Elektrokinetika 2

PREDAVANJE 5 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 1

1. Vezivanje otpornika u grupe. Ekvivalentna otpornost

Otpornici se u praksi zbog mnogo razloga vezuju redno (serijski), paralelno, redno/paralelno(meovito), u n-tokraku zvezdu (n 3) i u n-tokraki poligonn3). Postoje i raznovrsne kombina-cije tih veza,ime se generiu razliite otpornike mree. Svakaisto otpornika mrea izmeu bilokoja svoja dvavora moe se zameniti ekvivalentnim otpornikom odgovarajue otpornosti. To zna-i da kada se umestoitave otpornike mree izmeu uoenihvorova prikljui ekvivalentni otpor-nik, u ostatku sistema ne dolazi do bilo kakve promene u raspodeli napona i struja.

(a) Redna (serijska) veza otpornika

Posmatrajmo grupu od n redno vezanih otpornika (sl. 1a), koji su deo nekog strujnog kola ilimree. Jaina struje I kroz sve otpornike je ista, a prema klasinom Omovom zakonu, napon na i-tom otporniku Ri je Ui=RiI ( )i n1, pri usaglaenom smeru sa smerom struje I. Meutim, napon Uije razlika potencijala Vi i Vi+1 i-te i i+1-ve take ( )i n1, , respektivno, tj. Ui=Vi-Vi+1. Kako je U==V1-Vn+1=(V1-V2)+(V2-V3)+ ... +(Vn-Vn+1) U=U1+U2+ ... +Un, to je U=(R1+R2+ ... +Rn)I. Otpor-nost Re' ekvivalentnog otpornika koji je potrebno vezati izmeu taaka 1 i n+1 umesto redne veze notpornika je Re'=U/I=R1+R2+ ... +Rn. Uoava se da je Re' uvek vee od maksimalne otpornosti u red-noj vezi, tj. Re'maxR1, R2, , Rn. Snaga grupe redno vezanih otpornika P=(R1+R2+ ...+Rn)I2==Re'I2 jednaka je snazi ekvivalentnog otpornika Re'. Konduktansa redne veze Ge'=1/Re' zadovoljavarelaciju 1/Ge'=1/G1+1/G2+ +1/Gn, gde je Gi=1/Ri ( )i n1, konduktansa i-tog otpornika. U poseb-nom sluaju kada je n=2 za konduktansu redne veze dobija se Ge'=G1G2/(G1+G2).

Sl. 1

(b) Paralelna veza otpornika

Na sl. 1b prikazana je grupa od n paralelno vezanih otpornika. Po prvom Kirhofovom zakonujaina struje I glavne grane je I=I1+I2+ ... +In, dok je po klasinom Omovom zakonu struja otporni-ka Ri, Ii=U/Ri ( )i n1, pri usaglaenim smerovima za napon i struju. Kako je I=I1+I2+ ... +In==U(1/R1+1/R2+ ... +1/Rn), to je ekvivalentna otpornost Re'' paralelne veze, Re''=U/I=1/(1/R1+1/R2++ ... +1/Rn), odnosno 1/Re''=1/R1+1/R2+ ... +1/Rn. Lako se pokazuje da je otpornost Re'' manja odminimalne otpornosti u paralelnoj vezi, tj. da je Re'' minR1, R2, , Rn. Snaga grupe paralelnovezanih otpornika P=(1/R1+1/R2+ ... +1/Rn)U2=U2/Re'' odgovara snazi ekvivalentnog otpornika Re''.Paralelna veza n otpornika oznaava se sa Re''=R1||R2|| ||Rn, a u posebnom sluaju kada je n=2ima se Re''=R1R2/(R1+R2). Konduktansa paralelne veze Ge''=1/Re'' zadovoljava relaciju Ge''=G1+G2++ +Gn, gde je Gi=1/Ri ( )i n1, konduktansa i-tog otpornika.

R1 R2 Rn Re'

U 1 U 2 U n

U U

I I

V1 V2

V3

Vn+1Vn V1Vn+1

1 2 3 n n+1 1 n+1

(a)

Re' '

U

I

V2V1

1 2

(b)

R1

R2

Rn

I1I1

I2

I n

I1 2

U


Primer: Odrediti ekvivalentne otpornosti Re1, Re2 i Re3, izmeuvorova 1 i 2 mrea na sl. 2a,2b i 2c, respektivno.

R3

R1

R1

R2 R1 R2

R2

R3 R3

R4

R4 R4

R5

(a) (b)

(c)

1 1

1

2 2

2

Sl. 2

Za ekvivalentnu otpornost Re1 izmeuvorova 1 i 2 redno-paralelne mree na sl. 2a dobija seRe1=(R1+R2)(R3+R4)/(R1+R2+R3+R4). Ekvivalentna otpornost Re2 izmeu vorova 1 i 2 paralelno-redne mree na sl. 2b je Re2=R1R3/(R1+R3)+R2R4/(R2+R4). Naalost, ekvivalentnu otpornost Re3 iz-meu vorova 1 i 2 mree na sl. 2c nije mogue odrediti pomou ekvivalentnih redno/paralelnihtransformacija grupa otpornika, vese to postie ekvivalentnim transfiguracijama tipa (tj.zvezda u trougao), koje su u udbeniku izvedene i detaljno obraene. Tako se za Re3 dobija:

RG

GG G

G G G

G G GG G G

G G GG G G

G GG G

G G GG G

G G G

e3e3

e33 4

3 4 5

13 5

3 4 52

4 5

3 4 5

1 23 5

3 4 5

4 5

3 4 5

, gde je( )( )

1.

