Ejercicios Resueltos Campo Gravitatorio

Tema 3: Ejercicios de Selectividad Eric Calvo Lorente

1TEMA 3

INTERACCIÓN GRAVITATORIA

PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD.

1. Se quiere lanzar al espacio un objeto de 500 kg y para ello se utiliza un dispositivo que le imprime la velocidadnecesaria. Se desprecia la fricción con el aire.

a) Explique los energéticos del cambios objeto desde su lanzamiento hasta que alcanza una altura h y calcule suenergía mecánica a una altura de 1000 m.b) ¿Qué velocidad inicial sería necesaria para que alcanzara dicha altura?Datos: G=6´67.10-11 Kg.m2.Kg-2 MT=6.1024Kg RT=6´4.103Km

a) En su posición inicial, el satélite dispondría de la energía potencial correspondiente a la de la superficieterrestre. Además, puesto que se le administra cierta velocidad en el despegue, llevará asociado tambiéncierto valor de energía potencial. A medida que asciende a través de la atmósfera, con la que no seproducen pérdidas energéticas, su energía potencial va incrementándose, a costa de una disminuciónprogresiva (y en la misma cantidad que el incremento) de energía cinética. Llegado el punto de alturamáxima, la energía potencial adquirirá su mayor valor; en este punto, la energía cinética será nula.

Si hacemos la descripción matemática:

PK

T

T

T

T

T

T

T

TMM

T

TPKM

T

TPKM

EE

hR

mMG

R

mMGmvmv

hR

mMGmv

R

mMGmvEE

hR

mMGmvEEE

R

mMGmvEEE

2221

222

222

2121

222222

221111

2

1

2

1

2

1

2

1

:voconservatisistemaundetratarseAl

2

1

2

1

........

..

..

Para calcular la energía mecánica a 1000 metros de altura, necesitaríamos saber si la órbita que se pretendealcanzar es de 1 Km o si por el contrario, el cohete seguirá ascendiendo.Vamos a suponer que el enunciado se refiere al primero de los casos. Entonces, la energía cinética alcanzadoel kilómetro de altura sería nula. Luego:

J

hR

mMG

hR

mMGmvEEE

T

T

T

TPKM 734883

101046

500106106760

2

1236

2411

2222222 ´

.´

....´....

b) Puesto que este valor de energía mecánica es constante:

)atmósfera.laconfriccionesproducensenoquerecordamossicomprenderpuedesesóloque(Valor

10871046

50010610676734883

500

2

7348832

7348832

1

7348832

1

2

1

1226

2411

21221

22122

2121

sm

R

mMG

mv

R

mMGmv

R

mMGvm

hR

mMG

R

mMGmvEE

T

T

T

T

T

T

T

T

T

TMM

..´.´

....´´.

..´.

..´

´..

......


22. Una partícula de masa m, situada en un punto A, se mueve en línea recta hacia otro punto B, en una región en la queexiste un campo gravitatorio creado por una masa M.

a) Si el valor del potencial gravitatorio en el punto B es mayor que en el punto A, razone si la partícula se acercao se aleja de M.b) Explique las transformaciones energéticas de la partícula durante el desplazamiento indicado y escriba suexpresión. ¿Qué cambios cabría esperar si la partícula fuera de A a B siguiendo una trayectoria no rectilínea?

a) El potencial gravitatorio en un punto A se define como el trabajo que debe realizar la fuerza conservativa (ennuestro caso la gravitatoria) para trasladar la unidad de masa desde un punto situado en el infinito (en el que noexiste influencia gravitacional, hasta el punto A. Matemáticamente:

AA R

MGV

.

, siendo M la masa que crea el campo gravitatorio y RA la distancia entre la masa que crea el campo y el punto A.Se trata de una magnitud escalar, siempre negativa, cuyo valor máximo se halla en el infinito; Par un punto

situado en el infinito, R tendría valor infinito, con lo que el potencial sería nulo.Por lo tanto, si el valor del potencial gravitatorio en el punto B es mayor que el correspondiente al punto A, elloindica que B se halla más alejado de la masa M que el punto A. Por lo tanto, la partícula se alejaría de M.Puesto que la tendencia espontánea de los cuerpos es la de dirigirse hacia lugares en los que el potencial sea menor,se desprende que el desplazamiento indicado deberá ser causada por una fuerza externa.

b) La masa m, inicialmente en el punto A poseerá una energía potencial debido a su posición respecto de M.Además, deberá contener cierto nivel de energía cinética, puesto que de no ser así, la partícula no se desplazaríahasta otro punto.A medida que la partícula avanza hacia B, su energía potencial se hace mayor (recordemos que la partícula m sealeja de M). Por su parte, la energía cinética del cuerpo va disminuyendo paulatinamente.Al llegar al punto B, la energía cinética se habrá anulado; en ese punto, a la masa le corresponderá otro nivel deenergía potencial debido a su nueva posición.Si nos centramos en las posiciones inicial (A) y final (B), las energías mecánicas correspondientes serán:

PK EE

BA

2A

2B

2B

B

2A

A

2B

BKBPBMB

2A

AKAPAMA

R

G.M.m

R

G.M.mmv

2

1mv

2

1mv

2

1

R

G.M.mmv

2

1

R

G.M.m

:constanteserdeberásistemadelmecánicaenergíalavo,conservatiessistemaelquePuesto

mv2

1

R

G.M.mEEE

mv2

1

R

G.M.mEEE

En el caso en el que la trayectoria no sea rectilínea, la variación energética será la misma. Recordemos que, portratarse de un sistema conservativo, el trabajo realizado para llevar una partícula puede establecerse como ladiferencia entre dos magnitudes que dependen de las posiciones inicial y final del cuerpo, independientemente delcamino recorrido.


33. a) La energía potencial de un cuerpo de masa m en el campo gravitatorio producido por otro cuerpo de masa m’depende de la distancia entre ambos. ¿Aumenta o disminuye dicha energía potencial al alejar los dos cuerpos? ¿Porqué?b) ¿Qué mide la variación de energía potencial del cuerpo de masa m al desplazarse desde una posición A hasta otraB? Razone la respuesta.

a) Se conoce como energía potencial gravitatoria a una función escalar característica de campos conservativos,que depende únicamente de la masa de las partículas y de la distancia entre ellas. Para un sistema formado pormás de dos partículas, la energía del sistema será la suma de las energías potenciales de cada uno de los pares departículas.Para el caso que nos ocupa, un sistema formado por dos partículas de masas puntuales m y m´, la energía potencialasociada es:

separa.lasquedistancialaRsiendo,´..

RmmG

E P

Vemos que, cuanto mayor es la distancia que las separa mayor será la energía potencial asociada (menos negativa).En el caso en el que las distancia que las separe sea muy grande (infinito), la energía potencial del sistema seránula. Así pues, se estima el valor de referencia en un punto situado en el infinito, donde, por decirlo de un modocomprensible, ninguna de las cargas “percibe” el campo gravitatorio asociado a la otra masa.A medida que estas cargas se aproximan, el valor de R va disminuyendo, con lo que el valor absoluto de la energíapotencial aumenta; sin embargo, puesto que la ecuación lleva asociada un signo negativo podemos concluir conque, a medida que las masas se acercan, la energía potencial del sistema disminuye.Si consideramos que la fuerza gravitatoria es siempre atractiva, las masas se aproximarán de manera natural, de

manera que la energía potencial del sistema disminuirá. Se trata de una tendencia espontánea del sistema, sin quesea necesaria la actuación de una fuerza externa. Por el contrario, la separación de masas supone un aumento de laenergía potencial, proceso forzado (no espontáneo) que sólo podrá realizarse cuando una fuerza externa sea laencargada de separar las cargas.

b) Como ya hemos aludido, la energía potencial es una función (magnitud) que únicamente tiene sentido cuandoel campo es conservativo. En estas circunstancias, el trabajo realizado por la fuerza conservativa (la gravitatoria eneste caso) no depende de la trayectoria realizada para desplazar una masa (que está en el interior de un campogravitatorio) desde un punto A hasta un punto B; tan sólo depende (además de las masas de las partículas) de lasposiciones de los puntos A y B.Se puede entonces establecer el trabajo realizado por la fuerza como:

PBA EW

Y, como anteriormente se ha indicado (ver apartado a) ):

RmmG

E P´..

Por lo tanto:

ABABPPP

BP

AP

RRmmG

RmmG

RmmG

AEBEE

RmmG

BE

RmmG

AE11

´..´..´..

´..

´..

