Elektrotechnische Grundlagen · 2013-12-10 · INHALTSVERZEICHNIS v 8.6.2 Ruheinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 9 Magnetische Materialien 97 9.1

Elektrotechnische Grundlagen

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Jänner 2012

ii

Inhaltsverzeichnis

Vorwort xvii

Einleitung xix

I Systemtheoretische Grundlagen 1

1 Systeme 31.1 Lineare und nichtlineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Nichtlineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Beispiele für Systeme mit linearem Verhalten . . . . . . . . . . . . 51.1.4 Beispiele für Systeme mit nichtlinearem Verhalten . . . . . . . . . 6

1.2 Zeitunabhängige und zeitabhängige Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Passive und verlustlose Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Dynamische und nichtdynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Kausale und nichtkausale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Konzentrierte und verteilte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7 Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.8 Analoge und digitale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.9 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.10 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Signale und Zeitfunktionen 92.1 Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Testsignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Faltung mit Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Sinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Phasenverschiebung —Zeitverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Die komplexe Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Spektren 193.1 Mathematische Darstellung von zeitkontinuierlichen Signalen . . . . . . . 193.2 Spektralsynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Spektralanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.1 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.2 Numerische Berechnung der Fourierkoeffi zienten . . . . . . . . . . 303.3.3 Die Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.4 Eigenschaften der Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . 373.3.5 Operationen mit Signalen im Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . 383.3.6 Frequenz und Zeit —Unschärfeprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.7 Numerische Berechnung der Fouriertransformation . . . . . . . . . 42

3.4 Größe von Signalen (Energie und Leistung) . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

iii

iv INHALTSVERZEICHNIS

3.5 Parseval’sches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

II Ladungen und Ströme 45

4 Elektrostatik 494.1 Elektrische Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3 Spannung und Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.5 Influenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.6 Energie der Ladungsverteilung im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . 554.7 Das elektrische Feld als Träger der elektrischen Energie . . . . . . . . . . 554.8 Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.8.1 Die Verschiebungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.8.2 Dielektrizitätskonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.8.3 Mechanismen der dielektrischen Polarisation . . . . . . . . . . . . 574.8.4 Energiedichte des elektrischen Feldes im Dielektrikum . . . . . . . 57

5 Gleichströme 595.1 Stromstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2 Das ohmsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3 Energie und Leistung elektrischer Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6 Mechanismen der elektrischen Leitung 636.1 Nachweis freier Elektronen in Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2 Elektronentransport in Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3 Stromleitung im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.4 Stromleitung in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.5 Stromleitung in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.6 Stromleitung in Halbleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.6.1 Der pn-Übergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.6.2 Die Halbleiterdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7 Ströme und Felder 717.1 Lorentz-Kraft und Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.1.1 Kräfte auf Ströme im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.1.2 Der Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.2 Erzeugung von Magnetfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.2.1 Strom und magnetische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.2.2 Das Magnetfeld von Strömen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.2.3 Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2.4 Elektromagnete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

III Elektrodynamik 81

8 Induktion 858.1 Induktionsversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.2 Die Richtung des induzierten Stromes (Lenz-Regel) . . . . . . . . . . . . . 878.3 Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.4 Energie und Energiedichte im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.5 Gegeninduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.5.1 Koppelfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.6 Anwendung der Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.6.1 Bewegungsinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

INHALTSVERZEICHNIS v

8.6.2 Ruheinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9 Magnetische Materialien 979.1 Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979.2 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

10 Elektromagnetische Wellen 10110.1 Der Verschiebungsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10110.2 Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10.2.1 Energieströmung und Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . 10410.3 Der Hertzsche Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10.3.1 Nahfeld der schwingenden Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10710.3.2 Fernfeld der schwingenden Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10710.3.3 Erläuterungen zu den Feldbildern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10810.3.4 Energiefluss in der Elementarwelle, Strahlungswiderstand . . . . . 109

10.4 Lineare Antennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

IV Elektrotechnische Grundlagen 111

11 Elektrische Bauelemente 11311.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

11.1.1 Netzwerke, Ströme und Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 11411.1.2 Unabhängige Spannungs- und Stromquellen . . . . . . . . . . . . . 11511.1.3 Zählpfeile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

11.2 Die Kirchhoff’schen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11611.3 Ideale Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

11.3.1 Gesteuerte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11811.3.2 Idealer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11811.3.3 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11911.3.4 Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12111.3.5 Spannung und Strom an L und C bei Schaltvorgängen . . . . . . . 12211.3.6 Schreibweise der Netzwerkgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 123

11.4 Präzisere Modelle der Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12411.4.1 Spannungsquelle mit Innenwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . 12411.4.2 Ersatzschaltbild für den Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . 12511.4.3 Ersatzschaltbild für die Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

11.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

12 Elektrische Netzwerke 12912.1 Einfache Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12912.2 Topologische Netzwerkbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

12.2.1 Schleifenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13312.2.2 Knotenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13312.2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134


13 Lösung der Netzwerkgleichungen 13713.1 Gleichstromanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13813.2 Wechselstromanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

13.2.1 Effektivwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13913.2.2 Komplexe Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14113.2.3 Leistung in Wechselstromnetzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

13.3 Allgemeine Zeitfunktion als Eingangssignal . . . . . . . . . . . . . . . . . 14513.3.1 Lösung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

13.4 Systemantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15113.4.1 Lösung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

vi INHALTSVERZEICHNIS

13.4.2 Lösung im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15913.4.3 Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16113.4.4 Eigenschaften der Systemfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161


14 Wellenausbreitung auf Leitungen 16514.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16514.2 Ersatzschaltbild der Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16514.3 Herleitung der Leitungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16614.4 Verlustfreie Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

14.4.1 Allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16814.4.2 Lösung für harmonische Vorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16914.4.3 Reflexionsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16914.4.4 Impedanzverlauf einer Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

15 CMOS-Technologie 17515.1 Der nMOS-Transistor (Anreicherungstyp, enhancement type) . . . . . . . 17715.2 p-MOS-Transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17815.3 Schwellenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17915.4 MOS Entwurfsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17915.5 Der CMOS-Inverter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

V Analoge Signalverarbeitung 181

16 Verstärkerschaltungen 18316.1 Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

16.1.1 Der unbeschaltete Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . 18516.1.2 Der reale Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

16.2 Gesteuerte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19016.2.1 Spannungsgesteuerte Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . 19016.2.2 Stromgesteuerte Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19016.2.3 Spannungsgesteuerte Stromquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19016.2.4 Stromgesteuerte Stromquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

16.3 Addierer und Subtrahierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19116.4 Integratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19216.5 Differentiatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19216.6 Lösung von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19316.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

17 Analoge Signalverarbeitung 19717.1 Analoge Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

17.1.1 Approximation eines idealen Tiefpassfilters . . . . . . . . . . . . . 19917.1.2 Realisierung von analogen Filtern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20717.1.3 Normierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20817.1.4 Frequenztransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

17.2 Nichtlineare analoge Signalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20917.2.1 Signalgleichrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20917.2.2 Komparator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209


VI Signalabtastung 213

18 Signalabtastung 21518.1 Vorteile digitaler Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21618.2 Abtastung im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

INHALTSVERZEICHNIS vii

18.3 Mathematische Darstellung des Abtastvorgangs . . . . . . . . . . . . . . . 21718.4 Aliasing und Folding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22018.5 Signalrekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22118.6 Filterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

18.6.1 Interpolationsfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22418.6.2 Antialiasing Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

18.7 Digitalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22518.8 Die zeitdiskrete Fourier-Transformation (DTFT) . . . . . . . . . . . . . . 22618.9 Abtastung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22718.10Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . 22818.11Systeme mit unterschiedlichen Abtastraten (Multirate Filter) . . . . . . . 23118.12Zusammenfassung Fouriertransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 23218.13Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

19 AD- und DA-Umsetzer 23519.1 Abtast-Halte-Glieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23519.2 AD-Umsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

19.2.1 Parallelverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23619.2.2 Wägeverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23719.2.3 Zählverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

19.3 Digital-Analog-Umsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23819.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

VII Anhänge 241

A Komplexe Zahlen 243A.1 Darstellung komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244A.2 Die Euler’schen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246A.3 Rechenregeln für komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

A.3.1 Regeln für kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248A.3.2 Regeln für Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

A.4 Geometrische Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250A.5 Achtung Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253A.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

B MATLAB 257B.1 Der Workspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

B.1.1 Hilfe und Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258B.1.2 Bildschirmausgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258B.1.3 Namensgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258B.1.4 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258B.1.5 Skalare, Vektoren, Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

B.2 Elementare Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260B.3 Elementare komplexe Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260B.4 Graphiken in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260B.5 Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

B.5.1 Kommentare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261B.5.2 Scripts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261B.5.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261B.5.4 Kontrollstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261B.5.5 Ein- und Ausgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

B.6 Kontinuierliche LTI-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262B.6.1 Approximation analoger Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

B.7 Diskrete Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263B.7.1 Approximation digitaler Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

viii INHALTSVERZEICHNIS

B.8 Praktischer Filterentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264B.9 Signalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264B.10 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

Tabellenverzeichnis

ix

x TABELLENVERZEICHNIS

Abbildungsverzeichnis

1.1 System als ”black box”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1 Analoge und digitale Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Sprungfunktion δ−1(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Darstellung des Einheitsimpulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Veranschaulichung des Faltungsintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 s(t) = A sin( 2π

T0t− 3π

4 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6 Komplexe Darstellung der Sinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.7 Phasenverschiebung Kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.8 Realteil der komplexen Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1 Summe von Sinusschwingungen s(t) = s1(t) + s2(t) + s3(t) . . . . . . . . . 203.2 Signal im Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Spektrallinien bei quadratischem System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Spektraldarstellung einer Sägezahnfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5 Zeiger mit entgegengesetzter Drehrichtung ω und −ω . . . . . . . . . . . . 233.6 Rechteckschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.7 Dreieckschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.8 Signal in Zeigerdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.9 Spektrum von |sin(t)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.10 Spektrum von s(t) = t2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.11 Freqenzsynthese der periodischen Funktion t2 für −1 ≤ t ≤ 1 . . . . . . . 343.12 Aperiodisches Signal periodisch fortgesetzt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.13 Rechteckimpuls im Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . 363.14 Einheitsimpuls im Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . 363.15 Betrags-, Phasenspektrum und Zeitfunktion von s(t) = δ−1(t)e−t sin 10t . 373.16 Skalierung der Zeitachse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.17 Spektrum Kosinusburst f0 = 3, τ = 2 und τ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . 41

4.1 Veranschaulichung des elektrischen Flusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2 Feldlinien (rot) und Potentialflächen (schwarz) zweier entgegengesetzter

Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3 Feld im Kugelinneren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4 Feld des Plattenkondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.5 Oberflächenladungen auf einem Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.1 Tollmann-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2 Leitung in Elektrolyten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.3 Monokristallines Silizium (schematisch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.4 Einbau eines Donator-Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.5 Einbau eines Akzeptor-Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.6 pn-Übergang an Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.7 Diodenkennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.1 Kraftwirkung auf Ladung im E− und B−Feld . . . . . . . . . . . . . . . . 72

xi

xii ABBILDUNGSVERZEICHNIS

7.2 Stromdurchflossene Leiterschleife im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . 737.3 Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.4 Magnetfeld zweier paralleler Leiter (a) gleichgerichtet, (b) entgegengerich-

tete Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.5 Magnetfeld einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.6 Feldstärke im Luftspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.1 Anordnung zur Durchführung der Induktionsversuche . . . . . . . . . . . 858.2 Schalten des Spulenstromes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.3 Drehung der Schleife im Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.4 Flächenänderung der Schleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.5 Richtung des induzierten Stromes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.6 Gekoppelte Stromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.7 Gekoppelte Stromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.8 Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.9 Spannungen, Ströme, Fluss im Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . 938.10 Zeigerdiagramm (a) unbelasteter (b) belasteter idealer Trafo . . . . . . . . 948.11 Ersatzschaltbild realer Trafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.12 Spartrafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.1 Magnetische Kreisströme in einem Material . . . . . . . . . . . . . . . . . 979.2 Magnetischer DIpol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

10.1 Verschiebungsstrom im Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10210.2 Sich änderndes elektrisches und magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . 10310.3 Koordinaten der schwingenden Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10510.4 E− und H−Feld eines Hert’schen Dipols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10810.5 Lineare Antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11010.6 Strom-, Spannungsverteilung auf Antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

11.1 Netzwerkanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11411.2 Idealisierte Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11411.3 Schaltsymbole für Spannungs- und Stromquellen . . . . . . . . . . . . . . 11511.4 Erzeuger- (links) und Verbraucher- (rechts) Zählpfeilsystem . . . . . . . . 11611.5 Knotenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11611.6 Zählpfeile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11711.7 Maschenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11711.8 Schaltzeichen für gesteuerte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11811.9 Kapazität und Schaltzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11911.10Mechanisches Analogon zur Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12011.11Aufladen der Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12011.12Strom- und Spannungsverlauf beim Laden einer Kapazität . . . . . . . . . 12111.13Schaltungssymbol der Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12111.14Einschalten einer Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12211.15Strom- und Spannungsverlauf beim Einschalten einer Induktivität . . . . 12211.16Ersatzschaltbild reale Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12411.17Belastete Quelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12411.18Umwandlung Spannungs- in Stromquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12511.19Ersatzschaltbild Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12511.20Ladungsverteilung auf zwei Kapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

12.1 Serienschaltung von R, L und C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13012.2 Parallelschaltung von R,L,C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13012.3 Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13112.4 Ersatzwiderstände im Netzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13112.5 Netzwerkgraph N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13212.6 Spannbaum zum Graphen N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

ABBILDUNGSVERZEICHNIS xiii

12.7 Baum und Glieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13312.8 Anwendung der Schleifenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13412.9 Anwendung der Knotenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

13.1 Übertragungsverhalten eines Netzwerks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13713.2 Schleifenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13813.3 Zeitlich veränderliche Netzwerkgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13913.4 Wechselstromleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14013.5 Strom und Spannung an der Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14113.6 Serienschaltung R und L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14213.7 Netzwerkberechnung mit Knotenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14313.8 Bode-Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14413.9 Phasenverschiebung am Zweipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14413.10RLC-Serienschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14513.11Netzwerkberechnung mit Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . 15213.12LC-Tiefpassfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15513.13Pol-/Nullstellendiagramm 1

s3+2s2+2s+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15513.14PN-Diagramm von 7s+11

s2+4s+3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15613.15h(t) = h1(t) + h2(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15613.16Bode-Plot LC-Tiefpass H(s) = 1

s3+2s2+2s+1 |s=jω . . . . . . . . . . . . . . 159

13.17Frequenzgang RC-Hochpass R2C2s2

R2C2s2+3RCs+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15913.18Zerlegung des Eingangssignals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16013.19Anfangsbedingungen Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16113.20Anfangsbedingungen Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16113.21Axonometrische Darstellung von |H(s)| in [dB] . . . . . . . . . . . . . . . 162

14.1 Ersatzschaltung eines Zweidraht-Leitungsstücks . . . . . . . . . . . . . . . 16614.2 Leitung mit Abschlussimpedanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16914.3 Spannungsverlauf auf einer Leitung (Z0 kapazitiv) . . . . . . . . . . . . . 17114.4 Spannungs- und Stromverteilung einer kurzgeschlossenen Leitung . . . . . 17114.5 Spannungs- und Stromvereilung Z0 = Zw . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17214.6 Impedanz der Leitung der Länge l0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17214.7 Impedanzverlauf einer kurzgeschlossenen Leitung . . . . . . . . . . . . . . 173

15.1 ID, VGS− Kennlinie (VDS ≈ 0.1V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17615.2 p- und n-Kanaltransistor als Schalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17615.3 Schaltsymbole MOSFETS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

16.1 Schaltungssymbole für Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18316.2 Blockdiagramm einer Signalverarbeitungskette . . . . . . . . . . . . . . . 18416.3 Schaltsymbol des Operationsverstärkers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18516.4 Der invertierende OPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18616.5 Der nichtinvertierende OPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18716.6 RC-Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18716.7 Asymptoten an Frequenzgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18816.8 Frequenzgang ohne und mit Gegenkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . 18916.9 Stromgesteuerte Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19016.10Spannungsgesteuerte Stromquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19116.11Summationsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19116.12Integrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19216.13Bodediagramm des idealen Integrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19316.14Differentiator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19316.15OPV-Schaltung zur Lösung von DGL 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 194

17.1 Frequenzverhalten von Filtern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19817.2 Toleranzschema eines Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

xiv ABBILDUNGSVERZEICHNIS

17.3 Frequenzkennline eines idealen TP-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20017.4 Approximation durch Potenzansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20017.5 Nullstellen von (a) F (s)F (−s) = 1 + s8 (b) F (s)F (−s) = 1− s6 . . . . . 20117.6 Frequenzgang Potenz- und Tschebyscheff-Filter 5. Ordnung . . . . . . . . 20217.7 Cauerfilter 5. Ordnung (linear und doppelt logarithmisch) . . . . . . . . . 20317.8 Sinuskomponenten mit unterschiedlicher Phase . . . . . . . . . . . . . . . 20317.9 SZeilensignalïn Falschfarbendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20417.10Bessel- und Tschebyscheff-Tiefpass 5. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 20517.11Frequenzgang und Sprungantworten Filter 5. Ordnung . . . . . . . . . . . 20617.12Aktiver Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20817.13Frequenztransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20917.14Diode und Ersatzschaltung (Strichlierte Linien stehen für ein genaueres

Modell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21017.15Gleichrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21017.16Komparator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

18.1 Signalabtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21718.2 Periodisches Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21918.3 Überlappen von Spektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21918.4 Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22018.5 Folding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22118.6 Drehung eines Speichenrads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22118.7 Rekonstruktion mit Rechteckimpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22218.8 Rekonstruktion mit Dreieckpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22218.9 Interpolation durch ideales Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22218.10Impulsantwort des idealen Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22318.11Rekonstruktion durch sinc-Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22418.12Überlappung benachbarter Spektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22518.13Blockdiagramm digitale Signalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . 22518.14Amplitudenquantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22618.15DTFT von x[n] = 0.5nδ−1[n] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22718.16Abtastung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22818.17Abtastung im Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22918.18Fourierreihe (FR), Fouriertransformation (FT), Zeitdiskrete FT (DTFT),

Diskrete FT (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

19.1 Abtast- und Halteschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23519.2 Blockdiagramm 2bit-Parallelwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23619.3 Blockdiagramm Wandler nach Zählverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 23719.4 Blockdiagramm Dual-Slope-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23819.5 DA-Parallelwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23919.6 DA-Wandler nach dem Wägeverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23919.7 DA-Wandler nach dem Zählverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

A.1 Zeiger in der komplexen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244A.2 Zeiger in Polardarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245A.3 Polar - kartesisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245A.4 Zeiger im 2. Quadranten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246A.5 Geometrische Interpretation der Euler’schen Formel . . . . . . . . . . . . 247A.6 Rechts- und linksdrehende Zeiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248A.7 Zeigeraddition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250A.8 Subtraktion von Zeigern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251A.9 Zeigermultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251A.10 Zeigerdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251A.11 Potenzen der komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252A.12 Wurzeln von 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

ABBILDUNGSVERZEICHNIS xv

A.13 Wurzel aus ej50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253A.14 Phasendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254A.15 » Negativer« Betrag erzeugt Phase = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

xvi ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Vorwort

Dieser Text ist als Unterstützung zu meinen Vorlesungen an der Technischen Univer-sität Wien entstanden und richtet sich vor allem an Studentinnen und Studenten derTechnischen Informatik.Mit dem Studienjahr 2011/2012 tritt ein neuer Studienplan mit neuer Stoffaufteilung

in Kraft. Die » Elektrotechnischen Grundlagen« sind im neuen Studienplan physikalischorientiert, zum Unterschied vom alten Studienplan, in dem die ET systemorientiert darge-stellt wurde. Die ETneu endet mit dem Abtasttheorem, die früheren Kapitel zu digitalenFiltern entfallen. Dafür wurden die Lehrveranstaltungen » Signale & Systeme 1 & 2« imneuen Studienplan in das Bachelorstudium verschoben.

Herbert GrünbacherWien, Februar 2012

xvii

xviii VORWORT

Einleitung

Dieser Text ist in die Abschnitte Systemtheoretische Grundlagen, Ladungen und Ströme,Elektrodynamik, Elektrotechnische Grundlagen, Analoge Signalverarbeitung, Signalabtas-tung und einen Anhang gegliedert.

• Der Abschnitt Systemtheoretische Grundlagen führt den Systembegriff —vor allemfür lineare Systeme —ein und stellt die Darstellung von Signalen und Zeitfunktionenim Zeit- und Frequenzbereich voran.

• Im Abschnitt Ladungen und Ströme werden elementare Zusammenhänge der Elek-trostatik, Gleichströme, die Mechnismen der elektrischen Leitung, sowie Strömeund Felder behandelt.

• Im Abschnitt Elektrodynamik werden Induktion, magnetische Materialien, sowiedie Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im freien Raum behandelt.

• Der Abschnitt Elektrotechnische Grundlagen befasst sich mit einfachen elektrischenBauelementen (R, L, C) und inkludiert eine Darstellung von MOS Feldeffektransis-toren. Des weiteren wird die Erstellung und Lösung von Netzwerkgleichungen fürGleich- und Wechselgrößen und transiente Vorgänge behandelt. Schließlich wird dieAusbreitung elektromagnetischer Wellen auf Zweidrahtleitungen behandelt.

• Der Abschnitt Analoge Signalverarbeitung befasst sich mit Verstärkerschaltungenund behandelt analoge elektrische Filter.

• Der Abschnitt Signalabtastung stellt mit dem Abtasttheorem die theoretischenZusammenhänge beim Übergang von analogen in digitale Signale dar und gibteinen Überblick über die Prinzipien von Analog-/Digital- bzw. Digital-/Analog-Wandlern.

• Im Anhang findet sich eine zusammenfassende Darstellung über Komplexes Rech-nen, sowie einige Hinweise zur Verwendung von Matlab.

Mit diesem Text soll die Erarbeitung von Grundlagenwissen unterstützt werden unddie theoretische Basis für ein Fachgebiet gelegt werden, in dem man durch Probierennicht weiterkommt. Die Zusammenhänge werden in mathematischer Form dargestellt,um Erfahrungen in eine möglichst kompakte Form zu bringen und in dieser Form zuverbreiten: Mathematik als Kurzschrift für die Zusammenfassung von Erkenntnissen undals Anweisung für die Auswertung/Anwendung der Erkenntnisse. Durch mathematischeVerfahren können viel kompliziertere Zusammenhänge erfasst werden, als es mit blosemNachdenken möglich wäre. Um vom oft mühsamen Rechnen zu befreien, wird Matlabals Werkzeug zur Durchführung von Berechnungen und von grafischen Darstellungeneingesetzt.

xix

xx EINLEITUNG

Teil I

SystemtheoretischeGrundlagen

1

Kapitel 1

Systeme

Inhalt1.1 Lineare und nichtlineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Nichtlineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Beispiele für Systeme mit linearem Verhalten . . . . . . . . . 51.1.4 Beispiele für Systeme mit nichtlinearem Verhalten . . . . . . 6

1.2 Zeitunabhängige und zeitabhängige Systeme . . . . . . . . . 61.3 Passive und verlustlose Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Dynamische und nichtdynamische Systeme . . . . . . . . . . 61.5 Kausale und nichtkausale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Konzentrierte und verteilte Systeme . . . . . . . . . . . . . . 71.7 Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Systeme . . . . . . . . . 71.8 Analoge und digitale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.9 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.10 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Ein System ist eine Anordnung von miteinander verbundenen Komponenten zur Rea- Ein System ist eine An-ordnung von Komponen-ten, das Eingangsgrößenauf Ausgangsgrößen abbil-det.

lisierung einer technischen Aufgabenstellung. Ein System kann abstrakt als ein (nichtnäher definierter) Operator aufgefasst werden, der Eingangsgrößen auf Ausgangsgrößenabbildet. Wird der Zusammenhang zwischen Eingang und Ausgang eines Systems ma-thematisch dargestellt, spricht man von Eingangs-Ausgangs-Verhalten des Systems. Istdas E/A-Verhalten —ohne die interne Struktur zu kennen —bekannt, spricht man vomSystem als » black box«.Wir schreiben formal

y1

y2

...ym

= A ·

x1

x2

...xn

(1.1)

und beschreiben damit die Ausgangsgröße y, die durch Wirkung des Systems A aufdie Eingangsgröße x entsteht.Ein elektrisches System, eine elektrische Schaltung, ist eine Zusammenschaltung von

elektrischen Komponenten (Widerständen, Kondensatoren, Transistoren, ...). Bei einemelektrischen System werden die Systemeigenschaften durch das Verhalten der Bauelemen-te (z.B. das ohmsche Gesetz bei Widerständen) und durch die Verbindungen zwischenden Bauelementen (die Kirchhoff’schen Gesetze) bestimmt. Daraus entstehen Gleichun-gen, die Eingangs- und Ausgangsgrößen in Beziehung setzen. Diese Gleichungen stellenein mathematisches Modell des elektrischen Systems dar.Systeme können durch mathematische Modelle dargestellt werden. Die Systemzusam- Die Beziehungen zwischen

Eingangsgrößen und Aus-gangsgrößen können durchmathematische Gleichun-gen beschrieben werden.

3

4 KAPITEL 1. SYSTEME

Abbildung 1.1: System als ”black box”

menhänge werden in Form von linearen und nichtlinearen Gleichungen oder linearen undnichtlinearen Differenzen- oder Differentialgleichungen erfasst. Die Lösung dieser Glei-chungssysteme beschreibt das Systemverhalten. Die Lösung der Systemgleichungen isthäufig schwierig oder sogar unmöglich und man muss Vereinfachungen treffen oder fin-det nur numerische Lösungen.Bei kontinuierlichen Eingangsgrößen treten die Systemgleichungen in Form von Dif-

ferentialgleichungen auf, bei diskreten Systemen in Form von Differenzengleichungen.Bei der Untersuchung von Systemen treten folgende Aufgabenstellungen auf:

• Es muss ein mathematisches Modell und die Antwort des Systems auf eine gegebeneSystemanalyseEingangsgröße gefunden werden. Diese Aufgabe nennt man Systemanalyse.

• Für eine gegebene Eingangsgröße und eine gewünschte Ausgangsgröße wird einSystemsyntheseSystem gesucht. Diese Aufgabe nennt man Systemsynthese.

• Die dritte Möglichkeit, zu einem gegebenen System und einer bekannten Ausgangs-größe die Eingangsgröße zu bestimmen, hat keinen eigenen Namen. Diese Aufga-benstellung tritt in der Messtechnik auf.

Systeme können eingeteilt werden in:

1. Lineare und nichtlineare Systeme

2. Zeitunabhängige und zeitabhängige Systeme

3. Dynamische und nichtdynamische Systeme

4. Kausale und nichtkausale Systeme

5. Systeme mit konzentrierten und verteilten Parametern

6. Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Systeme

7. Analoge oder digitale Systeme

8. Stabile und nichtstabile Systeme

1.1 Lineare und nichtlineare Systeme

1.1.1 Lineare Systeme

Ein System ist genau dann linear, wenn der Überlagerungssatz gilt, d.h. wenn das Systemhomogen und additiv ist.Ein System ist homogen, wenn folgender Zusammenhang gilt:

Ursache→Wirkung⇓

k·Ursache→ k·Wirkung

die k-fache Ursache führt zur k-fachen Wirkung (für eine beliebige Konstante k ∈ R).Ein System ist additiv, wenn gilt:

1.1. LINEARE UND NICHTLINEARE SYSTEME 5

Ursache1→Wirkung1Ursache2→Wirkung2

⇓Ursache1+Ursache2→Wirkung1+Wirkung2

Homogenität und Additivität zusammengefasst führen zum Ein System ist linear,wenn der Überlage-rungssatz gilt.

Überlagerungssatz

k1·Ursache1 + k2·Ursache2→ k1·Wirkung1 + k2·Wirkung2∀k1, k2 ∈ R

» Ursache« und »Wirkung« sind dabei als nicht näher definierte abstrakte Größenzu verstehen. Man kann sich zum Beispiel Zahlen, Funktionen (in einer oder mehrerenVariablen), physikalische Größen wie Strom oder Spannung, sowie (diskrete oder konti-nuierliche) Signale (Siehe Abschnitt 2.1) darunter vorstellen.Bei linearen Systemen durchlaufen Signale das System ohne zu interagieren, d.h. ohne

sich gegenseitig zu beeinflussen!

Beispiel 1 (Lineares Kopfrechnen) Ein praktisches Beispiel für die Anwendung desÜberlagerungssatz liefert das Kopfrechnen: Die » Eingangsgröße« 3023 wird über ein» System« mit der Eigenschaft y = 4 · x » übertragen«.3023 wird im Kopf in die » Ursachen« 3000 + 20 + 3 zerlegt, die » Wirkungen« auf dieUrsachen durch Multiplikation mit 4 ermittelt und die Gesamtwirkung durch Additionder Einzelwirkungen ermittelt: 12000 + 80 + 12 = 12092.

Da bei linearen Systemen (per Definition) der Überlagerungssatz gilt, können » kom- Bei linearen Systemenkönnen die Systemantwor-ten auf einzelne Kom-ponenten der Eingangs-größe getrennt berechnetwerden.

plizierte« Eingangsgrößen aus einfacheren Komponenten zusammengesetzt werden. Fürjede dieser Komponenten wird einzeln die Ausgangsgröße des Systems ermittelt. Die Sum-me der Ausgangsgrößen für alle Komponenten liefert die Ausgangsgröße für die » kom-plizierte« Eingangsgröße.

1.1.2 Nichtlineare Systeme

Als Beispiel eines nichtlinearen Systems betrachten wir ein einfaches quadratisches Sys-tem.

Beispiel 2 Wir zeigen das Verhalten des Systems, das durch die Funktion y = x2 (dieden Zusammenhang zwischen Eingang und Ausgang beschreibt) gegeben ist. Als gutesBeispiel dient wieder das Kopfrechnen. Zerlegen wir die Eingangsgröße 27 in einfachereKomponenten 20 und 7, erhalten wir die entsprechenden Ausgangsgrößen 202 = 400 und72 = 49. Wenn wir diese addieren, erhalten wir 400 + 49 = 449, was aber 6= 272 = 729ist. Der Überlagerungssatz ist damit verletzt, das System ist also nicht linear.

1.1.3 Beispiele für Systeme mit linearem Verhalten

• Elektrische Schaltkreise aus ohmschen Widerständen, Kondensatoren und Spulen

• Elektronische Schaltkreise wie Verstärker und Filter (innerhalb des Versorgungs-spannungsbereichs)

• Mechanische Systeme aus Masse-Feder-Dämpfung

• Resonanz und Nullung

• Differentiation und Integration

• Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen und Schallwellen in isotropen Medien

• Alle Systeme die durch lineare Differential- oder Differenzengleichungen beschriebenwerden können.


Anmerkung 3 Linearität von realen Systemen ist nur innerhalb gewisser physikalischerReale Systeme sind nieganz linear. Grenzen gegeben. Werden diese Grenzen überschritten, verhalten sich Systeme nichtlinear

bis sie begrenzt oder zerstört werden.

1.1.4 Beispiele für Systeme mit nichtlinearem Verhalten

• Leistung eines elektrischen Widerstands P (t) = R ∗ I 2(t)

• Nichtlineare elektronische Schaltungen wie Spitzendetektoren, Quadrierer, Frequenz-verdoppler, Schwellwertschalter, Komparatoren

• Nichtlineare Effekte in elektronischen Schaltkreisen wie Begrenzen, nichtlinearesVerstärken, Sättigungseffekte

• Hysteresis-Effekte in magnetischen Schaltkreisen

• Multiplikation von Signalen wie bei der Frequenzmischung (Die Multiplikation miteiner Konstanten ist eine lineare Operation.)

• Digitale Logik

• Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen und Schallwellen in anisotropen Me-dien

• Alle Systeme deren Beschreibung auf nichtlineare Differential- oder Differenzen-gleichungen führt.

Anmerkung 4 In vielen nichtlinearen Systemen kann das System um den Betriebspunktlinearisiert werden und damit die nichtlineare auf eine lineare Beschreibung vereinfachtwerden.

1.2 Zeitunabhängige und zeitabhängige Systeme

Ein System ist zeitinvariant, wenn ein um n0 verzögertes (verschobenes) Eingangssignal,Ein zeitinvariantes Systemändert seine Eigenschaf-ten mit der Zeit nicht.

zu einem um n0 verzögerten Ausgangssignal führt, das System also sein Übertragungs-verhalten nicht mit der Zeit ändert. Ein lineares System ist zeitunabhängig, wenn dieKoeffi zienten der linearen Differentialgleichungen, die das System beschreiben (bei elek-trischen Netzwerken die Werte der Bauelemente), konstant sind. Man spricht von linearenund zeitinvarianten (time invariant) (LTI) Systemen.

In analogen Systemen ist Zeitinvarianz wegen der Temperaturabhängigkeit und Al-terung der elektronischen Bauelemente in der Regel nur eingeschränkt gegeben, digitaleSysteme haben hier einen klaren Vorteil, da ihr Übertragungsverhalten davon unbeein-flusst ist.

1.3 Passive und verlustlose Systeme

Ein Systen wir passiv genannt, wenn ein Eingangsignal endlicher Energie zu einem Aus-gangsignal führt, dessen Enegie maximal gleich der Energie des Eingangssignals ist. Wenndie Energie von Eingangs- und Ausgangssignal gleich ist, spricht man von einem verlust-losen System.

1.4 Dynamische und nichtdynamische Systeme

Ein System heißt nichtdynamisch (speicherlos), wenn die Antwort des Systems y(t) nurDynamische Systemeziehen auch vergangeneWerte der Eingangsgrößein die ”Berechnung” derAusgangsgröße mitein.

vom Wert der Eingangsgröße x(t) zur Zeit t abhängt. Bei dynamischen Systemen hängtdie Ausgangsgröße nicht nur vom augenblicklichen Wert der Eingangsgröße, sondern auch

1.5. KAUSALE UND NICHTKAUSALE SYSTEME 7

von vergangenen Werten ab. Bei elektrischen Netzwerken sind Schaltungen mit Konden-satoren und Spulen dynamische Systeme (es wird elektrische und magnetische Energie inden Bauelementen gespeichert), bei digitalen Systemen kann der Speicher z.B. der Inhalteines Registers sein.

1.5 Kausale und nichtkausale Systeme

Bei kausalen Systemen hängt die Systemantwort lediglich von gegenwärtigen und vergan- Nichtkausale Systeme ha-ben ”hellseherische Fähig-keiten”.

genen Werten der Eingangsgröße ab, nicht jedoch von zukünftigen Werten der Erregung.Ein kausales System kann erst antworten, wenn eine Eingangsgröße anliegt. Antwortetein System ohne Anliegen einer Eingangsgröße, so muss es Kenntnis über das zukünftigeVerhalten der Eingangsgröße haben, was bei physikalischen Systemen nicht möglich ist,da die Wirkung nicht vor der Ursache eintreten kann. Jedes praktische System, das inEchtzeit arbeitet, muss daher ein kausales System sein.Kausalität hat nur eine Bedeutung, wenn die Begriffe » vorher« und » nachher« eine

Bedeutung haben. Bei der Signalverarbeitung von aufgezeichneten Daten verschwindetdiese Bedeutung und Signalverarbeitungssysteme können dann auch nichtkausal sein,eine Verarbeitung in Echtzeit ist dann aber nicht möglich.

1.6 Konzentrierte und verteilte Systeme

Bei der Beschreibung von elektrischen Systemen können wir häufig vereinfachte Bauele-mentbeziehungen annehmen.So gilt zum Beispiel das ohmsche Gesetz, das den Zusammenhang zwischen Spannungs-abfall und Strom durch den Widerstand beschreibt, U = R · I.Bei dieser Modellierung der elektrischen Zusammenhänge wird stillschweigend die An-nahme gemacht, dass der Strom durch den Widerstand an jedem Punkt derselbe ist.In der Wirklichkeit ist diese Annahme nur eingeschränkt gültig, da sich elektrische Zu-stände nicht unendlich schnell, sondern nur mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten.In Wirklichkeit ist die elektrische Spannung an einem Widerstand, durch den ein Stro-mimpuls fließt, nicht nur eine Funktion der Zeit, sondern auch des Ortes. Bei niedrigenFrequenzen oder genauer bei Wellenlängen, die großgegen die geometrischen Abmessungder elektrischen Schaltung sind, kann die verteilte Natur der elektrischen Eigenschaftenvernachlässigt werden.Wenn diese Vereinfachung auf Grund hoher Frequenzen nicht mehr möglich ist, müs-

sen die Systeme, wie z.B. Leitungen, die mit hoher Signalfrequenz gespeist werden oderAntennen, in Abhängigkeit von Ort und Zeit dargestellt werden und es entstehen bei derModellierung (lineare oder nichtlineare) partielle Differentialgleichungen.

1.7 Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Systeme

Systeme deren Eingangs- und Ausgangsgrößen zeitkontinuierlich sind, nennt man zeit-kontinuierliche Systeme. Wenn die Einganggrößen abgetastet werden und die Werte derAusgangsgröße nur zu bestimmten Zeitpunkten bekannt sind, spricht man von zeitdis-kreten Systemen (Quantisierung im Zeitbereich).

1.8 Analoge und digitale Systeme

Ein analoges System ist ein System, dessen Eingangsgröße jeden beliebigen Wert inner-halb eines kontinuierlichen Bereiches annehmen kann. Es gibt also eine unendliche Anzahlan möglichen Werten der Eingangsgröße.Im Gegensatz dazu kann die Eingangsgröße eines digitalen Systems nur eine endliche

Zahl von Werten einnehmen (Quantisierung im Amplitudenbereich). Die Begriffe analogund digital beziehen sich auf den Wertebereich und nicht auf den Zeitbereich. Dennoch


wird der Begriff analoges System häufig für zeitund wertekontinuierliche Systeme undder Begriff digitales System für zeitund wertediskrete Systeme verwendet, da diesebeiden Formen die technisch häufigsten sind.

1.9 Stabilität

Ein stabiles System, das durch externe Anregung aus der Ruhelage ausgelenkt wird, kehrtEin BIBO-stabiles Systemproduziert für eine be-schränkte Eingangsgrößeimmer eine beschränkteAusgangsgröße.

nach einiger Zeit wieder in die Ruhelage zurück. Die Definition von Stabilität kann vomEingangs-/Ausgangsverhalten ausgehen: beschränkte Eingangsgrößen (bounded input)produzieren beschränkte Ausgangsgrößen (bounded output). Diese Stabilitätsdefinitionnennt man BIBO-Stabilität.

1.10 Zusammenfassung

Ein System ist eine Anordnung, bei der der Zusammenhang zwischen Ursache = Ein-gangssignal = Erregung und Wirkung = Ausgangssignal = Antwort formal mit der Be-ziehung y = A·x beschrieben wird. Die Systemeigenschaften A werden durch einen nichtnäher definierten Operator beschrieben. Systeme können aus physikalischen Komponen-ten (Hardware) bestehen oder durch einen Algorithmus (Software) beschrieben werden.Elektrische Schaltungen (Systeme) bestehen aus miteinander verbundenen Bauele-

menten (Widerständen, Kondensatoren, Spulen, ...). Die Systemeigenschaften A werdendurch die Beziehung zwischen Strom und Spannung an den Bauelementen, sowie durchdie Gesetze der Verbindung der Bauelemente (Kirchhoff’sche Gesetze) beschrieben, wo-durch wir ein mathematisches Modell des Systems erhalten. Im Gegensatz dazu werdenz.B. digitale Filter durch einen Algorithmus beschrieben, der auf einem (Signal)-Prozessorausgeführt oder in Hardware realisiert werden kann.Systeme können nach unterschiedlichen Gesichtspunkten eingeteilt werden, von be-

sonderer Bedeutung sind lineare, zeitinvariante (LTI) Systeme. Obwohl Systeme auf un-terschiedlichste Art realisiert werden können, haben die unterliegenden mathematischenModelle sehr viel Gemeinsamkeiten. Im weiteren Verlauf werden wird zeitkontinuierlicheund zeitdiskrete, analoge und digitale LTI-Systeme genauer untersuchen.

Kapitel 2

Signale und Zeitfunktionen

Inhalt2.1 Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Testsignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1 Faltung mit Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Sinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.1 Phasenverschiebung —Zeitverschiebung . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Die komplexe Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1 Signale

Ein Signal ist eine Funktion von einer oder mehreren Variablen. Signale tragen Infor- Signale sind Größen, dieInformation tragen. Siewerden durch Variationphysikalischer Größen re-präsentiert.

mation, daher interessiern wir uns für Signale. Beispiele für Signale sind biometrischeSignale, Radarsignale, seismische Signale, Temperatursignale, Videosignale, . . . Signalespielen eine zentrale Rolle bei physikalischen Messungen, in der Unterhaltungselektronik,in der Medizintechnik, in der Telekommunikation, um nur einige Beispiele zu erwähnen.Rechnersysteme kommunizieren mit der Umwelt über Signale.Signale werden durch Variation physikalischer Größen repräsentiert, diese Größen

können verändert, gespeichert und übertragen werden. Ein Signal kann mehrere Formeneiner physikalischer Darstellung annehmen. So wird beispielsweise ein akustisches Signalin Form des Schalldrucks durch ein Mikrofon in ein elektrisches Signal umgewandelt.Dieses elektrische Signal kann zur Speicherung wiederum in ein magnetisches Signal beieiner Magnetbandaufzeichnung umgewandelt werden. Es kann aber auch in Form einerbinären Zahlenfolge als Muster auf einer CD-ROM abgebildet werden.Signale sind Eingangsgrößen in signalverarbeitende Systeme, die wiederum — nach

Signalverarbeitung —Ausgangssignale erzeugen.Elektrische (oder genauer elektromagnetische Signale) haben eine besondere Bedeu- In praktischen Anwendun-

gen sind elektromagneti-sche Signale von großerBedeutung.

tung in technischen Anwendungen, da sie gegenüber anderen Signalformen, z.B. Schallsi-gnalen, unübertreffl iche Vorteile haben: Elektrische Signale breiten sich fast mit Lichtge-schwindigkeit aus und können drahtgebunden oder drahtlos übertragen werden. Sie kön-nen relativ einfach erzeugt, verarbeitet und als magnetische Signale gespeichert werden.Elektrische Signale erlauben auch bei kleinsten Energien zuverlässige Signalübertragun-gen (z.B. Verbindungen zu Raumsonden).

Anmerkung 5 Signale (Nachrichten, Informationen) sind an einen physikalischen Trä-ger gebunden, was zur Folge hat, dass Signal-Verarbeitung mit Energieverbrauch verbun-den ist.

