-2 -1 0 +1 +2 +3

Racionales (Q)

, ,

…….

Enteros (Z)

…….-3, -2, -1

Naturales (N)0, 1, 2, 3….

CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES: Q

COMPETENCIA: identifica y representa fracciones y número decimales y aplica a la solución de problemas.

1. CONCEPTOS BASICOS:

RECUERDAS:¿Cuál fue el resultado de efectuar +24 ÷ + 9 ? _______________________________¿Es el cociente entero? _____________ ¿Por qué? ____________________________

Observa como se amplia el conjunto de números enteros (recta numérica).

REPRESENTACIÓN GRAFICA DEL CONJUNTO Q

Ante esta situación surge la necesidad de ampliar el conjunto de números enteros (Z), a otro llamado conjunto de números racionales ya que va a emplear fracciones y decimales.

Los números enteros pueden ser expresados como fracciones y forman parte del conjunto de números racionales Q

Se cumple: N⊂Z⊂Q

Se lee: “El conjunto de números naturales esta incluido en el conjunto de números enteros, que a su vez está incluido en el conjunto de números racionales”

RECUERDA: Una fracción es una división indicada de dos números enteros

NumeradorDenominador

2. TÉRMINOS DE UNA FRACCION:

En la fracción:

¿Qué indica el numerador? ______________________________________________________________________________________

¿Qué indica el denominador? ______________________________________________________________________________________

RECORDEMOS: a) En las siguientes figuras, colorea la parte correspondiente a la fracción referida:

1/4 6/8 3/6 2/5

b) Representa gráficamente cada una de las siguientes fracciones:

3/5 6/8

2/7 4/8

3. SIGNOS DE UNA FRACCION: El signo de la fracción es positiva, si sus dos términos son del mismo signo:

Así: +5+8

=58

y −12−15

=1215

El signo de la fracción es negativo, si sus dos términos son de signo contrario:

Así: −3+5

=−35

y +10−8

=−108

CLASES DE FRACCIONES:A) FRACCION PROPIA:

Una fracción es propia, si el numerador es menor que el denominador.Escribe la fracción que representa a cada una de las siguientes figuras:

_________ ________ ________

¿Qué relación hay entre el numerador y denominador de estas fracciones?__________________________________________________________________

LUEGO: si el numerador es menor que el denominador, se llama FRACCION PROPIA

Así: 410

; 46

y 12 : son fracciones propias.

B) FRACCION IMPROPIA: ¿Cómo representaría gráficamente las siguientes fracciones?. Dibújalas

3/2 5/3

8/5 9/4

¿Qué conclusión tienes entre el numerador y denominador de cada fracción y su correspondiente gráfica? ________________________________________________________________________________________________________________

LUEGO: si el numerador es mayor que el denominador, se llama FRACCION IMPROPIA

32 ;

85

y 94

: son fracciones impropias.

C) FRACCIONES HETEROGENEAS: Observa las siguientes graficas y escribe la fracción que representa cada una de estas.

________ __________ __________¿Cómo son los denominadores de estas fracciones?_________________________________________________________________________________________RECUERDA: A las fracciones que tienen distinto denominador, se les denomina fracciones heterogéneas.

D) FRACCIONES HOMOGENEAS: Observa las graficas siguientes y escribe la fracción que representa cada uno de estos.

__________ ________ __________ _________

¿Qué tienen en común estas fracciones? ___________________________________________________________________________________________________

RECUERDA: A las fracciones que tienen igual denominador, se les denomina fracciones homogéneas.

E) FRACCION DECIMAL:

Observa a las fracciones siguientes: 310

; 7100

; 111000

; etc.

¿Cómo son los denominadores de estas fracciones? _________________________________________________________________________________________

RECUERDA: A las fracciones que tienen como denominador potencias de 10, se les denomina fracciones decimales.

F) FRACCION IRREDUCTIBLE: Una fracción es irreductible cuando su numerador y denominador son primos entre si.

Así: : 37

; 58

; 117

; etc. Son fracciones irreductibles.

G) FRACCION REDUCTIBLE: Una fracción es reductible, cuando es posible simplificar su numerador y denominador, que tienen por lo menos un factor común.

Así: 321

; 954

; 120400

; etc. Son fracciones reductibles.

H) FRACCIONES EQUIVALENTES:

Extremo

Extremo

Medio

Medio

Dos fracciones cualquiera son equivalentes, si representan a un mismo numero con un mismo signo.La equivalencia tiene un símbolo que es “ ” que se lee “equivalente a”

Así: 25

410

;

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE FRACCIONES EQUIVALENTES.

El producto de medios es igual al producto de extremos:

45= 810

4 x 10 = 5 x 8

4. SIMPLIFICACION DE FRACCIONES: Simplifica cada fracción siguiente hasta obtener la fracción irreductible.

a)2418

R: ___________

c) 90450

R: ___________

e) 120600

R: ___________

b) 64360

R: ___________

d) 15450

R: ___________

f) 13509000

R: ___________

5. COMPARACION DE FRACCIONES: Para comparar dos fracciones, utilizar el método de productos cruzados.Colocar el signo > , < ó = según corresponda, en cada par de fracciones.

son equivalentes y se lee “dos quintos es equivalente a cuatro decimos”

a) 25¿

3c)

98¿

5 e)

83¿

9

b) −72¿

10d)

−67¿

5 f )

−510¿

10

EJERCICIOS: GRUPO Nº

Efectúa los siguientes trabajos que te proponemos a continuación:1) Escribe las fracciones que te sugiere cada una de las siguientes frases:

a) Cinco de cada siete participantes son mujeres en el aula: ______________

b) Siete década veinte animales que cria Susy son vacas: ______________

c) Siete de cada diez cuyes que cria Juana son hembras: ______________

d) Tres de cada cinco participantes trabajan en el campo: ______________

2) Ubica en la recta numérica a cada una de las siguientes fracciones:08

; 12 ;

34

; 43

y −23

3) Simplificar cada fracción hasta obtener una fracción irreductible:

a) −2832

R: _________

b) 12601980

R: _________

c) −4201600

R: _________

4) Escribir tres fracciones equivalentes a las fracciones dadas:

a) −35

= ____________________ b) 113

= ____________________

c) 1317

= ____________________ d)625125

= ____________________

5) Determinar el valor de “x” es cada caso:

a)47=12x

R: x =__________

c) x11

=143121

R: x =__________

e) 47=12x

R: x =__________

b)410

= x100

R: x =__________

d) 8172

=9x

R: x =__________

f) 24x

= 18x−1

R: x =__________

6) Determinar cuatro fracciones que sean una ampliación de los siguientes:

a) 83=¿ ____________ b)

1719

=¿ ____________ c) 415

=¿ ____________

d) 411

=¿ ____________ e) 2319

=¿ ____________ f) 12581

=¿ ____________

7) Convertir a números mixtos a las fracciones siguientes:

a) 796

=¿ ____________ b) 1247

=¿ ____________ c) 257

=¿ ____________

d) −4110

=¿

____________

e) −479

=¿

____________

f) 65070

=¿ ____________

8) Convierte a fracción los siguientes números mixtos:

a) 345=¿ ____________ b) 5

27=¿ ____________ c) 19

38=¿

____________

d) 3549=¿

____________

e) 47513

=¿

___________

f) 121117

=¿

___________

9) Diga si cada fracción esta, o no, en su expresión mínima:

a) 2127

____________( )

b) 2536

____________( )

c) 1339

___________( )

d) 1144

____________( )

e) 12646

___________( )

f) 914

____________( )

10) Simplificar las expresiones siguientes

a) 12×9×427×8×5

=¿

R:____________

b) 14×25×610×15×28

=¿

R:____________

c) 25×12×816×14×15

=¿

R:____________

d) 36×900×153600×18

=¿

R:____________

e) 504×1008000

=¿

R:____________

f) 3500×1003550×9

=¿

R:____________

OPERACIONES CON NUMEROS RACIONALES (Q)

COMPETENCIA:

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGENEAS:

RECUERDA:

Efectúa cada uno del los siguientes ejercicios:

a) 23+ 113

+ 43=¿ _________________ b)

188

−128

+ 28=¿ _________________

c) 610

+ 1110

−1310

=¿ _________________ d) 275

−85−145

=¿ _________________

Para sumar y restar fracciones homogéneas, se suman o restan los numeradores y se escribe el denominador común.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGENEAS:RECUERDA: el proceso de sumar y restar fracciones heterogéneas

Efectúa cada uno de los siguientes ejercicios:

a) 15+ 27+ 310

=¿ b) 213+ 45− 815

=¿

RESUMEN: OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios:

a) 35−14+ 58=¿ b) (6−12+ 13 )−(2−12 +1)=¿

EJERCICIOS: GRUPO Nº .

1) Halla el resultado de las siguientes fracciones

a) 38+ 18+ 58+ 78=¿

R:___________

c) 75+ 815

+ 1160

=¿

R:___________

b) −12

+−14

+−18

=¿ d) 112+2 13+1 16=¿

Efectuar:

23+ 15−19=30+9−5

45=3445

m.c.m. (3,5,9)= 3 x 3 x 5

3 5 9 31 5 3 31 5 1 51 1 1

PASOS:

1) Encuentra el m.c.m. de todos los denominadores (3,5,9)=452) El m.c.m. se divide entre el denominador de cada fracción

parcial, el cociente obtenido se multiplica por el numerador de dicha fracción parcial, y así sucesivamente.

3) Cada producto se coloca con su respectivo signo, como numerador del nuevo denominador total y se efectúa la adición de acuerdo a las reglas en Z

Los números mixtos se convierten a fracción ordinaria y después se efectúa las operaciones indicadas.

R:___________ R:___________

2) Efectúa las siguientes operaciones

a) 1720

− 720

=¿

R:___________

c) −1110

−−1415

=¿

R:___________

b) 18−23=¿

R:___________

d) 112−2 1

2=¿

R:___________

3) Efectúa las siguientes operaciones combinadas de adición y sustracción.

a) ( 13+ 116 )−86=¿ d) 534−2 1

3− 712

=¿

b) ( 12+ 13 + 14 )−17=¿ e) 4

13+ 25− 810

=¿

c) (2 412 + 59 )−( 34−1 1

7 )=¿ f) 1−110

− 1100

− 11000

=¿

4) Resuelve los siguientes problemas:

a) Un camión distribuidor de combustible deja 1/3 de su carga en una estación de servicios. ¿Qué fracción de la carga queda en el tanque?

R: _____________

d) a un grupo de 3 amigos les corresponde un premio en una rifa y lo reparten de la siguiente manera: el primero cobra los 5/9 del premio; el segundo los 2/7 y lo que queda lo cobra el tercero ¿Qué parte le corresponde al tercero?

R: _____________

b) Un padre da a su hijo los 4/5 de su sueldo y entrega a su esposa 1/8 de su sueldo ¿Qué fracción de su sueldo le queda?

e) si en Chimbote la fracción 7/11 representa las mujeres, indicar la fracción que representa los hombres.

R: _____________ R: _____________

c) Un profesor de matemática ocupa 2/5 del tablero para copiar el enunciado de un problema, 1/7 para ilustrar el enunciado gráficamente y 2/11 para resolver el problema. ¿Qué parte del tablero queda limpio?

R: _____________

f) Un automóvil demora en ir de Lima a Chimbote 4¼ de hora, quedándose a descansar 2 1/3 de hora en dicha ciudad; si parte con dirección a Trujillo y se demora 3 1/3 de hora en llegar allí ¿Cuántas horas empleo para ir de Lima a Trujillo?

R: _____________

MULTIPLICACION Y DIVISION DE NUMEROS RACIONALES (Q)

Recordemos como multiplicar y dividir fracciones:

RECUERDA: La regla de los signos de la multiplicación y división en Z.

EJERCICIOS: GRUPO Nº .

TEMA: MULTIPLICACION Y DIVISION DE FRACCIONES

1) Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios:

a) 79×1849

=¿ f) 1745÷

−1745

=¿

b) −1235

×−736

=¿ g) −297÷

−2914

=¿

23×

−57

=2×−53×7

=−1021

59÷43=59×34=−1536

La inversa de 43

es 34

Para multiplicar fracciones, primeramente se simplifica los factores y luego se multiplican los numeradores y denominadores entre si para encontrar el resultado final.

Para dividir fracciones, multiplicamos la primera fracción por la inversa de la segunda fracción.

c) 516×

−1231

×−25

=¿ h) 312÷214

=¿

d) 49×−4 1

2×−5 3

4×223

=¿ i) −335÷1825

=¿

e) ( 111180− 145 )×(90× 14 )=¿ j) −4

12÷−5 1

3=¿

FRACCION DE FRACCION: Para reducir una fracción de fracción o fracción múltiple a fracción simple, se multiplican las fracciones.

Hallar:

a) 12de16−−−→ 1×1

2×6= 112

b) 23de12=¿ e)

23de12de los 48=¿

c) 117de3522

=¿ f) 34de25de los240=¿

d) 18de37de los 112=¿ g)

110de38de los10000=¿

OPERACIONES COMBINADAS:Resuelve cada uno de los ejercicios siguientes:

a) 217÷11521×13=¿ c)

47÷821

−35×12−13=¿

b) ( 34 × 89 )×( 13+ 14 )=¿ d) ( 25+ 12− 710 )× 23+ 34× 29=¿

POTENCIACION DE NUMEROS RACIONALES: Q

COMPETENCIA:

CONCEPTOS BASICOS:Recuerda el proceso de hallar la potenciación de los números enteros (Z).

