Elektricna Mjerenja - Dejan Popovic, Predrag Pejovic

ELEKTRIČNA MERENJA

(beleške za nastavu 2006/07 – deo 1)

Dejan Popović i Predrag Pejović

Elektrotehnički fakultet, Beograd, 2006

2 Dejan Popović i Predrag Pejović

UMESTO PREDGOVORA

Beleške za predavanja iz predmeta Električna merenja su nastala u cilju pojednostavljenja pripremanja ispita iz predmeta Električna merenja na drugoj godini Elektrotehničkog fakulteta u Beogradu na opštem odseku 1998. godine. Od tog vremena tekst je pretrpeo razne izmene. Sadržaj rukopisa pokriva veći deo programa predmeta, ali je neophodna dopuna ovom rukopisu za pripremanje ispita i materijal sa laboratorijskih vežbi koji je dat u Uputstvima za laboratorijske vežbe koji su pripremili Jelena Ćertić, Miloš Petrović, Nadica Stojanova, i Slobodan Kovačević u saradnji sa Predragom Pejovićem, a izdao Elektrotehnički fakultet u Beogradu više puta od 1998. godine, i deo o osciloskopu koji je napisao Prof. Predrag Pejović.

Deo beleški su i delovi teksta iz udžbenika Metrologija električnih merenja – opšti deo, autori Dr Petar Pravica i Dr Ivan Bagarić, kao i Metrologija električnih merenja – merenja i merna instrumentacija, autor Dr Ivan Bagarić koje je izdala “Nauka” 1993. i 1996. godine. Preporučujemo svim zainteresovanim čitaocima da u cilju boljeg i detaljnijeg razumevanja materije, posle proučavanja teorije električnih kola, analogne i digitalne elektronike koriste celokupan rukopis navedenih udžbenika. Takođe, preporučujemo zainteresovanim da za bolje razumevanje merenja koriste i udžbenik Fizičko tehnička merenja autora Prof. Dragana Stankovića, koji omogućuje lakše razumevanje merenja neelektričnih veličina.

Svesni smo da beleške uključuju i štamparske, a možda i neke druge greške, ali verujemo da to neće uticati na upotrebljivost materijala za pripremanje ispita, a još manje na rezultate na ispitu.

Unapred se zahvaljujemo čitaocima beleški koji nam ukažu na nedostatke, da bi sledeće verzije bile bolje.

Autori

Beograd, 2006.

Beleške sa predavanja – Električna merenja 3

UMESTO PREDGOVORA ....................................................................................................... 2

1. UVOD U METROLOGIJU.................................................................................................... 5

1.1 Merenje - definicije .......................................................................................................... 5

1.2 Metrologija ....................................................................................................................... 5

1.3 Definicije:......................................................................................................................... 5

1.4 Opšte o merenjima ........................................................................................................... 6

2. MERNA SREDSTVA............................................................................................................ 8

2.1 Upotrebne karakteristike mernih instrumenata ................................................................ 8

2.2 Merni opseg i raspon........................................................................................................ 8

2.3 Statičke karakteristike ...................................................................................................... 9

2.4 Dinamičke karakteristike mernih uređaja ...................................................................... 12

2.5 Značajne cifre u merenjima................................................................................................ 13

3. GREŠKE MERNIH SREDSTAVA ..................................................................................... 14

3.1 Najveća dopuštena greška mernog sredstva................................................................... 14

3.2 Klasa tačnosti ................................................................................................................. 16

4 Statistička obrada rezultata merenja...................................................................................... 17

4.1 Standardna devijacija ..................................................................................................... 19

4.2 Standardna devijacija populacije i uzorka...................................................................... 20

4.3 Standardna devijacija aritmetičke sredine...................................................................... 20

4.4 Grafičko predstavljanje raspodele rezultata merenja ..................................................... 21

4.5 Parametri verovatnoće rezultata merenja ....................................................................... 22

4.6 Normalna raspodela verovatnoće rezultata merenja ...................................................... 23

4.7 Standardizovana normalna raspodela............................................................................. 24

4.8 Raspodela χ2 (Hi kvadrat) .............................................................................................. 24

4.9 Studentova raspodela verovatnoća rezultata merenja .................................................... 25

4.10 χ2 kvadrat test............................................................................................................... 25

4.11 Koeficijent korelacije ................................................................................................... 26

5. Merna nesigurnost ................................................................................................................ 28

5.1 Fizičko značenje standardne nesigurnosti ...................................................................... 29

5.2 Kombinovana standardna nesigurnost uC: ..................................................................... 30

5.3 Određivanje nesigurnosti direktnih merenja .................................................................. 30

5.4 Merna nesigurnost tipa B za pokazne analogne instrumente ......................................... 30

5. 5 Merna nesigurnost tipa B za pokazne digitalne instrumente ........................................ 31

5. 6 Procena nesigurnosti merenja tipa A............................................................................. 32


5.7 Procena nesigurnosti indirektnih merenja...................................................................... 33

6. ELEKTRIČNI MERNI INSTRUMENTI ............................................................................ 35

6.1 Opšte karakteristike........................................................................................................ 35

6.2 ELEKTRIČNI MERNI INSTRUMENTI ZA JEDNOSMERNU STRUJU .................. 36

6.3 Ampermetar sa pokretnim kalemom .............................................................................. 37

6.4 Voltmetar sa pokretnim kalemom.................................................................................. 39

6.5 Ommetar sa pokretnim kalemom ................................................................................... 40

6.6 Instrumenti sa unakrsnim kalemovima .......................................................................... 41

6.7 Galvanometri .................................................................................................................. 42

7. INSTRUMENTI ZA MERENJE NAIZMENIČNIH STRUJA I NAPONA ....................... 43

7.1 Ispravljač ........................................................................................................................ 43

8. INSTRUMENTI SA POKRETNIM GVOŽĐEM ............................................................... 46

9. ELEKTRODINAMIČKI INSTRUMENTI.......................................................................... 48

9.1 Elektrodinamički ampermetar ........................................................................................ 49

9.2 Elektrodinamički voltmetar............................................................................................ 49

9.3 Elektrodinamički vatmetar ............................................................................................. 50

10. ELEKTROSTATIČKI INSTRUMENTI ........................................................................... 51


1. UVOD U METROLOGIJU Merenje je nastalo kao rezultat potrebe za kvantitativnim karakterisanjem prirodnih pojava, a direktno je rezultat opažanja i potrebe za poređenjima.

U anglosaksonskoj literaturi preovlađuje mišljenje da je do kvalitativne promene na relaciji posmatranje – merenje došlo u 17. veku kada je Frensis Bekon (francuski filozof) rekao da se “bez mogućnosti ostvarenja kvantitativnih merenja, nauka neće razvijati”.

1.1 Merenje - definicije

MERENJE je skup eksperimentalnih postupaka koji imaju za cilj određivanje jedne veličine, ili MERENJE je proces poređenja vrednosti nepoznate veličine sa veličinom koja je uzeta za jedinicu mere.

1.2 Metrologija

Nauka o merenjima je logična posledica razvoja prirodnih nauka i tehničkih disciplina. Danas se pod nazivom metrologija podrazumeva nauka koja se bavi metodama merenja pre svega fizičkih veličine, realizacijom i održavanjem etalona fizičkih veličina, razvojem i izradom mernih sredstava i obradom i analizom izmerenih rezultata.

Metrologiju možemo podeliti na: zakonsku regulativu, industrijsku, i naučnu metrologiju.

Zakonska metrologija je oblast metrologije koju, zbog opšteg značaja, reguliše država zakonima i propisima. Zakonska metrologija obezbeđuje: merno jedinstvo u zemlji, razvoj metrologije u skladu sa tehnološkim razvojem zemlje, povećanje kvaliteta roba i usluga, zaštitu potrošača u kupoprodajnim odnosima, i kontrolisanu zaštitu čovekove životne i radne sredine.

Industrijska metrologija omogućuje da se industrijski, poljoprivredni i drugi proizvodi izrađuju u skladu sa međunarodnim i regionalnim (jugoslovenskim) standardima. Industrijska metrologija je nerazdvojivo vezana za standardizaciju, pa samim i tim i garantovanje kvaliteta. S obzirom da kvalitet proizvoda predstavlja skup osobina proizvoda kojim se ostvaruje kvalitet rada i življenja jasno je da ocenjivanje kvaliteta predstavlja u suštini određivanje karakteristika veličina, odnosno merenje.

Naučna metrologija je oblast koja objedinjuje razvojni i naučno istraživački rad u oblasti metrologije, i koji uključuje merenje najveće tačnosti i preciznosti, u metrološkim laboratorijama.

1.3 Definicije:

Fizička veličina je osobina pojave, tela ili supstance koja može da se razlikuje kvalitativno i odredi kvantitativno.

Osnovna fizička veličina je jedna od veličina u sistemu veličina, koja je dogovorena kao nezavisna od bilo koje druge veličine.

Izvedena fizička veličina u sistemu veličina se može definisati kao funkcija osnovnih veličina tog sistema.

Merna jedinica je određena veličina, usvojena dogovorom, koja se koristi za kvantitativno izražavanje veličina iste dimenzije.


Oznaka merne jedinice je dogovoreni simbol kojim se označava merna jedinica.

Vrednost veličine je veličina izražena brojnom vrednošću i odgovarajućom jedinicom.

Osnovna merna jedinica Osnovna veličina

Naziv Oznaka

vreme sekund s

dužina metar m

vreme kilogram kg

električna struja amper A

termodinamička temperatura kelvin K

svetlosna jačina kandela cd

količina materija mol mol

Tabela 1: Osnovne merne jedinice SI

Metar je dužina putanje koju u vakuumu pređe svetlost za vreme od 1/299792458 sekunde (1983)

Kilogram je jednak masi međunarodnog prototipa kilograma (1889)

Sekund je trajanje od 91192631770 perioda zračenja koje odgovara prelazu između dva hiperfina nivoa osnovnog stanja atoma cezijuma 133 (1967)

Amper je jačina stalne struje koja, kad se održava u dva paralelna pravolinijska provodnika neograničene dužine, zanemarljivo malog poprečnog preseka koji se nalaze u vakuumu na međusobnom rastojanju od 1 metar, proizvodi silu koja je jednaka 2.10-7 Njutna po metru dužine. (1948)

Kelvin je 1/273.16 termodinamičke temperature trojne tačke vode. (1967)

Kandela je svetlosna jačina izvora koji u određenom pravcu, emituje monohromatsko zračenje frekvencije 0.540 mikrometara čija je energetska jačina u tom pravcu 1/683 vata po steradijanu. (1979)

Mol je količina materija sistema koji sadrži onoliko elementarnih jedinki koliko ima atoma u 0.012 kilograma ugljenika 12. (1971)

1.4 Opšte o merenjima

Prema Sidenhemu (P.Sydenham) postoje tri tumačenja postupka merenja: popularno, matematičko i informacijsko. Prema popularnoj definiciji, merenje je kvantitativno određivanje vrednosti merene fizičke veličine, poređenjem sa unapred određenom vrednošću te iste veličine, koja je prihvaćena kao jedinica. Matematičku predstavu merenja je postavio Finkelštajn (L.Finkelstein) koji smatra da je merenja postupak kojim se svojstvu neke manifestacije objekta pridružuju objektiv brojevi, na takav način, da opisuju tu manifestaciju. Prema informacijskoj predstavi, merenje se tumači kao tok informacija, a svaki istraživački proces i objekat, izvor su beskonačno mnogo latentnih informacija. Za merenje je osnova merni senzor, koji se posmatra kao informacijski filtar i koji omogućuje razlikovanje korisnih informacija.


Jedan od važnih elemenata dobrog merenja je planiranje eksperimenta. Planiranje uključuje sledeće elemente:

Koje fizičke veličine treba da budu izmerene?

U kojim opsezima je potrebno meriti fizičke veličine od interesa?

U koliko mernih tačaka je potrebno meriti pojedine fizičke veličine, posmatrajući svaki merni opseg i svaku mernu tačku posebno?

Da li se potrebna merna oprema može komercijalno nabaviti, ili je potrebno da neki deo opreme ili pribora bude posebno izrađen za ovaj zadatak?

Koje su bezbedonosne mere neophodne, ako je prisutna opasnost u toku merenja?

Da li su predviđena merna sredstva kalibrisana od strane ovlašćene metrološke laboratorije?

Koji su finansijski izvori na raspolaganju, i da li se troškovnik uklapa u budžet?

Svako merenje sa sobom unosi nesigurnost, odnosno postoji odstupanje izmerene veličine u odnosu na tačnu vrednost. S obzirom na ovu neminovnost potrebno je znati i alternativne metode merenja koje će u slučaju da je osnovna metoda nesigurna, poboljšati merenje. Za svaku metodu merenja je potrebno proceniti nesigurnost, uzimajući u obzir tačnost svakog predviđenog mernog sredstva.

Izbor mernog sredstva je jedan od centralnih elemenata dobrog merenja. Pre svega je neophodno identifikovati fizičku veličinu koja se meri, proceniti najveću i najmanju merenu vrednost. Neophodno je takođe proceniti da li se radi o periodičnoj, prelaznoj, ili slučajnoj veličini. Ako se radi o periodičnoj veličini potrebno je proceniti frekvencijski opseg pojave. U slučaju da postoje prelazne pojave treba proceniti da li i kod njih postoje periodični signali, i koliki može da bude obim premašenja u odnosu na najveću vrednost. Pri izboru se mora voditi računa o tačnosti, osetljivosti i drugim elementima mernog instrumenta.

Ovaj kurs je posvećen pre svega merenjima električnih veličina, i to električne struje, električnog napona, otpornosti, kapacitivnosti, induktivnosti i frekvencije. S obzirom da je merenje ovih veličina relativno jednostavno u odnosu na neka druge merenja (neelektričnih veličina) biće reči i o pretvaračima (senzorima) koji omogućuju pretvaranje neelektrične veličine u električnu veličinu, tj. omogućuju procenjivanje neelektričnih veličina merenjem električnih veličina.

Koncept merenja se poslednjih godina menja najviše zbog vrlo brzog razvoja računarstva i elektronske tehnologije. Cena računara i elektronskih komponenti se smanjuje nepredvidljivom brzinom zbog proizvodnje vrlo velikog broja komponenti, minijaturizacije, i napretka tehnoloških postupaka proizvodnje. Računar se relativno jednostavno povezuje u merni sistem primenom odgovarajućeg interfejsa i analogno-digitalnog konvertora koji električne analogne veličine pretvara u brojeve pogodne za prikazivanje, upoređivanje i dalju obradu rezultata na računaru. Računarska merenja su danas integrisana i u specijalizovane instrumente, pa tako danas naprimer i Tectronix i Hewlett Packard proizvode skoro sve specijalizovane instrumente kao digitalne instrumente, sa mogućnošću prikazivanja u digitalnom ili kvazi-analognom obliku. Ovaj računarski koncept merenja omogućuje razvoj novih instrumenata za sasvim specijalizovane namene.


