Elektromagnetizam STACIONARNO MAGNETNO POLJE –

ELEKTROMAGNETNA SILA I VEKTOR MAGNETNE INDUKCIJE

decembar 2013

Elektromagnetika- oblast elektrotehnike u kojoj se proučavaju jedinstvene elektromagnetne pojave.

Magnetne pojave, kao i električne, odavno su uočene. Međutim, tek početkom XIX veka otkrivena je njihova međuzavisnost.

Godine 1821. Ersted je otkrio da magnetna igla (kompas) skreće sa pravca sever-jug, ako se u njenoj blizini nalazi provodnik kroz koji protiče električna struja.

Delovanje električne struje nije lokalizovano samo u električnom kolu

(zagrijavanje provodnika, hemijske reakcije u bateriji), već se to djelovanje osjeća i van provodnika.

Kažemo da električna struja u okolnom prostoru stvara magnetno polje. Eksperimenti ukazuju da ovo magnetno polje, stvoreno strujom (elektricitetom u pokretu), ima sve osobine magnetnog polja koje potiče od permanentnog (stalnog) magneta.

Elektromagnetizam STACIONARNO MAGNETNO POLJE –ELEKTROMAGNETNA SILA I VEKTOR MAGNETNE INDUKCIJE

Čuveni naučnici toga doba, Andre-Mari Amper(1775-1836) i Faradej Michael (1791-1867), na osnovu mnogobrojnih eksperimenata, uspijevaju da shvate zakonitosti elektromagnetnih pojava i dolaze do saznanja da

nema električne struje bez magnetnog polja,

niti, magnetnog polja bez električne struje.

Te dvije pojave su delovi jedne jedinstvene elektromagnetne pojave.

U okolini stalnih magneta i provodnika kroz koje protiče električna struja opažaju se karakteristične, zajedničke, pojave:

a) Magnetna igla teži da se postavi u odredeni položaj, a gvozdeni i uopšte feromagnetni predmeti i stalni magneti su podvrgnuti dejstvu mehaničkih sila;

b) Provodnik kroz koji protiče električna struja biva podvrgnut dejstvu mehaničkih sila, koje nazivamo elektromagnetskim silama;

c) U provodnicima koji se relativno kreću u odnosu na stalne magnete ili strujna kola indukuju se elektromotorne sile.

Magnento polje predstavlja posebno stanje materijalne sredine u okolini provodnika sa strujom, odnosno magneta, koje se manifestuje dejstvom magnetne sile na provodnik sa strujom, koji se unese u prostor tog polja.

Drugim rečima, kada se u provodniku koji se nalazi u stranom magnentom polju, uspostavi stacionarna elektirčna struja, na njega deluju mehaničke sile, koje teže da ga pokrenu i deformišu.(vidljiva manifestacija magnentog polja od fudamentalnog je značaja za rad svih obrtnih električnih mašina).Sile koje se javljau u pojavama ovakve vrste nazivaju se elektromagnentnim silama F, jer su rezultat uzajamnog delovanja električne struje i magnetnog polja.

Magnetizam u materijalima

Magnetna polja koja se stvaraju usled protoka struje kroz provodnike navode

nas da se pitamo šta to uzrokuje da odreñeni materijali pokazuju jake

magnetne osobine.

Videli smo da se, na primer, jedan solenoid kroz koji protiče struja ponaša kao

da ima N i S pol magneta. Zapravo, svaka strujna petlja ili kontura stvara

magnetno polje i stoga ima magnetni moment dipola, uključujući i strujne

konture na atomskom nivou koje su definisane u nekim modelima atoma.

Tako se magnetni momenti namagnetisanih materijala mogu opisati polazeći

od ovih strujnih petlji na nivou atoma. Za Borov model atoma, ove strujne

petlje ili konture se povezuju sa kretanjem elektrona oko jezgra po kružnim

orbitama. Takoñe, magnetni moment je svojstven elektronima, protonima,

neutronima i ostalim česticama, a potiče od osobine koja se naziva spin, pa je

ukupni magnetni moment jednak sumi orbitalnog i spin magnetnog momenta.

