Upload
adnan-rachman
View
58
Download
7
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Elektromagnetika KoordinatElektromagnetika Koordinat
Citation preview
BAB 1BAB 1
A. SISTEM KOORDINATDisadur dari Magdy Iskander, Electromagnetic fields and waves
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aSistem koordinat
� Sebuah titik ditentukan oleh perpotongan 3 buah bidang yang saling tegak lurus
� Suatu vektor pada sistemkoordinat
1 - 2
� Suatu vektor pada sistemkoordinat dinyatakan dalam komponen komponen yang arahnya searah vektor satuan
� Vektor satuan adalah vektor dengan magnitude 1 dengan arah tegak lurus terhadap bidang koordinat konstant
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aSistem koordinat Cartesian (1)
1 - 3
� Sebuah titik P dinyatakan oleh P(x, y, z)
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aSistem koordinat Cartesian (2)
1 - 4
� Sebuah vektor P dinyatakan dengan :
zzyyxx PPP a a a P ++=
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aSistem koordinat Cartesian (3)
• P1(x, y, z)
• P2(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z)
• Panjang differensial dl
dllll = dx a + dy a + dz a
1 - 5
dllll = dx ax + dy ay + dz az
• Luas differensial
dsx = dy dz ax
dsy = dx dz ay
dsz = dx dy az
• Volume differensial
dv = dx dy dz
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
a
Sistem koordinat silinder (1)
1 - 6
� Sebuah titik P dinyatakan oleh P(ρ, ϕ, z)
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
a
Sistem koordinat silinder (2)
1 - 7
� Sebuah vektor P dinyatakan dengan :
zzPPP a a a P ++= φφρρ
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aSistem koordinat silinder (3)
1 - 8
� Perhatikan arah vektor satuan yang berubah di tiap titik
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aSistem koordinat silinder (4)
• P1(ρ, φ, z)• P2(ρ + ∆ρ, φ + ∆φ, z + ∆z)
• Panjang differensial dllll
dllll = dρ aρ + ρ dφ aφ + dz az
1 - 9
llll ρ φ z
• Luas differensialdsρ = ρ dφ dz aρ
dsφ = dρ dz aφ
dsz = ρ dρ dφ az
• Volume differensialdv = ρ dρ dφ dz
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aSistem koordinat bola (1)
1 - 10
• Sebuah titik P dinyatakan oleh P(r, θ, ϕ)
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
a
Sistem koordinat bola (2)
• Sebuah vektor Pdinyatakan dengan :
1 - 11
a a a P φφθθ PPP rr ++=
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aSistem koordinat bola (3)
• P1(r, θ, φ)• P2(r + ∆r, θ + ∆θ, φ + ∆φ)
• Panjang differensial dllll
dllll = dr ar + r dθ aθ +
1 - 12
dllll = dr ar + r dθ aθ +
r sin θ dφ aφ
• Luas differensialdsr = r2 sin θ dθ dφ ar
dsθ = r sin θ dr dφ aθ
dsφ = r dr dθ aφ
• Volume differensialdv = r2 sin θ dr dθ dφ
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aTransformasi Cartesian ke Silinder (2)
A = Ax ax + Ay ay + Az az
A = Aρ aρ + Aφ aφ + Az az
???
