Ejercicio de Dos Grados de Libertad Dinamicos

7/25/2019 Ejercicio de Dos Grados de Libertad Dinamicos

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EJEMPLO DE UN EDIFICIO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD DINAMICOS

Sea un edificio con las especificaciones mostradas en la figura 1.

Se representa el modelo como varias masas concntricas unidas por

resortes tal como se muestra en la figura 2.

Calculando el peso en cada piso y transformndolo en masa:W1= 3.500*7 = 24.500 Kg

m1= 2500Kg*seg2/m

W2= 1.800*7 = 12.600kg

m2= 1.285,71 Kg*seg2/m

1k 2k

1 2

1m 2m

1 2

11k 122k

..

11m

..

22m

DCL

FIG.- 2 MODELOS DE MASAS Y RESORTESEQUVALENTES PARA LA ESTRUCTURA DE LA FIG. 1

FIG.- 1 REPRESENTACIN ESTRUCTURAL EN UNA DIRECCION DE ESTUDIO PARAUN EDIFICIO DE 2 PISOS MODELADO COMO PRTICO PLANO

COL1

Peso Propio

P1 = 3.5 ton/m

P2 = 1.8 ton/m

COL1

30 x 35 cm COL1

COL1

1

COL1

2


2/5

Calculando la rigidez equivalente del resorte (columnas inferiores = k1)

3jiij2jiij L

EI12RR

L

6EI

L

EI6MM

Para el concreto armado el mdulo de elasticidad ser:

2cm/Kg80,170.237c'f15100E

Las ecuaciones de movimiento del sistema se obtienen del equilibrio

dinmico de los diagramas de cuerpo libre de la figura 2.26, como:

0km

0kkm

1222

..

2

122211

..

1

Cuyas soluciones pueden ser de la forma.,

)t(sena

)t(sena

22

11

Para los desplazamientos, y para las aceleraciones

-tsena

-tsena

222

..

2

11

..

Sustituyendo en las ecuaciones de equilibrio y expresando esto en forma

matricial,

m/kg43.974.259.2k0.3

10072.1245.708.371.224

L

EI24k

m/kg05.622.669k5.4

10072.1245.708.371.224

L

EI24k

23

3

22

13

3

21


3/5

0

0

a

a

mkk

kmkk

2

12

222

22

121 (9)

Para una solucin no trivial, el determinante de la matriz de coeficientesdebe ser igual a cero:

0

0

mkk

kmkk2

222

22

121

La resolucin de este determinante arroja una ecuacin cuadrtica en 2,

quedando:

0kkkmmkkmm 212

212214

21

Sustituyendo por los valores del ejemplo:

0105133,110547.416.9275.214.3 12232

Siendo las races cuadradas,

65.17095,758.2 222

1

Obteniendo entonces las frecuencias naturales de la estructura:

1= 52.52 rad/seg y 2= 13.06 rad/seg

Y los correspondientes perodos naturales de vibracin:

seg119634.0T

seg48110.0T2T

2

1

La solucin de la ecuacin (9) permite obtener las amplitudes a1y a2.


4/5

0

0

a

a

71,285.143,974.259.243,974.259.2

43,974.259.2500.248,596.929.2

2

12

2

Para = 13.06 en la primera ecuacin,2.503.187,48 a112.259.974,43 a21= 0

1076.1a

a

11

21

Sustituyendo por un valor arbitrario igual a la unidad en el nivel 1 se

obtiene:

1076.1a

00.1a

21

11

De manera similar se procede con la segunda frecuencia natural, 2 =

52.52, obteniendo la relacin de los desplazamientos y valores arbitrales a

estos:

-3.966.279,52 a122.259.974,43 a22= 0

7550.1a

a

11

21

7550.1a

00.1a

22

12

Se puede observar que este sistema presenta dos formas armnicas de

vibrar, con dos frecuencias y dos perodos naturales de vibracin, 1y 2. Las

formas (en este ejemplo a21/a11 y a22/a12) son lo que se conoce generalmente

como las formas modales de vibracin.

El perodo de vibracin de mayor duracin (T1) es normalmente llamado

modo de vibracin natural o fundamental y est caracterizado por que todos


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los desplazamientos se dirigen hacia el mismo lado (valores todos positivos o

negativos) o por su valor de frecuencia ms bajo.

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