El Milagro Griego Gonzalez Urbaneja

Curso de actualización en Historia de la Matemática Profesores: Mario Dalcín – Mónica Olave

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Pitágoras. El filósofo del número. Pedro González Urbaneja Capítulo 1

El milagro griego Unos siete siglos antes de la era cristiana el centro de gravedad del

desarrollo cultural, y del matemático en particular, se desplazó de Mesopotamia y Egipto al mundo griego. Sobre un sustrato de elementos orientales, los griegos imprimirán un fuerte acento autóctono a su cultura. Más allá de una filosofía providencialista de la historia, como resultado de varias contingencias favorables en un momento feliz, hacia el siglo VI a.C. los griegos jónicos inician un proceso de desarrollo cultural que va abriendo campos de conocimiento racional frente a lo mitológico, con una actitud especulativa de la que carecieron las civilizaciones orientales. Por ello se habla del milagro griego, no en sentido místico como efecto sobrenatural de un poder divino superior a las fuerzas humanas, sino como la aparición inesperada y sorprendente de un hecho cultural en el que estas fuerzas presididas por la razón buscarán una explicación lógica del cosmos tomando como centro el propio hombre. El espíritu oriental, confuso y desordenado, dará paso a la ordenación lógica del conocimiento, que al humanizar la religión humaniza asimismo la naturaleza, introduciendo en ésta el concepto de ley inexorable que rige los fenómenos naturales, independientes de los caprichos de los dioses, complementando la observación empírica con el razo-namiento lógico, separando religión y ciencia, que en las sociedades orientales habían sido los dos extremos simbióticos del eje de rotación de la vida, y haciendo de la matemática una ciencia racional y universal y de la geometría el núcleo medular del conocimiento.

La mente oriental daba sabios, la mente helénica dará, además, pensadores, cuyo espíritu ordenador y sistematizador actuará sobre el material empírico oriental que estaba en bruto, analizándolo de una forma abstracta e intelectual. Sin implicar juicios de valor, podríamos decir que el conocimiento prehelénico era más bien de carácter técnico, es decir, estaba formado por consejos, recetas y métodos para resolver problemas concretos. La matemática prehelénica no prestó atención a los principios fundamentales, sólo desarrolló descubrimientos fragmentarios que servían para fines prácticos y nunca se planteó como punto de partida de sus investigaciones el alumbramiento de leyes generales o la elucubración apriorística sobre la resolubilidad de los problemas. Su forma de tratar éstos no era especulativa ni deductiva, sino empírica e inductiva. Como mucho llegaban a la solución general de un problema partiendo de muchas soluciones individuales, casi nunca deducían lo particular de lo general. Pero es


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precisamente este segundo camino de investigación, el deductivo, la característica fundamental de la matemática que desarrollarían los griegos. Es decir, la matemática anterior a los griegos tiene un carácter meramente instrumental como medio para resolver problemas prácticos, mientras que para éstos la ciencia es un fin un sí misma. No obstante y a pesar de estos presupuestos filosóficos, los griegos resuelven con gran facilidad y armonía la aparente contradicción entre la ciencia como un fin en sí misma y la ciencia corno instrumento porque, animados por un sagrado entusiasmo, elevan las herramientas a la máxima perfección y belleza, conforme a principios preexistentes en lo más profundo de la naturaleza espiritual e intuitiva de sus creadores, quedando así enriquecido el instrumento incluso para fines prácticos. Los griegos hacen geometría por el mero honor del espíritu hurnuno, como diría Jacobi, y la utilidad es sólo un valor añadido. Para ellos, conocer la raíz etimológica del término geometría sería paradójico, porque significa medida de la tierra, pero fueron precisamente los geómetras griegos quienes la independizaron de tal menester, ya que ese era el objeto de otra actividad artesanal (y en Grecia, de rango social inferior y subalterno), la geodesia. Así, los griegos desarrollaron una filosofía de la actividad humana, un tanto reaccionaria desde el punto de vista ideológico, en la que las áreas más dignas bajo una perspectiva intelectual eran las que, como su geometría, carecían de utilidad inmediata y atendían solo a la curiosidad intelectual mediata presidida por la reflexión serena, independiente de todo pragmatismo y no espoleada por la urgencia biológica de la satisfacción de las necesidades vitales inmediatas.