1 - 13
???Aρ = A . aρ = (Ax ax + Ay ay + Az az) . aρ
= Ax ax . aρ + Ay ay . aρ
Aφ = A . aφ = (Ax ax + Ay ay + Az az) . aφ
= Ax ax . aφ + Ay ay . aφ
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
a
Transformasi Cartesian ke Silinder (1)
� Car ke Silinder
zz ===
φφ
sinρy
cosρx
1 - 14
� Sil ke cartesian
zzx
y
yx
=
=
+=
−1
22
tanφ
ρ
zz =
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
a
Transformasi Cartesian ke Silinder (3)
1 - 15
aρ aφ az
ax . cos φ - sin φ 0
ay . sin φ cos φ 0
az . 0 0 1
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aTransformasi Cartesian ke Bola (1)
� Car ke Bola
θφθφθ
cos
sinsiny
cossinx
rz
r
r
===
1 - 16
x
y
zyx
z
zyx
1
222
1
222
tanφ
cosθ
ρ
−
−
=
++=
++=
� Bola ke cartesian
θcosrz =
x
ytan
zyx
zcos
zyx
1
222
1
222
φ
θ
r
−
−
=
++=
++=
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
a
Transformasi Cartesian ke Bola (2)
A = Ax ax + Ay ay + Az az
A = Ar ar + Aθ aθ + Aφ aφ
1 - 17
A = Ar ar + Aθ aθ + Aφ aφ
???Ar = A . ar = Ax ax . ar + Ay ay . ar + Az az . ar
Aθ = A . aθ = Ax ax . aθ + Ay ay . aθ + Az az . aθ
Aφ = A . aφ = Ax ax . aφ + Ay ay . aφ + Az az . aφ
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aTransformasi Cartesian ke Bola (3)
1 - 18
ar aθ aφ
ax . sin θ cos φ cos θ cos φ - sin φay . sin θ sin φ cos θ sin φ cos φaz . cos θ - sin θ 0
BAB 1BAB 1
B. INTEGRASI PADA VEKTORDisadur dari Magdy Iskander, Electromagnetic fields and waves
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aIntegral garis untuk besaran skalar
� Integral adalah
penjumlahan
� Pada sebuah contour (lintasan) c terdapat
1 - 20
� Pada sebuah contour (lintasan) c terdapat
besaran skalar A (llll )
� Untuk menghitung jumlah total dari besaran
A pada lintasan c dilakukan integrasi
( ) ( )∫∑ =∆=∞→
→∆c
N
iii
N
dAAi
lllll
10
Lim
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aIntegral garis untuk besaran vektor (1)
� Pada contour c
terdapat vektor-
vektor kecil
1 - 21
∑∫=
→
→∆
→∆=
N
i
i
ci
d1
0Lim lll
� Integrasi vektor pada contour c
menghasilkan vektor lurus dari titik a ke b
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aIntegral garis untuk besaran vektor (2)
� Salah satu aplikasi penting dari
pengertian integral garis untuk besaran
vektor di bidang elektromagnetik
adalah : Integral garis dari komponen
1 - 22
adalah : Integral garis dari komponen
vektor yang arahnya tangential
terhadap contour
� Notasi : ( ) ( ) ldzyxzyxc
tA ,,,,∫ ⋅
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aIntegral garis untuk besaran vektor (3)
1 - 23
� Berapa besar daya yang dibutuhkan untuk memindahkan muatan dari titik a ke b jika diberikan medan listrik seperti diatas ???
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aIntegral garis untuk besaran vektor (4)
1 - 24
� Rumus dasar daya : W = F . s = q E . S
� Karena arah medan listrik tidak searah denganarah lintasan yang akan ditempuh olehmuatan, maka utk menghitung daya total dibutuhkan interasi garis yg melibatkanbesaran vektor
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aIntegral garis untuk besaran vektor (5)
� Solusinya adalah dengan menghitung
daya di setiap segmen lintasan
E ∑ ∆α=→∆α=∆N
iiiiiii cosqWcosEqW ll
1 - 25
E 1∑
=
∆α=→∆α=∆i
iiiiiii cosqWcosEqW ll
∫
∑
⋅=
∆⋅==∞→
→∆
c
N
iii
N
dq
qWi
l
ll
Lim1
0
tE
tEKomponen E yang searah
dengan lintasan
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aIntegral garis untuk besaran vektor
pada sistem koordinat (1)
∫∫ ⋅=⋅cc
dd ll AtA
1 - 26
φθ
φρ
φθ+θ+=
+φρ+ρ=
++=
aaa
aaa
aaa
sin
drrddr
dzdd
dzdydxd
r
z
zyxl
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
a Integral garis untuk besaran vektor
pada sistem koordinat (2)