9

10 KAPITEL 2. SIGNALE UND ZEITFUNKTIONEN

0 0.25 0.5 0.75 1

2

0

2

Zeit t

s(t)

zeit und amplitudenkontinuierl ich

0 0.25 0.5 0.75 1

202

Zeit ts[

n]

zeitdiskret, amplitudenkontinuierl ich

0 0.25 0.5 0.75 1

2

0

2

Zeit t

S[n]

zeitdiskret, amplitudendiskret

Abbildung 2.1: Analoge und digitale Signale

Signale treten als Nutz- und Störsignale auf und eine wichtige Aufgabe der Signal-Nutzsignale müssen vonStörsignalen getrennt wer-den.

verarbeitung ist es, Störsignale von Nutzsignalen zu trennen und die Störsignale zu un-terdrücken. Ob ein Signal Nutz- oder Störsignal ist, hängt von der Anwendung ab. Ein» Regensignal« ist ein Nutzsignal für eine regengesteuerte Tempokontrolle, aber ein Stör-signal für den Autofahrer.Signale sind häufig Variationen einer physikalischen Größe in Abhängigkeit von der

Zeit s = f(t), Sprachsignale sind ein gutes Beispiel dafür. Derartige Signale sind eindi-mensionale kontinuierliche Signale, da sie nur von einer Variablen (im Falle des Sprachsi-gnals von der Zeit) abhängen und da der Signalwert (innerhalb physikalischer Grenzen)beliebige Werte annehmen kann. Signale können aber auch eine Funktion des Ortes, z.B.ein Oberflächenprofil eines Werkstücks, sein. Signale können auch mehrdimensional sein,wie man am Beispiel von Bildsignalen (zweidimensionale Ortsfunktion) sehen kann. Wirbeschäftigen uns im weiteren Verlauf nur mit eindimensionalen Zeitsignalen.Die Mehrzahl der Signale ist kontinuierlich. Durch Probenentnahme in ausgewählten

Zeitpunkten (Abtastung) wird aus einem kontinuierlichen Signal ein zeitdiskretes Signal.Die Amplitude (= der Signalwert) des zeitdiskreten Signals kann, wie beim kontinuier-lichen Signal, beliebige Werte annehmen. Wird ein Signal in einem digitalen Rechnergespeichert oder verarbeitet, müssen die Amplitudenwerte zeitdiskreter Signale durch ei-ne endliche Anzahl an Zahlenwerten repräsentiert werden. Aus dem zeitdiskreten Signalwird ein zeitund amplitudendiskretes (digitales) Signal.Zeit- und amplituden-kontinuierliche Signale bezeichnet man als analoge Signale und

zeitund amplituden-diskrete Signale als digitale Signale. Abbildung 2.1 zeigt die Zu-sammenhänge in graphischer Form. (Zeitkontinuierliche und amplitudendiskrete Signalehaben keine technische Bedeutung.)

2.1.1 Testsignale

Systeme werden durch Eingangsgrößen (Ursache, Eingangssignal, Erregung) angeregtund man interessiert sich für die Ausgangsgrößen (Wirkung, Ausgangssignal, Antwort).Die praktisch vorkommenden Signale lassen sich im Allgemeinen nicht als Zeitfunktio-nen explizit angeben, da sie unregelmäßiger Natur sind (Sprache, Musik, Messwerte, ...).Außerdem wäre es unmöglich, das Verhalten von Systemen für alle praktisch vorkom-menden Eingangssignale zu untersuchen. Daher verwendet man bei der Untersuchungvon Systemen einfache » Testsignale«, die man so auswählt, dass sie sich gut mathema-

2.2. ELEMENTARFUNKTIONEN 11

Abbildung 2.2: Sprungfunktion δ−1(t)

00

f(t)

Zeit t0

0

f(t)

Zeit t

δ(t) 1/ε

ε>0

ε/2 ε/2

Abbildung 2.3: Darstellung des Einheitsimpulses

tisch darstellen lassen und dass sich die Antwort des Systems auf das Testsignal einfachberechnen lässt. Diese Testsignale werden außerdem so gewählt, dass sich die tatsächli-chen Signale aus den Testsignalen zusammensetzen lassen. Bei linearen Systemen kannman das Eingangssignal in eine Linearkombination von Testsignalen zerlegen und dieSystemantwort durch Überlagerung der Antworten auf die Testsignale berechnen. Damitsind die Systemantworten auf die Testsignale auch für praktisch vorkommende Signaleanwendbar.

2.2 Elementarfunktionen

Eine wichtige Gruppe von Testsignalen sind die Elementarfunktionen. Ist die Antworteines linearen Systems auf eine Elementarfunktion bekannt, so sind alle Eigenschaftendieses Netzwerks im Prinzip beschrieben.Die beiden wichtigsten Elementarfunktionen sind sind die Sprung- und die Impuls- Die Impulsfunktion und

die Sprungfunktion sinddie wichtigsten Elemen-tarfunktionen.

funktion. Die Sprungfunktion δ−1 ist folgendermaßen definiert:

δ−1(t) =

0 für t < 01 für t > 0

(2.1)

Abbildung 2.2 zeigt den Verlauf der Sprungfunktion.Eine weitere wichtige Elementarfunktion ist der Dirac-Impuls oder kurz Impuls, auch

Stoß-, Impuls- oder Deltafunktion genannt. Die Impulsfunktion δ0 ist folgendermaßendefiniert:

δ0(t) = 0 für t 6= 0 (2.2)∫ ∞−∞

δ0(t)dt = 1

Zu beachten ist, dass bei der δ0-Funktion lediglich das Integral —die Fläche des Signals—definiert ist. Daher kann man kann den Einheitsimpuls, wie in Abbildung 2.3 gezeigt,darstellen. Die Breite des Impulses geht gegen Null, die Fläche des Impulses ist 1, die Die Impulsfunktion ist im

Punkt Null nicht definiert.Es steht nur fest, dassdas Integral über diesenPunkt 1 ist.

Amplitude geht daher gegen ∞.Es können auch andere Kurvenformen (z.B. Dreieckspuls) zur Darstellung des Dirac-

Impulses verwendet werden: Die Kurvenform ist nicht festgelegt, sondern lediglich dieTatsache, dass die Impulsdauer gegen Null geht und die Fläche 1 ist!


Anmerkung 6 Die Impulsfunktion ist keine echte Funktion und beschreibt keine ein-deutige Funktion. Sie ist überall Null, mit Ausnahme der Stelle Null und auch an diesemPunkt ist sie nicht definiert. Die Bedeutung der Impulsfunktion liegt in ihrer Wirkungauf andere Funktionen, es wird nichts ausgesagt was die Impulsfunktion ist oder wie sieaussieht. Es wird lediglich die Wirkung der Impulsfunktion auf eine andere Funktion -die Signalfunktion s(t) - untersucht.

Allgemein sind die Elementarfunktionen durch folgende Beziehung definiert

δi(t) =

t∫−∞

δi+1(τ)dτ (2.3)

Der Zusammenhang zwischen der Sprung- und der Deltafunktion ist daher

δ−1(t) =

t∫−∞

δ0(τ)dt =

0 für t < 01 für t > 0

(2.4)

Die Sprungfunktion ist das Integral der Impulsfunktion. Umgekehrt müsste dahergelten

δ0(t) =d

dtδ−1(t) (2.5)

Wie man sieht, ist δ−1(t) an der Stelle t = 0 nicht differenzierbar, man kann dieseBeziehung daher nur formal gelten lassen. Der Impuls und seine Ableitungen sind imRahmen der Distributionentheorie exakt definierbar. Für unsere Zwecke —es geht lediglichum die Wirkung der Impulsfunktion (und der Sprungfunktion) auf andere Funktionen—ist die Definition des Impulses ausreichend und wir verwenden auch die BezeichnungFunktion.Weitere Elementarfunktionen sind δ1(t), der Doppelimpuls an der Stelle t = 0, die

Rampenfunktion δ−2(t), eine für t ≥ 0 linear ansteigende Funktion oder δ−3(t), eineParabel für t ≥ 0. Diese Elementarfunktionen haben aber keine Bedeutung für die Netz-werktheorie.

2.2.1 Faltung mit Elementarfunktionen

Wie erwähnt, interessiert uns lediglich die Wirkung der Impulsfunktion (und Sprungfunk-tion) auf andere Zeitfunktionen und hier vor allem die Faltung der Elementarfunktionmit anderen Zeitfunktionen. Die Faltung zweier Funktionen ist folgendermaßen definiert

g1(t) ∗ g2(t) =

∞∫−∞

g1(τ)g2(t− τ)dτ =

∞∫−∞

g1(t− τ)g2(τ)dτ (2.6)

Abbildung ?? veranschaulicht den Faltungsvorgang.

1. Die zu faltenden Zeitfunktionen g1(t) und g2(t) werden als Funktionen von τ dar-gestellt.

2. t ist die unabhängige Variable im Faltungsintegral, daher muss für die Zeitfunk-tionen g1(t) und g2(t) die neue Variable τ eingeführt werden.

3. Wir stellen die Funktionen zuerst für t = 0 dar und erhalten g1(−τ) und g2(τ).Die Funktion g1(−τ) ist die entlang der vertikalen Achse gespiegelte (gefaltete)Funktion g1(τ), daher der Name für diese Operation.

4. t nimmt die Werte von−∞ bis∞ an, was nichts anderes bedeutet, dass die Funktiong1(−τ) entlang der τ−Achse verschoben wird → g1(t − τ). Zu jedem Zeitpunkt twird das Produkt g1(t− τ)g2(τ) und das Integral dieses Produkts von −∞ bis ∞liefert den Wert der Faltung zum Zeitpunkt t.

2.2. ELEMENTARFUNKTIONEN 13

Abbildung 2.4: Veranschaulichung des Faltungsintegrals

Da wir nur Zeitfunktionen betrachten, die für t < 0 Null sind, kann das Integrations-intervall von 0− bis t+ erstreckt werden. Faltet man eine Elementarfunktion δi(t) miteiner Zeitfunktion g(t), die für t ≥ 0 existiert, so erhalten wir

g(t) ∗ δi(t) =

t+∫0−

g(τ)δi(t− τ)dτ =

t+∫0−

g(t− τ)δi(τ)dτ = gi(t) (2.7)

Das Ergebnis ist der i−te Differentialquotient der Zeitfunktion g(t). Im Speziellenwird also

Impuls: i = 0 g(t) ∗ δ0(t) = g(t) (2.8)

Sprung: i = −1 g(t) ∗ δ−1(t) =

t+∫0−

g(τ)dτ (2.9)

Die Impulsfunktion δ0(t) hat die Eigenschaft einer Abtastfunktion, da die Faltung denFunktionswert an der Stelle t liefert, also der Zeitfunktion g(t) an der Stelle t eine Probeentnimmt. δ−1(t) legt die obere Integrationsgrenze fest, da die Faltung das Integral vong(t) im Intervall 0− bis t+ ergibt. Damit haben wir die Möglichkeit, beliebige Zeitfunk-tionen aus Sprung oder Impuls (oder anderen Elementarfunktionen) zusammenzusetzen.Für Impuls und Sprung folgt

Impuls: g(t) = g(t) ∗ δ0(t) =

t+∫0−

g(τ)δ0(t− τ)dτ (2.10)

Sprung: g(t) = g(t) ∗ δ−1(t) =

t+∫0−

g(τ)δ−1(t− τ)dτ (2.11)

Der Punkt bedeutet die Ableitung nach der Zeit, g(t) = ddtg(t)

Gleichung (2.10) bedeutet die Zusammensetzung der Zeitfunktion g(t) aus lauterImpulsen, die mit dem Gewicht g(t) auftreten, während Gleichung (2.11) die Zusammen-setzung der Zeitfunktion g(t) aus lauter Sprüngen, die mit dem Gewicht g(t) auftreten,bedeutet.


Abbildung 2.5: s(t) = A sin( 2πT0t− 3π

4 )

2.3 Sinusfunktion

Eine weitere wichtige Aufbaufunktion ist die Sinusfunktion, da sich Signale aus Sinus-schwingungen zusammensetzen und mathematisch darstellen lassen. Da wir Signale un-tersuchen wollen und mit ihnen rechnen müssen, fassen wir die Eigenschaften und denUmgang mit sinusförmigen Schwingungen zusammen.

s(t) = A sin(ω0t+ ϕ) (2.12)

ω0 = 2πf0 = 2π1

T0Eigenschaften der Sinus-schwingung:Amplitude APeriodendauer T0 = 1

f0

Frequenz f0 = 1T0

Kreisfreq. ω0 = 2πf0

Phase ϕ

A ist die Amplitude, ω0 die Kreisfreqenz und ϕ die Phase der Schwingung. f0 istdie Frequenz der Schwingung (» Wie oft schwingt das System in einer Zeiteinheit?«)und T0 ist die Periodendauer der Schwingung (» Wie lange dauert eine Schwingung?«).Standardmäßig wird als Zeiteinheit eine Sekunde gewählt. Die Standardeinheit für dieFrequenz ist daher 1

Sekunde = 1Hz und die Standardeinheit für die Periodendauer eineSekunde.

Anmerkung 7 Die Sinusfunktion ist eine Funktion des Winkels (in Radianten) undnicht der Zeit. Die Periode der Sinusfunktion ist immer 2π. Die Kreisfrequenz ω0 kannman einfach als eine Konstante ansehen, die den linearen Zusammenhang zwischen Zeitund Winkel, also eine » Winkelgeschwindigkeit«, beschreibt. ω0 gibt an, wie vielen Radi-anten eine Zeiteinheit (standardmäßig eine Sekunde) entspricht. Anders formuliert: umwie viele Radianten sich der Winkel ändert, wenn die Zeit um eine Zeiteinheit fortschrei-tet.

Abbildung 2.5 zeigt die graphische Darstellung einer Sinusfunktion.Sinus- und Kosinus-Funktion sind verwandt, ob man die Darstellung als Sinus oder

Kosinus wählt, hängt von praktischen Überlegungen ab1 . Es gelten folgende Beziehungen:

äquivalent sinϕ = cos(ϕ− π/2), cosϕ = sin(ϕ+ π/2) (2.13)

gerade cosϕ = cos(−ϕ) (2.14)

ungerade sinϕ = − sin(−ϕ) (2.15)

periodisch cosϕ = cos(ϕ+ 2πk), k...ganzzahlig (2.16)

Ableitungd

dϕsinϕ = cosϕ,

d

dϕcosϕ = − sinϕ (2.17)

1 In der Elektrotechnik und Signalverarbeitung wählt man meistens die Darstellung in Form desKosinus, da sich damit auch der Gleichanteil (Mittelwert), als Komponente der Frequenz ω = 0, darstellenlässt, A cos(ωt)|ω=0 = A.

2.3. SINUSFUNKTION 15

Abbildung 2.6: Komplexe Darstellung der Sinusfunktion

Weitere Zusammenhänge zwischen Sinus und Kosinus:

sin2 ϕ+ cos2 ϕ = 1 (2.18)

sin 2ϕ = 2 sinϕ cosϕ (2.19)

cos 2ϕ = cos2 ϕ− sin2 ϕ (2.20)

sin(α± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ (2.21)

cos(α± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ (2.22)

Bei der Darstellung von sinusförmigen Schwingungen sind zwei Schreibweisen ge-bräuchlich

s(t) = A sin(ω0t+ ϕ) = A sin(2πf0t+ ϕ) (2.23)

Die Darstellung unter Verwendung der Kreisfrequenz — sin(ωot) — ist weniger an-schaulich als die Darstellung mit der natürlichen Frequenz — sin(2πf0t). Das Beispielsin(12.57t) = sin(2π2t) macht das deutlich: Frequenz f = 2Hz ist anschaulicher alsKreisfrequenz ω = 12.57s−1.Im weiteren Verlauf werden wir häufig mit Sinus- und Kosinus-Schwingungen rechnen

müssen. Da das Rechnen mit Sinus und Kosinus in reeller Darstellung aufwändig ist,setzen wir häufig die komplexe Darstellung ein, die das Rechnen wesentlich erleichtert.In der Folge werden wir sowohl die reelle als auch die komplexe Darstellung verwenden.2

Über die Euler’sche Beziehung erhalten wir den Zusammenhang:

~s(t) = Aej(ωot+ϕ) = A cos(ωot+ ϕ) + jA sin(ωot+ ϕ) (2.24)

Die komplexe Form (2.24) liefert eine Darstellung von Sinus und Kosinus, das reell- Die Sinus- und die Ko-sinusfunktion kann manauch in komplexerForm anschreiben.

wertige Signal wird durch Realteilbildung ermittelt.

s(t) = ReAej(ωot+ϕ) = A cos(ωot+ ϕ) (2.25)

Die Erzeugung von Sinus und Kosinus kann man sich als Projektion eines rotierenden Die Sinus- und Kosinus-funktion kann man sich alsProjektion eines Ro-tierenden Zeigers aufdie vertikale und die hori-zontale Achse vorstellen

Zeigers vorstellen, wie in Abbildung 2.6 dargestellt. Der Kosinus wird durch Projektionauf die horizontale (reelle) Achse, der Sinus durch Projektion auf die vertikale (imaginäre)Achse erzeugt. Der Zeiger dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω0, die Position desZeigers (der Winkel) zum Zeitpunkt t errechnet sich aus ω0t (vgl. Anmerkung 7). Hatder Zeiger eine Winkelgeschwindigkeit von 2π pro Sekunde, bedeutet das, dass sich der

2Für reellwertige Signale schreiben wir s(t), für komplexwertige schreiben wir ~s(t).


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.041

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Phasenv ers chiebung 72°

Abbildung 2.7: Phasenverschiebung Kosinus

Zeiger einmal pro Sekunde um den Kreis dreht (360 = 2π). Der Winkelgeschwindigkeitvon 2π s−1 entspricht die Frequenz 1, es ist daher ω = 2πf .Bei der Rechnung mit komplexen Exponentialfunktionen gelten die im Anhang zu-

sammengefassten Regeln der komplexen Rechnung. Die geometrische Interpretation derkomplexen Rechnung liefert eine sehr anschauliche Deutung der Rechenoperationen.

2.3.1 Phasenverschiebung —Zeitverschiebung

Verschiebung im Zeitbereich

Zur Darstellung der Zeitverschiebung gehen wir vom Beispiel in Abbildung ?? aus. EineVerschiebung nach rechts x(t− t1) erkennt man am negativen Vorzeichen, eine Verschie-bung nach links x(t+ t1) am positiven Vorzeichen.

Phasenverschiebung

Frequenz und Phase bestimmen die Lage der Maxima und Minima der sinusoidalenSchwingung. Die Kosinusschwingung x(t) = A cos(ω0t + ϕ) hat für ϕ = 0 ein Maxi-mum bei t = 0. Für ϕ 6= 0 bestimmt die Phasenverschiebung um wie viel das Maximumaus der Lage t = 0 verschoben ist.

Tritt das Maximum bei positivem t auf, sprechen wir von einer positiven Zeitverschie-bung gegen den Kosinus mit der Phase Null.Die Zeitverschiebung des Kosinussignals kann dadurch gefunden werden, dass das zu

t = 0 nächstgelegene Maximum bestimmt wird. In unserem Beispiel tritt das nächstge-legene Maximum bei t1 = 0.005 auf.

Der Abbildung 2.7 können wir entnehmen, das die Periodendauer T0 = 0.025 ausder wir die Frequenz ausrechnen können f0 = 1

T0= 40. Das Maximum des Kosinus tritt

auf, wenn das Argument des Kosinus Null ist, d.h. bei ω0t1 + ϕ = 0 ⇒ ϕ = −ω0t1;ϕ = −2π · 40 · 0.005 = −1.2566 = −72

Die Zeitverschiebung gegen den unverschobenen Kosinus x(t) = A cos(ω0t) könnenwir über folgende Beziehung in eine Phasenverschiebung umrechnen.

x0(t− t1) = A cos[ω0(t− t1)] = A cos[ω0t− ϕ]

Gleichheit des obigen Ausdrucks ist nur gegeben, wenn

−ω0t1 = ϕ⇒ t1 = − ϕ

ω0= − ϕ

2πf0

Bei positiver Zeitverschiebung ist die Phasenverschiebung negativ.

ϕ = −2πf0t1 = −2πt1T0

2.4. DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION 17

Das zu t = 0 nächstgelegene Maximum muss immer innerhalb von |t1| ≤ T02 liegen,

die Phase kann daher −π < ϕ ≤ π.Die Phase wird bestimmt, indem man das zu t = 0 nächstgelegene Maximum sucht

und mit Hilfe von ϕ = −2π t1T0 umrechnet.

2.4 Die komplexe Exponentialfunktion

Bei der Darstellung der Sinusfunktion haben wir uns der komplexen Schreibweise ~s(t) =Aej(ωot+ϕ) bedient. Diese Notation hat den entscheidenden Vorteil, dass man damit leichtRechnen kann. Die Erregung von Netzwerken (Siehe Kapitel 13) lässt sich durch dieEinführung der komplexen Exponentialfunktion weiter verallgemeinern. Die komplexe Ex-

ponentialfunktionbeschreibt einen rotie-renden Zeiger, der seineLänge verändert.

Die komplexe Exponentialfunktion kann man sich wieder als einen rotierenden Zeigerin der komplexen Ebene vorstellen, dessen Länge sich aber (zusätzlich zum vorigen Fall)exponentiell mit der Zeit verändert.Die komplexe Exponentialfunktion ist wie folgt definiert:

~s(t) = ~Kest ~K = Aejϕ ; s = σ + jω ; A ≥ 0 (2.26)

~K bezeichnet man als komplexe Amplitude. Sie beinhaltet nicht nur die Informationüber die (Anfangs-)Länge des Zeigers A, sondern auch über seine Position (= Phase =Winkel) ϕ zum Zeitpunkt t = 0.

s nennt man komplexe Frequenz. Sie enthält einerseits die Information über die Win-kelgeschwindigkeit ω des Zeigers, andererseits beschreibt die Konstante σ die Verände-rung der Länge des Zeigers.Die » physikalischen« Zeitfunktionen erhält man aus der komplexen Exponentialfunk-

tion durch Bildung des Real- oder Imaginärteils bzw. durch Addition zweier konjugiertkomplexer Funktionen.

Re~Kest

= Re

Aejϕ · e(σ+jω)t

(2.27)

= ReA · eσt · ej(ωt+ϕ)

(2.28)

= A · eσt · Reej(ωt+ϕ)

(2.29)

= A · eσt · cos(ωot+ ϕ) (2.30)

Im~Kest

= . . . = A · eσt · sin(ωot+ ϕ) (2.31)

bzw.

Re~Kest

=

1

2[~s(t) + ~s∗(t)] =

∣∣∣ ~K∣∣∣2eσt[ej(ωt+ϕ) + e−j(ωt+ϕ)

](2.32)

=∣∣∣ ~K∣∣∣ eσt cos (ωt+ ϕ) (2.33)

Anmerkung 8∣∣∣ ~K∣∣∣ =

∣∣A · ejϕ∣∣ = A, weil∣∣ejϕ∣∣ = 1 und A ≥ 0

Abbildung 2.8 zeigt den Realteil der komplexen Exponentialfunktion in der komplexenEbene [σ, jω].Die Bezeichnung komplexe Frequenz für s = σ + jω ist streng genommen falsch,

da im physikalischen Sinn nur der Imaginärteil ω eine (Kreis)Frequenz ist. Dennoch istdiese Bezeichnung üblich, da die Verwendung der komplexen Frequenz außerordentlichzweckmäßig ist.Die Einführung der komplexen Exponentialfunktion führt zu abstrakten Darstellun-

gen von Signalen und in der Folge zu abstrakten Darstellungen der Eigenschaften vonSystemen. Diese Darstellung hat aber entscheidende Vorteile bei der Analyse und Dar-stellung der Eigenschaften von Systemen.


jω

σ

Abbildung 2.8: Realteil der komplexen Exponentialfunktion

2.5 Zusammenfassung

Um Signale (und Systeme) mathematisch erfassen zu können, setzen wir komplizierte Si-gnale aus einfachen Aufbaufunktionen zusammen. Für diese einfachen Aufbaufunktionenermitteln wir das Systemverhalten. Das Systemverhalten für kompliziertere Signale lässtsich bei linearen Netzwerken durch Überlagerung der Systemantworten auf die Aufbau-funktionen ermitteln.Aufbaufunktionen sind die Impuls- und Sprungfunktion, die Sinusfunktion (reell oder

komplex) und die komplexe Exponentialfunktion.

Kapitel 3

Spektren

Inhalt3.1 Mathematische Darstellung von zeitkontinuierlichen Signa-

len . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Spektralsynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Spektralanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.1 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.2 Numerische Berechnung der Fourierkoeffi zienten . . . . . . . 303.3.3 Die Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.4 Eigenschaften der Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . 373.3.5 Operationen mit Signalen im Zeit- und Frequenzbereich . . . 383.3.6 Frequenz und Zeit —Unschärfeprinzip . . . . . . . . . . . . . 403.3.7 Numerische Berechnung der Fouriertransformation . . . . . . 42

3.4 Größe von Signalen (Energie und Leistung) . . . . . . . . . 433.5 Parseval’sches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1 Mathematische Darstellung von zeitkontinuierli-chen Signalen

Signale haben unterschiedliches Zeitverhalten und es gibt unendlich viele Signale. Es Komplizierte Signalekann man aus einfacherenGrundsignalen aufbauenund so die Untersuchungder Eigenschaften vonSignalen vereinfachen.

stellt sich daher die Frage, ob es möglich ist, Signale aus einfachen Grundsignalen zu-sammenzusetzen und damit die Untersuchung der Eigenschaften von Signalen und inder Folge die Bearbeitung von Signalen auf eine einfachere Basis zu stellen.Das ist tatsächlich der Fall, wir erklären die Zusammenhänge am Beispiel von akus-

tischen Signalen. Ein akustisches Signal kann man sich aus Tönen zusammengesetzt vor-stellen. Töne wiederum lassen sich mit Hilfe von Sinusschwingungen beschreiben. BeimWählen der Telefonnummer 58801, erzeugt die Tastatur zwei Töne pro Nummer undzwar: 5 ⇒ 770 Hz und 1336 Hz, 8 ⇒ 852 Hz und 1336 Hz, 8 ⇒ 852 Hz und 1336Hz, 0 ⇒ 941 Hz und 1336 Hz, 1 ⇒ 697 Hz und 1209 Hz. Das Wählverfahren wirddaher dual tone multifrequency (DTMF) genannt. Signale lassen sich also aus Tönen zu-sammensetzen (synthetisieren), elektronische Musikinstrumente machen z.B. von dieserMöglichkeit Gebrauch.Abbildung 3.1 zeigt ein aus mehreren Sinusschwingungen zusammengesetztes Signal.

3.2 Spektralsynthese

Komplizierte Signale lassen sich aus einfacheren Signalen aufbauen. Setzen wir Signaleaus sinusoidalen Schwingungen zusammen, dann erhalten wir

19

20 KAPITEL 3. SPEKTREN

0 0.2 0.4 0.6 0.8 12

0

2

Zeit t

s(t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 12

0

2

Zeit t

s 1(t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 12

0

2

Zeit ts 2(t

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 12

0

2

Zeit t

s 3(t)

Abbildung 3.1: Summe von Sinusschwingungen s(t) = s1(t) + s2(t) + s3(t)

s(t) = A0 +A1 cos(ω1t+ ϕ1) + ...+AK cos(ωKt+ ϕK) = (3.1)

= A0 +

N∑k=1

Ak cos(ωkt+ ϕk) =

N∑k=0

Ak cos(ωkt+ ϕk)

Da der Verlauf der Sinusschwingungen bekannt ist, braucht er nicht dargestellt zuBenutzt man sinusoidaleSchwingungen als Aufbau-signale, braucht man sichnur ihre Frequenzen, Am-plituden und Phasen zumerken.

werden. Es ist ausreichend, wenn man nur die Amplituden Ak und die Phasen ϕk überder Frequenz aufträgt. Man nennt diese Darstellung Amplituden- und Phasenspektrum.Man spricht auch von der Darstellung des Signals im Zeitbereich und im Frequenzbereich.Die Darstellung von Signalen durch sinusoidale Schwingungen1 setzt voraus, das sich

Signale mit endlicher Zeit-dauer können durch einediskrete Summe von si-nusoidalen Schwingungennicht dargestellt werden.

die Signale —ebenso wie die Sinusschwingungen —von −∞ < t <∞ erstrecken. Die in derWirklichkeit auftretenden Signale haben nur eine endliche Dauer und können nicht durcheine endliche Anzahl von Frequenzkomponenten (= Spektralkomponenten = SinusoidaleSchwingungen = Summanden in Gl. 3.1) dargestellt werden. Signale endlicher Dauerwerden mathematisch mit Hilfe der Fouriertransformation dargestellt.Abbildung 3.2 zeigt die Sicht auf ein Signal im Zeit- und im Frequenzbereich. Die

Ansicht von links zeigt eine Sägezahnschwingung im Zeitbereich s(t). Die Ansicht vonvorne zeigt die einzelnen Spektralkomponenten - die Darstellung im FrequenzbereichS(ω) oder S(f) 2 . (Der Gleichanteil − die 0.te Harmonische − wurde in Abbildung 3.2weggelassen, damit die Zeichnung übersichtlicher ist.)Abbildung 3.4 zeigt das Betragsspektrum einer Sägezahnschwingung. Die einzelnen

Spektralkomponenten werden als Linien dargestellt, deren Länge der Amplitude derSchwingung entspricht. Man spricht daher auch vom Linienspektrum. Eine Verdopplungder Frequenz entspricht einer Oktave in der Musik.Die Antwort eines LTI-Systems auf ein Eingangssignal kann man ermitteln, indem

man das Eingangssignal in Frequenzkomponenten zerlegt und die Systemantworten aufdiese Komponenten einzeln ermittelt. Die Systemantwort auf das ursprüngliche Eingangs-signal setzt sich dann aus den Antworten auf die einzelnen Frequenzkomponenten zu-sammen. Man darf aber nicht vergessen, dass dieses Prinzip nur bei linearen Systemenanwendbar ist, wovon wir uns anhand des folgenden Beispiels überzeugen können.

1Es können endlich oder unendlich viele Spektrallinien auftreten.2ω = 2πf , vgl. Abschnitt 2.3)

3.2. SPEKTRALSYNTHESE 21

4

2

0

2

4

0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

4

3

2

1

0

1

2

3

4

Harmonische

Sägezahn

Zeitbereich

Frequenzbereich

Abbildung 3.2: Signal im Zeit- und Frequenzbereich

Beispiel 9 (Nichtlineares System) Wir zeigen das Verhalten des SystemsxA = x2

E, wenn zwei Eingangssignale anliegen. Die Eingangssignale nennen wir Basissi-gnal A cos(ωt) und Trägersignal B cos(Ωt)

[A cos(ωt) +B cos(Ωt)]2

= A2 cos2(ωt) + 2A cos(ωt)B cos(Ωt) +B2 cos2(Ωt) = (3.2)

=A2

2[1 + cos (2ωt)] + 2AB cos(ωt) cos(Ωt) +

B2

2[1 + cos (2Ωt)]

(3.3)

Wie wir sehen, durchlaufen die beiden Eingangssignale das (nichtlineare) quadratischeSystems nicht ohne Interaktion. Es entsteht eine Komponente der doppelten Basisfre-quenz ω, eine Komponente der doppelten Trägerfrequenz Ω und das Produkt aus Basis-signal und Trägersignal! Für dieses Produkt erhalten wir

cos(Ωt) cos(ωt) =1

2[cos(Ω− ω)t+ cos(Ω + ω)t] (3.4)

Es entstehen also am Ausgang des quadratischen Systems Signale mit den Frequenzen[0, 2ω,Ω − ω,Ω + ω, 2Ω], Signale mit den Frequenzen Ω und ω sind nicht mehrenthalten! Abbildung 3.3 zeigt die entstehenden Spektrallinien. Bei der reellen Rechnungmuss man die trigonometrischen Formeln kennen. Bei Verwendung der komplexen Rech-nung benötigt man lediglich die Euler’sche Beziehung und die Regeln der Potenzrechnung,was den Rechenvorgang erheblich vereinfacht.

(cosωt+ 3 cos Ωt)2 =(

12ejωt + 1

2e−jωt + 3

2ejΩt + 3

2e−jΩt)2 =(

12ejωt + 1

2e−jωt)2 + 2

(12ejωt + 1

2e−jωt) ( 3

2ejΩt + 3

2e−jΩt)+

(32ejΩt + 3

2e−jΩt)2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(12

)2ej2ωt + 2

(12

)2+(

12

)2e−j2ωt = 2

(12

)2+ 2

(12

)2cos 2ωt == 2

(12

)2+ 1

2 cos 2ωt

2(

12

32ej(Ω+ω)t + 1

232ej(Ω−ω)t + 1

232ej(−Ω+ω)t + 1

232ej(−Ω−ω)t

)=

= 2× 2 12

32 [cos(Ω + ω)t+ cos(Ω− ω)t] = 3 [cos(Ω + ω)t+ cos(Ω− ω)t](

32

)2ej2Ωt +

(32

)2e−j2Ωt = 2

(32

)2+ 2

(32

)2cos 2Ωt = 2

(32

)2+ 4.5 cos 2Ωt

2(

12

)2+ 2

(32

)2= 5

Wie man leicht sieht, ist bei diesem Beispiel der Überlagerungsatz verletzt,da [A cos(ωt)]2 + [B cos(Ωt)]2 6= [A cos(ωt) +B cos(Ωt)]2.


0 5 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Spektrum Eingangssignal0 5 10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Spektrum Ausgangssignal

Abbildung 3.3: Spektrallinien bei quadratischem System

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2Betragsspektrum Sägeszahnschwingung

Harmonische

Abbildung 3.4: Spektraldarstellung einer Sägezahnfunktion

3.2. SPEKTRALSYNTHESE 23

Abbildung 3.5: Zeiger mit entgegengesetzter Drehrichtung ω und −ω

Anmerkung 10 Zeit- und Frequenzbereich-Darstellung sind gleichwertig und lediglichandere Betrachtensweisen für dasselbe Signal, wobei sich manche Signaleigenschaften bes-ser im Zeitbereich, andere wiederum besser im Frequenzbereich darstellen lassen.

Aus sinusoidalen Komponenten zusammengesetzte Signale können auch in komplexerSchreibweise dargestellt werden

~s(t) = X0 +

N∑n=1

Anej(ωnt+ϕn) = X0 +

N∑n=1

~Xnejωnt ~Xn = Ane

jϕn (3.5)

Die Größe ~Xn = Anejϕn ist die komplexe Amplitude. Die komplexe Amplitude ist

eine mathematische Konstruktion, mit Hilfe der die Phasenverschiebung des Zeigers indie Amplitude verlagert wird. Damit ist eine kompaktere Schreibweise möglich, da sichder Ausdruck ej(ωnt+ϕn) auf ejωnt vereinfacht. Das bedeutet aber nicht, dass sie Phasegleich Null wäre!Der Kosinus kann mit Hilfe der inversen Euler’schen Form dargestellt werden cos(ϕ) = Die Darstellung eines Si-

gnals nach (3.5) nenntman einseitiges Spek-trum.Die Darstellung eines Si-gnals nach (3.7) nenntman zweiseitiges Spek-trum.

12 (ejϕ+e−jϕ). Daraus ergibt sich eine weitere Darstellung von sinusoidalen Schwingungen:

s(t) = A cos(ωt+ ϕ) =A

2ej(ωt+ϕ) +

A

2e−j(ωt+ϕ)

=~X

2ejωt +

~X∗

2e−jωt (3.6)

Gleichung (3.6) kann man sich als zwei mit entgegengesetzter Drehrichtung rotierendeZeiger vorstellen, das (reellwertige) Signal s(t) wird durch Addition der beiden Zeigergebildet.Abbildung 3.5 verdeutlicht diesen Zusammenhang. Die Summe der gegensinnig rotie-

renden Zeiger liegt immer auf der reellen Achse, s(t) ist daher immer reellwertig.Ein Signal, das aus mehreren sinusoidalen Komponenten zusammengesetzt ist, lässt

sich wie folgt darstellen:

s(t) = X0 +

N∑n=1

~Xn

2ejωnt +

~X∗n

2e−jωnt

(3.7)


Die Darstellung des Spektrums unter Verwendung der inversen Euler’schen Formelnennt man zweiseitiges Spektrum (3.7), die Darstellung nach (3.5) nennt man einseitigesSpektrum. Bei der Verwendung des zweiseitigen Spektrums treten negative Frequenzenauf, die, wie sich im weiteren Verlauf zeigen wird, physikalische Bedeutung erlangenkönnen.

Anmerkung 11 Negative Frequenzen sind irritierend, da ja die Frequenz als Anzahl vonWiederholungen definiert und damit eine positive Zahl sein muss. Wir können negativeFrequenzen leicht mit Hilfe folgender Beziehung umformen

cos(−ωt+ ϕ) = cos(ωt− ϕ) (3.8)

und erhalten damit eine positive Frequenz. Gleiches gilt auch für die Beziehung

e±jωt = cosωt± j sinωt (3.9)

auch hier ist die Frequenz positiv.Negative Frequenzen treten nur in der komplexen Darstellung und immer als Paar mitpositiven Frequenzen auf. Wir können sie daher so wie die grafische Darstellung deszweiseitigen Spektrums verstehen (Abbildung 3.5).

3.3 Spektralanalyse

Wie wir gesehen haben, lassen sich Signale aus sinusoidalen Schwingungen synthetisieren.Die Fourierzerlegungzerlegt ein Signal insinusoidale Schwingun-gen unterschiedlicherAmplitude und Phase.

Häufig ist aber das Signal gegeben und man möchte daraus die Spektralkomponenten be-rechnen. Diese Aufgabe löst die Fourierzerlegung für uns. Wir geben die Zusammenhängezunächst für periodische kontinuierliche Schwingungen an, werden diese Einschränkungaber im weiteren Verlauf —bei der Fouriertransformation —aufheben.

3.3.1 Fourierreihen

Eine periodische Funktion3 mit der Periode T = 1f = 2π

ω0lässt sich durch eine Fourierreihe

folgendermaßen darstellen

s(t) =A0

2+A1 cosω0t+A2 cos 2ω0t+ ...+Ak cos kω0t+ (3.10)

+B1 sinω0t+B2 sin 2ω0t+ ...+Bk sin kω0t

Die Amplituden der einzelnen Schwingungen berechnet man

Ak =2

T

T∫0

s(t) cos(kω0t)dt (3.11)

Bk =2

T

T∫0

s(t) sin(kω0t)dt (3.12)

3Nicht jede periodische Funktion lässt sich in eine Fourierreihe zerlegen. Es leuchtet ein, dass für dieKonvergenz einer Fouriereihe die Amplituden der Teilschwingungen endlich sein müssen. Das ist immerdann gegeben, wenn die periodische Funktion s(t) absolut über eine Periode integrierbar ist, wenn alsogilt:

∫T |s(t)|dt < ∞. Diese Bedingung ist jedoch nicht hinreichend. s(t) darf darüber hinaus nur eine

endliche Zahl von Maxima und Minima innerhalb einer Periode haben und darf nur eine endliche Zahlvon endlichen Diskontinuitäten in einer Periode aufweisen. Diese Dirichlet’schen Bedingungen sind füralle praktischen Signale erfüllt.

3.3. SPEKTRALANALYSE 25

Die Periodendauer der Schwingung ist

T =2π

ω0=

1

f0(3.13)

Wir sehen, dass sich s(t) im allgemeinen Fall als eine Summe von Sinus- und Kosinus-schwingungen plus einem konstanten Wert A0/2 darstellen lässt. A0/2 ist der Mittelwertder Funktion s(t) und wird in der Elektrotechnik Gleichglied oder Gleichanteil genannt.Es können auch abschnittweise kontinuierliche Signale (z.B. Rechteck- oder Sägezahn-

schwingung) in eine Fourierreihe zerlegt werden. In den Sprungstellen konvergiert dieReihe auf den Mittelwert des Wertes links und rechts der Unstetigkeit [s(t−0 ) + s(t+0 )]/2.Wenn die Funktion s(t) gerade ist, wenn also s(t) = s(−t), dann treten in der Rei- In der Reihenentwicklung

einer geraden Funktiontreten nur Kosinusterme,in der Reihenentwicklungeiner ungeraden Funktionnur Sinusterme auf.

henentwicklung nur gerade Anteile auf. Da die Sinusfunktion ungerade ist, werden dieAmplituden Bk = 0. Wenn die Funktion ungerade ist, wenn also s(t) = −s(−t), danntreten in der Reihenentwicklung nur ungerade Anteile auf. Da die Kosinusfunktion geradeist, werden die Amplituden Ak = 0.Die Komponenten der Fourierzerlegung bestehen aus der Grundschwingung (der Schwin-

gung mit der Periodendauer T = 2π/ω0) und Oberschwingungen, die immer ganzzahligeVielfache der Grundschwingung sind. Die Oberschwingungen werden auch Harmonischegenannt.In diesem Zusammenhang stellt sich die Frage, ob die Summe von sinusförmigen

Schwingungen beliebiger Frequenz eine periodische Schwingung bildet und wie man beimehreren Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz die Periodendauer ermittelt.Wir nehmen als Beispiel die Schwingungen

s1(t) = 1 + 2 sin(1

2t+ ϕ1) + 3 sin(

1

3t+ ϕ2) + 4 sin(

1

5t+ ϕ3)

s2(t) = 2 sin(t+ ϕ1) + 3 sin(πt+ ϕ2)

Wir erinnern uns, dass jede Frequenzkomponente in einem periodischen Signal ein Eine aus sinusoidalenKomponenten zusammen-gesetzte Schwingung istgenau dann periodisch,wenn das Verhältnis der(Kreis)Frequenzen derKomponenten rationalist.

ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz ω0 sein muss. Daher ist das Verhältnis der(Kreis)Frequenzen zweier beliebigen Teilschwingungenm/n, wobeim und n ganze Zahlensind. Das bedeutet, dass das Verhältnis zweier beliebiger Teilschwingungen eine rationaleZahl sein muss. In unserem Beispiel sind die Kreisfrequenzen von s1(t) :

(12 ,

13 und

15

)ganzzahlige Vielfache von 1

15 , sind also Harmonische. Die Kreisfrequenzen von s2(t) ste-hen im Verhältnis 1/π. Dieses Verhältnis ist nicht rational, s2(t) ist daher keine periodi-sche Schwingung.Neben der Darstellung von Signalen in Sinus- und Kosinuskomponeten wählt man

auch die Darstellung nach Betrag und Phase. Wir rechnen um und erhalten

C cos(ω0t+ ϕ) = C cosϕ︸︷︷︸A

cosω0t − C sinϕ︸︷︷︸B

sinω0t (3.14)

Aus A = C cosϕ und B = −C sinϕ erhalten wir

C =√A2 +B2 und ϕ = arctan

−BA

(3.15)

Damit können wir die Fourierreihe nach Betrag und Phase darstellen

s(t) = C0 +C1 cos(ω0t+ϕ1) +C2 cos(2ω0t+ϕ2) + · · ·+Ck cos(kω0t+ϕk) + . . . (3.16)

wobei gilt

Ck =√A2k +B2

k, ϕk = arctan

(−BkAk

)und C0 =

A0

2(3.17)


Die Darstellung nach Betrag und Winkel nach Gleichung (3.16) könnte man auch inForm der Sinusfunktion4 ausdrücken, die Kosinus-Darstellung wird aber meistens bevor-zugt, da sich der Gleichanteil als Komponente der Frequenz Null darstellen lässt.Wie man sieht, können periodische Schwingungen im Reellen durch Sinus- plus Ko-

sinusfunktion (jeweils mit der Phase Null) oder durch eine Sinus- oder Kosinusfunktionmit allgemeiner Phase dargestellt werden.Schließlich gibt es noch die komplexe Darstellung5

s(t) =

+∞∑k=−∞

~Dkejkω0t (3.18)

Wie man leicht sehen kann, ergeben sich die Darstellungen im Reellen durch Bildungvon Real- und Imaginärteil bzw. durch Bildung von Betrag und Phase aus der komplexenDarstellung.