2. MERNA SREDSTVA Merno sredstvo je aparat sa normiranim karakteristikama koje reprodukuju ili memorišu (čuvaju) jednu ili više mernih jedinica.

Merna sredstva se dele na: materijalizovane mere, merne instrumente, i merne pretvarače.

Materijalizovane mere su sredstva koja se koriste za reprodukovanje mernih jedinica – etaloni

Materijalizovane mere su naprimer: etalonski otpornik od R = 1 Ω, Vestonov naponski element od U = 1.018 V, dekada otpora, i slično.

Karakteristike materijalizovanih mera su: robustnost konstrukcije, jednostavnost manipulacije i stabilnost u radu.

Za materijalizovane mere treba znati: nazivnu vrednost, stabilnost mere i referentne uslove merenja.

Merni instrumenti su aparati koji samostalno ili u sklopu sa drugim aparatima služe za merenje.

Merni instrumenti mogu biti pokazni (npr. ampermetar, vatmetar, termometar), ili registrujući ("grafije", memorije). Instrument može da prikazuje trenutnu vrednost, kumulativnu (integrisanu) veličinu, i njen izvod (detektori "pika"), itd.

Prikazivanje ili memorisanje može biti analogno ili digitalno.

Merni pretvarači su aparati koji pretvaraju jedne fizičke veličine u druge, a namenjeni su merenju. Posebno važni za merenje su analogno digitalni (A/D) i digitalno analogni pretvarači (D/A) koji omogućuju prevođenje kontinualnih ne diskretne veličine i obrnuto.

2.1 Upotrebne karakteristike mernih instrumenata

Normalni uslovi određuju granice merene veličine unutar kojih se može primeniti merni uređaj.

Granični uslovi su granične vrednosti normalnih uslova, tj. vrednosti merene veličine za koje je još uvek moguće merenje bez degradacije instrumenta.

Referentni uslovi su tačno zadati uslovi u kojima se mora obaviti merenje - baždarenje.

2.2 Merni opseg i raspon

Merni opseg je skup vrednosti merne veličine za koje je greška merenja unutar dozvoljenih granica. Primer: voltmetar koji meri od 0 do 100 V, ampermetar koji meri od 0 do 10 mA, itd.

Za digitalni instrument je opseg određen brojem cifara. Instrument sa 4 cifre omogućuje merenje najveće vrednosti iskazane brojem 9999, a ako su dve poslednje cifre decimalne to daje zapravo najveću vrednost od 100. Često se koriste uređaji koji uključuju i prvu cifru koja ili ne postoji (0), ili je 1. Takvi uređaji se kaže da imaju “n ½” cifara (npr. “4 ½” cifre). To zapravo znači da merni uređaj može da meri do 9999, a ispred devetki je moguće da se nalazi cifra 1, pa se opseg povećava na 0 do 19999, odnosno udvostručava.

Dinamički opseg merenja se određuje kao odnos najmanje i najveće vrednosti koje mogu da se mere. Npr. ako je minimalna vrednost 1 mA, a najveća vrednost 1 A, tada je Imax/Imin = 1000. Ovaj opseg se iskazuje u dB, tj. 20 log (Imax/Imin). Za slučaj najmanje vrednosti 1 mA, i


najveće 1000 opseg je 60 dB.

Merni raspon je razlika gornje i donje granične vrednosti opsega.

2.3 Statičke karakteristike

Statička kalibracija uređaja se odnosi na poređenje poznatih ulaza i izlaza. Teškoće pri ovakvim merenjima su što je ponekad teško dovoditi uvek isti ulaz, pri tome se menja izlaz, ili je za promenljivi ulaz izlaz isti.

Za karakterisanje posmatramo: TAČNOST, PRECIZNOST, RAZLAGANJE, LINEARNOST, OSETLJIVOST, OKRETLJIVOST, STABILNOST, PONOVLJIVOST, HISTEREZIS i ULAZNU I IZLAZNU IMPEDANSU

1) Tačnost je sposobnost aparata da pokazuje vrednost blisku pravoj vrednosti. Pri tome je uobičajeno da ne znamo pravu vrednost, pa koristimo konvencionalnu ili dogovorenu vrednost. S obzirom na korišćenje dogovorene vrednosti neophodno je pri definisanju tačnosti govoriti o grešci.

2) Preciznost je sposobnost da aparat pokazuje vrednosti koje su međusobno bliske. Način koji na najbolji način pokazuje preciznost je standardna devijacija. Standardna devijacija je statistička mera ponovljivosti merenja i definiše se kao

) x - x(n1 = 2

i

N

=1i∑σ

Važno je razlikovati preciznost od tačnosti kao sto je grafički prikazano na slici.

TAČNO i

PRECIZNO

NETAČNO i

PRECIZNO

TAČNO i

NEPRECIZNO

NETAČNO i

NEPRECIZNO

3) Razlaganje mernog sredstva je sposobnost razlikovanja bliskih vrednosti. Ako se radi o uređaju sa analognom indikacijom onda je najmanji podeok moć razlaganja, a ako se radi o digitalnom očitavanju, tada je jedinica poslednje cifre karakteristika razlaganja.

Potrebno je uvek definisati razlaganje u odnosu na opseg merenja, npr. 1 µV u odnosu na U=1.35 V. Često se taj odnos definiše kao odnos najmanje mere i opsega instrumenta, odnosno skretanja pune skale u procentima. Kada se radi o digitalnom instrumentu tada je od interesa jedinica poslednje cifre u odnosu na broj cifara. 4) Linearnost je mera linearne zavisnosti ulaznih i izlaznih veličina u opsegu u kome je predviđeno da uređaj radi. U nekim slučajevima, izlazni signal ne zavisi od ulaznog signala (levi dijagram na slici), u drugim slučajevima izlazni signal ne prati linearno promene ulaznog signala nego su promene proporcionalne ulazu (dijagram u sredini), ili delimično proporcionalne (dijagram desno).


Kvalitetni uređaji moraju da budu linearni, i kod njih ne sme da zavisi izlazni signal od opsega u kome se meri.

Greška linearnosti se određuje maksimalnim odstupanjem od optimalne prave. Greška linearnosti se definiše kao

100* y

|) b + x a ( - y | = G iii

max

max

U poslednjoj jednačini je yi izmerena i-ta vrednost za xi ulaz, ymax najveća vrednost izlaza koja može da se izmeri uređajem, a a i b nagib i odsečak optimalne prave. Optimalna prava (linearna regresija) se dobija izračunavanjem parametara (nagib a i odsečak b) koristeći metod najmanje kvadratne greške (least square method - LSM):

]) b + x a ( - y[ 2ii

N

1=ii

N

1=i

= ∑∑ minmin ε

Na slici je prikazan skup merenja i optimalna prava dobijena metodom najmanjih kvadrata u slučaju diskretnih (levi dijagram) i kontinualnih merenja (desni dijagram)

5) Osetljivost mernog sistema

Osetljivost mernog sistema ili uređaja se dobija iz:

xy = K

∆∆

Osetljivost može da bude konstantna (linearni sistem) ili da zavisi od veličine merne veličine. U drugom slučaju osetljivost sistema je promenljiva (desni dijagram). Npr., ako sistem ima prenosne "kvadratne" karakteristike, onda je osetljivost kriva linearno promenljiva, tj. kriva prvog reda.


6) Pokretljivost mernog sistema. Pokretljivost mernog sistema je određena pragom, odnosno veličinom promene ulaznog signala koja će dovesti do inicijalnog pomeraja. U tom smislu se definiše najmanji merni opseg i razlaganje. Za digitalni uređaj, naprimer, koji meri napon sa četiri cifre imamo 100 mVmV 01.010000/1 =∗

7) Stabilnost

Stabilnost mernog uređaja se definiše u odnosu na razne promene, ali se pre svega odnosi na promene u vremenu.

6

1

5

4

3

2

∆f/f 10-10

0 5 10 15 20 sati 0

Dugotrajna greška stibailnosti

Kratkotrajna greška stibailnosti

Govorimo o dugotrajnim greškama stabilnosti, npr. 2∗10-8 godišnje, a i kratkotrajnim greškama, npr, 1∗10-10 na 10 sekundi.

8) Ponovljivost. Pri analizi ponovljivosti posmatramo grešku koja se dobija kada na ulaz dovodimo vrlo precizno istu vrednost:

100*x

x - xmax

min

9) Histerezis

Histerezis je pojava koja dovodi do neponovljivog pokazivanja instrumenta u zavisnosti od načina promena ulazne veličine pri merenju. Karakteristično je da pri povećanju ulazne


veličine imamo veća pokazivanja u odnosu na pokazivanja koja dobijamo kada se smanjuje ulazna veličina, kao što je to prikazano na slici. Mera histerezisa je maksimalna razlika izlaznih vrednosti koje se dobijaju za istu ulaznu vrednost.

100*y

y - y = G dg

Hmax

gde su yg i yd izmerene vrednosti za isti ulazni signal.

10) Ulazna impedansa

Pri merenjima u kojima posmatramo prostoperiodične signale, a i pri drugim merenjima u kome je ulazni signal promenljiv definiše se pojam ulazne i izlazne impedanse mernog uređaja. Od interesa je ulazna impedansa uređaja za merenje, i izlazna impedansa materijalizovane mere. Najjednostavniji način za razumevanje je posmatranje jednostavnog rednog električnog kola, u kome se merena struja i mereni napon funkcija unutrašnje impedanse izvora, priključene impedanse i efektivne vrednosti signala.

U prikazanom kolu su napon U i struja I određeni jednačinama:

Z+ZE = I

Z+Z

ZE = U

unul

unul

ul

Greška pri merenju se direktno dobija poređenjem struje pri variranju odnosa priključene i unutrašnje impedanse. Izlazna impedanse treba da je mala, i standardno je 50 Ω, 75 Ω, ili 600 Ω, dok je ulazna impedansa obično velika i iznosi i do 100 MΩ za merenje napona. Uređaj za merenje struje ima malu ulaznu impedansu i ona je obično reda 1 Ω sa paralelno vezanom induktivnošću reda 15 µH.

2.4 Dinamičke karakteristike mernih uređaja

Model instrumenta, tj. matematički izraz koji povezuje ulaz i izlaz se može aproksimirati linearnom kombinacijom izvoda ulaznog signala:

x bo = dti

yd iai

n

1=i∑

Red n određuje red prenosne funkcije merenja.

Za n = 0 dobijamo nulti red tj.

xab =y

0

0

i koeficijent b0/a0 se naziva statička osetljivost.

Ako je red n=1, dobijamo funkciju prenosa prvog reda, i ona daje

xab =y +

dxdy

aa

0

0

0

1


Ista jednačina se može napisati i u obliku ( ooo aaabK /,/ 1== τ )

x K =y + y ′τ

a rešenje je:

h(t) X = x za ),e - (1 (t) h X K =y -t/τ

gde je h(t) jedinična odskočna funkcija. Na slici je prikazana izlazna funkcija za tri različite vrednosti τ.

Za vrednost n=2, posmatramo sistem drugog reda (vrlo čest slučaj pri merenjima), i imamo (sistem drugog reda se može modelirati kao električno kolo prikazano na slici).

x b =y a + dtdy

a + dt

yd a 0012

2

2

Uvodeći smene: koje nazivamo prirodna učestanost i odnos prigušenja respektivno dobijamo jednačinu oblika:

202122 /,2/,/ abKaaaaa oon === ζω

x K =y + y 2 + y 2nn ωωζ ′′′

Rešenje ove jednačine zavisi od parametara. Ako je ulazni signal jedinična odskočna funkcija dobijaju se prigušene oscilacije ili pseudoperiodični izlaz koji se stabilizuje na vrednosti K∗x.

Da bi na najjednostavniji način opisali ponašanje sistema posmatramo karakteristike ove prenosne funkcije pored vremenskog i u frekvencijskom domenu (slika). U tom slučaju govorimo o amplitudskoj, i frekvencijskoj karakteristici.

2.5 Značajne cifre u merenjima Pri merenju sve cifre u rezultatu su sigurne ako su dobijene pokazivanjem instrumenta. Cifre koje su dobijene procenom nazivamo nesigurne cifre. Nula u nizu nije značajna cifra, pa tako 0.00125 ima smo tri značajne cifre, a 34000 ima dve značajne cifre. Nula je značajna cifra kada se radi o tačnoj vrednosti i svim sigurnim ciframa što se mora posebno naglasiti, pa tako na primer 34000 (tačno) ima pet značajnih cifara, kao i na primer 5.7008. Pri računanju se može dogoditi da se dobije veći broj cifara u odnosu na broj cifara (naročito pri deljenju i množenju), pa u tom slučaju obavezno treba zaokružiti rezultat na vrednost određenu brojem koji ima isti broj sigurnih cifara kao i merena veličina i najviše jednu nesigurnu cifru.


3. GREŠKE MERNIH SREDSTAVA

3.1 Najveća dopuštena greška mernog sredstva

Najveća dopuštena greška mernog sredstva je najveća greška mernog sredstva, dozvoljena tehničkom specifikacijom mernog sredstva, metrološkim propisima, ili drugom regulativom, vezanom za dato merno sredstvo.

U tehničkoj specifikaciji mernog sredstva, koja je sastavni deo uputstva za rad, koje izdaje proizvođač mernog sredstva, obavezno se daje najveća dopuštena greška mernog sredstva. Time, u stvari, proizvođač garantuje da ce se sva merenja, koja se vrše datim mernim sredstvom obavljati sa greškom manjom ili jednakom najvećoj dopuštenoj greški. Zadatak metroloških laboratorija je upravo u tome, da proveri da li je greška pokazivanja mernog sredstva manja, jednaka, ili veća od najveće dopuštene greške. Ova metrološka karakteristika mernog sredstva može biti data na više načina i to kao:

Čisto relativna greška u obliku pvXGnd %±=

gde oznaka "pv" znači "od “pokazane vrednosti” , “od očitane vrednosti” ili “od ulazne vrednosti” za merne instrumente tj. "od ”postavljene vrednosti” za generatore i ”od nazivne vrednosti” za mere. U uputstvima za rad na engleskom jeziku ovome odgovaraju oznake “of input”, “of reading”, i “of setting”. Prema tome, u ovom slučaju najveća dopuštena greška je data u obliku relativne greške pa se može preciznije nazvati najveća dopuštena relativna greška mernog sredstva.