� Cartesian � A = Ax ax + Ay ay + Az az
� dl l l l = dx ax + dy ay + dz az
1 - 27
( ) ( )
( )
∫∫∫
∫
∫∫
++=
++=
++⋅++=⋅
2
1
2
1
2
1
z
z
z
y
y
y
x
x
x
zyx
zyxzzyyxx
c
dzAdyAdxA
dzAdyAdxA
dzdydxAAAd aaaaaaA l
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
a Integral garis untuk besaran vektor
pada sistem koordinat (3)
� Silinder� A = Aρ aρ + Aφ aφ + Az az
� dllll = dρ aρ + ρ dφ aφ + dz az
1 - 28
( ) ( )
( )
∫∫∫
∫
∫∫
+ρ+ρ=
+ρ+ρ=
+φρ+ρ⋅++=⋅
ϕ
φφ
ρ
ρρ
φρ
φρφφρρ
2
1
2
1
2
1
φ
φ
z
z
z
z
zzz
c
dzAdAdA
dzAdAdA
dzddAAAd aaaaaaA l
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
a Integral garis untuk besaran vektor
pada sistem koordinat (4)
� Bola� A = Ar ar + Aθ aφ +Aφ aφ
� dllll = dr ar + r dθ aθ + r sin θ dφ aφ
1 - 29
( ) ( )
( )
∫∫∫
∫
∫∫
ϕ
φφ
θ
θθ
φθ
φθφφθθ
φθ+θ+=
φθ+θ+=
φθ+θ+⋅++=⋅
2
1
2
1
2
1
sin
sin
sin
drArdAdrA
drArdAdrA
drrddrAAAd
r
r
r
r
rrr
c
aaaaaaA l
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aIntegrasi luas untuk besaran vektor (1)
� Penerapan : menghitung vektor yang
menembus suatu bidang dengan tegak lurus
� Differensial area ∆si yang terletak pada
bidang s
1 - 30
bidang s
� Distribusi garis vektor pada seluruh
permukaan bidang s dapat uniform dan atau
nonuniform
� Distribusi garis vektor pada differensial area
∆si dapat diasumsikan uniform
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
a
� Flux yang dihitung adalah yang arahnya
normal terhadap bidang ∆si
Integrasi luas untuk besaran vektor (2)
1 - 31
Tembus semua Tidak ada yang tembus
( )s
ss
∆⋅=α∆=∆α
nF
FF cos cos
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aIntegrasi luas untuk besaran vektor (3)
( )s
ss
∆⋅=α∆=∆α
nF
FF cos cos
1 - 32
∑=
∆α=N
iiii sF
1
cos listrik fluks garis alJumlah tot
∫ ⋅=s
dsF s area tembusyglistrik fluks garis alJumlah tot
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aIntegrasi luas untuk besaran vektor (4)
� Contoh : Diketahui vektor B pada suatu
sistem koordinat cartesian dimana
B = (x + 2) ax + (1 – 3y) ay + 2z az
� Hitunglah jumlah vektor B yang
1 - 33
� Hitunglah jumlah vektor B yang
menembus keluar kubus dengan batas
0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1; 0 ≤ z ≤ 1
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aIntegrasi luas untuk besaran vektor (4)
� Jawab : Jumlah vektor
B yang menembus
bidang kubus adalah
vektor B yang tegak
cd
g
z
h
1 - 34
vektor B yang tegak
lurus terhadap bidang
yang ditembusX
a b
fe
Y
� Untuk perhitungan digunakan persamaan
sbb :∫ ⋅=S
dsBB tembusyang
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aIntegrasi luas untuk besaran vektor (5)
∫∫∫
∫∫∫∫
+⋅+⋅+⋅
+⋅+⋅+⋅=⋅
dhgcaefbbfgc
aehdefghabcds
ddd
dddd
sBsBsB
sBsBsBsB
1 - 35
dhgcaefbbfgc
� Bidang abcd :
( ) ( )[ ]
2 2
2312
1
0
1
0
1
0
1
0
∫∫
∫∫∫
==
==
−=−=−
⋅+−++=⋅
yz
yzabcd
dzdydzdy
zyxd
x
zyx
a
aaasB
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aIntegrasi luas untuk besaran vektor (6)
� Bidang efgh :
( ) ( )[ ]23121
0
1
0
⋅+−++=⋅ ∫∫∫== yzefgh
zyxd zyx aaasB
1 - 36
3 3 1
0
1
0
== ∫∫== yz
dzdydzdy xa
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aIntegrasi luas untuk besaran vektor (7)
� Bidang aehd :
( ) ( )[ ]23121
0
1
0
⋅+−++=⋅ ∫∫∫== zxaehd
zyxd zyx aaasB
1 - 37
1 1 - 1
0
1
0
00
−=−= ∫∫==
==
zx
zxaehd
dzdxdzdx ya
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aIntegrasi luas untuk besaran vektor (8)
� Bidang bfgc :
( ) ( )[ ]23121
0
1
0
⋅+−++=⋅ ∫∫∫== zxbfgc
zyxd zyx aaasB
1 - 38
2 2 1
0
1
0
−=−= ∫∫== zx
dzdxdzdx ya
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aIntegrasi luas untuk besaran vektor (9)
� Bidang aefb :
( ) ( )[ ]23121
0
1
0
⋅+−++=⋅ ∫∫∫== yxaefb
zyxd zyx aaasB
1 - 39
