ELEKTŘINA A MAGNETISMUS ZAJÍMAVÉ PROBLÉMY Petr Kulhánek

KONDENZÁTOR - ENERGIE, SÍLA NA DESKY

Energie kondenzátoru

C QU

= kapacita kondenzátoru

Při dodání náboje se energie zvýí o:

dW U dQ Qd QC

= = ⇒

W QC

CU= =12

12

22

Síla působící na desky Posuňme desku o zobecněnou souřadnici ∆q , změna energie bude ∆W F q= ∆ a odpovídající síla

F Wq

Qq C

= =

∂∂

∂∂

2

21

.

Deskový kondenzátor:

C Sd

= ε ⇒ F Qd

dS

QS

=

=

2 2

2 2∂

∂ ε ε

Otočný kondenzátor:

Toté, jen nahradíme qF M F

→→

ϕ.

FF

+ −

KOAXIÁLNÍ VEDENÍ

R1

δ l

R2x

y

z

Kapacita: Jako válcový kondenzátor δ πε δC lR R

=2 0

2 1ln. Odsud plyne délková hustota kapacity

0

2 1

2ln

Cl R R

πεδδ

≡ =C .

Indukčnost: Energie vázaná na indukčnost je energie magnetického pole:

12 2

22

222

0

02

01

2δ

µµ π

µπ δL I B r dV I r r l dr

R

R= =∫ ∫

( ) ( ) ⇒ δ µ

πδL l R

R= 0 2

12ln . Proto

0 2

1ln

2L Rl R

µδδ π

≡ =L .

Úbytek napětí podél vedení: je způsoben úbytkem napětí na indukčnosti vedení δ δU L d Id t

= − ⇒

U Ix t

∂ ∂∂ ∂

= − L (1).

Úbytek proudu podél vedení: je způsoben nábojem vázaným na kapacitu vedení. δ δI Qt

C Ut

= = −∆∆

∆∆

;

I Ux t

∂ ∂∂ ∂

= − C (2) .

Rovnice (1) a (2) jsou základní přenosové rovnice.

Rychlost íření: Kombinací (1) a (2) máme:

2 2

2 2 0UIx t

∂ ∂∂ ∂

− = L C ⇒

0 0

1 1 cε µ

= = =L C

v !!

Impedance vedení: (1), (2) ⇒

i ii ikU I

U IkI U

ωω

= − ⇒ == −

L LC C

⇒ 2 1 2

0 1

ln 120 ln2

R R RZc Rπε

= = = ΩLC .

URČOVÁNÍ POLÍ

Pole hrotu Jde o vodič, ve je spojené ⇒ ve je na stejném potenciálu:

φπε

φπε1

1

0 12

2

0 24 4≈ ≈

QR

QR

; ,

φ φ1 2= ⇒ QR

QR

1

1

2

2= . (1)

Elektrické pole je úměrné ploné hustotě náboje:

E ~ σ ⇒ EE

Q RQ R

RR

1

2

1 12

2 22

2

1

1= =

( ) ⇒ E

R~ 1 .

Síť z drátů Celé pole bude součtem jednotlivých Fourierových komponent:

φ πn nx y F y nx

a( , ) ( ) cos= 2 .

Dosazením do Laplaceovy rovnice získáme diferenciální rovnici pro Fourierovy koeficienty Fn. Její řeení je:

[ ]F yA y nA n y a nn

n( )

,exp , , ,=

=− =

0 02 1 2 3π …

Vechny harmonické řeení pro n > 1 jsou ji ve vzdálenosti několika a silně utlumeny. Nejpomaleji klesá základní mod s n = 1. Pro y > a se pole chová s dosti dobrou přesností jako homogenní s n = 0. Jediná sloka je φ0 0 0= = −A y E y . Síť z drátů stíní stejně dobře jako kovová rovina.

2D pole - komplexní proměnná

f z( ) : C → C x y+ i → U x y V x y( , ) ( , )+ i Derivace podle z x y= + i nesmí záviset na cestě, proto

∂∂

∂∂x

U Vy

U V( )!

( )+ = +ii

i ⇒ ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Ux

Vy

Uy

Vx

= = −, ⇒ ∆∆

UV

==

00

, .

Jde o CR podmínky, ze kterých je snadné dokázat, e reálná i imaginární část libovolné funkce komplexní proměnné splňují Laplaceovu rovnici.

• U x y( , ) = const. mohou tedy představovat ekvipotenciály reálného systému. Z CR plyne, e V x y( , ) = const. jsou křivky kolmé k U x y( , ) = const. , tj. silokřivky elektrického pole!

U = const. ekvipotenciály ⇒ V = const. silokřivky V = const. ekvipotenciály ⇒ U = const. silokřivky • Je-li na kterékoli ekvipotenciále kovový nabitý vodič, odpovídají ostatní ekvipotenciály a silokřivky

skutečným ekvipotenciálám a silokřivkám kolem vodiče.