Ako se ova relativna greška, za svaku vrednost merene veličine posebno, preračuna u apsolutnu grešku, može se dobiti odgovarajuća najveća dopuštena apsolutna greška mernog sredstva, koja nije konstantna unutar mernog opsega kao najveća dopuštena relativna greška, već je promenljiva, zavisi od merene veličine i proporcionalna je sa njom. Najmanja je na početnom delu opsega, a najveća na kraju opsega.

Na slici je prikazan dijagram najveće dopuštene relativne greške jednog voltmetra, Gndr = f(U), za konkretnu vrednost X = 1, kao i dijagram odgovarajuće (pretvorene) najveće dopuštene apsolutne greške, Gnda= f(U), koja se dobija pomoću relacije Gnda = Gndr x.

gde je x merena veličina, odnosno ulazni napon. Pretpostavlja se da voltmetar ima tri opsega: 1, 10 i 100 V.

Čisto apsolutna greška u obliku ksYGnd %±=

gde oznaka ”ks” znači ”od kraja skale”, ”od pune skale”, ili ”od opsega”. Na engleskom jeziku ovome odgovaraju oznake “of end scale”, “of range”, i “full scale”. Prema tome, u


ovom slučaju najveća dopuštena greška zavisi isključivo od kraja skale tj. od postavljenog opsega merenja na mernom sredstvu, i u apsolutnom iznosu greška je konstantna unutar jednog mernog opsega. Jasno je da je u ovom slučaju, najveća dopuštena greška jednaka najvećoj dopuštenoj apsolutnoj grešci mernog sredstva. Odgovarajuća (preračunata) najveća dopuštena relativna greška u ovom slučaju je promenljiva i opada posmatrajući od početka ka kraju mernog opsega gde ima.najmanju vrednost. Na slici je dat dijagram najveće dopuštene apsolutne greške, Gnda tog voltmetra za konkretnu vrednost Y = 1, kao i dijagram

odgovarajuće najveće dopuštene relativne greške, Gndr, koja se dobija pomoću relacije

100x

GG nda

ndr ±=

gde je x merena veličina, odnosno u odabranom primeru ulazni napon.

Svi proizvodači analognih mernih instrumenata ne preporučuju korišćenje instrumenta u prvoj trećini skale, dok neki čak to ni ne predviđaju tehničkom specifikacijom. Kako je najveća dopuštena greška ovakvih analognih instrumenata upravo ona data na prethodnoj slici, analizom levog dijagrama sa prethodne slike se vidi razlog ovakvoj preporuci. Dijagram za najveću dopuštenu relativnu grešku pokazuje nagle skokove na početku svakog mernog opsega. Da bi se izbeglo ovo enormno pogoršanje kvaliteta merenja, proizvodači su uveli veći broj mernih opsega kod analognih instrumenata (npr. 1 V, 3 V, 10 V, 30 V, 100 V). Ovim sistemom mernih opsega tipa 1-3-1, obezbedilo se da druga i treća trećina svakog mernog opsega pokrivaju celokupan merni opseg instrumenta. Tako je omogućeno da se izbegnu merenja u prvoj trećini, tj. upravo u onom delu opsega u kojem su ekstremne greške merenja.

Kombinovana greška u obliku Gnd = ± (X% pv + Y% ks) predstavlja kombinaciju prethodno opisanih grešaka. Jasno je, da od vrednosti X i Y tj. od njihovog odnosa, zavisi oblik dijagrama grešaka, mada se vidi da u opštem slučaju dijagrami grešaka za kombinovanu grešku, više teže dijagramima grešaka za čisto apsolutnu grešku kao što je to prikazano na slici na narednoj strani.

Na ovom mestu se postavlja pitanje, zašto je potrebno izračunavati najveću dopuštenu relativnu grešku u procentima za pojedine merne tačke ili čak i izrađivati dijagram ove greške. Radi se o tome da za sve kombinacije najveće dopuštene greške koju daje proizvođač, korisnik mernog sredstva nije u stanju da na osnovu njih izvrši procenu podobnosti predmetnog mernog sredstva za konkretno merenje, već je prinuđen da izvrši transformaciju apsolutnog, kombinovanog i složenog oblika najveće dopuštene greške u odgovarajuću jedinstvenu najveću dopuštenu relativnu grešku za svaku mernu tačku ponaosob. Da bi se izvršilo poređenje ovog podatka sa mernim mogućnostima mernih sredstava koji su na raspolaganju, potrebno je da se njihove najveće dopuštene greške svedu, takođe, na relativan, odnosno procentualan oblik.


Složena

greška u

obliku

za analog

ne (voltm

etre) Gnd = ± (X% pv + Y% ks + Z1 mV) , tj.

za digitalne instrumente Gnd = ± (X% pv + Y% ks +Z2 dig) .

gde zadnji sabirak u obe relacije za najveću dopuštenu grešku označava dodatnu najveću dopuštenu apsolutnu grešku datu kao fiksan broj jedinica merene veličine (npr. u µV ili mV za voltmetre) kod analognih instrumenata, ili kao fiksan broj cifara (digita) za digitalne instrumente. Na ovom mestu mogu se matematički definisati X, Y, i Z

100%0

0x

xxpvX

−= , 100%

max

0x

xxksY

−= , 01 xxmVZ −= (mV) , 02 xxdigZ −= (dig)

gde je x izmerena vrednost, x0 usvojena prava vrednost, a xmax kraj skale.

Može se postaviti pitanje, zašto je najveća dopuštena greška komponovana upravo na ovaj način. Razlozi potiču od sledećih elemenata: pojedini delovi mernog instrumenta različito doprinose ukupnoj greški merenja. Na primer, ulazni pojačavač unosi relativnu grešku od 0.l % pv, ulazni atenuator takođe relativnu grešku od na primer 0.2 % pv, međutim analogni

indikator unosi apsolutnu grešku od na primer 0,2 % ks zbog šumova. Znajući ovo, formira se sveukupna najveća dopuštena greška koja neminovno ima oblik dat prethodnom relacijom. Na slici su prikazani dijagrami najveće dopuštene apsolutne i relativne i greške koji odgovaraju konkretnom složenom obliku za analogni voltmetar Gnd = ± (1% pv + 1% ks + 10 mV).

3.2 Klasa tačnosti

Klasa tačnosti je klasa mernog instrumenta koji zadovoljava određene metrološke zahteve potrebne za održavanjem grešaka u određenim granicama.

Klasa mernog instrumenta se definiše jednačinom

100|xG| = K nda

max

i na primer prema jugoslovenskim standardima za pokazne instrumente (JUS L.G1.020) merni instrumenti se svrstavaju u klase tačnosti 0.1; 0.2; 0.5; 1; 1.5; 2; 2.5; i 5.


Primer za utvrđivanje karakteristike mernog instrumenta: Neka je voltmetar klase 0.5, i skala od 0 do 150 V. Meri se napon od 75 V, pa možemo odrediti najveće greške:

0.75V = 100150*0.5 =

100xK = Gnda ±±± max

1% = 75100*0.75 = 100*

xG = G nda

ndr ±±±

4 Statistička obrada rezultata merenja Zadatak statističke obrade rezultata je procena prave vrednosti merene veličine i procena merne nesigurnosti korigovanog rezultata merenja. Procena prave vrednosti merene veličine uključuje: 1) određivanje najverovatnije vrednosti merene veličine, za koju se pokazuje da je jednaka aritmetičkoj sredini rezultata merenja; i 2) korigovanje ove vrednosti za poznate sistematske greške merenja. Procena merne nesigurnosti uključuje određivanje njene slučajne komponente na osnovu ponovljenih merenja, i sistematske komponente kao posledice nepoznatih (neisključenih) sistematskih grešaka.

Ponavljajući merenja jedne iste veličine pod istim uslovima, koristeći pri tome isto merno sredstvo sa dovoljno velikom rezolucijom dobijamo razne vrednosti rezultata. Poći ćemo od pretpostavke da su sve sistematske greška eliminisane. U tom slučaju aritmetičku sredinu rezultata merenja smatramo pravom vrednošću. Aritmetičku sredinu definišemo kao

x n1 = x i

n

=0i∑

gde su xi rezultati merenja, a n je broj merenja. Ako koristimo apsolutnu grešku

x - x = x 0ii∆

gde je xo nepoznata prava vrednost i saberemo sve apsolutne greške dobijamo

xn - x = x 0i

n

1=ii

n

1=i

⋅∆ ∑∑

Prava vrednost merene veličine je prema tome

x n1 - x

n1 = x i

n

=1ii

n

=1i0 ∆∑∑

Prvi član sa desne strane jednačine je srednja vrednost x , a drugi član možemo obeležiti sa ε i on je

x n1 = i

n

=1i

∆∑ε

aritmetička sredina stvarnih apsolutnih grešaka pojedinačnih merenja. S obzirom da je verovatnoća pojavljivanja pozitivnih i negativnih apsolutnih grešaka (ako su sistematske greške eliminisane) podjednake možemo napisati

ε± x =x 0

Prema Gausovoj teoriji slučajnih grešaka, pri proučavanju slučajnih grešaka na rezultate merenja, treba poći od dve pretpostavke:


1) pri velikom broju ponovljenih merenja jednako verovatno nastaju slučajne greške jednakih vrednosti ali suprotnog znaka; i

2) verovatnoća pojavljivanja malih grešaka veća je od verovatnoće pojavljivanja velikih grešaka.

Na osnovu prve pretpostavke može se zaključiti da je lim ε = 0, što znači da je pri velikom broju ponovljenih merenja aritmetička sredina rezultata merenja jednaka pravoj vrednosti merene veličine. U teoriji grešaka se prethodna konstatacija vezuje za Gausovu metodu najmanjih kvadrata, odnosno za određivanje veličine A tako da izraz.

) A - x ( = (A) f 2i

n

1=i∑′

ima minimalnu vrednost. Pri ovome je ( kvadrat odstupanja i-tog rezultata merenja od veličine A, koja sa najvećom verovatnoćom predstavlja najbolju aproksimaciju prave vrednosti merene veličine. U praksi se često umesto termina aritmetička sredina koristi "srednja vrednost" (mean).

) A - x 2i

Treba da uočimo da strogo gledano N merenja (uzoraka), gde ∞→N , čini populaciju, a da mi pri merenjima posmatramo samo deo populacije koji ima n članova. Aritmetička sredina se definiše za populaciju

x N1 = i

N

=1i∑µ

n merenja treba da bude reprezentativan uzorak, a to znači da uzorkovanje treba da bude slučajno. Zadatak statistike je da matematičkim razmatranjem proceni karakteristike populacije, iz koje je uzet uzorak, tj. da prema poznatom uzorku proceni vrednost nepoznatog parametra populacije.

Pretpostavljajući da je raspodela grešaka slučajna možemo sa grafika jasno uočiti merenje u kome je prisutna sistematska greška (levo), u odnosu na merenje u kome su eliminisane sistematske greške (desno). U slučaju merenja u kome postoje sistematske greške aritmetička sredina populacije nije jednaka pravoj vrednosti merene veličine i odstupanje je jednako sistematskoj grešci, a greške merenja su jednake zbiru slučajne i sistematske greške.

Aritmetička sredina populacije i merenja se uvek razlikuju, jer je broj uzoraka u populaciji


mnogo veći u odnosu na uzorak, pa greške pri merenju uzorka zapravo na ispunjavaju ranije navedene osobine slučajne veličine. Bliskost srednjih vrednosti populacije i uzorka se kvantitativno određuje koristeći standardnu devijaciju.

4.1 Standardna devijacija

Veličina σ2 se naziva varijansa ili disperzija i jednaka je aritmetičkoj sredini kvadrata apsolutnih grešaka.

) x - x( n1 = 0i

2n

=1i

2 ∑σ

Standardna devijacija σ , koja se još naziva i standardno odstupanje ili srednja kvadratna greška, se definiše kao odstupanje koje bi je javila u svih n merenja čija je veličina takva da je kvadrat ukupne greške jednak ukupnom zbiru kvadrata grešaka merenja, tj.

x n1 = 2

i

n

=1i

∆∑σ

Standardna devijacija se izražava u istim jedinicama kao i merena veličina.

Definiše se i relativna standardna devijacija kao odnos standardne devijacije i prave vrednosti merene veličine

x

= r0

σ

U praksi, kao što je već rečeno, ne znamo vrednost merene veličine, već možemo da odredimo samo najverovatniju vrednost, odnosno srednju vrednost uzorka. S obzirom na to možemo da koristimo umesto tačne apsolutne greške prividnu apsolutnu grešku

x - x = iiν

gde je x srednja vrednost uzorka.

Cilj nam je da odredimo varijansu, odnosno standardnu devijaciju koristeći vrednosti merenja. Izračunaćemo kvadrat zbira apsolutnih grešaka

x x2 + x = )x + ... + x + x( = ) x( 1+ii

n

=1i

2i

n

=1i

2n21i

n

=1i

2

∆∆∆∆∆∆∆ ∑∑∑

Drugi sabirak je mnogo manji u odnosu na prvi koristeći definiciju slučajnosti greška pa je prema tome

∑∑=

∆∆n

ii

2i

n

1=i

x= ) x(1

2

Ako napišemo da je apsolutna greška

) x - x ( + = x ii 0ν∆

pri čemu je izraz u zagradi konstanta, kvadriramo prethodnu jednakost i saberemo od 1 do n dobijamo

) x- x ( n + ) x - x ( 2 + = x 0i

n

1=i

2i

n

1=i

2i

n

1=iνν ∑∑∑∆ 0


Zbir prividnih grešaka, tj. zbir u srednjem članu sa desne strane jednakosti je nula, pa imamo

) x- x ( n + = x 02i

n

1=i

2i

n

1=iν∑∑∆

Razliku između srednje i prave vrednosti možemo izraziti koristeći stvarne apsolutne greške merenja

x n1 = x - x i

n

=1i0 ∆∑

pa dobijamo

ν 2i

n

=1i

2i

n

=1i

1-n

n = x ∑∑∆

što zamenom u formulu daje varijansu s2

ν 2i

n

=1i

2 1-n

1 = s ∑

Standardna devijacija se definiše kao kvadratni koren iz varijanse, tj.