0 0 - 1
0
1
0
== ∫∫== yx
dydxdydx za
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aIntegrasi luas untuk besaran vektor (10)
� Bidang dhgc :
( ) ( )[ ]23121
0
1
0
⋅+−++=⋅ ∫∫∫== yxdhgc
zyxd zyx aaasB
1 - 40
2 2 1
0
1
0
== ∫∫== yx
dydxdydx za
BAB 1BAB 1
C. MEDAN LISTRIK DAN MEDAN MAGNETDisadur dari Magdy Iskander, Electromagnetic fields and waves
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aDefinisi medan
� Medan berhubungan dengan suatu
daerah di dalam ruang (space)
� Pada suatu daerah dikatakan terdapat
medan jika terdapat suatu fenomena
1 - 42
medan jika terdapat suatu fenomena
fisik yang berhubungan dengan sebuah
titik yang terletak pada daerah
tersebut, contoh medan gravitasi
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Coulomb (1)
� Bersumber dari hukum gravitasi Newton secara umum
� Hukum Newton : setiap benda dengan massa m akan menarik benda lain yang bermassa m‘ yang terletak pada jarak R
1 - 43
bermassa m‘ yang terletak pada jarak R dengan gaya :
� G pada persamaan diatas adalah konstanta gravitasi, sedangkan a adalah vektor satuan dengan arah tangential thd garis yang menghubungkan kedua benda tsb
aF 2
'R
mmG=
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Coulomb (2)
� Dengan analogi dari hukum Newton, jika benda
tersebut merupakan benda yang bermuatan, gaya
tersebut disebut dengan gaya medan listrik
� Berdasarkan percobaan diketahui :
1 - 44
� Magnitude dari gaya medan listrik tsb proporsional terhadap
perkalian kedua muatan
� Magnitude gaya tsb berbanding terbalik dengan kuadrat jarak
kedua muatan
� Arah gaya tersebut paralel thd garis yang menghubungkan kedua
muatan
� Magnitude gaya tsb tergantung thd medium tempat kedua
muatan berada
� Muatan sama : menolak, muatan beda : menarik
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Coulomb (3)
Dimana untuk unit pada sistem SI :
• Q dinyatakan dengan coulomb (C)
12aF 221
R
QQk=
1 - 45
• Q dinyatakan dengan coulomb (C)
• F dinyatakan dengan Newton (N)
• R dinyatakan dengan meter (m)
• a12 adalah vektor satuan yang arahnya dari Q1 ke Q2
• k adalah konstanta proportionalitas, dimana :
εεεε0 = 8.854 x10-12 = 1/36ππππ x 10-9 F/m04
1πε
=k
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Coulomb (4)
� Arah vektor satuan pada F dapat dilihatdari sudut pandang F1 dan F2
� Fi adalah gaya yang diterima oleh Qi
1 - 46
122
211
aF
aF
221
221
R
QQk
R
QQk
=
=
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aIntensitas medan listrik (1)
� Jika Q2 diganti dengan sebuah muatan
kecil seharga q, dimana q merupakan
test charge, maka gaya listrik yang
dialami oleh q adalah : qQ
1 - 47
dialami oleh q adalah :
� Intensitas medan listrik E pada q
didefinisikan sbb :
122 aF 21
R
qQk=
12122
2 aaF
E 20
121
4 R
Q
R
Qk
q πε===
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aIntensitas medan listrik (2)
� Perhatikan gambar sbb :
� Jika terdapat 1 muatan Q,
maka arah medan listrik
yang dialami oleh titik-
1 - 48
yang dialami oleh titik-
titik sekitar Q adalah
mengarah keluar
� Sehingga persamaan
umum utk E adalah : RaE 204 R
Q
πε=
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
a
� Jika terdapat N buah
muatan, maka
besarnya intensitas
medan listrik yang
Intensitas medan listrik (3)
1 - 49
medan listrik yang
dialami oleh suatu
titik adalah
penjumlahan dari
setiap E yang ada
∑= πε
=N
iR
i
iiR
Q
12
04aE
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aRepresentasi flux dari medan vektor (1)
� Vektor dinyatakan dalam magnitude dan arah
� Penggambaran medan vektor yang baik
dilakukan dengan menggunakan flux
� Flux merupakan garis panah dengan panjang
1 - 50
