Elect Chap1

5/26/2018 Elect Chap1

1/24

1

COURS DCOURS DELECTROSTATIQUEELECTROSTATIQUE

[email protected]

Laboratoire Hubert CurienSite Carnot

PlanPlan

A - CHAMP ELECTRIQUE

POTENTIEL ELECTRIQUE

B - ELECTROSTATIQUE DES CONDUCTEURS (enquilibre)

C - ENERGIE ELECTROSTATIQUE


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2

Cours Electrostatique Charge lectrique Potentiel lectrique - 3

Structure de la matire :

Particules lmentaires caractrises par :

Masse

Charge

Spin

Parit

Proprits abstraites ou familres

I CHARGES ELECTRIQUESI CHARGES ELECTRIQUES

Charge : Expriences d'lectricit statique

Tout le monde a dj vcu l'exprience dsagrable d'une "dcharge lectrique".

Attraction de corps lgers avec des corps frotts

.

CHAMP ELECTRIQUECHAMP ELECTRIQUE -- POTENTIEL ELECTRIQUEPOTENTIEL ELECTRIQUE


ExpExprience 1rience 1

Prenons une boule trs lgre en polystyrne par exemplerecouverte de mtal fin. Approchons ensuite une tige de verre oud'ambre pralablement frotte avec un tissu

Ambre

1

Rien ne se passe

Ambre

2

Electrisation par contact


3/24

3


Ambre

3

Rpulsion

Verre

4

Attraction

On fait donc apparaitre deux classes d'electricit :

Rpulsion si de mme classe (cas 3)

Attraction si de classe diffrente (cas 4)

Pas d'lectrisation neutre aucun effet

Vidos


Exprience 2

Qu'arrive-t-il si la force lectrique permet

au deux boules de se toucher?


4/24

4


La charge d'une particule lmentaire peut donc tre :

< 0 : cas des lectrons

> 0 : cas des protons

neutres : cas des neutrons (pas d'interaction lectrique)

Remarque : le signe


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5


II : INTERACTION ELEMENTAIREII : INTERACTION ELEMENTAIRE

LOI DE COULOMBLOI DE COULOMBII-1 Charges ponctuelles

2112 FFrr

=

M

P

q2

q1

12Fr

12rPMr

=

12ur

Loi de Coulomb :122

2112 u

r

qqkF

r

r

=

( )

( ).I.S1036

1ou

.I.S10.94

1kavec

90

9

0

=

=

0 : permittivit lectrique du "vide"

D'aprs le principe d'galit de l'action et de la raction :

21Fr

Dans ses expriences C. Coulomb a mise en vidence :

1 - La force est radiale, cest dire dirige selon la droite qui joint les deux charges

2 - Elle est proportionnelle au produit des charges : attractive si elles sont de signeoppos, rpulsive sinon ;

3 - Enfin, elle varie comme linverse du carr de la distance entre les deux charges.


Unit de la charge 1 Coulomb : ENORME

2 charges de mme signe de 1C chacune, situes 1km l'une de l'autre se

repoussent avec une force quivalents de "1 tonne" (masse quivalente)

II-2 Distribution de charges : Principe de superposition

II-2-a Ensemble de charges ponctuelles :

Action d'un systme q1,q2,q3,,qn sur une charge q0 en M

q0

L'exprience montre que : =j

j0 FFrr

Somme vectorielle :

=

=n

1j

0j2

0j

j

0

00 u

r

q

4

qF

r

r

=

z0

y0

x0

0

F

F

F

Fr

=

=n

1j

jxx0 FF


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6


II-2-b Distribution "continue" de charges :

Action d'une rpartition en volume (P) sur une charge q0 en M

d

P

M

PMr=r

V q0MF

r

r

ruavec PM

r

r

=( ) 3V 0

0M

r

rdP

4

qF

r

r

=

Remarques : * Intgrale triple qui se ramne souvent une intgrale simple* Cette criture peut se simplifier si une ou deux dimensions du volume V sont

infinies :1 dimension infinie par rapport aux autres :

densit surfacique (P)Intgrale double

2 dimensions infinies par rapport aux autres :densit linque(P)Intgrale simple


III : CHAMP ELECTRIQUEIII : CHAMP ELECTRIQUE

( ) ur

q

4

1ME

2

1

0

1

r

r

=

III-1 Dfinition

Une particule de charge q1 situe en P cre en tout point M de lespace distinct

de P un champ vectoriel :

appel champ lectrique. Lunit, du S.I., est le Volt/mtre (symbole V/m)

