Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Egy sajátos ábrázolási feladatról
Régen volt, ha volt egyáltalán. Én bizony nem emlékszem a ferde gerincvonalú túleme -
lés ~ átmeneti megoldásra – 1. ábra – az ( erdészeti ) útépítésben.
1. ábra – forrása:
http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop412A/2011-0023_Utak/html/section-
0059.html
Szinte biztos, hogy még máshol sem akadtam rá eddig erre, bár talán nem is kerestem.
Az jutott eszembe, hogy meg kellene próbálni megrajzoltatni a számítógéppel az 1. ábra
egy kissé módosított saját változatát. E feladatomat leginkább egy kis matekozással és
felületábrázoló program használatával igyekszem megoldani.
Ehhez tekintsük a 2. ábrát! Itt két síkot láthatunk: az O*A*B* kétirányban ferde síkot,
valamint az A*B*C* vízszintes síkot; továbbá ezek A*B* metszésvonalát is.
Most messük el e két síkot az ONN*O* függőleges síkkal, mely merőleges a két sík met -
szésvonalára! Ez a két síkból kimetszi az O*N* és az N*M* egyeneseket.
Azt kell most belátnunk, hogy e két egyenesből álló töröttvonal alkalmas a geometriai
helyzet jellemzésére, leírására. Ha ez megvan, akkor nekiláthatunk az ábrázoláshoz szük -
séges összefüggések felírásához. E belátás így is történhet: a ferde síkot megadhatjuk egy
O* pontjával és esésvonalával. Esetünkben az A*B* egyenes egy szintvonala, az O*N*
egyenes pedig egy esésvonala a ferde síknak.
2
2. ábra
Mivel a ferde sík minden esésvonala párhuzamos egymással, elegendő egyet megadni
közülük, pl. az O* pontjával és φ hajlásszögével.
A vízszintes sík átmegy az N* ponton, hajlásszöge pedig zérus, vagyis ezekkel adott.
Látjuk, hogy az O*N*M* töröttvonal tényleg alkalmas a két síkból álló felület geometriai
leírására. Így oda jutottunk, hogy ezt a töröttvonalat kell megadnunk, azaz matematikailag
egyetlen függvénnyel leírnunk. Ez azért fontos, mert az ingyenesen letöltött / kölcsönvett
felületábrázoló programunk egyszerre csak egy, függvényének képletével megadott felü -
letet tud ábrázolni. Ez azonban nem jelent gondot, hiszen egy régebbi dolgozatunkban már
foglalkoztunk a töröttvonalak egy függvénnyel történő leírásával. Ennek jele és címe:
KD - 1: Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról;
ez is megtalálható honlapunkon.
Mielőtt a töröttvonal függvényével foglalkoznánk, írjunk fel a 2. ábráról leolvasható né -
hány érdekes és hasznos összefüggést!
A ferde sík egyenlete:
( 1 )
ahol:
. ( 2 )
3
A vízszintes sík egyenlete:
( 3 )
Metszésvonaluk egyenletéhez ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) - mal is:
rendezve:
végigosztva z1 – z0 ≠ 0 - val:
( M )
Az ( M ) egyenlet a két sík metszésvonalának egyenlete, tengelymetszetes alakban.
Ehhez lásd a 2. ábra mellékábráját is!
A szögek közti összefüggések: ismét a 2. ábra mellékábrája alapján, ( 2 ) - vel is:
tehát:
( 4 )
Továbbá:
( 5 )
majd a 2. ábra mellékábrája szerint, ( 2 / 1 ) és ( 4 ) - gyel is:
( 6 )
majd ( 5 ) és ( 6 ) - tal:
, tehát:
( 7 )
A bekeretezéssel kiemelt képleteket már levezettük egy nemrégen írt korábbi dolgoza -
tunkban is, melynek jele és címe:
KD - 2: Egy kérdés: merre folyik le az esővíz az úttestről?
Most lássuk a töröttvonalat leíró függvényt! Ezt a 2. ábra szerint egy O*ξζ k. r. - ben
4
írjuk fel. Ennek egyenlete KD - 1 felhasználásával:
( 8 )
A ( 8 ) egyenlettel adott függvény görbéje, mely a
( a )
adatokkal készült, a 3. ábrán látható.
3. ábra
Ezután koordináta - transzformációt végzünk: 4. ábra. Ugyanis keressük az
kapcsolatot, annak érdekében, hogy ( 8 ) - at alkalmazhassuk. A 4. ábrán mutatott k. r. - re
fennáll, hogy O*x’y’║ Oxy , így egy tetszőleges, ámde egyazon függőleges egyenesen
elhelyezkedő P’ és P pontra:
( 9 / 1 )
( 9 / 2 )
Most a P’ pont koordinátái:
( 10 )
( 11 )
5
4. ábra
Most ( 11 / 1 ) - et kifejtve, ( 10 ) - zel is:
( 12 )
Majd ( 9 ) miatt, a „P” indexet elhagyva:
( 13 )
Ezután ( 8 ) és ( 13 ) - mal:
( 14 )
most a 2. ábra és ( 5 ) szerint:
( 15 )
majd ( 14 ) és ( 15 ) - tel:
( 16 )
Ezután alkossuk meg z ( x , y ) végleges kifejezését!
A 2. ábra szerint:
( 17 )
most ( 16 ) és ( 17 ) - tel:
6
( 18 )
Ábra készítéséhez felvesszük az alábbi adatokat:
( A )
most ( 2 ) - vel:
( A1 )
( A2 )
majd ( 4 ), ( A1 ) és ( A2 ) - vel:
( A3 )
trigonometriai összefüggésekkel:
( A4 )
( A5 )
most ( A1 ), ( A2 ) és ( 7 ) - tel:
( A6 )
Majd ( A )… ( A6 ) és ( 18 ) - cal:
tehát:
( A7 )
Az ( A7 ) nem lineáris függvény képe az 5. ábrán szemlélhető.
7
5. ábra – forrása: http://www.math.uri.edu/~bkaskosz/flashmo/graph3d/
Ezzel feladatunkat megoldottuk.
Megjegyzések:
M1. Bár a töröttvonalat alkotó egyeneseket külön - külön lineáris függvények írják le, a
két töröttvonalat együttesen leíró abszolútértékes függvény már nem lineáris.
Az abszolútértékes függvényekkel – mint amilyen ( 8 ) is – szinte sehol sem találkozunk,
pedig nagyon hasznosak; itt is ez képezi a megoldás alapját.
M2. A 4. ábrán is feltüntetett η koordinátát nem használtuk, hiszen – amint már mondtuk –
a geometriai helyzet ebben az irányban változatlan: minden O*ξ ζ - val párhuzamos met -
szősík ugyanolyan metszetet ad, tehát geometriailag η mentén nincs változás: síkprobléma.
M3. Az ( M ) egyenlet nem csak a két sík metszésvonalának – pontosabban: a metszés -
vonal Oxy síkra vett vetületének – egyenlete, hanem egy AB nyomvonalú függőleges
vetítősík egyenlete is.
8
M4. Az az állítás, hogy a 3. ábra szerinti töröttvonallal jellemezhető feladatunk geometriai
helyzete, még azáltal is erősíthető, hogy a két sík metszésvonalára merőleges metszősík
által a két síkból kimetszett, a fenti töröttvonal elemeiként megjelenő egyenesek zárják be
a két sík hajlásszögét.
M5. Az 1. ábra sraffozása nem túl szerencsés; jobb lett volna esésvonal mentén megoldani
ezt a ferde síknál.
M6. Fenti feladatunk nem útépítési / szakmai, hanem inkább csak geometriai / ábrázolás -
technikai vonatkozásban lehet érdekes.
M7. A saját, módosított változatunk abban tér el az 1. ábráétól, hogy az 1. ábra szerinti,
kétirányú ferdeséggel bíró sík az átmeneti szakasz végére már csak egyirányban ferde.
Ezzel szemben a 2. ábra szerinti helyzet az, hogy itt az átmeneti szakasz vízszintes síkba
vezet át, nem egyirányban ferdébe. Eszerint tehát itt nem az 1. ábrát rajzoltuk újra meg,
hanem – ahogyan azt rögtön az elején említettük – annak egy saját, módosított változatát.
Az átvezetés tekintetében a 6. ábra informatívabb az 1. ábránál:
6. ábra – forrása: http://bmeeokepito-
cd.bmeeok.hu/CD/%C3%96ssze_vissza_t%C3%A1rgyak/%C3%9Atterv/EA_14A_U.pdf
M8. Javasoljuk, hogy az érdeklődő Olvasó oldja meg a 6. ábra fentiekhez hasonló, ámde
már nem módosított ábrázolási feladatát!
Összeállította: Galgóczi Gyula
mérnöktanár
Sződliget, 2017. június 24.