RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE INTERACCIÓN ELÉCTRICA

1. Tres cargas puntuales iguales a Q se encuentra ubicadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado a. Determine la magnitud de la fuerza eléctrica que experimenta cada una de ellas.

F1=

14 π ε0

∗Q∗Q

a2

F1=Q2

4 π ε0a2

F=−F1 i−F1cos 60° i−F1Sen60° j

F=−(F1+12F1)i−√3

2F1 j

F=−32

F1 i−√32

F1 j

|F|=√(−32

F1)2

+(−√32

F1)2

|F|=√ 94F1

2+ 34F1

2

|F|= F1

2 √9+3

|F|= F1

2∗2√3

|F|=F1 √3

|F|= Q2

4 π ε0a2∗√3

|F|=

Q2

2π ε0a2∗√3

2= Q2

2π ε 0a2∗cos30 °

2. En los vértices de un triángulo equilátero de lados 1 están situadas tres cargas positivas iguales de valor q. (a) ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre la carga situada en el vértice superior? (b) ¿Cuál es el campo eléctrico neto E en el punto medo de la base?

a. La fuerza que actúa sobre la carga superior:|FR|=√F2+F2+2F2cos 60O

|FR|=√2F2+2F2 cos60O

|FR|=F√3

b. El campo eléctrico neto en la base en el punto P:ENETO=EA+EB+EC

Sabemos que:

E= 14 π ϵ 0

× qr2

EA=3.6×1010N /CEB=1.2×1010N /CEC=3.6×1010N /C

ENETO=EA+EB+EC=8.4×1010N /C

3. Disponemos de tres bolitas esféricas conductoras idénticas A,B y C, de radio tan pequeño que se pueden considerar puntuales. Las dos primeras esferillas están fijas a una distancia l=100cm y tienen carga eléctrica negativa, siendo la de A 5 veces mayor que la de B. la esferilla C se encuentra inicialmente en estado neutro y se puede mover libremente a lo largo de la recta AB horizontal. (a) cogemos la bolita C con unas pinzas aislantes y la ponemos en contacto con la A, dejándola luego en libertad. Determinar la posición en que dicha bolita C quedara en equilibrio. (b) volvemos a coger la bolita C con las pinzas, poniéndola en contacto con la B y dejándola posteriormente libre. Determinar la nueva posición de equilibrio.

Carga de A=5qCarga de B=q

a) Para el primer caso:

k 2.5qx2.5q0.102 =k qx 2.5q

r2

2.50.102 =

1r 2

r=0.063m

b) Para el segundo caso:

k5qx q

20.102 =k

q2x q

2r 2

50.102 =

12 r2

r=0.0312m

4. Dos cargas iguales a Q y 5Q están en línea recta separadas una distancia a. Determine los puntos en línea que une las cargas donde el campo eléctrico es cero.

EQ=

14π ε0

∗Q

(a−x )2……………….. (1)

E5Q=

14 π ε0

∗5Q

x2………………….. (2)

Igualamos (1) y (2):EQ=E5Q

14 π ε0

∗Q

(a−x )2=

14 π ε0

∗5Q

x2

1(a−x )2

= 5x2

x2=5∗(a−x )2

x2=5a2−10ax+5 x2

0=4 x2−10 ax+5a2

x1,2=−(−10a )±√(−10 a )2−4∗4∗5a2

2∗4

x1,2=10a±2a√5

8

x1,2=5a±a√5

4

Los puntos en línea son:

x1=5a−a√5

4

x2=5a−a√5

4

5. Hallar el campo eléctrico creado por el conducto AB de densidad lineal λ=10−6C /m y longitud l=10 en un punto P a una distancia OP=a=50c . Calcular el potencial en el mismo punto P.

