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Eigenschaften der OLS-Schätzer. Erinnerung: OLS-Schätzer a und b werden anhand der Zufallsvariable y ermittelt (Ann.: u und y normalverteilt) a und b sind ebenfalls Zufallsvariablen und unterliegen dann ebenfalls Normalverteilung mit Erwartungswert und Varianz - PowerPoint PPT Presentation
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Alexander SpermannUniversität Freiburg
3. Sitzung
1
Eigenschaften der OLS-Schätzer
a
Erinnerung: OLS-Schätzer a und b werden anhand der Zufallsvariable y ermittelt (Ann.: u und y normalverteilt)
a und b sind ebenfalls Zufallsvariablen und unterliegen dann
ebenfalls Normalverteilung mit Erwartungswert und Varianz
Was sagen Erwartungswert und Varianz von a und b aus? Man kann zeigen, dass E(a) = und E(b) = ß, d.h. dass die OLS-Schätzer erwartungstreu (unverzerrt) sind, was bedeutet, dass der Durchschnittswert der Schätzer beim wahren Wert und liegt
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Eigenschaften der OLS-Schätzer
Systematische Unterschätzung(biased estimator),
wobei der wahre Wert und b der
Schätzer sind
Wah
rsch
einl
ichk
eit
b
Verteilung des Schätzers b
Erwartungstreuer OLS-Schätzer (unbiased estimator)
bb
Wah
rsch
einl
ichk
eit
b
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3
Eigenschaften der OLS-SchätzerW
ahrs
chei
nlic
hkei
t b
Wah
rsch
einl
ichk
eit
bb b
Inefficient Estimator
Weiterhin kann man zeigen, dass gilt: Der OLS-Schätzer ist ein
effizienter Schätzer = varianzminimaler Schätzer
Efficient Estimator
Quelle: Pindyck; Rubinfeld
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Gauss-Markov Theorem (BLUE)
Unter OLS-Annahmen sind OLS-Schätzer a und b beste, lineare, unverzerrte Schätzer
Best: Minimum-Varianz
= effizienter Schätzer
Linear: a und b sind Linearkombinationenaus x und y
Unbiased: unverzerrt E(B) = ß, E(a) =
Estimator: Schätzer
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4. Sitzung: Hypothesentest
Schätzgleichung:
y= + ßx+u
„Wahre“ Parameter und ß sind unbekannt, wie kann von Schätzwerten a und b auf wahre Parameter geschlossen werden?
H0: NullhypotheseH1: Alternativhypothese
H0 : ß = ß0
H1 : ß ≠ ß0
ß0 kann hierbei beliebigen Wert annehmen (wichtiger Fall: ß0 = 0)
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Type I Error (-Fehler)
Definition: Wahre Nullhypothese wird verworfen.
Die Wahrscheinlichkeit P für diesen Fehler soll üblicherweise minimiert werden.
Beispiel: P = 0,05
Gesucht: Verteilung für Schätzer b unter der Annahme, dass Nullhypothese wahr ist, also ß = ß0
b normalverteilt, bei bekannter Varianz Var(b) kann b derart normiert werden, so dass auf tabellierte Standard-Normalverteilung N(0,1) zurückgegriffen werden kannProblem: Var(b) nicht bekannt, sondern muss geschätzt werden!
)( 2 ,
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t-Test (zweiseitig oder two-tailed)Man kann zeigen, dass folgender Ausdruck t-(oder „student“)-verteilt ist:
wobei s.e.(b) = geschätzte Standardabweichung vom Schätzer b
Wie kommen Werte t0,025 = - 2 und t0,975 = 2 zustande? Quantile hängen
normalerweise von der Anzahl der Beobachtungen und der erklärenden Variablen
ab: -2 und 2 gelten approximativ für großes n (Stichprobengröße).
Faustregel: H0 wird abgelehnt, wenn | t | > 2 .
).(.)(ˆ bes
b
braV
bt
00
t
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t-Test (zweiseitig oder two-tailed)
Intuition:
bedeutet, dass
Differenz zwischen Schätzwert b und ß0 relativ groß ist, je größer diese Differenz, desto eher wird natürlich H0 abgelehnt
s.e.(b), d.h. geschätzte Standardabweichung von b relativ klein ist: Je genauer der Schätzwert b, desto weniger wird Abweichung zwischen b und ß0 „toleriert“ und desto eher wird H0 abgelehnt
20
).(. bes
bt
t
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t-Test
Beispiel: H0 : ß = 0
H1 : ß ≠ 0
Dieser Wert wird üblicherweise von Standard-Statistik-Software im Regressionsoutput automatisch ausgegeben.
