El equilibrio general de Léon Walras1

En sus Éléments économiques d’Économie Politique Pure (1874), Walras consiguió concebir una manera de formalizar matemáticamente las teorías económicas, definiendo de manera precisa la situación óptima de una economía basada en el libre cambio de productos, en la venta de la fuerza de trabajo, la libre circulación de capitales y la localización libre de la tierra. La situación analizada (la de equilibrio en libre competencia) era óptima porque ni los consumidores, ni los productores tenían interés en modificar las cantidades de bienes y servicios ofrecidos por ellos en los mercados, ya que cualquier cambio supondría una disminución en el bienestar social2.

Basó su modelo en conceptos que han sido de gran relevancia para la economía moderna: la utilidad marginal (rareté), los coeficientes técnicos de producción de los factores, la restricción presupuestaria y los tâtonnement.

En su análisis, Walras pasa del ámbito individual al agregado, describiendo primero la función de utilidad marginal para un individuo, la condición maximizadora, su función de demanda, etc., para, a continuación, plantearse la función de demanda agregada de bienes como la suma vertical de la individual, y la función agregada de oferta de factores.

En el modelo que plantea, hay dos tipos de agentes económicos: los productores y las economías domésticas. Los productores demandan servicios productivos (factores de producción) y ofrecen bienes terminados; las economías domésticas demandan bienes terminados y ofrecen servicios productivos. En la notación walrasiana, hay n servicios productivos o usos diferentes de los factores de producción ( que son T, T’, T’’…, L, L’, L’’…, K, K’, K’’…), con los cuales puede manufacturarse para el consumo m productos: A, B, C, D…

Las ecuaciones que describen las funciones de utilidad individuales, continuas y decrecientes, son de la forma: ri = (q) [dq/dri > 0; d2q/d2dri < 0]

Cada individuo tienen a su disposición: qt de T, ql de L, qk de K, etc., cuyos precios son pt, pl, pk... Los precios de los bienes demandados por el individuo son pb, pc, pd… Todos estos precios están expresados en términos de A, que es el numerario (bien contable tomado al azar). Es decir, pb= vb/va, siendo va y vb los valores de los bienes A y B. Y así se determinan todos los precios.

Las principales hipótesis de partida son

a) acerca de los individuos: el hombre es racional. Eso implica que los consumidores querrán maximizar su utilidad y los productores querrán maximizar su beneficio. Así, la demanda de bienes se deriva de la función de utilidad marginal (rareté) y es depende, no ya del

1 Ampliación de un texto adaptado por Pedro Schwartz a partir de unas notas realizadas por R.D.C.Black.

2 Walras extendió su sistema para incluir en él tanto una teoría del Capital, como una teoría de la circulación del dinero (Éléments, Partes V y VI), pero estas teorías no se incluyen en este resumen.

precio, sino del precio de equilibrio, ya que es el precio que maximiza la utilidad del consumidor.

b) sobre la oferta de servicios productivos (o uso de los factores de producción): el trabajador ofrecerá sus servicios mientras la desutilidad del trabajo sea menor a la utilidad del salario que recibe, por eso también hay que maximizar sus funciones de utilidad.

c) el dinero: la moneda es un instrumento de medida y no juega papel activo alguno. Su valor es referencial, siendo su precio igual a la unidad. El nombre de este ‘dinero’ es numéraire, o numerario.

d) sobre los coeficientes de fabricación: la cantidad de servicios productivos necesarios para la producción de un bien o servicio es el coeficiente de fabricación y es fijo y conocido.

El sistema de ecuaciones

Considerando un solo individuo, sean ot, ol, ok… las cantidades de servicios que ofrece a los precios establecidos y da, db, dc… las cantidades de productos que demanda a los precios dados.

Entonces podemos escribir su ecuación de balance, que indica que no podrá comprar más bienes de los que pueda pagar con sus ingresos por la venta de sus servicios productivos:

ot pt+ ol pl + ok pk+ … = da pa + db, pb + dc pc… (siendo pa=1)

La condición de maximización de la utilidad requiere que tanto para bienes (m) como para servicios productivos (n), las utilidades marginales sean proporcionales a sus precios. Si A es el numerario:

t (qt-ot) /a (da) = pt

l (ql-ol) / a (da) = pl

etc.… hasta n ……………………b (db) / a (da) = pbc (dc) /a (da) = pc

etc.… hasta m

Entonces, para el individuo, tenemos n+m ecuaciones para resolver n+m incógnitas. Podemos, pues, derivar las soluciones para nuestro individuo (su oferta de servicios y su demanda de bienes):

ot = ft (pt, pl, pk, …, pb, pc, pd, …)ol = fl (pt, pl, pk, …, pb, pc, pd, …)ok = fk (pt, pl, pk, …, pb, pc, pd, …) …….db = fb (pt, pl, pk, …, pb, pc, pd, …)dc = fc (pt, pl, pk, …, pb, pc, pd, …)………

La demanda del bien numerario A cuyo precio es pa = 1, viene dada por la ecuación:

da = ot pt+ ol pl + ok pk+ … - (db, pb + dc pc + …)

Para todos los individuos

Si en lugar de un solo individuo, ahora agregamos sobre todos los individuos (las cantidades agregadas se denotan con letras mayúsculas), tendríamos:

(1) n ecuaciones que determinan la oferta de servicios productivos agregada:

Ot = Ft (pt, pl, pk, …, pb, pc, pd, …)Ol = Fl (pt, pl, pk, …, pb, pc, pd, …)Ok = Fk (pt, pl, pk, …, pb, pc, pd, …)…………………

(2) m ecuaciones que determinan la demanda de productos agregadaLa suma da un total de 2m+2n -1

Db = Fb (pt, pl, pk, …, pb, pc, pd, …)Dc = Fc (pt, pl, pk, …, pb, pc, pd, …)………………….Da = Ot pt+ Ol pl + Ok pk+ … - (Db pb + Dc pc + …)

Sean at, al, ak, …, bt, bl, bk, …, ct, cl, ck … los coeficientes técnicos de producción que, como ya hemos dicho, se suponen fijos3. Cada uno de ellos expresa la cantidad de factor que es necesaria para la fabricación de cada uno de los bienes, de manera que, por ejemplo, el coeficiente bk es la cantidad del servicio productivo K que es necesario para fabricar una unidad del bien B. Entonces tenemos otros dos sistemas de ecuaciones:

(3) n ecuaciones que expresan la igualdad de las cantidades de servicios productivos ofertados y demandados:

at Da + bt Db + ct Dc + dt Dd + … = Ot

al Da + bl Db + cl Dc + dl Dd + … = Ol

ak Da + bt Db + ck Dc + dk Dd + … = Ok

……………(3) m ecuaciones que expresan la igualdad de costes y precios para los bienes,

dado que en el equilibrio los beneficios son cero:

atpt + alpl + akpk + … =1blpl + blpl + bkpk +… = pb

ctpt + clpl + ckpk + … = pc

…………….Las ecuaciones (3) y (4) expresan las condiciones de vaciado del mercado.Aunque son 2m+2n ecuaciones, hay que restar la ecuación de balance porque no

es independiente al ser válida para todos y cada uno de los individuos, por tanto, tenemos 2m+2n-1 ecuaciones. La idea de que el valor de todos los bienes demandados es siempre idénticamente igual al valor total de todos los bienes ofertados se conoce

3 El supuesto de coeficientes técnicos de producción fijos es una simplificación que Walras más tarde en la lección 36 abandonó al introducir la teoría de la productividad marginal de los factores

como ‘Ley de Walras’, pero ya había sido enunciada antes por Jean Baptiste Say (la Ley de Say).

Veamos ahora el número de incógnitas:

a) cantidades de bienes demandados mb) precio de los bienes (excepto del bien numerario, A) m-1c) precios de los servicios productivos nd) cantidades de servicios productivos ofertados n

La suma da un total de 2m+2n-1

Por tanto, el modelo tiene solución única, lo que quiere decir que hay un conjunto de precios de equilibrio (tanto de bienes como de servicios productivos) que asegura el equilibrio general de los mercados. Sin embargo, habría que demostrar que este conjunto es el único (la unicidad del precio) que asegura el equilibrio general, así como su indiferencia respecto al punto de partida (es decir que se alcanza el equilibrio independientemente de las condiciones iniciales) lo que quiere decir que es un sistema determinado (path indeterminacy).

No hay que olvidar que la formulación del equilibrio general es estática: no se pueden cerrar contratos a precios que no sean de equilibrio. Por ello incluye Walras entre sus supuestos los tres siguientes: hay un subastador que ayuda a encontrar los precios de equilibrio; gracias al subastador el sistema va encontrando la solución de equilibrio general como un ciego hace con su bastón, por tâtonnement; no se realizan transacciones hasta que no se hayan encontrado los precios de equilibrio. El subastador anuncia un precio en el mercado y los agentes anuncian sus demandas y ofertas a este precio en forma de “vales” que solo sirven para que el subastador recalcule hasta encontrar el precio que vacía ese mercado. A continuación, traslada su atención a otro mercado en desequilibrio, hasta conseguir precios que los vacíen todos (lo que no es una solución simultánea y por tanto es posible que no se encuentre): entonces los vales se convierten en transacciones.

Walras era consciente de que este sistema estático no se daba en la realidad: “Un mercado continuo … tiende perfectamente hacia el equilibrio sin alcanzarlo nunca, porque el mercado no tiene otra forma de alcanzar el equilibrio excepto por tâtonnement, y, antes de que esa meta se haya alcanzado, tiene que empezar de nuevo, pues todos los datos básicos del problema … han cambiado en el entretanto.” (Lección 35).