Elektromanyetik Alan Teorisi 2015

7/26/2019 Elektromanyetik Alan Teorisi 2015

1/546

ELEKTROMANYETK ALANTEORS

Prof. Dr. Osman Grdal

BURSA ORHANGAZ NVERSTES YAYINLARI BURSA 2015


2/546

L

KTR

ANYTK

ALAN

TRS

BURSA ORHANGAZ NVERSTES YAYINLARI BURSA 2015


3/546

IV


4/546

V

NSZ

Elektromanyetik alan teorisi kavramndan nce alan teorisi kavramnn ncelikle vurgulanmasgerekir. Alan uzay ve zamanda gzlenebilir bir niceliin veya bykln sreklilik gsterendalm olarak tanmlanabilir. llebilir olmas gereken bu gzlenebilir nicelik bir svnn rengi,atmosferdeki toz younluu, scaklk dalm, gnein k ve scaklkdalm, atmosfer basnc,rzgar dalm, yerekimi, akarsudaki ak rnts, dnyay evreleyen manyetik alan, deridekikl younluu, ormandaki aa dalm, nfus dalm, telefon baz istasyonu ve elektrik iletimhatlar etrafndaki elektriksel ve manyetik alanrntleri gibi olaylar eitlemesinden herhangi biriolabilir. Gzlenen nicelik, uzayda deiim gsterip zamanla deimiyorsa statik alandan, tersidurumda ise zamanla deikenalandan sz edilir. Bir alann matematiksel tanmnda alann uzaynbir fonksiyonu olduu kabul edilir. Alandaki herhangi bir nokta, uzayda br noktalara gre

konumu cinsinden belirlenir. llen zellik, dorultudan bamszsa skaler, dorultuya balysavektrdr.

Alanlar snflandrmann eitli yollar vardr; balangta bunlar maddi ve maddi olmayan alanlarolarak ikiye ayrlabilir. Maddi alanlarda gzlenebilir nicelik bir gazn scakl, bir svnn hz yada younluu gibi maddenin bir zelliini gsterir. Elektrik alan ve manyetik alan gibi maddiolmayan alan ise herhangi bir maddi zellii sergilemeyip belli koullar altnda uzayn birnoktasnda ortaya kacak baz gizli etkileri sergiler. Gzlenebilir alan, alanfonksiyonuyla verilenve uzaynx,y,zkoordinatlaryla tanmlanan bir noktasndaki deeri bulunabilen elektrostatik veyamanyetostatik alandr. O noktada gerekte var olan herhangi bir ey yoktur. Eer bir elektrik ykx,y,zkoordinatlaryla tanmlanan noktaya yerletirilirse, elektrik yk alanfonksiyonuyla orantlbir kuvvetin etkisinde kalacaktr. Manyetik alan, elektrik alan, ktleekimi alan ve olaslkalanlar bu trden alanlara rnektir.

Alanlar gzlenebilir fonksiyonlarnn skaler, vektr ya da tensr olularna gre desnflandrlabilir. Bir skaler bykl olan ancak yn olmayan niceliktir. Ktle, younluk,scaklk, akm, gerilim skaler alanlardr. Vektr, uzayda ynlenmi niceliktir. Kuvvet, elektrik vemanyetik alan iddetleri ve ak younluklar vektrel niceliklere rnek verilebilir. Alannllebilir nicelii yalnzca skaler ya da vektrel niceliklerle ifade edilemiyorsa ve bylesi birokniceliin bir arada ele alnmas gerekiyorsa bir tensr kurulmas gerekir.

Atmosferde herhangi bir noktadaki basn gaz moleklleri ile yer arasndaki ktleekimi etkisindenkaynaklanr. Bir yandan yeryzne doru gaz molekllerinin hzlanmasna yol aan bu ekim

etkisinden, br yandan yklendikleri sl enerji yznden birbirleriyle arpan molekllerinatmosferin genilemesini salayan etkisinden kaynaklanan iki kart eilim arasnda bir kararldurum oluur. Bylece atmosfer basnc, irtifann yani yeryznden yksekliin azalan birfonksiyonu olur. Bu durum skaler alanlar iin en basit rneklerdendir. Scaklk alan, ktleekimialan, hareketli akkanlarn younluklar gibi alanlar da benzer skaler alanlardr.

Uzayda fiziksel bir miktar bir veya daha fazla saylar ile temsil edildiinde bu saylar scaklk,basn, younluk, elektrik alan iddeti, manyetik ak younluu, vb. belirtebilir. Bu deerlerintamam, bir eit fiziksel miktar iin fiziksel bir alanveya boyutlu uzay oluturur. Bylece slalan, yerekimi alan, elektrik alan ve manyetik alan hakknda konuuluyor olabilir. Anlanalanlarnmatematiksel teorisi alanteorisi olarak adlandrlr.

Alanteorisi Gauss, Laplace, Poisson, Coulomb ve Ampre tarafndan 19. yzylda gelitirilmitir.Bir yzyl boyunca alan teorisi matematiksel fiziin nemli bir brann oluturmu fakatmatematikiler ve fizikiler genelde mhendislik problemleri zerinde yeterli ibirlii iinde


5/546

VI

olmadklarndan ve mhendislerin ou alan teorisi iin gereken matematik temeline sahipolmadklarndan sadece yakn zamanlarda mhendislik uygulamalar yaplmtr. Matematikilerinve fizikilerin mhendislik problemlerindeki yetersiz ibirlii muhtemelen ana neden olarak yeniretme teknikleri gelitirmede aresiz kalan insanoluna byk bir yanlgyla nsan beyni fizik

almak iin tasarlanmamtr. szn syletecek kadar etkili olmutur.THE NATURE OF THE HUMAN MIND

Opinions about the human mind are as numerous as the multitude of anthropologists, biologists, psychologists, and

philosophers who have written about it. Its rare, however, for a physicist to venture into such a discussion. We dont dig for

ancient bones or study the ways of bees and geese; our research deals with the inanimate world of electrons and protons, far

removed from questions of human behavior. Yet as teachers we confront, on a day-to-day basis, some deep issues

concerning the nature of the human mind. With each new freshman class, I again must face the fact that the human mind

wasnt designed to study physics. Alan Cromer, Uncommon Sense (Oxford University Press, New York, 1993), p. 23.

Elektromanyetik alan fizikteki en nemli vektr alan saylabilir. Her ikisi de vektr alan olanelektriksel ve manyetik alanlar hareketli olduklarnda karakteristik bir biimde etkileir. Birhidrodinamik sistemdeki basn alan tensr alanlarna rnek verilebilir. Bu durum, akkan

iindeki farkl noktalarn farkl scaklklarda olduu karmak hareketler sistemine karlk gelir.

Elektromanyetik alanteorisi dersi elektrik mhendislii mfredatnn en nemli temel derslerindenbiri olmu vebunu srdrme eiliminde gzkmektedir. Dier teorilerin aksine, karmak elektrikmhendislii problemlerinin aklamasve zmn veren en iyi tesis edilmi genel teorilerdenbiridir. Bu kitap elektromanyetik alanlar temel olarak kavramak isteyen lisans rencileri iin ikismestirlik dersin temel ders kitab olarak hazrlanmaya allm ve ayn zamanda ilerielektromanyetik alanlara hazrlanan renciler iin de bir kaynak olabilir.

Kitap ieriielektromanyetik alanteorisinin renilmesi seyahatinde bir klavuz olarak grlebilir.Akla iki soru gelebilir: Elektromanyetik nedir ve niin nemlidir? lk soruya elektromanyetik

durgun veya hareketli elektrik yklerinin etkisi almasdr eklinde ksa bir cevap verilebilir.Elektromanyetik teori, elektromanyetik olgusunun aklanmasnda ve elektrik, manyetik veelektromanyetik aygtlarn karakteristikleri ve alma prensiplerinin anlalmasnda temelolduundan nemlidir. Modern topluluklar youn bir biimde elektromanyetik aygtlar vesistemlere dayanr. Burada rnek olarak, mikrodalga frn, katot nl osiloskop, radyo, televizyon,radar, uydu iletiimi, hava tatlarnn otomatik ini-kalk sistemleri ve elektromanyetik enerjidnm (motor ve generatrler) dnlebilir.

Elektromanyetizmann temel prensipleri 150 yl kadar nceden biliniyordu. Organize ve mantklbir yolda olgunlam bir bilimsel konuya almak iin ounlukla birka temel miktardan ve bazvarsaymlardan (hipotez veya aksiyom) oluan geerli bir teorik modelin oluturulmas gereklidir.

Dier ilikiler ve sonular daha sonra bu varsaymlardan gelitirilir. rnein klasik mekanikalmas ktle, hz, ivme, kuvvet, moment ve enerjiyi tanmlayan teorik bir modele dayanr.Modelin temel varsaymlar Newton hareket kanunu, momentin korunumu ve enerjininkorunumudur. Bu varsaymlar dier teoremlerden kartlamaz fakat hareket hznn k hzna gre ihmal edilebildii greceli (mekanik olmayan) dier btn ilikiler ve formller buvarsaymlardan gelitirilebilir. Benzer ekilde giri blmnde bahsedildii gibi elektromanyetikalmasnda da bir elektromanyetik modelin oluturulmasna ihtiya duyulur.

Bu kitap temel prensiplerden gelitirilmi ve bir reticinin minimum yardm ile vektr analizihakknda yeterli bilgi verilmeye allm ve ayn zamanda uygun konunun akabinde ok saydazml problemleri de barndrmaktadr. Bu rnekler sadece kavram veya fiziksel kanunugelitirmeyip ayn zamanda formal teorik geliim ve uygulamas arasnda bir kpr kurmaktadr.Bu rnekler takviyenin zamannda yaplmas ve konunun daha ileri anlalmas amacyla makulkarlanabilir. Her ksmn sonunda verilen altrmalarn amac motivasyonu aa vurmak, gveniartrmak ve sunulan konunun anlalmasn pekitirmektir. Her blmn sonundaki problemler


6/546

VII

rencilere daha fazla kendilerini gsterme imkan sunmaktadr. Bu problemler kitabn nemli birksm olup elektromanyetik alanalmalarnn nemli bir parasdr. rencilerin temel kurallarkullanarak ve gerekli olduuna inanarak bunlar zmeleri tavsiye edilir. Byle problem zmepratii renciye, daha zor gerek dnya problemlerinin zm iin gven alar ve glendirir.

Her blm bir zet ve alma sorular ile sona ermektedir. zetler ayn zamanda kolay referansolmas bakmndan baz nemli eitlikleri ierir. alma sorular rencinin konunun znkavradn salamak iin tasarlanmtr.