Magnetni momenti atoma

Razmatramo klasični model atoma u kome se elektron kreće po kružnoj

putanji oko mnogo masivnijeg centralnog dela, koje se naziva jezgro. U ovom

modelu, elektron koji kruži oko jezgra formira tanku strujnu konturu i

magnetni moment elektrona se povezuje sa ovim orbitalnim kretanjem. Mada

ovakav model ima mnogo nedostataka, njegova predviñanja su u dobroj

saglasnosti sa tačnijom teorijom, definisanoj na nivou kvantne fizike.

m

Razmatramo kretanje elektrona konstantnom

brzinom v po kružnoj orbiti poluprečnika r oko

jezgra. Kako elektron za vreme T napravi pun krug

(preñe put 2πr), to je njegova brzina . Struja I koja se povezuje sa ovim kruženjem

elektrona jednaka je količniku njegovog

naelektrisanja e i periode T, I=e/T. Kako je:

Trv /2π=

r

vT == ω

ωπ

;2

to je:

r

eve

T

eI

ππω

22===

Magnetni moment ove strujne konture je m=IA, gde je A=πr2 površina zatvorena orbitom, odnosno:

rverr

evAIm

2

1

2

2 === ππ

S obzirom da je intenzitet orbitalnog ugaonog momenta elektrona ,

magnetni moment se može izraziti i kao:

rvmL e=

Lm

em

e

=

2

Magnetni moment elektrona je proporcionalan orbitalnom ugaonom momentu.

Kako je elektron negativno naelektrisan to su vektori i u suprotnim

smerovima, i oba vektora su normalna na ravan orbite.

Fundamentalno otkriće u kvantnoj fizici je da je orbitalni ugaoni moment

kvantovana veličina jednaka celobrojnim umnošcima ,

gde je h Plankova konstanta.

mr

Lr

Js1005.12/ 34−⋅== πhh

Najmanja nenulta vrednost magnetnog momenta elektrona koji potiče od

njegovog orbitalnog kretanja je:

h

em

em

22=

Kako sve materije sadrže elektrone, pitanje je zašto sve materije nisu

magnetne?

Glavni razlog je što se, za najveći broj materijala, magnetni moment jednog

elektrona u atomu poništava drugim, koji potiče od elektrona koji se kreće u

suprotnom smeru. Kao krajnji rezultat, za najveći broj materijala je magnetni

efekt, koji potiče od orbitalnog kretanja elektrona, ili jednak nuli ili je vrlo

slab. Elektroni imaju i svojstvenu osobinu,

okretanje oko svoje ose (spin), koja takoñe

doprinosi magnetnom momentu. Ugaoni

moment spina (iz kvantne teorije) je:

mspin h2

3=S

Magnetni moment koji potiče od spina elektrona je (naziva se još i Borov

magneton):

Magnetni momenti atoma se mogu izraziti kao umnošci Borovog magnetona.

U atomima koji sadrže veliki broj elektrona, parovi elektrona obično imaju

suprotne spinove, pa se spin magnetni momenti poništavaju. Kod atoma koji

imaju neparan broj elektrona, postoji najmanje jedan nespareni elektron, te

stoga i odreñeni spin magnetni moment. Ukupni magnetni moment atoma

jednak je vektorskom zbiru orbitalnih i spin magnetnih momenata.

Jezgro atoma takoñe ima magnetni moment, usled postojanja protona i

neutrona. Meñutim, magnetni momenti protona i neutrona su mnogo manji od

magnetnog momenta elektrona, zbog njihove značajno veće mase, i mogu se

zanemariti.

J/T1027.92

24−⋅=== Be

spin mm

em

h

Vektor gustine magnetnog momenta i

vektor jačine magnetnog polja

Stanje namagnećenosti neke materije se karakteriše veličinom koja se naziva

vektor gustine magnetnog momenta (negde i vektor magnetizacije).