RR

QQ

1

12

2

E

0

a

+ + + +

x

z

y

Heavisideovo pole (letící náboj); c=1

S´: ′ =

′′′

′ =

E r

B

Qr r4

00

2π ε , φ

π ε′ =

′′ =

Qr4

00

A

S:

φ γ γβγβ γ

φAAA

AAA

x

y

z

x

y

z

=

′0 00 0

0 0 1 00 0 0 1

⇒

φ γ

π ε γ

γ β

π ε γ=

− + +=

− + +

Q

x t y z

Q

x t y z4 40 0

02 2 2 2

02 2 2 2( )

;( )

; ;v v

A ;

E A B A v E≡ − − =− + +

− ≡ = ×∇∇∇∇ φ ∂∂

γ

π ε γtQ

x t y zx t y z

4 02 2 2 2( )

( ; ; ) ;v

v rot

( )E E E Q

y zy z

x t⊥ = + =

+=

2 2

02 24v

γπ ε

;

E E Qx t

x xy| |

( )= =

−==

00

142

02γ π ε v

.

Koloidní částice v elektrolytu - Debyeův poloměr

Původní koncentrace iontů byla n0. Přítomnost koloidní částice ovlivní hustotu náboje iontů a tím výsledný potenciál pole v okolí koloidní částice:

( )

dd x

Q n

Q n QkT

QkT

i Q x kT Q x kT

i i i

i i

2

20 0

0

0

0

01 1

φ ρε

ρ ρε

ε

εφ φ

φ φ

= − = −+

=

= − − ≅

≅ − −

− +

⇒

+ −

−e e| | ( )/ | | ( )/

| | | |

dd x

n QkT

i2

20

22φ φ= − ⇒ φ λ λ ε( ) exp[ ] ;x A x k T

n QD D

i= − ≡ 0

022

• A = ?: Při povrchu koloidní částice (x → 0) platí E = − ∇ =φ σ ε0 ⇒ A D= σ λ ε 0 • λ D Debyeův poloměr. Ionty odstiňují koloidní částici od okolí i od ostatních částic. Přidání soli do

roztoku ⇒ zmenení λ D ⇒ koloidní částice lépe stíněny ⇒ mohou se srazit ⇒ vysráení koloidu.

xz

y x´z´

y´

S

S´

Q

v

v v

EB

×

× P

P||

⊥

+ +

koloidníčástice

+

+

+

+

+

++

++

+

−−

−−

−

−

−

−

x

ionty elektrolytu(např. K+, Cl-)

ELEKTRICKÝ DIPÓL

Potenciál dvojice nábojů Pole budeme určovat daleko od zdrojů, tj. r >> d , ra

[ ] [ ][ ]

φπε πε

πε

πε

πε πε

=− + +

−+ + +

≈

≈ − − + ≈

≈ +

− −

=

= = ⋅⇒

− −

Qz d x y

Qz d x y

Q r zd r zd

Qr

zdr

zdr

Qr

zd Qr

4 2 4 2

4

41 1

21 1

2

4 4

02 2 2

02 2 2

0

2 2

02 2

03

03

1 2 1 2

( ) ( )

( ) ( )

d r

φπε

= ⋅ ≡14 0

3p r p dr

Q; . Dipólový moment označujeme p.

Potenciál lokalizované soustavy nábojů

[ ]

φπε

πε

πε

πε πε

=−

≈

≈ − ⋅ − + ≈

≈ +⋅

+

≈

≈

+

⋅ ⇒

∑

∑

∑

∑ ∑

− −

Q

Q r r zd

Qr r

rQ

rQ

a

aa

a

aa

a a

a

aa

a aa

4

42

41 1

22

14

14

0

0

2 2

02

0 03

2

1 2 1 2

( )

( ) ( )

r r

r r

r r

r r

"

φπε πε

= + ⋅ +Qr r4 40 0

3p r " ; kde

Q Q

Q

aa

a aa

≡

≡

∑

∑p r .

Zápis pomocí gradientu

φπε πε

= ⋅ = − ⋅p r p4

14

1

03

0r r( )∇∇∇∇

Elektrické pole dipólu

φπε

=p z

r4 03 ⇒

E = −

p zx

rz yr

zr r4

3 3 3 1

05 5

2

5 3πε, ,

resp.

( )E = =

= −

⊥( ,

cos sin , cos

| | )E E

pr4

3 3 10

32

πεθ θ θ

x

z

yd+Q

− Q

P x,y,z

x

z

y

r-r

ra

a( )

x

z

y

r

p

E E

EP x,y,z( )

⊥

| |

Moment síly působící na dipól ve vnějím poli M Q QF = × − × = ×+ −r E r E p E ⇒

M F = ×p E .

Energie dipólu ve vnějím poli W Q Q Q Q= − ≈ ⋅ = − ⋅ = − ⋅+ −φ φ φ( ) ( )r r d d E p E∇∇∇∇ ⇒

W = − ⋅p E .

Vektor polarizace

P p≡→

∑lim∆∆∆∆ ∆∆∆∆V

aaV0

1 hustota dipólového momentu

+Q

− Q

E

DIELEKTRIKA - VEKTOR POLARIZACE

Definice

Vektor polarizace definujeme jako hustotu elektrického dipólového momentu:

P d= =∑1∆∆∆∆V

q q nα αα

v ,

d je vektor posunutí.

Ploný náboj na povrchu dielektrika Je-li dielektrikum polarizováno, objeví se na povrchu ploný náboj, jeho velikost je zřejmá z definice P:

σ pol = ⋅P n .