~Dk =1

T

T∫0

s(t)e−jkω0tdt =

A0

2 für k = 012 (Ak − jBk) für k > 0

12 (A−k + jB−k) für k < 0

(3.19)

Die komplexe Spektraldarstellung ist die leistungsfähigste und kompakteste aller For-men und wir werden uns daher im weiteren Verlauf häufig dieser Darstellung bedienen.Aus der Euler’schen Beziehung können wir die Darstellung nach Betrag und Winkel

Ck cos(ω0t+ ϕk) einfach in die komplexwertige Darstellung überführen

Ck cos(kω0t+ ϕk) =Ck2

[ej(kω0t+ϕk) + e−j(kω0t+ϕk)

]= (3.20)

=

(Ck2ejϕk

)︸︷︷︸ e

~Dk

jkω0t

+

(Ck2e−jϕk

)︸︷︷︸

~D−k

e−jkω0t (3.21)

und wir erhalten

s(t) = C0 +

∞∑k=1

Ck cos(kω0t+ ϕk) (3.22)

s(t) = D0 +∞∑k=1

(~Dke

jkω0t + ~D−ke−jkω0t

)(3.23)

Der Zusammenhang zwischen der reellen (einseitiges Spektrum) und komplexen (zwei-seitiges Spektrum) Darstellung ist

~Dk =1

2Cke

jϕk Ck = 2∣∣∣ ~Dk

∣∣∣ ; ϕk = ] ~Dk (3.24)

Es wird auch stillschweigend angenommen, dass ϕ0 gleich Null und D0 reellwertig ist,weil s(t) ein reellwertiges Signal ist.Die komplexe Darstellung der Fourierreihe entsprechend (3.18) und (3.19) ist dieDie kompakteste Darstel-

lung der Fourierreihe istdie komplexe Darstellung.Es lässt sich mit ihr aucham einfachsten rechnen.

kompakteste Form der Darstellung. Das Rechnen mit Exponentialreihen ist wesentlicheinfacher als das Rechnen mit trigonometrischen Reihen. Auch bei der Untersuchung desVerhaltens von Systemen ist die exponentielle Form geeigneter als die trigonometrische.Aus diesem Grund wird der exponentiellen Form der Vorzug gegeben.

Beispiel 12 Als Beispiel berechnen wir die Fourierkoeffi zienten einer periodischen Recht-eckfunktion nach Abbildung 3.6.Die Berechnung des Gleichglieds (des Mittelwerts) ist

4s(t) = c0 + c1 sin(ω0t+ ϕ1) + c2 sin(2ω0t+ ϕ2) + ...+ ck sin(kω0t+ ϕk) + ...

wobei gilt ck =√A2k +B2k, tanϕk = Ak

Bkc0 = A0

2

5Die Schreibweise ~D weist in der komplexen Darstellung auf den Zeigercharakter der ”komplexen”Amplitude hin.


0

1

Rechtecksignal

Zeit t

s(t)

2 π 2π π π0

Abbildung 3.6: Rechteckschwingung

einfach: A0

2 = 12 . Die Länge der Periode beträgt T = 2π, die zugehörige Kreisfrequenz ist

also ω = 2πT = 1

Ak =1

π

∫ π/2

−π/2cos(kt)dt =

2

kπsin(

kπ

2) =

0 k gerade

2πk k = 1, 5, 9, 13, ...

− 2πk k = 3, 7, 11, 15, ...

Bk =1

π

∫ π/2

−π/2sin(kt)dt = 0

Beim Integrieren einer periodischen Zeitfunktion über eine Periode spielt keine Rolle,über welches Zeitintervall integriert wird, solange die Breite des Intervalls der Perioden-dauer entspricht. Außerdem braucht man nicht über einen Bereich zu integrieren, wo derIntegrand sicher Null ist. So kommen die Integrationsgrenzen −π2 und

π2 zustande, ob-

wohl man nach Einsetzen in die Formeln (3.11) bzw. (3.12) vielleicht 0 und 2π erwartenwürde.Für die Reihenentwicklung ergibt sich daher:

s(t) =1

2+

2

π

(cos t− 1

3cos 3t+

1

5cos 5t− 1

7cos 7t+ ...

)s(t) ist eine gerade Funktion, es treten daher in der Fourierreihe nur gerade Aufbaufunk-tionen, also Kosinusfunktionen auf.

Anmerkung 13 In der Schreibweise C cos(ωt + ϕ) ist die Amplitude definitionsgemäßpositiv und in der Reihenentwicklung treten daher auch nur positive Amplituden auf. Dieauftretenden negativen Vorzeichen der Reihenentwicklung des vorherigen Beispiels kannman leicht durch folgende Identität beseitigen

− cosα = cos(α− π) (3.25)

⇓

−1

3cos 3t =

1

3cos(3t− π) (3.26)

um die korrekte Darstellung der Reihe zu finden. In vielen Fällen ist man aber lediglichan der Amplitude der Spektrallinie interessiert und akzeptiert daher, dass der Koeffi zientnegative Werte annimmt.

Beispiel 14 Abbildung 14 zeigt die Fourierentwicklung, wenn die Reihe bei n = 1, 3 und Je mehr Elemente derFourierreihe man sum-miert, desto besser decktsich die Summe mit derursprünglichen Funktion.

25 abgeschnitten wird. Man beobachtet, dass auch für großes n ein Überschwingen an den


Unstetigkeitsstellen auftritt. Die Rechteckschwingung — ein Signal mit » Ecken« —wirddurch Kosinusfunktionen — Signale ohne » Ecken« — nachgebildet. Es überrascht dahernicht, dass die Reihendarstellung nicht exakt ist. Die Näherung ist aber für n → ∞ sogut, dass die Differenz der beiden Darstellungen die Energie Null hat.∫ T

0[f(t)− sn(t)]2dt→ 0 für n→∞.

Das Überschwingen verschwindet aber nicht, sondern erreicht für große n einen Wertvon 9%. Diese Erscheinung wird Gibbs’sches Phänomen genannt.

0

0

2

Rechtecksignal

Zeit ts(

t)

00

2

Rekonstruktion mit n = 1 Harmonischen

Zeit t

s(t)

00

2


Zeit t

s(t)

0

0

2


Zeit t

s(t)

2 π

2 π

2 π

2 π

π π

π

π

π

π

π

π

π

2π

2π

2π

2π

Fourierzerlegung fur verschiedene n

Beispiel 15 Als nächstes Beispiel betrachten wir die periodische Impulsfunktion mit derPeriodendauer T

s(t) =

A 0 < t ≤ τ0 τ < t ≤ T (3.27)

Wir erhalten die Fourierzerlegung

s(t) = Aτ

T+

∞∑k=1

[A

sin(kω0τ)

kπcos (kω0t) + 2A

sin2(kω0τ/2)

kπcos (kω0t)

](3.28)

ω0 =2π

T(3.29)

Beim Tastverhältnis 1 : 1 (Rechteckschwingung) verschwindet die 2., 4., 6., ... Oberschwin-gung, beim Verhältnis 1 : 4 verschwindet die 4., 8., 12., ..., beim Verhältnis 1 : 5 die5., 10., 15., ..., bei 1 : 10 die 10., 20., 30., ... Oberschwingung.Lässt man τ → 0 gehen, dann werden aus den Rechteckimpulsen Diracimpulse δ0(t)(Aτ ≡ 1) und wir erhalten

s0(t) =1

T+

2

T

∞∑k=1

cos (kω0t) =1

T

∞∑k=−∞

ejkω0t (3.30)


3 2 1 0 1 2 31

0.5

0

0.5

1

s(t)

Zeit t

Abbildung 3.7: Dreieckschwingung

Das Signal s0(t), das aus Diracimpulsen im Abstand T besteht, wird Kammfunktion ge-nannt. Das Spektrum einer Kammfunktion ist wieder eine Kammfunktion und enthältalle ganzzahligen Vielfachen von ω0 von 0 bis ∞!

Beispiel 16 Als weiteres Beispiel geben wir die Fourierentwicklung für eine Dreieck-schwingung nach Abbildung 3.7 an.In diesem Beispiel ist die Länge der Periode T = 2und daher ω = 2π

2 = π. Der Mittelwert von s(t) = 0. Die Funktion ist ungerade, esentfallen daher die Kosinusanteile. Das Signal lässt sich darstellen

s(t) =

2t |t| ≤ 1

22(1− t) 1

2 < t ≤ 32 t

bk =

∫ 1/2

−1/2

2t sin(kπt)dt+

∫ 3/2

1/2

2(1− t) sin(kπt)dt =

=8

k2π2sin

(kπ

2

)=

0 k gerade

8k2π2 k = 1, 5, 9, 13, ...

− 8k2π2 k = 3, 7, 11, 15, ...

s(t) =8

π2

(sinπt− 1

9sin 3πt+

1

25sin 5πt− 1

49sin 7πt+ ...

)Der Vergleich der Amplitudenspektren der Rechteck- und der Dreieckschwingung

zeigt, dass die Amplituden der Oberschwingungen der Dreieckschwingung schneller ab-klingen als die der Rechteckschwingung. Die Rechteckschwingung hat einen höherenOberschwingungsanteil, braucht also mehr Frequenzbandbreite, da mehr Schwingungenerforderlich sind, um den steilen Anstieg der Flanken » nachzuzeichnen«.

Anmerkung 17 Rechteckschwingungen treten in digitalen elektronischen Schaltkreisenauf und haben einen hohen Oberschwingungsanteil. Bei hohen Taktfrequenzen könnendiese Oberschwingungen abstrahlen und elektromagnetische Interferenzen erzeugen, diezu Störungen benachbarter Geräte führen können.

Um zu einer zusätzlichen Sicht der Zusammenhänge zwischen Zeit- und Frequenzbe-reich zu gelangen, betrachten wir die Fourierreihe aus einem anderen Blickwinkel. Wirgehen dazu von der Darstellung eines Signals mit der Periodendauer T = 2π/ω0 in kom-plexer Schreibweise aus (wir wissen, dass sich das Signal s(t) durch die folgende Summedarstellen lässt):

s(t) =

+∞∑k=−∞

~Dkejkω0t (3.31)


Die einzigen Unbekannten sind hier die Fourierkoeffi zienten ~Dk. Um eine von ihnen(die m-te) auszurechnen, multiplizieren wir (3.31) mit e−jmω0t

s(t)e−jmω0t =

(+∞∑

k=−∞

~Dkejkω0t

)e−jmω0t =

+∞∑k=−∞

~Dkej(k−m)ω0t (3.32)

Integrieren wir nun über die Periodendauer T der periodischen Schwingung, so erhal-ten wir

∫T

s(t)e−jmω0tdt =

∫T

(+∞∑

k=−∞

~Dkej(k−m)ω0t

)dt (3.33)

Da das Integrieren linear ist, können wir das Integral in die Summe schreiben und dieKonstanten ~Dk vor das Integral ziehen. Wir erhalten

∫T

s(t)e−jmω0tdt =

+∞∑k=−∞

~Dk

∫T

ej(k−m)ω0tdt (3.34)

Der » Trick« hinter dem Ganzen ist, dass wegen∫T

ej(k−m)ω0tdt =

T für k = m0 für k 6= m

(3.35)

alle Summanden bis auf einen (den m-ten) Null werden. Die ganze rechte Seite von(3.34) reduziert sich also auf ~DmT . Wir erhalten so für den m-ten Fourierkoeffi zienten

~Dm =1

T

∫T

s(t)e−jmω0tdt, m = 0,±1,±2, ... (3.36)

Um zu einer physikalischen Interpretation der Zusammenhänge zu kommen, gehenwir von Abbildung 3.8 aus, die einige Zeiger (D1,D−2und D+n) von s(t) zeigt, die mitunterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten kω0 rotieren. Die Summe aller rechts- undlinksdrehenden Zeiger ergibt die Funktion s(t).Möchte man ~Dk einer Frequenzkomponente bestimmen, dreht man das ganze Zeiger-Wenn man einen rotie-

renden Zeiger ”anhalten”möchte, rotiert man dasganze Diagramm mit derselben Geschwindigkeit indie Gegenrichtung.

diagramm mit kω0 in Gegenrichtung, multipliziert also mit e−jkω0 . Dadurch » steht« diebetrachtete Komponente, während sich alle anderen Komponenten mit Vielfachen vonω0 drehen. Bildet man nun den Mittelwert über die Periode T , so ergibt sich ~Dk für dieseKomponente. Für die anderen —sich drehenden Komponenten —ist der Mittelwert Null,da der Mittelwert einer Kreisfunktion über Vielfache ihrer Periode Null ist.

3.3.2 Numerische Berechnung der Fourierkoeffi zienten

Häufig liegen Signale nicht in analytischer Form vor oder lassen sich nur schwer ana-lytisch darstellen. In diesen Fällen kann man die Fourierkoeffi zienten durch numerischeBerechnung des Integrals (3.37) ermitteln.

~Dk =1

T

∫T

s(t)e−jkω0tdt, k = 0,±1,±2, ... (3.37)

Zur Berechnung des Integrals (der Fläche) zerlegen wir die Fläche in rechteckige Strei-fen im Abstand Ts. Bei der Periodendauer T erhalten wir dadurch N = T/Ts Streifen,die summiert werden müssen.


Abbildung 3.8: Signal in Zeigerdarstellung

~Dk =1

T

∫T

s(t)e−jkω0tdt, k = 0,±1,±2, ... = (3.38)

= limTs→0

1

T

N−1∑n=0

s(nTs)e−jkω0nTsTs (3.39)

Mit den Abkürzungen Ω0 = ω0Ts und N = T/Ts erhalten wir

~Dk = limTs→0

1

N

N−1∑n=0

s(nTs)e−jkΩ0n (3.40)

Für praktische Berechnungen können wir Ts beliebig klein, aber nicht Null machen,was bedeutet, dass bei der numerischen Berechnung des Integrals immer ein Fehler auf-treten wird. Wenn wir diesen Fehler ignorieren, erhalten wir für die Fourierkoeffi zienten

~Dk =1

N

N−1∑n=0

s(nTs)e−jkΩ0n (3.41)

Je größer N gewählt wird, d.h. je schmäler die rechteckigen Streifen werden, destokleiner ist der Fehler der numerischen IntegrationDurch Einsetzen sehen wir, dass ~Dk+N = ~Dk, was bedeutet, dass das Spektrum ~Dk

sich mit der Periodendauer N wiederholt! Die Beziehung nach Gleichung (3.41) nenntman diskrete Fouriertransformation (DFT), die noch genauer behandelt wird. Die DFT Bei der DFT werden

die Fourierkoeffi zientennumerisch berechnet.

liefert die Koeffi zienten ~Dk für n ≥ 0 bis n = N/2. Die Koeffi zienten oberhalb von N/2sind wegen der Periodizität des Spektrums ~Dk+N = ~Dk die Koeffi zienten der negativenFrequenzen. Für N = 64 ist daher ~D33 = ~D−31, ~D34 = ~D−30, ..., ~D63 = ~D−1.Ein besonders effi zienter Algorithmus zur Berechnung der Gleichung (3.41) ist die Fast

Fourier Transformation (FFT), für dieN eine Potenz von Zwei —N = 2m, m...ganzzahlig—sein muss.

Anmerkung 18 Die Verwendung der Begriffe DFT und FFT führt oft zu Verwirrung.Während die DFT ganz abstrakt die » numerische Berechnung der Fourierkoeffi zienten«bezeichnet, steht die FFT für einen konkreten Algorithmus, der vorschreibt, wie dieKoeffi zienten berechnet werden. Die FFT kann man also als eine Implementierung derDFT ansehen. In der Umgangssprache bezeichnen diese zwei Begriffe meistens eine unddie selbe Sache.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

| s inus| periodisch

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

Betragsspektrum

0 1 2 3 4 5 6 7 8 95

0

5

Phasenspektrum

Abbildung 3.9: Spektrum von |sin(t)|

Beispiel 19 Als Beispiel berechnen wir die Fourierkoeffi zienten der gleichgerichteten Si-nusschwingung s(t) = |sinω0t| mit Hilfe von Matlab. Wir berechnen die Werte von s(t)beginnend bei t = 0, den letzten Wert entnehmen wir an der Stelle t = T −Ts. (Der letzteWert ist nicht an der Stelle T, da dieser Wert identisch mit dem Wert an der Stelle t = 0ist, die neue Periode beginnt an der Stelle t = T.)

N=256;t=linspace (0,1,(N+1));t=t([1:N]);s=abs(sin(pi*t));subplot (311), plot(t,s), xlabel ’|sinus| periodisch’d=fft(s)/N; % komplexes SpektrumdMag=abs(d); dPhase=angle(d);M=10; % Fourierkoeffizienten von M Spektralliniend0=dMag(1); dM=2*dMag(2:M); % Umrechnen auf einseitiges SpektrumcMag=[d0,dM]; cPhase=dPhase(1:M);subplot (312), stem((0:(M-1)),cMag), xlabel ’Betragsspektrum’;subplot (313), stem((0:(M-1)),cPhase), xlabel ’Phasenspektrum’;N=256;

Abbildung 3.9 zeigt die Zeit- und Frequenzbereichdarstellung. Aus einer Formelsamm-lung erhalten wir die Fourierzerlegung der gleichgerichteten Sinusschwingung (T = π,ω = 2π/T = 2)

s(t) =2

π− 4

π(cos 2t

1.3+

cos 4t

3.5+

cos 6t

5.7+ ...) = (3.42)

= 0.6366− 0.4244 cos 2t− 0.0849 cos 4t− 0.0364 cos 6t+ ... (3.43)

Vergleich der analytischen und numerischen Lösung


1 0.5 0 0.5 10

0.5

1

t2 periodisch

0 5 10 150

0.5

Betragsspektrum

0 5 10 152

0

2x 10 15

Phasenspektrum

Abbildung 3.10: Spektrum von s(t) = t2

Beispiel 20

Betrag (FFT) Phase (FFT) Betrag (Reihe) Phase (Reihe)0.6366 0 0.6366 00.4244 3.1416 0.4244 π0.0849 3.1416 0.0849 π0.0364 3.1416 0.0364 π0.0202 3.1416 0.0202 π0.0129 3.1416 0.0129 π0.0089 3.1416 0.0089 π0.0065 3.1416 0.0065 π

0.0050 −3.1416 0.0050 π , −π60.0040 3.1416 0.0039 π

Beispiel 21 Als weiteres Beispiel berechnen wir das Spektrum der periodischen Para-belfunktion nach Abbildung 3.10 auf numerischem Weg.Durch analytische Berechnungerhalten wir

s(t) =1

3− 4

π2

(cosπt− 1

22cos 2πt+

1

32cos 3πt− 1

42cos 4πt+ . . .

)= (3.44)

=1

3+

4

π2

[cos (πt− π) +

1

4cos 2πt+

1

9cos (3πt− π) t+

1

16cos 4πt+ . . .

](3.45)

=1

3+

∞∑k=1

(−1)k4

k2π2cos(kπt) (3.46)

Wir sehen einen scheinbaren Widerspruch zwischen der numerischen Berechnung, diefür die Phase der Spektrallinien Null (< 10−15) liefert, während bei der analytischen Be-rechnung die Phase der Spektrallinien abwechselnd −π und Null ist.Werten wir die analytische Berechnung aus und summieren die ersten 16 Frequenzkom-ponenten, dann erhalten wir Abbildung 3.11.Abbildung 3.11 (a) liefert die Synthese nach(3.44).Abbildung 3.11 (b) stellt die periodische Funktion s(t) = (1 − t)2 dar und unterscheidetsich von Abbildung (a) lediglich durch die Zeitverschiebung. Das Spektrum der periodi-schen Funktion (1− t)2 ist s(t) = 1

3 +∑∞k=1

4k2π2 cos(kπt), die Kosinusfunktionen haben

die Phase Null. Diese Lösung haben wir auch bei der numerischen Berechnung gefunden.


0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1(a)

0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1(b)

Abbildung 3.11: Freqenzsynthese der periodischen Funktion t2 für −1 ≤ t ≤ 1

Abbildung 3.12: Aperiodisches Signal periodisch fortgesetzt

3.3.3 Die Fouriertransformation

Wir haben die Darstellung im Frequenzbereich durch Entwicklung einer periodischenFunktion in eine Fourierreihe eingeführt. Periodische Funktionen sind theoretische Kon-strukte, die bei tatsächlichen Signalen nicht auftreten können, da jedes praktische Signalendliche Dauer hat.Zur mathematischen Darstellung des endlichen (= aperiodischen) Signals f(t) erzeu-Beim Berechnen der Fou-

riertransformation stel-len wir uns eine aperi-odische Funktion als eineperiodische funktion mitunendlich großer Periodevor.

gen wir ein neues Signal fT (t), indem wir f(t) in Intervallen von T wiederholen und damitdie aperiodische Funktion periodisch machen. Dieses periodische Signal fT (t) können wirin eine Fourierreihe zerlegen. Lassen wir nun die Periodendauer gegen unendlich gehen(T →∞) erhalten wir daraus unser endliches, aperiodisches Signal

limT→∞

fT (t) = f(t) (3.47)

Abbildung 3.12 stellt diesen Zusammenhang graphisch dar.Wenn wir die Periodendauer T verdoppeln, wird die Grundfrequenz ω0 der Reihenent-

wicklung halbiert, es entstehen daher doppelt so viele Spektrallinien wie vorher. Gleich-zeitig wird Einhüllende des Spektralfunktion 1

T F (ω) entsprechend kleiner.Weiteres Ver-


doppeln führt wiederum zu eine höheren Zahl von Spektrallinien mit niedriger Amplitude,wobei die Form der Einhüllenden F (ω) gleich bleibt. Schließlich wird das Spektrum sodicht, dass der Abstand zwischen den Spektrallinien infinitesimal klein wird und die Am-plitude der entsprechenden Spektrallinie infinitesimal Null wird. Wir erhalten nichts vonallem und haben doch etwas!Führen wir diesen Grenzübergang durch, dann erhalten wir nach einer Reihe von

Rechenschritten

f(t) =1

2π

∞∫−∞

F (ω)ejωtdω (3.48)

Gleichung (3.48) nennt man Fourierintegral. Ein aperiodisches Signal lässt sich mitdem Fourierintegral (im Gegensatz zur Fourierreihe beim periodischen Signal) darstellen.Zum Unterschied von der Fourierreihe, bei der diskrete Spektrallinien ~Dk auftreten

s(t) =

+∞∑k=−∞

~Dkejkω0t,

tritt bei der Fouriertransformation ein kontinuierliches7 Spektrum F (ω) auf, wobeiF (ω) in der Regel komplex ist8 . F (ω) ist eine Spektraldichtefunktion, wird aber meistenskurz als Spektrum bezeichnet.Wir fassen die Darstellung aperiodischer Signale im Zeit- und Frequenzbereich zu-

sammen

F (ω) =

∞∫−∞

f(t)e−jωtdt (3.49)

f(t) =1

2π

∞∫−∞


(3.49) wird direkte, (3.50) wird inverse Fouriertransformation genannt. Die FunktionF (ω) nennt man die Fouriertransformierte von f(t).Bei aperiodischen Signalen treten keine Spektrallinien auf, sondern eine Spektraldich- Bei der Fouriertrans-

formation einer ape-riodischen Funktionwerden ”Spektrallinienunendlich dicht anein-andergedrückt.”

tefunktion, d.h. die » Spektrallinien« sind in infinitesimalem Abstand und das Spektrumerstreckt sich immer von −∞ bis ∞.

Beispiel 22 Als Beispiel der Anwendung der Fouriertransformation berechnen wir dasSpektrum eines rechteckigen Impulses nach Abbildung 3.13.

F (ω) =

∫ τ/2

−τ/2e−jωtdt = − 1

jω

(e−jωτ/2 − ejωτ/2

)=

2 sin(ωτ2

)ω

= τsin(ωτ2

)(ωτ2

) = τsinc(ωτ

2

)Diese Funktion wird sinc-Funktion9 genannt. Die Si-Funktion erstreckt sich von −∞ <ω <∞. Das Spektrum des Rechtecksignals der Abbildung 3.13 ist reell. Der Si-Funktionwerden wir noch öfter begegnen.

7Kontinuierliche Spektren sind aus der Physik bekannt, weißes Licht setzt sich z.B. aus den Spektral-farben des Regenbogens zusammen.

8Weist jedem ω eine komplexe Zahl zu.9 In der deutschsprachigen Literatur wird diese Funktion Si-Funktion oder Spaltfunktion genannt. Wir

verwenden wie in Matlab die Bezeichnung sinc-Funktion.


00

1Rechtecksignal

f(t)

Zeit t

0

sinx/x Funktion

F(ω

)ω

τ/2 τ/2

τ

2π/τ 8π/τ4π/τ 6π/τ2 π/τ4 π/τ6 π/τ8 π/τ

0

Abbildung 3.13: Rechteckimpuls im Zeit- und Frequenzbereich

Abbildung 3.14: Einheitsimpuls im Zeit- und Frequenzbereich

Beispiel 23 Wir berechnen die Fouriertransformierte des Einheitsimpulses10 :

Fδ0(t) = F (ω) =

∞∫−∞

δ(t) e−jωt︸︷︷︸=1 für ω=0

dt = 1

δ0(t)⇐⇒ 1

Abbildung 3.14 stellt den Einheitsimpuls im Zeit- und im Frequenzbereich dar. Die Im-pulsfunktion ist keine echte Funktion und beschreibt keine eindeutige Funktion. Wir sehenan diesem Beispiel, dass lediglich die Wirkung der Impulsfunktion auf eine andere Funk-tion —e−jωt —untersucht wird.

Anmerkung 24 Das Spektrum der Impulsfunktion enthält alle Frequenzen von −∞ bis∞, deren Amplitude ist für alle Frequenzen gleich ist. Im Impuls » stecken« also Frequen-zen. Diese Eigenschaft macht die Impulsfunktion für die Untersuchung von Systemen austheoretischer Sicht so bedeutend. Legt man an den Eingang eines Systems einen Impulsan, so wird dieses System gleichzeitig mit allen Frequenzen angeregt.Aus messtechnischer Sicht ist der Impuls weniger geeignet, er müsste die Amplitude ∞haben, was technisch nicht möglich ist. Für messtechnische Zwecke ist die Sprungfunktionδ−1(t) besser geeignet.

10Siehe Abschnitt 2.2: Elementarfunktionen


0 10 20 30 40 500

0.5

Betragsspektrum

0 10 20 30 40 50200

100

0

Phasenspektrum

0 1 2 3 4 51

0

1

Zeitfunktion

Abbildung 3.15: Betrags-, Phasenspektrum und Zeitfunktion von s(t) = δ−1(t)e−t sin 10t

3.3.4 Eigenschaften der Fouriertransformation

Einige Transformationsbeziehungen

s(t) S(ω)

1 δ−1(t)e−at 1

a+jωa > 0

2 δ0(t) 1

3 1 2πδ0(ω)

4 ejωt 2πδ0(ω − ω0)

5 cosω0t π[δ0(ω − ω0) + δ0(ω + ω0)]

6 sinω0t jπ[δ0(ω + ω0)− δ0(ω − ω0)]

7 δ−1(t) πδ0(ω) +1jω

8 δ−1(t) cosω0tπ2[δ0(ω − ω0) + δ0(ω + ω0)] +

jωω20−ω2

9 δ−1(t) sinω0tπ2j[δ0(ω − ω0)− δ0(ω + ω0)] +

ωω20−ω2

10 δ−1(t)e−at cosω0t

a+jω(a+jω)2+ω20

a > 0

11 δ−1(t)e−at sinω0t

ω0(a+jω)2+ω20

a > 0

Die Transformationsbeziehung (2) zeigt, dass das Spektrum des Dirac-Impulses kon-stant ist, d.h. alle Frequenzen treten mit gleicher Amplitude auf.Die Transformationsbeziehung (3) zeigt, dass der Dirac-Impuls im Frequenzbereich

(δ0(ω) ist ein » Impuls« bei ω = 0) einem konstanten Signal im Zeitbereich entspricht,das sich von −∞ bis∞ erstreckt. Aus (2) und (3) kann man auch gut die Symmetrie derFouriertransformation erkennen.(5) und (6) zeigt die Spektrallinien des Sinus bzw. Kosinus bei den positiven und

negativen Frequenzen ω0. Konsequenterweise liefert (4) nur die Spektrallinie bei ω0.Bekanntlich ist cos(ω0t) = 1

2 (ejω0t + e−jω0t), wir erhalten das Spektrum entsprechenddurch Verwendung von (4).Abbildung 3.15 zeigt Zeit- und Frequenzdarstellung der eingeschalteten, abklingenden

Sinusfunktion. Die Fouriertransformation ist symmetrisch11 , der Betrag von F (ω) ist eine

11Unter der Annahme reeller Zeitfunktionen, die bei technischen Signalen immer erfüllt ist.


0 20 40 60 80 1000

0.5

1

Zeitachse t S(t) = s(t)

0 20 40 60 80 1000

0.5

1

Zeitachse verkürzt S(t) = s(2t)

0 20 40 60 80 1000

0.5

1

Zeitachse gestreckt S(t) = s (t/2)

Abbildung 3.16: Skalierung der Zeitachse

gerade Funktion, die Phase von F (ω) ist eine ungerade Funktion.

3.3.5 Operationen mit Signalen im Zeit- und Frequenzbereich

Zeitskalierung

Abbildung 3.16 zeigt ein Signal mit normaler Zeitachse s(t), mit verkürzter Zeitachses(2t) und mit gedehnter Zeitachse s(t/2).

Wird das Signal s(t) auf Band aufgezeichnet und dann wiedergegeben, dann entsprichts(2t) der doppelten Abspielgeschwindigkeit, s(t/2) der halben Abspielgeschwindigkeit.Allgemein schreiben wir

s(kt) bzw. s(t

k) (3.51)

Im Frequenzbereich erhalten wir

s(kt)⇔ 1

|k|S(ωk

)(3.52)

Abspielen eines Signals in der halben Zeit entspricht der Verdoppelung der Frequenz,bzw. Abspielen in der doppelten Zeit entspricht der Halbierung der Frequenz.


Abbildung 3.3.5 zeigt das Signal s(t) und das nach rechts verschobene — verzögerte —Signal s(t− T ). Positives T bewirkt eine Verschiebung nach rechts (zeitlich nach vorne),negatives T bewirkt eine Verschiebung nach links (zeitlich zurück).


0 10 20 30 40 50 60 700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

s ( t)

T

s ( t T)



s(t− T )⇔ S(ω)e−jωT (3.53)

Die Verschiebung im Zeitbereich ändert das Amplitudenspektrum nicht, das Phasen-spektrum wird um den Betrag−ωT verschoben. Beachten Sie das die Frequenzkomponen-ten proportional zur Phase (linear mit der Phase) verschoben werden. Diese Eigenschafthat Bedeutung bei der Signalfilterung (Filter mit linearer Phase), die später behandeltwird.

Zeitspiegelung

Abbildung 3.3.5 zeigt das Signal s(t)mit gespiegelter Zeitachse s(−t) bzw. mit Skalierungk = −1.

50 0 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

s ( t)

50 0 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

s ( t)

Zeitumkehr

Verschiebung im Frequenzbereich

Auch bei der Verschiebung im Zeitbereich kann man die Symmetrie der Fouriertransfor-mation gut erkennen.

s(t)ejω0t ⇔ S(ω − ω0) (3.54)

ejω0t ist keine reelle Zeitfunktion und kann daher nicht erzeugt werden. Die Verschie-bung im Frequenzbereich wird daher praktisch durch Multiplikation mit einer sinusoida-len Funktion erzeugt


s(t) cosω0t =1

2

[s(t)ejω0t + s(t)e−jω0t

](3.55)

s(t) cosω0t⇔1

2[S(ω − ω0) + S(ω + ω0)] (3.56)

Anmerkung 25 Die Beziehung s(t) cosω0t tritt in der Nachrichtentechnik als Ampli-tudenmodulation auf. Ein Signal im Basisband (z.B. Sprachsignal beim Kurzwellenfunk)wird in eine anderen Frequenzbereich (ω0) verschoben. Durch Wahl unterschiedlicherFrequenzen ω0, den sogenannten Trägerfrequenzen, ist es möglich mehrere Basisbändernebeneinader im Frequenzbereich unterzubringen (Frequenzmultiplex). Beachten Sie, dassdurch die Verschiebung um ω0, die negativen Frequenzen des Basisbandsignals zu posi-tiven Frequenzen werden und auch physikalisch auftreten, man spricht vom unteren undoberen Seitenband.

Faltung im Zeit- und Frequenzbereich

Wie wir bereits gesehen haben, ist die Faltung folgendermaßen definiert:

f(t) ∗ g(t) =

∫ ∞−∞

f(τ)g(t− τ)dτ =

∫ ∞−∞

f(t− τ)g(τ)dτ


f(t) ∗ g(t)⇔ F (ω)G(ω) (3.57)

f(t)g(t)⇔ 1

2πF (ω) ∗G(ω) (3.58)

Aus der Faltung im Zeitbereich wird die Multiplikation im Frequenzbereich, aus derFaltung im Frequenzbereich wird die Multiplikation im Zeitbereich. Aus diesem Zusam-menhang wird auch klar, dass die Bandbreite B des Produkts von zwei Signalen f(t) undg(t), gleich der Summe der Bandbreiten Bg +Bf ist.

3.3.6 Frequenz und Zeit —Unschärfeprinzip

Es gehört zu den wichtigsten Erkenntnissen der Physik, dass bestimmte Größen nichtunabhängig voneinander gemessen werden können. Dazu gehört auch die Messung vonZeit und Frequenz:Je kürzer die Zeitdauer ∆t eines Signals, desto breiter wird sein Frequenzband ∆f ,

je schmäler das Frequenzband ∆f eines Signals, desto länger muss die Zeitdauer ∆t desSignals sein.

• Ein langer Sinuston (ein paar Sekunden) klingt wie erwartet.

• Kürzt man die Zeitdauer des Sinustons und erzeugt Sinus-Bursts, geht der Klangvon einem Sinuston in ein Knattern über.

• Je kürzer die Zeitdauer des Bursts, desto breiter wird sein Spektrum.

Wir müssen aber noch festlegen, was wir unter Bandbreite verstehen.Die Bandbreite des Signals geht zwar gegen ∞, der Amplitudenverlauf geht aber sehrschnell gegen Null, sodass dieser Teil des Frequenzbandes vernachlässigbar ist. Für Mess-zwecke können wir als Bandbreite z. B. als die halbe mittlere Breite des Hauptmaximumsbezeichnen.

• Wenn wir die Zeitdauer ∆t halbieren, so verdoppelt sich die Bandbreite∆f . ∆t uns∆f verhalten sich also umgekehrt proportional ∆t = k ×∆f oder ∆f ×∆t = k.


4 2 0 2 41

0.5

0

0.5

1Zeitbereich

τ

10 5 0 5 101

0

1

2

3Spektrum

f

1 0.5 0 0.5 11

0.5

0

0.5

1Zeitbereich

τ

10 5 0 5 100.2

0

0.2

0.4

0.6Spektrum

f

Abbildung 3.17: Spektrum Kosinusburst f0 = 3, τ = 2 und τ = 0.5

Zur Berechnung von k untersuchen wir eine zeitlich begrenzte Kosinusfunktion mitder Amplitude A = 1

f(t) =

cosω0t −τ ≤ t ≤ τ

0 |t| > τ(3.59)

Wir wissen von der Fouriertransformation, dass bei zeitbegrenzten Signalen ein Dich-tespektrum und keine diskreten Spektrallinien auftreten. Es kann daher die in Gleichung(3.59) auftretende Kreisfrequenz ω0 nicht als diskrete Spektrallinie auftreten!Wir berechnen die Dichtefunktion von (3.59). Da f(t) eine gerade Funktion ist, können

wir F (ω) =∫∞−∞ f(t)e−jωtdt⇒

∫∞−∞ f(t) cos (ωt) dt vereinfachen und erhalten

F (ω) =

∞∫−∞

f(t) cos(ωt)dt =

τ∫−τ

cos(ω0t) cos(ωt)dt = (3.60)

=1

2

τ∫−τ

cos [(ω0 − ω)t] + cos [(ω0 + ω)t] dt = (3.61)

=1

2

[sin [(ω0 − ω)t]

ω0 − ω+

sin [(ω0 + ω)t]

ω0 + ω

]τ−τ

= (3.62)

=

[sin [(ω0 − ω)τ ]

ω0 − ω+

sin [(ω0 + ω)τ ]

ω0 + ω

](3.63)

f(t) und F (ω) sind in Abbildung 3.17 dargestellt und zeigen Kosinusbursts der Kreis-frequenz ω0 = 3, einmal mit der Länge τ = 2 und einmal mit der Länge τ = 0.5. Die Null-durchgänge des Spektrums errechnen sich aus den Nulldurchgängen der Sinus-Funktionsin[(ω − ω0)τ ] = 0 ⇒ (ω − ω0)τ = nπ, für n = (0), 1, 2, ... An der Stelle ω → ω0 wirdF (ω0) = τ , die Nullstellen von F (ω) liegen, von ω0 ausgehend, in den Abständen π/τ .Wir erkennen deutlich, dass die Spektraldichte im Bereich von ω0 = 3 größer wird.

Je länger die Zeitdauer τ des Kosinusbursts, desto näher rücken die die Nullstellen zu-sammen und desto besser entspricht der Burst der kontinuierlichen Kosinusschwingung.Im Grenzfall τ →∞ ⇒ ∆ω → 0 erhalten wir die kontinuierliche Kosinusschwingung mitdem Spektrum F (ω)→ δ0(ω − ω0), also eine Spektrallinie.Wir können aus Abbildung 3.17 erkennen, dass das Spektrum, d.h. die » Frequenz«

einer zeitlich begrenzten Kosinusfunktion —unscharf —ist. Bezeichnen wir die Breite derHauptkeule der Funktion in Abbildung 3.17 als Spektrum, so erhalten wir ∆ω = 2πτ ,bzw. ∆f = 1

τ . Die Zeitdauer der Kosinusschwingung beträgt ∆t = 2τ . Damit erhaltenwir für den Zusammenhang zwischen Frequenz und Zeitdauer die Beziehung ∆f×∆t = 2


Nimmt man einen Sinus-Burst mit Gauß-Funktion als Einhüllende und misst man∆t auf halber Amplitudenhöhe im Zeitbereich, ∆f auf halber Amplitudenhöhe im Fre-quenzbereich (das Spektrum hat ebenfalls eine Gauß-Verteilung), dann wird ∆t×∆f = 1Das Unschärfeprinzip in der Nachrichtentechnik wird daherUnschärfeprinzip in der

Nachrichtentechnik∆t×∆f ≥ 1 ∆f ×∆t ≥ 1 (3.64)

Anmerkung 26 Je kürzer die Zeitdauer ∆t eines Signals desto breiter ∆f wird seinSpektrum; umgekehrt gilt, je schmäler das Spektrum, desto länger die Zeitdauer des Si-gnals. Zeitdauer und Spektrum sind untrennbar verbunden, Zeit und Frequenz könnennicht unabhängig voneinander gemessen werden.

3.3.7 Numerische Berechnung der Fouriertransformation

Wenn sich die Transformation F (ω) =∞∫−∞

f(t)e−jωtdt nicht analytisch berechnen lässt,

muss das Spektrum numerisch berechnet werden. Da unsere Zeitsignale sich nur von 0bis T erstrecken (außerhalb dieses Intervalls werden sie als Null definiert), können wirdie Integrationsgrenzen anpassen.

F (ω) =

T∫0


F (ω) ≈N−1∑n=0

f(n∆t)e−jωn∆t∆t t→ n∆t, ∆t =T

N(3.66)

∆t (bzw. die Zahl der Werte N) muss so gewählt werden, dass die gewünschte Ge-nauigkeit bei der numerischen Integration erreicht wird.Wir tasten das Signal f(t) mit fabtast = 1

∆t ab und nehmen an, dass die Spektral-komponenten des Signals oberhalb der halben Abtastfrequenz |ω| ≥ ωmax = 1

2ωabtastvernachlässigbar sind. Das Zeitsignal setzt sich dann aus seinen spektralen Komponen-ten wie folgt zusammen

f(n∆t) =1

2π

ωmax∫−ωmax

F (jω)ejωn∆tdω (3.67)

Unter Verwendung der DFT erhalten wir

F (k∆ω) ≈ ∆t

N−1∑n=0

f(k∆t)e−jk∆ωn∆t (3.68)

∆ω =1

N2π

1

∆t(3.69)

F (n∆ω) ≈ ∆t

N−1∑n=0

f(k∆t)e−j2πN kn (3.70)

Die Fouriertransformierte einer nichtperiodischen Funktion f(t) kann also numerischmit Hilfe der DFT berechnet werden

F (k∆ω) =

1fa b t a s t

F [k] k < N/2

0 k ≥ N/2 (3.71)

wenn das Signal mit fabtast = 1∆t = T

N abgetastet wird und die Spektralkomponentenbei Frequenzen größer als N

2T vernachlässigbar sind.

3.4. GRÖSSE VON SIGNALEN (ENERGIE UND LEISTUNG) 43

3.4 Größe von Signalen (Energie und Leistung)

Um die » Größe« eines Signals zu erfassen, wird man sowohl die Amplitude als auch dieDauer berücksichtigen müssen. Das zunächst naheliegende Maßder Fläche des Signals istungeeignet, da sich positive und negative Signalflächen aufheben können. Die Verwendungdes Betrages ist aus mathematischer Sicht nicht sehr praktisch, daher definiert man dieSignalenergie

Es =

∫ ∞−∞

s2(t)dt bzw. Es =

∫ ∞−∞|s(t)|2 dt (3.72)

für reelle und komplexe Signale. Diese Definition liefert nur dann ein brauchbares Die Signalenergie ist dieFläche unter dem qua-drierten Betrag des Si-gnals.

Maß, wenn die Energie endlich ist. Das ist dann gegeben, wenn die Signalamplitudegegen Null geht, wenn |t| → ∞. Ist das nicht der Fall, dann liefert die Signalleistung,

Ps = lim︸︷︷︸T→∞

1

T

∫ T/2

−T/2s2(t)dt bzw. Ps = lim︸︷︷︸

T→∞

1

T

∫ T/2

−T/2|s(t)|2 dt (3.73)

der quadratische Mittelwert, ein brauchbares Maß. Die Wurzel daraus ist der Effek- Die Signalleistung einesZeitsignals ist die mittlereSignalenergie pro Zeit.

tivwert (root mean square - rms).

