TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL

INSENERITEADUSKOND

Elektroenergeetika ja mehhatroonika instituut

ELEKTROMAGNETILINE ÜHILDUVUS, MÜRAD JA MÕÕTMINE

LOENGUKONSPEKT JA ÜLESANDED

Lauri Kütt

Valminud Hariduse Infotehnoloogia Sihtasutuse IT Akadeemia programmi toel

Tallinn, 2019

1 Sissejuhatus ..................................................................................................................................... 4

1.1 Elektromagnetiline ühilduvus .................................................................................................. 5

1.2 EM-mõjutuste ülekandumine .................................................................................................. 6

1.3 EM-mõjutuse põhjustajad ja häirimise ilmingud..................................................................... 8

2 Elektriväli ja mahtuvus .................................................................................................................... 9

2.1 Elektriväli ................................................................................................................................. 9

2.2 Elektriväli ............................................................................................................................... 11

2.3 Laetud osakestega seotud energia ja potentsiaal ................................................................. 13

2.4 Elektriline mahtuvus .............................................................................................................. 14

2.5 Kondensaatori tööpõhimõte ................................................................................................. 15

2.6 Pinge muutumine kondensaatori klemmidel ........................................................................ 17

2.7 Vool kondensaatoris .............................................................................................................. 20

2.7.1 Kondensaatori vool ajas siinuseliselt muutuva pinge korral ......................................... 25

2.8 Mahtuvusega seotud näivtakistus (reaktiivtakistus) ............................................................. 30

2.9 Mahtuvuslikus süsteemis salvestunud energia ..................................................................... 30

2.10 Elektrivälja ja elektriahelate mõjutamise mehhanismidest .................................................. 32

3 Magnetväli ..................................................................................................................................... 34

3.1 Vooluga juhtide vaheline jõud ............................................................................................... 34

3.2 Magnetvälja tugevus ............................................................................................................. 34

3.3 Magnetvoo tihedus ............................................................................................................... 37

3.4 Magnetvoog .......................................................................................................................... 40

3.5 Aheldusvoog ja induktiivsus .................................................................................................. 44

3.6 Induktiivse ahela näivtakistus ............................................................................................... 46

3.7 Vastastikune induktiivsus ...................................................................................................... 47

4 Sagedusvald ja sagedusspekter ..................................................................................................... 54

4.1 Perioodilised signaalid, ajavald ja sagedusvald ..................................................................... 54

4.2 Fourier teisendus ajavallast sagedusvalda ja vastupidi ......................................................... 55

4.3 Fourier’ teisendusega saadud sagedusspektri piirangud ...................................................... 62

4.4 Diskreetne Fourier’ teisendus (DFT) ...................................................................................... 63

4.5 DFT piirangud ja võimalused ................................................................................................. 66

5 Komponentide ja ahelate vaade laias sagedusribas...................................................................... 68

5.1 Kondensaatori laiaribaline mudel ......................................................................................... 68

5.2 Induktiivpooli aseskeem laias sagedusribas .......................................................................... 70

5.3 Kondensaatori näivtakistuse hetkväärtus ............................................................................. 71

6 Täiendav ja kasutatud kirjandus .................................................................................................... 76

1 Sissejuhatus

Iga seade aja süsteem meid ümbritsevas ruumis töötab ka teatud elektromagnetilises (EM)

keskkonnas. Selline keskkond mõjutab ühelt poolt kõiki seal talitlevaid elektriahelaid aga samamoodi

kõikide elektriahelatega seotud protsessid mõjutavad ka keskkonda. Mõjutus toimub läbi elektri-,

magnet- ja/või elektromagnetväljade. Kiirguslikus väljaolukorras E/M/-väli levib ilma konkreetse

juhtivusliku leviteeta. Juhtivuslikus stsenaariumis levib EM-mõjutus läbi juhtivuslike ahelate ja

kontuuride.

Teatud süsteemi / seadme häirimiseni EM-mõjutuse tõttu saab rääkida siis kui süsteemis ilmneb selle

mõjutuse tõttu väärtalitlus. Viimase defineerimine on keeruline ja üldises plaanis on ka väärtalitluse

ilmnemine seotud tõenäosusega – erinevates talitlusolukordades võivad seadmete ja süsteemide EM-

immuunsuse parameetrid olla vägagi erinevad. Kuid selles samas üldises plaanis on selge ka see, et

väärtalitluseni viib ilmselt kõige nõrgema alamosa/ahela häirumine.

Heade tulemusteni jõudmine süsteemide töökindluse kaalutlustel on pea alati seotud nõrgimate lülide

leidmisega ja korrigeerimisega. See kehtib mh EM-keskkonna mõjutustega arvestamisel, siin tuleb

ühelt poolt selgitada need ahelad ja alamosad, mis töötavad kõige nõrgimate sisenditega. Erinevate

füüsikaliste suuruste mõõtmisel võime kohata mõõteväärtuseid, mille absoluutsed suurused või

muutumisvahemikud jäävad millivoltide piiridesse (nt tensoandurid, termopaarid). Selliselt andurilt

tulevat signaali mõõtva sisendi mõjutamine õnnestub väga lihtsalt. Näiteks tööstuses on üheks

tuntavaks müraallikaks sagedusmuundurid; nende lülitustalitluses töö suurtel vooludel ja

märkimisväärsetel pingetel pakub kõrvaloleva sensoriahela sisendite jaoks potentsiaalselt liigpingeid

tähistavaid mõjutusi.

EM-mõjutused avalduvadki müradena – reaalses maailmas on müra alati olemas, kuid halvasti

planeeritud süsteemis võib EM-müra ka põhjustada mõõtetäpsuse kadu. Mõõteahelate planeerimisel

tuleb müradega arvestada juba mõõtesuuruse vaatlemisel (nt mehaaniline vibratsioon, temperatuur),

samas täpsete mõõtmiste läbi viimiseks tuleb elektrilisi mõõteahelaid väga korrektselt planeerida –

jälgida tuleb nii kaabelduse topoloogiat, elektritoite parameetreid, varjestust jpm. Ahelaid tuleb

vaadelda selleks terviklikult, arvestades ka muidu tabamatuid hajaparameetreid ja –komponente. Et

siit tulenev keerukuse kasv on meeletu, siis on vajalik ka teatud analüüsi- ja lihtsustusvõtete

rakendamine.

Antud õppeaine annab ülevaate põhimõtetest, millega arvestada erinevate süsteemide planeerimisel

ja ehitamisel – eesmärgiga tagada esmalt EM-keskkonnas töökindel süsteem ja seejärel selle süsteemi

kõrgemad parameetrid. Selleks vaatleme süsteemides avalduvate EM-mõjutuste allikate sisu,

vaatleme nende mõjutuste üle kandumist ja mõõtmist/hindamist. Tutvustatakse EM-mõjutuste

tulemusena esinevate mürade ohjamise viise, sh füüsilise topoloogia planeerimist, filtreerimist ja

varjestamist. Õppeaine viimases osas on vaadeldud töökindlate ja väikese müraga töötavate

mõõteahelate koostamise põhimõtteid.

1.1 Elektromagnetiline ühilduvus

Elektromagnetväljade ja nende poolt avalduva mõjutuse aluskontekstis tuleb eristada kahte

stsenaariumit:

- Emissioon on seadme/süsteemi poolt põhjustatud mõjutuse genereerimine ja/või algatamine.

See tähendab, et teatud seade/süsteem on mõjutava elektromagnetvälja või elektrilise

suuruse põhjustaja. Emiteeritud mõjutus võib jõuda teiste seadmete/süsteemideni, sinna

jõudnuna põhjustada ebasoovitud olukorra tekkimist, mis talitlust häirib – sellisel juhul on

emiteeritud mõjutus vaadeldav kui häiring. EMÜ kontekstis peetakse häiringuks peaaegu

mistahes EM-mõjutust, millel on teoreetiline potentsiaal olla häiriv.

- Immuunsus on seadme/süsteemi omadus talitleda ilma kõrvalekalleteta EM-keskkonnas, kus

esineb teatud tasemel EM-mõjutus. Immuunsus näitab, millisel tasemel EM-mõjutuse

esinemise korral EM-keskkonnas jätkab süsteem (veel) tööd, ilma et tema talitlus nimetatud

EM-mõjutusest oleks sõltuv.

Talitluse kontekstis tuleb siin mõista seadme/süsteemi funktsionaalset eesmärgipärast

talitlust, sh talitlusparameetrite ja stabiilsuskriteeriumide säilitamist.

Üldised kaubandus- ja rakendusreeglid sätestavad, et kaubanduslikult pakutavad ja meie ümber

talitlevad süsteemid peaksid olema elektromagnetiliselt ühilduvad, see tähendab et

- nende EM-emissioon on (alati) tasemel, millega nad potentsiaalselt ei põhjusta neid

ümbritsevatele süsteemidele/seadmetele mõjutusi, mis võiksid viia nende talitluse

häirimiseni;

- nende immuunsus EM-mõjutustele on piisaval tasemel, et nende talitlus ei häiruks erinevates

oodatavates ja/või tõenäolistes EM-keskkonna olukordades.

Tegelikkuses võib nimetatud tingimuste täitmine olla vägagi keeruline. Kuna reaalse ümbritseva

keskkonna, sh teiste seadmete töö eripärade, neist lähtuva emissiooni ja samas seadmete/süsteemide

talitlusolukorra mõistmine ja EM-kontekstis analüüs sisaldab tohutus koguses üksikasju, on tihtipeale

teostatav suhteliselt ebatäpsete hinnangute läbi. Kõikide üksikasjade arvesse võtmine siin ei ole

üldisemal juhul võimalik ega isegi mõistlik. Seepärast loetakse eelduslikult süsteemid/seadmed

- piisavalt EM-vaikseks, st omama potentsiaalselt mittehäirivat EM-emissioonitaset, kui need

läbivad teatud seadistuses läbi viidud katsed ja nendel katsetel kinnitatakse, et nende EM-

emissioonitase on teatud suurustest allpool;

- piisavalt EM-tugevateks, st omama piisavat immuunsustaset tõenäolistele oodatavatele EM-

mõjutustele, kui need läbivad teatud seadistuses läbi viidud katsed ja nendel katsetel

kinnitatakse, et nende talitlus ei ole mõjutatud teatud tugevusega EM-mõjutustest.

Kui seadmed/süsteemid kinnitatakse piisavalt EM-vaikseteks ja EM-tugevateks, siis loetakse need ka

elektromagnetiliselt ühilduvateks.

1.2 EM-mõjutuste ülekandumine

EM-mõjutuste ülekandumisel allikast vastuvõtjasse on neli peamist leviteed, nagu näidatud alloleval

joonisel (vt Joonis 1-1). Allikana on siin käsitletud EM-emissiooni algatajat ja vastuvõtjaks on

seade/süsteem, milleni EM-mõjutus levib.

1 – kiirguslik levitee

allikast otse vastu-

võtjasse.

2 – kiirguslik levitee

allikast vahetult

vastuvõtjasse läbi viimase

üheduskaablite;

3 – kiirguslik levitee allika

kaablitest vahetult vastu-

võtjasse.

4 – juhtivuslik levitee

(toite)kaabli kaudu

vastuvõtjasse.

Joonis 1-1. EM-mõjutuste peamised 4 ülekandeviisi.

Erinevaid peamisi leviteid saab iseloomustada järgmiselt:

1) Seadmest-seadmesse kiirgusliku ülekande näideteks on erinevad raadiosidet kasutavad

seadmed. Need kasutavad info edastamiseks teatud tugevusega EM-välja, mis kiiratakse välja

kasutades spetsiaalseid komponente – antenne. Sideks vajalik EM-välja tugevus on reeglina

kordades kõrgem, kui on seadmete endi talitlusüksuste poolt emiteeritud EM-välja tugevus.

Näiteks siin oleks seadmest-seadmesse üle kanduva häiringu sümptomiks see, et allika poolt

andmete edastamise korral oleks tajutavad mitmed talitluse muutused vastuvõtjas.

Üks otsekohesemaid viise sellise ülekandeviisiga häiringute vastu on seadmete, nii allika kui

vastuvõtja varjestamine.

2) Allikast vastuvõtja kaablitesse ja kaablite kaudu sisse juhitud EM-mõjutus on tihtipeale oluliselt

tõenäolisem ja vastuvõtja jaoks intensiivsem. Kaablid võivad ulatuda vastuvõtjast kaugele ja

nende pikkuse tõttu võivad nad juba suhteliselt väikese väljatugevuse korral koguda kaabliga

seotud sisendi jaoks sisendi olekut muutva pinge väärtuse.

Sellise ülekandeviisi häiringute vastu aitab vastuvõtja sisendite filtreerimine ja kaablite õige

ülesehitus, sh varjestamine. Allika poolelt, allika varjestamine.

3) Allika kaablitest otse vastuvõtjasse vajab üldiselt suhteliselt suurt häirivat stiimulit kaablite

juurest. Sellised juhtumid on näiteks seotud suurte voolude ja halvasti kujundatud kaablite

kasutamisega. Võimalik stsenaarium on näiteks sagedusmuunduritega süsteemide juures, kus

mootori toitekaablites on muunduri pooljuhtkomponentide lülitusprotsessidega seotud

siirdeprotsessidega seotud EM-väljad.

Sellise ülekandeviisi nõrgestamiseks on vajalik kaablite varjestamine ja filtreerimine.

4) Toitekaablite kaudu allikast vastuvõtjasse ülekandeviis on teostatud läbi juhtivusliku

mehhanismi. Selle ülekandeviisi eripära on suhteliselt madalate sagedustega mõjutuste ja ka

staatiliste mõjutuste ülekandumine.

Sellise EM-mõjutuse ülekandeviisi vastu on võimalik toiteliine ja toiteväljundeid-sisendeid

filtreerida.

EM mõjutuse ja selle levimise kontekstis on oluline märkida järgmist:

Kiirguslik ülekandeviis on tihtipeale suhteliselt keeruliselt kirjeldatav. Kiirguslik EM-

emissioon tihtipeale on kas otseselt välja allikate enda ebatäpsuse või kaardistamata

nüansside tulemus. Kiirguslikku emissiooni saab teatud täpsusega hinnata näiteks

spetsiifiliste EM-välja modelleerimisprogrammidega, millesse sisestatakse meid huvitava

süsteemi/seadme geomeetria. Elektrilist lihtsamat aseskeemi sellele esitada on suurusjärk

keerulisem.

Immuunsuse tagamine kiirguslikele häiringutele on veelgi keerulisem, kuna lisaks süsteemi

enda geomeetriale tuleb arvestada ka erinevaid funktsioone ja talitlustingimusi. Sarnaselt

kiirguslikule EM-emissioonile, on EM-immuunsuse puudujääk tihtipeale on kas otseselt

välja allikate enda ebatäpsuse või kaardistamata nüansside tulemus.

Erinevate EM-mõjutuste levimise ja potentsiaalset häiriva mõju, sh selle mõju vähendamiseks tuleb

arvesse võtta, et EM-väljade emissioon ja immuunsus on sageli teineteist täiendavad ülesanded. Väga

sageli süsteemid, mis on EM-vaiksetena kavandatud, on ka EM-mõjutuste suhtes kõrge

immuunsusega.

1.3 EM-mõjutuse põhjustajad ja häirimise ilmingud

EM-mõjutuste põhjusteks on

- Vahetud elektriväljaefektid – paigutades teatud ahela elektrivälja, muudab see elektriahela

juhtide potentsiaali.

Siin on mõjutamise skeem sageli vaadeldav kui kondensaatorite ja enamasti ka mahtuvuslike

pingejagurite süsteem.

- Vahetud magnetväljaefektid – paigutades teatud ahela magnetvälja, muudab see elektriahela

juhtide voolu.

- Elektrivälja muutumisest tingitud efektid – paigutades teatud elektriahela (osa) muutuva

elektriväljaga keskkonda, hakkab skeemis voolama ka vool, mis on selles süsteemis olevate

mahtuvuste ümber laadimise vool.

Kõige tõhusaimad EM-mõjutuste põhjustajad saab kirjeldada ära kahe peamise reegliga:

1) Faraday seadus

( )( )

d te t

dt

2) Elektrilise mahtuvuse laengu muutmise seos

( )( ) C

du ti t

dt

Antud seosed kirjeldavad ühelt poolt ära EM-valdkonna duaalse iseloomu (elektri- ja magnetväljade

omavahelise koosmõju), kujutades väga suurt lihtsustust Maxwelli võrranditest.

Ühtlasi, antud reeglid ütlevad, et mida kiirem on muutus, seda intensiivsem EM-mõju. Suurimad

muutumiskiirused elektrilistes ahelates kaasnevad nende siirdeprotsessidega, mis on seotud millegi

sisse- ja väljalülitamisega. Siia alla kuuluvad nii

Koormuste lülitamisest tingitud siirdeprotsessid;

Lülitustalitluses süsteemide tööga seotud siirdeprotsessid (sh jõuelektroonikas

kasutatavad lülitusmuundurid, digitaalsüsteemid);

Looduslikud/keskkonnast tingitud impulsid ja mürad (sh pikne, staatiline elekter)

2 Elektriväli ja mahtuvus

2.1 Elektriväli

Iga kahe elektrilaengu kandja vahel esineb alati teatud suurusega mehaaniline jõud. Vähim elektrilise

laengu kandja on elektron, mis kannab negatiivset laengut ja prooton, mis kannab positiivset laengut.

Elektroni laeng on 1,6 · 10-19 C (kulonit). Elektron ja prooton esindavad samasuure, kuid erimärgiliste

laengutega osakesi. Laenguga osakeste omavaheline mõju avaldub läbi neile mõjuva mehhaanilise jõu.

Kahe samamärgilise laengu puhul esineb tõukejõud ning kahe erimärgilise laengu vahel tõmbejõud.

Laengukandjate ja suuremate laengut omavate osakeste vahel esineva jõu leidmiseks saab kasutada

Coulomb’i seadust

221

r

QQkF C

(1)

kus Q1 ja Q2 on laengukandjate/laetud osakeste laeng (ühik kulon, C), r on laengute vaheline

kauguskaugus (ühik meeter, m), võrdetegur

04

1

Ck (2)

on tuntud ka kui Coulomb’i konstant. Selles sisalduv dielektriline konstant ε0 on keskkonna omaduste

iseloomustaja, ka dielektriline konstant, mille mõju avaldub suuremate struktuuride suhtes. Vaakumis

on dielektriliseks konstandi väärtuseks ε0 = 8,85*1012 F/m. Antud juhul on Coulombi konstandi

väärtuseks kC = 8,987 · 109 (N·m2)/C2 ~ 9,0 · 109 (N·m2)/C2.

Laengute vaheline jõud avaldub kahe mistahes elektrilise laengu või laetud keha vahel, võrdse

suurusega, kuid suunatuna alati mööda kahte keha ühendavat otseteed. Jõud on seega vektoriaalne

suurus, vektorkujul

321r

rQQkF C

(3)

kus r^ on kahe laengu vaheline suunavektor.

Näide 1.

Vaatleme kahte laetud osakest, millel on elektroni laenguga võrdne laeng, kuid esimesel osakesel on

see negatiivse väärtusega, Q1 = – 1,6 · 10-19 C ning Q2 = + 1,6 · 10-19 C. Olgu esimesel juhul laengute

omavaheline kaugus 1 mm = 0,001 m. Leiame, kui suur jõud mõjub punktlaengule Qc, mis asub samas

sihis kahe teise laenguga, kuid paikneb negatiivsest laengust 10 cm = 0,1 m kaugusel, ning mis omab

laengut + 1,6 · 10-19 C (vt Joonis 2-1).

Joonis 2-1. Näitestsenaarium juhtumist, kus laengud Q1 ja Q2 paiknevad lähestikku.

Lahendus.

Ülesande lahendamiseks tuleb arvesse võtta, et erinevate laengute vahelised jõud superposit-

sioneeruvad, s.t nende mõjud ühele laengule summeeruvad. Seega, et leida laengule Qc mõjuv

jõud, tuleb summeerida jõud Qc ja Q1 ning Qc ja Q2 vahel.

26

2

19199

221103,2

1,0

110110110987,8

r

rQQkF PCQcQ N.

26

2

19199

22210255,2

101,0

110110110987,8

r

rQQkF PCQcQ N.

Summaarne laengule Qc mõjuv jõud on

2821 1053,4

QcQQcQQc FFF N.

Siin on laenguga QC seotud jõud u. 50 korda väikesem, kui näiteks Q1 poolt QC-le avaldatav jõud

ilma Q2-ta süsteemis. Q1 ja Q2 omavaheline mõjuv jõud, ilma QC juuresolekuta, on

FQ1Q2 = 2,3 · 10-22 N. See jõud mõjub laenguid kokku viivas suunas. Lisades süsteemi QC, muutub

Q1 ja Q2 jaoks mõjuv jõud vastavalt FQcQ1 ning FQcQ2 võrra, mis on u. 1000 korda väikesem kui

FQ1Q2. Seega on sellises süsteemis laengute omavahelise mõju märkimisväärseks muutmiseks

vajalik märkimisväärselt suurema välise laengu mõju kui seda on antud juhul QC.

Näide 2.

Suurendame nüüd laengute Q1 ja Q2 vahelist kaugust 0,1 m-ni. QC paikneb endiselt negatiivsest laengust 10 cm = 0,1 m kaugusele ning omab laengut + 1,6 · 10-19 C (vt

Joonis 2-2)

Joonis 2-2. Näitestsenaarium juhtumist, kus laengud Q1 ja Q2 paiknevad teineteisest eemal.

Lahendus.

Jõudude arvutamiseks rakendame Colulomb’i seadust

26

2

19199

221103,2

1,0

110110110987,8

r

rQQkF PCQcQ N

27

2

19199

2221075,5

2,0

110110110987,8

r

rQQkF PCQcQ N

Summaarne laengule QC mõjuv jõud on

NFFF QcQQcQQc26

21 1073,1 ,

Mis on ainult 1/3 võrra väikesem, kui Q1 poolt mõjuv jõud.

Q1 ja Q2 omavaheline mõjuv jõud, ilma QC juuresolekuta, on FQ1Q2 = 2,3 · 10-26 N. See jõud mõjub

laenguid kokku viivas suunas, lisaks on see ka laengule Q1 ja Q2 mõjuva jõu väärtuseks

(FQ1 = 2,3 · 10-26 N, FQ2 = 2,3 · 10-26 N). Lisades süsteemi QC, muutub Q1-le mõjuva kogujõu

väärtuseks FQ1 = 0 N ning Q2-le mõjuv kogujõud FQ1 = 1,73 · 10-26 N. Seega süsteemis, kus Q1

ning Q2 vaheline kaugus on võrreldav kaugusega QC-ni, on Q1 a Q2 vaheline jõud ja ühtlasi

elektrivälja tugevus lihtsalt mõjutatav QC poolt.

2.2 Elektriväli

Kui reaalse laengutevahelise mõju leidmiseks on vaja suhteliselt täpset konteksti, sh vastastikmõjus

osalevate laengute täpseid laengute väärtuseid, siis rakenduslikus käsitluses pruugitakse pigem

suurust elektriväli. Viimane iseloomustab laengute teatud omavahelise paiknemise korral seda, milline

oleks nende laengute poolt avaldatav kogumõju teatud täiendavale laengule, mille suurus on

ühiklaeng. Selle skaleerimine toimub läbi jõu proportsionaalsuse tingimuse, mille kohaselt kaks korda

suurema täiendava laengu (proovilaengu) kasutamisel on ka kõik jõud kaks korda suuremad.

Niisiis, elektrivälja tugevus iseloomustab positiivset laengukandjat (ühiklaengut) mõjutavat jõudu.

Vektoriaalkujul avaldub elektriväli kui

1 3C

rE k q Q

r

(4)

kus q1 on ühiklaeng suurusega 1 C.

