Upload
solucionario7
View
236
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/13/2019 Ejercicios Transformada de Laplace #7
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-transformada-de-laplace-7 1/13
EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES DE “n” ORDEN CON
COEFICIENTES CONSTANTES USANDO TRANSFORMADA DE
LAPLACE
1. − + = si = ; = − + = − + = = − 0 − 0 = − 2 − 7
= − 0 = − 2
=
! = "
− #
Reescribiendo (1):
− 2 − 7 − $% − 2& + '%& = $ ( " − #)
− 2 − 7 − $ + * + ' = $ − #
− $ + ' − 2 + " =$
− #
− $ + ' =$
− # + 2 − "
− $ + ' = $ + 2 − − + # − # − $ + ' = 2 − 7 + 7
− #
= 2 − 7 + 7 − # − $ + '
Usamos fracciones parciales:
8/13/2019 Ejercicios Transformada de Laplace #7
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-transformada-de-laplace-7 2/13
2 − 7 + 7
− #
− $ + '= ,
− #+ - + .
− $ + '
2 − 7 + 7 = , − $ + ' + - + . − #
2 − 7 + 7 = , − $ + ' + - − # - + . − # .
Debemos hallar A, B y C: / 1 + = / −1 −+3=− 45689:/ 89< 1−3=
Resolver el sistema: , + - = 2
− $ , − # - + . = − 7 ' , − # . = 7
De :
- = 2 − ,
De :
. = ' , − 7
#
Reemplazar y en :
− $ , − #2 − , + ' , − 7# = − 7 − $ , − + # , + ',
# − 7# = −7
−, + ',# − = − 7 + 7
# + 2,# = $
# 1 =
8/13/2019 Ejercicios Transformada de Laplace #7
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-transformada-de-laplace-7 3/13
Si 1 =
En
- = 2 − 2 =
En
. = '2 − 7
# 3 =
Despus de hallar A, B y C las reemplazamos en las fracciones parciales:
2 − 7 + 7 − # − $ + ' = 2 − # + 0 > + "
− $ + '
2 − 7 + 7 − # − $ + ' = 2 − # + "
− $ + '
!inalmente en (2):
= 2 − 7 + 7 − # − $ + ' = 2 − # + " − $ + '
= 2 − # + "
2 − $ + ' = ?@ A 2 − # + "
2 − $ + 'B Ahora reescribimos − $ + '
− $ + ' = 2 − $ + $ + " = / − +
= ?@ A 2 − # + "
− 22 + "B = ? A
/ − B + ? A / − + B >
Resolviendo:
8/13/2019 Ejercicios Transformada de Laplace #7
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-transformada-de-laplace-7 4/13
Una anti transformada es directa:
? A / − B = ? A / − B =
"ueremos lle#ar a una funci$n cuya transformada sea
/?C
D = / − +
EF = "2 + " EF2F = " − 22 + " /9 = ? A
/ − + B
Reemplazar en (*):
R//
=
+ /9
2. + + + − G = − si = ; = ; = − + + + − G = − + + + − G = −
= − 0 − 0 − 0 = − − $ + 2 = − 0 − 0 = − − $
= − 0 = − "
= −"2 = −"2
8/13/2019 Ejercicios Transformada de Laplace #7
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-transformada-de-laplace-7 5/13
Reescribiendo (1):
− − $ + 2 + $% − − $& + − " − %& = −"2
− − $ + 2 + $ − $ − " + − " − = −"2
− − * + $ − " ' + − = −"2
+ $ + − = −"2
+ + * + " '
+ $ + − = − " 2 + + * +"'
= + * + " ' − " 2 + $ + −
Ahora reescribimos + $ + − para usar fracciones parciales:
/ + / + / − G = Posib!s "#$%!s (&i'iso"!s &! ) HIHIHIHG
Evaluamos el % en el polinomio:
+ + − G = =
Cumple con la i#ualdad, por lo tanto el % es una ra&z' Ahora dividimos el
polinomio entre la ra&z para disminuirle el #rado y hallar las dem(s ra&ces:
8/13/2019 Ejercicios Transformada de Laplace #7
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-transformada-de-laplace-7 6/13
Reescribimos:
= + * + " ' − " 2 − " + ' +
!actorizamos + ' + = + 2 + #
= + * + " ' − " 2−"+2+#
Usamos fracciones parciales:
+ * + " ' − " 2−"+2+# = , + - − " + . + 2 + J + #
+ * + " ' − " 2 = , − " + 2 + # +-+2+#
+. − " + # +J−"+2
Si s ) *
− " 2 = ,−"2# − " 2 = − , = 1
Si s ) %
" 2 = -2# "2="2- =
Si s ) +
−"*=−2.−#" − " * = . − = 3
Si s ) +-
−"2=−#J−$−" −"2=−"2J = K
Despus de hallar A, B, C y D las reemplazamos en las fracciones parciales:
+ * + " ' − " 2−"+2+# = 2 + "
− " − # + 2 + " + #
8/13/2019 Ejercicios Transformada de Laplace #7
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-transformada-de-laplace-7 7/13
!inalmente en (2):
= + * + " ' − " 2−"+2+# = 2 + " − " − # + 2 + " + #
= 2 + "
− " − # + 2 + "
+ # = ?@ A2
+ " − " − #
+ 2 + " + #B
= ? A/B + ? A / − B − ? A / + B
+? A / + B >
Resolviendo:
.as anti transformadas son directas:
? A/B =
? A / − B =
? A / + B = ? A
/ + B = ?
