Ejemplo de Aplicacion: EDOs lineales acopladas de segundo orden

Uno de los casos mas frecuentes en que aparecen es en reacciones

quimicas en estado estacionario en sistemas de fluj0 con dispersion

axial. Se conocenin Ias composiciones a Ia entrada del reactor y se

considerara gradiente de concentraci6n nula a la salida del reactor.

Suponiendo que se tienen dos componentes 1y 2 10s balances de

material obtenidos sobre una secci6n de flujo de espesor infinitesimal

llevan a la expresi6n general:

dCj d2Cj .V -- =D --+RJ

x dx L dx2

Se necesita explicitar la cinetica; cuando mas complicado sea el Rj---- ----- -(por ejemplo una reacci6n reversible) mas compleja sera la soluci6n.

Supongamos el caso mas sim Ie de una reacci6n irreversible de pri-

mer orden del tipo 1----> 2.

Entonces sera R1 = - kl C1 Y R2 = kl C1 .

Los balances para cada componente quedanln como:

v dCl

= D d2C1

-k C1

x dx L dx2 1

Se considera que la variable independiente x varia entre x = 0y x = L. La condici6n de contorno a la entrada (x = 0) es:

. . dCjV Cl =v Cli -D-'

x 0 x x=o L dx Ix=o

donde Cjo es la concentraci6n del componente j en el seno de la co------rriente justo antes de la entrada.

En la desembocadura 0 a la salida del reactor vale: dCB I dx = O.

DESARROLLO:

El primer paso es adimensionalizar las ecuaciones diferenciales.

Esta acci6n tiene dos objetivos fundamentales:

1) Generalizar los resultados a obtener, independizandolos de los

valores particulares de los parametros a utilizar.

2) Contribuir a la estabilidad de los resultados. La experiencia en

este tipo de EDOs nos ensefio, amargamente, que las soluciones

numericas son muy inestables. El usar valores reales de 10s coeficien-

tes (mucho mayores y/0 mucho menores que 1) es causa cierta de

oscilaciones. La adimensionalizaci6n elimina este problema.

Reemplazando enlas ecuaciones~originales (dimensionales) se obtiene:

dC*1 = --.!.- d2C*1 -R C*Idz Pe dz2 I

_d_C_*_2 = _1__d_2_C_*_2 +R C *1

dz Pe dz2 1

y para la condici6n de contorno en la superficie (x = 0) da:

C*i = C*il _~ dC*j Io z=o Pe dz z=o

El segundo paso e~ expresar las derivadas en cocientes de diferencias.

A partir de esta etapa, y por simplicidad de las expresiones pasaremos

a nombrar alas C*Jcomo CJ pero recordando que se trata de concen-

traciones adimensionales (reducidas) 0

Para la derivada primera se obtiene:

Cj -cji+l i-I

=----

Para la derivada segunda:------~~cj. I-2C( +Cj. Il+ l l-

2 ~Z2

Reemplazando las expresiones para las derivadas en la ecuaci6n

diferencial adimensionalizada se tiene:

Explicitando ahora para cada componente y reordenando se tiene la- _:> ------

expresi6n general valida para 10spuntos interiores:

C1 (-1 _ 1 ) C1 (2 R) C1 (_1 _ 1 ) = 0i-l.2az Pe az2 + i Pe az2 + 1 + i+l 2Llz Pe az2

C2 ( -1 _ 1 ) C2 ( 2 ) C2 (_1 _ 1 ) = R C1i-I 2 Llz Pe I1z2 + i Pe I1z2 + i+l 2 Llz Pe /lz2 1 i

Esta expresi6n general es valida para 3 ~ i ~1-1.

Para i = 2 e i = I se debe utilizar la expresion en diferencias de las

condiciones de contorno adimensionalizadas:

Para i =]. se utiliza la de z = 0, explicitada segun:

Cj = Ci - 1 (Ci - Ci )o 1 Pe az 2 1

Se reordena para obtener la expresi6n de CJJl segun:

Pe azCio + CJ2cj =-----1 Pe az + 1

Reemplazando ahora en la expresi6n general se tienen:

C1Z( -Pel:1z-2 + 2 +R1)+C1

3<_1_- 1 )=( Pel:1z+2 )':

2Pe2 I:1z3+ 2Pe I:1z2 Pe I:1zz 21:1z Pe 1:11.2 2Pe I:1z2+2 I:1z- ,

Para i = I se utiliza la de z =; 1 explicitada segtin: CjI-1 = Cj1+1.