)x - x ( 1-n

1 = s 2i

n

1=i∑

4.2 Standardna devijacija populacije i uzorka

Standardna devijacija populacije se definiše sa

) x ( N1 = 2

i

N

1=i

µσ −∑

U ovoj definicija je pretpostavljeno da je broj merenja N vrelo veliki, i da je s obzirom na to srednja vrednost populacije jednaka pravoj vrednosti merene veličine.

4.3 Standardna devijacija aritmetičke sredine

Već je više puta rečeno da aritmetička sredina merenja x nije jednaka pravoj vrednosti merene veličine x0. Odstupanje aritmetičke sredine u odnosu na pravu vrednost je ε . Pretpostavljajući da su greške merenja male možemo da napišemo

)) x - x ( ( = ) x - x ( = s n 20i

n

=1i

20i

n

=1i

2 ∑∑

n s= x = ) x - x ( i

n

=1i0i

n

=1i

∆∑∑

Na osnovu prethodnih jednačina je

ns - x = x0

Drugi član sa desne strane jednačine se naziva standardna devijacija aritmetičke sredine, i on


opada sa recipročnom vrednošću korena iz broj merenja. Standardna devijacija aritmetičke sredine je

) x - x ( 1)-n(n

1 = ns = s 2

i

n

=1ix ∑

U prethodnoj jednačini je s standardna devijacija, a n broj merenja. Iz napred navedenog sledi:

| s | + x x | s | - x x0x ≤≤

Definisani interval se često naziva interval poverenja (confidence interval). Ako greške ispunjavaju navedene Gausove uslove (slučajni proces) verovatnoća da se mereni rezultat nađe u intervalu poverenja je 67%. Standardna devijacija aritmetičke sredine je manja od standardne devijacije pojedinog merenja. U praktičnim uslovima nema smisla povećavati broj merenja preko n=10.

4.4 Grafičko predstavljanje raspodele rezultata merenja

Pri ponavljanju merenja iste veličine pri istim uslovima, s obzirom da koristimo merni instrument određene tačnosti izmerićemo istu vrednost više puta, sto znači da će se ista greška merenja ponavljati. Posmatrajmo skup diskretnih vrednosti (merenja), i na horizontalnu osu nanesimo izmerenu vrednost, a na vertikalnu broj merenja pri kojima je izmerena ta vrednost (slika levo). Broj ponavljanja pojedine vrednosti nazivamo učestanost rezultata merenja (f1). Koristeći učestanost rezultata merenja možemo napisati da je aritmetička sredina merenja

n m ,xf n1 = x ii

m

1=i

≤∑

Pri ovome je

n = f i

m

=1i∑

Slično tome na ordinatu možemo nanositi i relativnu učestanost rezultata merenja (fi/n) kao što je to pokazano na desnoj slici.

U slučaju da merimo veličinu koja je neprekidna, skup merenja čini diskretni skup koji se razlikuju za diferencijalno male priraštaje. Grafičko predstavljanje ovih merenja je najpogodnije histogramom.


Histogram je grafički prikaz rezultata merenja u kojem apscisa pokazuje skupove rezultata merenja unutar opsega merene veličine, a ordinata učestanost njihovih ponavljanja. Prva faza je grupisanje rezultata merenja u grupe (intervali histograma), u odnosu na ukupan interval merenja R(x)=xmax-xmin, gde je xmax rezultat merenja sa najvećom brojnom vrednošću, a xmin rezultat merenja sa najmanjom brojnom vrednošću. Pri izboru intervala histograma moramo voditi računa da budu obuhvaćene sve izmerene vrednosti, i da svaki pojedini rezultat merenja mora da odgovara (pripada) samo po jednom intervalu. Broj intervala histograma je

1+nm ≈ .

Pri crtanju dijagrama na apscisu se nanose intervali histograma, a na ordinatu učestanost intervala, relativna učestanost intervala ili procentualna učestanost intervala. Učestanost intervala je broj merenja koja pripadaju intervalu histograma, a relativna učestanost intervala odnosu broja koji pripada pojedinom intervalu u odnosu na ukupan broj merenja. U nekim slučajevima crtamo normalizovani histogram kod koga se učestanost intervala deli sa širinom intervala histograma.

4.5 Parametri verovatnoće rezultata merenja

Osnovni parametri koji karakterišu verovatnoću rezultata merenja su: 1) gustina raspodele verovatnoće merenja f(x); i 2) funkcija raspodele verovatnoće rezultata merenja F(x).

Posmatramo proces merenja sa velikim broj ponavljanja, tako da broj merenja , širina intervala histograma se može smanjivati tako da zapravo postaje . Obvojnica histograma je u ovom slučaju neprekidna funkcija (prikazana na prethodnoj slici) i obeležavamo je sa f(x). Ova nenegativna, realna i neprekidan funkcija je definisana za svaki prirodan broj x i nazivamo je gustina raspodele verovatnoće merenja. Ova funkcija se matematički definiše jednačinom

∞→ n0x →∆

x)x < X < x ( P

0x = ) x ( f 1+ii

∆→∆lim

pri čemu je verovatnoća da se rezultat merenja nađe u intervalu ( . Integracijom gustine raspodele verovatnoće rezultata merenja u nekom konačnom intervalu

dobijamo verovatnoću da rezultat merenja bude u tom intervalu. Sasvim je jasno da ako su granice intervala (

)x < X < x ( P 1+ii

x 1

)x ,x 1+ii

) x ,x ( 21

) x ,- 2 ∞→∞→ verovatnoća postaje P=1.

Ako nađemo vrednost F(x1)


x d ) x ( f = ) x ( Fx

-

1

∫∞

1

dobijamo funkciju raspodele verovatnoće rezultata merenja. Dobijena je neopadajuća realna funkcija, definisana za svaki broj, koja ima vrednosti od 0 do 1.

Koristeći gustinu raspodele verovatnoće možemo napisati aritmetičku sredinu populacije µ i standardnu devijaciju populacije σ pomoću sledećih jednačina

x d ) x ( f ) - x ( = -

µσ ∫∞

∞

∫=−∞⇒

T

TTdxxf

T)(

21

limµ

4.6 Normalna raspodela verovatnoće rezultata merenja

Kao sto je već rečeno greške prilikom velikog broja merenja su slučajni, nezavisni uzorci, i ako su one male onda se oni rasipaju prema poznatoj normalnoj raspodeli verovatnoća, koja se još naziva Gausova raspodela

e 2

1 = ) x ( f 2

2

2)-(x -

σµ

πσ

gde su parametri µ aritmetička sredina populacije, i σ standardna devijacija populacije.

Najvažnije osobine normalne raspodele su:

1) Gausova funkcija gustine raspodele je pozitivna i neprekidna za svaku realnu vrednost promenljive x;

2) strmina zvonaste Gausove krive zavisi od σ tako što se smanjenjem σ povećava strmina;

3) maksimalna vrednost zvonaste krive ima kooridinate ) 2 ( / 1 , πσµ( ;

4) zvonasta kriva je osno simetrična u odnosu na vertikalu kroz maksimum;

5) površina ispod krive je jednaka 1;

6) verovatnoća da se rezultata merenja nađe na intervalu je ) x ,x ( 21

x de 2

1 = ) x < X < x ( P 2

22

1

2) - x ( -

x

x

21 σµ

πσ ∫

7) funkcija raspodele je određena jednačinom

x de 2

1 = ) x ( F 2

21

2) - x ( -

x

-1 σ

µ

πσ ∫∞

Na slici je prikazana Gausova funkcija za 3 vrednosti standardne devijacije.


4.7 Standardizovana normalna raspodela

Uvođenjem nove promenljive σµ / ) - X ( = Z Gausova funkcija

dobija oblik

koju nazivamo gustina standardizovane normalne raspodele verovatnoće. Ova funkcija ima maksimum određen koordinatama

) 2 / 1 ,0 ( π , i ima standardizovanu strminu. Koristeći funkciju )z ( φ možemo odrediti verovatnoću nalaženja rezultata merenja u određenom opsegu, kao i funkciju raspodele u određenoj tački već ranije pokazanim jednačinama. Za određivanje vrednosti integrala koji određuje verovatnoću, odnosno funkciju raspodele koristimo Laplasovu funkciju (u engleskoj terminologiji "error function") koja se definiše sa

z d e 2

1 = )z ( 2z -

2

πφ

due 22 = )z ( 2

u-z

0

2

∫Φπ

i koja se čest odaje tabelarno. Za detaljnije razmatranje ove funkcije treba konsultovati neku od udžbenika merenja (npr. "Metrologija električnih veličina" P.Pravica i I.Bagarić, Nuka, Beograd, str. 190 i dalje).

4.8 Raspodela χ2 (Hi kvadrat)

Formirajmo novu promenljivu od kvadrata n standardizovanih slučajnih promenljivih koje imaju normalne raspodele

χ 2d

Z ,... ,Z ,Z n21

Z = 2i

n

1

2d ∑χ

gde je d broj stepeni slobode određen brojem linearno nezavisnih slučajnih promenljivih Zi, pri čemu je . Ukoliko se radi o jednoj seriji nezavisnih merenja d=n-1, a ako se radi o više serije d<n-1. Naprimer za dve nezavisne serije merenja sa n odnosno m merenja je

.

1-n d ≤

= 1)-(m 2-m+n+1)-(n = d s

Polazeći od standardizovane Gausove krive može se pokazati da je gustina raspodele verovatnoće slučajne promenljive χ 2

d

e ) ( )

2d (2

1 = ) ( f 2-2

2-d2d

2d

2d

2dχ

χχΓ

gde je poznata gama funkcija Γ

x d xe = ) d ( 1-dx-

0∫∞

Γ

U ovom slučaju je aritmetička sredina populacije d = µ , a disperzija d 2 = 2σ . Na slici je


prikazana raspodela za 6 različito vrednosti d=2,4,6,1,20,30. Sa slike se sasvim jasno vidi da sa porastom stepeni slobode kriva dobija sve više oblik normalne raspodele, i za vrednosti d>20 kriva se može aproksimirati krivom normalne raspodele.

4.9 Studentova raspodela verovatnoća rezultata merenja

Ovu raspodelu je definisao matematičar W.S. Gosset, koji je koristi pseudonim Student. Raspodela se odnosi na slučajnu promenljivu koja ima oblik

d /

z = t2dχ

Za ovako definisanu promenljivu dobijamo da je uz pretpostavku da vaze standardizovana i raspodele gustina raspodele verovatnoće f(t)

χ 2d

) dt + 1 (

) 2d(

)2

1+d(

d1 = f(t) 2

1+d-2

Γ

Γ

π

gde je Γ gama funkcija, a d=n-1 broj stepeni slobode. Na slici je prikazana studentova raspodela za d=5. Za detaljnije razmatranje ove funkcije treba konsultovati neku od udžbenika merenja (npr. "Metrologija električnih veličina" P.Pravica i I.Bagarić, Nauka, Beograd, str. 204 i dalje).

4.10 χ2 kvadrat test

χ 2 test se koristi za utvrđivanje saglasnosti rezultata merenja sa teorijskim zakonom raspodele. Naprimer, ako merimo n puta, i smatramo da rezultati merenja zadovoljavaju Gausovu raspodelu, onda možemo da posle merenja proverimo da li je pretpostavka o slučajnoj raspodeli tačna koristeći test. Za poređenje različitih delova posmatrane raspodele izvrši se podela rezultata merenja u m intervala i odredi učestanost ponavljanja merenja ua svakom intervalu.

χ 2

Smatrajući da merenja odgovaraju Gausovoj raspodeli uradimo sledeću proceduru:

1) izračunamo aritmetičku sredinu i standardnu devijaciju rezultata merenja;

2) za svaki interval izračunamo standardizovane veličine i za gornju i donju graničnu učestanost;

zg zd

3) pomoću tabele, odnosno računara, odredimo vrednosti integrala Φ , odnosno verovatnoće nalaženja u intervalima za svaki interval (i=1,2,..,m);

)z ( ) z <z < z ( P dgi


4) množenjem dobijene verovatnoće Pi sa ukupnim brojem rezultata merenje n dobija se očekivana učestanost ponavljanja rezultata u i-tom intervalu.

Posle određivanja očekivanih vrednosti po intervalima određuje se χ 2 gde je m broj intervala, r broj konstanti korišćenih u izračunavanju očekivanih učestanosti zavisan očekivane raspodele (za ravnomernu raspodelu r=1, za binomnu raspodelu r=2, za normalnu raspodelu r=3, za Puasonovu raspodelu r=2), a broj stepeni slobode je m-r=d. Pri ovome fpi i foi su posmatrane i očekivane učestanosti pojavljivanja rezultata. Što je manja vrednost dobijene vrednosti to su rezultati merenja bliži pretpostavljenoj verovatnoći raspodele merenja. Prihvatljivi su rezultati u kojima je odstupanje manje od 0.1, ili 0.05.

4.11 Koeficijent korelacije

Koeficijent korelacije pokazuje odnos dve veličine. Ako je koeficijent korelacije velik radi se o jakoj korelaciji i vezu te dve veličine nazivamo funkcionalna veza, a ako je koeficijent mali

vezu nazivamo stohastička (slučajna). Skup statističkih metoda koje utvrđuju oblik i smer povezanosti, kao i njenu jačinu, nazivamo teorija korelacije, a osnovni pokazatelji su jednačina optimalne prave i koeficijent korelacije.

Optimalna prava je jednačina koja se praktično određuje koristeći metodu najmanjih kvadrata. Praktično ako imamo skup od n parova (xi,yi), i=1,2,..,n, tada možemo da potražimo jednačinu prave

b + x a =y

koja ispunjava uslov da je zbir kvadrata odstupanja

minimalan. ) y- b+ x a ( 2ii

n

=1i∑

Ako potražimo parcijalne izvode izraza za zbir kvadrata odstupanja po a i b dobijamo sistem

dve jednačine sa dve nepoznata koji se svodi na

) x x n

y x x - y x = b

2i

n

=1i

2i

ii

n

=1ii

n

=1ii

n

=1i

2i

n

=1i

( -

∑∑

∑∑∑∑

) x x n

y = a

2i

n

=1i

2i

i=1i=1i

i=1i

( - ∑∑

x - y x nn

i

n

i

n

∑∑∑

Posle određivanja koeficijenata a,b možemo lako da odredimo rezidijumsku grešku sy,x

y b - y x a - y n

1 = s i

n

=1iii

n

=1i

2i

n

=1ixy, ∑∑∑

Jednakost

2-ns = s x y ,

y

se naziva nesigurnost izlazne veličine Y. Izlazna veličina Y=ax+b.


