Universidad de los AndesFacultad de Ciencias

Departamento de Fısica

Notas de ClaseElectromagnetismo

Nelson Pantoja

Semestre B-2006

Indice General

1 Teorıa electromagnetica de Maxwell 31.1 El campo electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Los potenciales electromagneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Electrostatica 72.1 Campo electrico ~E y potencial electrico Φ . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 El problema de contorno en electrostatica. . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 El metodo de las imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Expansion en funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.1 La ecuacion de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.2 La ecuacion de Poisson. Funciones de Green . . . . . . . . . . . 24

3 Expansion Multipolar. Electrostatica en medios materiales 303.1 Expansion multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Expansion multipolar de la energıa de una distribucion de cargas en un

campo externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Electrostatica en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Magnetostatica 374.1 Magnetostatica. El campo ~B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 El potencial vector ~A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 El potencial ~A y el campo ~B de algunas distribuciones de corriente . . 404.4 Momentos magneticos de una distribucion de corrientes localizadas . . 434.5 Ecuaciones de la magnetostatica en medios materiales . . . . . . . . . . 454.6 Problemas de contorno en magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.6.1 Uso del potencial vector ~A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6.2 Uso del potencial escalar magnetico ΦM ( ~J ≡ ~0) . . . . . . . . . 48

4.6.3 Ferromagnetos duros ( ~M dado y ~J ≡ ~0) . . . . . . . . . . . . . 48

5 Campos que varıan en el tiempo. Leyes de conservacion 505.1 Los potenciales Φ y ~A y la ecuacion de onda . . . . . . . . . . . . . . . 505.2 Funciones de Green para la ecuacion de onda . . . . . . . . . . . . . . . 525.3 Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1

6 Ondas electromagneticas. Propagacion 576.1 La ecuacion de onda en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2 Ondas planas en un medio no conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.3 Ondas electromagneticas en la interfaz entre dielectricos. . . . . . . . . 606.4 Ondas en un medio disipativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.5 Ondas en un medio dispersivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2

Capıtulo 1

Teorıa electromagnetica de Maxwell

1.1 El campo electromagnetico

La teorıa electromagnetica de Maxwell es una teorıa clasica de campos, en la cual lainteracion electromagnetica esta mediada a traves de campos que se suponen medi-bles en todo punto (~x, t) del espacio-tiempo. En regiones sin materia (en el vacıo)denotaremos por

~E(~x, t), ~B(~x, t)

a los campos electrico y magnetico respectivamente. En presencia de materia, auncuando estos siguen siendo fundamentales, se suele introducir otros campos en la des-cripcion de los fenomenos electromagneticos para tomar en cuenta el hecho de que lamateria es susceptible de interactuar con los campos electromagneticos y modificarlos,cosa que haremos mas adelante.

Los campos ~E(~x, t) y ~B(~x, t) son campos vectoriales bajo rotaciones en 3 dimen-

siones. Bajo inversion espacial ~x → −~x se tiene que ~E(~x, t) → − ~E(−~x, t). Por otro

lado, ~B(~x, t) → ~B(−~x, t) y se dice que ~B es un campo pseudo-vectorial.1

Los campos ~E y ~B pueden ser medidos usando la interaccion entre partıculas car-

1Un vector es un objeto que transforma bajo transformaciones arbitrarias de coordenadas en lamisma forma en que lo hace el vector ~x

~x = xiei = xi′ ei′ , xi′ = ai′xj con ai′

j =∂xi′

∂xj.

Si ~V = V iei = V i′ ei′ con V i′ = ai′

j V j entonces ~V es un campo vectorial. Por otro lado, se dice que~B = Bi ei es un campo pseudovectorial si sus componentes transforman de la forma

Bi′ = det|a|ai′

j Bj ,

donde det|a| es el determinante de los coeficientes de la transformacion; si la transformacion es unainversion o una rotacion impropia entonces det|a| = −1. Un ejemplo familiar de pseudovector lotenemos en el producto vectorial en E3, ~C = ~A × ~B ≡ εijkAiBj ei; i, j, k = x, y, z; donde εijk es elsimbolo totalmente antisimetrico de Levi-Civita.

3

gadas y el campo electromagnetico

d

dt~p = q

(~E +

1

c~v × ~B

), (1.1)

~p = γm0~v, (1.2)

γ ≡(1− (

v

c)2)− 1

2. (1.3)

El miembro derecho de (1.1) es la fuerza de Lorentz sobre una partıcula cargada de

carga q que se mueve bajo la accion de los campos ~E y ~B y puede utilizarse para definirel campo electromagnetico.

Por otro lado, los campos mismos evolucionan en el espaciotiempo con ecuaciones

~∇ · ~E(~x, t) = 4πρ(~x, t), Ley de Gauss (1.4)

1

c∂t~E( ~x, t)− ~∇× ~B = −4π ~J(~x, t), Ley de Ampere (1.5)

~∇ · ~B(~x, t) = 0, @ monopolos magneticos (1.6)

~∇× ~E(~x, t) +1

c∂t~B(~x, t) = ~0, Ley de Faraday (1.7)

donde ρ(~x, t) y ~J(~x, t) son las densidades de carga y corriente, respectivamente, fuen-tes de los campos electromagneticos. Las ecuaciones (1.4-1.5) se conocen como lasecuaciones de Maxwell en forma diferencial.

A primera vista parecerıa que partiendo de las ecuaciones de (1.4) a (1.7) junto con

~f = ρ ~E +1

c~J × ~B, (1.8)

generalizacion evidente de (1.1) con ~f la densidad de fuerza de Lorentz, se podrıan cal-

cular las distribuciones de carga ρ(~x, t) y corriente ~J(~x, t) y los campos ~E(~x, t) y ~B(~x, t)dadas las condiciones iniciales. Sin embargo, apartando la dificultad matematica, estodavia un problema abierto como los autocampos afectan el movimiento de las fuen-tes. De aquı que nos limitaremos a algo menos ambicioso y calcularemos los camposproducidos por una distribucion de cargas y corrientes dada o la distribucion de cargasy corrientes a partir de una configuracion particular de los campos.

Veamos a continuacion algunas consecuencias importantes de las ecuaciones (1.4-1.7). De (1.5) se sigue que

~∇ ·(

1

c∂t~E − ~∇× ~B

)= −4π~∇ · ~J (1.9)

⇒ 1

c∂t(~∇ · ~E)− ~∇ · (~∇× ~B) = −4π~∇ · ~J

4

y usando la ecuacion (1.4), se obtiene

1

c∂tρ(~x, t) + ~∇ · ~J(~x, t) = 0. (1.10)

La ecuacion (1.10) se conoce como ecuacion de continuidad y expresa la conservacionde la carga. Usando el teorema de la divergencia se tiene

1

c

∫Ω

d3x ∂tρ = −∫

Ω

d3x ~∇ · ~J = −∫

δΩ

~J · d~s.

Ası, si la distribuciones de carga y corriente estan confinadas en algun volumen, to-mando Ω lo suficientemente grande la integral de superficie sera cero y se tendra

d

dtQ = ∂t

∫Ω

d3x ρ = 0 → Q = const.

1.2 Los potenciales electromagneticos

Consideremos a continuacion el ansatz

~B = ~∇× ~A, (1.11)

donde ~A es un campo vectorial, entonces la ecuacion (1.6) se verifica trivialmente. De

aquı que busquemos soluciones a las ecuaciones de Maxwell con ~B en la forma (1.11).No es sin embargo evidente que toda solucion de (1.6) deba ser de la forma (1.11) y

de hecho, la existencia de ~A depende de la topologıa de la region en la cual se suponevalida (1.6). Por los momentos ignoremos estas dificultades.

Sustituyendo (1.11) en (1.7) se tiene

~∇× ~E +1

c∂t~∇× ~A = ~0

y de aquı que

~∇× ( ~E +1

c∂t~A) = ~0. (1.12)

A continuacion, con

~E +1

c∂t~A = −~∇Φ,

donde Φ(~x, t) es un campo escalar, es claro que (1.12) se satisface inmediatamente. Deaquı que si buscamos soluciones al sistema de ecuaciones (1.4-1.7) de la forma

~B(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t), (1.13)

~E(~x, t) = −~∇Φ(~x, t)− 1

c∂t~A(~x, t), (1.14)

habremos resuelto automaticamente las ecuaciones homogeneas (1.6) y (1.7). Φ y ~Ase conocen como los potenciales escalar y vectorial, respectivamente.

5

Finalmente, sustituyendo (1.14) en (1.4) y (1.5) se tiene

∆Φ− 1

c2∂t∂tΦ = −4πρ− 1

c∂t

[~∇ · ~A+

1

c∂tΦ

], (1.15)

∆ ~A− 1

c2∂t∂t

~A = −4π ~J + ~∇[~∇ · ~A+

1

c∂tΦ

], (1.16)

ecuaciones que en principio determinan los potenciales electromagneticos Φ y ~A enterminos de la fuentes ρ y ~J ..

Ahora bien, supongase que hemos encotrado Φ0 y ~A0, soluciones a (1.15) y (1.16)y que por lo tanto

~B0 = ~∇× ~A0~E0 = −~∇Φ0 −

1

c∂t~A0.

Es facil ver que los potenciales transformados

Φ ≡ Φ0 −1

c∂tχ (1.17)

y~A ≡ ~A0 + ~∇χ (1.18)

reproducen los mismos ~B0 y ~E0, esto es

~∇× ~A = ~∇× ( ~A0 + ~∇χ) = ~∇× ~A0 + ~∇× ~∇χ = ~B0

y

−~∇Φ− 1

c∂t~A = −~∇Φ0 +

1

c~∇ (∂tχ)− 1

c∂t~A0 −

1

c∂t(~∇χ) = −~∇Φ0 −

1

c∂t~A0 = ~E0.

Los nuevos Φ y ~A, ecuaciones (1.17) y (1.18), tambien satisfacen (1.15) y (1.16) (sepropone como ejercicio). Hemos descubierto entonces una simetrıa o invariancia de la

teorıa electromagnetica. Los campos ~E y ~B y las ecuaciones de movimiento (1.4) a(1.7) son invariantes bajo las transformaciones

Φ → Φ− 1

c∂tχ , ~A→ ~A+ ~∇χ.

Dichas transformaciones se conocen como transformaciones de calibre y se dice quela teorıa presenta invariancia de calibre. Este tipo de invariancia es de importanciafundamental en fısica y esta intimamente ligada a la nocion de interaccion. Tene-mos entonces que el campo electromagnetico viene descrito por toda una familia depotenciales que difieren entre sı por transformaciones de calibre.

6

Capıtulo 2

Electrostatica

2.1 Campo electrico ~E y potencial electrico Φ

Nos restringiremos en este y el proximo capıtulo a considerar distribuciones de carga ycampos independientes del tiempo. En este caso las ecuaciones de Maxwell se reducena

~∇ · ~E(~x) = 4πρ(~x) (2.1)

y~∇× ~E(~x) = ~0. (2.2)

La ecuacion (2.1) es la ley de Gauss en forma diferencial y puede llevarse a la formaintegral usando el teorema de la divergencia. Ası, integrando (2.1) sobre un volumenΩ se tiene ∫

Ω

d3x ~∇ · ~E(~x) = 4π

∫Ω

d3x ρ(~x), (2.3)

y con ∫Ω

d3x ~∇ · ~E(~x) =

∮∂Ω

~E · d~s,

se sigue que ∮∂Ω

~E · d~s = 4π

∫Ω

d3x ρ(~x), (2.4)

donde ∂Ω es la frontera del volumen Ω.Volviendo a las ecuaciones (2.1) y (2.2), la ecuacion (2.2) se integra de manera

inmediata si ~E es derivable de un potencial

~E(~x) = −~∇Φ(~x) (2.5)

y de (2.5) y (2.1) se sigue que

∆Φ(~x) = −4πρ(~x), (2.6)

que reconocemos como una ecuacion de Poisson. Para ρ(~x) = 0, esto es, para el casoen el cual no hay distribuciones de carga en todo el espacio, el potencial escalar Φ(~x)satisface la ecuacion de Laplace

∆Φ(~x) = 0. (2.7)

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En problemas de electroestatica que involucran distribuciones de carga localizadassin condiciones de contorno para Φ, salvo la condicion mınima Φ(~x) → 0 para |~x| → ∞,la solucion general de (2.6) viene dada por

Φ(~x) =

∫R3

d3x′ρ(~x′)

|~x− ~x′|, (2.8)

como se puede verificar facilmente,

∆xΦ(~x) =

∫d3x′ρ(~x′)∆x

(1

|~x− ~x′|

)=

∫d3x′ρ(~x)(−4πδ(~x− ~x′)) = −4πρ(~x).

Arriba hemos usado el hecho de que 1/|~x− ~x′| es la funcion de Green para el operador∆ en R3,

∆

(1

|~x− ~x′|

)= −4πδ3(~x− ~x′), (2.9)

que satisface la condicion

1/|~x− ~x′| → 0, |~x| → ∞ (2.10)

y δ es por supuesto la distribucion δ de Dirac.La distribucion δ de Dirac nos permite, por otro lado, describir distribuciones de

carga tanto discretas como continuas. Por ejemplo,

ρ(~x) =N∑

i=1

qi δ(~x− ~x′) (2.11)

representa una distribucion de N cargas puntuales qi localizadas a los puntos ~xi. Sisustituimos (2.11) en (2.8) se tendra

Φ(~x) =

∫d3x′

ρ(~x′)

|~x− ~x′|=

∫d3x′

1

|~x− ~x′|

N∑i=1

qi δ(~x− ~x′i)

=N∑

i=1

qi

∫d3x′

δ(~x− ~x′i)

|~x− ~x′|=

N∑i=1

qi1

|~x− ~xi|(2.12)

que es obviamente el potencial creado en ~x por N cargas puntuales qi localizadas enlos puntos ~xi.

El campo electrico ~E(~x) se obtiene a partir de (2.5) de manera inmediata

~E(~x) = −~∇xΦ(~x) = −∫d3x′ρ(~x′)~∇x

(1

|~x− ~x′|

)=

∫d3x′ρ(~x)

~x− ~x′

|~x− ~x′|3

=

∫d3x′

(N∑

i=1

qi δ(~x− ~xi)

)~x− ~x′

|~x− ~x′|3=

N∑i=1

qi|~x− ~xi|2

~x− ~xi

|~x− ~xi|, (2.13)

y que reconocemos como el campo electroestatico producido por N cargas puntualesqi localizadas en los puntos ~xi.

Veamos a continuacion algunos ejemplos de distribuciones de carga continuas.

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1. En coordenadas cilindricas (ρ, ϕ, z) una carga λ por unidad de longitud unifor-memente distribuida sobre una superficie cilindrica de radio b.

Tomando en cuenta las simetrıas de la distribucion de cargas considerada sepropone

ρ(~x) =C

rδ(ρ− b), (2.14)

donde C es una constante a ser ajustada. A continuacion, exigiendo

λl =

∫ l

0

dz

∫ ∞

0

dρ ρ

∫ 2π

0

dϕ ρ(~x) (2.15)

se encuentra

C =λ

2π.

2. En coordenadas esfericas (r, θ, ϕ), una carga Q uniformemente distribuida sobreuna concha esferica de radio R.

Se propone

ρ(~x) =C

r2δ(r −R), (2.16)

y exigiendo

Q =

∫d3x ρ(~x) (2.17)

se encuentra

C =Q

4π.

3. En coordenadas cilindricas, una carga Q uniformemente distribuida sobre undisco circular plano de espesor despreciable y radio R.

ρ(~x) =Q

πR2δ(z)Θ(R− ρ).

4. La misma distribucion de cargas anterior pero en coordenadas esfericas.

Partiendo de la expresion encontrada anteriormente y pasando a coordenadasesfericas se encuentra

ρ(~x) =C

r sin θδ(θ − π

2)Θ(R− r), C =

Q

πR2,

donde hemos usado

δ(f(x)) =∑

i

1

|f ′(xi)|δ(x− xi)

y donde los xi son las raices de f(x), esto es, f(xi) = 0.

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Cabe destacar que aun cuando el campo electrico es la cantidad fısicamente re-levante en la descripcion clasica que estamos considerando, el potencial escalar Φ(~x)admite una interpretacion fısica interesante. Consideremos el trabajo hecho por unagente externo sobre una carga de prueba q al transportarla desde una punto A hastaun punto B a lo largo de una trayectoria ΓB

A en presencia de un campo electroestatico~E(~x). La fuerza que actua sobre la carga viene dada por

~F (~x) = q ~E(~x) (2.18)

y por lo tanto

W = −∫

ΓBA

~F · d~l = −q∫

ΓBA

~E · d~l (2.19)

(el - aparece porque estamos calculando el trabajo hecho en contra de la accion delcampo) y de (2.5) se tiene

W = −q∫

ΓBA

(−~∇Φ) · d~l = q

∫ΓB

A

dΦ = q(ΦB − ΦA), (2.20)

lo que nos dice que qΦ puede interpretarce como la energıa potencial de la carga q enpresencia del campo electroestatico ~E(~x). De (2.19) y (2.20) se desprende que∫

ΓBA

~E · d~l = −(ΦB − ΦA) ⇒∮

c

~E · d~l = 0, (2.21)

que es perfectamente consistente con lo que se obtiene del Teorema de Stokes∮C

~E · d~l =

∫S

~∇× ~E · d~l = −∫

S

~∇× (−~∇Φ) · d~s = 0.