Deneyimler, rencilerin teorik geliimi bir soyutlama olarak grme ve baz eitlikleri formllergibi dikkate alarak vurgulama eiliminde olduunu dikte etmektedir. Ksa bir sre iinde rencilerforml olarak adlandrdklar eylerin sadece farkl bir ortam olmayp farkl konfigrasyonlarnnda farkl olduunu bulduundan d krklna balarlar. Sadece bir alanmiktarnn hesaplanmasiin gerekli eitlikler dizisi rencinin konuya olan ilgisini kaybedecek lde gzlerini korkutur.Bu durumda ders diploma almak iin geilmesi gereken baka bir zor ders olur. Bu, retimelemannn metoduna bal olup aadaki hususlara dikkat etmesi ise tamamen kendi

sorumluluundadr:

Her geliimin amacn aklamak, Bu geliim iin zorunlu varsaymlarn doruluunu kantlamak, Snrlamalar vurgulamak, Ortamn etkisine dikkatleri ekmek, Bir eitlikte geometrinin nemini resimleyerek anlatmak ve Uygun olduu yerde konu ile ilgili olabilecek gnlk hayattan, insan davranlarndan,

sosyolojiden, psikolojiden, felsefeden benzerliklere ve metaforlara yer vermek.

Bu hedefleri kazanmak iin retim eleman kendi deneyimini kullanmal ve dier uygulama

alanlarn da vurgulamaldr. Ayn zamanda temel konular tartrken alandaki yeni gelimelerinzerinde de durmaldr.rnein akm tayan iki iletken arasndaki manyetik kuvvet aklanrkenmanyetik levitasyon ve sspansiyonlu aralara deinilebilir veya bir kovuk rezonatr tartlrkenmikrodalga frn tasarm zerinde durulabilir.

Konu dzgnce akland ve ilgili eitlikler temel kurallardan gelitirildiinde renci

Teorik geliimi deerlendirecek, Ald gzdan brakacak, Motivasyon ve gveni yeniden kazanacak ve Yeni fikirlerin gelitirilme nedeninin gcn skca kavrayacaktr.

indekiler tablosuna gre kitabn iki temel ksma ayrld grlebilir. lk ksmda elektrostatikalanlar, statik manyetik alanlar ve kararl elektrik akmlarndan dolay alanlar gibi statik alanlarsunulmaktadr. Statik alanlarn ou uygulamalar elektrik ve manyetik alanlar beraberierdiinden bu uygulamalar bir blmde sunulmutur.

Zaman ve fazr (frekans) domeninde Maxwell eitliklerinin geliimleri ortalama g younluu vezamanla deien elektrik ve manyetik alanlarn birlikte varl kavram vurgulanarak bir blmoluturulmutur. Dier bir blmde elektrik ve manyetik devrelerin bilgisayar destekli analizi vesaysal zm metotlar ierilmektedir.

Bu kitabnalanndaki bir ihtiyac gidereceini ve faydal olacan mit ediyorum.

Prof. Dr. Osman Grdal, Bursa 2015


7/546

VIII


8/546

IX

NDEKLER

1 ELEKTROMANYETK ALAN TEORS.......................................................................................... 1

1.1 GR....................................................................................................................................... 11.2 ALAN KAVRAMI ...................................................................................................................... 21.3 ELEKTROMANYETK MODEL............................................................................................... 41.4 VEKTR ANALZ................................................................................................................... 61.5 DFERANSYEL VE NTEGRAL FORMLASYONLARI......................................................... 71.6 STATK ALANLAR................................................................................................................... 8

1.7 ZAMANLA DEEN ALANLAR........................................................................................... 101.8 SAYISAL ZMLER VE BLGSAYARDESTEKL ANALZ VE TASARIM....................... 111.9 LER ALIMA..................................................................................................................... 121.10 ALIMA SORULARI......................................................................................................... 12

2 VEKTR ANALZ......................................................................................................................... 13

2.1 GR..................................................................................................................................... 132.2 SKALER VE VEKTRLER .................................................................................................... 13

2.2.1 SKALER ........................................................................................................................ 132.2.2 VEKTR ........................................................................................................................ 13

2.3 VEKTR LEMLER............................................................................................................ 14

2.3.1 VEKTREL TOPLAMA ................................................................................................. 142.3.2 VEKTREL IKARMA .................................................................................................. 152.3.3 VEKTR LE SKALER ARPIMI .................................................................................. 152.3.4 K VEKTRN ARPIMI............................................................................................. 16

2.4 KOORDNAT SSTEMLER................................................................................................... 212.4.1 DKDRTGEN KOORDNAT SSTEM........................................................................ 212.4.2 SLNDRK KOORDNAT SSTEM.............................................................................. 262.4.3 KRESEL KOORDNAT SSTEM................................................................................ 31

2.5 SKALER VE VEKTREL ALANLAR ..................................................................................... 372.6 UZUNLUK, YZEY VE HACM DFERANSYEL ELEMANLARI.......................................... 39

2.6.1 DKDRTGEN KOORDNAT SSTEM........................................................................ 392.6.2 SLNDRK KOORDNAT SSTEM.............................................................................. 402.6.3 KRESEL KOORDNAT SSTEM................................................................................ 41

2.7 ZG, YZEY VE HACM NTEGRALLER......................................................................... 422.7.1 ZGSEL NTEGRAL................................................................................................... 422.7.2 YZEY NTEGRAL...................................................................................................... 452.7.3 HACM NTEGRAL....................................................................................................... 47

2.8 SKALER FONKSYONUN GRADYANI................................................................................. 492.9 VEKTR ALANININ DVERJANSI........................................................................................ 53

2.9.1 DVERJANS TEOREM................................................................................................. 562.10 VEKTR ALANININ ROTASYONEL................................................................................. 59

2.10.1 STOKES TEOREM.................................................................................................... 652.11 LAPLASYAN OPERATR ................................................................................................ 68

2.12 BAZI TEOREMLER VE ALAN SINIFLANDIRMALARI ........................................................ 702.12.1 GREEN TEOREM...................................................................................................... 702.12.2 TEKLK TEOREM....................................................................................................... 702.12.3 ALANLARIN SINIFLANDIRILMASI ............................................................................. 72

2.13 VEKTR ZDELKLER................................................................................................... 74


9/546

X

2.14 ZET ................................................................................................................................... 752.15 ALIMA SORULARI......................................................................................................... 772.16 PROBLEMLER .................................................................................................................... 79

3 STATK ELEKTRK ALANLARI................................................................................................... 85

3.1 GR..................................................................................................................................... 853.2 COULOMB KANUNU ............................................................................................................ 853.3 ELEKTRK ALAN DDET.................................................................................................... 893.3.1 YK DAILIMLARINDAN DOLAYI ELEKTRK ALAN DDET........................................ 923.4 ELEKTRK AKISI VE ELEKTRK AKI YOUNLUU............................................................ 993.4.1 ELEKTRK AKISI.............................................................................................................. 1013.4.2 GAUSS KANUNU ............................................................................................................. 1013.5 ELEKTRK POTANSYEL................................................................................................... 1063.6 ELEKTRK DPOL............................................................................................................. 1113.7 ELEKTRK ALANINDAK MALZEMELER........................................................................... 116

3.7.1 ELEKTRK ALANINDAK LETKENLER........................................................................... 1163.7.2 ELEKTRK ALANINDAK DELEKTRKLER..................................................................... 1223.7.3 ELEKTRK ALANINDAK YARI-LETKENLER................................................................. 1283.8 ELEKTRK ALANINDA DEPOLANAN ENERJ................................................................... 1293.9 SINIR ARTLARI................................................................................................................. 133

3.9.1 D

NN NORMAL BLEEN........................................................................................ 121

3.9.2 E

NN TANJANT BLEEN....................................................................................... 1233.10 KAPASTRLER VE KAPASTANS.................................................................................. 1433.10.1 YKL CSMLERDEK ELEKTROSTATK KUVVETLER............................................ 1493.11 POISSON VE LAPLACE ETLKLER............................................................................. 1503.11.1 LAPLACE ETLNN DEKEN AYRIMI METODU LE ZM........................ 157

3.12 MAJ METODU.................................................................................................................. 1613.14 ZET ................................................................................................................................. 1663.15 ALIMA SORULARI....................................................................................................... 1693.16 PROBLEMLER .................................................................................................................. 171

4 KARARLI ELEKTRK AKIMLARI............................................................................................... 181

4.1 GR................................................................................................................................... 1814.2 AKIM VE AKIM YOUNLUU............................................................................................ 182

4.2.1 LETM AKIMI.............................................................................................................. 1824.2.2 TAINIM AKIMI........................................................................................................... 1834.2.3 TAINIM AKIM YOUNLUU.................................................................................... 183

4.2.4 LETM AKIM YOUNLUU....................................................................................... 1854.3 LETKENN DRENC.......................................................................................................... 1874.4 SREKLLK ETL........................................................................................................ 1894.5 DURULMA ZAMANI ............................................................................................................ 1954.6 JOULE KANUNU ................................................................................................................. 1964.7 DYOTTAK KARARLI AKIM............................................................................................... 1994.8 AKIM YOUNLUU N SINIR ARTLARI...................................................................... 202

4.9 D

VE J

ARASINDAK BENZERLK.................................................................................. 1934.10 KISMDREN.................................................................................................................. 2084.11 ELEKTROMOTOR KUVVET............................................................................................ 2184.12 ZET ................................................................................................................................. 222

4.13 ALIMA SORULARI....................................................................................................... 2244.14 PROBLEMLER .................................................................................................................. 225


10/546

XI

5 STATK MANYETK ALANLAR................................................................................................. 231

5.1 GR................................................................................................................................... 2315.2 BOT-SAVART KANUNU .................................................................................................... 2335.3 AMPRE KUVVET KANUNU .............................................................................................. 2425.4 MANYETK TORK............................................................................................................... 2485.5 MANYETK AKI VE GAUSS KANUNU................................................................................ 2515.6 MANYETK VEKTR POTANSYEL.................................................................................. 2545.7 MANYETK DPOL.............................................................................................................. 2585.8 MANYETK ALAN DDET VE AMPRE KANUNU.......................................................... 2615.9 MANYETK MALZEMELER................................................................................................. 2655.9.1 FERROMANYETZMA..................................................................................................... 2715.10 MANYETK SKALER POTANSYEL................................................................................. 2755.11 MANYETK ALANLAR N SINIR ARTLARI................................................................. 278

5.11.1 B

ALANININ NORMAL BLEEN N SINIR ARTI............................................ 264

5.11.2 H

ALANININ TANJANT BLEENLER N SINIR ARTI.................................... 2655.12 MANYETK ALANDAK ENERJ....................................................................................... 2825.13 MANYETK DEVRELER.................................................................................................... 284

5.13.1 MANYETK DEVRELERDEK KUVVETLER VE TORKLAR..................................... 2935.14 ZET ................................................................................................................................. 2945.15 ALIMA SORULARI....................................................................................................... 2975.16 PROBLEMLER .................................................................................................................. 299

6 STATK ALAN UYGULAMALARI.............................................................................................. 305

6.1 GR................................................................................................................................... 3056.2 YKL PARACIIN SAPMASI........................................................................................ 305

6.3 KATOT IINLI OSLOSKOP............................................................................................... 3076.4 MREKKEPL YAZICI......................................................................................................... 3106.5 MNERALLERN AYRITIRILMASI.................................................................................... 3116.6 ELEKTROSTATK GENERATR....................................................................................... 3146.7 ELEKTROSTATK VOLTMETRE........................................................................................ 3166.8 MANYETK AYIRICI............................................................................................................ 3176.9 MANYETK SAPTIRMA....................................................................................................... 3186.10 SKLOTRON...................................................................................................................... 3216.11 HIZ SEC VE KTLE SPEKTROMETRES................................................................... 3236.12 HALL ETKS..................................................................................................................... 3256.13 MANYETOHDRODNAMK GENERATR ...................................................................... 3276.14 ELEKTROMANYETK POMPA......................................................................................... 328