En consecuencia, se deduce que el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para llevar la masa m´ desde unpunto A hasta otro B de un campo gravitatorio creado por otra masa m será:

ABBA RR

mmGW11

´..


44. Dibuje en un esquema las líneas de fuerza del campo gravitatorio creado por una masa puntual M. Sean A y B dospuntos situados en una misma línea de fuerza del campo, siendo B el punto más cercano a M.

a) Si una masa m está situada en A y se traslada a B, ¿aumenta o disminuye su energía potencial? ¿Por qué?b) Si una masa m está situada en A y se traslada a otro punto C, situado a la misma distancia de M que A, peroen otra línea de fuerza, ¿aumenta o disminuye su energía potencial? Razone su respuesta.

a)

b1)

b2)

Las líneas de campo son representaciones que indican latrayectoria que seguiría una masa patrón, inicialmente enreposo, situada el los alrededores de la masa central, que creael campo gravitatorio. Estas líneas tienen comocaracterísticas principales ir dirigidas hacia la masa quegenera el campo (la gravitación es una fuerza atractiva). Encada punto, la línea de campo es tangente al vectorINTENSIDAD DE CAMPO.En el caso que nos ocupa, en el que sólo existe una masapuntual, las líneas de campo son radiales, con el sentidoindicado anteriormente

A

B

CLa energía potencial de una partícula situada en un campogravitatorio viene dada por la expresión:

RmMG

E P..

El origen de energías es nulo en el infinito, puesto que una masaen él no sentirá la interacción provocada por M. En cualquier otrolugar, la energía potencial será negativa, tanto más cuanto mayorsea la proximidad a M. Teniendo en cuenta que B está máscercano a M que A:

BAPBPA

R

mMG

R

mMGEE

....

Como hemos señalado,:

RmMG

E P..

Puesto que tanto A como C están a la misma distancia de M, los potenciales gravitatorios serán losmismos (al igual que las energías potenciales de las masas que en estos puntos se coloquen).

CAPCPA

R

mMG

R

mMGEE

....

Los puntos caracterizados por poseer iguales valores de energía potencial constituyen lasSUPERFICIES EQUIPOTENCIALES. El trabajo realizado para trasladar una masa desde un puntoa otro de una superficie equipotencial será nulo:

0 PCA EW


55. Un satélite describe una órbita en torno a la Tierra con un período de revolución igual al terrestre.a) Explique cuántas órbitas son posibles y calcule su radio.b) Determine la relación entre la velocidad de escape en un punto de la superficie terrestre y la velocidad

orbital del satélite.G = 6'67.10-11 N.m2kg-2; gT = 10 ms-2; RT = 6400 km

a) Sólo será posible una órbita, cuyo radio respecto del centro de la Tierra vamos a calcular. Estacaracterística (tener un período de revolución igual al terrestre) es la que diferencia a los llamadosSATÉLITES GEOESTACIONARIOS O GEOSINCRÓNICOS. Además, su órbita siempre debe estaren el plano ecuatorial.Estas características hacen que el satélite parezca no moverse, desde el punto de vista de un observadorsituado en el ecuador, y con el satélite en su zénit (permanentemente)Para determinar el radio de su órbita, partiremos del dato correspondiente al período:

sg86400360024TIERRA .τAdemás:

15 rds.sg7´27.1086400

2.π

τ2.πω

Por otro lado, sabemos que la fuerza que provoca el movimiento de traslación del satélite (movimientocircular) es la fuerza gravitatoria. Como es la fuerza que provoca este movimiento, podemos decir quese trata de una fuerza normal (centrípeta):

h)(RG.m

vh)(R.mG.m

h)(Rm.v

h)(R.mG.m

F

h)(Rm.vF

T

T22

T

T

T

2

2T

TG

T

2

C

Pero, puesto que no disponemos del valor de la velocidad tangencial, podemos sustituirla en función dela velocidad angular. Recordemos que:

ω.Rv Así pues,

3T

T2

T

T2T

2

T

T2

h)(RG.m

h)(RG.m

Rh)(R

G.mv

).( h

Sin embargo, tampoco disponemos del valor de la masa de la Tierra. Para calcularlos utilizaremos elcampo gravitatorio en la superficie terrestre. De este modo:

G.Rg

mR

G.mg

2T0

T2T

T0

Sustituyendo ahora este valor de la masa terrestre en la ecuación encuadrada:

2

2T03

T3T

2T02

3T

2T0

23

T

T2 .Rgh)(R

h)(R

.Rg

h)(R

G.Rg

G.

h)(RG.m

FC

v


6

6. a) Explique el concepto de velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresión.b) ¿Qué ocurriría en la realidad si lanzamos un cohete desde la superficie de la Tierra con una

velocidad igual a la velocidad de escape?

Despejando h:

T

31

2

2T0

31

2

2T0

T R.Rgh.Rgh)(R//

Al sustituir todos los valores:terrestre)superficieladeencimapor(Altura7536234 Kmh ´

b) Velocidad de escape es la velocidad que se le debe comunicar a un cuerpo para llevarlo, desde lasuperficie terrestre, hasta un punto situado en el infinito, en el que su velocidad será nula. Así:

T

TESCAPE

2ESCAPE

T

T2ESCAPE

T

T

RG.m2

v0.v21

RG.m

0m.v21

RG.m.m

0

)()()()()()( SUPERFICIEK

SUPERFICIEPKP

SUPERFICIEK

SUPERFICIEP EEEEEE

En cuanto a la velocidad orbital, según hemos deducido en el apartado a):

hR

mG

T

T

.ORBITALv

La relación entre ambas será:

ORBITAL

ESCAPE

TT

TT

T

ORBITAL

ESCAPE

vv

R.2

RG.m2R

G.m2

vv

)(

..).(

.

hR

mG

hR

hR

mGT

T

T

T

T

a) Velocidad de escape es la velocidad que se le debe comunicar a un cuerpo para llevarlo, desde lasuperficie terrestre, hasta un punto situado en el infinito, en el que su velocidad será nula. Así:

T

TESCAPE

2ESCAPE

T

T2ESCAPE

T

T

RG.m2

v0.v21

RG.m

0m.v21

RG.m.m

0

)()()()()()( SUPERFICIEK

SUPERFICIEPKP

SUPERFICIEK

SUPERFICIEP EEEEEE

b) La velocidad de escape es una velocidad teórica que no considera los rozamientos (fricciones) a los queestaría sometido el cuerpo durante su ascenso por la atmósfera terrestre. Ocurriría que, durante el períodoen el que asciende por la atmósfera, se produce una pérdida de energía por rozamientos.Puesto que el sistema no sería conservativo en esas condiciones, se cumplirá:

0 )()()()()()( SUPERFICIEK

SUPERFICIEPKP

SUPERFICIEK

SUPERFICIEP EEEEEE

El objeto no será capaz de alcanzar el infinito; En estas circunstancias, el objeto seguirá bajo el campo deinfluencia de la Tierra, por lo que, teóricamente, volvería a ser atraído por ella (Al principio la velocidad seríamuy pequeña, para ir creciendo posteriormente.


77. a) Escriba la Ley de Gravitación Universal y explique su significado físico.b) Según la Ley de Gravitación, la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es proporcional a la

masa de éste. ¿Por qué no caen más deprisa los cuerpos con mayor masa?

a) La teoría de la gravitación universal (posteriormente Ley) , propuesta por Newton fue presentada en suobra “Philosophae Naturalis Principia Mathematica” (Principios Matemáticos de Filosofía Natural, osimplemente, Principia), publicada en 1687.El razonamiento se puede sintetizar en estas cuatro proposiciones: “Los planetas giran alrededor del sol como consecuencia de la existencia de una fuerza que actúa

sobre ellos (fuerza gravitatoria)”.Ello debe ser así puesto que la inexistencia de esta fuerza supondría un movimiento planetario deltipo MRU.

“La fuerza gravitatoria actúa sobre todos los cuerpos, independientemente de la situación ynaturaleza.”

Se trata de la unificación entre la caída de los cuerpos y el movimiento de los planetas “La interacción gravitatoria tiene carácter central”

La fuerza tiene la dirección de la línea que une los planetas El valor de la fuerza gravitatoria, considerando masas puntuales, viene dada por la expresión:

ninteraccióladeatractivocarácterelindicanegativosignoElKg

Nw.m(6´67.10universalngravitaciódeconstanteG

puntualesmasaslasunequedirecciónlaenunitario Vectoru(m)ocuerposlosentreDistanciar

(Kg)naninteraccioquecuerposlosde MasasM,M(Newtons)iaGravitatorFuerzaF

2

211-

r

12

21

212

21

ru

r

MMGF .

