Corroboracin de la cuantizacin de la carga y obtencin de la

carga fundamental utilizando el experimento de Millikan

A. Prez R, R. Pineda M. Laboratorio de Experimentos de Fsica Moderna

Depto. De Fsica, Universidad Nacional de Colombia Bogot, 5 de Diciembre de 2013

Resumen

La carga elctrica es quizs la ms fundamental de las propiedades de la materia, estudiada desde el

mismo comienzo del pensamiento humano ha sido materia de investigacin y avance a nivel cientfico

y tecnolgico. Igual que en la materia, se pensaba que la carga estaba cuantizada, es decir que

cualquier carga elctrica es mltiplo de una cantidad de carga irreducible. Para comprobarlo Millikan

en 1914 se ingeni un experimento que permita medir esta carga fundamental obteniendo un valor

aproximado de 1.60276 x 10-19 Coulombs. La prctica hecha reprodujo el experimento de Millikan

que consiste en determinar las velocidades terminales de pequeas micro-esferas de ltex sometidas a

un campo elctrico vertical en dos sentidos diferentes. Teniendo en cuenta factores como viscosidad

del medio, dimetro de las esferas y la intensidad del campo se encontr que efectivamente todas las

gotas cargadas tenan una carga que era mltiplo de una misma ms pequea y se logr obtener un

valor muy aproximado de la carga fundamental comprobando la hiptesis de la cuantizacin de la

carga y validando el mtodo de Millikan.

Introduccin

El descubrimiento de una carga elemental comenz con los experimentos Joseph John Thompsom

(1897); donde se us un ctodo y un nodo en un tubo al vaco, al aplicar una gran tensin sobre los

electrodos se not haces luminosos procedentes del nodo. Thompson determino pocas

caractersticas de estas partculas (denominado en la poca como rayos catdicos), pero fueron

suficientes para encontrarse los mismos tipos de partculas en otros fenmenos como la radiactividad

y la fluorescencia natural.

Dado que entre las caractersticas encontradas por J.J. Thompsom se encontraba interacciones con

campos elctricos, hizo pensar en una partcula fundamental de carga electica. El primer experimento

en encontrar la carga de esta partcula fue efectuado por Robert Millikan.

El experimento de Millikan es conocido actualmente como el experimento de la gota de aceite. Se

estableci entre dos placas horizontales y paralelas A y B (figura 1) un campo elctrico E que cambia

su direccin por medio de un interruptor. En la placa A se encontrara pequeas aberturas donde se

rociara con un pulverizador gotas de aceite que se cargan por friccin al salir de la boquilla.

Figura 1: esquema del experimento de Millikan

La gota de masa m y radio r caer entre las dos placas con la siguiente ecuacin de movimiento:

1 = 61 (1)

Donde el termino qE es la fuerza que ejerce el campo elctrico sobre la gota de aceite de carga q (se

ha puesto positiva suponiendo que el campo elctrico va de la placa B a la placa A); el termino mg

corresponde al peso y el termino 6 es la fuerza de viscosidad ejercida a una esfera donde es el

coeficiente de viscosidad del aire y v1 la velocidad final de la gota.

Despus se vara el campo elctrico por medio del interruptor, esto modifica la ecuacin de

movimiento de la gota de la siguiente manera:

2 = 62 (2)

Donde la velocidad v2 es la velocidad final alcanzada en la direccin contraria de v1, si restamos la

ecuacin 2 a la ecuacin 1, obtenemos:

2 = 6(2 1) (3)

En la ecuacin (1) y (2), el valor F es igual a cero dado que la fuerza de viscosidad despus de un

cierto tiempo se iguala a la suma de todas las dems fuerzas, entonces como F=0 existir una

velocidad constante correspondiente a la velocidad v1 y v2 en estas ecuaciones. Si en la ecuacin 3 se

expresa el campo electico en trminos del voltaje y se despeja q se obtiene:

=3 (21)

(4)

Donde d es la distancia entre la placa A y la placa B, midiendo el tiempo que tarda la gota en recorrer

una distancia fija, se concluye las velocidades v2 y v1.