6.15 DORU AKIM MOTORU.................................................................................................. 3286.16 ZET ................................................................................................................................. 3306.17 ALIMA SORULARI....................................................................................................... 3326.18 PROBLEMLER .................................................................................................................. 333

7 ZAMANLA DEEN ELEKTROMANYETK ALANLAR.......................................................... 337

7.1 GR................................................................................................................................... 3377.2 HAREKETE BALI ELEKTROMOTOR KUVVET.............................................................. 338

7.2.1 HAREKETE BALI EMF............................................................................................. 3407.3 FARADAY NDKLEME KANUNU..................................................................................... 342

7.3.1 NDKLENEN EMF ETL..................................................................................... 3457.4 FARADAY KANUNUNDAN MAXWELL ETL.............................................................. 3477.4.1 GENEL ETLKLER................................................................................................... 348

7.5 Z NDKTANS.................................................................................................................. 3517.6 ORTAK NDKTANS.......................................................................................................... 358


11/546

XII

7.7 KUPLAJLI SARGILARIN NDKTANSI.............................................................................. 3637.7.1 SER BALANTI......................................................................................................... 3637.7.2 PARALEL BALANTI.................................................................................................. 365

7.8 MANYETK ALANDAK ENERJ.......................................................................................... 3667.8.1 TEK SARGI ................................................................................................................. 3667.8.2 KUPLAJLI SARGILAR ................................................................................................. 368

7.9 AMPERE KANUNUNDAN MAXWELL ETL................................................................ 3707.10 GAUSS KANUNLARINDAN MAXWELL ETLKLER..................................................... 3747.11 MAXWELL ETLKLER VE SINIR ARTLARI............................................................... 375

7.11.1 MAXWELL ETLKLER.......................................................................................... 3757.11.2 YAPISAL ETLKLER.............................................................................................. 3777.11.3 SINIR ARTLARI...................................................................................................... 377

7.12 POTANSYEL FONKSYONLAR....................................................................................... 3807.12.1 DALGA ETLKLERNN ZM......................................................................... 382

7.13 POYNTNG TEOREM...................................................................................................... 3837.14 ZAMAN-HARMONK ALANLAR........................................................................................ 389

7.14.1 FAZR BMNDE MAXWELL ETLKLER......................................................... 3917.14.2 FAZR BMNDE SINIR ARTLARI..................................................................... 3917.14.3 FAZR BMNDE POYNTNG TEOREM............................................................. 392

7.15 ELEKTROMANYETK ALAN UYGULAMALARI................................................................ 3947.15.1 TRANSFORMOTOR ................................................................................................. 3957.15.2 OTOTRANSFORMOTORU ....................................................................................... 4017.15.3 BETATRON ............................................................................................................... 405

7.16 ZET ................................................................................................................................. 4077.17 ALIMA SORULARI....................................................................................................... 4097.18 PROBLEMLER .................................................................................................................. 411

8 ELEKTROMANYETK ALANLARIN BLGSAYAR DESTEKL ANALZ................................. 419

8.1 GR................................................................................................................................... 4198.2 SONLU FARK METODU (FDM) .......................................................................................... 419

8.2.1 SINIR ARTLARI........................................................................................................ 4228.2.2 SONLU FARK ETLKLERNN RDELEME LE ZM...................................... 424

8.3 SONLU ELEMAN METODU (FEM) ..................................................................................... 4288.4 MOMENTLER METODU (MOM) ......................................................................................... 4398.5 ZET ................................................................................................................................... 4438.6 ALIMA SORULARI......................................................................................................... 4448.7 PROBLEMLER .................................................................................................................... 445

9 ELEKTROMANYETKTE BLGSAYAR DESTEKL ANALZ, SMLASYON, MODELLEME VETASARIM ........................................................................................................................................ 447

9.1 GR................................................................................................................................... 4479.2 MAXWELL LE MODELLEME............................................................................................. 4489.3 K BOYUTLU MODELLEME............................................................................................... 4489.4 MANYETK KAVRAMLAR................................................................................................... 450

9.4.1 MANYETK AKI YOUNLUU................................................................................... 4509.4.2 MANYETK ALAN DDET........................................................................................ 4519.4.3 MANYETK MALZEMELER......................................................................................... 4529.4.4 SABT MIKNATISLAR................................................................................................. 4539.4.5 DEPOLANAN ENERJ VE KOENERJ........................................................................ 454

9.4.6 KUVVET HESABI ........................................................................................................ 4569.4.7 NDKTANS HESABI.................................................................................................. 4579.5 EVRMSEL GEOMETRL RNEK MODELLEMELER.................................................... 459

9.5.1 C-NVEL EYLEYC................................................................................................... 4599.5.2 BARA ZERNDEK KUVVETLER............................................................................. 462


12/546

XIII

9.5.3 E-NVEL EYLEYC................................................................................................... 4649.5.4 SABT MIKNATISLI MANYETK KLT........................................................................ 4679.5.5 DZGN MANYETK ALAN NDEKSLNDRK EKRAN..................................... 4699.5.6 SLNDRK LETKEN NDEK ALAN....................................................................... 4729.5.7 TRANSFORMOTOR EDEER DEVRES................................................................ 474

9.6 DNEL GEOMETRL RNEK MODELLEMELER............................................................ 4789.6.1 SELENODAL SARGININ Z NDKTANSI.............................................................. 4799.6.2 SELENODAL KOAKSYEL SARGILARIN Z VE ORTAK NDKTANSLARI .......... 4819.6.3 SAKSI NVEL EYLEYC........................................................................................... 4849.6.4 HAREKETL SARGILI DNTRC.................................................................... 4869.6.5 DZGN MANYETK ALAN NDEK KRESEL EKRAN....................................... 4889.6.6 LVDT YER DEM ALGILAYICISI.......................................................................... 4919.6.7 SLNDRK EYLEYC................................................................................................. 4949.6.8 MANYETK SSPANSYON....................................................................................... 496

9.7 ALIMA SORULARI......................................................................................................... 4989.8 PROBLEMLER .................................................................................................................... 498

10 EK ZML RNEK PROBLEMLER .................................................................................. 499

10.1 GR................................................................................................................................. 49910.2 VEKTR ANALZ............................................................................................................. 49910.3 STATK ELEKTRK ALANLARI......................................................................................... 50110.4 KARARLI ELEKTRK AKIMLARI....................................................................................... 50310.5 STATK MANYETK ALANLAR......................................................................................... 50310.6 STATK ALAN UYGULAMALARI...................................................................................... 50910.7 ZAMANLA DEEN ELEKTROMANYETK ALANLAR.................................................. 512

11 EKLER ....................................................................................................................................... 515

EK.1 SERLER LSTES............................................................................................................ 515EK.2 TRGONOMETRK ZDELKLER LSTES................................................................... 515EK.3 VEKTR ZDELKLER................................................................................................ 517EK.4 BELRSZ NTEGRALLER LSTES................................................................................. 518EK.5 BELRL NTEGRALLER LSTES.................................................................................... 522EK.6 DKDRTGEN, SLNDRK VE KRESEL KOORDNAT SSTEMLERNDE

DFERANSYEL UZUNLUK, YZEY VE HACM ELEMANLARI................................................... 523EK.7 DKDRTGEN, SLNDRK VE KRESEL KOORDNAT SSTEMLERNDE VEKTREL

LEMLER...................................................................................................................................... 524EK.8 ELEKTROMANYETK ALAN TEORS LE LGL NGLZCE - TRKE SZLK ....... 525

EK.9 ELEKTROMANYETK ALAN TEORS LE LGL TRKE - NGLZCE SZLK....... 526KAYNAKLAR ................................................................................................................................. 529

NDEKS.......................................................................................................................................... 531


13/546

XIV


14/546

1 ELEKTROMANYETK ALAN TEORS

1.1 GR

Alan nedir? Bu alan skaler alan veya vektr alan mdr? Alann doas (tr) nedir? Srekli alanveya rotasyonel alan mdr? Akm tayan sargnn rettii manyetik alan nasldr? Kapasitrenerjiyi nasl depolar? Bir iletken tel paras (anten) sinyalleri nasl yayar veya alr. Bolukta veyauzayda elektromanyetik alanlar nasl yaylr? Bo bir borunun (dalga klavuzu) bir ucundan dierucuna elektromanyetik enerji hareket ettiinde gerekten ne olur? Bu ders kitabnn ncelikli amacelektromanyetik alanlar ile ilgili bu sorularn bir ksmn cevaplamaktr.

Bu blmde, elektromanyetik alan teorisi zerinde almann elektrik mhendisliinde yer alanou olgularnanlalmasnda hayati nem tadn gstermek amac tanmaktadr. Bunun iinelektrik mhendisliinin dier alanlarndaki kavramlarndan ve baz eitliklerindenyararlanlacaktr. Elektromanyetik alan teorisini kullanan bu kavram ve eitliklerin orijinine ktutulmas ayrca amalarn birisini oluturmaktadr.

Bilimdeki gelimehenz tam olarak tanmlanamayan baz miktarlara baldr. Bu temel miktarlar;

ktle (m), uzunluk (l), zaman (t), yk (q) ve scaklk (T) olarak adlandrlmaktadr. rnein,zaman nedir? Zaman ne zaman balamtr? Ayn ekilde, scaklk nedir? Scak veya souk nedir?Bu miktarlar hakknda baz sezici duygulara sahip olmakla beraber tam bir tanmlamadan yoksunolduumuz bir gerektir. Bu miktarlarn llmesi ve ifade edilmesi iin bir birim sisteminintanmlanmasna gerek vardr.

Uluslararas birim sisteminde (SI) ktle iin kilogram (kg), uzunluk iin metre (m), zaman iinsaniye (s), yk iin Coulomb (C) ve scaklk iin kelvin (K) birimleri edinilmitir. lgili btnmiktarlara ait birimler ayrca temel birimler ile tanmlanr. rnein, akm birimi amper (A), temelbirimler ile saniye bana Coulombdur (C/s). Bundan dolay amper tretilmi bir birimdir. Newton


15/546

2 Elektromanyetik Alan Teorisi

(N) kuvvet birimi de tretilmi bir birim olup kgm/s1N1 = ile temel birimler cinsinden ifadeedilebilir. Bu ders kitabnda kullanlan miktarlardan bazlarna ait birimler tablo 1.1 ve 1.3deverilmitir. Baz alan miktarlarnn ifadesinde, endstride ngiliz birimleri hala kullanlmaktaolduundan bir sistemden dierine dnm gereklidir (Tablo 1.2).

