 다시 넣은 후 다시 한 개를

꺼낼 때, 두 구슬의 색이 서로 다를 확률을 구하여라.

3509.� 확률의�성질

14 흰 공 개와 노란 공 개가 들어 있는 주머니에서 임의로 공 개를 동시에 꺼낼 때, 적어도 한

개가 노란 공일 확률을 구하여라.

15 현아, 보검, 백진의 생일은 모두 월이다. 이 세 연예인 중 생일이 같은 사람이 있을 확률을 구하

여라.

16 일기예보에 따르면 어느 지역에서 토요일에 비가 올 확률은 이고, 일요일에 비가 올 확률은

라고 한다. 이 지역에서 토요일에는 비가 오고, 일요일에는 비가 오지 않을 확률을 구하여라.

17 은정이가 문제 A를 풀 확률이

, 문제 B를 풀 확률이

일 때, 두 문제 중에서 적어도 한 문제

를 풀 확률을 구하여라.

18 세 번의 경기 중에서 두 번을 먼저 이기면 승리하는 게임이 있다. 한 경기에서 A팀이 B팀을 이길

확률이

라고 할 때, A팀과 B팀의 게임에서 A팀이 승리할 확률을 구하여라. (단, 비기는 경우

는 없다.)





1 각 면에 부터 까지 수가 적인 정십이면체 주사위 한 개를 던져

나오는 눈의 수를 확인하는 시행에 대하여 다음 물음에 답하여라.

⑴ 표본공간을 구하여라.

⑵ 짝수의 눈이 나오는 사건 를 구하여라.

⑶ 의 배수의 눈이 나오는 사건 를 구하여라.

⑷ P 와 P를 각각 구하여라.

⑸ P 와 P 를 각각 구하여라.

2 서울과 제주 간을 운항하는 어느 항공사의 비행기가 정시에 출발하는 사건을 , 정시에 도착하는

사건을 라고 하면 P , P∩ 이라고 한다. 이 비행기가 정시에 출발하였다고

할 때, 정시에 도착할 확률을 구하여라.

3 어느 학급 학생 전체의

이 일손 돕기 봉사 활동에 참여하는데 참여하는 남학생이 학급 학생

전체의

라고 한다. 이 학급에서 임의로 뽑은 학생 한 명이 일손 돕기 봉사 활동에 참여하는

학생이었을 때, 그 학생이 남학생일 확률을 구하여라.

1010조건부확률조건부확률

풀이 118쪽

개념 핵심정리 (1) 조건부확률 : 사건 가 일어났다는 조건 아래에서 사건 가 일어날 확률을 사건 가 일어났을 때

의 사건 의 조건부확률이라고 부르고, 기호로 P 로 나타낸다. (단, P 일 때)

P P

P∩

(2) 확률의 곱셈정리 : 두 사건 , 가 동시에 일어날 확률은

P∩ P P PP .

3710.� 조건부확률

4 어느 분식점 손님 전체의

이 학생이라고 한다. 그리고 손님 전체의

이 여자이고,

이 여자

이거나 학생이라고 한다. 이 분식점에서 임의로 뽑은 손님 한 명이 여자이었을 때, 그 손님이

학생일 확률을 구하여라.

5 당첨 제비 개를 포함하여 제비 개가 들어 있는 통에서 수종이와 종현이가

차례로 제비를 한 개씩 뽑는다고 한다. 한 번 뽑은 제비는 다시 넣지 않을 때,

수종이와 종현이가 모두 당첨 제비를 뽑을 확률을 구하여라.

6 검은 바둑돌 개와 흰 바둑돌 개가 들어 있는 통에서 임의로 바둑돌을 한 개씩

두 번 꺼내려고 한다. 한 번 꺼낸 바둑돌은 다시 넣지 않을 때, 꺼낸 바둑돌이

모두 검은 바둑돌일 확률을 구하여라.

7 어느 회사는 두 공장 A , B에서 각각 전체 제품의 , 를 생산하는데 두 공장 A , B의

불량률이 각각 , 라고 한다. 두 공장에서 생산된 제품 중에서 임의로 고른 제품 한 개가

불량품이었을 때, 이 제품이 A 공장에서 생산되었을 확률을 구하여라.





1 주사위 한 개를 던질 때, 짝수의 눈이 나오는 사건을 , 소수의 눈이 나오는 사건을 , 이하의

눈이 나오는 사건을 라고 하자. 이때 두 사건 와 , 두 사건 와 가 서로 독립인지 종속인

지를 각각 말하여라.

2 남학생 명, 여학생 명으로 구성된 상민이네 반에서 애완동물을 기르는 남학생과 여학생은 각

각 명, 명이라고 한다. 이 반 학생 중에서 임의로 학생 한 명을 뽑을 때, 그 학생이 여학생인 사

건을 , 애완동물을 기르는 학생인 사건을 라고 하자. 이때 두 사건 와 가 서로 독립인지

종속인지를 말하여라.