Se sigue entonces el resultado bien conocido de que las “fuerzas derivables de un po-tencial son conservativas “.

2.2 El problema de contorno en electrostatica.

En problemas de electrostatica sin condiciones de contorno y con distribuciones decarga discretas o continuas, la solucion general de (2.8) viene dada por

Φ(~x) =

∫R3

d3x′ρ(~x′)

|~x− ~x′|,

que reconocemos como el producto de convolucion de la distribucion de cargas ρ(~x)con la funcion de Green (2.9), donde esta ultima satisface las condiciones de contorno(2.10).

En problemas de electrostatica en una region finita del espacio, con o sin cargaen su interior, y con condiciones de contorno prescritas sobre la superficie fronterade dicha region , el potencial electrostatico viene dado por una expresion diferente

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que contiene, ademas de la convolucion de la distribucion de cargas con la funcion deGreen apropiada al problema de contorno, un termino que involucra a las condicionesde contorno especıficas prescritas para el potencial. Dicha expresion puede ser deducidacon facilidad empleando las denominadas identidades de Green.

Las identidades de Green, arriba mencionadas, se obtienen facilmente a partir delteorema de la divergencia ∫

Ω

d3x ~∇ · ~V =

∮∂Ω

~V · d~s. (2.22)

Sea ~V = ϕ~∇ψ, en cuyo caso

~∇ · ~V = ~∇ · (ϕ~∇ψ) = ϕ∆ψ + ~∇ϕ · ~∇ψ (2.23)

y sustituyendo (2.23) en (2.22) se obtiene la primera identidad de Green,∫Ω

d3x (ϕ∆ψ + ~∇ϕ · ~∇ψ) =

∮∂Ω

ϕ~∇ψ · d~s. (2.24)

Intercambiando ϕ y ψ y restando lo obtenido a (2.24) se obtiene la segunda identidadde Green, ∫

Ω

d3x (ϕ∆ψ − ψ∆ϕ) =

∮∂Ω

(ϕ~∇ψ − ψ~∇ϕ) · d~s. (2.25)

La solucion a la ecuacion de Poisson en un volumen finito Ω

∆x′Φ(~x′) = −4πρ(~x′), ~x ∈ Ω,

con condiciones de contorno para Φ prescritas sobre la frontera ∂Ω de Ω se puedeobtener usando (2.25). Supongamos que existe G(~x; ~x′), tal que

∆x′G(~x; ~x′) = −4πδ(~x− ~x′), ~x, ~x′ ∈ Ω. (2.26)

Partiendo de (2.25), escogiendo ψ = G, ϕ = Φ y a ~x′ como variable de integracion setendra∫

Ω

d3x′ [−4πδ(~x− ~x′)Φ(~x′) + 4πρ(~x′)G(~x; ~x′)]=

∮∂Ω

(Φ(~x′)∂n′G(~x; ~x′)−G(~x; ~x′)∂n′Φ(~x′))da′,

de donde se sigue que

Φ(~x) =

∫Ω

d3x′ρ(~x′)G(~x; ~x′) +1

4π

∮∂Ω

[G(~x; ~x′)∂n′Φ(~x′)− Φ(~x′)∂n′G(~x; ~x′)] da′, (2.27)

donde hemos reescrito ~∇′xΦ(~x′) · d~s′ = ~∇′

xΦ(~x′) · n′da′ = ∂n′Φ(~x′)da′.Como es sabido la solucion a la ecuacion de Poisson con Φ y ∂Φ

∂nespecificados de

manera arbitraria sobre ∂Ω no existe. Sin embargo, existen soluciones unicas paracondiciones de Dirichlet (Φ se especifica sobre ∂Ω) o Neumann (∂Φ

∂nse especifica sobre

∂Ω). La libertad que se tiene en la definicion de G, ecuacion (2.32), nos permite hacer

11

que la integral de supeficie en (2.27) dependa solamente de las condiciones de contornoescogidas. Ası para condiciones de Dirichlet exigiremos

G(~x; ~x′) |∂Ω = 0 (2.28)

y de (2.27) se tendra

Φ(~x) =

∫Ω

d3x′ρ(~x′)G(~x; ~x′)− 1

4π

∮∂Ω

Φ(~x′) ∂n′Gda′. (2.29)

Para condiciones de contorno de Neumann es conveniente hacer 1

∂n′G(~x; ~x′) |∂Ω = −4π

As

, (2.30)

donde As es el area total de la superficie ∂Ω frontera de Ω. La solucion viene en estecaso dada por

Φ(~x) =

∫Ω

d3x′ρ(~x′)G(~x; ~x′) +1

4π

∫∂Ω

∂n′Φ(~x′)G(~x; ~x′) da′ +1

As

∫∂Ω

Φ(~x′)da′. (2.31)

Notese que el ultimo termino es una constante igual al valor promedio del potencialsobre la superficie ∂Ω. Esta constante, por otro lado, es irrelevante toda vez que solola diferencia de potencial admite interpretacion fısica.

Por ultimo, de (2.9) se sigue que la solucion elemental G(~x; ~x′) de (2.26) debe serde la forma

G(~x; ~x′) =1

|~x− ~x′|+ F (~x, ~x′), (2.32)

con∆F (~x, ~x′) = 0. (2.33)

Ası, puesto que |~x − ~x′|−1 puede interpretarse como el potencial creado en ~x por unacarga unidad localizada en ~x′, la funcion F (~x; ~x′) que aparece en (2.32), solucion a laecuacion de Laplace en el interior de Ω, puede ser interpretada como el potencial deuna distribucion de cargas externa al volumen Ω y que se escoge de forma tal que sesatisfaga (2.28) o (2.30). Sobre la base de esta interpretacion descansa el denominadometodo de las imagenes.

1Note que∫Ω

d3x∆xG(~x; ~x′) =∫

Ω

d3x~∇ · ~∇G(~x; ~x′) =∮

s

~∇xG(~x; ~x′) · nda =∮

s

∂n Gda

y puesto que∆xG(~x; ~x′) = −4πδ(~x− ~x′)

es claro que no es posible escoger ∂nG = 0.

12

2.3 El metodo de las imagenes

La idea del metodo es tratar de llevar el problema de contorno en la region Ω a uno sincondiciones de contorno que sea equivalente en Ω. En el nuevo problema, el potencialdebera tomar sobre la frontera de Ω valores identicos a los prescritos por las condicionesde contorno del problema original, para lo cual se colocan distribuciones de carga“imagen“ fuera de Ω. Es claro, esto va a ser posible solo en aquellos casos en los quela geometrıa del problema presente muchas simetrıas.

Un ejemplo muy sencillo es el de una carga puntual localizada a una distancia ade un plano infinito conductor, tal que Φ sobre el plano sea cero. Es facil ver que esteproblema es equivalente en la region de interes al problema de la carga original y unaigual pero de signo contrario localizada en el punto imagen especular detras del planoconductor. En este caso se tiene, suponiendo que la superficie z = 0 define al planoconductor,

Φ(~x) =q

|~x− ak|− q

|~x+ ak|

= q

(1√

x2 + y2 + (z − a)2− 1√

x2 + y2 + (z + a)2

), (2.34)

que obviamente satisface Φ|z=0 = 0.A partir del resultado anterior es facil calcular la densidad de carga sobre el plano

conductor. Para ello basta utilizar la ley de Gauss y el hecho de que el campo electricosobre la superficie de un conductor es normal a la misma y que dentro del conductores cero, de donde se desprende que

σ(x, y) =− 1

4π

(∂Φ

∂z

)z=0

= − q

4π

(− z − a

(x2 + y2 + (z − a)2)3/2+

z + a

(x2 + y2 + (z + a)2)3/2

)z=0

= − q

4π

2a

(x2 + y2 + a2)3/2(2.35)

Veamos a continuacion un caso ligeramente mas complicado. Consideremos el pro-blema de una carga puntual q0 localizada en ~x0, de forma tal que el origen del sistemade referencia es a su vez es el centro de una esfera conductora de radio a < | ~x0| y sobrecuya superficie Φ = 0. Vamos a emplear el metodo de las imagenes. Por simetrıa esclaro que la carga imagen q′0 estara sobre la linea que une al origen con la carga q0. Siq0 esta fuera de la esfera, ~x′0 que es la posicion de la carga imagen estara dentro de laesfera. El potencial debido a las cargas q0 y q′0 en el punto ~x sera

Φ(~x) =q0

|~x− ~x0|+

q′0|~x− ~x′0|

. (2.36)

Ahora, debemos fijar q′0 y ~x′0 de forma tal que Φ(|~x| = a) = 0. Para hacer esto masfacil reescribiremos Φ como

Φ(~x) =q0

|xn− x0n′|+

q′0|xn− x′0n

′|(2.37)

13

donde x = |~x|, x0 = | ~x0| y x′0 = | ~x′0|. Sobre la superficie |~x| = a se tendra

Φ(|~x = a|) =q0a

1

|n− x0

an′|

+q′0x′0

1

|n′ − ax′0n|, (2.38)

lo que nos lleva a escoger

q0a

= − q′0

x′0y |n− x0

an′| = |n′ − a

x′0n| ⇒ x0

a=

a

x′0. (2.39)

De aquı que

q′0 = − a

x0

q0 , x′0 =a2

x0

. (2.40)

Una vez que la carga imagen ha sido encontrada, podemos entonces volver al pro-blema original y calcular varias cosas interesantes. Por ejemplo la densidad de cargasobre la superficie conductora esferica viene dada por

σ = − 1

4π

∂ Φ

∂x|x=a = − q0

4πa2

(a

x0

)1− ( a

x0)2

(1 + ( ax0

)2 − 2 ax0

cos γ)3/2, (2.41)

donde

cos γ =~x · ~x0

x x0

. (2.42)

Tambien podemos calcular la fuerza que actua sobre q0. La manera mas sencilla esobviamente calcular la fuerza entre q0 y q′0 que estan separadas una distancia x0−x′0 =x0(1− a2

x20)

|~F | = q2

a2

(a

x0

)3(

1−(a

x0

)2)−2

. (2.43)

Notese tambien que es posible colocar una segunda carga q′′ en el centro de la esferasin destruir la equipotencial. La magnitud de q′′ es arbitraria y puede ser ajustada parasatisfacer condiciones de contorno diferentes a la homogenea. Por ejemplo si queremosque Φ|s = V entonces q′′ = V a, si queremos que la carga total del conductor sea ceroentonces q′′ = −q′, etc.

No es dificil darse cuenta (como fue sugerido antes) que el potencial debido a lacarga unidad y su(s) imagen(es), escogida(s) de forma tal que se satisfagan condicionesde frontera homogeneas es justamente la funcion de Green apropiada al problema deDirichlet. Ası con q0 = 1 y ~x0 = ~x′, de (2.37) y (2.40) se tiene que

G(~x, ~x′) =1

|~x− ~x′|− a

x′|~x− a2

x′2~x′|; |~x|, |~x′| > a, (2.44)

satisface∆xG(~x, ~x′) = −4πδ(~x− ~x′), (2.45)

y la condicion de contornoG(~x, ~x′)

∣∣|~x|=a = 0. (2.46)

14

G dada por (2.44) es la funcion de Green apropiada al problema de Dirichlet exteriora la esfera. Notese que

F (~x, ~x′) = − a

x′|~x− a2

x′2~x′|(2.47)

satisface ∆F = 0, ya que | a2

x′2~x′| = a2

|~x′| = a a|~x′| < a .

La solucion al problema de Dirichlet para la ecuacion de Poisson involucra ademasde G a ∂G/∂n′. En este caso n′ = −~x′/x′ (n′ es la normal externa al volumen deinteres)

∂ G

∂ n′|S = −∂ G

∂ x′|x′=a = − ∂

∂ x′

[1

(x2 + x′2 − 2xx′ cos γ)1/2− 1

(x2x′2

a2 + a2 − 2xx′ cos γ)1/2

]x′=a

= − x2 − a2

a(x2 + a2 − 2ax cos γ)3/2, (2.48)

con

cos γ =~x · ~x′

xx′(2.49)

Ası, la solucion a la ecuacion de Laplace para el exterior a una esfera con condicionesde Dirichlet viene dada por

Φ(~x) =1

4π

∫dΩ′ a(x2 − a2)

(x2 + a2 − 2ax cos γ)3/2Φ(a, θ′ϕ′), (2.50)

dondecos γ = cos θ cos θ′ + sin θ sin θ′ cos (ϕ− ϕ′). (2.51)

ydΩ′ = sin θ′dθ′dϕ′. (2.52)

Por ultimo consideremos un problema que involucra cargas imagenes no puntuales.Sean dos lıneas cargadas infinitas y paralelas, con cargas λ y−λ por unidad de longitud.El potencial en un punto cualquiera viene dado por

ϕ(x, y) = −2λ [ln r1 − ln r2] = −2λ ln

∣∣∣∣∣√x2 + y2√

(x+ 2d)2 + y2

∣∣∣∣∣ . (2.53)

Es claro las superficies equipotenciales del problema vienen dadas por∣∣∣∣∣√x2 + y2√

(x+ 2d)2 + y2

∣∣∣∣∣ = C = const. (2.54)

La superficie equipotencial C = 1 es el plano perpendicular a la lınea que une alas dos cargas y pasa justo a mitad de camino entre ambas. En general, las superficiesequipotenciales tienen por ecuacion para C 6= 1(

x− 2dC2

1− C2

)2

+ y2 =

(2dC

1− C2

)2

, (2.55)

15

que es claro la ecuacion de un cilindro en R3, con eje en el punto de coordenadas(2dC2

1− C2, 0

)(2.56)

y radio2dC

1− C2. (2.57)

Es posible entonces resolver problemas que involucran conductores cilindricos valien-donos del ejemplo citado. Por ejemplo, podemos atacar el problema de un plano yun cilindro conductores cuya disposicion es la indicada por las lıneas punteadas de lafigura.

2.4 Expansion en funciones ortogonales

La representacion de soluciones a los problemas de contorno para las ecuaciones deLaplace y de Poisson como una expansion en funciones ortogonales es una tecnicaampliamente usada, dependiendo la escogencia del conjunto ortogonal de las simetriasdel problema particular. La manera mas sencilla de obtener estas expansiones paralas soluciones a la ecuacion de Laplace consiste en usar el metodo de separacion devariables.

2.4.1 La ecuacion de Laplace

La ecuacion de Laplace en coordenadas cartesianas

Como un primer ejemplo consideremos el caso en el cual Ω es la region con forma deparalelepıpedo, localizada como se indica en la figura, con dimensiones (a, b, c) en lasdirecciones (x, y, z). Todas las superficies del paralelepıpedo estan a potencial cero,excepto la superficie z = c que se encuentra a potencial V (x, y). Queremos encontrarel potencial en su interior suponiendo que no hay cargas en el mismo. El problema quenos ocupa consiste entonces en encontrar Φ solucion al problema de contorno para laecuacion de Laplace

∆Φ = 0, 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c; (2.58)

Φ(0, y, z) = Φ(a, y, z) = 0, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c;

Φ(x, 0, z) = Φ(x, b, z) = 0, 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ z ≤ c;

Φ(x, y, 0) = 0, Φ(x, y, c) = V (x, y), 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b; (2.59)

La ecuacion de Laplace en coordenadas cartesianas viene dada por

∆Φ = ∂2xΦ + ∂2

yΦ + ∂2zΦ = 0. (2.60)

16

Proponiendo una solucion de la forma

Φ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z), (2.61)

se tiene

Y (y)Z(z)d2X(x)

dx2+X(x)Z(z)

d2Y (y)

dy2+X(x)Y (y)

d2Z(z)

dz2= 0

y dividiendo entre (2.61)

1

X(x)

d2X(x)

dx2+

1

Y (y)

d2Y (y)

dy2+

1

Z(z)

d2Z(z)

dz2= 0. (2.62)

De (2.62) se desprende que1

X(x)

d2X(x)

dx2= α; (2.63)

1

Y (y)

d2Y (y)

dy2= β; (2.64)

1

Z(z)

d2Z(z)

dz2= −(α+ β), (2.65)

donde hasta ahora α y β son arbitrarias.Por otro lado, de las condiciones de contorno homogeneas se sigue que

Φ(0, y, z) = Φ(a, y, z) = 0 , 0 ≤ y ≤ b , 0 ≤ z ≤ c ⇒ X(0) = X(a) = 0, (2.66)

Φ(x, 0, z) = Φ(x, b, z) = 0 , 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ z ≤ c ⇒ Y (0) = Y (b) = 0. (2.67)

Ası, (2.63,2.66) definen un problema de autovalores con autofunciones

Xn(x) = sinnπx

a(2.68)

y autovalores

α = −(nπa

)2

, n = 1, 2, . . . (2.69)

De la misma manera, el problema (2.64,2.67) admite como unicas soluciones las auto-funciones

Ym(y) = sinmπy

b(2.70)

con autovalores

β = −(mπb

)2

, m = 1, 2, . . . (2.71)

Ahora, de la condicion de contorno Φ(x, y, 0) = 0 se sigue que Z(0) = 0 y de aquı quela solucion de (2.65) venga dada por

Znm(z) = sinh

[((nπa

)2

+(mπb

)2)z

](2.72)

17

La solucion de (2.60) y que satisface las condiciones de contorno homogeneas es porsuperposicion

Φ(x, y, z) =∞∑

n=1

∞∑m=1

amn sinh

[((nπ

a)2 + (

mπ

b)2)1/2

z

]sin

nπx

asin

mπy

b. (2.73)

Por ultimo, de la condicion de frontera no homogenea Φ(x, y, c) = V (x, y) se des-prende que

V (x, y) =∞∑

n,m=1

amn sinh

[((nπ

a)2 + (

mπ

b)2)1/2

c

]sin

nπx

asin

mπx

b, (2.74)

de donde se sigue que los coeficientes de la serie son los coeficientes de la expansion deV (x, y) en la serie de Fourier doble

amn sinh

[((nπ

a)2 + (

mπ

b)2)1/2

c

]=

2

a

∫ a

0

dx sinnπx

a

2

b

∫ b

0

dy sinmπy

bV (x, y)

y de aquı que

amn =4

ab sinh[(

(nπa

)2 + (mπb

)2)1/2

c] ∫ a

0

dx sinnπx

a

∫ b

0

dy sinmπy

bV (x, y). (2.75)

Si la caja rectangular tiene condiciones de contorno no homogeneas sobre las seiscaras, la solucion para el potencial en el interior del paralelepipedo sera la superposicionlineal de las soluciones a los seis problemas, equivalentes a (2.73) (2.75), en los cualessolo una de las caras tiene una condicion de contorno no-homogenea.

