31/03/2015

1

Elasticidad Luis Carlos Moreno Fuentes

Gua Libro: TIPPENS Conceptos de Fsica

El salto BUNGEE utiliza una larga cuerda elstica que se estira hasta que llega a una longitud mxima que es proporcional al peso del saltador. La elasticidad de la cuerda determina la amplitud de las vibraciones resultantes. Si se excede el lmite elstico de la cuerda, sta se romper.

Captulo 13. Elasticidad

Photo Vol. 10

PhotoDisk/Getty

31/03/2015

2

Objetivos: Despus de completar este mdulo, deber:

O Demostrar su comprensin de elasticidad, lmite

elstico, esfuerzo, deformacin y resistencia a la

rotura.

O Escribir y aplicar frmulas para calcular mdulo

de Young, mdulo de corte y mdulo volumtrico.

O Resolver problemas que involucren cada uno de

los parmetros en los objetivos anteriores.

31/03/2015

3

Pregunta O Cual se estirar ms aplicando una misma fuerza, un

resorte de aluminio o uno de acero que tengan las

mismas dimensiones?

Propiedades elsticas de la materia

Un cuerpo elstico es aquel que regresa a su

forma original despus de una deformacin.

Bola de

golf

Baln de

futbol

liga de goma

31/03/2015

4

Propiedades elsticas de la materia

Un cuerpo inelstico es aquel que no regresa a su

forma original despus de una deformacin.

Masa o pan Barro Bola inelstica

Elstico o inelstico?

Una colisin elstica no pierde energa. La deformacin en la colisin se restaura por completo.

En una colisin inelstica se pierde energa y la deformacin puede ser permanente. (Clic aqu.)

31/03/2015

5

Un resorte elstico

Un resorte es un ejemplo de un cuerpo elstico

que se puede deformar al estirarse.

Una fuerza restauradora,

Fr , acta en la direccin

opuesta al desplazamiento

del cuerpo en oscilacin.

Fr = -kx

x F

La fuerza descendente F

causa el desplazamiento x.

Fr

Ley de Hooke

Cuando un resorte se estira, hay una fuerza restauradora que es proporcional al desplazamiento.

Fr = -k x

La constante de resorte k es una propiedad del resorte dada por:

La constante de resorte k es una

medida de la elasticidad del resorte.

x

F k x

=

Fr

31/03/2015

6

Esfuerzo y deformacin

Esfuerzo se refiere a la causa de una deformacin, y

deformacin se refiere a su efecto, es decir a la alteracin

de la forma en s misma.

x F

Por tanto, el esfuerzo es la

relacin de una fuerza aplicada

y el rea sobre la cual acta; la

deformacin es el cambio

relativo de las dimensiones

resultante del esfuerzo.

31/03/2015

7

Tipos de esfuerzo Un esfuerzo de tensin ocurre

cuando fuerzas iguales y

opuestas se dirigen alejndose

mutuamente.

Un esfuerzo de compresin

ocurre cuando fuerzas

iguales y opuestas se dirigen

una hacia la otra.

F

W

Tensin

F

W

Compresin

Un esfuerzo cortante ocurre cuando fuerzas iguales

y opuestas no tienen la misma lnea de accin.

cortante

31/03/2015

8

Resumen de definiciones

Esfuerzo () es la razn de una fuerza

aplicada F al rea A sobre la que acta:

Deformacin () (llamada tambin deformacin unitaria) es

el cambio relativo en las dimensiones o forma de un cuerpo

como resultado de un esfuerzo aplicado:

Ejemplos: Cambio en longitud por unidad de

longitud; cambio en volumen por unidad de

volumen. L/L , V/V

F

A =

22 o Pa :

in

lb

m

NUnidades =

Esfuerzo y deformacin longitudinales

L

L

A

A F

Para alambres, varillas y

barras, existe un esfuerzo

longitudinal F/A que

produce un cambio en

longitud por unidad de

longitud. En tales casos:

F Esfuerzo

A =

L Deformacin

L

=

31/03/2015

9

Diagrama Esfuerzo Vs Deformacin

zona plstica. En esta

zona, al cesar la tensin

sometida, el material ya

no recupera su longitud

inicial lo. Las

deformaciones son

permanentes.

zona elstica. En esta

zona, el material

recupera su longitud

inicial lo cuando cesa

la tensin a la que se

somete

Ejemplo 1. Un alambre de acero de 10 m de largo y 2 mm de dimetro se une al techo y a su

extremo se une un peso de 200 N. Cul es el esfuerzo aplicado?

L

L

A

A F

Primero encuentre el rea del

alambre: 2 2(0.002 m)

4 4

DA

= =

A = 3.14 x 10-6 m2

Esfuerzo

6.37 x 107 Pa 26 m 10 x 3 .14

N 200

==A

FE sfuerzo

31/03/2015

10

Ejemplo 1 (Cont.) Un alambre de acero de 10 m se estira 3.08 mm debido a la carga de 200 N. Cul es la deformacin longitudinal?

L

L

Dado: L = 10 m; L = 3.08 mm

Deformacin longitudinal

3.08 x 10-4

m 10

m 0.00308=

=

L

LnDeform aci

El lmite elstico El lmite elstico es el esfuerzo mximo que un cuerpo puede

experimentar sin quedar deformado permanentemente.

W

W

2 m

Si el esfuerzo supera el lmite elstico, la

longitud final ser mayor que los 2 m originales.

Bien

Ms all del

lmite

F

W

2 m

F Esfuerzo

A =

31/03/2015

11

Resistencia a la rotura La resistencia a la rotura es el esfuerzo mximo que un

cuerpo puede experimentar sin romperse.

Si el esfuerzo supera la resistencia a la

rotura, la cuerda se rompe!

W

W

F

W W

W

2 m

F Esfuerzo

A =

Ejemplo 2. El lmite elstico para el acero es 2.48 x 108 Pa. Cul es el peso mximo que puede soportar sin superar el lmite elstico? A = 3.14 x 10-6 m2

L

L

A

A F

F = (2.48 x 108 Pa) A

F = (2.48 x 108 Pa)(3.14 x 10-6 m2) F = 779 N

Pa 10 x 2 .48 8==A

FE sfuerzo

31/03/2015

12

Ejemplo 2 (Cont.) La resistencia a la rotura para el acero es 4089 x 108 Pa. Cul es el peso mximo que puede soportar sin romper el alambre?

L

L

A

A F

Recuerde: A = 3.14 x 10-6 m2

F = (4.89 x 108 Pa) A

F = (4.89 x 108 Pa)(3.14 x 10-6 m2) F = 1536 N

P a 10 4 .89 8==A

FE sfuerzo

El mdulo de Young o mdulo de

elasticidad longitudinal es un parmetro

que caracteriza el comportamiento de un

material elstico, segn la direccin en la

que se aplica una fuerza.

Este comportamiento fue observado y

estudiado por el cientfico ingls Thomas

Young

31/03/2015

13

Mdulo de Young (Modulo elstico)

Para materiales cuya longitud es mucho mayor que el

ancho o espesor, se tiene preocupacin por el mdulo

longitudinal de elasticidad, o mdulo de Young (Y),

tambin se encuentra como E.

/

/

F A FLY

L L A L= =

inaln longituddeformaci

longitudinaesfuerzo l=Y

2

lb

in Unidades: Pa o

31/03/2015

14

El mdulo de elasticidad

Siempre que el lmite elstico no se supere,

una deformacin elstica (deformacin

unitaria) es directamente proporcional a la

magnitud de la fuerza aplicada por unidad de

rea (esfuerzo).

ndeformaci

esfuerzo=delasticida de Mdulo

Ejemplo 3. El esfuerzo aplicado al alambre de acero es de 6.37 x 107 Pa y la deformacin de 3.08 x 10-4. Encuentre el mdulo de elasticidad para el acero.