Koeficijent korelacije se određuje koristeći jednačinu

s

s - 1 = r2y

2x y ,

) y - y ( n

1 = s 2i

n

=1iy ∑

Za izračunavanje koeficijenta korelacije može se direktno koristiti i jednačina

) y - y (

n1) x-x(

n1

) y - y ( ) x - x ( n1

= r2

i

n

=1i

2i

n

=1i

ii

n

=1i

∑∑

∑

koji se svodi na

)yyn)xx

yxyx n = r

2i

n

=1i

2i

n

=1i

2i

n

=1i

2i

n

=1i

i

n

=1ii

n

=1iii

n

=1i

( - ( - n

-

∑∑∑∑

∑∑∑

Koeficijent korelacije se kreće između -1 i 1.


5. Merna nesigurnost Merenja su od posebnog značaja za praktično sve oblasti elektrotehnike, ali i sa većinu aktivnosti u životu.

Merna nesigurnost – tip A i tip B, kombinovana merna nesigurnost, merna nesigurnost pri primeni analognih instrumenata sa kazaljkom i digitalnih instrumenata, nesigurnost indirektnih merenja, greška u metodi merenja i korekcija.

Merenje ima za cilj da nam pokaže kvantitet „pojave“ od interesa. Rezultat merenja nije kompletan ako sa sobom ne nosi informaciju o tačnosti.

Klasični oblik izražavanja tačnosti koristi termin „greška merenja“.

)()()( SM XXx −=∆ apsolutna greška

)()()( /)()( MSM XXXx −=δ relativna greška

U prethodnim jednačinama je X(M) izmerena vrednost, a X(S) tačna vrednost. Osnovni problem u ovoj definicije je što tačna vrednost nije poznata.

Evaluacija merne preciznosti – merna tačnost

Različite pojave koje deluju na proces merenja u trenutku merenja prouzrokuju razliku između tačne i izmerene vrednosti.

Ako su uticaji na merenje sistematski i njihov uticaj je poznat, onda je moguće korigovati rezultat.

Tačna vrednost se sa nekom verovatnoćom nalazi u opsegu oko izmerene vrednosti. Širina tog opsega je informacija i mernoj nesigurnosti.

1993 je Internacionalna organizacija za standardizaciju (International Standard Organization - ISO) izdala Vodič za prikazivanje nesigurnosti merenja (Guide to the Expression of Uncertainty of Measurements) u kome su definisane osnovne oznake i relacije, kao i primeri primene.

Definicije:

Izmerena veličina je centralni element seta koji reprezentuje mernu veličinu.

Merna nesigurnost je parametar koji se pridružuje rezultatima merenja. Mernu nesigurnost karakteriše disperzija vrednosti koja odgovara standardnoj devijaciji za koju se definiše nesigurnost.

Nesigurnost merenja u opštem slučaju uključuje nekoliko komponenti:

a) Komponente koje se određuju is statističke raspodele izmerenih vrednosti i mogu da budu karakterisane eksperimentalnom standardnom devijacijom (ove nesigurnosti u osnovi odgovaraju slučajnim greškama u klasičnoj terminologiji).

Standardna nesigurnost tipa A (označavamo je sa uA) se određuje statističkom analizom rezultata koji su određeni ponavljanjem merenja. Postojanje standardne nesigurnosti se smatra neodređenim i veličina se smanjuje pri povećanju broja merenja.

Standardna nesigurnost tipa B (označavamo sa uB) se odnosi na komponente nesigurnosti koje nastaju zbog očekivanih događaja, tj. Očekivane verovatnoće pojavljivanja (npr.,


nesigurnost pri očitavanju vrednosti sa instrumenta, nesigurnosti pasivnih elemenata pri merenjima). Ove nesigurnosti odgovaraju sistematskim greškama u klasičnoj terminologiji. Ove nesigurnosti treba minimizirati. Standardne nesigurnosti tipa B se određuju drugačijim postupcima od statističke analize rezultata dobijenih ponavljanjem merenja. Ove nesigurnosti se određuju pojedinačnom analizom merenja, i one ne zavise od broja ponavljanja merenja.

5.1 Fizičko značenje standardne nesigurnosti

Standardna nesigurnost merne veličine x postoji ako:

a) rezultati merenja imaju normalnu raspodelu, tj. ako se u intervalu određenom dvostrukom varijansom 2σ u odnosu na srednju vrednost merenja x nalazi dve trećine rezultata merenja (66.6%). Normalna raspodela, koja se često naziva i Gausova raspodela, je karakterisana verovatnoćom nalaženja rezultata datom jednačinom:

22

2)(

21)( σ

πσ

xx

exf−

−

=

Slučajna raspodela je karakteristika slučajnih događaja i karakteriše merne nesigurnosti tipa A.

b) rezultati merenja imaju uniformnu raspodelu ako sve izmerene vrednosti pripadaju intervalu 2∆x u odnosu na srednju vrednost merenja x . U ovom slučaju 58% rezultata merenja pripada intervalu 2σ u odnosu na centralnu vrednost x , i važi jednačina

3/x∆=σ

Uniformna raspodela često obuhvata merne nesigurnosti tipa B.


5.2 Kombinovana standardna nesigurnost uC:

Standardne nesigurnosti tipa A i B su ortogonalne pa je rezultujuća nesigurnost data jednačinom

)()()( 22 xuxuxu BAC +=

Proširena nesigurnost. Verovatnoća da se rezultat merenja nalazi u intervalu 2σ je relativno mala (66.6% u slučaju normalne raspodele i 58% u slučaju uniformne raspodele). Proširena nesigurnost se definiše jednačinom

)()( xkuxU C=

U kojoj su: U proširena nesigurnost, k faktor proširenja, uC kombinovana standardna nesigurnost, i x merna veličina. Shodno tome menjajući faktor proširenja k utičemo na sigurnost da veći broj merenja pripada intervalu koji smatramo sigurnim. Za vrednost k=2 i slučajnu raspodelu dobijamo da je 95% rezultata merenja pripada intervalu 2σ.

Napomena: Merne nesigurnosti mogu da se izražavaju i kao relativne veličine u odnosu na merenu veličinu. U ovom slučaju relativna nesigurnost se dobija kao količnik apsolutne merne nesigurnosti i srednje vrednosti merenja. Ovo je moguće u svim slučajevima kada je srednja vrednost različita od 0.

5.3 Određivanje nesigurnosti direktnih merenja

Određivanje nesigurnosti tipa B. Procena se zasniva na postojećim informacijama:

Specifikacije proizvođača (klasa tačnost elektromehaničkog instrumenta, parovi parametara koji karakterišu tačnost digitalnog instrumenta, tolerancija pasivnih elemenata),

Podaci o kalibraciji na osnovu sertifikata o mernom uređaju

Nesigurnosti referentnih podataka iz uputstava za upotrebu

Pri svemu ovome se podrazumeva da se merenje vrši pri propisanim uslovima!

5.4 Merna nesigurnost tipa B za pokazne analogne instrumente

“Greška instrumenta” definisana na klasičan način definiše moguće odstupanje rezultata merenja od stvarne vrednosti. Ova nesigurnost je:

MKP 100=∆

U ovoj jednačini je K klasa tačnosti, a M maksimalna vrednost koju može da pokaže instrument.

Određivanje standardne nesigurnosti očitavanja:

Interval -∆zmax, ∆zmax će da uključi rezultate koji se pojavljuju sa verovatnoćom u intervalu -∆P, ∆P. Pri ovome pretpostavljamo da postoji uniformna raspodela.

Nesigurnost čitanja se određuje is jednačine:


MkzuB 3100/

3max =

∆==σ

Primer:

Odrediti proširenu mernu nesigurnost voltmetra sa pokretnim gvožđem. Pri ovom smatrati da je klasa tačnosti K=0.5, maksimalno pokazivanje instrumenta (opseg merenja) M=130 V, i da je faktor proširenja k=2. Pri merenju pokazana vrednost napona je bila 71.1 V.

S obzirom da na merenje mogu da utiču temperatura, magnetsko polje, i druge pojave, važno je da se obezbedi da pri merenju sve te “smetnje” budu u propisanim granicama.

Procenićemo prvo standardnu nesigurnost tipa B:

375.01303100/5.0

3100/

3max ===

∆= MkzuB

S obzirom da se radi o merenju napona, merna nesigurnost je u Voltima.

Koristeći zadati faktor proširenja k=2 dobijamo da je

V 75.01.71 ±=xU .

Ova merna nesigurnost se može prikazati i kao relativna vrednost. Merna nesigurnost se dobija deljenjem merne nesigurnosti i merenog napona, pa dobijamo da je ona 1.1%.

5. 5 Merna nesigurnost tipa B za pokazne digitalne instrumente

Greška instrumenta ∆P u klasičnom smislu se definiše kao najveće odstupanje prikazane vrednosti od talne vrednosti.

Greška u procentima očitavanja δ1 i greška u procentima od opsega δ2. Greška pokazivanja je

MXx 10010021 δδ

+=∆

gde je X izmerena vrednost, a M opseg merenja (najveća vrednost koju može da pokaže instrument).

Greška u procentima od očitavanja δ1 i broj kvantizacionih koraka ±N. Greška pokazivanja je

NRXx +=∆100

1δ

gde je R rezolucija instrumenta, tj. vrednost veličine izražena kroz broj kvantizacionih koraka.

Interval -∆zmax, ∆zmax će da uključi rezultate koji se pojavljuju sa verovatnoćom u intervalu -∆X, ∆X. Pri ovome pretpostavljamo da postoji uniformna raspodela.

Nesigurnost čitanja se određuje iz jednačine:

3100

3or

3100100

3

1

max

21

maxNRXzu

MXzu BB

+=

∆==

+=

∆==

δ

σ

δδ

σ

Primer:

Odrediti proširenu mernu nesigurnost digitalnog ampermetra. Pri ovom koristiti podatke proizvođača (opseg merenja M=200 mA, relativne greške: ±0.1% od čitanja, ± 0.05 od opsega). Pri ponavljanja merenja dobijen je


rezultat Ix=60 mA

Procenićemo standardnu nesigurnost tipa B:

mA 0.09 3

200100

2.060100

1.0

3100100

21

=+

=+

=MX

uB

δδ

Ako uključimo i faktor proširenja, npr. k=2, dobijamo:

2k ,mA 18.00.60 =±=xI

Ako mernu nesigurnost izrazimo kao relativnu veličinu dobijamo da je nesigurnost merenja struje od 60 mA ±0.3%. Pokazaćemo sada kako se uključuje u ovu procenu broj cifara pokazivanja. Potrebno je odrediti mernu nesigurnost tipa B ako je opseg instrumenta M=200 mA, greška očitavanja je ±0.1% od broja, a ekran ima 4 cifre. Pokazivanje instrumenta i u Ovom slučaju je Ix=60 mA.

mA 0.15 3

2002000

260100

1.0

3100

1

=+

=+

=NRX

uB

δ

Shodno tome sa faktorom proširenja 2 dobijamo konačno:

2k ,mA 3.00.60 =±=xI

U ovom slučaju dobijamo da relativna nesigurnost pri merenju struje od 60 mA iznosi 0.5%.

5. 6 Procena nesigurnosti merenja tipa A

Procena nesigurnosti tipa A je slična evaluaciji slučajne greške u klasičnoj metrologiji. Procena nesigurnosti je bazirana na statističkoj analizi n nezavisnih i jednako tačnih ponovljenih merenja (n≥1). U ovom slučaju pretpostavljamo da je tačna vrednost veličine od interesa jednaka srednjoj vrednosti (aritmetičkoj sredini) pojedinačnih rezultata merenja.

Merna nesigurnost je shodno tome:

∑∑==

=−−

==n

ii

n

iiA x

nxxx

nnXxu

11

2 1 , )()1(

1)(ˆ)( σ

Gde je n broj ponavljanja merenja veličine x. Ova procedura ima smisla samo ako je broj merenja veći od 10. Primer

Odrediti mernu nesigurnost ako su u toku ponavljanja merenja napona dobijeni sledeći naponi:

5.0009, 5.0019, 4.9992, 4.9998, 5.0011, 4.9989, 5.0007, 5.0003, 4.9995, 5.0014 u Voltima. Opseg mernog instrumenta je M=10 V, tačnost očitavanja je ±0.01%, a tačnost opsega je ±0.005%.

Procenjena tačna vrednost merenja je:

V 0004.500037.51 1

≅== ∑=

n

iiX U

nU

Procenjena merna nesigurnost tipa A je:


V 00032.0)()1(

1)(ˆ1

2, =−

−== ∑

=

n

ixXiXUA UU

nnXu σ

Procenjena merna nesigurnost tipa B je:

V 00058.03

0005.00005.03

10100005.00005.5

10001.0

3100100

21

, =+

=+

=+

=MX

u XUB

δδ

Kombinovana nesigurnost je:

V 00066.000058.000032.0 22,

2,

2, =+=+= XUBXUAXUC uuu

Ako se ovaj rezultat proširi (k=2) dobijamo proširenu nesigurnost

2k V; 0013.00004.5 =±=XU

Konačno, možemo napisati i da je izmereni napon UX = 5.000037 V sa nesigurnošću od 0.026%, i faktorom proširenja k=2.

5.7 Procena nesigurnosti indirektnih merenja

Indirektna merenja su procedure pro kojima nam rezultati merenja veličine X omogućuju da primenom poznate relacije Y=f(X) odredimo veličinu Y. Pri ovome veličina od interesa može da zavisi od N veličina Xi, i=1,2, .., N. Ako je Y ),..,,( 21 NXXXf= tada postoji i funkcionalna jednačina y=f(x1,x2,..,xN), gde su x1, x2, .., xN procenjene vrednosti veličina X1, X2, .., i XN. U ovom slučaju je merna nesigurnost za međusobno nekorelisane promenljive

∑= ∂

∂=

N

ixi

iy u

xfu

1

2)(

gde je uy kombinovana standardna nesigurnost promenljive y, a uxi je kombinovana standardna nesigurnost veličine xi. Primer:

Procena merne nesigurnosti otpora koristeći voltmetar i ampermetar.

Digitalni voltmetar može da meri u opsegu od 200 mV, ±0.1% je tačnost očitavanja, a ±0.05 tačnost opsega. U toku merenja napon je Ux=150 mV.