Anmerkung 27 Es muss darauf hingewiesen werden, dass die Begriffe Signalenergieund Signalleistung zwar ein Maßfür die Energie darstellen aber nicht die tatsächlicheSignalenergie sind. Erst wenn s(t) der Amplitudenverlauf eines elektrischen Stromes odereiner elektrischen Spannung an einem ohmschen Widerstand sind, kann man im physika-lischen Sinn von einer Energie sprechen. Konsequenterweise sind auch die Dimensionenvon Es und Ps nicht Joule und Watt, wir verwenden diese Begriffe lediglich zur Messungder Größe eines Signals.

3.5 Parseval’sches Theorem

Wir wissen, dass die Fourierentwicklung eines periodischen Signals durch die Beziehung

s(t) = C0 +

N∑k=1

Ck sin(ωkt+ ϕk) (3.74)

dargestellt werden kann. Selbstverständlich muss die Leistung des gesamten Signalss(t) gleich der Summe der Leistungen seiner spektralen Komponenten sein. Zur Berech-nung der Leistung eines periodischen Signals berechnet man die Energie pro Periode unddividiert sie durch die Periodendauer. Es ergibt sich für die Leistung einer (der k-ten)Spektralkomponente (zur Vereinfachung wird die Phase weggelassen)

Pk =1

T

∫T

(Ck sinωkt)2dt =

C2k

2T

∫T

(1− sin 2ωkt)dt = (3.75)

=C2k

2TT − C2

k

2T

∫T

sin(2ωkt)dt =C2k

2

Die Leistung eines sinusförmigen Signals ist unabhängig von der Frequenz und be- Die Leistung eines sinus-förmigen Signals ist gleichdem halben Quadrat sei-ner Amplitude. Sie hängtnicht von der Frequenz ab.

trägt C2k/2. Wir erhalten für die Leistung eines beliebigen periodischen Signals mit den

Fourierkoeffi zienten Ck

Ps = C20 +

1

2

∞∑k=1

C2k (3.76)


3.6 Zusammenfassung

In diesem Kapitel haben wir gezeigt, dass periodische Signale durch Überlagerung vonsinusförmigen Funktionen dargestellt werden können. Wir können ein Signal als Zeitfunk-tion oder als Summe von sinusförmigen Komponenten betrachten und gelangen dadurchzur Darstellung im Zeit- und im Frequenzbereich.Periodische Signale sind immer aus ganzzahligen Vielfachen der Grundschwingung

aufgebaut, im Frequenzbereich führt das zu Linienspektren. Signale, die aus sinusför-migen Schwingungen zusammengesetzt sind, deren Frequenzverhältnis nicht rational ist,sind keine periodischen Signale, haben aber ebenfalls ein Linienspektrum. Die Breitedes Spektrums hängt vom Signal ab, Linienspektren können endliche Breite haben oderkönnen sich von −∞ bis ∞ erstrecken.Signale sind in der Regel nicht periodisch, sondern haben endliche Dauer. Für die

Berechnung der Spektralkomponenten aperiodischer Signale wird die Fourierreihe zurFouriertransformation. Aus dem Linienspektrum der periodischen Signale wird das konti-nuierliche Spektrum der aperiodischen Signale. Das Spektrum eines aperiodischen Signalserstreckt sich immer von −∞ bis ∞.

Der Aufbau der Fourierreihe und der Fouriertransformation ist sehr ähnlich.

s(t) =

+∞∑k=−∞

Dkejkω0t ⇔ Dk = 1

T

∫T

s(t)e−jkω0tdt

f(t) = 12π

∞∫−∞

F (ω)ejωtdω ⇔ F (ω) =

∞∫−∞

f(t)e−jωtdt

Bei der Fourierreihe wird das Zeitsignal als Summe von diskreten komplexen Exponen-tialfunktionen ejkω0t mit den (komplexen) Amplituden Dk dargestellt. Bei der Fourier-transformation wird das Zeitsignal als Summe von unendlich vielen (Integral) komplexenExponentialfunktionen ejωt mit der (komplexen) Amplitudendichte F (ω) dargestellt.Die Amplitude der Frequenzkomponenten Dk des periodischen Signals errechnet man

aus dem Zeitsignal s(t) durch » Anhalten« des Zeigerdiagramms, indem man es mit derFrequenz der gesuchten Komponente in die entgegengesetzte Richtung e−jkω0t dreht undden Mittelwert (Integration) bildet. In ähnlicher Weise erhält man die » Frequenzkom-ponenten« F (ω) des aperiodischen Signals aus dem Zeitsignal f(t) durch » Anhalten«des Zeigerdiagramms, indem man es mit der Frequenz der gesuchten Komponenten indie entgegengesetzte Richtung e−jωt dreht und den Mittelwert (Integration) bildet. ZumUnterschied vom periodischen Signal liegen die » Spektrallinien« ∞ dicht nebeneinander,man erhält daher die Frequenzdichte F (ω).

Teil II

Ladungen und Ströme

45

47

Der folgende Text folgt dem Buch von D. Meschede » Gerthsen Physik«, 24. Auflage,Kapitel 7. Elektromagnetismus: Ladungen und Ströme, http://www.springerlink.com

48

Kapitel 4

Elektrostatik

Inhalt4.1 Elektrische Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3 Spannung und Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.5 Influenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.6 Energie der Ladungsverteilung im elektrischen Feld . . . . 554.7 Das elektrische Feld als Träger der elektrischen Energie . . 554.8 Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.8.1 Die Verschiebungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.8.2 Dielektrizitätskonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.8.3 Mechanismen der dielektrischen Polarisation . . . . . . . . . 574.8.4 Energiedichte des elektrischen Feldes im Dielektrikum . . . . 57

4.1 Elektrische Ladungen

Die Einfachheit der Grundgesetze der Elektrostatik darf nicht darüber hinwegtäuschen,dass sie Ergebnis jahrhundertelanger Beobachtungen sind. Schon den Griechen war vor2600 Jahren bekannt, das man mit Bernstein (altgriechisch ηλεκτρoν, elektron), der miteinem Tuch gerieben wurde, leichte Objekte (z.B. Papierschnipsel) anziehen kann.

Heute wissen wir, dass

1. es zwei Arten von Ladungen gibt. Wir nennen sie positive und negative Ladungen,da sie einander neutralisieren können.

2. die Ladung in einem abgeschlossenen System immer erhalten bleibt; es gibt immergleich viel positive und negative Ladungen.

3. die Ladung nur als ganzzahliges Vielfaches der Elementarladunge = (1.602 176 46± 6) · 10−19 C auftritt1 .

4. gleichnamige Ladungen einander abstoßen, ungleichnamige Ladungen einander an-ziehen.

5. die Kraft zwischen zwei Punktladungen die Richtung ihrer Verbindungslinie hat,proportional2 zum Produkt der Ladungen und verkehrt proportional zum Quadratdes Abstands ist.

1Die Fehlerangabe bezieht sich auf die letzte signifikante Stelle.2Die Größe der Proportionalitätskonstante ε0 hängt von der Wahl des Maßsystems ab. Wir verwenden

das Internationale System (SI).

49

50 KAPITEL 4. ELEKTROSTATIK

F =Q1Q2

4πεor2Coulomb’sches Gesetz

εo =107

4πc2= 8.854 187 817 · 10−12 As

Vm(Influenzkonstante)

c ... Lichtgeschwindigkeit

Die Reichweite des Coulomb’schen Gesetzes erstreckt sich von 0 bis ∞.3Auch die Gravitation hat eine ähnliche Abhängigkeit wie die elektrische Kraft.

F = Gm1m2

r2

G = (6.673± 10) · 10−21 Nm2

kg2

Es gibt aber keine positiven und negativen Massen und die Gravitationkraft ist vielkleiner als die elektrische Kraft. Vergleicht man die elektrischen und Gravitationskräftezwischen Elektron und Proton erhalten wir e2/ (4πεoGmemp) ≈ 1040 : Die elektrischeKraft ist 1040 mal größer als die Gravitationskraft!

6. die von Ladungen ausgehenden Kräfte additiv sind (Überlagerungsgesetz). Dabeiist allerdings zu beachten, dass Ladungen im allgemeinen verschiebbar sind.

4.2 Das elektrische Feld

Die Erfahrung zeigt, dass es Raumgebiete gibt, in denen elektrisch geladene KörperKräfte erfahren, die weder Nahewirkungskräfte (Stoß, Reibung, . . . ) noch Trägheits-oder Gravitationskräfte sind. Wir kennen zwei Arten derartiger Kräfte4 :

• Kräfte auf ruhende geladene Körper (Coulomb’sche Kräfte durch elektrische Felder)und

• Kräfte auf bewegte geladene Körper (Lorentz’sche Kräfte durch Magnetfelder)

Wird auf einen Körper mit der Ladung Q eine (elektrische) Kraft F ausgeübt, danndefinieren wir die elektrische Feldstärke am Ort des Körpers mit

E =F

Q

Die elektrische Feldstärke hat die Einheit [E] = NC bzw.

Vm .

Mit Hilfe einer Probeladung kann man den Raum abtasten und ermitteln, welcheKraft (Größe und Richtung) an jeder Stelle des Raums wirkt und damit den Vektor derelektrischen Feldstärke erhalten.Zur Veranschaulichung des Feldes bedient man sich der Darstellung durch Feldlinien5 .Elektrische Felder treten immer in der Umgebung von Ladungen auf. Zur Berechnung

der elektrischen Felder führt man den elektrischen Fluss Φ ein. Darunter versteht manalle Feldlinien, die durch eine geschlossene Oberfläche (vergleichbar mit dem Strom einerFlüssigkeit) treten:

φ =

∫∫A

E · dA

3 Im Atomkern (Abstände < 10−14) folgt die Wechselwirkung zwischen Elementarteilchen nicht mehralleine dem Coulombschen Gesetz.

4Maxwell hat 1864 die Theorie elektrischer und magnetischer Felder in geschlossene mathematischeForm gebracht.

5Siehe auch http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/elektfeld2.html

4.3. SPANNUNG UND POTENTIAL 51

Abbildung 4.1: Veranschaulichung des elektrischen Flusses

Der elektrische Fluss, der aus einer beliebigen geschlossenen Fläche tritt, ist propor-tional zur Gesamtladung (punktförmig oder verteilt), die innerhalb der geschlossenenFläche sitzt (Satz von Gauß):

φ =1

ε0Q

Aus der Flussregel folgt, dass Feldlinien nur in positiven Ladungen beginnen und innegativen enden können. Feldlinien, die von Ladungen innerhalb der Hüllfläche ausge-hen, müssen durch die einschließende Fläche treten, oder innerhalb der Fläche, auf denentgegengesetzten Ladungen, enden.Für einfache Anordnungen kann man damit sehr einfach die Feldstärke berechnen.

Beispiel 28 Legt man um eine Punktladung Q eine Kugel mit dem Radius r, dannmuss der Flußφ = Q/ε0 durch die Oberfläche A = 4πr2 gehen. Aus Symmetriegründenerhalten wir Φ = 4πr2E. Die elektrische Feldstärke ist daher

E =Q

4πε0r2

4.3 Spannung und Potential

Verschiebt man eine Ladung im elektrischen Feld muss die Arbeit

dW = −F · dr = −QE · dr

geleistet werden. Verschiebt man die Ladung zwischen zwei Punkten r1 und r2 desFeldes, dann beträgt die zu leistende Arbeit

W1,2 = −r2∫r1

F · d r = −Qr2∫r1

E · dr

Die Größe

U1,2 = −r2∫r1

E · dr

bezeichnen wir als Spannung zwischen den Punkten r1 und r2. Die Energie, die dieLadung Q aufnimmt, wenn sie von r1 nach r2 verschoben wird, beträgt daher ∆E =W1,2 = QU1,2.


Abbildung 4.2: Feldlinien (rot) und Potentialflächen (schwarz) zweier entgegengesetzterPunktladungen

Wenn die Verschiebungsenergie zwischen r1 und r2 unabhängig vom Weg von r1

nach r2 ist, sagt man, dass Feld E habe ein eindeutiges Potential U(r). Ein Feld hat einPotential, wenn die Verschiebungsarbeit längs jedes geschlossenen Weges verschwindet.Jede beliebige Ladungsverteilung kann man aus Punktladungen zusammensetzen. Je-

de Punktladung hat ein Potenzial, die Überlagerung der Potenziale der Punkladungenergibt das Gesamtpotential. Jedes elektrostatische Feld hat daher ein Potential.Nicht jedes Feld hat ein Potenzial: Elektrische Wirbelfelder und Magnetfelder haben

in sich geschlossene Feldlinien. Beim Umlauf auf diesen geschlossenen Feldlinien kanneine Ladung beliebig viel Energie gewinnen.Durch die Beziehung U1,2 = U(r2) − U(r1) sind nur Potentialdifferenzen (Spannun-

gen) definiert. Man kann aber (wie bei der Seehöhe » über dem Meeresspiegel«) einBezugsniveau festlegen. Für eine Punktladung ergibt sich bei Bezug auf r =∞

U(r) =Q

4πε0r

Aus einem gegebenen Potential U(r) berechnet man das Feld durch Differentiation,genauer durch Gradientenbildung

E = − gradU = −∇U

In kartesischen Koordinaten ist

gradU = ∇U =∂U

∂xex +

∂U

∂yey +

∂U

∂zez

Der Gradient eines Skalarfeldes ist ein Vektorfeld.

∇ =∂

∂xex +

∂

∂yey +

∂

∂zez

∇ wird Nabla-Operator genannt und ist hier in kartesischen Koordinaten angegeben.Das elektrostatische Feld lässt sich also entweder als Vektorfeld E(r) oder als Skalar-

feld U(r) beschreiben. Für die Berechnung ist das Skalarfeld (Ortsfunktion) mathema-tisch einfacher und liefert auch direkt die Energie von Ladungen im Feld. Die Berechnungvon E(r) ist aufwändiger (es müssen die Feldstärkekomponenten berechnet werden) lie-fert aber direkt die Kräfte auf Ladungen.Flächen konstanten Wertes U (Potential- bzw. Niveauflächen) stehen senkrecht auf

den Feldlinien.Geht man auf kleine Volumenelemente dV über, dann lautet die Flussregel6

6∇ ·E ... inneres Produkt

4.4. KAPAZITÄT 53

divEdV =1

ε0dQ =

1

ε0ρ dV

ρ = dQ/dV Raumladungsdichte

divE = ∇ ·E =∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld.Drücken wir die Feldstärke mit Hilfe des Potentials aus erhalten wir

divE = − div gradU = −∆U =ρ

ε0

In kartesischen Koordinaten ist der Laplace-Operator

div grad = ∆ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

Die Gleichung ∆U = − ρε0wird Poisson-Gleichung7 genannt und ist die kompakteste

Form der Flussregel: Die Ladungsdichte ρ ist die Quelldichte ρ/ε0 des elektrischen Feldes.Die analytische Lösung dieser (partiellen) Differentialgleichung des Potentials ist nur füreinfache Anordnung möglich.8

Beispiel 29 Berechnung des Feldes eines unendlich langen gleichmäßig geladenen Lei-ters.Das Feld muss aus Symmetriegründen radial zum Leiter stehen. Der Fluss durch einenkonzentrischen Zylinder (r, l) ist 2πrlE, die Ladung innerhalb des Zylinders ist lλ/εo,wenn λ die lineare Ladungsdichte [C m−1] ist. Daraus folgt, dass E = λ/(2πε0r) ist.

Beispiel 30 Das Feld im Inneren einer gleichmäßig geladenen Hohlkugel muss kugelsym-metrisch sein. Im Inneren der Kugel sitzt aber keine Ladung, durch eine konzentrischeKugel innerhalb der Hohlkugel tritt daher kein Fluss. Das Feld innerhalb der Kugel istdaher Null. (→ Faraday’scher Käfig)

Beispiel 31 Jede leitende Fläche ist eine Äquipotentialfläche: Im Leiter sind elektrischeLadungen frei verschiebbar und können daher nur im Gleichgewicht sein, wenn auf siekeine Kräfte (durch elektrische Felder) ausgeübt werden. Daraus folgt, dass im Innerenund auf der Oberfläche eines Leiters das Potential gleich sein muss.

4.4 Kapazität

Das Potential einer Punktladung ist proportional der Ladung U(r) = Q4πε0r

.Diese Proportionalität zwischen U und Q gilt für jede Ladungsverteilung. Zwischen Ge-samtladung Q und Potential U , bezogen z.B. auf eine unendlich entfernte Wand (diesogenannte » Erde«), gilt also allgemein

Q = CU

Die Konstante C heißt Kapazität und hängt nur von der Geometrie des Leiters ab.Die Dimension ist Ladung/Spannung, ihre Einheit ist Farad. 1 F= 1 C

1 V .

7Der Sonderfall ∆U = 0 (leererRaum) wird Laplace-Gleichung genannt.8Für komplizierte Geometrien können Potentiale und Felder mit Hilfe der Methode der finiten Elemen-

te berechnet werden. Dabei werden die zu Grunde liegenden Differentialgleichungen in kleine Teilgebietemit einfacher Geometrie (z.B. Dreiecke oder Tetraeder), die sogenannten finiten Elemente, zerlegt. In die-sen finiten Elementen werden sodann die gesuchten Lösungsgrößen (skalare und/oder Vektorpotentiale)durch einfache Funktionen, häufig lineare oder quadratische Polynome, approximiert und einer Nähe-rungslösung zugeführt. Dabei entstehen als Resultat sehr große Gleichungssysteme, die gelöst werdenmüssen. Gleichungssysteme mit mehreren Millionen Unbekannten sind dabei nicht ungewöhnlich.


Abbildung 4.3: Feld im Kugelinneren

Abbildung 4.4: Feld des Plattenkondensators

Die Kapazität einer Kugel mit dem Radius R beträgt daher nach unser früherenRechnung C = 4πε0R.

Zwei ebene Metallplatten (Fläche A, Abstand d) haben entgegengesetzt gleiche La-dung, wenn man sie mit einer Spannungsquelle verbindet. Umfasst man eine Platte miteiner geschlossenen Fläche, so ist der Fluss Q/ε0 und verläuft zwischen den Platten, das(homogene) Feld besteht nur zwischen den Platten (am Rand » streut« das Feld etwasin die Umgebung). Wir erhalten folgenden Zusammenhang

AE =Q

ε0→ E =

Q

ε0A

U = Ed =Qd

ε0A

C =Q

U=ε0A

d

4.5 Influenz

Bringt man eine geladene Kugel in das Innere eines ungeladenen Faraday’schen Bechers,ohne den Becher zu berühren, kann man beobachten, dass der Becher elektrisch ist.Entfernt man die geladene Kugel, wird der Becher wieder unelektrisch. Beim Hineinsen-ken der geladenen Kugel in den (ungeladenen) Becher werden die Ladungen im Bechergetrennt. Zur Kugelladung entgegengesetzte Ladungen wandern an die Innenfläche desBechers, gleichnamige Ladungen wandern an die Außenfläche.Wir führen nun die Ladung am Becher außen durch Berührung ab, während die

Kugel noch im Becher ist. Nach Entfernen der Kugel aus dem Becher ist der Becher

4.6. ENERGIE DER LADUNGSVERTEILUNG IM ELEKTRISCHEN FELD 55

in der gegengesetzten Polarität zur Kugel geladen. Das Erscheinen einer Ladung ohneBerührung wird Influenz genannt.

4.6 Energie der Ladungsverteilung im elektrischen Feld

Wir bringen die Ladung Q in kleinen Schritten dq auf einen Leiter auf. In einem Zwi-schenstadium sei die Ladung q erreicht, die dem Leiter ein Potential u = q/C gibt. Gegendiese Spannung die nächste Teilladung dq heranzuführen, erfordert die Arbeit

dW = u · dq =q

Cdq

Die Gesamtenergie ergibt sich durch Integration

W =1

C

Q∫0

qdq =Q2

2C=

1

2CU2

4.7 Das elektrische Feld als Träger der elektrischenEnergie

Die elektrische Energie sitzt in den getrennten Ladungen. Man kann aber auch sagen, siesitzt im Feld zwischen den Platten. Am Beispiel des Plattenkondensators erhalten wir

Epot =1

2CU2 =

1

2

εoA

dU2 =

1

2

εoU2

d2Ad =

ε0

2E2V

U/d ist die Feldstärke im Plattenzwischenraum und V = Ad dessen Volumen. DieEnergie ist im Feld verteilt und wir erhalten die Energiedichte (Energie/Volumen)

e =ε0

2E2

Der felderfüllte Raum ist Sitz der elektrischen Energie.

4.8 Dielektrika

Die Beeinflussung eines elektrischen Feldes durch Materie, hängt von deren atomaremAufbau ab, insbesondere von Lage und Verschiebbarkeit der Ladungen in der Materie.

4.8.1 Die Verschiebungsdichte

Feld und Ladung hängen in zweierlei Hinsicht zusammen:

1. Das Feld wird von Ladungen erzeugt, die Feldlinien entspringen/enden in Ladun-gen:

divE =ρ

ε0

2. Das Feld übt Kräfte auf Ladungen aus:

F = QE

Die elektrische Feldstärke haben wir über die Kraftwirkung auf Ladungen definiert.Um den Quellencharakter (Erregung des Feldes) zu betonen, wird die zweite Feldgrö-

ße D eingeführt

divD = ρ


Die Einführung der Größe D (elektrische Erregung, Verschiebung) ist vor allem bei elek-trischen Feldern in Materie vorteilhaft. Im Vakuum besteht der Zusammenhang

D = ε0E

4.8.2 Dielektrizitätskonstante

Eine geriebene (geladende) Plastikstange zieht Holundermarkkügelchen an. Bringt manzwischen Stange und Kügelchen eine geerdete leitende Platte, verschwindet die Anzie-hung. Bringt man eine Platte aus isolierendem Material (Glas, Kunststoff) verschwindetdie Anziehung nicht, das elektrisch Feld greift durch den Isolator (Dielektrikum) hin-durch.Wir laden einen Kondensator auf die Spannung U und trennen den Kondensator von

der Spannungsquelle. Füllen wie jetzt den Plattenzwischenraum mit einer Isolierplat-te aus, können wir messen, dass die Spannung am Kondensator sinkt. Zieht man diePlatte heraus, steigt die Spannung wieder auf den ursprünglichen Wert. Die Ladung amKondensator bleibt immer konstant.Trennt man den Kondensator erst nach dem Einschieben der Platte von der Span-

nungsquelle, bleibt die Spannung U konstant. Trennt man den Kondensator (mit Platte)von der Spannungsquelle und entlädt ihn, misst man eine größere Ladung als ohne Dielek-trikum. Das Dielektrikum vergrößert die Kapazität des Kondensators. Als Dielektrizitäts-konstante ε des Isolators bezeichnet man das Verhältnis der Kapazität eines Kondensatorsmit diesem Isolator bzw. mit Vakuum im Plattenzwischenraum

ε =C

CVakuum

Für einen Plattenkondensator gilt daher

C = εε0A

d

Die Spannung zwischen den Platten im Vakuum U0 sinkt daher auf UD = U0/ε, dieFeldstärke entsprechend auf ED = E0/d. Wenn das Feld um ε−1 kleiner geworden ist,dann muss auch die Ladung QD = Q0/ε werden. Die Platten enthalten aber immernoch die Ladung Q0.Der Unterschied der Ladungen rührt daher, dass Ladungen auf derOberfläche des Dielektrikums angrenzend an die Kondensatorplatten sitzen, nämlich

QP = Q0 −QD = Q0

(1− 1

ε

)= Aε0E0

ε− 1

ε

Abbildung 4.5 stellt den Zusammenhang schematisch dar.Füllt die dielektrische Platte den Kondensator in der Dicke nicht ganz aus, entsteht

an ihrer Oberfläche trotzdem die gleiche Ladung QP wie in Abbildung 4.5. Sie verringertdas Feld im Inneren des Isolators überall auf E0/ε.

Material Dielektrizitätskonstante εLuft (0C, 1 bar) 1, 000576Glas 5− 10Papier 1, 2− 3, 0Polystyrol 2, 3− 2, 7Destilliertes Wasser (18C) 81, 1

Wir wollen jetzt zwischen » wahren« Ladungen, z.B. zusätzlichen oder fehlenden Elek-tronen im Metall der Kondensatorplatte, und » scheinbaren« Ladungen unterscheiden,wie sie durch dielektrische Polarisation an den Oberflächen der Isolatorplatte entstandensind. Beide Ladungssorten sind Anfangs- oder Endpunkte von E-Linien und gehen daherin das Q im Satz von Gaußein. Messen kann man dagegen nur wahre Ladungen. Wirkonstruieren ein Feld, dessen Linien nur in wahren Ladungen beginnen oder enden, und

4.8. DIELEKTRIKA 57

Abbildung 4.5: Oberflächenladungen auf einem Dielektrikum

nennen es das D−Feld. D−Linien treten demnach ungestört in ein Dielektrikum ein,wenn sie senkrecht darauf treffen. Wir erhalten

D = εε0E

D = ε0E + P

und nennen P die dielektrische Polarisation.

4.8.3 Mechanismen der dielektrischen Polarisation

Wir kennen zwei Hauptmechanismen

a) Verschiebungspolarisation: Bei der Verschiebungspolarisation werden die Elektro-nen eines Atoms oder Moleküls durch ein externes elektrisches Feld (elastisch) ver-schoben, wodurch der Schwerpunkt der negativen Ladungen nicht mehr mit demSchwerpunkt der positiven Ladungen (Atomkerne) übereinstimmt (Elektronenpo-larisation).Für zwei Punktladungen ±Q im Abstand d, nennt man das Produkt aus dem vonder negativen zu positiven Ladung gehenden Vektor d mit der positiven Ladung Qdas Dipolmoment p = Qd.

b) Orientierungspolarisation: Manche Moleküle besitzen auf Grund ihres unsymmetri-schen Aufbaus auch im feldfreien Raum schon ein permanentes Dipolmoment (z.B.Wasser). Da aber die Wärmebewegung die Richtungen einer großen Anzahl solcherDipolteilchen i. A. regellos verteilt, besteht ohne angelegtes Feld keine makrosko-pische dielektrische Polarisation. Ein elektrisches Feld zwingt die Momente etwasin die Vorzugsrichtung, und zwar umso mehr, je stärker das Feld und je tiefer dieTemperatur ist, denn die Wärmebewegung stört die Einstellung der Dipole. Aller-dings wird bei Raumtemperatur auch in starken Feldern effektiv nur ein von ca.100 Molekülen ausgerichtet.

4.8.4 Energiedichte des elektrischen Feldes im Dielektrikum

Die Energie Eel = 12CU

2 eines mit einem Dielektrikum gefüllten Kondensators ist umden Faktor ε größer als die des leeren Kondensators, da seine Kapazität umso viel größerist. Entsprechend ist die Energiedichte

eel = εε0

2E2 =

1

2ED


E und D sind Feldstärke und Verschiebungsdichte im Dielektrikum. Dieser Ausdruckfür die elektrostatische Energiedichte gilt allgemein.

Kapitel 5

Gleichströme

Inhalt5.1 Stromstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2 Das ohmsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3 Energie und Leistung elektrischer Ströme . . . . . . . . . . . 61

Die » Erzeugung« von Ladungen und damit elektrischen Strömen durch Reibungselek-trizität hat keine technische Bedeutung. Spannungsquellen arbeiten entweder magnetischoder elektrochemisch.

5.1 Stromstärke

In der Elektrostatik sind Ladungen ruhend und längs eines Leiters kann keine Potential-differenz bestehen. Legt man an Leiter eine Spannung an, dann bewegen sich Ladungenund es fließen Ströme. Dieser Stromfluss kann nur durch äußere Energiequellen erhaltenwerden.Die Stromstärke wird definiert als Ladung/Zeit

I =dQ

dt

ihre Einheit im SI-System ist das Ampere 1 C/s = 1 A.Der Strom ist zeitlich konstant, wenn die Spannung zwischen den Leiterenden kon-

stant ist. In einem geschlossenen Stromkreis ist die Stromstärke für jeden Querschnittdieselbe, da sich keine Ladung anhäufen kann1 .Da die Ladung einem Erhaltungssatz gehorcht und das elektrostatische Feld ein Po-

tential besitzt, ergeben sich die Grundregeln zur Analyse beliebiger Schaltungen:

• Kirchhoffs KnotenregelAn jedem Verzweigungspunkt (Knoten) in einer Schaltung muss ebenso viel Ladungzu- wie abfließen. Daher ist die Summe aller Ströme, die in den Knoten münden,Null ∑

Ii = 0

• Kirchhoffs MaschenregelAuf Grund der Wegunabhängigkeit der Potentialdifferenz ist die Spannung längszweier verschiedener Zweige in der Schaltung, die zwei Punkte A und B verbinden,gleich. Dies gilt auch, wenn Spannungsquellen dazwischenliegen.Die Gesamtspannung längs einer geschlossenen Masche einer Schaltung, d. h. die

1Auch durch den Kondensator, sieht man ihn als ein Ganzes, fließt der gleiche Strom wie sonst imStromkreis.

59

60 KAPITEL 5. GLEICHSTRÖME

Summe aller Spannungsabfälle an den einzelnen Elementen der Masche, ist Null∑Ui = 0

Mit Hilfe der Kirchhoff’schen Regeln und der Strom—Spannungs-Kennlinien der Bau-elemente kann man jede beliebige Schaltung analysieren.

5.2 Das ohmsche Gesetz

Bei vielen wichtigen Leitern (Metalldrähte, Elektrolytlösungen) ist der Strom I , derdurch den Leiter fließt, der angelegten Spannung U proportional. Den Proportionalitäts-faktor nennt man Leitwert G des Leiters, sein Kehrwert ist der (ohmsche) WiderstandR

I = GU U = RI R =U

I=

1

G

Bei einem homogenen ohmschen Material ist der Widerstand R proportional zurLänge l und umgekehrt proportional zum Querschnitt A des Leiters

R = ρl

A

ρ ist spezifischer Widerstand des Materials, σ = 1/ρ ist die elektrische Leitfähigkeit.Die folgende Tabelle zeigt einige Werte von ρ.

Material (18C) Spezifischer Widerstand ρ [Ωm]Silber 0, 016·10−6

Kupfer 0, 017·10−6

Eisen 0, 098·10−6

Porzellan ≈ 1012

Quarzglas 5·1016

Der spezifische Widerstand erstreckt sich über mehr als 20 Zehnerpotenzen und isttechnologisch sehr gut beherrschbar.Liegt an einem Draht der Länge l die Spannung U , dann misst man an einem Teilstück

der Länge l′ die kleinere2 Spannung U ′ = Ul′/l. Im homogenen Draht ist die FeldstärkeE = U/l = U ′/l′ überall gleich.Bei Ortsabhängigkeit der elektrischen Eigenschaften muss man die Stromdichte3 j

einführen

dI = j · dA I =

∫∫j · dA

Schaltungen aus Widerständen

Wir betrachten Schaltungen in denen Widerstände durch Drähte verbunden sind, derenWiderstand vernachlässigbar ist. Die Widerstände können hintereinander (Reihe, Serie)oder parallel zueinander liegen.Durch reihengeschaltete Widerstände fließt der gleiche Strom I . Die Spannungen Ui

an den Einzelwiderständen sind die Spannungsabfälle Ui = IRi , die sich zur Gesamt-spannung U =

∑Ui =

∑IRi addieren. Daraus folgt der Gesamtwiderstand (Ersatzwi-

derstand) der Schaltung R =∑Ri.

In der Reihenschaltung addieren sich die Widerstände.An parallel geschaltetenWiderständen liegt die gleiche Spannung U . Die Ströme durch

die Widerstände summieren sich I =∑Ii =

∑URi. Der Gesamtwiderstand (Ersatzwi-

derstand) der Schaltung ist R = 1∑R−1i

.

2Das ist die Grundlage des einstellbaren Widerstands (Potentiometer).3j verhält sich zum Strom I wie die Feldstärke E zum elektrischen Fluss φ.

5.3. ENERGIE UND LEISTUNG ELEKTRISCHER STRÖME 61

In der Parallelschaltung addieren sich die Leitwerte 1R =

∑1Ri.

5.3 Energie und Leistung elektrischer Ströme

Wenn sich eine Ladung Q zwischen zwei Orten, zwischen denen die Spannung U herrscht,verschiebt, sinkt das Potential um U ab und die Energie W = QU wird frei. In einemLeiter dient die Energie W im allg. nicht zur Beschleunigung der Ladungsträger, derenGeschwindigkeit klein gegen die thermische Geschwindigkeit ist. Die Energie geht ganzin die Wärmeenergie des Leiters über. Die entsprechende Heizleistung ergibt sich aus derDefinition des Stromes

P =dW

dt= U

dQ

dt= UI

Für ohmsche Leiter gilt P = UI = I2R = U2

R .

62 KAPITEL 5. GLEICHSTRÖME

Kapitel 6

Mechanismen der elektrischenLeitung

Inhalt6.1 Nachweis freier Elektronen in Metallen . . . . . . . . . . . . 63

6.2 Elektronentransport in Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.3 Stromleitung im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.4 Stromleitung in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.5 Stromleitung in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.6 Stromleitung in Halbleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.6.1 Der pn-Übergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.6.2 Die Halbleiterdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.1 Nachweis freier Elektronen in Metallen

Bremst man einen metallischen Leiter, der sich sehr schnell bewegt, plötzlich ab, dannbewegen sich die freien Elektronen im Metallinneren infolge ihrer Trägheit weiter, waszu einer kurzzeitigen entgegengesetzten Aufladung der beiden Leiterenden führt. DieseLadungstrennung erzeugt analog zum Plattenkondensator ein Feld E, das schließlicheine weitere Ladungsanhäufung verhindert. Es stellt sich ein Gleichgewicht ein, wenn dieTrägheits- und die elektrostatische Kraft auf den Ladungsträger entgegengesetzt gleichsind: −eE = ma. Im Inneren des beschleunigten Leiters herrscht also das Feld E = −me a.Tollman konnte diesen Effekt für schnell rotierende Metallteile messen und den Werte/m ≈ 2.1011 Ckg−1 ermitteln. Dies ist annähernd gleich dem Wert für freie Elektronenim Vakuum.

Abbildung 6.1: Tollmann-Versuch

63

64 KAPITEL 6. MECHANISMEN DER ELEKTRISCHEN LEITUNG

Dieses Experiment beweist, dass Metallatome, die im Gaszustand elektrisch neutralsind, Elektronen abspalten, wenn sie sich zum Festkörper vereinigen. Die abgespaltenenElektronen gehören dann nicht mehr dem einzelnen Atom, sondern dem ganzen konden-sierten System. Sie können dieses System nicht verlassen, weil dazu eine ziemlich hoheAustrittsarbeit erforderlich ist. Im Inneren bewegen sie sich nach ähnlichen Gesetzen wiedie Atome eines Gases1 in einem geschlossenen Gefäß(Elektronengas).

6.2 Elektronentransport in Metallen

Der Stromfluss im Metall entsteht dadurch, dass sich die Elektronen gegen die Richtungdes elektrischen Feldes bewegen. Bei n Elektronen/m3 und der mittleren Geschwindigkeitv erhalten wir die Stromdichte

j = nve

Entsprechend dem ohmschen Gesetzt ist die Stromdichte proportional der Feldstärkej = σE woraus folgt, dass E ∼ v, da n und e konstant sind.

Das ohmsche Gesetz kann im Vakuum nicht gelten, da die Elektronen im Feld be-schleunigt würden und ihre Geschwindigkeit von der Dauer der Einwirkung des Feldesabhingen. Damit die Elektronen mit konstanter Geschwindigkeit driften, muss daher derFeldkraft eE eine Reibungskraft FR entgegenstehen, die proportional v ist. Diese Rei-bungskraft entsteht dadurch, dass Elektronen durch Stöße immer wieder von ihrer Bahnabgelenkt werden (Teilchen in zäher Flüssigkeit).

Bemerkung 32 Tatsächlich sind Elektronen auch in gut leitenden Metallen nur ge-mächlich unterwegs. Bei Stromdichten von einigen A/mm2 ist die Elektronengeschwin-digkeit nur 0, 04 mm/s. Die große Geschwindigkeit der elektrischen Nachrichtenübertra-gung beruht also nicht auf der Verschiebung der Elektronen im Draht, sondern auf derAusbreitungsgeschwindigkeit des elektrischen Feldes im und um den Leiter, die gleich derLichtgeschwindigkeit ist.

6.3 Stromleitung im Vakuum

Für den einfachen Fall der Bewegung von Elektronen im homogenen elektrischen Feldeines Plattenkondensators mit der Feldstärke E = U/d erhalten wir aus der Kräftebezie-hung die Beschleunigung a

F = eE = eU

d= m0a a =

eU

m0d

Die Geschwindigkeit des Elektron steigt linear mit der Zeit an

a =dv

dtv =

eU

m0dt

Der Weg ist

v =dy

dty =

t∫0

vdt =1

2

eU

m0dt2

1Für die Elektronen sind aber quantenmechanische Gesetze maßgebend, sie bilden ein Fermi-Gas.Die Teilchenzahldichte n des Elektronengases hat meistens die Größenordnung, die einem abgespaltenenElektron pro Atom entspricht. Da der Atomabstand wenige Å beträgt, ergibt sichn ≈ (einige Å)−3 ≈ 1029 m−3.

6.4. STROMLEITUNG IN GASEN 65

Beispiel 33 Um ein Elektron mit der Ruhemasse mo = 0, 91 ·10−30 kg aus der Ruhelageauf 1 % der Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen muss

U =1

2v2m0

e=

1

29 · 1012 0, 91 · 10−30

1, 602 · 10−19= 25, 56 V

die Spannung 25, 56 V durchlaufen werden. Wie man sieht, ist die Geschwindigkeit derElektronen im Vakuum ein Vielfaches der Driftgeschwindigkeit im Leiter. Schon bei klei-nen Spannungen werden Geschwindigkeiten erreicht, bei denen unter Umständen die re-lativistische Massenzunahme berücksichtig werden muss.

6.4 Stromleitung in Gasen

Wird der Raum zwischen den Elektroden mit einem Gas gefüllt, ändert sich der Strom-leitungsmechanismus grundlegend. Einerseits wird die freie Beweglichkeit der Elektro-nen stark eingeschränkt und andererseit tritt ein zusätzlicher Stromleitungsmechanismusdurch ionisierte Gasmoleküle auf. Im natürlichen Zustand verhalten sich Gase wie guteIsolatoren (z.B. SF6 Schutzgas in Hochleistungschaltern), die aus neutralen Atomen oderMolekülen bestehen. Die Ladungsträger (Elektronen oder Ionen) müssen dem Gas erstvon außen oder innen zugeführt werden.Man spricht von selbstständiger Leitung, wenn die kinetische Energie vorhandener

Ionen ausreicht, um andere Moleküle beim Zusammenstoßzu ionisieren. Diese Ionenkönnen dann ihrerseits weiter Moleküle ionisieren, was zu lawinenartigern Anwachsenvon Ladungsträgen führt (Zündung).Bei der unselbstständigen Leitung müssen Ladungsträger durch externe Maßnahmen

gebildet werden. Man kann z.B. die Temperatur so weit erhöhen, dass die Moleküledurch Zusammenstöße infolge der größeren Wärmebewegung ionisiert werden oder dasGas radioaktiv bestrahlen.Auch in Gasen gilt in weiten Bereichen das ohmsche Gesetz. Bei großen Stromstärken

stellt sich aber ein Sättigungseffekt ein, da die Zahl der erzeugten Ladungsträger begrenztist.Wenn die Zahl der Ladungsträger durch Ionisierung lawinenartig anwächst, stellt sicheine Strom-Spannungskennline ein, die deutlich vom ohmschen Verhalten abweicht.

6.5 Stromleitung in Flüssigkeiten

Füllt man einen Behälter mit zwei Elektroden mit reinstem Wasser, dann fließt beimAnlegen einer Spannung nur ein sehr kleiner Strom − reines Wasser ist ein Nichtlei-ter. Werden dem Wasser Salze, Säuren oder Laugen hinzugefügt, steigt die Leitfähigkeitsprunghaft an, da die Ionenverbindungen im Wasser in positive und negative Ionen auf-gespaltet werden (elektrolytische Dissoziation)2 .Die Ionen werden im elektrischen Feld zu den Elektroden bewegt, die Stromleitung ist

also mit einem Stofftransport verbunden.3 Die Leitfähigkeit hängt von der Konzentrationund der Beweglichkeit der verfügbaren Ladungsträger sowie der Temperatur ab.

6.6 Stromleitung in Halbleitern

Elektrische Leiter haben einen spezifischen Widerstand ρL = 10−8 − 10−6, Isolatorenhaben einen spezifischen Widerstand ρI = 108 − 1014. Dazwischen liegen die Halbleiter(Silizium, Selen, Germanium) mit ρH = 10−3 − 102.

2Schwefelsäure (H2SO4) wird z.B. in zwei H+-Ionen und in das SO−−4 -Ion aufgespaltet.3Die Elektrolyse wird z.B. angewandt, um Metalle mit einer dünner Schicht aus einem anderen Metall

zu überziehen (Galvanisierung).


Abbildung 6.2: Leitung in Elektrolyten

Abbildung 6.3: Monokristallines Silizium (schematisch)

Die Elektronenhülle ist aus mehreren Schalen aufgebaut. Die Elektronen der äußerstenSchale sind verantwortlich für die chemischen Verbindungen und bestimmen die Wertig-keit (Valenz) des Elements. Wichtige Halbleitermaterialien (Silizium, Germanium) habenvier Valenzelektronen.In monokristallinem Silizium (Diamantgitterstruktur) ist jedes Siliziumatom mit sei-

nen vier Nachbaratomen dadurch verbunden, dass es eines seiner vier Valenzelektronenmit je einem Valenzelektron des Nachbaratoms gemeinsam besitzt. Je zwei dieser Valen-zelektronen » umkreisen« die Atomkerne, zu denen sie gehören, gemeinsam. Abbildung6.3 zeigt eine schematische zweidimensionale Abbildung.Es sind keine freien Ladungsträger vorhanden und monokristallines Silizium ist bei

niederen Temperaturen nicht leitend. Durch die thermische Energie bei höheren Tempe-raturen 4 schwingt das Kristallgitter, die Doppelbindungen brechen teilweise auf und esentstehen freie Ladungsträger. Eine Stelle, an der ein Elektron frei wird und daher schein-bar fehlt, bezeichnet man als Defekt-Elektron oder Loch. Löcher sind gleichbedeutendmit positiven Elementarladungen, das Atom mit dem fehlenden (Defekt-)Elektron wirdzu einem positiv geladenen Ion. Neben den Elektronen nehmen auch die Löcher an derBewegung der Ladungsträger teil, man spricht daher vom Löcherstrom. Die Ionen sindaber, im Gegensatz zu den freien Elektronen, ortsgebunden. Der Löcherstrom entstehtdadurch, dass ein Loch durch ein Valenzelektron eines Nachbaratoms aufgefüllt wird,

4Bei Raumtemperatur ist bei Silizium lediglich ein Ladungsträgerpaar von 1012 getrennt, in Metallenein freies Elektron pro Atom.

