Ekonometrijska analiza KLRMavs.ekof.bg.ac.rs/master-medjunarodna ekonomija/eko3-10.pdf · 2010. 11. 21. · Profesor Zorica Mladenovic Ekonomski fakultet, Beograd, 11/2009,2010. 1

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet, Beograd,

11/2009,2010. 1

Ekonometrijska analiza KLRMBrooks, Introductory econometrics for finance, 2002, CUP

modifikacije: Zorica Mladenović

Mladenović i Petrović, Uvod u ekonometriju, 2007/10, EF.

Struktura predavanja

� Pokazatelj kvaliteta ocenjenog modela

� Narušavanje pretpostavki KLRM

� Heteroskedastičnost

� Autokorelacija

� Multikolinearnost

� Slučajna greška nema normalnu raspodelu

� Specifikacija modela

� Pristupi u ekonometrijskom modeliranju



11/2009,2010. 2

Pokazatelj kvaliteta ocenjenogmodela

Pokazatelj kvaliteta regresije: koeficijent determinacije R2

• Koji deo varijacija zavisne promenljive je objašnjen modelom, odnosno varijacijama nezavisne promenljive?

• Odgovor na to pitanje daje koeficijent determinacije R2.

• Ukupni varijabilitet zavisne promenljive definiše se na sledeći način:

• Ukupni varijabilitet zavisne promenljive je zbir sledeće dve komponente:

1.Varijabilitet zavisne promenljive koji je objašnjen modelom:

2.Varijabilitet zavisne promenljive koji nije objašnjen modelom:

( )∑ −==t

2YtŶOSKijabilitetvar Objašnjeni

( )∑ −==t

2YtYUSK ijabilitetvarUkupni

( ) ∑∑ =−=

=

t

2tû

t

2tŶtYRSK

:drataa suma kvalnziduaRe ijabilitetvareni Neobjašnj



11/2009,2010. 3

Koeficijent determinacije R2 (II)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

RSKOSKUSK

0

tû

t

YŶ2

t

2tû

t t

2YŶ

2YtY

tû

ŶtYYtŶYtY

+=⇒

−++−=−⇒

−+−=−

∑∑∑ ∑

43421

321

Koeficijent determinacije R2 (III)

� Dakle, USK = OSK + RSK

� Koeficijent determinacije predstavlja udeo objašnjenog u ukupnomvarijabilitetu:

� Kako je: OSK = USK - RSK, imamo:

� R2 se uvek nalazi u intervalu od 0 do 1. Ekstremne situacije:RSK = USK OSK = 0 R2 = OSK/USK = 0OSK = USK RSK = 0 R2 = OSK/USK = 1

( )2t

YtY

t

2tû

1USK

RSK1

USK

OSK2R

∑

∑

−−=−==

( ) ( ) ∑∑ ∑ +−=−t

2tû

t t

2YtŶ

2YtY

USK

OSK

ijabilitetvarUkupni

ijabilitetvarObjasnjeni2R ==



11/2009,2010. 4

Ekstremni slučajevi: R2 = 0 i R2 = 1

Y

Y X

Y X

Ispitivanje kvaliteta regresije na osnovu koeficijenta determinacije

� Hipoteze od interesa:

� Nulta hipoteza: regresija nije statistički značajna (zajednički uticaj objašnjavajućih promenljivih nije statistički značajan)

� Alternativna hipoteza: objašnjavajuće promenljive ostvaruju statistički značajan uticaj na kretanje zavisne promenljive (bar jedan od parametara je značajno različit od nule)

� Relevantna statistika:

0R:Htacna nije H hipoteza:H

0R:H0...:H

2101

20k320

≠⇔

=⇔==== βββ

)kT/()R1(

)1k/(RF

2

21kkT

−−

−=−−



11/2009,2010. 5

}

}

[ ] [ ]2

1k

kT1T

OSK

2T

1t2

21T

USK

2T

1tt2

2kT

RSK

T

1t

2t2

T

1t

2t

2T

1tt

2T

1tt

21T

USK

2T

1tt2

t2t

2t

2kT

RSK

T

1t

2t2

2T

T

1t

2t2

t2t

~)YŶ(1

~)YY(1

~û1

.4

û)YY()YŶ(OSKUSKOSKOSKRSKUSK.3

~)YY(1

)1,0(N~YY

),Y(N~Y),0(N~u.2

.~û1

~u1

)1,0(N~u

),0(N~u.1

4434421

48476

48476

48476

−

−−−=

−=

−=

===

−=

−=

=

−

−

−−=−⇒−=⇒+=

−⇒

−⇒⇒

⇒

⇒⇒

∑

∑

∑

∑∑∑

∑

∑

∑

χσ

χσ

χσ

χ

σσσ

χσ

χσσ

σ

σ

)kT()