S obzirom na podatke je merna nesigurnost voltmetra

0.1% ili mV 14.03

200100

05.0150100

1.0

=+

=Uu

Analogno ampermetar može da meri u opsegu do 1.2 A, klasa tačnosti je K=0.5, i struja u toku merenja je Ix=0.4 A. Merna nesigurnost ampermetra je

0.87% iliA 0034.03

2.11.0=

×=iu

Standardna nesigurnost merenja otpornosti V-A metodom je:


0.88% ili m 2.3)()1()/(()/(( 22

222 Ω=+=∂

∂+

∂∂

= iUIUxR uIUu

Iu

IIUu

UIUu

Ako uvedemo i proširenu nesigurnost sa koeficijentom proširenja k=2 dobijamo da je veličina od interesa:

Rx= U/I = 0.375 Ω ± 6.4 mΩ; k=2, ili Rx= 0.375 Ω sa tačnošću od 1.7% i faktorom proširenja k=2. Primer:

Odrediti mernu nesigurnost merenja snage trofazne mreže: Px = P1 + P2 + P3.

Vatmetar koji se koristi za merenje ima opseg od 2400 W, klasa tačnosti je 0.5, a snage koje se mere su P1 = 1600 W, P2 = 1200 W, i P3 = 2000 W.

Prvo ćemo odrediti standardi nesigurnost instrumenta:

W9.63100

24005.0321 =

×=== PPP uuu

Standardna nesigurnost snage je ako koristimo tri vatmetra:

W12)(()(()(( 23

3

32122

2

32121

1

321 =∂

++∂+

∂++∂

+∂

++∂= PPPxP u

PPPPu

PPPPu

PPPPu

Uzimajući i faktor proširenja 2 dobijamo da je

PX=P1+P2+P3=4800 W ±24 W, ili ako se koristi relativna nesigurnost PX=4800 W sa nesigurnošću od ±0.5%.


6. ELEKTRIČNI MERNI INSTRUMENTI Analogni električni merni instrumenti pretvaraju energiju koja potiče od električne ili magnetske sile u mehanička ili termička dejstva. Najčešće se primenjuje elektromehaničko dejstvo električne struje, kod kojeg električna struja i magnetsko polje generišu mehaničku silu koja na pogodan način pokreće kazaljku u odnosu na skalu na kojoj se očitava vrednost električne veličine. Vrsta Primena Dejstvo Primeri Magnetoelektrični

Za merenje jednosmerne struje

Između struja i stalnog magneta

Instrument sa pokretnim kalemom Instrument sa unakrsnim kalemom Instrument sa pokretnim magnetom

Feromagnetski

Za merenje jednosmerne i naizmenične struje

Između struje i komada gvožđa

Instrument sa pokretnim gvožđem

Elektrodinamički


Između dve struje

Elektrodinamički instrument Ferodinamički instrument

Termoelektrični

Za merenje jednosmerne I naizmenične struje

Termičko dejstvo struje

Instrument sa zagrevanom žicom Bimetalni instrument Instrument sa termopretvaračem Kvadratni elektrometar

Elektrostatički


Elektrostatičko polje

Multicelularni voltmetar

Indukcioni Za merenje jednosmerne i naizmenične struje

Naizmenično elektromagnetsko polje

Indukcioni instrument

Tabela II: Osnovne vrste električnih mernih instrumenata

U ovom izlaganju je pažnja posvećena instrumentima sa pokretnim kalemom, instrumentima sa pokretnim gvožđem, i elektrodinamičkim instrumentima.

6.1 Opšte karakteristike

Na instrumentu su uobičajeno navedeni osnovni elementi o instrumentu: klasa tačnosti, vrsta struje koju instrument meri (jednosmerna, naizmenična), probojni napon, položaj instrumenta pri merenju, i slično.

Konstrukcija ovih instrumentacija je jednostavna, i oni su vrlo pouzdani u primeni. Neki instrumenti su specifično namenjeni merenju pojedine električne veličine (ampermetar, voltmetar, ommetar, logometar - odnos dve električne veličine). S obzirom da se pravilnim povezivanjem za pasivne električne veličine relativno lako pretvara Ampermetar u Voltmetar ili Ommetar se koriste multimetri (multimetri i avometri) koji menjaju svoju namenu jednostavnom promenom položaja preklopnika.


6.2 ELEKTRIČNI MERNI INSTRUMENTI ZA JEDNOSMERNU STRUJU

Instrumenti sa pokretnim kalemom koriste mehaničko dejstvo merene veličine na pokretni deo instrumenta. Ovo dejstvo rezultuje relativnim kretanjem pokretnog dela sa kazaljkom koja je kruto spojena sa pokretnim delom u odnosu na nepokretni deo instrumenta. Otklon kazaljke zavisi direktno od merene veličine. Da bi kazaljka bila stabilna neophodno je mehaničkom konstrukcijom obezbediti da pri delovanju električne sile kazaljka ostane u položaju ravnoteže. To se postiže ugradnjom mehanizma koji rezultuje otpornim momentom. To se najčešće realizuje mehaničkom oprugom. Otporni moment vraća kazaljku u nulti položaj kada su ulazi otvoreni, tj. kada na ulaze instrumenta ne dovodimo električnu veličinu. U instrument se ugrađuje i sistem koji prigušuje oscilacije

kazaljke, a dejstvo tog sistema nazivamo prigušni moment. Umesto ”materijalne” kazaljke u nekim instrumentima se koristi svetlosni mlaz, jer se time umanjuje inercija pokretnog dela što je vrlo povoljno za merenje jako malih električnih veličina. Vrlo je važno da se pri merenju kazaljka posmatra upravno da ne bi došlo do greške u očitavanju. Da bi se obezbedilo da pre merenju posmatranje bude upravno postavlja se ogledalo, kako bi posmatrač menjao ugao gledanja sve dok se ne poklope kazaljka i njen lik u ogledalu. U instrumente veće tačnosti (npr. klasa tačnosti 0.5 ili manja) se uvek ugrađuju vrlo tanke kazaljke (npr. nit, svetlosni sistem).

1 – kazaljka, 2 – skala, 3 – stalni magnet, 4 –podešavanje nultog položaja kazaljke, 5- spiralna opruga, 6 – pokretni kalem, 7 – jezgro od mekoggvoždja, 8 – ležaj osovine pokretnog kalema

Skale mogu biti baždarene na razne načine u zavisnosti od potrebe (linearne, eksponencijalne, logaritamske, kvadratne i slično). Linearna skala ima sasvim jasne prednosti, a treba očitati pokazivanje instrumenta u drugoj i trećoj trećini skale. Za merenje malih veličina je pogodna logaritmska skala. Za očitavanje u trećoj trećini je veća rezolucija kvadratne skale u odnosu na linearnu.

Za merenje jednosmerne struje koriste se instrumenti sa pokretnim kalemom i nepokretnim magnetom, i instrumenti sa unakrsnim kalemovima (magnetoelektrični logometri). Instrumenti sa pokretnim magnetom se ponašaju slično kao i instrumenti sa pokretnim

kalemom: razlika je što je pokretni deo magnet, a nepokretni deo namotaj.

Instrument sa pokretnim kalemom reaguje na interakciju magnetskog polja stalnog magneta (2) i magnetskog polja koje nastaje kada postoji struja kroz namotaj (1) koji se nalazi u polju stalnog magneta. Deo (3) je od magnetskog materijala. Na slici su prikazane linije magnetske indukcije B. Pokretni deo je sklop kruto vezane kazaljke i namotaja. Kalem ima pravougaone strane i poprečni presek namotaja može da ima različite pravce u odnosu na linije magnetske


indukcije koja potiče od stalnog magneta. Na namotaj deluje sila koja se može izraziti formulom: l B I N = F

gde je N broj namotaja, B magnetska indukcija koja potiče od stalnog magneta, I jačina struje kroz namotaj, i l dužina strane pravougaonika koja je upravna na radijalno magnetsko polje. Ako je dužina stranice pravougaonika koja je paralelna sa radijalnim poljem h, magnetski moment je dat jednačinom:

h l B I N = h F = M 1

S obzirom da je fluks magnetske indukcije kroz površinu namotaja dobijamo da je magnetski moment koji deluje na pokretni deo instrumenta

proporcionalan jednosmernoj struji kroz kalem.

B SN = B h l N = 0Φ

IM l 0Φ=

Magnetskom momentu se suprotstavlja otporni moment (opruga označena brojem 5 na slici) koja se bira tako da momenat bude linearno zavistan of ugla okretanja. Shodno tome je momenat je α D = M 2 , gde je D krutost, a α ugao obrtanja kalema. U ravnotežnom položaju je zbir momenata u odnosu na osu obrtanja pa dobijamo da je ugao skretanja kazaljke α proporcionalan struji I:

0 = M + M 21

Odnos de naziva strujna konstanta i izražava u A/rad. Strujna osetljivost instrumenta S

Φ0i D/ = Ci je recipročna vrednost strujne konstante i izražava se u radijanima po Amperu.

Ako se ovakav instrument koristi za merenje promenljive struje kazaljka će samo ako su

promene spore pratiti promene. Samo pri vrlo sporim promenama instrument će pratiti pozitivnu poluperiodu promena sa greškom koja zavisi of dinamičkih (inercijalnih) karakteristika uređaja. Ako su promene struje brze instrument će pokazivati srednju vrednost struje. Pri primeni ovakvog uređaja za merenje naizmenične (prostoperiodične struje) srednja vrednost je nula, pa će instrument pokazivati manje ili veće oscilacije oko nule.

αα C= D = I i0Φ

Žica namotaja je uobičajeno od bakra čiji je temperaturni koeficijent otpornosti pozitivan (0.4 %/K), tj. otpornost kalema Rk se povećava za 0.4 procenta pri povećanju temperature žice za 1 K. U primeni uređaja promene temperature su veće (npr. 10%), pa se otpornost instrumenta menja i za nekoliko procenata. Neophodno je kompenzovati ove promene. Kompenzacija se vrši otpornikom koji se redno povezuje na namotaj kalema, a ima otpornost nekoliko puta veću od otpornosti samog namotaja. Zbir otpornosti namotaja i kompenzacionog otpora je unutrašnja otpornost instrumenta ( ).

gR

R+R=R kgG

6.3 Ampermetar sa pokretnim kalemom

Kalem instrumenta je od tanke bakarne žice, pa je otpornost vrlo mala, i maksimalna struja kojoj odgovara punom otklonu kazaljke se kreće od 10 µA do 1 mA, a samo u retkim slučajevima do 25 mA. Unutrašnja otpornost instrumenta RG je za te instrumente u opsegu od 5 do 5000 Ω. Da bismo mogli da merimo veće struje neophodno je instrumentu paralelno povezati otpornost. Tu paralelnu otpornost nazivamo šant. Otpornost šanta treba da bude manja od unutrašnje otpornosti instrumenta da bismo mogli da merimo veće struje od gore


navedenih vrednosti.

Na slici je prikazana šema instrumenta sa pokretnim kalemom. Kao što je već rečeno unutrašnja otpornost instrumenta RG je zbir otpornosti otpornika za temperatursku kompenzaciju Rk i otpornost namotaja Rg. I0 je struja maksimalnog otklona. R je otpornost

šanta koji ja paralelno vezan instrumentu. Sada je otpornost šanta određena maksimalnom strujom koju želimo da merimo I:

Uobičajeno se prave instrumenti sa više opsega, a opsezi se biraju preklopnikom. Od nekoliko poznatih električnih šema najviše se koristi univerzalni ili Eyrtonov šant, koji je prikazan na

slici. I - II R = R

0

00

Jednostavnim algebarskim operacijama koje se dobijaju primenom Kirhofovih zakona ili na drugi način se mogu odrediti otpornosti koje treba koristiti da bi se dobili određeni opsezi za merenje. Takođe, koristeći prikazanu šemu u praksi je moguće proširiti ili smanjiti opseg merenja koristeći otpornike koji se postavljaju izvan instrumenta.

Otpornost šanta kada je preklopnik u položaju 3 je: I - I

IR = R + R + R = R03

0G321

U položaju 2 važi jednačina

I) R + R( = ) I - I)( R + R( 0030221

U položaju 1 važi jednačina

. I) R+R+R( = ) I-(I R 0G3201

Koristeći prethodne jednačine moguće je za zadate vrednosti struje I, poznatu unutrašnju otpornost RG i struju maksimalnog otklona I0 odrediti otpore Ri, i=1,2,3.

Pri merenju struje važno je poštovati sledeća pravila: 1) ampermetar vezivati redno u merno kolo; 2) poštovati polaritet priključaka; 3) na početku merenje ampermetra postaviti u opseg za merenje najvećih struja, a zatim po potrebi smanjivati opseg; 4) merenje obavljati u poslednjoj trećini skale.

Ampermetri se prave za različite opsege merenja od 0.1 µA do 20 A, a za posebne potrebe i za mnogo veće opsege. Za merenje većih struja tzv. šant

otpornik se postavlja van kućišta, dok je za manje struje šant i kućištu instrumenta. Klasa tačnosti je ampermetra sa pokretnim kalemom je uobičajeno u opsegu 0.1 do 2.5.

3

2

1


6.4 Voltmetar sa pokretnim kalemom

Instrument sa pokretnim kalemom se može iskoristiti za realizaciju voltmetra za merenje jednosmerne struje, ali je potrebno povećati unutrašnju otpornost instrumenta. Merenje

napona se isključivo vrši paralelno potrošaču, pa je potrebno da unutrašnja otpornost bude mnogo veća od otpornosti potrošača, da bi struja kroz potrošač zapravo bila nepromenjena. Naponski opseg samog ampermetra za jednosmernu struju je U , pa koristeći napred navedene vrednosti za maksimalnu struju otklona I

IR = 0G0

0 i unutrašnju otpornost instrumenta RG dobijamo U0 u opsegu koji je manji od 1 V.