� Flux merupakan garis panah dengan panjang
yang sama dimana panah menyatakan arah
medan vektor
� Kuatnya medan vektor dinyatakan oleh
kerapatan dari garis-garis panah. Semakin rapat
artinya medan semakin kuat
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aRepresentasi flux dari medan vektor (2)
JELEK BENAR : NONUNIFORM
BENAR : UNIFORM
1 - 51
� Untuk penggambaran yg lebih akurat, representasi dari garis flux dinyatakan oleh variabel D (rapat flux listrik) yang arahnya searah dengan E, dimana D = ε0 E
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aMedan Magnet - Sejarah
� Jenis lain dari medan vektor adalah medan magnet� Dapat dilihat pada serbuk besi yang mengalami
gaya jika didekatkanmagnet permanen � Oersted (1820) menemukan bahwa magnet yang
diletakandi dekat kabel yang berarus listrik akan
1 - 52
diletakandi dekat kabel yang berarus listrik akan bergerak sendiri sampai tegak lurus terhadap kabel
� Ampere menyatakan bahwa kawat yang berarus juga memberikan gaya pada kawat lain yg berarus dan gaya ini dapat digantikan dengan magnet
� Biot-Savart berhasil mengkuantisasikan rapat flux magnet B dengan arus listrik
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aMedan Magnet – Hk. Biot-Savart (1)
� hukum Biot-Savart mengkuantisasikan rapat flux magnet B yang dihasilkan oleh elemen arus diferesial I dl
� Dari percobaan diketahui bahwa gaya pada sebuah magnet yang disebabkan oleh flux Id
1 - 53
sebuah magnet yang disebabkan oleh flux magnet hasil dari sebuah kawat panjang dengan arus I adalah F = mB (analog dengan F = QE), dimana m adalah kuat medan dari kutub magnet
� Gaya dF yang dimiliki oleh flux magnet dB yang dihasilkan oleh elemen arus diferensial I dl(gambar belakang) memiliki karakteristik sbb :
Id
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aMedan Magnet – Hk. Biot-Savart (2)
� Harganya berbanding lurus
dengan perkalian dari arus,
magnitude dari panjang
diferensial, dan sinus sudut
antara elemen arus dan garis
1 - 54
antara elemen arus dan garis
yang menghubungkan elemen
arus dengan titik pengamatan P
� Harganya berbanding terbalik
dengan kuadrat jarak elemen
arus ke titik P
2
sin4
r
dImdmd o α
πµ== l
BF
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
a
Medan Magnet – Hk. Biot-Savart (3)
• Arah dari gaya adalahtegak lurus terhadapelemen arus dan garisdari elemen arus ketitik P
1 - 55
titik P
• µ0/4π adalah konstanta proportional
24
R
Idmdmd R
o π×µ== a
BFl
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aMedan Magnet – Penerapan (1)
Hitung besarnya rapat flux magnet B yang disebabkan oleh konduktor yang berbentuk loop (radius a) yang dialiri arus I pada titik P !!
1 - 56
Pa P
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aMedan Magnet – Penerapan (2)
1 - 57
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aMedan Magnet – Penerapan (3)
� Hitung rapat flux magnet di titik P yang
disebabkan elemen arus 1
( ) Idd
d RoRo
+π×µ
=π
×µ= φ aaaIB1
ll
1 - 58
� Hitung rapat flux magnet di titik P yang
disebabkan elemen arus 2
( )222 44
zaRd
+π=
π=B1
( )224 2
za
Idd Ro
+π×µ
= φ aaB 2
l
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aMedan Magnet – Penerapan (4)
� Komponen dB1 dan dB2 yang tegak lurus sumbu
z akan saling meniadakan
� Komponen dB1 dan dB2 pada sumbu z saling
menguatkan, yaitu | dB1 | sin θ dan | dB2 | sin θ
1 - 59
menguatkan, yaitu | dB1 | sin θ dan | dB2 | sin θ
( ) ( )
( ) 2/322
2
222222
4
4
4sin
za
dIa
za
a
za
dIa
za
dIad
o
oo
+πφµ=
++πφµ=
+πθφµ=zB
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aMedan Magnet – Penerapan (5)
� B didapat dengan mengintegralkan dBz
dari φ = 0 sampai φ = 2π
( )o dIa