Hustota polarizačního náboje Je-li vektor P nehomogenní, můe posunutím uniknout lokálně z malé uzavřené plochy polarizační náboj. V oblasti vzniká lokální prostorový vázaný náboj: − = ⋅∫∆∆∆∆Q d

SP S ⇒ − = ⋅∫ ∫ρ pol

V SdV dP S ⇒

ρ pol = −divP .

Polarizační proudová hustota Mění-li se vektor polarizace s časem, dochází ke vzniku polarizačního proudu:

j Ppol t

=∂∂ .

Lineární prostředí Při působení slabých polí je vektor polarizace úměrný elektrickému poli:

P E E n E= = =α ε κ ε α0 0 0 .α - polarizovatelnost, κ - susceptibilita, a0 - polarizovatelnost atomu.

Kondenzátor Pole mezi deskami určíme z Gaussovy věty integrací přes naznačenou plochu:

EP Efree pol free free= =

−=

−=

−σε

σ σε

σε

σ ε κε0 0 0 0

0 ⇒

E free free=+

=σ

ε κσ

ε0

11

⇒

U E dd Qd

Sfree= = =

σε ε

⇒

C QU

Sd

≡ = ε

EEE

P

P

nP

PS

++ + + + + +

−E

d

S

Pole v dutině • Dutina podél pole:

rot E = 0 ⇒ E Edutiny =

• Dutina napříč pole:

div E = ρ εpol 0 ⇒ E E Pdutiny = +

ε 0

• Kulová dutina:

podobným výpočtem E E Pdutiny = +

3 0ε

V dutině podél pole je pole stejné jako průměrné pole v dielektriku. V dutině napříč pole je pole větí ne průměrné pole v dielektriku. Tečná sloka pole E je na hranici spojitá, normálová sloka má skok.

E

DIELEKTRIKA - TENZOR POLARIZOVATELNOSTI (SUSCEPTIBILITY)

Definice Elektrické pole přiloené k materiálu způsobí posunutí nábojů a vznik elementárních dipólů. Předpokládáme, e vektor polarizace P (hustota dipólového momentu) je lineárně závislý na přiloeném elektrickém poli E:

P E Ei ik k ik k= =α ε κ0 .

Veličina α se nazývá polarizovatelnost. Někdy se pouívá elektrická susceptibilita κ ≡ α/ε0. Jde o symetrický tenzor druhého řádu. Vlastní směry symetrických tenzorů jsou navzájem kolmé a tvoří souřadnicový systém, ve kterém je tenzor diagonální (s vlastními čísly na diagonále).

Poznámka: Někdy se také pouívá atomová (molekulová) polarizovatelnost α0 definovaná vztahem κ=€nα0, pro polarizaci je pak moné psát jeden z následujících výrazů: P E E n E= = =α ε κ ε α0 0 0

Elipsoid energie Objemová hustota energie se posunutím nábojů ve vnějím elektrickém poli změní o du d n q d da a a a a= = =∑ ∑f x E x E P . Je-li vektor polarizace lineárně závislý na elektrickém poli můeme výraz integrovat:

du d= E P ⇒ u = ⋅12

E P ⇒ u E Eik i k= 12

α .

Jde o kvadratickou pozitivně definitní formu. Graf u = const představuje graf koncových bodů vektoru pole E v osách (Ex,Ey,Ez), které způsobí stejnou polarizační energii materiálu. Grafem je rotační elipsoid s osami ve vlastních směrech tenzoru polarizovatelnosti.

DIELEKTRIKA - STATICKÁ POLARIZACE

Nepolární plyn Atomy nemají vlastní dipólový moment. Vlivem vnějího elektrického pole dochází k posunu elektronů v atomu plynu → vzniká dipólový moment.

##x x e Eme

+ =ω02 ⇒ x e E

me=

ω02 ⇒ p e x e E

me= =

2

02ω

⇒

P ne x ne Eme

= =2

02ω ⇒ κ

ε ω

ω

ω= =

neme

p2

0 02

2

02 , ( )ε ε κ ε

ω

ω= + = +

0 0

2

021 1 p

.

Úhlová frekvence ω0 odpovídá tuhosti atomárního oscilátoru . V prvním přiblíení lze tuto frekvenci určit z ionizační energie atomu podle vztahu Wion = $ω .

Polární plyn Molekuly plynu mají vlastní dipólový moment p0. Ten se ve vnějím poli bude orientovat. Elektronová polarizace bude zanedbatelná. Rozdělení počtu dipólů orientovaných ve směru θ je dáno statisticky. Konstantu rozdělení lze snadno určit integrací rozdělení přes celý prostorový úhel.

n KkT

( ) expθ =⋅

p E0 ; n d n K n( )θπ∫ = ⇒ =Ω

4

n n p EkT

( ) expcosθ

πθ

=

4

0

Vektor polarizace bude

P P n p d= < > = ∫|| ( ) cosθ θ0 Ω ⇒

P n p Ek T

= 02

3 ⇒ κε

=n p

k T02

03 , ( )ε ε κ εε

= + = +

0 0

02

01 1

3n p

k T .

Vztah pro permitivitu se nazývá Curieův zákon.

