Elektromagnetizam 1

PREDAVANJE 8 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 1

ELEKTROMAGNETIZAM

1. Uvod

Magnetske pojave u svom najosnovnijem vidu bile su poznate jou antikoj Grkoj, kada jezapaeno da komadi gvozdene rude magnetita (Fe3O4) privlae sitnije komadie gvoa. Mehanikesile usled kojih nastaje to privlaenje nazvane su magnetskim silama, verovatno po maloazijskomgradu Magneziji (dananja Maniza), uijoj su blizini bila nalazita te rude. Komadi magnetita pred-stavljaju prirodne magnete, a pojave praene magnetskim silama zovu se magnetske pojave. Kasni-je je primeeno da kada se predmeti od gvoa nau u blizini prirodnih magneta i sami postajumagneti, poto se spontano namagnetiu. Tako dobijeni magneti zovu se vetaki magneti. I kodprirodnih i kod vetakih magneta postoje dve zone uijoj blizini je najizraenije dejstvo magnet-skih sila.Te zone zovu se polovi magneta. Osobinu privlaenja magneti ne ispoljavaju samo premagvou i njegovim legurama, vei prema kobaltu i niklu. Magnet u obliku tanke horizontalno po-stavljeneipke ili igle obeene o tanku nit tako da se moe obrtati oko vertikalne ose, uvek zauzimapravac sever-jug. Pol magneta okrenut ka severu zove se severni (N) (N "North"), a pol okrenutka jugu, zove se juni pol magneta (S) (S"South"). Interesantno da je sve do Viljema Dilbertameu istraivaima vladalo uverenje da se magnetska igla postavlja u pravcu sever-jug pod utica-jem zvezde Severnjae, a ne prirodnog magnetskog polja Zemlje. Slinost meusobnog mehanikogdejstva naelektrisanja i magnetskih polova dala je povod za istovetan pristup u analizi elektrinih imagnetskih pojava. Usled toga je stvorena predstava o magnetskoj masi kao specifinom fizikomagensu rasporeenom na krajevima magneta, koji je smatran uzronikom magnetskih dejstava.Takoe, konvencionalno je usvojeno i da je magnetska masa oko severnog pola pozitivna, a onaoko junog negativna.U to vreme nije se jonasluivalo postojanje dublje veza izmeu elektrinih imagnetskih pojava.

injenica da se raznoimeni polovi magneta privlae, a istoimeni odbijaju navela je istraivaena pokuaj da seenjem magneta razdvoje magnetske polove, kaoto se, recimo, odgovarajuim po-stupcima mogu razdvojiti raznorodna naelektrisanja. Meutim, rezultati svih tih pokuaja pokazalisu da se seenjem magneta uvek dobijaju magneti sa oba pola. Tainjenica, kao i osobina magnetada deluju samo na pokretna naelektrisanja, utemeljila je do poetka 19. veka stav da izmeu elek-trinih i magnetskih pojava ne postoji veza. I pored toga, nauka o magnetizmu se dugo oslanjala navesteena znanja o elektrinim pojavama. Prvi kvantitativan zakljuak o delovanju magnetskih si-la izveo je Kulon 1785. godine, iste godine kada je otkrio i zakon o meusobnom dejstvu naelektri-sanih tela. Eksperimentiui sa dva dugaka magneta u oblikutapa i pretpostavljajui da su polovimagneta locirani na krajevima tihtapova, on je doao do zakljuka da je intenzitet magnetske sileobrnuto proporcionalan kvadratu rastojanja izmeu polova, a direktno proizvodu "magnetskih ma-sa" polova, koje mogu biti istog ili razliitog znaka. Naalost, u prirodi nije dokazano postojanjeizolovanih magnetskih polova (tj. magnetskih masa), tako da je uspena analogija izmeu elektri-nih i magnetskih pojava bila propraena i nizom fiziki neutemeljenih definicija i pojmova.

Moda je najvanije otkrie u istoriji magnetizma uinio 1820. godine danski fiziar HansKristijan Ersted (1777-1851). To otkrie opisano je udbeniku (videti odeljak 3.4 poglavlja podnaslovom "ELEKTROKINETIKA" i videti fusnotu na str. 271).

Ubrzo posle Erstedovog otkria, niz sjajnih fiziara uspeo je da u vrlo kratkom roku otkrijeosnovne zakone magnetizma i njegovu blisku povezanost sa elektrinom strujom. Francuski fiziarAmper Andr Marie Ampre (1775-1836), fascinantnom intuicijom i izvanrednim eksperimentimapronaao je zakon o magnetskoj sili izmeu dva strujna elementa (za definiciju strujnog elementa


videti str. 164 u udbeniku, ili na str. 1 u PREDAVANJU 4) tj. zakon o sili meusobnog dejstva dvadelia kvazilineinih strujnih provodnika u vakuumu. Taj zakon vrlo priblino vai i kada se strujnielementi nalaze u vazduhu. Godine 1820. Amper je otkrio, ne samo postojanje elektromagnetskihsila izmeu provodnika sa strujom, veje i dokazao slinost u pogledu magnetskih osobina izmeusolenoidnog namotaja sa vremenski konstantnom strujom i cilindrinog magnetskog tapa slinihdimenzija. Takoe, pokazao je i da dva "solenoidnatapa" sa strujnim navojcima, meusobno uvekdeluju mehanikim silama na slian nain kao i dva prva magnetskatapa.tavie, Amper je poka-zao i da se svaki slobodno obeen strujni navojak (ili elektrina kontura), u magnetskom polju po-naa kao magnetska igla. Podstaknut tim zapaanjima (a ne poznajui atomsku teoriju), Amper jepostavio vrlo smelu hipotezu za to vreme o postojanju veoma malih-struja unutar stalnih, odnosnopermanentnih magneta, koje je oznaio kao prve uzronike svih magnetskih pojava. Istina, tada jebilo dosta potekoa sa usvajanjem pomenute hipoteze, poto ona nije na zadovoljavajui nain ob-jasnila mehanizam permanentnog odravanja -struja bez utroka energije. U dananje vreme po-stojanje Amperovih-struja vie se uopte ne dovodi u pitanje, jer zna se da one potiu od orbital-nog kretanja i spina elektrona, kao i spina jezgra u atomima supstancije.

Amperovi zemljaci i savremenici Bio [Jean-Baptiste Biot (1774-1862)], Savar Flix Savart(1791-1841)i Laplas [Pierre-Simon Laplace (1749-1827)], formulisali su matematiki izraz zamagnetsku indukciju kao vektorsku veliinu koja opisuje (definie) magnetsko polje. Britanski fizi-ar i eksperimentator Majkl Faradej [Michael Faraday (1791-1867)] 1831. godine otkrio je zakonelektromagnetske indukcije (str. 8, PREDAVANJE 6) i pojavu da je vremenski promenljivo magnetskopolje uvek praeno vremenski promenljivim elektrinim poljem. Profesor fizike sa Univerziteta uPetrogradu Lenc prvi je dao praktino pravilo za odreivanje smera struje povezane sa elektromag-netskom indukcijom (videti Lencov zakon, ili Lencovo pravilo str. 11-12, PREDAVANJE 6).

Svi pomenuti briljantni istraivai nepobitno su dokazali postojanje veze izmeu elektrinih imagnetskih pojava, ali je, ipak, tek atomska teorija omoguila da se shvate i mehanizmi te veze.Elektrino i magnetsko polje u tolikoj meri su meusobno povezani da se s pravom moe govoriti ojedinstvenom elektromagnetskom polju, a elektrostatiko i vremenski konstantno magnetsko poljesamo su njegovi specijalni sluajevi.

Elektrine i magnetske pojave potiu od elementarnih naelektrisanih estica. Jedina razlikaizmeu njih je u tome to se elektrini efekti javljaju i dok estice miruju, a magnetski samokada se one kreu u odnosu na posmatraa. Magnetske sile izmeu permanentnih magneta surezultante sile koje nastaju usled meusobnog dejstva elementarnih, naelektrisanih esticakoje se kreu u atomima (elektroni). Dakle, kao jedini uzrok nastanka magnetskog polja moese oznaiti makro- i mikroskopsko kretanje naelektrisanja, ukljuujii spin elektrona u atomu.

Kulonova sila meusobnog dejstva dva mala naelektrisana metalna tela u miru moe se di-rektno meriti pomou torzione vage. Meutim, sila meusobnog dejstva dva mala pokretnanaelektrisana tela ne moe se direktno izmeriti, vesamo posredno i to kod dobrih provod-nika. Naime, kod takvih provodnika za odravanje struje potrebno je relativno slabo elektri-no polje, pa zbog toga na njihovim povrima praktino nema ni elektrinog polja ni naelektri-sanja. Usled toga, sila meusobnog dejstva dva dobra strujna provodnika ima magnetski, ane elektrini karakter. Rezultantna magnetska sila u tom sluaju predstavlja makroskopskistatistiki izraz meusobnih dejstava svih elementarnih naelektrisanja u kretanju.

Jednostavnim eksperimentom sa dva permanentna magneta moe se uoiti njihovo meusob-no dejstvo na daljinu zbog postojanja magnetskog polja u fizikom prostoru u kojem se magnetinalaze; moe se, takoe, zapaziti i poveavanje intenziteta magnetske sile sa smanjivanjem rastoja-nja izmeu magneta; pored toga, karakter magnetskih sila moe biti i privlaan i odbojan, zavisnood meusobnog poloaja magneta. Te sile su obino znatno veeg intenziteta od elektrinih i kaotakve sreu se kod galvanometara, instrumenata sa kretnim kalemovima i kod elektromotora.


Izuavanje magnetskih pojava poinje obino od magnetske sile izmeu dva kvazilineina strujnaprovodnika u vakuumu, ili jopreciznije, od elementarne magnetske sile izmeu strujnih elemenatatih provodnika. Matematiki izraz za elementarnu magnetsku silu kao vektor, znatno je sloenijegoblika od Kulonovog zakona i on vai ne samo u vakuumu, veveoma priblino i u drugim nefero-magnetskimi sredinama (to su sredine gde nema gvoa, kobalta, nikla i njihovih legura).

Amperov zakon za magnetsku silu (koji je plodiste intuicije), pandan je Kulonovom zakonu.Strujni element je pandan punktualnom naelektrisanju, a magnetski moment strujne konture je pan-dan elektrinom momentu dipola u vakuumu. Videli smo da se ponaanje supstancije u elektrinompolju moe opisati preko mnotva dipola u vakuumu, a ponaanje supstancije u magnetskom poljumoe opisati skupom elektrinih -kontura u vakuumu okarakterisanih magnetskim momentima.Dakle, elektrina struja i magnetsko polje nerazdruivo su povezani.

2. Amperov zakon za magnetsku silu izmeu strujnih elemenata u vakuumu

Posmatrajmo dve tanke (kvazilineine) strujne konture u vakuumu: C1 sa vremenski konstant-nom strujom I1 i C2 sa vremenski konstantnom strujom I2, koje se nalaze u proizvoljnom meusob-nom poloaju prikazanom na sl. 1a.Naravno, za odravanje struja u tim konturama moraju biti pri-kljueni i elektrini izvori. Ako su elektrine otpornosti ovih kontura male, toe za odravanje stru-je u njima biti dovoljno malo elektrino polje, te na povrima provodnika nee biti naelektrisanja.Usled toga e i sila kojom jedna strujna kontura deluje na drugu bitiisto magnetskog karaktera, aona se za bilo kakav oblik i i bilo koji meusobni poloaj kontura uvek moe izmeriti.

0C1

C2

r

I2I1

dl2

dl1

(a)

r2 2dI l

1 1dI l

r 2v1v

dQ2

dQ1

(b)

0

Sl. 1

Meutim, ako je potrebno izraunati magnetsku silu meusobnog dejstva dve strujne konture,primenjuje se diferencijalno-integralni metod: prvo se svaka kontura predstavi preko svojih nado-vezanih strujnih elemenata I1dl1 i I2dl2, zatim se odrede sve elementarne magnetske sile meusob-nog dejstva tih elemenata i konano se izvri vektorska integracija dobijenih elementarnih sila kakobi se odredila rezultantna magnetska sila meusobnog dejstva tih strujnih kontura. Poto, naalost,izolovani strujni elementi fiziki ne postoje, to se ni elementarne magnetske sile ne mogu izmeriti.Umesto toga ide se sledeim putem: (a) na osnovu merenja makroskopskih sila za razliite sluaje-ve strujnih kontura moe se doi do ideje kako bi trebalo da izgleda izraz za silu izmeu strujnihelemenata, (2) zatim se koristei taj izraz u novim primerima izraunavaju rezultantne sile i (3) takodobijeni rezultati potom se eksperimentalno verifikuju. I tako, primenjujui korake (1)(3) utvrenoje da se u svim sluajevima strujnih kontura u vakuumu dobija taan izraz za rezultantnu makro-skopsku magnetsku silu ako se pretpostavi da su elementarne magnetske sile dF12 kojom strujni ele-ment I1dl1 deluje na element I2dl2 i dF21 kojom strujni element I2dl2 deluje na element I1dl1 slede-eg oblika:


d d (d ) d d (d ) ,F l l r F l l r r12 0 1 2 2 13 210 1 2 1 2

34 4

I I

rI I

rr | |, (*)

gde je 0=410-7 [N/A2] ili [H/m] ("H"-jedinica za induktivnost) tana vrednost za magnetskupermeabilnost vakuuma (a veoma priblino i vazduha), rvektor poloaja strujnog elementa I2dl2 uodnosu na strujni element I1dl1, a -r vektor poloaja strujnog elementa I1dl1 u odnosu na strujnielement I2dl2. Izraz (*) zove se Amperov zakon za magnetsku silu izmeu strujnih elemenata u va-kuumu, uprkos tome to on ne zadovoljava zakon akcije i reakcije kao originalan izraz formulisanod strane smog Ampera s obzirom na to da je:

d dF F12 21 0 Zakon akcije i reakcije za strujne elementeb g d (d ) -d (d )l l r l l r2 1 1 2 0

d (d ) - (d d ) - d (d ) (d d ) tj. , d (d ) -d (d ) , ilil l r r l l l l r r l l l l r l l r1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 0 0,

r l l (d d )1 2 0 Ekvivalentan oblik zakona akcije i reakcije za strujne elemente. (**)U pogledu generisanja elementarne magnetske sile strujni element I1dl1=I1v1dt=dQ1v1 ekvivalen-tan je naelektrisanju dQ1=I1dt koje bi se u nekom trenutku nalo na istom mestu gde i taj element, abrzina naelektrisanja v1=dl1/dt tada bi imala pravac i smer elementa (sl. 1b). Ponavljamo da sestrujni elementi orijentiu uvek u referentnom smeru struje provodnika, bez obzira na njenu vre-mensku varijaciju. Poto isto vai i za strujni element I2dl2, zakljuujemo da se problem uzajamnogdejstva dva strujna elementa u sutini svodi na problem meusobnog dejstva dva naelektrisanja kojase kreu u odnosu na posmatraa. Drugim reima, to je problem meusobnog dejstva tri tela: dvanaelektrisanja i vremenski promenljivog elektrinog polja sa njegovim inercijalnim svojstvima us-led konane brzine prostiranja i promene gustine energije u razliitim takama tog polja. Prema to-me, logino je i oekivati da u optem sluaju za elementarnu silu meusobnog dejstva strujnih ele-menata ne vai zakon akcije i reakcije. Naravno, iz relacije (**) vidimo da u specijalnom sluajukada su posmatrani strujni elementi kolinearni, zakon akcije i reakcije vai.

Uloga Amperovog zakona u magnetizmu (*) ista je kao i uloga Kulonovog u elektrostatici.Poto izolovani strujni elementi ne postoje, to se ni Amperov zakon ne moe direktno proveriti, alise njegov intuitivno pretpostavljeni oblik moe iskoristiti kao sredstvo da bi se dolo do rezultata omeusobnom makroskopskom dejstvu dve strujne konture u vakuumu. Celokupno eksperimentalnoiskustvo pokazuje da magnetske sile meusobnog dejstva takvih kontura uvek zadovoljavaju zakonakcije i reakcije. Naravno,injenica da taj zakon ne vai za fiziki nepostojee strujne elemente, nebi trebalo daudi.

Sledei primer pokazuje nam da se magnetske sile, a pogotovo one velikog intenziteta, moguznatno efikasnije generisati od Kulonovih istog intenziteta. Jer, u tim sluajevima elektrostatikopolje u pojedinim takama, kao i u delovima prostora, obino postane toliko velikog intenziteta dajopre pojave Kulonove sileeljenog intenziteta nastupi elektrini proboj dielektrika.

Primer 1: Dva kolinearna "strujna ele-menta" 1 i 2 duine 5 [cm] sa istimstrujama od po I=50 [A] nalaze u vazdu-hu na rastojanju a=1 [m] (sl. 2). Da li seista privlana sila sa kojom ovi elementimeusobno deluju moe ostvariti i sa dvemetalne sfere poluprenika R=0,5 [cm],koje se nalaze u vazduhu na rastojanju ai naelektrisane su raznoimenim koliina-ma elektricitetaQ ?

0

a

I I

2R 2R

0Q -Q

F21 F12

1 2

Sl. 2


Kako su strujni elementi kolinearni i a , to je prema Amperovom zakonu (*) privlanamagnetska sila izmeu njih intenziteta, F=|F12|=|F21| [0/(4)](I/a)2=0,625 []. PrivlanaKulonova sila istog intenziteta moe se ostvariti sa dve metalne sfere u vazduhu, poluprenika R (Ra) ako se ove raznorodno naelektriu koliinama elektricitetaQ sa modulom |Q|=a(40F)1/28,34 [nC] (010-9/36[F/m]). Tada e intenzitet elektrinog polja E0 u vazduhu na povrima tihsfera biti priblino jednak:

2 2

0 2 20 0

kV30

cm4 4| Q | | Q | a F a

ER | Q | RR a

,

to pokazuje da se privlana sila F uopte i ne moe ostvariti pomou ovih naelektrisanih sfera, jerelektrino polje u vazduhu na povrima sfera prevazilazi elektrinuvrstou vazduha, zbogega do-lazi do njegovog elektrinog proboja. Sa druge strane, udvostruavanjem intenziteta struje elemena-ta (I=100 [A]) i njihovim smetanjem u sredinu magnetske permeabilnosti40 , dobija se pri-vlana magnetska sila izmeu strujnih elemenata intenziteta od oko 25 [mN]. Usnopljavanjem pro-vodnika, a time i strujnih elemenata, intenzitet magnetske sile i dalje se moe uveavati. Iz prethod-nog zakljuujemo da se promenom intenziteta struje i permeabilnosti sredine, u optem sluaju mo-gu daleko lake ostvariti magnetske sile odreenog (pa i velikog) intenziteta, nego kada se koristeelektrostatiki postupci. Zato se danas elektrostatike (Kulonove) sile preteno koriste kod elektron-ske merne instrumentacije, a magnetske kod analogne merne instrumentacije, u deflekcionim siste-mima katodnih cevi TV prijemnika i panel pokazivaima, kod elektromotora itd.

U narednom razmatranju zadraemo se i dalje na magnetskim poljima u vakuumu, a za strujeelektrinih kontura usvojiemo da su vremenski konstantne i/ili sporo promenljive. Rezultati koji sebudu dobili sa velikom tanou bie direktno primenjivi, ne samo za vakuum kao sredinu, veikod dijamagnetika i paramagnetika&). Meutim, kod feromagnetika ti rezultati nee biti primenjiviu direktnom obliku, pae njihovo ponaanje u magnetskom polju morati da se posebno proui.

3. Vektor magnetske indukcije. Bio-Savarov zakon i njegova primena

Strujni elementi u Amperovom zakonu za magnetsku silu (*) nalaze se u vakuumu. S obziromda ljudskomulnom iskustvu i pojmanju nije prihvatljivo da moe postojati bilo kakvo meusobnodejstvo strujnih elemenata bez "vidljivog" fizikog posrednika, to se upravo magnetskom polju kaoobjektivnoj fizikoj realnosti pridaje uloga tog posrednika u posmatranom dejstvu. Dakle, ak i uvakuumu kao fiziki linearnoj sredini smatraemo da elementarna magnetska sila dF12 nastaje usleddejstva magnetskog polja struje I1 linijskog elementa dl1 konture C1 na strujni element I2dl2; ada elementarna sila dF21 nastaje usled dejstva magnetskog polja struje I2 linijskog elementa dl2konture C2 na strujni element I1dl1. Na osnovu toga, a u cilju definisanja vektorske funkcije kojakarakterizuje magnetsko polje u vakuumu, relaciju (*) pogodno je napisati u sledeem obliku:

0 01 1 2 212 2 2 21 1 13 3

d d ( )d d d d .

4 4I I

I Ir r

l r l rF l F l (***)

&) Relativna magnetska permeabilnost dijamagnetika jer:=/01 (manje, ali priblino jednako). U takve sup-stancije spadaju, npr. Ag, Cu, Zn, Bi, grafit, voda itd. Relativna magnetska permeabilnost paramagnetika je r1 ( vee, ali priblino jednako). U takve supstancije spadaju, npr. Pt, Al, O2, vazduh itd. U feromagnetike spadaju Fe,Co i Ni zajedno sa svojim legurama, kao i dve retke zemlje: gadolinjum (Gd) i disprozijum (Dy) koje nemaju primenuu savremenoj elektrotehnici. Uobiajeno je da se za dija- i paramagnetike kae da su supstancije linearne u magnetskompogledu, a da su feromagnetici nelinearni u tom pogledu.


Iz prethodne relacije vidi se da elementarna magnetska sila dF12, koja deluje na strujni ele-ment I2dl2, zavisi samo od tog elementa i njegovog poloaja u odnosu na strujni element I1dl1. Naslian nain i elementarna magnetska sila dF21, koja deluje na strujni element I1dl1, zavisi samo odtog elementa i njegovog poloaja u odnosu na strujni element I2dl2. Na osnovu prethodnog mogueje uvesti jedinstvenu vektorsku veliinu B koja karakterie magnetsko polje i koja se zove vektormagnetske indukcije, a u literaturi joi vektor gustine magnetskog fluksa. Od 1956. godine jedinicaza jainu, ili intenzitet B=|B| magnetske indukcije nosi naziv Tesla ([T]) po genijalnom pronalazauNikoli Tesli (1856-1943).

Zamiljene orijentisane linije u magnetskom polju sa osobinom da je u svakoj njihovoj takipravac vektora B tangencijalan na liniju koja prolazi kroz tu taku i koje su orijentisane naisti nain kao i B, zovu se linije magnetske indukcije, ili linije magnetskog polja. Skup svih tihlinija obrazuje spektar ili sliku polja, a njegov intenzitet u nekoj taki srazmeran je (povrin-skoj) gustini linija u toj taki. Poto je vektor magnetske indukcije B jednoznana vektorskafunkcija koordinata taaka, to sledi da se linije magnetske indukcije ne mogu presecati.

Na osnovu relacije (***) (videti i sl. 1a) sada je mogue na sledei nain definisati vektoreelementarnih indukcija dB1 i dB2 magnetskih polja koje na mestima gde su locirani strujni elementiI1dl1 i I2dl2 stvaraju strujni elementi I2dl2 i I1dl1, respektivno:

0 02 2 1 11 2 12 2 2 2 21 1 1 13 3

d (- ) dd : , d : d d d , d d d

4 4I I

I Ir r

l r l rB B F l B F l B .

rX

0dl

I dB

(a)

I

dl

X

0C

r

(b)Sl. 3

Iz prethodne relacije sledi da se u optem sluaju vektor elementarne indukcije dB magnetskog po-lja koje u bilo kojoj taki X (sl. 3a) stvara strujni element proizvoljne strujne konture C (sl. 3b) savremenski konstantnom ili sa sporopromenljivom strujom I, moe odrediti iz sledee relacije:

03

dd

4I

r

l rB ; 0 2

d sind d d (d )

4I l

B , l | |, ,r

l l r , (#)

odakle je jasno da je pravac vektora B u taki X normalan na ravan vektora r i dl. Veliina uglana sl. 3a oznaenog strelicom, nije algebarska, jer strelica oznaava smo da je smer vektora Bpovezan sa vektorima dl i r po pravilu desne zavojnice. To znai da je vektor B orijentisan u smerunapredovanja te zavojnice kada se ona okree u smeru koji najkraim putem dovodi do poklapanjavektora dl i r (tj. drugim reima, kada se dl okree u smeru orijentacije ugla ). U sluaju na sl. 3avektor elementarne indukcije dB usmeren je kao odlazea strela ("") kada je I0, a kao dolazea("") kada je I 0. Zbog toga se za smer vektora dB odreen na ovaj nain kae da je algebarski,to znai da je dB zaista orijentisano kao na sl. 3a kada je I0, a u suprotnom smeru kada je I0.

Izraz (#) za vektor magnetske indukcije dB strujnog elementa zove se Bio-Savarov zakon.


Magnetska indukcija B koju u taki X stvara strujna kontura C u vakuumu (sl. 3b) moe seodrediti vektorskom integracijom indukcija pojedinih strujnih elemenata te konture:

o o0 03 2

d d sin(1 ) ( ); (2 )

4 4C C

I I lC B

r r

l r

B ,pri emu su u sluaju (1o) oblik konture i poloaj take X proizvoljni, dok su u sluaju (2o) kontura itaka u istoj ravni. U sluaju (2o) vektor rezultantne magnetske indukcije B u taki X je normalan naravan crtea (videti sl. 3b), a njegov algebarski intenzitet B raunat u smeru ka crteu (ili od njega),moe imati pozitivan ili negativan predznak.

U praksi se red veliine intenziteta vektora magnetske indukcije kree u vrlo irokim granica-ma. Horizontalna i vertikalna komponenta vektora indukcije prirodnog magnetskog polja Zemlje nateritoriji Srbije iznose Bh 20 [T] i Bv 35 [T], respektivno. Intenzitet magnetske indukcije uokolini strujnih provodnika u vazduhu kree se od 1 [T] do 10 [mT], a u feromagnetskim jezgrimai vazdunim procepima elektrinih maina on je u opsegu 0,1-1 [T]. Najvei intenzitet magnetskeindukcije u dananje vreme ostvaren je pomou elektromagneta i iznosi par desetina [T], a joveiintenziteti (30 [T]) mogu se realizovati sa tzv. superprovodnim magnetima.

Sada emo se baviti odreivanjem raspodele indukcije B magnetskog polja u vakuumu, kojestvaraju kvazilineine strujne konture proizvoljnog oblika. Vakuum je linearna sredina u fizikompogledu, pa u njemu vai princip superpozicije. Strujna kontura proizvoljnog oblika moe se uvekdekomponovati u konaan broj linijskih (ili dunih) i lunih segmenata ili sekcija, pa se indukcija Bu bilo kojoj taki magnetskog polja, u optem sluaju dobija vektorskom integracijom indukcija ko-je u toj taki stvaraju strujni linijski i strujni luni segmenti konture ponaosob, odnosno indukcijakoje stvaraju "strujne dui" i "strujni lukovi". Zato je potrebno da se prvo odrede opti izrazi za ras-podelu indukcije magnetskog polja usamljene "strujne dui" i usamljenog "strujnog luka", naravno,uvek imajui u vidu da takvi strujni elementi fiziki ne mogu da egzistiraju izolovano.

(a) Magnetska indukcija "strujne dui"

Na sl. 4a prikazana je "strujna du" u vakuumu sa vremenski konstantnom ili vremenski sporopromenljivom strujom I. Odredimo pravac, smer i intenzitet vektora indukcije u proizvoljnoj taki Xizvan prave odreene datom dui. Usvojimo da "strujna du" i taka X lee u ravni crtea i da su zabilo koji njihov meusobni poloaj veliine uglova 1 i 2 pozitivne, a uglova 1 i 2 algebarske.Veliine uglova 1 i 2 smatraju se negativnim kada se ovi nanose ispod normale d (tj. u smerusuprotnom od struje I), a pozitivnim kada se ti uglovi nanose iznad normale d (tj. u smeru struje I).Neka je ijedinini vektor x-ose.

Sl. 4

Referentni smerstruje I

Orijentacija linijamagnetske indukcije

Desn

aru

ka

I

0

1d

2d3d

1B

2B

3B

Linije magnetske indukcije orijentisanesu u smeru vezanom po pravilu desne

zavojnice sa algebarskim smerom struje I

Kru`nice

Neograni~en, prav, kvazilinei~nistrujni provodnik u vakuumu

(b)

10

2 0

d ,B BI d

x-osa

0

X

1 0

2 0

dxi

x

0

(a)

r


Prema geometrijskim odnosima na sl. 4a i Bio-Savarovom zakonu (#) dobija se sledee:

1 1 1 1 1 1 10 0, cos cos sin2 2, ,

,

2 2 2 2 2 2 20 0, cos cos sin2 2, ,

,

1 2ctg ctg , d dsin sind dr , x d d x

,

0 0 03 2

d d sind , , d sin d

4 4 4I I Ix x

r | | Bdr r

i rB r dB, B (i, r),

2

1

0 0 01 2 2 1sin d cos -cos sin -sin4 4 4

I I IB

d d d

. (&)

Kada u specijalnom sluaju "strujna du" prerasta u neogranien, prav, kvazilineian strujniprovodnik, tada1 0, a2 , odnosno1 -/2, a2/2, tako da se iz prethodne relacijeza B odmah dobija Bio-Savarov zakon u obliku do kojeg su ovi istraivai doli eksperimentalno:

0

2I

Bd

Eksperimentalni oblik Bio-Savarovog zakona. (##)

Zbog aksijalne simetrije posmatranog sistema, bez obzira na to da li se radi o "strujnoj dui" ili oneogranienom pravolinijskom strujnom provodniku, zakljuuje se da spektar magnetskog polja udatom sluaju mora biti aksijalno simetrinog karaktera.

