과목소개

보고서 작성법

오차론오차론

담당교수: 조경현 한승진 윤건수담당교수: 조경현, 한승진, 윤건수

조경현조경현• Office : 054-279-5849• E-mail : khsacho@postech.ac.krE mail : khsacho@postech.ac.kr

한승진• Office : 054-279-5885• E-mail : hansj@postech.ac.kr

윤건수• Office : 054-279-2079Office : 054 279 2079• E-mail : gunsu@postech.ac.kr

• 목표일반물리I (물리-101)에서 소개되는 물리학의 중요 기본개념과원리를 실험을 통하여 학습

- 실험 기구의 작동원리 및 취급 기술 익히기- 물리 개념과 원리들의 증명- 실험 데이터의 분석 방법 익히기- 실험 결과의 처리 및 해석 방법 익히기- 오차 분석

• 교재General Physics Lab I Manual

• 참고도서- Essential university physics (Wolfson)- An Introduction to Error Analysis (John Taylor, 1997)

• Web page- http://edulab.postech.ac.kr

주 일자 실험주제

1 3/4 ~ 3/8 오차론 / 조편성 / 실험요강차론 편성 실험 강2 3/11 ~ 3/15 측정과 오차해석3 3/18 ~ 3/22 선형가속운동을 이용한 중력가속도측정4 3/25 ~ 3/29 쇠구슬경주에 대한 운동학(kinematics)5 4/1 ~ 4/5 뉴턴 운동 제2법칙-힘, 가속도, 질량6 4/8 ~ 4/12 질점의 회전운동에 의한 구심력 측정7 4/15 ~ 4/19 2차원 충돌을 이용한 운동량 보존법칙/ / 차원 충돌을 이용한 운동량 존법칙8 4/22 ~ 4/26 중간고사 (study week)9 4/29 ~ 5/3 초신성 폭발 “Astroblaster”10 5/6 ~ 5/10 물리진자를 이용한 단진동11 5/13 ~ 5/17 강체의 관성모멘트 측정12 5/20 ~ 5/24 보강 및 해맞이 축제 (휴강)- 5/23, 2413 5/27 ~ 5/31 기주공명을 이용한 음속측정14 6/3 ~ 6/7 아르키메데스 원리를 이용한 부력 측정15 6/10 ~ 6/14 Final lab test16 6/17 ~ 6/21 기말고사 (study week)참고: 위 실험일정은 사정에 따라 변경될 수 있음.5/17(석탄) 5/20, 5/23,24 6/6(현충일) 6/13 [일정변경]문의: 일반물리교육실험실 (054-279-5424)

성적비율

-출석: 10%

-실험 보고서: 80%

(실험예비평가 (10%) + 결과보고서 (70%))

- 최종평가시험: 10%

출석점수출석점수

- 2회 이상 결석 시: F 학점.

- 결석 : -a점 지각 : -b점- 결석 : -a점, 지각 : -b점.

태도점수: 감점처리 [-a]

보고서는 반드시 수기로 작성– 보고서는 반드시 수기로 작성

– Pre-Lab test: 10% (예비보고서 대체)

– 결과 보고서 (Final Report): 70%

표지 실험자료 결과 및 분석• 표지, 실험자료, 결과 및 분석

• 보고서 제출마감 이후 1주일 경과 시 70% 감점

• 2주 경과 시 받지 않음 (0점 처리)

본 과정을 통해 한 학기 동안 학생들의 실험수행의 정도를 파악 할 수 있으며, 학기 내 전 실험종목에 대한 관심을 보다 집악 할 수 있으며, 학기 내 전 실험종목에 대한 관심을 보다 집중 시킬 수 있는 역할을 할 것으로 기대된다.