E

p0

DIELEKTRIKA - DYNAMICKÁ POLARIZACE

Normální dielektrika Elektrony v látce reagují na elektrickou komponentu elektromagnetické vlny a pohybují se podle rovnice

## #x x xeEm

ee

t+ + = −2 02 0δ ω ωi ⇒ ( )x

eEm

ee

t=− −

−0

02 22ω δω ω

ω

ii

Vlastní frekvence určuje vratnou harmonickou sílu vázaných elektronů, koeficient útlumu souvisí s tlumením pohybu elektronů zářivými procesy, srákami, atd. Nyní snadno určíme vektor polarizace daný posunutím x:

( )P en xn e

mE Ee

e

e

p= = =− − − −

2

02 2 0

2

02 22 2ω δω ω

εω

ω δω ωi i ; kde ω

εpe

e

n em

22

0≡

je kvadrát plazmové frekvence. Susceptibilitu určíme ze vztahu P = ε0κE

κω

ω δω ω≡

− −

p2

02 22i resp. κ ω

ω δ ω ω≡

− −∑p

k

k kk

f22 22i ,

má-li vázaný elektron více vlastních frekvencí ω0, ω1, ω2, ….Čísla fk se nazývají vazbové konstanty a jsou blízké jedné. Nyní snadno určíme dynamickou permitivitu ε ε κ= +0 1( ) a z ní kvadrát indexu lomu N :

N22

20

1= = = +c

fvεε

κ ⇒

N2 12

22 2= +

− −∑ω

ω δ ω ωpk

k kk

fi

Vzhledem k tomu, e N = =c ck/ /v f ω , není výraz pro index lomu nic jiného ne disperzní relace elektromagnetické vlny v daném prostředí.

Opticky řídké látky (plyny, sklo) V opticky řídkých látkách se index lomu příli nelií od jedné a výraz pro index lomu lze s přesností do prvního řádu odmocnit.

N = +− −

∑1 12 2

22 2ω

ω δ ω ωpk

k kk

fi

1

N

ω ωω0 1

Re

• Pro běné plyny je první vlastní frekvence z oblasti UV záření. Proto velikost indexu lomu i reálná část rostou v optické oblasti směrem k modrému konci spektra. Modrá barva se láme více ne červená. Proto je obloha ve dne modrá.

• Imaginární část indexu lomu je velmi malá s výjimkou oblasti rezonance. Tam je index lomu komplexní a dochází k absorpci vlny.

• Pro RTG záření je ω >> ω0 a N ≈ −1 22 2ω ωp / . Fázová rychlost íření RTG elektromagnetické vlny je větí ne c.

Opticky husté látky V opticky hustých látkách působí na elementární dipóly nejen pole původní elektromagnetické vlny, ale i pole vyzářené ostatními náboji. Konkrétní náboj si můeme představit jako vloený do kulové dutiny v dielektriku. V této dutině působí pole E E P0 03= + / ε . Indukovaný dipólový moment potom bude

P E E P= = +ε κ ε κ ε0 0 0 03( / ) ⇒ P E=−

ε κκ0 1 3

⇒ ε ε κκ

= +−

0 1

1 3

Odpovídající kvadrát indexu lomu je

N2 11 3

= +−κκ resp. 3 1

2

2

2NN

−+

= κ resp. 3 12

2

2NN

−+

= ∑κ αα

.

Toto je Clausiova-Mosottiho rovnice. Poslední tvar platí pro směs více látek. Sama susceptibilita látky je součinem koncentrace a atomové (molekulární) polarizovatelnosti. Koncentrace látky je "schována" v plazmové frekvenci.

Kovy U kovů jsou dominantní volné vodivostní elektrony, vechny vlastní frekvence jsou proto nulové:

N22

212

= −+

ω

δω ωp

i ; σ

νee

e e

n em

=2

⇒ ν δ σe

e e

e

mn e

= =2 2

Ze vztahu pro elektronovou vodivost určíme srákovou frekvenci elektronů v kovu, která je rovna koeficientu útlumu 2δ v pohybové rovnici. Útlum dosadíme do vztahu pro index lomu:

N2

02

20

1 1= −+

σε

ω ωω

σε

e

p

ei

Nízké frekvence (ω<<σe/ε0): Pro měď jde o frekvence podstatně nií ne 6×1018 s-1 a vlnové délky elektromagnetického záření větí ne 0.3 mm. Ze vztahu pro index lomu v nízkofrekvenční limitě zbude

N2

0 01≈ + ≈

i iσε ω

σε ω

e e ⇒ N = +( )12 0

i σε ω

e

Reálná a imaginární část indexu lomu jsou stejně veliké, dochází k silné absorpci, elmg. vlna neprochází.

exp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( )Rei i ikx x c x d x c= = −ω ωN N ; de

≡ 2

0σ µ ω .

Veličinu d nazýváme skinová hloubka.

Vysoké frekvence (ω>>σe/ε0): Ze vztahu pro index lomu ve vysokofrekvenční limitě zbude

N22

21= −ωω

p

Pro ω ω< p je index lomu po odmocnění komplexní a dochází k útlumu vlny, vlnění neprochází. Pro ω ω> p je index lomu reálný a kov je pro elektromagnetické záření průhledný. Některé kovy jsou průhledné ji pro UV obor, jiné a pro RTG obor záření.

MAGNETICKÝ DIPÓL

Definice Jakákoli malá smyčka protékaná proudem. Magnetický dipólový moment je definován vztahem

µµµµ ≡ I S . Dipólový moment soustavy částic můeme také definovat pomocí poloh a rychlostí jednotlivých nabitých částic:

µµµµ ≡ ×∑12

Qa a aa

r v . Pro náboj rotující po krunici je to zřejmé:

µ ππ

π= = = =IS QT

r Qr

r Q r2 2

212v

v .