λ=10−6 Cm

dq=λdlq=10−6(0.1)

V=Ed

V= 14π ϵ0

10−6(0.1)0.52

V=1800 N /C

6. Una carga lineal uniforme de densidad λ=3.5nC /mse distribuye desde x=0a x=5m . a) ¿Cuál es la carga total? b) determinar el campo eléctrico en el eje X en x=6m , x=9m y x=250m.Hallando carga total:

λ=3.5nC /mx=0hasta x=5m

λ=dQdx

∫0

5

λdl=∫ dQ

Q=3.5 l|50Q=17.5nC

a. Hallando campo eléctrico:

E= 14 π ε0

Qr2

Para x=6m

E= 14 π ε0

17.562

E=4.375 N /CPara x=9m

E= 14 π ε0

17.592

E=1.944 N /CPara x=250m

E= 14 π ε0

17.5(250)2

E=2.52 x 10−3N /C

7. Una carga Q se encuentra distribuida de forma volumétrica y uniformemente en una esfera de radio a. A una distancia b > a y con el mismo centro, se encuentra una distribución uniforme y superficial de carga s con forma esférica. Hallar el campo y potencial en todos los puntos del espacio.El campo eléctrico:

∮Ed s=qneta

ε0

E(4 π r2)=Qε0

E= q4 π r2 ε0

Para r < a:E=0V=Constante

Para a < r < b:

∫V (a)

V (r )

dV=−∫a

b

Ed r=−∫a

b

E .dr

∫V (a)

V (b)

dV=−∫a

bQ

4 π r2 ε0

dr

V (b )−V (a )=[ Q4πr ε0 ]a

b

V (b )−V (a )= Q4 π ε 0

[ 1b−1a ]

Si b→∞ y V (b )=0, entonces:

−V (a )= Q4 π ε0

[−1a ]

V (a )= Q4 π ε0

[ 1a ]

8. Una barra infinita, con densidad lineal de carga λ, se dobla en forma de horquilla como se muestra en la figura. Determine el campo eléctrico en el punto Q.

dl=Rdθ

λ= dqdl

dq=λdqF y=cosθ j=0

d E= dq4 R2π ϵ 0

( senθ i−cosθ j )dθ

Los cosenos en el eje y se anulan

E= λ4 π ϵ 0

R∫0

π

senθdθ

E= λ4 π ϵ 0

R [−cosθ j ] π0

E= λ4 π ϵ 0

R [1−1 ]

E=0

9. Una esfera sólida aislante de diámetro D=28cm tiene una densidad volumétrica de carga constante. Si el campo eléctrico E a 7cm del centro vale 5.8 x104V /m, demostrar que el campo eléctrico E a 20 cm del centro vale56.84 x103V /m.

ρ=cteE7=5.8x 104V /mE20=56.84 x 103V /m

ρ=dQdV

ρ (4 π r2 )dr=dQ

Q= ρ 43π r3

E(4 π r2)=ρ 43πr 3

ε0

E= ρr3 ε0

5.8x 104

7x 3 ε0=ρ

El campo eléctrico a 20 cm del centro será:

E(4 π r2)=ρ 43πr 3

ε0

E=

5.8 x104

7x3 ε 00.02

3 ε0

E=56.84 x103V /m

10. Un cilindro macizo, muy largo de radio a, tiene una carga distribuida con una densidad de carga (a) ρ=constante (b) ρ=−Ar , donde A es una constante positiva. Determine el valor del campo eléctrico en el interior y el exterior cercano al cilindro, en punto lejanos de sus extremos.

(a) Siendo ρ=constante:Para r ≤a:

ρ= dqdV

q1=∫0

r

ρ (2πrLdr )

q1=2πLρ∫0

r

rdr

q1=2πLρ r2

2

∮Ed s=q1

ε0

E(2πrL)=2πLρ r 2

2 ε 0

E= ρr2 ε 0

Para a≤ r:

ρ= dqdV

q2=∫0

b

ρ (2πrLdr )

q2=2πLρ∫0

b

rdr

q2=2πLρ b2

2

∮Ed s=q2

ε0

E(2πrL)=2πLρ b2

2 ε 0

E= ρ b2

2 rε0

(b) Siendo ρ=−Ar :Para r ≤a:

ρ= dqdV

q1=∫0

r

−Ar (2πrLdr )

q1=−2πLA∫0

r

r2dr

q1=−2πLA r3

3

∮Ed s=q1

ε0

E (2πrL )=−2πLA r3

3 ε0

E=−Ar 2

3 ε 0

Para a≤ r:

ρ= dqdV

q2=∫0

b

−Ar (2πrLdr )

q2=−2πLA∫0

b

r2dr

q2=−2πLA b3

3

∮Ed s=q2

ε0

E (2πrL )=−2πLA b3

3 ε0

E=−Ab3

3 rε0

11. Una carga puntual +2×10−6C se encuentra en el centro de una esfera de 0.5m de radio (a) Hallar el valor del campo eléctrico en los puntos situados en la superficie de la esfera. (b)

¿Cuál es el flujo del campo eléctrico debido a la carga puntual a través de la superficie de la esfera?

a. Hallando el campo eléctrico:

E= 14 π ϵ 0

× qr2

E= 14 π ϵ 0

× 2×10−6

0.52

E=7.19×104 N /Cb. Hallando flujo del campo eléctrico:

Sabemos: ∅=∫Edsq=7.19∗104, R=0.5mReemplazando tenemos:∅=7.19∗104∗4 π∗0.52

∅=2349.157 N m2/C

12. Tres cargas iguales, cada una de 1μC , están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de 10 cm de lado. Calcule: a) la energía potencial electrostática de este sistema b) el potencial eléctrico en el punto medio de cualquier lado.

a) Hallando la energía potencial:W=q2V 1+q3V 1+q3V 2

W= 14 π ε0

( q1q2

r 12+q1q3

r13+q2q3

r23)

W= 14 π ε0

(1 μ1μ0.01

+ 1μ1μ0.01

+ 1μ1μ0.01 )

W= 14 π ε0

(3 μ2

10 )W=Ep=0.27J

b) Hallando el potencial eléctrico:

V= 14π ε0

Qr

V= 14π ε0

1 μ0.05

V=4.64 x105V13. Una esfera conductora maciza de radio 0.2 cm tiene una carga de 8µC. Una lámina esférica

conductora de radio interior 4 cm y radio exterior 5 cm es concéntrica con la esfera maciza y tiene una carga total de -0.4µC. Ambos conductores se encuentran en equilibrio electrostático. Calcule el potencial eléctrico a una distancia de 7, 3 y 1 cm del centro de ambas distribuciones de carga.

Para r ≤0.02:

∮Ed s=q1

ε0

E(4 π r2)=8 με0

E= 8 μ4 π r2 ε0

Para 0.02≤r ≤0.04:

∮Ed s=q2

ε0

E(4 π r2)=7.6 με0

E= 7.6 μ4 π r2 ε0

Para 0.05≤r:

∮Ed s=q3

ε0

E ( 4π r2 )=7.6 με0

E= 7.6 μ4 π r2 ε0

Para r ≤0.02:

∫V (0.02)

V (r)

dV=−∫0.02

r8 μ

4 π r2 ε0

d r

V (r )−V (0.02 )= 8 μ4π ε0

( 10.02

−1r )

V (r )=V (0.02 )+ 8μ4 π ε 0

( 10.02

−1r )

Para 0.02≤r ≤0.04:

∫V (r)

V (0.02)

dV=−∫r

0.027.6 μ

4 π r2 ε0

d r

V (0.02 )−V (r )= 7.6 μ4π ε0

( 10.02

−1r )

V (r )=−V (0.02 )− 7.6 μ4 π ε0

( 10.02

−1r )

Para 0.05≤r:

∫V ∞

V (r)

dV=−∫∞

r7.6 μ

4 π r2 ε0

dr

V (r )−V (∞ )= 7.6 μ4 π ε0

( 1r− 1∞ )

V (r )=V (∞ )+ 7.6μ4 π ε 0

( 1r )

Como V (∞ )=0, entonces:

V (r )= 7.6μ4 π ε0

( 1r )

Reemplazamos en:

V (r )=V (0.02 )+ 8μ4 π ε 0

( 10.02

−1r )

Para r=0.02m:

V (0.02 )=V (0.02 )+ 8μ4 π ε0

( 10.02

−1r )

V (0.02 )= −8μ4 π ε 0

( 10.02

− 10.02 )

V (0.02 )=0Siendo:

V (r )= 8 μ4 π ε0

( 10.02

−1r )

Para r=0.01m: V (0.01 )=3.6×106 VPara r=0.03m:V (0.03 )=1.7×106 VPara r=0.07m:V (0.07 )=4.1×105 V

14. Una carga lineal infinita de densidad lineal λ=1.5×10−6C /m se encuentra sobre el eje Z. Determinar el potencial a distancias de 2.0m; 4.0m; y 12m de la línea, suponiendo que V=0 a 2.5m.

