技術・研究ノート 地盤と建設

Vol. 21. No. 1. 2∞3

平面ひずみ非排水圧縮載梼時に形成されるすべり菌の有限変形有限要素法による推定

Estimation of Slip Surface under Plane Strain Undrained Compression Loading

Using Finite Element Method Based on Finite Strain

亀井健史 Takeshi KAMEI

志比利秀 Toshihide SHIBI

永吉雄大 Takehiro NAGAYOSHI

(島根大学総合理工学部)

(島根大学総合理工学部)

(日本プロセス(株))

本研究では，土/水連成有限変形有限要素法を用いて，平面ひずみ非排水条件下で、粘性土供試体を圧

縮載荷する場合の解析を行い，せん断帯形成メカニズムに及ぼす塑性指数の影響に関して検討した.そ

の結果，載荷に伴うひずみの局所化からせん断帯形成へと至る変形現象が表現可能になるとともに，明

瞭なすべり商の推定が可能となることが明らかとなった.また，塑性指数はせん断帯形成メカニズムに

大きな影響を及ぼし，中間土のような小さな塑性指数を有する土ほど，ひずみの局所化が小さな軸ひず

み量において発生することやすべり面の傾きが大きくなることを解析的に示した.さらに，本解析手法

を用いることにより，すべり面の傾きを工学的に十分な精度で推定できる可能性を示唆している.

キーワード:圧密非排水せん断，すべり商，塑性指数，平面ひずみ，有限要素法 CIGC: D06， E13)

1 はじめに

近年，土/水連成有限変形有限要素法に基づいたせん

断帯の形成に関する数値解析が盛んに行われている 1) -

5) とくに要素試験を模擬した平面ひずみ圧縮載荷時に

おける有限要素解析が数多く行われている.この場合，

初期形状に不整形を導入した供試体を用いて載荷に伴う

せん断帯の形成をシミュレートすることが多い.例えば，

Asaoka and Noda2)は，供試体側面中央付近に微小な切り

欠きを導入して載荷に伴うせん断帯の形成をシミュレー

トしており，間離水のマイグレーションがせん断幣の形

成には重要で、あることを指摘している.小林ら 3)は，供

試体表面に初期不撃として微細な余弦波モードを与えた

解析を行っており，載荷に伴う変形モードのスイッチン

グ現象について調べている.また，実際の一軸圧縮試験

等の供試体において不整形が入りやすい供試体端面隅に

初期不整形を導入した解析が行われており，供試体端面

)

一"

50

40

30

事 20

10

50 100

I

不慣乱獄料

• Gibwn(1953)

. 中潮ら(1同9)

A uodd岨 dum加 (1963)

'" s回""，(1師向}

• S;"，，，，，，(I蜘 ω繰り返し鼠料

口 Gib四 (1953)

o HvorsI町 (1960)

A Pa町(1剛〉

マ中瀬ら(1976)

0 八木ら(1976)

回大 根回(1977)

X 林(1982)

圏ー1 既往の実験結果 7)-げ)から得られた塑性指数ιと

Hvorslevの破壊基準(有効内部摩擦角偽)の関係

隅の初期不整形はせん断帯の形成に及ぼす影響が小さい

ことが報告さている 4) さらに，粘土の構成方程式に非

共軸項を導入することにより，せん断帯の形成をより小

さな軸ひずみ量で捉えられることも報告されている 5)

本研究では，土/水連成有限変形有限要素法を用いて，

粘性土を平面ひずみ非排水圧縮条件下で、せん断する場合

のせん断帯の形成をシミュレートした.解析では，種々

の塑性指数を有する粘性土を対象とし，塑性指数の違い

が載荷に伴って形成されるせん断帯に及ぼす影響を取り

まとめている.

2. 破壊面の傾きと塑性指数の関係

一般的に，一軸圧縮試験等の要素試験で破壊した供試

体には，破壊面が認められる.破壊面とは変位の不連続

であり，ひずみの局所化が帯状に形成されたせん断帯が

発達したものと考えることができる.その破壊面と水平

面のなす角の傾きは，用いた粘性土の物性の違いにより

異なる値となることが知られている.

