EJEMPLOS

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREÓN.

CARRERA: Procesos Industriales Área en Manufactura.

DISTRIBUCIÓNES Ejemplos.

Materia: Probabilidad y Estadística.

Profr: Lic. Edgar Gerardo Mata Ortiz.

ALUMNA:

Lizandra Ayari Rodríguez Ortiz.

Grado: 2 Sección: “B”.


BERNOULLI

1. Un jugador de basquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de .55.

a. a). sea x= 1, si anota el tiro, si no lo hace x= 0 determine la media y la varianza de x.

b. si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos, si lo falla, su equipo no recibe puntos.

c. Determine la media y la varianza de y.

A).

X P X * P (X−M )2*PSI 1 .55 .55 (1− .55)2* (.55)

NO 0 .45 0 (0−.55)2*(.45)

M= 0.55 σ X 2= 0.2475

B)

Y P

2 0.55

0 0.45

c).

Y P Y * P (Y−M )2*PSI 2 .55 1.10 (2−1.10)2* (.55)

NO 0 .45 0 (0−1.10)2*(.45)

M= 1.10 σ Y 2= .99

R: No porque un Bernoulli tiene solo dos valores posibles que son 0 y 1.


2. En un restaurante de comida rápida, 25% de las ordenes para beber es una bebida pequeña 35% una mediana y 40% una grande sea x= 1 si escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y x= 0.

a) Sea Px la probabilidad de éxito de x determine Px.

P(X-1) = 25 Mx(0) (1-.25) (1)(.25) Mx= 0.25X=1 bebida pequeña si el resultado es exitoso.

b) Sea Px la probabilidad de éxito de Y determine Py.

Y= 1 Bebida mediana si el resultado es exitoso P( Y-1) = .35 X ~ Bernoulli PY = (0)(1-.35)+(1)(.35) = P=.35

c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z determine Pz.

Z= 1 bebida grande.P=(2-1)= .40 por tanto X ~ Bernoulli (.40)Pz= (0) (1-.40)= p= .40

d) Es posible que X y Y sean iguales a 1.

Si

e) ¿es Pz = Px y Py?

No

f) ¿es Z = X y Y?

No porque los valores son distintos y son iguales.


3). La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6). Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro = 1/6

La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1.

La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 0.

4). ¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 0,1,. . . ,91. permitiendo repeticiones;2. sin repeticiones;3. si el último dígito ha de ser 0 y no se permiten repeticiones?

SoluciónAsumamos que para que un número sea de 4 dígitos su primer dígito debe ser distinto de cero.1. Puesto que debe formarse un numero de 4 dígitos, el primero deéstos no puede ser cero. Por lo tanto, hay nueve posibilidades parael primer dígito y diez para cada uno de los tres dígitos restantes, obteniéndose un total de 9 ¢ 103 = 9000 números posibles.2. Al igual que en el apartado anterior, el primer dígito no puede ser cero. Como además no se permiten repeticiones, hay nueve posibilidadesel segundo dígito: el cero y las ocho no escogidas para el primer dígito. Por tanto, se pueden formar 92 ¢ 8 ¢ 7 = 4536 números.

3. Fijamos el último dígito y, como no puede haber repeticiones, se obtiene un total de 9 ¢ 8 ¢ 7 ¢ 1 = 504 números.


5). Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares. ¿De cuántas maneras puede hacerse?

SoluciónYa que la fila es de 9 individuos en total, hay 4 posiciones pares (que deben ser ocupadas por las 4 mujeres) y 5 posiciones impares (para los5 hombres). Por lo tanto, pueden colocarse de P4 ¢ P5 = 4! ¢ 5! = 2880 maneras.


BINOMIAL

1. Sea X ~ Bin (8, 0.4). Determinea) P(X=2)

P(X=2) (82)(0.4)2(1−0.4)8−2= 0.20901888b) P(X=4)

P(x=4) (84)(0.4)4(1−0.4 )8−2=4= 0.2322432c) P(X<2)

P(X=1) (81)(0.4)❑(1−0.4)7= 0.08957952

P(X=0)(80)(0.4)❑(1−0.4)8= 0.01679616d) P(X>6)

P(X=7) (87)(0.4)7(1−0.4 )1=0.00786432

P(X=8)(88)(0.4)8(1−0.4 )❑= 0.00065536

0.10637568

0.008551968


2). Un examen consta de 10 preguntas a las cuales hay que responder si o no. Suponiendo que a las personas que se les aplica no saben contestar a ninguna de las preguntas y , en consecuencia , contestan al azar, hallar :

a) Probabilidad de obtener cinco aciertos:

(10 /5)= 10 !5(10−5)!

+ 10.9.8 .7 .6 .5 !5.4 .3 .2.1 .5 !

=252

3). La probabilidad de que un estudiante obtenga un titulo de licenciado en farmacia es 0,3.

Hallar la probabilidad de que un grupo de 7 estudiantes matriculados en primer curso finalice la carrera.

a). Ninguno de los siete finalice la carrera.

b). finalicen todos.

c). al menos dos acaben la carrera.

A).

B).


C)

4). Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

1. Las cinco personas.

2. Al menos tres personas.

3. Exactamente dos personas.


5). Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?