Reemplazando, se tienen:

c1 ( __ 2 ) + C1 (_2 + R ) = 0I-I Pe f1z2 I Pe f1z2 1--

c2 (_ 2 ) + C2 ( 2 ) = ReI[-I Pe f1z2 I Pe dz2 1 1_

Queda un sistema de 1-1 ecuaciones lineales con 1-1 incognitas paracada concentraclon. e pue en reso ver por cua qUler metoda normali-zado (Eliminaci6n de Gauss, GaussSeidel, etc.). Pero si ademas ve-mos la forma particular y caracteristica de las matrices resultantes:

b2 C2

a3 b3 C3

a4 b4 C4

a· - b- 1 c· 11-11- 1-

a· h c·1 1 1

dE.!b.[_\eX-!

d b!.

Es 10 que se llama matriz tridiagonal. Tiene valores solamentesobre la diagonal principal y as dos diagonales adyacentes.

Existe un metoda algoritrnico simple (que se obtiene del metodade eliminaci6n de Gauss) que se llama Metodo de Thomas 0 Algorit-mo de Matriz Tridiagonal. .

El algoritmo de calculo consiste en:--------==:---- ~- Si se tiene un sistema de 1-1 ecuaciones lineales con 1-1 incognitas,

del tipo tridiagonal, y si se define:

B2 = b2 r2 = d2 I b2

B· = b· - (a. c· 1) I B.~I n 1 1- 1-.11 para 3 < ].< I

f. = (d. - a· f·1) I B·n n n n- n

- Se obtienen las soluciones segun:

C\ = fI

C\ = fi. - (ci Cji+l) I Bi.

para i = I

para 2 < i < 1-1

Con ello hallamos las concentraciones que son la soluci6n al proble-

Hay que observar que para este problema, por la forma de las ecua-.ciones en diferencias en las cuales la soluci6n ara C2 de ende de la

de C1, se deben resolver sucesivamente primero ell y despues e2.. _-_ ==--===-----==-==----===-===-==-----

LEERNUMERO DE PECLET PE

CONST ANTE CINETICA R1CONCENTRACION INICIAL DE C2 C2CERO

NUMERO DE PUNTOS NZ

DEFINIR COEFICIENTES CONST ANTESC01, C021, C022, C03, C041, C042, C06, C07

I BETA1(2) = C041GAMA1(2) = C06 / C041

PARA I DES DE 3 A NZ-1BETA1(I) = C021 - C01 * C03 / BETA1(I-1)GAMA1(I) = - C01 * GAMA1(I-1) / BETA1(I)

.BE~A1(NZ) = C021 + C07 * C03 / BETA1(NZ-1)

~C1 NZ = C07 * GAMA1(NZ-1) / BETA1(NZ)!

PARA I DESDE NZ-1 HASTA 2 DE A -1C1 I = GAMA1(1) - C03 * C1(I +1) / BETA1(I)

, II BET A2(2) = C042!GAMA2 2 = C06 * C2CERO + R1 * C1(2» / C042

PARA I DESDE 3 A NZ-1BETA2(I) = C022 - C01 * C03 / BETA2(I-1)

GAMA2(I) = (R1 * C1(I) - C01 * GAMA2(I-1» / BETA2(I)

BET A2(NZ) = C022 + C07 * C03 / BET A2(NZ-1)C2(NZ) = (R1 * C1(NZ) + C07 * GAMA2(NZ-1)) / BETA2(NZ)

PARA I DESDE NZ-1 HASTA 2 DE A-1C2(I) = GAMA2(I) - C03 * C2(I +1) / BETA2(I)

C1(1) = (PE * DZ + C1(2» / (PE * DZ + 1) I·C2(l) = (C2CERO * PE * DZ + C2(2» / (PE * DZ + 1)

RESULTADOS

EI programa fue corrido con:

Se emplearon dos valores muy distintos de Pe: 10 y 100 de

manera de observar la influencia del mezclado axial (a menor Pe

mayor mezclado) sobre los perfiles de concentraci6n calculados.

--En el gnifico siguiente se presentan los resultados calculados.

~ 1~5 0.9>-<[j}z 0.8w..,..g 0.7<t:"--'., 0.6u00.5

"<1

uzOAoo 0.3<t:~~ 0.2~~ 0.1ou 0

o 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6· 0.7 0.8 0.9POSICION Z (ADIMENSIONAL)