1

Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről

Vegyünk egy a és b féltengelyekkel bíró ellipszist – a vezérgörbét – , majd az ellipszis O

centrumában állítsunk merőlegest az ellipszis síkjára. Ez a merőleges az ellipszishenger

tengelye. Ezután egy a tengellyel párhuzamos egyenest vigyünk végig az ellipszis P pont -

jain, önmagával párhuzamosan helyzeteken át. E mozgó egyenes – az alkotó – súrolja,

előállítja az egyenes ellipszishenger - felületet. Egy ilyennek részlete látható az 1. ábrán.

1. ábra – forrása: [ 1 ]

Most ennek síkmetszeteivel kapcsolatos feladatokat oldunk meg.

2. ábra – forrás: [ 2 ]

A 2. ábrán egy ellipszishenger vezérgörbéjét ( kék vonallal ) és egy ferde síkmetszetét

( piros vonallal ) szemléltettük, axonometrikus képükkel.

2

1. Feladat:

Állítsuk elő az egyenes ellipszishenger körmetszetét!

Ehhez tekintsük a 3. ábrát is!

3. ábra

Itt azt szemlélhetjük, hogy az ( a , b ) paraméterekkel bíró ellipszishengert elmetszettük

egy a kistengellyel α szöget bezáró síkkal. Ha azt akarjuk, hogy a metszeti síkgörbe kör

legyen, akkor fenn kell állnia a

( 1 )

kapcsolatnak; innen a metszősík(ok) hajlása:

( 2 / 1 )

( 2 / 2 )

Indoklásként megemlítjük, hogy fordított úton járva az R sugarú kör merőleges vetülete

a síkjával α szöget bezáró síkra az

( 3 )

paraméterekkel bíró ellipszis.

Tehát az adott ( a , b ) ellipszishenger körmetszetét a ( 2 ) szerinti hajlású metszősíkok

állítják elő, ahol a metszeti kör sugara ( 3 / 1 ) - gyel adódik.

3

2. Feladat

Állítsuk elő az 1. feladatbeli ellipszis polárkoordinátákkal képzett paraméteres egyenlet -

rendszerét!

Ehhez tekintsük a 4. ábrát is!

4. ábra

Az ellipszis paraméteres egyenletrendszere, egy tetszőleges P pontjára:

( 4 )

Az rP rádiusz - vektor kifejezéséhez Pitagorász tételével:

( 5 )

ámde:

( 6 )

majd ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ) - tal:

innen:

( 7 )

ebből pozitív négyzetgyököt vonva kapjuk a vetületi ellipszis polárkoordinátás egyenletét:

4

( 8 )

Végül a vetületi ellipszis paraméteres egyenletrendszere ( 4 ) és ( 8 ) szerint:

( 9 )

Még felírjuk a 4. ábrán feltüntetett szögek közötti összefüggést is. ( 6 ) - tal:

innen:

( 10 )

A (10 ) szerinti mennyiség szerepel ( 9 ) nevezőiben is, hiszen:

ahogyan annak ( 4 ) szerint lennie is kell.

E feladat kiírása az alábbi.

Adott: R , α .

Keresett: xP ( φ ) , yP ( φ ) .

Szavakban, ismét:

Adott: egy R sugarú kör, melyet síkjával α szöget bezáró síkra vetítünk, merőlegesen.

Keresett: a vetületi ellipszis polárkoordinátásból derékszögű koordinátákra átszámított

paraméteres egyenletrendszere.

Megjegyezzük:

~ képleteinkben fennállnak a relációk;

~ a kapott képletek más, hasonló feladatokban is jó szolgálatot tehetnek;

~ érdekes, hogy nem túl gyakran lehet találkozni velük, pedig levezetésük nem nehéz.

Ezzel kitűzött feladatunkat megoldottuk.

5

3. Feladat:

Állítsuk elő az egyenes ellipszishenger minden lehetséges síkmetszetét, ha a metszősík az

ellipszishenger vezérgörbéjének síkjával α szöget zár be!

Ehhez tekintsük az 5. ábrát is!