Je vidět, e dipólový moment částice souvisí s orbitálním momentem hybnosti vztahem µµµµ = ( )Q m2 L . Pro spinový moment elektronu je výsledek dvojnásobný. Důleitý je vztah magnetického momentu a celkového momentu hybnosti systému J.

g = −2 elektron g = +5.68 proton g = −3.86 neutron

Do Landého faktoru g zahrneme i znaménko náboje částice. Magnetický moment elektronu je orientován opačně ne jeho moment hybnosti, protonu souhlasně. To souvisí s náboji těchto částic. Neutron je navenek neutrální částice sloená ze tří kvarků. Ty jsou nabité, celkový magnetický moment neutronu je proto nenulový. Pro celý atom je Landého faktor určen orbitálními a spinovými momenty elektronů a proto je g ∈ <-1,-2>. Magnetický moment atomových jader je naopak převáně určen orbitálními a spinovými momenty protonů. Za hmotnost je třeba v posledním vztahu dosadit hmotnost protonu.

Potenciál dipólu Pro odvození stačí obdélníková smyčka

Aj

dxx=

′

− ′′∫

µπ0 3

4( )r

r rr

Situace je stejná jako v elektrostatice se záměnou:

A jx x↔ ↔ ↔φπε

µπ

ρ; ;14 40

0

Tomu ale odpovídá elektrický dipól tvaru na obrázku vpravo nahoře.

φπε

ρπε

= −

= − −

Q x yr

V x yr

∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆4 40

30

3 ⇒

A I y x yr

x = −µπ0

34∆∆∆∆ ∆∆∆∆ . Analogicky určíme Ay . Máme tedy:

A = −

µπ

µ03 34

0yr

xr

, , . Vektorově můeme psát

A r= ×µπ0

34µµµµr .

Magnetické pole dipólu magnetické pole dipólu určíme ze vztahu B = rot A. Pole má stejnou strukturu jako pole elektrického dipólu.

x

z

yI

µµµµ = g em| | J

x

z

yI

++++++++

x

y

−−−−−−−−

∆ V

∆ y

∆ x

B = −

µπ

µ04

3 3 3 15 5

2

5 3zxr

z yr

zr r

, ,

resp.

( )B = =

= −

⊥( ,

cos sin , cos

| | )B B

µπ

µ θ θ θ04

3 3 12

Moment síly působící na dipól ve vnějím poli M F y I x y B Bx = = =∆ ∆ ∆sin sin sinθ θ µ θ ⇒

M BF = ×µµµµ

Energie dipólu ve vnějím poli

dW M d B dF= − = −θ µ θ θsin ⇒ W = − ⋅µµµµ B . Tento vztah můeme pomocí celkového spinu přepsat do kvantové podoby:

W gem

gem

j Bz= − ⋅ = − ⋅ = −µµµµ B J B2 2

$ ⇒ W g j BB z= − µ .

Veličina µB se nazývá Bohrův magneton. Energie je kvantována pomocí celkového magnetického spinového čísla jz = −j … j. Původní energie se v magnetickém poli bude těpit na 2j+1 ekvidistantních podhladin.

Vektor magnetizace

M ≡→

∑lim∆∆∆∆ ∆∆∆∆V

aaV0

1 µµµµ hustota magnetického dipólového momentu

P x,y,z( )

x

z

y

r B B

B⊥

| |

x

z

yI

BF

F

MAGNETIKA - VEKTOR MAGNETIZACE

Definice Vektor magnetizace definujeme jako hustotu magnetického dipólového momentu:

M ≡→

∑lim∆∆∆∆ ∆∆∆∆V

aaV0

1 µµµµ

Ploná hustota proudu na povrchu magnetika i M n= × . Vektor normály k povrchu je označen n, i má jednotku A/m.

Magnetizační proud Je-li magnetizace nehomogenní, nevyruí se proudy od elementárních dipólů a lokálně tečou magnetizační proudy

j Mmag = rot .

Pole v dutině • Dutina podél pole: rot H j= vod ⇒

H H

B B Mdutiny

dutiny

=

= − µ0

• Dutina napříč pole:

div B = 0 ⇒ B Bdutiny =

• Kulová dutina:

podobným výpočtem B B Mdutiny = − 23 0µ

V dutině napříč pole je pole stejné jako průměrné pole v dielektriku. V dutině podél pole je pole mení ne průměrné pole v dielektriku.

B

MAGNETIKA - VLASTNOSTI

Diamagnetika Diamagnetismus pozorujeme u atomů, jejich elektrony v obalech jsou vechny spárovány a nevykazují ádný celkový magnetický moment. Jde o obdobu nepolárních látek v elektrostatice. Diamagnetismus nezávisí na teplotě látky nebo je závislost na teplotě nepatrná. Diamagnetismus se objevuje u vech látek, tedy i u paramagnetik a feromagnetik. Zde je ale vzhledem k ostatní magnetické aktivitě zanedbatelný.