6.6. STROMLEITUNG IN HALBLEITERN 67

Abbildung 6.4: Einbau eines Donator-Atoms

Abbildung 6.5: Einbau eines Akzeptor-Atoms

wodurch das Valenzelektron wiederum ein Loch an anderer Stelle hinterlässt.5

Die Eigenleitfähigkeit von Halbleitern ist gering im Vergleich zu Metallen und vonder Temperatur abhängig. Die Leitfähigkeit von Halbleitermaterialien kann gezielt durchEinbau (Implantation) von Fremdatomen beeinflusst werden (Dotierung). Die Leitfähig-keit wird wesentlich vom Einbau des » Störatoms« bestimmt, wir sprechen daher von derStörleitung.Bei Silizium können für den Einbau fünfwertige (Arsen, Antimon, Phosphor, . . . ) oder

dreiwertige (Bor, Gallium, Indium, . . . ) Atome verwendet werden.Abbildung 6.4 zeigt schematisch den Einbau von Phosphor in den Siliziumkristall.Das fünfwertige Phosphor kann nur vier Elektronen mit Silizium binden, es entsteht

daher ein freies Elektron und wir sprechen von Donator-Atomen. Das Material wird n-leitend. Die Stromleitung bei n-leitendem Material erfolgt fast ausschließlich durch dieMajoritätsträger, die Elektronen; die Minoritätsträger sind die Löcher.Abbildung 6.5 zeigt schematisch den Einbau von Bor in den Siliziumkristall.

5Vgl.: Leitung von Luftblasen im Wasserschlauch


Abbildung 6.6: pn-Übergang an Spannung

Das dreiwertige Bor kann nur drei Elektronen mit Silizium binden, es fehlt daherein Elektron (Defektelektron) und wir sprechen von Akzeptor-Atomen. Der fehlende La-dungsträger ist ein freies positiv geladenes Loch, das Material wird p-leitend. Die Strom-leitung bei p-leitendem Material erfolgt fast ausschließlich durch die Majoritätsträger,die Löcher; die Minoritätsträger sind die Elektronen.

6.6.1 Der pn-Übergang

Wir untersuchen jetzt eine Halbleiterstruktur, die aus einem p- und n-Bereich besteht,die aufeinander treffen. An der Struktur liegt vorerst keine Spannung an.An der pn-Stoßstelle besteht ein starkes Konzentrationsgefälle der freien Ladungsträ-

ger. Im p-Bereich sind sehr viele Löcher, im n-Bereich sehr viele Elektronen verfügbar.In Folge der thermischen Bewegung werden Elektronen in den p-Bereich und Löcherin den n-Bereich diffundieren. Diese thermisch bedingte Bewegung der Majoritätsträgerwird Diffusionsstrom genannt. Durch die Abwanderung der Majoritätsträger entstehenRaumladungsbereich: Die abwandernden Löcher der p-Zone hinterlassen eine negativeRaumladung, die abwandernden Elektronen der n-Zone hinterlassen eine positive Raum-ladungszone.Als Folge der Raumladung entsteht ein von der n-Zone zur p-Zone reichendes elektrischesFeld bzw. eine elektrische Spannung. Feld/Spannung wirken der Ladungsträgerdiffusionentgegen, es entsteht ein Gleichgewichtszustand und es fließt kein Strom durch den pn-Übergang. Die (dünne) Raumladungsschicht enthält keine frei beweglichen Ladungsträ-ger.Es wird nun eine äußere Spannung so angelegt, dass der n-Bereich eine höhere Span-

nung als der p-Bereich hat. Der Zusammenhang ist in Abbildung 6.6 (rechts) gezeigt.Die angelegte Spannung hat die gleiche Richtung wie die Spannung an der Sperrschicht.Die Elektronen des n-Bereichs werden von der Spannung angezogen, die Löcher des p-Bereichs werden ebenfalls von der Spannung angezogen. Die äußere Spannung führt zueiner Verbreiterung der Raumladungszone. Die Raumladungszone verhindert einen kon-tinuierlichen Strom der Majoritätsträger und wir daher Sperrschicht genannt.Kehrt man die Polarität der Spannungsquelle um, wie in Abbildung 6.6 (links) gezeigt,

werden die in die p-Schicht diffundierte Elektronen vom Pluspol der Quelle angezogenund die Sperrschicht wird abgebaut. Gleichzeitig werden vom Minuspol der Quelle Elek-tronen nachgeliefert. Der Diffusionsprozess wird also von der außen angelegten Spannungunterstützt. Je höher die angelegte Spannung, desto dünner die Sperrschicht, es stellt sichein Majoritätsträgerstrom ein, der pn-Übergang ist in Durchlassrichtung gepolt.

6.6.2 Die Halbleiterdiode

Die Diode zeigt ein unterschiedliches Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich. DerZusammenhang zwischen Strom und Spannung ist

6.6. STROMLEITUNG IN HALBLEITERN 69

Abbildung 6.7: Diodenkennlinie

I = I0

(eUUT − 1

)UT =

kT

ek = 1, 38 · 10−23 [Ws/K]

Bei Silizium ist der Strom für Spannungen bis 0, 7 V noch sehr gering. Dann steigtder Strom exponentiell mit der Spannung an, bis der maximal zulässige Strom erreichtist und die Diode zerstört wird.In Sperrrichtung fließt zunächst ein nur sehr geringer Sperrstrom von 10 − 100 nA.

Steigt die Spannung in Sperrrichtung weiter an, wird die Diode schließlich auf Grund derhohen inneren Feldstärke bei der Durchbruchspannung zerstört.


Kapitel 7

Ströme und Felder

Inhalt7.1 Lorentz-Kraft und Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.1.1 Kräfte auf Ströme im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.1.2 Der Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.2 Erzeugung von Magnetfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.2.1 Strom und magnetische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.2.2 Das Magnetfeld von Strömen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.2.3 Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.2.4 Elektromagnete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Der Magnetismus was schon den Griechen 600 v.Chr. bekannt, um 1200 wurde erst-malig der Kompass erwähnt. 1820 entdeckt Oersted, dass ein elektrischer Strom durcheinen Draht Kompassnadeln senkrecht zum Draht auslenkt. Damit war klar, dass dassdie beiden getrennten Phänomene Elektrizität und Magnetismus eine Einheit bilden.

7.1 Lorentz-Kraft und Magnetfeld

Durch Beobachtung von Elektronen in Vakuumröhren kann man das Auftreten einerKraft F feststellen, die folgende Eigenschaften hat:

1. Sie tritt nur auf, wenn sich das geladene Teilchen bewegt, ist proportional zur Ge-schwindigkeit und proportional zur Ladung.Die Erscheinung zeigt sich nur dem äußeren Beobachter, für den die elektrischen La-dungen in Bewegung sind. Ein Beobachter, der sich mit den Ladungen mitbewegt,hat die magnetischen Wahrnehmungen nicht!

2. Sie wirkt immer normal zur Geschwindigkeit v des geladenen Teilchens und lenkt esdaher seitlich ab. Kehrt man die Richtung von v um, kehrt sich auch die Richtungder Kraft F um.

3. Es gibt eine Richtung von v, für die F = 0 und in der keine Ablenkung auftritt.Für alle anderen Richtungen von v ist F nicht nur normal zu v, sondern auchnormal zu dieser ausgezeichneten Raumrichtung.Wenn v zur ausgezeichneten Raumrichtung den Winkel α bildet, ändert sich derBetrag der ablenkendenKraft wie v sinα.

Diese Eigenschaften lassen sich in Form des folgenden Vektorprodukts zusammenfas-sen

F = Qv ×B

71

72 KAPITEL 7. STRÖME UND FELDER

Abbildung 7.1: Kraftwirkung auf Ladung im E− und B−Feld

und diese Kraft wird Lorentz-Kraft genannt. Abbildung 7.1 zeigt die Kraftwirkun-gen auf Ladungen: Im elektrischen Feld E wirkt auf eine Ladung immer eine Kraft; imMagnetfeld B nur, wenn sich die Ladung bewegt.Wenn bewegte Ladungen derartige Kräfte erfahren, sagt man, es herrsche ein Magnet-

feld B. Die Richtung von B zeigt in die Richtung der ausgezeichneten Raumrichtung, inder keine Ablenkung erfolgt. Der Richtungssinn ist durch folgende Übereinkunft festge-legt: Rechte Hand, Daumen v, Zeigefinger B, Mittelfinger F .

Die Einheit des magnetischen Feldes ist

N

Cms−1 =Vsm2

= T = Tesla = 104 Gauß

Das Magnetfeld B wurde durch seine Kraftwirkung auf bewegte Ladungen definiert,das elektrische Feld E durch seine Kraftwirkung auf Ladungen (von beliebigem Bewe-gungszustand). Geht man von der Erzeugung des Feldes aus, sieht man, dass B durchbewegte Ladungen, also Ströme erzeugt wird, während E durch Ladungen (von beliebi-gem Bewegungszustand) erzeugt wird.

7.1.1 Kräfte auf Ströme im Magnetfeld

Durch ein Drahtstück mit der Länge l und dem Querschnitt A fließe ein Strom I, esherrscht also die Stromdichte vom Betrag j = I/A mit der Richtung der Drahtachse.Enthält der Draht Elektronen der Dichte n, und bewegen sich diese mit der mittlerenGeschwindigkeit v so ist

j = −env I = −envA

Das ganze Drahtstück enthält nlA Elektronen. Auf jedes dieser bewegten Elektro-nen wirkt die Lorentz-Kraft F = ev ×B. Auf die nlA Elektronen im Draht daher dieGesamtkraft

F = −enlAv ×B = Il×B (7.1)

f = j ×B

Der Strom ist positiv, wenn er in die Richtung von lfließt (technische Stromrichtung).1

Die Gleichung 7.1 bildet die Grundlage der Technik der Elektromotoren und derelektischen Meßgeräte.Eine drehbare Rechteckschleife, siehe Abbildung 7.2, werde von einem Strom I durch-

flossen und befinde sich in einem homogenen Magnetfeld. In den beiden a−Stücken fließt1Es ist bemerkenswert, dass die Kraft nicht von den mikroskopischen Einzelheiten des Leitungsme-

chanismus abhängt. Gäbe es weniger Ladungsträger, müssten sie schneller laufen, um den gegebenenStrom I zu erzeugen. In F geht aber nur das Produkt nv ein, F hängt also nur vom makroskopischenStrom I ab.

7.1. LORENTZ-KRAFT UND MAGNETFELD 73

Abbildung 7.2: Stromdurchflossene Leiterschleife im Magnetfeld

Abbildung 7.3: Hall-Effekt

der Strom I in entgegengesetzte Richtungen. Die Lorentz-Kräfte bilden also ein Kräf-tepaar ±IaB senkrecht zur Schleifenebene, d. h. ein Drehmoment bIaB, dessen Vek-tor in Achsenrichtung liegt und das die Schleife um diese Achse zu drehen sucht. Wirkennzeichnen die Größe und Stellung der Schleife durch den Normalvektor A, dessenBetrag die Fläche ab ist und der so senkrecht zur Schleifenebene steht, dass der Stromim Rechtsschraubensinn umläuft (Rechte-Hand-Regel: Wenn die gekrümmten Finger dieStromrichtung angeben, zeigt der ausgestreckte Daumen in A-Richtung). Wenn A einenWinkel α zur B−Richtung bildet, sind die beiden Lorentz-Kräfte noch ebenso großwiebei α = 90, aber der » Kraftarm« ist nur noch b sinα, das Drehmoment hat den BetragIabB sinα. Das Drehmoment ist also

M = IA×B

Die Schleife möchte sich so stellen, dass A ‖ B wird, d. h. dass der Strom das Feldnach der Rechte-Hand-Regel umkreist2 .

7.1.2 Der Hall-Effekt

Die Lorentz-Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld wirkt auf dieLadungsträger, die sich im Leiter bewegen. Die Ladungsträger werden relativ zum Leiterseitlich abgelenkt, normal zu ihrer Flugrichtung und zu B. An beiden Seitenflächen desLeiters häufen sich entgegengesetzte Ladungen an. Es entsteht ein Querfeld EH , dasdiese Ladungen erzeugen und das die Lorentz-Kraft genau kompensiert,

eEH = −ev ×B

wie in Abbildung 7.3 dargestellt.

2Wenn die gekrümmten Finger die Stromrichtung angeben, zeigt der ausgestreckte Daumen in Rich-tung A.


In einem Leiter der Breite b im B−Feld laut Abbildung 7.3 bedingt das QuerfeldEH = −v × B die Querspannung UH = −bvB. Drückt man die Hallspannung durchden Gesamtstrom I = dbj = dbenv aus, erhalten wir

UH = − 1

en︸︷︷︸AH

IB

d

AH ist der Hall-Koeffi zient des Materials, hängt von n ab und ist daher bei Metal-len sehr klein. Technische Bedeutung hat der Hall-Effekt bei Halbleitern. Hall-Sensorenwerden zur Messung von magnetischen Feldern verwendet.

7.2 Erzeugung von Magnetfeldern

Zur quantitativen Beschreibung des Magnetfeldes gehen wir von den messbaren Kraft-wirkungen aus. Stromdurchflossene Leiter erzeugen in ihrer Umgebung ein Magnetfeld.Bei einem geraden stromdurchflossenen Leiter bilden die Feldlinien konzentrische Kreisemit dem Leiter als Mittelpunkt.Die Richtung der Feldlinien und die Stromrichtung sind einander wie eine Rechts-

schraube zugeordnet. Die Richtung der Feldlinien kann man z.B. mit einem Kompassbestimmen. Die Feldstärke ist der Stromstärke I direkt und dem Abstand r verkehrtproportional. Das Umlaufintegral der magnetischen Feldstärke hat daher bei gleichblei-bendem Strom länges jeder Feldline denselben Wert, da B im selben Maßabnimmt, wieder Umlaufweg zunimmt.Der stromdurchflossene Leiter erzeugt nicht nur sein eigenes Magnetfeld, er erfährt

auch eine Kraftwirkung in einem externen Feld, das von anderen stromführenden Leiternerzeugt wird.

7.2.1 Strom und magnetische Feldstärke

Wir betrachten zwei unendlich lange, geradlinige, parallel verlaufende Leiter, die dieStröme I1 und I2 führen. Da sich jeder der beiden Leiter im Magnetfeld des anderenbefindet, üben die Ströme Kräfte aufeinander aus.

B = µ0

I

2πr=

I

2πε0c2r

Die Proportionalitätskonstante µ0 wird magnetische Feldkonstante oder Induktions-konstante genannt.

7.2. ERZEUGUNG VON MAGNETFELDERN 75

Die Feldlinien laufen in konzentrischen Kreisen um den Strom. Im Gegensatz zuden elektrischen Feldlinien haben sie keinen Anfang und kein Ende. Das B−Feld istdivergenzfrei, es gibt keine magnetischen Ladungen

divB = 0

Das Linienintegral von B um jede geschlossene Kurve, die den Strom umschließt, hatden gleichen Wert ∮

Bdr = µ0I =I

ε0c2(7.2)

Wird der Strom nicht umschlossen, ist dieses Integral Null. In differentieller Formschreiben wir

rot B = 0 außerhalb des Stroms (7.3a)

rot B =j

ε0c2

In Analogie zum elektrischen Flußdefiniert man den Magnetfluss

Φ =

∫∫A

B · dA

Φ =

∫∫∫divBdV = 0

Der Magnetfluss durch jede Fläche, die in einer gegebenen geschlossenen Kurve auf-gespannt ist, hängt nur von dieser Kurve, nicht von der Form der Fläche ab.Das B−Feld ist ein quellenfreies Wirbelfeld mit der Wirbeldichte j/(ε0c

2), das elek-trostatische Feld E ist ein wirbelfreies Quellenfeld mit der Quelldichte ρ/ε0.Speist man eine lange, dünne Spule mit einem konstanten Strom, so ist das B−Feld im

Inneren der Spule praktisch homogen, die Richtung des Feldes ist mit dem Spulenstromnach einer Rechtsschraubung verknüpft. Die Lage des Spule, ihre Länge, ihre Windungs-zahl N sowie die Stromstärke I können als kennzeichnende Größen dem Magnetfeldzugeordnet werden. Man führt die neue Größe

|H| = H =NI

lein, die magnetische Erregung genannt wird.Im Vakuum, sind B und H zueinander proportional

H = e0c2B =

1

µ0

B

µ0 =1

e0c2=

4π

107

Vm

Asm2s−2= 1, 26 · 106 VsA−1m−1

Wir erhalten daher

rot H = j (7.4)

H hat die Einheit A/m. In Materie bleibt (7.4) richtig und beschreibt, wie dasH−Feld durch freie, d. h. makroskopisch in Drähten usw. fließende Ströme j erzeugtwird. Für das B−Feld gilt (7.3a) nur, wenn man j auch alle mikroskopischen Strömeeinbezieht, die in den Teilchen der Materie zirkulieren. Unter einfachen Umständen giltdann zwischen B und H ein ähnlicher Zusammenhang wie zwischen E und D

B = µµ0H

µ nennt man Permeabilität des Materials.


Abbildung 7.4: Magnetfeld zweier paralleler Leiter (a) gleichgerichtet, (b) entgegenge-richtete Ströme

Bezeichnungen elektromagnetischer Felder

Wir verwenden folgende Bezeichnungen3

Symbol Bezeichnung SI-Einheit DeutungE Elektrisches Feld V/m übt auf Ladungen Kräfte ausD = ε0E Elektrische Erregung As/m2 wird aus Ladungen erzeugtB Magnetisches Feld Vs/m2 übt auf Ströme Kräfte ausH = B/µ0 Magnetische Erregung A/m wird aus Strömen erzeugt

7.2.2 Das Magnetfeld von Strömen

Mit Hilfe der Gleichungen 7.2 und 7.4 kann man für beliebige räumliche Verteilung j(r)der Ströme das Magnetfeld berechnen. Symmetrieüberlegungen und der Überlagerungs-satz vereinfachen häufig die Rechnung. Abbildung 7.4 zeigt das Magnetfeld von zweiparallelen Leitern.Das Magnetfeld einer Spule ist in Abbildung 7.5 dargestellt.Am Ende der Spule ist das Feld kleiner als im Inneren, da sich die Feldlinien auffä-

chern.Im (theoretischen) Fall einer unendlich langen Spule ist das H−Feld

H =NI

l

homogen und sitzt nur im Inneren der Spule. N ist die Zahl der Windungen.Eine technisch wichtige Ausführung ist die Toroidspule für die das Feld ebenfalls

einfach zu bestimmen ist. Wenn der Querschnitt klein gegen die Achsenlänge ist, erhaltenwir ebenfalls

B = µ0

NI

l

3 In der älteren physikalischen Literatur und in der Elektrotechnik wird H als magnetisches Feld be-zeichnet und B als magnetische Flussdichte oder magnetische Induktion bezeichnet. An den Gleichungenändert sich nichts. Um dieser Namensproblematik auszuweichen spricht man am einfachsten vom B−undH−Feld.


Abbildung 7.5: Magnetfeld einer Spule

In vielen Fällen kann das Feld mit Hilfe des Satzes von Biot-Savart berechnet werden,

dH =Idl× r

4πr3

wie bei der Berechnung des Magnetfeld eines Kreisstroms gezeigt.Der Vektor dH ist normal auf die durch ds und r gehende Ebene gerichtet. Bildet

man die Summe aller Teilfelder, so erkennt man, dass sich die zur Ringachse normalstehenden Komponenten paarweise aufheben und für das Summenfeld daher nur dieAchsenkomponenten zur Wirkung kommen

Hx =

∫Leiter

dH sinα =I

4πr2sinα

∫Leiter

ds =I

4πr2(sinα) 2aπ

Setzen wir für sinα = a/r und für r2 = a2 + x2, erhalten wir

Hx =Ia

2 (a2 + x2)

a√a2 + x2

Hx =Ia2

2 (a2 + x2)3/2

Leider ist die (analytische) Feldberechnung in der Regel aufwändig, in vielen Fällenkann man die Felder nur mit numerischen Verfahren berechnen.

7.2.3 Magnetostatik

Wenn keine makroskopischen (freien) Stromdichten j fließen, sind die Gleichungen fürB und H dieselben wie für die statischen elektrischen Felder E und D in Abwesenheitfreier Ladungen


Abbildung 7.6: Feldstärke im Luftspalt

j = 0⇒rot H = 0 div B = 0rot E = 0 ρ = 0⇒div D = 0

Man beachte, dass hier die Entsprechungen lauten B = D, H = E. An der Grenz-fläche zwischen zwei Materialien mit verschiedenen µ verhält sich B also wie D an derGrenzfläche zweier Dielektrika, H verhält sich wie E.Die Normalkomponenten von B und die Tangentialkomponenten von H haben bei-

derseits der Grenzfläche den gleichen Wert

B1⊥ = B2⊥, H1‖ = H2‖

Dagegen machen die Tangentialkomponente von B und die Normalkomponente vonH einen Sprung an der Grenzfläche

B1‖

B2‖=µ1H1‖

µ2H2‖=µ1

µ2

H1⊥H2⊥

=B1⊥µ1

:B2⊥µ2

=µ2

µ1

Da man für Eisen µ & 1000 ansetzen kann, werden alle B-Linien, die schräg auf einEisenstück zulaufen, beim Durchtritt durch die Grenzfläche praktisch parallel zu dieser:Eisen bündelt das B−Feld. Darauf beruht die magnetische Abschirmung. Ein Eisenge-häuse lässt von einem äußeren B−Feld fast nichts in den umschlossenen Raum eintreten.Geschlossene oder fast geschlossene Eisenkreise in Elektromagneten, Transformatoren,Motoren und Generatoren lassen nur einen sehr geringen Teil des Magnetflusses in denLuftraum entweichen.In elektrischen Feldern gibt es Raumelemente, in denen Feldlinien beginnen oder

enden, d. h. Feldquellen oder -senken. Dort sitzen die elektrischen Ladungen. Magnet-feldlinien haben keine Enden. Selbst wenn man die Orte, wo sie besonders dicht aus- odereinströmen (Polschuhe von Elektro- oder Permanentmagneten) als Quellen oder Senkenbezeichnen will, treten diese immer paarweise auf: Es gibt keine magnetischen Ladungen,sondern nur Dipole.

7.2.4 Elektromagnete

Wenn ein ferromagnetischer Kern mit hoher Permeabilität µ das ganze Innere einerRingspule ausfüllt, ist im Innern des Kernmaterials das B−Feld um den Faktor µ höher,als es in der gleichen Spule ohne Kern wäre. Man braucht das Feld aber außerhalb, imgünstigsten Fall in einem Luftspalt zwischen zwei Polflächen (Abbildung 7.6 ).Hier kann B höchstens indirekt vom Vorhandensein des Kerns profitieren, denn hier

ist µ = 1. Wir bestimmen B und seine Abhängigkeit von der Breite d des Luftspalts.Wegen divB = 0muss der ganze B−Fluss, der aus der Spule tritt, wieder in sie zurück.

Er könnte aber den Kern seitlich verlassen oder aus dem Luftspalt seitlich herausquellen(Streufeld). Dass er im Kern bleibt, solange das möglich ist, folgt aus dem Energiesatz:Wegen H = B/(µµ0) ist H bei gegebenem B im Kern kleiner als draußen, und damitist auch die Energiedichte 1

2H·B am kleinsten, wenn das Feld im Eisen bleibt.


Dass B auch nicht seitlich aus dem Luftspalt quillt, sieht man, wenn man eine Leiter-schleife, die den Kern eng umfasst, schnell über den Luftspalt hinwegschiebt. Es trittkein Induktionsstoßauf (das ballistische Voltmeter schlägt nicht aus), im Gegensatz zumVerhalten am Ende eines Stabmagneten oder einer geraden Spule.

B hat also im Luftspalt den gleichen Wert wie im Eisen. H dagegen hat den WertHa, der µr−mal größer ist als im Eisen.Um B und Ha zu finden, integrieren wir längs einer geschlossenen Feldlinie über H.

Das Integral ist gleich dem umschlossenen Strom NI (N Windungen):

Hil +Had = NI

l : Weg im Eisen, gestreckte Kernlänge. Im Luftspalt ist B = µ0Ha, im Eisen B =µµ0Hi, also folgt

B = µ0Ha =µ0NI

d+ l/µ

Wenn d l/µ (was bei µ ≈ 1000 zu einem sehr kleinen Luftspalt führt und sehrglatte Polflächen voraussetzt), ist B = µ0µNI/l. Die Existenz des Kerns verstärkt B imSpalt um den Faktor µ.

Bei d l/µ ist B = µ0NI/d, als ob die Spule nicht auf die Länge l, sondern nur aufd aufgewickelt wäre. Das bedeutet ebenfalls eine erhebliche Verstärkung, aber wenigerals bei d l/µr. Mit zunehmendem d fällt B schnell ab; wenn es auf einen großenMagnetfluss ankommt, z.B. in Transformatoren, sind daher Luftspalte zu vermeiden.


Teil III

Elektrodynamik

81

83

Der folgende Text folgt dem Buch von D. Meschede » Gerthsen Physik«, 24. Auflage,Kapitel 8, Elektrodynamik, http://www.springerlink.comDas Kapitel über den Hetzschen Dipol folgt dem Buch von Karl Küpfmüller, Wolf-

gang Mathis, Albrecht Reibiger » Theoretische Elektrotechnik«, 17. Auflage, Kapitel 34,Elektromagnetische Wellen, http://www.springerlink.com

84

Kapitel 8

Induktion

Inhalt8.1 Induktionsversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.2 Die Richtung des induzierten Stromes (Lenz-Regel) . . . . 878.3 Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.4 Energie und Energiedichte im Magnetfeld . . . . . . . . . . 898.5 Gegeninduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.5.1 Koppelfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.6 Anwendung der Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.6.1 Bewegungsinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.6.2 Ruheinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.1 Induktionsversuche

Wir verwenden die Versuchsanordnung nach Abbildung 8.1:An eine kreisörmige Drahtschlinge ist ein ballistisches Galvanometer1 angeschlossen. Wirführen die Versuche mit einem Stabmagneten (a) und mit einer stromdurchflossenenSpule (b) durch.

1. Nähert man den Nordpol des Magneten der Schlinge, so zeigt das ballistische Gal-vanometer einen Ausschlag, d.h. es wird Ladung durch die Kreisschlinge und dasGalvanometer transportiert.

2. Nähert man unter sonst gleichen Bedingungen nicht den Nordpol, sondern denSüdpol, so erhält man den gleichen Ausschlag in entgegengesetzter Richtung.

3. Zieht man den Magneten aus der Schlinge in die Ausgangslage zurück, so erfolgt derGalvanometerausschlag in der entgegengesetzten Richtung, ist aber ebenso groß.Die Bewegung der Ladungen erfolgt also in der entgegengesetzten Richtung.

1Ein Stromimpuls erzeigt einen Drehimpuls. Der entstehende Maximalausschlag ist proportional zurLadungsmenge, die durch das Galvanometer geflossen ist.

Abbildung 8.1: Anordnung zur Durchführung der Induktionsversuche

85

86 KAPITEL 8. INDUKTION

Abbildung 8.2: Schalten des Spulenstromes

Abbildung 8.3: Drehung der Schleife im Feld

4. Nimmt man an Stelle eines Magneten zwei gleiche Magnete, so ist derAusschlagdes ballistischenGalvanometers doppelt so groß.

5. Verwendet man unter sonst gleichen Bedingungen statt einer einfachen eine dop-pelte (n-fache) Schlinge, so wird der Ausschlag doppelt (bzw. n-mal) so groß.

6. Ersetzt man den permanenten Magneten durch eine stromdurchflossene Spule, sobeobachtet man bei Annäherung bzw. Entfernung die gleichen Erscheinungen. BeiVerdoppelung der Stromstärke in der Spule werden die Galvanometerausschlägedoppelt so groß. Die in der Drahtschlinge transportierten Ladungen sind der Strom-stärke in der Spule, also dem in ihr erregten Feld proportional.

7. Schiebt man die Spule ganz in das Innere der Drahtschlinge und schließt oderöffnet man nun den Spulenstromkreis, so zeigt das ballistische Galvanometer diegleichen Ausschläge, als ob die stromführende Spule aus großer Entfernung ganz indas Innere der Schlinge hineingeführt oder aus dem Inneren herausgezogen würde(Abbildung 8.2).

8. Die Erhöhung der Windungszahl der Schlinge hat den gleichen Effekt wie in Ver-such 5.

9. Bringt man die Drahtschlinge aus einem feldfreien Raum in ein Magnetfeld (z.B. zwischen die Polschuhe eines Elektromagneten), so zeigt das ballistische Gal-vanometer einen Ausschlag. Den gleichen Ausschlag in entgegengesetzter Richtungerhält man, wenn man die Schlinge aus dem Feld herausbringt.

10. Dreht man die Schleifenebene, die erst senkrecht zu den Feldlinien stand, in eineLage parallel zu ihnen, so ist der Ausschlag des ballistischen Galvanometers dergleiche wie bei vollständiger Entfernung aus dem Magnetfeld (Abbildung 8.3 ).Dreht man die Schlinge aus der Ausgangslage um 180, sodass die Feldlinien dieSchlinge von der entgegengesetzten Seite durchdringen, so wird der Galvanometer-ausschlag doppelt so groß.

11. Wenn man die Fläche der Schlinge in einem konstanten Magnetfeld ändert, indemman sie zusammenzieht oder erweitert, zeigt das Galvanometer einen Ausschlag

8.2. DIE RICHTUNG DES INDUZIERTEN STROMES (LENZ-REGEL) 87

Abbildung 8.4: Flächenänderung der Schleife

(Abbildung 8.4 ).

Zieht man die Schlinge auf den Flächeninhalt Null zusammen, so ist der Galvano-meterausschlag der gleiche, als ob die unveränderte Schlinge aus dem Feld in denfeldfreien Raum gebracht wird.

12. Schiebt man in das Innere einer Spule bei konstant gehaltenem Spulenstrom einenEisenkern, so zeigt das Galvanometer wiederum einen Ausschlag, der ein Vielfachesdes Ausschlages beim ersten Einschalten des Spulenstromes betragen kann.

Das Ergebniss dieser Versuche ist zusammengefasst im Induktionsgesetz:

Wenn sich der Magnetfluss Φ ändert, der eine Drahtschleife durchsetzt,wird in ihr eineSpannung und, bei gegebenem Widerstand, ein Strom erzeugt; beide sind proportionalzu dΦ/dt.

Die während dieses Stromstoßes transportierte Ladung∫Idt ist demnach nur von∫

Φdt = Φ2 − Φ1, d.h. von der Gesamtänderung des Magnetflusses abhängig, nicht vonder Art, wie diese Änderung im Einzelnen vor sich geht.Versuch 12 zeigt, dass es nicht auf den Fluss von H ankommt, der nur von Spulen-

geometrie und -strom abhängt, sondern auf den Fluss von B, der durch Einschieben desEisens stark erhöht wird.

U =

∮E · dr = −Φ

Wenn sich der Magnetfluss durch eine gegebene Fläche zeitlich ändert, wird in derRandlinie dieser Fläche eine Ringspannung Uind = −Φ induziert. Dabei ist es ganzgleichgültig, ob diese Randlinie durch eine Leiterschleife materialisiert ist oder ob es nureine gedachte Linie ist. Das Feld E, von dem wir ausgegangen sind, entsteht ja überall,nicht nur im Draht.Geht man zu einer sehr kleinen Leiterschleife mit der Fläche dA über, verwandelt

sich das Linienintegral∮E·dr in rot E· dA. Das Induktionsgesetz lautet dann

rotE = −B

Für die kleine Rechteckschleife hat dA den Betrag ab und die Richtung von B.

8.2 Die Richtung des induzierten Stromes (Lenz-Regel)

Der Aufbau des Schleifenstroms und seines Magnetfeldes kostet Energie, die nur bei derVerschiebung des Magneten aufgebracht worden sein kann. Aus dem Energiesatz folgt:

Der induzierte Strom ist immer so gerichtet, dass sein Magnetfeld der Induktionsur-sache entgegenwirkt. (Lenz’sche Regel)


Abbildung 8.5: Richtung des induzierten Stromes

Er sucht z.B. den sich nähernden Magneten wegzuschieben, den sich entfernendenzurückzuhalten (Abbildung 8.5). Aus demselben Grunde kostet es Arbeit, eine Spuleim Magnetfeld zu drehen. Eben diese mechanische Arbeit ist es, die der Generator inelektrische Energie umsetzt.Ebenso wichtig ist die Situation von Abbildung 8.2, wo das Magnetfeld eines Elek-

tromagneten zunimmt, weil man den Spulenstrom ansteigen lässt.Ohne weitere Überlegung kann man sagen: Im umgebenden Drahtring wird ein Strom

induziert, dessen Magnetfeld so gerichtet ist, dass es seinerseits in der Spule eine Span-nung induziert, die dem Spannungsanstieg darin entgegenwirkt. Auch hier widersetzt sichdas induzierte Feld der Induktionsursache, nämlich dem Anschwellen des Spulenstroms.Dies führt zum Begriff der Gegen- und der Selbstinduktion.

8.3 Induktivität

Durch jeden Stromkreis greift ein Magnetfluss hindurch, der von seinem eigenen Ma-gnetfeld herrührt. Ebenso wie die Felder H und B ist dieser Fluss der augenblicklichenStromstärke I proportional:

Φ = LI

Der Faktor L, die Induktivität des Leiters, hängt nur von seiner Gestalt und derPermeabilität des umgebenden Mediums ab.Mit jeder Änderung des Stromes I ändert sich auch der Fluss und induziert im Leiter

selbst eine Spannung. Diese muss bei Zunahme des Stroms ihm entgegengerichtet sein,denn sonst würde eine instabile und energetisch unmögliche Situation eintreten:Sogar in einem Leiter, an dem keine äußere Spannung anliegt, erzeugten zufällige Schwan-kungen der Elektronenverteilung immer winzige Ströme; diese würden Spannungen indu-zieren, die die Ströme verstärken würden, bis zum unbegrenzten Anwachsen eines Stromesaus dem Nichts.Die Lenz’sche Regel führt zu dem gleichen Schluss. Nach dem Induktionsgesetz ist dieinduzierte Spannung

Uind = −Φ = −LIDie Einheit der Induktivität ist

1V/(As−1) = 1Ωs = 1JA−2 = 1H (1 Henry)

Ein Leiter hat die Induktivität von 1 H, wenn in ihm durch eine Stromänderung von1 As−1 eine Spannung von 1 V induziert wird.

Beispiel 34 Im Innern einer zylindrischen Spule mit der Länge l, dem QuerschnittA l2 und der Windungszahl N , gefüllt mit einem Material der Permeabilität µ, durchdie der Strom I fließt, herrscht das Feld B = µµ0IN/l. Durch jedeWindung tritt derFluss BA, durch alle N Windungen zusammen der Fluss Φ = NBA = µµ0IN

2A/l.

8.4. ENERGIE UND ENERGIEDICHTE IM MAGNETFELD 89

Wenn sich der Strom I ändert, induziert er zwischen den Spulenenden die Spannung

Uind = −Φ = −µµ0

N2

lAI

Diese Spule hat also die Induktivität

L = µµ0

N2

lA

8.4 Energie und Energiedichte im Magnetfeld

Die magnetische Energie einer Spule ist

Emagn =1

2I2L =

1

2ΦI

Die Energiedichte ist

emagn =EmagnV

=1

2

∫H · dB

8.5 Gegeninduktion

Wir betrachten mehrere getrennte Leiterkreise, in denen die Ströme I1, I2, . . . fließen. DasMagnetfeld Bi, das vom Kreis i stammt, ist an jeder Stelle proportional zu Ii . An jederStelle setzt sich das Gesamtfeld B additiv aus den Beträgen der Kreise zusammen. DieseAdditivität und Proportionalität zum Strom übertragen sich auch auf die MagnetflüsseΦ =

∫∫B · dA. Durch den Kreis i trete insgesamt der Fluss Φi. Er stammt z. T. von

dem Strom Ii im Kreis selbst, aber auch von den anderen Kreisen:

Φ =∑k

Φik =∑k

LikIk

Wenn sich der Fluss Φi zeitlich ändert, induziert er im Kreis i dieRingspannungU = Φi, die sich zusammensetzt aus den Beträgen der Stromänderungen in den einzelnenKreisen:

Ui =∑k

Lik Ik

Ist nur der Kreis i vorhanden, ergibt sich Ui = LiiIi. Lii ist die Induktivität desKreises i, Lik sind die Gegeninduktivitäten zwischen Kreis i und k. Als Folge davonkönnen die einzelnen Stromkreise nicht mehr unabhängig voneinander betrachtet werden,sie sind magnetisch miteinander gekoppelt.Um die Situation übersichtlich darzustellen, betrachten wir lediglich zwei Stromkreise

der Abbildung 8.6 .Die Leiterschleife 1 ist an eine Spannung u1(t) angeschlossen, die einen Strom i1(t)

hervorruft. Das von diesem Strom hervorgerufene Magnetfeld erzeugt den magnetischenFluss Φ11, der rechtshändig mit i1 verknüpft ist. Ein Teil des Flusses (angedeutet durchdie beiden Feldlinien), bezeichnet mit Φ21, durchsetzt die Leiterschleife 2. Die Leiter-schleifen haben die Widerstände R1 und R2. In der Schleife 1 haben wir folgende Bezie-hung

u1 = R1i1 +dΦ11

dt= R1i1 + L11

di1dt

L11 ist die Selbstinduktivität der Leiterschleife 1. Infolge des eingekoppelen, sich zeit-lich ändernden Flusses Φ21, wird in der Leiterschleife 2 die Spannung u2ind(t) induziert,


Abbildung 8.6: Gekoppelte Stromkreise

Abbildung 8.7: Gekoppelte Stromkreise

die proportional dem diese Schleife durchsetzenden Fluss und damit proportional derStromänderung in Schleife 1 ist

u2ind = −dΦ21

dt= −L21

di1dt

i2ind =u2ind

R2

Unterbricht man den Stromkreis der Schleife 2, dann verschwindet i2ind und die in-duzierte Spannung u2ind kann an den Klemmen gemessen werden.

Wenn in der Leiterschleife 2 ein Strom i2(t) fließt, und zwar unabhängig davon, ob erdurch Flussäderung eines zeitlich veränderlichen Stromes i1(t) induziert wird oder ob erdurch eine Spannungsquelle u2(t) verursacht wird, dann wird dieser Strom i2(t) einenmagnetischen Fluss Φ22 erzeugen, der mit i2(t) rechtshändig verknüpft ist.

Der Teil des Flusses, der auch mit der Schleife 1 verbunden ist, wird als Φ12 bezeichnet.Da die induzierte Spannung in einer Leiterschleife proportional zur zeitlichen Änderungdes gesamten die Schleife durchsetzenden Flusses ist, müssen die beiden Fälle überlagertwerden. Wir erhalten

8.5. GEGENINDUKTION 91

∮Schleife 1

E · ds = −u1 +R1i1 = −dΦ1g e s

dt= − d

dt(Φ11 + Φ12)

∮Schleife 2

E · ds = −u2 +R2i2 = −dΦ2g e s

dt= − d

dt(Φ21 + Φ22)

bzw.

u1 = R1i1 +d

dt(Φ11 + Φ12) = R1i1 + L11

di1dt

+ L12di2dt

u2 = R2i2 +d

dt(Φ21 + Φ22) = R2i2 + L21

di1dt

+ L22di2dt

Anmerkung 35 Sind die durch die positiven Ströme hervorgerufenen Flüsse gleichge-richtet, dann addieren sich die induzierten Spannungen von Selbst- und Gegenindukti-vität. Sind die Flüsse gegengerichtet, dann ist der Beitrag infolge der Gegeninduktivitätnegativ.

Anmerkung 36 In einem System mit mehreren Leitern gilt für die zwischen dem i-tenund k-ten Leiter auftretende Gegeninduktivität aus Symmetriegründen Lik = Lki.

Es ist üblich, die Gegeninduktivitäten mit M zu bezeichnen, wir schreiben daher

u1(t) = R1i1(t) + L11di1(t)

dt+M

di2(t)

dt(8.1)

u2(t) = R2i2(t) +Mdi1(t)

dt+ L22

di2(t)

dt

Das Gleichungssystem 8.1 hängt nicht von der Geometrie der Anordnung ab. Andersverlaufende Leiterschleifen haben lediglich andere Werte der Selbst- und Gegenindukti-vität.

8.5.1 Koppelfaktoren

Der Wert der Gegeninduktivität hängt nur davon ab, welcher Anteil des von einer Schleifeerzeugten magnetischen Flusses die andere Schleife durchsetzt. Die Koppelfaktoren sinddas Verhältnis von dem durch beide Schleifen gehenden Fluss zum Gesamtfluss

k21 =Φ21

Φ11=

M

L11k12 =

Φ12

Φ22=

M

L22

Die Koppelfaktoren nehmen je nach Form der Leiterschleifen und Zahl der Win-dungen n1 und n2 sehr unterschiedliche Werte an. Für n1 = n2 = 1 kann der mitbeiden Windungen verkettete Fluss nur kleiner oder maximal gleich zu dem von einerWindung erzeugten Fluss sein, die Koppelfaktoren können dann betragsmäßig maximalgleich 1 sein. In der Praxis reicht zur Beschreibung der Kopplung zwischen zwei Schlei-fen ein einziger Zahlenwert, man bildet das geometrische Mittel der gegebenenfalls sehrunterschiedlichen Koppelfaktoren. Dieses ist unabhängig von den Windungszahlen undbetragsmäßig immer ≤ 1.

k = ±√k12k21 =

M√L11L22

|k| ≤ 1

Wir erhalten dann


Abbildung 8.8: Transformator

u1(t) = R1i1(t) + L11di1(t)

dt+ k√L11L22

di2(t)

dt(8.2)

u2(t) = R2i2(t) + k√L11L22

di1(t)

dt+ L22

di2(t)

dt

Die Energie im Zweileitersystem beträgt

Emagn =1

2L11I

21 +MI1I2 +

1

2L22I

22

Für ein Mehrleitersystem erhalten wir

Emagn =1

2

n∑i=1

n∑k=1

LikIiIk

8.6 Anwendung der Induktion

8.6.1 Bewegungsinduktion

Eine wichtige Anwendung der Bewegungsinduktion ist die Umwandlung zwischen elek-trischer und mechanischer Energie. Beim Generator wird die zugeführte mechanischeEnergie in elektrische Energie umgewandelt. Die prinzipielle Wirkungsweise ist im Kapi-tel » Lorentz-Kraft und Magnetfeld« dargestellt.Der elektrische Motor wandelt zugeführte elektrische Energie in mechanische Energie

um, wobei die Kraftwirkung von Magnetfeldern ausgenützt wird. Der Aufbau ist prinzi-piell der gleiche wie bei Generatoren.