5. ábra

Az ellipszis vezérgörbe síkjával α szöget bezáró П metszősík és az ellipszishenger összes

síkmetszetét úgy állítjuk elő, hogy a hengert az OZ tengelye körül megforgatjuk, miköz -

ben a metszősík áll. A metszetgörbék egyenletét az álló OXYZ koordináta - rendszerben

írjuk fel. Az ellipszis vezérgörbe egy P pontjához a rajta átmenő függőleges alkotó és a

metszősík Q döféspontja tartozik, tehát a Q pontok által alkotott görbéket keressük.

Az 5. ábra alapján a metszeti görbe Q pontjának koordinátái az alábbiak:

( 11 )

( 12 )

( 13 )

Az ellipszis rádiusz - vektorának kifejezése az ellipszis

( 14 )

kanonikus egyenlete, valamint ( 4 ) alapján, rövid számítás után, r > 0 - val is:

( 15 )

6

A 6. ábrán a henger vezérgörbéjének elforgatását mutatjuk meg.

6. ábra

Ehhez felhasználtuk, hogy állandó szögsebességű forgatás esetén:

( 16 )

majd élve a

( 17 )

választással, ( 16 ) és ( 17 ) szerint az elfordulási szög kifejezése:

( 18 )

A szögsebességet így vettük fel:

( 19 )

ahol T egy teljes körülfordulás ideje. Most ( 18 ) és ( 19 ) - cel:

( 20 )

7

Ezek után ( 11 ), ( 12 ), ( 13 ), ( 15 ) és ( 20 ) szerint a metszeti görbék egyenletei:

( 21 )

( 22 )

( 23 )

Minthogy a síkmetszés eredménye síkgörbe, érdemes róla síkbeli ábrát készíteni.

Ezt a Q pontok ( XQ , UQ ) koordinátáival oldjuk meg, ahol az 5. ábra szerint:

( 24 )

7. ábra

A ( 21 ) és ( 24 ) függvényekkel készült a 7. ábra is, a Graph szoftver alkalmazásával.

Az ábrázolási adatok:

a = R = 1 m ; α = 45° ; b = R cosα = 1/ sqrt( 2 ) m; T = 60 s ; ti = 0; 5; 10; 15; 20; 25 s.

8

Látjuk, hogy a metszeti síkgörbék kör, illetve ellipszisek.

A körmetszet az 1. és a 2. feladatok alapján érthető.

A metszeti ellipszisek kis - és nagytengelyének hossza a henger forgatása során változik.

A 6., a 7. és a 8. ábrák egymás megfelelői.

8. ábra

A 8. ábrán az 5. ábrán is jelölt RQ sugár - hosszakat ábrázoltuk a φ szög függvényében, a

különböző ϑ elforgatási szögeknek megfelelően, a korábbi adatokkal.

Ezekre fennáll, hogy

( 25 )

a metszeti görbékre. Az eredményeket az alábbi táblázat foglalja össze.

TÁBLÁZAT

t ( s ) a* ( m ) b* ( m )

0 1 1

5 1,192281 0,838728

10 1,352011 0,739639

15 1,414214 0,707107

20 1,352011 0,739639

25 1,192281 0,838728

9

A táblázati adatok megfelelnek a 7. ábráról levehető eredményeknek.

Az RQ sugár kifejezése az alábbiak szerint is nyerhető.

tehát:

( 26 )

Most ( 8 ) és ( 26 ) - tal, kis jelölés - változtatással:

( 27 )

Az R0 = 1 m ; α = 45° ; ti = 0 , 5 , 10 , 15 , 20 , 25 s adatokkal dolgozva állt elő a 8. ábra, a

Graph ingyenes szoftver szélsőérték - meghatározó szolgáltatásával pedig a fenti táblázat.

Érdemes megemlíteni, hogy a geometriából ismert

( 28 )

képletet esetünkre alkalmazva, ( 3 ) - mal is:

innen:

( 29 )

Könnyen ellenőrizhető, hogy a fenti táblázat adataival ( 29 ) nagy pontossággal teljesül.

Ez ellenőrzést ad a korábbiak helyességére.

A ( 29 ) összefüggés azt is jelenti, hogy a különböző ϑ hengerelfordítási szögekhez tartozó

metszeti görbék területe egyenlő, függetlenül a metszetgörbe alakjától.

Mondhatni, ez egy érdekes és némiképpen meglepő eredménye vizsgálatainknak.