Za prav, kvazilineian i neogranien provodnik, iz relacije (##) "zakljuuje" se da Bkada d 0.Meutim, kako jedna fizika veliina nikada ne moe dostii beskonano veliku vrednost, to sledi daBio-Savarov zakon vai za take u magnetskom polju koje lee izvan provodnika, poevi od smenjegove granine povri. Neto docnije pokazaemo (videti primer 9 na str. 26, ibid) da na osnovuAmperovog zakona o cirkulaciji vektora magnetske indukcije B (videti na str. 25, ibid.) sledi: (1) da jeintenzitet magnetske indukcije ravan nuli u takama na osi (ne)ogranienog, pravog provodnika, kru-nog poprenog preseka, (2) da taj intenzitet linearno raste sa udaljenou taaka od ose provodnika,sve do njegove granine povri, (3) da Bio-Savarov zakon u obliku (##) vai u takama izvan provod-nika, ukljuujui i one na samoj graninoj povri i (4) da su kod takvih provodnika linije magnetskeindukcije koncentrine krunice, kako unutar provodnika, tako i izvan njega. Za neogranien, prav,kvazilineian strujni provodnik u vakuumu, na sl. 4b prikazane su neke od krunih linija magnetskeindukcije. Njihova orijentacija odreuje se po pravilu desne zavojnice: palac desne ruke postavi se ureferentnom smeru struje, a preostali skupljeni prsti odreuju orijentaciju linija magnetske indukcije.Algebarski intenzitet indukcije isti je u svim takama jedne od tih linija indukcije [npr. za tri takve lini-je na sl. 4b algebarski intenzitet magnetske indukcije u njihovim takama je, Bi=0I/(2di) ( )i 1 3, ].

Primer 2: Odrediti magnetsku indukciju B u centru pravougaone, kvazilineine konture sastrujom I, koja se nalazi u vakuumu (sl. 5a). Odrediti zatim i indukciju B magnetskog poljakoje u taki X stvara deo te strujne konture prikazan na sl. 5b.


a

b

0

22

I

3

4

1

2B B B B1 2 3 4

B

(a)

0I

22

12

2

2

1

B

B2

B1

(b)

1

2

a

X

Sl. 5

Magnetska indukcija B u centru pravougaone, kvazilineine konture sa strujom I, koja se na-lazi u vakuumu (sl. 5a) odreuje se superpozicijom magnetskih indukcija B1, B2, B3 i B4, koje u tojtaki stvaraju "strujne dui" 1, 2, 3 i 4, respektivno. Kako se pravac i smer indukcije "strujne dui"odreuje po pravilu desne zavojnice, to se zakljuuje su svi vektori B1, B2, B3 i B4 normalni na ra-van crtea i da imaju isti smer. Isti pravac i smer ima i rezultantna magnetska indukcija B=B1+B2++B3+B4, a njen algebarski intenzitet je B=B1+B2+B3+B4 . Smer rezultantne indukcije u datom sluajumogue je, takoe, odrediti i pomou pravila desne zavojnice: ako se prstima desne ruke konturaobuhvati u referentnom smeru struje, tada palac pokazuje pravac i smer rezultantne magnetske in-dukcije. Prema sl. 5a, iz relacije (&) na str. 8 odmah se dobijaju svi algebarski intenziteti indukcija:

B BIb

Ib

I a

b a b1 2

0 0 0

2 24

2

sin -sin(- )sin

,

B BIa

Ia

I b

a a b3 4

0 0 0

2 24

2

sin - sin(- )sin

,

2 20 0 01 3 2 2 2 2

22 ( ) 2

I a I b IB B B a b

a bb a b a a b

,

dok se u posebnom sluaju kada je kontura kvadratna (a=b) dobija, B=2 20I/(a).Za deo strujne konture prikazan na sl. 5b rezultantna magnetska indukcija B u taki X odreu-

je se superpozicijom magnetskih indukcija B1 i B2 koje u bi toj taki zajedno stvarali neogranien,pravolinijski provodnik 1 i pravougaona strujna kontura 2 sa istom strujom I. Vektori B1 i B2 nor-malni su na ravan crtea, a njihova orijentacija oznaena je na sl. 5b. Vektor rezultantne magnetskeindukcije B, takoe je normalan na ravan crtea (sl. 5b), a pri tome je usvojeno da je referentni smeru kome se rauna njegov algebarski intenzitet usmeren ka crteu. U odnosu na taj izabrani smer,algebarski intenzitet rezultantne indukcije u taki X je B=B2-B1, priemu su:

22 20 0 0

1 2 2 1

2 2 1, , 12

I I I aB B a b B B Ba a b a b

.

Videti i primere 2-5 na str. 365-368 u udbeniku.esto se za algebarski i prvi intenzitet vektorakoristi isti naziv "intenzitet" (a esto i ista oznaka), a o emu je re, uvek je nedvosmisleno jasno izkonteksta, s obzirom na meupovezanost smerova fizikih veliina koje definiu posmatrani vektor.


(b) Magnetska indukcija u centru krunog "strujnog luka"

Svaki tanak iani strujni provodnik moe se dekomponovati u konano mnogo "strujnih du-i" i "strujnih lukova". Magnetska indukcija koju u nekoj taki u vakuumu stvara sistem kvaziline-inih strujnih kontura odreuje se vektorskom superpozicijom indukcija koje u toj taki stvara ko-naan skup "strujnih dui" i "strujnih lukova" koji predstavljaju elemente datih kontura. Magnetskuindukciju "strujne dui" odredili smo po pravcu, smeru i intenzitetu u prethodnom lanu, a ostajejoda se to isto uini i za "strujni luk" u ravni. Elementarna dB i ukupna magnetska indukcija B ucentru 0 takvog "strujnog luka" (videti sl. 6a) mogu se odrediti iz Bio-Savarovog zakona. Dobija se:

0 0 0 0 03 2

0

d d sind , d d d4 4 4 4 4

I I II I lB Br r rr r

l rB , ($)

gde je dl=|dl|=rd(r=|r|-poluprenik luka), a =(dl, r)=/2. Ugao izraen je u[rad]. Vektorrezultantne magnetske indukcije B normalan na ravan u kojoj luk lei, a njegova orijentacija odre-uje se po pravilu desne zavojnice: prstima desne ruke luk se obuhvati u referentnom smeru struje I,a palac pokazuje smer vektora B.

Kada kruni "strujni luk" preraste u krunu strujnu konturu (sl. 6b), tada iz relacije ($) sledi:

20 0

0

d4 2

I IB Pujeov obrazac

r r

.

r

0

[rad]I

I

dB B,dB B,

(b)

Idl

r0

0

(a)Sl. 6

I

Idl

R

0X

d

0

x-osa

y-osa

dB*d

R d2 2r

Konus vektoraelementarnih

magnetskih indukcijad

Ovaj element je dijametra lno

sup rotan od elementa Il

dB**

dB B,

Sl. 7


(c) Magnetska indukcija na osi normalnoj u centru krune strujne konture

Odredimo magnetsku indukciju B u taki X na osi normalnoj u centru O krune strujne kontu-re (sl. 7). Sa slike se vidi da svakom strujnom elementu Idl koji stvara indukciju dB* odgovaradijametralno suprotan element koji stvara indukciju dB** tako da vektorski zbir dB*+dB** nema y-vesamo x-komponentu dB. Skup svih vektora elementarnih magnetskih indukcija koje u taki Xstvaraju strujni elementi krune konture, obrazuje elementarni konus ekvimodularnih vektora sa te-menom u taki X. Odatle se zakljuuje da vektor rezultantne magnetske indukcije B ima jedinokomponentu u pravcu x-oseija se orijentacija odreuje po pravilu desne zavojnice: ako se prstimadesne ruke kontura obuhvati u referentnom smeru struje, onda palac pokazuje orijentaciju vektoraB. Na osnovu Bio-Savarovog zakona dalje sledi:

0 0 03 2 2 2

d d sin (d , ) dd , d d4 4 4

I I l I R* B* B**r r R d

l r l rB ,

2 2 , d d d , (d , )2

r | | R d l | | R r l l r ,

2

03 2 2 22 2

dd 2 d sin ; [0, ], sin ,

2 /I R R

B* ort x oseR dR d

B i i i ,

2 2

30 0 03 2 3 22 2 2 2

0

d sin2 2 2/ /

I I IR RRR d R d

B i i i , ($$)

odakle se u specijalnom sluaju kada d 0 dobija Pujeov obrazac,to se naravno moglo i oekivati.

N,I N,I

R

R

S

R/2

B

0

(a)

0

1 2

X

xx-osa

R

I

N, N'

0

B

x-os

a

0 Xx x+dxR

L

2

1

N, N' I

D (c)

(b)

0

Sl. 8

Za dobijanje praktino homogenog magnetskog polja u odreenom delu prostoraesto se ko-riste Helmholcovi kalemovi (sl. 8a). To su dva tanka, jednaka koaksijalna kruna namotaja sa po Nvrlo gusto namotanih zavojaka, koji praktino predstavljaju krune strujne konture. Namotaji se na-


u

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6S (0.5,1.43108)

B2n

Bn

B1n

dBn/du

laze u vakuumu na rastojanju R jednakom poluprenicima namotaja. Odredimo magnetsku indukci-ju u proizvoljnoj taki X koja se nalazi bilo gde na x-osix (-, +), a posebno u blizini take Sna sredini izmeu zavojaka (x=R/2). Prema relaciji ($$) vektori magnetskih indukcija B1 i B2 koje utakama na x-osi stvaraju kalemovi 1 i 2, respektivno, kao i vektor rezultantne indukcije B=B1+B2,za u=x/R (-, +) definisani su sledeim relacijama:

0 0 0

0 1 23 2 3 222: , : , , , (- , )

2 1 1 1/ /

N I B BxB u u

R R u u

B i B i ;

B B B i

RS|T|

UV|W|

1 2 0 2 3 2 2 3 21

1

1

1 1B

u uc h b g/ / ,

1 2

1n 2n n3 2 3 2 3 2 3 22 22 20 0 0

| | | |1 1 | | 1 1: , : , :1 11 1 1 1

/ / / /B B BB B Bu uu u

B B B .

Na sl. 9 prikazane su varijacije funkcija B1n(u), B2n(u) i Bn(u) u opsegu u-1, +2, odakle se vidida je rezultantno magnetsko polje "nekako koncentrisano" u delu prostora izmeu kalemova, da jeza u=1/2 (tj. x=R/2) ono maksimalno ( dBn(u)/du|u=1/2=0) i da se polje oko take S slabo menja( d2Bn(u)/du2|u=1/2=0). To drugim reima znai da je magnetsko polje na x-osi u delu prostora okotake S praktino homogeno.

Sl. 9

Struje namotaja na sl. 8a istog susmera i jednakog intenziteta.

Struje namotaja na sl. 8a suprotnog susmera. Struja desnog namotaja dvostruko je

veeg intenziteta od struje levog.

Spektar magnetskog polja.Namotaji se privlae.

Spektar magnetskog polja.Namotaji se odbijaju.


(d) Magnetska indukcija na osi solenoida

Sada emo odrediti magnetsku indukciju u takama na osi ravnomerno i gusto namotanogsolenoida (reje grkog porekla; "soln" na grkom znai "kanal, cev", a dodatak "oid"grki "oi-ds"znai "slian, nalik na") krunog poprenog preseka poluprenika R (sl. 8b). Solenoid je spi-ralni namotaj koji se formira ravnomernim i gustim namotavanjem tankog, izolovanog,ianog pro-vodnika na upalj kartonski cilindar. Solenoidi se, inae, najee primenjuju kod analogne elektro-dinamike merne instrumenatacije, koja se koristi u elektrinim mreama i sistemima za merenjestruje, napona i snage, pri jednosmernim i naizmeninim radnim reimima. Unutranjost solenoidamoe biti vazduh, ali i neki feromagnetik. Magnetsko polje vazdunog solenoida praktino je istokao i magnetsko polje vakuumskog solenoida.

Posmatrajmo vazduni solenoid duine L sa N ravnomerno i gusto namotanih zavojaka (sl. 8c)i strujom I. Svaki od tesno priljubljenih zavojaka moe se smatrati jednom krunom strujnom kon-turom. Na duini dx solenoida postoji (N/L)dx zavojaka (N'=N/L je poduna gustina zavojaka, ilibroj zavojaka po jedinici duine), koji se mogu zameniti jednim zavojkom sa strujom I(N/L)dx.Indukcija magnetskog polja tog zavojka u taki X na osi solenoida, koja se nalazi na rastojanju D odpoetka solenoida (sl. 8c) prema relaciji ($$) je:

330 0 sind sin d d

2 2N I N I

x x , ort x oseR L L R

B i B i i

Du` osesolenoida

.

Meutim, kako je sa sl. 8c, D-x=Rctgi dx=(R/sin2)d, to iz prethodne relacije odmah sledi optiizraz za vektor magnetske indukcije B u takama na osi ravnomerno i gusto namotanog vakuums-kog ili vazdunog solenoida, konane duine L, sa strujom I:

B i i i

z

0 0

10

12 2 21

N IL

N IL

N Isin d cos cos cos cos

2

2 2b g b g' ,

0 1 2cos cos2N' I

B Algebarski intenzitet indukcije B raunat u smeru x-ose. (*)

Kao i u svim prethodnim sluajevima orijentacija vektora B odreuje se po pravilu desne zavojnice:kada se prstima desne ruke solenoid obuhvati u referentnom smeru struje I, tada palac pokazujeorijenataciju vektora B.(a) Za neogranien (tj. beskonaan) strujni solenoid1 0, a2, pa iz relacije (*) sledi da je usvim takama na njegovoj osi magnetska indukcija, B=0N'Ii, dok je njen algebarski intenzitet,B=0N'I.(b) U sluaju kada je strujni solenoid ogranien, a taka X je na osi solenoida u njegovom centru(D=L/2), tada je magnetska indukcija Bc u ovoj taki prema relaciji (*):

0 0 0c 1 2 c2 21

cos cos2 1 (2 ) 1 (2 )

N I N I N ' IB

L L R / L R / L

B i i i i ,

(**)

gde je cos(2 / )

, , cos(2 / )

1 2 2 2 2

1

1

1

11

R L R L, a Bc algebarski intenzitet

magnetske indukcije Bc raunat u smeru x-ose.


u

B/Bo

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

0.5

1

1.5

2

v=0.1

v=0.5

v=0.4

v=0.3

v=0.2v=0.01

Kada je ovaj ogranieni solenoid tanak ( 2RL), tada iz relacije (**) sledi Bc B=0N'Ii iBc B=0N'Ito znai da je magnetska indukcija u centru takvog solenoida ista kao i u taka-ma na osi neogranienog solenoida. Kod tankih solenoida mogue je, takoe, smatrati da je magnet-ska indukcija priblino ista u svim takama jednog poprenog preseka.

Ako se taka X (sl. 8c) nalazi na levom kraju ogranienog solenoida (D=0), tada je magnetskaindukcija Bl u toj taki [videti relaciju (*) na prethodnoj strani]:

0 0 01 2 2 21

cos cos2 2 1 ( ) 2 1 ( )

l l

N I N I N ' IB

L L R / L R / L

B i i i i ,

(***)

gde je 1 2 2, cos ( / )

/ 2

1

1 R L, a Bl algebarski intenzitet indukcije Bl u smeru x-ose.

Ako se taka X (sl. 8c) nalazi na desnom kraju ogranienog solenoida (D=L), tada je magnet-ska indukcija Bd u toj taki [videti relaciju (*) na prethodnoj strani]:

0 0 0d 1 2 d2 21

cos cos2 2 1 ( ) 2 1 ( )

N I N I N ' IB

L L R / L R / L

B i i i i ,

(****)

gde je cos( / )

, ,1 2 2 1

12

R L/ a Bd algebarski intenzitet indukcije Bd u smeru x-ose.

Kada je ogranieni solenoid tanak ( 2RL), tada kod njega nije samo Bc=B=0N'I, veiz re-lacija (***) i (****) sledi i da je Bl=Bd=B/2=(0N 'I/2)i, odnosno Bl=Bd=B/2=0N'I/2 toznai da je u centru ovakvog solenoida algebarski intenzitet magnetske indukcije dvostruko vei ne-go na njegovim krajevima.

(c) I konano, u sluaju kada je solenoid vrlo dug i tanak, moe se smatrati da je magnetsko polje unjemu priblino homogeno, tj. da je u svim takama u solenoidu B=0N'Ii, odnosno B=0N'I.

Sl. 10

Magnetsko polje retkonamotanog, kratkogstrujnog solenoida

Magnetsko polje gustonamotanog, kratkogstrujnog solenoida


Odreivanje raspodele indukcije u takama izvan ose ogranienog debelog solenoida, a pogotovokada je on joi retko namotan, predstavlja veoma teak problem, koji neemo ovde razmatrati. Ko-linik v poluprenika solenoida R i njegove duine L zove se faktor debljine solenoida (v:=R/L).Kod ogranienog, ravnomerno i gusto namotanog solenoida, algebarski intenzitet indukcije duosemenja se prema relaciji (*) (videti i sl. 8c):

00 02 2 2 2

0

1 : , : , : , : ( )2( 1)

N ' Iu u D R BB B , B u v f u,vL L Bu v u v

.

Na sl. 10 prikazana je varijacija normalizovane indukcije f(u, v) duose ogranienog solenoida zaest razliitih vrednosti faktora debljine v=R/L . Kod tanjih solenoida v je manje, pa je kod njih pro-mena indukcije duose i po poprenom preseku solenoida manje izraena. Zato se moe smatrati daje magnetsko polje u vrlo dugom i tankom solenoidu priblino homogeno sa indukcijom B=0N'I.

Primer 3: Odrediti magnetsku indukciju B u taki C za strujne provodnike u vakumu nasl.11ae. Odrediti i struju I* u sluaju provodnika na sl. 11f tako da u taki C bude B=0.

12

3

I

C B B

C

I

I

2 3

4

/ 6

RR

CB

R

I

RR

1 2

3 4

5

CB

I

12

3

4 5

6

/ 6

1

2

3 4

R

R / 6C

BI

C 1

2

I *

R R/2

(a) (b)(c)

(f)(e)(d)

3

4

5

B0

0

0

0

0

0 0

U svim slu~ajevima je R=10 cm, a I=5 A

Sl. 11

(a) 0 0 01 2 3 1 2( 1)

0 20 71 [ T]4 4 4

I I IB , B , B , B B B ,

R R R

.

(b) 0 0 01 2 3 4 1 43 4

0 3 29 6 [ T]4 3 4 3

I I IB , B B , B , B B B ,

R R R

.

(c) 0 01 2 3 4 5 1 2 52 3

016 8

I IB B , B B , B , B B B B ,

R R

0 0 02 3 2 3 27 1 [ T]8 8 8I I I

B ,R R R .

Documents

Elektromagnetizam 1