La force exerce sur une charge q2 se calcul facilement : ( )MEqF 122rr

=

Pour une distribution de charges le champ lectrique :

( ) =

=n

1j

j2

j

j

0

ur

q

4

1ME

r

r

j

j

jjjr

PMuetPMravec ==

r

Pour une distribution de charges "continue" le champ lectrique :

( ) =

3p

0 r

rd)P(

4

1ME

r

r


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7


Le champ lectrique est dcrit comme une proprit locale de l'espace, lie l'existenced'une rpartition de charge (agissantes)

( )MEqF 0Mrr

=

L'ensemble des charges ( ) cre en M un champ tel que si on met unecharge q0 en M, elle est soumise une force :

douqj MEr

Charge ponctuelle

M

P

q

ur

q

4

1E

2

0

M

r

r

=

ur

( )( )PMu-desensleE:0q

MPudesensleE:0qr

r

r

r


Distribution de charges : =j

MjM EErr

Principe de superpositionSomme vectorielle

III-2 Exemples de calcul

Deux charges ponctuelles identiques q1


8/24

8


( )

22

B22

1

0

A

A

dD

Dcos

EdD

q

4

1E

cosE2E

+=

=+

=

=

rr

rr

( ) ( ) 23

22

1

02222

1

0 dD

Dq

2

1

dD

D

dD

q

4

12E

+=

++=

r

( ) OM

OMuavecu

dD

Dq

2

1E

23

22

1

0

=+

= rr

r


Rpartition uniforme sur une droite infinie

MO

Pdl

Densit linque :

( )0dl

dQ>=

PEdr

dOM=

Charge "ponctuelle"

en P cre en M

dQdl=

PEdr

PM

PM

PM

dQ

4

1Ed

2

0

P

= r

=fil

PEdErr

Premire mthode :

=

=

fil

yy

fil

xx

dEE

dEEy

x


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9


Deuxime mthode :

+

=

=

==

=

0P

2

0'P,P

2

0

'P,P

P

'P,P

'P,P

cos.

PM

dl..

2

1cos.

PM

dQ.

4

1.2E

cos.dE.2dEE

EdErr

Considration de symtrie

MO

PdQ DOM=

dQP'

ur

PEdr

'PEd r

Edr

en P :

en P' :

P' symtrique de P par rapport

OM

PEddQr

'PEddQ r

PP EdsymtriqueEdrr

Ed

OMselonVecteurEdEdpp

r

rr

=

=+

OMselonE

OMselonEdlesor tousr

r

(dans ce cas dl>0)


OPddl

lOP

=

=

OMD

tg.DOP

=

=

=

=

2

22

2

cos

DPM

dcos

Ddl

[ ]D2

sinD

.2

1d.cos

D.

2

1E

d.cos

D

.

2

1d.cos.

D

.

2

1E

cosD

cos.d.

cos

D..

2

1E

0

20

0

2

00

0P00P 0

0P

2

2

2

0

=

=

=

=

=

=

=

=

+

+

+

uD2

E0

r

r

=


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10


IV : POTENTIEL ELECTRIQUEIV : POTENTIEL ELECTRIQUE

dl

IV-1 Energie potentielle lectrique

Systme deux charges : q et qtest de mme signe; >0 par exemple

Mi

Mf

O

q

qt

ur

Fr

Travail de la force au cours dudplacement Mi Mf de la charge qt

Fr

==

f

i

f

i

M

M

2

0

t

M

M

if dl.ur4

q.qdl.FW

r

r

drdl,ucos.dl.1dl.uet == rr

=

f

i

M

M

2t

0

ifr

dr.q.q.

4

1W

=

if

t

0

ifr

1

r

1.q.q.

4

1W

Le travail de la force lectrique ne dpend pas du chemin suiviFr

ForceConservatrice


On crit : UW =Variation de l'nergie potentielle lectrique

=

if

t

0 r

1

r

1.q.q.

4

1U

Energie potentielle lectrique U est dfinie une constante prs :

te

t0

Cr

1

.q.q.4

1

U +=

On prend comme valeur de rfrence : = rlorsque0U

r

q.q.