Klasický popis: Elektron opisuje v atomárním obalu kruhovou dráhu. Při změně vnějího magnetického pole dojde ke změně indukčního toku plochou dráhy ⇒ podél dráhy je generováno elektrické pole ⇒ elektrická síla Qe změní moment hybnosti elektronu ⇒ změní se magnetický moment. Výsledný magnetický moment působí proti změně, která ho vyvolala (Lenzovo pravidlo). Na látku bude působit síla vytlačující ji z oblasti silnějích polí.

Kvantový popis: V elektronovém obalu atomu je podstatnějí spinový moment ne orbitální. Celkový magnetický moment a jeho změny tedy souvisí více se spinem ne s klasickou představou obíhajícího elektronu

Paramagnetika Atom má permanentní magnetický moment. Elektrony v atomovém obalu jsou nespárovány (obdoba polárních látek v elektrostatice). Výsledný spin atomu j = 1/2. Po zapnutí vnějího pole se část magnetických dipólů orientuje do směru pole a vzniká nenulová magnetizace materiálu. Počet orientovaných spinů roste s klesající teplotou, paramagnetický jev je tedy silně závislý na teplotě.

Pseudoklasický popis: Rozdělení počtu dipólů orientovaných ve směru θ je dáno Boltzmannovou statistikou. Konstantu rozdělení lze snadno určit integrací rozdělení přes celý prostorový úhel.

n KkT

( ) expθ =⋅

µµµµ 0 B ; n d n K n( )θ

π∫ = ⇒ =Ω4

n n BkT

( ) expcosθ

πµ θ

=

4

0

Vektor magnetizace bude

M M n d= < > = ∫|| ( ) cosθ µ θ0 ΩΩΩΩ ⇒ M n Bk T

n g J Bk T

n g j j Bk T

B B= = =+µ µ µ0

2 2 2 2

3 31

3( ) ( )$ ⇒

M n gk T

BB=2 2

4µ

.

Kvantový popis:

M n n

B

kT

B

kT

B

kT

B

kT

ng

g BkT

g BkT

g BkT

g BkT

B

B B

B B

= < > =

+

+

=

− −

+ −

⇒+

+−

−

+ −µ

µµ

µµ

µ µµ

µ µ

µ µ

1 21 2

1 21 2

1 2 1 2 2

2 2

2 2

exp exp

exp exp

exp exp

exp exp

M ng thg B

kTB B=

µ µ

2 2 .

Při velkých polích a nízkých teplotách dochází k saturaci, vechny spiny jsou ji orientovány a dalí

zvyování pole nepřináí zvětení magnetizace. Saturační hodnota pole je M M ngS

B≈ = µ2

.

Při malých polích a vysokých teplotách lze nahradit th[x] ≈ x a pro vektor magnetizace platí

B

00

M n gk T

BB≈2 2

4µ , co je právě pseudoklasický výraz.

Feromagnetika Jednotlivé elementární magnetické momenty neinteragují jen s vnějím polem, ale ovlivňují se i navzájem (analogií pro elektrické dipóly jsou opticky husté látky ). Toto ovlivnění má výhradně kvantovou povahu a interakce mezi dipóly je mnohonásobně silnějí ne odpovídající klasická interakce elektromagnetické povahy. Klasický výpočet proto vede sice k podobným vztahům, ale velikost vzájemné interakce je o mnoho řádů podhodnocena. Při vysokých teplotách (nad Curieovou teplotou Tc) mají spiny tendenci vytvářet chaotické konfigurace a střední magnetizace je nulová. Při nízkých teplotách (T<Tc) mají spiny tendenci se orientovat paralelně a vytvářet magnetické domény shodně orientovaných spinů a to dokonce i bez přítomnosti magnetického pole (spontánní magnetizace). Vztah mezi magnetizací a magnetickým polem není

lineární, je závislý na historii procesu. Popime chování doposud nezmagnetovaného feromag-netika polykrystalické struktury při teplotě T<Tc. Kadý krystal je rozdělen do několika domén, které jsou spontánně zmagnetizované ve směrech přirozených pro krystal. Domény jsou odděleny doménovými stěnami a průměrná magnetizace je nulová. Po zapnutí slabého magnetického pole dochází k malému posunutí doménových stěn ve prospěch domén orientovaných ve směru pole (křivka a). Jde o vratný proces magnetizace je přiblině lineární funkcí magnetického pole. Při silnějích polích dochází k výraznějímu posuvu stěn, který je zastavován na nepravidelnostech v krystalu. Při překonání nepravidelnosti dochází k uvolnění tepelné a zvukové energie (Barkhausenův jev). Děj je nevratný. Kadý krystal se postupně stává jedinou doménou orientovanou v pro krystal výhodném směru (křivka b). Při dalím zvyování pole jsou krystaly přemagnetovávány do směru vnějího pole, s růstem pole ji nedochází k podstatnému zvyování magnetizace. Nedochází ani k posuvu doménových stěn (křivka c). Nakonec jsou vechny spiny orientovány ve směru pole a magnetizace je saturována. Při sniování magnetického pole probíhá obrácený proces, děl je vak nevratný a při nulovém magnetickém poli zůstává zbytková magnetizace (křivka d). Feromagnet má trvalé magnetické vlastnosti. Odmagnetování je moné působením opačného pole (křivka d). Popsaný jev se nazývá hystereze.