載荷に伴って粘性土供試体に形成される破壊面と水平

面のなす角の傾き匂は， Hvorslevの破壊基準に用いられ

る強度定数の一つである有効内部摩擦角。eと密接な関係

にある.その関係は次式で与えられる 6). 7)

丹州ザc山。

一方，従来から多くの研究者によって粘性土の三軸圧

縮試験等の要素試験が行われている.既往の実験結果 7)

-17)から得られた Hvorslevの破壊基準に用いられる有効

内部摩擦角仇と塑性指数ιを整理すると，国一1の関係が

-89 -

一……… 一 一……一一…町一…………一一 一一 …一…一一………一一…一-_.一一一一一……一一一一一一一一γ一一一一一…………マー一一一一………叩………一一………一一一一一一一一一一一一…島

一…町一………一一…………………………一……!い一一……一一一ム……………ー…一一一一…ー…一一一一一一一一……………………………一…………………… m 一…一

亀井・志比・永吉

70

60

不擾乱鼠料濁白b醐，(1953)

・中瀬ら(1珂9)

.... Lodd副Lmnbo(I9日}

.. Sim岨，(1向。ρ• s畑出(1蛸 b)

繰り返し紙料ロ Gib醐 (1953)

o H"""I..(I蝿ω企而η(19田)g 中瀬臨ら以削仰(“川附附1円問附9肝附7刊6

八木ら以(1円97叫ω 庖大根飼(1円9肝77司うx林(“19蝿8叫埠

ミ

50

。 50 100

I

図ー2 既往の実験結果 7)-げ)から得られた塑性指数Ipと

破壊面と水平面のなす角件の関係

得られる.図より ，Ipが大きく比較的高塑性な粘性土と

比較して， ιが小さく低塑性な土，いわゆる中間土の場

合には，有効内部摩擦角協が増加する傾向が認められる.

データにある程度のばらつきが認められるものの， ιと

ιの関係は比較的よい相関関係にあるといえる.この関

係を直線回帰すると，次式となる.

仇(")=-0.205・Ip+33.8(土12)

既往の実験結果から得られた有効内部摩擦角仇を式

(1)に用いることにより，破壊面の傾き afと塑性指数 Ip

の関係を描くと，閣-2が得られる.図より ，afは，Ipが

減少するのに伴い大きくなることがわかる.その関係を

直線回帰することにより，次式が得られる.

αjC)=ー0.103・Ip+ 61.9(:!:6)

なお，これら関係は，今後，データの蓄積をはかること

によって，より信頼性の高い関係式になるものと考えら

れる.

3. 載荷に伴うせん断帯形成の有限要素解析

本報告では，有限要素法を用いて載荷に伴うひずみの

局所化およびせん断帯の形成のシミュレートを行った.

その際，塑性指数を変化させて解析を行うことにより，

塑性指数の違いが形成させるせん断帯に及ぼす影響を評

価している.本解析に用いた有限要素解析手法は，有限

変形弾塑性理論に基づいた土/水連成解析 1)を適用して

おり，志比ほか4). 5) の有限要素プログラムを改良した

ものである.

3. 1 解析方法および解析条件

対象とした供試体は，初期供試体高さ 160mm，幅 80mm

とし， 4節点アイソパラメトリック要素を用いて圏一3の

ように要素分割を行った.荷重および変位の境界条件は，

下端面では鉛直変位を固定とし，水平変位は移動境界と

した.ただし，水平方向への剛体移動を制限するため中

強制変位

nl11111111E 総メッシュ数

128

回gO渇}{

総節点数

153

山

d初期不整

Ai-B-，C

80mm l

(a) 要素分割 (b) 初期不整形状

函-3 本解析に用いた要素分割および初期不整の形状

(2)

央の点 Bでは水平変位も固定とした.上端面では，一様

な鉛直変位によって押込みを行い，水平変位は移動境界

とした.また，側面には，大気圧を作用させた.一方，

水理境界条件としては，各要素聞において間際水の移動

を考慮、しない完全非排水条件宏採用した.