En sus orígenes, la matemática griega quedó rezagada con respecto a la literatura. En efecto, no conocemos ningún desarrollo matemático de la cultura griega anterior al siglo VI a.C., mientras que la épica y la lírica griegas ya habían elaborado una maravillosa literatura, de lo que son fiel exponente las obras de Homero (hacia el siglo IX a.C.) y Hesíodo (hacia el siglo VIII a.C.). No quiere decir que no existiera en esa época una matemática arcaica, pero no tenemos noticia de ello, quizá la razón sea que las formas literarias se prestan mejor que las matemáticas a su continuidad por tradición oral.

En el siglo VI a.C. aparecerán dos figuras pioneras, Tales y Pitágoras, que jugarán simbólicamente en la matemática un papel similar al que Homero y Hesíodo representan en la literatura. No obstante, hay que advertir que mientras que éstos son figuras literarias que aparecen ciertamente envueltas en penumbra, pero de las que por lo menos disponemos de una tradición consistente que les atribuye unas obras maestras literarias que, trasmitidas al principio de una manera oral de generación en generación, finalmente se copiaron y se conservaron para la posteridad; de Tales y Pitágoras, por el contrario, no nos ha quedado ninguna obra maestra y ni siquiera se ha comprobado que compusieran jamás una obra tal. Lo que pudieron haber hecho hay que reconstruirlo sobre la base de una


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tradición muy persistente pero no muy fidedigna en torno a estos personajes. Ello no obsta para que las primeras exposiciones griegas de la historia de la matemática, que desgraciadamente no han llegado a nosotros, atribuyesen a Tales y a Pitágoras una serie de descubrimientos matemáticos muy concretos, pero hay que insistir en la ausencia de cualquier documento histórico conocido que lo avale.

Tales Museo Vaticano. Roma

Tales era de Mileto y Pitágoras era de la isla de Samos. Ambos eran pues origi-narios de las costas jónicas de Asia Menor (la actual Turquía), cuyos habitantes tenían fama de ser colonizadores de espíritu intrépido e imaginativo que, además, por estar en proximidad geográfi-ca con los dos grandes valles fluviales de Egipto y Mesopotamia pudieron llegar a conocer fácilmente el saber milenario de estos pueblos. A los matemáticos jónicos y pitagóricos, y a Tales y Pitágoras a la cabeza de ellos, les cabe el mérito inconmensurable de haber jugado un papel iniciático en la construcción de la matemática, y en particular de la geome-tría, como una disciplina racional y liberal.

Pitágoras. Museo Capitolino. Roma

Por ello a Tales se le llama el primer matemático y a Pitágoras el padre de la matemática.

La geometría griega, al menos en sus orígenes, siempre se consideró tributaría de la egipcia. Es casi seguro que los griegos tomaron prestados algunos rudimentos de la geometría elemental egipcia, pero siempre exageraron su deuda con los egipcios, tal vez por su respeto casi reverencial a la antigüedad milenaria de su cultura.


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La geometría griega también debió tener cierta base material en los conocimientos matemáticos prácticos que los mercaderes griegos recabaron de Mesopotamia y de la India. Además, el territorio griego estuvo sometido, por razones geográficas, a todo tipo de influencias culturales de los pueblos limítrofes. Enseguida se realizó el tránsito de lo meramente empírico a lo teórico, apareciendo las primeras concepciones sobre prueba, demostración, axioma o teorema. Hay una primera fase visual en la geometría helénica que comprendería los teoremas atribuidos a Tales, basados en la simetría y la superposición de figuras planas y quizá en la aritmo-geometría pitagórica. Pero la reacción contra lo empírico en aras de lo teórico y abstracto se manifiesta ya totalmente en la insistencia de Platón en Menón y en La República en la idealidad matemática. Esta línea cristalizará en los esfuerzos de Euclides por eludir lo visual en sus demostraciones.

Tomando como base una de las principales fuentes sobre la matemática griega (a la que aludiremos reiteradamente), el Comentario al Libro I de los Elementos de Euclides, que escribió el filósofo neoplatónico Proclo basándose en el Fragmento de Euderno (trabajo sobre historia de las matemáticas encargado por Aristóteles a su discípulo Eudemo), hay que decir que Tales y Pitágoras marcaron un hito, porque transformaron el saber geométrico en disciplina puramente teórica investigando los teoremas de manera inmaterial y abstracta, es decir, sin instrumentos ni mediciones materiales, sin referencia a materiales concretos y sólo por medio de la intuición de ideas y del discurso mental, dando el gran salto cualitativo que iba a suponer el verdadero nacimiento en Grecia de las matemáticas como ciencia especulativa y deductiva, más allá de la práctica empírica e inductiva de las civilizaciones del próximo, medio y lejano oriente. Por ello podemos hablar del milagro griego en matemáticas como parte del milagro que realizaron los griegos en el ámbito general de la cultura y el pensamiento. Pitágoras realiza la primera demostración general del teorema que lleva su nombre, pero entre la ley general que establece y los casos específicos de la geometría babilónica, egipcia, hindú o china hay el abismo que media entre un instrumento primitivo que no se pregunta cómo funciona y un mecanismo universalmente aplicable. El aporte esencialmente original es que el teorema da una verdad general y universal que es independiente de los particulares valores de los lados del triángulo rectángulo.