Definiše se kao količnik ukupnog magnetnog momenta po jedinici

zapremine materijala. Kao što se može očekivati, ukupna magnetna indukcija

u nekoj tački unutar materijala zavisi i od primenjene (spoljašnje) magnetne

indukcije i od magnetizacije samog materijala.

Posmatrajmo neku oblast u kojoj strujni provodnik stvara magnetno polje

indukcije . Ako se sad ta oblast ispuni nekim magnetnim materijalom,

ukupna magnetna indukcija u oblasti je , gde je magnetna

indukcija koja potiče od samog magnetnog materijala. Ova magnetna

indukcija se može izraziti preko vektora gustine magnetnog momenta

, pa je ukupna magnetna indukcija:

Mr

mr

0Br

Br

mBBBrrr

+= 0 mBr

MBm

rr

0µ=

MBBrrr

00 µ+=

Kada se analizira magnetna indukcija koja potiče od magnetizacije materijala,

pogodno je uvoñenje jedne nove veličine, koja je nazvana jačina magnetnog

polja unutar materije. Jačina magnetnog polja izražava efekt koji provodne

struje u provodnicima imaju na materijal. Jačina magnetnog polja je vektor

koji se definiše kao:

Hr

MBB

Hr

rrr

−==00

0

µµNa osnovu ovog izraza, ukupna magnetna indukcija je:

)(0 MHBrrr

+= µ

U vakuumu je , pa izmeñu vektora magnetne indukcije i vektora jačine

polja postoji prosta veza:

0=Mr

HBrr

0µ=

Jedinice za vektor gustine magnetnog momenta i vektor jačine magnetnog

polja su iste, amper po metru, A/m.

Da bi bolje razumeli ove relacije, razmatrajmo oblast torusa kod torusnog

namotaja kroz koji protiče struja I. Ako je ta oblast vakuum, onda je

(zato što nije prisutan magnetni materijal), pa je ukupna magnetna indukcija

jednaka onoj koja potiče od struje . Kako je u oblasti torusa

, gde je n broj navojaka po jedinici dužine, to je:

U ovom slučaju, magnetna indukcija u oblasti torusa je usled struje u

namotaju torusa.

Ako je sad torus od nekog materijala, pri čemu i dalje protiče ista struja I kroz

namotaj, jačina magnetnom polja u torusu ostaje nepromenjena (jer zavisi

samo od struje) i ima vrednost nI. Ukupna magnetna indukcija se, meñutim,

razlikuje od one kada je u torusu bio vakuum. Deo magnetne indukcije

potiče od protoka struje kroz namotaj, a deo potiče od magnetizacije

materijala od kojeg je torus napravljen.

0=Mr

HBBrrr

00 µ==InB 00 µ=

InInB

H ===0

0

0

0

µµ

µ

Hr

Br

Hr

0µMr

0µ

Klasifikacija magnetnih materijala

U zavisnosti od svojih magnetnih osobina, svi materijali se mogu podeliti na

tri grupe:

� paramagnetici;

� dijamagnetici;

� feromagnetici.

Atomi materijala paramagnetika i feromagnetika imaju stalne magnetne

momente. Atomi dijamagnetika nemaju stalne magnetne momente.

Kod paramagnetika i dijamagnetika, vektor gustine magnetnog momenta

je proporcionalan jačini magnetnog polja. Ako se ovi materijali nalaze u

prisustvu spoljašnjeg magnetnog polja, za njih važi:

HMrr

χ=gde je χ bezdimenziona veličina koja se naziva magnetna susceptibilnost.

Mr

Za paramagnetike, χ je pozitivno i vektori i su u istom smeru. Za dijamagnetike, χ je negativno pa je u suprotnom smeru od . Važno je napomenuti da je ova linearna zavisnost izmeñu i ne važi za

feromagnetike.