2. Zakon prelamanja linija stacionarnog strujnog polja

U delovima stacionarnog strujnog polja u linearnoj sredini gde ne postoje spoljanji elektriniizvori, tj. strane elektrine sile, vektor gustine struje J istovremeno zadovoljava Omov (J=E) iKirhofov zakon (div J=0) u lokalnom obliku (-specifina provodnost linearne sredine, a E-vektorjaine polja). Kako je stacionarno elektrino polje bezvrtlono, to je E= -grad V(x, y, z). Ako jelinearna provodna sredina joi homogena, njena specifina provodnost je=Cst, pa iz prethodnihrelacija sledi div [grad V(x, y, z)]=0, odnosno div [grad V(x, y, z)]=0 to predstavlja operatorskizapis Laplasove jednaine koja se dobija iz Poasonove, uz uslov =0 (videti PREDAVANJE 2, str. 2).Dakle, u delovima linearne, homogene provodne sredine gde ne postoje strne sile, raspodela poten-cijala je ista kao i u bilo kojem domenu elektrostatikog polja u homogenim dielektriku gde nemaslobodnih naelektrisanja. To dokazuje da se 3D problem raspodele potencijala u stacionarnomstrujnom polju u homogenoj sredini, moe tretirati kao i slian problem kod homogenih dielektrika.

Sada emo prvo odrediti granine uslove na razdvojnoj povri dve provodne linearne sredine1 i 2 specifinih provodnosti 1 i 2, respektivno, a zatim emo izvesti zakon prelamanja linija sta-cionarnog strujnog polja. Pretpostavimo da na razdvojnoj povri tih sredina ne postoje elektriniizvori (sl. 3a), pa zatim bilo gde postavimo orijentisanu cilindrinu povrSc vrlo male osnoviceS ufizikom pogledu i izvodnice duine h normalne na, kojupoloviDa bi se izveli granini uslovina smoj povri potrebno je pretpostaviti da u graninom procesu duina izvodnice cilindra h 0. Neka su J1 i J2 vektori gustine struje, a E1 i E2 vektori jaine polja u sredinama 1 i 2, respektivno,


na smom preseku S cilindra Sc i povriNormalne komponente vektora J1 i J2 su J1n=J1n i J2n==J2n, respektivno, gde je n jedinina normala orijentisane povri S=Sn. Poto na razdvojnojpovrinema elektrinih izvora, tada iz integralnog oblika prvog Kirhofovog zakona sledi:

c

1 2 1n 2n0lim d ( ) ( ) 0h

S

S J J S

J S J n J n 1n 2nJ J . (*)

Sc n

n

h

J 1

J 2

S

1nJ

2nJ

1tJ

2tJ

1

Sredina 1

Sredina 2

h

Sredina 1

Sredina 2

K

l

l

E1

E2

2

1

2

1tJ

J11nJ

2nJ

2tJ

J 2

(a)

(b)

(c)

Sl. 3

Pretpostavimo da je K orijentisana pravougaona kontura u ravni vektora E1 i E2, male irine=|l| u fizikom pogledu i visine h koja u graninom procesu tei nuli (sl. 3b). Takoe, neka je ipravac vektoral paralelan ravni Komponente vektora E1 i E2 tangencijalne na respektivno suE1t i E2t. Poto je rot E=0, to cirkulacija vektora E po konturi K mora biti ravna nuli:

1 2 1t 2t0lim d 0hK

E E l

E l E l E l 1t 2tE E . (**)Relacije (*) i (**) pokazuju da su normalne komponente vektora gustine struje i tangencijalne

komponente elektrinog polja na razdvojnoj povri provodnih sredina neprikidne. Te relacije zovuse granini uslovi. Koristei ih zajedno, dolazimo do zakona prelamanja linija stacionarnog struj-nog polja na razdvojnoj povri linearnih provodnih sredina bez elektrinih izvora (sl. 3c):

tgtg

1

2

1t 1n

2t 2n

1t

2t

1 1t

2 2t

1

2

J J

J JJJ

EE

//

.

Pri prelasku iz sredine vee, u sredinu manje provodnosti, linije strujnog polja priklanjaju senormali na razdvojnu povr.

3. Elektrini generatori i pojam kvazilineinog strujnog kola

U stacionarnom strujnom polju postoje i delovi gde, pored Kulonovih, deluju i sile neelektro-statikog poreklaijim se radom odrava vremenski konstantna raspodela naelektrisanja i potencija-la u elektrinim kolima i mreama. Te sile zovemo "strnim" ili "eksternim" i one predstavljaju po-


srednike preko kojih se drugi vidovi energije transformiu u elektrini rad i posredstvom stacionar-nog strujnog polja prenose u druge delove elektrinih sistema. Premda je poreklo strnih sila veomarazliito, ipak, sve one imaju zajedniku osobinu da deluju na pokretljiva naelektrisanja i zbog togaje njihovo dejstvo ekvivalentno dejstvu nekog strnog elektrinog polja Es. Sila mehanikog dejstvapolja Es na pokretljivo naelektrisanje Q je Fs=QEs. To polje moe, ali ne mora imati prvu elektri-nu prirodu. Tako na primer, strno elektrino polje, koje nastaje elektromagnetskom indukcijom unamotajima transformatora, obrtnih generatora, i uopte u metalnim provodnicima koji se kreukroz magnetsko polje, tako da presecaju linije magnetske indukcije B, ima prvu elektrinu prirodu.Meutim, kod elektrohemijskih izvora energije (baterije i akumulatori) strno polje nema elektrinuprirodu. Strno polje uvek je lokalizovano u odreenom domenu unutar generatora (sl. 4a) i imasmer od prikljuka na niem potencijalu N prema prikljuku na viem potencijalu P. Smer strnogpolja Es kroz generator uvek je suprotan od smera polja E koje stvaraju raznorodna stacionarnanaelektrisanja rasporeena oko pozitivnog P i negativnog N prikljuka generatora. U svim delovimastrujnog kola, gde pored sila stacionarnog polja E deluju i sile strnog polja Es, pokretljiva naelek-trisanja kreu se pod dejstvom rezultantnog polja E+Es tako da je tu gustina struje J=(E+Es). Ovarelacija zove se generalisani Omov zakon u lokalnom obliku. Za fiziki malu zapreminuV u ge-neratoru dobija se jednaina raspodele elementarne snage, JEsV=(J2/)V-JEV koja se re-ima moe iskazati na sledei nain: brzina sa kojom strno elektrino polje ulae rad u element V(=JEsV), jednaka je zbiru brzine sa kojom se uloeni rad u tom elementu pretvara u toplotu usledDulovog efekta =(J2/)Vi brzine sa kojom se on dalje predaje drugim delovima strujnog kola(= -JEV). Iz prethodnog sledi da je JEV snaga koju stacionarno polje predaje elementuV.