Tablo 1.1 Baz elektromanyetik miktarlarn tretilmi birimleri

Sembol Miktar Birim Ksaltma

Y admitans Siemens S asal frekans radyan/saniye rad/sC kapasitans Farad F yk younluu Cou1omb/metre3 C/m3G kondktans Siemens S ziletkenlik Siemens/metre S/mW enerji Joule JF kuvvet Newton Nf frekans Hertz Hzz empedans Ohm L indktans Henry H manyetomotor kuvveti Amper-sarm At permeabilite Henry/metre H/m permitivite Farad/metre F/mP g Watt W

relktans Henry -1 H-1

Tablo 1.2 Birim dnm faktrleri

Gilbert 0,79577 = Amper-sarm (At)Amper-sarm/cm 2,54 = Amper- sarm /inAmper-sarm/in 39,37 = Amper- sarm/m

Oersted 79,577 = Amper-sarm/metreAk 110-8 = Weber (Wb)

Gauss (ak/cm2) 6,4516 = Ak/in2Ak/in2 0,155 10-4 = Wb/m2(Tesla)

Gauss 10

-4

= Wb/m

2

n 2,54 = santimetre (cm)Feet (ayak) 30,48 = santimetre

Metre 100 = santimetren2 6,4516 = cm2Ons 28,35 = gram

Pound 0,4536 = kilogramPound-kuvvet 4,4482 = newtonOns-kuvvet 0,27801 = newton

Newton-metre 141,62 = ons-in

Newton-metre 0,73757 = pound-feetDevir/dakika 2/60 = radyan/saniye


16/546

Elektromanyetik Alan Teorisi 3

1.2 ALAN KAVRAMI

Elektromanyetik alan almasna girmeden nce alan kavramnn tanmlanmas gereklidir. Alanuzay ve zamanda gzlenebilir bir niceliin veya bykln sreklilik gsteren dalm olarak

tanmlanabilir. Blgedeki her noktada bu nicelik veya byklkbir deerler grubu iletanmlanr.Bir alann her noktasndaki deer deneysel olarak llebilir veya dier baz miktarlar cinsindenbaz matematiksel ilemler yaplarak tahmin edilebilir.

Bilimin dier alanlarndaki almalardan hem skaler ve hem de vektrel alanlarn var olduubilinmektedir. Bu kitapta kullanlan alan deikenlerinden bazlar tablo 1.3de verilmitir. Bu alanmiktarlar arasnda belirli ilikiler olup bunlardan bazlar tablo 1.4de verilmitir.

Tablo 1.3 Baz alan deikenleri

Deiken Tanm Tip Birimler

A

Manyetik vektr potansiyeli vektr Wb/mB

Manyetik ak younluu vektr Wb/m2(T)

D

Elektrik ak younluu vektr C/m2

E

Elektrik alan iddeti vektr V/m

F

Lorentz kuvveti vektr NI Elektrik akm skaler A

J

Hacim akm younluu vektr A/m2

q Serbest yk skaler C

S

Poynting vektr vektr W/m2

u

Serbest yk hz vektr m/sV Elektrik potansiyeli skaler V

Tablo 1.4 Deiik alan deikenleri arasndaki ilikiler

ED

= permitivite ()

HB

= permeabilite ()

EJ

= ziletkenlik (), Ohm kanunu

)( BuEF

+= q Lorentz kuvvet eitlii

= D

Gauss kanunundan Maxwell eitlii

0. =B

Gauss kanunundan Maxwell eitlii

t

=

J

Sreklilik eitlii

t

=

BE

Faraday kanunundan Maxwell eitlii

t

+=

DJH

Ampre kanunundan Maxwell eitlii

Permitivite () ve permeabilite () ortamn zellikleridir. Ortam vakum veya boluk olduundadeerleri

(F/m)/361010851,8 -912 = o


17/546


(H/m)104 7= o

ile verilir. Tablo 1.4de listelenen eitliklerden, Maxwell, elektromanyetik alanlarn vakumda khz,

(m/s)1

oo

c

=

ile yayldn tahmin edebilmiti.

1.3 ELEKTROMANYETK MODEL

Bir bilimsel konunun gelitirilmesinde indktif (tmevarm: gzlenen tek tek olgulardan genelyarglara ulamakveya zelden geneleakl yrtmek, istikr) yaklam ve dedktif (tmdengelim:gerek akl gerekse gzlem ve deney yoluyla elde edilmi genel bir olay ayr ayr olaylarauygulamak veya genelden zeleakl yrtmek, istintc, istidll) yaklam veya karsama olarak ikiyaklam vardr. Tmevarm yaklam kullanlarak baz temel deneyimlerin gzlemleri vebunlardan kanun ve teoremlerin kartlmas ile balanarak konunun tarihi geliimi izlenir. Bu birolgunun genel prensiplere dayandrlmas ilemidir. Tmdengelim yaklamda, ideal bir model iinyeni temel ilikiler gerek gibi kabul edilir. Kabul edilmi ilikiler aksiyomlar olup bunlardankanun ve teoremler kartlabilir. Model ve aksiyomlarn geerlilii deneysel gzlemler ile kontroledilen sonular tahmin edebilme zellii ile dorulanr. Bu kitapta tmdengelim veya aksiyomatikyaklamn kullanlmas tercih edilmitir nk bu daha ksa, zl ve elektromanyetik konularnndaha tertipli bir yolla geliimine izin verir.

deal modele dayal bir teorinin oluturulmasnda temel adm vardr:

alma konusuna uyumlu baz temel miktarlar tanmlanr. Bu miktarlarn alma kurallar (matematii) belirlenir. Baz temel ilikiler gerek gibi kabul edilir. Bu kabuller veya kurallar kontrollu artlar altnda

kazanlm ve zeki akllar ile sentez edilmi, ounlukla ok sayda deneysel gzlemleredayanr.

Bilinen bir rnek ideal kaynaklar, saf diren, indktans ve kapasitanslarn devre modeli zerineoluturulan devre teorisidir. Bu durumda temel miktarlar gerilim (V), diren (R), indktans (L) vekapasitans (C); alma kurallar cebir, adi diferansiyel eitlikler ve Laplace dnmleri ve temel

kabul ve varsaymlar Kirchhoffgerilim ve akm kanunlardr. Bu temel ve olduka basit modeldenok ilikiler ve formller kartlabilir ve ok ayrntl devrelerin tepkileri belirlenebilir. Bumodelin geerlilii ve deeri byk oranda gsterilmitir.

Benzer bir davranla elektromanyetik alan teorisi uygunca seilmi bir elektromanyetik alanteorisi ile oluturulabilir. ncelikle elektromanyetiin temel miktarlarnn tanmlanmas ile birinciadm atlr. kinci adm vektr cebri, vektr hesab ve ksmi diferansiyel eitlikleri evreleyenalma kurallardr. nc adm temel kabul ve varsaymlar srasyla statik elektrik alanlar,statik manyetik alanlar ve elektromanyetik alanlar olarak alt admlarda sunulur.

Elektromanyetik modelin miktarlar kabaca iki kategoriye blnebilir: kaynak miktarlar ve alan

miktarlar. Bir elektromanyetik alann kayna durgun veya hareketli deimeyen elektrikykleridir. Bununla beraber bir elektromanyetik alan yklerin yeniden dalmna neden olabilir veakabinde alan deitirebilir;bundan dolay neden ve etki arasndaki ayrm daima ok belirgindeildir.


18/546


Elektrik yknn sembol olarak q veya Qharfleri kullanlr. Elektrik yk maddenin temel birzellii olup sadece bir elektrondaki ykn, (-e) pozitif veya negatif arpanlar olarak mevcuttur.Ykn bykl,

C)(1060,1 19=e

dir. Burada, C Coulomb yk biriminin ksaltlm halidir. Coulomb elektrik ykleri iin ok byk

bir birimdir; -1 Cluk bir yk oluturmak iin 191060,1/1 veya 6,25 milyon trilyon elektrongerekmektedir. Gerekte aralarnda 1 m aklk bulunan ikiadet 1 Cluk yk birbirine yaklak 1milyon tonluk kuvvetle etki edecektir.

Enerjinin korunumu prensibi gibi elektrik yknn korunumu fiziin bir varsaym veya kuraldr.Bu, elektrik yknn korunumunun olduunu ifade etmektedir yani yk kendiliinden var olamazveya yok edilemez. Bu bir doa veya yaratln bir kanunu olup dier prensip veya ilikilerden

kartlamaz.

Elektrik ykleri bir yerden baka yere gidebilir ve bir elektromanyetik alann etkisi altnda yenidendalabilir fakat kapal veya yaltlm bir sistemde pozitif veya negatif yklerin cebirsel toplamdeimeden kalr. Elektrik yknn korunumu prensibi her zaman her art altnda doyurulmaldr.Elektrik yknn korunumu prensibini ineyen veya uymayan bir elektromanyetik problemininformlasyonu veya zm doru olmaz.

Mikroskobik bir bakla elektrik yk bir noktada ayr bir ekilde ya var yada yoktur, atomikskaladaki bu ani deiimler yklerin byk miktarlarnn bir araya geldii elektromanyetik etkileridikkate alndnda nemli deildir. Elektromanyetizmann makroskobik veya geni skalal teorisi

oluturulurken dzletirilmi ortalama younluk fonksiyonlarnn kullanlmasnn ok iyisonularverdii bulunabilir. v hacim yk younluu bir kaynak miktar olarak aadaki gibitanmlanabilir:

)C/m(lim 30 v

q

vv

=

Burada, q ok kk bir vhacmindeki yk miktardr. vne kadar kk olmaldr? Bu vnindoru deiimini temsil edecek kadar kk fakat ok sayda ayr ykleri iine alabilecek kadarbyk olmaldr. rnein kenarlar 1 mikron (10-6m veya 1 m) kadar kk olan bir kp 10-18m3

hacmi ile hala 1011(100 milyar) civarnda atom ierecektir. Byle kk vhacmi ile tanmlananvnin uzay koordinatlarnn dzletirilmi fonksiyonu ile hemen hemen btn pratik amalar iindoru makroskobik sonular vermesi beklenir.

Baz fiziksel durumlarda q yk miktar bir s yzey eleman veya l izgi eleman iletanmlanabilir. Byle durumlarda yzey yk younluu (s) veya hat yk younluunun (l)tanmlanmas daha uygun olmaktadr:

)C/m(lim 20 s

q

ss

=

)C/m(lim0 l

q

ll

=


19/546


Baz zel durumlarn dnda yk younluklar noktadan noktaya deiir; bundan dolay v, svelgenelde uzay koordinatlarnn nokta fonksiyonlardr.

Akm zamana gre ykn deiim miktardr ve

A)veya(C/sdt

dqI=

ile ifade edilir. Burada, Inin kendisi zamana baml olabilir. Akmn birimi saniye banaCoulomb (C/s) olup amper (A) ile ayndr. Akm sonlu bir kesit alanndan akmaldr; bundan dolay

nokta fonksiyonu deildir. Elektromanyetikte akm younluu ( J

) olarak bir vektr noktafonksiyonu tanmlanmakta olup akm aknn ynne normal birim yzey alandan akan akm

miktarnn bir lsdr. Akm younluu ( J

) bir vektrel miktar ve genlii birim alan banaakm (A/m2) ve yn akm aknn yndr.