Vektor magnetne indukcije se može izraziti i preko susceptibilnosti:

Mr

Mr

Mr

Hr

Hr

Hr

HHHMHBrrrrrr

)1()()( 000 χµχµµ +=+=+=

HHB rrrr

0µµµ ==

Konstanta µ se naziva magnetna (apsolutna) permeabilnost i ima istu fizičku prirodu kao µ0:

)1(0 χµµ +=

Konstanta µr se naziva relativna magnetna permeabilnost materijala, neimenovan je broj, i za sve magnetne materijale, sem za dijamagnetike, je

veća od 1:

0/1 µµχµ =+=r

Vrednost relativne magnetne permeabilnosti za pojedine grupe magnetnih

materijala su:

� za paramagnetike je

� za dijamagnetike je

� za feromagnetike je

Magnetni efekti dijamagnetnih i paramagnetnih materijala su zanemarljivo

mali.

Za elektrotehniku, posebno važnu grupu magnetnih materijala čine

feromagnetici, u koje spadaju gvožñe, nikl i kobalt.

1>rµ1>rµ

Feromagnetizam

Pod feromagnetnim se podrazumeva mala grupa materijala, kod kojih atomi

imaju stalne magnetne momente i pokazuju jake magnetne efekte. Ovi

materijali imaju atomske magnetne momente koji teže da se postave

paralelno jedni drugima, čak i u slučajevima slabih magnetnih polja. Nakon

što se magnetni momenti postave u odreñenom smeru, materija će ostati

namagnetisana i nakon ukidanja spoljašnjeg polja. Ovo prisutno uravnjavanje

ili upravljivanje je posledica jakih sprega izmeñu susednih momenata, što se

može objasniti samo na nivou kvantne fizike.

Karakteristično za feromagnetike je to što se odlikuju velikim vrednostima

relativne magnetne permeabilnosti, čak i preko 100000 za neke specijalne

legure. Takoñe, magnetna permeabilnost feromagnetika nije konstantna

veličina za dati materijal, jer ne postoji linearna zavisnost izmeñu vektora i

, kao kod paramagnetika i dijamagnetika.

Br

Hr

Svi feromagnetni materijali se sastoje od mikroskopskih oblasti koje se zovu

domeni. Domen je oblast u kojoj su svi vektori magnetnih momenata

poravnati. Ovi domeni imaju zapreminu oko 10−12 do 10−8 m3 i sadrže 1017

do 1021 atoma. Domeni različitih orjentacija magnetnih momenata su

meñusobno odvojeni granicama domena. U nemagnetisanom uzorku, domeni

su proizvoljno orjentisani tako da je ukupni magnetni moment jednak nuli.

Kada se uzorak nañe pod uticajem spoljašnjeg magnetnog polja, magnetni

momenti domena teže da se postave u smeru polja, što za rezultat ima

namagnetisani uzorak.

Istraživanja su pokazala da se domeni, koji su u početku imali orjentaciju u

pravcu kasnije uspostavljenog spoljašnjeg magnetnog polja , šire na račun

onih domena sa drugačijom orjentacijom vektora magnetnog momenta.

Nakon što se ukloni spoljašnje magnetno polje, uzorak može zadržati ukupnu

gustinu magnetnog momenta u smeru spoljašnjeg polja. Pri uobičajenim

temperaturama okoline, vibracije kristala usled temperature nisu dovoljne da

naruše ovu željenu orjentaciju magnetnih momenata.

0Br

Metod za eksperimentalno odreñivanje karakteristika

magnećenja: Materijal koji se ispituje se koristi za

pravljenje torusa, oko koga se namota N navojaka žice.

Navojci koji su crno obojeni na slici se odnose na

primarni namotaj. Sekundarni namotaj (crvena boja),

koji je povezan sa galvanometrom, se koristi za merenje

ukupnog magnetnog fluksa kroz torus (posebna vrsta

galvanometara koji se još naziva i teslametar se koristi

za merenje magnetne indukcije). Magnetna indukcija

u torusu se meri povećavanjem jačine struje u torusnom

namotaju od 0 do I.