2R1(

)1k(

2R

)1k(

)kT(

2)YT

1ttY(

T

1t

2tû

2)YT

1ttŶ(

2)Y

T

1ttŶ(

)1k(

)kT(

T

1t

2tû2

1

2)YT

1ttŶ(2

1

)kT/(2kT

)1k/(21k~.5

−−

−=

−

−

−=

=

−=

−=

=−

−

=

−==

−−

−−

∑

∑

∑

∑

∑

∑

σ

σ

χ

χ1-kk-TF



11/2009,2010. 6

Primer: analiza kvaliteta ocenjenog modela inflacijeprivrede Srbije (2003:1-2009:8) na osnovu koeficijentadeterminacije

5%. iznacajnost nivo uz odbacuje se hipoteza Nulta

znacajna istatistick posmatrano celiniu je Regresija

tacnanije hipoteza

:hipoteze Testiranje

⇒>

≈=

≠⇔

=⇔==

=−

=

−−

−==−=−=

====

−−

15.345.13

15.3)05.0(F

0R:HH:H

0R:H0:H

.45.1377/)2589.01(

2/2589.0F

)kT/()R1(

)1k/(RF,2589.0

05397.37

46152.271

USK

RSK1R

3k,80T,05397.37USK,46152.27RSK

277

2101

20320

277

2

21kkT

2

α

ββ

F-statistika kvaliteta regresije u jednostavnom modelu

( )

( )modelu. omjednostavnu noalternativ koristitimogu se testadva Ova

apromenljiv jucaobjasnjava jedna iclan slobodan

2

2

22

2T1

2T

2

2

2

21

2T

2

21kkT

tt

ˆSE

ˆ

)R1(

)2T(RtF

)R1(

)2T(R

)2T/()R1(

RF

,2k

)kT/()R1(

)1k/(RF

ˆSE

XˆˆŶ

=

−

−⇒=

−

−=

−−=

=

−−

−=

+=

−−

−

−−

β

β

β

βα



11/2009,2010. 7

Ograničenja u primeni R2 kao pokazatelja kvaliteta regresije

1. R2 se uvek povećava sa dodavanjem novih objašnjavajućih promenljivih:

Regresija 1: Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + utRegresija 2: Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + β4X4t + ut

R2 će uvek biti veći u regresiji 2, bez obzira na to kakva je eksplanatorna snaga nove objašnjavajuće promenljive.

2. R2 je krajnje nepouzdan pokazatelj u regresionoj analizi vremenskih serija kada vrednost 0.999, ne mora nužno pokazivati ništa.

Primer: Hendry, ‘inflacija u V. Britaniji može se odlično objasniti količinom padavina‘

Korigovani koeficijent determinacije R2

� Koriguje se koeficijent determinacije sa ciljem dobijanja pokazatelja koji se neće neopravdano povećavati sa rastom broja objašnjavajućih promenljivih.

� Novi pokazatelj: korigovani koeficijent determinacije

( )

( )( )

modela parametara brojukupan uzorka, obim - −

−−

−−=

−−

−

−=

−−=

∑

∑

∑

∑

kT

R1kT

1T1

)1T/(YY

)kT/(û

1R

YY

û

1R

2

t

2t

t

2t

2

t

2t

t

2t

2

2R



11/2009,2010. 8

Narušavanje pretpostavki KLRMHeteroskedastičnost

Autokorelacija

Multikolinearnost

Greška nema normalnu raspodelu

Pretpostavke KLRM

1. E(ut) = 02. Var(ut) = σ2 < ∞

3. Cov (ui,uj) = 0

4. Objašnjavajuće promenljive nisu određene stohastičkim članom

5. ut ∼ N(0,σ2)

6. Ne postoji tačna linearna zavisnost između objašnjavajućih promenljivih (novo u odnosu na jednostavni model).



11/2009,2010. 9

Šta ako su pretpostavke KLRM narušene?

� Kada dolazi do narušavanja pretpostavki? � Kako se to odražava na ocene parametara i na

standardne greške ocena? � Kako se ispituje da li su pretpostavke narušene ili ne?� Šta raditi u slučaju kada su pretpostavke narušene?

Pretpostavka 1: E(ut) = 0

• Ukoliko postoji sistematska greška u merenju zavisne promenljive tada će ova pretpostavka biti narušena.

• Koristimo reziduale u analizi.

• Primenom metoda ONK na model u kojem postoji slobodan član uvek se dobija rezultat da je rezidualna suma jednaka nuli, što znači da je i njihova aritmetička sredina nula. Sledstveno, ne možemo zaključiti da je pretpostavka narušena

• Nema negativnih posledica ako koristimo klasičan model u kojem figuriše slobodan član.



11/2009,2010. 10

Pretpostavka 2: Var(ut) = σσσσ2 < ∞∞∞∞

Homoskedastičnost

� Homoskedastičnost: varijansa slučajne greške modela je konstantna za sve opservacije.

� Heteroskedastičnost: pretpostavka o homoskedastičnosti je narušena, što znači da se varijanse slučajnih greški razlikuju po pojedinim opservacijama:

const)uvar(...)uvar()uvar(2

T21===== σ

2T

...22

21

2T

)Tuvar(

22

)2uvar(

21

)1uvar(

σσσ

σ

σ

σ

≠≠≠

=

=

=

M

Levi grafik: homoskedastične greškeDesni grafik: heteroskedastične greške



11/2009,2010. 11

Kako se proverava postojanje heteroskedastičnosti?

1. Neformalni (grafički) metodi

2. Formalni metodi (testiranje)

� Grafički prikazi: dijagram rasturanja tačaka reziduala u odnosu na neku od objašnjavajućih promenljivih

t

û -

tx

Kako se proverava postojanje heteroskedastičnosti (II)?

� Formalni testovi: Vajtov (engl. White) test � Osnove testa:

Nulta hipoteza: slučajne greške imaju stabilnu varijansuAlternativna hipoteza: varijansa slučajne greške je zavisna od objašnjavajućih promenljivih, njihovih kvadrata i međuproizvoda.

Algoritam:1. Pretpostavimo da je polazni model oblika:

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + utProveravamo validnost nulte hipoteze var(ut) = σ

2.



11/2009,2010. 12

Kako se proverava postojanje heteroskedastičnosti (III)?

2. Ocenjujemo model iz 1., dobijamo reziduale i potom ocenjujemo pomoćnu regresiju:

3. Faktički, nulta hipoteza se svodi na:

4. Određujemo koeficijent determinacije R2 iz pomoćne regresije i potom ga množimo obimom uzorka T. To je ( T R2 ) Vajtova test-statistika. Može se pokazati da pri istinitosti nulte hipoteze važi: T R2 ∼ χ2 sa mstepeni slobode i m je broj objašnjavajućih promenljivih pomoćne regresije bez slobodnog člana (m=5).

5. Ako je izračunata vrednost test-statistike veća od korespondirajuće kritične vrednosti χ2 testa na datom nivou značajnosti tada se odbacuje nulta hipoteza o odsustvu heteroskedastičnosti.

tvt3Xt2X62t3

X52t2

X4t3X3t2X212tû ++++++= αααααα

0...:H 6320 ==== ααα

Posledice primene metoda ONK u prisustvu heteroskedastičnosti

• Primenom metoda ONK na model sa heteroskedastičnim greškama dobijaju se ocene koje nisu najbolje linearne nepristrasne ocene.

• Ocene su nepristrasne

• Ocene nisu efikasne – njihova varijansa nije najmanja moguća

• Posledice:

• Standardne greške ocena nisu precizna mera varijabiliteta ocena.

• Standardne greške ocena najčešće potcenjuju stvarnu varijansu ocena parametara modela.

• t-odnosi su nepouzdani.



11/2009,2010. 13

Kako se eliminiše uticaj heteroskedastičnosti (I) ?

• Primenjuje se metod ponderisanih najmanjih kvadrata.

• Ideja: u postupku minimiziranja sume kvadrata reziduala onim rezidualima koji su po apsolutnoj vrednosti veći daje se manji ponder i obratno.

Kako se eliminiše uticaj heteroskedastičnosti (II)?

� Pretpostavimo da postoji zavisnost varijanse slučajne greške od objašnjavajuće promenljive xt

� Sve promenljive modela delimo sa merom varijabiliteta, xt:

� U ovom modelu nova slučajna greška je . Njena varijansa je stabilna:

( ) constk,2tkXtuvar ==

tX

tu

tX

tX2

tX

11

tX

tY ++= ββ

( )constk

2tX

2tkX

2tX

tuvar

tX

tuvar ====

tX

tu



11/2009,2010. 14

Kako se eliminiše uticaj heteroskedastičnosti (III)?

� Metod ONK se primenjuje na nove reziduale koji se dobijaju tako što se stari reziduali množe sa ponderima

� Što su vrednosti objašnjavajuće promenljive Xt veće, to je varijabilitet slučajne greške veći, ali je zato udeo reziduala

u ukupnoj sumi kvadrata reziduala manji.

� Time se postiže preciznost u postavljanju prave.

tX

1

tX

tû

Alternativni pristupi eliminisanja efekata heteroskedastičnosti

1.Koristimo logaritmovane vrednosti podataka.

2.Prilikom računanja standardnih grešaka ocena pravimo korekciju koju je predložio Vajt. Na ovaj način dobijaju se standardne greške ocena koje su veće od standardnih grešaka ocena po metodu ONK. Ovo je najzastupljeniji pristup u empirijskoj analizi poslednjih godina.



11/2009,2010. 15

Pretpostavka 3: Cov (ui , uj) = 0 za i≠≠≠≠jVrednosti sa docnjom i prve diference

nivo docnja (I reda ) I diferenca

t Yt Yt-1 ∆∆∆∆Yt =Yt -Yt-12005M09 1 0.8 - -2005M10 2 1.3 0.8 1.3-0.8=0.52005M11 3 -0.9 1.3 -0.9-1.3=-2.22005M12 4 0.2 -0.9 0.2--0.9=1.12006M01 5 -1.7 0.2 -1.7-0.2=-1.92006M02 6 2.3 -1.7 2.3--1.7=4.02006M03 7 0.1 2.3 0.1-2.3=-2.22006M04 8 0.0 0.1 0.0-0.1=-0.1

Pretpostavka 3: Cov (ui , uj) = 0 za i≠≠≠≠jOdsustvo autokorelacije

� Odsustvo autokorelacije: slučajne greške su nekorelisane

• Cov (ui , uj) = 0 za i≠j

Nema pravilnosti u korelacionoj strukturi slučajnih greški

� Postoji autokorelacija: slučajne greške koje su uređene tokom vremena su korelisane

• Cov (ui , uj) ≠ 0 za i≠j

Slučajne greške slede prepoznatljiv obrazac u kretanju

� Najčešća se javlja u analizi vremenskih serija:

• Cov (ut , ut-j) ≠ 0 za j=1,2,...



11/2009,2010. 16

Zašto se javlja autokorelacija?

1. Trajni efekat egzogenih šokova na kretanje ekonomskih vremenskih serija

� Primer: obustava rada i ocenjivanje zavisnosti ostvarene proizvodnje od količine uloženog rada

2. Inercija u kretanju ekonomskih veličina

3. Modifikacija polaznih podataka

� Neki kvartalni podaci se dobijaju kao prosek tromesečnih vrednosti

� Autokorelacija može biti “prava” i “lažna”

� “Prava”: posledica prirode podataka

� “Lažna”: model je pogrešno postavljen

� Autokorelacija može biti pozitivna ili negativna.

Pozitivna autokorelacija (reziduale karakteriše ciklična promena znaka tokom vremena)



11/2009,2010. 17

Negativna autokorelacija (reziduali naizmenično

menjaju znak)

Ne postoji autokorelacija

+tû



11/2009,2010. 18

Ispitivanje postojanja autokorelacije: Darbin-Votsonov (engl. Durbin-Watson) test

� Darbin-Votsonov test (DW) se koristi za proveru postojanja autokorelacije prvog reda:

ut = ρut-1 + vtgde je vt ∼ N(0, σv2) i ρ je autokorelacioni koeficijent prvog reda, koji se nalazi u intervalu (-1,+1).

ρ = 0, ne postoji autokorelacija, ρ = 1, ekstremna pozitivna autokorelacija,ρ = -1, ekstremna negativna autokorelacija,0< ρ



11/2009,2010. 19

Darbin-Votsonov test (III)

� U postupku testiranja koriste se kritične vrednosti koje su autori testa označili kao donja i gornja kritična vrednost.

� Donja kritična vrednost: dd

� Gornja kritična vrednost: dg

� Kritične vrednosti zavise od obima uzorka i broja objašnjavajućih promenljivih.

cijeautokorela negativneTest

cijeautokorela pozitivneTest

cijeautokorela Nema

4DW20ˆ1

2DW01ˆ0

2DW0ˆ

4DW04DW1ˆ

0DW1ˆ

)ˆ1(2DW



11/2009,2010. 20

Darbin-Votsonov test (V)

� Ako je DW>2, ispitujemo postojanje - autokorelacijeH0 : ρ=0 (nema autokorelacije) H1 : ρ



11/2009,2010. 21

Opšti test autokorelacije: Brojš-Godfrijev (engl. Breusch-Godfrey) test

� U opštem slučaju autokorelacija može biti reda m:

� Nulta i alternativna hipotezaH0 : ρ1 = ρ2 =... =ρm = 0 (ne postoji autokorelacija)H1 : bar jedan od parametara je različit od nule (postoji autokorelacija).

� Algoritam testiranja:1. Pretpostavimo da je polazni model oblika:

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut2. Ocenjujemo model iz 1., dobijamo reziduale i potom ocenjujemo pomoćnu

regresiju:

3. Određujemo koeficijent determinacije R2 iz pomoćne regresije i potom ga množimo obimom uzorka T. To je ( T R2 ) Brojš-Godfrijeva test-statistika. Može se pokazati da važi: T R2 ∼ χ2 sa m stepeni slobode, pri uslovu istinitosti nultehipoteze.

)N(0,~ 2vttmtm2t21t1t v,vu...uuu σρρρ ++++= −−−

tmtm2t21t1t33t221t vû...ûûXXû +++++++= −−− ρρρβββ

Posledice primene metoda ONK u prisustvu autokorelacije

• Primenom metoda ONK na model sa autokorelisanim greškama dobijaju se ocene koje nisu najbolje linearne nepristrasne ocene.

• Ocene su nepristrasne

• Ocene nisu efikasne – njihova varijansa nije najmanja moguća

• Posledice:

• Standardne greške ocena nisu precizna mera varijabiliteta ocena.

• Standardne greške ocena najčešće potcenjuju stvarnu varijansu ocena parametara modela.

• t-odnosi su nepouzdani.



11/2009,2010. 22

Kako se eliminiše uticaj autokorelacije?

• Korekcija polaznog modela u pravcu transformisanja promenljivih

• Prevaziđen pristup u praktičnom radu

• Korekcija polaznog modela u pravcu eksplicitnog uključivanja dinamike – dinamički modeli

• Korekcija standardnih grešaka ocena kako bi odražavale stvarni varijabilitet ocena parametara: Njui-Vestova korekcija (engl. Newey-West)

Dinamički modeli

• KLRM model je statički: • Yt = β1 + β2X2t + ... + βkXkt + ut

• Model postaje dinamički ako se kao objašnjavajuće promenljive javljaju promenljive sa docnjama prvog reda, kako zavisne tako iobjašnjavajućih promenljivih:

Yt = β1 + β2X2t + ... + βkXkt + γ1Yt-1 + γ2X2t-1 + … + γkXkt-1+ ut

• Mogu se dodati promenljive sa docnjama višeg reda: X2t-2 , Yt-3 .� Ovo može biti problematično ako se kao objašnjavajuća javlja

zavisna promenljiva sa docnjom. Ona je slučajna promenljiva, pa se na taj način narušava pretpostavka KLRM da objašnjavajuće promenljive nisu slučajne.



11/2009,2010. 23

Pretpostavka 6: objašnjavajuće promenljive nisu linearno zavisne

� Multikolinearnost: između objašnjavajućih promenljivih gotovouvek postoji izvestan stepen korelisanosti

� Problem nastaje kada je ta korelisanost izuzetno visoka� Nije u pitanju prisustvo multikolinearnosti, već stepen u kojem se

javlja� Perfektna multikolinearnost: objašnjavajuće promenljive su

linearno zavisne � U tom slučaju model ne može da se oceni. � Ne može da se razdvoji pojedinačni uticaj objašnjavajućih

promenljivih � Na primer, X2t = 4+2X3t za sve podatke u uzorku

Posledice perfektne multikolinearnosti:

( )( )

uslov. datiaju zadovoljav koji resenja broj nineogranice Postoji

, , nepoznate trisa jednacine dve od Sistem

3222

2411

:321

t3X21t3X

2

)322(

1

241)tY(E

t3X3t3X2421)tY(E

t3X24t2X

t3X3t2X21)tY(E

ββφ

ββφ

βββ

φφ

φ

ββ

φ

ββ

βββ

βββ

+=

+=

+=+++=

+++=

+=

++=

4342143421



11/2009,2010. 24

Posledice visoke multikolinearnosti

� Ocene regresionih parametara su neprecizne u smislu visokih standardnih grešaka ocena

� Ocene su nestabilne, odnosno osetljive na promenu uzorka

� t-odnosi su niski i mogu dovesti do pogrešnog statističkog zaključka

� Visoka vrednost koeficijenta determinacije je praćena niskim t-odnosima

Ispitivanje postojanja multikolinearnosti

� Reč je o problemu uzorka, tako da se ne može postaviti odgovarajući skup hipoteza koje bi se testirale, a time ni definisati precizan test.

� Najčešće korišćeni pristupi:� Upoređuje se korigovani koeficijent determinacije čitave regresije sa

korigovanim koeficijentom determinacije u modelu u kojem se jedna objašnjavajuća promenljiva ocenjuje u zavisnosti od druge.

� Izračunava se faktor rasta varijanse (FRV):

visokajeearnost multikolin

⇒>

++=

+++=

221

21

21tt321t2

22tt33t221t

RR

R,R,vXX

R,R,uXXY

αα

βββ

( )( ) izrazena jeearnost multikolin vrednosti visokeuzima

izrazena nijeearnost multikolin 1 blisko

⇒≈

⇒≈

−=

1RFRV

0RFRV

;R1

1FRV

21

21

21



11/2009,2010. 25

Kako rešiti problem visoke multikolinearnosti?

� Ignorisati ga.

� Promeniti uzorak dodavanjem novih podataka.

� Koristiti podatke koji se dobijaju transformacijom polaznih podataka

� Svi podaci se dele sa promenljivom koja stvara problem

� Koriste se prve diference promenljivih

� Izostaviti promenljivu koja stvara problem

� Svaki od navedenih pristupa može rešiti problem visoke multikolinearnosti, ali i stvoriti neki novi...

Pretpostavka 5: Slučajna greška ima normalnu raspodelu

� Ukoliko je samo ova pretpostavka narušena primenom metoda ONK sedobijaju najbolje linearne nepristrasne ocene.

� Testiranje hipoteza je nepouzdano.

� Test normalnosti - Žark-Bera (engl. Jarque-Bera) test (JB)

� Empirijska raspodela se opisuje sa dva koeficijenta: asimetrije i spljoštenosti

� Koeficijent asimetrije meri stepen u kojem raspodela nije simetrična oko srednje vrednosti (simetrična raspodela, asimetrična u levo ili u desno)

� Koeficijent spljoštenosti meri debljinu repa raspodele

� Kada postoje ekstremni događaji tada su repovi teži od repova normalne raspodele

� Veća spljoštenost – repovi su lakši

� Manja spljoštenost – repovi su teži



11/2009,2010. 26

Koeficijenti asimetrije i spljoštenosti

� Koeficijent asimetrije

� je jednak nuli kod normalne raspodele

� je veći od nule kod raspodele koja je asimetrična u desno

� je manji od nule kod raspodele koja je asimetrična u levo.

� Koeficijent spljoštenosti

� je jednak tri kod normalne raspodele

� je veći od tri kod raspodele koja ima teže repove od normalne.

� je manji od tri kod raspodele koja ima lakše repove od normalne.

3α

4α

Simetrična i asimetrična raspodela

f(x)

x x

f(x)



11/2009,2010. 27

Normalno spljoštena raspodela (plavi grafik) i raspodela koja ima teže repove od normalne

-5.4 -3.6 -1.8 -0.0 1.8 3.6 5.4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

34 >α 34 =α

Kritična vrednost raspodele na nivou značajnosti 5% je 5.99

Koeficijent spljoštenostiKoeficijent asimetrijeraspodelu N za 03 =α raspodelu N za 34 =α

3

3t

3ˆ

T

û

ˆσ

α

∑

=4

4t

4ˆ

T

û

ˆσ

α

∑

=

T

6,0N:ˆ 3αααα

(((( ))))1,0N:)3ˆ(24

T4 −−−−αααα

T

24,3N:ˆ 4αααα

(((( ))))1,0N:ˆ6

T3αααα

[[[[ ]]]] 224

2)34ˆ(2

3 :ˆ6

TJB χχχχαααα αααα −−−−++++====



11/2009,2010. 28

Šta raditi u slučaju da raspodela odstupa od normalne?

� Ne postoji jedinstveno rešenje.

� Mogu se koristiti metode testiranja koje ne pretpostavljaju normalnost, ali su one izuzetno komplikovane i njihova svojstva nisu poznata.

� Najčešće se modifikuje polazna specifikacija uključivanjem promenljivih kojima će se eksplicitno modelirati ekstremni događaji. Takve promenljive se nazivaju veštačke promenljive.

Veštačke promenljive

� Koriste se da opišu uticaj kvantitativno nemerljivih faktora na kretanje izabrane zavisne promenljive

� U podacima preseka: potrošnja može zavisiti od starosnih, polnih, regionalnih, verskih i drugih razlika

� U podacima vremenskih serija: efekti intervencija i strukturnog loma

� Definišu se tako da uzimaju vrednost 1 za jedan modalitet i 0 za drugi modalitet



11/2009,2010. 29

Veštačke promenljive (II)

+++

++++

++++

++++

=

+⋅+⋅+⋅+++

+⋅+⋅+⋅+++

+⋅+⋅+⋅+++

+⋅+⋅+⋅+++

=

++++++=

=

=

=

−

−−−

+++=

eopservacijostalezauXX

1:2009zauXX)(

12:2004zauXX)(

1:2005zauXX)(

Y

ervacijeostale opszau000XX

1:2009zau100XX

12:2005i12:2004zau010XX

1:2005zau001XX

Y

u20091V2004512V20051VXXY

eopservacijostaleza0

za120091V;


12:2005za12004512V;


1:2005za120051V

.

.2009

X,X,Y

uXXY

tt33t221

tt33t2261

tt33t2251

tt33t2241

t

t654t33t221

t654t33t221

t654t33t221

t654t33t221

t

t654t33t221t

t3t2t

tt33t221t

12:2005 i

1:2009

i 12:2004

2009.januaru u cenanih kontrolisarast i 2005. i 2004.decembru u

usluga komunalnih cena promena , 2005januaru u PDV uvodjenje:jeIntervenci

avgust 2003januar :Period

proizvodakih industrijs cena rasta stopaijadeprecijacinflacija

βββ

ββββ

ββββ

ββββ

ββββββ

ββββββ

ββββββ

ββββββ

ββββββ

βββ

Veštačke promenljive (III)

0

4

8

12

16

20

-0.01 0.00 0.01 0.02

Series: ResidualsSample 2003M01 2009M08Observations 80

Mean -3.47e-19Median -0.001018Maximum 0.021984Minimum -0.014833Std. Dev. 0.005896Skewness 0.941217Kurtosis 5.689173

Jarque-Bera 35.91736Probability 0.000000

-.02

-.01

.00

.01

.02

.03

-.02

-.01

.00

.01

.02

.03

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

RezidualiStvarno kretanje inflacijeModelom ocenjeno kretanje inflacije



11/2009,2010. 30

Veštačke promenljive (IV)

� U model su dodatno uključene tri veštačke promenljive • V20051=1 za januar 2005. i 0 za ostale mesece (PDV)

• V2004512=1 za decembar 2004., 2005. i 0 za ostale mesece (povećanje cena komunalnih usluga)

• V20091=1 za januar 2009. i 0 za ostale mesece (povećanje administriranih cena)

� Uključivanje veštačkih promenljivih ne bi trebalo da bude proizvoljno, već utemeljeno u događajima iz ekonomskog života

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

1 1

1 2

1 3

1 4

-0 .0 1 0 -0 .0 0 5 0 .0 0 0 0 .0 0 5

S e r ie s : R e s id u a lsS a m p le 2 0 0 3 M 0 1 2 0 0 9 M 0 8O b s e rv a t io n s 8 0

M e a n 1 . 7 3 e -1 9

M e d ia n 0 . 0 0 0 1 3 0M a xim u m 0 . 0 0 8 9 1 5M in im u m -0 .0 1 1 2 1 9

S td . D e v . 0 . 0 0 4 0 8 2S k e wn e s s - 0 .3 4 6 8 5 8K u r to s is 2 . 9 1 2 2 0 7

Ja r q u e -B e ra 1 . 6 2 9 8 3 6

P ro b a b ility 0 . 4 4 2 6 7 6

- . 0 1 2

- . 0 1 0

- . 0 0 8

- . 0 0 6

- . 0 0 4

- . 0 0 2

. 0 0 0

. 0 0 2

. 0 0 4

. 0 0 6

. 0 0 8

. 0 1 0

- . 0 1 5

- . 0 1 0

- . 0 0 5

. 0 0 0

. 0 0 5

. 0 1 0

. 0 1 5

. 0 2 0

. 0 2 5

. 0 3 0

2 0 0 3 2 0 0 4 2 0 0 5 2 0 0 6 2 0 0 7 2 0 0 8 2 0 0 9

R e z id u a l i S t va rn o k re t a n j e i n f l a c i j e M o d e lo m o c e n je n o k re t a n je in fl a c i j e

Veštačke promenljive (V)

� Može se modelirati sezonski efekat.

� Na primer, kod analize mesečnih vremenskih serija uključuje se 11 veštačkih promenljivih na sledeći način:

+++

++++

++++

++++

=

++++++=

=

=

=

decembar za

novembar za

februar za

januar za

mesecima ostalimu 0 i novembra svakog eopservacij za

mesecima ostalimu 0 i februara svakog eopservacij za

mesecima ostalimu 0 i januara svakog eopservacij za

t

11

2

1

tt33t221

tt33t22111

tt33t2221

tt33t2211

t

t111111t33t221

uXX

uXX)(

uXX)(

uXX)(

Y

uS...SXXY

1S

1S

1S

βββ

ββδβ

ββδβ

ββδβ

δδβββ

M

M



11/2009,2010. 31

Specifikacija modela

Specifikacija modela

1. Formulacija matematičke forme regresione jednačine

2. Izbor skupa objašnjavajućih promenljivih

3. Postavka pretpostavki o slučajnoj greški

� Do sada smo razmatrali 3. pod pretpostavkom da je 1. i 2. korektno

� Greške specifikacije:

� Pogrešna funkcionalna forma

� Pogrešan skup objašnjavajućih promenljivih

� Pogrešno postavljene pretpostavke o svojstvima slučajne greške



11/2009,2010. 32

1. Pogrešna funkcionalna forma

� Najčešće se pretpostavlja da je specifikacija linearna, što ne mora uvek biti slučaj.

� Da bi se proverila opravdanost upotrebe linearne specifikacije koristi se Ramezejev (engl. Ramsey) RESET test.

� RESET: regression equation specification error testNulta hipoteza: model ima korektnu specifikacijuAlternativna hipoteza: nulta hipoteza nije tačna.

� Algoritam:1. Ocenjujemo model oblika:

Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + uti formiramo seriju ocenjenih vrednosti .2. Ocenjujemo model oblika:

i proveravamo da li su parametri statistički značajni3. Ako su uključeni elementi značajni, tada se nulta hipoteza odbacuje i prihvata alternativna hipoteza da u modelu postoji greška specifikacije.

tŶ

tu3tŶ2

2tŶ1t3X3t2X21tY +++++= ϕϕβββ

21 ϕϕ i

1. Pogrešna funkcionalna forma (II)

� Objašnjenje RESET testa:

1. Promenljive oblika

predstavljaju zamenu za potencijalno izostavljenu objašnjavajuću promenljivu

• Njihova značajnost sugeriše grešku specifikacije u pravcu pogrešno izabranog skupa objašnjavajućih promenljivih

2. Promenljive oblika zavise od tako da se njima obuhvataju uticaji nelinearnog karaktera.

• Njihova značajnost sugeriše grešku specifikacije u pravcu pogrešne funkcionalne forme.

� Zaključak: primenom RESET testa proverava se postojanje dve greške u specifikaciji modela (koja je od njih zaista prisutna pokazuje dalja analiza).

,...3tŶ,

2tŶ

,...3tŶ,

2tŶ ,...

3t3

X,3t2

X,2t2

X,2t2

X



11/2009,2010. 33

2. Pogrešan skup objašnjavajućih promenljivih

1. Izostavljanje relevantne objašnjavajuće promenljive Posledice: ocene su pristrasne, sa varijansom koja nije najmanja moguća (ocene nagiba će biti nepristrasne jedino ako izostavljena promenljiva nije korelisana sa onom koja je u modelu, ali ocena sl. člana ostaje pristrasna)

2. Uključivanje irelevantne objašnjavajuće promenljivePosledice: ocene su nepristrasne, ali neefikasne(ocene će biti efikasne jedino ako uključena promenljiva nije korelisana sa onom koja figuriše u modelu)

2. Pogrešan skup objašnjavajućih promenljivih (II)

� Kako izabrati optimalan skup objašnjavajućih promenljivih?

� Kriterijumi:

� najveće vrednosti korigovanog koeficijenta determinacije

� najmanje vrednosti informacionog kriterijuma (IC)

� Informacioni kriterijum je zbir dve komponente koje različito reaguju na promenu broja parametara modela

� Model sa najmanjom vrednošću IC je optimalan uz uslov da su valjane sve pretpostavke KLRM

� AIC – Akaikeov informacioni kriterijum

� SC – Švarcov informacioni kriterijum

� Detaljnije kada se budemo bavili analizom vremenskih serija



11/2009,2010. 34

Pristupi u ekonometrijskommodeliranju

Principi u modeliranju

Možemo smatrati da je ocenjeni model prihvatljiv ako su dobijeni sledeći rezultati testiranja i ocenjivanja:

1. Regresija je statistički značajna (prema F – testu).2. Svi parametri modela su statistički značajni (na osnovu

t-odnosa) i imaju znak koji odgovara postavkama ekonomske teorije.

3. U modelu nema autokorelacije.4. U modelu ne postoji heteroskedastičnost.5. Reziduali su normalno raspodeljeni.6. Ne postoje indicije pogrešne specifikacije modela.



11/2009,2010. 35

Pristupi u ekonometrijskom modeliranju

� Postoje dve alternativne strategije u postupku izbora modela:

� pristup “od pojedinačnog ka opštem “

� pristup “od opšteg ka pojedinačnom “

� Pristup “od pojedinačnog ka opštem”

� Tradicionalni pristup koji je dominirao do sredine osamdesetih godina dvadesetog veka

� Formuliše se najjednostavnija jednačina koja je konzistentna sa određenom ekonomskom teorijom

� Kvalitet izabranog modela se proverava na osnovu koeficijenta determinacije, t-odnosa i standardnih testova autokorelacije i heteroskedastičnosti

� Modelom se samo ilustruje teorija za koju istraživač unapred veruje da je validna.

Pristupi u ekonometrijskom modeliranju (II)

� Pristup “od opštem ka pojedinačnom”� Nova metodologija, deduktivno modeliranje, pristup LSE i

Dejvida Hedrija (Hendry) � Princip koherentnosti: model treba da je saglasan sa

podacima i sa ekonomskom teorijom � Saglasnost modela sa podacima: model je statistički dobro

definisan, tako da ne postoji greška u specifikaciji.� Saglasnost modela sa ekonomskom teorijom:

• Ovaj zahtev nije esencijalan. • Svrha modeliranja ne treba da bude samo potvrda postojećih

ekonomskih teorija, već i razvoj novih koje može omogućiti sveobuhvatna empirijska analiza

• Postavke ekonomske teorije se ne mogu zaobići, ali saglasnost modela samo sa teorijom nije ni potreban ni dovoljan uslov za njegov kvalitet.



11/2009,2010. 36

Pristupi u ekonometrijskom modeliranju (III)

� Pristup “od opštem ka pojedinačnom”� Polazni model treba da bude što opštiji, tako da obuhvata

alternativna ekonomska tvrđenja.� Posebna pažnja se poklanja dinamici o kojoj nam teorija ne

govori mnogo.� Polazni model se redukuje u pravcu izostavljanja

promenljivih koje nisu statistički značajne.� Postupak redukcije je postepen, a u svakoj fazi je praćen

primenom velikog broja test-statistika.� Redukcija modela ne sme da naruši statistička svojstva

polazne specifikacije. � Tri zlatna pravila ekonometrijskog modeliranja: testiranje,

testiranje i testiranje.

Documents

Ekonometrijska analiza KLRMavs.ekof.bg.ac.rs/master-medjunarodna ekonomija/eko3-10.pdf · 2010. 11. 21. · Profesor Zorica Mladenovic Ekonomski fakultet, Beograd, 11/2009,2010. 1