3 표본공간 의 두 사건 , 에 대하여 P P 일 때, 두 사건 와 가 서로 독

립인지 종속인지를 말하여라. (단, P , P )

1111사건의�독립과�종속사건의�독립과�종속

풀이 118쪽

개념 핵심정리 (1) 사건의 독립과 종속

① 두 사건 , 에 대하여 P P 일 때, 두 사건 , 는 서로 독립이라고 한다.

② 두 사건이 서로 독립이 아닐 때, 두 사건은 서로 종속이라고 한다.

(2) 사건이 독립일 조건 : 사건 와 사건 가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은

P∩ P P . (단, P , P 일 때.)

(3) 독립시행 : 어떤 시행을 반복할 때, 각 시행마다 일어나는 사건이 서로 독립이면 이와 같은 시행을

독립시행이라고 부른다.

� 동전이나 주사위 등을 여러 번 반복하여 던지는 경우

(4) 독립시행의 확률 : 어떤 시행에서 사건 가 일어날 확률이 일 때, 이 시행을 번 반복하는 독립시

행에서 사건 가 번 일어날 확률은

C . (단, ⋯ )

3911.� 사건의�독립과�종속

4 모터 개가 독립적으로 작동하는 어떤 기계가 있다. 각 모터가 작동할 확률은

라고 할 때, 다음

을 구하여라.

⑴ 모터 개가 작동할 확률

⑵ 적어도 개의 모터가 작동할 확률

5 어느 양궁 선수가 점 영역을 맞힐 확률은

이라고 한다. 이

선수가 화살을 번 쏘았을 때, 다음을 구하여라. (단, 화살을 쏘는

시행은 독립이다.)

⑴ 점 영역을 번 맞힐 확률

⑵ 적어도 한 번 점 영역을 맞힐 확률

6 사건 와 사건 가 서로 독립이고 P

, P ∩

일 때, P 를 구하여라.

7 두 프로야구 팀 A , B가 경기를 할 때, A 팀이 이길 확률은

이다. 번의 경기를 할 때, A 팀

이 회 이상 이길 확률을 구하여라. (단, 비기는 경우는 없다.)





1 다음 도수분포표는 우리나라의 개 국립공원에 속해 있는 산의 높이를 조사하여 나타낸 것이다.

이 도수분포표에서 산의 높이의 평균을 구하여라. (단, 소수점 아래 둘째 자리에서 반올림한다.)

높이(m) 산의 수(개) 계급값 (계급값)×(도수)

600 이상 ∼ 800 미만 2

800 ∼ 1000 3

1000 ∼ 1200 2

1200 ∼ 1400 1

1400 ∼ 1600 3

1600 ∼ 1800 2

1800 ∼ 2000 2

합계 15

1212자료의�정리자료의�정리

풀이 118쪽

개념 핵심정리 (1) 대푯값과 산포도

① 대푯값 : 자료를 대표하는 값. 많이 사용하는 대푯값으로는 평균, 중앙값, 최빈값이 있다.

② 산포도 : 자료가 흩어져 있는 정도를 하나의 수로 나타낸 값. 가장 많이 사용되는 산포도는

표준편차, 평균편차, 사분편차가 있다.

(2) 도수분포표에서의 평균

① 도수분포표 : 변량으로 나타난 자료를 계급, 도수를 이용하여 표로 나타낸 것.

② 도수분포표에서의 평균 : (평균)도수의 총합

계급값 × 도수 의 총합

(3) 상대도수

① 상대도수 : (어떤 계급의 상대도수)도수의 총합

그 계급의 도수

② 상대도수를 이용한 평균 : (평균){(계급값)×(상대도수)의 총합}

(4) 분산과 표준편차

① 편차 : 자료의 값에서 평균을 뺀 값. 편차 자료의 값평균.

② 분산 : 자료의 편차의 제곱의 평균. (분산) 자료의 개수

편차 의 합.

③ 표준편차 : 분산의 음이 아닌 제곱근. (표준편차) 분산 .

※ 편차와 표준편차는 변량과 동일한 단위를 쓴다. 분산은 단위를 쓰지 않는다.

4112.� 자료의�정리

2 다음 도수분포표는 학생 명의 일주일 동안 인터넷 사용 시간을 조사하여 나타낸 것이다. 인터넷

사용 시간의 평균을 구하여라.

사용 시간(시간) 상대도수 계급값 (계급값)×(상대도수)

0 이상∼ 5 미만 0.24

5 ∼ 10 0.34

10 ∼ 15 0.18

15 ∼ 20 0.14

20 ∼ 25 0.06

25 ∼ 30 0.04

합계 1

3 다음 자료의 분산과 표준편차를 구하여라.

⑴ , , , ,

⑵ , , , ,

⑶ , , , ,

⑷ , , , ,

4 다음은 정연이네 반 학생 10명의 사물함 속에 있는 메이크업 도구의 개수를 조사한 것이다. 이 자

료의 평균, 분산, 표준편차를 구하여라.