..

En el caso en el que el sistema en estudio se halle formado por varias masas puntuales, la fuerza neta que actúasobre cada una de ellas será igual a la suma (vectorial) de las fuerzas ejercidas por cada una de las otras masas:

11 ,, iRESULTANTE FF

c) Como acaba de decirse, la fuerza que la Tierra ejercerá sobre un cuerpo de masa m será:

rCT ur

MMGF

.

..

212

2

Por otro lado, a partir de la segunda ley de la dinámica:

amFCT

. (Fuerza ejercida sobre el cuerpo por la Tierra)

Igualando:

ar

MGam

r

mMG

amF

ur

mMGF

TT

CT

rT

CT

2

122

12

212 módulos)igualar(al ..

..

.

..

.

Aceleración que no es otra que la gravedad en la superficie terrestre )( 0g , que a nivel de la superficie

terrestre es, aproximadamente 9´81m.s-1.Es decir, la aceleración con la que un objeto es atraído hacia la superficie terrestre es independiente de la

masa de este. Dicho de otro modo, los cuerpos que se dejan caer desde cierta altura (en las cercanías de lasuperficie terrestre), describen un movimiento cinemática (MRUA) independiente de su masa.

Sin embargo, la causa que los produce, es decir, la fuerza de atracción gravitatoria, o dicho de otramanera, el peso del cuerpo, si variará en función de la masa, puesto que como todos sabemos:

0gmP .Y, claro está, a diferentes masas, distintos pesos (fuerzas)Como resumen, podemos decir que el comportamiento cinemática de cuerpos de distinta masa es elmismo (despreciando rozamientos), pero, en cambio, los comportamientos dinámicos sí son diferentes.


88. Sean A y B dos puntos de la órbita elíptica de un cometa alrededor del Sol, estando A más alejado del Sol que B.a) Haga un análisis energético del movimiento del cometa y compare los valores de las energías cinética

y potencial en A y en B.b) ¿En cuál de los puntos A o B es mayor el módulo de la velocidad? ¿Y el de la aceleración?

a) En el punto A, más alejado, el cometa dispone de una energía potencia, como corresponde a su posiciónrespecto al Sol. Al hallarse en su posición alejada, su energía potencial será:

AP r

G.M.mE

Por otro lado, posee una velocidad orbital, y, por tanto, una energía cinética asociada, de valor:

2AK .m.v

21E

La energía mecánica en este punto será:

2A

AAMEC, .m.v

21

rG.M.mE

Más tarde, cuando se halla en el punto B, poseerá un valor de energía potencial diferente, menor que elcorrespondiente al punto A (recordemos que Ep en el infinito adopta el valor máximo, cero). Desde luego,el cometa dispondrá también de un cierto nivel de energía cinética.Por lo tanto:

2B

BBMEC, .m.v

21

rG.M.mE

Considerando nos hallamos ante un sistema conservativo, podemos afirmar que la energía mecánica delsistema se mantendrá constante. Luego:

2B

B

2A

ABMEC,AMEC, .m.v

21

rG.M.m.m.v

21

rG.M.mEE

Como ya se ha comentado, la energía potencial en al punto más próximo al Sol será menor.Consecuentemente, la energía cinética deberá ser mayor, puesto que sólo así podrá mantenerse constanteel valor de la energía mecánica.

Por otro lado,

KP EE

2A

2B

AB

2B

B

2A

A

.m.v21.m.v

21

rG.M.m-

rG.M.m-

.m.v21

rG.m.M.m.v

21

rG.M.m

b) Ya hemos demostrado que la velocidad será mayor cuanto más próximo se encuentre el cometa del Sol.La velocidad máxima del cometa se producirá a su paso por el perihelio (punto más cercano); y de igualmodo, el valor mínimo de velocidad orbital se producirá en el afelio (punto más alejado)

Br

Ar

M

m


9

9. Si con un cañón lo suficientemente potente se lanzara desde la Tierra hacia la Luna un proyectil,a) ¿En qué punto de su trayectoria hacia la Luna la aceleración del proyectil sería nula.b) ¿Qué velocidad mínima inicial debería poseer parra llegar a ese punto?. ¿Cómo se movería a partir de esa

posición?G = 6'67.10-11 N.m2kg-2; MT = 6.1024 kg; ML = 7'0.1022 kg;dT-L = 3'8.108 m; RT = 6'4.106 m; RL = 1'6.106 m

En cuanto a las aceleraciones, nos fijaremos en el valor de la intensidad del campo gravitatorio ( g

):

RSC

S uR

MGg

.

.2

, y su valor sería menor cuanto más alejado se encuentre el cometa del Sol

Otro modo de analizar las aceleraciones se realizaría a partir del concepto de aceleración centrípeta o normal:

)()( BA CCBA

BA2

C aaRRvv

siRva

a)

mR

doSustituyen

M

M

dR

M

MRd

RM

MRd

M

MRRd

M

M

RRd

Rd

R

M

M

Rd

R

M

M

Rd

M

R

M

R

M

R

M

R

MG

R

MGi

R

MG

R

MGgg

iR

MGg

iR

MGg

TP

T

L

TLTP

T

LTPTL

TPT

LTPTL

T

LTPTPTL

L

T

TPTPTL

TPTL

TP

L

T

TPTL

TP

L

T

TPTL

L

TP

T

LP

L

TP

T

LP

L

TP

T

LP

L

TP

TLT

LP

LL

TP

TT

8

24

22

8

2

2

2222

2222

2

2

104293

10610071

1083

1

1

000

.´

.

.´

.´

:

.

..

...

..

..

..

P

TPR LPR


10

b1) Si no consideramos la presencia de la Luna, el problema se reduce al cálculo de la velocidad de escape.En la superficie terrestre, la energía del cuerpo será:

2

21

eT

TA vm

R

mmGE ..

..

Si el cuerpo alcanza cierta altura:

hR

mmGE

T

TB

..

Puesto que se trata de un sistema conservativo:

1-

682411

2

m.s3110781046

1104293

1106106762

: valoresdoSustituyen

221

´.´.´

....´.

...

....

..

e

T

T

T

Te

T

Te

T

TBA

v

R

mG

hR

mGv

hR

mmGvm

R

mmGEE

b2) Si consideramos la interacción lunar, el sistema estará ahora constituido por tres partículas, Tierra, Luna ysatélite. En este caso:

1

6

638

688

8TP

2

2

2

2211055

:valoressustituirquemásnadatendremosnoqueloCon1046

109993710461083

101371042931083

104293R

:lugarprimerenHallemos

2

:sustituirAl

2

21

21

21

smv

mR

mRd

mRd

m

R

mG

Rd

mG

Rd

mG

R

mGv

R

mG

Rd

mG

Rd

mG

R

mGv

Rd

mG

R

mG

Rd

mGv

R

mG

Rd

mmG

R

mmG

Rd

mmGvm

R

mmG

EE

Rd

mmG

R

mmGE

Rd

mmGvm

R

mmGE

e

T

TTL

TPTL

T

T

TTL

T

TPTL

T

TP

Te

T

T

TTL

T

TPTL

T

TP

Te

TPTL

T

TP

T

TTL

Te

T

T

TPTL

L

TP

T

TTL

Le

T

T

BA

TPTL

L

TP

TB

TTL

Le

T

TA

.´

.´

.´.´.´

.´.´.´

.´

.....

.....

....

.

........

..

....

....

..


1110. Se suele decir que la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m situado a una altura h viene dada porEP = m.g.h.

a) ¿Es correcta esta afirmación? ¿por qué?b) ¿En qué condiciones es válida dicha fórmula?

a) La ecuación es únicamente válida en el caso en el que la altura sobre la superficie terrestre seadespreciable frente al radio de la Tierra. Para los casos en los que esto no sea cierto, la expresión noresulta correcta, por lo que debe utilizarse la expresión general que indica la energía potencial de uncuerpo en un determinado punto de un campo gravitatorio.

Vamos a demostrarlo matemáticamente. La expresión general de la energía potencial es:

hR

mMGE

T

TP

..)(0

Al elevar el cuerpo cierta altura h, incrementará su energía potencial:

hR

mMGE

T

TP

..)(1

Por tanto, la variación de energía potencial será:

hR

hmMG

hRh

mMGhR

hRRmMG

RhRmMG

R

mMG

hR

mMGEEE

T

T

TT

T

TTT

TTT

T

T

T

TPPP

.......