4

1U t

0=d'o :

U reprsente le travail fournir pour "Construire" le systme : c'est--dire pour amener qet qt depuis l'infini jusqu' la distance r l'une de l'autre.


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11


IV-2 Potentiel lectrique

IV-2-a :On pose :r1

4q

qUV

0t == V serait l'nergie potentielle lectrique par unit

de charge test

V(M) caractristique de q (et de M) dpend (comme U) d'une rfrence arbitraire : ici V=0 l'infini (si pas

de charges agissantes l'infini) ce n'est pas une nergie (J/C)

Unit : Volt

IV-2-b : On calcule la circulation de d une charge ponctuelle q :

=

=

==

f

i

2

0

f

i

2

0

f

i

r

dr

4

qC

dl.udrordl.ur

1.

4

qdl.EC

rr

r

=

if0 r

1

r

1

4

qC Ne dpend pas

du trajet

Er

VC =


La charge ponctuelle q : ( )r

1

4

qMV

0=

(Somme scalaire)

Distribution de charges : Principe de superposition

( ) = j jj

0 r

q

4

1rV

( ) ( )

=

V

P

PM0

dr

P

4

1rV

ou

d

P

M

V

Charges de volume Vfini pour que l'hypothse V()=0 reste valable

On dit que le champ lectrique drive d'un potentiel V :Er

Vdl.E

f

i

= r


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12


IV-3 Travail de la force lectrique

On a vu que pour un systme de deux charges ponctuelles q et q t, le travail de ( )tqF

r

( )ifif

UUUW ==

d'o; avec

tq

UV=

( )fitif VV.qW =

Cas gnral:Distribution de charges cre un champ lectrique ; c'est--dire un potentiellectrique V(M).Quand on dplace un charge q dans ce champ, elle est soumise une forceet le travail entre A et B s'crit :

( )MEr

EqFrr

=

( )BAAB

VV.qW =


IV-4 Relation gnrale Champ - Potentiel

On a vu que : Vdl.E

f

i

= r

c..d

dVdl.E =r

Dans un repre O,x,y,z:

dz

dy

dx

dlet

E

E

E

E

z

y

x

==r

dzz

V

dyy

V

dxx

V

dV

exactetotaleellediffrentidV

dzEdyEdxEdl.E zyx

+

+

=

=

++=r

d'o par identification :z

VE;

y

VE;

x

VE zyx

=

=

=

( )VgradE =r La composante du vecteur champ

lectrique suivant un direction lquelconque est donne par:

l

VE l

=


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13


Le champ lectrique est perpendiculaire la surface quipotentielle passant par M.

Les lignes de force du champ sont perpendiculaire aux surfaces quipotentielles

Surface quipotentielle : toute surface telle que ( ) teCMV =

( )VgradLe vecteur est orthogonal la surface quipotentielle passant par M.

Dmonstration : soit un point M o

V

Ev

( )VgradE =r

On envisage une circulation lmentaire de , de M M' sur la surface quipotentielleV(M) .

Er

( ) ( )

( ) 0dl.Vgrad

0dVdl.EdC

MV'MV

=

===

=r

( )

( ) iellequipotentSurfaceVgrad:o'd

surfacelasurdldlVgrad

dl'MM =

( )MEr

Ev


IV-5 Exemples

IV-5-a : champ et potentiel d'un diple lectrique

Potentiel en M :

=

=

BA

BA

0

AB0

rr

rr

4

qV

r

q

r

q

4

1V

Dans le cas o : OM >>ABc'est--dire : r >> d

A(-q)

B

(+q)

M

rA rBr

O

AEr

BEr

dAB =

( ) ( )

( ) ( )

( )2

0

222

2

BABA

BA

r

cosd

4

qV

rcos4

drrretcosdrr

cos2

drretcos

2

drr

+


14/24

14


Champ en M :

On a : ( )VgradE =

r

toujours dans l'hypothse r >> d

Coordonnes polaires : ( ) ( ) rd,drdMetE,EE rr

Composante radiale (selon OM)

3

0

rr

cosd

2

q

r

VE

=

=

Composante orthoradiale (selon OM)

3

0 r

sind

4

qV

r

1E

=

=

Remarque : Dans le cas r quelconque on calcule:

+

=

+=

B2

B

A2

A0

BA

ur

qu

r

q

4

1

EEE

rr

rrr

( )

=

z

Vy

Vx

V

Vgrad

( )

=

z

V

V1

V

Vgrad

( )

=

V

sinr

1

V

r

1r

V

Vgrad

Coordonnescartsiennes

Coordonnescylindriques

Coordonnessphriques


IV-5-b : potentiel d'un fil infini portant charge par unit de longueur

MH

Er

0>

ur

ux2

ExHM0

r

r

==

PotentielProblme des charges

l'infini

( ) ( )[ ]AB

0

B

A

BA

xlnxln2

dM.EVV

=

=

On peut prendre comme potentiel lectrique d au fil charg :

( ) te

0

Cxln2

V +

= On voit bien que pour x V0

Le fil tant infini, on ne peut pas prendre le potentiel nul l'infini ;la constante devra tre dtermine en choisissant arbitrairementla position correspondant au potentiel nul.


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15


V FLUX de EV FLUX de E -- THEOREME DE GAUSSTHEOREME DE GAUSS

V-1-a Angle solide

La notion dangle solide est lextension dans lespace de langle dfini dans un plan. Parexemple, le cne de lumire construit par lensemble des rayons lumineux issus dune

lampe torche

Dfinition :

langle solide lmentaire d, dlimit par un cne coupant un lment de

surface lmentaire dS situe une distance r de son sommet O vaut

OdS

r

O

d 2r

dSd =

Cet angle solide est toujours positif et indpendant de la distance r. Son unit est le stradian (symbole sr)

O


En coordonnes sphriques = ddsinrdS 2

( )===

=

cos12dsindd

ddsind

0

2

0

( )

( ) sr4cos12completespaceL'

sr2cos122

espace-demiLe

===

==

=

Quelques valeurs typiques

Dune faon gnrale, le cne peut intercepter une

surface quelconque, dont la normale n fait un angle .Langle solide lmentaire est alors dfini par :

2222r

Sd

r

cosdS

r

undS

r

udSd

=

=

=

=

rrr

dS est la surface effective ou "vue" par un observateur situen O.

OSd

dS

nr

ur


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16


V-1-b Flux d'un champ de vecteurs B

Chaque lment dS est caractris par un vecteur

Le flux de B travers dS estn.dSdS

r

=dS.n.BdS.Bd

r

rr

==

Le flux de B travers toute la surface est : = S dS.Br

V-2 Flux du champ lectrique E

V-2-a Charge ponctuelle :

M

O

q>0

ur

q

4

1E

2

0

M

r

r

=

ur

r

ur

q>0O

nr

M

MEr

r

dS

Surface lmentaire dS

dS.Edr

=


=

=

=

=

d4

qd

cosnucarr

cosdS

4

qd

dSnr

u

4

qd

0

2

0

2

0

rr

r

r

Angle solide sous lequel on voit dS depuis O.

d = surface algbrique dcoupe sur lasphre de centre O et de rayon unit, par lecne de sommet O s'appuyant sur dS.

Flux travers un surface finie S (non ferme)

=

==

S0

S0

S

d4

q

d4

qdSE

r

S

1dS

2dS

3dS

Oq

(2)

(1)


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17


Cne (1) : Le flux algbrique est nul car :

2

2

2222

1

111r

cosdSdr

cosdSd

==

=

Cne (2) : Le flux algbrique n'est pas nul

Flux travers un surface S ferme

Si q est l'extrieur de S :tous les cnes de sommet O (q) sont du type (1)

0dSEdoncet

0d

S

S

==

=

r

Si q est l'intrieur de S :

0S

S

qdSEdoncet

4d

==

=

r


V-2-b Distribution de Charges :

En utilisant le principe de superposition : =j

jEErr

{

==

=

=

=

j

Sj

S

j

j

j

j

dSEdSE:od'

ddSEd

dSEd

rr

r

r

Cas d'une surface S ferme

==j

Sj

SdSEdSE

rr

Si qj l'extrieur de S 0j=

0

j

j

q

=Si qj l'intrieur de S

Si qj sur S

0

j

j2

q

=

0

.surf

0

.int

S 2

qqdSE

+

==

r

Rsultat vrai que ladistribution de charge soit

discrte ou continue.