Elektromanyetikte drt temel alan miktar olup bunlarn tanm ve fiziksel nemi ilgili blmlerde

aklanmaktadr. Bunlar elektrik alan iddeti ( E

), elektrik ak younluu veya elektrik yer deiimi

( D

), manyetik ak younluu (B

) ve manyetik alan iddeti ( H

). Elektrik alan iddeti (E

) bouzaydaki elektrostatik alanlarn aklanabilmesi iin gereken tek vektr olup birim test ykne

etkiyen elektrik kuvveti olarak tanmlanr. Elektrik ak younluu( D

) malzeme ortamnda elektrik

alan almasnda kullanldr. Manyetik ak younluu (B

) bo uzayda manyetostatik (kararlelektrik akmlarnn etkisi) tartmasnda gereken tek vektrdr ve belirlibir hzla hareket eden yk

zerine etkiyen manyetik kuvvet ile ilikilidir. Manyetik alan iddeti (H

) malzeme ortamndamanyetik alan almasnda kullanldr.

Zaman deiimi olmadnda (statik, kararl veya durgun durumlar) E

ve D

elektrik alan

miktarlar ve B

ve H

manyetik alan miktarlar iki ayr vektr ifti oluturur. Bununla beraber

zamana baml durumlarda elektrik ve manyetik alan miktarlar kuplajldr: zamanla deien E

ve

D

B

ve H

ye neden olur veya bunun tersi olur. Bu drt miktar nokta fonksiyonlardr.

Malzeme veya ortam zellikleri E

ve D

arasnda ve B

ve H

arasndaki ilikileri belirler. Builikiler bir ortamn yapsal ilikileri olup ilgili ksmlarda aklanmaktadr.

Elektromanyetizma almasnn ana amac elektromanyetik modele dayal olarak belli uzaklktaki

ykler ve akmlar arasndaki etkileimi anlamaktr. Alanlar ve dalgalar (zaman ve uzay deikenalanlar) bu modelin temel kavramsal miktarlardr. lgili blmlerde telaffuz edilecek temel kabul

ve varsaymlar E

, D

, B

ve H

ve kaynak miktarlarn ilikilendirecek ve kartlm ilikilerelektromanyetik kavramn aklanmasna ve tahminine nclk edecektir.

1.4 VEKTR ANALZ

Vektr analizi elektromanyetik alan almalarnda kullanlan dildir. Vektrler kullanlmakszn

alan eitliklerinin yazlmas olduka hantal ve hatrlanmas olduka zordur. rnein, A

ve B

gibiiki vektrn vektrel arpm basit olarak

CBA

= (1.1)

eklinde yazlabilir, burada C

baka bir vektrdr. Skaler formda ifade edildiinde bu eitlik skaler eitlikten meydana gelir. Ek olarak bu skaler eitliklerinin grn koordinat sistemine


20/546


baldr. Dikdrtgen koordinat sisteminde nceki eitlik aadaki gibi eitliin ksa ve ak birversiyonudur:

xyzzy CBABA = (1.2a)

yzxxz CBABA = (1.2b)

zxyyx CBABA = (1.2c)

Vektrel arpmn adet skaler eleniine gre vektrel eitlii daha iyi ifade ettii kolaylklaanlalabilir. Daha da tesi vektrel gsterim koordinat sisteminden bamszdr. Bundan dolayvektr analizi alan eitliklerinin basitletirilmesi ve btnletirilmesine (benzetirilmesine)yardmc olur.

Elektromanyetik teoride bir rencinin ilk dersi almas gerektii zaman vektr analizi hakkndakibilgisi ok snrl olmaktadr. renci gradyan (eil), diverjans (dal)ve rotasyonel (dnl) gibivektr ilemlerinin yerine getirilmesinde becerikli olabilir fakat her ilemin neminikavramayabilir. Btn vektr ilemlerinin bilinmesi elektromanyetik alan teorisinin geliiminianlayabilmek iin gereklidir.

ou kezbir renci, (a) bir skaler vektr bir vektr yzeyine dntren birim vektrn daimayzeye normal olduunu, (b) ihmal edilebilir kalnlkta ince bir kat yapran iki yzeye sahipolduunu, (c) bir yzeyin snr boyunca izgisel integralin ynnn yzeye normal birimvektrnn ynne bal olduunu ve (d) ak bir yzey ile kapal yzey arasnda farkllkolduunu bilmeyebilir. Bu kavramlar nemlidir ve bunlarn her birinin neminin kavranlmas

gereklidir.

Vektr analizi almasnda iki dn yntemi vardr. Bir yaklamda, her vektr ilemininsadece gerekli olduunda tantlmas tercih edilirken; dierlerinde bir rencinin elektromanyetikalan teorisini kefetmeden nce btn vektr ilemlerinde gerekli yeterlilik kazanm olmasgerektiine inanlr. Burada sonraki yaklam tercih edildiinden dolay 2. Blm vektrilemlerine ayrlmtr.

1.5 DFERANSYEL VE NTEGRAL FORMLASYONLARI

ok sk olarak bir renci diferansiyel form ve integral form olarak iki farkl biimlerde ayn fikrinniin sunulduunu anlamayabilir. ntegral form eitliin nemini aklamak iin kullanl olurkendiferansiyel formun matematiksel ilemlerin yerine getirilmesinde uygun olduunu vurgulamakgerekir. rnein diferansiyel formda akmn sreklilik eitlii

t

=

J. (1.3)

olarak ifade edilir. Burada, J

hacim akm younluu ve hacim yk younluudur. Bu eitlik birnoktadaki akm younluunun diverjansnn bu noktadaki yk younluunun deiim oranna eitolduunu ifade etmektedir. Bu eitliin kullanll, bir noktada akm younluu bilindiinde bunoktadaki yk younluunun deiim orannn hesaplanmasn kolaylatrd gereindeyatmaktadr. Bunun yannda, bu eitliin fiziksel neminin vurgulanmas iin nokta bir vhacmi ileevrelenmeli ve hacim integrali alnmaldr. Baka bir deyimle (1.3) aadaki gibi ifadeedilmelidir.


21/546


=v v

dvt

dv

J

. (1.4)

imdi sol taraftaki hacim integralinin bir kapal yzey integraline dntrlmesi iin diverjans

teoremi uygulanabilir. Ayn zamanda, (1.4) eitliinin sa tarafndaki diferansiyel ve integralilemlerinin yeri deitirilerek

=vs

dvt

d sJ

(1.5)

elde edilir. Bu eitlik (1.3) eitliinin integral formlasyonudur. Sol taraftaki integral vhacmi ilesnrlanan kapal syzeyinden kan netIakmn temsil etmektedir. Sa taraftaki integral vhacmiiindeki q yk ile sonulanmaktadr. Bundan dolay bu eitlik bir blge ile snrlanan kapalyzeyden kan net akmn blge iindeki ykn zamanla azalan oranna eit olduunu ifadeetmektedir. Baka bir deyile,

dtdq=I (1.6)

anlamna gelen (1.5) negatif iaret ihmal edildiinde iyi bilinen bir devre eitlii olmaktadr.

Bu geliimin detaylar Kararl Elektrik Akmlar blmnde verilmitir. Henz detaylara girmeden,verilen bu rnek (1.3) ve (1.5) eitliklerinin ayn temel fikri ilediklerinin gsterilmesi iinkullanlmtr.

1.6 STATK ALANLAR

Burada yine bir kere daha elektromanyetik alan teorisinin sunulmasna nasl balanacanda birikilem ile yz yze gelinmektedir. Baz yazarlar Maxwelleitliklerinin bir temel nermeler grubuolarak sunulup elektromanyetik etkilerin uzun yllar iindeki deneysel gzlemlerinin sonularnnzetlenerek balang yaplmasna inanmaktadrlar. Bununla beraber fizik derslerinde daha ncedentartlankavramlarn olabildiince kullanlarak alan teorisinin gelitirilmesi gerektii kanaati dahaar basmaktadr. Bundan dolay ncelikle statik alanlarile balanmas tercih edilmitir.

Elektrostatik veya statik elektrik alanlar almasnda (a) btn yklerin bolukta sabitlenmiolduu, (b) btn yk younluklarnn zaman iinde sabit olduu ve (c) elektrik alannnkaynann yk olduu varsaylmaktadr. lgi alan (a) herhangi bir noktadaki elektrik alannn, (b)

potansiyel dalmnn, (c) yklere dier ykler tarafndan etkiyen kuvvetlerin ve (d) blgedekielektrik enerji dalmnn belirlenmesidir. Ayn zamanda bir kapasitrn enerjiyi nasl depoladda gsterilecektir. Bylece Coulomb kanunu ve Gauss kanunu ile tartlmaya balanlanacak vePoisson ve Laplace eitlii gibi iyi bilinen potansiyel fonksiyonlarn formlasyonu yaplacaktr.Herhangi bir noktadaki elektrik alannn e potansiyel yzeye dik olduu gsterilecek ve sonularvurgulanacaktr. Elektrostatik alanlar ile ilgili baz eitlikler tablo 1.5de verilmitir.

Hareket halindeki bir ykn akm meydana getirdii nceden bilinmektedir. Eerykn hareketisonu akmn zamanla deiimi sabit olacak ekilde snrlandrlrsa, meydana gelen alana manyetikalan ad verilir. Akm zamanla sabit olduundan manyetik alan da zamanla sabittir. Sabit manyetik

alanlar ile ilgili bilim dalna manyeto-statik veya statik manyetik alanlar ad verilir. Bu durumda (a)manyetik alan iddeti, (b) manyetik ak younluu, (c) manyetik ak ve (d) manyetik alandadepolanan enerjinin belirlenmesi ile ilgilenilir. Bu sonuca varmak iin tartmaya Biot-Savartkanunu ve Ampre kanunu ile balanlacak ve tm temel eitlikler gelitirilecektir. Zaman zamanstatik elektrik ve manyetik alanlar arasndaki iliki de vurgulanacaktr. Manyeto-statikte ifadeedilen veya formlletirilen baz nemli eitlikler tablo 1.6da verilmitir.


22/546


Statik alanlarn ok sayda pratik uygulamalar vardr.Statik elektrik ve manyetik alanlarnher ikiside ou aygtlarn tasarmnda kullanlr. rnein statik elektrik alan bir paracnhzlandrlmasnda ve statik manyetik alan ise onun saptrlmasnda kullanlabilir. Bu ema birosiloskop ve/veya bir mrekkep-jet yazcnn tasarmnda kullanlabilir. Blm 6 statik alanlarn

baz uygulamalarn gstermek iin ayrlmtr. Bir renci statik alanlarn temelini bir kere iyirendikten sonra bir reticinin rehberlii olmakszn uygulamalar anlayabilmesi gerekir.retici her uygulamann ana zelliklerini vurgulamaya karar verebilir ve sonra kalan ksmlara birokuma devi olarak davranabilir. Teorinin gerek hayat uygulamalar hakkndaki tartmalarkonuyu ilgin tutmaktadr.