Así: ( 67 )2

=67×67=3649

( 25 )3

=25×25×25= 8125

Indicamos que: a) (3 )4=3×3×3×3=+81

b) (−5 )3=−5×−5×−5=−125

PROPIEDADES DE LA POTENCIACION

La potenciación de números racionales cumple las mismas propiedades, en la potenciación de números enteros, es decir: potencia de un producto, potencia de un cociente, producto de cociente de igual base, cociente de potencia de igual base y potencia de potencia.

EJERCICIOS: GRUPO Nº .1. Escribe como potencia los productos siguientes

a) 35×35=¿ c)

−47×

−47×

−47

=¿

b) 13×13×13=¿ d)

−35×

−35×

−35×

−35

=¿

2. Halla las siguientes potencias:

a) ( 37 )2

=¿ e) (−113 )0

=¿

b) (−15 )4

=¿ f) (2 13 )3

=¿

c) ( 47 )−2

= g) ( 79 )6

÷( 79 )3

=¿

d) (−35 )3

= h) ( 34 )÷( 34 )×( 12 )3

=

3. Escribe el símbolo: “<”, “>” ó “=” entre:

En el conjunto de números racionales la idea es la misma, solo que ahora debemos interpretar la potenciación de fracciones teniendo cuidado con los signos de los números.

EXPONENTE 0

Toda fracción elevado al exponente 0 es igual a 1.

( 312 )0

=1

EXPONENTE 1

Toda fracción elevado al exponente 1 es igual a la misma fracción.

( 310 )1

= 310

EXPONENTE NEGATIVO

Si el exponente es un entero negativo, la potencia es igual al inverso de la base pero con exponente positivo.

( 45 )−2

=( 54 )+2

=2516

(−13 )−3

=(−31 )+3

=−271

a) ( 12 )¿¿

c) ( 1113 )¿¿

b) (−23 )¿

¿

d) ( 34 )¿

¿

4. Hallar las potencias aplicando las propiedades respectivas:

a) ( 53 )2

=¿ e) (−12 )❑

=¿

b) ( 13×−12 )

2

=¿ f) (−79 )0

=¿

c) ( 25 ÷ 210 )2

= g) (−13 )2

×(−13 )3

=¿

d) (−125 )2

×(−125 )0

= h) ( 23 )−3

÷( 32 )3

=

5. Efectúe las siguientes operaciones combinadas:

a) ( 34 )3

−(−38 )2

=¿ e) [( 23 )2]2

−( 32 )−1

=¿

b) ( 12+ 12 )2

−( 14 + 13 )=¿ f) [(−14 )

2

−( 12 )2]2

=¿

c) ( 12 )2

+( 23 )−2

= g) ( 34 )2

×( 23 )2

+−112

=¿

d) ( 12 )3

+( 23 )2

= h) {23 +[ 16−( 15 + 13 )]}

−1

×310

=¿

RADICACION DE NUMEROS RACIONALES: (Q)

RECUERDA: En la radicación de fracciones, se cumple las mismas propiedades de radicación de números enteros (Z).

OPERACIONES COMBINADAS

Se efectúan primero las potencias y raíces, luego los cocientes, seguido de los productos y finalmente de adiciones y sustracciones. Si hubiera signos de agrupación estas efectúan primero.

EJERCICIOS: GRUPO Nº .1) Halla las raíces siguientes:

a) √ 125=¿ d) √ 449=¿ g) 3√ 827=¿

b) 3√ 8125

=¿ e) 3√ −11000

=¿ h) 3√−125343

=¿

c) 3√−27216

=¿ f) 3√−64343

=¿ i) 3√ −8512

=¿

2) Efectúa las siguientes operaciones combinadas:

a) √ 19+√ 116−√ 14=¿ e) √ 49 × 34 +(32 )2

=¿

b) (−23 )÷√8÷( 12 )−1

+1× (2 )−1=¿ f) √ 3625−√ 2564=¿

c) √ 2581×(37 +√ 449 )−1

=¿ g) √ 6+3−118−(1 )2−

(3−2 )6

=

a) Si el radicando es positivo y el índice es par la raíz puede ser positiva o negativa

b) Si el radicando es negativo y el índice par la raíz no existe en Q.

c) Si el radicando es positivo o negativo y el índice impar entonces la raíz tiene el mismo signo que el radicando.

√ 2536=____ porque ( 56 )2

=¿

√ 1681=____ porque ___________

√−425

= No existe en Q

3√ 18=12 porque ( 12 )3

=18

3√−27125

=−35

porque (−35 )3

=−27125

d) 3√ 8125

+ 3√ −11000

−√ 949 × 710=¿ h) √ 16625 ×√ 116−3√−27216

=¿