- 실험관련 기초지식 평가

- 분석방법 평가

- 실험장치 구성도 및 실험절차 평가

– 출석 확인 시 입실하지 않았을 경우 지각처리

– 사전 연락 없이 결석 할 경우, 결과보고서를 받지 않음 (0점)

부득이한 사정으로 결석할 경우 조교와의 상의 하에– 부득이한 사정으로 결석할 경우 조교와의 상의 하에개별적으로 실험할 것

– 무단 결석 2번 이상 = F

– 조교의 지시에 충실히 따를 것조교의 지시에 충실히 따를 것아래의 경우에 해당할 경우 조교의 재량하에 감점

• 안전사고 방지• 실험실의 질서 유지

복장이 불량할 경우 감점– 복장이 불량할 경우 감점

– 뒷정리 상태가 불량할 경우 감점뒷정리 상태가 불량할 경우 감점

– 심하게 떠들어서 주변 학생에게 피해를 줄 경우 감점

– 실험 도중 먼저 가는 경우도 감점대상

• 전원 코드 확인 (110V용인지 220V용인지)

• 실험 내 슬리퍼 착용 금지

• 실험 종료 후 전원 플러그 뽑을 것

• 본인이 모르는 실험장치는 손대지 말 것 (감전사고 위험)

• 화학물질 취급할 때는 지정장소에서 취급하고 바닥에 쏟지 않도록 주의할 것

• 전원코드, 케이블 등은 통행에 지장을 초래하지 않도록 주의할 것

• 실험실에서 떠들어 다른 학생을 방해하지 말 것실험실에서 떠들어 다른 학생을 방해하지 말 것

• 무거운 물건을 옮길 때는 주변 학생들에게 미리 알리고 무리한 행동은 삼가 할 것

실험 중 사고가 발생하면 조교에게 필히 알리고 긴급사고 발생시 127 또는 119 신고• 실험 중 사고가 발생하면 조교에게 필히 알리고, 긴급사고 발생시 127 또는 119 신고

• 소화기 위치 숙지할 것

• 화재 등 사고가 났을 때 건물외부로 나가는 비상경로를 숙지할 것

• 실험장비 준비(Setting)- 실험의 목적에 맞게 장비를 설치하고 구동될 수 있게 준비

- 측정하고자 하는 값을 얻을 수 있도록 실험 기구를 장치- 실험 시작 전에 빠진 물품이 없는지 미리 확인하면 시간을 절약할 수 있음- 오차를 발생시킬만한 요인 제거

• Lab note의 중요성- 개인적 중요성: 실험 data를 보존, 실험 당시의 상황 보존, Data 분석할 때 오차분석 등에 도움- 대외적 중요성: 실험 결과 및 분석에 대한 신뢰성 부여, 실험보고서와 일치해야 함, 표절 시비에서 법적인 증거자료

• 실험 후 Lab note 정리 및 확인- Computer를 이용하여 작성하는 경우 실험이 끝날 때 조교에게 lab-note를 e-mail로 보낸다.- 수기를 하는 경우 조교에게 데이터를 검증 받는다.

• Lab note 작성법 (노트의 경우)- 노트 작성시: 한쪽 페이지만 사용- 각 실험에 알맞은 환경/실험 변수들을 기록- 액체 등에 지워지지 않는 단색 볼펜을 사용 (검정색 권장)- 실험실 안에서 실험이 시작된 후의 모든 것을 적는 in-lab report와 같은 형식

• Lab note 작성법 (노트의 경우)– 노트 작성시: 한쪽 페이지만 사용

각 실험에 알맞은 환경/실험 변수들을 기록– 각 실험에 알맞은 환경/실험 변수들을 기록– 액체 등에 지워지지 않는 단색 볼펜을 사용 (검정색 권장)– 실험실 안에서 실험이 시작된 후의 모든 것을 적는 in-lab report와 같은 형식

• Lab note 작성법• Lab note 작성법– 실험 기구 setting 사항 을 간략하게 기록 (왜 이렇게 장치했는지 이유를 적으면 더 좋다.)– 어떤 부분을 변화시켜서 어떤 값을 얻었는지 필히 기록(raw data)– 개인이 선호하는 방식으로 raw data를 수집(오차도 필히 기입),