λ=dQdl

Q= λlV=E .d

Por el teorema de Gauss:

∮Ed s=Qε 0

E (2πrl )= λlε0

E= λ2 π rε0

W=QVV=E .d

V= λ2π rε0

d

Para r=d=2mV=6.75 x 103V

Para r=d=4mV=13.5 x 104V

Para r=d=12mV=5.4 x104V

15. Un anillo metálico de radio a tiene una carga total Q distribuida uniformemente en su perímetro. Una carga puntual q se trae desde el infinito y se coloca en un punto a distancia

d sobre el eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por su centro. Determine el trabajo realizado por el campo eléctrico.

r=√d2+a2

W=q .VV=E .d

E y=∫ dE . senθ=0E x=0

E z=∫ dE .cosθ=∫ kdQcosθr2

E z=kcosθd

r2 Q|Q0E z=

kdQr3

E z=dQ

4 π ε0r3

E z=dQ

4 π ε0(d2+a2)

32

V= d .dQ

4π ε0(d2+a2)

32

W= d2Q

4 π ε0(d2+a2)

32

W= d2Q2

4 π ε0(d2+a2)

32

J

16. Un plano conductor tiene una carga +Q y a cada lado de este, a las distancias x 1 y x2, se colocan paralelas, placas infinitas conductoras con carga total nula. Encontrar la diferencia de potencial entre las caras internas y entre las externas de las placas.

Para r>x1+x2:E=0V Exterior=Constante

Para r<x1+x2:

∮Ed s= qε 0

E (2πrL )=Qε0

E= Q2 πrLε0

∫V (a)

V (r )

dV=−∫a

b

Ed r=−∫a

b

E .dr

∫V (a)

V (b)

dV=−∫a

bQ

2πrLε0dr

V (b )−V (a )= Q2πLε0

( ln|b|−ln|a|)

Si b→∞ y V (b )=0, entonces:

−V (a )= Q2 πL ε0

(−ln|a|)

V Interior=V (a )=Q ln|a|2πL ε0

17. Determine el trabajo que realiza el campo eléctrico al traer una carga puntual Q desde una distancia 2d hasta una distancia d de un hilo recto infinito que tiene una carga uniforme λC /m.Hallando la carga neta:

λ=dQdl

Q= λlQ= λdPor el teorema de Gauss:

∮Ed s=Qε 0

E (2πrl )= λlε0

E= λ2 π rε0

W=QVV=E .dDonde r=2d−d:

V= λ2π dε 0

d

V= λ2π ε0

W= λ2 π ε0

Q

18. Calcule la diferencia de potencial entre dos esferas concéntricas de radios a y b (a<b) que tienen cargas q y Q respectivamente.

b>a r<a

∮Ed s= qε 0

∮Ed s=0E=0 a<r<b

∮Ed s2=qε0

E(4 π r2)= qε0

b<r

E(4 π r2)=q+Qε0

a) r<a

E=∂V∂ r

=0

∫a

r

dV=0

V (r )−V (a )=0V (r )−V (a )=cte

b) a<r<b

∫V (a)

V (r )

dV=−∫a

r

Ed r=−∫a

r

E .dr

∫V (a)

V (r )

dV=−∫a

rqε0dr

V (r )=V (a )−[ qrε0−qa

ε0 ]c) b<r

∫V (b)

V (r )

dV=−∫b

r

Ed r

∫V (b)

V (r )

dV=−∫b

rq+Qε 0

dr

V (r )=V (b )−[ (Q+q )rε0

−(Q+q )b

ε0 ]……………….(1)

V (r )=V (b )−[Q+qε0 ](Q+b)

Si r→∞ y V (r )=0

V (b )=−[ Q+qε0 ]b

Reemplazando V (b) en (1):

V (r )=−[Q+qε 0 ]b−[ (Q+q ) r

ε0−

(Q+q )bε 0 ]

V (r )=−[Q+qε 0 ]r

Reemplazando V(r) para hallar V(a):

−[Q+qε0 ]r=V (a )−[qrε0

−qaε 0 ]

V (a )=−(Qr+qa )ε 0

Finalmente hallando V(r):

V (r )=−[Q+qε 0 ]r