Obviamente la friccin de la gota con la boquilla del pulverizador no cargara necesariamente la gota

con la carga fundamental, por ende, la diferencia de v2 - v1 (aunque la velocidad v1 tendra signo

negativo, siendo realmente una suma) ser diferente para cada gota. Pero por definicin de carga

fundamental se concluye que q ser mltiplo de esta, entonces se puede deducir la carga e por medio

de las diferentes velocidades v de cada gota, la expresin seria:

=3

(5)

Donde ser la diferencia de las velocidades entre 2 grupos de gotas cercanos (los grupos se

establecen si v es similar o muy cercano), esto tampoco asegura que sea la velocidad de la gota

como si tuviera la carga fundamental e pero aumenta la probabilidad de encontrar un mnimo valor

de correspondiente a e.

Procedimiento experimental.

Los instrumentos:

En el experimento de Millikan se trabaja con un aparato compacto que tiene todas las conexiones

internamente, por lo que solo hay que conectarla a la fuente y encender. El aparato de Millikan, como

se reconoce, bsicamente cuenta con una cavidad cilndrica pequea con dos placas en sus extremos,

con ellas se genera el campo elctrico que mover a las gotas. La cavidad tiene tres orificios a los

lados: uno de ellos es para que la cavidad sea alumbrada. Con una linterna de luz blanca se alumbra el

interior de la cavidad, esto se hace para iluminar las gotas que reflejan esta luz y pues tambin para

poder observar claramente su trayectoria. Por otro agujero entran las gotas a la cavidad, para esto se

utiliza una vlvula que roca el ltex separndolo en pequeas esferas. Por el otro orificio se ve el

movimiento de las gotas con un microscopio. El movimiento de las gotas se estudia con una reglilla

que permite medir las distancias recorridas en un tiempo determinado.

La representacin de la cavidad se muestra en la figura 2

Figura 2 representacin de la cavidad

Las placas mostradas en la figura 1 van conectadas a la fuente, con una diferencia de potencial entre

las placas se genera el campo elctrico como lo indican las flechas. El voltaje aplicado es de 300 volts,

este valor no va a cambiar durante todo el experimento. La maquina tiene un interruptor cuyo

objetivo es quitar la diferencia de potencial aplicada de tal manera que la gota caiga solamente

influenciada por la fuerza de gravedad y tambin con este se puede invertir el sentido del campo ya

que las gotas pueden salir con valores de carga tanto positiva como negativa.

Figura 3 representacin de la reglilla

Con el microscopio se pueden ver las pequesimas gotas que caen entre las placas, este tiene una

especie de regla que consiste en una serie de lneas gruesas separadas por una distancia de 1 mm una

de la otra, Adicionalmente entre cada dos lneas gruesas hay cuatro lneas punteadas separadas a 0.2

mm una de la otra tal como lo muestra la figura 3. El ocular tiene una perilla para enfocar bien estas

lneas, ya que a veces se ven borrosas. Es importante que el movimiento de la gota sea ortogonal a

cada una de las lneas ya que, como es lgico, la distancia recorrida por la gota no va a ser igual los

intervalos entre lneas, al manejar valores tan pequeos puede que estas diferencias sutiles en los

recorridos afecten los valores tomados.

Los instrumentos descritos se muestran en conjunto en la figura4

Figura 4 imagen completa del montaje

1) es la cavidad donde se analizan las gotas cuyo interior se represent en la figura 1. La cavidad se

alumbra con la linterna 2). 3) es el voltmetro que indica la diferencia de potencial entre las dos

placas de en la cavidad, tiene un rango de 0 a 500 volts y puede ser variado con la perilla 4), como ya

se dijo, el experimento se trabaj en su totalidad con 300 volts. El la figura, 5) es el cable de poder

que distribuye la energa en el interior del aparato, este se prende con el interruptor 6) y con el

circuito interno representado en el aparato se prende la linterna y vara el voltaje con la perilla como

ya se dijo. 10) hace referencia al ocular que es el microscopio que permite ver las gotas, con 7)

enfocamos para una mejor visin de la regla y las gotas, el esquema de como se dentro de la cavidad

se muestra en la figura 2, vale aclarar que las gotas no se ven azules, solo alumbran con un color

amarillo plido muy brillante. 8) es el interruptor que permite quitar o invertir el campo. 13) es el

recipiente en el que se encuentra el ltex lquido y con la vlvula 12) se atomiza obteniendo esferas de

radio muy pequeo.

