Electromagnetismo 1Ciro Fernando Gelvez

201127636Tarea 7

1

Un cable en forma de cuadrado de lado s esta puesto sobre una mesa a distancia a de uncable largo por el cual fluye una corriente I. a.

Primero decimos que el campo B producido por un cable infinito esta dado por:

~B =µ0~I

4π

∫ ∞−∞

sin θ

r2dr =

µ0~I

4π

∫ π

0sin θdθ =

µ0~I

2πs(1.1)

Es decir que rodea el alambre en una direccion a favor de las manecillas del reloj, el flujo seraentonces:

Φ =µo~I

2π

∫ a+s

a

sdr

r=µ0~Is

2πlna+ s

a(1.2)

b.La FEM sera entonces:

E = −dΦ

dt= −µ0

~Is

2π

a

a+ s

(− s

a2

) dadt

(1.3)

=µ0~Is

2v

2πa(a+ s)(1.4)

Ahora para la direccıon de la corriente, observamos por la regla de la mano derecha que la fuerzamagnetica se encuentra en la direccion +x en los dos bordes a distancia a, y en el borde a distanciaa+s, pero el borde mas cercano siente la fuerza mas fuerte, la corriente neta esta en la direccion +x,es decir que la corriente fluye en contra de las manecillas del reloj.

c.Si el cable cuadrado se mueve a la derecha, es decir manteniendo a constante , existe una fuerza a

traves de los dos bordes perpendiculares al cable, pero el campo magnetico siempre es el mismo, nohay corriente neta generada, por lo que la FEM es cero.

2

Un cable de resistencia R es atravesado perpendicularmente por un selenoide largo deradio a que tiene N vueltas por unidad de Longitud a.

Decimos primero que I = k, entonces por la ley de Faraday tenemos que:

E = −dΦ

dt= −µ0πka2N (2.1)

IR =ER

= −µ0πka2N

R(2.2)

La ley de Lenz dice que una corriente inducida se opone al cambio del flujo, entonces la corrienteen en cable fluye en la direccion −Φ.

b.Tenemos que la carga esta dada por:

Q =

∫IR(t)dt = − 1

R

∫dΦ

dt= − 1

R∆Φ (2.3)

1

Con ∆Φ el cambio en el flujo antes y despues de remover el selenoide, entonces por el punto anteriortenemos que la carga total sera:

Q =µ0πINa

2

R(2.4)

Finalmente decimos que al insertarlo la carga total sera:

QT =2µ0πINa

2

R(2.5)

3

Dos selenoides estan enrollados alrededor de un cilindro de tal forma que sobre cadavuelta haya el mismo flujo manetico (esto se logra insertando un nucleo de hierro en elcentro del cilindro, lo cual concentra el flujo). El selenoide primario tiene N1 vueltas yel secundario N2. Si la corriente I en el selenoide primario esta cambiando, muestre quela FEM inducida en el secundario esta dada por: E2E1 = N2

N1

Decimos que la Fem inducida para 1 es:

E1 = −dΦ1

dt(3.1)

Con Φ1 el flujo total en la espira 1. Si el flujo por vuelta es Φ entonces Φ1 = N1Φ lo que nos dara:

E1 = −N1dΦ

dt(3.2)

De la misma forma para el selenoide 2 tenemos que ambos cables tiene el mismo flujo, entonces laFEM inducida sobre 2 sera:

E2 = −dΦ2

dt= −N2

dΦ

dt(3.3)

Finalmente decimos que:

E2E1

=N2

N1(3.4)

4

Se tiene un Circuito Rl que ha estados conectado por mucho tiempo a una baterıa convoltaje E0. En el tiempo t = 0 se conecta solo el circuito RL sin la baterıa. a.

Tenemos que E = −LI, entonces esto sera:

−LI = IR (4.1)

I = −RLI (4.2)

I(t) = I0e−Rt/L =

E0Re−Rt/L (4.3)

Con I0 la corriente inicial.b.La energıa esta dada por:

W = R

∫ ∞0

I2(t)dt = I20R

∫ ∞0

e−2Rt/Ldt =1

2LI20 (4.4)

c.Pro la formula de energıa de inductancia, tenemos que:

2

W =1

2L

(E0R

)2

(4.5)

5

Una espira circular de alambre pequena (de radio a) se encuentra sobre el eje Z, a laizquierda de una espira mas grande de radio b, como se muestra en la figura. Los planosde ambas espiras son paralelos y perpendiculares al eje z. a.

La ley de Biot-Savart nos dice que:

B1(r) =µ0I14π

∫dl1 × (r − r1)|r − r1|3

(5.1)

El flujo a traves de la otra espira es proporcional a I1, entonces el flujo en la espira 2 es:

Φ21 =

∫B1 · da2 (5.2)

Decimos entonces que el flujo depende unicamente de la geometria del sistema, excepto µ0, lla-maremos entonces a toda la integral M21, tal que:

Φ21 = M21I1 (5.3)

Con M21

M21 =µ04π

∫ [∫dl1 × (r − r1)|r − r1|3

]· da2 (5.4)

Donde podemos decir que se cumple, M12 = M21.Ahora reescribiendo 5.2 en terminos del potencial magnetico:∫

(∇×A1) · da2 =

∫A1 · dl2 (5.5)

Donde A1 esta dado por:

A1(r2) =µ0I14π

∫dl1

|r2 − r1|(5.6)

entonces:

φ21 =µ0I14π

∫ ∫dl1 · dl2|r2 − r1|

(5.7)

Si la misma corriente I1 fluye en cada espira, el flujo en 2 sera el mismo.Ahora, el campo B estara dado por:

B(r) =µ04πI

∫dl′

|r − r1|2cos θ =

µ04πI

(cos θ

|r − r1|2

)2πa =

µ02I

a2

(a2 + r2)3/2(5.8)

Como a� b, asumimos que B1 es constante, entonces:

Φ21 = B1πa2 =

µ0I

2

πa2b2

(b2 + z2)3/2(5.9)

b. Ahora en este caso tomamos B2 como constante, y como es muy pequeno el loop lo aproximamoscomo un dipolo, entonces el momento dipolar esta dado por m = Iπa2z, entonces B estara dado por:

B2 =µ0

4πr3[3(m · r)r −m] (5.10)

decimos entonces que r =√s2 + z2, y θ el angulo entre z y r, entonces:

3

m · r = Iπa2 cos θ = Iπa2z√

s2 + z2(5.11)

Reemplazando esto en B tenemos que:

B2 =µ0πa

2I

4π(s2 + z2)3/2

[3z√s2 + z2

r − z]

(5.12)

Si integramos esto alrededor de b, tenemos:

Φ12 =

∫B2 · da =

µ0a2I

4

[3z2

∫ b

0

2πsds

(s2 + z2)5/2−∫ b

0

2πsds

(s2 + z2)3/2

](5.13)

=µ0πa

2I

2

[−z2

(s2 + z2)3/2

∣∣∣∣b0

+1√

s2 + z2

∣∣∣∣b0

](5.14)

=µ0πa

2I

2

[−z2 + s2 + z2

(s2 + z2)3/2

∣∣∣∣b0

](5.15)

=µ0I

2

πa2b2

(b2 + z2)3/2(5.16)

= Φ21 (5.17)

Como dijimos al principio Φ12 = Φ21, finalmente M sera:

M =µ02

πa2b2

(b2 + z2)3/2(5.18)

4