++++++ ++

+++

----- - -

----

E

Es

P

N

(a)

I=0

P

NP

N

P P

P P

P P

N N

N N

N N

E,Rg

E,e

+E,e

+ +

E,Rg

E,Rg

E

E,e

E,e

Rg

Rg

Rg

(b) (c) (d)

Rg

E

N

P

(e)

U PN( )

VP

VN

R Rg i,

E

P

N

e,Rg

e,Rg(f)

P

N

e,Rg

Sl. 4

Kada generator radi u praznom hodu tada je I=0 i J=0, pa je i E+Es=0, odnosno E= -Es. Sa as-pekta analize elektrinih mrea nije toliko vano poznavanje sme prirode strnih sila u generatoru,koliko ponaanje generatora u odnosu na spoljanje delove kola. Zbog toga je pogodno da se gene-rator makroskopski opie sledeim veliinama: (1) elektromotornom silom, ili skraeno ems, koja seoznaava sa E kada je vremenski konstantna, a sa e kada je vremenski promenljiva, i (2) unutra-njom otpornou Rg ili Ri ("i"=interno). Ems generatora i unutranja otpornost Rg definiu se ovako.

(Definicija elektromotorne sile generatora) Elektromotorna sila (ems) naponskog generatoraje kolinik rada Ag koji taj generator izvri pri prenoenju naelektrisanja Q sa negativnena pozitivnu elektrodu i samog tog naelektrisanjaQ tj. E, e=Ag/Q. Ems generatora nezavisi od njegovog radnog reima, tj. od intenziteta struje. Rad generatora nije nita drugo doizvreni rad strnih sila pri prebacivanju naelektrisanjaQ kroz sm generator, sa njegovognegativnog prikljuka N, na pozitivan P (sl. 4a):


gs: d linijski integral strnog polja (putanja integracije prolazi kroz generator)

P

N

AE, e

Q

E l .

Poto ems generatora ne zavisi od njegovog radnog reima, to se ona najlake odreuje kadagenerator radi u praznom hodu (tj. kada je I=0 i E= -Es) (sl. 4a). Iz sme definicije ems onda sledi:

g ( )s P N PN: d d d

P P N

N N P

AE, e V V U

Q E l E l E l ,

gde je U PN( ) napon praznog hoda generatora, koji se lako moe izmeriti. Kao algebarska veliina,

ems ima svoj znak u odnosu na referentni smer koji je uvek usmeren od negativne prema pozitivnojelektrodi.Ems obrtnog generatora,iji rad poiva na dinamikoj elektromagnetskoj indukciji, raspo-deljena je dunamotaja generatora, dok su kod elektrohemijskih generatora (baterije i akumulatori)ems koncentrisane, odnosno lokalizovane, u tankom dvojnom elektrinom sloju izmeu elektroda ielektrolita. Kada su referentni smerovi ems i struje naponskog generatora isti,za njih se tada kae dasu usaglaeni, dok u suprotnom, da nisu usaglaeni. Snaga koju idealni naponski generator odajejednaka je proizvodu njegove ems i struje sa usaglaenim smerovima, a snaga koju prima proizvoduems i struje sa neusaglaenim smerovima.

(Definicija elektrine otpornosti generatora) Kada u generatoru postoji struja I, tada se unjemu javljaju termogeni (Dulovi) gubici, koji dovode do zagrevanja generatora. Ako je PJsnaga tih gubitaka,tada se (unutranja) otpornost generatora Rg definie kao Rg=PJ/I2 , i estose obeleava i sa Ri. Ona se raunski teko odreuje, jer zavisi od raspodele struje i provod-nosti u generatoru. Meutim, unutranja otpornost generatora moe se odrediti kao koliniknjegovog napona praznog hoda U PN

( ) i struje kratkog spoja I(0), tj. kao Rg=U IPN( ) (0) / . Kada je

Rg=0za generator se kae da je idealan, a ako je Rg > 0da je generator realan.Na sl. 4b dati su simboli za oznaavanje idealnih naponskih generatora. Prvi od njih (sl. 4b

gore) odgovara elektrohemijskom generatoru vremenski konstantne ems E. Dua horizontalna crticaoznaava pozitivan, a kraa negativan prikljuak generatora. Ako postoji i strelica pored simbola,ona oznaava napon praznog hoda generatora, jednak ems E. Druga dva simbola na sl. 4b koriste seza uopteno oznaavanje idealnih naponskih generatora, s tim to je referentni smer za ems odreenstrelicom, ili znakom "+". U elektronici se koriste i drugi simboli za oznaavanje generatora.

Na sl. 4c, 4d, 4e i 4f dati su simboli za oznaavanje realnih naponskih generatora unutranjeotpornosti Rg. Simbolom na sl. 4f oznaava se realan naponski generator prostoperiodine ems e.

Primeujemo i da je u oznakama na sl. 4d i 4e unutranja otpornost generatora izdvojena kaosamostalni element i vezana na red sa idealnim naponskim generatorom. Fiziki smisao tih oznakapredstavlja istu fikciju, s obzirom da taka spoja idealnog generatora i otpornika Rg, ne samotonije pristupana, vei ne postoji. Zbog toga je potrebno te oznake shvatiti kao adekvatne linearnemodele realnih naponskih generatora, u iju se verodostojnost lako uveravamo na osnovu rezultatakoji slede. Prvoe nam biti potrebno da definiemo pojam kvazilineinog strujnog kola, ili strujnukonturu, koja se najee sree u praksi i na kojuemo se ograniiti u narednom razmatranju.

(Definicija kvazilineinog strujnog kola ili strujne konture) Kolo sainjeno od tankih pro-vodnika zove se kvazilineino strujno kolo ili strujna kontura ako zadovoljava sledee uslove:(a) Vektor gustine struje J u svim takama kola paralelan je osi provodnika, a njegov intenzi-tet J=|J| isti je po poprenom preseku provodnika (ali se moe menjati dunjegove ose).(b) Potencijal V, provodnost i vektori E i Es ne menjaju se po poprenom preseku pro-vodnika (ali se, takoe, mogu menjati dunjegove ose).