Tablo 1.5 Elektrostatik alan eitlikleri

Coulomb kanunu EF

q=

Elektrik alanRR

Q

a

E

2

4

= veya vdRv

R

= aE

24

1

Gauss kanunu =D

. veya =s Qds.D

Korunumlu E alan = E

veya 0=c dE

Potansiyel fonksiyon V=E

veya =b

aba dV

E

Poisson eitlii

=

V2

Laplace eitlii 02 = V

Elektrik enerji younluu ED

= 21

ew Yapsal iliki ED

=

Ohm kanunu EJ

=

Tablo 1.6 Manyetostatik alan eitlikleri

Kuvvet eitlii BuF

= q veya BF

= dId

Biot-Savart kanunu24 r

dId r

aB

=

Ampere kanunuJH

=veya Idc

=

H

Gauss kanunu 0= B

veya =s d 0sB

Manyetik vektr potansiyeli AB

= veya = c rdI

4A

Manyetik ak = s dsB

veya = c dA

Manyetik enerji younluu HB

= 21

mw

Poisson eitlii JA

=2

Yapsal iliki HB

=


23/546


1.7 ZAMANLA DEEN ALANLAR

Elektrik devrelerine alrken bir L indktrnden i(t) akm getiinde ularndaki gerilimdm v(t)yi sonu veren bir diferansiyel denklem ile karlalmt. karl sonraya

braklarak bu iliki aadaki gibi ifade edilir:

dt

diLv= (1.7)

Anlayl zekaya sahip birisi bu eitliin orijinini merak edebilir. Bu eitlik, manyetik indksiyonolarak adlandrlan ok karmak bir olgunun anlalmasna ynelik Michael Faradayn (1791-1867) yaam boyu almasnn bir sonucudur.

Zamanla deien alanlar tartmasna Faraday indksiyon kanunu ifade edilerek balanlacak vesonra bunun generatrlerin (3 fazl enerji kaynaklar), motorlar (endstriyellemi dnyann i

beygirleri), rlelerin (manyetik kontrol mekanizmalar) ve transformotorlarn (indksiyon yoluylabir sargdan dier sargya elektrik enerjisini transfer eden aygtlar)n geliimine nasl nclkettii aklanacaktr. yi bilinen drt Maxwell eitliinden birisi gerekte Faraday indksiyonkanununun bir ifadesidir. imdilik Faraday kanununun bir sargda indklenen (emf) elektromotorkuvveti e(t) ile bu sargy halkalayan, zamanla deien manyetik ak ile bant kurduunusylemek yeterli olacaktr.Faraday kanunu

dt

de

= (1.8)

ile ifade edilir. Eitliktekinegatif iaretin nemi (Lenzkanunu) ve (1.8)den (1.7)nin kartlmas

zerinde detayl olarak durulacaktr.

Ayn zamanda Maxwellin zamanla deien alanlar iin Ampre kanununu niin dzeltme gereiduyduu da aklanacaktr. Maxwellin yer deiimi akmn (bir kapasitrden geen akm,deplasman akm da denir) dahil etmesi, alanlarn bo uzayda k hz ile yaylmas gerektiitahminine nclk etmitir. Ampre kanununun dzeltilmesi elektromanyetik alan teorisi alanndaJames Clerk Maxwell (1831-1879) tarafndan yaplan en nemli katklardan biri olarakdnlmektedir.

Faraday indkleme kanunu, dzeltilmi Ampre kanunu ve iki Gauss kanunu (birisi zamanladeien elektrik alanlar iin ve dieri zamanla deien manyetik alanlar iin) drt eitlik setinioluturur ve bunlar imdi Maxwell eitlikleri olarak adlandrlr. Bu eitlikler tablo 1.4deverilmitir. Bu eitliklerden, zamanla deien elektrik ve manyetik alanlarnn birbiri ile skilikide olduu gerei aktr. Daha basit syleyile zamanla deien manyetik alan zamanladeien elektrik alan meydana getirmekte veya bunun tersi olmaktadr.

Ampre kanununun dzeltilmesi sreklilik eitlii ve ykn korunumunun bir sonucu olarak dagrlebilir. Bu eitlik de tablo 1.4de verilmitir.

Yk qolan bir parack zamanla deien bir elektrik alan, E

ve manyetik alan, B

blgesinde u

hz ile hareket ettiinde

)( BuEF

+= q

gibi bir F

kuvveti ile etkilenir. Bu eitlik Lorentz kuvvet eitliiolarak adlandrlr.


24/546


Drt Maxwell eitlii, sreklilik eitlii ve Lorentz kuvvet eitliinin yardm ile imdielektromanyetizmann btn etkileri aklanabilmektedir.

Elektromanyetik alan teorisinin ok saydaki uygulamalarndan enerjinin iletimi, aln ve

yaylmn ilgilendiren konular bu kitapta imdilik dikkate alnmamtr. Maxwell eitliklerininzmnn daima dalgalara gittii gereini burada zellikle vurgulamak yerinde olacaktr.

1.8 SAYISAL ZMLER VEBLGSAYAR DESTEKL ANALZ VE TASARIM

Bir problemin tam zmnn yaplmas istenildiinde sk olarak baz varsaymlarn yaplmaszorunlu olmaktadr. rnein,

(a) paralel plakal bir kapasitrn iindeki elektrik alan iddetinin belirlenmesinde Gausskanununun uygulanabilmesi iin plakalarn sonsuz uzunlukta olduu varsaylr,

(b) Ampre kanunu kullanlarak akmtayan uzun bir iletkenden dolay manyetik alan iddetininhesaplanmas iin iletkenin sonsuz uzunlukta olduu dnlr,

(c) kaynaksz bir blgede elektromanyetik alanlarn yaylm karakteristiklerinin ve doasnn eldeedilmesi iin alanlar dzgn dzlem dalgas biiminde gsterilir,

(d) kk bir dorusal antenin nm rntsn renmek iin akm dalmnn dzgnolabilmesi bakmndan antenin uzunluu ok kk varsaylr, vb.

Her varsaym zel bir durumu gsterir ve bylece analitik zm hassas olarak elde edilir.

Elektrostatikte Gauss kanunu kullanlarak yaltlm bir krenin kapasitans kresel simetriliinkullanm ile belirlenir. Bununla beraber yaltlm bir kpn kapasitans belirlenmeyealldnda problem karmak hale gelir. Manyetostatikte Biot-Savart kanunu kullanlarak akmtayan dairesel bir iletkenin eksenindeki manyetik alan iddeti iin bir cevap verilmitir. Akmtayan iletkenin biimi keyfi olduunda manyetik alan iddetinin belirlenmesi iin ayn tekniktakip edilebilir mi? ntegral formlasyonun doasndan dolay cevap hayr olacaktr. Keyfibiimde, akm tayan bir iletkenin analitik metotlar kullanlarak nm rntsnn belirlenmesikolay deildir. Ayn ekilde, dzgn bir dzlem dalgas yukarda varsaylan varlndan dolayortamda sonsuz bir enerji kaynann varln vurgular fakat dzgn bir dzlem dalgas fikri ilgiliblgedeki g aknn dzgnce resimlendirilmesi iin gerekmektedir.

Bu tartmadan, baz basitletirilmi varsaymlar yaplmakszn bir problemin tam zmnn eldeedilmesinin her zaman mmkn olmad aktr. Bir saysal zmn ounluklayaklak olarakyapld aka bilinmelidir. Her saysal zmn tam bir diferansiyel veya integral eitliinbasite bir yaklam olduu aklda tutulmaldr. Kullanlan saysal metodun ne kadar hassasolmas gerektii istenilen zmn doruluk derecesine baldr. Yksek doruluk iin daha hassassaysal zm metodu kullanlmaldr. zmn doruluu kullanlan saysal metot ve sisteminhesaplama ilem kapasitesi arasnda bir tercih yapma zorunluluu getirir.

Analitik teknikler kullanlarak kolaylkla zlemeyecek bu problemlerin zm iin baz

metotlar kullanlmaktadr. Bu metotlar sonlu fark metodu, sonlu elemanlar metodu ve momentlermetodudur.

Manyetik almalarnda baz ticari Bilgisayar Destekli Tasarm (BDT) sistemleri mevcuttur vegittike artan saydaki yazlm paketleri byk endstriyel firmalar tarafndan ilgili amalardorultusunda kullanlmaktadr. Bunlarn kapasiteleri deiirken bu yazlm sistemlerinin tamam


25/546


metodoloji ve amalar bakmndan ortak bir nveyi paylamaktadr. 9. blmde Ansoft irketitarafndan hazrlanan Maxwell SV yazlm ile baz modelleme ve tasarm rnekleri verilmitir.

cretsiz olan Maxwell SV bir kiisel bilgisayar zerinde elektromanyetik aygtlarn

modellenmesinde yeni bir yaklam sunmaktadr. Kullancnn elektriksel ve manyetik malzeme vesarglardan modeller oluturabilecei hemen hemen gerek bir laboratuvar ortam hazrlamakta,alan izimleri ve grafiklerden grntler oluturmakta ve kapasitans, indktans, kondktans,kuvvet ve tork gibi miktarlarnsaysal deerlerini vermektedir.

1.9 LER ALIMA

Bu kitapta sunulan elektromanyetik alan teorisi sadece bir balang olarak kabul edilmelidir. Bubilgi elektromanyetik alannda sadece ilgi uyandrmayacak ayn zamanda daha karmakgeliimlerin anlalmas iin temel olacaktr. Bununla beraber elektromanyetik alan teorisininharika cephesi hemen hemen btn elektromanyetik olgunun drt Maxwell eitlii, sreklilikeitlii ve Lorentz kuvvet eitliinin uygunca kullanlmasyla tahmin edilebilmesi veyaaklanabilmesidir.

Eer karmak matematiksel eitlikler ile alma zihinsel altrma iin gerekli ise bu durumdagrecelik kavramlarn ieren elektromanyetik alan teorisi almasn dikkate alnz. Bu almaLorentz dnm ve Maxwelleitliklerinin kovaryant formlasyonunun uygulamasn ierir. Bueitliklerde zamana uzay koordinatlar gibi ayn yolla davranlr. Bu yzden gradyan, diverjans,rotasyonel ve laplasyan hepsi drt boyutlu operatrler olmaktadr.

Eer yeni bir alan almasna ilgi uyandrlmsa daln ve kefedin. Bununla beraber grevin

baarlmas iin bu kitapta verilen teorinin ncelikle anlalmas gerekmektedir. Bilgi bir andakazanlmaz. Son eitliklerin forml olarak grlmesinden daha ok bugn temellerin renilmeisteinin mkafat yarn byk oranda alnacaktr. Muhakeme zellii geliecek ve gelecekte dahazor problemlerin zm yaplabilecektir.

1.10 ALIMA SORULARI

1. Alan nedir?

2. Elektromanyetik nedir?

3. Bilimsel konu almasnda, ideal bir model oluturulmasnda temel adm nedir?

4. Elektromanyetik modelde kaynak miktarlar nedir?

5. Nokta fonksiyonu ile ne denilmek isteniyor? Yk younluu bir nokta fonksiyonu mudur?Akm bir nokta fonksiyonu mudur?

6. Elektromanyetikte drt temel SI birimi nedir?

7. Elektromanyetik modelde drt temel alan miktarlar ve birimleri nedir?

8. Elektromanyetik modelde niversal sabit ve ilikileri nedir?

9. Manyetikte bilgisayar destekli analiz, simlasyon, modelleme ve tasarm niin yaplr?

10.Vektrel gsterimin nemi nedir?