En resumen, la geometría como ciencia de la extensión no adquiere carácter racional hasta Grecia, y el milagro griego en matemáticas sería la revisión racional de la geometría, que da el gran salto del empirismo a la verdadera ciencia racional, imprimiendo para la posteridad una huella singular imperecedera.


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Las principales escuelas

La civilización griega se desarrolló aproximadamente desde el siglo VI a.C. hasta el siglo VI d.C., aunque la etapa incluida en nuestra era ya está muy teñida por la cultura romana y en el ámbito matemático es decadente, salvo un cierto renacimiento que imprimieron las figuras de Ptolomeo, Diofanto y Pappus. Desde el punto de vista general la cultura griega suele dividirse en dos grandes periodos: el primero, llamado clásico o helénico, que va desde los albores del siglo VI a.C. hasta el siglo III a.C. y que se desarrolla geográficamente en las costas jónicas de Asia Menor (la actual costa turca), en la propia Hélade (la Grecia actual) y en las colonias del sur de Italia y Sicilia (la llamada Magna Grecia) y el segundo, llamado periodo alejandrino o helenístico, en el que tras la conquista de Alejandro el foco cultural griego se desplaza fundamentalmente hacia Alejandría. Ambos períodos están separados por la muerte casi simultánea de Alejandro (323 a.C.) y Aristóteles (322 a.C.).

No obstante, desde el punto de vista de la matemática, la geometría griega se desarrolla en tres estadios fundamentales, cuyas figuras principales son Pitágoras, Platón y Euclides. Cada uno de ellos aporta una singularidad esencial. Euclides es el sistematizador de todos los conocimientos precedentes. Su obra los Elementos se convierte en canónica y paradigmática, y como tal marca una pauta a lo largo de veintidós siglos. Platón es la figura central en todos los sentidos, su actividad es la que confiere un estatuto gnoseológico y ontológico a la geometría griega. Además, creó un entorno académico donde se potenciaron hasta el paroxismo los estudios geométricos. Finalmente, en este itinerario inverso, llegamos a Pitágoras en su calidad de pionero instaurador de la tradición matemática griega y artífice de su fundamentación filosófica e ideológica. La tradición matemática de la escuela de Pitágoras será recogida por Platón para ponerla en manos de Euclides, que en la compilación de los Elementos creará un modelo estructural paradigmático.


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La matemática griega clásica se desarrolló en diversos centros o escuelas, cada uno de los cuales se basaba en la obra de sus predecesores. En cada uno de estos centros había un grupo más o menos informal de matemáticos dirigido por uno o más sabios. La primera de estas escuelas, la escuela jónica, fue fundada por Tales y a ella pertenecieron los filósofos Anaximandro, Anaxímenes y Anaxágoras; en ella debió aprender tal vez Pitágoras, que mas tarde fundaría su propia escuela pitagórica en Crotona, al sur de Italia, en la que sobresalieron Hipasos, Teodoro, Hipócrates de Quíos y Arquitas. Hacia finales del siglo VI, Jenófanes emigró de Jonia a Sicilia y fundó un centro al que pertenecieron Parménides y Zenón. A su vez estos se trasladaron a Elea y crearon un centro de gran poder de irradiación filosófica y matemática, la escuela de Elea. A Parménides

Platón Platón geometriza toda la realidad: lo físico, lo moral, lo estético y lo político,

en un ambicioso proyecto que quiere abarcar la globalidad del ser humano. La geometría se convierte en un instrumento heurístico medular de toda su obra, que recoge el pálpito y el sentir de toda la cultura griega.

En el Comentario de Proclo, se dice: "Después de ellos [los pitagóricos] vivió Platón, que dio a las matemáticas en general, y a la geometría en particular, inmenso impulso gracias al celo que desplegó por ellas y del que son testimonio suficiente sus escritos llenos de discursos matemáticos, y que, a cada momento, despiertan el entusiasmo por estas ciencias en aquellos que se entregan a la filosofía".

Platón con sus discípulos en la Academia de Atenas (mosaico procedente de Pompeya. Museo Arqueológico. Nápoles) Con la fundación en 387 a.C. de la Academia de Atenas. Platón creó el centro más importante de irradiacion matemática y filosófica de la antigüedad.