El potencial electrostatico con una distribucion de cargas en el interior de la caja ycon condiciones de contorno sobre su superficie requiere la construccion de la funcion deGreen apropiada, cuestion que atacaremos despues de discutir la ecuacion de Laplaceen coordenadas esfericas y cilindricas. Adelantaremos sin embargo que (2.70) y (2.75)son equivalentes a la integral de superficie que aparece en la solucion al problema decontorno para la ecuacion de Poisson en terminos de la funcion de Green.

La ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas

Consideremos a continuacion el problema de encontrar el potencial electrostatico en elinterior de una esfera de radio a, sin cargas en su interior y con el potencial especificadosobre su superficie. En este caso, el potencial Φ viene dado por la solucion al problemainterior de Dirichlet con simetria esferica para la ecuacion de Laplace

∆Φ =1

r2∂r(r

2∂rΦ) +1

r2 sin θ∂θ(sin θ∂θΦ) +

1

r2 sin2 θ∂ϕ∂ϕΦ = 0 (2.76)

0 ≤ r < a, 0 < θ < π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π,

Φ(a, θ, ϕ) = f(θ, ϕ). (2.77)

18

Se propone una solucion de la forma

Φ(r, θ, ϕ) = R(r)Y (θ, ϕ) (2.78)

y sustituyendo (2.78) en (2.76) se tiene

Y (θ, ϕ)1

r2

d

dr[r2 d

drR(r)] +R(r)

1

r2 sin θ

[∂θ(sin θ ∂θY (θ, ϕ)) + ∂ϕ∂ϕ

Y (θ, ϕ)

sin θ

]= 0.

Dividiendo la expresion anterior entre (2.78) y multiplicando por r2

1

R(r)

d

dr

[r2 d

drR(r)

]+

1

Y (θ, ϕ)

[∂θ(sin θ ∂θY (θ, ϕ)) + ∂ϕ∂ϕ

Y (θ, ϕ)

sin θ

]= 0,

de donde se sigue qued

dr

[r2 d

drR(r)

]= λR(r) (2.79)

y1

sin θ∂θ(sin θ ∂θY (θ, ϕ)) +

1

sin2 θ∂ϕ∂ϕY (θ, ϕ) = −λY (θ, ϕ), (2.80)

donde λ es una constante se separacion.A continuacion, proponiendo una solucion para (2.80) de la forma

Y (θ, ϕ) = Θ(θ)Ψ(ϕ), (2.81)

se tiene

Ψ(ϕ)1

sin θ

d

dθ

(sin θ

dΘ(θ)

dθ

)+ Θ(θ)

1

sin2 θ

d2

dϕ2Ψ(ϕ) = −λΘ(θ)Ψ(ϕ)

de donde se sigue que

sin θd

dθ

(sin θ

dΘ(θ)

dθ

)+ λ sin2 θΘ(θ) = m2Θ(θ) (2.82)

yd2

dϕ2Ψ(ϕ) +m2Ψ(ϕ) = 0, (2.83)

donde m2 es otra constante de separacion.La solucion general de (2.83) es

Ψ(ϕ) = Aeimϕ +B e−imϕ (2.84)

y exigiendoΨ(ϕ) = Ψ(ϕ+ 2π), Ψ′(ϕ) = Ψ′(ϕ+ 2π), (2.85)

se tendraΨ(ϕ) = c eimϕ, con m = 0,±1,±2, . . . (2.86)

19

Ahora, puesto que la ecuacion (2.79) es del tipo de Euler, la solucion debe ser dela forma

R(r) ∝ rl (2.87)

y sustituyendo (2.87) en (2.79) se tiene

l(l + 1)− λ = 0. (2.88)

La solucion general de (2.79) es entonces

Rl(r) = D rl + E r−(l+1). (2.89)

Para resolver (2.82) es conveniente hacer el cambio x = cos θ con −1 ≤ x ≤ 1 y(2.82) se reescribe como

d

dx

[(1− x2)

dΘ

dx

]+

(l(l + 1)− m2

1− x2

)Θ = 0, (2.90)

que reconocemos como la ecuacion de Legendre generalizada. (2.90) admite comosoluciones las conocidas funciones de Legendre Pm

l (x) de grado l y ordenm, con |m| ≤ l,l entero ≥ 0. Notese que (2.90) admite tambien como soluciones a las funciones deLegendre de segundo tipo Qm

l (x), pero estas no estan acotadas en x = ±1 y de aquıque no sean consideradas. La solucion de (2.90) es entonces

Θ(θ) = Pml (cos θ). (2.91)

La solucion de (2.80) viene dada por

Y ml (θ, ϕ) =

[2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!

]1/2

(−1)m eimϕPml (θ, ϕ) , |m| ≤ l, m > 0 (2.92)

Y ml (θ, ϕ) = (−1)m

(Y −m

l (θ, ϕ))∗

, m < 0. (2.93)

Las funciones Y ml se conocen como los armonicos esfericos, donde el coeficiente de

(2.92) se ha escogido de forma tal que dichas funciones sean ortonormales∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

dθ sin θ Y m′

l′ (θ, ϕ)∗ Y ml (θ, ϕ) = δm,m′ δl,l′ . (2.94)

y la solucion a la ecuacion de Laplace (2.76) viene dada entonces por

Φ(r, θ, ϕ) =∞∑l=0

l∑m−l

[Alm r

l +Blm r−(l+1)

]Y m

l (θ, ϕ). (2.95)

Exigiendo que Φ(0, θ, ϕ) <∞ tendremos que Blm = 0 y de (2.77) se desprende que

f(θ, ϕ) =∞∑l=0

l∑m=−l

Alm alY m

l (θ, ϕ). (2.96)

20

Usando (2.94) se sigue que

Alm =1

al

∫ 2π

0

dϕ

∫ 2π

0

dθ sin θ Y ml (θ, ϕ)∗ f(θ, ϕ) (2.97)

y la solucion al problema (2.76), (2.77) viene dada por

Φ(r, θ, ϕ) =∞∑l=0

l∑m=−l

[∫ 2π

0

dϕ′∫ π

0

dθ′ sin θ′ Y ml (θ′, ϕ′)∗ f(θ′, ϕ′)

](ra

)l

Y ml (θ, ϕ).

(2.98)Es conveniente resaltar el hecho de que, en general, la solucion al problema de contornoen coordenadas esfericas puede ser dada como expansion en armonicos esfericos ypotencias de r del tipo (2.95). Mas adelante veremos la conexion entre (2.98) y lasolucion obtenida via funciones de Green.

Para finalizar, consideremos el caso particularmente importante en el cual el proble-ma presenta simetria azimutal y que llevado a nuestro problema particular se traduceen una condicion de contorno de la forma

f(θ, ϕ) = g(θ). (2.99)

De (2.98) y (2.99) se tiene entonces

Φ(r, θ, ϕ) =∞∑l=0

[∫ π

0

dθ′ sin θ′g(θ′)

(l∑

m=−l

∫ 2π

0

dϕ′ Y ml (θ, ϕ)∗

)](ra

)l

Y ml (θ, ϕ)

(2.100)y usando (2.92) se tiene∫ 2π

0

dϕ′Y ml (θ′, ϕ′) =

[(2l + 1)

4π

(l −m)!

(l +m)!

]1/2

(1)mPml (cos θ′)

∫ 2π

0

dϕ′eimϕ′

=

[(2l + 1)

4π

(l −m)!

(l +m)!

]1/2

(1)mPml (cos θ′)2πδm0

=

(2l + 1

4π

)1/2

Pl(cos θ′)2πδm0, (2.101)

con P 0l = Pl y donde los Pl son los polinomios de Legendre, soluciones de (2.90) con

m = 0. De (2.100) y (2.101) se desprende que

Φ(r, θ, ϕ) =∞∑l=0

[∫ π

0

dθ′ sin θ′g(θ′)Pl(cos θ′)

]2l + 1

2

(ra

)Pl(cos θ). (2.102)

En general, para aquellos problemas con simetria azimutal el potencial vendra dadocomo una expansion en polinomios de Legendre.

21

La ecuacion de Laplace en coordenadas cilindricas

Como un ultimo ejemplo del uso de expansiones para representar potenciales en elec-troestatica que satisfacen la ecuacion de Laplace, consideremos el problema de deter-minar el potencial en el interior de una region cilindrica sin cargas en su interior y conlos valores del potencial prescritos sobre la superficie de dicha region. Un problematıpico viene dado por

∆Φ(ρ, θ, z) = ∂ρ∂ρΦ +1

ρ∂ρΦ +

1

ρ2∂ϕ∂ϕΦ + ∂z∂zΦ = 0, (2.103)

0 ≤ ρ < a, 0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ z ≤ l

y las condiciones de contorno

Φ(a, ϕ, z) = 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ l (2.104)

Φ(ρ, ϕ, l) = 0, Φ(ρ, ϕ, 0) = V (ρ, ϕ), 0 ≤ ρ ≤ a, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, (2.105)

donde por consistencia V (a, ϕ) = 0.Proponiendo la solucion de la forma

Φ(ρ, ϕ, z) = R(ρ)Q(ϕ)Z(z) (2.106)

y sustituyendo en (2.103) se tiene

R′′ + ρ−1R′

R+

1

ρ2

Q′′

Q= −Z

′′

Z= λ (2.107)

de donde se desprende queZ ′′ + λZ = 0. (2.108)

De la misma manera se tiene

ρ2R′′ + ρR′

R− ρ2λ = −Q

′′

Q= µ

y por lo tanto

ρ2R′′ + ρR′ − (λρ2 + µ)R = 0, (2.109)

Q′′ + µQ = 0. (2.110)

Ahora, puesto que ϕ = 0 y ϕ = 2π no son fronteras reales, imponemos condicionesde contorno periodicas

Q(0) = Q(2π) , Q′(0) = Q′(2π). (2.111)

Ası, (2.110, 2.111) define un problema de autovalores con autofunciones y autovalores

Qn(ϕ) = An cosnϕ+Bn sinnϕ (2.112)

µ = n2 , n = 0, 1, 2 . . . (2.113)

22

Suponiendo λ = −β2 con β > 0, la condicion u(r, ϕ, `) = 0 implica que Z(`) = 0 yla solucion de (2.108) apropiada viene dada por

Z(z) = C sinh β(`− z). (2.114)

A continuacion, haciendo βρ = x en (2.109) se tiene

d2R

dx2+

1

x

dR

dx+ (1− n2

x2)R = 0, (2.115)

que es la ecuacion de Bessel de orden n y cuya solucion general viene dada por

Rn(x) = DJn(x) + ENn(x), (2.116)

donde Jn y Nn son las funciones de Bessel de primer y segundo tipo (Nn se conocetambien como la funcion de Neumann).

Exigiendo que limρ→0 Φ(ρ, ϕ, z) <∞ llegamos a la conclusion de que E = 0, ya queNn no esta acotada en el origen. Por otro lado, Φ(a, ϕ, z) = 0 implica que R(a) = 0y de aquı que Jn(βa) = 0, de donde se sigue que β = βnm = αnm/a, donde los αnmson las raıces de Jn, esto es, Jn(αnm) = 0. Por lo tanto se tendra que

Rn(ρ) = Jn (αnmρ/a) (2.117)

La solucion de (2.103) que satisface las condiciones de contorno homogeneas queaparecen en (2.104) viene dada por

Φ(ρ, ϕ, z) =∞∑

n=0

∞∑m=1

Jn(αnmρ

a)[ anm cosnϕ+ bnm sinnϕ ] sinh

(αnm

(`− z)

a

)(2.118)

y de la condicion de contorno no homogenea se desprende que

f(ρ, ϕ) =∞∑

n=0

∞∑m=1

Jn

(αnm

r

a

)[ anm cosnϕ+ bnm sinnϕ ] sinh

(αnm

`

a

), (2.119)

que reconocemos como una serie de Fourier en ϕ y una serie de Fourier-Bessel en ρpara f(ρ, ϕ).

Usando2 ∫ a

0

dρ ρJn

(αnm′

ρ

a

)Jn

(αnm

ρ

a

)=a′

2[Jn+1(αnm)]2 δm′m, (2.120)

2Las funciones Jn(αnmx) son las autofunciones del problema de autovalores

d

dx

(x

d

dxu

)− n2

xu = λ xu, u(0) = u(1) = 0

asociadas a los autovalores λ = −α2nm y de aquı que sean ortogonales con peso x si estan asociadas a

autovalores diferentes.

23

de (2.119) se sigue∫ a

0

dρ ρJ0

(α0m

ρ

a

)∫ 2π

0

dϕf(ρ, ϕ) = a0m sinh

(α0m

`

a

)2πa2

2[J1(α0m)]2 ,

de donde obtenemos

a0m =1

πa2 sinh(α0m

`a

)[J1(α0m)]2

∫ a

0

dρ

∫ 2π

0

dϕ ρJ0

(α0m

ρ

a

)f(ρ, ϕ). (2.121)

De la misma manera obtenemos

anm =2

πa2 sinh (αnm`/a) [Jn+1(αnm)]2

∫ a

0

dρ

∫ 2π

0

dϕ ρJn

(αnm

ρ

a

)cosnϕ f(ρ, ϕ)

(2.122)y

bnm =2

πa2 sinh (αnm`/a) [Jn+1(αnm)]2

∫ a

0

dρ

∫ 2π

0

dϕ ρJn

(αnm

ρ

a

)sinnϕ f(ρ, ϕ).

(2.123)En general, en problemas de electrostatica con condiciones de contorno sobre super-

ficies cilindricas es usual encontrar los potenciales como una expansion en terminos defunciones de Bessel. Es claro que la forma explıcita de la expansion (2.118), apropiadapara intervalos finitos en ρ, obedece a la condicion de que el potencial se anule enz = 0, ∀ρ ∈ [0, a] y en ρ = a, ∀ z ∈ [0, `]. Por supuesto, para condiciones de contornodiferentes, la expansion tomara formas diferentes.

Una expansion util para ρ ∈ [0,∞) y z ≤ 0, tal que limz→∞ Φ = 0, viene dada por

Φ(r, ϕ, z) =∞∑

m=0

∫ ∞

0

dk e−kzJm(kr) [Am(k) sinmϕ+Bm(k) cosmϕ], (2.124)

donde al igual que antes los coeficientes Am y Bm se determinan a partir de las condi-ciones de contorno especıficas del problema.

2.4.2 La ecuacion de Poisson. Funciones de Green

Ya antes habiamos encontrado que la solucion a aquellos problemas de contorno condistribuciones de carga en la region de interes, esto es, a los problemas de contornopara la ecuacion de Poisson, requiere el conocimiento de la funcion de Green apropiada.Si el problema de contorno para la ecuacion de Laplace es separable en algun sistemade coordenadas, hemos visto que su solucion se puede obtener como una expansionen una base de funciones dada. Mostraremos que en el problema de contorno para laecuacion de Poisson es conveniente proponer una expansion para la funcion de Greenen ese mismo conjunto base de funciones.