Las esferas:

Originalmente, Millikan us gotas de aceite atomizadas que eran filtradas para que fueran lo

suficientemente pequeas. En esta prctica se trabaj con micro-esferas de ltex con un dimetro de

1.1 x 106 metros. Que caen lentamente cuando no hay influencia del campo elctrico debido a la

interaccin con el aire. Estas esferas alcanzan su velocidad terminal rpidamente, tanto que casi

cualquier observacin que se haga inmediatamente despus de ser impulsadas es con la velocidad

terminal alcanzada, por lo que podemos asumir que las mediciones se hacen sobre la velocidad

terminal.

An no se ha dicho algo importante sobre las gotas, todava falta explicar cmo se cargan las gotas?.

En el proceso de atomizacin o separado de las esferas, estas toman una alta velocidad y al pasar por

la unin metlica entre el recipiente y la vlvula estas se cargan por friccin cuando pasan a travs de

ella. Algunas (muchas en realidad) de las gotas alcanzan una carga bastante alta y al aplicar el campo

elctrico se mueven rpidamente y son esferas que no pueden ser tomadas en cuenta. Hay que tener

un poco de sutileza al oprimir la vlvula pues al hacerlo fuertemente las esferas salen muy cargadas y

no sirven.

Modo de medicin:

Primero se enciende el aparato y con la perilla se pone en el voltaje indicado. Antes de oprimir la

vlvula para que salgan las gotas, se debe verificar que no haya campo aplicado, ya que de ser as las

gotas no se van a alcanzar a ver porque inmediatamente salen toman la direccin del campo y se

pierden. Al oprimir la vlvula por el microscopio se van a ver varios destellos luminosos que

comienzan a caer muy lentamente a travs de la reglilla. Se aplica el campo elctrico y como ya se dijo

las gotas se comenzarn a mover ms rpido pero no todas en la misma direccin, para estudiar una

gota se midi el tiempo que se demora en pasar de una lnea grande a la otra (intervalo de 1 mm) con

un reloj convencional. Cuando alcanza la lnea superior (si va de subida) se quita el campo elctrico y

la gota se frena, inmediatamente se invierte la direccin del campo y la gota se mueve en sentido

opuesto, se toma el tiempo que demor en pasar las dos lneas y de esta manera se obtienen las

velocidades terminales en ambas direcciones. Es de esperar que la velocidad de bajada sea mayor ya

que hay se suma la fuerza de atraccin gravitacional.

Resultados y discusiones

Lo ms importante de la experiencia seria la comprobacin de la cuantizacin de la carga elctrica,

entonces se comienza encontrando el valor v correspondiente a cada gota y enumerando de menor a

mayor este valor, para despus mostrar en 3 graficas (dado la gran cantidad de datos se deben separar

en diferentes conjuntos para no sobrecargar todo en una sola grafica) como los valores de v se

agrupan en diferentes valores:

Tabla 1: primer conjunto de gotas; contiene los valores entre n=1 y n=30 del total de gotas

organizadas de menor a mayor

n v(10-4 m/s)