H0 („Schulbildung hat keinen Einfluss auf Lohn“) wird abgelehnt
).(. bes
bt
55890080
076000.
.
.
).(.).(.
bes
b
bes
bt
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4. Sitzung: Hypothesentest
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t-Test
Anderes Beispiel:
H0: = 1
H1: ≠ 1
H0 wird nicht verworfen
669,0105886.0
0708.0
).(.
10708,1
).(.
0
aesaes
at
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Type I Error (-Fehler)
Definition: Wahre Nullhypothese wird verworfen.
Intuition: Je geringer das Signifikanzniveau, desto unwahrscheinlicher ist das
Risiko eines Typ I Fehlers.
Also ist z.B ein 0.1%-iges Signifikanzniveau sicherer in bezug auf den Typ I
Fehler.
Interpretation für ß0 = 0: Wenn „wahres“ ß = 0 ist, dann wird mit nur 0,1%-iger Wahrscheinlichkeit fälschlicherweise geschlossen,
dass ß von Null verschieden ist
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Signifikanzniveau
Intuition: Je geringer das Signifikanzniveau, desto höher ist die Hürde, die Nullhypothese zu
verwerfen.
0.1%Extrem hohe Hürde
1%Verschärfung
5%Standard
Signifikanzniveau - Wahrscheinlichkeit
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Type II Error (-Fehler)
Definition: Falsche Nullhypothese wird nicht verworfen.
Intuition: Je geringer das Signifikanzniveau, desto wahrscheinlicher ist das Risiko eines Typ II Fehlers, weil die Anforderungen an das Verwerfen der Nullhypothese steigen.
trade-off zwischen Typ I und Typ II Fehler
Graphische Intuition:
je geringer das Signifikanzniveau, desto größer ist die Akzeptanzregion für die Nullhypothese, desto wahrscheinlicher ist ein Typ II Fehler
Quelle: Pindyck, Rubinfeldt
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Einseitiger Test (one-tailed test)Hypothesen:
H0: ß < (>) ß0
H1: ß > (<) ß0
Faustregel:
H0: ß < ß0 wird abgelehnt, wenn (siehe Grafik)
H0: ß >ß0 wird abgelehnt, wenn
Quelle: Pindyck, Rubinfeldt
671950
0,~
).(. ,
tbes
bt
671050
0,~
).(. ,
tbes
bt
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Einseitiger Test (one-tailed test)
z.B. Hypothese:
H0: ß < 0
H1: ß > 0
Ökonomische Begründung: negative Werte des Regressionskoeffizienten machen ökonomisch keinen Sinn.
Vorteil: Bei gleichem Signifikanzniveau sinkt der kritische Wert tcrit. Das heißt, die Nullhypothese wird eher verworfen als bei einem zweiseitigem Test.
Achtung: Das Risiko eines Typ I Fehlers bleibt gleich, nämlich 5%,
weil das Signifikanzniveau unverändert bleibt.Aber das Risiko eines Typ II Fehlers sinkt, weil die
Nullhypothese eher verworfen wird als beim two-tailed test.
Quelle: Pindyck, Rubinfeld
t
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Konfidenzintervall
Konfidenzintervall : Gegenstück zum Hypothesentest
P [-2 < t < 2] = P [-2 < < 2] = 0.95
P [b - 2· s.e.(b) < ß0 < b + 2 ·s.e.(b)] = 0.95
t
).(. bes
b 0
t
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Berechnung des Konfidenzintervalls
untere Grenze: obere Grenze:
Bei Signifikanzniveau von 5%:
Konfidenzintervall: [0,060 ; 0,092] Wert ß0 = 0 nicht enthalten
0920
200797300760ts.e.(b)b
0600
200797300760ts.e.(b)-b
2
crit
crit
,
,,:
,
,,:
~
Obergrenze
eUntergrenz
tcrit
crittbesb ).(.
crittbesb ).(.
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KonfidenzintervallDas Konfidenzintervall ist durch das gewählte Signifikanzniveau festgelegt.Beispiel:
Die Endpunkte des Konfidenzintervalls werden durch den Schätzer b und seine Standardabweichung bestimmt untere und obere Konfidenzintervallgrenzen sind Zufallsvariablen
Richtige Interpretation: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Konfidenzintervall den wahren Wert 0 enthält, ist 95 %.
Falsche Interpretation: Die Wahrscheinlichkeit ist 95 %, dass der wahre Wert in diesem Intervall liegt. Nein, diese Wahrscheinlichkeit ist entweder 0 oder 1.
99,9 %0,1 %
99 %1 %
95 %5 %
Signifikanzniveau Konfidenzintervall P 1- P