......

)()(1101

En el caso en el que TTT RhRhR , por lo que:

T

T

T

TP R

hmMG

hR

hmMGE

......

Y, puesto que:

gR

MG

T

T .

La expresión queda como:hgmE P ..

, siendo h la diferencia de alturas entre la posición final e inicial, que hemos considerado cero

Una expresión algo más general sería:hgmE P ..

b) Como dijimos al principio del apartado a), esta expresión es únicamente válida bajo la condiciónesgrimida, que TTT RhRhR . En caso de no cumplirse la condición, debe emplearse la

expresión general de la energía potencial.


1211. La masa de la Luna es 0'01 veces la de la Tierra y su radio es 0'25 veces el radio terrestre. Un cuerpo, cuyo peso enla Tierra es de 800 N, cae desde una altura de 50 m sobre la superficie lunar.

a) Determine la masa del cuerpo y su peso en la Luna.b) Realice el balance de energía en el movimiento de caída y calcule la velocidad con que el cuerpo llega a la

superficie.gT = 10 m.s-2

a)

2

02

L

CLLUNA

CT

CTTIERRA

R

mMGF

gmR

mMGF

..

...

A partir de la primera expresión, conocido el valor de g0, podremos conocer la masa del cuerpo (recordemos que lamasa es la cantidad de materia que tiene un cuerpo). Así:

constante)(valor8010800800 0 Kgmmgm ..El peso en la Luna no resulta, en principio, fácil de determinar, puesto que no conocemos los valores de masa yradio lunar. Sin embargo, puesto que estos valores lunares se expresan en referencia a los valores respectivos deTierra, podemos dividir:

NF

FF

F

F

F

F

F

F

R

M

R

M

F

F

R

M

R

M

F

F

R

M

R

M

F

F

R

mMG

R

mMG

F

F

LUNA

TIERRALUNA

LUNA

TIERRA

LUNA

TIERRA

LUNA

TIERRA

L

T

T

T

LUNA

TIERRA

T

T

T

T

LUNA

TIERRA

L

L

T

T

LUNA

TIERRA

T

CT

L

CL

LUNA

TIERRA

128256

800256

256

010250

250

010

1

250

010

250

010

2

22

2

2

2

2

2

2

2

´

´´

´´

´

´

´

.´

´

.´..

..

b) El cuerpo, por encontrarse 50 metros sobre la superficie lunar, lleva asociado un cierto nivel de energíapotencial gravitatoria. A lo largo de la caída, esta cantidad va disminuyendo progresivamente, siendo“reemplazado” este nivel por otro de energía cinética, que al contrario que el anterior, va aumentando (enla misma progresión al descenso de energía potencial).Considerando la ausencia de atmósfera en la Luna, quedan descartadas fuerzas disipativas (de

rozamiento), con lo que el sistema es conservativo. Podemos entonces, afirmar que se conservará la energíamecánica del sistema. Por tanto:

.h2.gvv2.1.hgm.v

2.1.hm.gEE

:Igualando

lunar)superficielaenfinal,mecánica(energíam.v2.1E

cuerpo)ellanzadosera vaqueelenpuntoeleninicial,mecánica(energía.hm.gE

L2

L2

LM,2M,1

2M,2

LM,1

Pero no disponemos del dato de la gravedad lunar. Recordando los valores de masa del cuerpo así comopeso del cuerpo en la Luna, resulta rápida la obtención del valor de gL, y asimismo del valor de v


13

12. Un satélite describe una órbita circular de radio 2RT en torno a la Tierra.a) determine su velocidad orbital.b) Si el satélite pesa 5000 N en la superficie terrestre, ¿cuál será su peso en la órbita? Explique las fuerzas que

actúan sobre el satélite.G = 6'67.10-11 N.m2kg-2; MT = 6.1024 kg; RT = 6'4.106 m

Entonces:

1-L

1LLLL

L

m.s12´531602.1´6.50.h2.gv

m.s1´680

128g80.g128m.gF128NF

80Kgm

:Luego

a) La única fuerza que actúa sobre el satélite es la fuerza deatracción gravitatoria, que, por ser la causa del movimientocircular descrito por la nave respecto a la Tierra es, sin lugar adudas, una fuerza central.La transcripción matemática será:

ORBITA

T

ORBITA

2S

2ORBITA

ST

RG.M

vR

.vM

R

.MG.M

CG FF

Sustituyendo los valores correspondientes:

1-6

2411-

ORBITA

T m.s655912.6´4.10

.6.106´67.10vRG.M

v ´

b) Lo que denominamos PESO DE UN CUERPO no es sino la fuerza gravitatoria con la que la Tierra (eneste caso) atrae a un cuerpo (nuestro satélite)Vamos, pues, a determinar la intensidad de la fuerza del satélite tanto en la superficie como en la órbita enla que se encuentra:

4

4

22 2

2

2

2

SUPERFICIEORBITA

ORBITA

SUPERFICIE

T

ST

T

ST

ORBITA

SUPERFICIE

T

STORBITA

T

STSUPERFICIE

FF

F

F

R

mmG

R

mmG

F

F

R

mmGF

R

mmGF

.

.

.

.

.

.

.

.

Y, ya que el peso en la superficie es de 5000 N, resultará:

NFF

F ORBITASUPERFICIE

ORBITA 12504

50004

, peso del satélite a la altura de su órbita

CF

v


1413. Un meteorito de 1000 kg colisiona con otro, a una altura sobre la superficie terrestre de 6 veces el radio de la Tierra,y pierde toda su energía cinética.

a) ¿Cuánto pesa el meteorito en ese punto y cuál es su energía mecánica tras la colisión?b) Si cae a la Tierra, haga un análisis energético del proceso de caída. ¿Con qué velocidad llega a la superficie

terrestre? ¿Dependerá esa velocidad de la trayectoria seguida? Razone las respuestas.G = 6'67.10-11 N.m2kg-2; MT = 6.1024 kg; RT = 6'4.106 m

a1) El peso del meteorito a esta altura será:

222 497 R

mMG

R

mMG

R

mMGF TTTG

......

Sustituyendo:

NF

R

mMG

R

mMG

R

mMGF G

TTTG 40199

10467

100010610676497 26

2411

222´

.´.

....´......

a2) Puesto que tras la colisión el meteorito pierde toda su energía cinética:

JER

mMGEEEE M

T

TMPKM

96

2411109338

10467100010610676

70 .´

.´.

....´.

..

b1) Inicialmente el meteorito, por hallarse en una determinada posición y dotado de cierta velocidad, dispondráde un valor energético suma de las correspondientes energías potencial y cinética. En el caso en el queconsideremos que en la situación inicial el meteorito ya perdió toda su energía cinética. Luego:

200 2

17

vmR

mMGE

T

TM ..

...

A medida que cae hacia la Tierra, irá paulatinamente perdiendo energía potencial a costa de un aumento de laenergía cinética:

211 2

1vm

R

mMGE

T

TM ..

..

Si no consideramos las fricciones en la atmósfera cuya consecuencia será la elevada pérdida de energía en formade calor, se cumplirá:

21

2010 2

121

7vm

R

mMGvm

R

mMGEE

T

T

T

TMM ..

....

...

Pero si por el contrario si los tenemos en cuenta, la existencia fuerzas de rozamiento (no conservativas), implica elcumplimiento de:

ROZT

T

T

TROZM Wvm

R

mMGvm

R

mMGWE

2

02

1 21

721

...

....

..

b2)

16

2411

21

21

20

21

571035310467

1061067612

7122

76

711

2

21

721

7

021

7210

smv

R

MG

R

MGv

R

MGv

vR

MG

R

MGvm

R

mMG

R

mMG

vmR

mMGvm

R

mMGE

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

TM

.´.´.

...´.

.......

....

...

....

...

....

..

b3) En el caso en el que no se considere el rozamiento con la atmósfera, la velocidad con la que impacte elmeteorito no será función de la trayectoria recorrido, puesto que al tratarse de un sistema conservativo, puededefinirse en el la función energía potencial. Sin embargo, al participar el rozamiento, fuerza no conservativa, comoya hemos dicho, el trabajo realizado por esta si será función del camino recorrido. Cuanto mayor sea la trayectoriarecorrida en la atmósfera, mayor será la energía perdida en forma de calor, y por lo tanto, menor será la energíacinética con la que alcance la superficie terrestre (menor velocidad).