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18


V-2-c Gnralisation : Thorme de Gauss

Le flux du champ lectrique, cre par une distribution quelconque de charges, traversune surface ferme est gal au quotient par 0 de la somme des charges intrieures etde la demi-somme des charges superficielles, quelles que soient les charges extrieures.

0

.surf

0

.int

S 2

qqdSE

+

==

r

V-3 Application du Thorme de Gauss

V-3-a Forme des lignes (de force) du champ

2dS

2Er

1dS

1Er

Dans l'espace o il n'ya pas de charges Surface ferme forme parun tube de force limit pardeux section dS1 et dS2


Le flux travers cette surface est nul car q = 0

A l'aide du thorme de Gauss :

++

==

lat21 Slatlat

S22

S11

S

dSEdSEdSE

0dSE

rrr

r

0dSEdSE0dSEdSE

0dSEdSE

2211

2211

S22

S11

21

=+=+

=+

rr

rr

dS varie en sens inverse de E les lignes de champ convergent quand on va vers unezne de champ lev.

En particulier, proche des sources (charges) le champ est plus fort les lignes dechamp sont plus serres.

tangentestEcarr

tangentestEcar

0r

=


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19


V-3-a Calcul d'un champ lectrique

Le thorme de Gauss fournit une mthode trs utile pour calculer le champ E.

En effet, on peut prendre une surface S quelconque qui nous permettra de

calculer les qint et qsup. En revanche il est impossible d'aller plus loin si on ne

connait pas certaines caractristiques de E

Donc, le calcul de E cre par une distribution de charges (en utilisant le Th.

de Gauss) impose qu'on puisse dire "quelque chose" de l'allure de E et

qu'on ne choisisse pas S ferme au hasard!

La distribution de charges doit avoir des lments de symtrie La surface S ferme doit avoir les mmes symtries

eexploitablrendrelapour

dSEertransformdepossiblealorsestIlS

r

Remarque : Le principe de symtrie de Pierre Curie affirme que Lorsque les causesd'un phnomne possdent des lments de symtrie, ces lments de symtrie seretrouvent dans les effets. La rciproque n'est pas vraie, c'est--dire que les effets produitspeuvent tre plus symtriques que les causes


Exemples de calcul d'un champ lectriqueFil charg uniformment et infiniment long

MH

Er

0>

x

Symtrie de rvolution autour de l'axe du fil :

tete CxsiCestE

filautoujoursE

=

r

r

Surface S ferme = cylindre d'axe le fil,de rayon x et de hauteur h

==

=

=

+=

lat

latlat

bases

latbases

SS

SS

S

SSS

h.x..2.EdSEdSE

pointen toutdS//EcardSEdSE

pointen toutdSEcar0dSE

dSE

r

rr

rr

r

tete CxsiCestEcar =r

Surface de Gauss


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20


Thorme de Gauss :

0

surf

0

int

S

2

qqdSE

+

=

r

hq

0q

int

surf

=

=

00.x..2

Eh

h.x..2.E

=

=

Champ cre par un Plan infini portant une densit de charge uniforme :dS

dq=

0>

++

++

+++

+

+++

+

+++

++

+

++

++

++

M

H E

r

x

teteCxHMquetelMCestE

planauforcmentE

==

r

r

Le plan charg est un plan symtrie pour E

On choisit une surface ferme ayant le plan charg comme plan desymtrie :

donc, par exemple, un cylindre d'axe au plan charg, de longueur2x place symtriquement de part etd'autre du plan charg.


0>

++

++

+++

+

+++

+

+++

+

++

++

++

++

M

H Er

xx

Er

==

=

=

+=

bases

basesbases

lat

latbases

SS

SS

S

SSS

S.2.EdSEdSE

dS//EcardSEdSE

dSEcar0dSE

dSE

r

rr

rr

r

teteCxsiCestEcar =

r

Thorme de Gauss :

0

surf

0

int

S 2

qqdSE

+

=

r

Sq

0q

int

surf

=

=

00.2

ES

S.2.E"Gauss.Th"

=

=

Il s'agit ici de lanorme de E

Surface de Gauss


21/24

21


E

0

.2

0.2

0

Discontinuit

Er

ne dpend pas de la distance au plan

Il y a une discontinuit de E la travers du plan charg : on passe de E -E

Champ cre dans tout l'espace par une sphre () de rayon R, remplie de chargesavec une densit en volume uniforme : te

Cd

dq=

=

++

++

++

O

R+

+

+

+

+

+

+

0>Nous utiliserons ici les coordonnes sphriques

RrCRr0:,

te =

Les considration de symtrie donnent :

tete CrOMsiCE

radialestE

===

r

r

++


++

++

++

O

R+

+

+

+

+

+

+Er

M

0>r

On choisit une surface ferme pour appliquer lethorme de Gauss ayant donc une sphre de centreO et de rayon OM=r.