Posmatrajmo odseak A nekog kvazilineinog strujnog kola (strujne konture) izmeu taaka Ni P dukoga, pored stacionarnog elektrinog polja E, deluje i strano polje Es (sl. 5a). Neka je dlelementarni odseak ose provodnika orijentisan u referentnom smeru struje kola, iji je algebarskiintenzitet I. Taj odseak ima isti pravac i smer kao i vektor gustine struje J. Na odseku A kola vairelacija E+Es=J/, dok na odseku B vai relacija E=J/(tu jeEs=0)Ako se obe relacije prvo ska-larno pomnoe sa dl, a zatim integrale duosa odseaka A i B, respektivno, dobija se uz J=I/S:

PZa ( )

s A Ad dd d d d d , :

P P P P P PA

N N N N N N N

J I l ll l I R I RS S S

JE l E l l ,

(*)

Za ( )PN B B

d dd d d d , :N N N N N N

B

P P P P P P

J I l lU l l I R I RS S S

JE l l ,

gde su RA i RB raspodeljene termogene otpornosti odseaka A i B kvazilineinog strujnog kola,respektivno, koje se jednostavno zovu otpornosti odseaka A i B.

N

P

(a)

B

Kvazilinei~no strujno kolo(strujna kontura)

N

P

E J ls d, ,

,S

I

U PNA

E

R Rg A

RB

N

N

P

P

I

U PN

A B

UR

E

E

(b)

Ekvivalentan linearan elektri~ni model sa koncentrisanimparametrima, kvazilinei~nog strujnog kola (strujne konture)

+

Sl. 5

Za stacionarno elektrino polje E na odseku B imamo:

PN P N N P NP: d d ( )= -N P

P N

U V V V V U E l E l . (**)

Iz definicije elektromotorne sile E (koja na odseku A deluje od take N ka taki P) i relacija(*) i (**), neposredno sledi:

s NP A PN B NP AdP

N

E E U R I U R I U E R I E l . (#)

Na sl. 5b prikazan je ekvivalentan linearan elektrini model sa koncentrisanim parametrimakvazilineinog strujnog kola sa sl. 5a. Kolo na sl. 5b zove se prosto elektrino kolo sa koncentrisa-nim parametrima i obrazuju ga tri elementa: naponski generator ems E i dva otpornika otpornostiRg=RA i RB. Naravno, u tom kolu je prema klasinom obliku Omovog zakona, UR=RAI.

Izraz UPN=E-RAI u relaciji (#), a u vezi sa sl. 5b, zove se generalisani oblik klasinog iliintegralnog Omovog zakona za deo kola u kojem deluje ems.


4. Omov zakon za prosto kolo

U skladu s prethodnim, odseak A kvazilineinog strujnog kola izmeu taaka N i P (sl. 5a),predstavljen je ekvivalentnom rednom vezom naponskog generatora ems E (koja deluje od Nka P) i otpornika RA, ija otpornost predstavlja unutranju otpornost generatora Rg=RA (sl.5b). Napon UR=RAI (referentni smerovi za napon i struju su usaglaeni) predstavlja jednuelektrootpornu silu. Napon UPN izmeu prikljuaka generatora, takoe u elektrinom pogledupredstavlja elektrinu silu ekvivalentnu odseku A, jer se zamenom tog odseka naponom UPNne menja struja I u odseku B. Ovaj rezultat neko zove i teoremom o kompenzaciji, poto sepomou napona UPN u potpunosti moe zameniti funkcija odseka A. Iz relacije (#) vidimo ida je napon UPN=E-RAI=E-UR, kao elektrina sila jednak algebarskom zbiru elektromotorneE i elektrootporne sile UR=RAI pri emi se sabiranje sila vri u smeru od take N ka takiP (sl. 5b). U vezi odreivanja napona izmeu proizvoljno obeleenih prikljuaka A i B realnihgeneratora, mogu se razlikovati vie sluajeva (sl. 6), a odgovarajue jednaine (a) (h) zasvaki od njih navedene su nie.

E

IA

B

C

+

UR

E

IA

B

C

+

UR

E

IA

B

C+

UR

E

IA

B

C+

UR

E

IA

B

C+

UR

E

IA

B

C+

UR

E

IA

B

C

+

UR

E

IA

B

C

+

UR

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g) (h)

Rg Rg Rg Rg

RgRgRgRg

Sl. 6

( ): ( ) ( ) =AB A B A C C B R g A C R g C B

BA AB g

a U V V V V V V U E E R I V V U R I V V E

U U E R I

, ,


BA AB g

b U V V V V V V U E E R I V V U R I V V E

U U E R I

, ,

( ): ( ) ( ) = -AB A B A C C B R g A C R g C B

BA AB g

c U V V V V V V U E E R I V V U R I V V E

U U E R I

, , (&)


BA AB g

d U V V V V V V U E E R I V V U R I V V E

U U E R I

, ,


BA AB g

e U V V V V V V U E E R I V V U R I V V E

U U E R I

, ,

( ): ( ) ( ) = -AB A B A C C B R g A C R g C B

BA AB g

g U V V V V V V U E E R I V V U R I V V E

U U E R I

, ,


BA AB g

h U V V V V V V U E E R I V V U R I V V E

U U E R I

, ,


Iz relacija (&) vidimo da se algebarska vrednost napona izmeu UAB izmeu proizvoljno obeleenihprikljuaka A i B generatora uvek moe odrediti bez obzira na poloaj taaka A i B u odnosu naprikljuke P i N generatora kao algebarska suma svih elektrinih sila od take B do take A (BA). To znai da ako se referentni smer ems poklapa sa smerom B A nju pri sabiranju sila unosimokao E. Ako je referentni smer ems suprotan od smera B A tada nju pri sabiranju sila unosimo kao-E. Slino, ako se smer za sabiranje sila B A poklapa sa smerom struje (tj. "sile sabiramo nizstruju"), tada e u izrazu za napon figurisati proizvod RgI sa predznakom minus (tj. -RgI). Usuprotnom, kada je smer za sabiranje sila suprotan od smera struje (tj. "sile sabiramo uz struju"), uizrazu za napon figurisae proizvod RgI sa predznakom plus (tj. +RgI).