L

L Mdulo = 207 x 109 Pa

Este mdulo de elasticidad longitudinal se llama

mdulo de Young y se denota con el smbolo Y.

4

7

1008.3

Pa106.37

==

ndeform aci

esfuerzoMdulo

31/03/2015

15

Ejemplo 4: El mdulo de Young para el latn es 8.96 x 1011 Pa. Un peso de 120 N se une a un alambre de latn de 8 m de largo; encuentre el aumento en longitud. El dimetro es 1.5 mm.

8 m

L

120 N Primero encuentre el rea del alambre:

2 2(0.0015 m)

4 4

DA

= = A = 1.77 x 10-6 m2

or FL FL

Y LA L AY

= =

Ejemplo 4: (continuacin)

8 m

L

120 N

Y = 8.96 x 1011 Pa; F = 120 N;

L = 8 m; A = 1.77 x 10-6 m2

F = 120 N; L = ?

or FL FL

Y LA L AY

= =

-6 2 11

(120 N)(8.00 m)

(1.77 x 10 m )(8.96 x 10 Pa)

FLL

AY = =

L = 0.605 mm Aumento en longitud:

31/03/2015

16

Mdulo de corte

A

F F

f l

d

Un esfuerzo cortante altera slo la forma del cuerpo y deja el volumen invariable. Por ejemplo, considere las fuerzas cortantes iguales y opuestas F que actan sobre el cubo siguiente:

La fuerza cortante F produce un ngulo

cortante f. El ngulo f es la deformacin y el esfuerzo est dado por F/A como antes.

Clculo del mdulo de corte o cilladura

F F f l

d A

La deformacin es el ngulo expresado en radianes:

El esfuerzo es fuerza por unidad de rea:

El mdulo de corte S se define como la razn del

esfuerzo cortante F/A a la deformacin de corte f:

Mdulo de corte:

unidades en pascales.

F Esfuerzo

A =

l

dnDeformaci === ff tan

Nota: es tan pequeo que es igual a la tan

ftan

/ AFS =

31/03/2015

17

Ejemplo 5. Un perno de acero (S = 8.27 x 1010 Pa) de 1 cm de dimetro se proyecta 4 cm desde la pared. Al extremo se

aplica una fuerza cortante de 36,000 N. Cul es la desviacin d del perno?

d

l

F

2 2(0.01 m)

4 4

DA

= =

rea: A = 7.85 x 10-5 m2

; F A F A Fl Fl

S dd l Ad ASf

= = = =

-5 2 10

(36,000 N)(0.04 m)

(7.85 x 10 m )(8.27 x 10 Pa)d = d = 0.222 mm

Elasticidad volumtrica No todas las deformaciones son lineales. A veces un

esfuerzo aplicado F/A resulta en una disminucin del

volumen. En tales casos, existe un mdulo

volumtrico B de elasticidad.

El mdulo volumtrico es negativo

debido a la disminucin en V.

VV

AF

avolumtric ndeformaci

ovolumtric esfuerzoB

==

31/03/2015

18

El mdulo volumtrico

Dado que F/A por lo general es la presin P, se puede escribir:

/

P PVB

V V V

= =

Las unidades siguen siendo pascales (Pa) pues la deformacin es adimensional.

VV

AF

avolumtric ndeformaci

ovolumtric esfuerzoB

==

Ejemplo 7. Una prensa hidrosttica contiene 5 litros de aceite. Encuentre la disminucin en volumen del

aceite si se sujeta a una presin de 3000 kPa. (Suponga que B = 1700 MPa.)