1 1,08 0,02

2 1,35 0,04

3 1,36 0,04

4 1,48 0,04

5 1,50 0,05

6 1,51 0,03

7 1,67 0,05

8 1,69 0,04

9 1,83 0,08

10 1,85 0,05

11 1,88 0,05

12 1,89 0,05

13 1,92 0,06

14 1,95 0,05

15 1,96 0,05

16 2,05 0,10

17 2,10 0,07

18 2,13 0,06

19 2,21 0,09

20 2,22 0,07

21 2,28 0,10

22 2,28 0,07

23 2,30 0,12

24 2,38 0,08

25 2,41 0,11

26 2,49 0,10

27 2,49 0,11

28 2,50 0,10

29 2,57 0,11

30 2,58 0,10

Figura A: grafica donde la abscisa representa el nmero de gota y la ordenada el valor v (la suma de la

velocidad a caer y la velocidad a subir de la gota), datos correspondientes a la tabla 1

Tabla 2: segunda conjunto de gotas; contiene los valores entre n=31 y n=60 del total de gotas

organizadas de menor a mayor (los valores n de la tabla se cambia para evitar problemas de la

interpretacin grafica)

n v(10-4 m/s)

1 2,68 0,13

2 2,72 0,10 3 2,77 0,11

4 2,99 0,13 5 2,99 0,13

6 3,22 0,15

7 3,34 0,18

8 3,35 0,16 9 3,36 0,16

10 3,38 0,17

11 3,62 0,22

12 3,70 0,20

13 3,72 0,20 14 3,85 0,23

15 3,85 0,26

16 3,94 0,22 17 4,13 0,24

18 4,27 0,26

19 4,28 0,29

20 4,38 0,31 21 4,55 0,29

22 4,71 0,33

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 5 10 15 20 25 30 35

V(10-4m/s)

n

23 4,76 0,33

24 4,89 0,34 25 5,02 0,38

26 5,47 0,49

27 5,52 0,43 28 5,71 0,46

29 6,02 0,52

30 6,02 0,54

Figura B: grafica donde la abscisa representa el nmero de gota y la ordenada el valor v, datos correspondientes a la tabla

2

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20 25 30 35

V(10-4m/s)

n

Tabla 3: segunda conjunto de gotas; contiene los valores entre n=61 y n=68 del total de gotas

organizadas de menor a mayor (los valores n de la tabla se cambia para evitar problemas de la

interpretacin grafica)

n v(104 m/s)

1 6,13 0,53

2 6,74 0,65

3 7,01 0,69

4 7,58 0,82

5 8,32 1,15

6 8,88 1,16

7 9,20 1,20

8 9,85 1,38

Figura C: grafica donde la abscisa representa el nmero de gota y la ordenada el valor v, datos

correspondientes a la tabla 3

Para la obtencin de los valores de v y su incertidumbre se procedi del siguiente modo: se divide la

distancia de 2 divisiones grandes en el ocular por el tiempo de subid, se opera del mismo modo con el

tiempo se bajada y finalmente se suman estos valores:

= 1

++

1

(6)

Para la incertidumbre se us la expresin sencilla para potencias (7) seguido de otra expresin sencilla

para la suma (8):

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

V(10-4m/s)

n

=

(7)

= 12 + 2

2 (8)

Para encontrar la expresin de t se realiz pruebas con el cronometro, observando el intervalo de

tiempo promedio en detener el cronometro ante 2 avisos consecutivos parecidos al medir el tiempo

de subida y bajada, obteniendo una t=0,4.

Antes de realizar un clculo sobre los intervalos de v, se opera la ecuacin (5) con el dato v de la

primera gota y se encuentro una carga de:

q1= 1,64 0,03 1019

Este valor simplemente asegura una cota inferior coherente con la teora.

Despus se procedi a calcular los intervalos del valor v para ello se usa el valor de la incertidumbre

junto a la ayuda de las figuras (A), (B) y (C) (si entre la incertidumbre de una valor existe uno o

varios valores de otras gotas y se comprueba que estos valores genera un paso entre los diferentes

valores v en las grficas), se obtienen 35 grupos de gotas cada uno con un valor estimado de v:

Tabla 4: grupo de gotas formadas con su valor estimado de v

# del grupo v(10-4 m/s)

1 1,08 0,02

2 1,36 0,04

3 1,50 0,04

4 1,68 0,04

5 1,90 0,07

6 2,09 0,05

7 2,21 0,05

8 2,29 0,05

9 2,40 0,08

10 2,50 0,05

11 2,58 0,05

12 2,72 0,06

13 2,99 0,06

14 3,22 0,05

15 3,35 0,06

16 3,68 0,11

17 3,85 0,07

18 3,94 0,06

19 4,13 0,09

20 4,28 0,07

21 4,38 0,10

22 4,55 0,07

23 4,74 0,12

24 4,89 0,08

25 5,02 0,11

26 5,49 0,10

27 5,71 0,11

28 6,06 0,11

29 6,74 0,11

30 7,01 0,10

31 7,58 0,13

32 8,32 0,10

33 8,88 0,11

34 9,20 0,13

35 9,85 0,13

Para obtener un valor de v para cada grupo de gotas se usa la expresin de valor estimado:

x =1

N xi

Ni=1 (9)

Donde N es la cantidad de datos y xi un valor cualquiera de la distribucin; el valor medio viene

acompaado de un error, este error es llamado el error estndar del promedio y se expresa de la

forma:

x = x jx

2Nj=1

N N1 (10)

Recordemos que los datos poseen un error nominal, por ende, una combinacin entre el error

estadstico y nominal nos dar el error total, la expresin para el error total es:

= 2 + 2 (11)

Existen grupos con una sola gota en estos casos el error total ser simplemente el error nominal. Se

concluy un valor v mnimo sacando una diferencia de v entre los grupos de gotas consecutivas,

como no todos los valores darn la v que cumpla con la condicin de la ecuacin (5), se recogieron

una cantidad de datos que se consideraran los mnimos (lastimosamente empleando la ecuacin (8)

que tambin se puede usar en el caso de una resta para encontrar la incertidumbre de v,se obtiene un

error de una valor muy similar a v, por ende, solo se recogieron los valores mnimos en un

intervalo que se consider conveniente y no los datos encerrados entre el error de v mnimo como

se plane ). Los valores se encuentran en la siguiente tabla:

Tabla 5: diferencia entre los valores v de los diferentes grupos de gotas, representado en las figuras

(A), (B) y (C) como escalones

dif. entre grupo de gotas v(10-4 m/s)

n1-n2 0,276 0,040

n2-n3 0,142 0,052

n3-n4 0,182 0,053

n4-n5 0,218 0,076

n5-n6 0,196 0,080

n6-n7 0,121 0,070

n7-n8 0,072 0,069

n8-n9 0,110 0,092

n9-n10 0,099 0,096

n10-n11 0,082 0,076

n11-n12 0,147 0,084

n12-n13 0,265 0,087

n13-n14 0,231 0,079

n14-n15 0,135 0,078

n15-n16 0,327 0,124

n16-n17 0,167 0,130

n17-n18 0,092 0,093

n18-n19 0,188 0,111

n19-n20 0,149 0,114

n20-n21 0,100 0,126

n21-n22 0,175 0,128

n22-n23 0,185 0,140

n23-n24 0,149 0,144

n24-n25 0,130 0,139

n25-n26 0,476 0,153

n26-n27 0,218 0,150

n27-n28 0,347 0,157

n28-n29 0,680 0,157

n29-n30 0,270 0,146

n30-n31 0,576 0,167

n31-n32 0,741 0,171

n32-n33 0,558 0,155

n33-n34 0,322 0,171

n34-n35 0,646 0,179

Encontrando los mnimos de v, se obtiene la siguiente tabla:

Tabla 6: mnimos de la diferencia entre los valores v de los diferentes grupos de gotas

dif. entre grupo de gotas vmin (10-4 m/s) vminprom. (104 m/s)

n7-n8 0,072

0,093 0,012

n8-n9 0,110

n9-n10 0,099

n10-n11 0,082

n17-n18 0,092

n20-n21 0,100

La obtencin de vminprom. se hace usando la expresin (9) y su incertidumbre con la expresin (10).

