7/25/2019 Ejercicio de Dos Grados de Libertad Dinamicos
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EJEMPLO DE UN EDIFICIO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD DINAMICOS
Sea un edificio con las especificaciones mostradas en la figura 1.
Se representa el modelo como varias masas concntricas unidas por
resortes tal como se muestra en la figura 2.
Calculando el peso en cada piso y transformndolo en masa:W1= 3.500*7 = 24.500 Kg
m1= 2500Kg*seg2/m
W2= 1.800*7 = 12.600kg
m2= 1.285,71 Kg*seg2/m
1k 2k
1 2
1m 2m
1 2
11k 122k
..
11m
..
22m
DCL
FIG.- 2 MODELOS DE MASAS Y RESORTESEQUVALENTES PARA LA ESTRUCTURA DE LA FIG. 1
FIG.- 1 REPRESENTACIN ESTRUCTURAL EN UNA DIRECCION DE ESTUDIO PARAUN EDIFICIO DE 2 PISOS MODELADO COMO PRTICO PLANO
COL1
Peso Propio
P1 = 3.5 ton/m
P2 = 1.8 ton/m
COL1
30 x 35 cm COL1
COL1
1
COL1
2
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Calculando la rigidez equivalente del resorte (columnas inferiores = k1)
3jiij2jiij L
EI12RR
L
6EI
L
EI6MM
Para el concreto armado el mdulo de elasticidad ser:
2cm/Kg80,170.237c'f15100E
Las ecuaciones de movimiento del sistema se obtienen del equilibrio
dinmico de los diagramas de cuerpo libre de la figura 2.26, como:
0km
0kkm
1222
..
2
122211
..
1
Cuyas soluciones pueden ser de la forma.,
)t(sena
)t(sena
22
11
Para los desplazamientos, y para las aceleraciones
-tsena
-tsena
222
..
2
11
..
Sustituyendo en las ecuaciones de equilibrio y expresando esto en forma
matricial,
m/kg43.974.259.2k0.3
10072.1245.708.371.224
L
EI24k
m/kg05.622.669k5.4
10072.1245.708.371.224
L
EI24k
23
3
22
13
3
21
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3/5
0
0
a
a
mkk
kmkk
2
12
222
22
121 (9)
Para una solucin no trivial, el determinante de la matriz de coeficientesdebe ser igual a cero:
0
0
mkk
kmkk2
222
22
121
La resolucin de este determinante arroja una ecuacin cuadrtica en 2,
quedando:
0kkkmmkkmm 212
212214
21
Sustituyendo por los valores del ejemplo:
0105133,110547.416.9275.214.3 12232
Siendo las races cuadradas,
65.17095,758.2 222
1
Obteniendo entonces las frecuencias naturales de la estructura:
1= 52.52 rad/seg y 2= 13.06 rad/seg
Y los correspondientes perodos naturales de vibracin:
seg119634.0T
seg48110.0T2T
2
1
La solucin de la ecuacin (9) permite obtener las amplitudes a1y a2.
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4/5
0
0
a
a
71,285.143,974.259.243,974.259.2
43,974.259.2500.248,596.929.2
2
12
2
Para = 13.06 en la primera ecuacin,2.503.187,48 a112.259.974,43 a21= 0
1076.1a
a
11
21
Sustituyendo por un valor arbitrario igual a la unidad en el nivel 1 se
obtiene:
1076.1a
00.1a
21
11
De manera similar se procede con la segunda frecuencia natural, 2 =
52.52, obteniendo la relacin de los desplazamientos y valores arbitrales a
estos:
-3.966.279,52 a122.259.974,43 a22= 0
7550.1a
a
11
21
7550.1a
00.1a
22
12
Se puede observar que este sistema presenta dos formas armnicas de
vibrar, con dos frecuencias y dos perodos naturales de vibracin, 1y 2. Las
formas (en este ejemplo a21/a11 y a22/a12) son lo que se conoce generalmente
como las formas modales de vibracin.
El perodo de vibracin de mayor duracin (T1) es normalmente llamado
modo de vibracin natural o fundamental y est caracterizado por que todos
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los desplazamientos se dirigen hacia el mismo lado (valores todos positivos o
negativos) o por su valor de frecuencia ms bajo.