수집된 자료를 이용하여 마지막에는 구하려는 값을 쉽게 알 수 있는 그래프를 그림– 수집된 자료를 이용하여 마지막에는 구하려는 값을 쉽게 알 수 있는 그래프를 그림

• Lab note: 실험 분석(Analysis)– 간단한 분석의 필요

데이터를 얻으면 이것이 이론으로 예측한 값과 유사성을 보이는지 확인해 보는 작업이 필요– 데이터를 얻으면 이것이 이론으로 예측한 값과 유사성을 보이는지 확인해 보는 작업이 필요.– 원하는 값을 얻기 위한 대략적인 그래프를 lab note에 그리고 값이 다를 경우, 오차의 원인이 될 만한

사항을 체크.– 실험실에서 파트너와 함께 하는 마지막 부분으로 실험이 성공했는지 실패했는지 정도를 추측하는

정 분석하면 됨 여기서 자세한 차분석은 필 없음정도로 분석하면 됨 (여기서는 자세한 오차분석은 필요 없음)– 그래프까지 그린 후에 조교에게 확인을 받으면 수업이 끝남

• Lab note 작성 팁– 예비보고서를 작성할 때 어떤 값을 측정할 것인지 생각하고 lab note를 어떻게 작성할 것인지

미리 계획을 세움. (예습이 무척 중요.)

선형가속운동2007.3.14

날씨: 맑음날씨: 맑음

실험실 온도: 20도

X0

X1 공이 똑바로안 떨어진다

X2

X3

안 떨어진다.

X4

측정값: 각 공의 위치(Xi)

시간 간격

카메라가 잘작동하지 않는다.

시간 간격

계산해야 할 값: …….

실험 data

x0 X1 X2

…. … …

사용할 식

g=Δv/Δt.

S값 … …Δv와 Δt를 이용해서 그래프를 그리면 선형이다!!!

ΔS

t

• 필요성- 실험을 통해 얻은 결과로부터 물리적 의미를 쉽게 파악 및 이해하기 위함- 실험을 통해 얻은 결과로부터 물리적 의미를 쉽게 파악 및 이해하기 위함- 실험자: 실험을 통해 얻은 데이터의 물리적인 의미를 더욱 쉽게 알 수 있음- 독자: 실험자가 행한 실험 결과를 한눈에 살필 수 있음

주의점• 주의점- 그래프를 그릴 정도의 충분한 양의 데이터를 확보하는 것이 중요하다.- 각 점의 오차막대를 반드시 표시한다.- 그래프상의 점들의 추세선을 그린다. 적어도 2/3 이상의 점들의 오차막대 안으로 추세선이 들어가야 한다.

추세선의 물리적 의미를 파악하도록 한다- 추세선의 물리적 의미를 파악하도록 한다.- 각 축의 물리량의 단위, 스케일을 표시한다.- 그림에 캡션을 달아서 그래프의 의미를 명확히 설명한다.

A 지점 오차(±) B 지점 오차 (±)

1회 0.846 0.0005 0.868 0.0005

2회 0 892 0 0005 0 901 0 00050.300

0.500

0.700

0.900

loc

itie

s (

mm

/s)

2회 0.892 0.0005 0.901 0.0005

3회 0.593 0.0005 0.598 0.0005

4회 0.389 0.0005 0.389 0.0005

5회 0 442 0 0005 0 443 0 0005

-0.300

-0.100

0.100

0 1 2 3 4 5 6

Dif

fere

nc

e o

f ve

l

5회 0.442 0.0005 0.443 0.0005 -0.500

Trial number

• 그래프의 종류는 반드시 분산형으로 선택- 보통 X와 Y사이에 수식적 관계가 있을 경우 사용- 삽입->차트 ->(선 없는)분산형->계열 추가->x값 y값 지정->다음->[제목]탭에서 자료 명시삽입 >차트… >(선 없는)분산형 >계열 추가 >x값, y값 지정 >다음 >[제목]탭에서 자료 명시

->[눈금선]에서 선택 모두 해제

• Error bar를 명시- 점을 누르고 오른쪽 마우스 버튼을 클릭하여 [데이터 계열 서식]을 누르면 error bar를 넣을 수 있다점을 누르고 오른쪽 마우스 버튼을 클릭하여 [데이터 계열 서식]을 누르면 error bar를 넣을 수 있다.- 측정한 오차를 [사용자 지정] 메뉴에서 넣는다.

• 그래프 배경 및 보조선 없애기- 회색 부분에 마우스를 대고 오른쪽 클릭한 뒤 [그림영역 서식]을 눌러 배경색을 없앤다회색 부분에 마우스를 대고 오른쪽 클릭한 뒤 [그림영역 서식]을 눌러 배경색을 없앤다.- 그래프 위에 마우스를 올려놓고 오른쪽 클릭하여 [차트 옵션]을 선택한 뒤 [눈금선] 탭에서

보조선을 없앤다.

• X축 Y축 자료 표시하기• X축, Y축 자료 표시하기- [차트 옵션]의 [제목] 탭에서 조정할 수 있다.

• 추세선 그리기X축과 Y축 사이의 관계를 보기 위해서는 추세선이 필요하다- X축과 Y축 사이의 관계를 보기 위해서는 추세선이 필요하다.

- 찍힌 점을 선택한 뒤 마우스 오른쪽 버튼을 눌러 [추세선 추가]를 클릭한다. 기대되는 개형의 추세선을선택한 뒤 적용시켜 본다. 추세선의 식을 함께 보고 싶다면 [옵션] 탭에서 수식추가에 체크한다.

- 추세선이 error bar를 너무 많이 벗어날 경우에는 개형 모델의 신뢰성이 떨어지므로 다른 모델을적용시켜 본다 가능한한 일차식으로 표현할 수 있게 그래프를 만든다적용시켜 본다. 가능한한 일차식으로 표현할 수 있게 그래프를 만든다.

오차론: 측정값이 참값으로부터 벗어난 정도를 오차라 하며, 오차의 원인을 이해 함으로서측정값을 보다 신뢰할 수 있다.

실험은 기존의 이론적 원리 또는 새로운 자연현상을 이해하기 위한 조작적 방법으로복잡한 실제 세계를 “실험장치”라는 단순한 모형을 이용하여 정량적으로 분석하는 과정복잡한 실제 세계를 실험장치 라는 단순한 모형을 이용하여 정량적으로 분석하는 과정이다.

실험이 진행되는 동안 다양한 종류의 오차가 측정값에 영향을 끼치게 된다.실험이 진행되는 동안 다양한 종류의 차가 측정값에 영향을 끼치게 된다

오차는 크게 인위적인 오차, 계기의 상태에 따른 오차, 주위 환경에 따른 오차 그리고원인을 알 수 없는 우연오차 등이 있다. 원인을 알 수 없는 우연 차 등이 있다

오차가 가중된 측정값들로부터 신뢰할 수 있는 실험 결과를 얻기 위해서는 측정값에차가 가중된 측정값들 부터 신뢰할 수 있는 실험 결과를 얻기 위해서는 측정값에대한 다양한 통계적 처리가 요구된다.

① 계통오차 (systematic error): 해석 가능한 오차로 보정이 가능하다.

ⅰ) 계기오차 (instrumental error): 계기의 보정오차

ⅱ) 환경오차 (environmental error): 온도, 습도 등에 의한 오차

ⅲ) 이론오차 (theoretical error): 이론적 근사에 따른 오차

오차

ⅳ) 개인오차 (personal error): 실험자 개인의 습성으로부터 기인하는 오차

② 과실오차 (erratic error)

: 실험과정에 있어 실험자의 부주의로 가중되는 오차로 주로 계기의 취급 부주의로

발생하는 오차이다.

③ 우연오차 (random error)

: 오차의 원인을 해석할 수 없기 때문에 보정이 불가능한 오차이다. 그렇기 때문에차의 원인을 해석할 수 없기 때문에 정이 불가능한 차이다 렇기 때문에

우연오차에 의해 가중되는 오차를 최소화하기 위해서는 측정의 횟수를 가능한 한

많이 증가시키는 것이다. 이 측정결과들로부터 얻은 평균값을 측정값으로 사용함으로서

보다 신뢰할 수 있는 실험결과를 얻을 수 있다.

실험이 진행되는 동안 임의의 물리량에 대한 측정값은 오차로 인해 매번 측정할 때마다다른 값을 가지게 되며, 이들 측정값들은 다양한 분포특성을 보이게 된다. 주어진 분 특성을 대 하 값 평균값 중앙값 리 최빈값이 있다주어진 분포 특성을 대표하는 값으로는 평균값, 중앙값, 그리고 최빈값이 있다.

① 평균값 (산술평균-arithmetical mean): n개 측정값이 주어질 경우, 이들의 합을 측정횟수 n으로 나눈 값이다.

② 중앙값 (median)대표값 ② 중앙값 ( ): 통계집단의 변량을 크기의 순서로 늘어 놓았을 때, 중앙에 위치하는 값. : 총수 n이 홀수일 때는 (n＋1)/2번째의 변량, n이 짝수일 때는 n/2번째와(n＋2)/2번째의 변량의 산술평균을 취한다

대표값

③ 최빈값 (most probable value): 측정값들 중 가장 빈도가 높은 측정값을 최빈값이라 한다.

측정값 참값 측정횟수 평균값

ix X N

N

iix

Nx

1

1

오차 ( )나 편차 ( )가 작을수록 측정값은 참값 및 평균값에 가깝다.i i

상대오차 = %100i오차: Xx 오차의 크기 Xx

차 ( )나 편차 ( )가 작을수록 측정값은 참값 및 평균값에 가깝다i i

상대오차 = %100X오차: Xxii 오차의 크기 = Xxii

가중평균 ( i ht d )1

N

f (f 동일 측정값이 반복되는 빈도수)가중평균 (weighted average) = ,1i

ii xfN

(fi : 동일 측정값이 반복되는 빈도수)

편차 평균편차 N1 (참값이 알려지지 않을 경우 평균값을 사용)편차 = xxi 평균편차 =

i

iN 1

(참값이 알려지지 않을 경우 평균값을 사용)

측정값 평균값 측정횟수 오차 분산

분산과 표준편차는 측정값의 분포상태와 정밀도를 나타내는 지표

ix iNx i과 차 측정값의 상태와 정 나타내 지

① 참값이 주어질 경우

ii XxS 22 )(11 분산 =

② 참값이 주어지지 않을 경우

ii22 11 분산 =

i iii Xx

NNS )(분산

iN21 표준편차 =

i iii NN 1

분산

iN2

11 표준편차 =

iiN i

iN 1표준편차 (standard deviation)각 데이터가 평균과 얼마나 차이를 가지느냐를 알려주는 분산의 양의 제곱근.표준편차는 각 측정값의 평균적인 uncertainty를 나타낸다

2)(1

표준편차는 각 측정값의 평균적인 uncertainty를 나타낸다.

표준오차: 평균값의 표준편차로 평균값의 uncertainty를 나타난다.

i

im xxNN

2)()1(

1표준오차 =

정규오차분포 (normal error distribution)

- 자연현상을 기술하는 자료들의 가장 일반적인 분포형태자연현상을 기술하는 자료들의 가장 일반적인 분포형태

- 대부분의 자료들이 평균값 주위에 분포하며, 평균값으로부터 멀어질 수록자료의 수가 급격하게 줄어드는 분포

- 평균값을 기준으로 좌우대칭형 자료분포 (자료수가 증가할 수록 대칭구조)

- 측정이 여러 번 시행되는 동안 random error만을 고려할 경우, 측정값들은 참값또는 평균값 근처에서 정규분포를 갖는다. 이 경우 참값 또는 평균값으로부터

Normal distribution function 0.60.60.6

는 평균값 근처에서 정규분 를 갖는다 이 경우 참값 는 평균값 부터표준편차 만큼의 거리 안에 측정값들의 약 68%가 분포한다.

2

2

2)(exp

21)(

xxxf

0.3

0.4

0.5

x) 0.3

0.4

0.5

x) 0.3

0.4

0.5

x)

0.1

0.2f(x

0.1

0.2f(x

0.1

0.2f(x

50x21

52

(red)

(green)

- 4%

- 10%

30 40 50 60 700.0

x30 40 50 60 70

0.0

x30 40 50 60 70

0.0

x

83 (blue) - 16%

측정치의 표시

mx 6745.0측정값 = 평균값 표준오차 = (50% 신뢰도 내의 값)

mx 1 (68% 신뢰도 내의 값)측정값 = 평균값 표준오차 =

유효숫자 (significant figure)

-측정값의 정밀도를 표현하기 위한 수의 표기법측정값의 정밀도를 표현하기 위한 수의 표기법

-유효숫자의 수와 측정값 자체의 크기는 무관 (유효숫자 이외의 수를 자리수라 한다.)

- 측정값들 사이의 사칙연산 결과는 유효숫자가 작은 것을 기준으로 표시측정값들 사이의 사칙연산 결과는 유효숫자가 작은 것을 기준으로 표시

Example 1) 유효숫자가 2자리인 경우: 1.7 X 105 Example 2) 유효숫자가 3자리인 경우: 57.3Example 1) 유효숫자가 2자리인 경우: 1.7 X 10

유효숫자가 3자리인 경우: 1.70 X 105

유효숫자가 4자리인 경우: 1.700 X 105

Example 2) 유효숫자가 3자리인 경우: 57.3

유효숫자가 4자리인 경우: 57.30

측정값들 사이의 사칙연산 결과는 유효숫자가 작은 것을 기준으로 표시

덧셈과 뺄셈

소수점 이하 유효숫자가 작은 수를 기준으로 반올림한다.

예) 514.0 + 3.75 = 517.75 517.8

곱셈과 나눗셈

연산에 사용하는 수 중에서 유효숫자의 개수가 가장 작은 숫자를 기준으로 반올림한다.

예) 340.2/25.3 = 13.4466 13.4

철사의 두께 측정)(01618//

8

dddn

)(016.18//11

mmdnddi

ii

i

62 10559 62 105.59

2 003.07

105.591

62

ni

)(001.078105.59

)1(

62

mmnn

im

엑셀에서 78)1(nn

)(001.0016.1 mmd 평균 : =average()분산 : =varp()표준편차 : stdevp()표준편차 : =stdevp()

철사의 두께 측정

에러바 (error bar)의 사용(http://www.ibric.org/myboard/read.php?id=82644&Page=1&Board=exp_qna&iduserid=5338&newlevel=4&modetype=replyer)

표준오차를 넣기도 하고, 표준편차를 넣기도 합니다.(표준오차를 넣으면 더 의미 있음)

물론 데이터에 에러바가 무엇인지 설명해야 함물론 데이터에 에러바가 무엇인지 설명해야 함.

(실험에 따라 에러바 대신 range를 에러바 형식으로 넣기도 함)

측정한 실험값들을 가장 잘 대표할 수 있는 함수를 구하는 방법

편차의 제곱의 합이 최소가 되게 대표값을 선정하는 방법

n

따라서 을 최소로 만들어야 한다.

최소자승법의 응용 (산술평균)

n

ii

1

2

최소자승법의 응용 (산술평균)

222

21

22 )(...)()()( pxpxpxpx n

n

i

n

i 2111

)()()()( pppp ni

ii

i

}{1

2dn

ii

0)}()(){(2 21 pzpzpz

dp nii

zzzp n

...21

np

R d tRaw data

R0 를 0°C 에서의 저항이라면 R = R0( 1+ at ) 이다.