Sa promenom struje u primarnom namotaju, menja se magnetni fluks BA kroz

sekundarni namotaj, gde je A površina poprečnog preseka torusnog namotaja.

Usled promene magnetnog fluksa, u sekundarnom namotaju se indukuje

elektromotorna sila koja je proporcionalna brzini promene fluksa. Ako je

galvanometar odgovarajuće kalibrisan, može se izmeriti odgovarajuća

vrednost magnetne indukcije B koja odgovara bilo kojoj vrednosti struje kroz

primarni namotaj.

Magnetna indukcija B se meri prvo u odsustvu torusa (jezgra), a zatim sa

torusom (jezgrom). Magnetne osobine torusa se dobijaju poreñenjem rezultata

ova dva merenja.

Neka je torus napravljen od nemagnetisanog gvožña. Ako se struja u

primarnom namotaju povećava od 0 do neke vrednosti I, jačina magnetnog

polja H će se linearno povećavati sa I prema izrazu:

InH =

Vrednost magnetne indukcije B se takoñe povećava sa povećanjem struje, što

je na slici prikazano krivom od tačke O do tačke a. U tački O, domeni gvožña

su proizvoljno orjentisani ( ). Kako porast struje u primarnom

namotaju uzrokuje povećanje spoljašnjeg polja B0, domeni se upravljaju u

smeru tog polja sve dok se svaki od njih ne usmeri ka smeru B0 (tačka a). U

ovoj tački je magnetna indukcija u jezgru od gvožña dostigla saturaciju, uslov

koji se postiže kad se svi domeni u gvožñu poravnaju.

0=mBr

Kriva magnećenja feromagnetnog materijala

Neka se sad struja kroz primarni namotaj smanji na nulu,

što znači da će nestati i spoljašnjeg polja B0. B(H) kriva,

ili kriva magnećenja, sad sledi put ab na krivoj

magnećenja. U tački b, magnetna indukcija nije jednaka

nuli iako je spoljašnje polje B0=0. Ovo je usled toga što je

gvožñe sada namagnetisano, veliki broj domena je

upravljen, pa je B=Bm. Za ovu tačku se kaže i da gvožñe

ima zaostali ili remanentni magnetizam, a indukcija u toj

tački je remanentna indukcija i često se označava sa Br.

Ako struja u primarnom namotaju promeni smer, menja se i smer jačine

spoljašnjeg magnetnog polja i magnetne indukcije, domeni se preorjentišu sve

dok uzorak ponovo ne bude nemagnetisan (tačka c), kada je B=0. Jačina

magnetnog polja pri kojoj se to dešava se naziva koercitivno polje Hc.

Povećanje inverzne struje uzrokuje da se gvožñe magnetiše u suprotnom

smeru, sve dok indukcija ne dostigne saturaciju u tački d. Slična sekvenca

dogañaja se dešava kada se struja sada vraća na nulu i dalje povećava u

pozitivnom smeru. U ovom slučaj, kriva magnećenja sledi put def sa slike. Ako

se struja dovoljno poveća, kriva magnećenja se vraća u tačku a, u kojoj je

uzorak maksimalno namagnetisan.

Opisani ciklus, koji se naziva magnetni histerezis ili ciklus histerezisa,

pokazuje da magnetizacija feromagnetnog materijala zavisi od istorije

materijala, kao i od primenjenog polja. Još se i kaže da feromagnetik ima

memoriju zato što ostaje namagnetisan i kad se ukloni izvor spoljašnjeg

magnetnog polja. Zatvorena petlja na B(H) krivoj se naziva i histerezisna

petlja. Njen oblik i veličina zavisi od feromagnetnog materijala i od

maksimalne jačine primenjenog polja. Razlikuju se tvrdi (slika a) i meki

feromagnetici (slika b):

Za tvrde feromagnetike je karakteristično da imaju široku histerezisnu petlju i

veliku vrednost remanentne indukcije. Takvi materijali se teško

demagnetizuju pomoću spoljašnjih polja. Pogodni su za izradu permanentnih

magneta.