Povezivanjem otpornika Rp dobijamo prošireni otpor za merenje, i on iznosi

I ) R + R ( = U 0Gp

odakle se lako izračunava otpornost Rp koje treba iskoristiti za proširenje opsega. Koristeći oznake na slici, prethodna jednačina dobija oblik

R - IU = R G

0p) U - U (

UR = R 0

0

Gp

Pri ovome je U0 je napon punog otklona ampermetra za jednosmernu struju sa pokretnim kalemom. Količnik RG/U0 nazivamo karakteristična otpornost voltmetra. Ova veličina se izražava u Ω/V i odgovara otpornosti predotpornika kojim se postiže puno skretanje mernog opsega voltmetra za 1 V. Tipične vrednosti karakteristične otpornosti su između 200 Ω/V do 200 kΩ/V, koje odgovaraju struji punog otklona od 5 mA do 5 µA. Ove vrednosti pokazuju veliku pogodnost primene magnetoelektričnih instrumenata u kolima male potrošnje. Slično ampermetrima i voltmetri se prave tako da rade u više opsega, a na slici je prikazana najčešća šema povezivanja predotpornika. Već je rečeno da treba koristiti što je veću moguću otpornost voltmetra da se ne bi menjao režim rada u strujnom kolu u kome se meri napon, ali to može da dovede to toga da skretanje bude u prvoj trećini u kojoj su greške najveće, pa zato treba izmeriti napon u više opsega i proceniti grešku koju unosi voltmetra pri merenju.

max01max

max021max

max0321max

)()3()()3(

)()3(

IRRožaj polUIRRRožaj polU

IRRRRožaj polU

G

G

G

+=++=

+++=

Voltmetri za merenje jednosmernog napona se koriste za merenje napona od 50 mV do 500 V sa predotpornicima koji su ugrađeni u kućište, dok se za merenje većih napona koriste posebni priključci na voltmetru koji omogućuju primenu spoljnih predotpornika.


Klasa tačnosti ovih jednosmernih voltmetara sa pokretnim kalemom je uobičajeno od 0.1 do 2.5. Pri merenju treba uvek voditi računa o polaritetu, a merenja treba obavezno započeti sa preklopnikom u položaju koji omogućuje merenje najvećih napona tj. na najvećem opsegu.

6.5 Ommetar sa pokretnim kalemom

Ukoliko se u rednom električnom kolu nalaze: 1) izvor koji se ponaša kao idealan naponski izvor, 2) ampermetar, i 3) otpornik tada će skretanje kazaljke ampermetra zavisiti samo od vrednosti otpornika, pošto su svi ostali elementi nepromenljivi. Skretanje instrumenta, tj. struja koju meri ampermetar je određena Omovim zakonom, I=U/R. Ova činjenica

omogućava da primenjujemo ampermetar sa pokretnim kalemom u kolu jednosmerne struje za merenje otpora, i da pri tome direktno čitamo vrednosti otpora na za to baždarenoj skali. S obzirom da je otpornost nepoznatog otpornika R inverzno proporcionalna struji, skala instrumenta je nelinearna. Instrument pokazuje otpornost R=0 kada merno kolo koje sadrži pomenuti naponski izvor i ampermetar je i kratkom spoju. U ovom slučaju imamo puno skretanje, pa struja maksimalnog otklona odgovara

otporu R=0. Struja minimalnog otklona, tj. I=0 odgovara otvorenom kolu.

Jednostavna konstrukcija prikazana na slici uključuje i otpornik Rp u rednom kolu, kao i prekidač. Postavljanjem prekidača u položaj "1" formiramo redno kolo u kome podešavanjem promenljivog otpornika Rp podesimo da skretanje bude maksimalno, tj. pokazivanje ampermetra unutrašnje otpornosti Rg jednako struji maksimalnog otklona. Prekidač u položaju "1" je ekvivalentan priključivanju spoljnog nepoznatog otpora koji ima otpornost 0, tj. R=0. Prebacivanjem preklopnika u položaj "2", odnosno otvaranjem prekidača ostaje nam kolo u kome struja odgovara ukupnoj otpornosti koja uključuje i nepoznatu otpornost R.

Na osnovu ovih razmatranja imamo sledeće jednačine:

R + R + R

U = I ,R + R

U = Igpgp

0

Ako obeležimo odnos struje I u kolu kada je prekidač u položaju "2", i struje I0 sa α (ugao skretanja kazaljke instrumenta), tj.

I / I = 0α , i izrazimo otpornost podešljivog otpornika Rp preko napona izvora, struje maksimalnog otklona i unutrašnjeg otpora (nepromenljivih veličina u kolu)

dobijamo konačni izraz za nepoznatu otpornost

0 > R- g0I/ U = R p

αα - 1

IU = R

0


Koristeći ovu jednačinu vrši se graduisanje (baždarenje) skale instrumenta sa pokretnim kalemom tako da na skali direktno čitamo vrednosti otpora.

Umesto potenciometra Rp često se u instrument ugrađuje komad mekog gvožđa kojim se menja osetljivost instrumenta. Ovo meko gvožđe se naziva magnetski šant i njime se menja procep u magnetskom kolu u kome se nalazi pokretni kalem. Podešavanje instrumenta je obavezno pre početka merenja, specijalno zbog toga što primenjena baterija u toku vremena menja napon.

Slično ampermetrima i voltmetrima, i ommetri se prave sa više opsega. Tipična konstrukcija ommmetra sa tri skale je prikazana na slici.

6.6 Instrumenti sa unakrsnim kalemovima

Kod instrumenata sa unakrsnim kalemovima (magnetoelektričnih logometara) pokretni deo se sastoji od dva kruto vezana kalema pomerena za ugao θ2 , koji zamenjuju ranije opisani jedna kalem. Ovi kalemi se nalaze u polju stalnog magneta kod koga su nastavci od mekog gvožđa tako projektovani da magnestko polje bude nehomogeno, pa to rezultuje neravnomernim fluksom kroz geometrijski iste površine. Gustina magnetskog fluksa dostiže maksimalnu vrednost u sredini procepa, dok prema krajevima opada po približno kosinusnom zakonu.

S obzirom na ovu pojavu obrtni magneto-električni momenti nisu jednaki na dva namotaja. U opštem slučaju je ) ( f I k = M ,) ( f I k = M 22221111 αα

gde su k1=S1N1, i k2=S2N2 proizvodi površine i broja zavojaka kalema 1 i 2, a f1(α), i f2(α) funkcije koje definišu promenu gustine magnetskog fluksa duž vazdušnog procepa. U položaju ravnoteže momenti se izjednače, pa dobijamo da je ugao skretanja sistema od dva kalema određen jednačinom ) I/I( f = 21α .

Ovi instrumenti su od posebnog interesa za merenje odnosa dve veličine, jer ugao skretanja direktno zavisi od tog odnosa. Potrošnja ovih instrumenata je nešto veća s obzirom na prisustvo dva kalema. Uticaj temperature, stranog magnetskog polja, i drugih poremećaja je vrlo sličan instrumentima sa jednim pokretnim kalemom.

Na slikama su prikazani instrumenti sa unakrsnim kalemima za merenja otpornosti, i to šema na levoj strani za merenja većih, a šema na desnoj strani za merenje manjih otpornosti. U rednom spoju na desnom panelu slike su struje

R + R

IIRU = I ,

R + R

IIRU = I

x2

p2

e1

p1

)()( 2121 +−+−


Pri ovome je Re poznata etalonska vrednost otpornika. Sada direktno dobijamo da je skretanje instrumenta )21 /( IIf=α

) R + RR + R ( f =

e1

x2α

U paralelnom spoju na levom panelu slike je

RU = I ,

) RR+ R R + R RRR U

= I2

2xpxp

x1

11

1)( +

pa se za ugao skretanja dobija

)RR + RR + R R

RR R ( f =

xpxp

x

11

12 )( +α

6.7 Galvanometri

Galvanometri su izuzetno osetljivi električni elementi koji su upotrebljivi za merenje jako malih struja (10-12 A) i jednosmernih napona (10-9 V). Pri ovome je potrošnja instrumenta vrlo mala i dostiže 10-11 W. Koriste se kod metoda direktnog poređenja jednosmernih struja i napona (kompenzacione metode) ili kao osetljivi indikatori ravnoteže (nul-detektori).

Galvanometar sa pokretnim kalemom se u suštini ne razlikuje od ranije opisane konstrukcije. Analizirajući izraz sa osetljivost uočavamo da povećanjem magnetske indukcije B, brojem namotaja N i smanjenjem krutosti opruge D povećavamo osetljivost. Osim povećanja broja navojaka ostale elemente je složeno povećati, pa je rešenje nađeno u mehaničkoj konstrukciji. Produžena je kazaljka tako da je rezolucija jako povećana, a istovremeno je smanjena njena inercija - svetlosna kazaljka.

Balistički galvanometar je po konstrukciji sličan galvanometru sa pokretnim kalemom, ali je povećan moment inercije pokretnog dela. Na taj način balistički galvanometar može meriti vrlo male količine elektriciteta koje prođu kroz zavojke kalema za vrlo kratko vreme, na primer pri punjenju ili pražnjenju kondenzatora. Posmatramo maksimalni otklon, jer će se sistem vratiti u ravnotežu. Smisao veće inercije je da instrument sa kašnjenjem prikaže veličinu, ali se zadrži na maksimumu dovoljno dugo da možemo očitati vrednost. Ovaj maksimalni otklon nazivamo balistički otklon.

Fluksmetar je uređaj kod kog je otporni moment zanemarljivo mali, i možemo smatrati da ne postoji. Komponenta prigušenja je u ovom instrumentu takođe jako mala. Težimo da


komponenta elektromagnetskog momenta bude što je moguće veća, što postižemo minimizacijom otpora namotaja i spoljnog otpora. Na ulaz ovog instrumenta se postavlja dodatni kalem sa N navojaka kroz koji merimo fluks. Instrument meri promenu fluksa. Instrument će ostati na novoj vrednosti koja kasni u odnosu na promenu fluksa, i nova promena se može očitati tek kada se promeni fluks kroz probni namotaj vezan na ulaz instrumenta. Razlika u skretanju instrumenta na početku i na kraju merenja je proporcionalna razlici promene fluksa kroz N navojaka probnog kalema.

7. INSTRUMENTI ZA MERENJE NAIZMENIČNIH STRUJA I NAPONA Jedan od oblika promenljivosti struje i napona koji je od posebnog značaja je harmonijska, tj. prostoperiodična funkcija. Takođe, s obzirom da je moguće svaku složenu funkciju aproksimirati algebarskom sumom prostoperiodičnih funkcija ovo razmatranje ima i širi značaj.

Napon koji se menja u skladu sa prostoperiodičnom funkcijom se može opisati jednačinom:

t U = ) t (u m ωsin

U jednačini je Um maksimalna vrednost promenljivog napona, ω kružna učestanost, t vreme, a u(t) trenutna vrednost napona. Za prostoperiodično promenljivi napon definišemo srednju i efektivnu vrednost u toku pozitivne poluperiode.

2

U m = dt t2 = U ,2U

= tdt T

2U = U 2

0ef

m

0

msr ω

ππω sinsin ∫∫

T/2T/2

Ako bi posmatrali srednju vrednost u toku cele periode, ta vrednost bi bila Usr=0.

Da bismo mogli da primenimo instrument sa pokretnim kalemom za merenje ove vremenski promenljive električne veličine obavezno je da struju ili napon, koja povremeno menja smer a stalno menja intenzitet pretvorimo u jednosmernu vremenski promenljivu veličinu.

7.1 Ispravljač

Jedna od najjednostavnijih elektronskih komponenti koja se najčešće realizuje kao spoj jednog poluprovodnika u kome su dominantni nosioci struje šupljine (p - tip) i drugog poluprovodnika u kome su dominantni nosioci elektroni (n - tip) se naziva dioda (sl. 1). Dioda

ima usmeračko dejstvo. Praktično, u idealizovanom obliku možemo diodu zameniti zanemarljivo malim otporom ako je na krajeve doveden napon koji je veći od polarizacionog napona p-n spoja (u≈0.6 V), tj. beskonačno velikim otporom ako je na krajeve doveden napon koji je manji od napona polarizacija spoja, ili je suprotnog polariteta.

Na slici 1 je prikazan oblik struje koju registruje ampermetar koji je redno vezan u kolo sa diodom ako su promene napona spore u odnosu na

sl. 1: Šematski prikaz kola sausmeračkim elementom


inercijalne karakteristike sistema sa pokretnim kalemom. Treba primetiti da je u ovom kolu struja u fazi sa naponom, i da na izlazu napon postoji samo kada je primenjeni napon u(t) veći od napona polarizacije. Drugim rečima periodu u kojima registrujemo struju odgovaraju periodima u kojima je napon u(t) > 0.6 V.

Ako smatramo da je napon brzo promenljiv u odnosu na inercijalne karakteristike instrumenta sa pokretnim kalemom,

instrument će pokazivati srednju vrednost struje u kolu.

sl. 2: Trougaoni periodični signal

Srednja vrednost struje je proporcionalna kvadratu efektivne vrednosti priključenog napona za male napone polarizacije diode. U oblasti napona U < 0.5 V statička karakteristika diode se može aproksimirati kvadratnom funkcijom:

) u k +(u R1 = i 2

0

U prethodnoj jednačini je i trenutna vrednost struje, u trenutna vrednost napona, R0 otpornost diode za napon u=0, i k konstanta diode. Ako je priključeni napon prostoperiodična funkcija (sl. 1), srednja vrednost struje je:

Ako zamenimo izraz za struju u jednačinu za srednju vrednost dobijamo:

dt i T1 = I

T

0sr ∫

000

R0

U 20 k =

R0 2U 2mk

= ) t d t TU k + t d t

TU (

R1 = I 2

T2m

Tm

sr ωω sinsin ∫∫

Pri ovome smo koristili da je U efektivna vrednost priključenog prostoperiodičnog napona. U oblasti većih napona karakteristika diode je približno linearna, pa je srednja vrednost struje koju bi registrovao instrument

R«R ,RU2 =

R2U )

R1 -

R1(U = ) t d t

RU + t d t

RU (

T1 = I pi

pp

sr

ip

mT

T/2i

mT/2

0p

msr ππ

ωω ≈∫∫ sinsin

U prethodnoj jednačini je zanemaren član koji sadrži recipročnu vrednost otpora inverzno polarisane diode, jer je taj član mnogo manji od člana koji sadrži recipročnu vrednost otpora direktno polarizovane diode. Pokazivanje instrumenta je shodno tome srazmerno efektivnoj vrednosti priključenog napona. Koristeći ovaj rezultat možemo baždariti skalu instrumenta priključivanjem prostoperiodičnog napona poznate efektivne vrednosti. Pri ovome treba voditi račina da ovako baždaren instrument pokazuje tačne vrednosti samo ako se mere prostoperiodični signali, dok za druge periodične signale unosi sistematsku grešku.

