Embed Size (px)
Citation preview
Undervisningsnoter om
Elektrisk teori bag
måling af kropsvæsker med
bioimpedans-spektroskopi (BIS)
med konkret anvendelse i forhold til apparatet
4200 Hydra ECF/ICF Bio-Impedance Spectrum Analyzer
(Xitron Technologies)
side 2
Indledning Med bioimpedans-spektroskopi, også kaldet BIS, kan man på en helt smertefri og relativt enkel vis måle størrelser, som fortæller om kroppens fordeling af væske og estimere kropssammensætning.
Formålet med disse noter er
• at give en forståelse for den elektriske teori bag BIS-målinger
• at redegøre for de beregninger, som benyttes i Xitron Technologies’ BIS-apparat model 4200 Hydra ECF/ICF Bio-Impedance Spectrum Analyzer (herefter kaldet Xitron Hydra 4200)
• at skabe et fundament for en forskningsmæssig anvendelse af apparat og ligninger
For at opfylde sit formål må teksten være både læselig og anvendelig. Da den underliggende teori er ganske indviklet, er dette ikke nogen let opgave: Hvis indholdet forenkles for at øge læseligheden, kan det gå ud over anvendeligheden, mens en meget grundig tekst kan blive for lang og indviklet til at være læselig. I et forsøg på at læse dette dilemma, har skrivningen været baseret på følgende hen-syn:
1. Hovedlinjen i teksten skal kunne forstås af personer, som ikke er matematisk orienterede og ikke har særlig viden om elektrisk teori.
2. På den anden side må behandlingen af emnet ikke være overfladisk, og mere matematisk orienterede læsere må ikke snydes fra at se ligninger og udledninger
Resultatet er en tekst, hvor begreber forklares i ord før de bliver præsenteret som ligninger, og lange udledninger er holdt i særskilte afsnit. Disse særskilte afsnit kan springes over af læsere, som er tilfredse med at se de vigtigste formler og hvilke antagelser de bygger på. Dette er imidlertid ikke en tekst, hvor enhver ligning kan springes over.
Noterne er copyright © forfatteren, men læsere som finder dem brugbare, er fri til at anvende dem og også fri til at dele dem med andre. Tilladelse gives hermed til at gengive disse noter i deres hel-hed.
Aalborg, 7. juli 2008 Disse noter blev oprindelig skrevet på dansk, dernæst bearbejdet til en engelsk udgave, som nu fø-res tilbage til dansk. Der er sket et antal ændringer i teksten, mens ligningerne er stort set uændrede, bortset fra at væske (fluid) nu konsekvent forkortes F (ECF, ICF, TBF) frem for W (water, ECW, ICW, TBW).
Aalborg, 23. marts 2010 Bemærkning: Forfatteren af disse noter har ingen tilknytning til Xitron Technologies.
side 3
Indholdsfortegnelse
Indledning ........................................................................................................................................... 2
Indholdsfortegnelse ............................................................................................................................ 3
Oversigt over hovedafsnit .................................................................................................................. 5
Kapitel 1: Kort grundkursus i resistans, kapacitans og impedans................................................ 6
Ohms lov .......................................................................................................................................... 6
Vekselstrøm ..................................................................................................................................... 6
Kapacitans ........................................................................................................................................ 7
Impedans og faseforskydning .......................................................................................................... 8
Impedans og frekvens ...................................................................................................................... 9
Kapitel 2: Bioimpedans-spektroskopi (BIS) - grundprincipper .................................................. 10
Celler og cellevæske ...................................................................................................................... 10
Strømme ved meget lav og meget høj frekvens ............................................................................. 10
Mellemstore frekvenser og faseforskydning .................................................................................. 11
Kapitel 3: Elektrisk model for BIS ................................................................................................. 13
Opførsel med meget lav frekvens .................................................................................................. 13
Opførsel med meget høj frekvens .................................................................................................. 13
Opførsel ved mellemliggende frekvenser ...................................................................................... 14
Opsummering vedrørende Xitrons BIS-apparat (Xitron Hydra 4200) .......................................... 14
Kapitel 4: Resistivitet ....................................................................................................................... 16
Definition af resistivitet ................................................................................................................. 16
Eksempler på resistiviteter ............................................................................................................. 16
Omskrevet formel og tilnærmelse til menneskelig geometri ......................................................... 17
Hanai-teori ..................................................................................................................................... 19
Kapitel 5: Beregning af ekstracellulær væske (ECF) ................................................................... 20
En bemærkning om ordvalg ........................................................................................................... 20
Sammenfatning .............................................................................................................................. 20
Eksempel: Beregning af kECF ......................................................................................................... 21
Opsummering af forudsætninger ................................................................................................... 21
Udledning ....................................................................................................................................... 21
Kapitel 6: Beregning af total kropsvæske (TBF) og intracellulær væske (ICF) ........................ 24
Sammenfatning .............................................................................................................................. 24
Eksempel: Beregning af ρTBF ......................................................................................................... 25
RE & RI versus R0 & R∞ ................................................................................................................. 25
Udledning, trin 1: Opstilling af ligninger....................................................................................... 26
Udledning, trin 2: Formel (32) og (33) for VTBF ............................................................................ 27
Udledning, trin 3: Formel (34) og (35) for blandings-resistivitet ρTBF .......................................... 27
Kapitel 7: Betydning af afvigelser i ρECF og ρICF ........................................................................... 29
Indflydelse på beregning af VECF ................................................................................................... 29
Indflydelse på beregning af VTBF ................................................................................................... 29
Eksempel ........................................................................................................................................ 30
Indflydelse på beregning af VICF .................................................................................................... 30
Indflydelse af afvigelser i KB ......................................................................................................... 31
Opsummering ................................................................................................................................. 31
side 4
Udledning af formel (50) ............................................................................................................... 31
Kapitel 8: Beregning af BCM og FFM ........................................................................................... 33
Body Cell Mass (BCM) ................................................................................................................. 33
Fat Free Mass (FFM) ..................................................................................................................... 33
%Fat ............................................................................................................................................... 34
Eventuelle estimeringsfejls betydning for FFM og %Fat .............................................................. 34
Kapitel 9: Praktiske forhold ved målingerne ................................................................................ 35
Lejring af personen ........................................................................................................................ 35
Konsekvenser af forkert lejring .................................................................................................. 35
Varighed af målingen ..................................................................................................................... 36
Kabler ............................................................................................................................................. 36
Placering af elektroder ................................................................................................................... 36
Konsekvenser af forkerte placeringer af elektroder .................................................................. 36
Eksperimentel afprøvning af forkerte placeringer af elektroder ............................................... 37
Kapitel 10: Formelsamling .............................................................................................................. 39
Formler til bestemmelse af væskevoluminer m.v. ......................................................................... 39
Formler til brug ved estimering af konstanter ................................................................................ 41
Afrunding .......................................................................................................................................... 42
Referencer ......................................................................................................................................... 43
side 5
Oversigt over hovedafsnit
Kapitel 1: Kort grundkursus i resistans, kapacitans og impedans: Det første kapitel introducerer de elektriske grundbegreber, som bruges i disse noter. Principielt kan kapitlet læses uden forud-sætninger, men det er en fordel at have basalt kendskab til resistans og Ohms lov.
Kapitel 2: Bioimpedans-spektroskopi (BIS) - grundprincipper: Gennemgang af, hvordan strømmen løber i væv, og hvorfor impedansen afhænger af, hvilken frekvens man måler med.
Kapitel 3: Elektrisk model for BIS: Gennemgang af den elektriske model, som ligger til grund for meget af litteraturen om BIS. Kapitlet er i nogen grad en gentagelse af kapitel 2, men med perspektivet flyttet i retning af de elektriske målinger.
Kapitel 4: Resistivitet: Introduktion til begrebet resistivitet (hvilket ikke er det samme som resi-stans, selv om der er sammenhæng). Sammenhængen mellem resistivitet og (krops)volumen beskrives. Endelig giver kapitlet en introduktion til den såkaldte Hanai-teori, fordi nogle få formler fra denne teori skal bruges i de følgende kapitler.
Kapitel 5: Beregning af ekstracellulær væske (ECF): Kapitlet beskriver de formler, som Xitron Hy-dra 4200 bruger til beregning af mængden af ekstracellulær væske, forkortet ECF eller ECW. Formlerne står først i afsnittet, (16) og (17). Den efterfølgende udledning er ikke nødvendig for at kunne anvende formlerne, blot læseren er opmærksom på de antagelser, som ligger til grund for formlerne.
Kapitel 6: Beregning af total kropsvæske (TBF) og intracellulær væske (ICF): Dette kapitel beskri-ver de formler, som Xitron Hydra 4200 bruger til beregning af totalt væskevolumen i kroppen (forkortet TBF eller TBW), samt beregning af intracellulær væske (forkortet ICF eller ICW). Formlerne står først i afsnittet, (32) - (36). Igen kan udledningen springes over, hvis det øn-skes.
Kapitel 7: Betydning af afvigelser i ρECF og ρICF: I de foregående kapitler blev de ekstra- og intra-cellulære resistiviteter behandlet som grundlæggende konstanter. Dette kapitel analyserer, hvordan afgivelser i disse ”konstanter” vil påvirke de beregnede væskevoluminer, VECF, VTBF og VICF. Kapitlet kan springes over ved første gennemlæsning af noterne. Læsere, som føler sig fristet til at springe kapitlet over ved alle gennemlæsninger, rådes til i det mindste at se på eksemplet og læse opsummeringen.
Kapitel 8: Beregning af BCM og FFM: Kort redegørelse for Xitron Hydra 4200s beregning af Body Cell Mass og fedtfri masse.
Kapitel 9: Praktiske forhold ved målingerne: Gennemgang af nogle af de forhold, som har betyd-ning ved BIS-målinger, samt forsøg på vurderinger af, hvilken betydning det får for målinger-ne, hvis man gør det galt.
Kapitel 10: Formelsamling: Opsummering af de vigtigste formler fra noterne. Afsnittet indeholder desuden formler, som kan bruges til at regne baglæns, dvs. fra væskevoluminer til de bagved-liggende konstanter.
side 6
Kapitel 1: Kort grundkursus i resistans, kapacitans og impedans
Ohms lov
Strøm i en ledning kan sammenlignes med vandet i et vandløb. Vandet løber, når der er et fald i vandløbets højde. Jo større fald, jo mere pres bliver der på vandet. I en elv, som løber ned ad en bjergside, løber vandet med stor kraft – så stor at man i Norge mange steder udnytter elvene til at drive turbiner. Vandstrømmen afhænger dog ikke kun af størrelsen af faldet. Gudenåen har kun et ganske lille fald, men den er stor og bred, og i løbet af en dag løber rigtig meget vand gennem åen.
Tilsvarende med elektrisk strøm i en ledning. Spændingsfaldet er et mål for, hvor stor kraft der er på de elektriske ladninger. Strømstyrken angiver hvor meget elektrisk ladning der løber gennem ledningen pr. sekund. Jo større spændingsfald, jo større strømstyrke.
Men strømstyrken afhænger også af, hvor let eller svært det er for strømmen at bevæge sig gennem ledningen. Resistansen er den elektriske modstand i ledningen. Jo større resistans, jo mindre strøm-styrke. Med et vandrør som sammenligning: Et snævert vandrør (høj modstand/resistans) vil be-grænse vandstrømmen, mens et bredt vandrør (lav modstand/resistans) vil tillade en stor vandstrøm.
Disse betragtninger leder frem til Ohms lov:
resistans
aldspændingsfestrømstyrk =
R
UI =
eller i den klassiske formulering:
U = R · I
hvor
U er spændingsfaldet (måles i Volt, V)
R er resistansen (måles i Ohm, Ω)
I er strømstyrken (måles i Ampere, A)
Vekselstrøm
Strømmen fra stikkontakten er vekselstrøm. I gennemsnit er spændingsfaldet 230 V, men retningen skifter hele tiden, så strømmen skiftevis løber den ene og den anden vej.
Spændingsfaldet og strømstyrken ændres altså hele tiden, men ledningerne og dermed resistansen er uændret. Ud fra Ohms lov kan vi se, at når spændingsfaldet (U) vokser, vil også strømstyrken (I) vokse, og når spændingsfaldet aftager, vil også strømstyrken aftage. De to vil svinge i takt. Man siger, at de er i fase.
(1)
side 7
-6
-4
-2
0
2
4
6
tid
mV
, m
A U
I
Figuren viser et eksempel, hvor resistansen er R = 2 Ω, sådan at talværdien af U på ethvert tids-punkt er dobbelt så stor som talværdien af I.
I tilfældet med stikkontakten svinger strømmen frem og tilbage 50 gange i sekundet, dvs. frekven-sen er 50 Hertz (Hz). Ved bioimpedans-spektroskopi måler man ved en hel række forskellige fre-kvenser. Eksempelvis måler Xitron Hydra 4200 ved frekvenser fra 5.000 til 1.000.000 Hz (fra 5 til 1000 kHz).
Kapacitans
Resistans fortæller om en lednings evne (eller mangel på samme) til at lede elektrisk strøm. Kapaci-
tans fortæller om evnen til kortvarigt at ophobe elektriske ladninger. Kapacitans opstår, hvor to overflader af elektrisk ledende materiale mødes uden at have forbindelse med hinanden. Et teknisk eksempel er to metalplader, som ikke rører hinanden. Et biologisk eksempel er en celle i kroppen – væsken udenfor cellen og inde i cellen er elektrisk ledende, men cellemembranen kan ikke lede strøm.
Når strømmen tændes, vil den løbe ganske kort. På den ene overflade bliver overskud af positiv elektrisk ladning, og på den anden overflade bliver overskud af negativ elektrisk ladning. Men ens ladninger frastøder hinanden (+ frastøder +, og – frastøder –). Når der er ophobet så meget ladning, at den frastødende kraft er lige så stor som kraften fra spændingen, holder strømmen op med at lø-be. Hvis der var tale om jævnstrøm, sker der ikke mere. En jævnstrøm kan ikke passere en kapaci-tans.
Hvad sker, hvis strømmen er vekselstrøm? I første omgang sker det samme: Negativ ladning vil ophobes på den ene side, positiv ladning på den anden side. Jo mere ladning der ophobes, jo svære-re bliver det for strømmen at løbe. Men så ændres spændingen, og ladning begynder at løbe den anden vej. Først vil lageret af ophobet ladning blive tømt, så begynder en ny ophobning, blot med modsat fortegn. Dette fortsætter et stykke tid, så skifter spændingen igen, osv. osv.
+ + +
+ +
+ +
+
+
+
– – – –
–
–
–
+
+
+
+
+
+
+
+
+
– –
–
–
–
–
–
–
side 8
På denne måde kan vekselstrøm løbe, selv om der er en kapacitans. Ingen enkelte ladninger passerer kapacitansen (de to sider er jo adskilt fra hinanden), men som et kollektivt fænomen kan veksel-strømmen løbe og dermed ”passere” kapacitansen.
Dette gælder selv hvis den ene side er helt omgivet af isolerende materiale, sådan som det f.eks. er tilfældet med det indre af en celle, hvor den intracellulære væske er omgivet af cellemembranen. Det skyldes, at ladning på ydersiden af cellen kan tiltrække eller frastøde ladning på cellens inder-side, ligesom en magnet kan tiltrække eller frastøde en anden magnet uden at de to magneter rører hinanden.
Impedans og faseforskydning
Når vekselstrøm passerer en kapacitans, svarer den største værdi af spændingsfaldet til den største værdi af strømstyrken, omtrent som vi så det med Ohms lov for en resistans:
Umax = Z · Imax
hvor Z er den såkaldte impedans. Impedans og resistans har samme enhed: Ohm eller Ω. Men som noget nyt i forhold til resistanser, svinger strømstyrke og spændingsfald ikke i takt for en kapa-citans.
For at forstå dette, kan man forestille sig kapacitansen som en dæmning, og strømmen som en strøm af vand, som løber hen mod dæmningen. Efterhånden opbygges en sø bag dæmningen, og vand-standen i søen vokser. Hvis søen bag dæmningen bliver lige så høj som det tilløb vandet kommer fra, vil vandet holde op med at løbe. Til gengæld er der opbygget en stor højdeforskel, med høj vandstand på den ene side af dæmningen og lav vandstand på den anden side af dæmningen.
Ligesådan for kapacitansen: I starten løber strømmen let. Efterhånden ophobes elektrisk ladning i kapacitansen, og spændingsfaldet fra den ene side til den anden side vokser. Efterhånden som spændingsfaldet vokser, løber der mindre strøm. Når spændingsfaldet over kapacitansen når sin største værdi, er strømstyrken faldet til nul.
Her må vi slippe billedet af dæmningen. For modsat vandfloder, begynder strømmen i vekselstrøm at skifte retning og løbe den anden vej. Først tømmes kapacitansen for ladning. På det tidspunkt, hvor al ladning er tømt ud af kapacitansen, er spændingsfaldet nul, mens strømstyrken har sin mest negative værdi (negativ strømstyrke = strøm som løber baglæns). Fra dette tidspunkt vil historien gentage sig, blot med modsat fortegn. Og så fremdeles.
Pointen er, at strømstyrke og spændingsfald ikke følges ad. Først er strømstyrken høj, dernæst bli-ver spændingsforskellen høj. Følgen er, at strømstyrken (I) er ¼ svingning forud for spændingsfor-skellen (U). Dette kaldes faseforskydning. Figuren herunder viser et eksempel med en kapacitans, hvor impedansen er Z = 2 Ω.
(2)
side 9
-6
-4
-2
0
2
4
6
tid
mV
, m
A U
I
Bortset fra faseforskydningen svarer kurverne til dem vi så for en resistans. Man kan sige, at impe-dans er vekselstrøms-resistans. Impedans og resistans har samme enhed: Ohm eller Ω.
Impedans og frekvens
Impedansen af en kapacitans afhænger af to ting:
• Kapacitansens ”størrelse”: Jo større kapacitans, jo lavere impedans. Grunden er, at en stor kapacitans kan indeholde en stor mængde elektrisk ladning før det blive svært for strømmen at løbe.
• Vekselstrømmens frekvens: Jo højere frekvens, jo lavere impedans. Hvis frekvensen er høj, så vil strømmens retning skifte før ret meget ladning er blevet ophobet. Så en høj-frekvent vekselstrøm oplever kun situationer, hvor strømmen løber forholdsvis uhindret.
For en given kapacitans har vi to grænsetilfælde for frekvensen (f):
f = 0: Strøm med frekvens 0 (dvs. ingen ændring af retning = jævnstrøm) kan overhovedet ikke passere en kapacitans. Impedansen Z er uendeligt stor.
f = ∞: Strøm med uendeligt høj frekvens vil slet ikke opleve modstand fra kapacitansen, dvs. im-pedansen Z er 0.
Vi er nu klar til at vende os mod hovedemnet: Studiet af impedans i biologisk materiale ved forskel-lige frekvenser, eller bioimpedans-spektroskopi.
side 10
Kapitel 2: Bioimpedans-spektroskopi (BIS) - grundprincipper
Celler og cellevæske
Hver celle i kroppen er omgivet af en celle-membran, som er opbygget af fedtstoffer. Inde i cellerne befinder sig den intracellulæ-re væske, på engelsk forkortet ICF (Intra Cellular Fluid) eller nogle gange ICW (Intra Cellular Water). Cellerne er omgivet af ekstracellulær væske, på engelsk forkortet ECF (eller ECW).
Både intracellulær og ekstracellulær væske kan lede strøm, men cellemembranen er elektrisk isolerende.
Bioimpedans-spektroskopi (BIS) går ud på at måle impedansen af biologisk væv ved en række forskellige frekvenser. Det gøres ved at sende en svag vekselstrøm gennem vævet og måle impedans og faseforskydning for hver frekvens. ”Væ-vet” kan være ganske stort, f.eks. en hel person.
Strømme ved meget lav og meget høj frekvens
Vekselstrøm ved meget lav frekvens vil opføre sig som jævn-strøm: Cellemembranen er elektrisk isolerende, derfor kan strømmen ikke passere membranen. Strømmen løber derfor kun i den ekstracellulære væske udenom cellerne.
Når både strømstyrke og spændingsforskel er målt, kan resistan-sen udregnes med Ohms lov. Resistansen ved frekvens 0 kaldes R0.
Ved frekvens større end 0 fungerer cellemembranen som en ka-pacitans, jvf. forrige kapitel. Impedansen af en kapacitans af-hænger af frekvensen, men ved uendelig høj frekvens af veksel-strømmen er impedansen lig med nul.
Det betyder, at ved meget høj frekvens kan strømmen passere cellemembranerne, som om der slet ikke var nogen adskillelse mellem yder- og inderside af cellerne. Strømmen behøver derfor ikke kun at løbe gennem den ekstracellulære væske, men kan også ”skyde genvej” gennem den intracellulære væsk i cellerne.
Resistansen ved uendeligt høj frekvens kaldes R∞. Eftersom den højfrekvente strøm kan løbe en mere direkte vej end den lavfre-kvente strøm, er R∞ < R0.
Intra-cellulær
væske (ICF)
Extra-cellular
væske (ECF)
Cellemembran
Lav-frekvent strøm
Høj-frekvent strøm
(Figuren er baseret på De Lorenzo et al 1997)
side 11
Mellemstore frekvenser og faseforskydning
Både ved meget lav og meget høj frekvens kunne vi glemme kapacitans og faseforskydning. For frekvens f = 0 var cellemembranerne en 100% effektiv barriere, som strømmen måtte løbe udenom. For frekvens f = ∞ løb strømmen, som om cellemembranerne slet ikke var der. Men imellem disse to yderpunkter virker cellemembranerne som kapacitanser, og faseforskydning kommer i spil.
