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미분과 변화율
미분은 경영학이나 경제학 분야에서 다양하게 활용되고 있다 미분은 우리가 관심을 가지는.
함수가 특정 변수가 증가 또는 감소하는 경우에 어떻게 변화하는 지를 알려주기 때문에 이,
를 이용하여 주어진 명제나 현상들을 설명하는데 사용한다 또한 의사결정시 목적함수의 최.
적값과 이에 대응하는 의사결정변수 값을 도출하는 경우에도 사용된다.
순간변화율과 도함수1.
우선 순간변화율과 미분계수의 기하학적 의미를 살펴보기 위하여 함수 의 그래프를 그
린 그림 을 보기로 한다< 1-1> .
그림 순간변화율과 미분계수< 1-1>
그림에서 선분 PQ의 기울기는 다음과 같다.
∆∆∆ ∆
∆∆
(1-1)
이는 변수 가 에서 ∆로 증가하는 동안에 함수값 가 증가한 평균변화율이다.
만일 ∆가 무한히 작아지면 점 Q는 점 P에 무한히 근접하게 된다 이때 선분. PQ는 직선
PT가 되는데 직선, PT는 점 P( 에서의 접선이다 따라서 직선) . PT의 기울기는 점 P에
서의 순간변화율이며 수식으로 표현하면 다음과 같다, .
직선 PT의 기울기 = ( 에서의 접선의 기울기)
= lim∆→∆∆
= lim∆→∆∆
(1-2)
에서의 접선의 기울기를 ′라고 정의하면,
′ = lim∆→∆∆
(1-3)
이 식에서 (∆ 대신 변수) 를 대입하면 따라서( ∆→ 대신 →를 대입한다),
′ = lim→
(1-4)
이러한 ′를 함수 의 에서의 미분계수 라고 한다 따(differential coefficient) .
라서 미분계수는 특정점 P에서의 접선의 기울기 또는 함수값의 순간변화율을 의미한다.
점 에서 미분계수 ′가 존재하면 즉 식 의 우변의 극한치가 존재하면 함수( , (1-4) ),
는 점 에서 미분가능하다고 한다 미분이. 불가능한 경우 즉 식 의 우변 극한치, (1-4)
가 존재하지 않는 경우의 예를 들면 그림 와 같다< 1-2> .
그림 미분이 불가능한 경우< 1-2>
좌측 그림 는(a) 에서 미분이 불가능한데, 에서 불연속이기 때문이다 한편 우측.
그림 는(b) 에서 연속이지만 미분이 불가능하다 왜냐하면 우측에서의 기울기의 수렴.
치와 좌측에서의 기울기 수렴치가 다르기 때문이다 이에 대한 자세한 설명은 생략하기로.
한다.
식 에서는 특정한 점(1-3) 에서의 미분계수를 고려하였는데 이를 특정점, 가 아니라 일
반점 에서 미분계수로 변형시켜보자 그러면.
′ = lim∆→∆∆
(1-5)
만일 함수 가 구간 (a, b 의 모든 임의의 점에서 미분가능할 때 즉 식 의 가 존) ( , (1-5)
재할 때), ′를 함수 의 도함수 라고 부른다 도함수는 이 외에도 다양하(derivative) .
게 표기하는데 예를 들면, , ′ , ′, , 이다 따라서. 에서의 미분계수
′는 도함수의 에서의 함수값이 된다 한 함수가 있을 때 이 함수의 도함수를 구하. ,
는 것을 미분한다고 한다.
다음은 기본함수 및 이들의 연산의 도함수를 보여준다 도함수를 구하는 과정의 설명은 생.
략하기로 한다 학생들은 이를 암기하여 사용하는 것이 좋다 여기서는 도함수의 표현으로. .
′을 사용하였다.
′ 여기서= 0, 는 상수, (1-6)
′ = (1-7)
′ = ′ (1-8)
±′ = ′±′ (1-9)
∙′ = ′ ′ (1-10)
′ =
′ ′(1-11)
다음은 초월함수의 도함수이다.
′ = (1-12)
′ =
(1-13)
′ = cos (1-14)
′ = -sin (1-15)
′ =
′ =
= sec2 (1-16)
예[ ] 함수 = 에서 과= 0.1 에서의 미분계수를 구해보자 우선 이= -0.1 .