Kvantitativna procena sistematske greške se izražava koristeći tzv. faktor oblika. Faktor oblika se definiše kao odnos srednje i efektivne vrednosti signala. Za prostoperiodični signal je faktor oblika . Za drugačije signale faktor oblika ima druge vrednosti. 1.11 2/2 ≈π

Posmatraćemo primer testerastog napona prikazanog na slici 2. da bismo ukazali na potencijalnu grešku pri merenju. U ovom slučaju srednja i efektivna vrednost su:


3U = dt t

TU

T1 = U ,

2U = dt t T / U

T1 = U 2

2

2T

0ef

T

0sr ∫∫

0.35

Prema tome dobijamo da je faktor oblika za testerasti napon jednak 1.5. Sistematska greška tj. faktor izobličenja u odnosu na prostoperiodični signal, se definiše kao relativno odstupanje od faktora oblika za prostoperiodični signal:

= .1111.11-1.5 =

kk -k = pp

pp δ

gde je k faktor oblika za mereni signal (u prikazanom primeru testerasti napon), kpp faktor oblika za prostoperiodični signal. Vidimo da je odstupanje u odnosu na baždarenu skalu reda 35%.

Osnovno kolo sa jednom diodom nije primenljivo u praksi jer bi negativna poluperioda mogla da ošteti instrument, pa se u kolo postavlja dodatna dioda (gornja slika) koja omogućuje da u toku negativne poluperiode struja postoji kroz otpornik RP, tj. kroz granu koja sadrži instrument sa pokretnim kalemom nema struje. U ovom kolu struja kroz instrument postoji samo u toku pozitivne poluperiode.

Jednostavnim povezivanjem dve ili četiri diode, i primenom transformatora sa dve diode, ili Grecovog spoja (četiri diode ili dve diode i dva otpornika) možemo da merimo dvostrano ispravljeni signal.

Na slikama je prikazan Grecov spoj (četiri diode), ili dve diode i dva otpornika.

Ovaj spoj omogućuje da u periodu pozitivne poluperiode vodi jedan par

sl. 7: Šema voltmetra sa Grecom i instrumentom sa pokretnim kalemom

sl. 3: Voltmetar sa jednostranim ispravljanjem za merenje naizmeničnih veličina; sl. 4: Šema Grecovog spoja sa četiri diode; sl. 5: Šema dvostranog ispravljača sa dve diode i transformatorom; sl. 6: Šema dvostranog ispravljača sa dve diode i dva otpornika.


dioda, ili dioda i otpornik, dok u periodu negativne poluperiode provode preostale dve komponente u sistemu. U električnom kolu sa transformatorom provodi ili jedna ili druga dioda u zavisnosti od polarizacije. Pri merenju Grecov spoj ima prednosti u odnosu na druga dva rešenja, iako postoji pad napona na diodama (napon direktne polarizacije na dve redno vezane diode). Električna šema tipične konfiguracije komercijalnih voltmetara za merenje naizmenične struje je prikazana na slici.

Potpuno analogno mernim instrumentima za merenje jednosmernih napona i struja i instrumenti sa pokretnim kalemom za merenje naizmeničnih veličina se prave za vis mernih opsega, a i u ovom slučaju se koriste otpornici kao sto je to ranije pokazano (Eyrtonov šant).

Komercijalni ampermetri i voltmetri omogućuje merenje struja u opsegu od 0.1 mA do 6 A, i napona u opsegu od 1 do 1000 V. Frekvencijski opseg ovih instrumenata je ograničen na približno 20 kHz, pre svega zbog kapacitivnih smetnji u poluprovodničkim elementima. Najveći nedostatak ovih instrumenata je greška (klasa tačnosti 1 do 5) i sistematsko odstupanje rezultata za signale koji su različiti od prostoperiodičnih signala.

Za merenje malih signala je vrlo teško primeniti prikazane instrumente, a u nekim slučajevima i nemoguće jer su smetnje (šum) koje prate signal toliko velike da ih je pri merenju teško razdvojiti od merenog signala. U tom cilju pogodno je primeniti elektronske elemente za primarnu obradu signala, odnosno primeniti neke od elektronskih sklopova koji mogu da selektivno pojačaju željeni signal.

8. INSTRUMENTI SA POKRETNIM GVOŽĐEM Instrumenti sa pokretnim gvožđem koriste efekat magnetskog polja koje stvara električna struja u kalemu. Magnetsko polje kalema pokreće meko gvožđe koje je postavljeno tako da se može obrtati oko ose. Pomeranje (obrtanje) je rezultat odbijanja istoimenih polova magneta (jedna magnet je nepokretan i učvršćen za kalem, a drugi je obrtan. Meko gvožđe postaje magnet u magnetskom polju. Kod ovih instrumenata opruga obezbeđuje uravnoteženje koristeći konstrukciju koja je već opisana kod instrumenata sa pokretnim kalemom.

Pri merenju jednosmerne struje I energija magnetskog polja je

Instrument sa pokretnim gvožđem

I L 21 = W 2

m

gde je L induktivnost kalema. Pri obrtanju mekog gvožđa menja se induktivnost pa imamo da je magnetski moment

αα dL d I 2

1 = dW d = M 2m

1

Istovremeno usled promene ugla dolazi do promene momenta koji stvara opruga , pa dobijamo da je ugao obrtanja

α D- = M 1

α

α dL d I

D 21 = 2

Beleške sa predavanja – Električ

α dL d i

21 = ) t ( m 2

1

na merenja 47

Ugao skretanja kazaljke je srazmeran kvadratu merene jednosmerne struje, pa je zato potrebno skalu baždariti koristeći kvadratnu podelu.

Konstrukcijom uređaja može da se utiče na oblik i relativni položaj mekog gvožđa u odnosu na namotaj, i u tom slučaju je moguće napraviti i uređaj kod kog je linearnost obezbeđena u opsegu od 20% do 100% od punog skretanja.

Pri merenju naizmenične struje i(t) trenutna vrednost momenta usled struje kroz kalem je:

Jednačina pokazuje da brzina promene magnetskom momenta odgovara brzini promene struje i(t) u slučaju sporih promena. Pri brzim promenama struje, a s obzirom na inerciju pokretni deo instrumenta ne može da prati promene, već zauzima položaj određen srednjom vrednošću momenta usled magnetskog polja i opruge. Srednja vrednost magnetskog momenta je:

α dL d I 2

21 = t d ) t (m

T1 = M 1

T

01 ∫

pri čemu je struja I efektivna vrednost promenljive struje. U položaju ravnoteže je

α

α dL d I D 2

1 = 2

Prethodna jednačina ukazuje da je skretanje instrumenta srazmerno kvadratu efektivne vrednosti bez obzira da li se radi o prostoperiodičnoj ili nekoj drugoj zavisnosti struje. Ovakvi instrumenti nose oznaku true rooth mean square (RMS), ili tačna efektivna vrednost, za razliku od ranije opisanih instrumenata koji prikazuju fake RMS, ili potencijalno netačnu efektivnu vrednost.

Ovi instrumenti se koriste za merenje struja i napona malih učestanosti zbog pojave histerezisa i gubitaka usled vihornih struja. Instrumenti su tačni za naizmenične struje, dok je greška pri merenju jednosmernih veličina veća.

Potrošnja ovih instrumenata je do 1000 puta veća od potrošnje instrumenata sa pokretnim kalemom.

Primena instrumenata za merenje struje je u opsegu od 10 mA do 50 A, a pri merenju napona u opsegu od 1 V do 800 V.

Instrumenti sa pokretnim gvožđem se primenjuju za industrijska merenja (klasa tačnosti 1 do 4), i za laboratorijska merenja (klasa 0.1 do 0.5).

Instrumenti sa pokretnim gvožđem se uobičajeno prave sa više opsega za merenje koristeći ranije objašnjene šantove.


9. ELEKTRODINAMIČKI INSTRUMENTI Elektrodinamički instrumenti se realizuju primenom dva kalema. Osnovna razlika u odnosu na ranije opisane instrumente je što u ovom slučaju magnetski moment potiče od uzajamnog dejstva dva polja, oba nastala kao posledica promenljive u mernim kalemovima. Jedan kalem je nepokretan, a drugi pokretan. Struje u kalemovima su nezavisne. Nepokretan kalem koji generiše magnetsko polje u kome se okreće pokretan (manji) kalem se konstruiše tako da formira skoro homogeno magnetsko polje i ravnomeran fluks bez obzira na položaj pokretnog kalema. Ravnoteža pokretnog kalema se obezbeđuje spiralnom oprugom koristeći ranije opisanu strukturu. U ovom slučaju je energija koja potiče od struja u kalemima

i i M+ i L 21 + i L 2

1 = 21222

211mW

gde su L1, L2 i M sopstvene i međusobna induktivnost nepokretnog i pokretnog kalema respektivno, a iii i i2 struje kroz kalemove. Trenutna vrednost magnetskog momenta je

αα d

Md i i = dW d = ) t ( m 21

m1

jer su sopstvene induktivnost kalema praktično nepromenljive pri obrtanju pokretnog kalema. Ako se mehaničkom konstrukcijom postigne da promena koeficijenta međusobne induktivnosti bude konstantna pri obrtanju (u ograničenom opsegu obrtanja) dobijamo da je trenutna vrednost magnetskog momenta proporcionalna proizvodu trenutnih vrednosti struja kroz kalemove

Const. = ddM = k ,i i k = ) t ( m 211 α

Zbog inercije instrument ne može da prati brze promene struja pa će skretanje odgovarati srednjoj vrednosti obrtnog momenta koji je

t d i2 i1 T

0

Tk = t d ) t ( mT

1 = M 1

T

01 ∫∫

Ako su struje u kalemovima prostoperiodične, a njihove efektivne vrednosti I1 i I2, i fazna razlika φ dobijamo

Princip rada elektrodinamičkog instrumenta (bez gvožđa) prikasuje nepoikrean kalem koji generiše magnetsko polje i obrtni kalem na koji deluje sila F. Na desnoj strani je skicirano magnetsko polje elektrodinamičlog instrumenta sa kratkim nepokretnim kalemom.


φ I I k = M 211 cos

Otklon kazaljke elektrodinamičkog instrumenta je određen sa pa je α D- = M 2

φα I I Dk = 21 cos

Ako posmatramo jednosmerne struje, fazna razlika je nula, pa dobijamo direktno

I I Dk = 21α

0=

9.1 Elektrodinamički ampermetar

Elektrodinamički ampermetar se realizuje tako što se nepokretni i pokretni kalem instrumenta redno povežu. S obzirom na rednu vezu struje u kalemima su jednake (i1=i2=i), a fazna razlika je φ , pa dodijamo

I D

k = 2α

Ista formula važi i pri merenju jednosmerne struje. Otklon kazaljke je proporcionalan kvadratu efektivne vrednosti naizmenične veličine. Ovaj instrument se koristi kao miliampermetar, jer je struja u kalemima ograničena na 200 mA, što je znatno više u odnosu na instrumenata koji su realizovani sa pokretnim kalemom. Ograničenje po maksimalnoj struji nastaje zbog tankih provodnika kojima se dovodi struja na kalemove instrumenta. Za merenje većih vrednosti struje instrumentu se dodaju otpornosti R1 i R2 redno sa nepokretnim i pokretnim kalemom.

Elektrodinamički ampermetri, kao i voltmetri, se uglavnom izrađuju za precizna merenja naizmeničnih veličina (klasa 0.05 do 0.2) sa osnovnom namenom za kalibraciju industrijskih ampermetara, odnosno voltmetra. Osetljivost elektrodinamičkih instrumenata je mala i iznosi od 10 Ω/V do 30 Ω/V za razliku od instrumenata sa pokretnim kalemom gde iznosi do 2x104 Ω/V.

S obzirom da su elektromagnetska polja koja stvaraju kalemovi mala, instrument je osetljiv na spoljno magnetsko polje.

9.2 Elektrodinamički voltmetar

Elektrodinamički voltmetar se realizuje u skladu sa šemom prikazanoj na slici. I u ovom

sl. 19: Šema elektrodinamičkog voltmetra

sl. 18: Šema elektrodinamičkog ampermetra


slučaju su kalemovi redno vezani (leva slika), a otpornost Rp ima cilj da poveća maksimalni napon koji može da se meri ovim voltmetrom. Ugao skretanja je proporcionalna kvadratu efektivne vrednosti priključenog naizmeničnog napona. Ista formula važi i za jednosmerne napone:

R = R ,RU

Dk = v2

v

2α R + kp

Pri ovome je Rk otpornost kalema, Rp otpornost priključenog otpora za povećanje opsega primenljivosti, a U efektivna vrednost primenjenog naizmeničnog napona. Priključeni otpor ima pored proširenja opsega i dve druge funkcije: smanjenje greške usled promene temperature, i smanjenje uticaja induktivnost pri merenju naizmeničnih veličina visokih učestanosti. Opseg merenja je od 5 V do 600 V, a potrošnja je relativno velika u odnosu na instrumente sa pokretnim kalemom.

9.3 Elektrodinamički vatmetar

Elektrodinamički vatmetar (merenje aktivne snage prijemnika je uređaj koji je šematski prikazan na prethodnoj slici (desno). U ovom slučaju je

P 1 k = RU I

Dk = I ID

= WW

21 φφα coscoskRD

što znači da je otklon kazaljke proporcionalan aktivnoj snazi prijemnika. Instrument ima linearnu skalu. Slične napomene važe kao i za merenje jednosmerne struje. Kada se vezivanje vrši prema šemi nacrtanoj isprekidanom linijom dobija se tzv. strujna veza ampermetra


10. ELEKTROSTATIČKI INSTRUMENTI Elektrostatički instrumenti zasnivaju svoj rad na dejstvu elektrostatičke sile i zato su jedini instrumenti koji "odgovaraju" tj. mere električni napon, za razliku od ranije opisanih instrumenata koji mere električnu struju. Većina elektrostatičkih instrumenata zasniva svoj rad na primeni kondenzatora kod kojih se relativnim pomeranjem delova menja kapacitivnost (promena površina ploče, geometrijska promena dielektrika u kondenzatoru, promena rastojanja između ploča, itd.). Slike prikazuju princip povezivanja promenljivog kondenzatora za merenje električnog napona.

Elektrostatički voltmetar sa promenljivom površinom ploča (levo): 1 - nepokretna ploča; 2 – pokretna ploča; 3 – osovina; 4 – opruga; 5 – kazaljka; i 6 – skala. Elektrostatički voltmetar sa promenljivim rastojanjem izmedju ploča (desno): 1 – nepokretne ploče; 2 – pokretna ploča; 3 – metalna traka; 4 – štap; 5 – osovina; i 6; kazaljka nad skalom.

Documents

Elektricna Mjerenja - Dejan Popovic, Predrag Pejovic