POISSON

1. Sea X ~ Poisson (4). Determine.a) P(X = 1)

P(X=1) e−4(41/1!)= 0.0732b) P(X = 0)

P(X=0) e−4(40/0!)= 0.018

c) P(X < 2)

P(X=2) e−4(42/2!)= 0.1465

d) P(X > 1)

P(X=0) e−4(40/0!)= 0.018

2). Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de Poisson. En este caso concreto, k es 5 y, λ, el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo tanto, la probabilidad buscada es:


3). El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿ calcular la probabilidad de que existan 5 registros con problemas?

N=40

P=0.08

Labmda=3.2

X=5

P(X=5)=(e-8.2)(3.25)/5!=0.1139793

4). Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen defectos en la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿calcular la probabilidad de que 10 de ellas tengan defectos en la vista?

N=50

P=0.2

Lambda=10 P(x=10)=(e-10)(1010))/10!=0.12511


5). La producción de televisores de SAMSUNG trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma una muestra o un lote de 85 televisores obtener la probabilidad de que 4 de los televisores con defecto.

N=85

P=0.02

Labmda=1.7

X=4

P(x=5)=(e-1.7)(1.74)/4!=0.0635756

DISTRIBUCION NORMAL


1). Si X es una variable aleatoria de una distribución N(µ, σ), hallar:

p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)

2). En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen.


3). En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que:

P (4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934


4). Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores?


5). En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono.


DISTRIBUCIONES GAMMA & DE WEIBULL

1). En un trayecto urbano hay dos semáforos consecutivos de modo que 2.5 minutos después de que el primero se ponga verde se pone rojo el segundo. Ambos se cierran cada 2 minutos, permaneciendo cerrados 30 segundos.

Un conductor se ha detenido en el primero y el tiempo en recorren la distancia entre ambos semáforos es una U(1,4). ¿Cuál es la probabilidad de que se pare en el segundo?

Del enunciado se deduce que deberá parar si emplea entre 2.5 y 3 minutos en ir del primero al segundo, es decir,

p[2.5 < X < 3]= F(3) - F(2.5) = (3-1) / 3 - (2.5-1) / 3 = 0.166.

2). Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de

esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo.

a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio. b. A más de dos desviaciones por encima de la media.

Solución: X: Lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo, en horas.X=numero de ciclos/100 horasY=numero de ciclos/horaX˜(2,02)


3). Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetrosa=0,81 y p=7,81, calcúlese:1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.Resultados con Epidat 3.1Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr[X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

4). El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).Resultados con Epidat 3.1 Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a,p)a : Escala 6,0000p : Forma 2,0000Punto X 1,0000Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556Moda 0,1667La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo pacientees 0,98.


5). ejemplo en una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).Campo de variación:0 < x < Parámetros:a: parámetro de escala, a > 0p: parámetro de forma, p > 0


DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT:

1) Un banco local revisa su política de tarjetas de crédito, con el objetivo de cancelar algunas de ellas. En el pasado, el 5% de los clientes con tarjeta ha pasado a ser moroso, esto es ha dejado de pagar sin que el banco pudiera recuperar la deuda. Además, el banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente normal se atrase en un pago es de 0.2. Naturalmente, la probabilidad de que un cliente moroso se atrase en un pago es 1.

2) (a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.

3) (a) Para un cliente cualquiera decimos que ha sucedido el suceso:4) M_ cuando el cliente es moroso,5) A _ cuando el cliente se ha atrasado en un pago mensual.6) Los conjuntos de sucesos {M, ¯ M} y {A, ¯ A} son dos sistemas completos de

sucesos. A continuación rescribimos7) los datos que nos proporciona el enunciado en términos de probabilidades.8) P(M) = 0.05,9) P(A| ¯M) = 0.2, P(A|M) = 1.

2). La distribución t de Student se aproxima a la normal a medida que aumentan los grados de libertad.1. Calcular, para una distribución N(0,1), el punto que deja a la derecha una cola de probabilidad 0,05.1. Resultados con Epidat 3.1Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasNormal (Mu,Sigma)Mu : Media 0,0000Sigma : Desviación estándar 1,0000Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9500Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0500Dos Colas 1-Pr[|X|<=k] 0,1000Punto X 1,6449Media 0,0000Varianza 1,0000En el segundo apartado se ejecutará dos veces Epidat 3.1: la primera vez con una distribución t de Student con 10 grados de libertad y la segunda vez con 500 grados de libertad.



1. Eventos aleatorios, espacio maestral y técnicas de conteo (con ejemplos sencillos).

2. Distribuciones de probabilidad, introducción y conceptos.

a. Bernoulli

b. Binomial

c. Poisson

d. Normal

e. Gamma


f. T de student

1. Presentación Power Point con explicaciones verbales del punto 1 (Eventos aleatorios, espacio…)

2. Documento en Word explicando cada una de las distribuciones citadas en el punto 2.

3. Documento de Word conteniendo los cinco ejemplos de aplicación de las distribuciones (punto 3 del contenido)

4. Power Point explicando por escrito un ejemplo tomado del documento en Word, de cada una de las distribuciones (punto 3 del contenido)

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