Megjegyezzük, hogy a 8. ábra grafikonjának függőleges tengelyén az f ( fi ) megjelölés

a ( 27 ) képlet négyzetgyökös függvényére vonatkozik, melyben már érvényesítettük a

fenti paraméter - adatokat.

A metszeti ellipsziseket eddig jórészt numerikus segédeszközökkel vizsgáltuk.

10

Az alábbiakban a metszeti ellipsziseket analitikusan is megvizsgáljuk.

Ehhez tekintsük a 9. ábrát is!

9. ábra

Az ábrázolt ferde ellipszis polárkoordinátás egyenlete ( 15 ) - höz hasonlóan:

( 30 )

A polárszög kifejezése:

( 31 )

Folytatva, ( 11 ), ( 12 ), ( 24 ) - gyel is:

tehát:

( 32 )

innen:

11

( 33 )

Hasonlóan:

( 34 )

Látjuk, hogy a közvetlen feladat meghatározása. Ezt szélsőérték - számítással

végezzük. és ismeretében ( 25 ) és ( 27 ) - tel:

( 35 )

( 36 )

Emeljük négyzetre ( 27 ) - et! Ekkor:

( 37 )

Ezt a φ változó szerint differenciálva:

( 38 )

Innen:

( 39 )

A szélsőérték szükséges feltétele:

( 40 )

Minthogy R0 és RQ véges nagyságú pozitív mennyiségek / szakaszhosszak, ezért ( 39 ) és

( 40 ) - ből a szélsőérték - számítás alapegyenlete itt:

( 41 )

Egy tört deriváltjára:

ha

. ( 42 )

12

Esetünkben:

( 43 )

A deriváltak:

( 44 )

( 45 )

Most ( 42 ), ( 43 ), ( 44 ) és ( 45 ) - tel:

Egyszerűsítve:

( 46 )

A ( 46 ) trigonometriai egyenlet megoldásait kell megkeresnünk. Ehhez átalakításokat

végzünk rajta:

( 47 )

Majd alkalmazzuk a

( 48 )

azonosságot! Így ( 47 ) és ( 48 ) - cal:

( 49 )

Rendezve:

13

( 50 )

Most alkalmazzuk a

( 51 )

( 52 )

azonosságokat, a

( 53 )

változókra! Ekkor ( 50 ), ( 51 ), ( 52 ) és ( 53 ) szerint:

rendezve:

( 54 )

I. eset: : most nem érdekes, hiszen ekkor ϑ = kπ, ahol k = 0,1, 2 …, és

~ ( 27 ) szerint ekkor RQ = RO , azaz a kis - és nagytengely hossza egyenlő, vagyis nincs

helyi szélsőérték;

~ a henger forgatása során ϑ minden más értéket is felvehet.

II. eset: ( 55 )

Ez a számunkra érdekes megoldandó egyenlet. További átalakításokkal:

14

( 56 )

Számpéldánk adataival ( tgα = 1, ϑ = π / 30 * t ):

( 57 )

E függvényeket a 10. ábrán mutatjuk meg: kék „+” , piros „− ” .

10. ábra

Az ( 57 ) képlet birtokában már számíthatók a metszeti ellipszisek jellemző adatai.

Például: t = 5 s esetén φ1 = 0,377177390 ( rad ) , φ2 = − 0,900776165 ( rad ) ,

Ezek az eredmények jól egyeznek a korábbi táblázat megfelelő eredményeivel.

15

A fentebb tárgyalt három feladat közül az első ismerős lehet az előtanulmányokból.

A második már kevésbé; ezért is, meg a harmadikhoz való előkészületként is tárgyaltuk.

A harmadik feladatra régebben mi sem vállalkoztunk volna, ugyanis a hatékony haladás

feltétele itt is a számítástechnikai segítség megléte volt – a Graph ingyenesen letölthető

függvényábrázoló szoftver alakjában. Az itteni fogást, meglehet, bonyolultabb felületek

síkmetszetei előállításához is alkalmazzuk majd a jövőben.

Források:

[ 1 ] –

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Elliptic_cylinder.png/800px

-Elliptic_cylinder.png

[ 2 ] – http://www.math.uri.edu/~bkaskosz/flashmo/parcur/

Összeállította: Galgóczi Gyula

mérnöktanár

Sződliget, 2017. 05. 20.