Dobijena relacija UPN=RBI u (#) predstavlja dobro poznat klasian, ili integralni oblik Omo-vog zakona. U skladu s tim, odseak B kvazilineinog kola izmeu taaka P i N (sl. 5a) pred-stavljen je odgovarajuim ekvivalentnim otpornikom RB (sl. 5b).

Na osnovu prethodnog i dobijene relacije (#) vidimo da se kvazilineino strujno kolo sa sl. 5a,na ekvivalentan nain moe predstaviti prostim elektrinim kolom sa koncentrisanim para-metrima (sl. 5b). Struja kola se neposredno dobija iz relacije (#), oemu govori:

(Omov zakon za prosto kolo) Intenzitet struje prostog kola sastavljenog od naponskog izvoraelektromotorne sile E i dva redno vezana otpornika dat je jednom od sledee dve relacije:

IE

R RE

R R A B g B

Omov zakon za prosto kolo kadasu smerovi ems i struje usagla{eni ,

A B g B

E EI

R R R R

Omov zakon za prosto kolo kadasmerovi ems i struje nisu usagla{eni

.

Omov zakon za prosto kolo direktna je posledica zakona o odranju energije, primenjenog naelektrino kolo. U to se uveravamo na sledei nain. Prema sl. 5b, uloena snaga idealnog napon-skog generatora je PE=EI, a snaga Dulovih gubitaka u otpornicima je PJ=(RA+RB)I2. Na osnovuzakona o odranju energije za prosto imamo da je PE=PJ, odakle za I0 odmah sledi Omov zakon.

Mnoenjem relacija (#) sa I 0 dobija se makroskopski bilans snaga kod prostog kola; UPNIje snaga koju odseak A ulae u B, a -UPNI snaga koju odseak B ulae u A:

Snaga koju odse~ ak A kolaula`e u odse~ ak B PN A BU I E I R I R I2 2 .

U sluaju kada odseak B nijeisto termogen, vepredstavlja deo nekog kola, mree ili siste-ma izmeu elektrinihvorova A i B, tada snaga UPNI, u optem sluaju, moe biti negativna i do-voljno velika po modulu, tako da snaga generatora EI=UPNI+RAI2 bude negativna. To znai da utom sluaju nije generator tj koji ulae energiju u kolo, vese on ponaa kao potroasa elektro-motornom silom. Takav sluaj sree se u praksi kod: (1) elektromotora i ureaja za elektromehani-ku konverziju energije, gde nastaju tzv. kontraelektromotorne sile i (2) punjaa akumulatora kodkojih se pozitivna uloena elektrina energija punjaa UPN(-I)t (I0), pretvara u hemijsku ener-giju akumulatora, koji predstavlja potroasa sopstvenom ems E i unutranjom otpornou Ri.


5. Optimalno prilagoenje prijemnika na generator u prostom kolu (prilagoenje po snazi)

Posmatrajmo prosto kolo prikazano na sl. 7a. Ako Rx , tada I 0 (generator radi u praz-nom hodu), a Ux=Ux()=E-RgI E Ux()=E je napon praznog hoda generatora. Meutim, ako jeRx=0 (prikljuci generatora su u kratkom spoju), tada je prema Omovom zakonu za prosto kolo,I=I(0)=E/Rg=Ux

()/Rg, pa sledi Rg=Ux()/I(0). Dakle, unutranja otpornost generatora Rg moe se od-

rediti kao kolinik njegovog napona praznog hoda Ux() i struje kratkog spoja I(0) pod uslovom dasu smerovi tih veliina usaglaeni. Mada je odreivanje Rg na opisani nain vrlo jednostavno, onose ipak ne preporuuje, jer struja kratkog spoja pri ovom ogledu moe dostii veliku vrednost, takoda toplota proizvedena usled Dulovih gubitaka (E2/Rg) moe dovesti do oteenja generatora. Zbogtoga se unutranja otpornost Rg generatora radije odreuje iz Omovog zakona prema relaciji Rg==Ux()-RxI/I, gde je Rx neka unapred poznata otpornost, a I izmereni intenzitet struje prostog kola.

E

Rg

Rx

I

U x

PrijemnikRealan naponski

generator

++

E1

E2

E3

Rg1

Rg2

Rg3

R1

R2

(a) (b)

R3

I Usvojen (referentni)smer struje kolaUg1

U g2

Ug3

U1

U 2

U3

1

23

4

56

+

+

Sl. 7

Za prosto kolo na sl. 7a poznatih parametara E i Rg odrediemo sada otpornost Rx prijemnika(tj. potroaa) tako da njegova snaga bude maksimalna. Za takav prijemnik kae se da je (optimal-no) prilagoen po snazi na generator. Jedinstvena dobijena vrednost za Rx 0 zove se uslov maksi-malnog prenosa snage ili uslov prilagoenja po snazi. Po Omovom zakonu za prosto kolo (sl. 7a)struja I i snaga Px prijemnika dati su relacijama:

IE

R RP R I E

RR R

E

RR

R

ER

FHG

IKJ

g x

x xx

g x2

xg

x

g( ), 2 2

2

2

2

4,

2

x x x gmaxg

Uslov prilagodjenja po snazikada je4EP P , R RR .