実際の三軸圧縮試験等の供試体には，成形時に端面付

近に微小な不整形が生じやすい.また，そのような不整

形はせん断強さに影響を及ぼしにくいものと考えられて

いる.有限要素解析においても，載荷に伴って供試体内

に発生するひずみの局所化やせん断帯の形成をシミュレ

ートする場合には，初期供試体の形状に不整形(以下，

初期不整と呼ぶ)を導入して解析するほうが簡便で，よ

り実用的な手法であることが明らかとなっている 2)-5)

本解析では，供試体の左下隅の点 A と右上隅の点 Eにお

いて，供試体表面を内側に 10.2mm窪ませることによっ

て初期不整を表現することとする.この初期不整の位置

および形状は有限要素解析結果に及ぼす影響が小さいこ

とがすでに報告されている 4)

(3)

3.2 粘性土の構成方程式

Roscoe et al.18)によって提案された Cam-clayモデ、ルは，

4つの土質定数 (λ，K， eo， M) から正規庄密粘性土の

圧密・せん断挙動を統一的に表現することが可能であり，

広く一般に認められている.本研究では，粘性土の構成

方程式として Cam-c1ayモデルを有限変形に拡張したモ

デルを用いた 19)

有限変形 Cam-clayモデルの降伏関数は，次式で表され

る.

f=仁王InP: +D1J-vP (4) l+e Po

ここで，p'とp'oはそれぞれ平均有効主応力と先行圧密応

力であり，応力比η(=qゲ)は p'と一般化された偏差応力

qの比を，がは塑性体積ひずみを表す.また， λとKはそ

れぞれ自然対数表示による庄縮指数と膨潤指数であり ，e

は間隙比，Dはダイレイタンシー係数を表す.

この降伏関数fに関連流れ則を適用することにより，

- 90 -

平面ひずみ非排水庄織載荷時に形成されるすべり面の有限変形有限要素法による推定

変形速度Dの塑性成分DPが得られる.

Df =A df υθヰ

(5)

ここで，Aは比例定数である.弾性部分にフックの法則

を仮定すると，最終的に，有限変形 Cam-clayモデルの構

成方程式は次式となる.

か((K-F叫ん，+仇t5j1+叫ん)

対 2+h( ~ Sij-仇J(~叩J}Dkl (6)

ここで，T'は有効 Cauchy応力 T'の共回転速度を，Sは

T'の偏差成分を表しており ，f=.JS;sij/2である.眼界

状態における応力比をMとすると，s=(M-η)/.fiは限

界状態への隣接度を示す関数であり ，h叫ん.fiD)p'は

硬化係数を表す.また，圧縮弾性係数Kおよびせん断弾

性係数Gは，それぞれ次式で与えられる.

K=Kop'， G=Gop' (7)

ここで，Ko=(I+e)/K，δ。={3(1-2v)Ko}/{2(l + v)}であ

り，vはポアソン比を表す.

本研究に用いる土質定数は，広範な粘性土への適応性

と定数決定の簡便性という観点から，塑性指数ιを用い

て決定した.この Ipは，世界的に広く認められた指数で

あり，粘性土の地盤工学的特性の分類にも用いられてい

る.本研究で用いたらに基づいた土質定数決定法を表一1

に示す 20) -22) なお，Nは正規圧密曲線上において p'=

表由1 本解析に用いた土質定数決定法 20) -22)

λ= 0.02 + 0.0045ι

K = 0.00084 (lp -4.6) N = 1.517+0.019Ip (= l+eatp'=98kN/m2)

M = 1.65

D = 0.00082ι+ 0.0159

16 16

14 14

12 12

10 10 ( 3冨 8

( g U 8

〉 〉

6 6

4 4

2 2

。 。-4 -2 。2 4 -4 -2 。2

X(cm) X(cm)