Vzhledem k tomu, e změna hustoty vnitřní energie je dána vztahem du = H dB, je při nevratném ději přeměněna na tepelnou a zvukovou energii právě energie daná plochou hysterezní smyčky. Materiály pro výrobu transformátorových jader by měly proto mít co nejuí hysterezní smyčku tak, aby nedocházelo k tepelným ztrátám mezi magnetizací a magnetickým polem pak přiblině platí lineární vztah. Naopak materiály určené k výrobě permanentních magnetů by měly mít hysterezní smyčku co nejirí.

Magnetické vlastnosti feromagnetik jsou určeny převáně spinem elektronů, orbitální momenty přispívají jen několika procenty.

Antiferomagnetika Vazbová konstanta antiferomagnetik má opačné znaménko ne u feromagnetik, spiny mají při nízkých teplotách tendenci se pravidelně střídat, při vysokých teplotách jsou neuspořádané . Při Tc dochází k fázovému přechodu s pikem měrného tepla cV. Zvlátním případem jsou ferity. Jde o kysličníky obsahující dva kovové atomy, jejich řetězce při nízkých teplotách vytvářejí antiferomagnetickou konfiguraci ↑↓↑↓↑↓ . Vzhledem k rozdílnému momentu obou kovů je výsledná magnetizace nenulová a nevodivá látka má magnetické vlastnosti.

H

B = H+Mµ0( )

a

b

cd

e

MAGNETIKA - MAGNETICKÁ REZONANCE Přiloíme-li k látce proměnné magnetické pole můe rezonovat s atomárními (elektronovými) i jadernými (protonovými) magnetickými momenty. V oblasti rezonance je z pole odnímána energie a snadno je moné experimentálně najít oblast rezonance.

Klasický výpočet: Magnetická látka je vloena do konstantního vnějího pole B. Osa magnetických momentů podléhá precesi ∆∆∆∆ ∆∆∆∆J M tF= ⇒ J B tsin sinθ ϕ µ θ∆∆∆∆ ∆∆∆∆= ⇒

ω µ ωprec cB

Jg

em

B g= = =2 2

⇒

ω ω ω ωprec L c cg e B

m= ≡ ≡

2; .

Frekvence precese osy dipólu neboli Larmorova frekvence je g/2 násobkem cyklotronní frekvence. Chceme-li změnit sklon osy precese musíme působit slabým přídavným pole B´ kolmým na B Toto pole vytvoří moment síly µµµµ × B´ ve směru B a změní sklon precesní osy. Pole B´ musí být periodické s periodou ω prec , aby tahalo za elektron stále stejným směrem.

Kvantový výpočet: V magnetickém poli B je energie magnetického dipólu

W gem

gem

j Bz= − ⋅ = − ⋅ = −µµµµ B J B2 2

$.

Tato přídavná energie roztěpí původní energetickou hladinu elektronu v obalu nebo protonu v jádře na ekvidistantní podhladiny se vzdáleností

∆∆∆∆W gem

B=$

2 .

Systém můe mezi hladinami přeskakovat a absorbovat nebo emitovat odpovídající kvanta elektromagnetického záření $ωrez W= ∆∆∆∆ . Přísluná rezonanční frekvence je

ω ωrez cgem

B g= =2 2 .

Snadno určíme rezonanční frekvenci pro elektrony (rezonance na atomech a molekulách) a pro protony (jaderná magnetická rezonance):

1.44 MHz T atom;

0.76 kHz T jádro2 4 rezrez

ef gB KgB Km

ωπ π

= = = = .

Měřením rezonance lze určovat Landého g faktory pro různé atomy a jádra.

∆ϕ

J sin

J sin

, J

∆ =J

B

MAGNETOSTATIKA - BIOT-SAVARTŮV ZÁKON

divrot

BB

==

0

0

,µ jtot ⇒

∆∆∆∆ A jA

B A

= −=

=

µ00

tot ,,.

divrot

Rovnice pro vektorový potenciál mají stejný tvar jako rovnice elektrostatiky, zaměníme-li ρ ε µ φ0 0 1 2 3→ → =j A ii i; ; , , . Řeení proto je:

A r j r rr r

( )( )

=′ ′− ′∫

µπ0

3

4d

.

Z vektorového potenciálu snadno určíme magnetické pole B A= rot :

B r j r r r r

r r( )

( ) ( )=

′ × − ′ ′

− ′∫

µπ0

3

34d

. Biot - Savartův zákon.

Specielně pro tenké vodiče je j l ldV jS d I d= = a Biot - Savartův zákon má tvar:

B r l r r

r r( )

( )=

× − ′

− ′∫

µπ0

34I d

. Biot - Savartův zákon pro obvody.