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se le llama el padre de la metafísica y a su discípulo Zenón el padre de la dialéctica. Los sofistas comenzaron su actividad, que desarrollaron principalmente en Atenas, a mediados del siglo V a.C., siendo Hipias, Brisson y Antifón sus representantes más famosos.

La dispersión de la comunidad pitagórica produce un éxodo hacia el Ática (la región de Atenas) que contribuirá a la formación de la más importante de todas las escuelas, la Academia de Atenas, fundada por Platón, centro de actividad intelectual sin precedentes en el mundo antiguo. Sus componentes: Teeteto, Eudoxo, los hermanos Menecmo y Dinostrato y otros discípulos de Platón, fueron los más grandes matemáticos de su época. Además, la Academia conservó siempre, hasta su cierre por Justiniano en el año 529, su preeminencia como centro del pensamiento filosófico de la antigüedad, incluso después de que la actividad científica se desplazara a Alejandría. De ella se desgajarían Aristóteles, para fundar el Liceo, que descollaría en filosofía y en ciencia natural, y Eudoxo, que fundaría en Cízico, al norte de Asia Menor, su propia escuela de geometría y astronomía. Hacia el siglo III a.C., casi toda la actividad científica bascula hacia Alejandría, que pasa a ser el núcleo fundamental de irradiación científica de la antigüedad con figuras tan señeras como Euclides, Aristarco, Hiparco, Menelao y Eratóstenes y, más tardíamente, ya en nuestra era, con Ptolomeo, Herón, Nicóma-co, Diofanto y Pappus.

No todos los grandes matemáticos griegos pueden identificarse con una determinada escuela, hay muy honrosas excepciones como Demócrito, Apolonio y Arquímedes, que por sí mismos constituyen poderosas individualidades científicas.

Características de la matemática griega

Cuatro son los aspectos fundamentales que caracterizan y estructuran las matemáticas griegas: la organización deductiva, la orientación geométrica, la consideración de ciencia liberal y desinteresada y la vinculación estrecha de la matemática con la filosofía.

La organización deductiva es el canon paradigmático de exposición de la matemática griega, donde se persigue un rigor impecable e implacable; la orientación geométrica, incluso en aspectos aritméticos de la teoría de números, fue una de las consecuencias más notables de la crisis producida por la aparición de las magnitudes inconmensurables. Fue en el uso de figuras geométricas donde más lejos llevaron los griegos sus investigaciones sobre representaciones sim-bólicas, advirtiendo la posibilidad de descomponer las figuras en elementos, de determinar las reglas de construcción autorizadas y de descubrir las propiedades que parecen estar ya presentes en las figuras, "que son inherentes a las figuras" como diría Arquímedes.


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Según Aristóteles, sólo la matemática desinteresada y no utilitaria es digna de una educación liberal: "Ser libre significa ser su propia causa". Debían estudiarse por afición y amor al saber en sí mismo, es decir por filosofía y para la filosofía. Para Platón la ciencia desinteresada tiene su fin en sí misma y es la actividad suprema.

Es un tópico común poner de relieve la contribución fundamental de las matemáticas griegas al desarrollo de la ciencia en Occidente. La denominación misma de matemáticas y matemáticos es de origen griego, mathema significa en griego lo que se enseña, es decir todas las formas de conocimiento.

Las principales fuentes de la matemática griega

Paradójicamente las fuentes de las que procede nuestro conocimiento de la geometría griega son menos fiables y directas que las de la matemática

La Escuela de Atenas La Escuela de Atenas es un grandioso fresco de las estancias del Vaticano, en el que

el artista renacentista Rafael rindió un magnífico homenaje a la investigación racional de la verdad en el mundo griego, concentrando a los sabios, filósofos y matemáticos más eminentes de la antigüedad. En este venerable templo de la sabiduría aparecen representados, entre otros, Pitágoras (que expone su teoría musical), Heráclito (con el rostro de Miguel Ángel), Parménides, Zenón, Sócrates (platicando con sus discípulos), Platón (con la cara de Leonardo), Aristóteles, Diógenes, Eucides (con el rostro de Bramante) y Ptolome, Platón y Aristóteles, en un claro ejercicio de jerarquía intelectual, ocupan la parte central del cuadro. El artista los plasma como complementarios en su armonía amistosa: Platón sostiene con una mano el diálogo Timeo (donde expone su cosmología) y eleva hacia cielo el dedo índice de la otra mano como indicando lo ideal y lo sublime, mientras Aristóteles sostiene con una mano el volumen de la Ética y tiende adelante el otro brazo con la palma de la mano vuelta hacia el suelo, corno señalando lo inmediato, lo concreto y lo terrenal. En los gestos de ambos filósofos está sintetizada la esencia de sus doctrinas con una capacidad casi milagrosa de concentrar en imágenes simples las más complejas ideas.