(a) Ea = 0.35% (b) Ea = 0.45%

98kN/m2のときの比体積(l+e)を表しており，この値を初

期比体積(1旬。)とする.また，Mは限界状態での応力比

である.この決定法から得られた土質定数を用いた解析

結果は，要素試験 21).23) -25) (三軸試験)，モデル実験 20)•

24) (遠心載荷実験)や実地盤の変形挙動 26). 27) を非常に

よく表現できることが実証されている.ポアソン比Vの

値は，正規圧密状態の自然地盤の静止土圧係数 Koが 0.5

程度あること 28) と弾性解を用いて，v= 0.333 (一定)と

仮定した.表-2は，本解析に用いた土質定数である.

3.3 解析結果および考察

図4から図ー6は，それぞれ塑性指数Ip= 10， 30およ

び 50を有する粘性土に対して，有限要素法を用いて平面

ひずみ非排水条件下で圧縮せん断を行った場合の最大せ

ん断ひずみ分布の結果を示している.ただし，最大せん

断ひずみの分布は，各要素の最大せん断ひずみを各要素

内の中央 1点に代表させて図示した. したがって，図示

の範囲は，高さ 150mm，幅 70mmとなる.まず，Ip = 10

の場合に着目すると，軸ひずみ量%が 0.35%では，最大

せん断ひずみYmaxの分布にばらつきは認められない(圏

-4 (a)). したがって，導入した初期不整がYmaxの分布性

状に及ぼす影響は小さいものと考えられる.Ea = 0.45%で

は， Ymaxの分布性状にばらつきが認められ始め，初期不

整を導入した右上隅と左下隅付近のYmaxが大きくなり，

ひずみの局所化が顕著となる(図-4(b) ). Ea = 0.45%から

Ea = 0.47%へと載荷が進行するのに伴い， Ymax;O'局所化し

た領域は，右上隅のものは右側面， Y=l1 (cm)程度へ，左

下隅のものは左側面， Y=5(cm)程度へと遷移している(圏

ん

10

30

50

4

表-2 本解析に用いた土質定数

λ

0.065

0.155

0.245

16

14

12

10

3E 8 〉

6

4

2

。-4

(c)

K V

0.0045 0.333

0.0213 0.333

0.0381 。目333

-2 0 2 4 X(cm)

Ea = 0.47%

M N

1.65 1.707

1.65 2.087

1.65 2.467

γmWl(1弛)_

0.52 --0.54 組臨0.50--0.52 鶴髄0.48--0.50 繊輔0必ー 0.4必8

鱗畿鱗幾 0.4“4司一-寸0ι縫譲譲畿譲 0“A必4必2一 0.4“4

議議怒 0.40-一一 0.420.38 --0.40

D

0.0241

0.0405

0.0569

図-4 せん断帯の形成過程 (ι=10)

- 91 -

一一一…一一一一一一一…一一………吋時一一………一一一一r…ー…一…… ;

一叫………………一一…………一一……ー…一………ぷ…一………………斗一一一一一一一一一……一一…………ゐ一一一一……一一…一一色……………一一一一L…一……… …

圏一5 せん断帯の形成過程 (ι=30)

16 16 16

14 14 14

12 12 12

10 10 10

3国 8 ( 国:;. 8 ( Sg 8

〉 〉 〉

6 6 6

4 4 4

2 2 2

。 。 。-4 -2 。2 4 -4 -2 。2 4 -4 -2 。2 4

X(cm) X(cm) X(cm)

(a) E. = 1.30% (b) E. = 1.70% (c) E. = 1.75%

auaιτnd

噌・4'

S

4

唱

'A

10

。。(gu)〉

GU

凋斗

a

n

L

。-4 -2 0 2 4

X(cm)