26/546

2 VEKTR ANALZ

2.1 GR

Vektr cebri ve vektr hesabnn bilinmesi elektromanyetik alan teorisi kavramlarnngelitirilmesinde gereklidir. Elektromanyetik alan teorisinde vektrlerin yaygn olarak kabuledilmilii bir lde karmak olgunun sktrlm matematiksel gsterimini salamas ve kolaygrnm ve ilemeye izin vermesinden kaynaklanmaktadr. Bu konudaki ders kitaplarnn saycaart vektrlerin poplaritesinin delili olmaktadr. Daha sonraki blmlerde grlecei gibi vektrformundakibir tek eitlik e kadar skaler eitliin temsil edilmesi iin yeterlidir. Vektrlerin tamve derinlemesine tartlmas bu ders kitabnn amacdna tamakla birlikteelektromanyetik alanteorisi tartmasnda nemli rol oynayan baz vektr ilemleri bu blmde verilmitir. Konununbalangc skaler ve vektrel miktarlarntanmlanmasna ayrlmtr.

2.2 SKALER VE VEKTRLER

Elektromanyetik alanlarda karlalan miktarlarn ou kolaylkla iki snfa ayrlabilir; skaler vevektrler.

2.2.1 SKALER

Tam olarak bykl ile tanmlanabilen fiziksel bir miktar skaler olarak adlandrlr. Skalermiktarlarn baz rnekleri ktle, zaman, scaklk, i ve elektrikykdr. Bu miktarlarn her biritamamen bir tek say ile tanmlanabilir. 20 C lik bir scaklk, 100 gramlk bir ktle ve 1Coulombluk bir yk skalerlere rnektir. Gerekte btn gerek saylar skalerdir.

2.2.2 VEKTR

Yn ile birlikte bir bykl olan fiziksel bir miktar vektr olarak adlandrlr. Kuvvet, hz,tork,elektrik alanve ivmevektrel miktarlardr.

Bir vektrel miktar ekil 2.1ada grld gibi uygun bir skalada byklne eit bir izgiparas ve ok ile yn iaretlenerek grafik biiminde gsterilir. Farkl gsterimleri olmakla beraberbu kitapta vektrn, koyu yazlm harfin zerine bir ok yerletirilerek gsterilmesi tercih

edilmitir. Bylece ekil 2.1ada R

, Q noktasndan Pye doru ynlenmi bir vektr temsil


27/546


etmektedir. ekil 2.1b ayn uzunluk ve ynde paralel birka vektr gstermekte ve hepsi de ayn

vektr temsil etmektedir. Eer A

ve B

vektr ayn byklk (uzunluk) ve ynde ise birbirine

eit yani BA

= dir. Eer vektrler ayn fiziksel ve geometrik anlamda yani ayn boyutlarda isevektrler karlatrlabilir.

Sfr byklnde bir vektr sfr vektr olarak adlandrlr. Bu vektr sfr byklnde(uzunluunda) olduundan bir ok olarak gsterilemeyen tek vektrdr. Birim byklkte(uzunlukta) bir vektre birim vektr ad verilir. Bir vektr daima birim vektr ile temsil edilebilir.

rnein A

vektr,

AAaA

= (2.1)

olarak yazlabilir; burada A A

nn bykl ve Aa

ise A

ile ayn ynde birim vektr olup

aadaki gibi yazlabilir.

AA

Aa

= (2.2)

(a) Vektrn grafiksel gsterimib) Ayn ynde eit uzunluktakiparalel oklar ayn

vektr temsil eder.

ekil 2.1

2.3 VEKTR LEMLER

Skaler miktarlar ile toplama, karma, arpma ve/veya blme oklar iin doutan gelen biryetenektir. rnein ayn birimlere sahip iki skalerin toplanlmas istenilirse sadece byklkleritoplanr. Vektrlerde toplama ilemi bu kadar kolay deildir ve ayn ekilde iki vektrn karmave arpma ilemi de kolay deildir. Vektrlerde blme ilemi ise tanmlanmamtr.

2.3.1 VEKTREL TOPLAMA

A

ve B

vektrlerinin toplanmas iin A

nn u (son) noktas ile akacak ve B

nin balang

(kuyruk) noktasna gelecek ekilde, ekil 2.2de koyu izgi ile grld gibi iki yardmc A

ve B

vektr izilir. A

nn kuyruu ile B

nin ucunu birletiren izgi C

vektrn temsil eder ve A

ve

B

vektrlerinin toplamdr. Bu

BAC

+= (2.3a)


28/546

Vektr Analizi 15

ile gsterilir. ki vektrn toplam yine bir vektrdr. ekil 2.2de kesik izgi ile grld gibi

nce B

ve sonra A

izilebilirdi. Vektrlerin toplamnn toplanacak vektrlerin srasndanbamsz olduu aktr. Baka bir deyilevektrler

ABBA

+=+ (2.3b)

de olduu gibi toplamann deiim kuralna uymaktadr. ekil 2.2 vektrel toplamann geometrik

bir yorumunu da vermektedir. Eer A

ve B

bir paralel kenarn iki kenar ise bu durumda C

bunun kegenidir. Ayn zamanda vektrlerin, toplamann birleme kuralna uyduklar dagsterilebilir. Bu aadaki gibi edilir.

CBACBA

++=++ )()( (2.4)

ekil 2.2 Vektrel toplama, BAC += ekil 2.3 Vektrel karma, BAD =

2.3.2 VEKTREL IKARMA

Eer B

bir vektr ise bu halde B

(eksi B

) de B

ile ayn byklkte fakat ters ynde bir

vektrdr. Gerekte B

ye B

nin tersi, zdd veya negatifi denir. Bir vektrn negatifi ile

vektrel karma, BA

aadaki gibi tanmlanabilir. ekil 2.3de A

vektrnden B

vektrnnkarlmas grlmektedir.

)( BAD

+= (2.5)

2.3.3 VEKTR LESKALER ARPIMI

A

vektr bir kskaleri ile arplrsa,

AB

k= (2.6)

B

gibi bir vektr elde edilir. B

nin bykl basite A

nn byklnn k katna eittir.

Bunun yannda eer 0>k ise B

vektr A

vektr ile ayn ynde veya eer 0k ise B

vektr A

vektrnden daha uzun ve eer 1


29/546


2.3.4 K VEKTRN ARPIMI

ki vektrn arpm iin kullanl iki tanm vardr. Bunlardan birisi nokta arpm ve dieri isevektrel arpm olarak adlandrlr.

ekil 2.4 Noktaarpmnn gsterimi

ki vektrn nokta arpm

A

ve B

vektrlerinin nokta arpm A

.B

olarak yazlr ve A

nokta B

olarak okunur. ekil2.4de grld gibi iki vektrn byklklerinin ve aralarndaki en kk ann kosins ilearpmlar olarak tanmlanr. Bu arpm

cosAB=BA

(2.7)

olarak ifade edilir. (2.7) eitliinden A

ve B

nin nokta arpmnn bir skaler olduu aktr.Bundan dolay nokta arpm skaler arpm olarak da bilinir. ki vektr paralel olduunda skalerarpm maksimumdur. Bunun yannda eer sfr olmayan iki vektrn skaler arpm sfr isevektrler ortogonaldir.

Nokta arpmnn baz temel zellikleri:

Deiim ABBA

= (2.8a)

Dalm CABACBA

+=+ )( (2.8b)

lekleme )()()( BABABA

kkk == (2.8c)

(2.7) eitliindeki cosB miktar A

boyunca B

nin bileenidir ve ounlukla B

nin A

zerindeki skaler izdmolarak ifade edilir. Buna gre A

zerinde B

nin skaler izdm

AAA

B a.BBABA

==

=cos (2.9)

olur. (2.9) eitliinde A

boyunca birim vektrnn eklenmesiyle A

vektr zerinde B

ninvektr izdm

AAAB aaBa

).(cos = (2.10)


30/546

Vektr Analizi 17

olarak tanmlanabilir. (2.9) ve (2.10) ksaca bir vektrn birbirine karlkl dik ynde eksen

boyunca skaler ve vektrel izdmlerininbelirlenmesinde kullanlacaktr. (2.7) eitlii A

ve B

vektr arasndaki ann belirlenmesinde de kullanlabilir.Bu a,

AB

BA

=Cos (2.11)

ifadesinden elde edilebilir. 0A

ve 0B

artyla (2.7) kullanlarak, aadaki gibi A

vektrnn bykl de belirlenebilir.

2 AAAA AA === aaA.A

(2.12)

RNEK 2.1 C.AB.A

= ise bu B

nin daima C

ye eit olduunu ifade eder mi?

ZM C.AB.A

= olduundan bu 0)( = CB.A

olarak yazlabilir ve bunda gre aadaki

sonular kartlabilir:

a) A

hem CB

ye dik veya

b) A

bir sfr vektr veya

c) 0= CB

dir.

Bylece sadece 0=CB iken CB = olur ve C.AB.A = daima CB = anlamnda deildir.

Vektrel arpm

A

ve B

vektrlerinin vektrel arpm BA

olarak yazlr ve A

arp B

olarak okunur.

Vektrel arpm A

ve B

yi ieren dzleme normal bir vektrdr ve iki vektrn ve aralarndakien kk ann sins ile arpmnn byklne eittir.Vektrel arpm,

nAB aBA

sin= (2.13)

ile ifade edilir. Burada, na

A

ve B

dzlemine normal birim vektrdr. na

birim vektr ekil

2.5ada grld gibi A

dan B

ye sa-el vida dnnn hareketi yn dorultusundadr. na

birim vektrnn ynn belirlemenin dier yolu ekil 2.5bde grld gibi sa elin

parmaklarn uzatmaktr. aret parma A

nn ynn ve orta parmak B

nin ynn gsterirken,ba parmak na

birim vektrnn ynn gsterir. Vektrel arpmnn sonucu yine bir vektr

olacandan, vektrel arpm olarak da adlandrlr.

Eer C

,

BAC

= (2.14)

olarak A

ve B

vektrlerinin vektrel arpmn temsil ediyorsa


31/546


ABBAC BABAn )()()( aaaaa

==

ve na

birim vektr,

BAn aaa = (2.15)

gibi yazlr.

(a) Sa el vida kural (b) Sa el kural

ekil 2.5 BAC

= vektrel arpmnn ynnbelirleme kurallar

Birim vektrn ynnn belirlenmesinde kurallarn kullanlmas ile

ABBA

= (2.16)

olduu gsterilebilir. Bu bakmdan vektrel arpm deime zelliine sahip deildir. Vektrelarpmnn dier zelliklerinden bazlaraadaki gibidir.

Dalm CABACBA

+=+ )( (2.17a)

lekleme )()()( BABABA

kkk == (2.17b)

Ayn zamanda, sfr olmayan iki vektrn paralel olmas iin vektrel arpmlar sfr olmaldr.

RNEK 2.2A

ve B

keyfi iki vektr ise aadaki Lagrange zdeliini dorulaynz.