Meki feromagnetici imaju usku histerezisnu petlju i malu vrednost

remanentne magnetne indukcije, pa ih je lako namagnetisati i demagnetisati

(razmagnetisati). Idealni mek feromagnetik ne pokazuje histerezisno

ponašanje, te stoga nema remanentnu indukciju. Najčešće se koriste za izradu

transformatora i električnih mašina, jer su gubici usled histerezisa srazmerni

površini njegovog ciklusa.

Feromagnetni materijal se može razmagnetisati

provoñenjem materijala kroz nekoliko histerezisnih

petlji, pri čemu se svaki put menja maksimalna

jačina spoljašnjeg magnetnog polja.

Definicije magnetne permeabilnosti

feromagnetika

Kada se nacrtaju ciklusi histerezisa za različite vrednosti maksimalne jačine

magnetnog polja Hm i njihovi vrhovi u prvom kvadrantu povežu, dobija se

kriva koja se naziva osnovna kriva magnećenja.

Odnos magnetne indukcije i jačine polja na osnovnoj krivoj magnećenja

definiše normalnu permeabilnost feromagnetika:

Diferencijalna permeabilnost se definiše kao diferencijalni količnik u nekoj

tački krive magnećenja:

H

B=µ

dH

dB=µ

Početna permeabilnost je diferencijalna permeabilnost prvobitne krive

magnećenja u koordinatnom početku.

Kad se prilikom snimanja krive magnećenja proces promene jačine polja za

trenutak zaustavi i jačina polja promeni za malu vrednost ∆H u suprotnom smeru i zatim vrati na prvobitnu vrednost, obrazovaće se jedna mala

histerezisna petlja. Količnik:

definiše reverzibilnu permeabilnost.

H

Bu ∆

∆=µ

Paramagnetizam

Paramagnetni materijali imaju malu, ali pozitivnu vrednost magnetne

susceptibilnosti koja potiče od prisustva atoma koji imaju stalne magnetne

momente. Ovi momenti meñusobno slabo reaguju i u odsustvu spoljašnjeg

polja su proizvoljno orjentisani. Kada se paramagnetni materijal nañe u

prisustvu spoljašnjeg magnetnog polja, magnetni momenti atoma (ili jona)

teže da se uprave u smeru polja. Ovaj proces se odvija istovremeno sa

termičkim kretanjem atoma koje teži haotičnoj raspodeli magnetnih

momenata. Pierre Curie je eksperimentalno pokazao da je, pod odreñenim (i

ne tako malobrojnim) uslovima, magnetizacija (odnosno gustina magnetnog

momenta) paramagnetnog materijala proporcionalna primenjenom

magnetnom polju i obrnuto proporcionalna apsolutnoj temperaturi:

Ova relacija je poznata kao Kirijev zakon, a C je Kirijeva konstanta.

T

BCM 0=

Zakon pokazuje da je za B0=0 gustina magnetnih momenata jednaka nuli,

M=0, što odgovara proizvoljnoj orjentaciji magnetnih momenata. Kako odnos

B0/T postaje veći, M dostiže svoju saturacionu vrednost, što odgovara

potpunoj upravljenosti magnetnih momenata, i jednačina više nije opravdana.

Kad temperatura feromagnetika dostigne ili

prevaziñe Kirijevu temperaturu, materijal gubi

svoju preostalu magnetizaciju i postaje

paramagnetik. Ispod Kirijeve temperature,

magnetni momenti su upravljeni i materijal je

feromagnetik. Iznad Kirijeve temperature,

dominantno je termičko kretanje koje

uzrokuje proizvoljnu orjentaciju momenata.