Za bilo koje Rx imamo da je snaga generatora PE=EI=E2/(Rg+Rx)=(4Px|max)/(1+Rx/Rg), prijemnikaPx= 4Px|max(Rx/Rg)/(1+Rx/Rg)2, a Dulovih gubitka u generatoru PJ=RgI2=4Px|max/(1+Rx/Rg)2. Izprethodnih relacija slede normalizovane vrednosti snage generatora PE(n)=PE/(Px|max)=4/(1+Rx/Rg),prijemnika Px(n)=Px/(Px|max)=4(Rx/Rg)/(1+Rx/Rg)2 i Dulovih gubitaka u generatoru PJ(n)=PJ/(Px|max)==4/(1+Rx/Rg)2. Stepen korisnog dejstva kola moe se definisati kao =Px(n)/PE(n)=(Rx/Rg)/(1+Rx/Rg).U sluaju kada je prijemnik prilagoen po snazi, redom se dobija: PE(n)(Rx=Rg)=2, Px(n)(Rx=Rg)==PJ(n)(Rx=Rg) =1 i Rx=Rg=1/2. Dakle, pri zadovoljenom uslovu prenosa maksimalne snage (tj.kada je Rx=Rg), dobija se da su snage Dulovih gubitaka u generatoru i prijemniku iste, a da je ste-pen korisnog dejstva kola jednak smo 0,5.


6. Omov zakon za (sloeno) kolo. Drugi Kirhofov zakon

Na sl. 7b prikazano je elektrino kolo sastavljeno od vie generatora i otpornika za kojeemoodrediti algebarski intenzitet struje I proizvoljno usvojenog referentnog smera. Uloena snaga svatri idealna naponska generatora sa ems E1, E2 i E3 jePE=E1I-E2I+E3I=(E1-E2+E3)I=(E)I, gdejeE=E1-E2+E3 algebarska suma ems generatora. Kada se referentni smer ems generatora pokla-pa sa referentnim smerom struje I, ta ems se unosi u sumu E sa pozitivnim predznakom (kao npr.E1 i E3), a kada su referentni smerovi ems generatora i struje I suproni, ta ems se unosi u sumuEsa negativnim predznakom (npr.-E2). Ukupna snaga Dulovih gubitaka u kolu je PJ=(R)I2, gdejeR=Rg1+Rg2+Rg3+R1+R2+R3 ukupna otpornost kola. Poto je na osnovu zakona o odranju ener-gije, odnosno trenutne snage, PE=PJ, to sledi da je algebarski intenzitet struje kola I=E/R.Dobijena relacija za struju zove se Omov zakon za kolo i iskazuje na sledei nain: algebarski in-tenzitet struje kola jednak je koliniku algebarske sume ems koje deluju u kolu i ukupne otpornosti.Ako se iz I=E/R dobije numeriki pozitivna vrednost za I, tada se usvojen (referentni) i stvarni(fiziki) smer struje poklapaju, a generatori koji deluju u tom smeru ulau energiju u sistem, dok seoni drugi ponaaju kao potroai sa ems. Meutim, ako se za algebarski intenzitet struje I dobije nu-meriki negativna vrednost, stvarni (fiziki) smer struje u kolu suprotan je od referentnog, a pret-postavljene uloge generatora se menjaju.

Do Omovog zakona za kolo moe se doi i preko napona izmeu taaka u kolu. Neki od njihoznaeni su na sl. 7b crtkastim linijama i mogu se odrediti pomou relacija (&) na str. 7, ibid. Obi-lazei po kolu u referentnom smeru struje odreuju se svi neophodni naponi Ug1, Ug2, Ug3, U1, U2 iU3, pomou kojih se generie isti izraz za intenzitet struje I kao i prethodno dobijeni:

U V V E R I U V V E R I U V V R Ig gg1 g2 1 2 1 1 1 3 2 2 2 4 3 1, , ,

U V V R I U V V E R I U V V R Ig2 g3 3 5 4 2 6 5 3 3 1 6 3, ,

U U U U U U V V V V V V V V V V V Vg1 g2 1 2 g3 3 ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 0 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 61

E R I E R I R I R I E R I R Ig g g1 1 2 2 1 2 3 3 3 0

IE E E

R R R R R RE

Rg g g

1 2 31 2 1 2 3 3

Omov zakon za kolo .

Poto znamo da odredimo napone na otpornicima i izmeu prikljuaka generatora, tada je la-ko odrediti i napone izmeu taaka i/ilivorova bilo koje mree sa vremenski konstantnim strujama.

U svakoj taki elektrinog kola stiu se samo po dva provodnika, dok kod elektrinih mrea,pored takvih taaka, postoje i one u kojima se stiu po tri i vie provodnika. Take u elektri-nim mreama u kojima se stiu najmanje tri provodnika zovu sevorovi. Deo mree izmeudva vora, koji ne sadri drugevorove, zove se grana mree. Broj vorova mree oznaavase sa n, a grana sa ng.

Posmatrajmo elektrino kolo na sl. 8a gde su ucrtani prozvoljno usvojeni referentni smerovistruje I i napona izmeu taaka. Tada je :

U V V E R I U V V E R I U V V R Ig A g1 g 1 g2 3 B,1 1 1 2 2 2 2 , ,


U V V E R I U E R IBAB A g3 ABB

A

B

A

3 U op{tem slu ~ aju pi{e se kao , (*)

gde je prema Omovom zakonu za kolo I=(E1-E2+E3)/(Rg1+Rg2+Rg3+R), dok su u optem sluaju

EB

A

i R IB

A

algebarske sume elektromotornih, odnosno elektrootpornih sila, respektivno,

formirane u referentnom smeru od take B do take A (B A) [u posmatranom sluaju putanjasumiranja ide preko generatora ems E3]. Ako se u optem sluaju referentni smer ems na putanjisumiranja poklapa sa smerom B A ona se u sumu unosi sa predznakom "+", dok se u suprotnomunosi sa predznakom "-". Ako se referentni smer struje poklapa sa smerom B A, proizvod RI seu sumu unosi sa predznakom "-", dok se u suprotnom unosi sa predznakom "+". Sa druge strane, sasl. 8a jasno je da vai i sledee:

U V V V V V V V V U U U E E R R R IAB A B A 1 1 2 2 B g g2 g1 g2( ) + ( ) + ( ) = ( ) 1 3 1 2 , (**)

A A

ABB B

1 2U smeru po putanji preko iB A, E EU E R I ,

gde su prethodne algebarske sume elektrinih sila formirane na isti ranije veopisani nain. Poto jeprema relacijama (*) i (**) I=(E3-UAB)/Rg3=(UAB+E1-E2)/(Rg1+Rg2+R), to se zakljuuje da je u op-tem sluaju napon UAB izmeu bilo kojih taaka A i B u kolu rezultantna elektrina sila jednakaalgebarskoj sumi elektromotornih i elektrootpornih sila raunatoj u referentnom smeru B A pobilo kojoj od dve mogue putanje izmeu tih taaka. Naponom UAB moe se zameniti bilo koji oddva dela kola izmeu taaka A i B, a da se u onom drugom delu struja ne promeni (sl. 8b i 8c). Tajrezultat zove se teorema kompenzacije u elektrinim kolima.