MAGNETOSTATIKA - VEKTOROVÉ POTENCIÁLY

Homogenní pole

A

A

A

= −

′ =

′′ = −

B y x

B x

B y

0

0

0

2 2 0

0 0

0 0

( ; ; ) ,

( ; ; ) ,

( ; ; ) nebo A B r= ×1

2 0

Velikost A:

B A= rot ⇒ A r B r2 02π π⊥ ⊥= ⇒ A B r B x y= = +⊥

12

120 0

2 2

Nekonečný přímý vodič Řeení určíme z analogie v elektrostatice. Nabitý drát ⇒ E ⇒ φ. Z analogie Az:

A

B

= −

= −

⊥

⊥

µπ

µπ

00

02

20 0

20

I B r

Ir

y x

( ; ; ln ) ,

( ; ; )

Nekonečný solenoid

A =− <

− >

⊥

⊥ ⊥ ⊥

µ

µ

0

02

2 2

20

20

N

N

I y x r r

I R y r x r r r

( ; ; )

( ; ; ) ,

B =<

>

⊥

⊥

µ0 0 0 10 0 0

N I r r

r r

( ; ; )( ; ; ) ,

R poloměr solenoidu I proud N počet závitů na jednotku délky

řeení uvnitř plyne z řeení pro homogenní pole, jeho velikost určíme z Ampérova zákona. Řeení vně plyne například z B A= rot ⇒ A l B Sd d

S S∂∫ ∫= . Pole uvnitř známe, směr A dán směrem proudu.

Magnetický dipól

A r= ×µπ0

34µµµµr

B = −

µπ

µ04

3 3 3 15 5

2

5 3zxr

z yr

zr r

, ,

xz

y

A

B0

x

zy

I

A

B

x

z

y

I

B

x

z

yI

MAXWELLOVY ROVNICE V PROSTŘEDÍ, PODMÍNKY NA ROZHRANÍ

Rovnice v prostředí divdiv

rot

rot

EB

E B

B j E

==

= −

= +

ρ ε

∂∂

µ µ ε ∂∂

tot

tot

t

t

/ 0

0 0 0

0

ρ ρ ρtot free pol

tot free pol mag

= +

= + +j j j j

ρ∂∂

pol

pol

mag

t

= −

=

=

div

rot

P

j P

j M

.

Polarizační hustota náboje, polarizační proud a magnetizační proud jsou dány vektory polarizace a magnetizace. V Maxwellových rovnicích můeme ponechat jen volné náboje a proudy:

div

div

rot

rot

( )

( ) ( )

ε ρ

∂∂

µ ∂∂

ε

0

0 0

0

E P

B

E B

B M j E P

+ =

=

= −

− = + +

free

free

t

t

Zkráceně lze také psát

div

div

rot

rot

D

B

E B

H j D

=

=

= −

= +

ρ

∂∂

∂∂

free

free

t

t

0

; kde D E PH B M

≡ +≡ −

εµ

0

0 .

Pole E a B jsou tedy základní pole odpovídající vem zdrojům (vem nábojům a vem proudům). Pole D a H odpovídají jen volným nábojům a vodivostním proudům a jsou definovány pomocnými vztahy přes základní pole a vektory polarizace a magnetizace.

Podmínky na rozhraní Z druhého tvaru zápisu Maxwellových rovnic plyne pro rozhraní bez volných nábojů a proudů spojitost těchto sloek:

( ) ; ; ( ) ;| | | |ε µ0 0E P B B M E+ −⊥ ⊥ .

RELATIVNOST ELEKTRICKÉHO A MAGNETICKÉHO POLE

Z transformace proudové hustoty:

S: ρ =

=0

j I S ⇒

E

B Ir

=

=⊥

0

20µ

π ⇒ F Q B QI

r= − = −

⊥v

vµπ0

2

S´: Náboj se nepohybuje, magnetické pole nepůsobí. Pohybuje se ale celý vodič. Elektrony se pohybují jinou rychlostí ne ionty. (ty v S stojí). Kontrakce délek ve směru x je jiná pro elektrony a jiná pro ionty ⇒ ′ ≠ ′+ −ρ ρ ⇒ ′ ≠ρ 0 ⇒ elektrické pole

(určíme z Gaussovy věty) ⇒ elektrická síla!

cj jρ γ γ β

γ β γ00

0 00 0

0 0 1 00 0 0 1

0

00

=

−−

⋅

′

⇒ ρ γ

γ

′ = −

′ =

v

cj

j j

2 ⇒

E dS Q

E Sr

Ir

′ = ⇒

′ =′

= −

∫

⊥ ⊥

ερπ ε

γ µπ

0

0

02 2

v ⇒

F QE QIr

′ = ′ = −⊥

γ µπ0

2v

.

Z transformace polí

S: E

B Ir

=

=⊥

0

20µ

π S´ :

E E v B′ = + ×

′ = − = −⊥

γ

γ γ µπ

( )

E B Ir

vv0

2 ⇒ F QI

r′ = −

⊥γ µ

π0

2v

.

Z transformace potenciálů

S: φ

µπ

=

=

⊥

0

20 00A I rln ; ; ⇒

E

B Ir

=

= =⊥

0

20rot A µ

π ⇒ F Q B QI

r= − = −

⊥v

vµπ0

2

S´ :

φ γ γ βγ β γ

cAAA

Ax

y

z

x

=

−−

⋅

′ 0 00 0

0 0 1 00 0 0 1

0

00

⇒ φ γ µ

π∂ φ∂

γ µπ

′ =

′ = −′

= −

⊥

⊥ ⊥

v

v

0

0

2

2

I r

Er

Ir

ln ⇒ F QI

r′ = −

⊥γ µ

π0

2v

.

Neustále vychází toté. Vdy je F´/F = γ. To je ale v pořádku, protoe FF

dp dtdp dt

dpdp

dtdt

dtdt

′ =′ ′

=′

⋅′

=′

=⊥

⊥

⊥

⊥γ .

xz

y

x´z´

y´

S

S´

Q

v

I S