89331763113941043TCurie (K)

materijal Fe2O3gadolinijumniklkobaltgvožñe

DijamagneticiPrimenom spoljašnjeg magnetnog polja na dijamagnetni materijal, pojavljuje

se slabi magneti moment u smeru koji je suprotan primenjenom polju. Ovo

uzrokuje da dijamagnetni materijali budu slabo odbijeni od magneta. Iako je

ovaj efekt prisutan u svim materijalima, mnogo je manji od efekata

karakterističnih za paramagnetike ili feromagnetike, i postaje uočljiv jedino

kada drugi efekti ne važe.

Kod klasičnog modela atoma, pretpostavimo da dva elektrona kruže oko

jezgra u suprotnim smerovima, ali istom brzinom. Kako su magnetni momenti

elektrona jednaki po intenzitetu, ali suprotnih smerova, oni se meñusobno

poništavaju. Kada se primeni spoljašnje magnetno polje, na elektrone ne

deluje više samo elektrostatička sila usled protona u jezgru, već i dodatna sila

. Ova dodatna sila, zajedno sa elektrostatičkom, povećava orbitalnu

brzinu elektrona čiji je magnetni moment antiparalelan polju i smanjuje brzinu

elektrona čiji je magnetni moment u smeru polja. Magnetni momenti

elektrona više se ne poništavaju, a materijal ima ukupni magnetni moment

koji je suprotan primenjenom polju.

Bvqrr

×

Dijamagnetici su: drvo, voda, pirolitički grafit, bizmut, srebro, zlato,....

Granični uslovi na razdvojnoj površini

materijala sa različitim magnetnim osobinama

A∆ 1nr

2nr

1Br

2Br

Da bi odredili ponašanje normalnih

komponenata vektora magnetne

indukcije, primenićemo zakon o

konzervaciji magnetnog fluksa. Ako

∆h teži nuli, fluks vektora magnetne indukcije se svodi samo na osnovice

valjka, pa je:

02211 =∆⋅+∆⋅=⋅∫ AnBAnBAdBA

rrrrrr

Ako se uvede zajednički jedinični vektor , onda je:nnnrrr

=−= 21

nBnBrrrr⋅=⋅ 21

odnosno:

nn BB 21 = 1. uslov

Normalne komponente vektora magnetne indukcije s jedne i druge strane

granične površine su jednake.

Ponašanje tangencijalnih komponenata

jačine magnetnog polja se može lako

odrediti ako se Amperov zakon primeni

na elementarnu pravougaonu konturu

ABCD.

02211 =∆⋅+∆⋅=⋅∫ lHlHldHABCD

rrrrrr

Ako je , prethodna relacija je:

lHlHrrrr

∆⋅=∆⋅ 21

lllrrr

∆=∆−=∆ 21

2lr

∆

1lr

∆

2

1

Jednačina može biti zadovoljena samo ako su tangencijalne komponente

vektora jačine magnetnog polja jednake:

tgtg HH 21 = 2. uslov

Pošto u linearnim i izotropnim magneticima važi veza , 1. uslov

se može napisati u formi:

HBrr

µ=

nn HH 2211 µµ = 3. uslov

Normalne komponente vektora jačine magnetnog polja skokovito se

menjaju pri prolasku kroz graničnu površinu.

Granični uslov 2 se može napisati u formi:

2

2

1

1

µµtgtg BB = 4. uslov

Tangencijalne komponente vektora električne indukcije se skokovito

menjaju kroz graničnu površinu.

n

tg

n

tg

B

B

B

B

2

2

21

1

1 tgtg == αα

2

1

2

1

tg

tg

µµ

αα

=

Pri prelazu iz sredine sa većom magnetnom permeabilnošću u

sredinu sa manjom magnetnom permeabilnošću, linije magnetnog

polja se priklanjaju ka normali.

1µ

2µ

1Br

2Br

1α

2α

Deobom ova dva izraza i uz granične uslove 1

i 4, dobija se zakon prelamanja linija

magnetnog polja: