第 24 课　矩形、菱形与正方形

基础知识 自主学习

1 ．有一个角是 的平行四边形是矩形．矩形的四个角都是 ，对角线 ．

矩形的判定方法： (1) 有三个角是 的四边形； (2) 是平行四边形且有一个角是 ； (3) 的平行四边形； (4) 的四边形．

要点梳理

直角

直角 相等且互相平分

直角

直角对角线相等

对角线相等且互相平分

2 ．有一组 的平行四边形叫做菱形．菱形的四条

边都 ，对角线 ，且每一条对角线

．

菱形的判定方法：

(1) 四条边都 ；

(2) 有一组 的平行四边形；

(3) 对角线 的平行四边形；

(4) 对角线 的四边形．

邻边相等

相等 互相垂直平分

平分一组对角

相等邻边相等

互相垂直

互相垂直平分

3 ．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

正方形的四个角都是 ，四条边都 ，两条对角线 ，

并且 ．每一条对角线 ．

正方形的判定方法：

(1) 邻边相等的 ；

(2) 有一角是直角的 ．

直角

相等 互相垂直平分 平分一组对角

相等

矩形

菱形

[ 难点正本　疑点清源 ]

平行四边形与矩形、菱形、正方形的联系与区别 以平行四边形为基础，从边、角、对角线等不同角度进行演变，我们可得出矩形、菱形、正方形这些特殊的平行四边形，它们之间既有联系又有区别． 矩形判定方法的使用：在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件可为矩形；若在四边形的基础上，则需有三个角是直角 ( 第四个角必是直角 ) 则可判定为矩形． 菱形判定方法的使用：在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件可为菱形；若在四边形的基础上，需有四边相等则可判定为菱形． 正方形的判定可简记为：菱形＋矩形＝正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等 ( 即矩形 ) ；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直 ( 即菱形 ) ．

基础自测

1． (2011· 乌兰察布 ) 如图，已知矩形 ABCD ，一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为

M 和 N ，则 M＋ N 不可能是 ( 　　 )

A． 360° B． 540°

C． 720° D． 630°

答案　 D

解析　当直线将矩形分割成两个三角形时，有 M＝ N＝ 180°，M＋ N＝ 360° ；当直线将矩形分割成一个三角形和一个四边形时，不妨设 M＝ 180°， N＝ 360° ，则 M＋ N＝ 540° ；当直线将矩形分割成两个四边形，有 M＝ N＝ 360° ，则 M＋ N

＝ 720°. 所以 M＋ N 不可能是 630°.

2． (2011· 大理 ) 用两块边长为 a 的等边三角形纸片拼成的四边形是 ( 　　 )

A ．等腰梯形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形

答案　 B

解析　两个等边三角形可拼成菱形．

3． (2011· 天津 ) 如图，将正方形纸片 ABCD 折叠，使边AB、 CB 均落在对角线 BD 上，得折痕 BE、 BF ，则∠ EBF 的大小为 ( 　　 )

A． 15° B． 30°

C． 45° D． 60°

答案　 C

解析 因为折叠，所以∠ ABE＝∠ DBE＝12∠ ABD

＝∠ CBF＝∠ DBF＝12∠ CBD，

于是∠ EBF＝∠ DBE＋∠ DBF＝12∠ ABD＋

12∠ CBD

＝12(∠ ABD＋∠ CBD)＝

12∠ ABC＝

12× 90°＝45°.

4． (2011· 茂名 ) 如图，两条笔直的公路 l1、 l2 相交于点 O ，村庄 C

的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、 B、 D ，已知 AB＝ BC

＝ CD＝ DA＝ 5 公里，村庄 C 到公路 l1 的距离为 4 公里，则村庄 C

到公路 l2 的距离是 ( 　　 )

A． 3 公里 B． 4 公里 C． 5 公里 D． 6 公里

答案　 B

解析　连接 AC ，因为 AB＝ BC＝ CD＝ DA ，所以四边形ADCD 是菱形， CA 平分∠ DAB ，点 C到 l1 的距离等于点 C到 l2

的距离，故选 B.

5．(2011·杭州)在矩形 ABCD中，有一个菱形 BFDE

(点 E、F分别在线段 AB、CD上)，记它们的面积

分别为 SABCD和 SBFDE.现给出下列命题：

①若SABCD

SBFDE＝

2＋ 32 ，则 tan∠EDF＝

33 .

②若 DE2＝BD·EF，则 DF＝2AD.

则：( )

A．①是真命题，②是真命题

B．①是真命题，②是假命题

C．①是假命题，②是真命题

D．①是假命题，②是假命题

答案　 A

解析 ∵① S 矩形 ABCD＝AD·BA，S 菱形BFDE＝AD·BE，

∴ AB∶ BE＝(2＋ 3)∶ 2，∴ AE∶ BE＝ 3∶ 2.

设 AE＝ 3k，则 BE＝2k.

在 Rt△ ADE中，AE＝ 3k，DE＝2k，

∴ AD＝ 2k2－ 3k2＝k.

∴ tan∠ EDF＝tan∠ AED＝ADAE＝

k3k＝

33 .

命题①是真命题；

∵② S 菱形 BFDE＝12BD·EF，

∴ DE2＝BD·EF，∴ AD·BE＝12DE2.

又∵ DE＝DF＝BE，∴ DF＝2AD.

命题②是真命题．

题型分类 深度剖析

【例 1 】　如图，四边形 ABCD 是矩形， E是 AB 上一点，且 DE＝ AB ，过 C作 CF⊥DE ，垂足为 F.

(1) 猜想： AD与 CF 的大小关系； (2) 请证明上面的结论．

题型一　矩形

解　 (1)AD＝ CF.

(2) 在矩形 ABCD 中， AB∥CD ，且 AB⊥CD ，∠ A＝ 90° ， ∴∠CDF ＝∠ AED.

又∵ DE＝ AB ， ∴DE＝ CD.

∵CF⊥DE ， ∴∠A ＝∠ DFC＝ 90° ， ∴△ADE≌△FCD ， ∴AD＝ CF.

探究提高　矩形四个角都是直角，抓住这一特征，证两个直角三角形全等；矩形的对角线将其分成若干个特殊三角形．

知能迁移 1 (2011· 滨州 ) 如图，△ ABC 中，点 O是 AC

边上 ( 端点除外 ) 的一个动点，过点 O 作直线 MN∥BC.设MN 交∠ BCA 的平分线于点 E ，交∠ BCA 的外角平分线于点 F ，连接 AE、 AF. 那么当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论．

解　当点 O 运动到 AC 的中点 ( 或 OA＝ OC) 时，四边形 AECF 是矩形． 证明：∵ CE 平分∠ BCA ， ∴∠1 ＝∠ 2.

又∵ MN∥BC, 1∴∠ ＝∠ 3 ， ∴∠3 ＝∠ 2 ，∴ EO＝ CO.

同理， FO＝ CO.

∴EO＝ FO.

又∵ OA＝ OC, ∴四边形 AECF 是平行四边形． ∵∠1 ＝∠ 2 ，∠ 4 ＝∠ 5 ， ∴∠1 ＋∠ 5 ＝∠ 2 ＋∠ 4.

又∵∠ 1 ＋∠ 5 ＋∠ 2 ＋∠ 4＝ 180° ， ∴∠2 ＋∠ 4＝ 90°.

∴□AECF 是矩形．

题型二　菱形

【例 2 】　如图，四边形 ABCD 是菱形， DE⊥AB交 BA 的延长线于 E， DF⊥BC ，交 BC 的延长线于 F. 请你猜想DE与 DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想．

解　 DE＝ DF.

证明：连接 BD ， 在菱形 ABCD 中， BD 平分∠ ABC ， ∵DE⊥AB， DF⊥BC ， ∴DE＝ DF.

探究提高　此题可以证明△ ADE≌△CDF ，得 DE＝ DF ；或者连接 BD ，由“角平分线上的点到角两边的距离相等”证明 DE＝ DF.

知能迁移 2 (2011· 济宁 ) 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于 O ，过点 O 作直线 EF⊥BD ，分别交 AD、BC 于点 E 和点 F ，求证：四边形 BEDF 是菱形．

解　证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， OB＝ OD ， ∴∠EDO ＝∠ FBO, ∠OED ＝∠ OFB ， ∴△OED≌△OFB ， ∴DE＝ BF.

又∵ ED∥BF ， ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形． ∵EF⊥BD ， ∴ 平行四边形 BEDF 是菱形．

题型三　正方形

【例 3 】 (2012· 青海 ) 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC

和 BD 相交于点 O， O 又是正方形 A1B1C1O 的一个顶点，OA1交 AB 于点 E， OC1交 BC 于点 F.

(1) 求证：△ AOE≌△BOF ； (2) 如果两个正方形的边长都为 a ，那么正方形 A1B1C1O

绕 O 点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为 什么？

解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解：(1)证明：在正方形 ABCD中，AO＝BO，∠AOB＝90°，

∠ OAB＝∠ OBC＝45°.

∵ ∠ AOE＋∠ EOB＝90°，∠ BOF＋∠ EOB＝90°，[2分]

∴ ∠ AOE＝∠ BOF.[3分]

在△ AOE和△ BOF中，

∠ OAE＝∠ OBF，OA＝OB，∠ AOE＝∠ BOF，

∴ △ AOE≌ △ BOF.[5分]

(2)答：两个正方形重叠部分面积等于14a2.