8.6.2 Ruheinduktion

Die wohl wichtigste Anwendung der Ruheinduktion findet man in Transformatoren undÜbertragern.Ein Transformator dient zur Änderung der Amplitude einer Wechselspannung ohne

Frequenzänderung. Er besteht aus zwei Spulen verschiedener Windungszahlen N1 bzw.N2, die einen gemeinsamen Magnetfluss umgreifen. Dieser Magnetfluss wird gebündeltdurch einen hochpermeablen Eisenkern, der normalerweise einen geschlossenen magneti-schen Kreis bildet. Die effektive Leitfähigkeit des Kerns muss klein sein, damit Wirbel-stromverluste vermieden werden. Für kleine Leistungen benutzt man deshalb Ferritkerne,für höhere Leistungen lamellierte Eisenrahmen (aus Blechen von meist 0, 35 mm Stärke,durch Lack oder Papier gegeneinander isoliert).Transformatoren (in der Starkstromtechnik) transformieren Spannungen und über-

tragen Leistung zwischen (galvanisch) getrennten Netzwerken.In der Nachrichtentechnik spricht man üblicherweise von Übertragern. Neben der Span-nungsumsetzung werden Übertrager zur Widerstandstransformation und Potentialtren-nung zwischen Primär- un Sekundärseite und für spezielle nachrichtentechnische Schal-tungen verwendet.

8.6. ANWENDUNG DER INDUKTION 93

Abbildung 8.9: Spannungen, Ströme, Fluss im Transformator

Idealer Transformator

Wir untersuchen zunächst den idealen Transformator:

• Die Spulen haben keinen ohmschen Widerstand (keine Kupferverluste)

• Keine Wirbelströme und Hysteresis, der Aufbau des B-Feldes folgt phasengleichdem Strom (keine Eisenverluste)

• Der Magnetfluss Φ ist ganz im Eisenkern konzentriert und durchsetzt beide Spulenin gleicher Stärke (kein Streufluss)

Spannungs- und Stromrichtungen, Wicklungssinn und Fluss sind entsprechend Ab-bildung 8.9 gewählt.Wir legen an die Klemmen der Primärwicklung die Spannung U1 an. Da der Wider-

stand der Spule rein induktiv ist, wird U1 kompensiert durch eine entgegengesetzt gleicheSelbstinduktions-Spannung, die gleich der Flussänderung durch alle N1 Windungen ist

U1 = N1Φ

In der Sekundärspule induziert diese Flussänderung Φ die Spannung

U2 = −N2Φ

Sie ist identisch mit der an den Sekundärklemmen abgegriffenen Spannung. Die Span-nungsübersetzung des Transformators ist also

U2

U1= −N2

N1= −u

Diese Beziehung drückt direkt das Induktionsgesetz aus und ist (beim idealen Tra-fo) unabhängig von der Stromentnahme aus der Sekundärspule. Das Vorzeichen drücktGegenläufigkeit der beiden Spannungen aus.Bei offenem, leerlaufendem Sekundärkreis fließt kein Strom, der Magnetfluss Φ stammt

daher nur vom Strom I1 in der Primärspule. Dieser Leerlaufstrom I10 ist ein reiner Blind-strom I10 = U1/(jωL1), also leistungslos; sekundärseitig wird ja auch keine Leistungentnommen.Bei sekundärseitiger Belastung mit dem komplexen Widerstand Z = R + jL verur-

sacht die Spannung U2, die durch U1 und N2/N1 fest gegeben ist, einen Strom I2 = U2/Z.Dieser Strom fließt, nach Abbildung 8.9 mit umgekehrtem Vorzeichen, auch durch die Se-kundärwicklung und trägt zum Magnetfluss Φ bei. Φ ändert sich aber nicht gegenüber sei-nem durch I10 bestimmten Leerlaufwert, denn dieser Wert bzw. seine zeitliche Ableitungreicht gerade aus, um das gegebene U1 zu kompensieren. Die zusätzliche DurchflutungN2I2 muss also durch einen zusätzlichen Primärstrom I

′

1 mit N1I′

1 = N2I2 kompensiertwerden. Der Primärstrom wird daher

I1 = I10 −N2

N1I2 = I10 −

N2

N1

U2

U1

Die komplexe Addition macht I1 i. A. größer als den Leerlaufstrom.


Abbildung 8.10: Zeigerdiagramm (a) unbelasteter (b) belasteter idealer Trafo

Abbildung 8.11: Ersatzschaltbild realer Trafo

Der Energiesatz ist erfüllt: Abzüglich des reinen Blindstrom I10 verhalten sich Primär-und Sekundärstrom, die gleiche Phasenwinkel zu ihren Spannungen bilden, umgekehrt wiediese, d.h. Primär- und Sekundärleistung sind gleich. Der Transformator ist ja verlustfrei(ideal).Wenn Z sehr klein ist, Z ωL12, die Sekundärwicklung praktisch kurzgeschlossen,wird I10 N2I2/N1, also I1 ≈ (−N2/N1) I2. Die Ströme haben dann entgegengesetzteRichtung. Das Zeigerdiagramm in Abbildung 8.10 verdeutlicht die Zusammenhänge.Beim idealen Trafo stehen die Beträge der Spannungen im gleichen, die Beträge der

Ströme im umgekehrten Verhältnis wie die Windungszahlen. Die zugeführte Leistung istin jedem Zeitpunkt gleich der abgeführten Leistung.

upus

=isip

= ±u u =NpNs

upip = usis

Der Eingangswiderstand des idealen Übertragers ist gleich dem mit dem Quadrat derÜbersetzung multiplizierten Lastwiderstand. Diese Eigenschaft wird in der Nachrichten-technik zur Leistungsanpassung benützt, indem die Übersetzung so gewählt wird, dassder übersetzte Widerstand gleich dem Innenwiderstand der Quelle auf der Primärseiteist.Beim realen Trafo müssen die Verluste durch die Wicklungswiderstände, die Streuf-

lüsse, sowie die Verluste im Eisenkern (Hysterese, Wirbelstrom) berücksichtigt werden,wie im Ersatzschaltbild Abbildung 8.11 dargestellt.In manchen praktischen Anwendungen ist eine Spannungsübersetzung gewünscht,

aber eine galvanische Trennung nicht erforderlich (z.B. 110 Volt im US-Netz auf europäi-sche 230 V). In einem derartigen Fall ist eine einzelne Wicklung mit Anzapfung ausrei-chend, wie in Abbildung 8.12 gezeigt. Die Spannungsübersetzung ist up/us = Np //Ns =(N1 +N2) //N2.

8.6. ANWENDUNG DER INDUKTION 95

Abbildung 8.12: Spartrafo


Kapitel 9

Magnetische Materialien

Inhalt9.1 Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9.2 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9.1 Magnetisierung

Bringt man Materie in ein Magnetfeld B, dann beginnen um die B-Richtung überallmikroskopische Kreisströme zu fließen. Die Materie wird magnetisiert.Wir betrachten den Einfluss der Kreisströme auf das B-Feld und das H-Feld. Dazu un-terscheiden wir, ähnlich wie im Fall elektrischer Ladungen, freie und gebundene Ströme.Freie Ströme fließen in Drähten, man kann sie mit Amperemetern messen. Die Kreisströ-me in magnetisierter Materie sind gebundene Ströme. Alle Ströme sind Quellen von B,aber nur die freien Ströme sind Quellen von H.

In den Seitenflächen des magnetisierten Körpers fließen ringsum gebundene Ströme.Sie bleiben von den mikroskopischen Kreisströmen übrig, wenn man diese in jedem Vo-lumenelement zeichnet und dabei berücksichtigt, dass sich in den Berührungsflächen dieentgegengesetzten Ströme aufheben, nur an der Oberfläche nicht (Abbildung 9.1). DasModell der Kreisstöme liefert nur ein grobes Modell des Verhaltens der Materie, eintiefergehendes Verständnis ist nur im Rahmen der Quantenmechanik möglich.Für die makroskopische Darstellung gehen wir vom magnetischen Dipol aus. Ein

magnetischer Dipol ist eine kleine vom Strom I durchflossene Schleife, die eine ebeneFläche A umschließt (Abbildung 9.2 ). Das magnetische Moment ist m = IA.Die Größe

Abbildung 9.1: Magnetische Kreisströme in einem Material

97

98 KAPITEL 9. MAGNETISCHE MATERIALIEN

Abbildung 9.2: Magnetischer DIpol

j = µ0 m = µ0IA

nennt man magnetisches Dipolmoment.Die auf das Volumen bezogene (vektorielle) Summe der magnetischen Momente nennt

man Magnetisierung

M =1

V

N∑n=1

mn

Die Größe

J =1

V

N∑n=1

jn = µ0M

heißt magnetische Polarisation.In Materie trägt sowohl die Eigendrehung (Spin) der Elektronen, als auch die Bewe-

gung in ihrer Umlaufbahn zum magnetischen Dipolmoment (zur magnetischen Polarisie-rung) bei. Unter dem Einfluss eines äußeren Magnetfeldes richten sich die Dipole nachMöglichkeit so aus, dass sie keine weitere Krafteinwirkung erfahren, die Richtung desDipols stimmt dann mit der Feldrichtung überein.Das makroskopische magnetische Verhalten wird dargestellt

B = µµ0H

Die Wirkung der im Einzelnen nicht zugänglichen molekularen Ströme wird so durchdie Materialkonstante µ dargestellt. Der Zahlenfaktor µ wird Permeabilitätszahl genannt.In Luft ist 1 + 0, 4·10−6, also praktisch gleich 1.Das B−Feld in Materie kann man sich zusammengesetzt denken aus B = µ0H, das

bereits im Vakuum vorliegt und dem zusätzlich durch die Polarisation der atomarenStromschleifen hervorgerufenen Anteil J

B = µµ0H = µ0 H+ (µµ0 − µ0) H = µ0H + J

J = (µµ0 − µ0) H = µ0 (µ− 1) H = µ0χH

Die Größe χ wird magnetische Suszeptibilität genannt. Es folgt

B = µ0 (H +M) M = χH

Die magnetische Polarisation J beschreibt den Zuwachs des B−Feldes im Materialgegenüber Vakuum J = B − µ0H bei gleichem H−Feld.Die Magnetisierung M beschreibt die Abnahme des H−Feldes im Material gegenüberVakuumM = 1

µ0B −H bei gleichem B−Feld.

Wie bei der elektrischen Polarisation gibt es auch im magnetischen Feld unterschied-liche Mechanismen, die zu einer Polarisation führen:

• Materialien die das B−Feld abschwächen —µ < 1 —nennt man diamagnetisch.

9.2. FERROMAGNETISMUS 99

• Materialien die das B−Feld geringfügig vergrößern —µ > 1 —nennt man parama-gnetisch.

• Materialien die dasB−Feld stark vergrößern —µ 1 —nennt man ferromagnetisch.

Diamagnetisch µWasser 0,999 986 4Kupfer 0,999 990 4Paramagnetisch µAluminium 1,000 020 8Eisen (800 C) 1,149Ferromagnetisch µEisen 300 . . . 10.000Mumetall (NiFe) 50.000 . . . 140.000

9.2 Ferromagnetismus

Bei ferromagnetischen Stoffen gibt es größere Bereiche (im µm−Bereich) in denen Dipo-le bereits parallel zu einander ausgerichtet sind (Weiß’sche Bezirke). Diese Bereiche sindjedoch statistisch verteilt, sodass ohne äußeres Magnetfeld kein resultierendes Dipolmo-ment erkennbar ist. Wird ein äußeres Magnetfeld angelegt, dann dehnen sich Bezirke,deren Dipole in Richtung des äußeren Feldes zeigen, auf Kosten anderer Bezirke. Wenndas äußere Feld klein ist, ist dieser Vorgang reversibel. Bei größerem äußerem Magnetfeldklappen die Magnetisierungsrichtungen der Bezirke derart um, dass sie näherungsweisein Richtung des äußeren Feldes zeigen. Dieser Vorgang ist irreversibel. Die Magnetisie-rungskurve eines ferromagnetischen Materials ist nichtlinear (Hysteresekurve).Oberhalb einer bestimmten materialabhängigen Temperatur —der Curie-Temperatur

—verlieren die Stoffe ihre ferromagnetischen Eigenschaften. Für Eisen beträgt die Curie-Temperatur ca. 770 C.

100 KAPITEL 9. MAGNETISCHE MATERIALIEN

Kapitel 10

Elektromagnetische Wellen

Inhalt10.1 Der Verschiebungsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10110.2 Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10.2.1 Energieströmung und Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . 104

10.3 Der Hertzsche Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10410.3.1 Nahfeld der schwingenden Ladung . . . . . . . . . . . . . . . 107

10.3.2 Fernfeld der schwingenden Ladung . . . . . . . . . . . . . . . 107

10.3.3 Erläuterungen zu den Feldbildern . . . . . . . . . . . . . . . . 108

10.3.4 Energiefluss in der Elementarwelle, Strahlungswiderstand . . 109

10.4 Lineare Antennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Wir fassen die bisherigen Darstellungen elektromagnetischer Erscheinungen zusam-men:

1. Ruhende elektrische Ladungen erzeugen elektrische Felder, deren Feldlinien in denLadungen beginnen oder enden:

divD = ρ

2. Ströme (bewegte Ladungen) erzeugen Magnetfelder, deren geschlossene Feldliniendie Ströme umkreisen

rot H = j

3. Sich ändernde Magnetfelder erzeugen elektrische Felder, deren geschlossene Feldli-nien die Änderungsrichtung des Magnetfeldes umkreisen:

rot E = −B

4. Magnetische Felder sind quellenfrei

divB = 0

10.1 Der Verschiebungsstrom

Wenn ein Kondensator in einem Schaltkreis aufgeladen wird, fließt überall imKreis einLadestrom I, nur zwischen den Kondensatorplatten ist er plötzlich unterbrochen. Wennder Plattenzwischenraum mit einem Dielektrikum gefüllt ist, so fließt eigentlich auch dortein —allerdings nicht direkt messbarer —Strom I1, repräsentiert durch die Verschiebungder Ladungen im Dielektrikum. Die Platten des Kondensators mögen die Fläche A und

101

102 KAPITEL 10. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN

Abbildung 10.1: Verschiebungsstrom im Kondensator

den Abstand d haben. Die Polarisation P des Dielektrikums entspricht einer Ladung±PAdirekt vor den Platten, ihre Änderung P einem Strom I1 = PA. Mit dem ZusammenhangD = εε0E = εoE + P lässt sich der gesamte Ladestrom darstellen als

I = Q = CU = CEd = εε0AE = DA = ε0AE + PA

In dieser Gleichung taucht der Verschiebungsstrom I1 = PA wieder auf, der in derLadungsverschiebung im Dielektrikum besteht.Maxwell fasste nun auch das Glied ε0AE als Teil eines Verschiebungsstromes auf, der

sogar im Vakuum fließen soll, wenn sich das elektrische Feld dort ändert. Der vollständigeVerschiebungsstrom

IV = ε0AE + PA = εε0AE = DA

sorgt dann dafür, dass der Stromkreis, auch über den Kondensatorzwischenraum hin-weg, völlig geschlossen ist. Die Verschiebungsstromdichte

jV = D

soll danach völlig gleichwertig einer Leitungsstromdichte jL sein, wie sie im Metallfließt. Diese Begriffsbildung bewährt sich, wenn sich zeigt, dass ein Verschiebungsstrom,also eine zeitliche Änderung des elektrischen Feldes, ebenso ein Magnetfeld um sich herumerzeugt, wie das ein Leitungsstrom tut (Abbildung 10.1 ). Man hat dann das Recht, dieGleichung rot H = jL zur vollständigen Maxwell’schen Gleichung

rot H = jV + jL = D + jL

zu ergänzen.Alle diese Annahmen bestätigen sich empirisch vollkommen. Die Maxwell’schen Glei-

chung lauten daher

differentiell integral

rot H = D + jL∮K

H · ds = ddt

∫∫A

D · dA+ I (1)

rot E = −B∮K

E · ds = ddt

∫∫A

B · dA (2)

div D = ρ∮A

D · d A = Q (3)

div B = 0∮A

B · d A = 0 (4)

In (1) und (2) ist K die Kurve, die die Fläche A umrandet. In (3) und (4) ist A dieOberfläche des Volumens, das die Ladung Q umschließt.Bis auf die Tatsache, dass es elektrische, aber keine magnetischen Ladungen und

Ströme gibt, drücken diese Gleichungen eine völlige Symmetrie zwischen elektrischemund magnetischem Feld aus:

10.1. DER VERSCHIEBUNGSSTROM 103

Abbildung 10.2: Sich änderndes elektrisches und magnetisches Feld

Ein sich zeitlich änderndes elektrisches Feld erzeugt ein magnetisches Wirbelfeld. Einsich zeitlich änderndes Magnetfeld erzeugt ein elektrischesWirbelfeld (Abbildung 10.2).

Jede Änderung eines Magnetfeldes induziert in einem Leiter, der das Feld umfasst,eine Spannung. Wird der Leiter zum Ring geschlossen, so fließt in ihm ein Strom, derseinerseits ein (sekundäres) Magnetfeld erzeugt. In Abbildung 10.1 sei B die Änderungdes Primärfeldes, entsprechend einer Zunahme von B. Das sekundäre Feld ist stets Bentgegengerichtet.

Die Maxwell’schen Gleichungen behaupten, dass all dies auch richtig ist, wenn keinLeiter das sich ändernde Magnetfeld umspannt, in dem man die induzierten elektrischenFelder durch einen Strom direkt nachweisen könnte1 .

1 In dem Spezialfall, wo das primäre Magnetfeld linear mit der Zeit anwächst, d. h. B konstantist, induziert es um sich ein konstantes elektrisches Wirbelfeld. Ist ein Leiter vorhanden, so fließt einGleichstrom, dessen sekundäres Magnetfeld ebenfalls konstant ist. Ohne einen Leiter hat das konstanteelektrische Wirbelfeld keine weiteren Folgen.Anders, wenn sich das primäre Magnetfeld nicht mit konstanter Geschwindigkeit ändert, z. B. wennes von einem mit Wechselstrom betriebenen Magneten stammt. Mit B ist dann auch das induzierteelektrische Wirbelfeld zeitlich veränderlich und erzeugt daher (gleichgültig ob ein Leiter da ist odernicht) um sich herum wieder ein Magnetfeld, und so weiter.


10.2 Elektromagnetische Wellen

Aus den Maxwell’schen Gleichungen folgt, dass sich elektrische und magnetische Feldergegenseitig induzieren können und wir können folgendes feststellen:

• Elektromagnetische Wellen müssen transversal sein.Wenn D oder B in der Ausbreitungsrichtung lägen (oder auch nur eine Kompo-nente in dieser Richtung hätten), würde der Raum von abwechselnden Feldquellenund Feldsenken erfüllt sein. Dies ist im ladungsfreien Raum für D nicht möglich,und für B überhaupt nirgends. D und B stehen daher senkrecht auf der Aus-breitungsrichtung, elektromagnetische Wellen sind transversal. Dies folgt aus denMaxwell’schen Gleichungen div D = 0, divB = 0.

• B steht senkrecht auf E.

• E und H sind in Phase, d. h. haben ihre Maxima an der gleichen Stelle.

• Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist

v =1

√εε0µµ0

Die vier Feldvektoren hängen zusammen

E0 =

√µµ0

εε0H0 =

1√εε0µµ0

B0 =1

εε0D0

Die Größe Zw = E0/H0 =√µµ0/εε0 nennt man Wellenwiderstand des Mediums.

Im Vakuum ist

Zw =

√µ0

ε0= 376, 7 Ω

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum ist

c =1

√ε0µ0

= 3.108 m/s

10.2.1 Energieströmung und Energiedichte

Diese Energie strömt normal zu E undH, die beide ihrerseits normal aufeinander stehen.Alle diese Eigenschaften drückt der Poynting-Vektor

S = E ×H

aus, der die Energiestromdichte im elektromagnetischen Feld angibt.

10.3 Der Hertzsche Dipol

Die einfachste elektromagnetische Welle ergibt sich2 , wenn eine punktförmige Elektri-zitätsmenge in einem sonst von Ladungen und materiellen Körpern freien Raum un-gleichförmig bewegt wird. Die bei allgemeinen Bewegungen von räumlich ausgedehntenLadungen entstehenden Wellen lassen sich durch Überlagerung der von den einzelnenLadungsteilchen ausgehenden Wellen darstellen.Da sich jede Bewegung nach Fourier in zeitlich sinusförmige Bewegungen zerlegen

lässt, betrachten wir nur eine sinusförmige Bewegung von Ladungen. Solche Bewegungen

2Die Darstellung folgt dem Buch Karl Küpfmüller,·Wolfgang Mathis, Albrecht Reibiger: "TheoretischeElektrotechnik", Springer Verlag

10.3. DER HERTZSCHE DIPOL 105

Abbildung 10.3: Koordinaten der schwingenden Ladung

treten auch auf, wenn sich die Ströme und Spannungen in einem Stromkreis zeitlich si-nusförmig verändern. In jedem kleinen Ausschnitt des vom Wechselstrom durchflossenenLeiters schwingt die Elektronenwolke gegenüber den feststehenden positiven Ladungender Atomrümpfe in der Längsrichtung des Leiters hin und her. Die von einem drahtförmi-gen Leiter ausgehende elektromagnetische Welle kann aus den von den Längenelementendes Leiters herrührenden Teilwellen zusammengesetzt gedacht werden.Die von einem sehr kurzen, von Sinusstrom durchflossenen, Leiterabschnitt ausgehen-

de Welle bildet die Elementarform der elektromagnetischen Welle. Sie wird durch denWechselstrom i in dem Leiterabschnitt von der sehr kleinen Länge l erregt oder, wasdamit gleichwertig ist, durch eine Ladung Q, die mit der Geschwindigkeit v sinusförmigum eine Ruhelage schwingt. Beide Vorgänge sind gleichwertig, wenn

v Q = I l

Eine solche Erregungsstelle wird Hertzscher Dipol genannt. Die schwingende Ladungist im Koordinatensystem Abbildung 10.3 dargestellt.Die schwingende Ladung liegt in der z−Achse. Aus Symmetriegründen hängen dann

die Feldgrößen nur von den beiden Zylinderkoordinaten a und z ab. Bei sinusförmigerZeitabhängigkeit mit der Kreisfrequenz ω gelten die Feldgleichungen im Raum außerhalbdes Dipols in der Form3

rotH = jωε0E

rotE = −jωµ0H

(Im Vakuum und mit j = 0 vereinfachen sich die Maxwellschen Gleichungen, da Dund B über die Materialgleichungen gefunden werden können.)Leitet man das H−Feld aus dem Vektorpotenzial

H = rotA

ab, so erhalten wir nach Einsetzen

rot (E + jωµ0A) = 0 (10.1)

Das Feld in (10.1) ist also wirbelfrei und kann daher aus dem skalaren Potenzial ϕabgeleitet werden:

3Die Felder sind in komplexer Form dargestellt, haben also Vektor- und Zeigercharakter! Die Zeitab-hängigkeit ejωt der Feldgrößen ist zur Vereinfachung der Schreibweise weggelassen.


E + jωµ0A = : − gradϕ

E = − gradϕ− jωµ0A

Mit Hilfe der Rechenregel rot rot(·) = grad div(·)− (∆) wird daraus

E =1

jωε0grad divA− 1

jωε0∆A

ϕ = − 1

jωε0divA

∆A = −ω20ε0µ0 A = −ω

2

c2A c =

1√ε0µ0

Für die Augenblickswerte des Vektorpotenzials gilt also die sogenannte Wellenglei-chung:

∆ A =1

c2∂2A

∂t2

Die magnetischen Feldlinien sind aus Symmetriegründen Kreise, deren Mittelpunkteauf der z−Achse liegen. Es muss daher der Vektor A parallel zur z−Achse gerichtet sein.Wir nehmen ferner an, dass genauso wie im Fall des stationären Feldes der Vektor A nurvon dem Abstand r des Punktes P von der Erregungsstelle abhängt. In Zylinderkoordi-naten lautet die Lösung dieser Differentialgleichung

rAz = Ke−jωc r

Az =K√

2

rsin(t− r

c

),

wenn wir uns auf die Betrachtung von Feldern beschränken, die von dem Dipol aus-gehen. Die Konstante K müssen wir noch ermitteln.Für die Feldgrößen folgt

Hα = Ka

r3

(1 +

jωr

c

)e−j

ωc r

In unmittelbarer Nähe der schwingenden Ladung (ωr/c 1) wird

Hα = Ka

r3

Der Effektivwert des H−Feldes in der Umgebung eines geraden Stromleiters der klei-nen Länge l, der von einem Wechselstrom mit dem Effektivwert I durchflossen wird,ist

Hα =1

4πIa

r3l

Das Strahlungsfeld geht in des Feld des kurzen geraden Stromleiters über, wenn mansetzt

K =I l

4π

K =Q v

4π√

2

Das E−Feld in Kugelkoordinaten ist


Er =2K cosϑ

jωε0r3

(1 + j

ωr

c

)e−j

ωc r

Eϑ =2K sinϑ

jωε0r3

(1 + j

ωr

c−(ωrc

)2)e−j

ωc r

für das H−Feld in Kugelkoordinaten erhalten wir

Hα = Ksinϑ

r2

(1 +

jωr

c

)e−j

ωc r

10.3.1 Nahfeld der schwingenden Ladung

In unmittelbarer Nähe des Dipols(ωrc 1

)ist angenähert

Er =2K cosϑ

jωε0r3

Eϑ =2K sinϑ

jωε0r3

Hα = Ksinϑ

r2

Die Struktur des E−Feldes gleicht derjenigen eines statischen Dipolfeldes. Der Faktorj im Nenner des E−Feldes zeigt an, dass das E−Feld gegen das H−Feld und damit gegenden Strom I um 90 phasenverschoben ist. Dies erklärt sich daraus, dass sich der StromI im Luftraum als Verschiebungsstrom ε0

∂E∂t fortsetzt, der in Phase mit dem Strom

schwingt; das E−Feld eilt daher dem Strom um 90 nach. Die Energie im Nahfeld istBlindenergie, die zwischen elektrischer und magnetischer Energie » pendelt« und dahernicht zur Abstrahlung beiträgt!

10.3.2 Fernfeld der schwingenden Ladung

In der Funktechnik interessieren die Felder besonders in großer Entfernung von der Er-regungsstelle. Angenähert wird dann

Er = 0

Eϑ = jωµ0

K sinϑ

re−j

ωc r

Hα = jωµ0

√ε0

µ0

K sinϑ

re−j

ωc r


Abbildung 10.4: E− und H−Feld eines Hert’schen Dipols

H−Feld und E−Feld stehen räumlich normal aufeinander und normal zum Radius r.Die beiden Felder breiten sich mit der Geschwindigkeit c in radialer Richtung aus. Derradiale Abstand zweier Punkte gleicher Schwingungsphase stellt die Wellenlänge dar:

λ = c2π

ω=c

f

E−Feld und H−Feld sind im Fernfeld zeitlich in Phase (Energietransport).In jedem Zeitpunkt und an jedem Ort ist das Verhältnis des Betrages des E−Feldes

und des H−Feldes

‖E‖‖H‖ =

√µ0

ε0= Z0 = 376, 73 Ω

Die Größe Z0 nennt man Feldwellenwiderstand oder Wellenwiderstand des leerenRaumes, da sie für die elektromagnetischeWelle eine ähnliche Bedeutung hat wie derWellenwiderstand einer Leitung für die Leitungswelle.Die Ausstrahlung ist am stärksten in der Richtung senkrecht zum Dipol (ϑ = 90),

sie ist Null in der Richtung des Dipols (ϑ = 0).Abbildung 10.4 zeigt die Feldlinien eines Dipolstrahlers.

10.3.3 Erläuterungen zu den Feldbildern

Das elektrische Feld des schwingenden Dipols ändert sich ebenso wie sein Dipolmomentmit der Periode der Schwingung. Das elektrische Feld eines konstanten (nicht zeitverän-derlich) Dipols erfüllt den ganzen Raum. Wenn aber der Dipol in einigen Nanosekundenentsteht, wieder vergeht und mit umgekehrtem Vorzeichen neu entsteht, so können dieFeldlinien innerhalb dieser Zeit nicht unendlich weit vordringen, wieder verschwindenund mit umgekehrtem Vorzeichen wieder auftauchen. Vielmehr kann das Feld in einerZeit t nur bis zum Abstand r = ct vordringen, das Feld in einem Abstand r wird durchden Zustand des Oszillators bestimmt, wie er vor der Zeit t = r/c war. Die zeitlich auf-einander folgenden Zustände des Dipols setzen sich also um in räumlich einander mitder Geschwindigkeit c nachjagende elektrische Felder. Dabei ist der räumliche Abstand


zwischen zwei Feldlinienbündeln maximaler Dichte, aber verschiedener Richtung gleicheiner halben Schwingungsperiode multipliziert mit c, also einer halben Wellenlänge. Ma-ximales Magnetfeld entspricht den Phasen maximalen Stromes im Oszillator, die um π/2gegen die Phasen maximalen Dipolmomentes, also maximalen elektrischen Feldes ver-schoben sind. Räumlich liegen also die Bündel der Magnetfeldlinien immer zwischen zweielektrischen Bündeln.Die Felder des schwingenden Oszillators verhalten sich nur bis zu einer gewissen Ent-

fernung (im Nahfeld r < 2λ) wie das elektrische Feld eines Dipols bzw. das Magnetfeldeines Drahtes. In Abständen, die großgegen dieWellenlänge sind (Fernfeld), speisen sichelektrisches und Magnetfeld durch gegenseitige Induktion. Wenn z. B. das Magnetfeld,an einer bestimmten Stelle betrachtet, sich zeitlich mit dem Durchlaufen der Welle pe-riodisch ändert, induziert es dadurch ein elektrisches Feld und umgekehrt. (Elektrischesund Magnetfeld sind in Phase und stehen senkrecht aufeinander.)Um die Struktur des ausgestrahlten Feldes quantitativ zu verstehen, denke man sich

Kugeln um den Oszillator gelegt, deren Achse mit der Stabrichtung zusammenfällt.In der Nah- und in der Fernzone liegen die elektrischen Feldlinien im Wesentlichen

in den Meridianen, die magnetischen in den Breitenkreisen dieser Kugel. Der Poynting-Vektor S = E×H zeigt also überall radial nach außen; er kennzeichnet ja die Flussdichteder abgestrahlten Energie.Durch zwei konzentrische Kugeln muss die gleiche Gesamtenergie fließen, da ja zwi-

schen den Kugeln keine Energiequelle sitzt. Die Poynting-Vektoren an zwei entsprechen-den Stellen einer Kugel müssen sich daher verhalten wie ihre reziproken Oberflächen:S ∼ r−2. Da E und H wiederum einander proportional sind, muss jedes von ihnen mitdem Abstand abnehmen wie r−1:

S = EH ∼ r−2, H ∼ E ∼ r−1.

Zur Abhängigkeit der Feldstärke vom Ort auf der Kugel gilt Folgendes:Aus Symmetriegründen ist die Feldstärke symmetrisch gegenüber Rotationen auf derAchse, es gibt also keine Längenabhängigkeit. Eine Breitenabhängigkeit muss dagegenvorhanden sein. Wäre z.B. das elektrische Feld an den Polen so großwie am Äquator, sowürde dort, wo alle Feldlinien zusammen- bzw. auseinander laufen, eine Feldsenke bzw.-quelle anzusetzen sein. Da dort aber keine Ladungen sitzen, ist das unmöglich: E unddamit auch H müssen nach den Polen hin abnehmen, und zwar genau wie das Feld desstatischen Dipols mit sinϑ. Ihr Produkt S geht sogar mit sin2ϑ.

Bemerkung 37 Die Ausbreitungsgesetze der elektromagnetischen Wellen gelten in al-len Inertialsystemen, d. h., dass in jedem Koordinatensystem, das sich mit beliebiger Ge-schwindigkeit gleichförmig translatorisch (ohne Drehung) gegen das Inertialsystem derFixsterne bewegt, für die Ausbreitung nach allen Richtungen im Vakuum die gleiche Ge-schwindigkeit c beobachtet wird (Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit).

10.3.4 Energiefluss in der Elementarwelle, Strahlungswiderstand

Durch die elektromagnetische Welle wird Energie transportiert. Die räumliche Dichte dergespeicherten Energie ist

w =1

2ε0 ‖E‖2 +

1

2µ0 ‖H‖

Die durch eine Kugelfläche vom Radius r nach außen fließende Leistung ist

P =2π

3I2Z0

(l

λ

)2

ist unabhängig vom Radius r der Kugel, da wir den Raum als vollkommen isolierendvorausgesetzt haben, und infolgedessen keine Verluste an Energie durch Umwandlung inWärme entstehen.


Abbildung 10.5: Lineare Antenne

Abbildung 10.6: Strom-, Spannungsverteilung auf Antenne

10.4 Lineare Antennen

Die beim Hertzschen Dipol gefundenen Zusammenhänge kann man auf die Strahlungvon linearen Antennen anwenden. Auf jeder Antenne stellt sich nach dem Anlegen derWechselspannung eine wellenförmige Stromverteilung ein, ähnlich wie bei einer Leitung.An irgendeiner Stelle x der Antenne sei Ix, die komplexe Stromstärke. Die von deneinzelnen Längenelementen herrührenden Beiträge der Feldstärke setzen sich im PunktP zusammen4 .

Bei einem elektrischen Schwingkreis für Frequenzen bis zu einigen zehn MHz bleibtdas elektrische Feld praktisch auf den Kondensator und das magnetische auf die Spulebeschränkt. Um die Resonanzfrequenz zu erhöhen, muss man C und L so sehr verkleinern,dass man schließlich gar nicht mehr eine Spule zu wickeln oder Platten an die Drahtendenzu löten braucht, sondern dass der Leitungsdraht selbst schon Kapazität und Induktivitätgenug hat. Elektrisches und magnetisches Feld umgeben dann den gesamten Draht undsind räumlich nicht mehr getrennt (Abbildung 10.5 ).Abbildung 10.6 zeigt die Strom- und Spannungsverteilung auf der linearen Antenne.

Das Strommaximum wird erreicht, wenn die Eigenfrequenz der Antenne mit der Sende-frequenz übereinstimmt, die Länge der Antenne ist dann λ/2.5

Der Resonanzeffekt beim linearen Oszillator ist wegen der Energieverluste durch dieAbstahlung deutlich schwächer ausgebildet als beim diskreten Schwingkreis.

4Die einzelnen Beiträge sind Vektoren mit Zeigerchrakter und müssen entspechend zusammengesetztwerden (Integration über die Antennenlänge).

5Bei einem UKW-Sender mit 100 MHz ist die Wellenlänge λ = c/f = 3 m.

Teil IV

Elektrotechnische Grundlagen

111

Kapitel 11

Elektrische Bauelemente

Inhalt11.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

11.1.1 Netzwerke, Ströme und Spannungen . . . . . . . . . . . . . . 114

11.1.2 Unabhängige Spannungs- und Stromquellen . . . . . . . . . . 115

11.1.3 Zählpfeile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

11.2 Die Kirchhoff’schen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 11611.3 Ideale Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

11.3.1 Gesteuerte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

11.3.2 Idealer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

11.3.3 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

11.3.4 Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

11.3.5 Spannung und Strom an L und C bei Schaltvorgängen . . . . 122

11.3.6 Schreibweise der Netzwerkgleichungen . . . . . . . . . . . . . 123

11.4 Präzisere Modelle der Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . 12411.4.1 Spannungsquelle mit Innenwiderstand . . . . . . . . . . . . . 124

11.4.2 Ersatzschaltbild für den Kondensator . . . . . . . . . . . . . 125

11.4.3 Ersatzschaltbild für die Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

11.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

11.1 Einführung

Signale werden durch Variation physikalischer Größen repräsentiert, diese Größen könnenverändert, gespeichert und übertragen werden. Elektrische und magnetische Größen sindbesonders gut veränderbar, übertragbar und speicherbar und haben daher eine überra-gende technische Bedeutung.Elektrische und magnetische Vorgänge treten in Form von beweglichen Ladungen so- Statt den Verlauf elek-

tromagnetischer Felder di-rekt zu berechnen, wer-den Modelle eingeführt,die sich nur auf bestimm-te Aspekte der Felderund integrale Größen wieSpannung oder Strom be-schränken.

wie von elektrischen und magnetischen Feldern auf. Für eine genaue Analyse müsstendiese physikalischen Erscheinungen genau nach Ort und Zeit erfasst werden, was in denmeisten Fällen aber zu schwierig und häufig nicht durchführbar ist. Die Berechnung derFeldgleichungen ist meistens auch nicht erforderlich, da nur bestimmte Aspekte des Fel-des und integrale Größen wie Spannung und Strom interessieren. Daher wurde eine eigeneTheorie entwickelt, die auf diesen integralen Größen aufbaut.Das war übrigens auch der inder physikalischen Forschung eingeschlagene Weg. Man abstrahiert Beobachtungen undMessungen in Form von Modellen, je genauer die tatsächlichen Vorgänge nachgebildetwerden sollen, desto komplizierter sind die Modelle. Wegen der besseren Übersichtlich-keit und der einfacheren Berechenbarkeit ist man daran interessiert möglichst einfacheModelle zu finden, die nur die wesentlichen Zusammenhänge beschreiben. Die idealen

113

114 KAPITEL 11. ELEKTRISCHE BAUELEMENTE

Abbildung 11.1: Netzwerkanalyse

Abbildung 11.2: Idealisierte Schaltung

elektrischen Bauelemente und die mit ihnen gebildeten elektrischen Netzwerke sind sol-che Modelle und bilden die Basis für die Netzwerktheorie.Bei der Untersuchung von Netzwerken gibt es zwei Arten von Aufgabenstellungen:

• Gegeben ist eine Anordnung von miteinander verbundenen Bauelementen, dasNetzwerkanalyseNetzwerk N , an das ein Eingangssignal x(t) angelegt wird. Gesucht ist das Aus-gangssignal y(t). Diese Aufgabe nennt man Netzwerkanalyse. Abbildung 11.1 zeigtein Beispiel.

• Gegeben ist das Eingangssignal x(t) und ein gewünschtes Ausgangssignal y(t), ge-Netzwerksynthesesucht ist das Netzwerk N . Diese Aufgabe nennt man Netzwerksynthese.

• Schließlich gibt es noch die Aufgabe zu einem gegebenen Netzwerk N und demAusgangssignal y(t), das Eingangssignal zu ermitteln. Diese Aufgabe hat keineneignen Namen und tritt vor allem in der Messtechnik auf, wobei das Messgerätdurch das » Netzwerk« N modelliert wird.

11.1.1 Netzwerke, Ströme und Spannungen

Das Beispiel in Abbildung 11.2 soll in die Begriffswelt einführen.Wir haben eine Batterie, die über Schalter und Kabel mit einer Lampe verbunden

ist. In der Batterie finden komplizierte elektrochemische Vorgänge statt, wir können aberdie Spannung an den Klemmen der Batterie leicht messen. Wird der Schalter geschlos-sen, fließt elektrische Ladung (Elektronen) durch die Kabel, die Lampe wird warm undleuchtet. Die Kabel bestehen aus einem isolierten sehr guten elektrischen Leiter (Kup-fer). Die Elektronen können gut im Leiter fließen (dem Ladungsfluss wird nur ein sehrkleiner Widerstand entgegengesetzt), nicht aber in der Isolierung. Der Leuchtfaden derGlühlampe besteht aus einem sehr dünnen wendelförmig aufgrollten Wolframdraht. DerWolframdraht setzt dem Ladungsfluss einen großen Widerstand entgegen (die Elektro-nen kollidieren mit den Wolframatomen), der Draht wird heißund beginnt zu glühen.(Wolfram kann hohen Temperaturen standhalten, das ist der Grund dafür, dass der Wolf-ramdraht glüht und erst nach längerer Zeit » durchbrennt«.) Die dabei von der Quelle andie Lampe abgegebene Leistung (in Form von Wärme und Licht) ist gleich dem Produktdes elektrischen Stroms (Ladungen/Zeiteinheit) und der Spannung an der Batterie. Dietatsächlichen Zusammenhänge in der Batterie, beim Stromfluss durch den Leiter undin der Lampe sind sehr kompliziert. Wir können aber die wesentlichen Zusammenhän-ge durch eine einfache elektrische Schaltung, bestehend aus Spannungsquelle, Schalter

11.1. EINFÜHRUNG 115

Abbildung 11.3: Schaltsymbole für Spannungs- und Stromquellen

und Widerstand (Lampe) beschreiben. Die Drähte werden als Linien gezeichnet, die dieLampe (widerstandsfrei) mit der Spannungsquelle verbinden.Elektrische Schaltkreise verhalten sich ähnlich wie Wasserleitungssysteme: Die Bat- Analogie Schaltkreis -

Wasserleitungssystem:

Draht . . . . . . . . . . . . . . . . RohrLadung . . . . . . . . . . . . WasserQuelle . . . . . . . . . . . . . PumpeWiderstand RohreinengungSpannung . . . . WasserdruckStrom . . . . . . . . . . Durchfluss

terie entspricht der Pumpe, die die Ladung —das Wasser —in Bewegung setzt. Die Leiter—meistens Kupferdrähte —durch die der elektrische Strom fließt, entsprechen den (rei-bungsfreien) Rohren, durch die das Wasser fließt. Die elektrische Spannung entsprichtdem Druck der Pumpe. Die Lampe (der elektrische Widerstand) entspricht einer Einen-gung in einem Wasserrohr in der durch Turbulenzen Energie in Wärme umgewandeltwird. Der Strom ist ein Maßfür den Fluss von Ladung durch den Querschnitt der Netz-werkelements, während die Spannung über den Enden (zwischen den Enden) des Netz-werkelements gemessen wird. Die Leistung ist das Produkt der Flussgröße Strom mit derAbfallgröße Spannung.

11.1.2 Unabhängige Spannungs- und Stromquellen

Zur Aufrechterhaltung des Stromes in einer Schaltung müssen Quellen vorhanden sein,die die im Stromkreis fließenden Elektronen und Energie in das Netzwerk liefern. Genaugenommen handelt es sich bei den Quellen nicht um Energieerzeuger sondern um Ener-gieumwandler. In einem Akkumulator wird beispielsweise chemische Energie in elektrischeEnergie umgewandelt, diese elektrische Energie wird im ohmschen Widerstand wiederumin Wärmeenergie umgewandelt.Eine ideale Gleichspannungquelle ist ein Schaltelement, dessen Quellspannung unab- Die Spannung einer

idealen Spannungs-quelle ist unabhängigvom durchfließendenStrom. Solche Quellengibt es in der Wirklichkeitnicht.

hängig von der angeschlossenen Last (vom durchfließenden Strom) ist. Die ideale Span-nungsquelle ist nur ein Modell einer Spannungsquelle und entspricht nicht der physi-kalischen Wirklichkeit. Wenn der an die Quelle angeschlossene Widerstand kleiner undkleiner wird, steigt der Strom immer mehr an und damit die Leistungsabgabe der Quel-le. Jede reale Quelle hat eine Grenze bei ihrer Stromlieferfähigkeit. Akkumulatoren oderelektronische Netzgeräte kommen aber im Betriebsbereich einer idealen Quelle sehr nahe.Die elektrische Spannung wird in Volt (V), der Strom in Ampere (A) und der elektri- Größe Einheit

Spannung (U) . . . . Volt (V)Strom (I) . . . . . Ampere (A)Widerstand (R) . . Ohm (Ω)

sche Widerstand in Ohm (Ω) gemessen. Eine ideale Gleichspannungsquelle hat folgendeEigenschaften:

• Die Ausgangsspannung ist unabhängig vom angeschlossenen Netzwerk.