+

+

+ +

+

+

A

A

A

B

B

B

+

+Rg3

E3E3

Rg3

E1

E1

Rg1

Rg1

E 2

E2

Rg2

Rg2

I

I

I

E UBA AB

1

1

2

2

(a) (b)

(c)

R

R

UAB

UAB

Ug1

Ug2

U3

E UBA ABUAB

Sl. 8


(Definicija napona izmeu taaka i/ilivorova u termogenim elektrinim kolima i mreamasa vremenski konstantnim strujama) Napon UAB izmeu bilo kojih taaka i/ilivorova A i Bu termogenom elektrinom kolu ili mrei sa vremenski konstantnim strujama jednak je alge-barskoj sumi elektrinih sila od take B do take A (B A) po bilo kojoj putanji, tj.:

U E R I B AAB i j jji

Po bilo kojoj putanji , (#)

gde su Eii

i R Ij jj

algebarske sume elektromotornih, odnosno elektrootpornih sila,

respektivno, formirane duusvojene putanje, u referentnom smeru od take B do take A. Akose referentni smer ems na toj putanji poklapa sa smerom B A ona se u sumu (#) unosi sapredznakom "+", dok se u suprotnom unosi sa predznakom "-". U sumi (#) figuriu, ili strujakola, ili struje samo onih grana mree koje pripadaju usvojenoj putanji za sumiranje sila. Akose referentni smer struje Ij poklapa sa smerom B A proizvod RjIj se u sumu unosi sapredznakom "-", dok se u suprotnom unosi sa predznakom "+".

Iz relacije (#) uz uslov A B ( UAB=0 [V]) sledi da je algebarska suma elektrinih sila u bi-lo kojem termogenom elektrinom kolu, ili po bilo kojoj konturi termogene elektrine mree sa vre-menski konstantnim strujama, uvek ravna nuli. Ovaj rezultat je u teoriji elektrinih kola i mrea savremenski konstantnim strujama dobro poznat pod imenom drugi Kirhofov zakon:

Drugi Kirhofov zakon za termogena elektrina kola i mree sa vremenski konstantnimstrujama - Algebarska suma elektrinih sila u bilo kojem termogenom kolu, ili po bilo kojojkonturi termogene elektrine mree sa vremenski konstantnim strujama, uvek je ravna nuli:

E R Ii j jji

0 ,

gde su Eii

i R Ij jj

algebarske sume elektromotornih, odnosno elektrootpornih sila,

respektivno, formirane na prethodno opisan nain u prozvoljno usvojenom smeru obilaskakonture. Drugi Kirhofov, kao i Omov zakon, direktna je posledica zakona o odranju energijeprimenjenog na termogena elektrina kola i mree sa vremenski konstantnim strujama.

Drugi Kirhofov zakon moe se primenjivati ne samo kod termogenih kola i mrea sa koncen-trisanim parametrima i vremenski konstantnim strujama, vei kod mrea koje pored linearnih ot-pornika sadre i druge linearne i nelinearne pasivne elemente, kontrolisane izvore i vremenski pro-menljive generatore. To naravno, vai i za prvi Kirhofov zakon. Interesantno je da oba zakona vaeegzaktno samo kod termogenih mrea sa vremenski konstantnim strujama, a vrlo priblino kod mre-a sa sporopromenljivim strujama i naponima, u kojima vlada kvazistacionarno stanje (detaljnijerazmatranje ovih pitanja izlazi iz okvira ovog kursa, ali je zato temeljno razmotreno u udbeniku).

7. Strujni generatori. Ekvivalentne transformacije realnih naponskih i strujnih generatora

Posmatrajmo realan naponski generator vremenski konstantne ems E u prostom kolu na sl. 9asa vremenski konstantnom strujom I. Izmeu pozitivnog P i negativnog prikljuka N ovaj generatorse u elektrinim emama predstavlja rednom vezom idealnog naponskog generatora ems E i otpor-nika Rg, koji odgovara unutranjoj otpornosti generatora. Intenzitet struje I kola sa termogenim pri-jemnikom otpornosti R je I=E/(Rg+R), a napon prijemnika je U=RE/(Rg+R). Naponski generator jeidealan ako je Rg=0 []. Meutim, esto se u elektrotehnici sreu naponski generatori relativno


velike unutranje otpornosti Rg u odnosu na otpornost prijemnika R (RgR). U takvim sluajevimaintenzitet struje kola je I E/Rg, dok je napon prijemnika URE/Rg. Jasno je da se tada realannaponski generator ems E ponaa u odnosu na prijemnik kao generator struje Is=E/Rg odnosno, kaostrujni generator. U ovom sluaju struja prijemnika je unapred poznata i praktino nezavisna odnjegove otpornosti R. Na sl. 9b prikazan je realan strujni generator sa vremenski konstantnomstrujom Is i unutranjom otpornou Rs. Napon i struja prijemnika su respektivno U=IsRRs/(R+Rs) iI=U/R=IsRs/(R+Rs). Strujni generator je idealan kada Rs, odnosno ako Gs=1/Rs 0 [S].

+E

I

R U

P

N

(a)

Realannaponski generator Prijemnik

I

R U

P

N

(b)

Realanstrujni generator Prijemnik

I s

Rg

Rs

Sl. 9

Realan naponski generator uvek se moe zameniti ekvivalentnim realnim strujnim. I obrnuto,realan strujni generator uvek se moe zameniti ekvivalentnim realnim naponskim. Naravno, ovigeneratori se sutinski razlikuju, a kada se kae da su ekvivalentni misli se na njihovo ekvivalentnoponaanje u odnosu na isti prijemnik prikljuen izmeu P i N krajeva generatora. To znai da obageneratora proizvode struju istog intenziteta kroz prijemnik i isti napon na njegovim prikljucima.Realan naponski (sl. 9a) i realan strujni generator (sl. 9b) ekvivalentni su u odnosu na prijemnikotpornosti R ako i samo akoR0,) vai:

IE

R RI RR R

g

s s

s

, odakle sledi Kada Kadas s g sR E I R R R R 0 , tj.