dBB2 22
φµ== ∫∫
ππ
1 - 60
( )
( ) ( )
( ) zo
oo
o
za
Ia
za
Ia
za
Ia
za
dIad
aB
BB zz
2/322
2
2/322
2
2/322
2
02/322
0
2
2
2
4
4
+µ=∴
+µ=π
+πµ=
+πφµ== ∫∫
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Lorentz (1)
� Medan listrik dihasilkan oleh benda yang bermuatan listrik
� Medan listrik memberikan gaya kepada benda yang bermuatan baik yang
1 - 61
benda yang bermuatan baik yang bergerak ataupun yang diam sebesar :
F = Q E� Benda yang tidak bermuatan tidak akan
menghasilkan medan listrik sehingga tidak berinteraksi dengan medan listrik
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Lorentz (2)
� Medan magnet tidak dihasilkan oleh muatan magnet
� Medan magnet dihasilkan oleh muatan listrik yang bergerak
1 - 62
listrik yang bergerak
� Medan magnet hanya memberikan gaya kepada benda bermuatan yang bergerak sebesar :
F = Qv x B
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Lorentz (3)
� Gaya yang diterima oleh sebuah muatan yang
bergerak merupakan superposisi dari gaya karena
medan listrik dan medan magnet
F = Q (E + v x B) � Hk Lorentz
1 - 63
F = Q (E + v x B) � Hk Lorentz
� Gaya yang diberikan oleh medan magnet selalu
tegak lurus terhadap arah gerak muatan, shg gaya
ini tidak merubah kecepatan muatan
� Gaya yang diberikan oleh medan listrik
independen thd arah gerak partikel sehingga
komponen kecepatan pada arah medan listrik
dapat bertambah
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aPerbedaan medan listrik & magnet
� Dihasilkan oleh partikel yang bermuatan dalam keadaan diam atau bergerak
� Dapat dihasilkan oleh arus
listrik (searah ataupun
tidak) yang pd intinya
dihasilkan oleh partikel
Medan listrik Medan magnet
1 - 64
bergerak
� Arah dari gaya yang diterima adalah searah dengan garis yang menghubungan dua muatan, shg independen thd gerakan partikel
� Ada perubahan kecepatan
dihasilkan oleh partikel
bermuatan yang bergerak
� Arah gaya selalu tegak
lurus terhadap arah
kecepatan partikel
tersebut bergerak
� Tidak ada perubahan
kecepatan
BAB 1BAB 1
D. HUKUM MAXWELLDisadur dari Magdy Iskander, Electromagnetic fields and waves
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
a
Hukum Maxwell Bentuk Integral
� Bentuk integral -> lebih mudah
dimengerti secara fisik
� Menggambarkan secara matematis
medan magnet, medan listrik, dengan
1 - 66
medan magnet, medan listrik, dengan
muatan listrik dan distribusi arus
� Terdiri atas 4 buah hukum :
1. Hukum Gauss untuk medan listrik
2. Hukum Gauss untuk medan magnet
3. Hukum Faraday
4. Hukum Ampere
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Gauss untuk medan listrik (1)
� Mengkuantisasikan medan listrik dengan
distribusi muatan
� Hk. Gauss : Jumlah total flux listrik yang
memancar dari sebuah permukaan bidang
1 - 67
memancar dari sebuah permukaan bidang
yang tertutup sama dengan jumlah muatan
yang terlingkupi oleh permukaan tertutup
tersebut
E = intensitas medan listrik [V/m2] atau [N/C]ε0 = permitivitas udara = 8.854 x 10-12 [F/m]Q = muatan [C]
Qds
o =⋅ε∫ sE
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Gauss untuk medan listrik (2)
� Besaran Q dapat diganti dengan distribusi muatan per volume ρv [C/m3], dimana volume dv dilingkupi oleh luas ds
∫∫ ρ=⋅ε dvd sE
1 - 68
� Melalui hukum ini perhitungan total flux dari benda bermuatan dilakukan dengan membuat suatu bidang imajinasi yang melingkupi benda tsb � bidang gauss
∫∫ ρ=⋅εv
v
s
o dvd sE
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Gauss untuk medan listrik –
penerapan (1)
� Pada sebuah bola dengan radius ro terdapat
muatan yang terdistribusi secara merata.
Hitunglah medan listrik di dalam dan di luar bola.