• Im Falle eines angeschlossenen ohmschen Widerstands stellt sich der Strom I =UQuelle/R ein, für R→ 0 (Kurzschluss) wird I →∞.

Eine ideale Gleichstromquelle hat die Eigenschaften:

• Der Ausgangsstrom ist unabhängig vom angeschlossenen Netzwerk.

• Im Falle eines angeschlossenen ohmschen Widerstands stellt sich die SpannungU = IQuelleR ein, für R→∞ (Leerlauf) wird U →∞.

Für Spannungs- und Stromquellen werden die Symbole der Abbildung 11.3 verwendet.Spannung und Strom von idealen Quellen kann auch zeitlich veränderlich sein.


Abbildung 11.4: Erzeuger- (links) und Verbraucher- (rechts) Zählpfeilsystem

Abbildung 11.5: Knotenregel

11.1.3 Zählpfeile

Die Quellen sind die Ursache für den Stromfluss und die Spannungsabfälle im Netz-Zählpfeile geben dieRichtungen für Strom undSpannung im Modellan, unabhängig von derwirklichen physikalischenRichtung.

werk. Bei komplizierten Netzwerken ist die Richtung von Strom und Spannung nichtvon vornherein klar, sondern muss erst durch die Netzwerkanalyse ermittelt werden. InSchaltungen werden Strom und Spannung durch Zählpfeile1 (beliebige) Richtungen ge-geben, die Netzwerkanalyse liefert die tatsächliche Richtung. (Falls sie mit der Richtungdes Zählpfeils nicht übereinstimmt, ist der Wert der entsprechenden Größe negativ.)Ein durch einen Verbraucher fließender Strom I erzeugt einen Spannungsabfall U ,

Strom und Spannung zeigen in dieselbe Richtung, die im Verbraucher umgesetzte Leis-tung ist P = U · I. Die Leistung wird in Watt (W) gemessen. In unserem mechanischenGröße Einheit

Leistung (P) . . . . Watt (W) Analogon bedeutet das, dass Wasser der Schwerkraft folgt und daher bergab fließt. Manspricht in diesem Fall vom Verbraucher-Zählpfeilsystem.In Quellen wird der aus der positiven Klemme herausfließende Strom positiv gezählt,

Strom und Spannung haben daher die entgegengesetzte Richtung, man spricht vom Er-zeugerpfeilsystem. In unserem mechanischen Analogon bedeutet das, dass Wasser in derPumpe bergauf fließt. Die Leistung des Erzeugers P = −U · I ist negativ und damit anden physikalischen Hintergrund angepasst, dass der Generator Energie liefert, der Ver-braucher Energie aufnimmt und der gesamte Energieumsatz Null sein muss. Abbildung11.4 stellt die Zusammenhänge dar.

11.2 Die Kirchhoff’schen Gleichungen

Ein Knoten in einem elektrischen Netzwerk ist ein Punkt, an dem zwei oder mehr Netz-werkelemente verbunden sind. Die Kirchhoff ’sche Knotenregel besagt, dass die Summealler Ströme in einen Netzwerkknoten Null sein muss.Die Kirchhoff’che

Knotenregel:Die Summe aller in einenKnoten fließenden Strömeist gleich Null.

∑I = 0 (11.1)

Die Zählrichtung der Ströme ist entsprechend Abbildung 11.5 frei wählbar, Ia − Ib +Ic = 0, in den Knoten fließende Ströme sind positiv, aus dem Knoten fließende negativ2 .

1Strom und Spannung sind skalare Größen, in Schaltungen werden ihnen durch Zählpfeile Richtungenzugeordnet. Diese Pfeile geben lediglich die Richtung des Stromflusses durch das Bauelement bzw. desSpannungsabfalls am Bauelement an und sind keine Vektoren.

2Ebenso könnten aus dem Knoten fließenden Ströme positiv, in den Knoten fließende Ströme negativgezählt werden. Eine einmal festgelegte Vereinbarung muss aber innerhalb des gesamten Netzwerkseinheitlich angewendet werden!

11.2. DIE KIRCHHOFF’SCHEN GLEICHUNGEN 117

Abbildung 11.6: Zählpfeile

Abbildung 11.7: Maschenregel

Zu einem physikalischen Verständnis gelangen wir, in dem wir mikroskopisch vomelektrischen Strom als Fluss von elektrischen Ladungen ausgehen. Ladung pro Zeiteinheitist gleich dem Strom. Die elektrische Ladung3 wird in Coulomb (C) gemessen. Größe Einheit

Ladung (Q) . . Coulomb (C)

I =Q

t(11.2)

Die Ladungen bleiben erhalten und können sich im Knoten nicht anhäufen, daher mussdie Summe der zufließenden Ladungen gleich der Summe der abfließenden Ladungen sein.

Beispiel 38 Interessehalber wollen wir berechnen was passieren würde, wenn sich La-dungen im Knoten anhäuften. Wir nehmen an, dass sich eine Ladungsmenge von 1 C ineinem Knoten anhäuft. Da das Netzwerk nach außen ungeladen bleiben muss, nehmenwir an, dass sich an einem anderen Knoten die Ladung −1 C anhäuft. Wir wollen anneh-men, dass die Knoten sich in einem Abstand von einem Meter befinden. Die Kraftwirkungzwischen diesen Ladungen wäre nach dem Coulomb’schen Gesetz

F =1

4πε0

Q1Q2

r2=

1

4π × 8.854× 10−12= 8.89× 109

N

Das entspricht dem Gewicht von rund 300.000 LKW-Zügen!

Eine Masche in einem elektrischen Netzwerk ist ein geschlossener Pfad, der ausge- Die Kirchhoff’che Ma-schenregel:Die Summe aller Span-nungen in einer Masche istgleich Null.

hend von einem Knoten des Netzwerks über mehrere Bauelemente zum Ausgangsknotenzurückkehrt. Die Kirchhoff ’sche Maschenregel besagt, dass die Summe aller Spannungenin einer Masche Null sein muss. ∑

U = 0 (11.3)

Die Zählrichtung der Spannungen ist entsprechend Abbildung 11.6 beliebig wählbar,−U + u1 − u4 + u5 = 0.Die Kirchhoff’sche Maschenregel folgt aus dem Satz der Erhaltung von der Energie.Abbildung 11.7 zeigt drei in Serie geschaltete Bauelemente A,B,C, durch die der Strom

i fließt. Die in den Bauelementen umgesetzte Leistung ist gegeben durch pa = −uai,pb = ubi, pc = uci. Die Summe der Leistungen im Netzwerk muss nach dem Energieer-haltungssatz Null sein, pa + pb + pc = 0 und wir erhalten −uai + ubi + uci = 0, woraus

3 Im elektrischen Leiter stehen die Ladungen in Form von Elektronen zu Verfügung.Die Ladung eines Elektrons beträgt −1.602× 10−19C.


Abbildung 11.8: Schaltzeichen für gesteuerte Quellen

folgt, dass −ua + ub + uc = 0, was aber nichts anderes als die Summe der Spannungenin der Masche ist. Es ist zu beachten, dass bei der Aufstellung der Kirchhoff’schen Ma-schengleichungen die Zählpfeilsysteme für Erzeuger und Verbraucher eingehalten werden,bei Verbrauchern zeigen Strom und Spannung in dieselbe Richtung, bei Erzeugern in dieentgegengesetzte Richtung. Die Erzeuger liefern also eine » negative Leistung«.

11.3 Ideale Bauelemente

Bauelemente mit zwei Anschlusspunkten (z.B. R,L,C, U, I) bezeichnet man in der Elek-trotechnik als Zweipole, Bauelemente mit vier Anschlusspunkten (z.B. gesteuerte Quel-len) nennt man Vierpole.

11.3.1 Gesteuerte Quellen

Neben den unabhängigen Spannungs- und Stromquellen nach Abbildung 11.3 gibt esnoch gesteuerte Spannungs- und Stromquellen. Abbildung 11.8 zeigt die Schaltsymboleder gesteuerten Quellen, wobei wir spannungs- und stromgesteuerte Spannungsquellenund spannungs- und stromgesteuerte Stromquellen unterscheiden müssen. Die gesteuer-ten Quellen haben vor allem im Bereich der Verstärkertechnik und analogen Signalver-arbeitung Bedeutung und wir werden in diesen Kapiteln noch darauf zurückkommen.

11.3.2 Idealer Widerstand

Bei idealen Widerständen ist der Spannungsabfall (= die entstandene Spannung) amOhm’sches Gesetz:Der Spannungsabfall (U)am Widerstand (R) istdirekt proportional zumdurchfließenden Strom (I).

U = R · I

Widerstand proportional zum Strom durch den Widerstand.

U = R · I (11.4)

Diesen Zusammenhang nennt man Ohm’sches Gesetz, die ProportionalitätskonstanteR —der ohmsche Widerstand —wird in Ohm (Ω) gemessen. Der ohmsche Widerstandeines zylindrischen Leiters ist abhängig von der Länge L und dem Querschnitt A desLeiters, sowie dem Material des Leiters, ausgedrückt durch die Materialkonstante ρ. Jelänger der Leiter desto größer der Widerstand (daher lange Zuleitungen vermeiden), jekleiner der Querschnitt desto größer ist der Widerstand (daher bei Starthilfekabeln keinenKlingeldraht verwenden).

R = ρL

A(11.5)

Den Proportionalitätsfaktor (die Materialkonstante) nennt man spezifischer Wider-Der Widerstand eineshomogenen Zylindershängt von der Län-ge, dem Querschnittund dem verwendetenMaterial ab.

11.3. IDEALE BAUELEMENTE 119

Abbildung 11.9: Kapazität und Schaltzeichen

stand, er beträgt bei Kupfer (nach Silber dem besten elektrischen Leiter) ρCu = 1.72 ×10−8 Ωm, bei Glas ρGlas = 1× 1012Ωm.4

Dieses mathematische Modell des idealen Widerstands berücksichtigt die geometri-schen Abmessungen L,A und die Materialkonstante ρ. Der Einfluss der Temperatur desLeiters auf den elektrischen Widerstand wird vernachlässigt.

Anmerkung 39 Mathematische Modelle der Physik sind nicht beweisbar im Sinne einesmathematischen Beweises. Die Überprüfung kann nur durch das Experiment erfolgen!

Die im Widerstand umgesetzte Leistung ist

P = U · I bzw. p(t) = u(t)i(t) (11.6)

Unter der Annahme eines konstanten Widerstandes R erhalten wir nach Einsetzen indas Ohm’schen Gesetz

P =U2

Rbzw. p(t) =

u2(t)

R(11.7)

Anmerkung 40 Betrachtet man u(t) in (11.7) als die physikalische Ausprägung einesSignals (was in technischen Anwendungen meistens der Fall ist), so sieht man, dass dieDefinition der Signalleistung in Abschnitt 3.4 als proportional zum Quadrat der Ampli-tude vernünftig ist.

P,U, I sind zeitlich unveränderliche Größen (Gleichspannung und Gleichstrom), p, u, isind zeitlich veränderliche Größen.5

11.3.3 Kapazität

Während Widerstände Energie nur in Wärme umsetzen, können Kondensatoren (undSpulen) elektrische Energie speichern. Kondensatoren sind technische Bauelemente, idea-le Kondensatoren bezeichnen wir als Kapazitäten.Die Abbildung 11.9 zeigt eine Kapazität und ihr Schaltungssymbol. Elektrisch leitende Größe Einheit

Kapazität (C) . . . Farad (F)Platten der Fläche A sind im Abstand d durch eine nichtleitendes Material voneinanderisoliert. Die Kapazität dieser Anordnung beträgt

C = εε0A

d(11.8)

sie wird größer, wenn die Fläche größer wird oder wenn der Abstand kleiner wird.Die Proportionalitätskonstante ε nennt man Dielektrizitätskonstante6 , die materialab-hängig und dimensionslos ist. ε0 = 8.85 · 10−12 A s

V m ist die Influenzkonstante, die eineNaturkonstante ist. Die Kapazität wird in Farad (F) gemessen.Wie Abbildung 11.10 zeigt, sammeln sich Ladungen an den gegenüberliegenden Plat- Eine Kapazität speichert

Energie im elektrischenFeld.

ten der Kapazität an, wenn Strom fließt. Ein Flüssigkeitsäquivalent der Kapazität wäre

4Der Widerstandsunterschied zwischen dem Leiter Kupfer und dem Nichtleiter Glas beträgt 20 Zeh-nerpotenzen, die technologisch beherrscht werden können: Einer der Gründe für den besonderen Stellen-wert der Elektrotechnik in der Informationstechnik.

5 In der Elektrotechnik werden unveränderliche Größen in der Regel mit Großbuchstaben, veränderli-che Größe mit Kleinbuchstaben bezeichnet.

6Die Dielektrizitätskonstante ist Vakuum (1), Glas (5-10) und Wasser (81), überstreicht also imVergleich zum spezifischen Widerstand nur einen sehr kleinen Bereich.


Abbildung 11.10: Mechanisches Analogon zur Kapazität

Abbildung 11.11: Aufladen der Kapazität

ein Behälter mit einer Membran. Die Flüssigkeit strömt in den Behälter und lenkt dieMembran aus. Wenn der Druck der Membran dem Druck des Wassers entspricht, hörtder Fluss auf. Nimmt man den Druck des Wassers weg, dann wird die Membran das Was-ser aus dem Behälter drücken, bis sie in der Ausganglage ist. Die Membran » speichert«Energie und gibt sie wieder ab.Ähnlich verhält sich die Kapazität. Es fließt Strom, der Kondensator lädt sich auf7 .

Wenn der » Druck« an der Kapazität soweit angestiegen ist, dass er dem »Wasserdruck«entspricht, ist der Kondensator auf die am Bauelement angelegte Spannung aufgeladenund der der Stromfluss hört auf. Verbindet man die Platten der aufgeladenen Kapazitätmit einem Widerstand, fließt die Ladung von den Platten über den Widerstand ab unddie Kapazität entlädt sich zum Ausgangszustand (Spannung Null). Die in der Kapazitätgespeicherte Energie wird an den Widerstand abgegeben.Die im Kondensator gespeicherte Ladung ist proportional zur Spannung, auf die der

Kondensator aufgeladen ist. Die Kapazität C ist die Proportionalitätskonstante.

Q = C · U (11.9)

Der elektrische Strom ist definiert als Ladung pro Zeit8 , der Zusammenhang zwischenStrom und Spannung an der Kapazität ist daher

ic =dq

dt= C

du

dt(11.10)

Die in einer Kapazität gespeicherte elektrischen Energie ist

Wc =1

2CU2 =

1

2QU (11.11)

Beispiel 41 Als Beispiel berechnen wir den Aufladevorgang einer Kapazität wie in Abbil-dung 11.11 dargestellt.Wir nehmen an, dass die Kapazität ungeladen ist. Zum Zeitpunktt = 0 schließen wir den Schalter. Zur Berechnung des Stroms wenden wir die Kirch-hoff ’sche Knotenregel auf den durch R und C gebildeten Knoten an und erhalten ausiR − iC = 0. uR(t)

R − C duc(t)dt = 0

Für die Spannung uR am Widerstand können wir aufgrund der Maschenregel uR(t) =

7Der Stromfluss durch den Kondensator, insbesondere durch das Vakuum, lässt sich nur mit demVerschiebestrom der Maxwell’schen Gleichungen erklären.

8Die elektrische Ladung ist nur sehr schwer messbar, man verwendet daher im SI-EinheitensystemLänge, Zeit, Masse und elektrischen Strom als Grundgrößen.


0 2 4 6 80

0.5

U/R

Zeit t

i C(t

)

0 2 4 6 80

0.5

U

Zeit t

u C(t

)

Abbildung 11.12: Strom- und Spannungsverlauf beim Laden einer Kapazität

Abbildung 11.13: Schaltungssymbol der Induktivität

U − uc(t) einsetzen und erhalten nach Umformung

Cduc(t)

dt+uc(t)− U

R= 0 =⇒ RC

duc(t)

dt+ uc(t) = U (11.12)

Gleichung (11.12) ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung mit der Lösung

uc(t) = U(1− e− 1RC t) (11.13)

Den zeitlichen Verlauf von Spannung und Strom an der Kapazität zeigt Abbildung 11.12.

11.3.4 Induktivität

Spulen werden durch Aufwickeln von leitenden Drähten wie in Abbildung 11.13 gezeigthergestellt.Der durch den Draht fließende Strom erzeugt ein magnetisches Feld das mit der Größe Einheit

Induktivität (L) Henry (H)Spule verbunden ist. Die ideale Spule nennen wir Induktivität. Die Induktivität wird inHenry (H) gemessen. Bei der Induktivität besteht zwischen Strom und Spannung derZusammenhang

uL = L · diLdt

(11.14)

Der Spannungsabfall an der Induktivität ist proportional der Stromänderung. DerProportionalitätsfaktor L kann über — in der Regel komplizierte — Berechnungen desmagnetischen Feldes bzw. magnetischen Flusses berechnet werden. Eine Induktivität spei-

chert Energie im magneti-schen Feld.

Die Flüssigkeitsanalogie für die Induktivität ist die Trägheit der Flüssigkeitssäule ineiner reibungslosen Leitung konstanten Durchmessers. Der Druckunterschied zwischenden Enden der Leitung entspricht der Spannung, die Durchflussmenge dem Strom, Zu-oder Abnahme (Beschleunigung) der Durchflussmenge entsprechen der Stromänderung.Eine Druckdifferenz zwischen den Enden der Leitung existiert nur dann, wenn die Durch-flussmenge zu- oder abnimmt.Die in einer Spule gespeichert Energie ist

WL =1

2LI2 (11.15)


Abbildung 11.14: Einschalten einer Induktivität

0 2 4 6 80

0.5

U/R

Zeit t

i L(t)

0 2 4 6 80

0,5

U

Zeit t

u L(t)

Abbildung 11.15: Strom- und Spannungsverlauf beim Einschalten einer Induktivität

Beispiel 42 Als Beispiel berechnen wir den Einschaltstrom einer Induktivität nach Ab-bildung 11.14Wir wenden die Kirchhoff ’sche Maschenregel an und erhalten aus −U +uR + uL = 0

−U + i(t)R+ LdiL(t)

dt= 0 =⇒ L

R

diL(t)

dt+ i(t) =

U

R(11.16)

Die Differentialgleichung (11.16) hat die Form von (11.12) und wir erhalten als Lösung

iL =U

R(1− e−LR t) (11.17)

Den zeitlichen Verlauf von Spannung und Strom an der Induktivität zeigt Abbildung 11.15

11.3.5 Spannung und Strom an L und C bei Schaltvorgängen

Aus den Abbildungen 11.12 und 11.15 können wir folgendes Verhalten erkennen:

• Beim Einschalten der Kapazität ist die Spannung an der Kapazität unmittelbarDie Energie (und damitauch die Spannung) ei-ner Kapazität kann sichnicht sprunghaft än-dern.

nach dem Einschalten Null, da sich die Kapazität erst aufladen muss (Das elek-trische Feld der Kapazität kann sich nicht sprunghaft ändern, sondern muss sicherst aufbauen.): Die Energie (des elektrischen Felds) von C kann nicht sprung-haft zunehmen. Unmittelbar nach dem Einschalten verhält sich C daher wie einKurzschluss und der Einschaltstrom zum Zeitpunkt t0+ ist i0+ = U/R. Wenn Cgeladen ist, dann fließt kein Strom und die Spannung an C wird U . Die Energieder Kapazität steckt im elektrischen Feld.

• Beim Einschalten der Induktivität ist der Strom unmittelbar nach dem EinschaltenDie Energie (und damitauch der Strom) einerInduktivität kann sichnicht sprunghaft än-dern.

Null, da sich die Induktivität erst » aufladen« muss (Das magnetische Feld derInduktivität muss sich erst aufbauen.): Die Energie (des magnetischen Felds) vonL kann nicht sprunghaft zunehmen. Unmittelbar nach dem Einschalten verhältsich L daher wie eine Unterbrechung. Die Spannung an L zum Zeitpunkt t0+ istuL0+ = U . Wenn L » geladen« ist, wird die Spannung an L Null und es fließt derStrom U/R. Die Energie der Induktivität steckt im magnetischen Feld.


11.3.6 Schreibweise der Netzwerkgleichungen

Für die auftretenden Differentialquotienten führen wir folgende Schreibweise ein

di

dt= si mit s = σ + jω (11.18)

Damit erhalten wir folgende Beziehungen, wobei wir für die Variablen der Funktionenvon s Großbuchstaben verwenden

u(t) = Ldi(t)

dt⇒ U(s) = LsI(s)⇒ I(s) =

U(s)

Ls(11.19)

i(t) = Cduc(t)

dt⇒ I(s) = CsU(s)⇒ U(s) =

I(s)

Cs(11.20)

Während bei zeitlich veränderlichen Größen zur Darstellung der NetzwerkvariablenKleinbuchstaben verwendet werden, werden für die Darstellung in s Großbuchstabenverwendet. Den Parameter s werden wir noch ausführlich erörtern. Vorläufig lässt er sichfolgendermaßen erklären:

• Als Operator für Differentiation und Integration im Sinne der Gleichung (11.18).Eine in s geschriebene Gleichung kann jederzeit in eine Differentialgleichung um-gewandelt werden.

• Als unabhängige Variable (komplexe Frequenz). Die in s geschriebene algebraischeGleichung stellt die Laplace-Transformierte9 der entsprechenden Differentialglei-chungen für energielosen Anfangszustand dar. Zum Auffi nden der Zeitfunktion istdie Rücktransformation in den Zeitbereich (inverse Laplace-Transformation) erfor-derlich.

• Als Frequenzvariable für den Erregeranteil der Netzwerkantwort bei der Erregungmit der Zeitfunktion est. Für s = jω wird der Erregeranteil bei stabilen Netz-werken zum stationären Anteil und die Gleichungen entsprechen vollständig denBeziehungen der komplexen Wechselstromrechnung.

Bei Netzwerken die aus R,L,C, wie in den Abbildungen 11.11 und 11.14, aufgebautsind, entstehen (lineare) Differentialgleichungen (mit konstanten Koeffi zienten) für diegesuchten Ströme und Spannungen. Die Lösung dieser Differentialgleichungen ergibt denzeitlichen Verlauf von Strömen und Spannungen wie beispielsweise in (11.13) und (11.17)gezeigt.Die direkte Lösung der Differentialgleichungen — Lösung im Zeitbereich genannt — Die bei der Modellierung

elektrischer Netzwerkeentstandenen Differen-tialgleichungen könnenmit Hilfe der Laplace-Transformation einfa-cher gelöst werden.

wird für die Berechnung linearer elektrischer Netzwerke (linearer Systeme) kaum ange-wendet, da sie zu umständlich und aufwändig ist10 . Man bedient sich zur Lösung derDifferentialgleichungen der Laplace-Transformation. Die Laplace-Transformation stellteinen Übergang vom Zeitbereich (Originalbereich in der Mathematik) in den Frequenz-bereich (Bildbereich in der Mathematik) dar, man spricht daher von der Lösung imFrequenzbereich. Neben der Lösung der Differentialgleichungen bietet die Frequenzbe-reichsdarstellung noch weitere vorteilhafte Möglichkeiten zur Darstellung von Systemei-genschaften, wie zum Beispiel bei der Untersuchung von Stabilitätseigenschaften einesNetzwerks.Selbst bei einfachen Erregungsfunktionen wie Impuls oder Sprung löst man die Diffe-

rentialgleichungen selten direkt, sondern benutzt die Laplace-Transformation. Die Laplace-Transformation ist die wichtigste Methode zur Berechnung von Differentialgleichungendie bei Netzwerken (bzw. ganz allgemein bei LTI-Systemen) auftreten.

9Zum Unterschied von Funktionen, die einer Größe x eine zweite Größe y in eindeutiger Weise zu-ordnen, sind Transformationen mathematische Operationen die aus einer gegebenen Funktion (Original-funktion) eine neue Funktion (Bildfunktion) erzeugen. Der Vorteil der Transformationen ist die einfa-chere Lösbarkeit eines Problems im Bildbereich. Z.B. werden Differentialgleichungen durch die Laplace-Transformation zu algebraischen Gleichungen, die im Bildbereich einfach gelöst werden. Die Lösung imOriginalbereich wird durch Rücktransformation aus dem Bildbereich gefunden.10Eine Ausnahme stellt die Beschreibung von Systemen im Zustandsraum dar.


Abbildung 11.16: Ersatzschaltbild reale Spannungsquelle

Abbildung 11.17: Belastete Quelle

11.4 Präzisere Modelle der Bauelemente

11.4.1 Spannungsquelle mit Innenwiderstand

Legt man eine Last an eine reale Spannungsquelle an, dann bleibt die Spannung derReale Quellen habeneinen endlichen Innenwi-derstand.

Quelle bei zunehmendem Strom nicht konstant, sondern nimmt ab. Ein Ersatzschaltbild,das das Verhalten der Quelle besser modelliert, ist in Abbildung 11.16 gezeigt.Der maximale Strom der Spannungsquelle nach 11.16 beträgt Ikurz = U0/Ri. Ri

nennt man den Innenwiderstand der Quelle.

Beispiel 43 Wir fragen uns, bei welchem Lastwiderstand die Quelle die maximale Leis-tung abgibt.Der Strom im Schaltkreis in Abbildung 11.17 ist I = U0/(Ri +Rl), die Leis-tungsaufnahme der Last ist Pl = I2

l R. Wir setzen ein und erhalten

Pl =U2

0Rl(Ri +Rl)2

(11.21)

Die Leistung ist eine Funktion des Lastwiderstands Rl. Das Maximum erhalten wir durchNullsetzen der ersten Ableitung

dPldRl

=U2

0 (Ri +Rl)2 − 2U2

0Rl(Ri +Rl)

(Ri +Rl)4= 0 (11.22)

Wir lösen diese Gleichung und erhalten

Ri = Rl (11.23)

Die Quelle gibt die höchste Leistung Plmax = U2o /4Ri ab, wenn sie mit ihrem Innenwi-

derstand11 abgeschlossen ist.

Bei der Netzwerkanalyse ist es gelegentlich vorteilhaft, Spannungsquellen in Strom-quellen umzuwandeln, wie Abbildung 11.18 zeigt.(Die Abbildung 11.18 habe ich neu gezeichnet. Ich habe den Lastwiderstand und

Pfeile für U dazugezeichnet.)Der Zusammenhang zwischen Spannung bzw. Strom der Quellen ist

I0 =U0

Ri(11.24)

11Wenn der Innenwiderstand der Quelle komplex ist, muss für Anpassung mit dem konjugiert kom-plexen Widerstand Zl = Z∗i abgeschlossen werden.

11.4. PRÄZISERE MODELLE DER BAUELEMENTE 125

Abbildung 11.18: Umwandlung Spannungs- in Stromquelle

Abbildung 11.19: Ersatzschaltbild Kondensator

I0 ist der Kurzschlussstrom der Spannungsquelle, U0 ist die Leerlaufspannung derSpannungsquelle.Die beiden Modelle einer Quelle sind äquivalent und können daher beliebig vertauscht Die Spannungsquelle

und die Stromquel-le (Abb. 11.18) sindäquivalente Modelle.

werden. Sie haben nach außen immer das gleiche Verhalten. Die Ausgangsspannung U ist(unabhängig vom gewählten Modell) eine Funktion des angeschlossenen LastwiderstandesRl (U0, I0 und Ri sind Konstanten)

U = U0 ·Rl

Ri +Rl= I0 ·

RiRlRi +Rl

(11.25)

Man sieht, dass bei Rl = 0 (Kurzschluss) die Spannung U ebenfalls Null wird und beiRl →∞ (Leerlauf) U → U0. 12

11.4.2 Ersatzschaltbild für den Kondensator

Das einfache Schaltbild der Kapazität nach Abbildung 11.9 ist in vielen Fällen nichtausreichend und man verwendet für den Kondensator kompliziertere Ersatzschaltbilderwie in Abbildung 11.19 gezeigt.In diesem Ersatzschaltbild modelliert Rs den Zuleitungswiderstand des Kondensators.

Da jeder Strom ein Magnetfeld führt, müssen wir auch dieses Feld durch eine InduktivitätLs modellieren. Schließlich hat jedes Dielektrikum einen endlichen ohmschen Widerstand,der durch Rp modelliert wird.

11.4.3 Ersatzschaltbild für die Spule

Das einfache Schaltbild der Induktivität nach Abbildung 11.13 ist in den meisten Fällenfür Spulen nicht ausreichend und man verwendet komplizierter Ersatzschaltbilder wie inAbbildung 11.4.3 gezeigt.Induktivitäten werden durch Aufwickeln von Draht gebildet, wie in Abbildung 11.13

schematisch gezeigt. Dieser Draht hat immer einen ohmschen Widerstand, der durch Rsmodelliert wird. Zwischen den Wicklungen der Induktivität entsteht ein elektrisches Feld,das durch Cp modelliert wird. Die Wicklungen der Induktivität sind häufig auf einem

12Die Anwendung der Regel von de L’Hospital ist hier nötig.


Abbildung 11.20: Ladungsverteilung auf zwei Kapazitäten

Ferrit-Stab oder -Ring aufgebracht. Durch Induktion fließen im Stab oder Ring Ströme,die zu Verlusten führen, die durch Rp modelliert werden.Reale Kondensatoren und

Spulen werden durch kom-pliziertere Netzwerke vonidealen Bauelementen mo-delliert.

Beispiel 44 Bei der Beschreibung elektrischer Netzwerke mit Hilfe von idealen Bauele-menten muss man immer in Erinnerung behalten, dass es sich um vereinfachte Modellehandelt, die nur die wesentlichen Zusammenhänge beschreiben. Das bekannte Beispielin Abbildung 11.20 soll das verdeutlichen. Die Kapazität C1 sei auf die Spannung UC1

aufgeladen, ihre Energie ist daher WC1 = 12C1U

21 . Schließen wir den Schalter, so findet

ein Ausgleich der Ladungen zwischen den beiden Kapazitäten statt, die Gesamtladungmuss aber erhalten bleiben, Qges = Q1 + Q2. Nach dem Schließen des Schalters liegendie beiden Kapazitäten parallel und die Gesamtkapazität beträgt daher Cges = C1 + C2.An den Kapazitäten stellt sich die Spannung U = Qges/Cges ein. Der Einfachheit halbernehmen wir an, dass die beiden Kapazitäten gleich großsind, C1 = C2 = C. Wir erhaltendann für die Energie vor dem Schließen des Schalters Wvor = 1

2CU21 . Nach dem Schlie-

ßen des Schalters wird die Spannung an den Kapazitäten Unach = U1/2, die Energie an

einer Kapazität also WC1 = 12C1(U1/2)2 = 1

2C1U21

4 , die Energie an beiden Kapazitätenist daher doppelt so groß, also

WC1+C2 =1

2C1U2

1

2=Wvor

2(11.26)

Die Hälfte der Energie ist nach dem Schließen des Kondensators verschwunden! Das fürdiese Überlegungen verwendete Modell führt offensichtlich zu einem Widerspruch. Manmüsste daher die Leitung zwischen den Kapazitäten und den Schalter genauer modellie-ren, um zu einer Übereinstimmung zwischen Rechnung und physikalischer Wirklichkeitzu kommen.


Die genaue Analyse elektrischer Netzwerke ist nur über die Berechnung der mit demNetzwerk verbundenen elektrischen und magnetischen Felder möglich. Diese Feldberech-nung ist in der Regel nicht durchführbar, aber auch nicht notwendig. Man kann sich fürdie Untersuchung von Netzwerken auf die integralen Feldgrößen Spannung und Strombeschränken, die elektrischen Felder werden durch die Kapazitäten, die magnetischenFelder durch die Induktivitäten repräsentiert. Ströme und Spannungen im Netzwerk er-geben sich durch den Knoten- und Maschensatz, sowie durch die Bauelementbeziehungen.Damit gelangt man zu einer eigenständigen Theorie der elektrischen Netzwerke.

11.5. ZUSAMMENFASSUNG 127

Es darf nie vergessen werden, dass die elektrischen Netzwerke nur eine Annäherung andie physikalische Wirklichkeit darstellen. Durch entsprechend aufwändige Ersatzschaltun-gen kann aber das Verhalten eines Netzwerks in der gewünschten Genauigkeit beschriebenwerden.


Kapitel 12

Elektrische Netzwerke

Inhalt12.1 Einfache Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12912.2 Topologische Netzwerkbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . 132

12.2.1 Schleifenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

12.2.2 Knotenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

12.2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134


Ströme und Spannungen in elektrischen Netzwerken berechnet man mit Hilfe derKirchhoff’schen Gleichungen und der Bauelementbeziehungen. Bei einfachen Netzwerkenkann das mit Handrechnung geschehen, für Netzwerke mit vielen Komponenten wird mansich entsprechender Netzwerkanalyseprogramme bedienen.

12.1 Einfache Netzwerke

Serienschaltungen von R ,L und C nach Abbildung 12.1 lassen sich einfach über den Serienschaltung:

Rers =∑R

Lers =∑L

1Cers

=∑

1C

Strom durch die Serienschaltung analysieren. Mehrere in Serie geschaltete Widerstände,Induktivitäten oder Kapazitäten lassen sich dabei durch ein äquivalentes Bauelement(das Ersatzbauelement) modellieren.Ein Strom i durch die Serienschaltung von Widerständen erzeugt an jedem Wider-

stand einen Spannungsabfall

iR1 + iR2 + · · ·+ iRn = u (12.1)

i(R1 +R2 + · · ·+Rn) = u

Rers = R1 +R2 + · · ·+Rn

Der Ersatzwiderstand Rers ist gleich der Summe aller Einzelwiderstände. Der gleicheAnsatz liefert für die Ersatzinduktivität einer Serienschaltung Lers ist die Summe allerEinzelinduktivitäten.

L1di

dt+ L2

di

dt+ · · ·+ Ln

di

dt= u (12.2)

(L1 + L2 + · · ·+ Ln)di

dt= u

Lers = L1 + L2 + · · ·+ Ln

Bei Kapazitäten gilt i = Cdu/dt, daraus folgt u = 1C

∫idt. Für die Serienschaltung

von Kapazitäten erhalten wir

129

130 KAPITEL 12. ELEKTRISCHE NETZWERKE

Abbildung 12.1: Serienschaltung von R, L und C

Abbildung 12.2: Parallelschaltung von R,L,C

u =1

C1

∫idt+

1

C2

∫idt+ · · ·+ 1

Cn

∫idt ⇒ 1

Cers=

1

C1+

1

C2+ · · ·+ 1

Cn(12.3)

Der Kehrwert der Ersatzkapazität der Serienschaltung von Kapazitäten ist gleich derSumme der Kehrwerte der Einzelkapazitäten.Parallelschaltungen von R,L und C nach Abbildung 12.2 lassen sich einfach über dieParallelschaltung:

1Rers

=∑

1R

1Lers

=∑

1L

Cers =∑C

Spannung an der Parallelschaltung analysieren. Mehrere parallel geschaltete Widerstän-de, Induktivitäten oder Kapazitäten lassen sich dabei durch ein äquivalentes Bauelement(das Ersatzbauelement) modellieren.Eine Spannung u an der Parallelschaltung von Widerständen bewirkt einen Strom

i = i1 + i2 + · · ·+ in =U

R1+

U

R2+ · · ·+ U

Rn⇒ 1

Rers=

1

R1+

1

R2+ · · ·+ 1

Rn(12.4)

Der Kehrwert des Ersatzwiderstands der Parallelschaltung von Widerständen istgleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände. Bei Induktivitäten liefert dergleiche Ansatz, dass der Kehrwert der Ersatzinduktivität der Parallelschaltung von In-duktivitäten ist gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelinduktivitäten ist.

12.1. EINFACHE NETZWERKE 131

Abbildung 12.3: Spannungsteiler

Abbildung 12.4: Ersatzwiderstände im Netzwerk

Bei Kapazitäten ist

i = i1 + i2 + · · ·+ in = C1du

dt+C2

du

dt+ · · ·+Cn

du

dt⇒ Cers = C1 +C2 + · · ·+Cn (12.5)

Die Ersatzkapazität bei Parallelschaltung ist daher die Summe der Einzelkapazitäten.

Beispiel 45 Als Beispiel berechnen wir einen Spannungsteiler nach Abbildung 12.3.DerStrom durch den Spannungsteiler ist i = u/Rers = u/(R1 + R2), dieser Strom bewirktam Widerstand R2 den Spannungsabfall u2 = R2i, die Spannung u2 ist daher

u2 =R2

R1 +R2u (12.6)

Beispiel 46 Bei komplizierteren Widerstandsnetzwerken können wir Ströme und Span-nungen häufig durch Zusammenfassen von Serien- und Parallelschaltungen berechnen.An Hand von Abbildung 12.4 wird die Vorgangsweise bei der Ermittlung aller Strömeund Spannungen im Netzwerk beschrieben. Für die Berechnung von i müssen wir denErsatzwiderstand der Schaltung ermitteln, i = u/Rers.

Rers = R1 +Rers1 +Rers2 (12.7)1

Rers1=

1

R2+

1

R3 +R4(12.8)

1

Rers2=

1

R5+

1

R6(12.9)

Wenn wir i berechnet haben, können wir die Spannung uR1 = iR1 berechnen. Alsnächstes berechnen die Spannung uers1 = iRers1, damit haben wir die Spannung uR2

=uers1 ermittelt. Der Strom durch R2 ist iR2

= uR2/R2. Die Spannung an den Widerstän-

den R3 und R4 ermitteln wir über die Spannungsteilerregel. uR3 = R3

R3+R4uR2 . Daraus


Abbildung 12.5: Netzwerkgraph N

berechnen wir uR4 = uR2 − uR3 . Der Strom durch R3 und R4 ist gleich und beträgtiR4 = iR3 = uR3/R3. Schließlich erhalten wir uers2 = u − uR1 − uers1 = uR5 = uR6 ,woraus wir die Ströme iR5

= uR5/R5 und iR6

= uR6/R6 berechnen können. Damit haben

wir alle Ströme und Spannungen dieser Schaltung ermittelt.

Selbst bei Widerstandsnetzwerken ist dieses Verfahren aufwändig. Wenn ein NetzwerkSpeicherelemente enthält und die Netzwerkgleichungen dadurch zu Differentialgleichun-gen werden, wird es völlig unübersichtlich und man bedient sich daher leistungsfähigererVerfahren.

12.2 Topologische Netzwerkbeschreibung

Bei komplizierten Netzwerken ist nicht ohne weiteres zu erkennen, wie die Kirchhoff’schenGleichungen anzuwenden sind, um die interessierenden Netzwerkgrößen mit einem mög-lichst geringen Rechenaufwand zu ermitteln. Aus der Struktur des Netzwerks lässt sichaber der Lösungsansatz systematisch ableiten.Dazu stellen wir das Netzwerk in Form eines Grafen dar. Dabei ersetzt man dieBei der systematischen

Analyse von komplizier-teren Netzwerken werdendiese als Grafen darge-stellt.

Zweige des Netzwerks durch Kanten und Netzwerkknoten werden zu Knoten des Gra-fen. Man erhält einen Grafen mit z Kanten (Netzwerkzweige) und k Knoten. Der Grafin Abbildung 12.5 hat 6 Knoten und 10 Kanten. Schleifen sind beliebige geschlosseneWege im Grafen, eine Masche ist eine einfache Schleife, die von keinen anderen Kantendurchkreuzt wird. Durch Entfernen von Kanten entsteht ein Teilgraf des Grafen. Einfür die Netzwerkberechnung wichtiger Teilgraf ist der Spannbaum. Ein Spannbaum istein Teilgraf der alle Knoten des ursprünglichen Grafen enthält. Die Knoten des Baumssind alle miteinander verbunden, jedoch so, dass keine geschlossenen Schleifen auftreten.Im Allgemeinen gibt es mehrere Spannbäume1 zu einem Grafen. Die entfernten Kantendes Grafen nennt man Glieder. Abbildung 12.6 zeigt einen Spannbaum zum Grafen derAbbildung 12.5, die Glieder sind strichliert dargestellt.Zur vollständigen Beschreibung eines Netzwerks müssen alle Spannungen und Ströme

berechnet werden, bei einem Netzwerk mit z Kanten treten daher 2zUnbekannte auf.Da für die Bauelemente die Beziehung zwischen Strom und Spannung bekannt ist, müs-sen nur z Gleichungen mit Hilfe der Kirchhoff’schen Gleichungen erstellt werden. DieAnzahl der Netzwerkvariablen ist meistens größer als erforderlich, beispielsweise ist inAbbildung 12.4 uR5

= uR6. Es ist daher wichtig, die Unbekannten so zu wählen, dass

man mit möglichst wenigen, unabhängigen Gleichungen auskommt. Während bei einfa-chen Netzwerken das Aufstellen unabhängiger Gleichungen einfach ist, kommt man beikomplizierten Netzwerken nur mit einer gewissen Systematik weiter.

1Die Wahl des Baums erfolgt nach Gesichtspunkten der Zweckmäßigkeit. Bei der Schleifenanalyseist es z. B. zweckmäßig die Spannungsquellen in unabhängige Kanten (Netzwerkzweige) zu legen. Da-durch kommt jede Quelle nur in einer Schleife vor und ist im Gleichungssystem nur in einer Gleichungvorhanden.

12.2. TOPOLOGISCHE NETZWERKBESCHREIBUNG 133

Abbildung 12.6: Spannbaum zum Graphen N

Abbildung 12.7: Baum und Glieder

12.2.1 Schleifenanalyse

Dazu gehen wir von einem Netzwerk aus, das in Spannbaum und Glieder zerlegt ist. In Bei der Schleifenanaly-se werden die Netzwerk-größen über Schleifenströ-me ermittelt.

Abbildung 12.7 ist jedem Glied des Grafen ein Strom zugeordnet, der sich über den Baumschließt und eine eindeutige Schleife bildet. Die in den Gliedern eines Netzwerks fließendenSchleifenströme sind ein geeigneter Satz von Unbekannten zur vollständigen Berechnungdes Netzwerks. Die Zahl der Unbekannten ist gleich der Zahl der Glieder g = z − b =z−k+1, da die Zahl der Kanten eines Baums b = k−1 ist. Kennt man die Schleifenströme,so kann man die Zweigströme aus Linearkombinationen der Schleifenströme ermitteln.Das zugehörige Berechnungsverfahren nennt man Schleifenanalyse2 .Wir haben bisher angenommen, dass Netzwerke nur aus R, L, C und (ungesteuer-

ten) Spannungsquellen bestehen. Kommen im Netzwerk Konstantstromquellen, gesteuer-te Quellen und Übertrager vor, müssen diese für die Schleifenanalyse in Ersatzschaltungenumgewandelt werden.

12.2.2 Knotenanalyse

Kennt man die Knotenspannungen eines Netzwerks gegenüber einem Bezugsknoten (die Bei der Knotenanalysewerden die Netzwerkgrö-ßen über Knotenspannun-gen ermittelt.