Faseforskydning kan angives i grader. En hel svingning af vekselstrømmen er 360º, ligesom en hel cirkel. Ved en kapacitans er faseforskydningen ¼ svingning, dvs. 90°.1 Ved en resistans er fasefor-skydningen 0°. Biologisk væv er en blanding af resistans (fra væsken) og kapacitans (fra cellemem-branerne), derfor ligger faseforskydningen et sted imellem 0° og 90°.
I praksis er faseforskydningen i biologisk væv ikke særlig stor. Værdien afhænger af frekvensen, men er typisk mindre end 10º for alle frekvenser. Figuren herunder viser kurver for spændingsfald og strømstyrke i et eksempel, hvor størrelsen af impedansen er Z = 1 kΩ, faseforskydning 10º.
-6
-4
-2
0
2
4
6
tid
V,
mA U
I
BIS-apparatet måler ved en række forskellige frekvenser. For hver frekvens måles størrelsen af im-pedansen
max
max
I
UZ =
sammen med faseforskydningen. Vi kan afbilde resultatet som et punkt i et koordinatsystem, hvor en pil fra (0,0) til punktet har længde Z og vinkel = faseforskydningen. Enheden på begge akser er Ohm.
På denne måde svarer hver måling til et punkt i et koordinatsystem, nemlig punktet ved pilens spids. Figuren herunder viser resultaterne af målinger på en forsøgsperson ved 50 frekvenser fra 5 kHz til 1000 kHz. De laveste frekvenser svarer til punkterne længst mod højre.
1 Ifølge almindelig fysik-konvention er faseforskydningen negativ, –90°, fordi strømstyrken kommer før spændingsfor-skellen for en kapacitans. Imidlertid har alle biologiske væv samme fortegn af faseforskydningen, og fortegnskonventi-onen bliver derfor mindre vigtig. I lighed med mange artikler om BIS er der i denne tekst valgt at beskrive faseforskyd-ningen i væv som et positivt tal.
(3)
side 12
Vi ser, at impedansen bliver mindre, jo større frekvensen er. Det passer med, at jo højere frekvensen er, jo lettere har strømmen ved at passere cellemembranerne. Ved meget høje og meget lave fre-kvenser er faseforskydningen nær 0º (dvs. kun resistans, jvf. tidligere beskrivelse). Den største fase-forskydning ser vi ved mellemstore frekvenser.
Som beskrevet i næste kapitel, kan man opstille en elektrisk model for biologisk væv. Med brug af denne model er det muligt at vise matematisk, at punkterne ifølge modellen skal ligge på en cirkel-bue. Som det ses af figuren, passer vores testperson godt til modellen.
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
100 200 300 400 500 600 700 800
BIS-data
cirkel
R0 R∞
side 13
Kapitel 3: Elektrisk model for BIS
Dette afsnit gentager i nogen grad indholdet af forrige kapitel, men giver flere detaljer om den elektriske model som bruges i beregningerne.
Modellen beskriver kroppens elektriske egenskaber med kredsløbet til højre. Kredsløbet viser en forbindelse af resistansen RE (fra den ekstracel-lulære væske) koblet parallelt med resistansen RI (fra den intracellulære væske), hvor strømmen skal passere kapacitansen Cm (fra cellemembra-nerne) for at løbe gennem RI.
Opførsel med meget lav frekvens
Ved meget lav frekvens (f = 0) kan strømmen slet ikke passere kapacitansen Cm. Dvs. strømmen må løbe uden om alle cellerne. I dette grænsetilfælde kunne kredsløbet lige så godt være tegnet uden forgreningen med Cm og RI:
Resistansen ved meget lav frekvens er derfor lig med resistansen af den ekstracellulære væske:
R0 = RE
Opførsel med meget høj frekvens
Ved meget høj frekvens (f = ∞) passerer strømmen kapacitansen som om den slet ikke var der (jvf. kapitel 1). I dette grænsetilfælde kunne kredsløbet lige så godt være tegnet uden kapacitansen Cm:
Et kredsløb med to parallelle resistanser opfører sig som én resistans. Da dette kredsløb gælder for uendelig høj frekvens, vil vi kalde denne resistans for R∞. R∞ er lavere end både RE og RI, fordi strømmen kan gå to veje – to parallelle veje gør det altid lettere at passere end blot den ene vej ale-ne.
R∞ kan beregnes ud fra RE og RI med følgende formel:
(4)
RE
RI
RE
RE
RI
Cm
side 14
IE R
1
R
1
R
1+=
∞
som kan omskrives til
IE
IE
RR
RRR
+
⋅=∞
I litteraturen benævnes R∞ nogle steder RINF (inf = infinity = uendelig).
Opførsel ved mellemliggende frekvenser
I begge de to grænsetilfælde, frekvens 0 eller uendelig, opførte kredsløbet fra den elektriske model sig som en ren resistans. Dvs. i ingen af de to tilfælde behøvede vi at tage hensyn til kapacitansen i beregningerne.
Ved mellemstore frekvenser, 0 < f < ∞, får kapacitansen indflydelse. Resultatet er en impedans med størrelse imellem de to yderpunkter, R∞ < Z < R0, og faseforskydning. Z med faseforskydning (vin-kel) kan afsættes i et koordinatsystem som beskrevet i foregående kapitel.
Det kan vises matematisk, at for givne værdier af RE, RI og Cm vil punkterne ligge på en cirkelbue, men det kræver temmelig mange beregninger og vil ikke blive gennemgået i disse noter.
Frekvensen for det øverste punkt på cirklen kaldes resonansfrekvensen fc. Den matematiske model giver følgende formel for resonansfrekvensen:
)R(RC2π
1f
IEm
c+⋅⋅
=
Opsummering vedrørende Xitrons BIS-apparat (Xitron Hydra 4200)
Her er opsummeret de størrelser, som indgår i den elektrisk/matematiske model, som er brugt i Xitron Hydra 4200. I parentes angives, hvad størrelserne kaldes i udskrifter fra apparatet.
RE (Re): Den elektriske resistans af den ekstracellulære væske, sådan som den er fordelt i krop-pen med elektrisk isolerede celler i væsken. R0 = RE.
For givne kropsdimensioner vil en lav mængde ekstracellulær væske resultere i en høj værdi af RE: Jo mindre væske strømmen har at bevæge sig i, når den skal fra punkt A til punkt B, jo større bliver den elektriske resistans.
RI (Ri) Den elektriske resistans af den intracellulære væske, sådan som den er fordelt i krop-pens celler. Eftersom det er umuligt for strømmen at nå den intra-cellulære væske uden at passere den ekstra-cellulære væske, kan RI ikke måles direkte. Men højfrekvent strøm vil passere cellemembranerne næsten uhindret, og en måling af den samlede elektriske resistans vil (ifølge den matematisk/elektriske model) give et resultat R∞, som svarer til at RE og RI er parallel-forbundne.
Ud fra måling af R∞ og RE = R0 kan RI beregnes ved at flytte om på formel (5):
(5)
(6)
(7)
(8)
side 15
∞
∞
−
⋅=
RR
RRR
E
EI
Med samme ræsonnement som for RE: For givne kropsdimensioner vil en lav mængde intracellulær væske resultere i en høj værdi af RI, og omvendt.
Cm (Cm) Elektrisk kapacitans af cellemembranerne. Da kapacitansen af biologisk væv stammer fra cellemembranerne, vil det være forventeligt, at jo flere celler der måles på, jo større bliver værdien af Cm.
α (Alpha) Parameter i teorien, som har betydning for cirkelbuens placering i forhold til aksen. En værdi α = 1 ville give centrum af cirklen på den vandrette akse. Når α bliver mindre end 1, rykker centrum for cirklen væk fra den vandrette akse. Typisk er 0,6 < α < 0,7 ved kropsmålinger.
Td (Td) Forsinkelse af det elektriske signal gennem kroppen (d = delay). Denne parameter kor-rigerer for, at signalet er nogle nanosekunder om at løbe gennem kroppen. I praksis har forsinkelsen kun betydning for de målinger som er foretaget ved de højeste frekvenser. Værdien Td = 0 svarer til, at der ikke foretages nogen korrektion.
fc (Fc) Karakteristisk frekvens. fc angiver den frekvens i kHz, hvor betydningen af Cm er størst, svarende til toppen af cirkelbuen.
Bortset fra forsinkelsen, kan impedansen matematisk beskrives som et komplekst tal med værdi
[ ]
+⋅⋅⋅++⋅
+=
α
IEm
EI
IE
E
)R(RCωj1
RR
RR
RZ
Dette er ligningen, som matematisk giver den ovenfor nævnte cirkelbue. Ligningen er blot angivet her for fuldstændighedens skyld, men vil ikke blive brugt yderligere i disse noter.
(For en ligning som også indeholder betydningen af forsinkelsen, Td, se Xitron-manualen, Appen-dix A.)
side 16
Kapitel 4: Resistivitet
Definition af resistivitet
For at kunne forbinde resultaterne af BIS-målingen med tal for kroppens væskeindhold, må vi se på, hvad der har betydning for størrelsen af den elektriske resistans.
Når elektrisk strøm løber gennem en ledning (eller en arm eller noget helt tredje) af ensartet materi-ale, afhænger resistansen af tre ting:
• Ledningens længde, L. Jo længere ledning, jo større resistans.
• Ledningens tværsnitsareal, A. Jo tykkere ledning, jo lettere er det at få strøm igennem, dvs. en tyk ledning har en lille resistans.
• Det materiale, som ledningen er lavet af. Ledninger af kobber giver f.eks. en lavere resistans end tilsvarende ledninger af jern.
Vi får altså en lille resistans med en kort, tyk ledning lavet af et materiale, som er godt til at lede strøm. Mens en lang, tynd ledning vil give en større resistans, især hvis ledningen er lavet af et ma-teriale, som er dårligt til at lede strøm.
Sat på formel:
A
LR ⋅ρ=
hvor ρ (græsk bogstav: rho) kaldes materialets resistivitet. Jo større resistivitet materialet har, jo større bliver ledningens resistans.
Eksempler på resistiviteter
Hvis enhederne skal passe, må ρ have enhed af resistans · areal / længde, f.eks.
[ρ] = Ω · mm2 / m
eller
[ρ] = Ω · m2 / m = Ω · m (1 Ω · cm = 0,01 Ω · m)
eller
[ρ] = Ω · cm2 / cm = Ω · cm (1 Ω · mm2 / m = 10-6 Ω · m)
Vi kan frit vælge, hvilke enheder vi bruger, blot vi husker at talværdierne bliver forskellige afhæn-gigt af vores valg af enhed. Følgende tabel giver eksempler på resistiviteter.