? A / + B = ?
Reemplazar en (*):
R// = + − ? + ?
8/13/2019 Ejercicios Transformada de Laplace #7
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-transformada-de-laplace-7 8/13
. + − L − L M = N? − G
si = ; = + − L − OL P
Q = N? − G
+ − L − L OP
Q = N? − G
= − 0 − 0 = − ' − $
= − 0 = − '
=
OP RF!S
Q = =
*?! − = * + " −
Reescribiendo (1):
− ' − $ + − ' − T − T = *
+ " −
U + − T − TV − ' − T = *
+ " −
W + − T − T
X =*
+ " − + ' + T
W + − T − T X = * − + " + ' + " +T+"
+ "
+ − T − T = * − − + ' + ' + T + + "
8/13/2019 Ejercicios Transformada de Laplace #7
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-transformada-de-laplace-7 9/13
= ' +"$ + " " −
+ "
+
− T − T
Ahora reescribimos + − T − T para usar fracciones parciales:
/ + / − L / − L = Posib!s "#$%!s (&i'iso"!s &! +) HIHIHL
Evaluamos el +% en el polinomio:
−
+ −
− L− − L = =
Cumple con la i#ualdad, por lo tanto el +% es una ra&z' Ahora dividimos el
polinomio entre la ra&z para disminuirle el #rado y hallar las dem(s ra&ces:
Reescribimos:
= ' +"$ + " " − + " + " − T
!actorizamos − T = − # + #
= ' +"$ + " " − + "+"−#+# = ' +"$ + " " − + "−#+#
Usamos fracciones parciales:
' +"$ + " " − + "−#+# = , + " + -
+ " + . − # + J
+ #
'
+"$
+ " " − = , + " − # + # +-−#+#
8/13/2019 Ejercicios Transformada de Laplace #7
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-transformada-de-laplace-7 10/13
+. + "2 + # + J + "2 − #
Si s ) +%
− * = ,−* =
Si s ) -
2**=-T = 3
Si s ) +-
−$*=.−2$ = K
/ ' = , + . + J ' = , + 2 + # 1 =
Despus de hallar A, B, C y D las reemplazamos en las fracciones parciales:
' +"$ + " " − + " − # + # = 0 + " + "
+ " + # − # + 2
+ #
'
+"$
+ " " − + "−#+# = " + " + # − # + 2 + #
!inalmente en (2):
= ' +"$ + " " − + "−#+# = "
+ " + # − # + 2
+ #
= "
+ "2 + #
− #+ 2
+ #
= ?@ A " + "2 + # − # + 2
+ #B
= ? A / + B + ? A
/ − B − ? A / + B >
8/13/2019 Ejercicios Transformada de Laplace #7
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-transformada-de-laplace-7 11/13
Resolviendo:
Al#unas anti transformadas son directas:
? A / − B = ? A
/ − B =
? A / + B = ? A
/ + B = ?
"ueremos lle#ar a una funci$n cuya transformada sea
/+
D = / +
F = "2 F−F = "
+ "2
?
= ?
A
/ + B
Reemplazar en (*):
R// = − + + ?
,. +− − = si = ; =
+ − − = + − − = + − − = F = −R
R % − 0 − 0& = −RR % − − 2& = −%2 + − "&
8/13/2019 Ejercicios Transformada de Laplace #7
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-transformada-de-laplace-7 12/13
= − 0 = − "
F = −RR % − 0& = −RR % − "& = −% + & =
Reescribiendo (1):
−%2 + − "& + − " − 2%− + & − 2 = 0
−2 − + " + − " + 2 +2 − 2 = 0
− − +2 = 0 − − − 2 = 0 + − 2 = 0 % + − 2& = 0
+ − 2 = 0 = − − 2
Siendo: YZ = YZ/
= −R
R − 2
E.D. &! '#"i#b!s s!-#"#b!s
= − RR − 2 P R
− 2 = − P R
[E − 2 + . = − [ E [E =−[E − 2 + [E .[E = [ E U . − 2V
!inalmente en (2):
= . − 2
8/13/2019 Ejercicios Transformada de Laplace #7
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-transformada-de-laplace-7 13/13
= .
− 2
= ? A 3/ − B >
Resolviendo:
Una anti transformada es directa:
?
A
3
/ − B = 3
Reemplazar en (*):
= .2F /ara hallar el valor de la C, usamos una de las condiciones iniciales del
e0ercicio =
" = .0
" = . > " 3 =
R// =