2222

)( BABA

= BA

ZMki vektrn vektrel arpmnn tanmndanzdelik aadaki gibi dorulanabilir.

222222222222222

)(cos)cos1(sin BABA

==== BABABABABA

RNEK 2.3Vektrleri kullanarak genin (a) sins ve (b) kosins kurallarnkartnz.


32/546

Vektr Analizi 19

ZM

(a) Sins kural:

(a) (b)

ekil 2.6

ekil 2.6adan,

ACB

=

yazlabilir. 0= BB

olduundan,

0)( = ACB

veya

ABCB

= olur. Buna gre,

)sin(sin =BABC

eitlii ]sin)sin([ = olduundan

sinsin

CA=

olarak ifade edilir. Benzer ekilde,

sinsin

BA=

olduu da gsterilebilir. Bylece bir gen iin sins kural aadaki gibi ifade edilebilir.

sinsinsin

CBA==

(a) Kosins kural:

Kosins kural bir genin bir kenarnn uzunluunu dier iki kenarnn uzunluu ve aralarndakia ile ilikilendirmekte yani cos222 ABBAC += olarak verilmektedir. Bu, ekil 2.6(b)de

grlen kenar vektrlerinin toplam, BAC

+= ile aadaki gibi dorulanabilir.


33/546


cos2)cos(2

2)()(22222

2

ABBAABBAC

C

+=++=

++=++== BABBAABABACC

Skaler l arpm A

, B

ve C

gibi vektrn skaler l arpm bir skalerdir ve

cossin)( ABC= BAC

(2.18a)

olarak hesaplanabilir. ekil 2.7de grld gibi eer vektr bir paralel prizmann kenarntemsil ediyorsa bu durumda skaler l arpmn sonucu hacimdir. (2.18a)dan ortak dzlemli vektrn skaler l arpmn sfr olduu aktr. Vektrler periyodik srada gzkt srece(2.18a) aadaki gibi de yazlabilir.

)()()( ACBCBABAC

== (2.18b)

ekil 2.7 Skaler larpmn gsterimi

Vektrel l arpm A

, B

ve C

gibi vektrn vektrel l arpm da bir vektrdr ve

)( CBA

olarak yazlabilir. Vektrel l arpmn aadaki gibi birleme zelliinin olmad

gsterilebilir.

))()( CBACBA

(2.19)

ALITIRMALAR

1. Vektrlerin toplamnda deiim kuraln dorulaynz.2. Sfr olmayan A

ve B

vektrlerinin birbirine dik olmas iin gerek ve yeter artn 0. =BA

olduunu gsteriniz.

3. Vektrlerin skaler arpmda dalm kuralna uyduklarn dorulaynz.

4. Pythagorean (Pisagor) teoremini dorulaynz veya A

ve B

birbirine dik ise22

2BA +=+ BA

olduunu gsteriniz.

5. Vektrlerin vektrel arpmda dalm kuralna uyduklarn dorulaynz.

6. Sfr olmayan iki vektrn, sadece vektrel arpmlar sfr ise paralel olduunu ispatlaynz.

7. )()()( BACACBCBA

== olduunudorulaynz.

8. ))(())(()).(( CBDADBCADCBA

= olduunu dorulaynz.


34/546

Vektr Analizi 21

2.4 KOORDNAT SSTEMLER

Bu noktaya kadar tartma olduka genel tutulmaya alld ve vektr ilemlerinde grafikselgsterim kullanld. Matematiksel bir gr asndan vektrler birbirine karlkl dik (ortogonal)

yn boyunca bileenlerine ayrld zaman vektrler ile almak ok yerinde ve kullanlolmaktadr. Bu kitapta esas olarak ortogonal koordinat sistemi kullanlmaktadr: Dikdrtgen(kartezyen) koordinat sistemi, silindirik (dairesel) koordinat sistemi ve kresel koordinat sistemi.

2.4.1 DKDRTGEN KOORDNAT SSTEM

Bir dikdrtgen (kartezyen) koordinat sistemi birbirine karlkl dik ortogonal dz izgidenoluan bir sistemdir(ekil 2.8a). dz izgi x,yvezeksenleri olarak adlandrlr. Bu eksenlerinkesiim noktas orijindir. xa

, ya

ve za

birim vektrleri srasyla, x, yve zboyunca bir vektrn

bileenlerinin ynnn gsterilmesinde kullanlmaktadr.

(a) Dikdrtgen koordinat sistemi (b) Bir noktann izdmleri

ekil 2.8

Bolukta bir ),,( ZYXP noktas ekil 2.8bde grld gibi eksendeki izdmleri iletanmlanabilir. r

pozisyon vektr orijinden P noktasna ynlenmi bir vektr olarak aadaki

gibi bileenleri ile ifade edilebilir.

zyx ZYX aaar

++=

(2.20)

Burada,X, YveZ r

ninx,yvezeksenlerindeki skaler izdmleridir.

ekil 2.9da grld gibiA

nn skaler izdmleriAx,AyveAz ise A

zzyyxx AAA aaaA

++= (2.21)

olarak yazlabilir. Benzer ekilde B

vektr de aadaki gibiifade edilebilir.

zzyyxx BBB aaaB ++= (2.22)

A

ve B

vektrlerinin toplam, BAC

+=


35/546


zzyyxxzzzyyyxxx CCCBABABA aaaaaaC

++=+++++= )()()( (2.23)

olarak yazlabilir. Burada xxx BAC += , yyy BAC += ve zzz BAC += C

nin xa

, ya

ve za

birim vektrleri ynnde bileenleridir.

ekil 2.9 Dikdrtgen

koordinat sistemindevektrel toplama,BAC

+=

Karlkl ortogonalbirim vektrlerinin nokta ve vektrel arpmlar aadaki gibidir.

1= xx aa

1= yy aa

1= zz aa

(2.24a)

0= yx aa

0= zy aa

0= xz aa

(2.24b)

0= xx aa

0= yy aa

0= zz aa

(2.24c)

zyx aaa

= xzy aaa

= yxz aaa

= (2.24d)

Bileenleri ile A

ve B

vektrlerinin nokta arpmaadaki gibidir.

zzyyxx BABABA ++=BA

. (2.25)

E.(2.25)kullanlarak bileenleri ile A

vektrnn bykl aadaki gibi hesaplanabilir.

222. zyx AAAA ++== AA

(2.26)

RNEK 2.4 zyx aaaA

+= 23 ve zyx aaaB

23 += verilmi, BAC

32 = yi bulunuz. ca

birim vektrnnx,yvezeksenleri ile yaptklar alar bulunuz.


36/546

Vektr Analizi 23

ZM

stenilen C

vektr,

zyxzyxzyx aaaaaaaaaBAC

8133]23[3]23[232 +=++==

ve (2.26)dan C

vektrnn bykl,

556,15)8(133 222 =++=C

dir. stenilen birim vektraadaki gibi hesaplanr.

zyx

zyx

c C aaa

aaaC

a

514,0836,0193,0556,15

8133+=

+==

Birim vektrlerinx,yvezeksenleri ile yaptklar alar aadaki gibidir:

=

=

= 88,78

556,15

3coscos 11

C

Cxx

=

=

= 31,33

556,15

13coscos 11

C

Cyy

=

=

= 95,120

556,15

8coscos 11

C

Czz

RNEK 2.5Aadaki vektrlerin ortogonal olduunu gsteriniz.

zyx aaaA

264 += ve zyx aaaB

842 ++=

ZMSfr olmayan iki vektrn ortogonal olmas iin skalerarpmlarnn, BA

. sfr olmas

gerekir.

016248(-2)(8)(6)(4)(4)(-2). =+=++=BA

Skaler arpm sfr olduundan vektrler ortogonaldir.

RNEK 2.6 P(x1, y1, z1) noktasndan Q(x2, y2, z2) noktasna ynlenmi R

uzunluk vektrnbulunuz.

ZMki nokta arasn birletirenvektre uzunluk vektr denilir. ekil 2.10da grld gibi

1r

ve 2r

Pve Qnoktalarnn pozisyon vektrleri ise

zyx zyx aaar

1111 ++=

ve


37/546


zyx zyx aaar

2222 ++=

dir. ekil 2.10dan Pnoktasndan Qnoktasna uzunluk vektr aadaki gibi yazlr.

zyx zzyyxx aaarrR )()()( 12121212 ++==

ekil 2.10 Pden Qye R

uzunluk vektr

A

ve B

vektrlerinin vektrel arpm birim vektrleri zerindeki izdmleri ile de

hesaplanabilir. BAC

= ise

][][ zzyyxxzzyyxx BBBAAA aaaaaaC

++++=

zxyyxyzxxzxyzzy BABABABABABA aaaC

][][][ ++=

elde edilir. Ayn eitlik aadaki gibi determinantla da ifade edilebilir.

==

zyx

zyx

y

BBB

AAA

zx aaa

BAC

(2.27)

RNEK 2.7 A

, B

ve C

vektrleri ile biimlenmi bir paralel prizmann hacmini hesaplaynz.

zyx aaaA

22 += , zyx aaaB

53 ++= ve zyx aaaC

225 =

ZM Paralel prizmann hacminin hesaplanmas iin skaler l arpm, ).( CBA

kullanlr.

(2.27) eitliinin yardm ile skaler l arpm determinant formunda

=

zyx

zyx

zyx

CCC

BBB

AAA

).( CBA

olarak yazlabilir. Deerler yerine konularak istenilen hacim aadaki gibibulunur.


38/546

Vektr Analizi 25

57

225

531

212

).(Hacim =

== CBA

ALITIRMALAR

1. zyx aaaA

5,13,02 += ve zyx aaaB

5,75,110 += ise A

ve B

vektrlerinin baml

vektrler olduunu gsteriniz.

2. P(0, -2, 1)den Q(-2, 0, 3)ye uzunluk vektrn hesaplaynz.

3. zyx aaaA

+= 23 , zyx aaaB

484 = ve zyx aaaC

567 = ise A

, B

ve C

nin dik al

gen olduunu gsteriniz.

4. zyx aaaS

1753 ++= ve zy aaG

5= ise GS

+ ye paralel birim vektrn bulunuz. Birim

vektrnxekseni ile yapt ay hesaplaynz.

2.4.2 SLNDRK KOORDNAT SSTEM

ekil 2.11de grld gibi bir ),,( zyxP noktas tamamen , ve zile temsil edilebilir. Burada,

OPpozisyon vektrnnxydzlemine izdm, OTPMdzleminin pozitif xeksenine yapta ve OPnin z eksenine izdmz olmaktadr. , ve zye ),,( zP noktasnn silindirik

koordinatlar olarak sylenir. ekil 2.11denaadaki ifadeler yazlabilir.

sin

cos

=

=

y

x (2.28)

ekil 2.11 Silindirik koordinat sisteminde birnoktann izdmleri

sabit22 =+= yx (2.29)

(2.29) ile ifade edilen koordinat yzeyi ekil 2.12de grld gibi ekseni zekseninde bulunan

yarapnda birsilindirdir ve 0 dir.

sabittan 1 =

=

x

y (2.30)


39/546


(2.30

Documents

Elektromanyetik Alan Teorisi 2015