Cas r > R

0q

QR3

4q

r4.E

CrCEcardSE

dS//EcardSEdSE

sup

3

int

2

tete

S

SS

=

==

=

===

=

r

rr

Surface de Gauss

norme)(enr3

R

r4

QE

QR

3

41r4.E"Gauss.Th"

2

0

3

2

0

0

3

0

2

=

=

=

=

Tout se passe (pourr>R) comme si lacharge tait en O


22/24

22


Potentiel V

( ) ( )

( ) ( ) 0Vavecr4

QrV

drr4

QdrEVrV

drEdlEdV

0

r

2

0

r

=

=

==

==

r

Mme rsultat (pour r>R) que si on a une charge ponctuelle Q en 0

Cas r = R

Pas de charges superficielles sur la "surface de Gauss" car en volume.

Le calcul prcdent s'applique avec r=R

0

2

03

R

R4

QE

=

= ( )0

2

03

R

R4

QRV

=

=


Cas r < R

+

+++

+

+

O

R

+

+++

+

+

+Er

M

0>

r

Surface de Gauss

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

+seulementen volumeestcar0q

r3

4q

r4.EdSE

tprcdemenquemmeDe

sup

3

int

2

S

=

=

=

r

0

3

0

2

3

rEr

3

41r4.E"Gauss.Th"

=

=

Potentiel V

( )

( )0

3

RRE

00E

=

=

Il y acontinuit

de EL'expression du champ lectrique trouv plus

haut n'est valable que sur le domaine r [0,R[,d'o ( ) ( )

( ) ( )

=

=

==

2

R

2

r

3rdr

3RVrV

EdrdlERVrV

22

0

r

R0

r

R

r

R

r


23/24

23


( ) ( ) 2

0

R2

RVconnuestRVmais

= ( ) ( )22

0

rR3

6

rV

=

r

R

03

R

( )rE

r

R

0

2

3

R

( )rV

0

2

2

R

Exercice :

refaire les calculs avec parexemple : ( ) teCkkrr ==


V-4 Formes Locales du thorme de Gauss

0

.surf

0

.int

S 2

qqdSE

+

==

r

Thorme de la divergence

( ) = VS d.EdivdSErr

Thorme

d'Ostrogradsky

O div(E) est un scalaire qui, en coordonnes cartsiennes s'exprime :

( )z

E

y

E

x

EEdiv z

yx

+

+

=

r

Supposons que les charges soient rparties de faon continue :

Le pt M, on aura dans l 'lment de volume d centr e sur M une charge d

= Vint dqod' (pas de qsurf) = V0Sd

1dSE

rTh. de GaussTh. de Gauss


24/24

24


En combinant les deux critures du flux, on obtient :

( )( )

=

=

=

V0

V

VS

V0

Sd

1d.Ediv

d.EdivdSE:divergenceladeTh.

d1dSE:GaussTh.

r

rr

r

Cette relation est vraie S

( )0

Ediv

=

r

Forme locale duthorme de Gauss

Equation de Poisson

Autre forme utilisant le potentiel

( )

( ) ( )[ ]

( ) VdeLaplacienVEdiv

z

V

y

V

x

VVgraddivEdiv

VgradE

2

2

2

2

2

2

=

+

+

==

=

r

r

r

0V0

=

+

Equation de Poisson


Remarques :Remarques :

1 - Dans un espace sans charges : = 0

V = 0 Equation de Laplace

En dehors des charges :

Le champ E est divergence nul c--d flux conservatif

Le laplacien du potentiel est nul

2 La relation V=0 est une quation diffrentielle. C'est le mme type

d'quation qui permet de dcrire un coulement de fluide sanstourbillons (c--d irrotationnel)

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Elect Chap1