1514. Razone las respuestas a las siguientes cuestiones:a) Si el cero de energía potencial de una partícula de masa m se sitúa en la superficie de la Tierra, ¿Cuál es el

valor de la energía potencial de la partícula cuando ésta se encuentra a una distancia infinita de la Tierra?b) ¿Puede ser negativo el trabajo realizado por una fuerza gravitatoria?, ¿puede ser negativa la energía

potencial gravitatoria?

a) La ecuación que todos conocemos de energía potencial, parte del hecho de considerar nulo el valor de esta en elinfinito. De este modo, a un cuerpo situado en la superficie terrestre le correspondería un valor.

0)

G.M-)superficie T

(

.(

P

TP

E

R

mE

El trabajo que realizaría la fuerza conservativa para llevar el cuerpo de masa m desde la superficie al infinito sería,en este caso,

TTA R

m

R

mW

.. TT G.M-G.M0

Este valor del trabajo no es sino la diferencia entre las energías potenciales de los dos puntos considerados.Basándonos en este argumento, un cambio en el nivel cero de energía potencial no debe modificar el valor de ladiferencia de potencial entre los dos puntos. Si a esto le añadimos que todos los procesos espontáneos van dirigidoshacia estados de menor energía potencial, llegaremos fácilmente a comprender que:

TP

P

R

mE

E

.(

(

TG.M)

0)superficie, de modo que:

TTA R

m

R

mW

.. TT G.M0

G.M

Que, claro está es el mismo que el anterior, como ya presuponíamos según el argumento indicado.

Pero también podemos realizar la argumentación matemáticamente. Si cambiamos la definición de energíapotencial conocida por esta otra, el trabajo realizado por la fuerza conservativa para llevar un objeto de masa mdesde el infinito hasta un punto de la superficie terrestre, en cuyo lugar su valor es nulo, la ecuación matemáticaquedaría como:

T

TP

T

TP

T

T

TPP

B

T

A

TA

B

TA

BAB

R

mMGE

R

mMGE

R

mMG

R

mMGEAE

R

mMG

R

mMG

R

mMGrdFW

..)(

..)(

....)()(

.......

00

:quedará0,(A)Eelegido,ceronivelaldebidoque,Puesto P

b1) El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria en un proceso espontáneo es siempre positivo. La separación demasas no es un proceso espontáneo, y es necesario efectuar un trabajo en contra de la fuerza gravitatoria. En estecaso, el trabajo de esta fuerza gravitatoria es negativo (al no ser ella quien realiza dicho trabajo):

)espontáneono(Proceso0

)espontáneo(Proceso0

B

T

B

TBPPPB

B

T

B

TPBPPB

R

mMG

R

mMGEEEW

R

mMG

R

mMGEEEW

....

....

,,

,,

b2) Al estimar el infinito como referente de energías potenciales, las energías potenciales siempre son negativas,ya que, al tratarse de una fuerza atractiva, un cuerpo abandonado en el campo gravitatorio tenderá a desplazarsehacia lugares de menor energía potencial. Si en el infinito, la energía potencial es nula, el único modo de disminuirserá considerando que en cualquier otro punto diferente del infinito, estas energías potenciales sean negativas


1615. En una región del espacio existe un campo gravitatorio uniforme de intensidad g, representado en la figura por suslíneas de campo.

a) Razone el valor del trabajo que se realiza al trasladar la unidad de masa desde el punto A al B y desde B alC.

b) Analice las analogías y diferencias entre el campo descrito y el campo gravitatorio terrestre.

A

B Cd

d

g

a)

CBBC

BC

C

B

C

B

C

B

C

BCB

B

A

B

ABA

rrmMG

rrmMG

rrmMGdr

r

mMGdrFdrFrdFW

drFrdFW

1111

110

090

2

......

......

.cos...

cos...

b)El campo descrito se comporta como el campo gravitatorio terrestre, con la diferencia de que este es horizontal entanto que el gravitatorio es vertical. En ambos casos tenemos un campo de fuerzas conservativo.La diferencia radica en que en el campo gravitatorio, el valor de g

es una función de la distancia a la Tierra, en

tanto que el caso del ejemplo g

es uniforme.

Por otro lado, las líneas de campo gravitatorio convergen en un punto, el centro del planeta; en nuestro caso, todaslas líneas son paralelas.El ejemplo podría resulta semejante, si lo giramos 90º en sentido horario, al del campo gravitatorio terrestre parapuntos cercanos a la superficie de la Tierra. Si consideramos que esta es esférica, puede considerarse que paraáreas pequeñas, y para bajas altitudes sobre la superficie terrestre, este será el comportamiento del campogravitatorio.


1716. Una partícula se mueve en un campo gravitatorio uniforme.a) ¿Aumenta o disminuye su energía potencial gravitatoria al moverse en la dirección y sentido de la fuerza

ejercida por el campo? ¿Y si se moviera en una dirección perpendicular a dicha fuerza?. Razone lasrespuestas.

b) Escriba una expresión del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre la partícula para undesplazamiento "d" en ambos casos. ¿En qué se invierte dicho trabajo?

a1) Disminuirá, ya que al situarse el origen de energías potenciales en el infinito (en cuyo lugar es cero), y,dado que en cualquier otro punto (distinto del infinito) viene dada por la expresión:

rmMG

E P..

, siempre será negativa, y menor cuanto más cerca se encuentre de la masa que cree el campo gravitatorio.

a2) Si la partícula se desplaza en sentido perpendicular al campo gravitatorio, no se producirán cambiosen la energía potencial. Matemáticamente:

0:que,Puesto

)()(

....)()(

.......

AEBE

RR

RmMG

RmMG

AEBE

RmMG

RmMG

RmMG

rdFW

PP

AB

ABPP

AB

B

A

B

ABA

b1)

AB

AB

B

A

B

a

B

A

B

ABA

rrmMG

rrmMGdr

r

mMGdrFdrFrdFW

11

1102

...

......

.cos...

b2)

090

B

A

B

ABA drFrdFW cos...


1817. Un cuerpo, inicialmente en reposo a una altura de 150 km sobre la superficie terrestre, se deja caerlibremente.

a) Explique cualitativamente cómo varían las energías cinética, potencial y mecánica del cuerpo durante eldescenso, si se supone nula la resistencia del aire, y determine la velocidad del cuerpo cuando llega a lasuperficie terrestre.

b) Si, en lugar de dejar caer el cuerpo, lo lanzamos verticalmente hacia arriba desde la posición inicial, ¿cuálsería su velocidad de escape?

Datos: G = 6'67.10-11 N.m2kg-2; MT = 6.1024 kg; RT = 6400 km

a) Variaciones Energéticas:En el punto inicial, el móvil carece de velocidad, y se encuentra a una determinada altura sobre la superficiedel planeta. Dicho de otro modo, el cuerpo dispone de un valor de energía mecánica equivalente a la energíapotencial correspondiente a ese punto.La acción gravitatoria produce la caída del cuerpo hacia la Tierra, con lo que su produce un paulatinodecrecimiento de energía potencial a beneficio de un aumento de energía cinética, al ir aumentando develocidad a medida que progresa la caída; por lo tanto, la energía cinética va incrementándose (en la mismamedida en la que decrece la energía potencial)En cualquier caso, y puesto que el sistema es conservativo (si no consideramos las pérdidas energéticasdurante la caída), el principio de conservación de la energía mecánica gobernará el proceso, con lo que:

12

22

22

22222

111

21

341692221

21

21

0

smR

MG

hR

MGv

R

MGv

hR

MG

R

mMGvm

hR

mMG

R

mMGvmEEE

hR

mMGEEE

EE

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

TPKM

T

TPKM

MM

.´..

..

..

....

....

..

..

b)

hR

MGvv

hR

MG

vmhR

mMG

EE

T

TESCAPESCAPE

T

T

ESCAPET

T

MBMA

...

.

....

221

021

2

2

A

150 Km

vF =0B

La velocidad escape es la velocidad comunicar a uncuerpo para que, escapando de la acción gravitatoriaalcance un punto del infinito con velocidad cero


1918. Se desea colocar un satélite en una órbita circular, a una cierta altura sobre la Tierra.a) Explique las variaciones energéticas del satélite desde su lanzamiento hasta su situación orbital.b) ¿Influye la masa del satélite en su velocidad orbital?

a)

A medida que asciende, y por considerar nulo el rozamiento con la atmósfera, la energía potencial del cuerpo iráaumentando, a costa de una disminución de la energía cinética. En todo momento, por tratarse de un sistemaconservativo, se conservará la energía mecánica del sistema. Una vez alcanzada su órbita, el satélite se hallará enreposo, con lo que, al no disponer de energía cinética, todo su valor energético se hallará en forma de energíapotencial gravitatoria:

222 2

1vm

hR

mMGE

T

TM ..