� Untuk r > r0
1 - 69
� Untuk r > r0
r
r0ρv
s
∫∫ ρ=⋅εv
v
s
o dvd sE
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Gauss untuk medan listrik (4)
rrro
s
rro
s
o
ddrE
dEd
22 sin φθθ⋅ε=
⋅ε⇒⋅ε
π π
∫ ∫
∫∫
aa
sasE
1 - 70
( )[ ] roro
rrro
ErEr 20
2
0 0
4cos2 πε=θ−πε= π
=φ =θ∫ ∫
3
34
ov
v
v
v
v rdvdv πρ=ρ⇒ρ ∫∫
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Gauss untuk medan listrik (5)
32
34
4 ovro rEr πρ=πε
1 - 71
( )
( ) o2
3
o2
3
rr ,V/m 3
rr ,V/m 3
>ε
ρ==
>ε
ρ=
ro
ovrr
o
ovr
r
rE
r
rE
aaE
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
a
Hukum Gauss untuk medan listrik (6)
� Untuk r < r0
rr0ρρρρv
∫∫ ρ=⋅εv
v
s
o dvd sE
1 - 72
s
( )
( ) o
o32
rr ,V/m 3
rr ,V/m 3
34
4
<ε
ρ==
<ε
ρ=→πρ=πε
ro
vrr
o
vrvro
rE
rErEr
aaE
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
a
Hukum Gauss untuk medan magnet
� Hk. Gauss : Jumlah total flux magnet yang masuk dan keluar dari sebuah permukaan bidang yang tertutup sama dengan nol
B = rapat flux magnet [Wb/m2]
0=⋅∫s
dsB
1 - 73
tertutup sama dengan nol
� Garis flux magnet merupakan garis tertutup
[Wb/m ]
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Faraday (1)
� Oersted pada 1820 menemukan bahwa
arus menimbulkan medan magnet
� Faraday ingin membuktikan bahwa
medan magnet juga menimbulkan arus
1 - 74
medan magnet juga menimbulkan arus
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Faraday (2)
� Arus yang terukur hanya terjadi sesaat
sesudah on dan sesudah off
1 - 75
� Arus terjadi jika ada perubahan medan
magnet terhadap waktu
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Faraday (3)
� Medan magnet yang berubah thd waktu
menghasilkan medan listrik yang berputar
mengelilingi medan magnet.
� Medan listrik ini menggerakkan elektron
1 - 76
� Medan listrik ini menggerakkan elektron
pada loop penerima sehingga
menimbulkan arus listrik
∫∫ ⋅−=⋅=sc
ddt
ddemf sBE l
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Faraday (4)
� Hubungan antara contour c dan permukaan
s mengikuti kaidah tangan kanan
1 - 77
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Faraday – Penerapan (1)
� Diketahui konduktor berbentuk loop persegi
empat ditempatkan normal terhadap rapat flux
magnet B = Bo cos ωt az . Tentukan besarnyaemf pada loop tersebut, dan bandingkan variasi
1 - 78
emf pada loop tersebut, dan bandingkan variasi
waktu dari total magnetic flux dengan emf.
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Faraday – Penerapan (2)
� Hitung total flux magnet ψm yang
menembus loop
dydxtBda
x
b
y zzo
s
m ⋅ω=⋅=ψ ∫ ∫∫ = = cos
0 0aasB
1 - 79
� Hitung emf dengan hukum Faraday
tBabdydxtB o
a
x
b
yo
x ys
ω=ω= ∫ ∫
∫ ∫∫
= =
= =
cos cos0 0
0 0
tBabdt
dd
dt
ddemf om
sc
ωω=ψ−=⋅−=⋅= ∫∫ sin sBE l
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Faraday – Penerapan (3)
� Perbandingan variasi t antara ψm dan emf
tBabd osm ω=⋅=ψ ∫ cos sB
1 - 80
tBabemf o ωω= sin
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
a
� Pada saat flux magnetik yang menmbus loop menurun (½ periode pertama), emf berhargapositif
� Artinya emf akan menghasilkan arus yang nantinya menghasilkan medan magnet yang
Hukum Faraday – Penerapan (4)
1 - 81
nantinya menghasilkan medan magnet yang arahnya out of paper yang bertujuan untukmenambah flux magnet yang menembus padaloop
� � Hukum LENZ : emf hasil induksi akanmemiliki arah yang akan melawan perubahanyang terjadi pada medan magnet yang menghasilkannya.