24

Expansion de la funcion de Green en coordenadas esfericas

Supongase que estamos interesados en encontrar la funcion de Green en coordenadasesfericas para el problema interior de Dirichlet

∆Φ = −4πρ(~x), 0 < r < a, 0 < θ < π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, (2.125)

con la condicion de contorno

Φ(a, θ, ϕ) = V (θ, ϕ). (2.126)

La funcion de Green buscada es la solucion elemental del problema

∆r,θ,ϕG(r, θ, ϕ, r′, θ′, ϕ′) = − 4π

r2 sin θδ(r − r′)δ(θ − θ′)δ(ϕ− ϕ′), (2.127)

conG|r=0 = 0. (2.128)

La solucion de (2.127) y (2.128) es facil de conseguir usando el hecho de que los ar-monicos esfericos son un conjunto ortogonal completo, con una relacion de cierre dadapor

∞∑l=o

l∑m−l

Y ml (θ′, ϕ′)∗ Y m

l (θ, ϕ) =1

sin θδ(θ − θ′)δ(ϕ− ϕ′) (2.129)

y de aqui que podamos proponer la expansion

G(~x, ~x′) =∞∑l=0

l∑m=−l

Glm(r; r′, θ′, ϕ′)Y ml (θ, ϕ). (2.130)

Sustituyendo (2.130) y (2.129) en (2.127)

∞∑l=0

l∑m=−l

(1

r2

d

dr(r2Glm)− l(l + 1)

r2Glm

)Y m

l (θ, ϕ) =

−4π∞∑l=0

l∑m=−l

δ(r − r′)

r2Y m

l (θ′, ϕ′)∗Y ml (θ, ϕ), (2.131)

donde hemos usado (2.80) y (2.88).Multiplicando (2.131) por Y m

l (θ, ϕ)∗ sin θ e integrando en los angulos θ y ϕ se tiene,usando la relacion de ortogonalidad (2.94),

1

r2

d

dr

(r2 d

drGlm

)− l(l + 1)

r2Glm = −4π

r2δ(r − r′)Y m

l (θ′, ϕ′)∗ (2.132)

y conGlm(r; r′, θ′, ϕ′) = gl(r, r

′)Y ml (θ′, ϕ′)∗ (2.133)

25

se tiened

dr

(r2 d

drgl

)− l(l + 1)gl = −4πδ(r − r′). (2.134)

Por otro lado, de (2.128) se desprende que

gl|r=a = 0 (2.135)

y adicionalmente exigiremos quegl|r=0 <∞. (2.136)

Se sigue que gl es la funcion de Green para el operador d/dr(r2d/dr) − l(l + 1) quesatisface las condiciones de contorno en dos puntos (2.135,2.136).

La solucion de (2.134) y (2.135,2.136) viene dada por

gl(r, r′) = Θ(r′ − r)

4π

2l + 1rl(r′−(l+1) − a−(2l+1)r′l

)+ Θ(r − r′)

4π

2l + 1r′l(r−(l+1) − a−(2l+1)rl

)(2.137)

o bien

gl(r, r′) =

4π

2l + 1rl<

(r−(l+1)> − a−(2l+1)rl

>

), (2.138)

donde r< ≡ minr, r′ y r> ≡ maxr, r′.De (2.130), (2.133) y (2.138) se sigue

G(~x, ~x′) =∞∑l=0

l∑m=−l

4π

2l + 1Y m

l (θ′, ϕ′)∗ Y ml (θ, ϕ) rl

<

(1

rl+1>

− rl>

a2l+1

). (2.139)

A continuacion veamos algunos ejemplos en los que es util el empleo de (2.139).Consideremos el problema (2.76) con la condicion de contorno (2.77), que ya fue re-suelto (vease (2.98)). De acuerdo a (2.29) se tiene

Φ(r, θ, ϕ) = − 1

4π

∮s

Φ(~x′) ∂n′Gda′

= − 1

4πa2

∫ π

0

dθ′ sin θ′∫ 2π

0

dϕ′V (θ′, ϕ′)∂G

∂r′(~x, ~x′) |r′=a

y con r′|s = a = r>,

∂G

∂r′|r′=a = −

∞∑l=0

l∑m=−l

4π

2l + 1Y m

l (θ′, ϕ′)∗ Y ml (θ′, ϕ′) rl

((2l + 1)

al+2

)y por lo tanto

Φ(r, θ, ϕ) =∞∑l=0

l∑m=−l

[∫ π

0

dθ′∫ 2π

0

dϕ′ sin θ′ Y ml (θ′, ϕ′)∗ V (θ′, ϕ′)

](ra

)l

Y ml (θ, ϕ),

(2.140)

26

que es la solucion dada en (2.98).Veamos a continuacion otra aplicacion de (2.139). Consideremos el problema de

encontrar el potencial electrostatico Φ en el interior de una region esferica sobre cuyasuperficie imponemos Φ = 0 y en cuyo interior se encuentra un anillo de radio b y cargatotal Q uniformemente distribuida.

La densidad de carga del anillo en coordenadas esfericas viene dada por

ρ(~x) =Q

2πb2 sin θδ(r − b)δ(θ − π

2) (2.141)

y de acuerdo a (2.29)

Φ(r, θ, ϕ) =

∫Ω

d3x′ρ(~x′)G(~x, ~x′)

=∞∑l=0

l∑m=−l

4π

2l + 1Y m

l (θ, ϕ)

∫ a

0

dr′r′2∫ π

0

dθ′ sin θ′∫ 2π

0

dϕ′Q

2πb2 sin θ′δ(r′ − b)δ(θ′ − π

2)Y m

l (θ′, ϕ′)∗rl<

(1

rl+1>

− rl>

a2l+1

)=

∞∑l=0

l∑m=−l

4π

2l + 1Y m

l (θ, ϕ)rl<

(1

rl+1>

− rl>

a2l+1

)∫ 2π

0

dϕ′ Y ml (

π

2, ϕ)∗.

donde ahora r< ≡ minr, b y r> ≡ maxr, b. Usando (2.101), finalmente obtenemos

Φ(r, θ, ϕ) = Q∞∑l=0

Pl(0) rl<

(1

rl+1− rl

>

a2l+1

)Pl(cos θ). (2.142)

La solucion en este caso viene dada como una expansion en potencias de r y polinomiosde Legendre, cosa que hubiera podido ser adelantada al observar que el problema poseesimetria azimutal.

Expansion de la funcion de Green en coordenadas cilindricas

Veamos a continuacion como obtener expansiones para la funcion de Green en coor-denadas cilindricas. Como ejemplo, busquemos la funcion de Green del problema decontorno(∂ρ∂ρ +

1

ρ∂ρ +

1

ρ2∂ϕ∂ϕ + ∂z∂z

)G(ρ, ϕ, z; ρ′, ϕ′, z′) = −4π

ρδ(ρ− ρ′)δ(ϕ− ϕ′)δ(z − z′);

(2.143)donde 0 < ρ, ρ′ < a; 0 < ϕ, ϕ′ < 2π y 0 < z, z′ < `; con

G|∂Ω = 0, (2.144)

siendo ∂Ω la superficie de un cilindro de radio a y altura ` con base en el plano XY .

27

Haciendo uso de

1

ρδ(ρ− ρ′)δ(ϕ− ϕ′) =

1

2π

∞∑m=−∞

e−im(ϕ−ϕ′)∞∑

n=1

2

[J ′m(αmn)]2Jm(αmnρ) Jm(αmnρ

′),

(2.145)con 0 < ρ, ρ′ < 1 y 0 < ϕ, ϕ′ < 2π, donde Jm es la funcion de Bessel de orden m,J−m = (−1)mJm y αmn son las raices de Jm, Jm(αmn) = 0, se propone

G(ρ, ϕ, z; ρ′, ϕ′, z′) =∞∑

m=−∞

∞∑n=1

Gmn(z; ρ′, ϕ′, z′) e−imϕ Jm(αmnρ

a)

y de (2.143) se sigue

∞∑m=−∞

∞∑n=1

[−α

2mn

a2Gmn +

d2

dz2Gmn

]e−imϕJm(αmn

ρ

a) =

− 4π

2πa2

∞∑m=−∞

∞∑n=1

2e−im(ϕ−ϕ′)

[J ′m(αmn)]2Jm(αmn

ρ

a) Jm(αmn

ρ′

a)δ(z − z′),

esto es,

d2

dz2Gmn −

α1mn

a2Gmn = − 4

a2eimϕ′

Jm(αmnρ′

a)[J ′m(αmn)]2δ(z − z′). (2.146)

Definiendo

Gmn(z; ρ′, ϕ′, z′) = gmn(z; z′)1

a2eimϕ′

Jm(αmnρ′

a)[J ′m(αmn)]−2 (2.147)

tenemos que gmn satisface

⇒ d2

dz2gmn(z; z′)− α2

mn

a2gmn = −4δ(z − z′) (2.148)

y de las condiciones de contorno para G

G|z=0 = G|z=` = 0, (2.149)

se sigue que gmn satisface a su vez las condiciones

gmn|z=0 = gmn|z=` = 0. (2.150)

La solucion elemental de (2.148) y (2.150) se encuentra viene dada por

gmn(z; z′) =4a

αmn sinh(αmn`/a)sinh(

αmn

az<) sinh

(αmn

a(`− z>)

)(2.151)

Finalmente, tenemos que

G(~x, ~x′) =∞∑

m=−∞

∞∑n=1

4a e−im(ϕ−ϕ′)

αmn sinh(αmn`/a)a2[J ′m(αmn)]2Jm(αmn

ρ′

a)Jm(αmn

ρ

a)

× sinh(αmn

az<

)sinh

(αmn

a(`− z>)

). (2.152)

28

Es conveniente senalar que (2.152) no es la unica expansion posible para la funcionde Green solucion de (2.143) y (2.144). Por ejemplo, si utilizamos

δ(ϕ− ϕ′) =1

2π

∞∑m=−∞

e−im(ϕ−ϕ′), 0 < ϕ, ϕ′ < 2π; (2.153)

y

δ(z − z′) =1

2`+

1

`

∞∑n=1

(cos

nπz′

`cos

nπz

`+ sin

nπz′

`sin

nπz

`

), 0 < z, z′ < `;

(2.154)proponiendo una expansion para G en esa base de funciones y dejando por ultimo labusqueda de la solucion elemental en la variable ρ obtendremos

G(~x, ~x′) =4

`

∞∑m=−∞

∞∑n=1

eim(ϕ−ϕ′) sin(nπz

`

)sin

(nπz′

`

)Im(nπρ</`)

Im(nπa/`)

×[Im(

nπa

`)Km(

nπρ>

`)−Km(

nπa

`)Im(

nπρ>

`)], (2.155)

dondeIm(x) = (i)−mJm(ix), Km(x) =

π

2(i)m+1[Jm(im) + iNm(ix)],

son las funciones de Bessel modificadas, soluciones de

d2R

dx2+

1

x

dR

dx−(

1 +m2

x2

)R = 0. (2.156)

29

Capıtulo 3

Expansion Multipolar.Electrostatica en medios materiales

Este capıtulo tiene dos objetivos principales:

1. La obtencion de la expansion en multipolos de una distribucion de cargas locali-zada

2. La derivacion de las ecuaciones de la electroestatica en una medio material

3.1 Expansion multipolar

Una distribucion de cargas localizada es por definicion una densidad de carga ρ(~x)que se anula fuera de una region R (esto es, una distribucion de soporte acotado). Esclaro, cualquiera que sea la distribucion localizada de cargas ρ(~x), siempre es posibleproponer la expansion

Φ(~x) =∞∑l=0

l∑m=−l

4π

2l + 1qlm

Y ml (θ, ϕ)

rl+1(3.1)

para el potencial electroestatico en el exterior de la region R. El problema a resolveres la determinacion de los coeficientes qlm en (3.1), que es claro, dependen de ρ(~x) yaque

Φ(~x) =

∫d3~x′

ρ(~x)

|~x− ~x′|. (3.2)

Ahora bien,

1

|~x− ~x′|=

∞∑l=0

l∑m=−l

4π

2l + 1Y m

l (θ′, ϕ′)∗Y ml (θ, ϕ)

rl<

rl+1>

(3.3)

como puede verse haciendo a → ∞ en (2.139) y con G(~x, ~x′) = |~x− ~x′|−1 la funcionde Green para el problema de contorno con la unica condicion lim|~x|→∞G = 0. Puesto

30

que estamos interesados en el potencial fuera de R, r< = r′ y r> = r, y se tendra

Φ(~x) =

∫d3x′

ρ(~x′)

|~x− ~x′|=

∫d3x′ρ(~x′)

[∞∑l=0

l∑m=−l

4π

2l + 1(Y m

l (θ′, ϕ′))∗Y ml (θ, ϕ)

r′l

rl+1

]

=∞∑l=0

l∑m=−l

4π

2l + 1

[∫d3x′r′l(Y m

l (θ′, ϕ′))∗ρ(~x)

]Y m

l (θ, ϕ)

rl+1(3.4)

y de (3.4) y (3.1) se desprende

qlm =

∫d3x′ r′l Y m

l (θ′, ϕ′)∗ ρ(~x′). (3.5)

Los coeficientes qlm se conocen como los momentos multipolares de la distribucionde cargas ρ(~x). Para facilitar la interpretacion fısica de los mismos escribamos unoscuantos qlm en coordenadas cartesianas. Ası

q00 =1√4π

∫d3x′ρ(~x) =

1√4πq, (3.6)

donde

q ≡∫d3x′ρ(~x′) (3.7)

es la carga total de ρ(~x). A q00 se le denomina termino monopolar de la distribucionρ(~x).

Por otro lado, para l = 1 se tiene

q11 = −√

3

8π

∫d3x′ (x′ − iy′)ρ(~x′) = −

√3

8π(px − ipy),

q10 =

√3

4π

∫d3x′ z′ρ(~x′) =

√3

4πpz,

q1−1 =

√3

8π

∫d3x′(x′ + iy′)ρ(~x′) =

√3

8π(px + ipy),

donde

~p ≡∫d3x′ ~x′ρ(~x′), (3.8)

define al momento dipolar electrico de la distribucion ρ(~x).Para l = 2 tenemos

q22 =1

4

√15

2π

∫d3x′ (x′ − iy′)2ρ(~x′) =

1

12

√15

2π(Q11 − 2iQ12 −Q22)

q21 = −√

15

8π

∫d3x′ z′(x′ − iy′)ρ(~x′) = −1

3

√15

8π(Q13 − iQ23)

q20 =1

2

√5

4π

∫d3x′(3z′2 − r′2)ρ(~x′) =

1

2

√5

4πQ33, (3.9)

31

con ql,−m = (−1)mq∗lm y donde hemos definido las cantidades

Qij ≡∫d3x′(3x′ix

′j − r′2δij)ρ(~x

′). (3.10)

Al tensor (de traza nula) Q = Qij ei ⊗ ej; i, j = x, y, z; con Qij dado por (3.10) se leconoce como el tensor momento cuadrupolar electrico.

De lo anterior se desprende que los momentos multipolares qlm para un l dado soncombinaciones lineales de los correspondientes multipolos en coordenadas cartesianas,en terminos de los cuales se tiene

Φ(~x) =

∫d3x′

ρ(~x′)

|~x− ~x′|

=

∫d3x′ρ(~x′)

(1

|~x|+

~x

|~x|3· ~x′ + 1

2

1

|~x|5∑i,j

(3x′ix′j − r′2δij)xixj + · · ·

)

=q

|~x|+~p · ~x|~x|3

+1

2

∑i,j

Qijxiyj

|~x|5+ · · · (3.11)

con q, ~p y Qij dados por (3.7), (3.8) y (3.10), respectivamente.A partir de (3.4) o (3.11) es facil obtener el campo electrico debido a un multipolo

dado. Por ejemplo de (3.11) se tiene que el campo electrico en un punto ~x debido a undipolo ~p localizado en el origen viene dado por

~E(~x) = −~∇(~p · ~x|~x|3

).

Ahora [∇(~p · ~x|~x|3

)]i

= ∂ipjxj

(xkxk)3/2= pj

δij(x− kxk)3/2

+ pjxj∂i1

(xkxk)3/2

= pjδij

(xkxk)3/2− 3pjxj

xi

(xkxk)5/2,

(3.12)

de donde se sigue

~E(~x) = − ~p

|~x|3+

3(~p · ~x)~x|~x|5

=3(~p · x)x− ~p

|~x|3. (3.13)

En particular, para un dipolo ~p a lo largo del eje z el potencial en coordenadas esfericasviene dado por

Φ(~x) =1∑

m=−1

4π

3q1m

Y m1 (θ, ϕ)

r2

y el campo electrico correspondiente es

Er =2p cos θ

r3, Eθ =

p sin θ

r3, Eϕ = 0,

32

cuya verificacion se deja como ejercicio.Es necesario recalcar que los momentos multipolares qlm en (3.1) dependen de la

eleccion del origen del sistema de coordenadas. Como un ejemplo trivial, considereseuna carga puntual q localizada en (r0, θ0, ϕ0), la distribucion de cargas viene dada por

ρ(~x) =q

r20 sin θ0

δ(r − r0) δ(θ − θ0) δ(ϕ− ϕ0).

y los momentos multipolares son en este caso

qlm = q rl0 Y

ml (θ0, ϕ0)

∗,

obviamente no nulos ∀ l, m .Comentario: El campo electrico debido a un dipolo, (3.13), ha sido obtenido

derivando el potencial en el sentido de la teorıa de funciones. De una derivacion en elsentido de las distribuciones obtenemos

~E(~x) =3x(~p · x)− ~p

|~x|3− 4π

3~p δ(~x),

expresion que sugiere que los dipolos pueden ser tratados como objetos puntuales. Enefecto, un dipolo electrico con momento dipolar ~p, localizado en ~x0, tiene asociada ladistribucion de cargas

ρ(~x) = −~p · ~∇δ(~x− ~x0),

la cual, a traves de (3.2), genera el potencial

Φ(~x) = ~p · (~x− ~x0)/|~x− ~x0|3

asociado a un dipolo ~p localizado en ~x0.