(9)
Længde L
Areal
A strøm
side 17
Tabel 1. Resistiviteter for forskellige materialer
Materiale Resistivitet ρ
Bly 0,192 · 10-6 Ω · m = 0,192 · 10-4 Ω · cm
Jern 0,089 · 10-6 Ω · m = 0,089 · 10-4 Ω · cm
Kobber 0,016 · 10-6 Ω · m = 0,016 · 10-4 Ω · cm
Sølv 0,015 · 10-6 Ω · m = 0,015 · 10-4 Ω · cm
Cellevæsker i menneskekroppen størrelsesorden Ω · m = 100 Ω · cm
Sølv har den laveste resistivitet i tabellen og er altså endnu bedre end kobber til at lede elektrisk strøm – men ikke så meget bedre, at det kan betale sig at lave ledninger til husholdningsapparaterne af sølv i stedet for kobber!
Vand og kropsvæsker kan også lede strøm, selv om ledningsevnen er langt dårligere end for metal-lerne. Dvs. vand og kropsvæsker har betydeligt større resistivitet end metallerne. Den præcise værdi af resistiviteten af en væske afhænger meget af koncentrationen af ioner i væsken.
Omskrevet formel og tilnærmelse til menneskelig geometri
Vi skal bruge resistiviteten til at beregne på volumen af væske, ikke tværsnitsarealer. Derfor er det praktisk at skrive lidt om på formel (9). Vi kan udnytte at
volumen = areal · længde
V = A · L
og omskrive formel (9) på følgende måde:
V
Lρ
LA
LLρ
A
LρR
2
⋅=⋅
⋅⋅=⋅=
Denne formel er fuldt så god som den oprindelige og kan bruges til at udregne volumen af den væ-ske, som leder strømmen:
R
LρV
V
LρR
22
⋅=⇔⋅=
Så langt så godt. Vi skal bare være opmærksomme på, at formlerne (9)-(11) er udledt for ledninger m.v., hvor tværsnitsarealet er det samme hele vejen. ”Ledningen” kan være rund, oval, firkantet, halvmåneformet, eller endda have hul i midten, bare tværsnitsarealet er det samme hele vejen.
Desværre ønsker vi at bruge teorien til vores målinger på mennesker, som ikke opfylder denne be-tingelse. Dele af kroppen, såsom en overarm eller et lår kan måske nok sammenlignes med en cy-linder med konstant tværsnitsareal. Men tværsnitsarealet af en hel krop på vejen fra håndled til an-kel ændrer sig alt for meget til at kunne betragtes som konstant.
For at tage højde for dette problem, tilføjer De Lorenzo et al. (1997) en korrektionsfaktor, KB, til formel (11):
V
LρKR
2
B ⋅⋅=
(10)
(11)
(12)
Volumen V = A · L
L
A
side 18
c
R
LρKV
2
B ⋅⋅=
Beregningen af KB er gennemgået i Appendix C af De Lorenzo et al’s artikel (og gentaget i Appen-dix B af Xitron-manualen). Værdien af KB afhænger kun af kroppens geometriske form. Med nogle fantomberegninger når De Lorenzo et al (side 1548, højre spalte) frem til følgende værdi:
KB = 4,3
Denne værdi af KB er beregnet for
• Voksne standardpersoner
• L = personens højde (H)
• Måling gennem arm, torso og ben, dvs. mellem håndled og ankel
En person, som ikke har ”standardfacon” burde muligvis have en anden værdi for denne konstant. Da den største resistans R kommer fra de tyndeste dele af kroppen, er den målte resistans (impe-dans) mere afhængig af tykkelse og længde af arme og ben end af størrelse og facon af torsoen. Jvf. også følgende uddrag fra Xitron-manualen side 40:
Geometry and Fluid Distribution
A wrist-ankle measurement assumes the body is one perfect cylinder when if fact the body is comprised of five imperfect cylinders (arms, legs and trunk), with the arms an legs contributing 90% to the measurement. As discovered (De Lorenzo 1997), fluid volume tends to be evenly distributed in healthy subjects, thus, a wrist-ankle meas-urement can provide accurate and useful information (Jaffrin 1996). However, there are conditions and populations where assumed even fluid distribution is invalid. The relationship between a single side wrist-ankle measurement and total ECF and ICF volume is dominated by the arm (typically 250Ω) and leg (typically 200Ω), with the trunk contributing very little to the total impedance measurement (typically 20Ω). As such, any variable causing localized changes in the limbs or trunk can lead to an in-accurate prediction of ECF and ICF volume. Under such conditions, a limb measure-ment may be useful.
Bemærk, at en person som er jævnt tykkere eller tyndere end ”normalpersonen” vil have en uændret værdi af KB. F.eks. kan man forestille sig en tyk person, hvor alle tværsnitsarealer er 50% større end for ”standardpersonen”. Da alle arealer er ændret med samme forhold, vil denne person have samme værdi af KB som ”standardpersonen”. Tilsvarende bliver værdien af KB ikke ændret af, at personen er kortere eller længere, så længe forholdene arm/torso/ben er uændrede. Altså vil KB = 4,3 være en korrekt værdi for en meget stor gruppe af personer.
Men for nogle individer vil den sande værdi af KB afgive fra standardværdien. Ifølge formel (13) hænger stor resistans sammen med lille volumen, når personens højde er uændret. Imidlertid vil en person med arme, som er lange og tynde i forhold til torso og ben, have en forøget resistans R, mens det samlede kropsvolumen ikke er særlig påvirket af armenes størrelse. Altså vil den korrekte værdi af KB for denne person være større end standard-værdien 4,3. På tilsvarende vis må vi forven-te, at en person med stor torso - sammenlignet med arme og ben – vil have en større KB, fordi vo-lumen V er større, mens resistans R kun påvirkes relativt lidt af torsoens størrelse. Bemærk, at i begge tilfælde (arme og torso) er problemet, at ændringen i R og V målt for hele kroppen ikke føl-ges ad. Da benene har en størrelse og form, som påvirker både R og V for hele kroppen, forventes ”ikke-standard” ben at påvirke KB i mindre grad end ”ikke-standard” arme eller torso.
(13)
(14)
side 19
Værdien KB = 4,3 for helkropsmålinger ser ikke ud til at kunne ændres i Xitron Hydra 4200, men læsere som er parat til at beregne individuelle værdier af KB kan bruge formlerne fra de følgende kapitler til at beregne væskevoluminer (VECF, VICF, VTBF) med den individuelle værdi af KB.
Hanai-teori
Indtil nu har vi set på resistivitet for homogene materialer. Men væv er ikke et homogent materiale. Væv er en blanding af ekstracellulær væske og celler. For de laveste frekvenser (f = 0) må strømmen gå udenom cel-lerne og bevæger sig udelukkende i den ekstracellulære væske.
Den ekstracellulære væske (ECF) har i sig selv en resistivitet, ρECF. Men fordi strømmen må bevæge sig en omvej udenom cellerne, bliver resistivi-teten for vævet større end ρECF.
Situationen med en ledende væske som indeholder en vis andel af ikke-ledende kugler er behandlet af forskeren Tetsuya Hanai (Hanai 1968). Hvis volumen af cellerne udgør andelen C af det samlede volumen, så vil resistiviteten være:2
3/2
ECW
C)(1
ρρ
−= (ved frekvens 0)
Eksempel: Hvis cellerne udgør 70% af det samlede volumen, er resistiviteten for lavfrekvent strøm
ECF3/2
ECF
3/2
ECF ρ6,1(0,3)
ρ
0,7)(1
ρρ ⋅==
−=
Hvis cellerne udgør 50% af volumen, er resistiviteten for lavfrekvent strøm
ECF3/2
ECF
3/2
ECF ρ2,8(0,5)
ρ
0,5)(1
ρρ ⋅==
−=
Og hvis cellerne kun udgør 30% af volumen, er resistiviteten for lavfrekvent strøm
ECF3/2
ECF
3/2
ECF ρ1,7(0,7)
ρ
0,3)(1
ρρ ⋅==
−=
Som ventet bliver resistiviteten – og dermed resistansen – større for blandingen af væske og celler end for ren ekstracellulær væske, fordi strømmen ikke kan bevæge sig gennem cellerne. Men jo mindre en del af det samlede volumen, som udgøres af celler, jo tættere er resultatet på værdien for den ekstracellulære væske alene.
2 Formel (15) følger af Hanai formel (228) med κl = 1/ρ og κm = 1/ρECF og Φ = C.
(15)
umentotalt vol
encellevolumC =
side 20
Kapitel 5: Beregning af ekstracellulær væske (ECF)
En bemærkning om ordvalg
I den engelsksprogede litteratur benævnes væsken mellem cellerne ofte ECW for Extra-Cellular Water. Imidlertid indeholder dette vand forskellige ioner: Na+, Ca2+, K+, Cl- osv. Disse ioner er vig-tige for såvel kroppens fysiologi som for væsken elektriske resistivitet. Væsken er altså mere end blot vand. Derfor bruger denne tekst (i lighed med f.eks. Matthie 2008) betegnelsen extra-cellulær væske, på engelsk: Extra-Cellular Fluid, forkortet ECF.
Sammenfatning
I dette kapitel udledes formler for beregning af volumen af ekstracellulær væske, VECF, på baggrund af bioimpedans-målinger.
Resultatet af kapitlets udledninger er, at VECF målt i liter kan beregnes som
2/3
E
2
ECFECFR
WHkV
⋅⋅=
hvor
H = personens højde i cm
W = personens vægt i kg
RE = målt ekstracellulær resistans i Ω
og kECF er en konstant for en given gruppe, f.eks. én værdi for hvert køn. Værdien af denne konstant kan udregnes med formlen
3/1
b
2
ECF
2
BECF
D
ρK
100
1k
⋅⋅=
hvor
KB er en faktor, som er beskrevet i afsnittet Omskrevet formel og tilnærmelse til menneskelig
geometri i det foregående kapitel.
ρECF er resistivitet af den ekstracellulære væske i Ω·cm
Db er kroppens gennemsnitlige densitet i kg/liter eller g/cm3
Xitron Hydra 4200 har indbyggede værdier for disse konstanter, som fremgår af Tabel 2. Det er muligt at justere værdierne for ρECF i apparatet, hvilket automatisk vil give nye værdier for kECF.
(16) = (31) nedenfor
(17) = (30) nedenfor
side 21
Tabel 2. Indbyggede faktorer i Xitron Hydra 42003
kECF ρECF KB Db
Kvinder 0,299 39,0 Ω·cm 4,3
1,05 g/cm3 = 1,05 kg/liter Mænd 0,307 40,5 Ω·cm
Eksempel: Beregning af kECF
Med ρECF fra Tabel 2 kan vi beregne talværdien af kECF som den bruges af Xitron Hydra 4200.
For kvinder:
3/122
ECF05,1
0,393,4
100
1k
⋅⋅= = 0,299
For mænd:
3/122
ECF05,1
5,403,4
100
1k
⋅⋅= = 0,307
Opsummering af forudsætninger
Ved meget lav frekvens bevæger strømmen sig kun i den ekstracellulære væske. Væsken har i sig selv resistivitet ρECF, men fordi der er celler i væsken, er den effektive resistivitet
3/2
ECF
C)(1
ρρ
−=
hvor C er volumenandelen af cellerne.
Den målte resistans er R = RE, fordi strømmen kun løber i den ekstracellulære væske. Ifølge formel (12) er sammenhængen mellem resistans og resistivitet da
tot
2
BEV
HρKR ⋅⋅=
for en person med højde H og totalt volumen (kropsvolumen) Vtot.
Det er forudsat, at væskefordelingen i kroppen er jævn. Derfor kan formlerne ikke uden videre bru-ges på personer med væskeansamlinger i kroppen.
Udledning
Når C er andelen af celler, er 1–C er andelen af den ekstracellulære væske i forhold til det totale volumen:
3 Værdierne for ρECF fremgår af Xitron-manualen side 22. Værdierne KB = 4,3 og Db = 1,05 g/cm3 = 1,05 kg/liter frem-går af De Lorenzo 1997 side 1548, højre spalte. Disse værdier fremgår ikke af manualen, men de er kontrolleret ved at benytte målte værdier af RE til at beregne VECF og tjekke med Xitron Hydra 4200s resultater. Tabellens værdier for kECF er beregnet ud fra de øvrige værdier – se eksemplet efter tabellen.
(18)
(19)
(20) = (15) ovenfor
(21)
side 22
tot
ECF
V
VC1 =−
Dette kan vi indsætte i formlen for resistivitet (20):
3/2
ECF
totECF3/2
tot
ECF
ECF
3/2
ECF
V
Vρ
V
V
ρ
C)(1
ρρ
⋅=
=
−=
Vi indsætter ρ i formlen for RE (21):
tot
23/2
ECF
totECFBE
V
H
V
VρKR ⋅
⋅⋅=
c
( )
( )2
3/2
ECF
1/2
totECFBE H
V
VρKR ⋅⋅⋅=
c
( )E
2
totECFB3/2
ECFR
HVρKV
⋅⋅⋅=
Volumen Vtot af en person er besværlig at måle, mens personens vægt W er let at bestemme. Krop-pens gennemsnitlige densitet Db kan regnes for at være (næsten) personuafhængig.4
tot
bV
WD = ⇔
b
totD
WV =
Vi fortsætter udregningen:
( )E
2
b
ECFB
3/2
ECFR
HD
WρK
V
⋅⋅⋅
=
c
( )E
2
b
ECFB3/2
ECFR
WH
D
ρKV
⋅⋅
⋅=
c
2/3
E
22/3
b
ECFBECF
R
WH
D
ρKV
⋅⋅
⋅=
c
2/3
E
21/3
b
2
ECF
2
BECF
R
WH
D
ρKV
⋅⋅
⋅= (i SI-enheder)
4 De Lorenzo et al (1997) har en kort diskussion om variation af Db øverst i højre spalte på side 1547.
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
side 23
Dermed har vi en formel for VECF. Den første parentes indeholder de størrelser, som kan regnes konstante indenfor store grupper af målepersoner (Xitron Hydra 4200 regner med én værdi for alle kvinder og én værdi for alle mænd). Den anden parentes indeholder de størrelser, som måles for den enkelte person: Højde, vægt og resistans RE.
Formel (28) gælder uden yderligere faktorer, hvis vi regner i SI-enheder. Det betyder imidlertid bl.a., at volumen kommer ud i m3. Vi ønsker at måle volumen i liter, højde i cm og resistivitet i en-heden Ω·cm. Tabel 3 indeholder en oversigt over alle størrelserne og deres enheder.
Tabel 3. Størrelser og enheder i formel for VECF
Størrelse SI-enhed anvendt enhed
VECF =volumen af ekstracellulær væske m3 liter = 10-3 m3
W = kropsvægt kg kg
H = højde m cm = 10-2 m
RE = målt ekstracellulær resistans Ω Ω
KB = korrektionsfaktor for kroppens facon (ingen) (ingen)
ρECF = resistivitet af ekstracellulær væske Ω·m Ω·cm = 10-2 Ω·m
Db = gennemsnitlig kropsdensitet kg/m3 g/cm3 = kg/liter = 103 kg/m3
I disse enheder bliver formlen:5
2/3
E
21/3
b
2
ECF
2
BECF
R
WH
D
ρK
100
1V
⋅⋅
⋅⋅=
Vi kan rent praktisk dele formlen op på følgende måde:
1/3
b
2
ECF
2
BECF
D
ρK
100
1k
⋅⋅=
og
2/3
E
2
ECFECFR
WHkV
⋅⋅=
Dermed har vi en praktisk formel for VECF, hvor de faste værdier er samlet i én konstant, kECF. Ek-sempler på talværdier for kECF findes i Tabel 2.
5 De Lorenzo et al (1997) og Xitron-manualen angiver faktoren 1/1000, hvilket er en fejl med de opgivne enheder. Hos Matthie (2005) er fejlen korrigeret ved at ændre enhed for Db til kg/cm3 (enheden for Db er anført i artiklens Appendix). Med dette valg af enhed for densitet, Db = 0,00105 kg/cm3, er faktoren 1/1000 korrekt.
(29)
(30)
(31)
side 24
Kapitel 6: Beregning af total kropsvæske (TBF) og intracellulær væ-ske (ICF)
Sammenfatning6
Kroppen indeholder væske både udenfor cellerne og i cellerne. Volumen af samlet væske i kroppen (Total Body Fluid, TBF) kan beregnes med følgende formel:
2/3
E
ECF
TBFECFTBF
R
R
ρ
ρVV
⋅⋅=
∞
som også kan skrives
2/3
I
IE
ECF
TBFECFTBF
R
RR
ρ
ρVV
+⋅⋅=
(I litteraturen betegnes TBF også TBW, total body water.)
I disse formler er ρTBF resistiviteten af blandingen af intra- og ekstracellulær væske. Værdien af ρTBF varierer fra person til person. For den enkelte person kan værdien beregnes med formlen
( )2/3
E
ECFICFICFTBFR
Rρρρρ
⋅−−= ∞
som også kan skrives
( )2/3
IE
IECFICFICFTBF
RR
Rρρρρ
+⋅−−=
Volumen af intracellulær væske (ICF) beregnes ud fra volumen af total kropsvæske (TBF) og ekstracellulær væske (ECF):
VICF = VTBF – VECF
Det er selvfølgelig muligt at kombinere formler for VTBF og VECF til en formel for VICF. Se formel (57) side 40 i formelsamlingen sidst i disse noter.
Tabel 4. Default-værdier for ekstra- og intracellulær resistivitet benyttet af Xitron Hydra 42007
ρECF ρICF
Kvinder 39,0 Ω·cm 264,9 Ω·cm
Mænd 40,5 Ω·cm 273,9 Ω·cm
6 Dette afsnit følger Matthie (2005), som redegør for en ændret beregning af VTBF og VICF i forhold til De Lorenzo et al (1997). Xitron-manualen er ikke opdateret på dette punkt og angiver i sit Appendix B en forældet ligning (B10) til be-regning af VICF. Selve apparatet Xitron Hydra 4200 er ført ajour og giver de resultater, som følger af ligningerne fra Matthie, dvs. de ligninger som er gennemgået i dette afsnit. 7 Xitron-manual side 22
(32) = (42) nedenfor
(33) = (43) nedenfor
(34) = (47) nedenfor
(35) = (48) nedenfor
(36)
side 25
Eksempel: Beregning af ρTBF
En kvinde har fået målt
RE = 695,1 Ω
RI = 1449,3 Ω
Da det er en kvinde, bruger vi resistiviteterne fra den første række i Tabel 4. Vi sætter tallene ind i formel (35) og får den samlede resistivitet for væske i denne person:
( )
( )
cmΩ 90,9
0,6759225,9264,9
1449,3695,1
1449,339,0264,9264,9ρ
2/3
2/3
TBF
⋅=
⋅−=
+⋅−−=
Tallet for ρTBF ligger mellem tallene for ρECF og ρICF. Det giver god mening, at en blanding har en værdi som ligger mellem værdierne for de to ting som indgår i blandingen.
RE & RI versus R0 & R∞
Den elektriske model for BIS blev gennemgået i kapitel 3. Modellen indeholder to resistanser, RE og RI, for ekstra-cellulær og intra-cellulær væske. Imidlertid vil det vise sig, at det naturlige fokus i beregningerne er den elektriske opførsel ved meget lav (nul) og meget høj (uendelig) frekvens, f = 0 og f = ∞. Det medfører, at de to resistanser R0 og R∞ dukker naturligt op i ligningerne.
Der er ikke noget ”korrekt” svar på, hvilke resistanser man skal bruge. Nogle forfattere til litteratur om BIS foretrækker ligninger med RE og RI. Andre foretrækker R0 (RE) og R∞ (også benævnt RINF). I denne tekst vil RE og R∞ blive brugt i udledningerne, men de afsluttende ligninger vises også med RE og RI.
Vi har:
R0 = RE (gentagelse af (4))
IE
IE
RR
RRR
+
⋅=∞ (gentagelse af (6))
Disse sammenhænge afspejler at ved f = 0 løber strømmen kun i den ekstra-cellulære væske (så der er ingen forskel på R0 og RE), mens ved f = ∞ løber strømmen i en blanding af ekstra- og intra-cellulær væske (så R∞ er en blanding af RE og RI).
Det vil vise sig, at i de afsluttende ligninger optræder R∞ kun sammen med RE, enten som R∞/RE eller som RE/R∞. Omskrivning af disse brøker giver
IE
I
E
IE
IE
E RR
R
R
RR
RR
R
R
+=
+
⋅
=∞
og omvendt:
(37)
(38)
side 26
I
IEE
R
RR
R
R +=
∞
Med brug af disse brøker kan ligninger med RE and R∞ omskrives til ligninger med RE and RI.
Udledning, trin 1: Opstilling af ligninger
Ved meget lave frekvenser (f = 0), hvor strømmen kun løber i den ekstracellulære væske (ECF), fandt vi følgende sammenhæng mellem resistansen og voluminer:
tot
23/2
ECF
totECFBE
V
H
V
VρKR ⋅
⋅⋅=
som blev flyttet rundt, så VECF stod alene:
2/3
E
22/3
b
ECFBECF
R
WH
D
ρKV
⋅⋅
⋅=
Ved meget høje frekvenser (f = ∞) løber strømmen i den samlede væske, TBF = ECF + ICF. Situa-tionen minder meget om de lave frekvenser: Vi har igen en strøm i en væske, som er blandet med materiale, som ikke leder strømmen. For de lave frekvenser løb strømmen kun i ECF. Ved meget høje frekvenser løber strømmen i TBF (mens strømmen stadig ikke kan løbe i de faste dele af cel-len).
Vi kan derfor opstille ligninger for R∞ og TBF ved simpelthen at erstatte RE med R∞ og ECF med TBF i ovenstående ligninger:
tot
23/2
TBF
totTBFB
V
H
V
VρKR ⋅
⋅⋅=∞
og
2/32
2/3
b
TBFBTBF
R
WH
D
ρKV
⋅⋅
⋅=
∞
For ECF forsimplede vi formlen ved at introducere en konstant, kECF. Desværre kan vi ikke gøre det samme for TBF. ”Blandings-resistiviteten” ρTBF vil være forskellig fra person til person, afhængigt af fordelingen mellem ECF og ICF.
I stedet kan vi gøre noget andet for at forsimple formlen. En masse ting er fælles i formlerne for VTBF og VECF. Hvis vi dividerer dem med hinanden, går rigtig meget ud:
2/3
E
22/3
b
ECFB
2/32
2/3
b
TBFB
ECF
TBF
R
WH
D
ρK
R
WH
D
ρK
V
V
⋅⋅
⋅
⋅⋅
⋅
=∞
c
(gentagelse af (24))
(gentagelse af (27))
(39)
(40)
side 27
2/3
E
ECF
TBF
ECF
TBF
R
R
ρ
ρ
V
V
⋅=
∞
(svarende til Matthie (2005) ligning (2)).
Udledning, trin 2: Formel (32) og (33) for VTBF
Med ligning (41) er vi næsten i mål med at finde en formel for VTBF. Hvis vi ganger på begge sider af lighedstegnet med VECF, har vi den første version:
2/3
E
ECF
TBFECFTBF
R
R
ρ
ρVV
⋅⋅=
∞
Og hvis vi indsætter RE/R∞ fra ligning (38) har vi den anden version af samme formel:
2/3
I
IE
ECF
TBFECFTBF
R
RR
ρ
ρVV
+⋅⋅=
Så langt så godt. Men for at kunne anvende resultatet skal vi også vide, hvordan blandings-resistiviteten for TBF kan beregnes.
Udledning, trin 3: Formel (34) og (35) for blandings-resistivitet ρTBF
(Dette afsnit viser de vigtigste mellemresultater, men springer over en del af formelgymnastikken. Læsere som ønsker at følge udregningerne i detaljer opfordres til selv at fatte papir og blyant, bruge flere trin til mellemregningerne, og så ellers holde tungen lige i munden, når der jongleres rundt med indeks ECF, ICF og TBF.)
Matthie (2005) benytter Hanai formel (222) til at nå frem til sin formel (9), som kan skrives
2/3
TBF
ECF
ECFICF
TBFICF
TBF
ECF
ρ
ρ
ρρ
ρρ
V
V
⋅
−
−=
Det har lighedspunkter med noget vi har set før. Formel (44) udregner VECF/VTBF, mens formel (41) udregner VTBF/VECF. Det vil sige at (44) = 1/(41):
2/3
ETBF
ECF
TBF
ECF
2/3
TBF
ECF
ECFICF
TBFICF
R
R
ρ
ρ
V
V
ρ
ρ
ρρ
ρρ
⋅==
⋅
−
− ∞
c
2/3
EECFICF
TBFICF
R
R
ρρ
ρρ
=
−
− ∞
c
( )2/3
E
ECFICFICFTBFR
Rρρρρ
⋅−−= ∞
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
side 28
Det var formlen i den ene af de to udgaver, som var gengivet i afsnittets begyndelse. Den anden udgave får vi ved at indsætte R∞/RE fra ligning (37):
( )2/3
IE
IECFICFICFTBF
RR
Rρρρρ
+⋅−−=
Dermed kom vi til vejs ende i udledningen.
(48)
side 29
Kapitel 7: Betydning af afvigelser i ρECF og ρICF
Eftersom vi i almindelighed ikke har eksakte værdier for ρECF og ρICF, er det vigtigt at vide, hvordan afvigelser i disse parametre påvirker vores beregninger af væskevoluminer.
Xitron Hydra 4200 har mulighed for, at default-værdierne af ρECF og ρICF ændres. Analysen her kan også bruges til at forudsige konsekvenserne af at sådanne ændringer.
Indflydelse på beregning af VECF
Beregning af volumen VECF afhænger ikke af egenskaberne for den intracellulære væske, ICF. Alt-så har afvigelser i ρICF ikke indflydelse på VECF. Vi behøver kun at se på ρECF.
Ud fra formel (16)-(17) kan vi analysere indflydelsen af afvigelser i ekstracellulær resistivitet, ρECF. VECF er proportional med (ρECF)
2/3. Som tommelfingerregel betyder det, at for hver 3% afvigelse i værdien af ρECF afvigelse 2% forskel i VECF.
Eksempel: Ændring med 3%:
(1,03)2/3 = 1,0199 ≈ 1,02 dvs. 3% stigning af ρECF svarer til 2% stigning af VECF
(0,97)2/3 = 0,9799 ≈ 0,98 dvs. 3% fald af ρECF svarer til 2% fald af VECF
Eksempel: Ændring med 30%:
(1,30)2/3 = 1,19 dvs. 30% stigning af ρECF svarer til ca. 20% stigning af VECF
(0,70)2/3 = 0,79 dvs. 30% fald af ρECF svarer til ca. 20% fald af VECF
Alternativt kan man opfatte VECF som afhængigt af konstanten kECF. Her er sammenhængen simpel: 1% afvigelse i kECF svarer til 1% afvigelse i værdien af VECF.
Indflydelse på beregning af VTBF
Totalt væskevolumen kan beregnes med formel (32) eller (33).
2/3
I
IE
ECF
TBFECFTBF
R
RR
ρ
ρVV
+⋅⋅=
For det første ses, at en forskel i beregningen af VECF medfører en proportional forskel i VTBF.
Dernæst afhænger beregningen af blandingsresistiviteten ρTBF af den intracellulære resistivitet, ρICF. Det kan vises (se sidste del af dette kapitel), at forholdet ρTBF/ρECF i parentesen ovenfor kan beregnes ud fra forholdet ρICF/ρECF. Derfor indføres følgende konstant:8
ECF
ICFρρ
ρk =
Med denne konstant kan forholdet mellem blandingsresistans og ekstracellulær resistans skrives
8 I lighed med De Lorenzo et al (1997) formel (B5).
(gentagelse af (33))
(49)
side 30
( )2/3
IE
Iρρ
ECF
TBF
RR
R1kk
ρ
ρ
+⋅−−=
Hvad fortæller denne ligning os? Sammen med formel (33) fortæller den os følgende: Hvis vi ken-der VECF og værdien af kρ, så kan vi beregne VTBF. Vi behøver ikke at kende ρICF i sig selv.
Sagt på en anden måde: For at beregne VECF behøver vi de målte resistanser RE og RI sammen med værdien af kECF (eller ρECF). For at beregne VTBF behøver vi desuden værdien af kρ = ρICF/ρECF. Der-med er værdien af ρICF ikke i sig selv vigtig, kun forholdet ρICF/ρECF er vigtigt.
Eksempel
En person måles med Xitron Hydra 4200. Af den ene eller den anden grund, har denne person høje-re resistiviteter end default-værdierne: Som det falder sig, er default-værdierne for ekstra-cellulær og intra-cellulær resistivitet 15% for lave. Vi (som laver målingen) ved ikke dette, og vi nedskriver blot de tal, som apparatet når frem til. Hvor store er fejlene på vores værdier for VECF, VTBF og VICF?
Bemærk først, at resistanserne måles på den individuelle forsøgsperson, så R∞, RE and RI er korrek-te. Fejlene kommer kun fra ρECF og ρICF.
ECF: En fejl på 15% i ρECF svarer rundt regnet til ⅔ · 15% = 10% fejl på VECF (og kECF). Dvs. hvis beregningerne er udført med en 15% for lav værdi af ρECF, så er den beregnede VECF 10% for lav.
TBF: I dette eksempel afveg ρECF og ρICF med samme procentdel (15%). Fra definitionen af kρ ser vi, at værdien af kρ er korrekt, selv om de individuelle resistiviteter ikke var det. Ligning (50) fortæller os, at når kρ er korrekt, så er forholdet ρTBF/ρECF også korrekt. Det betyder, at hele parentesen i lig-ning (33) har den korrekte værdi, så den procentvise fejl på VTBF er lig med den procentvise fejl på
VECF. I dette eksempel: Den beregnede VTBF vil være 10% for lav.
ICF: Se næste afsnit.
Indflydelse på beregning af VICF
Volumen af den intra-cellulære væske (ICF) er forskellen mellem volumen af den samlede krops-væske (TBF) og den ekstra-cellulære væske (ECF):
VICF = VTBF – VECF (gentagelse af (36))
I eksemplet ovenfor afveg VTBF og VECF procentvis lige meget fra de sande værdier: Begge de målte værdier var 10% for lave. I det tilfælde vil deres forskel også være 10% for lav. Begrundelsen for, at VTBF havde samme procentafvigelse som VECF var, at værdien af konstanten kρ var korrekt.
Generel regel: Hvis kρ = ρICF/ρECF har korrekt værdi, så vil alle voluminer afvige med samme pro-cent.
Hvis omvendt kρ = ρICF/ρECF har forkert værdi, så VTBF afviger procentvis anderledes end VECF, så er det svært at sige noget generelt om VICF.
(50) = (52) nedenfor
side 31
Indflydelse af afvigelser i KB
Den geometriske faktor KB (se afsnittet Omskrevet formel og tilnærmelse til menneskelig geometri som starter på side 17) optræder i ligningerne sammen med ρECF, men er ellers uafhængig af ρECF og ρICF. Derfor gælder:
En 3% afvigelse i KB vil give en 2% afvigelse på alle beregnede væskevoluminer.
Afvigelsen i KB ses gennem dens indflydelse på værdien af kECF.
Opsummering
VECF: Beregningen af VECF afhænger af værdien af kECF og derigennem værdien af ρECF (og KB). En 3% afvigelse i ρECF giver en 2% afvigelse i kECF og VECF.
VTBF og VICF: Beregningen af begge disse voluminer er proportional med VECF. Derudover afhænger de af forholdet kρ, defineret i ligning (49).
kECF: 1% afgivelse i kECF giver 1% afvigelse på alle beregnede voluminer.
kρ: Afvigelser i kρ påvirker beregningen af VTBF og VICF, men ikke VECF.
Tabel 5. Default-værdier for kECF og kρ i Xitron Hydra 4200 (baseret på Tabel 2 og Tabel 4)
kECF
ECF
ICFρρ
ρk =
Kvinder 0,299 6,79
Mænd 0,307 6,76
Udledning af formel (50)
Udledningen er relativt enkel. Vi starter med formel (34) for ρTBF og dividerer med ρTBF:
( )2/3
E
ECFICFICFTBFR
Rρρρρ
⋅−−= ∞
c
2/3
EECF
ICF
ECF
ICF
ECF
TBF
R
R1
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
⋅
−−= ∞
c
( )2/3
E
ρρ
ECF
TBF
R
R1kk
ρ
ρ
⋅−−= ∞
hvor kρ var defineret som
ECF
ICFρρ
ρk =
(gentagelse af (34))
(51)
(gentagelse af (49))
side 32
Med indsættelse af R∞/RE fra formel (37) kan formel (51) kan skrives
( )2/3
IE
Iρρ
ECF
TBF
RR
R1kk
ρ
ρ
+⋅−−=
hvilket er den form, som blev angivet i formel (50).
(52)
side 33
Kapitel 8: Beregning af BCM og FFM
Body Cell Mass (BCM)
Xitron Hydra 4200 estimerer også den samlede masse af kroppens celler (BCM). Det sker ifølge Xitron-manualen side 43 med den klassiske definition fra Moore (1963, kapitel 2, formel (15)):
70,0
ICWBCM =
Her er ICW massen af den intracellulære væske. Under forudsætning af, at densitet af væske = den-sitet af vand = 1 kg/liter, er ICW i kg = VICF i liter.
Brug af formlen gør to antagelser:
1. Kroppens celler indeholder gennemsnitlig 70% vand, regnet efter vægt.
2. ICW (VICF) kan bestemmes.
Det giver følgende overvejelser om nøjagtigheden af BCM bestemt med Xitron Hydra 4200:
1. Det fremgår ikke hos Moore, hvor akkurat og præcis værdien 70% er. Man kan derfor spør-ge: Er gennemsnitsværdien netop 70%, og hvor meget varierer tallet fra person til person?
2. Eftersom VICF = VTBF – VECF, afhænger nøjagtigheden af VICF af nøjagtigheden af de to an-dre volumenbestemmelser.
Det betyder, at nøjagtigheden af BCM i bedste fald er på højde med nøjagtigheden af apparatets volumenbestemmelser.
Fat Free Mass (FFM)
Xitron Hydra 4200 estimerer også kroppens samlede fedtfri masse (FFM). Udregningen forudsætter ifølge Xitron-manualen side 43, at fedtfrit væv består af 73,2% vand, hvilket igen følger Moore (1963, kapitel 2, formel (18)).
FFM udregnes ifølge Xitron-manualens appendiks B side 106 (ligning B8) med formlen
FFM = (dECF · VECF) + (dICF · VICF)
hvor
dECF = 1,106 kg/liter
dICF = 1,521 kg/liter
er densiteterne for ekstra/intra-cellulær ”vand og tilhørende materialer” (”water and its associated materials”). Det er muligt at ændre disse konstanter i apparatet.
Da beregningen (54) er et estimat på baggrund af estimater, forventes nøjagtigheden af FFM at være mindre end nøjagtigheden af VECF og VICF (jvf. Xitron-manualen side 43, som kalder beregningen af FFM og %Fat for ”second order”).
(53)
(54)
side 34
%Fat
Fedt og fedtprocent udregnes ganske enkelt med formlerne
Fat = W – FFM
%100W
FatFat% ⋅=
hvor W er personens vægt (indtastet i apparatet) og FFM er den estimerede fedtfri masse fra formel (54).
Eventuelle estimeringsfejls betydning for FFM og %Fat
Det ses af formel (54) for FFM, at estimeringsfejl i VECF og/eller VICF også vil give fejl i estimeret FFM. Hvis f.eks. VECF og VICF bliver estimeret til at være større, end de virkelig er, så vil også FFM blive estimeret falsk for stor. Da fedtfri masse og fedtprocent er to modsatrettede størrelser, giver en falsk for stor værdi af FFM en falsk for lille værdi af %Fat.
(55)
(56)
side 35
Kapitel 9: Praktiske forhold ved målingerne
Dette kapitel indeholder nogle praktiske råd om måling med Xitron Hydra 4200. Det er målet at påpege detaljer om, hvordan målinger skal foretages, forklare hvorfor målingerne skal foretages på denne måde, og også forudsige konsekvenserne af at gøre det forkert.
Lejring af personen
Helkrops-målinger skal foretages sådan, at strømmen løber håndled → arm → torso → ben → an-kel, eller modsat retning. Beregningen af væskevoluminer (VECF, VICF og VTBF) antager denne vej for strømmen ved a bruge værdien KB = 4,3. For detaljer om KB, se formel (12)-(14) og teksten om-kring.
Det er vigtigt, at strømmen ikke kan ”skyde genvej”. Det betyder, at arme og ben skal være fri af kroppen og fri fra hinanden. Citat fra Xitron-manualen side 37:
Measurements are best performed with the subject positioned in the supine position (face up), with the legs and arms slightly apart (Figure 3). Extreme abduction and ad-duction of the limbs, crossing the legs or touching the hands to another body part dramatically effect the results (Kushner 1996). The subject should remain motionless throughout the measurement.
Konsekvenser af forkert lejring
Eksempel 1: En person måles med benene tæt samlede. Personen har bukser på, og der er ingen
hud-til-hud-kontakt.
ECF: De fleste typer tøj er elektrisk isolerende, så uden hud-til-hud-kontakt kan den lavfrekvente strøm ikke skyde genvej. Dermed vil RE blive målt korrekt, og den rapporterede VECF vil være kor-rekt (inden for den generelle usikkerhed på estimeringen).
TBF og ICF: Imidlertid kan højfrekvente strømme passere en adskillelse (se afsnittet Kapacitans på side 7), så disse strømme vil muligvis kunne løbe gennem begge ben i stedet for blot det ene ben. Det vil betyde, at den målte værdi af resistansen R∞ (og RI) bliver for lille. I dette tilfælde vil de rapporterede værdier af VTBF og VICF være falsk forhøjede: Når den højfrekvente strøm kan løbe i et for stort væskevolumen (to ben i stedet for ét), bliver det målte væskevolumen for højt.
Med henvisning til formlerne: VECF afhænger ifølge formel (16) side 20 kun af resistansen RE, så hvis RE er korrekt bestemt, bliver VECF også korrekt estimeret. Hvis R∞ er kunstigt for lille, mens RE er korrekt, følger af formel (32) side 24, at VTBF bliver estimeret kunstigt for stor. Da VICF = VTBF – VECF, bliver også VICF estimeret kunstigt for stor.
Udskriften fra Xitron Hydra 4200 viser RE og RI. Resistansen R∞ fremgår ikke direkte af rapporten, men er relateret til RI: En lav værdi af R∞ vil ses som en lav værdi af RI (se evt. formel (8) side 14).
Eksempel 2: Personen, som bliver målt, har hud-til-hud-kontakt mellem forskellige dele af kroppen,
f.eks. hænderne ovenpå hinanden, eller ben som rører hinanden.
Både RE og R∞ vil blive målt for lave, fordi strømmene kan skyde genvej. Dette vil betyde, at væ-skevoluminer bliver rapporteret med falsk forhøjede værdier.
side 36
Varighed af målingen
Selve målingen varer kun nogle få sekunder. Efter målingen regner apparatet i et lille minut, før resultaterne kommer. Det er kun vigtigt, hvordan patienten ligger under selve målingen. Om patien-ten er urolig eller forkert lejret under beregningerne er uden betydning for resultaterne.
Kabler
For at undgå interferens mellem de strømme, som løber i ledningerne, skal kablerne være fri af hin-anden, målepersonen, metal og jorden (jvf. Xitron-manualen side 45). Husk fra afsnittet om kapaci-tans, at højfrekvente strømme kan ”skyde genvej” over små afstande, der ellers er elektrisk isolere-de. Da problemet er størst for højfrekvente strømme, vil det primært være R∞ (og dermed RI) som påvirkes.
Placering af elektroder
Elektrodernes placering er vist i Xitron-manualen side 45.
Måle-elektroderne (som måler volt, V) defineres ved de røde krokodillenæb og skal placeres på midtlinien mellem knoglefremspringene ved ankel og håndled. Denne placering er anatomisk velde-fineret og reproducerbar, og den svarer til forudsætningerne ved beregningen af konstanten KB (se side 18).
Strøm-elektroderne (I) defineres ved de sorte krokodillenæb og skal placeres mindst 5 cm distalt for måleelektroderne, således at strømmen passerer forbi de steder, hvor måleelektroderne sidder. Dog skal elektroderne placeres indenfor finger/tå-led, således at der er en god hudoverflade at skabe elektrisk kontakt med. (For små børn vil den gode kontaktflade være mere vigtig for målingen end de fulde 5 cm afstand, se længe fremme i teksten herunder.)
Konsekvenser af forkerte placeringer af elektroder
Forkert placerede måle-elektroder (V): For en given person gælder, at jo længere afstanden er mel-lem de to målepunkter, jo større bliver resistansen. Så hvis måleelektroderne placeres for distalt, vil der blive målt for store værdier af RE og R∞ og RI. Forøgede værdier af resistanserne vil give for lave estimater for væskevoluminer. Og tilsvarende: Hvis måleelektroderne placeres for proximalt, vil målingerne give for lave værdier af resistanserne og for høje estimater for væskevoluminer.
side 37
Strøm-elektroder (I) placeret for tæt på måle-elektroder: Xitron-manualen angiver, at der skal være mindst 5 cm afstand mellem måle-elektroder (V) og strøm-elektroder (I). Med tilstrækkelig afstand opnår man, at strømmen løber nogenlunde jævnt fordelt i et tværsnit gennem kroppen, der hvor der måles. Hvis elektroderne placeres for tæt på hinanden, kan det betyde, at strømmen ikke løber i hele tværsnittet ved målepositionen (V), hvilket vil give lidt for høje resistanser. Derudover vil målere-sultaterne være mindre reproducerbare, fordi man næppe begår nøjagtig samme fejl næste gang.
Dog skal tilføjes: Hvis det er svært at opnå afstanden på 5 cm, fordi lemmerne er små (f.eks. på en babyhånd), så er der også et tilsvarende mindre tværsnit, som strømmen skal fordele sig på. Dermed forventes det at være uden betydning for målingen, at afstanden mellem elektroderne er ikke helt er 5 cm, hvis årsagen er små lemmer.
Ombytning af røde og sorte krokodillenæb: Fejl sker, så vi kan overveje, hvad der vil blive målt, hvis elektroderne placeres på de korrekte steder, men der byttes om på rød og sort, når krokodille-næbbene skal sættes på? På trods af, at der er blevet længere mellem målepunkterne (de røde kro-kodillenæb), kommer en teoretisk overvejelse9 til den konklusion, at målingerne ikke påvirkes ret meget. Så svaret på spørgsmål er: Betydningen af at bytte om forventes at være ”lille”. Se også af-snittet nedenfor med en praktisk afprøvning.
Eksperimentel afprøvning af forkerte placeringer af elektroder
For at afprøve de forudsigelser, som er givet herover, blev en person målt 3 gange umiddelbart efter hinanden: Først korrekt, dernæst med ombytning af rødt og sort krokodillenæb, og endelig med elektroderne placeret omtrent 5 cm for proximalt. Personen var en mand, H = 176 cm, W = 68 kg. Resultaterne af målingen er givet i Tabel 6.
Tabel 6. Resultater fra test-målinger
Målesituation RE RI VECF VICF VTBF
Korrekt måling 627.5 Ω 1249.5 Ω 16.85 L 22.43 L 39.28 L
Ombyttede krokodillenæb 629.0 Ω 1258.0 Ω 16.82 L 22.31 L 39.13 L
Elektroder for proximalt 539.6 Ω 961.0 Ω 18.63 L 27.33 L 45.97 L
9 Teoretisk fysik-overvejelse:
Antag at de sorte og røde elektroder er tilsluttet omvendt, dvs. strøm-tilførsel (sort) ved håndled og ankel, volt-måling (rød) ved mere distale placeringer. Det, som måles, er spændingsforskellen, dvs. forskellen i elektrisk potentiale. Efter-som den anden sorte elektrode befinder sig i den modsatte ende af kroppen (dvs. proximal retning), vil næsten ingen strøm løbe i distal retning. Det betyder, at det elektriske potentiale vil være næsten konstant distalt for den sorte elektro-de, med maksimal værdi ved placeringen for den sorte elektrode. Dermed vil den målte spændingsforskel fra den ene røde elektrode til den anden være næsten lige så højt som det faktiske spændingsfald fra håndled til ankel (hvor de sorte elektroder sidder). Et lidt for lavt spændingsfald vil i sig selv betyde, at resistansen måles en smule for lavt. Imidlertid vil strøm tilført ved håndled og ankel ikke være jævnt fordelt i et tværsnit før lidt væk fra det sted, hvor elek-troden er placeret. Denne effekt vil i sig selv betyde, at der måles lidt for høj resistans – se beskrivelsen om Elektroder
placeret for tæt på hinanden i hovedteksten. Tilsammen har vi to effekter, som trækker i hver sin retning. Hver effekt forventes at være lille, og fordi de modarbejder hinanden vil deres samlede virkning være mindre end hver effekt for sig. Resultatet vil imidlertid afhænge af de præcise omstændigheder. Så det kan kun konkluderes, at den samlede effekt af at bytte om på rød og sort elektrode vil være ”lille”.
side 38
Betydningen af at ombytte røde og sorte krokodillenæb ses at være lille, som forudsagt. Faktisk er betydningen forbløffende lille. Dette kan tages som tegn på, at resultatet af en sådan forkert måling kan bruges med forsigtighed, men må ikke tages som tegn på, at det er ligegyldigt, hvordan elektro-derne sættes på. Som beskrevet i fodnote 9 vil resultatet afhænge af de præcise omstændigheder. Korrekt montering af elektroderne vil give de mest reproducerbare resultater.
Langt større effekt ses af en for proximal placering af elektroderne: Resistanserne er markant ned-sat, hvilket giver en overestimering af væskevoluminer.
side 39
Kapitel 10: Formelsamling
(Alle formler er udledt under den forudsætning, at væskefordelingen i kroppen er nogenlunde jævn. Formlerne kan derfor ikke uden videre anvendes, hvis personen har væskeansamlinger i kroppen.)
Formler til bestemmelse af væskevoluminer m.v.
Målte størrelser:
H = personens højde (cm)
W = personens vægt (kg)
RE = ekstracellulær resistans (Ω)
RI = intracellulær resistans (Ω)
Konstanter:
ρECF = resistivitet af ekstracellulær væske (Ω·cm)
ρICF = resistivitet af intracellulær væske (Ω·cm)
KB = 4,3
Db = 1,05 kg/liter
Default-værdier for resistiviteter findes i Tabel 4, side 24.
Ekstracellulær væske, ECF (eller ECW):
2/3
E
2
ECFECFR
WHkV
⋅⋅=
hvor
1/3
b
2
ECF
2
BECF
D
ρK
100
1k
⋅⋅=
Total kropsvæske, TBF (eller TBW):
2/3
I
IE
ECF
TBFECFTBF
R
RR
ρ
ρVV
+⋅⋅=
hvor
formel (16), side 20
formel (17), side 20
formel (33), side 24
side 40
( )2/3
IE
IECFICFICFTBF
RR
Rρρρρ
+⋅−−=
I stedet for at udregne ρTBF kan man udregne forholdet
( )2/3
IE
Iρρ
ECF
TBF
RR
R1kk
ρ
ρ
+⋅−−=
hvor
ECF
ICFρρ
ρk =
Intracellulær væske, ICF (eller ICW):
VICF = VTBF – VECF
Hvis man foretrækker det, kan VICF beregnes ved en kombination af formel (33) og (36):
−
+⋅⋅= 1
R
RR
ρ
ρVV
2/3
I
IE
ECF
TBFECFICF
Body Cell Mass, BCM:
70,0
ICWBCM = dvs.
0,70
ICFBCM =
Fedtfri masse, FFM:
FFM = (1,106 · VECF) + (1,521 · VICF)
Fedt og fedtprocent:
Fat = W – FFM
%100W
FatFat% ⋅=
formel (35), side 24
formel (50), side 30
definition (49) side 29
formel (36), side 24
(57)
formel (53), side 33
formel (54), side 33
formel (55), side 34
formel (56), side 34
side 41
Formler til brug ved estimering af konstanter
De foregående formler forudsætter, at ρECF og ρICF er kendte størrelser, mens VECF, VICF og VTBF skal beregnes.
Situationen kan også være modsat: VECF og VTBF er kendt fra uafhængige målinger, og ρECF og ρICF skal beregnes. Her følger en række formler til dette formål. Udledningen overlades som en opgave til læseren.
Ekstracellulær resistivitet:
2/3
2
EECFECF
WH
RVk
⋅⋅=
( ) ( )
WHK
DRV1000
K
Dk1000ρ
2
B
bE
3/2
ECF
B
b
3/2
ECF
ECF⋅⋅
⋅⋅⋅=
⋅⋅=
Intracellulær resistivitet:
Formlen til at beregne ρICF er ikke simpel. Som indledning definerer vi forholdet
IE
I
0 RR
R
R
Rr
+=≡ ∞
(dette ”r” har intet har at gøre med korrelationskoefficienter). Dernæst kan intracellulær resistivitet ρICF beregnes med følgende formler:
2/3
2/3
3/2
ECF
TBF
ρr1
rV
Vr
k−
−
⋅
=
ECFρICF ρkρ ⋅=
Ingen fortolkning af formel (61) skal forsøges her. Den er bare et værktøj til at nå frem til en værdi for kρ og derigennem ρICF.
Alternativt tillader software for Xitron Hydra 4200 beregning af nye værdier af ρECF og ρICF ud fra givne data for køn, højde, vægt, RE, RI, VECF (ECF) og VTBF (TBW) for en gruppe personer. Dette er beskrevet i Xitron-manuale, Addendum side 5-6 (hvor ρECF og ρICF kaldes hhv. Pecf og Picf).
Denne måde kan have den fordel, at intra- og ekstra-cellulær resistivitet kan beregnes for en hel gruppe målinger i stedet for blot ud fra en enkelt måling. Desværre beskriver manualen ikke, hvor-dan den ”bedste” værdi bestemmes ud fra hele datamaterialet.
(58)
(59)
(60)
(61)
(62)
side 42
Afrunding
I den græske mytologi var Hydraen et ni-hovedet uhyre, en slags søslange som hærgede kysten. Som én ud af serie på 12 umulige opgaver skulle sagnhelten Herakles (Herkules) gøre det af med Hydraen. Herakles gik i gang med kampen, men opdagede at hver gang han huggede ét hoved af uhyret, voksede to nye hoveder ud! Alligevel lykkedes det Herakles at vinde kampen. Med hjælp fra sin nevø Iolaus brændte han såret til med store fakler, hver gang han havde hugget et hoved af Hydraen, hvilket forhindrede nye hoveder i at vokse frem. Det sidste hoved var udødeligt, men He-rakles begravede det under en stor sten.
Hvilke tanker der lå bag, da folkene i Xitron Technologies valgte navnet HYDRA til deres BIS-apparat, vides ikke. Men når man forsøger at sætte sig ind i teorien bag BIS generelt og apparatet konkret, kan man få samme fornemmelse som Herakles: Hver gang én ligning er afklaret dukker to nye op, og hver afklaret problemstilling afføder to nye spørgsmål.
Men teknikken har potentiale for mange anvendelser og megen forskning. Det ville være en skam, hvis BIS generelt og Xitron Hydra 4200 specifikt blev behandlet som en sort kasse af alle på nær de mest matematiske forskere.
Håbet er med disse noter at have fået gjort det af med i det mindste nogle af hovederne og at give en fakkel videre til arbejdet med anvendelse af BIS og forskning i teknikkens muligheder. Som i al god forskning må man regne med, at der bliver (mindst) et hoved tilbage, som ikke kan slås ihjel men højst gemmes af vejen under en stor sten, hvor det kan ligge til den dag nogen er klar til at fjerne stenen og se den næste Hydra i øjnene.
side 43
Referencer
De Lorenzo A, Andreoli A, Matthie J, Withers P. Predicting body cell mass with bioimpedance by using theoretical methods: a technological review, J Appl Phys (1997), vol. 82, pp. 1542-1558. Available at: http://jap.physiology.org/cgi/reprint/82/5/1542 [Accessed July 1st 2008]
Hanai T. Electrical properties of emulsions. Chapter 5 of: Sherman (Ed.), Emulsion Science, Aca-demic Press, 1968
Matthie JR. Second generation mixture theory equation for estimating intracellular water using bio-impedance spectroscopy, J Appl Phys (2005), vol. 99, pp. 780-781. Available at: http://jap.physiology.org/cgi/reprint/99/2/780 [Accessed July 1st 2008]
Matthie JR. Bioimpedance measurements of human body composition: critical analysis and out-look. Expert Rev Med Devices (2008), vol. 5, pp. 239-261
Moore FD. The Body Cell Mass and Its Supporting Environment, W.B. Saunders Company, 1963
Xitron manual: HYDRA ECF/ICF (Model 4200) Bio-Impedance Spectrum Analyzer. Operating
Manual revision 1.03, Xitron Technologies Inc. (2007). Available at: http://www.xitrontech.com/images/pdf/4200%20Hydra%20Operating%20Manual.pdf [Accessed July 1st 2008]