메이크업 도구의 개수 (개) 1 2 3 4 5

사람 수 (명) 1 2 4 2 1

5 오른쪽 상대도수의 분포표는 태연이네 반 학생들의

m 달리기 기록을 조사하여 나타낸 것이다.

⑴ 전체 학생 수를 구하여라.

⑵ 표의 빈칸을 알맞게 채워라.

⑶ 태연이네 반 학생 중 한 명을 임의로 택했을 때

이 학생의 기록이 14초 미만일 확률을 구하여라.

기록(초) 학생 수(명) 상대도수

12 이상 ∼ 13 미만 2

13 ∼ 14 0.25

14 ∼ 15 12

15 ∼ 16

16 ∼ 17 6

17 ∼ 18 4 0.1

합계


6 아래 도수분포표는 준호네 반 학생들의 수학 점수를 조사하여 나타낸 후, 이 도수분포표를 히스토

그램으로 나타낸 것이다.

수학 점수(점) 학생 수(명)

50 이상 ∼ 60 미만 2

60 ∼ 70 A

70 ∼ 80 10

80 ∼ 90 B

90 ∼ 100 C

합계 30

⑴ A, B, C의 값을 각각 구하여라.

⑵ 준호네 반 학생 중 한 명을 임의로 택했을 때, 이 학생의 점수가 점 이상일 확률을 구하여라.

⑶ 준호네 반 학생들의 수학 점수의 평균을 구하여라.

7 오른쪽 도수분포표는 어느 고등학교 3학년 학생들의 하루

동안의 운동 시간을 조사하여 나타낸 것이다. 하루 동안

분 이상 운동하는 학생이 전체의 %일 때, 의 값을

구하여라.

운동 시간(분) 학생 수(명)

0 이상 ∼ 10 미만 12

10 ∼ 20

20 ∼ 30 54

30 ∼ 40

40 ∼ 50 30

50 ∼ 60

합계

8 다음 표는 학생 수가 각각 명인 개 반의 체험 활동 시간의 평균과 표준편차를 나타낸 것이다.

이 표에 대한 설명 중에서 옳은 것을 모두 찾아라.

(단위: 시간)

반

평균

표준편차

① 체험 활동 시간이 가장 적은 반은 반이다.

② 체험 활동 시간이 가장 많은 학생은 반에 있다.

③ 체험 활동 시간의 분산이 가장 큰 반은 반이다.

④ 체험 활동 시간이 평균에 가장 가까이 몰려 있는 반은 반이다.

⑤ 반과 반의 체험 활동 시간의 총합이 서로 같다.

4312.� 자료의�정리

9 다음 개 자료의 평균이 이고 일 때, , 의 값을 각각 구하여라.

, , , , , , , , ,

10 자료 , , 의 평균이 이고, 표준편차가 이다. 자료 , , , , , 에 대하여 다음 물음에

답하여라.

⑴ 이 자료의 평균을 구하여라.

⑵ 이 자료의 분산을 구하여라.

11 다음 표는 어느 학교의 학생 명을 대상으로 일주일 동안 사이버 학습 센터에 로그인한 횟수를

조사하여 나타낸 것이다.

로그인 횟수(회)

학생 수(명)

⑴ 로그인한 횟수의 평균과 분산을 각각 구하여라.

⑵ 로그인한 횟수가 평균 표준편차 보다 많고 평균 표준편차 보다 적은 학생은

전체의 몇 인지 말하여라.





1 다음과 같은 시행에서 확률변수가 이산확률변수인 것은 ‘이’, 연속확률변수인 것은 ‘연’을 괄호 안에

써 넣어라.

⑴ 동전 한 개를 계속 던지는 시행에서 처음으로 앞면이 나올 때까지 던진 시행 횟수 ···· ( )

⑵ 길이가 인 선분 AB 위의 한 점 C를 임의로 잡는 시행에서 선분 AC의 길이 ······· ( )

⑶ 어느 지역 구급대에 하루 동안 걸려 오는 전화 수 ·················································· ( )

⑷ 울릉도에 일 년 동안 내리는 적설량 ·················································································· ( )

⑸ 개 문항의 OX 시험에서 답을 임의로 고를 때, 맞힌 문항 수 ····································· ( )

⑹ 은행에서 번호표를 뽑은 후, 차례가 될 때까지 걸리는 대기 시간 ·································· ( )

2 동전 두 개를 함께 던지는 시행을 한다. 앞면이 나오는 동전의 개수를 확률변수 라고 할 때, 다

음을 구하여라.

⑴ P

⑵ P

⑶ P

⑷ P

1313이산확률변수이산확률변수

풀이 118쪽

개념 핵심정리 (1) 확률변수 : 어떤 시행에서 표본공간의 각 근원사건에 단 하나의 수를 대응시킨 관계.

① 이산확률변수 : 확률변수가 취하는 값을 일일이 셀 수 있을 때.

� 취하는 값이 주사위를 던졌을 때 나오는 눈, 물건의 개수 등일 때.

② 연속확률변수 : 확률변수가 어떤 범위에 속한 모든 실수 값을 취할 때.

� 취하는 값이 길이, 무게, 부피 등일 때.

(2) 이산확률변수의 확률분포

① P : 확률변수 가 어느 한 값 를 취할 확률을 나타내는 기호.

② P ≤ ≤ : 확률변수 가 이상 이하의 값을 취할 확률을 나타내는 기호.

※ P 는 를 변수로 갖는 함수가 되는데, 이때 P 를 의 확률질량함수라고 부른다.

(3) 이산확률변수의 기댓값과 산포도 : 가 이산확률변수이고 P 일 때 다음이 성립한다.

① 평균 : E

② 분산 : V E

(단, 은 평균)

③ 표준편차 : V

4513.� 이산확률변수

3 남학생 명과 여학생 명 중에서 임의로 대표 명을 뽑을 때, 뽑힌 남학생의 수를 확률변수 라

고 하자. 다음을 구하여라.

⑴ P

⑵ P

⑶ P

⑷ 남학생이 적어도 명 뽑힐 확률

4 윤목은 조선 시대 때 사용하던 윷의 일종으로서 오각기둥 모양의 막대의

각 모서리에 눈금으로 숫자 를 나타낸다. 윤목을 던질 때,

각 숫자가 나올 확률은 같다고 한다. 윤목을 두 번 던져 나오는 숫자 중에

서 작지 않은 숫자를 확률변수 라고 할 때, 다음을 구하여라.

⑴ P

⑵ P ≤

⑶ P

5 어느 재래시장에서는 사은 행사로 명의 고객에게 오른

쪽 표와 같은 경품권을 준다고 한다.

⑴ 각 순위별 당첨 확률을 구하여라.

⑵ 경품권 한 장당 받을 수 있는 금액의 기댓값을 구하여라.

순위 금액(만 원) 매수 확률

등

등

등

등

합계


6 모양이 비슷한 열쇠 개 중에서 현관문에 맞는 열쇠가 한 개 있다. 이 중에서 어느 열쇠가 현관문

에 맞는지 몰라 차례로 하나씩 골라 현관문을 여는 시도를 하고 있다. 현관문이 열릴 때까지 시도

한 횟수를 확률변수 라고 할 때, 다음 물음에 답하여라. (단위 : 회)

⑴ 다음 표를 완성하고, 확률질량함수 P 를 구하여라.

합계

P

⑵ 현관문이 열릴 때까지 시도한 횟수의 평균을 구하여라.

7 원짜리 동전 한 개와 원짜리 동전 두 개를 동시에 던질 때,

앞면이 나오는 동전의 금액을 상금으로 받는다고 하자. 이때 상금의

기댓값을 구하여라.

8 우리 반 학생들이 가지고 있는 수학 교재의 수를 확률변수 라 하고, 의 확률분포를 조사한 결

과는 다음 표와 같다. 의 분산과 표준편차를 구하여라. (단위 : 권)

합계

P

4713.� 이산확률변수

9 오른쪽 시는 김소월의 ‘진달래꽃’ 중의 일부이다. 이 문장에서 한

어절을 임의로 뽑을 때, 뽑은 어절의 글자 수를 확률변수 라고

하자. 의 분산을 구하여라.

10 확률변수 의 평균이 , 분산이 일 때, 다음을 구하여라.

⑴ 의 평균과 표준편차

⑵ 의 평균과 표준편차

11 어느 시험에서 전체 응시자의 시험 점수 이 평균이 , 표준편차가 일 때, 확률변수

의 평균, 분산, 표준편차를 구하여라.





1 축구 승부차기에서 각 선수가 골을 넣을 확률은 이고, 공을 차는 시행은 독립시행이라고 한다.

선수 명이 승부차기에서 넣은 골의 수를 확률변수 라고 할 때, 의 확률질량함수를 구하여라.

2 점 슛 성공률이 인 어느 농구 선수가 점 슛 개를 던질 때 성공한 횟수를 확률변수 라

하고, 의 확률분포와 확률질량함수를 구하여라. (단, 점 슛을 던지는 시행은 독립시행이다.)

3 개가 강아지 마리를 낳을 때 수컷 강아지의 수를 확률변수 라 하자. 이때 의 확률분포와 확

률질량함수를 구하여라. (단, 수컷 강아지를 낳을 확률은 이다.)

1414이항분포이항분포

풀이 118쪽

개념 핵심정리 (1) 이항분포 : 일반적으로 한 번의 시행에서 어떤 사건 가 일어날 확률이 일 때, 번의 독립시행에

서 사건 가 일어나는 횟수를 확률변수 라고 하면 가 취하는 값은 , , , ⋯ , 이다. 이때

의 확률질량함수는 독립시행의 확률에 의하여 다음과 같다.

P C (단, )

이와 같은 확률질량함수를 갖는 확률분포를 이항분포라 하고, 기호로 B 로 나타낸다.

(2) 이항분포의 기댓값과 산포도 : 확률변수 가 이항분포 B 에 따를 때 다음이 성립한다.

① 평균 : E

② 분산 : V (단, )

③ 표준편차 :

4914.� 이항분포

4 오지선다형 문항으로 이루어진 시험에서 문항당 점수는 점이고, 시험 점수가 점 미만이면

불합격이라고 한다. 모든 문항의 답을 임의로 고른다고 할 때, 불합격할 확률을 구하여라. (단, 소

수점 아래 넷째 자리에서 반올림한다.) [계산기 사용]

5 어느 음식점에서 예약한 사람이 아무 연락 없이 오지 않을 확률

은 라고 한다. 예약 좌석 개가 있는 이 음식점에서 명

의 예약을 받은 경우 실제로 예약 좌석이 부족할 확률을 구하여

라. (단, , 로 계산한다.)

6 발아율이 인 씨앗 개를 심었을 때 발아된 씨앗의 개수를 확률변수 라 하고, 의 평균과

분산을 구하여라.

7 흰 공 개와 빨간 공 개가 들어 있는 주머니에서 임의로 공 한 개를 꺼내어 공의 색깔을 확인한

다음 공을 다시 주머니에 넣는 시행을 번 반복한다. 흰 공이 나온 횟수의 평균이 회일 때, 의

값을 구하여라.

8 확률변수 가 이항분포 B

에 따를 때, 확률변수 의 평균과 분산을 구하여라.





1 함수 가 다음과 같을 때 도함수 ′를 구하여라.

⑴

⑵

⑶

⑷

2 곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식을 구하여라.

1515다항함수의�미적분�다항함수의�미적분� 복습내용

풀이 118쪽

개념 핵심정리 (1) 미분 : 함수 에 대하여 다음과 같이 정의한다.

① 순간변화율 : 극한 ′ lim →

가 존재할 때, ‘는 에서 미분 가능하다’

라고 말하며, 극한값 ′를 에서 의 순간변화율이라고 부른다.

※ ′는 함수 의 그래프 위의 점 에서 이 그래프에 접하는 접선의

기울기와 같다.

② 도함수 : 함수 ′를 의 도함수라고 부른다.

(2) 미분의 기본 성질 : 와 가 에서 미분 가능할 때 다음이 성립한다.

① 가 상수일 때, 는 에서 미분 가능하고, 이 함수의 도함수는 ′이다.

② 는 에서 미분 가능하고, 이 함수의 도함수는 ′ ′이다.

③ 는 에서 미분 가능하고, 이 함수의 도함수는 ′ ′이다.

④ 이 자연수일 때 의 도함수는 이다.

(3) 적분 : 함수 가 연속함수일 때 다음과 같이 정의한다.

① 임의의 에 대하여 ≥ 일 때, 두 직선 , 와 그래프 로 둘러싸인 부분의

넓이를

로 나타낸다. 이 값을 구간 에서 의 적분이라고 부른다.

② 의 그래프가 축보다 위쪽에 있는 부분과 축 사이의 넓이를 , 그래프가 축보다

아래쪽에 있는 부분과 축 사이의 넓이를 라고 할 때

로 정의한다.

(4) 미적분의 기본정리 : 가 연속함수이고 ′ 일 때 다음이 성립한다.

5115.� 다항함수의�미적분

3 곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식을 구하여라.

4 어느 다이빙 선수가 수면으로부터의 높이가 m인 다이빙대에서 뛰어오른 지 초 후의 수면으로

부터의 높이 m는 이라고 한다. 다음에 답하여라.

⑴ 뛰어오른 지 초 후 속도를 구하여라.

⑵ 이 선수가 가장 높은 곳에 도달할 때까지 걸린 시간과 그때의 높이를 구하여라.

⑶ 이 선수가 수면에 닿는 순간의 속도를 구하여라.

5 함수 의 도함수가 다음과 같을 때 를 구하여라.

⑴ ′

⑵ ′

⑶ ′

⑷ ′

6 함수 가 다음과 같을 때 ′ 를 만족시키는 함수 를 구하여라.

⑴

⑵

⑶


7 다음 적분을 계산하여라.

⑴

⑵

⑶

⑷

8 다음 적분을 계산하여라.

⑴

⑵

⑶

⑷

9 곡선 과 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.

5315.� 다항함수의�미적분

10 곡선 와 축 및 두 직선 과 로 둘러싸인 도형의

넓이를 구하여라.

11 직선 과 곡선 로 둘러싸인 도형의 넓이를

구하여라.

12 지상 m의 높이에서 m /초의 속도로 똑바로 위로 쏘아 올린 물체의 초 뒤의 속도가

(m /초)일 때, 다음을 구하여라.

⑴ 발사하고 초 뒤 물체의 지면으로부터의 높이

⑵ 지면에 떨어질 때까지 움직인 거리





1 확률변수 의 확률밀도함수가 일 때, 다음을 구하여라. (단, ≤ ≤ )

⑴ 상수 의 값

⑵ P≤ ≤

2 확률변수 의 확률밀도함수가 일 때, P

을 구하여라.

(단, ≤ ≤ 이고 는 상수)

3 확률변수 의 확률밀도함수 의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때,

P ≤ ≤ 을 구하여라. (단, ≤ ≤ )

1616연속확률변수연속확률변수

풀이 118쪽

개념 핵심정리 (1) 확률밀도함수 : 가 연속확률변수일 때 다음 세 조건을 모두 만족시키는

함수 를 의 확률밀도함수라고 부른다.

① 모든 에 대하여 ≥

② ∞

∞

③ P ≤ ≤

(2) 연속확률변수의 기댓값과 산포도 : 연속확률변수 의 확률밀도함수가 일 때 다음이 성립한다.

① 평균 : E ∞

∞

② 분산 : V E ∞

∞

(단, 은 평균)

③ 표준편차 : V

(3) 평균, 분산, 표준편차의 성질 : 임의의 두 상수 에 대하여 다음이 성립한다. (단, ≠ )

① E E

② V V

③

5516.� 연속확률변수

4 확률변수 의 확률밀도함수가 일 때, 다음을 구하여라. (단, ≤ ≤ ) [미적분 이용]

⑴ 상수 의 값

⑵ P ≤ ≤

5 확률변수 의 확률밀도함수가 일 때 다음을 구하여라. (단, ≤ ≤ )

[미적분 이용]

⑴ 상수 의 값

⑵ P ≤ ≤

6 확률변수 의 확률밀도함수가

일 때, 의 평균과 분산을 구하여라. (단, ≤ ≤ )

[미적분 이용]

7 확률변수 의 확률밀도함수가

일 때, 의 평균과 분산을 구하여라.

(단, ≤ ≤ ) [미적분 이용]





1 확률변수 가 표준정규분포 N 에 따를 때, 표준정규분포표를 이용하여 다음 확률을 구하여라.

⑴ P ≤

⑵ P ≤

⑶ P ≥

⑷ P ≤ ≤

⑸ P ≤ ≤

⑹ P ≤ ≤

2 확률변수 가 표준정규분포 N 에 따를 때, 표준정규분포표를 이용하여 다음을 만족시키는

상수 의 값을 구하여라.

⑴ P ≤

⑵ P ≥

1717정규분포정규분포

풀이 118쪽

개념 핵심정리 (1) 정규분포와 표준정규분포

① 정규분포 : 일반적으로 연속확률변수 의 확률밀도함수 가

일 때, 의 확률분포를 정규분포라고 부르고, 기호로 N 으로 나타낸다.

※ N 은 평균이 이고 표준편차가 인 연속확률분포가 된다.

② 표준정규분포 : 확률변수 가 정규분포 N 에 따를 때, 의 표준화 변수

은 표준정규분포 N 에 따른다.

※ 이때 임의의 양수 에 대하여 확률 P ≤ ≤ 를 표로 나타낸 것이 표준정규분포표이다.

(2) 큰 수의 법칙 : 어떤 시행에서 사건 가 일어날 수학적 확률이 일 때, 번의 독립시행에서 사건

가 일어날 횟수를 확률변수 라고 하면 상대도수

는 이 한없이 커질수록 에 가까워진다.

(3) 이항분포와 정규분포의 관계 : 확률변수 가 이항분포 B 에 따를 때, 이 충분히 크면 는

정규분포 N 에 가까워진다. (단, )

5717.� 정규분포

3 확률변수 가 표준정규분포 N 에 따를 때, P ≤ ≤ 을 구하여라.

4 확률변수 가 표준정규분포 N 에 따를 때, 다음 확률을 구하여라.

⑴ P ≤

⑵ P ≤ ≤

5 명을 모집하는 어느 대학교 수학과의 수시 모집에 명이 응시하였다. 응시자의 내신 점수와

면접 점수를 더한 총점은 평균 점, 표준편차 점인 정규분포에 따른다고 한다. 모집 정원의

배를 차 합격자로 선발한다고 할 때, 다음 물음에 답하여라.

⑴ 총점이 점 이상 점 이하인 응시자는 전체 응시자의 몇 인지 구하여라.

⑵ 차 합격자의 커트라인을 구하여라. (단, P ≤ ≤ 로 계산한다.)

6 다음 표는 광수네 반 학생들의 국어, 영어, 수학 점수의 평균과 표준편차 및 인표의 점수를 나타낸

것이다. 각 과목의 점수는 정규분포에 따른다고 할 때, 광수가 반 학생들보다 상대적으로 점수가

높은 과목부터 순서대로 말하여라.

(단위: 점)

구분과목 평균 표준편차 인표의 점수

국어

영어

수학


7 지능지수(I.Q.) 검사는 개인의 지적 발달 수준을 나타내는 척도로써 천재, 영재 등을 구분하는 도구

로 사용되기도 한다. 지능지수 검사의 점수가 평균 점, 표준편차 점인 정규분포에 따를 때,

다음 물음에 답하여라.

⑴ 지능지수 검사의 점수가 점 이상이면 천재라고 할 때, 천재는 전체의 몇 인지 구하여라.

⑵ 지능지수 검사의 점수가 상위 이내에 드는 사람을 영재라고 할 때, 영재 집단의 지능지수

검사의 최저 점수를 구하여라. (단, P ≤ ≤ 로 계산한다.)

8 우리나라 사람 중에서 스스로 중산층이라고 생각하는 사람의 비율은 라고 한다. 우리나라 사

람 중에서 명을 임의추출하였을 때, 스스로 중산층이라고 생각하는 사람이 명 이상 명

이하일 확률을 구하여라.

9 어느 고등학교에서 안경을 쓴 학생의 비율이 라고 한다. 이 학교에서

임의로 학생 명을 뽑을 때, 다음을 구하여라.

⑴ 안경을 쓴 학생이 명 이상일 확률

⑵ 안경을 쓴 학생이 명 이상 명 이하일 확률

5917.� 정규분포

10 어느 가게에서 만드는 호두과자 한 봉지의 무게는 평균 g , 표준편차 g인 정규분포에 따르고,

한 봉지의 무게가 g 이상 g 이하이면 판매한다고 한다. 이 가게에서 호두과자 봉지

를 만들었을 때, 판매할 수 있는 호두과자는 몇 봉지인지 구하여라.

(단, P ≤ ≤ 로 계산한다.)

11 승률이 인 어느 농구 팀의 선수들은 경기에서 이길 때마다 시간의 휴식 시간을 추가로 받는

다고 한다. 올해 번의 경기를 할 때, 휴식 시간을 추가로 시간 이상 받을 확률을 구하여라.

12 어느 미술관의 개의 부스에 점의 조각 작품을 각 부스에 한 점씩 전시하려고 한다. 작품이

운반 도중 훼손될 확률이 이어서 추가로 점을 합하여 모두 점의 작품을 운반한다고

할 때, 빈 부스가 없을 확률을 구하여라.





1 다음 조사가 전수조사인지 표본조사인지를 말하여라.

⑴ 징병 신체검사 ⑵ 음식의 맛을 보기 위한 시식 검사

⑶ 수질 오염도 조사 ⑷ 투표 후의 유권자들에 대한 출구 조사

2 어느 양계장에서 생산되는 달걀 한 개의 무게는 평균 g , 표준편차

g이라고 한다. 이 양계장에서 생산되는 달걀 중에서 개의 표본을

임의추출하였을 때, 표본평균의 평균과 분산을 구하여라.

1818표본평균과�표본비율표본평균과�표본비율

풀이 118쪽

개념 핵심정리 (1) 모평균과 표본평균의 뜻

① 모집단에서 조사하고자 하는 특성을 나타내는 확률변수 의 평균, 분산, 표준편차를 각각 모평

균, 모분산, 모표준편차라 하고, 각각 기호로 , , 로 나타낸다.

② 모집단에서 임의추출한 크기 인 표본 , , ⋯ , 의 평균, 분산, 표준편차를 각각 표본평

균, 표본분산, 표본표준편차라 하고, 각각 기호로 로 나타낸다.

(2) 표본평균의 확률분포의 성질 : 모평균 , 모분산 인 모집단에서 크기 인 표본 , , ⋯ , 을

임의추출할 때, 표본평균 에 대하여 다음이 성립한다.

① E , V

② 모집단의 확률분포가 정규분포 N 일 때, 는 정규분포 N

에 따른다.

③ 모집단의 확률분포가 정규분포가 아닐 때도 표본의 크기 이 충분히 크면 는 근사적으로 정규

분포 N

에 따른다.

(3) 모비율과 표본비율의 뜻

① 모비율 : 모집단 전체에서 어떤 특성을 갖는 사건의 비율

② 표본비율 : 모집단에서 임의추출한 표본 중에서 어떤 특성을 갖는 사건의 비율

※ 모비율을 로 나타내면 표본비율은 로 나타낸다.

(4) 표본비율의 계산 : 크기 인 표본에서 어떤 특성을 갖는 사건의 개수를 확률변수 라고 하면 표본

비율은

로 계산한다.

(5) 표본비율의 분포 : 모비율이 이고 표본의 크기 이 클 때, 표본비율 은 근사적으로 정규분포

N

에 따르고,

는 근사적으로 표준정규분포 N 에 따른다. (단, )

6118.� 표본평균과�표본비율

3 어느 피자 가게에서 피자를 배달할 때 걸리는 시간은 평균 분, 표준

편차 분인 정규분포에 따른다고 한다. 상규가 이 가게에서 피자를 주

문하여 배달 시간을 번 측정하였을 때, 평균 배달 시간이 분 이상일

확률을 구하여라.

4 어느 학교 학생 명 중에서 명을 임의추출하여 혈액형을 조사하였더니 A형인 학생이 명

이었을 때, A형인 학생의 표본비율 을 구하여라.

5 시민 명을 임의추출하여 어느 방송 프로그램을 시청한 시민을 조사하였더니 명이었을 때, 표

본 시청률 을 구하여라.

6 지하철 승객의 가 지하철 안에서 휴대전화로 게임을 한다고 한다. 어느 지하철에 탑승한 승

객 명 중에서 명 이상이 휴대전화로 게임을 할 확률을 구하여라.





1 맥박 수는 나이, 성별 등에 따라 달라진다. 세 학생 명을 임의추출하여 분당 맥박 수를 측정

하였더니 평균이 회이었고, 세 학생의 분당 맥박 수는 모표준편차 회인 정규분포에 따른다

고 한다. 세 학생의 분당 맥박 수의 평균 에 대한 신뢰도 의 신뢰구간을 구하여라.

2 어느 논에 심은 벼의 이삭 한 개당 낱알의 개수는 모표준편차 개인 정규분포에 따른다고 한다. 벼

의 이삭 한 개당 낱알의 개수를 추정하기 위해서 이삭 개를 임의추출하여 낱알의 개수를 세었

더니 표본평균이 개이었다. 이 논에 심은 벼의 이삭 한 개당 낱알의 평균 개수 에 대한 신뢰

도 의 신뢰구간을 구하여라.

3 어느 공장에서 생산되는 제품의 무게는 모평균 g , 모표준편차 g인 정규분포에 따른다고 한

다. 모평균 을 신뢰도 로 추정할 때, 신뢰구간의 길이 ×

가 이하가 되게

하려면 표본의 크기 은 최소 얼마로 해야 하는지 구하여라.

1919모평균과�모비율의�추정모평균과�모비율의�추정

풀이 118쪽

개념 핵심정리 (1) 추정 : 표본에서 얻은 자료를 이용하여 모평균 또는 모비율 등과 같은 모집단의 참값을 추측하는 것.

(2) 모평균의 신뢰구간 : 모집단의 확률분포가 정규분포 N 일 때, 크기 인 표본으로부터 얻은

표본평균 의 실제 관측값을 라고 하면 모평균 에 대한 신뢰구간은 다음과 같다.

① 신뢰도 의 신뢰구간 :

≤ ≤

② 신뢰도 의 신뢰구간 :

≤ ≤

(3) 모비율의 신뢰구간 : 모집단에서 크기 인 표본으로부터 얻은 표본비율의 실제 관측값을 이라고 하면

이 클 때, 모비율 에 대한 신뢰구간은 다음과 같다.

① 신뢰도 의 신뢰구간 :

≤ ≤

② 신뢰도 의 신뢰구간 :

≤ ≤

(단, )

6319.� 모평균과�모비율의�추정

4 니트(Not in Education, Employment or Training ; NEET)족이란 직장이 없는데도 취업이나 진학

할 생각을 하지 않으면서 직업 훈련조차 받지 않는 세∼ 세의 청년을 말한다. 우리나라 니트

족의 비율을 추정하기 위해서 청년 명을 임의추출하여 조사한 결과 명이 니트족이었다고 할

때, 우리나라 니트족의 비율 에 대한 신뢰도 의 신뢰구간을 구하여라. (단, 소수점 아래 넷

째 자리에서 반올림한다.)

5 블라인드 테스트(Blind test)란 눈을 가린 채로 미각, 후각, 촉각 등으로 제품의 맛, 냄새, 품질 등

을 판별하는 검사 방법이다. 어느 두 회사 A B에서 생산한 주스에 대한 선호도를 조사하기 위해

서 소비자 명을 임의추출하여 블라인드 테스트를 실시하였더니 이들 중에서 명이 A 회사

주스를 선호하는 것으로 나왔다. 전체 국민 중에서 A 회사 주스를 선호하는 비율 에 대한 신뢰도

의 신뢰구간을 구하여라. (단, 소수점 아래 넷째 자리에서 반올림한다.)

6 어느 종묘 회사에서 생산하는 볍씨의 발아율을 신뢰도 로 추정할 때, 신뢰구간의 최대 길이

×

이 이하가 되게 하려면 표본의 크기 은 최소 얼마로 해야 하는지 구하여라.





부록 표준정규분포표

수 0.00� 0.01� 0.02� 0.03� 0.04� 0.05� 0.06� 0.07� 0.08� 0.09�

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549

0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133

0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441

1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545

1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767

2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857

2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890

2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916

2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964

2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974

2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981

2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986

3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

3.1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993

3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995

3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997

3.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998

3.5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998

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고등학교 확률과 통계 수업교재 - iseulbee.com · [3] 이슬비, 고등학생을 위한 고급미적분학, 수학 나라의 앨리스 (2013) [4] 황선욱 외 12인, 고등학교