Transformacija realnog strujnog generatora u realan naponski s s g sE I R R R ,

Transformacija realnog naponskog generatora u realan strujni sg

s gIER

R R .

Iz prethodnih transformacija sledi da za idealan naponski generator ( Rg=0 []) ne postojiekvivalentan strujni, i obrnuto, za idealan strujni generator ( Gs=1/Rs 0 [S]) ne postoji ekviva-lentan naponski generator. Prethodne transformacije veoma su vane sa praktinog stanovita i lakose modifikuju u optem sluaju kada umesto termogenih otpornosti Rg i R stoje:(1o) kompleksne impedanse generatora i prijemnika Zg i Z, respektivno, u sluaju kada je naponskigenerator koji deluje u kolu prostoperiodian i kada u kolu vlada ustaljen prostoperiodini reim,(2o) generalisane impedanse generatora i prijemnika Zg(s) i Z(s) (s-kompleksna kruna frekvencija),u najoptijem sluaju kada su varijacije ems naponskog ili struje strujnog generatora proizvoljnevremenske funkcije.

Inae, obe gore navedene i markirane transformacije imaju veliki znaaj u analizi elektrinihmrea, gde izbor metode reavanja zavisi od vrste, broja i poloaja generatora u mrei.


(a) Ekvivalentne transformacije grupe rednih generatora

Na sl. 10a prikazana je redna veza n vremenski konstantnih naponskih generatora (od kojih jebarem jedan realan). Napon UAB izmeu taaka A i B po definiciji je:

U E E E E R R R R IAB n-1 n g g g(n-1) gn( .. . ) +[ ... + ] 1 2 1 2 ,

odakle se zakljuuje: (1o) redna veza vie idealnih naponskih generatora ekvivalentna je idealnomnaponskom generatoru ems jednake algebarskoj sumi ems pojedinih generatora iz redne veze i (2o)unutranja otpornost ekvivalentnog generatora jednaka je aritmetikoj sumi otpornosti generatora izredne veze. Na sl. 10b i 10c prikazani su naponski generatori ekvivalentni rednoj vezi sa sl. 10a.Ems i unutranje otpornosti ekvivalentnih vremenski konstantnih naponskih generatora u sluajevi-ma (b) i (c) su:

(b) E E E E E 1 2 .. . n-1 n , (c) 1 2 n-1 n...E E E E E ,

(b i c) R R R R Rg g g g(n-1) gn... + 1 2 .

Meutim, kada u rednoj vezi na sl. 10a postoji barem jedan realan generator, tada je ta vezaekvivalentna realnim strujnim generatorima sa sl. 10d i sl. 10e,ije su struje i unutranje otpornosti:

(d) I E E E ER R R Rs

n-1 n

g g g(n-1) gn

...... +

1 2

1 2

, (e) I E E E ER R R Rs

n-1 n

g g g(n-1) gn

...... +

1 2

1 2

(d i e) R R R R R Rs g g g g(n-1) gn.. . + 1 2 ,

Generatori na sl. 10be ekvivalentni su meusobno i grupi rednih generatora sa sl. 10a.

+ + +A BE1 E2 E nRg1 Rg2 Rgn

UABI

+E EUAB UAB

+

Rg Rg

Is Rs RsIs

AI I I I

A A A

B B B B

(a)

(b) (c) (d) (e)

Sl. 10

(b) Ekvivalentne transformacije grupe paralelnih generatora

Posmatrajmo grupu realnih naponskih generatora na sl. 11a. Svaki od generatora iz grupe mo-e se na jedinstven nain predstaviti ekvivalentnim realnim strujnim generatorom na sl. 11b, gde je:

IER

G E GR

R R GR R

G j nsjj

gjgj j gj

gjsj gj sj

sj gjgj, ( )

1 1 11, , .


+ +

+

A

A

A

A

B

B

BB

(a)

(b) (d)

(c)

E1

+

E2 En

Rg1 Rg2 Rgn

Rg

E

Rs

Rs1 Rs2 RsnIs1 I s2 Isn

Is

Sl. 11

Ako se referentni smer realnog strujnog generatora, ekvivalentnog grupi sa sl. 11b, usvoji kao nasl. 11c, tada se sabiranjem struja generatora iz grupe u smeru Is dobija:

I I I I G E G E G E G G RGs s1 s2 sn g1 1 g2 2 gn n s sjj=1

n

ss

.. . . .. 1 .

Ako se referentni smer realnog naponskog generatora, ekvivalentnog strujnom sa sl. 11c,usvoji kao na sl. 11d, tada je:

g1 1 g2 2 g(n-1) n-1 gn ns s g s g1 g2 gnn n

ssj sj

j=1 j=1

... 1 1...

G E G E G E G EE R I R R R R R

GG G

.

Primer: Odrediti realan naponski generator ekvivalentan grupi generatora na sl. 12a.

+ + +

+ + +

+ + +

R R R

R

RRR

RR

E E E

E

EEE

EE

m identi~nih sekcija

nid

enti~

nih

sekc

ija

A B (a)

+

A B

mn

Rm E

(b)

Sl. 12

Prema navedenim transformacijama ako je n identinih realnih naponskih generatora na istinain vezano u paralelu, tada je ems ekvivalentnog generatora raunata u istom referentnom smerujednaka ems pojedinih generatora, dok je njegova unutranja otpornost n puta manja od unutranjeotpornosti paralelnih generatora. Na sl. 12a imamo n-tostruku paralelnu vezu po m identinih rednovezanih generatora. Na osnovu prethodnog neposredno se dobija da je realan naponski generator nasl. 12b ekvivalentan meovitoj grupi generatora sa sl. 12a izmeu taaka A i B.

Documents

Elektrokinetika 2