Samas praktikas on tihti kasulik ka tema skalaarkujul avaldis

2121

1 r

Qkq

r

Qqk

q

FE CC

, (5)

Laengute jõudude arvutuse näitele tuginedes saab sõnastada veel mõned tugiseosed:

1) Elektriväli on otseselt seotud jõuga, suurem laengute vaheline jõud tähendab ka tugevamat

elektrivälja.

2) Näites toodud olukorras esimesel juhul oli elektrivälja tugevus nõrk (erimärgiliste laengute

vaheline kaugus 1 mm) ning teisel juhul välja tugevus suur (erimärgiliste laengute vaheline

kaugus 0,1 m). Seega mida kaugemal on erimärgilised laengud teineteisest, seda tugevam

elektriväli esineb laengute ümber, s.t laengutevahelisest ruumist väljaspool. Sellise süsteemi

väli mõjutab tegevamini neid laenguid, mis asuvad sellest süsteemist väljaspool.

3) Mida kaugemal on erimärgilised laengud teineteisest, seda suuremad jõud välise mõjutaja

suhtes tekivad konkreetsel laengul. See tähendab, et väline elektriväli saab sellist süsteemi

tugevamini mõjutada.

On näha, et elektrivälja tugevus kahaneb kiirelt, kauguse ruuduga võrdeliselt, kui liikuda laetud kehast

eemale.

Märkus laengu hinnangu kohta.

Tasakaalustatud aatomiga on selle vahetus ümbruses seotud võrdsel hulgal elektrone ning prootoneid.

Erimärgiliste laengute mõju on vastassuunaline, seetõttu prootonid ja elektronid kompenseerivad

teineteise mõju aatomi tasemel ning selle süsteemi piiridest väljapoole ei ole iseseisvate laengute mõju

(jõud täiendavale laetud osakesele, elektriväli) üldiselt märgatav.

Makroskoopilisel tasemel võivad laengutega olla seotud suuremad struktuurid nagu molekulid,

kristallid ning nendest mistahes suuremad kehad. Prootonid on aatomi tuumas seotud väga tugevate

jõududega, seevastu elektronid võivad aatomite juurest suhteliselt väikeste mõjutuste juures

eemalduda. Elektriliste nähtuste puhul arvestatakse, et alati on makroskoopiliste struktuuride puhul

laengukandjateks elektronid. Negatiivse laenguga kehal (või ka mingil isoleeritud keha osal) on laengu

kujundajaks see, et kehal või selle osal on elektrone arvuliselt rohkem, kui on keha struktuuris kokku

prootoneid. Positiivse laenguga kehal on elektrone vastavalt prootonite arvuga võrreldes vähem.

Tasakaalus (nullpotentsiaalse) keha puhul on positiivseid ja negatiivseid laengukandjaid kehal täpselt

võrdsel arvul.

Keha laengu määrab tasakaalustatud keha suhtes erinev elektronide arv. Näiteks kui elektriliselt

tasakaalustatud kehal on ne0 = 1023 elektroni, aga kokku on vaatlusalusel kehal (9,99999995 · 1022)

elektroni, on elektronide puudujääk kehal

142322 1051010999995,9 en elektroni,

s.t selle võrra on prootoneid kehal rohkem, kui elektrone. Sellisel juhul on keha laeng

5191411 1005,81061,1105

ee qnQ C.

Juhul kui kehal on 1,000000002*1023 elektroni, on keha kogulaeng

5191422 1022,31061,1102

ee qnQ C.

2.3 Laetud osakestega seotud energia ja potentsiaal

Potentsiaaliga saab hinnata elektriväljas paikneva laengu asendist tingitud e. potentsiaalset energiat.

Elektrilise potentsiaalina vaadeldakse energiat, mis on vajalik selleks, et liigutada laeng lõpmata

kaugelt kuni tema konkreetse asukohani. Energia leidmiseks tuleb alustada vahemaa läbimiseks

kulunud teepikkuse leidmiseks. Lineaarsel kujul, eeldades kogu teepikkuse d läbimisel ühtlast

rakendatavat jõudu F (mille toel liigume Δd võrra), saame leida vajaliku energia kui

W F d (6)

Elektriväljas avalduv jõud mingi pikkuse Δr võrra liikumisel on lõigu alguses ja lõpus erinev. Selle tingib

elektrivälja valemi jagajas olev r2. Selle arvestamiseks peame sooritama integreerimistehte, millega

liidame kõikide dr pikkuste lõikude läbimiseks rakendatud jõu F. Selleks, et tuua laeng Q2 lõpmata

kaugelt kaugusele p1 laengu Q1 suhtes, on vaja energiat

1 11

1 21 2 1 22

1

1 2

1

1 1 1

1

p p pC

C C

C

k Q QW Fdr dr k Q Q k Q Q

r r p

k Q Qp

(7)

Ühiklaengute ümberpaigutamiseks vajaliku energia saab leida ka elektrivälja abil, kuna elektriväli

iseloomustabki ühiklaengu kohta mõjuvat jõudu

1

2

11

p

Qkdr

r

QkdrEW C

p

C

p

(8)

Elektriline potentsiaal ϕ kirjeldab laengutepaari asendist tingitud energiat, võrreldes laengupaari

paiknemisega lõpmata kaugel, jagatuna laenguühikule.

Elektrilises kontekstis kasutatav termin „pinge“ iseloomustab kahe punkti potentsiaalide vahet, e.

energiat, mis on saadaval (või vajalik, vastavalt jõu suunale) laengu liikumisel ühest punktist teise

U = ϕ1 – ϕ2 (9)

Pinge ühikuks on V – volt.

Märkus. Ingliskeelses kirjanduses tähistatakse U-ga sageli potentsiaali ning V-ga pinget.

2.4 Elektriline mahtuvus

Elektriliselt laetud osakeste/kehade süsteemis on ülaltoodut arvestades laengule mõjuva jõuvälja e.

elektrivälja tugevus seotud laengu Q suurusega ning geomeetriliste parameetritega.

Laengutesüsteemis esineva potentsiaalide vahe e. pinge leidmiseks saame koondada geomeetrilistest

parameetritest sõltuva osa ühele poole, ning vaadelda, kui suurt laengu erinevust on kahe punkti

vahele vaja, et tekitada ühikulise suurusega pinge

C

QUCUQ (10)

Parameeter mahtuvus C on siin valemis geomeetrilistest parameetritest ning laengutevahelise

keskkonna (dielektriku) parameetritest sõltuv osa. Antud seos laengu ja pinge vahel kehtib igal

ajahetkel.

Erinevad geomeetrilised süsteemid omavad erinevat mahtuvust ning ka mahtuvus leitakse neis

erineval viisil. Üks lihtsamaid valemeid mahtuvuse hindamiseks on plaatkondensaatori (kahe

tasapinnalise juhtiva plaadi vahelise) mahtuvuse valem,

d

AC r

0

(11)

kus εr on suhteline dielektriline läbitavus, ning A on plaatkondensaatori plaatide pindala. Seda valemit

kasutades saab leida ligikaudse mahtuvuse mistahes kahe keha vahel. Viimasel juhul tuleb võtta

arvesse kehade vahel paralleelselt esinev pindala.

2.5 Kondensaatori tööpõhimõte

Kondensaatori tööpõhimõtteks on elektrilaengute sidumine tänu kondensaatori sees moodustuvale

elektriväljale. Kondensaatori puhul ei vaatle me ülaltoodu kontekstis enam erinevatel elektroodidel

olevate laengute erinevust, vaid seda laengute erinevust käsitleme kui kondensaatoris salvestunud

laengut Q. Seejuures on seotud laengute hulk kondensaatoris võrdeline kondensaatori klemmidel olev

pingega.

C

QU (12)

kus Q – kondensaatoril olev summaarne laeng (kulonites, C),

C – laengu ja pinge vaheline võrdetegur, mahtuvus (faradites, F).

Komponentide suuremate klassidena eristatakse polaarseid ja mittepolaarseid kondensaatoreid.

Polaarsed kondensaatorid on dielektrikuga, millele on lubatud rakendada ainult kindla polaarsusega

pinget (näit. elektrolüütkondensaatorid). Mittepolaarsed on kondensaatorid on näiteks keraamilise

dielektrikuga kondensaatorid, mille

Joonis 2-3. Kondensaatori tingmärgid. Halliga on tähistatud alternatiivid, mustaga standardijärgsed.

Seos (12) kehtib ka mistahes muus süsteemis, milles kahe erineva elektrilise potentsiaali tasemel oleva

keha vahel on samuti laeng ja sellel olev pinge omavahel seotud. Näiteks kahe juhtme vahel esineb

samuti mahtuvus, st juhtmete vahele pinge rakendamisega seome me paratamatult juhtmete vahele

teatud laengu.

Üldiselt on ühik farad väga suur, tavaliselt kasutatakse kondensaatoreid, mille mahtuvus on piko-,

nano- või mikrofaradites (pF, nF, µF). Üks tüüpilisemaid juhtmete vahelise mahtuvuse väärtuseid on

30 pF/m (väga paljude kahejuhtmeliste kontuuride korral). Alles nn. superkondensaatorid, mille

eesmärgipärane kasutus on energia salvestamine, omavad mahtuvust faradites.

Kondensaatori klemmidel olev pinge ja kondensaatoris olev summaarne laeng on igal ajahetkel

omavahel seotud. Kui kondensaatori pinget kasvatada kaks korda, peab kahekordseks kasvama ka

kondensaatoris olev laeng.

Kondensaatori oluline parameeter on tema koosseisus olevate elektroodide ja ühenduste jadatakistus

RC,jada (ESR – ingl.k. equivalent series resistance). Viimane seab kohati kondensaatori kasutamisele

piiranguid, sest seab ülempiiri kondensaatori poolt võimaldatavale suurimale voolule. Samuti on suure

jadatakistusega kondensaatori elektroodide materjalis kaod oluliselt suuremad, mis tähendab

kondensaatori intensiivsemat kuumenemist ja vananemist. Märkimisväärse jadatakistusega

kondensaatorid on tüüpiliselt oluliselt odavamad.

Ülesanne 1

Milline on kondensaatori mahtuvus, kui on teada, et pinge 10 V korral on selles olev laeng 40 nC?

Lahendus.

Kondensaatori mahtuvuse saame leida, kasutades kondensaatori põhiseost

C

C

QC

U ,

siin

99

10410

1040

C

C

U

QC nF.

Ülesanne 2

Kondensaatori, mahtuvusega C = 2 µF, klemmidel on pinge 3 V. Kui suur on kondensaatoris olev laeng?

Kui suur on sama kondensaatori laeng, kui tema klemmidel olevat pinget tõsta 2 korda (tasemelt 3 V

tasemele 6 V)?

Lahendus.

Kondensaatori laengu saame leida, kui kasutame kondensaatori põhiseost

66 1061023 CUQ CC C = 6 µC.

Tema klemmidel pinge tõstmisel 2 korda suureneb laengu väärtus tasemele

66 102,11026 CUQ CC C = 12 µC.

Ülesanne 3

Kui palju on samadel tingimustel, nagu antud ülesandes 2, kondensaatoris seotud elektrone?

Lahendus.

Kondensaatori elektroodide vahel on seotud elektronide arvu leidmiseks võtame arvesse, et 1

elektroni langu väärtus on 1,6 · 10-19 C. Selle järgi saame arvutada elektronide arvu kui

elektroni.105,7106,1

1012)V12(

elektroni.108,3106,1

106)V6(

13

19

6

13

19

6

e

CCe

e

CCe

q

QUn

q

QUn

2.6 Pinge muutumine kondensaatori klemmidel

Laengu moodustab samamärgiliste laengukandjate koondumine kondensaatori elektroodidele –

negatiivsel elektroodil kuhjuvad elektronid, positiivsel on laengu tegelikuks kandjaks elektronide

puudujääk. Elektrone ei saa elektrilistes mõjudes tekkida ega kaduda, järelikult ainus võimalus

kondensaatori laengu muutmiseks – laengukandjad peavad kondensaatori ühelt elektroodilt teisele

mööda vooluahelat liikuma. Seega kondensaatoris laengu mistahes muutmine saab toimuda ainult

tänu laetud osakeste liikumisele kondensaatorisse sisse või sealt välja.

Laengu muutust saab leida, kui teada kondensaatori klemmidel olevat pinget vaadeldava ajavahemiku

alguses ja lõpus

CClõppCaClõppCClõppCC UCUUCUCUCQQQ alg,,lg,,alg,, (13)

Ülesanne 1

Kondensaatori (mahtuvusega C = 10 nF = 10 · 10-9 F ) klemmidel olev pinge muutub väärtuselt 15 V

väärtusele 4 V. Kui suur laeng tuleb kanda kondensaatori ühelt elektroodilt teisele, et pinge

kondensaatori klemmidel selliselt muutuks?

Lahendus.

Lahendusel lähtume kondensaatoriga seotud laengu põhiseosest

)( alg,lõpp,alg,lõpp, CCCCC UUCQQQ

Lähteolukord: UC,alg = 12 V

79alg,alg, 105,1101015

CUQ CC C = 150 nC;

Lõppolukord: UC,lõpp = 4 V

89,lõpplõpp, 10410104

CUQ CC C = 40 nC;

Kondensaatoris olevate laengute vahe:

Cn801080

)124(1010)(

9

9alg,,lõpplg,,lõppalg,lõpp,

CCaCCCCC UUCCUCUQQQ

Ülesanne 2.

Kondensaatoris on laengu 100 µC korral pinge 15,3 V. Kui palju laengut tuleks kondensaatoris muuta,

et kondensaatori klemmidel saavutada pinge 6 V?

Lahendus.

Lähtume kondensaatori põhiseosest, millega saame kirjutada pinge muutumisele vastavalt

laengu muutumise

alg,lõpp, CCC QQQ

Lahendusvariant 1:

Samm 1: Leiame kondensaatori mahtuvuse

3,15

10100 6

alg,

alg,

C

C

U

QC = 6,5 uF

Samm 2: Leiame laengu, mis antud kondensaatoril lõpp-pinge hoidmiseks vajalik

3,15

101006

6

alg,

alg,

lõpp,lõpp,lõpp,

C

C

CCCU

QUCUQ = 39,2 uF

Siin ei ole mahtuvuse väärtust eraldi sees, seega põhiseose avaldamisega saame vahale jätta

kondensaatori mahtuvuse arvutamise!

1

3,15

6101001 6

alg,

lõpp,

lg,lg,

alg,

alg,

lõpp,alg,lõpp,

C

C

aCaC

C

C

CCCCU

UQQ

U

QUQQQ

= –60,8 uC

Lahendusvariant 2:

Lähtume asjaolust, et kondensaatoris olev laeng QC = 0 C tähendab ka kondensaatori

klemmidel olevat pinget UC = 0 V. Teisel juhul saame olemasoleva laengu leida, kui leiame

seosed

,alg ,alg

, ,l

100 μ 15,3 V

x μ 6 V

C C

C lõpp C õpp

Q C UCehk

Q C UC

C

C,

mille järgi

μF2,393,15

101006μ2,39

3,15

6100 6

algC,

lõppC,lg,

,

UC

UQCQehkx aClõppCC

Siin taandub C välja, järelikult seda ei ole vaja eraldi välja arvutada

1

3,15

6101001 6

alg,

lõpp,

lg,lg,

alg,

alg,lõpp,

alg,lõpp,

C

C

aCaC

C

CC

CCCU

UQQ

U

QUQQQ

= –60,8 uC

Vastus: Kondensaatori klemmidel pinge muutmiseks on vaja kondensaatoril olevat laengut

muuta –60,8 uC ehk vähendada 60,8 uC võrra.

2.7 Vool kondensaatoris

Järgneva tuletuskäigu aluseks on oletus, et kondensaatori pingetase muutub väärtuselt UC,alg kuni

UC,lõpp ajavahemiku Δt jooksul. Keskmine laengu muutus ühe ajaühiku kohta on siin

t

Q

t

QQCaClõppC

lg,, (14)

Teades kondensaatori pinge ja laengu seost (1) saame kirjutada

CCaClõppCaClõppC I

t

UC

t

UCUC

t

QQ

lg,,lg,, (15)

Viimane seos aga kirjeldab voolu ahelas, antud juhul siis kondensaatoris. Laetud osakeste e. laengute

liikumine juhtmes ongi elektrivool. Siin vool IC kirjeldab ajavahemiku Δt jooksul esinevat keskmist

voolu.

Juhul, kui vaatleme kondensaatori pinge ja laengu muutumist üliväikeste ajavahemiku jooksul Δt →0,

saame kondensaatori voolu hetkväärtuse kirja panna järgmise seosega:

dt

tduCti CC

)()( (16)

Ülesanne 1

Kondensaatori klemmipinge muutub vastavalt graafikule, mis on kujutatud joonisel. Kui suur on

kondensaatori laeng ja vool, kui kondensaatori mahtuvus on 33 µF?

Joonis 2-4. Näiteülesanne: kondensaatori pinge muutuse graafik ajas.

Lähteandmed on toodud tabelis (vt. Tabel 2-1).

Tabel 2-1. Ülesande lähteandmed.

Ajavahemik Pinge kondensaatoril

0 … 2 s 0

2 … 6 s Kasvab sujuvalt 0 … 4,0 V

6 … 7,5 s 4,0 V

7,5 ... 9,5 s Langeb sujuvalt 4,0 V … 0 V

9,5 s … 12 s 0V

Lahendus:

Vaatleme kondensaatoril oleva pinge muutust erinevate ajalõikude kaupa. Otsitavaid suurusi

on 2:

Kondensaatori laeng on seotud pingega läbi seose

CUQC

QU CC

CC ,

see seos kehtib igal ajahetkel. Et meil on teada, milline on pinge igal ajahetkel kogu vaadeldaval

ajalõigul, saame ka vastavalt arvutada kondensaatori laengu väärtuse.

Kondensaatori vool on seotud pinge muutumise kiirusega läbi seose

CC I

t

UC

,

mille alusel kondensaatori voolu saame määrata teades pinge muutumise kiirust teatud

ajavahemikus. See tähendab, et meil on arvutamiseks vaja leida, mitu volti sekundis on pinge

muutumise kiirus.

Lahendamisele on võimalik läheneda teadaolevate ajavahemike kaupa.

Ajavahemik 0 … 2 s:

Ajavahemiku pikkus on Δt = 2 s (tav,alg = 0 s; tav,lõpp = 2 s), pinge ajavahemiku alguses UC,alg = 0 V

ning ajavahemiku lõpus UC,lõpp = 0 V.

Kondensaatori laeng on tasemel QC = 0 · C = 0 C.

Siin on pinge konstantsel tasemel, s.t ΔU = 0. Seega kondensaatori vool on sel ajavahemikul 0,

sest

.A02

01033 6

t

UCI CC

Ajavahemik 2 … 6 s:

Ajavahemiku pikkus on Δt = 4 s (tav,alg = 3 s; tav,lõpp = 6 s), pinge ajavahemiku alguses UC,alg = 0 V

ning ajavahemiku lõpus UC,lõpp = 4 V.

Kondensaatori laeng on muutub ühtlaselt tasemelt QC = UC,alg · C = 0 C tasemele QC = UC,lõpp · C

= 13,2 · 10-5 C. Et muutus ajaühiku kohta on sama intensiivne ajalõigul, võime kirjutada esmalt

pinge väärtuse seose antud ajavahemiku kohta

av,alglõppC ttUUUtU algC,C,algC,)(

(siin (t – tav,alg) määrab selle, et muutus algab alles peale seda, kui on jõutud ajahetkeni tav,alg).

Pinge väärtuse alusel kirjutame välja seose laengu kohta

av,alglõppC ttUUUCtQ algC,C,algC,)(

Kondensaatori voolu väärtus sõltub pinge muutumise kiirusest. Vaatame pinge muutumise

intensiivsust ajavahemiku esimesel sekundil:

V0,125,044

23)04(0)3( algC,C,algC,

t

ttUUUU av,alglõppC

Kahe esimese ajavahemiku jooksul oli pinge muutunud

V0,25,044

24)04(0)4( algC,C,algC,

t

ttUUUU av,alglõppC

Seega mõlema sekundi jooksul muutus pinge sama suuruse võrra ja seda 1 s jooksul, siin 1,0

V/s. Kui arvutaksime pinge väärtuse välja ka järgmise sekundi jaoks, oleks tulemus ikka 1,0 V/s.

Lühemalt öeldes – ühtlane pingemuutus teatud ajavahemiku jaoks tähendab ka konstantset

pinge muutumise intensiivsust ajavahemiku kohta. Võttes seda arvesse saame leida voolu

väärtuse kogu lõigu jaoks:

.mA33A103,34

041033

456,,

algClõppCCC

UUC

t

UCI

Ajavahemik 6 … 7,5 s:

Ajavahemiku pikkus on Δt = 1,5 s (tav,alg = 6 s; tav,lõpp = 7,5 s), pinge ajavahemiku alguses UC,alg =

4 V ning ajavahemiku lõpus UC,lõpp = 4 V.

Kondensaatori laeng on tasemel QC = 4 · C = 4 · 33 · 10-6 = 1,32 · 10-4 C.

Siin on pinge konstantsel tasemel, s.t ΔU = 0. Seega kondensaatori vool on sel ajavahemikul 0,

sest

.A05,1

01033 6

t

UCI CC

Ajavahemik 7,5 … 9,5 s:

Ajavahemiku pikkus on Δt = 2 s (tav,alg = 7,5 s; tav,lõpp = 9,5 s), pinge ajavahemiku alguses UC,alg =

4 V ning ajavahemiku lõpus UC,lõpp = 0 V.

Kondensaatori laeng on muutub ühtlaselt tasemelt QC = UC,alg · C = 1,32 · 10-4 C tasemele

QC = UC,lõpp · C = 0. Et muutus ajaühiku kohta on sama intensiivne kogu ajavahemikul, võime

kirjutada esmalt pinge väärtuse seose antud ajavahemiku kohta

av,alglõppC ttUUUtU algC,C,algC,)(

Pinge väärtuse alusel kirjutame välja seose laengu kohta

av,alglõppC ttUUUCtQ algC,C,algC,)(

Kondensaatori voolu väärtuse leidmiseks tuleb määrata pinge muutumise intensiivsus antud

ajavahemikul. Sarnaselt ajavahemikule t = 2 … 6 s, on siin kirjeldatud konstantne pinge

muutumise kiirus kogu ajavahemikul. Võttes seda arvesse saame leida voolu väärtuse kogu

lõigu jaoks:

.mA66A106,62

401033 56,,

t

UUC

t

UCI algClõppCCC

Miinusmärgiga vool tähistab kondensaatori laengu vähenemist ja ühtlasi kondensaatori

klemmipinge kahanemist.

Ajavahemik 9,5 … 12 s:

Ajavahemiku pikkus on Δt = 2,5 s (tav,alg = 9,5 s; tav,lõpp = 12 s), pinge ajavahemiku alguses UC,alg

= 0 V ning ajavahemiku lõpus UC,lõpp = 0 V.

Kondensaatori laeng on tasemel QC = 0 · C = 0.

Siin on pinge konstantsel tasemel, s.t ΔU = 0. Seega kondensaatori vool on sel ajavahemikul 0,

sest

.A05,2

01033 6

t

UCI CC

Leitud arvuliste tulemuste põhjal saame koostada tulemuste tabeli ja graafiku ( vt. Tabel 2-2,

Joonis 2-5).

Tabel 2-2. Kondensaatori laengu ja voolu väärtuste arvutustulemused.

Ajahetk

t (s)

Kondensaatori

pinge

uC(t) (V)

Kondensaatori

laeng

QC(t) (C)

Kondensaatori

vool

iC(t) (A)

0 0 0 0

1,99 0 0 0

2 0 0 3,3 · 10–5

4 2,0 6,6 · 10–5 3,3 · 10–5

5,99 3,99 1,32 · 10–4 3,3 · 10–5

6 4,0 1,32 · 10–4 0

7,49 4,0 1,32 · 10–4 0

7,5 4,0 1,32 · 10–4 –6,6 · 10–5

8,5 2,0 6,6 · 10–5 –6,6 · 10–5

9,49 0,02 6,6 · 10–7 –6,6 · 10–5

9,5 0 0 0

10 0 0 0

Joonis 2-5. Ülesande lahendus: graafik ülesandes leitud suurustega.

2.7.1 Kondensaatori vool ajas siinuseliselt muutuva pinge korral

Tehnikavaldkonnas on laialdaselt kasutuses siinuseliselt muutuvate protsesside/suuruste kasutamine,

või siis erinevate protsesside kajastamine läbi siinuseliselt muutuvate suuruste. Siinusvõnkumise esitus

ja suurused vt Joonis 2-6.

Joonis 2-6. Siinusekujuliselt muutuva suuruse näide: võrgupinge (eff. väärtus 230 V, sagedus 50 Hz).

Siinusprotsessi vaatlemisel peame tähele panema järgmisi iseloomulikke suurusi ja omadusi.

Korduvus: iga teatud ajavahemiku järel saavutab siinusekujuliselt muutuv suurus täpselt sama väärtuse

ja kasvukiiruse (etteruttavalt: kokku faasi). Seda ajavahemikku nimetatakse perioodiks (T, ühik s).

Korduvuse arv, mitu korda suurus sama väärtuse saavutab, kirjeldatakse sagedusega (f, ühik Hz = 1/s).

Sagedus ja periood on omavahel seotud kui

1f

T .

Muutumine positiivse ja negatiivse väärtuse vahel: siinuseliselt muutuv suurus omab kõiki võimalikke

väärtusi vahemikus negatiivsest amplituudväärtusest kuni positiivse amplituudväärtuseni. Seejuures

on amplituudväärtus püsiv suurus, kuid kirjeldab ainult väärtuste võimalikke piire, mitte suuruse

tegelikku väärtust

...M Mu U U ,

kus UM – ampltiuudväärtus.

Kirjeldus faasinurga alusel: siinuseliselt muutuva suuruse väärtust saame kajastada

polaarkoordinaatide abil ajalises plaanis. Suurust iseloomustav amplituudväärtus jääb paika, kuid

faasinurk muutub ajas. Seda esindab seos

( ) sin ( )Mu t U t ,

kus u(t) on suuruse väärtus ühel konkreetsel ajahetkel t ja (t) on faasinurga väärtus ajahetkel t.

Faasinurga ajalises esituses olev väärtus muutub igas ajavahemikus sama palju (näiteks, 1 s jooksul 30°

ja 4 s jooksul 120°. Kuna faasinurga väärtus kasvab, siis saame faasinurga muutumist vaadelda kui

pidevalt ühtlaselt kasvavat suurust. Faasinurga väärtust ajas saame vaadelda seosega

( )t t ,

kus on nurkkiirus (nimetatakse ka nurksageduseks), ühik °/s või rad/s. Näiteks, kui faasinurk muutub

sekundis 30°, siis on nurkkiirus = 30°/s = /6 rad/s (2 rad = 360°).

Iga täisring nullib nurga väärtuse, kuna 360° = 0°. Selliselt piisab faasinurga arvestuse pidamiseks piisab

kuni nurgast 360° (2 rad), mille suuruse käib protsess läbi ühe perioodi jooksul. Üks periood

tähendabki kõikide nurkade väärtuste läbi käimist ja siinusprotsessi kordus on ühtlasti ka kõikide

faasinurkade väärtuste läbikäimise kordus.

360 2 1 2 21

rad periood ft

f

Siinuseliselt ajas muutuvad suurused on kirjeldatavad kasutades seost

( ) sin( )Mu t U t (17)

kus UM on pinge amplituudväärtus, ω on siinuselise protsessi nurksagedus ω = 2·π·f , kus f –

siinusprotsessi võnkesagedus ja t on vaatluse ajahetk.

Järgnevalt vaatleme kondensaatori voolu väärtus siinuselise pinge korral. Eelnevalt oli määratud

kondensaatori voolu väärtus kui seos pinge muutumise kiirusest

dt

tduCti CC

)()( (16)

Siin on pinge seose diferentseerimisel / tuletise leidmisel aluseks reegel

)cos()sin(

xdx

xd

Siinuse argumendi (ω · t) diferentseerimiseks / tuletise leidmiseks on nüüd vajalik täiendavalt

rakendada asendamist (ω ei ole ajas muutuv, seega käitub nagu konstant)

,)sin()sin(

dx

du

du

ud

dx

xkd

kus u = k · x; k

dx

xkd

dx

du

)(,

millest pinge muutumise kiirus

( )cos( ) 2 cos(2 )C M M

esitus nurksageduse alusel esitus kordussageduse alusel

du tU t f U f t

dt

f

.

Kondensaatori voolu väärtuse määramiseks korrutame pinge muutumise kiiruse kondensaatori

mahtuvusega

( ) cos( ) 2 cos(2 )C M Mesitus nurksageduse alusel esitus kordussageduse alusel

i t C U t f C U f t

f

(18)

Ülesanne 1

Kodusesse pistikupessa on ühendatud kondensaator, mille mahtuvus on 15 µF. Koduse elektrivõrgu

efektiivväärtus 230 V ja amplituudväärtus UM on 325 V, võnkesagedus f = 50 Hz.

Joonistada välja graafik, millel on kujutatud kondensaatori klemmidel olev pinge, pinge muutumise

kiirus ja kondensaatori vool 2 võnkeperioodi vältel, sammuga 2 ms.

Lahendus.

Kasutame siin kondensaatori voolu seost, mis on esitatud kordussageduse põhjal

( ) 2 cos(2 )C Mi t f C U f t

Vastavat seost rakendades on esitatud tulemuste tabelis (vt Tabel 2-3) arvutuste arvväärtused

ja graafikul (vt Joonis 2-7) esitatud väärtused ajateljel.

Tabel 2-3. Ülesande lahendiks olevad arvväärtused

Aeg

t, s

Pinge

konden-

saatoril

uC(t), V

Pinge

muutumise

kiirus

V/s,)(

dt

tduC

Konden-

saatori

vool

iC(t), A

Aeg

t, s

Pinge

konden-

saatoril

uC(t), V

Pinge

muutumise

kiirus

V/s,)(

dt

tduC

Konden-

saatori

vool

iC(t), A

0 0 1,02 · 10-5 1,53 0,021 100 0,97 · 10-5 1,46

0,001 100 0,97 · 10-5 1,46 0,022 191 0,83 · 10-5 1,24

0,002 191 0,83 · 10-5 1,24 0,023 263 0,60 · 10-5 0,90

0,003 263 0,60 · 10-5 0,90 0,024 309 0,32 · 10-5 0,47

0,004 309 0,32 · 10-5 0,47 0,025 325 0 0,00

0,005 325 0 0,00 0,026 309 –0,32 · 10-5 –0,47

0,006 309 –0,32 · 10-5 –0,47 0,027 263 –0,60 · 10-5 –0,90

0,007 263 –0,60 · 10-5 –0,90 0,028 191 –0,83 · 10-5 –1,24

0,008 191 –0,83 · 10-5 –1,24 0,029 100 –0,97 · 10-5 –1,46

0,009 100 –0,97 · 10-5 –1,46 0,03 0 –1,02 · 10-5 –1,53

Aeg

t, s

Pinge

konden-

saatoril

uC(t), V

Pinge

muutumise

kiirus

V/s,)(

dt

tduC

Konden-

saatori

vool

iC(t), A

Aeg

t, s

Pinge

konden-

saatoril

uC(t), V

Pinge

muutumise

kiirus

V/s,)(

dt

tduC

Konden-

saatori

vool

iC(t), A

0,01 0 –1,02 · 10-5 –1,53 0,031 –100 –0,97 · 10-5 –1,46

0,011 –100 –0,97 · 10-5 –1,46 0,032 –191 –0,83 · 10-5 –1,24

0,012 –191 –0,83 · 10-5 –1,24 0,033 –263 –0,60 · 10-5 –0,90

0,013 –263 –0,60 · 10-5 –0,90 0,034 –309 –0,32 · 10-5 –0,47

0,014 –309 –0,32 · 10-5 –0,47 0,035 –325 0 0,00

0,015 –325 0 0,00 0,036 –309 0,32 · 10-5 0,47

0,016 –309 0,32 · 10-5 0,47 0,037 –263 0,60 · 10-5 0,90

0,017 –263 0,60 · 10-5 0,90 0,038 –191 0,83 · 10-5 1,24

0,018 –191 0,83 · 10-5 1,24 0,039 –100 0,97 · 10-5 1,46

0,019 –100 0,97 · 10-5 1,46 0,04 0 1,02 · 10-5 1,53

0,02 0 1,02 · 10-5 1,53 0,021 100 0,97 · 10-5 1,46

Joonis 2-7. Graafik ülaltoodud ülesande lahenduse juurde.

2.8 Mahtuvusega seotud näivtakistus (reaktiivtakistus)

Vahelduvvooluahelas kondensaatori (või ka mistahes muu mahtuvust omav struktuur) laenguga

laadimiseks ning tühjaks laadimiseks vajalikku voolu leidmiseks kasutatakse mõistet „näivtakistus“.

Näivtakistus võib iseloomustada kas kondensaatori tööd siinuspingel, või kondensaatori virtuaalset

hetk-näivtakistust.

Kui kondensaatori klemmidele on rakendatud perioodiliselt korduv siinuspinge

)sin()( tUtu M ,

kus ω on siinuspinge nurksagedus (ω = 2·π·f). saame leida kondensaatori voolu tuletise abil

)cos()(

)( tUCdt

tduCti M

Takistus on definitsioonina kirjeldatud kui pinge ja voolu suhe, mis kehtib ka efektiivväärtuste korral.

I

UR

Kondensaatorile rakendatud siinuspinge efektiivväärtus on

2MUU

Ning voolu efektiivväärtus

2

M

UCI

Näivtakistus sel juhul on

CfCCU

U

I

UX

M

MC

2

11,

kus f on vahelduvvoolu sagedus (Hz). Kondensaatori (mahtuvusliku elemendi) näivtakistus väheneb,

mida kõrgem on kondensaatorile rakendatud vahelduvoolu sagedus.

2.9 Mahtuvuslikus süsteemis salvestunud energia

Mahtuvuse kaudu mingis süsteemis olev laeng kannab ka energiat (vt. potentsiaal). Mahtuvusel oleva

laengu energiat saab iseloomustada sellega, palju on kondensaatori ühelt pingenivoolt teisele

viimiseks vaja energiat rakendada. See kehtib mõlemal juhul, nii kondensaatorisse laengu kandmisega

(laadimisega) kui ka kondensaatorilt laengu eemaldamisega (tühjendamisega). Kondensaatori

tühjakslaadimisel saab koormusel eralduda võimsus, mis on võrdne

)()()( tutitp CCC , kus

iC(t) on kondensaatori voolu hetkväärtus ning uC(t) on kondensaatori klemmidel oleva pinge

hetkväärtus. Samas nii pinge kui vool selles valemis on ajas muutuvad. Nimelt kahaneb kondensaatori

tühjaks laadimisel kondensaatori pinge. Koguenergia saame leida selliselt, et võtame arvesse igal

võimalikul ajahetkel kondensaatori võimsuse väärtused:

dttitudttpWt

t

CC

t

t

2

1

2

1

)()()(

Võttes arvesse, et kondensaatori vool on võrdeline pinge muutumise kiirusega

dt

tduCti CC

)()( saame

2

1

t

t

dtdt

duCuW

See valem sõltub ainult pinge väärtusest ning pinge muutumise kiirusest. Kui valime välja kaks ajahetke

t1 ning t2, mil pinget vaatleme, saame öelda, et nendel hetkedel pinge on lõplik ning väljaspool seda

ajavahemikku pinge ei muutu. Sellisel juhul omandab energia avaldis kuju

)(

)(

2)(

)(

2

1

2

1

2

12

tu

tu

tu

tu

t

t

uCduuCdt

dt

duCuW

Eeldades, et kondensaatoril on ajahetkel t1 pinge U ning ajahetkel t2 pinge väärtuseks 0 (täielikult

tühjaks laetud), saame leida kondensaatoris oleva koguenergia

2

022

22

0

2 CUU

CuCW

U

Seega on kondensaatorisse salvestunud energia sõltuv ainult pinge alg- ja lõppväärtusest, aga mitte

kondensaatori laadimise kiirusest.

2.10 Elektrivälja ja elektriahelate mõjutamise mehhanismidest

Elektriahela paigutamine mittenullise väärtusega elektrivälja mõjutab otseselt kõiki elektriahelas

olevaid osakesi. Kui elektriahel ei ole seotud jäigalt ühegi taustpotentsiaali määrava ahelaga või maaga,

siis elektriväli defineerib ka vaadeldava ahela juhtide potentsiaali vahe maa suhtes.

Iga ahelat saab elektrivälja suhtes kujutada teatud elektrimahtuvuslike seoste kaudu. Vaatleme selleks

olukorda, mis on kujutatud alloleval joonisel (vt Joonis 2-8). Geomeetriliselt on elektriahel paigutatud

selliselt, et see läbib tugeva elektriväljaga ala.

Joonis 2-8. Tugeva elektriväljamõjutusega ala läbiv ahel ja selle aseskeem.

Elektrivälja allikas EVÄLI on siin kirjeldatud ideaalse allikana, eeldusega, et elektrivälja määrava süsteemi

poolt põhjustatava elektrivälja tugevus on teada. Ahela juhtmete parameetrid on esitatud kui

induktiivsuse ja takistuse jadaahel, milles eristatud on täiendavalt punase ja sinise juhiga seotud

parameetrid.

Kujutatud süsteemis (on ilmselt talitlusele olulisim) on ahela EAhel – LPUN – RPUN – RKOORMUS – RSIN – LSIN –

EAhel kontekstis toimuv, nii on ka see ahel galvaaniliselt (oomiliselt) sidestatud. Ahelas olev allikas EAhel

on töös selleks, et tagada ahela lõpus koormusel RKOORMUS teatud pinge UAhel ja sellega ka koormust

läbiv vool. Ahela juhtmete vahel on mahtuvus CAhel, mis on paratamatu kahe juhtme vaheline

mahtuvus. Kirjeldatud ahela üheks peamiseks iseloomulikuks talitlusviisiks on erifaasne e.

diferentsiaalne.

Kui meile on teada allikate EVÄLI ja EAhel töösagedus, siis saame antud süsteemi vaadelda ka läbi

pingejagurite süsteemide. Sellisel lähenemisel on pingejagurid moodustavad komponendid

vaadeldavas aseskeemis kondensaatorite näivtakistused.

3 Magnetväli

3.1 Vooluga juhtide vaheline jõud

Katseliselt on kindlaks tehtud, et iga kahe liikuva laengu vahel esineb teatud mehhaaniline jõud. See on

tuntud kui Ampere’i jõuseadus, mille järgi juhtmete (tähistame 1 ja 2), milles liigub vool I1 ja I2, vahel

esineb jõud suurusega

12

1221

12

ˆ2

R

RLIIkF

juhe

M

(19)

kus Ljuhe on juhtmete 1 ja 2 pikkus, ���������⃗ on juhtmete 1 ja 2 vaheline kaugusvektor, R12^ on viimase

suunavektor (ühikulise pikkusega) ning kM on võrdetegur

40Mk (20)

kus µ0 on magnetiline konstant, mille suurus on

70 104

N / (A2 · m) (njuutonit [ruutamper meetri] kohta) või H / m (henrit meetri kohta).

Skalaarkujul, kui arvestame ainult jõu suuruse ja juhtmete vahelise kaugusega, saame leida juhtmete

vahel mõjuva jõu seosega

12

21

12

R

LIIkF

juhe

M

(21)

Katseliselt on näidatud, et vaakumis on kahe meetripikkuse juhtme vahel, mida kumbagi läbib samas

suunas vool 1 A, tõmbejõud suurusega täpselt 2 · 10-7 N. Sellele seosele tugines ka SI määratlus

voolutugevuse etalonsuurusest 1 A.

3.2 Magnetvälja tugevus

Iga elektrivooluga elementi ümbritseb magnetväli. Selliseks elemendiks võib olla mistahes elektrijuht,

mida vool läbib. Vooluga kontuuri ümbruses tekkivat magnetvälja iseloomustab Biot-Savart-Laplace

seadus. Selle tuletuskäik tugineb samadele seostele, mida rakendatakse elektriväljade ja seal paiknevate

laengute mõju hindamiseks.

Joonis 3-1. Biot-Savart-Laplace seaduse selgitus.

Biot-Savart-Laplace seadus matemaatilisel kujul sõnastab, et väikese vooluga juhtmelõigu pikkusega

���������⃗ , mida läbib vool I, poolt põhjustatud magnetvälja tugevus H on leitav kui

b

a

p

p i

iiiiiiiiccc

R

zyxdLzyxIzyxH

24

sin);;();;();;(

(22)

kus Ri on kaugus vooluga juhtmelõigu ja vaatluspunkti vahel,

rakendab eeldust, et välja põhjustav element ei ole punkt nagu laengute puhul, vaid joon, mille kõik

punktid panustavad summaarse magnetvälja tekkimisse, punktide Pa ja Pb vahel. Selle seaduse otsesed

järeldused on:

1) Magnetvälja tugevus H on proportsionaalne vooluga;

2) Väikese liikuva laenguga juhtmelõigu poolt põhjustatud magnetväli nõrgeneb kaugenedes

juhtmest raadiuse ruuduga võrdeliselt (punktlaengu elektriväli nõrgenes samuti kauguse

ruuduga võrdeliselt seda põhjustavast laengust eemaldumisel);

3) Magnetvälja tekitajana väike vooluga lõik ei esine kunagi üksinda; seetõttu tuleb magnetvälja

tugevuse leidmisel kokku liita kõikide teda ümbritsevate vooluga lõikude poolt tekitatud väljad.

4) Magnetväljal on suund ning suurus. Magnetvälja suund on alati risti seda põhjustava vooluga.

Magnetvälja suund on määratud parema käe kruvi reegliga.

Eelnevalt toodud seoses on H tugevus esitatud seosega, mis võimaldab punkti P jaoks leida magnetvälja

tugevuse H osas, mille põhjustab dLi pikkune juhe. Vaatluspunktis aga summeeruvad kõikide väikeste

vooluga lõikude magnetväljad. Seega, et leida kogu H väärtus on vaja rakendada summeerimist (väikest

lõikude integreerimist), et leida resulteeruv väljatugevus punktis P.

Magnetvälja tugevus absoluutväärtusena, mis esineb sirgjuhtme ümber kaugusel r on leitav peale

integreerimist kujul

r

IH

2 (23)

Magnetvälja tugevuse H ühik on A/m (amprit meetri kohta).

Sama seost saab rakendada ka vektoriaalse suuruse leidmisel, nimelt on see magnetvälja tugevuse

vektori pikkuseks. Magnetvälja vektori suuna võime määrata käsitsi, nimelt on see vektor alati risti

punkti kaugusvektoriga juhtmest, ning määratud kruvireegliga, kus vool liigub kruvi liikumise suunas

ja magnetvälja tugevus on suunatud mööda kruvi pöörlemise suunda (vt. Joonis 3-2):

- Pöörates kruvi päripäeva, liigub kruvi pinna sisse. Kui vool liigub vaatajast eemale, siis on voolu

ümbritsev magnetväli suunatud vaataja suhtes päripäeva.

- Pöörates kruvi vastupäeva, liigub kruvi pinnast väljapoole. Kui vool liigub vaataja suunas, siis

on voolu ümbritsev magnetväli suunatud vaataja suhtes vastupäeva.

Joonis 3-2. Voolu suund, magnetvälja tugevus ja magnetvälja tugevuse erinevus eemaldudes juhtmest.

Magnetvälja tugevus on vektoriaalne suurus ja mitme magnetvälja tugevuse vektori liitmine toimub

geomeetriliselt.

Näide. Sirgjuhet läbib vool tugevusega 1,5 A. Kui suur on magnetvälja tugevus esineb punktis, mis on

juhtmest kaugusel 0,5 m?

Joonis 3-3. Näiteülesande geomeetria.

Antud juhul küsitakse ainult magnetvälja tugevuse väärtust, mille saame leida valemi (12) abil

A/m.48,05,1

5,02

5,1

2

r

IH

Vastus: punktis P on magnetvälja tugevus 0,48 A/m.

3.3 Magnetvoo tihedus

Liikuvale ühiklaengule magnetvälja poolt avaldatavat jõudu ühes ruumipunktis kirjeldab magnetvälja

tihedus B, mille ühik on T (tesla) või Wb/m2 (veebrit ruutmeetri kohta, seejuures 1 T = 1 Wb/m2) või

N/(A·m) (njuutonit amper-meetri kohta). Magnetvälja tiheduse puhul on arvutusskeem lähedane

magnetvälja tugevuse H arvutusele, kuid siin võetakse arvesse ka keskkonna omadused, milles

magnetväli esineb läbi muutuja magnetiline läbitavus

0 RB H

(24)

kus µ0 on vaakumi magnetiline absoluutne läbitavus (4 · π · 10-7 H/m) ning µR on keskkonna suhteline

magnetiline läbitavus. Viimane iseloomustab, kui suur on keskkonna absoluutne magnetiline läbitavus

võrreldes vaakumi magnetilise läbitavusega.

Magnetvoo tihedus on vektor, mille puhul on kriitiline vaadelda tema suunda ja suurust. Magnetvoo

tiheduse vektori suund on sama magnetvälja tiheduse vektori suunaga.

Juhtme ümber esinev magnetvoo tihedus on skalaarkujul leitav kui

r

IB R

20 (25)

Näide. Kolm juhet on paigutatud koordinaatidele (vt. alljärgnev, ühikud: meeter)

Juhe 1: (–0,8; 1,0); vool juhtmes I1 = 48 A;

Juhe 2: (0; 1,0); vool juhtmes I1 = –66 A;

Juhe 3: (0,8; 0); vool juhtmes I1 = 18 A.

Leida magnetvoo tihedus punktis P (0; 0), kui juhtmed paiknevad õhus (µR = 1).

Joonis 3-4. Näiteülesande geomeetria.

Lahendus.

Juhtmetes liikuva voolu poolt põhjustatud magnetvälja tihedus on leitav kui vektor, mille suuna

saame määrata kruvireegli abil, ning mille pikkus on

r

IB R

20

.

Selleks, et liita eri magnetvoo tiheduste vektoreid, peame kokku liitma sama telje sihis olevad

komponendid. Siin tähendab see ka seda, et peame jaotama vektorid telgede-suunalisteks

komponentideks.

Juhe 1. Juhtme 1 poolt põhjustatud magnetvoo tiheduse leiame kolme sammuga.

1. Määrame magnetvoo tiheduse vektori suuna. See on raadiusvektoriga risti, selle täpsem

suund on määratud kruvireegliga. Antud juhul on voolu suund selline, et noole tipp on

vaataja suunas, seega on täpsem suund on vastupäeva pöörlemise suund (vt. Joonis 3-5).

Joonis 3-5. Juhtme 1 poolt põhjustatud magnetvoo tiheduse arvutus ja geomeetria.

Magnetvoo tiheduse vektori pikkus (magnetvoo tiheduse absoluutväärtus) punktis P on leitav

kui

7

60 11 2 2

1

4 10 1 487,5 10 7,5 μT

2 2 1 0,8

R IBr

.

Selleks, et leida magnetvoo tiheduse vektori ������⃗ x- ja y-telje suunalist komponenti, peame

jälgima vektori suunda. Magnetvoo tiheduse vektor on kaugusvektoriga risti, see tähendab, et

peab paika proportsioon (vt Joonis 3-5)

1

1

1

1cos

B

B

r

rxy , millest 1 6 6

1 1 2 21

17,5 10 4,7 10 4,7 μT

0,8 1

y

x

rB B T

r

1

1

1

1sinB

B

r

r yx , millest 6 611 1 2 2

1

0,87,5 10 5,9 10 5,9 μT

0,8 1

xy

rB B T

r

Veel on vaja määrata ���������⃗ ja ���������⃗ suunad, st märgid. Selleks pöördume graafilise esituse poole

(Joonis 3-5).

���������⃗ on suunatud paremale, so x-telje positiivses suunas. Seega ka ���������⃗ koordinaat on

positiivne.

���������⃗ on suunatud üles, so y-telje positiivses suunas. Seega ka ���������⃗ koordinaat on

positiivne.

Seega, ������⃗ väärtus lõppkujul on ������⃗ = (4,7; 5,9) µT.

Samasugune arvutuskäik tuleb sooritada ka voolude 2 ja 3 korral. Arvutustulemused on

esitatud allolevas tabelis, samas kui vektorite geomeetria on esitatud joonisel Joonis 3-6.

Juhe 1 Juhe 2 Juhe 3 Kokku (1+2+3)

������⃗ �, µT 7,5 · 10–6 1,3 · 10–5 4,5 · 10–6 Ei saa liita

��������⃗ , µT 4,7 · 10–6 –1,3 · 10–5 0 –8,5 · 10–6

��������⃗ , µT 5,9 · 10–6 0 –4,5 · 10–6 1,4 · 10–6

Joonis 3-6. Magnetvoo tiheduse arvutamise geomeetria.

Seega summaarne magnetvoo tihedus punktis P on ������⃗ = (–8,5; 1,4) µT, ehk

absoluutväärtusena/pikkusena

2 2 68,5 1,4 8,6 10 T 8,6 μTPB

3.4 Magnetvoog

Praktikas seostatakse magnetvälja sageli mingi (juhtiva) suletud kontuuriga seostuva magnetvoona Φ,

ühikuks veeber (Wb). Magnetvoog iseloomustab kontuuri läbivale voolule (e mööda kontuuri

juhet/elektrijuhti liikuvatele laetud osakestele) mõjuvat kogujõudu. Sageli kasutatakse sõnastust

„raami / kontuuri magnetvoog“, mis tähistab selle kontuuriga piiratud ala sisse jääva magnetvälja

tiheduse integraalset summat. Niisiis, magnetvoo arvutamisel tuleb arvesse võtta kõikidele selles

raamis-kontuuris liikuvatele laengukandjatele mõjuvad jõu-alamkomponendid, ja nende liitmisel

osutub, et kontuuri sisepindalast välja jäävate liidetavate mõju taandub nulliks.

Magnetvoo väärtuse saame määrata teades otsitava kontuuri pinda läbiva magnetvoo tihedust, samas

magnetvoo tihedus on vektoriaalsed suurused. Kontuuri roll magnetiliste nähtuste kontekstis on

kirjeldatud Ampere seadusega, kus magnetvoo tihedus, integreeritud mööda kogu liikumisteed

(viimase siseala moodustabki raami/kontuuri), on alati seotud proportsionaalselt kontuuris oleva

vooluga

0K

IdlB .

Siin tuleb eristada, et tegemist on joonintegraaliga mööda kinnist kontuuri. Joonsumma võime võtta

mistahes kaugusel vooluga juhtmest paiknevat rada mööda, kuid saame alati sama tulemuse. Siin

tähendab see seda, et magnetvälja poolt arendatav jõud on lõpliku suurusega ja võrdeline vooluga.

Suletud kontuuri läbiva magnetvoo Φ väärtus on leitav, kui liita igas punktis olevad magnetvoo

tihedused. Reaalselt võib kontuure olla mitmeid, üks näide sellest on mitme keeruga induktiivpool.

Kõigis ahelaga seotud magnetilistes kontuurides mõjuv kogumagnetvoog e. aheldusvoog on määratud

kui summa kõikide keerdude magnetvoogudest. Mida suurem pindala, seda suurem on igal juhul ka

seda läbiv magnetvoog.

Juhul, kui magnetvoo tihedus on kogu kontuuri alas samasuur = ühtlane, homogeenne, ja vaadeldav

pind on tasapinnaline ja lihtne, saame leida kontuuri magnetvoo lihtsa seosega

AB ,

kus �⃗ on pindala vektor, mille pikkus on arvuna võrdne pinna pindalaga ja mille suund näitab pinna

asendit. Pindala vektorit võime vaadelda kui pindala skalaarsuurust, mis on korrutatud pinna

normaalvektoriga = pinnaga risti oleva vektoriga. Samamoodi võime avaldada magnetvoo tiheduse

vektori kui absoluutväärtuse ja selle suunda iseloomustava suunavektoriga.

cosˆ BAnAbB , kus γ on vektorite ��⃗ ja ���⃗ vaheline nurk.

Magnetvoog on skalaarne suurus.

Sellest seosest saame järeldada:

1) Kui magnetvoo tiheduse vektori suund on risti kontuuri pinnaga, siis on kontuuri poolt haaratav

magnetvoog maksimaalne.

2) Kui magnetvoo tiheduse vektori suund on paralleelne kontuuri pinnaga, siis on kontuuri poolt

haaratav magnetvoog on praktiliselt 0.

Näide. Ühtlases (homogeenses) magnetväljas, mille magnetvoo tihedus on 30 mT, magnetvoo

tiheduse vektorid on suunatud ruumis x-telje suunas. Sellesse välja on paigutatud juhtiv tasapinnaline

raam, mõõtmetega 1 x 1 m, mis pöörleb ümber z-telje sihis paigutatud telje (Joonis 3-7). Kujutada

geomeetriliselt, milline on raami igale positsioonile (nurk α) vastav raami poolt haaratav magnetvoog.

Joonis 3-7. Näidisülesande geomeetriline esitus.

Lahendus.

Magnetvoog, mida raam haarab, on seotud raami paigutusega ruumis ja selle asendiga

magnetvälja tiheduse vektori suhtes. Pöörlemisel raami külgede asend muutub. Vaatleme seda

esmalt graafiliselt (vt Joonis 3-8), kus on esitatud kaks asendit külgvaates. Esimesel juhul on raam

nurga 15° all ja teisel juhul 75° all. Siit on selgelt näha, et raam haarab ainult magnetvälja seda

osa, mis on seotud raami külje y-telje sihilise osaga, st osaga, mis on magnetvoo tiheduse

vektoriga risti. Positsiooni rolli hindamiseks saame seega jälgida raami külje ristsihti:

o kui raami külg on väljaga ristsihis, siis töötab see külg maksimaalselt

o kui raami külg on väljaga paralleelselt, siis selle külje efekt on 0.

Joonisel toodud skeemis on näha, et z-telje sihis on raami laiusmõõde alati risti magnetvoo

suunaga. Sellisel juhul saame arvestada selle külje mõõtme arvesse võtta alati sama,

maksimaalse väärtusega.

Joonis 3-8. Raami poolt haaratava magnetvoo tiheduse ala.

Magnetvoo määramiseks peame selgitama raami teise külje y-suunalise pikkuskomponendi.

y-telje sihilise raami külje pikkuse komponendi saame määrata, kasutades selleks nurga

väärtust, mis jääb raami ja magnetvoo tiheduse vektori suuna vahele. Siin saame rakendada

seost

cos,,, raamzraamyraamzraam hlBllB

Siin koosiinuse väärtus, sõltuvalt asendist võib jääda vahemikku (–1 … 1), mis võtab arvesse ka

raami asendi muutusest tingitud magnetvoo polaarsuse muutust.

Raami poolt eri asendites haaratud magnetvoo väärtused on esitatud alljärgnevas tabelis.

Tabel 3-1. Arvutustulemused.

Nurk α, rad Nurk α, kraad cos α Magnetvoog Φ, µWb

0 0 1,00 4,00

0,52 30 0,87 3,46

1,05 60 0,50 2,00

1,57 90 0,00 0

2,09 120 -0,50 -2,00

2,62 150 -0,87 -3,46

3,14 180 -1,00 -4,00

3,67 210 -0,87 -3,46

4,19 240 -0,50 -2,00

4,71 270 0,00 0

5,24 300 0,50 2,00

5,76 330 0,87 3,46

6,28 360 1,00 4,00

6,81 390 0,87 3,46

Joonis 3-9. Pöörleva raami korral leitud magnetvoo väärtused erinevate raami asendi nurkade korral.

Suletud kontuuri läbiva magnetvoo φ väärtus on leitav, kui liita igas punktis olevad magnetvoo

tihedused. Sellist summeerimist saab kirjeldada läbi integreerimise, kus liidetakse kõik pindalaga dA

pinnaelemendid, korrutatuna seda pinda läbiva magnetvoo tiheduse väärtusega kogu alal A.

A

dAB ,

3.5 Aheldusvoog ja induktiivsus

Selline seos kirjeldab olukorda ühekordse suletud kontuuri kohta. Reaalselt võib kontuure olla

mitmeid, üks näide sellest on mitme keeruga induktiivpool. Kõigis ahelaga seotud magnetilistes

kontuurides mõjuv kogumagnetvoog e. aheldusvoog on määratud kui summa kõikide keerdude

magnetvoogudest. Mida suurem pindala, seda suurem on igal juhul ka seda läbiv magnetvoog.

Kui juhtmest geomeetriliste kontuuride mõõtmed on võrdsed, ning need geomeetrilised kontuurid

(keerud) paiknevad tihedalt üksteise kõrval, võib öelda, et kõik kontuurid on mõjutatavad täpselt sama

magnetvoo tiheduse poolt. Selline olukord on näiteks induktiivpoolis, millel on N keerdu paigutatud

täpselt samasuguse südamiku ümber. Sellisel juhul on aheldusvoog (kogumagnetvoog) võrdne kõikide

keerdude magnetvoogude summaga

11

NN

ii ,

kus φ1 on ühe keeru juures esinev magnetvoog.

Tiheda pooli puhul on keerud (juhtmekontuurid) üksteise kõrval väga väikese vahega. Pooli ühe keeru

kaugust teisest keerust nimetatakse mähise sammuks. Tihe mähis tähendab, et mähise samm on väga

väike. Kui sellisesse mähisesse lasta elektrivool, mis tekitab ühe keeru kaudu liikumisel magnetvälja,

siis liikumisel läbi teise mähisekeeru, põhjustab vool täiendavalt sama suure magnetvoo tiheduse. Et

mõlemad keerud põhjustavad magnetvälja tekke, siis nüüd on kummagi mähise juures 2 korda

tugevam magnetväli, ka kaks korda suurem magnetvoo tihedus ning kumbki keerd haarab kokku 2

korda suurema magnetvoo. Et mõlema mähisekeeruga on seotud 2 korda tugevam magnetvoog, siis

aheldusvoog sellises süsteemis on

1111

422

N

ii

Kolme keeruga poolil on vastavalt kolm keerdu, mida magnetvoog läbib. Samuti on kõik kolm keerdu

magnetvälja allikad. Iga keeru juures seega on kolm korda tugevam magnetvoog (φ1 + φ1 + φ1 = 3 φ1).

Kokku on aheldusvoog kõigi kolme keeru magnetvoogude summa

11111

9333

N

ii

Mitmekeerulisel tihedal poolil seega on aheldusvoog võrdeline pooli keerdude arvu ruuduga

12 N

Induktiivsus iseloomustab seda, kui suur aheldusvoog esineb mingis geomeetrilises kontuuris või

magnetväljaga seotud elektrit juhtivas kontuuris, kui seda kontuuri läbib vool tugevusega 1 A.

IL

Vaadates magnetvoo tiheduse valemit, selgub, et magnetvoo tihedus oli proportsionaalne vooluga.

Sellest tingituna on ka magnetvoog võrdeline voolutugevusega, samuti ka aheldusvoog. Induktiivsuse

valemi alusel taandub vool välja ning järele jääb ainult geomeetriliselt määratud osa. Sarnaselt

elektriväljade puhul kasutatud mahtuvuse mõistega on ka induktiivsus geomeetriliste parameetritega

määratud suurus, mis võtab arvesse ka keskkonna omadusi (magnetiline läbitavus). Sarnaselt

aheldusvoole on ka induktiivsus võrdelises suuruses pooli keerdude arvu ruuduga

2NL .

Kõikides suletud elektrilistes ahelates kehtib Faraday seadus, mille kohaselt on kontuuri otstele tekkiv

allikapinge võrdeline aheldusvoo muutumise kiirusega

dt

de

Oletame, et kontuuri geomeetrilised mõõtmed ajas ei muutu. Võttes arvesse induktiivsuse

definitsiooni ning seda, et induktiivsus käsitleb ajas muutumatuid geomeetrilisi parameetreid, saame

kirjutada Faraday seaduse ka kujul

dt

tdiLe

)(

3.6 Induktiivse ahela näivtakistus

Igas induktiivses ahelas (e. ahelas, milles esineb teatava väärtusega induktiivsus) saab siinuskujulisel

toitel arvutada näivtakistuse. Selleks lähtume seosest, et induktiivset komponenti või ahelat läbib vool,

mille väärtus igal ajahetkel on määratud kui

)sin()( tIti M

Vastavalt Faraday seadusele on sellise komponendi (või ahela) otstel pinge, mis on arvutatav läbi

tuletise

tILdt

tdiLtu M cos

)()(

Selliste siinussuuruste puhul arvestatav voolu ja pinge efektiivväärtus on vastavalt

2

2

LIU

II

M

M

Lähtudes Ohmi seaduse definitsioonist

LfLI

LI

I

UX

M

ML

2

2

2

See valem kirjeldab induktiivpooli näivtakistust (reaktiivtakistust) absoluutväärtusena. Täislahendi

puhul saame kompleksarvu, mis on täielikult imaginaarse väärtusega

LjXC

jX LC

1

Imaginaarosaga reaktiivtakistus XL on mahtuvusliku elemendi näivtakistuse (reaktiivtakistusega XC)

suhtes vastasfaasis. Olukord on mõistetav vektordiagrammilt, mille puhul mahtuvusliku näivtakistuse

ja induktiivtakistuse vektorid on vastassuunalised.

Iga ahel, mis sisaldab induktiivseid ja mahtuvuslikke komponente, omab teatud näivtakistust. Tuleb

rõhutada, et igal erineval sagedusel on ka ahela näivtakistus erinev, kuna nii induktiivne näivtakistus

XL kui ka mahtuvuslik näivtakistus XC on sagedusest sõltuvad. Näivtakistus Z iseloomustab pinge ja

voolu efektiivsuuruste omavahelist suhet (Z = U / I). Samas tuleb arvestada, et takistite (aktiivtakisti)

takistus on reaalarvuline suurus, kuid XC ning XL omavad imaginaarosa. Näivtakistuse arvutamiseks

saab kasutada seost

222 CL XXRZ .

Imaginaarsed takistused XC ning XL esindavad kaovabasid suurusi. Nendes energia ei haju, s.t

imaginaarse takistuse tõttu ei teki Joule’i soojust. Seega puhastel reaktiivsetel komponentidel

(induktiivsus, mahtuvus) soojuskadusid ei esine. Soojuskadu ning energia hajutamine elektriahelast

saab esineda ainult teatud aktiivtakistusliku elemendi olemasolul, või siis energia üle kandumise tõttu

elektri- või magnetvälja ülekandumise tõttu mingile välisele ahelale.

Igas induktiivses komponendis esineb seda komponenti läbiva voolu tõttu teatud tugevusega

magnetväli. Selles väljas on iga induktiivse ahela osas või induktiivses komponendis salvestunud

energia, mis on võrdne

2

2LIWL

3.7 Vastastikune induktiivsus

Elektrivoolu tõttu esinev magnetväli levib juhtme vahetust ümbrusest kaugemale ning jõuab ka

erinevate muude geomeetriliste elektrijuhtidest kontuurideni. Faraday seaduse järgi igas kontuuris,

mida mõjutab ajas muutuv magnetvoog, indutseeritakse pinge (elektromotoorjõud). Seega ruumis

aset leidev magnetvoo muutus mõjutab ka kõiki elektrilisi kontuure, mis jäävad ruumis magnetvoo

mõjualasse.

Olukorra vaatlemiseks võtame aluseks magnetvoo kujutise kahe keeruga induktiivpooli puhul. Sellise

pooli mõlemas keerus liigub sama tugev vool. Eeldades mõlema keeru samasugust geomeetrilist kuju,

võime öelda, et mõlema keeru poolt põhjustatud magnetväljad on identsed. Tähistame järgnevalt

magnetvoo tiheduse väärtuse magnetvälja jõujoonte jämeduse ning arvu abil, ning arvestame alati ka

magnetvoo tiheduse vektori suunaga. Magnetvoo tiheduse kujutisel on suurim väljatugevus juhtme

vahetus ümbruses. Vertikaalsuunas kahe samasuunalise vooluga juhtmekeeru põhjustatud magnetvoo

kujutisel on näha selgelt, et magnetvoo tihedus on juhtmekeerdude vahel erisuunaline, kuid praktiliselt

sama intensiivsusega. Erisuunalised magnetväljad annulleerivad teineteise mõju ning kahe keeru vahel

on väljatugevus väga väike. Samas juhtmete ümbruses olevas ruumis on erinevate juhtmete poolt

tekitatud väljad samasuunalised ning liituvad. Summaarne magnetvoo tihedus ümber juhtmete on

kujutatav kui kaks korda suurema tugevusega väli, mis ulatub mõlema keeru ümber. Keerdude vahel

väli praktiliselt puudub. Antud juhul ka ühe keeru kohta esinev aheldusvoog on kaks korda

intensiivsem.

Joonis 3-10. Kahe keeru omavahelise magnetvälja esitus.

Ning kombineeritult: kaks samasuunalise vooluga keerdu.

Keerd 1

Keerd 2

Joonis 3-11. Kahe lähestikku asuva juhtmekeeru magnetväljade kombineerumine.

Juhtmete ümber magnetvoo tihedus tugevneb, seega tugevneb ka aheldusvoog. Tugevam

aheldusvoog samas tähendab ka suuremat induktiivsust.

Juhul, kui kaks lähestikust keerdu on erisuunaliste vooludega, viib olukord summaarse välja

vähenemiseni. Siin on kummagi juhtme poolt tekitatud väli vastassuunaline ümber juhtme. Ainult

juhtmekeerdude vahelises alas on magnetvoog samasuunaline, ning selles alas on magnetvoog

kahekordse tugevusega. Et vahetult kahe keeru vaheline ruum on väike, selline tugevama välja ala

aheldusvoo üldist pilti ei muuda. Juhul, kui juhtmed oleksid kohakuti, siis väljad annulleeriksid

teineteist täielikult ning selliselt induktiivsus oleks praktiliselt null. Reaalses süsteemis see kunagi

selline olla ei saa. Aheldusvoog ning ka induktiivsus vähenevad, kuid kunagi nulliks ei saa.

Joonis 3-12- Kahe erisuunalise vooluga juhtmekeeru magnetväljade kombineerumine.

Vaatleme olukorda, kui ühe juhtmekeeru poolt on tekitatud magnetvoo tihedus B. Teine juhtmekeerd

on paigutatud selle keeru lähedale, seejuures on teise juhtmekeeru otsad lühistatud. Teises

juhtmekeerus ei ole allikat, järelikult ei liigu seal staatilises olukorras ka vool. Järelikult ei põhjusta ka

teine keerd staatilises olukorras omapoolset magnetvälja ning magnetvälja kujutis on alalisvoolu korral

samasugune, nagu juhul, kui teist keerdu lähedal poleks.

Kui esimeses keerus vool muutub, muutub ka keerdu ümbritsev magnetväli. Faraday seadusest

lähtuvalt indutseerib muutuv magnetvoog nüüd teise keerdu ka teatud väärtusega pinge, see

tähendab, et sellises olukorras on ka teisel juhtmekeerul olemas vooluallikas. Faraday seaduse järgi on

elektromotoorjõud vastupidise märgiga magnetvoo muutumise suhtes. Seetõttu ka teises keerus

(lühistatud keerd) vool hakkab liikuma vastassuunas. Sellise voolu tulemusena on ka magnetvoog

suunatud vastupidises suunas keeru „1“ poolt tekitatud magnetvoole, põhjustades ka väikesema

aheldusvoo.

dt

de

Juhul, kui teise keeru otsad pole ühendatud, saame ka kindlaks määrata aheldusvoo muutumise mõju.

Antud juhul vaatame olukorda, kui teises keerus koormuse puudumisel voolu väärtus on minimaalne

ning teise keeru voolust tingitud magnetväli on tühiselt väike. Sellise keeru otste vahele tekib pinge,

mis on võrdeline

dt

diM

dt

de 112

Võrdetegurit M nimetatakse vastastikuseks induktiivsuseks, kuna valemi vasakpoolne osa on

praktiliselt sama induktiivsuse määratlusega. Sisuliselt iseloomustab vastastikune induktiivsus seda,

kui suure magnetvoo teises kontuuris põhjustab esimese kontuuri poolt tekitatud magnetvoog.

Näide. Juhtmes voolab vool i1. Juhtme juurde, 10 cm kaugusele asetatakse 3 juhtmekeeruga raam,

mille mõõtmed on 15 cm x 15 cm. Kui suur on vastastikune induktiivsus raami ja juhtme vahel? Milline

on koormamata raami otstel esinev elektromotoorjõud, kui vooluga juhtmes voolutugevus kasvab 0,1

millisekundi jooksul tasemelt 0 … 2,5 A?

Joonis 3-13. Näiteülesande geomeetriline esitus.

Lahendus:

Vastastikuse induktiivsuse väärtuse saame leida seosest

dt

tdite

Mdt

tdiM

dt

tdte

)()()()(

)(1

2112

Tähistades kauguse juhtmest kui h, saame juhtme poolt tekitatud magnetvoo tiheduse

määrata kasutades seost

h

tiB R

2

)(10

Magnetvoog, mida raam haarab, on leitav seosega

A

dAB .

Et juhtme ümber olev magnetväli väheneb kaugusega pöördvõrdeliselt, peame teostama

summeerimise esitatud kujul (integreerimise).

Antud juhtme ja raami asetuse korral on magnetvoo avaldiseks ühe keeru kohta

1

210 ln2

)(

h

htilkeerd

,

ning mitmekeerulise pooli jaoks on aheldusvoog leitav kui

1

210 ln2

)(

h

hNtilNkeerd

kus N on keerdude arv. Kirjutame selle ringi, tuues selgelt välja voolu i(t)

)()(ln2

11

1

20 tiktih

hNlN geomkeerd

,

kus kgeom esindab geomeetrilist ajast sõltumatut tegurit.

Juhis voolu väärtuse muutumise korral indutseeritakse raamis elektromotoorjõud, mis on

väärtusega

dt

tdik

dt

tikd

dt

de geom

geom )()( 1112

Vastastikuse induktiivsuse saame nüüd avaldada

nH.901091,0

25,0ln

2

315,0104ln

2)(

)(

)(

)( 87

1

20

1

1

1

2

h

hNlk

dt

tdidt

tdik

dt

tdi

teM geom

geom

.

Raamis indutseeritud elektromotoorjõu saame määrata, kasutades üle-eelmist esitatud

avaldist, või siis ka vastastikuse induktiivsuse väärtust. Voolu muutumise kiirus

A/s250000001,0

5,211

alglõpp

alglõpplajavahemkumuutusühtlane

tt

ii

t

i

dt

di

mV25,2V00225,0250002

315,0104ln

2

71

1

20112

dt

di

h

hNl

dt

dik

dt

diMe geom

Vastus: raami ja juhtme vastastikuse induktiivsuse väärtus on 90 nH ja kirjeldatud voolu

muutuse korral on raami otstel pinge u. 2,25 mV.

Kahe kontuuri omavaheline seos (sidestustegur k) on määratav kui

21 LL

Mk

21 LLkM

k väärtus saab olla kuni 1. Viimasel juhul aheldub kogu keeru „1“ poolt tekitatud aheldusvoog teises

keerus. k vaatus 0 tähendab, et kahe keeru vahel pole mingit seost. Aheldusvoo kontekstis võime

kirjutada välja järgmised seosed:

2221122

2121111

iLiL

iLiL

iL

Siin on aheldusvoo leidmiseks kaks komponenti. Esmalt on keerdude o