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prehelénica. En realidad no se dispone de ningún manuscrito original de los matemáticos griegos importantes. El papiro es un material de frágil consistencia y las vicisitudes políticas y militares del mundo griego provocaron muchas veces la destrucción de sus grandes bibliotecas y la desaparición para la posteridad de sus escritos originales.

Las principales fuentes de las matemáticas griegas son los códices bizantinos escritos entre 500 y 1500 años después de ser escritas las obras originales. Pero estos códices no son reproducciones literales sino ediciones críticas en las que no se puede saber exactamente qué cambios imprimieron los editores. También existen traducciones al árabe de algunas obras y versiones latinas de las mismas. De nuevo no podemos saber qué cambios introducían los traductores y hasta qué punto entendían los textos originales. Incluso los textos griegos utilizados por los escritores bizantinos y árabes pudieron ser de autenticidad dudosa. En cualquier caso, lo cierto es que nos han llegado las obras de Euclides, Apolonio, Arquímedes, Ptolomeo, Diofanto y de algunos otros matemáticos menores.

El teorema de Pitágoras en la primera impresión de los Elementos de Euclides editada en Venecia hacia 1482 utilizando la traducción latina de Campano de Novara.


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Estas obras son grandes memorias científicas, de una elaboración muy refinada y exquisita hasta el detalle, pero, por la metodología de exposición y por suponer conocida toda la matemática anterior, dan muy poca información sobre los métodos de descubrimiento.

Sabemos que los griegos escribieron algunas historias de las matemáticas. La más famosa es La historia de la geometría de Eudemo, miembro del Liceo aristotélico. Estas historias se han perdido irremediablemente salvo algunos fragmentos que fueron citados por autores posteriores.

Portada de las Obras de Arquímedes, edición de Maurólico de 1685. Biblioteca de la Universidad de Pavia.


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Además de las obras de los citados, hay que mencionar a dos comentaristas importantes. El primero es Pappus de Alejandría, que escribió una voluminosa obra. La colección matemática, que se conserva casi en su totalidad en una copia del siglo XII. Este tratado tiene un valor histórico y matemático excepcional ya que se trata de una exposición de buena parte de la obra de los matemáticos grie-gos clásicos y alejandrinos (complementada con un considerable número de lemas y teoremas que Pappus añade para facilitar la comprensión) que tiene la virtualidad (sobre todo el Libro VII llamado Tesoro del análisis) de no estar

Página de las Cónicas de Apolonio, edición de Borelli de 1679. Biblioteca de la Universidad de Pavia.


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redactada en el estilo euclídeo axiomático-deductivo, sino escrita de tal forma que queda patente la vía heurística que conducía a los resultados matemáticos.

Otro comentarista muy importante es Proclo, que extrajo mucho material de los textos originales. Su obra más importante es el Comentario al Libro I de los Elementos do Euclides, en la que, basándose en una modificación del Fragmento de Eudemo, da unas valiosísimas referencias biográficas y bibliográficas que constituyen un resumen sumario de la historia de las matemáticas griegas desde sus orígenes hasta Euclides, y que tiene la excepcional importancia de ser uno de los escasos documentos escritos sobre los primeros matemáticos griegos.

Aparte de las ediciones y versiones posteriores de los clásicos griegos, La colección matemática de Pappus y el Comentario de Proclo son las dos fuentes principales para la historia de la matemática griega.

Página de Colección matemática de Pappus, edición de F. Commandino, 1670.


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No obstante, otras fuentes no estrictamente matemáticas han sido de enorme valor. En particular algunos de los diálogos de Platón como La República, Menón y Timeo, así como Lógica (Analíticas), Física, Metafísica y Del cielo de Aristóteles. En los aspectos biográficos, dignas son de considerar otras obras como Vidas de filósofos de Diógenes Laercio y diversos tratados de Plutarco, Porfirio, Jámblico, Sexto Empírico y Cicerón.

En vista de lo exiguo de las fuentes históricas primarias, la reconstrucción de la historia de la matemática griega ha sido una tarea ingente y compleja realizada sobre todo a lo largo del siglo XX gracias a los grandes esfuerzos de helenistas, matemáticos e historiadores, entre los que debemos destacar a Heiberg, Tannery, Zeuthen, Neugebauer, Heath y Van der Waerden.

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