∵ △ AOE≌ △ BOF，

∴ S 四边形OEBF＝S△ EOB＋S△ OBF＝S△ EOB＋S△ AOE

＝S△ AOB＝14S 正方形ABCD＝

14a2.[8分]

探究提高　正方形具有四边形、平行四边形、矩形及菱形的一切性质，它们之间既有联系又有区别，其各自的性质和判定是中考的热点．

知能迁移 3 (2011· 舟山 ) 以四边形 ABCD 的边 AB、 BC、 CD、 DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、 F、 G、 H ，顺次连结这四个点，得四边形 EFGH.

(1) 如图 1 ，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形 EFGH 是正方形；如图 2 ，当四边形 ABCD 为矩形时，请判断：四边形 EFGH 的形状( 不要求证明 ) ；

(2) 如图 3 ，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设∠ ADC＝ α(0°＜ α＜ 90°).

① 试用含 α 的代数式表示∠ HAE ； ②求证： HE＝ HG ； ③四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由 .

解　 (1) 四边形 EFGH 是正方形． (2)①∠HAE＝ 90°＋ α.

证明：在▱ ABCD 中， AB∥CD ， ∴∠BAD＝ 180°－∠ ADC＝ 180°－ α.

∵△HAD 和△ EAB 都是等腰直角三角形， ∴∠HAD ＝∠ EAB＝ 45° ， ∴∠HAE＝ 360°－∠ HAD－∠ EAB－∠ BAD

＝ 360°－ 45°－ 45°－ (180°－ α)＝ 90°＋ α.

∵ △② AEB和△ DGC都是等腰直角三角形，

∴ AE＝2

2 AB，DG＝2

2 CD.

在□ABCD中，AB＝CD，∴ AE＝DG.

∵ △ HAD和△ GDC都是等腰直角三角形，

∴ ∠ HDA＝∠ CDG＝45°，

∴ ∠ HDG＝∠ HAD＋∠ ADC＋∠ CDG＝90°＋α＝∠ HAE.

∵ △ HAD是等腰直角三角形，

∴ HA＝HD，

∴ △ HAE≌ △ HDG，∴ HE＝HG.

③四边形 EFGH 是正方形．理由如下： 由②同理可得： GH＝ GF， FG＝ FE.

∵HE＝ HG( 已证 ) ， ∴GH＝ GF＝ EH＝ FE ，∴四边形 EFGH 是菱形． ∵△HAE≌△HDG( 已证 ) ， ∴∠DHG ＝∠ AHE.

又∵∠ AHD ＝∠ AHG ＋∠ DHG＝ 90° ， ∴∠EHG ＝∠ AHG ＋∠ AHE＝ 90° ， ∴ 菱形 EFGH 是正方形．

题型四　特殊平行四边形综合题

【例 4】 (2010·南充)如图，△ ABC内接于⊙ O，

AD⊥BC，OE⊥BC，OE＝12BC.

(1)求∠BAC的度数； (2)将△ ACD沿 AC折叠为△ ACF，将△ ABD沿

AB折叠为△ ABG，延长 FC和 GB相交于点 H， 求证：四边形 AFHG是正方形；

(3)若 BD＝6，CD＝4，求 AD的长．

解 (1)连接 OB和 OC.(如图) ∵ OE⊥ BC， ∴ BE＝CE.

∵ OE＝12BC，

∴ ∠ BOC＝90°， ∴ ∠ BAC＝45°.

(2)证明：∵ AD⊥ BC， ∴ ∠ ADB＝∠ ADC＝90°. 由折叠可知：AG＝AD＝AF，∠ AGH＝∠ AFH＝90°， ∠ BAG＝∠ BAD，∠ CAF＝∠ CAD， ∴ ∠ BAG＋∠ CAF＝∠ BAD＋∠ CAD＝∠ BAC＝45°， ∴ ∠ GAF＝∠ BAG＋∠ CAF＋∠ BAC＝90°， ∴ 四边形 AFHG是正方形．

(3)解：由(2)得，

∠ BHC＝90°，GH＝HF＝AD，

GB＝BD＝6，CF＝CD＝4.

设 AD＝x，

则 BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4.

在 Rt△ BCH中，BH2＋CH2＝BC2，BC＝6＋4＝10，

∴ (x－6)2＋(x－4)2＝102，

解之得 x1＝12，x2＝－2(不合题意，舍去)．

∴ AD＝12.

探究提高　在判定矩形、菱形或正方形时，要弄清是在“四边形”，还是在“平行四边形”的基础上来求证的，要熟悉各判定定理之间的联系与区别，解答此类问题要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，确定一种解决问题的方法，这里方程的思想很重要．

知能迁移 4 (2011·宿迁 ) 如图，在边长为 2 的正方形ABCD 中， P为 AB 的中点， Q 为边 CD 上一动点，设DQ＝ t(0≤t≤2) ，线段 PQ 的垂直平分线分别交边AD、 BC 于点 M、 N ，过 Q作 QE⊥AB 于点 E ，过 M

作MF⊥BC 于点 F.

(1)当 t≠1 时，求证：△ PEQ≌△NFM ； (2) 顺次连接 P、M、 Q、 N ，设四边形 PMQN 的面积为 S ，

求出 S 与自变量 t 之间的函数关系式，并求 S 的最小值．

解　 (1) 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠ B ＝∠ D＝ 90° ， AD＝ AB.

∵QE⊥AB，MF⊥BC ， ∴∠AEQ ＝∠ MFB＝ 90°.

∴ 四边形 ABFM、 AEQD 都是矩形． ∴MF＝ AB， QE＝ AD，MF⊥QE.

又∵ PQ⊥MN ， ∴∠EQP ＝∠ FMN.

又∵∠ QEP ＝∠ MFN＝ 90° ， ∴△PEQ≌△NFM.

(2)解：∵ 点 P是边 AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t， ∴ PA＝1，PE＝|1－t|，QE＝2.

在 Rt△ QEP中，由勾股定理，得 PQ＝ QE2＋PE2＝ 1－t2＋4. ∵ △ PEQ≌ △ NFM，

∴ MN＝PQ＝ 1－t2＋4. 又∵ PQ⊥ MN，

∴ S＝12PQ·MN＝

12

1－t2＋4＝

12t2－t＋

52.

∵ 0≤ t≤ 2， ∴ 当 t＝1时，S 最小值＝2.

综上：S＝12t2－t＋

52，S的最小值为 2.

易错警示

试题　在△ ABC 的两边 AB、 AC 上向形外作正方形 ABEF、 ACGH ， 过点 A作 BC 的垂线分别交 BC 于点 D ，交 FH于M ，求证： FM＝

MH.学生答案展示　 如图，∵四边形 ABEF 与四边形 ACGH 都是正方形， ∴AF＝ AB， AH＝ AC. 又∵∠ FAH ＝∠ BAC ， ∴△AFH≌△ABC. 5∴∠ ＝∠ 2. ∵∠3 ＋∠ 1＝ 90° ，∠ 3 ＋∠ 2＝ 90° ， ∴∠1 ＝∠ 2 ，∴∠ 1 ＝∠ 5. ∵∠1 ＝∠ 4 ，∴∠ 4 ＝∠ 5. ∴AM＝ FM. 同理， AM＝ AH ， 故 FM＝MH.

15．不认真画图导致错误

剖析　上述解法错在将∠ BAC画成了直角 ( 题中没有这个条件！ ) 从而导致∠ FAH 、∠ BAC 和∠ 1 、∠ 4 分别成为对顶角，不认真画图，匆匆忙忙进行推理，就很容易犯错误．

正解　分别过 F、 H画 FK⊥MD， HL⊥MD ，垂足为K、 L.

∵ 四边形 ACGH 是正方形， ∴AC＝ AH ，∠ CAH＝ 90° ，∴∠ 1 ＋∠ 2＝ 90°.

∵AD⊥BC ，∴∠ 2 ＋∠ 3＝ 90° ，∴∠ 1 ＝∠ 3.

又∵∠ HLA ＝∠ ADC＝ 90° ， ∴△AHL≌△CAD.∴HL＝ AD.

同理：△ AFK≌△BAD.

∴FK＝ AD.∴FK＝ HL.

又∵∠ FMK ＝∠ HML ， ∠FKM ＝∠ HLM＝ 90° ， ∴△FMK≌△HML.

∴FM＝MH.

批阅笔记　证明一个几何命题时，一般要先根据题意画出图形，但画图时应严格根据题设条件，不能将一般的图形画成一个特殊图形，否则在证明时就容易受所画图形干扰而导致错误 .

思想方法 感悟提高

方法与技巧 1. 平行四边形是中心对称图形，这是它的本质特征．矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形，不仅具有平行四边形的特征，而且它们都是轴对称图形，分别具有一些独特的性质． 2. 利用一般与特殊的关系，明确各四边形的从属关系，系统掌握特殊平行四边形的性质定理和判定定理．

失误与防范 1 ．在判定矩形、菱形或正方形时，要明确是在“四边

形”还是在“平行四边形”的基础之上来求证的．要熟悉各判定定理的联系和区别，解决此类问题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法是解决这类问题的关键． 2 ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，常将它与直角三角形的其他性质联合运用，解决直角三角形中的计算或论证问题．

完成考点跟踪训练 24