..

Como hemos dicho:

2 21 2 1 2

2 2 21 2 1 1

1 12 2

1 1 1 22 2 2

. . . .. . . .

. . . . . .. . . .

T TM M

T T

T T T T T T

T T T T T T

G M m G M mE E m v m v

R R h

G M G M G M G M G M G Mv v v v

R R h R R h R h R

Tras alcanzarse la órbita, el satélite deberá recibir un impulso tangencial que le permita comenzar a describir laórbita circular.Como vemos a partir de la última expresión, la velocidad con la que debe ser lanzado el objeto es independiente desu masa.

h

El cuerpo a lanzar se encuentra inicialmente sobre la superficie terrestre, yen esta posición se le comunica una velocidad para conseguir su despegue.Energéticamente, el dispositivo contiene un valor de energía equivalente ala suma de su energía cinética y su energía potencial:

211 2

1vm

R

mMGE

T

TM ..

..


2019. Dos partículas de masas m1 = 2 Kg. y m2 = 5 Kg. están situadas en los puntos P1 (0,2) m y P2 (1,0) mrespectivamente.a) Dibuje el campo gravitatorio producido por cada una de las masas en el punto O (0,0) m y en el punto P (1,2) m

y calcule el campo gravitatorio total en el punto P.b) Calcule el trabajo necesario para desplazar una partícula de 0'1 Kg. desde el punto O al punto PG = 6'67.10-11 N.m2.kg-2

a) Vamos a determinar el campo gravitatorio producido en los puntos O y P, por cada una de las masas, de maneraindependiente.

1-2

1-

2

2

N.Kg4

52

4

5

4

2

4

21

2

PEn

N.Kg2

5

51

5

24

2

OEn

GGg

jG

jG

jmG

g

iGiG

ix

mGg

GGggg

iGiG

ix

mGg

jG

jG

jy

mGg

BPB

APA

BAB

OB

AOA

,´

.).().(.

..).().(.

,

.....

....

b) Como ya sabemos, PEW . Vamos entonces a determinar los valores de energías potenciales en O y en P;

si a la partícula de masa 0´1 Kg la llamamos m3:

JW

Luego

JE

doSustituyen

mmmGmm

mGmm

mm

mG

mm

mGmm

mGmm

mGmm

mGE

mm

mGmmGmmG

PE

mm

mGmmGmmG

OE

P

BAAB

BA

AB

BA

AB

BA

AB

P

ABBA

P

BABA

P

11

111111

333

3333

333

333

101

10110106763522

1010676

22222

2222

221

212

.

:

.´..´..´..´

:

..

....

....

.....

)(

.....

)(

P

O

A

B


2120. La masa del Sol es 324.440 veces mayor que la de la Tierra y su radio 108 veces mayor que el terrestre. a) ¿Cuántasveces es mayor el peso de un cuerpo en la superficie del Sol que en la de la Tierra?. b) ¿Cuál sería la altura máximaalcanzada por un proyectil que se lanzase verticalmente hacia arriba, desde la superficie solar, con una velocidad de720 km/h?g T = 10 m s-2

a)

27´81.

8127108

32440022

2

2

2

2

2

2

2

TIERRASOL

TT

TT

ST

TS

T

T

S

S

TIERRA

SOL

T

TTIERRA

S

SSOL

FF

RM

RM

RM

RM

R

mMG

R

mMG

F

F

R

mMGF

R

mMGF

´..

..

.

.

..

..

..

..

Como vemos, el peso de un cuerpo situado hipotéticamente en la superficie solar sería 27´81 veces superior al quetendría en la Tierra. Consecuentemente,

TIERRASOL gg 27´81.

b) Se trata en este caso de calcular la velocidad de escape en la superficie del Sol.

2

22

altura)(máxima

21e)(superfici

hR

mMGE

vmR

mMGE

S

SM

S

SM

..

....

Puesto que el sistema es conservativo:

22

2

22

2

21

21altura)(máximae)(superfici

hR

MGv

R

MG

hR

mMGvm

R

mMGEE

S

S

S

S

S

S

S

SMM

..

.

....

..

NECESITAMOS ABSOLUTAMENTE LOS DATOS DE MASA Y RADIO TERRESTRES

mR

kgM

TIERRA

TIERRA

6

24

1046

106

.´

.

A partir de aquí:

sale)noproblemaelodecimaleslostodostomardeHemos109126108

109466413244008

30

(..´.

.´

mRR

KgMM

TSOL

TIERRASOL

Sustituyendo ahora, se obtiene que:h=73´59m


2221. Un satélite de comunicaciones está situado en órbita geoestacionaria circular en torno al Ecuador terrestre. Calcule:a) radio de la trayectoria, aceleración tangencial del satélite y trabajo realizado por la fuerza gravitatoria durante unsemiperiodo, b) campo gravitatorio y aceleración de la gravedad en cualquier punto de la órbita.G = 6,67.10-11 N m2 kg , MT = 5,98 1024 kg

a)

)sonF yrdmomentotodoenque(Ya

090W

:iagravitatorfuerzalaporrealizadotrabajoalrespectaqueloenY

un MCUesorbitalmovimientoelquepuestonula,seráesta,tangencialnaceleraciólaacuantoEn

103042

4

42

:(2)en(1)doSustituyen

2

128640024

GRAV

6

32

2

22

2

2

2

2

2

2

2

B

A

B

A

B

A

ORB

TORB

ORB

TORB

ORB

T

ORB

ORB

ORB

T

ORB

ORB

T

ORBGC

ORBORB

drFdrFrdF

mR

doSustituyen

MGR

R

MGR

R

MG

R

R

R

MG

Rv

R

mMG

Rvm

FF

RvRvsh

cos..cos...

.´

:.

..

..

...

..

)(...

)(..

.

b) Antes de comenzar el análisis matemático, debemos indicar que la intensidad del campo gravitatorio yaceleración de la gravedad son la misma magnitud. De hecho, la intensidad del campo gravitatorio tiene comounidad en Sistema Internacional el N.Kg-1 (=Kg.m.s-2.Kg-1) que , como vemos, es equivalente al m.s-2, unidadcaracterística de las aceleraciones.Vamos, por tanto, a determinar la intensidad del campo:

2-

26

2411

2m.s2230

103042

1098510676´

.´

.´..´.

R

MGg T


2322. Suponga que la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa.a) ¿Aumentaría la intensidad del campo gravitatorio en su nueva superficie?b) ¿Se modificaría sustancialmente su órbita alrededor del Sol?

Justifique las respuestas.

a) La intensidad del campo gravitatorio ( g

) en un punto alrededor de una masa M viene dado por la

expresión:

RuR

MGg

.

.2

,

Donde M es la masa del cuerpo puntual que ejerce el campo y R es la distancia entre el cuerpo (puntual) yel punto considerado.En un sentido estricto, la fórmula sólo es válida para cuerpos puntuales que concentren toda la masa endicho punto; sin embargo, en el caso de partículas esféricas con distribución de masa homogénea(densidad homogénea) sucede que su comportamiento gravitatorio es idéntico al de una masa puntual devalor la masa del cuerpo. Para nuestro caso, podemos considerar el comportamiento gravitatorio generadopor la Tierra como el que correspondería a una partícula puntual en la que toda la masa de la Tierraestuviera “recogida”. Por lo tanto, la expresión inicial para el campo es perfectamente válida.Comparemos los valores del campo:

0220

20

g44

2

g:TierraotralaPara

g:TierranuestraPara

....

.

T

T

T

T

T

T

R

MG

R

MG

R

MG

Como vemos, en la superficie, el campo de Tierra 2 sería cuatro veces mayor que el campo de la Tierra.

b) Explicación1. Ya se ha indicado que la ecuación del campo solo es válida para cuerpos puntuales, peroque puede ser utilizada para el caso de masas esféricas, reduciendo a un punto las dimensiones de estas.

Y puesto que en la expresión del campo no intervienen los tamaños de las partículas implicadas (ennuestro caso Tierra y Sol), ello supondrá que el comportamiento entre ambos astros será el mismo,independientemente de la reducción en el radio de uno de ellos

Explicación 2. Otro modo de argumentar se basaría en el análisis del tipo de fuerzas por las que uno de losplanetas reduciría su masa; a saber:a) Por fuerzas internas (a la Tierra): en este caso, las fuerzas no producirían ningún efecto dinámico

puesto que se anularían dos a dos, según la tercera ley de Newton (Ppio de Acción y Reacción). Al noexistir este efecto (producción de una aceleración como consecuencia de la existencia de una fuerzaneta), no se produciría cambio en la órbita.

b) Por fuerzas externas (Sol sobre Tierra). En cualquier caso, por poder considerarse como masaspuntuales, las distancias entre esos puntos no variaría, con lo que tampoco lo haría el campo, con loque no habría ninguna modificación orbital.


2423. El satélite de investigación europeo (ERS-2) sobrevuela la Tierra a 800 km de altura. Suponga su trayectoria circulary su masa de 1000 kg.

a) Calcule de forma razonada la velocidad orbital del satélite.b) Si suponemos que el satélite se encuentra sometido únicamente a la fuerza de gravitación debida a la Tierra,¿por qué no cae sobre la superficie terrestre? Razone la respuesta.

RT = 6370 km ; g = 10 m s-2

a) Para determinar la velocidad orbital del satélite nos basta con darnos cuenta de que la única fuerzaexistente, la fuerza gravitatoria, es la causante del movimiento de rotación alrededor de la Tierra, circularuniforme. La fuerza gravitatoria, como bien sabemos, es una fuerza central, cuya acción se dirige siemprehacia el centro del planeta. De un modo más claro, se trata de una fuerza centrípeta:

1

33

14

142320

0

22

2

94752410800106370

10064

:orbital velocidadlaen valorestedoSustituyen

10064106370

10

:)(terrestresuperficielaencampodelel valorconocemossíembargoSinterrestre.masade valoreslosdedisponemosnoPero

smv

MGMG

R

MGg

g

hR

MGvv

hR

MG

hR

vm

hR

mMG

FF

ORB

TT

T

T

T

TORBORB

T

T

T

ORB

T

T

CG

.´..

.´

.´.).(

..

.....

b) El satélite, puesto que describe una órbita circular, se encuentra sometido a una fuerza centrípeta, fuerzaque, como ya se indicó en el apartado anterior es la fuerza gravitatoria. En este caso, la tendencia a “caer”hacia la Tierra está compensada con la tendencia a desplazarse con la velocidad orbital en una direccióntangente a la dirección radial.Sin embargo, en el caso en el que la velocidad no pudiese compensar esa tendencia a la caída, el satélitecaería describiendo una espiral hasta caer a la Tierra. Si, por el contrario, el satélite se moviese con unavelocidad superior a la velocidad orbital, este escaparía de su órbita inicial (circular).

CF

v


2524. La nave espacial Apolo XI orbitó alrededor de la Luna con un período de 119 minutos y a una distancia media delcentro de la Luna de 1´8.106 m. Suponiendo que su órbita fue circular y que la Luna es una esfera uniforme:

a) Determine la masa de la Luna y la velocidad orbital de la nave.b) ¿Cómo se vería afectada la velocidad orbital si la masa de la nave espacial se hiciese el doble? Razone larespuesta.Dato: G=6´67.10-11 N.m2 Kg-2

a) La fuerza que permite al satélite dar vueltas alrededor de la Luna es su fuerza de atracción gravitacional.Puesto que es una fuerza central, es decir, de naturaleza centrípeta:

Kg

hRhR

FF

L

L

CG

22L

362

2

L

3L2

2

L2

L2

2

L

LL

L

L

ORB

L

LORB

2ORB

L

L

L

2ORB

2L

L

10776M1081.4.M

hR.4.MhR.τ

4.πhR

G.MhR.

τ2.π

hRG.M

:orbital velocidadlaaientescorrespondsexpresionedoslasIgualando

2.vv

2.:ecuaciónladetravésalineal velocidadlaconrelacionase)(magnitudEsta

7140s119.60τ:naveladerotacióndeperíododeldisponemosAdemás,

hRG.M

vvhR

G.MhR

m.v

hR

.mG.M

.´.´

7140.6´67.10

π

G.τπ

.τπ

.τπω

τ

11-

b) Si analizamos la expresión correspondiente a la velocidad orbital:

hRG.M

vL

LORB

, vemos que, en ningún momento aparece la masa del satélite. Tan sólo

depende de la masa del astro y del radio de la órbita.


2625. Demuestre, razonadamente, las siguientes afirmaciones:a) a una órbita de radio R de un satélite le corresponde una velocidad orbital v característica.b) la masa M de un planeta puede calcularse a partir de la masa m y del radio orbital R de uno de sus satélites.

a) Los fundamentos teóricos que explican el movimiento de satélites artificiales en sus órbitas establespueden ser desarrollados cosiderando los principios físicos indicados en la imagen de la página anterior (Leyde la Gravitación Universal, Conservación del Momento Angular y Conservación de la Energía).La energía mecánica que posee un satélite que gira alrededor del planeta será:

ctemvr

mmGEEE T

KPMEC

2

21..

, y este valor deberá ser negativo en todo momento, puesto que el primer término se relaciona con la accióngravitatoria del satélite, y para que el artefacto permanezca constantemente ligado al planeta es necesario quela energía cinética sea menor, en términos absolutos, que la energía potencial correspondiente al punto de laórbita en la que se encuentre dicho satélite (de este modo, no dispondrá en ningún momento de la energíasuficiente como para escapar de la acción de planeta):

2

21mv

r

mmG T ..

Esta condición se cumplirá entre determinados valores de r, uno máximo (apogeo) y otro mínimo (perigeo). Latrayectoria que cumplirá esta condición será, claro está, una elipse con la Tierra en uno de sus focos(recordemos las leyes de Kepler).Y,claro está, una de las elipses que cumplen lo deducido anteriormente es, precisamente, la circunferencia. Alanalizar este sencillo caso:

r

mGvv

r

mG

r

vm

r

mmG

amF

TORBORB

TORBT

CGRAV

...

..

.

22

2

: Asíescalar.otratamientunrealizarpodemossentido,ydireccióniguales vectoresdoslostener(al

b) Tal determinación será posible siempre que se conozcan datos de un planeta o satélite en órbita alrededorsuyo.Considerando las órbitas como circulares, la fuerza de atracción gravitatoria es la fuerza centrípetaproductora del movimiento. Entonces:

GvR

MRM

GvR

mMG

Rmv

R

mMGF

Rmv

F

g

c 22

2

2

2

2

...

Pero,

R

Rv.

.2

Por lo que:

centralastrodelalrededorgiraquecuerpodelrevolucióndePeríodoastrosambosdemasadecentroslosseparaqueDistancia

42

2

2

2

R

dondeG

RM

G

R

M

:,.

.


2726. a) Determine la densidad media de la Tierra.b) ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra la intensidad del campo gravitatorio terrestre se reduce a la terceraparte?G=6,67.10-11 N m2 kg-2; RT=6370 km; g=10 m s -2

a) Como muy bien sabemos, la densidad de un cuerpo es un propiedad intensiva que se expresa matemáticamentecomo:

Vm

Puesto que nuestro objetivo es determinar tal magnitud, lo que haremos será en primer lugar determinar los valoresde masa y volumen terrestre.Por lo que respecta a la masa, el campo gravitatorio de un punto de la superficie será:

kgMM

G

Rg

R

MGg TT

T

T

T 2411

2320

20 1008610676

10637010.´

.´

....

En cuanto al volumen del planeta, por tratarse de una esfera:

321333 1008110637034

34

mRV T .´.....

Ahora, simplemente sustituimos en la ecuación de la densidad y tenemos la solución:

321

24635629

1008110086 mKg

V

M

T

TT .´

.´

.´

b) Necesitamos comparar la intensidad del campo entre dos puntos, la superficie terrestre y el punto en el que estase reduce a la tercera parte:

mh

doSustituyen

RhRhRR

hR

R

hR

hR

R

hR

MG

R

MG

g

g

hR

MG

R

MG

g

g

hR

MGg

hR

MGg

R

MGg

TTTT

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

33

2

2

2

2

2

2

0

0

2

20

20

2

20

1016466313106370

133331

1

3

33

.´..

:

..

.

.

.

.

..

.


2827. Razone la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:a) El peso de un cuerpo en la superficie de un planeta cuya masa fuera la mitad que la de la Tierra sería la mitad desu peso en la superficie de la Tierra.b) El estado de "ingravidez" de los astronautas en el interior de las naves espaciales orbitando alrededor de la Tierrase debe a que la fuerza que ejerce la Tierra sobre ellos es nula.

a)

222 0

22

20

g

R

MG

R

MGg

R

MGg

T

T

T

T

T

T

..