3.2 Expansion multipolar de la energıa de una dis-

tribucion de cargas en un campo externo

Si una distribucion localizada de cargas ρ(~x) se coloca en un potencial electroestaticoexterno Φ(~x), la energıa electroestatica del sistema es

W =

∫d3x ρ(~x) Φ(~x). (3.14)

Si el potencial Φ cambia levemente sobre la region R donde ρ(~x) tiene su soporte,entonces es posible expandir Φ en torno de algun origen apropiado

Φ(~x) = Φ(0) + ~x · ~∇Φ(0) +1

2

∑i,j

xixj ∂i∂jΦ(0) + · · · (3.15)

= Φ(0)− ~x · ~E(0)− 1

2

∑i,j

xixj ∂iEj(0) · · ·

= Φ(0)− ~x · ~E(0)− 1

6

∑i,j

(3xixj − r2δij) ∂iEj(0) + · · · ,

33

donde hemos usado el hecho de que ~∇ · ~E = 0 ∀~x /∈ R y de aquı que

W = qΦ(0)− ~p · ~E(0)− 1

6

∑i,j

Qij ∂iEj + · · · (3.16)

expansion que muestra la forma caracteristica en la cual los momentos multipolares deuna distribucion de cargas localizada interactuan con un campo externo.

3.3 Electrostatica en medios materiales

Hasta el momento solo hemos considerado potenciales electrostaticos y campos en elvacio. Sin embargo es claro que si estamos interesados en el mismo problema pero estavez en un medio material debemos entonces tomar en cuenta la respuesta electrica delmedio. Lo anterior nos lleva a considerar el valor promedio de los campos sobre regionesmacroscopicamente pequenas pero microscopicamente grandes (si no el analisis clasicoes deficiente) para obtener las ecuaciones de Maxwell apropiadas. Dentro del marcode un enfoque netamente clasico haremos a continuacion una discusion muy elementalsobre la polarizacion de los medios materiales y la contribucion de esta al potencial ycampo electricos.

En primer lugar tenemos que la ecuacion

~∇× ~E = ~0 (3.17)

sigue siendo valida, ya que la misma es independiente de las fuentes, lo que implicaque el campo electrico es todavia derivable de un potencial Φ(~x).

Por otro lado, la aplicacion de un campo electrico a un medio constituido por ungran numero de moleculas hara que la densidad de carga de las mismas se distorsioney sus momentos multipolares seran distintos de los presentes en el caso de campoaplicado nulo. Suponiendo que el momento multipolar molecular dominante con elcampo aplicado sea el dipolar, se tendra que el potencial dΦ en ~x tiene entonces doscontribuciones. Una proveniente de la carga ρ(~x′)d3x′ contenida en el volumen d3x′

en torno del punto ~x′ y la otra generada por la configuracion de momentos dipolareselectricos localizados en ese mismo volumen (vease (3.11))

dΦ(~x, ~x′) =

(ρ(~x′)

|~x− ~x′|+ ~P (~x′) · (~x− ~x′)

|~x− ~x′|3

)d3x′, (3.18)

donde ~P (~x) es el momento dipolar por unidad de volumen y que denominaremos po-larizacion electrica.

De (3.18) se sigue que

Φ(~x) =

∫d3x′

[ρ(~x′)

|~x− ~x′|+ ~P (~x′) · (~x− ~x′)

|~x− ~x′|2

]=

∫d3x′

1

|~x− ~x′|

(ρ(~x′)− ~∇′ · ~P (~x′)

), (3.19)

34

donde hemos integrado por partes para llegar a la ultima expresion y usado el hechode ~P es de soporte acotado. Notese que (3.19) es la expresion del potencial creado por

una distribucion de cargas efectiva ρef.(~x) ≡ ρ(~x)− ~∇· ~P (~x). Ası, con ~E(~x) = −~∇Φ(~x)se tiene entonces

~∇ · ~E(~x) = 4π[ρ(~x)− ~∇ · ~P (~x)

]. (3.20)

Definiendo el desplazamiento electrico ~D

~D(~x) ≡ ~E(~x) + 4π ~P (~x), (3.21)

(3.20) se transforma en1

~∇ · ~D = 4πρ. (3.22)

Las ecuaciones (3.17) y (3.22) son las ecuaciones de Maxwell para la electroestatica enmedios materiales.

De manera de obtener soluciones para los potenciales y/o campos electroestaticos

a partir de (3.17) y (3.22) es necesario dar relaciones constitutivas entre ~D y ~E. Su-poniendo que la respuesta del material al campo electrico aplicado es lineal y que elmedio es isotropo, entonces

~P (~x) = χe(~x) ~E(~x), (3.23)

donde χe es la suceptibilidad electrica del medio. Ası se tendra

~D(~x) = ε(~x) ~E(~x), (3.24)

dondeε(~x) = 1 + 4πχe(~x) (3.25)

es la denominada constante dielectrica o permitividad electrica relativa. Si el mediono solo es isotropo si no tambien uniforme, χe y por lo tanto ε seran independientesde la posicion. En caso de que el medio sea anisotropo, una generalizacion obvia de(3.24) es (suponiendo respuesta lineal)

Di = εijEj, (3.26)

donde las εij son las componentes del tensor permeabilidad electrica. Es convenien-te hacer notar que en general ε depende de la estructura molecular y cristalina delmaterial, de la densidad y la temperatura.

Ahora, suponiendo el espacio lleno de diferentes medios, no necesariamente linealesen sus respuestas, debemos entonces encarar el problema de las condiciones de contornopara ~E y ~D en la interfaz entre medios. De (3.22) tenemos∫

V

d3x ~∇ · ~D = 4π

∫V

d3x ρ

=

∮S

~D · n da = ( ~D1 − ~D2) · n21A,

1Si incluimos la densidad de momentos cuadrupolares electricos, se define entonces

Di = Ei + 4π(Pi − ∂jQij).

35

donde n21 es la normal a la superficie interfaz, dirigida del medio 2 al medio 1, se hautilizado el teorema de la divergencia y la superficie gausiana S escogida tiene la formade una cajita de pıldoras, cuya altura tiende a cero y con caras circulares paralelas ala superficie y de area A lo suficientemente pequena como para que ~D tome el mismovalor sobre toda la superficie de dichas caras. Por otro lado, si la densidad de carga essingular sobre la interfaz entonces

4π

∫V

ρd3x = 4πσ A,

donde σ es la densidad de carga superficial en la interfaz y de aquı que

( ~D1 − ~D2) · n21 = 4πσ. (3.27)

De la misma manera podemos escoger convenientemente un contorno C rectangulary emplear el teorema de Stokes para determinar las discontinuidades de las componen-tes tangenciales de ~E. Con los lados de C perpendiculares a la superficie interfaztendiendo a cero y los lados paralelos a la misma de longitud l se tiene

0 =

∫S

~∇× ~E · n da =

∫C

~E · d~l = ( ~E2 − ~E1)||l,

esto es,n21 × ( ~E1 − ~E2) = 0. (3.28)

Las ecuaciones (3.27) y (3.28) nos dan las condiciones de contorno que deben satisfacer~D y ~E en la interfaz entre medios dielectricos.

36

Capıtulo 4

Magnetostatica

En las discusiones precedentes hemos estudiado algunos aspectos de la interaccion en-tre distribuciones de carga estacionarias, el papel de estas como fuentes de los camposelectrostaticos y los problemas de contorno mas usuales asociados al potencial elec-trostatico. Ahora volcaremos nuestra atencion al estudio de los fenomenos magneticosen estado estacionario.

4.1 Magnetostatica. El campo ~B

Como es sabido, el campo magnetico d ~B producido en ~x por el elemento de corrienteId~l′ de un hilo a traves del cual fluye una corriente I (d~l′ apunta en la direccion delflujo de corriente) viene dado por

d ~B =1

cI d~l′ × ~x− ~x′

|~x− ~x′|3, (4.1)

donde ~x′ es la posicion del elemento de corriente Id~l′, expresion que se usa en los cursoselementales para obtener el campo magnetico de distribuciones de corriente sencillas.Como una aplicacion muy sencilla de (4.1), consideremos el campo magnetico produci-do por un alambre recto infinito a traves del cual fluye una corriente I. Suponiendo queel hilo de corriente define al eje z tendremos d~l′ = dz′ ez, ~x

′ = z′ ez y con ~x = ρ eρ+z ez,de (4.1) obtenemos

~B(ρ, ϕ, z) =

∫d ~B =

Iρ

c

∫ ∞

−∞

dz′

(ρ2 + (z − z′)2)3/2eϕ =

2I

cρeϕ,

donde ρ es la distancia desde el hilo de corriente hasta el punto de observacion, en ladireccion perpendicular al hilo.

La ecuacion (4.1) puede reescribirse en forma muy general en terminos de la den-

sidad de corriente ~J(~x)

~B(~x) =1

c

∫d3~x′ ~J(~x′)× ~x− ~x′

|~x− ~x′|3, (4.2)

37

ecuacion que es el analogo magnetico de la expresion que da el campo electrico enterminos de la densidad de carga ρ(~x)

~E(~x) =

∫d3~x′ρ(~x′)

~x− ~x′

|~x− ~x′|3,

cuya forma diferencial hemos visto viene dada por

~∇ · ~E(~x) = −4πρ(~x).

Otra expresion conocida de los cursos elementales, es la que nos da la fuerza que ex-perimenta un elemento de corriente Id~I en presencia de una campo magnetico externo~B

d~F =1

cId~l × ~B,

que admite la generalizacion evidente

d~F (~x) =1

cd3x ~J(~x)× ~B(~x).

Ahora, si nos restringimos a considerar situaciones en las que se tienen distribucio-nes de corriente y campos magneticos independientes del tiempo, ası como distribucio-nes de carga y campos electricos independientes del tiempo, las ecuaciones de Maxwell(1.4,1.5,1.6,1.7) se reducen a

~∇ · ~E(~x) = 4πρ(~x), ~∇× ~E(~x) = ~0, (4.3)

~∇× ~B = 4π ~J(~x), ~∇ · ~B(~x) = 0, (4.4)

de donde se sigue que los campos ~E y ~B se desacoplan en el caso estatico. Ası tenemosque los fenomenos electrostaticos y magnetostaticos lucen entonces independientes.

Vamos a demostrar que la expresion (4.2) satisface las ecuaciones (4.4). Para ellonotemos que

~B(~x) =1

c

∫d3~x′ ~J(~x′)× ~x− ~x′

|~x− ~x′|3= −1

c

∫d3~x′ ~J(~x′)× ~∇

(1

|~x− ~x′|

)=

1

c

∫d3~x′~∇

(1

|~x− ~x′|

)× ~J(~x′) =

1

c~∇×

∫d3~x′

~J(~x′)

|~x− ~x′|− 1

c

∫d3~x′

~∇× ~J(~x′)

|~x− ~x′|

=1

c~∇×

∫d3~x′

~J(~x′)

|~x− ~x′|, (4.5)

de donde se sigue de inmediato que

~∇ · ~B(~x) = 0. (4.6)

Ahora, por analogıa con la electrostatica, donde ~∇ × ~E = ~0, calculemos ~∇ × ~B.Con ~B dado por (4.2) se tiene que

~∇× ~B =1

c~∇× ~∇×

∫d3~x′

~J(~x′)

|~x− ~x′|,

38

y usando ~∇× (~∇× ~A) = ~∇(~∇ · ~A)−∆ ~A, obtenemos

~∇× ~B =1

c~∇∫d3~x′ ~J(~x′) · ~∇

(1

|~x− ~x′|

)− 1

c

∫d3~x′ ~J(~x′)∆

(1

|~x− ~x′|

).

A continuacion, con

~∇(

1

|~x− ~x′|

)= −~∇′

(1

|~x− ~x′|

)y

∆

(1

|~x− ~x′|

)= −4πδ(~x− ~x′)

encontramos que

~∇× ~B(~x) = −1

c~∇∫d3~x′ ~J(~x) · ~∇′

(1

|~x− ~x′|

)+

4π

c~J(~x′)

= −1

c~∇

(∫d3~x′

[~∇ ·

(~J(~x′)

|~x− ~x′|

)− 1

|~x− ~x′|~∇′ · ~J(~x′)

])+

4π

c~J(~x)

=1

c~∇∫d3~x′

~∇′ · ~J(~x′)

|~x− ~x′|+

4π

c~J(~x),

donde hemos usado el teorema de la divergencia y el hecho de que ~J es localizada.Ahora bien, ~∇ · ~J + c−1∂tρ = 0 y con ∂tρ = 0 en el estado estacionario, finalmenteencontramos

~∇× ~B(~x) =4π

c~J(~x). (4.7)

Hemos entonces demostrado que (4.2) satisface las ecuaciones de Maxwell de la mag-netostatica dadas por (4.4).

Por ultimo, de (4.7) se sigue que∫S

~∇× ~B · d~s =4π

c

∫S

~J · d~s

y empleando el teorema de Stokes∮C

~B · d~l =4π

c

∫S

~J · d~s,

expresion que se conoce como la Ley de Ampere.

4.2 El potencial vector ~A

Una estrategia general para resolver el problema que involucra a las ecuaciones (4.6)

y (4.7) es la de explotar el hecho de que si ~∇ · ~B = 0 en todo el espacio, entonces

~B(~x) = ~∇× ~A(~x), (4.8)

39

donde ~A recibe el nombre de potencial vector. Comparando (4.8) y (4.5) se desprende

que ~A viene dado por

~A(~x) =1

c

∫d3~x′

~J(~x′)

|~x− ~x′|+ ~∇χ(~x), (4.9)

donde en el termino ~∇χ reconocemos la libertad en la eleccion de calibre para elpotencial, esto es,

~B(~x) = ~∇× ~A(~x),

para χ(~x) arbitrario!Ahora, sustituyendo (4.8) en (4.7) tendremos

~∇× (~∇× ~A) =4π

c~J

y usando ~∇× (~∇× ~A) = ~∇(~∇ · ~A)−∆ ~A, encontramos

~∇(~∇ · ~A)−∆ ~A =4π

c~J.

Debido a la libertad de calibre en la eleccion de ~A, ecuacion (4.9), podemos hacer~∇ · ~A = 0 (calibre de Coulomb) y tendremos que ~A satisface entonces

∆ ~A(~x) = −4π

c~J(~x) (4.10)

que es claro tendra a (4.9) como solucion en R3, con χ fijado por la condicion ~∇· ~A = 0.

4.3 El potencial ~A y el campo ~B de algunas distri-

buciones de corriente

Un hilo recto de corriente infinitamente largo

Para el campo magnetico producido por un hilo recto infinito a traves del cual flu-ye una corriente I, suponiendo que el hilo de corriente define al eje z, encontramosanteriormente la expresion en coordenadas cilindricas

~B(ρ, ϕ, z) =2I

cρeϕ.

Aquı puede ser instructivo revisar la derivacion de este resultado, particularmentesimple, a partir del potencial vector ~A. En este caso ~A debe satisfacer (4.10) con

~J(~x) = Jz ez, Jz = Iδ(ρ)

2πρ. (4.11)

40

Ahora, es claro que el sistema considerado es invariante bajo traslaciones a lo largodel eje z y por lo tanto el problema es efectivamente un problema bi-dimensional, estoes, ~A(~x) = Az ez con Az = Az(ρ, ϕ). Ası, de (4.10-4.11) se sigue

∆(2)Az = −4πJz

y por lo tanto Az(ρ, ϕ) viene dado por

Az(ρ, ϕ) = −2

c

∫ ∞

0

dρ′ ρ′∫ 2π

0

dϕ′ Jz(ρ′, ϕ′) ln

√(ρ cosϕ− ρ′ cosϕ′)2 + (ρ sinϕ− ρ′ sinϕ′)2

(4.12)donde hemos usado el hecho de que en R2 se tiene

∆(2) ln |~x|−1 = −2πδ(~x),

con ∆(2) el operador laplaciano en 2 dimensiones.De (4.11) y (4.12) se sigue que

Az(ρ, ϕ) = −2I

cln ρ (4.13)

y finalmente encontramos

~B = ∇× ~A =2I

cρeϕ, (4.14)

que es el resultado esperado.