(a) E. = 0.50%

亀井・志比・永吉

16 16

14 14

12 12 γm剛(弛)_ 1.30 --1.32

10 10 m鵬1.27--1.30

手居 8 ( 3母 8 .鱒1.25--1.27

覇轍1.22--1.25 〉 総鱒1.20ー1.22

6 6 緩緩襲撃1.17--1.20

4 4 号令渋1.15--1.17

1.12 --1.15

2 2

。 。-4 -2 。2 4 -4 -2 。2 4

X(cm) X(cm)

(b) E. = 1.20% (c) E. = 1.23%

γm)事)_ 1.85 --1.88

・阻1.81--1.85 .舗1.78--1.81 瓢輯1.74--1.78 鱗機1.71--1.74 線機1.67…1.71

1.64 --1.67 1.60 --1.64

園町6 せん断帯の形成過程 (ι=50)

イ (c)).さらに， Y.鵬が局所化した領域は，その両者を

結ぶ様に拡大し，帯状の領域を形成している.この形成

された帯状の領域は，せん断帯と考えられる.このせん

断帯が初期不整を導入した供試体右上隅と左下隅を通っ

ていないことからも，導入した初期不整の位置および形

状は妥当なものであったことが推察される.

載荷に伴って，供試体内にひずみの局所化からせん断

帯が形成される過程は，Ip = 30， 50の場合も Ip= 10の場

合と同様であった.すなわち，初期不整を導入した右上

隅と左下隅は，ひずみの局所化が顕著な領域の一部では

あるが，形成されるせん断帯の一部とはなっていない.

一方，せん断帯が形成される軸ひずみ量E.は， Ipが増加

するのに伴い，増加することがわかる.実際の三軸試験

結果においても，Ipが増加するのに伴い，破壊ひずみが

増加するという傾向が報告されている 20)，28)

図ー7に塑性指数の違いが形成されるせん断帯の傾き

に及ぼす影響を示す.図は，最大せん断ひずみ量の偏差

の分布，すなわち各要素の最大せん断ひずみと全要素の

平均最大せん断ひずみとの差を軸ひずみ量で除した値を

各要素の中央 1点に代表させたものの分布を示している.

最大せん断ひずみ量の偏差が+3%以上の範囲をせん断帯

と仮定すると，その領域はおおむね一点鎖線で囲まれる

領域となる.

せん断帯の幅に着目すると， ιが減少するのに伴い広

くなる傾向が認められる.したがって，低塑性土の場合

には，高塑性土の場合よりも変形領域が広くなることが

わかる.遠心載荷装置を用いた盛土破壊の実験結果から

も， ιが小さな粘性土のモデ、ノレ地盤の場合には， Ipが大

きな粘性土のモデル地盤の場合に比較して，変形領域が

広くなることが報告されている 29) したがって，本解析

結果は， Ipの違いが載荷に伴う変形領域に及ぼす影響に

関して，遠心載荷装置によるモデ‘ル実験の結果と一致し

ている.

すべり面は，せん断帯が発達することにより，形成さ

れるものと考えられることから，図-7の一点、鎖線で示さ

れた領域とすべり面の聞には密接な関係があるものと推

察される.せん断帯の中央線からすべり面の推定を行う

と，図-7の実線で示すようなすべり面が推定される.そ

の傾きは，Ip = 50の場合には 44.程度， Ip = 10の場合に

は 46.程度となり ，Ipの減少に伴い僅かに大きくなった

が，ιの違いによる顕著な差は認められなかった.また，

せん断帯の中央線から推定したすべり面の傾きは，圏一2

-92 -

によりされる

へ円以

UJ〉

/

、

ご、ム

。-2 4 4 o X(cm)

ワ4 o 2 x ら=10

勺ノ州4

/1' =ぅ。(c) )

bu

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ぎとなっ

間…?

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すべり商

ンドブック，: tM盤工

components of the shear

Research

まと

determinution 01' the true

of internal friction in

Soil

。f

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怠らに露出かく

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i Simons. N. E.

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93 -

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- 94 -