.

La proposición es, pues, verdadera.

b) Falso. El valor de la gravedad disminuye, como bien sabemos, con la distancia, y tan sólo se anula cuando nosencontremos en el infinito, donde cualquier interacción gravitatoria resultase nula.Desde luego que esta no es la situación existente en una nave espacial en los alrededores de la Tierra.Teniendo en cuenta que el satélite gira alrededor de la Tierra por acción de la fuerza gravitatoria, es imposibleasumir un valor nulo de gravedad (intensidad del campo gravitatorio).La sensación de ingravidez es consecuencia de una apreciación de nuestro propio peso de una manera indirecta,por medio del cuerpo sobre el que nos apoyamos (una báscula, por ejemplo); si no se produce esa interacción, tal ycomo sucede cuando caemos en un recinto que también lo hace (nave espacial), nos sentimos “ingrávidos”. Estamisma sensación podemos apreciarla por ejemplo, en las montañas rusas.El estado de ingravidez es consecuencia de que sobre el cuerpo sólo actúa la fuerza gravitatoria (pero no lainteracción entre el astronauta y el suelo de la nave). De un modo menos riguroso, pero perfectamentecomprensible, podemos decir que tanto nave como ocupantes están cayendo hacia la Tierra con la mismaaceleración (empujados por la misma fuerza). Esto es lo que da la sensación de ingravidez.


2928. a) Razone cuáles son la masa y el peso en a Luna de una persona de 70 kg.b) Calcule la altura que recorre en 3 s una partícula que se abandonara, sin velocidad inicial, en un punto próximo ala superficie de la Luna y explique las variaciones de energía cinética, potencial y mecánica en ese desplazamiento.G = 6,67.10-11 N m2 kg-2 ; ML = 7,2.1022 kg ; RL = 1,7.106 m

a)La masa es, como todos sabemos una magnitud asociada a la cantidad de materia que posee un cuerpo. Se trata deuna magnitud escalar, que nos mide la inercia que posee ese cuerpo (es decir, la oposición ejercida por este a seracelerado por acción de una fuerza). Desde luego, es independiente del punto en el que se halle el objeto. Así pues,la masa en la Luna será la misma que la de la Tierra, es decir, 70 Kg

El peso, sin embargo, es la fuerza con la que un astro atrae a un cuerpo. Por lo tanto, esta magnitud, de caráctervectorial, sí variará en función del valor de la intensidad del campo gravitatorio existente en el punto en el que sehalle el cuerpo. Matemáticamente:

N

R

mMGFPeso

L

LG 32116

1071

7010271067626

2211

2´

.´

..´..´..

(Como sabemos, 22

66170

321167032116

smgg

R

MGmgmF LL

L

LL .´

´.´

...

b1) Puesto que se trata de un movimiento de caída libre, el movimiento estará descrito por la ecuación:

20 0

2 20 0 0 0

0

2

2 2L

1y=y +v .t+ at (expresado escalarmente)2

1 1y-y =v .t+ at h=v .t+ at (siendo h=y-y )2 2

Puesto que v =0:1h= at2

, o1 1h= .g .t = .1´66.3 =7´47m2 2

b2) Inicialmente, el cuerpo, situado a cierta altura con respecto a la superficie lunar y sin velocidad inicial,dispone de un valor de energía mecánica igual a la suma de su energía potencial y su cinética (nula). A medida queel cuerpo desciende, se produce una paulatina pérdida de energía potencial, a favor de un aumento en su energíacinética, puesto que, a medida que cae, su velocidad aumenta, al estar sometido a una aceleración. En el momentode impactar con la superficie lunar, la energía potencial habrá adquirido su valor mínimo y su energía cinética serámáxima.

Analíticamente:

LM1 K1 P1 2

L

2 LM2 K2 P2 2 2

L

2L LM1 M2 K1 P1 K2 P2 22 2

LL

G.M .mE E E 0

R h

G.M .m1E E E m.v2 R

Puesto que el sistema es conservativo, la energía mecánica será constante:G.M .m G.M .m1E E E E E E 0 m.v

2 RR h

G.M

2 2L L2 22 2

LL

11 22L L2 2 66

LL

.m G.M .m 1 1m.v m.v2 2RR h

Si queremos conocer el valor de

G.M .m G.M .m 1 16 67 10 70 7 2 10 868 01R 1 7 101 7 10 7 47R h

lo que nos permite calcular fácilmente

:

´ . . . ´ . . ´´ .´ . ´

P

P

E

E

N

Kel valor de la velocidad en la superficie (E 868 01´ )N


3029. Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:a) Según la ley de gravitación la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es directamente proporcional a la

masa de éste. Sin embargo, dos cuerpos de diferente masa que se sueltan desde la misma altura llegan al suelosimultáneamente.

b) El trabajo realizado por una fuerza conservativa en el desplazamiento de una partícula entre dos puntos esmenor si la trayectoria seguida es el segmento que une dichos puntos.

a) Verdadero.Como sabemos, la fuerza que la Tierra ejercerá sobre un cuerpo de masa m será:

rCT ur

MMGF

.

..

212

2

Por otro lado, a partir de la segunda ley de la dinámica:

amFCT

. (Fuerza ejercida sobre el cuerpo por la Tierra)

Igualando:

ar

MGam

r

mMG

amF

ur

mMGF

TT

CT

rT

CT

2

122

12

212 módulos)igualar(al ..

..

.

..

.

Aceleración que no es otra que la gravedad en la superficie terrestre )( 0g , que a nivel de la superficie

terrestre es, aproximadamente 9´81m.s-1.Es decir, la aceleración con la que un objeto es atraído hacia la superficie terrestre es independiente de la

masa de este. Dicho de otro modo, los cuerpos que se dejan caer desde cierta altura (en las cercanías de lasuperficie terrestre), describen un movimiento cinemática (MRUA) independiente de su masa.

Sin embargo, la causa que los produce, es decir, la fuerza de atracción gravitatoria, o dicho de otra manera,el peso del cuerpo, si variará en función de la masa, puesto que como todos sabemos:

0gmP .Y, claro está, a diferentes masas, distintos pesos (fuerzas)Como resumen, podemos decir que el comportamiento cinemática de cuerpos de distinta masa es el mismo(despreciando rozamientos), pero, en cambio, los comportamientos dinámicos sí son diferentes.

b) FalsoPara calcular el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria debida a una masa M, para desplazar una masa mdesde un punto A, hasta B, tendrá que considerarse la variación, tanto de la dirección como del propio valor de lafuerza a lo largo del desplazamiento del cuerpo. Habrá de utilizarse, claro, el cálculo integral:

BABA

B

A

B

A

B

ABA

r

B

Ar

B

Ar

B

ABA

rmMG

rmMG

W

rmMG

r

drmMGdr

r

mMGW

drsdu

sdur

mMGsdu

r

mMGsdFW

....

........

.

...

...

.

1

:quelocon,

:que versepuedefiguralade y,,

22

22


31

Es decir, el trabajo para desplazar a una partícula en el interior de un campo gravitatorio depende tan sólo delas posiciones final e inicial, y no de la trayectoria elegida para conectar ambos puntos.Según ello, será posible caracterizar (también) el campo gravitatorio desde un punto de vista escalar, a partirdel concepto de trabajo.Si volvemos a la expresión:

BABA r

mMGr

mMGW

....(*)

, se ve fácilmente que se trata de la diferencia de dos cantidades. Cada una de estas cantidades:

rmMG ..

, recibe el nombre de energía potencial gravitatoria (Ep)En el caso en el que r , el valor de la energía potencial se hace nulo. Este será el punto de referencia deenergías potenciales (lo que suele llamarse el orígen de potenciales). Vemos entonces que los valores Ep paracualquier otro punto tendrá un valor negativo.

Según lo anteriormente indicado, la expresión (*), podrá ponerse como:

PBA

BP

APBA

EW

EEW

)()(

La utilidad de esta expresión es doble:- Por un lado evita tener que realizar casos particulares para movimientos que coinciden en los

puntos inicial y final, pero con trayectorias diferentes.- Por otro, permite predecir la espontaneidad del proceso, es decir, si el trabajo lo realiza el campo

gravitatorio o una fuerza externa. Puesto que todo cuerpo libre que se desplaza en un campogravitatorio lo hace hacia energías potenciales decrecientes, Wcampo >0; en caso contrario seráuna fuerza externa quien realice dicho trabajo.

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Ejercicios Resueltos Campo Gravitatorio