Un anillo circular de corriente

Consideremos a continuacion la siguiente distribucion de corriente: un anillo circularde radio a que se encuentra en el plano xy, centrado en el origen y a traves del cualfluye una corriente I. En este caso la densidad de corriente ~J viene dada por

~J = Jϕ (− sinϕ ex + cosϕ ey),

conJϕ = I δ(z) δ(ρ− a)

en coordenadas cilındricas o bien

Jϕ =I

aδ(θ − π

2) δ(r − a),

en coordenadas esfericas.Partiendo de (4.9) tenemos

~A(~x) =1

c

∫d3x′

(− sinϕ′ ex + cosϕ′ ey) Jϕ(~x′)

|~x− ~x′|, (4.15)

41

donde hemos ignorado el termino ~∇χ. En coordenadas esfericas, con

|~x− ~x′| = (r2 + r′2 − 2rr′ cos γ)1/2,

dondecos γ = cos θ cos θ′ + sin θ sin θ′ cos(ϕ− ϕ′),

se tendra

~A(r, θ, ϕ) =Ia

c

∫ 2π

0

dϕ′(− sinϕ′ ex + cosϕ′ ey)

(r2 + a2 − 2ar sin θ cos(ϕ− ϕ′))1/2. (4.16)

Ahora, es claro que el sistema considerado posee simetria azimutal y evaluando ~Aen ϕ = 0 encontramos

~A(r, θ, 0) =Ia

c

∫ 2π

0

dϕ′cosϕ′

(a2 + r2 − 2ar sin θ cosϕ′)1/2ey (4.17)

de donde se sigue que ~A = Aϕ(− sinϕ ex + cosϕ ey) con

Aϕ(r, θ) =Ia

c

∫ 2π

0

dϕ′cosϕ′

(a2 + r2 − 2ar sin θ cosϕ′)1/2. (4.18)

En lugar de la expresion integral (4.18), es posible obtener Aϕ como una expansionen funciones de Legendre, resultado que muestra a su vez de manera explıcita diferen-cias importantes entre los campos magnetostaticos y los electrostaticos. Partiendo de(4.15), sustituyendo |~x− ~x′| por su expansion en armonicos esfericos, ecuacion (3.3), yevaluando en ϕ = 0 encontramos

Aϕ(r, θ) =4πI

ca

∞∑l=0

l∑m=−l

1

2l + 1Y m

l (θ, 0)×∫ ∞

0

dr′r′2∫ π

0

dθ′ sin θ′∫ 2π

0

dϕ′rl<

rl+1>

cosϕ′δ(θ′ − π

2)δ(r′ − a)Y m

l (θ′, ϕ′)∗

=8π2Ia

c

∞∑l=1

Y 1l (θ, 0)

2l + 1

rl<

rl+1>

Y 1l (π

2, 0)∗,

con r< = min(r, a), r> = max(r, a) y donde hemos usado∫ 2π

0

dϕ cosϕ′ Y ml (θ′, ϕ′)∗ = 2π Y 1

l (θ′, 0)∗δm1.

Ahora bien,

Y 1l (π

2, 0)∗ =

√2l + 1

4π(l + 1)P 1

l (0) =

0, l = 2n

√2l + 1

4π(l + 1)

(−1)n+1Γ(n+ 3/2)

Γ(n+ 1)Γ(32)

, l = 2n+ 1

42

y con

Γ(n+3

2) = Γ(n+

1

2+ 1) = (n+

1

2)Γ(n+

1

2) = (n+

1

2)

√π

2n(2n− 1)!! ,

Γ(n+ 1) = n! , Γ(3

2) =

√π

2

obtenemos

Aϕ(r, θ) = −πIac

∞∑n=0

(−1)n (2n− 1)!!

2n(n+ 1)!

r2n+1<

r2n+2>

P 12n+1(cos θ), (4.19)

donde (2n− 1)!! = (1)(3)(5)(· · · )(2n− 3)(2n− 1).

A partir de (4.19) y ~B = ~∇× ~A podemos evaluar el campo magnetico ~B. Haciendouso de

d

dx[√

1− x2P 1l (x)] = l(l + 1)Pl(x), (4.20)

se encuentra

Br =2π

c

Ia

r

∞∑n=0

(−1)n(2n+ 1)!!

2nn!

r<2n+1

r2n+2>

P2n+1(cos θ), (4.21)

Bθ =π

cIa2

∞∑n=0

(−1)n(2n+ 1)!!

2n(n+ 1)!

×[Θ(a− r)

(2n+ 2

2n+ 1

)1

a3

(ra

)2n

−Θ(r − a)1

r3

(ar

)2n]P 1

2n+1(cos θ)(4.22)

y por supuesto Bϕ = 0. Notamos aquı una diferencia importante entre este problema,que obviamente tiene simetria azimutal, y la simetrıa azimutal en electrostatica. Enla solucion (4.21-4.22) aparecen los polinomios de Legendre ordinarios ası como los

asociados, esto debido al caracter vectorial del potencial ~A.

4.4 Momentos magneticos de una distribucion de

corrientes localizadas

Consideremos ahora propiedades de una distribucion de corrientes general localizadaen una region del espacio. Partiendo de (4.9) e ignorando el termino ~∇χ, se tendra

~A(~x) =1

c

∫d3x′

~J(~x′)

|~x− ~x′|=

1

c

∫d3x′ ~J(~x′)

[1

|~x|+~x · ~x′

|~x|3+ · · ·

]=

1

c

1

|~x|

∫d3x′ ~J(~x′) +

xj

c|~x|3

∫d3x′ x′j

~J(~x′) + · · · (4.23)

43

El primer termino es la contribucion al potencial vector del momento monopolar dela distribucion de corriente ~J y puede demostrarse facilmente que es cero si ~∇ · ~J = 0.Para ello, partimos de

~∇ · (xi~J) = xi

~∇ · ~J + ~J · ~∇(xi),

y de aquı que con ~∇ · ~J = 0 se tendra

~∇ · (xi~J) = Ji.

A continuacion, apelando al teorema de la divergencia, encontramos∫Ω

d3x′ Ji(~x′) =

∫Ω

d3x′ ~∇ ·(x′i ~J(~x′)

)=

∫∂Ω

x′i~J(~x′) · d~s→ 0

para Ω → R3 y por lo tanto no hay contribucion monopolar.Considerese a continuacion la contribucion proveniente del segundo termino, para

lo cual lo re-escribimos en la forma∫d3x′ x′jJi(~x

′) =

∫d3x′

[1

2(x′jJi(~x′) + x′iJj(~x

′)) +1

2(x′jJi(~x

′)− x′iJj(~x′))

].

Ahora bien~∇ · (xixj

~J) = xixj~∇ · ~J + ~J · ~∇(xixj),

y con ~∇ · ~J = 0 se sigue del teorema de la divergencia∫Ω

d3x′ (x′jJi(~x′) + x′iJj(~x′)) =

∫Ω

d3x′~∇ ·(x′ix

′j~J(~x′)

)=

∫∂Ω

x′ix′j~J(~x′) · d~s→ 0

para Ω → R3. Por lo tanto

xj

∫d3x′ x′jJi(~x) =

1

2xj

∫d3x′

(x′jJi(~x

′)− x′iJj(~x′))

= −1

2εijk xj

∫d3x′εklm x

′lJm(~x′)

= −1

2

[~x×

∫d3x′ (~x′ × ~J(~x′))

]i

. (4.24)

Definiendo la densidad de momentos magneticos o magnetizacion ~M(~x)

~M(~x) ≡ 1

2c~x× ~J(~x) (4.25)

y al momento magnetico ~m de la distribucion de corriente ~J como

~m ≡ 1

2c

∫d3x′ ~x′ × ~J(x′), (4.26)

44

de (4.23) se desprende que el vector potencial tiene como primer termino no nulo a lacantidad

~Am(~x) =~m× ~x

|~x|3. (4.27)

El campo magnetico asociado a (4.27) es

~B = ~∇× ~A =3n(n · ~m)− ~m

|~x|3, (4.28)

donde n ≡ ~x/|~x|, expresion que debera ser comparada con la obtenida para el campoelecrostatico (3.13) producido por un dipolo electrico ~p. Ası, lejos de cualquier distri-bucion de corriente localizada y estacionaria, el campo magnetico es el de un dipolomagnetico ~m dado por (4.26).

Por ultimo se puede demostrar que, como en el caso de la electrostatica, una deri-vacion de ~A en el sentido de las distribuciones arroja como resultado

~B(~x) = ~∇× ~A(~x) =3n(n · ~m)− ~m

|~x|3+

8π

3~m δ(~x),

cuestion que no abordaremos aquı.

4.5 Ecuaciones de la magnetostatica en medios ma-

teriales

Hasta ahora hemos estudiado situaciones en las que se desea conocer el campo mag-netico producido por distribuciones de corriente estacionarias en regiones en las queno hay materia. No proponemos a continuacion encontrar cuales modificaciones debenhacerse a las ecuaciones de la magnetostatica en el vacıo para incluir en la descripcionla interaccion de los campos magneticos con la materia.

Lo primero que notamos es que la ecuacion

~∇ · ~B = 0, (4.29)

al ser independiente de las fuentes, sigue siendo valida y de aquı que siga siendo utilel concepto de potencial vector ~A(~x), a partir del cual obtenemos ~B via ~B = ~∇× ~A.

Ahora, supongase que queremos incluir en la descripcion unicamente el efecto delos momentos dipolares del medio material. Entonces

~A(~x) =1

c

∫d3x′

[~J(~x′)

|~x− ~x′|+ c

~M(~x′)× (~x− ~x′)

|~x− ~x′|3

], (4.30)

donde ~M es la densidad de momentos magneticos por unidad de volumen del materialconsiderado. Ahora,∫

d3~x′~M(~x′)× (~x− ~x′)

|~x− ~x′|3=

∫d3~x′ ~M(~x′)× ~∇′

(1

|~x− ~x′|

)=

∫d3~x′

~∇′ × ~M(~x)

|~x− ~x′|−∫d3~x′~∇′ ×

(~M(~x)

|~x− ~x′|

)

45

y dado que∫Ω

d3x′~∇′ ×

(~M(~x)

|~x− ~x′|

)= −

∫∂Ω

~M(~x)× d~s

|~x− ~x′|→ 0 para Ω → R3,

se tendra

~A(~x) =1

c

∫d3x′

~J(~x′) + c~∇′ × ~M(~x′)

|~x− ~x′|. (4.31)

Como puede verse de (4.31), la magnetizacion del medio contribuye con una corrien-te efectiva

~JM = c~∇× ~M (4.32)

y de aquı que

~∇× ~B =4π

c~J + 4π~∇× ~M. (4.33)

El termino ~∇× ~M puede ser combinado con ~∇× ~B para definir el campo magnetico~H

~H ≡ ~B − 4π ~M (4.34)

y las ecuaciones de Maxwell de la magnetostatica en medios materiales vienen dadaspor

~∇× ~M =4π

c~J, (4.35)

~∇ · ~B = 0. (4.36)

La introduccion de ~H como campo macroscopico es completamente analoga a laintroduccion de ~D para el campo electrostatico. De nuestra derivacion es claro que loscampos fundamentales son ~E y ~B y los campos ~D y ~H son una definicion que permitetomar en cuenta (en promedio) las contribuciones a ρ y ~J de las cargas y corrientes

atomicas. Por otro lado, es comun reservar el nombre campo magnetico para ~H ydenominar a ~B densidad de flujo magnetico o induccion magnetica.

Por supuesto, la descripcion macroscopica completa de un sistema magnetostaticorequiere de una relacion constitutiva entre ~B y ~H. En general dicha relacion constitu-tiva puede ser sumamente complicada, del tipo

~B = ~F ( ~H). (4.37)

La ecuacion (4.37) refleja el comportamiento de algunos sistemas ferromagneticos conrespuestas tan interesantes como el que ilustra la figura (fenomeno de histeresis), en

los que ~F ( ~H) ni siquiera es una funcion monovaluada. Para el caso ilustrado, ~F ( ~H)depende de la historia del material.

En materiales isotropos con respuesta lineal sencilla se cumple

~M = χm~H, (4.38)

donde χm es un escalar denominado suceptibilidad magnetica. Si χm es positivo elmaterial se denomina paramagnetico, por el contrario si χm es negativo el material es

46

diamagnetico. Si el material es anisotropo, entonces Mi = χijHj y en general ~M no es

paralelo a ~H. Por otro lado, es conveniente resaltar el hecho de que χm es funcion dela temperatura. De (4.38) y (4.34) se tiene

~B = (1 + χm) ~H ≡ µ ~H, (4.39)

donde µ se define como como la permeabilidad magnetica del medio.Es claro, antes de poder resolver problemas de magnetostatica en medios materiales,

debemos conocer las condiciones de frontera que satisfacen ~B y ~H en la interfaz entredos medios. De (4.28) se tiene∫

Ω

d3x ~∇ · ~B = 0 =

∮∂Ω

~B · d~s ⇒ ( ~B1 · n21 − ~B2 · n21)a = 0,

esto es,( ~B1 − ~B2) · n21 = 0. (4.40)

Por otro lado, de (4.35) y del teorema de Stokes se sigue que

4π

c

∫S

~J · d~s =

∫S

~∇× ~H · d~s =

∫C

~H · d~l

y por lo tanto

( ~H1 − ~H2) · l0∆l =4π

c~K · (n21 × l0)∆l

=4π

c( ~K × n21) · l0∆l

donde ~K es la densidad de corriente superficial en la interfaz. Ahora, puesto que ~K esperpendicular a n21, tendremos que

n21 × ( ~H1 − ~H2)|| =4π

cn21 × ~K × n21 =

4π

c

[~K − (n21 · ~K)n21

],

esto es,

n21 × ( ~H1 − ~H2) =4π

c~K. (4.41)

Por supuesto, las ecuaciones (4.40) y (4.41) deben emplearse al resolver las ecuacionesde Maxwell en diferentes regiones para acoplar las soluciones en la interfaz entre dichasregiones.

4.6 Problemas de contorno en magnetostatica

Como ya hemos visto, las ecuaciones basicas de la magnetostatica en medios materialesson (4.35) y (4.36), donde se debe ademas dar alguna relacion constitutiva entre ~B y~H. La gran variedad de situaciones que pueden ocurrir en la practica hace posible elempleo de tecnicas diferentes que en alguna medida permiten simplificar los calculos.

47

4.6.1 Uso del potencial vector ~A

Debido a (4.36), siempre es posible proponer ~B = ~∇× ~A y de (4.35) se tendra

~∇× ~H =4π

c~J,

donde ~H = ~H( ~B), resultando una ecuacion diferencial extremamente complicada. Si~B = µ ~H entonces

~∇× (1

µ~∇× ~A) =

4π

c⇒ ~∇(~∇ · ~A)−∆ ~A =

4πµ

c~J (4.42)

que puede ser resuelta fijando el calibre al calibre de Coulomb ~∇· ~A = 0. Por supuesto,las soluciones de (4.42) deben ser acopladas en la interfaz entre los diferentes mediosusando las condiciones de frontera (4.40) y (4.41).

4.6.2 Uso del potencial escalar magnetico ΦM ( ~J ≡ ~0)Para el caso ~J = ~0, de (4.35) se tiene ~∇ × ~H = ~0 y por lo tanto es posible buscarsoluciones de la forma

~H = −~∇ΦM . (4.43)

Si es posible suponer respuesta lineal, entonces ~B = µ ~H y ΦM satisface

∆ΦM = 0, (4.44)

si µ es constante a trozos.

4.6.3 Ferromagnetos duros ( ~M dado y ~J ≡ ~0)Uso de ~A

Para aquellos ferromagnetos cuya magnetizacion es esencialmente independiente de loscampos aplicados (por supuesto estos ultimos debiles), es posible hacer el tratamientocomo si la magnetizacion fuese fija. En este caso, de (4.35) se sigue que

~∇× ~H = ~∇× ( ~B − 4π ~M) = ~0,

y con ~B = ~∇× ~A, encontramos que ~A satisface en el calibre de Coulomb

∆ ~A = −4π

c~JM , (4.45)

donde ~JM viene dado por (4.32). En ausencia de superficies frontera, la solucion de(4.45) viene dada por

~A(~x) =

∫R3

d3x′~∇′ × ~M(~x′)

|~x− ~x′|. (4.46)

48

Un caso particularmente interesante es el de una magnetizacion que se hace cero abrup-tamente fuera de un volumen Ω, en cuyo caso

~A(~x) =

∫Ω

d3x′~∇′ × ~M(~x′)

|~x− ~x′|+

∫∂Ω

M(~x′)× d~s′

|~x− ~x′|, (4.47)

expresion que asumiremos valida sin demostracion.

Uso de ΦM

Puesto que ~J = ~0, entonces proponemos ~H = −~∇Φm. Ahora, con

~B = ~H + 4π ~M,

se tendra que0 = ~∇ · ~B = ~∇ · ( ~H + 4π ~M)

y por lo tanto∆ΦM = 4π ~∇ · ~M. (4.48)

Si ~M es diferente de cero solo en un volumen Ω, entonces la solucion de (4.48) vienedada por

ΦM(~x) = −∫

Ω

d3x′~∇′ · ~M(~x′)

|~x− ~x′|+

∫∂Ω

~M(~x′) · d~s′

|~x− ~x′|. (4.49)

49

Capıtulo 5

Campos que varıan en el tiempo.Leyes de conservacion

En las discuciones anteriores nos hemos centrado en aquellos problemas que involu-cran distribuciones de carga y corriente estacionarias, empleando tecnicas matematicassimilares, aunque la descripcion de los fenomenos electricos y magneticos se hizo esen-cialmente independiente una de la otra. La naturaleza casi independiente de dichosfenomenos desaparece cuando consideramos problemas dependientes del tiempo. Cam-pos magneticos que varian en el tiempo dan lugar a campos electricos y viceversa.