Como se concluy un valor vmin, se usa la ecuacin (5) y se muestra el primer resultado:

e= 1,41 0,02 1020

Como se ha indicado varias veces este valor de vmindebe ser un mltiplo entero de los otros v, esto

se comprob dividendo el valor vmincon el v de los otros; el resultado se muestra en la tabla a

continuacin:

Tabla 7: comprobacin de vmincon respecto a los valores experimentales

dif. entre grupo de gotas v(10-4 m/s) N

n1-n2 0,276 0,040 3,0 0,6

n2-n3 0,142 0,052 1,5 0,6

n3-n4 0,182 0,053 2,0 0,6

n4-n5 0,218 0,076 2,4 0,9

n5-n6 0,196 0,080 2,1 0,9

n6-n7 0,121 0,070 1,3 0,8

n11-n12 0,147 0,084 1,6 0,9

n12-n13 0,265 0,087 2,9 1,0

n13-n14 0,231 0,079 2,5 0,9

n14-n15 0,135 0,078 1,5 0,9

n15-n16 0,327 0,124 3,5 1,4

n16-n17 0,167 0,130 1,8 1,4

n18-n19 0,188 0,111 2,0 1,2

n19-n20 0,149 0,114 1,6 1,3

n21-n22 0,175 0,128 1,9 1,4

n22-n23 0,185 0,140 2,0 1,5

n23-n24 0,149 0,144 1,6 1,6

n24-n25 0,130 0,139 1,4 1,5

n25-n26 0,476 0,153 5,1 1,8

n26-n27 0,218 0,150 2,4 1,6

n27-n28 0,347 0,157 3,7 1,8

n28-n29 0,680 0,157 7,4 2,0

n29-n30 0,270 0,146 2,9 1,6

n30-n31 0,576 0,167 6,2 2,0

n31-n32 0,741 0,171 8,0 2,1

n32-n33 0,558 0,155 6,0 1,9

n33-n34 0,322 0,171 3,5 1,9

n34-n35 0,646 0,179 7,0 2,2

De la tabla se puede observar que de los 28 datos, 8 son datos completamente fuera de lugar. Ahora

la incertidumbre del N correspondiente a un valor entero se concluye por medio de la siguiente

expresin:

=

2

+

2

+

2

+ (12)

La ecuacin corresponde a la propagacin de errores; como se ha visto durante todo el informe, la

propagacin de errores afecta en gran forma los resultados, inclusive de la ltima tabla se ven errores

que pueden llegar a ser mayores del dato.

Usando el valor terico e=1,602x10-19 C, se obtiene un error terico de

=

100 = 91,2%

Conclusiones

Las gotas de ltex al entrar entre las placas sin voltaje, tendrn comportamientos parecidos pero al

tener una diferencia de potencial entre las placas, las gotas tendrn movimientos diferentes con

respecto a sus compaeras. Analizando el comportamiento individual de cada gota se obtendr un

valor mnimo de velocidad de 1,08x10-4 m/s y con valores tan altos de velocidad que son imposibles

de medir; al compararse la velocidad entre gotas se notara que existen otras gotas que tiene la misma

velocidad y otras gotas que estn alejadas por un valor en especfico, mostrando necesariamente que

las gotas no pueden poseer cualquier velocidad sino aproximadamente un mltiplo de 0,093x10-4

m/s. Usando ecuacin de movimiento de partculas cargadas se comprueba que esta velocidad

corresponde a una carga de 1,411020 , pero el mtodo de medicin usado no fue tan efectivo

dado que existe una brecha de 91,2 % con respecto al valor terico.

Bibliografa:

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4. Ardila, A. M. Fsica Experimental, Universidad Nacional de Colombia, Bogot, 2007.

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Bogot, 2008.

6. Melissinos, A. C. Experiments in Modern Physics, Academic press inc, New York,

1966.

Anexos

Ecuaciones de distribucin del error

=

2

+

2

+

2

+

=

2=1

1

2=1

1

1

2=1

=

2 2

2 2

=

2 2

=

=

2

2

2

2