Guía de Ejercicios 4 - Física III

Problema - Dos antenas de radio separadas 300m, como se muestra en la �gura, transmiten simultáneamenteseñales idénticas de la misma longitud de onda.

La radio de una automóvil que se desplaza hacia el norte recibe estas señales.(a) Si el vehículo se encuentra en la posición del segundo máximo a los 400m del punto O, ¿Cuál es la longitud

de onda de las señales?(b) ¿Cuánto más lejos debe viajar el automóvil para encontrar el siguiente máximo de recepción?Respuesta: (a) � = 55; 7 , (b) �y = 270; 7m

Solución:(a) El problema puede ser estudiado mediante la teoría de la interferencia, cuya expresión para determinar los

máximos esm� = d sin �

donde d es la separación de las fuentes. En este caso m = 2, y las otras cantidades las podemos obtener de lageometría del dibujo:

d = 300m , � = tan�1�400

1000

�Así

� =d sin �

m= 55; 7m

(b) El siguiente máximo (m = 3) se encontrará a una distancia y sobre el origen O. Entonces:

m� = d sin �3 ) �3 = sin�1�m�

d

�= 33; 85�

y

tan �3 =y31000

) y3 = 1000 tan �3 = 670; 7m

Entonces, el vehículo debe viajar una distancia adicional de �y = y3 � y2 = 670; 7� 400 = 270; 7m para llegaral siguiente máximo.

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Problema - Sobre una red de difracción incide luz blanca, y el espectro se observa sobre una pantalla ubicadaa 8,0m de la red. Si la separación espacial entre los máximos de segundo orden para las longitudes de onda de520nm y 590nm es de 8,4cm:(a) Determine el número de líneas por centímetro de la red.(b) ¿Cuál es la separación entre los máximos de estas longtudes de onda en los espectros de primer y tercer

orden?Nota: Puede usar la aproximación para ángulo pequeño.Respuesta: (a) N = 750 , (b) �y(520nm) = 0; 625m y �y(590nm) = 0; 709m

Solución:(a) Aquí se comparan dos longitudes de onda distintas, para los máximos en el mismo orden (m = 2).

L = 8m

�1 = 520 � 10�9m�2 = 590 � 10�9m�y = y2 � y1 = 8; 4 � 10�2m

La fórmula para los máximos es

m� = d sin �

donde, por aproximación de ángulo pequeño, se tiene

sin �1 � �1 =y1L

sin �2 � �2 =y2L

Entonces, si queremos comparar los máximos de segundo orden (m = 2), tenemos

2�1 = dy1L

2�2 = dy2L

) �1�2=y1y2

Del enunciado deducimos que:

y2 � y1 = 8; 4 � 10�2m = �y) y2 = �y + y1

entonces

) y1�2 = y2�1

) y1�2 = (�y + y1)�1

) y1�2 = �y�1 + y1�1

) y1 =�y�1

(�2 � �1)

2

)�y1 = 62; 4 � 10�2my1 = 70; 8 � 10�2m

Así

2�1 = dy1L

) d =2L�1y1

= 1; 33 � 10�5m

Finalmente hay que entender que nos preguntan por "el número de líneas por centímetro". Si en una longitudde l = 1cm hay N rejillas de difracción separadas una distancia d una de otra, entonces se cumple:

l = N � d

) N =l

d=

1 � 10�2m1; 33 � 10�5m = 750 líneas

(b) Aquí se compara, para cada longitud de onda por separado, la distancias entre sus máximos de los modosm = 1 y m = 3.

Para la primera longitud de onda (�1 = 520nm):m = 1:

m�1 = dym=1L

) ym=1 =Lm�1d

= 0; 3128m

m = 3:

m�1 = dym=3L

) ym=3 =Lm�3d

= 0; 9383m

Entonces:�y = ym=3 � ym=1 = 0; 625m

Para la segunda longitud de onda (�2 = 590nm):m = 1:

m�2 = dym=1L

) ym=1 =Lm�1d

= 0; 3549m

m = 3:

m�2 = dym=3L

) ym=3 =Lm�3d

= 1; 064m

3

Entonces:�y = ym=3 � ym=1 = 0; 709m

Problema - El Potencial de frenado de fotoelectrones emitidos de una super�cie iluminada con luz de 491 nmde longitud de onda es de 710mV. Cuando la longitud de la onda oncidente cambia a un nuevo valor, se encuentraque el potencial de frenado es de 1,43V.(a) ¿Cuál es la nueva longitud de onda?(b) ¿Cuál es la función de trabajo de la super�cie?(c) ¿Cuál es la frecuencia umbral para dicha super�cie?Respuesta: (a) �2 = 383nm , (b) �(= w) = 2; 9 � 10�19J, (c) �0 = 4; 37 � 1014Hz

Problema - Un fotón en el vacío tiene una energía de 1,5eV y un electrón, también en el vacío, tiene unaenergía cinética de esa misma cantidad. ¿Cuáles serán sus longitudes de onda?Respuesta: �f = 8; 29 � 10�7m y ��e = 1 � 10�9m

Problema - Dos fuentes luminosas se usan en un experimento fotoeléctrico para determinar la función detrabajo para una super�cie metálica particular. Cuando es utilizada una luz verde de una lámpara de mercurio(�=546,1nm), un potencial de frenado de 0,376V reduce la fotocorriente a cero.(a) Según esta medición, ¿Cuál es la función de trabajo para este metal?(b) ¿Qué potencial de frenado se observa cuando se utiliza luz amarilla de un tubo de descarga de helio

(�=587,5nm)?Solución: (a) w = 3 � 10�19J, (b) V0 = 0; 24V

Problema - Un fotón de rayos X, de longitud de onda 0,00160nm, incide sobre una lámina metálica delgaday sufre una dispersión de Compton por un electrón libre. Si el electrón adquiere una energía cinética de igual valorque la energía del fotón de rayos X dispersado, ¿Cuál es el ángulo del fotón dispersado?Respuesta: � = 70; 1�

Solución:�f = 1; 6 � 10�12m

La energía del fotón es

E = h� =hc

�

La energía del fotón dispersado (E0) será igual a su energía inicial (E) menos la energía cinética entregada alelectrón. Esto es

E0 = E �Kelec

y como en este caso (del enunciado) Kelec = E0, entonces

E0 = E � E0 ) E0 =E

2.

siendo la energía del fotón dispersado expresada como

E0 = h�0 =hc

�0, entonces) �0 =

hc

E0=2hc

E

Por otro lado, en el efecto Compton, el ángulo de dispersión de los fotones se puede expresar en términos de laslongitudes de onda como:

�0 � � = h

mc(1� cos �)

entonces

) cos � = 1� mch

��0 � �

�) � = cos�1

h1� mc

h

��0 � �

�i

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Problema - Una instalación de doble rendija produce franjas de interferencia de luz de sodio de � = 589nmque están separadas por 0,23�. ¿Para qué longitud de onda la separación angular seria un 10% mayor? Supongaque el ángulo � sea pequeño.Respuesta: �2 = 647; 9nm

Problema - Se hace incidir una luz de un color dado sobre dos metales diferentes. Se registra la siguienteinformación:

(i) El potencial de frenado para los fotoelectrones liberados del metal A es 1,48V mayor que para el metal B.(ii) La frecuencia unbral para el metal A es 40% más pequeña que para el metal B.Determine la función de trabajo para cada metalRespuesta: wA = 3; 55 � 10�19J y wB = 5; 92 � 10�19J

Problema - Encontrar la separación entre dos líneas espectrales del mercurio de longitudes de onda �Azul =403; 2nm y �violeta = 546nm para el espectro de difracción producido por una red de difracción de 600 líneas pormilímetro. Obtener la separación antedicha para el segundo orden, considerando que la pantalla se encuentra a50cm de la red de difracción.Respuesta: �y = 0; 0856cm

Problema - Si la longitud de onda de de Broglie de un protón es de 0,113pm(a) ¿Cuál es la velocidad del protón?(b) ¿A través de qué potencial eléctrico tendría que ser acelerado el protón desde el reposo paa adquirir dicha

velocidad?Respuesta: (a) v = 3; 51 � 106m/s, (b) �V = 6; 42 � 104V

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