/

P PVB

V V V

= =

6

9

(3 x 10 Pa)(5 L)

(1.70 x 10 Pa)

PVV

B

= =

V = -8.82 mL Disminucin en V;

mililitros (mL):

31/03/2015

19

Resumen: Elstico e inelstico

Un cuerpo inelstico es aquel que no regresa a su

forma original despus de una deformacin.

En una colisin inelstica, se pierde energa y la deformacin puede ser permanente.

Una colisin elstica no pierde energa. La deformacin en la colisin se restaura completamente.

Un cuerpo elstico es aquel que regresa a su

forma original despus de una deformacin.

Un esfuerzo de tensin ocurre

cuando fuerzas iguales y

opuestas se dirigen alejndose

mutuamente.

Un esfuerzo de compresin

ocurre cuando fuerzas iguales

y opuestas se dirigen una

hacia la otra.

F

W Tensin

F

W

Compresin

Resumen

Tipos de esfuerzo

31/03/2015

20

Resumen de definiciones

El esfuerzo es la razn de una fuerza aplicada

F al rea A sobre la que acta:

La deformacin es el cambio relativo en dimensiones o

forma de un cuerpo como resultado de un esfuerzo aplicado:

Ejemplos: Cambio en longitud por unidad de

longitud; cambio en volumen por unidad de volumen.

F Esfuerzo

A =

22 o Pa

in

lb

m

NUnidades ==

Esfuerzo y deformacin longitudinales

L

L

A

A F

Para alambres, varillas y

barras, hay un esfuerzo

longitudinal F/A que

produce un cambio en

longitud por unidad de

longitud. En tales casos:

F Esfuerzo

A =

L Deformacin

L

=

31/03/2015

21

El lmite elstico

El lmite elstico es el esfuerzo mximo que un

cuerpo puede experimentar sin quedar

permanentemente deformado.

La resistencia a la rotura es el mayor estrs que

un cuerpo puede experimentar sin romperse.

La resistencia a la rotura

Mdulo de Young Para materiales cuya longitud es mucho mayor que el

ancho o el espesor, se tiene preocupacin por el

mdulo longitudinal de elasticidad, o mdulo de

Young Y.

/

/

F A FLY

L L A L= =

allongitudin ndeformaci

allongitudin esfuerzoYoung de Mdulo =

22 o Pa

in

lb

m

NUnidades ==

31/03/2015

22

El mdulo de corte o cilladura

F F f l

d A

La deformacin es el ngulo expresado en radianes:

Esfuerzo es fuerza por unidad de rea:

El mdulo de corte S se define como la razn del

esfuerzo cortante F/A a la deformacin de corte f:

El mdulo de corte: sus

unidades son pascales.

F AS

f=

F Esfuerzo

A =

d Deformacin l

f = =

El mdulo volumtrico

Puesto que F/A por lo general es presin P, se puede escribir:

/

P PVB

V V V

= =

Las unidades siguen siendo pascales (Pa) pues la deformacin es adimensional.

VV

AF

avolumtric ndeformaci

ovolumtric esfuerzoB

==

31/03/2015

23

Las constantes elsticas que reciben el nombre de mdulo elstico son las

siguientes:

Mdulo de Young se designa usualmente por E\,. Est asociado directamente con

los cambios de longitud que experimenta un cable, un alambre, una varilla, etc.

cuando est sometido a la accin de tensiones de traccin o de compresin. Por

esa razn se le llama tambin mdulo elstico longitudinal.

Mdulo de compresibilidad se designa usualmente por K\,. Est asociado con los

cambios de volumen que experimenta un material bajo la accin de esfuerzos

(generalmente compresores) que actan perpendicularmente a su superficie. No

implica cambio de forma, tan solo de volumen.

Mdulo elstico transversal se designa usualmente por G\,. Est asociado con el

cambio de forma que experimenta un material bajo la accin de esfuerzos

cortantes. No implica cambios de volumen, tan solo de forma. Tambin se le llama

mdulo elstico tangencial y mdulo elstico cortante

31/03/2015

24

Fin