함수의 도함수는 식 로부터(1-7)
′ =
그러므로 두 미분계수는 도함수에 과 을 대입하면 구할 수 있다0.1 -0.1 .
′ = -100′ = -100
만일 값이 에 더 근접하게 되면 식 과 의 값은 더 작아져서 에 근0 (1-20) (1-21) -∞
접하게 된다.
예[ ] 지수함수 = 에서 = 0, 에서의 접선의 기울기를 구해보자 이는= 1 .
두 점에서의 미분계수를 구하는 것과 같다 우선 도함수를 구하면.
′ =
따라서
′ = 1′ = = 2.7183
예[ ] = sin tan․ 에서 = 0, = 에서의 접선의 기울기를 구해보자.
′ = cos tan + sin sec2
따라서
′ = cos 0 tan 0 + sin 0 sec2 0 = 0′ = cos tan + sin sec2 = 0
예[ ] = 의 도함수를 구하시오 단.( , > 0)
′ =
=
합성함수의 도함수와 고계 도함수2.
두 함수 ∙와 ∙가 = , = 로 정의되면 두 함수의 합성함수는 다음과
같이 정의한다.
∙ = (2-1)
두 함수 ∙와 ∙가 모두 미분가능하면 합성함수 ∙의 도함수는 다음과 같다.
′ = ′=
=
=
∙
여기서, =
= ′∙′ (2-2)
예[ ] ① =
= 로 놓으면,
= ∙= ∙ =
② =
=
로 놓으면,
=
∙
=
다음은 초월함수의 합성함수를 미분하는 경우의 예이다.
예[ ] ① ′ = ∙ ′ (2-3)
② ′ =∙′ (2-4)
③ ′ = ′ (2-5)
복잡한 함수의 미분은 로그미분법을 사용하면 편리하다 이는 주로 로그함수의 연산방법과.
합성함수의 미분공신인 식 를 사용하여 미분하는 것이다 두 가지 예를 통하여 설명하(2-4) .
기로 한다.
예[ ] =
의 도함수를 구하고자 한다 물론 식 을 이용하여 미. (1-11)
분할 수 있으나 복잡하기 때문에 로그미분법을 사용하여 구하려는 것이다 우선 양변, .
에 을 취하면ln ,
ln = 2ln - ln - ln
이를 에 대해 미분하면,
∙= ∙
=
=
이를 간단하게 정리하면
=
예[ ] = 의 도함수를 구하고자 한다 이는 앞에서 기술한 미분 공식에 의하여 미.
분할 수 없으므로 로그미분법을 사용할 수밖에 없다 따라서 마찬가지로 양변에 로그, .
를 취하면
ln = ln
이를 에 대하여 미분하면
∙= ln ∙
= 1 + ln
= + ln ) = (1 + ln )
전술한 바에 의하면 한 함수를 미분하면 도함수를 구할 수 있다 그런데 도함수도 역시 하.
나의 함수이므로 이를 다시 미분할 수 있다 이와 같이 한 함수를 두 번 미분하여 구한 도.
함수를 계 도함수2 라고 한다 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다. .
″ = ′ =
(2-6)
이를 연장하여 생각하면 계 도함수도 구할 수 있다.
= =
(2-7)
예[ ] 다음 그림은 경영학 분야에서 흔히 볼 수 있는 로지스틱 곡선(logistic curve)
또는 곡선 이다 이 그래프는 초기에는 상승 속도가 점차 증가하다가 변S (S-Curve) .
곡점 을 지나면 상승속도가 점차 감소하는 경우를 표현하기 위하여(inflection point)
많이 쓰인다 여기서 상승속도란 접선의 기울기를 의미한다. .
그림 곡선< 2-1> S-
임의의 한 점 에서의 접선의 기울기는 도함수를 의미한다고 볼 수 있다 따라서. S
곡선은 도함수가 변곡점 이전에는 증가하다가 변곡점 이후에는 감소하는 경우라고 볼
수 있다 그러므로 변곡점에서의 접선의 기울기가 가장 크게 된다. .
다음 식 은 곡선의 형태를 가지는 함수의 한 예이다 이 함수는 시간(2-8) S . 가
변함에 따라서 제품 판매량이 변하는 것을 나타낸다.
= =
(2-8)
절편은 시간이 인 경우의 함수값이므로0 , 을 대입하면= 0
= 99.01
이 함수값 판매량 는 시간이 무한으로 흐르면 어느 한 값으로 수렴하는데( ) , 대신에
∞를 대입하면
∞ = 10,000
그렇다면 변곡점은 어디일까 이를 구하기 우해서는 변곡점에서 도함수의 증가가? ,
멈추고 오히려 감소를 시작한다는 사실을 이용해야 한다 이는 곧 도함수가 변곡점에.
서 하나의 봉우리를 가지고 봉우리 정상에서는 접선의 기울기가 인 사실을 이용할, 0
수 있음을 의미한다 즉 도함수의 도함수 즉. , , 계 도함수2 가 이 된다 따라서 변곡점0 .
에서는
″ = 0 (2-8)
우선 로그미분법을 이용하여 을 구체적으로 구해보면
ln = ln 10000 - ln(1 + 100 )
′=
′ = 1,000,000
여기에 다시 로그미분법을 적용하여 ″을 구하면
ln ′ = ln 10000 - - 2ln(1 + 100 )
′″= -1 +
=
″ = 1,000,000
그런데 ″ 이다 분모는 보다 크고= 0 . 1 도 보다 크므로0
= 0.01
- = ln 0.01
따라서 에서 변곡점을 가진다= 4.605 .
함수의 형태가 복잡하여 직접적으로 다루기 힘들 경우에는 그 함수를 다항함수로 근사시켜
서 다루는 것이 편리할 경우가 있다 특히 적분이 불가능한 함수의 경우가 대표적인 예이.
다 복잡함 함수를 다루기 용이한 다항함수로 근사시키는 방법에는. 전개Taylor 가 있다.
다변수함수의 편도함수3.
변수가 여러 개인함수는 모든 변수에 대하여 미분을 할 수 있다 이러한 미분을 편미분이라.
고 한다 우선 변수함수 의 편미분에 대하여 살펴보기로 한다. 2 .
에 대한 편미분은 를 상수로 보고 에 대해서만 미분한다. 에 대한 편도함수는 편
의에 따라서 , , , 등으로 표기한다 반대로. 에 대한 편미분은 를
상수로 보고 에 대해서만 미분한다. 에 대한 편도함수도 , , , 등으
로 표기한다.
한 점 (a, b 에서의 편미분계수는 편도함수에) (a, b 를 대입하여 구하는데) , 과 에 대한
편미분계수는 각각 (a, b), (a, b 라고 표기 한다 이러한 편미분계수의 기하학적 의미를) .
살펴보기 위해여 다음 그림을 살펴보기로 한다.
그림 편미분계수의 기하학적 의미< 3-1>
함수 = 의 그래프가 그림 의 곡면이라고 할 때< 3-1> , = 의 그래프는
곡면 = 를 평면 = b로 절단하여 얻은 곡선 APB이다 이 때 곡선. APB에 대
한 점 P(a, b 에서의 접선의 기울기는) = 의 미분계수 (a, b 이 된다 즉) . ,
(a, b 점) = P에서의 곡선 APB의 접선의 기울기 순간변화율( ) (3-1)
마찬가지로
(a, b 점) = P에서의 곡선 CPD의 접선의 기울기 순간변화율( ) (3-2)
식 과 의 두 접선이 포함되는 평면을(3-1) (3-2) 접평면이라고 부른다.
변수가 n 개인 다변수함수의 에 대한 편도함수는 또는 로 표기한다.
예[ ] = =
의 편도함수를 구하면
=
=
=
=
도함수와 마찬가지로 편도함수도 고계 편도함수를 정의할 수 있다 함수. = 의
차 편도함수는 다음과 같다1 .
=
(3-3)
=
(3-4)
을 다시(3-3) 과 에 대하여 각각 편미분하면 다음과 같다.
=
= (3-5)
=
= (3-6)
를 다시(3-4) 과 에 대하여 각각 편미분하면 다음과 같다.
=
= (3-7)
=
= (3-8)
식 에서 구한 것이(3-5) ~ (3-8) 계 편도함수2 들이다 이러한 과정을 반복하면. n계 편도
함수를 구할 수 있다.
일반적으로 = 는 성립하지 않지만 함수, 가 연속함수이면 성립한다 이를. ( Young
의 정리라고 한다 다음에 한 예를 들어보자)
예[ ] =
는 모든 정의역에서 연속함수이다 따라서.
=
, =
= =
예[ ] =
는은 점 에서(1, 1) 과 축의 순간변화율이 얼마
인가?
이는 편도함수 을 대입하여 구할 수 있다 즉(1, 1) .
(1, 1) =
= 3 +1 =4
(1, 1) = = 2 +4 =6
연습문제[ ]
다음 함수의 도함수를 구하고 가능한 한 간단히 정리하시오1. .
(1) =
(2) =
(3) =
(4) = ln
(5) = cosec (6) = ln( sin )
2. =
, 이고= 0 , ′ 일때= 1 ′를 구하시오
두 함수3. = , = 에서
(1) 를 구하시오
(2) 를 구하시오
점 에서의(3) (1, 1) 와 축의 순간변화율을 두 함수에 대하여 구하시오 두 함수의 순간변,
화율을 비교하시오.
적분과 확률
한 함수를 미분하면 도함수를 얻을 수 있다 도함수는 임의의 점. 에서의 접선의 기울기를
의미한다 따라서 한 점. 에서의 기울기를 함수로 표현한 것이 있다면 반대로 이 함수를,
이용하여 원시함수를 구할 수 있을 것이다 이와 같이 도함수를 조작하여 원시함수를 구하.
는 것을 적분한다고 한다 이 경우에 도함수를. 피적분함수라고 말한다.
본 장에서는 우선 이러한 적분의 개념과 방법을 소개하고 다음으로는 적분을 활용하여 확,
률과 기대값을 구하는 방법에 대하여 살펴보기로 한다.
적분의 개념1.
적분의 개념을 설명하기 위하여 다음 사례를 살펴보자
석유화학사 사례 재고보충시간의 추정<STX >
석유화학사의 주생산원료는 납사 이다 납사는 액체이기 때문에 송유관STX (naptha) .
을 통하여 외부로부터 저장탱크에 입고된다 그런데 납사의 유입량은 입고시간 동안.
항상 일정한 수준을 유지하는 것이 아니라 펌프의 압력 변화에 따라서 변한다 탱크.
용량과 현 재고량을 고려해 볼 때 추가로 유입될 수 있는 납사량은 최대 만배럴이라5
고 한다 그렇다면 몇 분동안 송유관을 열어놓아야 하는가 열어놓는 시간을. ? 라고
하자 그러면 분당 유입량의 변화를 그래프로 표현하면 다음 그림 과 같다. < 1-1> .
그림 납사의 유입속도의 변화< 1-1>
풀이 송유관을 열어놓은지 분 후부터 송유관을 막을때 까지는 일정한 속도로 유입되므[ ] 10
로 이 기간동안 유입된 총 납사량은
B = 1,000 × ( - 10)
그런데 처음 분 동안은 유입속도가 에서 선형으로 증가하여 최고 배럴의 속도로10 0 1,000
유입된다 그렇다면 처음 분 동안 유입된 양은 얼마일까 이는 그림에서 빗금친 삼각형의. 10 ?
면적과 같다.
A = 0.5 × 1,000 × 10 = 5,000
마찬가지로 마지막 분 동안 유입된 양은5
C = 0.5 × 1,000 × 5 = 2,500
그러므로 분 동안 송유관을 열어놓는 경우의 총유입량은
총유입량 = A + B + C = -2,500 + 1,000 단( , ≥10) (1-1)
이를 그래프로 그리면 다음 그림 와 같다< 1-2> .
그림 납사 유입량의 변화< 1-2>
총유입량은 최대 입고허용량 배럴과 같아야 하므로50,000
-2,500 + 1,000 = 50,000 (1-2)
이를 풀면 분= 52.5( )
그림 은 납사< 1-1> 유입속도를 표현하고 있다 이는 곧 한 시점에서의. 재고수준이 순간변
화율을 의미한다 따라서 납사유입량을 나타내는 함수의. 도함수라고 볼 수 있다.
위 사례에서 구하고자 하는 재고수준을 구하려면 전술한 바와 같이, 도함수 피적분함수( )를
적분해야 한다 그런데 재고수준을 얻기 위해서 우리는 앞에서 함수의 그래프와 시간축 사.
이의 면적을 구하였다 그러므로 적분을 한다는 것은. 함수의 그래프와 독립변수 축 사이의
면적을 구하는 것과 같다고 볼 수 있다.
일변수함수의 적분2.
여기서는 우선 일변수함수의 적분을 다루기로 한다 도함수. 를 적분하여 원시함수
를 구하는 것을 부정적분한다고 한다 이를 수식으로 표현하면.
= + (2-1)
여기서 는 임의의 상수이고 는 다음 식을 만족하는 원시함수이다.
= (2-2)
일반함수 를 부정적분하려면 식 를 만족하는 원시함수(2-2) 를 매번 구해야 한다.
그러나 다행스럽게도 일반적으로 많이 사용되는 기본 함수의 원시함수에 대해서는 공식으로
알려져 있기 때문에 이를 활용하면 부정적분을 용이하게 할 수 있다 예를 들면 다음과 같.
다.
= , ≠ (2-3)
= ln (2-4)
= (2-5)
ln = ln - + (2-6)
sin = -cos + (2-7)
cos = sin + (2-8)
sec2 = tan + (2-9)
앞 절에서 적분을 한다는 것은 함수의 그래프와 독립변수 축 사이의 면적을 구하는 것과
같다고 하였다 면적을 구체적으로 구하기 위해서는 면적을 구하는 구간이 정의되어야 한.
다 석유화학사 사례에서는 에서부터. STX 0 ( 까지의 구간에서 면적을 구하였다 이+ 5) .
와 같이 주어진 구간에서 면적을 구하기 위하여 적분하는 것을 정적분한다고 한다.
구간 [a, b 에서 함수] 를 정적분하는 것을 수식으로 표현하면 다음과 같다.
= - (2-10)
여기서 함수값 , 는 의 원시함수 의 b와 a에서의 함수값을 나타낸다 여.
기서 원시함수값 의 의미는 무엇일까? 는 구간 (-∞ , b 에서 함수] 를 정적분
한 값 즉, -∞에서 b까지 와 축 사이의 면적을 의미한다 마찬가지로. 도 정의할
수 있다 그렇다면 식 의 우측인. (2-10) - 는 구간 [a, b 에서] 와 축 사이
의 면적을 의미한다고 볼 수 있다.
복잡한 형태의 함수를 정적분하는 경우에는 다음과 같은 정적분의 성질을 이용하면 편리하
다 이에 대한 증명은 생략한다. .
=
(2-11)
± =
±
(2-12)
=
+
(2-13)
=
(2-14)
예[ ] = 를 에서 정적분하면[-1, 1] ,
=
= - = 0
한 함수를 어느 구간에서 정적분한 값은 해당구간에서 그 함수와 축 사이의 면적
과 같다 그러나 함수가. 축 밑에 존재하는 구간에서의 정적분 값은 해당면적의 음수
값과 같다 따라서. = 를 구간에서 정적분한 값은 이 되는 것이다[-1, 1] 0 .
예[ ] 앞의 석유화학사의 사례에 적용해 보자 이를 위해서는 유입속도를 나타내STX .
는 함수 를 우선 구해야 한다 이를 수식으로 표현하면. ,
=
≤ ≤ ≤ ≤
≤ ≤
(2-15)
여기서 는 일단 주어진 상수라고 간주한다.
이 함수를 [0, 에서 정적분해야 하는데 함수+5] , 가 구간별로 다른 형태를 가
지므로 정적분도 구간별로 해야 한다.
=
+
+
(2-16)
=
+ +
= 5,000 + 1,000 -10,000 +25,000
= -2,500 + 1,000
이 결과는 식 과 같다(1-1) .
다음 사례를 살펴보자
정밀기계 주 사례 총원가의 산출<SDC ( ) >
정밀기계 주 는 일반 제조기업에서 사용하는 파이프 밸브를 생산하는 기업이다SDC ( ) .
이 파이프 밸브를 개 생산했을 경우의 한계원가 한 개를 더 생산하는 경우에 추가로(
소요되는 원가 즉 원가의 순간변화율 는, ) 35 - 0.008만원이라고 한다 따라서 처음.
한 개를 생산할 때의 제조원가는 만원이고 그 다음부터는 생산량이 증가할 때마다35
만원씩 제조원가가 감소한다0.008 .
오늘 고객사로부터 파이프 밸브 개에 대한 주문이 들어왔다 주문을 접수한 영1,000 .
업사원은 납품가격을 결정해야 하는데 현재 이 회사에서는 총제조원가에 의 마, 15%
진을 붙여서 판매가격을 결정하고 있다 그렇다면 이 주문에 대한 단위당 납품가격은.
얼마로 책정하는 것이 적당할까?
풀이[ ] 우선 총제조원가를 구해야 하는데 한계원가는 총제조원가의 순간변화율이므로 한계,
원가를 적분하여 구할 수 있다 생산량을. 라고 할 때 총제조원가함수를 라고 하자 그.
러면 한계원가함수는 = 35 - 0.008이다 따라서 총제조원가함수는.
= ′ = = 35 - 0.004 + (2-17)
그런데 이므로= 35 이고 따라서= 0.004 ,
= 35 - 0.004 + 0.004
개의 주문량을 생산하는 경우의 총원가는1,000 을 구하는 것과 같으므로
= 35,000 - 4,000 + 0.004 = 31,000.004 ≒ 만원31,000( )
따라서 판매단가는
판매단가 만원= 31,000 × 1.15 ÷ 1,000 = 35,65( )
통신서비스사 사례 마케팅 활동의 최적수준의 결정<GT II>
통신서비스사는 새로운 서비스를 시작하면서 대대적인 마케팅 활동을 벌이기로GT
하였다 이 서비스는 매우 독특한 것으로서 서비스 가입자에게는 이용량에 관계없이.
월 만원을 받으려고 한다 현재 예측한 평균 서비스이용량에 따른 원가를 감안하여3 .
산출한 가입자 인당 월 이익은 만원으로 예상하고 있다1 2 .
마케팅 활동은 통신서비스 부분에 특화된 마케팅 전문기업에 일괄적으로 의뢰하기로
하였다 이러한 경우 대개 마케팅 비용은 유치 고객수에 따라서 다르다고 한다 현재. .
이 기업이 요구하는 비용은 인당 월1 0.002Q 만원 을 요구하고 있다 즉( ) . , Q번째 유치
고객의 비용을 월 0.002Q로 하자는 것이다 앞에서 가입자 인당 월이익을 예측할. 1
때 이 마케팅 비용은 고려되지 않았으므로 순이익을 계산하려면 마케팅 비용을 삭감,
해 주어야 할 것이다.
그렇다면 마케팅 활동을 어느 정도 수행하여야 월 순이익을 최대로 할 수 있을까?
풀이[ ] 현재 유치고객 인당1 월이익과 월 마케팅비용을 그래프로 그리면 다음과 같다.
그림 판매이익과 마케팅비용< 2-1>
그림에서 가입자 수가 늘어도 가입자당 이익은 일정하다 그러나 마케팅비용은 가입자 수.
가 증가함에 따라 선형으로 증가함을 알 수 있다 한편 가입자당 순이익은 가입자당 이익에.
서 마케팅비용을 삭감한 액수이므로 직선, 에서 를 빼준 것과 같다 따라서 가입자 수.
가 Q0가 될 때까지는 순이익이 발생하고 따라서 총이익도 증가하지만 그 이상이면 가입자,
당 이익보다 마케팅비용이 더 발생하므로 총이익이 감소하게 된다 그러므로 총이익이 최대.
가 되는 가입자 수는 Q0가 된다.
그렇다면 임의의 가입자 수 Q*일 때 총순이익은 얼마일까 이를 구하기 위해서는 직선?
과 사이의 면적을 구해야 한다 이는 삼각형의 면적을 계산하면 용이하게 구할 수 있지.
만, , 가 일반적인 함수일 때를 가정한다면 에서부터0 Q*까지 ( - 를 정적분해야)
한다.
순이익 =
(2-18)
=
= 2Q* - 0.001(Q*)2 (2-19)
만일 Q* 이라면 순이익은 이 된다 이를 그림 에서 살펴보면 표시가= 2,000 0 . < 2-1> ‘+’
있는 삼각형에서는 면적이 양수이지만 표시가 있는 부분은‘-’ 가 보다 위에 있으므로
면적은 음수가 된다 따라서 에서 까지 정적분하면 면적이 서로 상쇄되어 이 되는. 0 2,000 0
것이다.
만일 Q* 이라면 순이익은 이며 이때가 순이익이 가장 큰 경우이다= 1,000 1,000 , .
일변수함수를 적분하는 경우에 전술한 공식만으로 곤란한 경우에 사용될 수 있는 방법으로
치환적분법과 부분적분법이 있다.
다변수함수의 적분3.
지금까지는 변수가 하나인 함수의 적분을 다루었다 이제는 변수가 두 개 이상인 경우의 적.
분을 다루기로 한다. 다변수함수의 적분은 이변수함수의 적분을 연장한 것이므로 여기서는
이변수함수의 적분만을 다루기로 한다.
이변수함수의 적분은 이변수함수의 미분 즉 편미분을 역으로 수행한다고 생각하면 된다, .
우선 일반 적분공식을 사용하여 적분하는 방법을 살펴보기로 한다.
두 변수 , 에 의하여 정의되는 함수 가 있을 때, 은 구간[ , 에서] , 는
구간[, 에서 정적분한다고 가정하자 그러면 이는 다음 식의 좌변과 같이 표시할 수 있] .
고 이는 우변과 같이, 에 대하여 먼저 적분한 다음 다시 에 대하여 적분하면 된다.
=
(3-1)
여기서 에 대하여 적분할 때는 편미분에서와 같이 는 상수로 간주하면 된다 이후에.
에 대하여 적분하는 경우에는 이 없는 관계로 일변수함수의 적분과 마찬가지 방법으로
적분할 수 있다 다음 예를 살펴보자. .
예[ ]
=
=
=
= + =
다음 예는 에 대하여 먼저 적분하는 경우이다 이 경우에도 앞에서와 마찬가지로. 를 상
수로 보고 적분하면 된다 또한 적분 구간의 상한이 상수가 아니고 변수. 에 의하여 정의
되어 있으나 에 의하여 적분하는 경우는 이 상수로 취급하기 때문에 문제가 되지 않는
다.
예[ ]
=
=
=
=
적분의 응용4.
확률의 계산4.1
통계학에서는 여러 가지 확률분포를 다룬다 이 중 연속확률분포는 확률밀도함수로써 표현.
된다 이때 주어진 사상이 발생할 확률은 이 확률밀도함수를 정적분하여 구한다 다음 사례. .
를 살펴보기로 한다.
조선호텔 사례 프론트데스크에서의 고객대기시간의 확률 계산< >
조선호텔은 오랜 전동을 가지고 있는 특급호텔이다 비록 설비는 다소 낡았지만 고객.
서비스가 좋아서 고객들로부터 호평을 받고 있다.
그런데 최근 들어서 투숙고객들이 처음 찾는 프론트데스크에서 대기시간이 길다는
불만을 접하게 되었다 이에 호텔지배인은 프론트데스크에서의 고객대기시간에 대한.
확률분포를 조사한 결과 평균이 분인 지수분포를 이루고 있음을 발견하였다4 .
호텔업계의 정설에 의하면 프론트데스크에서 대기시간이 분 이내인 고객이 이5 95%
상이면 충분하다고 보고 있어서 이 호텔에서도 이에 맞추어 프론트데스크 인력을 배
정하고 있었다 따라서 고객이 불만을 가질 이유가 없다고 생각하였지만 구체적으로. ,
대기시간이 분 이내일 확률을 계산해 보기로 하였고 이를 경영학과 출신인 신입사5 ,
원에게 지시하였다.
과연 대기시간이 분 이내일 확률은 얼마일까 고객들의 불만이 타당한 것인가 아5 ? ?
니면 성격이 급한 일부 고객들의 불만이라고 간주할 수 있을까?
풀이[ ] 연속확률분포의 확률밀도함수로부터 확률을 계산할 때는 다음의 공식 이 활용(4-1)
된다 즉 사상이 구간. , [a, b 에서 발생할 확률은 확률밀도함수를 이 구간에서 정적분하여]
구할 수 있다는 것이다.
P{ ≤ ≤ } =
(4-1)
그런데 지수분포의 확률밀도함수는 다음 식 와 같다 그리고 대기시간이 분 이내라(4-2) . 5
는 것은 대기시간이 구간 에 있다는 의미이므로 식 의 확률밀도함수를 구간[0, 5] (4-2) [0,
에서 정적분하면 원하는 확률을 계산할 수 있다5] .
=
, 0≥ (4-2)
여기서 는 주어진 상수인데 지수분포 평균이므로 여기서는 이다, 4 .
실제대기시간을 T라고 하면 T가 분 이내일 확률은5
P{0 ≤ 5} =≤
(4-3)
=
= 1 -
= 0.7135
그러므로 대기시간이 분 이내일 확률은 이다 따라서 현재의 고객불만은 호텔업계5 71.35% .
의 정설에 부합되며 현재의 프런트데스크 배정인력을 늘려야함을 의미하고 있다.
일반적으로 확률분포에서 모든 사항이 발생할 확률의 합은 이다 이를 연속확률분포에서1 .
해석하면 구간(-∞ , ∞ 에서 확률밀도함수를 정적분하면 이라고 볼 수 있다 이를 지수분) 1 .
포에 대하여 확인해 보기로 한다.
지수분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.
=
, 0 ≤ ≤ ∞ (4-4)
이 함수를 전구간에서 정적분하면
∞
=
∞
=
= 1 (4-5)
기대값의 계산4.2
수리통계학에서 특정 확률밀도함수 를 가지는 확률변수 X의 기대값 E(X 은 확률변수)
X의 평균으로서 다음과 같이 정의한다.
E(X) = ∞
∞
(4-6)
이를 지수분포에 대하여 확인하여 보기로 한다 지수분포의 확률밀도함수. 는 식 (4-4)
에 주어져 있는데 지수분포는 확률변수가 음인 경우는 정의하지 않는다 따라서 기대값은, .
E(X) =
∞
(4-7)
이를 정적분하기 위해서는 부분적분법을 사용해야 한다.
따라서 지수분포의 기대값은 확률밀도함수에 있는 모수 이다.
이 결과를 조선호텔 사례 에 적용해 보면 고객의 대기시간의 기대값 즉 평균대기시간은< > , ,
분임을 알 수 있다 식 의 결과를 재해석해 보면 대기시간의 평균이 분일 때= 4 . (4-3) 4
실제 대기시간이 분 이내일 확률이 약 이고 분보다 클 확률이 임을 보여준다5 71% 5 29% .
연습문제< >
다음 함수에 대하여 답하시오1. .
=
≤ ≤ ≤ ≤
이 함수가 확률밀도함수이기 위해서는 상수(1) 가 얼마이어야 하는가?
(2) 의 기댓값 E(X) = ∞
∞
를 구하시오.
의류제조회사는 과거 세일기간 동안의 매출액 변화를 조사하여 추가 매출액 변화를 함수2.
로 표현하면 다음과 같다 여기서. 는 세일기간인데 추가 매출액은 세일기간이 끝나도 일, 5
정도는 나타난다고 한다.
=
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
세일에 의한 총 추가매출액을(1) 의 함수로 표현하시오
총 추가매출액을 억 원으로 하려면 세일기간을 얼마로 하여야 하는가(2) 1 ?
정밀기계 주 사례에서 한계원가가3. SDC ( ) 35(1 - 0.03 ln 이라면 납품가격은 얼마로)
책정하는 것이 바람직하겠는가?
조선호텔 사례에서 대기시간이 분 이내일 고객이 이상이려면 평균대기시간이 최대4. 5 95%
몇 분이어야 하는가 소수점 첫째 자리까지 구하시오? .