5.1 Los potenciales Φ y ~A y la ecuacion de onda

Para el caso de campos y fuentes dependientes del tiempo se hace necesario emplearel conjunto de ecuaciones acopladas

~∇ · ~E = 4πρ, (5.1)

~∇ · ~B = 0, (5.2)

~∇× ~E +1

c∂t~B = ~0, (5.3)

~∇× ~B − 1

c∂t~E =

4π

c~J, (5.4)

que son la ley de Gauss, la inexistencia de monopolos magneticos libres, la ley deFaraday y la ley de Ampere, respectivamente. Estas son la ecuaciones de Maxwellen el vacio y la version apropiada en un medio material es la que resulta de cambiar~E y ~B en las ecuaciones no homogeneas (5.1) y (5.4) por ~D y ~H, respectivamente(asumiendo que el medio material esta en reposo). Por los momentos restringiremosnuestra atencion al caso en que no hay medios materiales.

Como hemos visto en el Capıtulo 1, las ecuaciones (5.1) y (5.4) escritas en terminos

de los potenciales Φ y ~A vienen dadas por

∆Φ− 1

c2∂t∂tΦ = −4πρ− 1

c∂t

(~∇ · ~A+

1

c∂tΦ

), (5.5)

50

∆ ~A− 1

c2∂t∂t

~A = −4π

c~J + ~∇

(~∇ · ~A+

1

c∂tΦ

), (5.6)

las cuales, en el calibre de Lorentz

~∇ · ~A+1

c

∂

∂tΦ = 0, (5.7)

se reducen a ecuaciones de onda no homogeneas con ρ y ~J como fuentes

∆Φ− 1

c2∂2Φ

∂t2= −4πρ, (5.8)

∆ ~A− 1

c2∂2 ~A

∂t2= −4π

c~J. (5.9)

Revisemos a continuacion las consecuencias de escoger otro calibre. Considerese laeleccion de calibre

~∇ · ~A = 0. (5.10)

De (5.5) se sigue que Φ satisface la ecuacion de Poisson

∆Φ(~x, t) = −4πρ(~x, t), (5.11)

cuya solucion viene dada por

Φ(~x, t) =

∫d3x′

ρ(~x′, t)

|~x− ~x′|. (5.12)

Tenemos entonces que el potencial escalar Φ es el potencial ”instantaneo”de Coulombproducido por la distribucion de cargas ρ(~x, t) y de aquı que al calibre (5.10) se ledenomine calibre de Coulomb. Por otro lado, de (5.6) se tiene que el potencial vector~A satisface la ecuacion de onda no-homogenea

∆ ~A− 1

c2∂t∂t

~A = −4π

c~J +

1

c~∇∂tΦ, (5.13)

donde el ultimo termino del miembro derecho de (5.13) puede ser calculado a partir de(5.12).

Para resolver (5.13) es conveniente considerar la descomposicion

~J = ~JL + ~JT , (5.14)

con~∇× ~JL = 0 (5.15)

y~∇ · ~JT = 0. (5.16)

51

Las partes longitudinal ~JL y transversa ~JT de ~J pueden ser construidas explicitamentea partir de ~J (vease el teorema de Helmholtz)

~JL = − 1

4π~∇∫d3x′

~∇′ · ~J(~x′)

|~x− ~x′|(5.17)

~JT =1

4π~∇× ~∇×

∫d3x′

~J(~x′)

|~x− ~x′|. (5.18)

A continuacion, de la ecuacion de continuidad

1

c∂tρ+ ~∇ · ~J = 0 (5.19)

se sigue que1

c∂tρ+ ~∇ · ~Jl = 0.

De este resultado y de (5.12) y (5.17) se desprende que

∇∂tΦ = 4π ~Jl (5.20)

y por lo tanto (5.13) se reduce a

∆ ~A− 1

c2∂t∂t

~A = −4π

c~JT . (5.21)

Se encuentra entonces que en este calibre la fuente para ~A es solo para la parte trans-versa ~JT de ~J y al calibre (5.10) se le denomina calibre transverso. Notese que eneste calibre, el potencial escalar Φ satisface la ecuacion de Poisson (5.11), la cual esuna ecuacion del tipo elıptico donde t aparece solo como un parametro y de aquı quesu solucion, (5.12), realmente no se ”propague”. Por otro lado, el potencial vector ~A

satisface una ecuacion de onda (5.21) lo que implica que ~A se propaga con velocidadfinita. Sin embargo, debe tenerse presente que en la descripcion clasica de la interac-cion electromagnetica son los campos ~E y ~B y no los potenciales Φ y ~A las cantidadesfısicamente relevantes.

5.2 Funciones de Green para la ecuacion de onda

Las ecuaciones (5.8), (5.9) y (5.21) tienen todas la estructura basica de una ecuacionde onda. Consideraremos en lo que sigue el problema sin condiciones de contorno

(∂t∂t −∆)Ψ(~x, t) = F (~x, t), −∞ < t <∞, ~x ∈ R3, (5.22)

donde ∆ es el operador laplaciano 3-dimensional, con condiciones iniciales en el “pasadoremoto”

limt→−∞

Ψ(~x, t) → Ψ0(~x, t), (5.23)

52

con Ψ0 la solucion al problema homogeneo (F = 0) y donde hemos hecho c = 1.Supondremos ademas que Ψ esta acotada en todas partes, esto es, |Ψ(~x, t)| <∞ ∀~x ∈R3, y que F (~x, t) es de soporte acotado.

Puesto que (5.22) es lineal, la solucion de (5.22, 5.23) es la suma de la solucion alproblema homogeneo Ψ0 mas la solucion particular al problema no homogeneo

(∂t∂t −∆)Ψp(~x, t) = F (~x, t), −∞ < t <∞, ~x ∈ R3, (5.24)

que satisface las condiciones

limt→−∞

Ψp(~x, t) = 0, limt→−∞

∂tΨp(~x, t) = 0. (5.25)

La solucion de (5.24, 5.25) viene dada por

Ψp(~x, t) =

∫d3x′ dt′Gret(~x, t; ~x

′, t′)F (~x′, t′), (5.26)

donde la funcion de Green Gret satisface

(∂t∂t −∆)Gret(~x, t; ~x′, t′) = δ(~x− ~x′)δ(t− t′); ~x, ~x′ ∈ R3; −∞ < t, t′ <∞, (5.27)

y las condicioneslim

t→−∞Gret = 0, lim

|~x|→−∞Gret = 0. (5.28)

En ausencia de condiciones de contorno que rompan la simetrıa bajo traslaciones setiene que

Gret(~x, t; ~x′, t′) = Gret(~x− ~x′, t− t′), (5.29)

donde(∂t∂t −∆)Gret(~x, t) = δ(~x)δ(t). (5.30)

Una manera de encontrarG es empleando transformadas de Fourier 4-dimensionales

G(~x, t) =1

(2π)4

∫d3k dω ei(~k.~x−ωt)G(~k, ω), (5.31)

G(~k, ω) =

∫d3x dt e−i(~k.~x−ωt)G(~x, t), (5.32)

donde

δ(~x)δ(t) =1

(2π)4

∫d3kdω ei(~k.~x−ωt). (5.33)

Sustituyendo (5.31) y (5.33) en (5.30) se sigue que

G(~k, ω) =1

~k2 − ω2(5.34)

y por lo tanto

G(~x, t) =1

(2π)4

∫d3k dω ei(~k.~x−ωt) 1

~k2 − ω2. (5.35)

53

Notese que G(~k, ω) depende de ~k solo a traves de |~k|. Ası, pasando a coordenadas

esfericas, rotando los ejes en el espacio ~k de forma tal que ~k.~x = |~k| |~x| cos θ con θ elangulo polar e integrando en las variables angulares se tiene

G(~x, t) = − 1

4π3r

∫ ∞

0

dk k sin kr

∫ ∞

−∞dωe−iωt 1

(ω − k)(ω + k), (5.36)

donde k = |~k| y r = |~x|.Ahora, la evaluacion explıcita de (5.36) requiere de alguna prescripcion para mane-

jar los polos en ω = ±|~k|, la cual viene determinada por el tipo de causalidad impuestaen (5.28). Para obtener Gret para t > 0, desplazamos los polos de forma tal queω = −k → −k − iε y ω = k → k − iε, con ε→ 0+. Entonces

Gret(~x, t) = −Θ(t)1

4π3r

∫ ∞

0

dk k sin kr

∫ ∞

−∞dω e−iωt 1

(ω − (k − iε))(ω + (k + iε))(5.37)

Considerando ω como variable compleja, cerrando el contorno de integracion por debajodel eje real (si se cierra por encima la integral diverge) y usando el teorema del residuose tiene

Gret(~x, t) = Θ(t)1

4π3r

∫ ∞

0

dk k sin kr

[−2πiRes

(exp(−iωt)

(ω − (k − iε))(ω + (k + iε))

)]= Θ(t)

1

2π2r

∫ ∞

0

dk sin kr sin kt, (5.38)

de donde se obtiene finalmente

Gret(~x, t) = Θ(t)1

4πrδ(t− r). (5.39)

De (5.39) se sigue que

Gret(~x− ~x′, t− t′) = Θ(t− t′)1

4π|~x− ~x′|δ(t− t′ − |~x−

~x′|c

) (5.40)

donde hemos reinsertado c para facilitar la interpretacion fısica. Esta funcion de Greense denomina retardada porque propaga el efecto de una fuente en el punto (~x′, t′) alpunto (~x, t), siempre y cuando t − t′ > 0, esto es, solo para t posterior a t′ cont− t′ = |~x− ~x′|/c, lo que nos dice que dicho efecto se propaga con velocidad c.

Notese que es posible encontrar otras funciones de Green para el operador (∂t∂t−∆)que propagan con una causalidad diferente. Por ejemplo, para t < 0, si desplazamoslos polos del eje real anadiendo una pequena parte imaginaria positiva y cerramosel contorno por encima del eje real, calculos analogos a los de arriba nos proveen lafuncion de Green avanzada

Gav(~x− ~x′, t− t′) = Θ(t′ − t)1

4π|~x− ~x′|δ(t− t′ +

|~x− ~x′|c

), (5.41)

54

que propaga con velocidad c para t− t′ = −|~x− ~x′|/c < 0.Como hemos visto, en el calibre de Lorentz (5.7) los potenciales electromagneticos

Φ y ~A satisfacen las ecuaciones (5.8) y (5.9), respectivamente, y empleando la funcionde Green retardada (5.40) obtenemos las soluciones particulares

Φ(~x, t) =

∫d3x′ dt′

ρ(~x′, t′)

|~x− ~x′|Θ(t− t′) δ(t− t′ +

|~x− ~x′|c

)

=

∫d3x′

ρ(~x′, t− |~x− ~x′|/c)|~x− ~x′|

(5.42)

y

~A(~x, t) =1

c

∫d3x′

~J(~x′, t− |~x− ~x′|/c)|~x− ~x′|

(5.43)

en ausencia de condiciones de contorno. Estos potenciales se conocen comunmente conel nombre de potenciales retardados.

5.3 Teorema de Poynting

Nos proponemos a continuacion establecer la ley de conservacion de la energıa para loscampos electromagneticos (Teorema de Poynting). El incremento en la energıa de una

carga puntual q bajo la accion de campos electromagneticos ~E y ~B viene dada por

dW = q ~v · ~E dt, (5.44)

donde ~v es la velocidad de la carga (los campos magneticos no hacen trabajo ya que~Fmag ⊥ ~v), cuya generalizacion al caso de una distribucion contınua de carga y corrientees

dW

dt=

∫Ω

d3x ~J · ~E. (5.45)

Ahora bien, partiendo de (5.45) y usando la version en medios materiales de (5.4)se obtiene ∫

Ω

d3x ~J · ~E =1

4π

∫Ω

d3x(c ~E · ~∇× ~H − ~E · ∂t

~D). (5.46)

A continuacion, empleando la identidad

~∇ · ( ~E × ~H) = ~H · ~∇× ~E − ~E · ~∇× ~H

encontramos∫Ω

d3x ~J · ~E =1

4π

∫Ω

d3x[−c~∇ · ( ~E × ~H) + c ~H · ~∇× ~E − ~E · ∂t

~D]

= − 1

4π

∫Ω

d3x[c~∇ · ( ~E × ~H) + ~H · ∂t

~B + ~E · ∂t~D], (5.47)

55

donde hemos usado la ley de Faraday en el ultimo paso. Ahora, definiendo

u ≡ 1

8π( ~E · ~D + ~B · ~H), (5.48)

y suponiendo que el medio material es lineal y no disipativo, esto es ~E ·∂t~D = 1

2∂t( ~E · ~D)

y ~H · ∂t~B = 1

2∂t( ~H · ~B), (5.47) puede ser reescrita como∫

Ω

d3x ~J · E = −∫

Ω

d3x[∂tu+

c

4π~∇ · ( ~E × ~H)

]. (5.49)

Finalmente, puesto que Ω es arbitrario, de (5.49) obtenemos la ley de conservacion

∂tu+ ~∇ · ~S = − ~J · ~E, (5.50)

donde~S ≡ c

4π( ~E × ~H) (5.51)

recibe el nombre de vector de Poynting. Mas adelante veremos que u dado por(5.48) admite la interpretacion de densidad de energıa asociada a los campos elec-

tromagneticos. Asumiendo valida esta interpretacion, se sigue que ~S representa unflujo de energıa. Ası, la interpretacion fısica de (5.50) es la siguiente: la rata de cambiode la energıa electromagnetica en una cierta region del espacio ∂tu mas el flujo deenergıa a traves de la superficie frontera de esa region por unidad de tiempo ~∇ · ~S esigual a menos el trabajo total hecho por los campos sobre las fuentes en dicha region.

56

Capıtulo 6

Ondas electromagneticas.Propagacion

A continuacion estudiaremos algunos fenomenos relacionados a la propagacion de ra-diacion electromagnetica en medios materiales.

6.1 La ecuacion de onda en medios materiales

Consideremos ahora las ecuaciones de Maxwell en su version para medios materiales

~∇ · ~D = 4πρ, (6.1)

~∇ · ~B = 0, (6.2)

~∇× ~E +1

c∂t~B = ~0, (6.3)

1

c∂t~D − ~∇× ~H = −4π

c~J (6.4)

y supongamos que en la region de interes ρ ≡ 0 y que

~D = ε ~E (6.5)

~B = µ ~H, (6.6)

donde ε y µ son constantes independientes de las coordenadas y del tiempo. Entoncesde (6.3), (6.4), (6.5) y (6.6) se sigue que

~∇× (~∇× ~E) = −1

c~∇× ∂t

~B

= −1

c∂t

(4π

cµ ~J +

1

cµε ∂t

~E

)= − µ

c2∂t

(4π ~J + ε ∂t

~E). (6.7)

57

Por otra parte,~∇× (~∇× ~E) = ~∇(~∇ · ~E)−∆ ~E, (6.8)

y dado que ~∇ · ~E = 0, tendremos entonces

∆ ~E =4π

c2µ ∂t

~J +µε

c2∂t∂t

~E. (6.9)

A continuacion, suponiendo que se satisface la condicion de Ohm, ~J = σ ~E, finalmentede (6.9) se tendra

∆ ~E − µε

c2∂t∂t

~E − 4πσµ

c2∂t~E = 0. (6.10)

La ecuacion (6.10) es una ecuacion de onda generalizada. Usualmente el segundo otercer termino pueden despreciarse llevando a una situacion particular determinada.En un medio no conductor el tercer termino es nulo (σ = 0) y se obtiene una ecuacionde propagacion de ondas que viajan con velocidad v = c/

√µε. En un medio conductor

el segundo termino suele despreciarse y (6.10) se reduce a una ecuacion de difusion.Ahora, asumiendo una dependencia temporal armonica, esto es,

~E(~x, t) = ~E(x)e−iωt, (6.11)

se tiene de (6.10)

∆ ~E(~x) +µω2

c2

(ε+

i4πσ

ω

)~E(x) = 0. (6.12)

Con frecuencia es util atribuir todas las propiedades del medio a la ”constante dielectrica”ε(ω) definida como

ε(ω) ≡ ε+i4πσ

ω(6.13)

y de esta manera se tiene una constante dielectrica que es en general compleja, cuyaparte imaginaria puede ser despreciada para materiales aislantes pero para materialesconductores no.

Notese que la ecuacion (6.12) y la analoga para ~B son homogeneas debido a quefueron derivadas suponiendo ρ = 0. Para investigar la relacion entre los campos y susfuentes es conveniente el introducir potenciales. Nos restringiremos por los momentosa considerar solo aquellos aspectos de la propagacion de ondas electromagneticas quepueden ser discutidos independientemente del origen de los campos y su relacion conlos potenciales.

