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Ejercicios resueltos de intervalos de confianza para la media y para una proporcin 1. Hemos tomado una muestra aleatoria de 25 lderes de grupo, supervisores y personal similar de General

Motors y hemos encontrado que, en promedio, pasan 6,5 aos en su trabajo antes de ascender. La desviacin tpica de los 25 valores es igual a 2,6 aos.

Con una confianza del 95%, qu podemos decir del tiempo medio que se necesita para ascender a lder de grupo, supervisor o personal similar en General Motors? ! = 25;! = 6,5 !!"; ! = 2,6 !!" !"!"% ! = 6,5 !!";!,!"# 2,625 = 6,5 2,06 2,65 = 6,5 1,07 = 5,43; 7,57 Tenemos una confianza del 95% en que los empleados de GM necesitan pasar entre 5,43 y 7,57 aos en su trabajo hasta ascender a lder de grupo, supervisor o personal similar.

2. Marthy Rowatti recin asumi el puesto de director de la YMCA de South Jersey. Le gustara contar con datos recientes sobre el tiempo que han pertenecido a la YMCA sus miembros actuales. Para investigarlo, suponga que selecciona una muestra aleatoria de 40 miembros actuales. El tiempo medio de membresa de quienes se encuentran en la muestra es de 8,32 aos y la desviacin estndar de 3,07 aos.

2.1 Cul es la media de la poblacin?

No conocemos la media poblacional, ya que para ello necesitaramos acceder a toda la poblacin y slo disponemos de una muestra, con ! = 40;! = 8,32; ! = 3,07.

2.2 Construye un intervalo de confianza de 90% para la media poblacional. !"!"% ! = 8,32 !!";!,!" 3,0740 = 8,32 1,68 3,0740 = 8,32 0,815 = 7,50; 9,14 Tenemos una confianza del 90% en que el tiempo medio de membresa de los miembros actuales de la YMCA est entre 7,50 y 9,14 aos.

2.3 La directora anterior, en el breve informe que prepar al retirarse, indic que ahora el tiempo medio de membresa era de 10 aos. Confirma la informacin esta aseveracin?, explica brevemente el motivo.

El intervalo de confianza calculado con nuestra muestra no incluye el valor 10, con lo que podemos decir que los datos no confirman la aseveracin de la directora anterior. Alternativamente, podemos decir que el tiempo medio de membresa es significativamente inferior a 10 aos.

3. Un estudiante llev a cabo un estudio e inform que el intervalo de confianza de 95% para la media variaba de 46 a 54. Estaba seguro de que la media de la muestra era de 50 y de que la desviacin tpica de la muestra era de 16, y de que la muestra era de por lo menos 30 elementos, pero no recordaba el nmero exacto. Podemos ayudarle? !"!"% ! = 50 !!!!;!,!"# 16! = 46; 54 La semiamplitud del intervalo es ! = !"!!"! = 4, es decir, !!!!;!,!"# !"! = 4. Si n fuera lo suficientemente elevado, podramos sustituir !!!!;!,!"# por !!,!"# = 1,96, con lo que sera: 1,96 !"! = 4, es decir, ! = !,!"!"! ! = 61,4656, que redondeado sera ! = 61. Exigimos una muestra de al menos 61 observaciones.

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4. En una encuesta para medir la popularidad del presidente, se pidi a una muestra aleatoria de 1.000 electores que marcara una de las siguientes afirmaciones:

1. El presidente hace un buen trabajo.

2. El presidente realiza un trabajo deficiente.

3. Prefiero no opinar.

Un total de 500 entrevistados eligi la primera afirmacin e indic que considera que el presidente realiza un buen trabajo.

4.1 Construye un intervalo de confianza de 95% para la proporcin de electores que piensan que el presidente hace un buen trabajo.

Al ser ! = 1000 y ! = 500, el estimador de la proporcin es: ! = !! = !""!""" = 0,5. !"!"% ! = ! !!,!"# ! 1 !! = 0,5 1,96 0,5 1 0,51000 = 0,5 0,03 = 0,47; 0,53

Con una confianza del 95%, estimamos que la proporcin de electores que piensan que el presidente hace un buen trabajo est entre el 47% y el 53%.

4.2 Con base en el intervalo del apartado anterior, es razonable llegar a la conclusin de que la mayora (ms de la mitad) de la poblacin considera que el presidente realiza un buen trabajo?

La conclusin no es razonable, ya que el resultado es no informativo, en el sentido de no proporcionar evidencia en ninguno de los dos sentidos (ms de la mitad o menos de la mitad).

5. Se estima que 60% de las amas de casa de Estados Unidos contrata televisin por cable. A usted le gustara verificar esta afirmacin. Si desea que su estimador se encuentre a menos de 5 puntos porcentuales con un nivel de confianza de 95%, qu tamao de muestra necesita?

La estimacin inicial ! = 0,6 se introduce en la expresin para calcular n: ! = !! !! ! ! 1 ! y el error mximo que aceptamos, con una confianza del 95%, es de 5 puntos, es decir, ! = 0,05. ! = !!,!"#0,05 ! 0,6 1 0,6 = 1,960,05 ! 0,24 = 368,79 Exigiramos una muestra de al menos 369 amas de casa.

6. Usted necesita calcular la cantidad media de das que viajan al ao los vendedores. La media de un pequeo estudio piloto fue de 150 das, con una desviacin estndar de 14 das. Si usted debe calcular la media poblacional a menos de 2 das, a cuntos vendedores debe incluir en la muestra? Utiliza un intervalo de confianza de 90%.

La expresin para el tamao muestral mnimo necesario para asegurar un error mximo, con una

confianza dada es ! = !!!!;! !!! !. Esta expresin plantea dos problemas: el primero es que depende del propio valor n que queremos estimar y el segundo es que depende de , que es la desviacin tpica que se estimar a partir de la muestra, cuando la obtengamos.

El primer problema se resuelve si suponemos que el valor de n, aunque desconocido, ser lo suficientemente grande como para aproximar la distribucin tn-1 mediante la distribucin normal estndar, es decir, asumiendo que !!!!;! ! !! !. Si el valor de n finalmente obtenido no es lo suficientemente grande, se puede revisar la suposicin anterior.

El segundo problema se resuelve mediante una muestra piloto, como sugiere el enunciado. En este caso la muestra piloto nos ofrece una estimacin para igual a 14.

Con todo lo dicho, podemos aproximar n con: ! = !! !!! ! = !!,!"!"! ! = !,!"!"! ! = 131,79. Exigiramos una muestra de al menos 132 vendedores.