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Ampere (1)
� Hasil integral garis dari rapat
flux magnet sepanjang
countour c adalah sama
dengan jumlah arus yang
1 - 82
dengan jumlah arus yang
menembus bidang s yang
dilingkupi contour c
� Arus ada 2 jenis :1. Arus konvensional disebabkan pergerakkan elektron
2. Arus yang disebabkan oleh adanya perubahan thd waktu jumlah flux listrik yang menembus bidang s �arus pergeseran
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aHukum Ampere (2)
∫∫∫ ⋅ε+⋅=⋅µ s osc
o
ddt
ddd sEsJ
Bl
Aruskonvensional
Aruspergeseran
1 - 83
konvensional pergeseran
� B = rapat flux magnet [Wb/m2]
� J = rapat arus [C/det.m2] atau [A/m2]
� E = intensitas medan listrik [V/m]
� ε0 = permitivitas udara = 8.854 x 10-12 [F/m]
� µ0 = permeabilitas udara = 4π x 10-7 [H/m]
� dllll = vektor panjang differensial
� ds = vektor luas differensial
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aArus pergeseran (1)
� Merupakan besaran
matematis yang ditemukan
oleh Maxwell sehingga
I
C
S1
1 - 84
hukum Ampere dapat
berlaku secara umum
� Salah satu aplikasi yang
membutuhkan besaran ini
dalah pada keping kapasitor
S2
I
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aArus pergeseran (2)
� Besarnya arus yg menembus S1I
C
S1
( )I
B1
=⋅µ∫ Sc
o
dl
1 - 85
� Besarnya arus yg menembus S2
dimana S2 melewati tengah
keping kapasitorS2
I
o
( )0
B2
=⋅µ∫ Sc
o
dl
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aArus pergeseran (3)
� Berarti hukum Ampere tidak berlaku umum
karena bentuk permukaan yang terlibat dalam
perhitungan harus tetap
� Untuk itu, Ampere menyatakan bahwa antara
1 - 86
� Untuk itu, Ampere menyatakan bahwa antara
keping kapsitor terdapat arus pergeseran :
� Karena hukum Ampere bersifat umum maka :
( )( )
∫∫∫ ⋅∂ε∂=⋅
µ 22
sEB
S
o
Sco
dt
d l
( ) ( )∫∫ =21 ScSc
( )∫∫ ⋅
∂ε∂=
2
sE
IS
o dt
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aArus pergeseran (3)
� Darimana asal persamaan arus
pergeseran ?
Q = (ρv) (volume) = (ρs) (luas)
1 - 87
Q = (ρv) (volume) = (ρs) (luas)
( ) Jluas
luas =ρ=→ρ==dt
dI
dt
d
dt
dQI s
s
( )∫∫ ⋅ε=⋅→ε=ρ=
s os
os ddt
dd
dt
d
dt
dsEsJ
EJ
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aKenapa Hk. Maxwell ??? (1)
� Hukum Maxwell terdiri atas 4 hukum(Gauss utk E, Gauss utk B, Faraday, danAmpere)
� Sumbangan Maxwell ‘hanya’ pada hukum
1 - 88
� Sumbangan Maxwell ‘hanya’ pada hukumAmpere berupa arus pergeseran
� Apa kontribusi dari arus pergesaran ???
dt
d od
EJpergeseran Arus
ε==
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aKenapa Hk. Maxwell ??? (2)
� Perhatikan hukum Faraday dan Ampere !
∫∫∫ ⋅ε+⋅=⋅µ s osc
o
ddt
ddd sEsJ
Bl∫∫ ⋅−=⋅=
sc
ddt
ddemf sBE l
1 - 89
� B berubah terhadap waktu menghasilkan E
� E yang dihasilkan oleh B yang berubah thd t juga bersifat berubah thd t
� E yang berubah terhadap t menghasilkan B
� E yang dihasilkan oleh B yang berubah thd t juga bersifat berubah thd t, dst �MEKANISME PERAMBATAN GELOMBANG
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aKenapa Hk. Maxwell ??? (3)
E, H, I
1 - 90
Dr.
Ir. C
hairu
nnis
aMedan statis
� Medan statis berarti medan yang harganya tidakberubah terhadap waktu
� Pada medan statis, hukum Maxwell berubahmenjadi :
1 - 91
� Tidak ada hubungan antara medan listrik danmedan magnet untuk kondisi statis
Qds
o =⋅ε∫ sE 0sJB +⋅=⋅
µ ∫∫ sco
dd l
0E =⋅= ∫c
demf l0sB =⋅∫s
d