6.2 Ondas planas en un medio no conductor

Las mas simples y fundamentales de las ondas electromagneticas son las ondas planastransversas. Veamos como obtener dichas soluciones en medios simples no conductoresdescritos por ε y µ constantes. En este caso, de (6.10) tenemos que cada componente

cartesiana Ei, i = x, y, z, de ~E satisface la ecuacion

∆Ei(~x)−1

(c/√µε)2

∂t∂tEi(~x) = 0 (6.14)

58

cuyas soluciones son las bien conocidas ondas planas ei~k·~x−iωt, con

k = |~k| = ω

v=√µε

ω

c. (6.15)

Puede demostrarse que las componentes cartesianas de ~B satisfacen una ecuacionanaloga.

Si v no es funcion de k, esto es, si el medio es no dispersivo y por lo tanto µε esindependiente de la frecuencia,1 la solucion general de (6.14) que se propaga (digamos)en la direccion x es de la forma

n(x, t) = f(x− vt) + g(x+ vt), (6.16)

con f y g funciones arbitrarias y donde v es la velocidad de fase de la onda. Nosrestringiremos en lo que sigue a analizar la propagacion de ondas electromagneticasen un medio no dispersivo. Mas adelante, en la seccion 6.5, consideraremos el caso demedios dispersivos.

Con la convencion de que los campos electricos y magneticos fısicos se obtienende tomar partes reales de cantidades complejas, por simplicidad supondremos que loscampos son de la forma

~E(~x, t) = ~E ei~k·~x−iωt, (6.17)

~B(~x, t) = ~B ei~k·~x−iωt, (6.18)

con ~E y ~B vectores constantes en el espacio y en el tiempo. Ahora bien,

~∇ · ~E = 0 ⇒ ~k · ~E = 0,~∇ · ~B = 0 ⇒ ~k · ~B = 0,

y por lo tanto ~E y ~B deben ser perpendiculares a la direccion de propagacion definidapor ~k. A dicha onda se le denomina transversa.

De las restantes ecuaciones se desprende que

~B =√µε

~k

|~k|× ~E . (6.19)

1La relacion lineal entre ~D y ~E (o entre ~B y ~H) puede ser no local. En general se tiene que

Di(~x, t) =∫

d3x′∫

dt′ εij(~x′, t′)Ej(~x− ~x′, t− t′),

donde se sobreentiende que hay una suma sobre j. Ası, introduciendo transformadas de Fourier

f(~k, ω) ≡∫

d3x

∫dt e−i(~k·~x−ωt)f(~x, t),

se tieneDi(~k, ω) = εij(~k, ω)Ej(~k, ω)

y una relacion similar entre ~B, ~H. Los tensores ε y µ son en general funcion de las frecuencia y delvector de onda. Para la luz visible y en el infrarrojo es permisible despreciar la no-localidad en elespacio, entonces µ y ε son solo funciones de la frecuencia.

59

A continuacion, introduciendo un conjunto ortonormal de vectores e1, e2, ~k/|~k|, las

cantidades ~E y ~B pueden ser escritas como

~E = e1E0, ~B = e2√µεE0 (6.20)

o bien como~E = e2E

′0,

~B = e1√µεE ′

0, (6.21)

con E0 y E ′0 constantes (que pueden ser complejas).

La onda descrita por (6.17), (6.18) y (6.20) es una onda transversa que se propaga

en la direccion ~k. La misma representa un flujo de energıa por unidad de tiempo dadopor la parte real del vector de Poynting complejo

~S ≡ 1

2

c

4π~E × ~B∗ =

c

8π

√ε

µ|E0|2

~k

|~k|, (6.22)

siendo la densidad de energıa

u =1

16π

(ε ~E · ~E∗ +

1

µ~B · ~B∗

)=

ε

8π|E0|2. (6.23)

La onda (6.17), (6.18) y (6.20) es una onda con el vector campo electrico siempreen la direccion e1. Se dice que dicha onda esta linealmente ploarizada en la direccione1. Otro tanto puede decirse de (6.17), (6.18) y (6.21). Las dos ondas

~E1 = e1E1 ei~k·~x−iωt,

~E2 = e2E2 ei~k·~x−iωt,

~Bj =√µε~k × ~Ej

|~k|, (6.24)

pueden ser combinadas para dar la onda plana mas general que se propaga en ladireccion ~k

~E(~x, t) = (e1E1 + e2E2) ei~k·~x−iωt. (6.25)

Las amplitudes E1 y E2, siendo en general complejas, permiten la posibilidad de elegirfases diferentes para ondas de diferentes polarizaciones. Si E1 y E2 tienen la mismafase, (6.25) representa una onda linealmente polarizada. Si E1 y E2 tienen diferentesfases, (6.25) es elipticamente polarizada.

6.3 Ondas electromagneticas en la interfaz entre

dielectricos.

A continuacion derivaremos una serie de propiedades cineticas y dinamicas de la refle-xion y refraccion de la luz en la interfaz entre dos medios con propiedades dielectricasdiferentes. Para ello convendremos en identificar

60

1. onda incidente

~E = ~E0 ei~k·~x−iωt; ~B =

√µε~k × ~E

k. (6.26)

2. onda refractada

~E ′ = ~E ′0 e

i~k′·~x−iωt; ~B′ =√µ′ε′

~k′ × ~E ′

k′(6.27)

3. onda reflejada

~E ′′ = ~E ′′0 e

i~k′′·~x−iωt; ~B′′ =√µε~k′′ × ~E ′′

k′′. (6.28)

Los vectores de onda tienen como magnitud

|~k| = |~k′′| = k =√µε

ω

c, |~k′| = k′ =

√µε

ω

c, (6.29)

y es usual definir√µε = n como el ındice de refraccion del medio.

Ahora bien, la existencia de condiciones de frontera en la interfaz, que supondremosdefinida por la superficie z = 0, con condiciones de contorno que deben satisfacerse entodos los puntos de dicha superficie ∀ t, implica que la variacion de los campos (espacialy temporal) debe ser identica allı. En consecuencia todas las fases deben ser igualesen z = 0, esto es,

~k · ~x|z=0 = ~k′ · ~x|z=0 = ~k” · ~x|z=0, (6.30)

independientemente de las ecuaciones de contorno.La ecuacion (6.30) contiene los aspectos cinematicos de la reflexion y refraccion.

De (6.30) se sigue quek sin i = k′ sin r = k” sin r′ (6.31)

y con k” = k tenemos entonces que r′ = i, esto es, el angulo de incidencia es igual alangulo de reflexion. Ası mismo,

sin i

sin r=k′

k=

√µ′ε′

µε=n′

n, (6.32)

expresion conocida como la ley de Snell y que da cuenta, entre otras cosas, del fenomenoconocido como reflexion total interna. Para n > n′ se tiene que r > i y en consecuenciatendremos r = π/2 si i = i0 = arcsin(n′/n) < π/2. Ası, para ondas incidentes ai = i0, la onda refractada se propaga paralela a la superficie interfaz, no hay flujode energıa a traves de la superficie y tendremos reflexion total. Para angulos i >i0, la onda refractada se propaga solo paralela a la superficie interfaz, atenuandoseexponencialmente mas alla de la misma.

Por otro lado, las propiedades dinamicas estan contenidas en las condiciones decontorno que deben satisfacer los campos en la interfaz. Consideremos el caso en elcual el campo electrico es paralelo al plano de incidencia, definido este ultimo como

61

el plano que contiene al vector ~k y al vector normal a la superficie interfaz n. Lascondiciones de contorno en z = 0 son

(ε( ~E0 + ~E ′′0 )− ε′ ~E ′

0) · n = 0,

( ~E0 + ~E ′′0 − ~E ′

0)× n = 0,

de donde se desprende que

(E0 − E ′′0 ) cos i− E ′

0 cos r = 0 (6.33)

y (1

µ(~k × ~E0 + ~k′′ × ~E ′′

0 )− 1

µ′(~k′ × ~E ′

0)

)× n = 0

de donde se desprende que √ε

µ(E0 + E ′′

0 )−

√ε′

µ′E ′

0 = 0. (6.34)

Las amplitudes relativas de los campos refractados y reflejados vienen dadas por

E ′0

E0

=2nn′ cos i

µµ′n′2 cos i+ n

√n′2 − n2 sin2 i

(6.35)

E ′′0

E0

=

µµ′n

′2 cos i− n√n′2 − n2 sin2 i

µµ′n′2 cos i+ n

√n′2 − n2 sin2 i

. (6.36)

De (6.35) y (6.36) podemos ver que la onda reflejada se anula si el agulo de incidenciaes igual al angulo de Brewster, definido por

tan iB =n′

n(6.37)

(donde hemos supuesto que µ′ = µ, lo que en general es valido en el visible). Esto nosdice que si una onda plana de polarizacion mixta incide sobre un plano con angulo deincidencia igual al angulo de Brewster, la radiacion reflejada tendra como vector depolarizacion un vector perpendicular al plano de incidencia.

Hasta ahora la permeabilidad y la susceptibilidad se han supuesto indenpendientesde la frecuencia. Esta ausencia de dispersion trae como consecuencia que los trenesde onda se propaguen sin distorsion. Aunque en realidad todo medio presenta algunadistorsion, es posible sobre un intervalo finito de frecuencias suponer la velocidad depropagacion como constante con la frecuencia. Por ultimo, es conveniente resaltar aquıque la distincion entre dielectricos y conductores es un tanto artificial para frecuenciasω muy diferentes de cero. En general, si el medio posee electrones libres entonces esconductor a baja frecuencia y en caso contrario es aislante.

62

6.4 Ondas en un medio disipativo

Hemos visto que la constante dielectrica de un medio es en general compleja. Paraaislantes la parte imaginaria puede despreciarse dependiendo del caso, pero para con-ductores no. Veamos a continuacion el comportamiento de ondas electromagneticasque se propagan en un medio conductor. Si los campos en el conductor varian como

ei~k·~x−iωt (6.38)

entonces el numero de onda k viene dado por

k2 = µε(ω)ω2

c2= µε

ω2

c2(1 + i

4πσ

ωε), (6.39)

donde el primer termino corresponde a la corriente de desplazamiento y el segundo ala corriente de conduccion. Ahora, suponiendo σ, µ y ε reales, encontramos

k = β +i

2α, (6.40)

con

β =√µε

ω

c

1√2

√1 +

(4πσ

ωε

)2

+ 1

1/2

,

α

2=√µε

ω

c

1√2

√1 +

(4πσ

ωε

)2

− 1

1/2

. (6.41)

Ası, para un mal conductor (4πσ/ωε 1) tenemos k ∼ (√µεω+i2π

√µ/ε σ)/c y para

un buen conductor (4πσ/ωε 1) tenemos k ∼ (1 + i)√

2πωµσ/c.

Las ondas que se propagan como ei~k·~x−iωt son ondas transversas amortiguadas. Loscampos pueden escribrise como

~E = ~E0 e−α

2κ·~xeiβκ·~x−iωt, ~B = ~B0 e

−α2

κ·~xeiβκ·~x−iωt, (6.42)

donde κ es un vector unitario en la direccion de propagacion. De la ley de Faraday sesigue que

~H0 =c

µω(β + i

α

2) κ× ~E0, (6.43)

por lo que ~H y ~E no estan en fase en un conductor. Por otro lado, las ondas dadas por(6.42) muestran un amortiguamiento con la distancia. Ası, una onda electromagneticaque penetra en un conductor es amortiguada en un factor e−1 de su amplitud inicialal haber recorrido una distancia

δ =2

α=c√

2πµωσ. (6.44)

δ se denomina profundidad de penetracion. En general δ es una funcion decreciente conla frecuencia lo que implica a su vez que en los circuitos de corriente de alta frecuenciala corriente solo fluye sobre la superficie de los conductores.

63

6.5 Ondas en un medio dispersivo

En todo lo anterior hemos considerado solo ondas monocromaticas, idealizacion cla-ramente imposible de realizar. Ahora bien, puesto que las ecuaciones son lineales, esdirecto en principio tomar la superposicion apropiada de soluciones con frecuenciasdiferentes. Sin embargo, es conveniente resaltar aquı algunas de las situaciones quepueden aparecer.

1. Sı el medio es dispersivo (esto es, la constante dielectrica del medio es funcionde la frecuencia), la velocidad de fase no es la misma para cada componente deFourier de la onda. En consecuencia diferentes componentes de la onda viajarancon diferentes velocidades y tenderan a desfasarse unas con respecto a las otras.

2. En un medio dispersivo la velocidad del flujo de energıa puede diferir de la velo-cidad de fase.

Para ilustrar las ideas anteriores consideraremos un modelo especifico para las depen-dencia con la frecuencia del numero de onda y calcularemos sin aproximaciones lapropagacion de un pulso en este medio.

Consideremos el caso unidimensional por simplicidad. Supongase que como condi-ciones iniciales tenemos

u(x, 0) = e−x2

2σ2 cos k0x, ∂tu(x, 0)= 0. (6.45)

Entonces

u(x, t) =1

2

1√2π

∫ ∞

−∞dk eikx−iω(k)tA(k) + c c (6.46)

donde

A(k) =1√2π

∫ ∞

−∞dx e−ikxu(x, 0)

=1√2π

∫ ∞

−∞dx e−ikxe−

x2

2σ2 cos(k0x)

=1√2π

∫ ∞

−∞dx e−ikxe−

x2

2σ21

2

(eik0x + e−ik0x

)=

1

2√

2π

∫ ∞

−∞dx[e−

12( x

σ+iσ(k−k0))2−σ2

2(k−k0)2+ e−

12( x

σ+iσ(k+k0))2−σ2

2(k+k0)2

](6.47)

Calculemos la primera de las integrales. Haciendo z = xσ− iσ(k − k0), encontramos∫ ∞

−∞dx e−

12 [

xσ

+iσ(k−k0)]2

e−12σ2(k−k0)2 → σ e−

12σ2(k−k0)2

∫ ∞+iσ(k−k0)

−∞+iσ(k−k0)

dz e−12z2

.

Ahora bien, la funcion e−12z2

es holomorfa lo que nos permite cambiar el contorno deintegracion,

⇒∫ ∞+iσ(k−k−0)

−∞+iσ(k=k0)

= limX→∞

(∫ −X

−X+iσ(k−k0)

+

∫ X

−X

+

∫ X+iσ(k−k0)

X

),

64

donde X = Rez = x/σ. Las integrales 1era y 3era tienden a cero para X →∞,∣∣∣∣∫ X+iλ

X

dz e−12z2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ λ

0

e−12(X2−y2)−2iπXy(idy)

∣∣∣∣ ≤ |λ|e− 12X2

y por lo tanto

e−12σ2(k−k0)2

∫ ∞+iσ(k−k0)

−∞+iσ(k−k0)

dz e−12z2

= limX→∞

e−12σ2(k−k0)2

∫ X

−X

dz e−12z2

=√

2π e−12σ2(k−k0)2 .

Procediendo en forma analoga con la segunda integral de (6.47) encontramos que A(k)viene dado por

A(k) =1

2σ[e−

12σ2(k−k0)2 + e−

12σ2(k+k0)2

](6.48)

que no es mas que la superposicion de dos gausianas.Para determinar la forma de la onda para t > 0 debemos especificar ω(k). Supon-

dremos que

ω(k) = ν(1 +a2k2

2) (6.49)

la cual es una aproximacion a la ecuacion de dispersion de una plasma tenue y que nospermitira evaluar u(x, t) de manera exacta (aquı ω(k) y k son reales, de manera queno estamos considerando efectos disipativos). Tenemos entonces que u viene dado por

u(x, t) =σ

2√

2π<[∫ ∞

−∞dk eikx−iνt(1+a2k2/2)

(e−

12σ2(k−k0)2 + e−

12σ2(k+k0)2

)], (6.50)

integral que puede resolverse completando cuadrados como antes y pasando a variablecompleja. El resultado es

u(x, t) =1

2Re

[1

(1 + ia2νtσ2 )

12

exp(− (x− νa2k0t)2

2σ2(1 + ia2νtσ2 )

) eik0x−iν(1+a2k2

02

)t + c c

](6.51)

Observese que aunque la envolvente sigue teniendo la forma de una gausiana, el anchode la misma aumenta con el tiempo

σ(t) =

(σ2 +

(a2vt

σ

)2)1/2

(6.52)

y que los efectos son mayores para σ → 0.Por ultimo, si A(k) tiene soporte en un entorno pequeno de k0, entonces

ω(k) = ω(k0) +dω

dk

∣∣∣∣k0

(k − k0) + · · · (6.53)

65

y se define la velocidad de grupo como

vg =dω

dk

∣∣∣∣k0

. (6.54)

En el caso consideradovg = va2k0 (6.55)

y los picos de los pulsos que aparecen en (6.51) viajan con esta velocidad.El problema de la propagacion de un paquete de ondas en una medio disipativo y

dispersivo es bastante mas complicado. En un medio disipativo, un pulso de radia-cion se atenuara a medida que se propaga con o sin distorsion, dependiendo de si losefectos disipativos son o no sensitivos a la frecuencia. Este tipo de situaciones no seraconsiderado aquı.

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