이식을 변형하면 R + bt ( R b R ) 이다이식을 변형하면 R = a + bt ( a = R0 , b = R0a ) 이다.

최소자승법을 이용하여 a, b 의 값을 구해보자. ,

a=15.43b=0.066

이것은 위 그림에서 의 제곱 합 이 최소가 되는)( ii btaR i

N

ii

1

2

직선의 그래프를 찾는 것이다. (미분하여 0이 되는 값이 최소)i 1

오차의 전파공식

임의의 물리량 Z가 다른 물리량 x, y, … 의 함수로 주어진다고 하자. 임 량 량 , y, 함수 주어

개개 물리량 x, y, … 의 측정값들에 대한 평균값과 표준편차들은 다음과 같다.

),.........,( yxfz

이 경우 Z의 평균값과 표준편차는 다음과 같다

,.........,N

yy

N

xx i

ii

i

이 경우 Z의 평균값과 표준편차는 다음과 같다.

22222 )()( yxzff .....),( yxfz

)()( yxz yx),( yf

• 직육면체의 가로 세로 높이를 각각 여러 번 측정하여 그 평균부피를 구하는 실험을 생각해보자

Application• 직육면체의 가로, 세로, 높이를 각각 여러 번 측정하여 그 평균부피를 구하는 실험을 생각해보자.

• 각 변의 길이의 오차 때문에 부피의 오차가 생긴다.

• 측정상의 개별적 오차가 계산하고자 하는 물리량에 어느 정도 전파되는가를 알 필요가 있다• 측정상의 개별적 오차가 계산하고자 하는 물리량에 어느 정도 전파되는가를 알 필요가 있다.

xyzV

X(mm) Y(mm) Z(mm)

05.2

31000101010 mmzyxV

10.1y 73.110

11

8

10

11

9

10

12

8

05.2x .y 73.1z

)10.1()1010()05.2()1010(22

22222 v8

7

13

9

10

10

8

12

8 2222222 )()()( zyxvfff

84054)10.1()1010( 22

12

8

9

11

9

8

12

8

12

222222 )()()( zyx

zyxv

zyzxzyzyx

9

9

13

8

12

10

12

9

9

290v 92714.9110

290

nv

m

결과 : 1000 ± 92 mm3

자연현상: 여러 물리량들의 복잡한 상호작용의 결과

주어진 자연현상의 원인과 결과

Non-linear motion

: 독립변수와 종속변수로서 적절한 함수관계를 만족

선형함수 관계: 이러한 자연현상은 아주 쉽게 해석가능

비선형함수 관계: 대다수의 자연현상들은 독립변수와 종속변수가 비선형 관계로복잡하게 얽혀있어 해석이 매우 어려움

선형회귀 (linear regression): 비선형 방정식으로 기술되는 복잡한 자연현상을 적절한 함수를이용하여 선형 방정식으로 변환시켜 주어진 현상을 쉽게 분석/해석

Linear motionTurbulent flow

Motion with constant velocity

선형그래프 (직선): atvtvbaxy 0)(

slopevvva

0 ptt

비선형그래프 (parabola, hyperbola, etc): )1(, mbaxy m

rrU )(1)1( axy (potential energy)

Raw data

rrU )( 1)( rrU

slopeXUXrU 1

X

20 2

1)( atyty baxy 2)2( (motion with constant acceleration)2

Raw data

ty 2ty

)0(, 0022 yyslope

tUty t 002t t

20 2

1)( atyty 2)3( axy (motion with constant acceleration)2

Linear regression using log-log graph

xmayaxy m logloglog xmayaxy logloglog

xy xy loglog y xy ogog

xyxy log2loglog2 xyxy log2loglog

mxaey )4(

Linear regression using semi-log graph

mxayaey mx lnln

xy xy ln

mxayaey lnln

y xy

ayymmxay x 0,lnlnln yx

y x0,