Spannungen u1, u3, u2, u4, und u6 für den Bezugskonten (5) in Abbildung 12.7), so sindalle Zweigspannungen als Differenz zweier Knotenspannungen angebbar.Bei der Knotenanalyse ist der Referenzknoten frei wählbar. Er wir meistens so ge-

wählt, dass er möglichst viele direkte Verbindungen zu anderen Knoten hat3 . Das ist inder Regel der Masseknoten.Wir haben bisher angenommen, dass Netzwerke nur aus R, L, C und (ungesteuer-

ten) Stromquellen bestehen. Kommen im Netzwerk Konstantspannungsquellen, gesteu-

2Bei ebenen Netzwerken ist die Suche nach einem Spannbaum nicht erforderlich, es kann auch dasMaschenverfahren angewendet werden. Als Netzwerk-Unbekannte werden die Maschenströme in allenMaschen des Netzwerk genommen. In unserem Beispiel sind die Maschen durch die Bauelementzweige(u,R1, C1), (C1, C2, C3), (C2, L) und (C3, R2) gegeben.

3Es gibt Fälle, in denen es keinen Referenzknoten gibt, von dem aus alle anderen Knoten direkterreichbar sind. In diesem Fällen muss das Knotenpotenzialverfahren verallgemeinert werden (Schnitt-mengenanalyse).


Abbildung 12.8: Anwendung der Schleifenanalyse

erte Quellen und Übertrager vor, müssen diese für die Knotenpotenzialanalyse in Ersatz-schaltungen umgewandelt werden.Die Knotenspannungen sind also ein geeigneter Satz von Unbekannten zur vollständi-

gen Berechnung des Netzwerks. Das zugehörige Berechnungsverfahren wird Knotenana-lyse genannt.

12.2.3 Beispiele

Schleifenananlyse

Wir berechnen die Netzwerkgrößen der Abbildung 12.8 mit der Schleifenanalyse.

1. Wir wählen einen Spannbaum bestehend aus den Kanten mit den BauelementenC1 und C2.

2. Wir zeichnen die Schleifenströme ein. Die Schleifenströme bilden einen geschlosse-nen Pfad, fließen durch die Bauelemente der Glieder und schließen sich durch Bau-elemente im Baum, z.B. LGlied ↔ C3Baum ↔ C1Baum oder C2Glied ↔ C3Baum ↔C1Baum . Die Richtung der Schleifenströme kann beliebig gewählt werden.

3. Wir machen einen vollständigen Umlauf in Richtung eines jeden Schleifenstromsund erstellen die Netzwerkgleichungen

∑u = 0. Die Spannungsabfälle an den (pas-

siven) Bauelementen werden mit Hilfe der Schleifenströme ausgedrückt, wobei zubeachten ist, dass durch ein Bauelement mehrere Schleifenströme fließen können.

Wir erhalten

(Schleife 1): − u+ i1R1 +1

sC1(i1 − i2 − i3) = 0 (12.10)

(Schleife 2):1

sC2i2 +

1

sC3(i2 + i3 − i4) +

1

sC1(i2 + i3 − i1) = 0 (12.11)

(Schleife 3): sLi3 +1

sC3(i3 + i2 − i4) +

1

sC1(i3 + i2 − i1) = 0 (12.12)

(Schleife 4): R2i4 +1

sC3(i4 − i2 − i3) = 0 (12.13)

Nach Umordnen und Darstellung in Matrizenschreibweise erhalten wir

R1 + 1

sC1− 1sC1

− 1sC1

0

− 1sC1

1sC1

+ 1sC2

+ 1sC3

1sC1

+ 1sC3

− 1sC3

− 1sC1

1sC2

+ 1sC3

sL+ 1sC1

+ 1sC3

− 1sC3

0 − 1sC3

− 1sC3

R2 + 1sC3

·

i1i2i3i4

=

u000

(12.14)

12.2. TOPOLOGISCHE NETZWERKBESCHREIBUNG 135

Wenn wir dieses Gleichungssystem4 lösen, erhalten wir die Schleifenströme, aus de-nen sich durch Überlagerung die Zweigströme berechnen lassen. Die Zweigspannungenerhalten wir über die Bauelementebeziehungen aus den Zweigströmen. Lösen wir dasGleichungssystem für i4, erhalten wir

i4 = −u(1 + s2C2L)/[(R1 +R2 + s(L+ C1R1R2 + C3R1R2) + s2(C1LR1 + C2LR1 +C2LR2 + C3LR2) + s3(C1C2LR1R2 + C1C3LR1R2 + C2C3LR1R2)]

Knotenanalyse

Wir berechnen nun die Netzwerkgrößen der Abbildung ?? mit der Knotenanalyse.

1. Wir wählen den Knoten (3) als Referenzknoten5 .

2. Die Knotenspannungen u1 und u2 sind von den Knoten 1 und 2 zum Knoten 3gerichtet und in dieser Richtung positiv6 .

3. Wir erstellen die Netzwerkgleichungen∑i = 0 für alle Knoten des Netzwerks,

wobei die in die Knoten fließenden Ströme positiv, die aus den Knoten fließendennegativ gezählt werden.7

Knoten 1: iR1 + iC1 + iC2 + iL = 0 (12.15)

Knoten 2: iR2 + iC3 − iC2 − iL = 0 (12.16)

Wir drücken die Zweigströme durch die Knotenspannungen aus

iR1=

uR1R1

= u−u1R1

iC1 = sC1uC = −sC1u1

iC2 = sC2(u2 − u1)iC3 = −sC3u2

iL = 1sL (u2 − u1)

iR2= − u2

R2

und erhalten

(u− u1)

R1− sC1u1 + sC2(u2 − u1) +

1

sL(u2 − u1) = 0 (12.17)

− u2

R2− sC3u2 − sC2(u2 − u1)−

1

sL(u2 − u1) = 0 (12.18)

Nach Umordnen wird daraus( −1R1− sC1 − sC2 − 1

sL sC2 + 1sL

sC2 + 1sL − 1

R2− sC3 − sC2 − 1

sL

)︸︷︷︸

Y

·(u1

u2

)︸︷︷︸U

=

(− uR1

0

)︸︷︷︸

I

(12.19)

Wenn wir dieses Gleichungssystem (im s−Bereich) lösen, erhalten wir die Knoten-spannungen (in Bezug auf den Referenzknoten). Die Zweigspannungen lassen sich ausden Knotenspannungen berechnen, die Zweigströme können über die Bauelementebezie-hungen aus den Zweigspannungen berechnet werden.Wir lösen das Gleichungssystem und erhalten für u2

4Die Gleichungen sind im s−Bereich erstellt und können mit Hilfe der Laplace-Transformation gelöstwerden. Alternativ könnte man mit der Beziehung s = d/dt ein System von Differentialgleichungenerhalten, das im Zeitbereich gelöst werden kann.

5Es könnte jeder Knoten des Netzwerks den Referenzknoten bilden, es ist allerdings praktisch denReferenzknoten auf das Potential Null (Erde) zu legen und damit alle Spannungen auf dieses Potentialzu beziehen.

6Auch hier könnte man, wie bei den Schleifenströmen, eine beliebige Richtung wählen. Ein einheitli-ches Vorgehen, z.B. alle Schleifen rechtsdrehend und alle Knotenspannungen positiv zum Bezugsknoten,erhöht die Übersichtlichkeit bei der Erstellung der Netzwerkgleichungen.

7Die Stromrichtungen können ganz willkürlich gewählt werden. Es ist nur darauf aufzupassen, dassdurch einen Zweig der Strom nur in einer Richtung fließen kann (also immer von einem Knoten weg ineinen anderen Knoten hinein).


Abbildung 12.9: Anwendung der Knotenanalyse

u2 = R2(1 +C2Ls2)u/(R2 +Ls+C2LR2s

2 +C3LR2s2 +R1((1 +C3R2s)(1 +C2Ls

2) +C1s(R2 + Ls+ C2LR2s

2 + C3LR2s2))

Formt man das Nennerpolynom um, erhält man die Lösung wie bei der Schleifenana-lyse. Das Zählerpolynom der Schleifenanalyse isti4 = −u(1 + s2C2L). Daraus folgt für u2 = −i4R2 = R2(1 + C2Ls

2)u.Schleifen- und Knotenanalyse liefern selbstverständlich dasselbe Ergebnis für die

Netzwerkgrößen. Die Entscheidung, ob die Schleifenanalyse oder die Knotenanalyse ver-wendet wird, ist eine Frage der Zweckmäßigkeit.Netzwerkanalyseprogramme, wie z.B. SPICE (Simulation Program with Integrated

Circuit Emphasis), erlauben die (graphische) Eingabe von elektrischen Schaltungen, dieNetzwerkgleichungen werden automatisch erstellt und der Benützer kann entscheiden,welche Netzwerkuntersuchungen (Gleichstrom-, Wechselstrom-, transiente Analyse, . . . )durchgeführt werden sollen.


Bei der Berechnung der Zweigspannungen und -ströme in einem elektrischen Netzwerkmit z Zweigen sind 2z Netzwerkgrößen zu ermitteln. Da in jedem Zweig Strom und Span-nung über die Bauelementbeziehung verknüpft ist, sind letztlich nur z Netzwerkgrößenzu ermitteln.Bei einfachen Netzwerken kann die Erstellung der Netzwerkgleichungen per Hand er-

folgen, bei umfangreichen Netzwerken ist ein methodisches Vorgehen angeraten, um linearunabhängige Netzwerkgleichungen zu finden. Sind im Netzwerk Speicherelemente ent-halten, dann sind die entstehenden Netzwerkgleichungen Integro-Differentialgleichungen.Wir haben uns bei unseren Beispielen für die Erstellung der Netzwerkgleichungen derOperatorenrechnung bedient, die entstehenden Netzwerkgleichungen werden dadurch al-gebraische Gleichungen, die die LaplaceTransformierte der Netzwerk-Differentialgleichungen8

sind. Die Lösung der Netzwerkgleichungen erfolgt durch Umkehrung (inverse) der Laplace-Transformation mit Hilfe von Tabellenverfahren, wie im Kapitel 13 über die Lösung derNetzwerkgleichung gezeigt.

8Für energielosen Anfangszustand des Netzwerks.

Kapitel 13

Lösung derNetzwerkgleichungen

Inhalt13.1 Gleichstromanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13813.2 Wechselstromanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

13.2.1 Effektivwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

13.2.2 Komplexe Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

13.2.3 Leistung in Wechselstromnetzwerken . . . . . . . . . . . . . . 144

13.3 Allgemeine Zeitfunktion als Eingangssignal . . . . . . . . . . 14513.3.1 Lösung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

13.4 Systemantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15113.4.1 Lösung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

13.4.2 Lösung im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

13.4.3 Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

13.4.4 Eigenschaften der Systemfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 161


Mit Hilfe topologischer Methoden können wir die Kirchhoff’schen Gleichungen sys-tematisch erstellen und erhalten ein System von unabhängigen Gleichungen, die dasNetzwerk beschreiben. Aus diesen Gleichungen werden die Schleifenströme bzw. Kno-tenspannungen berechnet, aus denen sich alle Zweigströme und -spannungen ermittelnlassen.An das Netzwerk wird ein (oder mehrere) Eingangssignal angelegt und ein (oder Häufig ist in einem

Netzwerk nur das Über-tragungsverhalteninteressant, d.h. das Ver-hältnis von Eingangs -zuAusgangssignal.

mehrere) Ausgangssignal ermittelt. In vielen Fällen interessieren nicht die Zweigspan-nungen und -ströme innerhalb des Netzwerks, sondern das Übertragungsverhalten desNetzwerkes, d.h. das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangssignal. Wir beschränken unsim weiteren auf Systeme mit einem Eingang und einem Ausgang, wie in Abbildung 13.1gezeigt.Wir unterscheiden drei Typen von Eingangsgrößen.

Abbildung 13.1: Übertragungsverhalten eines Netzwerks

137

138 KAPITEL 13. LÖSUNG DER NETZWERKGLEICHUNGEN

Abbildung 13.2: Schleifenanalyse

• Der einfachste Fall liegt vor, wenn das » Eingangssignal« eine Gleichspannung oderDas Netzwerkverhaltenkann für konstante Erre-gersignale (Gleichstrom-analyse), sinusförmigeErregersignale (Wechsel-stromanalyse) oderbeliebige Zeitsignaleuntersucht werden.

ein -strom ist. Hier können wir eigentlich nicht von Signalen sprechen, da die Ein-gangsgröße unveränderlich ist und keine Information trägt. Die Analyse elektrischerNetzwerke für Gleichgrößen nennt man Gleichstromanalyse.

• Wir haben im Kapitel über Signale gesehen, dass man sich allgemeine Signale aussinusförmigen Grundsignalen zusammengesetzt denken kann. Das Verhalten vonSystemen für sinusförmige Eingangssignale ist Thema der Wechselstromanalyse.

• Schließlich bleibt noch das Verhalten von Systemen auf allgemeine zeitabhängigeSignale zu untersuchen. Die Lösung der Netzwerkgleichungen für diesen Fall kanndurch Lösung im Zeit- oder im Frequenzbereich erfolgen.

13.1 Gleichstromanalyse

Die Gleichstromanalyse ist der einfachste Fall der Netzwerkuntersuchungen. Bei derBei der Gleichstromanaly-se kann man Kapazitätendurch offene und Indukti-vitäten durch geschlosseneVerbindungen ersetzen.

Gleichstromanalyse treten nur (konstante oder gesteuerte) Spannungs- und Stromquellenund Widerstände auf. In einem Gleichstromnetzwerk verhalten sich Kapazitäten wieoffene Schaltkreise, Induktivitäten wie kurzgeschlossene Schaltkreise. Nach Erstellungder Netzwerkgleichungen mit Hilfe der Kirchhoff’schen Sätze erhalten wir ein Systemgewöhnlicher Gleichungen das gelöst werden muss.

Beispiel 47 Wir berechnen das Netzwerk in Abbildung1 13.2 mit Hilfe der Schleifenana-lyse.Dieses einfache Beispiel könnte man auch per Hand rechnen, wir lösen es aber aufsystematische Art mit Hilfe der Maschenströme I1 und I2.

−U + I1R1 + I1R2 − I2R2 = 0 (13.1)

I2R2 − I1R2 + I2R3 + I2R4 = 0 (13.2)(R1 +R2 −R2

−R2 R2 +R3 +R4

)︸︷︷︸

R

·(I1I2

)︸︷︷︸

I

=

(U0

)︸︷︷︸

U

(13.3)

Dieses Gleichungssystem mit zwei Unbekannten kann gelöst werden und wir erhalten fürdie Schleifenströme

I1 =U

R1 +R2 − R1R2

R2+R3+R4

=(R2 +R3 +R4)U

R22 +R1R3 +R2R3 +R1R4 +R2R4

(13.4)

I2 =R1

R2 +R3 +R4I1 =

R1U

R22 +R1R3 +R2R3 +R1R4 +R2R4

(13.5)

Setzen wir für die Zahlenwerte R1 = 1Ω, R2 = 2Ω, R3 = 3Ω, R4 = 4Ω, U = 10V ein,so erhalten wir

1Für die Bezeichnung von Gleichgrößen verwendet man in der Elektrotechnik in der Regel Großbuch-staben.

13.2. WECHSELSTROMANALYSE 139

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

2

0

2

Zeit t

u(t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 13

2

1

0

1

2

3

Zeit t

u(t)

Abbildung 13.3: Zeitlich veränderliche Netzwerkgrößen

(3 −2−1 9

)︸︷︷︸

R

·(I1I2

)︸︷︷︸I

=

(100

)︸︷︷︸U

Wir lösen die Matrixgleichung durch Linksmultiplikation mitR−1 und erhalten I=R−1U(I1I2

)=

(0.36 0.080.04 0.12

)·(

100

)=

(3.600.40

)Spannungen und Ströme im Netzwerk lassen sich über die Schleifenströme ermit-

teln. Die Spannung UR4 = I2R4 lässt sich direkt aus dem Schleifenstrom I2 ermitteln.Die Spannung UR2 müsste aus der Summe der beiden Schleifenströme berechnet werdenUR2

= (I1 − I2)R2.

13.2 Wechselstromanalyse

Wechselspannungen und -ströme sind Spannungen und Ströme, die sich zeitlich ändern, Wechselspannung oder-strom im engeren Sin-ne heißt Spannung oderStrom mit sinusförmi-gem Zeitverlauf.

wie in Abbildung 13.3 gezeigt. Im engeren Sinn verstehen wir unter Wechselgrößen Grö-ßen mit sinusförmiger Zeitabhängigkeit u(t) = U sin(ωt+ ϕ) bzw. i(t) = I sin(ωt+ ϕ).

13.2.1 Effektivwert

Die Amplituden der Wechselgrößen (U , I) nennt man Scheitelwert. Die Leistung in Der Effektivwert einerWechselspannung ist derWert einer Gleichspan-nung, die am ohmschenWiderstand die gleicheLeistung verbraucht. DerEffektivwert ist von derKurvenform abhängig!

elektrischen Netzwerken ist durch das Produkt aus Strom mal Spannung definiert. Liegtan einem ohmschenWiderstandR eine Wechselspannung u(t) an, so ist die imWiderstandverbrauchte Leistung

p(t) = u(t) · i(t) = u(t) · u(t)

R=u2(t)

R(13.6)

So wie die Spannung, ist auch die Leistung zeitabhängig, wie Abbildung 13.4 zeigt.Abbildung 13.4 zeigt, dass die Frequenz der Leistung gleich der doppelten Frequenz derSpannung2 ist. Zur Berechnung der Wärmewirkung des Wechselstroms interessiert derMittelwert Pmittel der verbrauchten Leistung. Wir berechnen die mittlere Leistung durchIntegration und Mittelung über die Periodendauer

2Die Helligkeitsvariation einer Glühbirne in unserem Stromnetz, die wir wegen der Trägheit des Augesnicht sehen, aber mit entsprechenden Messgeräten feststellen können, erfolgen daher mit 100 Hz.


1 0.5 0 0.5 11

0.5

0

0.5

1

Spannung

1 0.5 0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Leistung

Pmittel

Abbildung 13.4: Wechselstromleistung

Pmittel =1

T

T∫0

u2(t)

Rdt (13.7)

Die Größe

Ueff =

√√√√√ 1

T

T∫0

u2(t)dt (13.8)

nennt man den Effektivwert der Spannung. Die mittlere Leistung ist daher

Pmittel =U2eff

R(13.9)

Die Effektivspannung ist jene Spannung, die eine Gleichspannungsquelle haben müss-te, um die gleiche Leistung an einem ohmschen Widerstand zu verbrauchen wie dieWechselspannungsquelle. Aus Gleichung (13.8) sehen wir, das die Effektivspannung vonder Kurvenform der Wechselspannung u(t) abhängt!

Beispiel 48 Als Beispiel berechnen wir den Effektivwert der sinusförmigen Wechselspan-nung u(t) = U sinωt, U ist die Amplitude der Sinusschwingung

Ueff =

√√√√√ 1

T

T∫0

U2 sin2(ωt)dt (13.10)

Unter Verwendung der Beziehung sin2 α = 12 (1− cos 2α) erhalten wir

Ueff =

√√√√√ U2

2T

T∫0

[1− cos(2ωt)] dt (13.11)

und erhalten

Ueff =

√√√√ U2

2T

[t− 1

2ωsin(2ωt)

]∣∣∣∣∣T

0

= U

√1

2(13.12)


Abbildung 13.5: Strom und Spannung an der Induktivität

Die Wechselspannung unseres Stromnetzes beträgt 230 Volt und ist in Effektivwertangegeben, die Scheitelspannung beträgt daher 325 Volt. Die Umrechnung U = Ueff

√2

gilt nur für sinusförmige Wechselspannungen, da der Effektivwert von der Kurvenformder Zeitfunktion abhängt! Bei sinusförmigen Größen bezeichnet man die Amplituden nurmit U, I, ob Effektiv- oder Scheitelwert gemeint ist, geht aus dem Zusammenhang hervor.Wenn es sich um leistungsbezogene Größen handelt wird in der Regel der Effektivwertverwendet, bei Signalen meistens der Scheitelwert.

13.2.2 Komplexe Widerstände

Im Abschnitt über Signale haben wir die komplexe Rechnung zur Darstellung von Sinus- Die Wechselstromanalyseerfolgt wie die Gleichstro-manalyse mit dem Unter-schied, dass Widerstän-de im Allgemeinen kom-plexe Werte annehmen.

und Kosinusfunktion eingeführt und damit eine wesentliche Vereinfachung der Rechnungerreicht. Durch die Einführung der komplexen Rechnung wird die Netzwerkanalyse fürsinusförmige Größen sehr einfach und praktisch gleich wie die Gleichstromanalyse: Beider Gleichstromanalyse haben wir ohmsche Widerstände, die nur reelle Werte anneh-men können. Bei der Wechselstromanalyse treten zusätzlich zu den reellen ohmschenWiderständen noch die imaginären Widerstände von L und C auf. Abgesehen davondass Widerstände reell, imaginär oder komplex sein können, erfolgt die Berechnung vonWechselstromnetzwerken gleich wie die Berechnung von Gleichstromnetzwerken.

Induktivität

Bei der Induktivität und sinusförmigen Größen haben wir folgenden Zusammenhang

iL = I sin(ωt+ ϕ) uL = LdiL(t)

dt(13.13)

und erhalten daraus durch Einsetzen

uL = ωLI cos(ωt+ ϕ) (13.14)

Der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung als Funktion der Zeit in reellerund in komplexer Darstellung ist in Abbildung 13.5 gezeigt.Wie wir aus Abbildung 13.5 erkennen können, beträgt die Phasenverschiebung zwi- Bei einer Induktivität eilt

der Strom der Spannungum π/2 nach.

schen Strom und Spannung π/2 = 90, man sagt, der Strom eilt der Spannung um 90

nach.


Abbildung 13.6: Serienschaltung R und L

Sinusförmige Größen können auch mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion3 alsrotierende Zeiger dargestellt werden. Bei einer Sinusschwingung ändert sich die Länge desZeigers nicht, daher σ = 0 und s = jω. Unter Verwendung der komplexen Schreibweiseerhalten wir iL(t) = I sin(ωt+ ϕ)⇒ Iej

(ωt+ϕ)

. Wir setzen in (13.13) ein und erhalten

uL = LdiL(t)

dt⇒ ~uL = L

d(Iej

(ωt+ϕ))

dt= jωLIej

(ωt+ϕ)

(13.15)

~uL wird dadurch zu einer komplexe Größe, die zunächst keine physikalische Bedeu-tung hat, mit der aber gut gerechnet werden kann. Durch die Differentiation bleibt dieFunktion ejωt erhalten4 ! Wir können daher auf das Anschreiben der komplexen Expo-nentialfunktion verzichten und schreiben kurz5

~UL = jωL · ~IL = sL · ~IL∣∣∣s=jω

(13.16)

Der komplexe Widerstand ~Z =~UL~IL(vgl. R = U

I ) wird Impedanz genannt. Das » ohm-Den komplexen Wider-stand nennt man Impe-danz. Die Impedanz istvon der Frequenz ab-hängig.

sche« Gesetz für die Induktivität lautet nach Einführung der Impedanz

~UL = ~ZL~IL für ~ZL = jωL = sL (13.17)

Die Impedanz der Induktivität ist rein imaginär6 , der ohmsche Widerstand rein reell.Die Impedanz einer In-duktivität ist

~ZL = jωL

.

Die Serienschaltung eines ohmschen Widerstands und einer Induktivität nach Abbildung13.6 hat die Ersatzimpedanz ~Z = R+ jωL und ist eine komplexe Größe.

Kapazität

Für die Kapazität erhalten wir in komplexer DarstellungBei einer Kapazität eiltdie Spannung dem Stromum π/2 nach. Die Impe-danz einer Kapazität ist

~ZC =1

jωC

~UC = ~ZC~IC für ~ZC = 1/jωC = −j 1

ωC=

1

sC(13.18)

Schaltkreisanalyse mit komplexen Widerständen

Bei der Analyse von Schaltkreisen für sinusförmige Wechselspannungen und -ströme kön-nen wir die Kirchhoff’schen Gesetze in der gewohnten Form anwenden:∑u = 0 und

∑i = 0.

• Wir ersetzen die Zeitbeschreibung der sinusoidalen Netzwerkgrößen durch die kom-plexe Exponentialfunktion. Die komplexen Exponentialfunktionen können wir unsals rotierende Zeiger in der komplexen Ebene vorstellen, die Drehgeschwindigkeitder Zeiger entspricht der Kreisfrequenz ω der Netzwerkgröße. Im weiteren Verlaufder Berechnungen interessieren wir uns nur mehr für den Betrag und die Phaseder Zeiger, da wir ja wissen, dass die Zeiger sinusoidale Größen repräsentieren unddie sinusoidale Kurvenform in linearen Netzwerken erhalten bleibt. Wir können dasNetzwerk immer aber nur für eine Frequenz untersuchen. Wenn mehrere Quellenin einem Netzwerk auftreten, müssen alle dieselbe Frequenz haben!

• Induktivitäten und Kapazitäten haben die Impedanzen ~ZL = jωL bzw. ~ZC =Bei hohen Frequenzenhaben Kapazitäten einenkleinen ”Widerstand”, In-duktivitäten einen großen.Für niedrige Frequenzenist es umgekehrt.

3Siehe Abschnitt 2.4 über die komplexe Exponentialfunktion.4Die (komplexe) Exponentialfunktion ist die einzige Funktion auf die das zutrifft! Wir verwenden

ejωt zur Darstellung der Sinusfunktion.5Strom, Spannung und Widerstand (Impedanz) sind in der Wechselstromrechnung komplexe Größen.

Zur Unterscheidung verwenden wir daher ~U, ~I, ~Z.6Rein imaginäre Impedanzen werden auch Reaktanzen genannt.


Abbildung 13.7: Netzwerkberechnung mit Knotenanalyse

1/jωC, ohmsche Widerstände die Ïmpedanz"ZR = R. Impedanzen sind frequenz-abhängige Widerstände, ohmsche Widerstände hängen nicht von der Frequenz ab.Induktivitäten haben bei niedrigen Frequenzen einen kleinen Widerstand (bei ω = 0verhalten sie sich wie ein Kurzschluss), der Widerstand steigt frequenzproportionalan ZL ∼ ω. Kapazitäten haben bei niedrigen Frequenzen einen großen Widerstand(bei ω = 0 verhalten sie sich wie ein Leerlauf, d.h. ein offener Schaltkreis), bei stei-gender Frequenz sinkt der Widerstand verkehrt proportional zur Frequenz ZC ∼ 1

ω .

• Wir erstellen die Netzwerkgleichungen unter Verwendung der bekannten Verfahren,wobei in den Netzwerkmatrizen in der Regel komplexe Zahlen auftreten werden.

Beispiel 49 Das Beispiel in Abbildung 13.7 zeigt die Vorgangsweise, wobei wir in diesemFall die Knotenanalyse anwenden wollen.

~U − ~U1

R1− jωC ~U1 +

1

jωL(~U2 − ~U1) = 0 (13.19)

− 1

jωL(~U2 − ~U1)− ~U2

1

R2= 0 (13.20)

( − 1R1− jωC − 1

jωL1jωL

1jωL − 1

R2− 1

jωL

)·(

~U1

~U2

)=

(− ~UR1

0

)(13.21)

Wir lösen die Netzwerkgleichungen und erhalten

~U2 =R2

~U

R1 +R2 + Ls+ CR1R2s+ CLR1s2

∣∣∣∣∣s=jω

(13.22)

In vielen Fällen ist bei der Untersuchung von Netzwerken lediglich das Verhältnis Aus-gangsgröße zu Eingangsgröße gefragt, z.B. U2/U . Dieses Verhältnis ist eine komplexeZahl, da die Netzwerkgleichungen komplex sind. Man stellt dieses Verhältnis meistensnach Betrag (in logarithmischem Maßstab) und Phase dar und nennt diese DarstellungBode-Plot. Wenn wir (13.22) grafisch darstellen wollen, müssen wir Zahlenwerte für dieBauelemente einsetzen und die Funktion für die interessierenden Frequenzen berechnen.Für die gegebenen Bauelementewerte ist

~U2~U

= 46s2+11s+5 .

Mit Hilfe von Matlab erhalten wir bode(tf(ZP,NP)), wie in 13.8 dargestellt.Wir » überprüfen« die grafische Darstellung und berechnen die Knotenspannung ~U2 fürR1 = 1, C = 2, L = 3, R2 = 4, U = 10 und für die Kreisfrequenz ω = 1 durch Einsetzenin (13.21) ( −1− j2− 1

j31j3

1j3 − 1

4 −1j3

)·(

~U1

~U2

)=

(−10

0

)(13.23)(

−1− j1.667 −j0.333−j0.333 −0.25 + j0.333

)·(

~U1

~U2

)=

(−10

0

)(13.24)

Wir multiplizieren von links mit der inversen Matrix und erhalten(~U1

~U2

)=

(−0.2377 + j0.3852 0.0328 + j0.36070.0328 + j0.3607 −1.2459− j1.7049

)·(−10

0

)=

(2.3770− j3.8525−0.3279− j3.6066

)


80

60

40

20

0

Mag

nitu

de (d

B)

102 101 100 101 102180

135

90

45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Abbildung 13.8: Bode-Plot

Abbildung 13.9: Phasenverschiebung am Zweipol

Die gesuchte Spannung ~UR2 = ~U2 = 3.6214e−j1.66152 = 3.6214e−j95.19446 . Die Am-plitude der Ausgangsspannung hat von 10V auf 3.6214V abgenommen, die Phasenver-schiebung beträgt −95. Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung ist 0.36214oder im Dezibelmaß20log10(0.36214) = −8.8dB.

13.2.3 Leistung in Wechselstromnetzwerken

Liegt an einem Zweipol mit der Impedanz ~Z = R + jX eine Spannung ~U und fließt einStrom ~I, der, wie in Abbildung 13.9 gezeigt, gegen die Spannung eine Phasenverschie-bung von φ hat, so ist die vom Zweipol aufgenommeneWirkleistung P = UeffIeff cosφ =I2effR, das ist jene Leistung, die im ohmschen Anteil des Zweipols in Wärme umgesetztwird. Die Größe PB = UeffIeff sinϕ = I2

effX bezeichnet man als (effektive) Blindleis-

tung. Als Scheinleistung bezeichnet man die Größe PS = Ueff · Ieff =√P 2 + P 2

B .

In elektrischen Netzen trägt nur die Wirkleistung zur Energieumsetzung bei. DieScheinleistung steckt im elektrischen und magnetischen Feld der Komponenten und eswird lediglich Energie zwischen dem elektrischen und dem magnetische Feld verschoben,die keinen Beitrag zur Wirkleistung leistet. Beim Verschieben der Energie zwischen elek-trischem und magnetischen Feld fließen jedoch Ströme über Leitungen, deren ohmscher

13.3. ALLGEMEINE ZEITFUNKTION ALS EINGANGSSIGNAL 145

Abbildung 13.10: RLC-Serienschwingkreis

Widerstand zwar klein, aber nicht Null ist7 . Der Blindstrom erzeugt durch die endli-chen Widerstände der Leitungen Wärmeverluste. Die Energieversorgungsunternehmenverrechnen daher industriellen Abnehmern auch die Blindleistung, die zwar keine echteLeistung ist, aber auf den Leitungen ohmsche Verluste erzeugt.Bei Verwendung der komplexen Rechnung ermittelt man die komplexe Leistung8 mit

der Beziehung ~P = P + jPB = ~U∗~I = Ue−jωtIej(ωt+φ) = UIejφ.

13.3 Allgemeine Zeitfunktion als Eingangssignal

Wir erstellen die Netzwerkgleichungen für das Beispiel nach Abbildung 13.10 mit Hilfedes Schleifenstroms i(t) und erhalten

Ldi(t)

dt+Ri(t) +

1

C

∫ T

0

i(t)dt+ uC(0) = u(t) (13.25)

Wir differenzieren Gleichung (13.25) und erhalten

Ld2i(t)

dt+R

i(t)

dt+

1

Ci(t) =

du(t)

dt(13.26)

d2i(t)

dt+R

L

i(t)

dt+

1

LCi(t) =

1

L

du(t)

dt(13.27)

Mit den Abkürzungen α = R2L und ω0 = 1√

LCwird daraus

d2i(t)

dt+ 2α

i(t)

dt+ ω2

oi(t) = f(t) (13.28)

Die Differentialgleichung (13.28) nennt man Schwingungsgleichung. f(t) is die Erre-gungsfunktion. Ähnlich den mechanischen Schwingungen in einem Masse-Federsystem,treten in einem LC-Netzwerk elektrische Schwingungen auf. Die Differentialgleichung(13.28) ist für die gegebene Erregungsfunktion zu lösen, wobei die Anfangsbedingungen(Anfangsspannung an der Kapazität und Anfangsstrom der Induktivität) berücksichtigtwerden müssen.Die direkte Lösung von Netzwerk-Differentialgleichungen werden wir nicht behandeln,

da sie umständlich und aufwändig ist und daher für lineare Netzwerke selten angewendetwird.

13.3.1 Lösung im Frequenzbereich

Die Lösung der Netzwerkgleichungen kann vorteilhaft mit Hilfe der Laplace-Transformationdurchgeführt werden. Da die Laplace-Transformation einen Übergang der Darstellungvom Zeitbereich in den Frequenzbereich darstellt, spricht man von der Lösung im Fre-quenzbereich.Die Bezeichnung Frequenzbereich ist nicht ganz zutreffend, da bei der Laplace-Trans- Um Netzwerkgleichun-

gen einfacher lösen zukönnen, werden siemittels der Laplace-Transformation in dens−Bereich transformiert.

7Nur in unserer idealisierten Darstellung hat die Verbindung zwischen den Komponenten den Wider-stand Null. Einen Zweipol mit rein Imaginärer Impedanz gibt es also in der Wirklichkeit nicht.

8Die Größe ~P = ~U~I ist nicht zweckmäßig, da sie nicht zur Definition der Wirk- und Blindleistungführt.


formation das Netzwerk in einen abtrakten mathematischen Bereich (die s−Ebene) ab-gebildet wird. Für technische Frequenzen gilt (σ = 0)→ s = jω, wie wir in der Wechsel-stromrechnung bereits gesehen haben. Die technischen sinusoidalen Schwingungen liegenin der s− Ebene bei σ = 0, also entlang der imaginären Achse.Die Laplace-Transformation ist eine Methode zur Lösung von Differentialgleichungen,

die sehr vorteilhaft auf elektrische Netzwerke bzw. ganz allgemein auf LTI-Systeme ange-wendet werden kann. Fasst man den Parameter s der Netzwerkgleichungen als komplexenFrequenzparameter9 auf, so hat man bereits die Laplace-transformierten Differentialglei-chungen des Netzwerks im energielosen10 Anfangszustand.Die Beziehung

F (s) =

∞∫0−

f(t)e−stdt (13.29)

nennt man (einseitige) Laplace-Transformation. Da wir uns nur für Vorgänge inter-essieren, die zu einem bestimmten Zeitpunkt beginnen, den wir (willkürlich) bei t = 0festlegen, ist die untere Integrationsgrenze der Gleichung (13.29) 0−. (Wir definieren ein-fach f(t) = 0 für t < 0.) Die Laplace-Transformation bildet über die Beziehung (13.29)eine Funktion vom Zeitbereich f(t) in den Frequenzbereich (s−Bereich) F (s) ab.

Durch diese Abbildung werden aus den Differentialgleichungen des Zeitbereichs ge-Durch die Laplace-Transformation werdenDifferentialgleichungen zualgebraischen Gleichun-gen.

brochen rationale Funktionen im s−Bereich. Da wir die Laplace-Transformation bereitsauf Bauteilebene durchführen (wir ersetzen uL(t) = LdiL(t)

dt durch UL(s) = sLIL(s) und

ic(t) = C duC(t)dt durch IC(s) = sCUC(s)), erstellen wir unsere Netzwerkgleichungen be-

reits im s−Bereich und erhalten daher keine Differentialgleichungen wie z.B. in (13.28).Ermittelt man die Netzwerkgleichungen in Abbildung 13.10 direkt im s−Bereich (mitHilfe der Operatorenrechnung), dann wird

−U(s) +RI(s) + sLI(s) +1

sCI(s) = 0 (13.30)

Nach Umformung erhalten wir daraus unter Verwendung der in (13.28) verwendetenAbkürzungen

I(s) =1Ls

s2 + RLs+ 1

LC

· U(s) =1Ls

s2 + 2αs+ ω2o︸︷︷︸

Netzwerk

·U(s)︸︷︷︸Erregung

(13.31)

Wie man leicht sehen kann, ist die Erstellung der Netzwerkgleichungen im s−Bereicheinfacher durchzuführen als die Erstellung der Differentialgleichungen. Die Netzwerk-gleichung ist im s−Bereich eine gebrochen rationale Funktion mit dem ZählerpolynomP (s) = 1

Ls und dem Nennerpolynom Q(s) = s2 + 2αs + ωo. Was wir zur Beschreibungdes Systemverhaltens im s−Bereich noch ergänzen müssen, ist die Laplace-Transformierteder Erregung.Schließlich muss vom s−Bereich in den Zeitbereich zurücktransformiert werden, da

uns ja letztlich das Zeitverhalten der Schaltung interessiert. Diese Vorgangsweise magkompliziert erscheinen, ist aber eine sehr elegante und effi ziente Methode zur Lösungvon Differentialgleichungen. Darüber hinaus liefert die Analyse der gebrochen rationalenFunktionen weitere Einsichten in die Eigenschaften eines Netzwerks, wie wir im weiterenVerlauf noch sehen werden.Die inverse Laplace-Transformation —die Rücktransformation vom s−Bereich in denFür die Rücktransformati-

on in den Zeitbereich wer-den meistens vorberech-nete Transformationspaa-re aus Korrespondenzta-bellen verwendet.

Zeitbereich —ist durch folgende Beziehung gegeben

f(t) =1

2πj

σ+j∞∫σ−j∞

F (s)estds (13.32)

9s wird meistens kurz komplexe Frequenz genannt.10Anfangsbedingungen wie geladene Kapazitäten oder stromdurchflossene Induktivitäten müssen ge-

trennt berücksichtigt werden, was aber keine Einschränkung des Verfahrens darstellt.


die aber ohne praktische Bedeutung ist. Für die Rücktransformation vom s−Bereichin den Zeitbereich zerlegt man die Netzwerkgleichungen in einfache Ausdrücke, derenTransformationsbeziehung f(t) ⇐⇒ F (s) man aus aus Korrespondenztabellen entneh-men kann. Die Zerlegung der gebrochen rationalen Funktionen in einfache Ausdrückewird mit Hilfe der Partialbruchzerlegung durchgeführt.

Rechnen mit der Laplace-Transformation

Operationen

Operation f(t) F (s)

Linearität∑i cifi(t)

∑i ciFi(s)

Differentiation df(t)dt sF (s)− f(0−)

Integration∫ t+

0−f(τ)dτ F (s)

s

Verschiebung im Zeitbereich f(t− a) e−asF (s)

Verschiebung im Frequenzbereich eatf(t) F (s− a)

Maßstabsänderung a > 0 f( ta ) aF (as)

Faltung∫ t+

0−f1(τ)f2(t− τ)dτ f1(t) ∗ f2(t) F1(s)F2(s)


Korrespondenzen

f(t) F (s)

0 δi(t) si

1 δ0(t) 1

2 δ−1(t) 1s

3 δ−1(t)t 1s2

4 δ−1(t)e−at 1s+a

5 δ−1(t)te−at 1(s+a)2

6 δ−1(t) sinωt ωs2+ω2

7 δ−1(t) cosωt ss2+ω2

8 δ−1(t)e−at sinωt ω(s+a)2+ω2

9 δ−1(t)e−at cosωt s+a(s+a)2+ω2

10 δ−1(t)re−at cos (ωt+ ϕ) 0.5rejϕ

s+(a−jω)+ 0.5re−jϕ

s+(a+jω)

11 δ−1(t)re−at cos(ωt+ ϕ) As+Bs2+2as+c=

As+B(s+a)2+ω2

(a) r =√

A2c+B2−2ABaω2

(b) ϕ = arctan Aa−BAω

(c) ω =√c− a2

Wir betrachten nur solche Zeitfunktionen, die für t < 0 verschwinden oder andersDas » Einschalten« ei-nes Signals wird durchdie Multiplikation mitder Funktion δ−1(t)modelliert.

ausgedrückt zum Zeitpunkt t = 0 » eingeschaltet« werden. Die mathematische Darstel-lung des Einschaltens erfolgt durch Multiplikation mit δ−1(t). In dieser Tabelle findenwir auch wichtige Erregungsfunktionen, die in Gleichung (13.31) noch gefehlt haben, z.B.der Einheitssprung, der Impuls oder die (eingeschaltete) Sinusoidalfunktion.

Partialbruchzerlegung

Bei der Erstellung von Netzwerkgleichungen im s−Bereich treten gebrochen rationa-le Funktionen auf, die Zähler- und Nennerpolynome hohen Grades aufweisen können.In unseren Korrespondenztabellen finden wir aber nur Polynome F (s) mit maximal 2.Grad. Um die Korrespondenztabellen verwenden zu können müssen daher die Netzwerk-funktionen in eine Summe von Polynomen (maximal zweiten Grades) zerlegt werden. DieZerlegung können wir mit Hilfe der Partialbruchzerlegung durchführen.

Bei der Partialbruchzerlegung mussm, der Grad des Zählerpolynoms P (s), kleiner alsWenn bei der Partial-bruchzerlegung derGrad des Zählerpolynomsgrößer als der Grad desNennerpolynoms ist,muss Polynomdivisiondurchgeführt werden.

n, der Grad des Nennerpolynoms11 Q(s), sein. Wenn das nicht der Fall ist, muss zuerstdurch Division m < n erreicht werden.

11Wir sehen in den Korrespondenztabellen, dass der Zählergrad stets kleiner als der Nennergrad ist.


Beispiel 50

F (s) =s2 + 7s+ 11

s2 + 4s+ 5(13.33)(

s2 + 7s+ 11)

:(s2 + 4s+ 5

)= 1 (13.34)

−(s2 + 4s+ 5

): (13.35)(

0s2 + 3s+ 6)

: (13.36)

F (s) =s2 + 7s+ 11

s2 + 4s+ 5= 1 +

3s+ 6

s2 + 4s+ 5(13.37)

Wir transformieren die Netzwerkgleichung aus dem s−Bereich in den Zeitbereich undverwenden dafür folgende Entsprechungen aus der Korrespondenztabelle

(1) δ0(t)⇔ 1 (13.38)

(11) δ−1(t)re−at cos(ωt+ ϕ)⇔ As+B

s2 + 2as+ c(13.39)

Die Zeitfunktion f(t) wird nach Einsetzen in (11 a,b,c)

f(t) = δ0(t) + δ−1(t)3e−2t cos(t) (13.40)

Alternativ können wir umformen und erhalten

F (s) = 1 +3s+ 6

s2 + 4s+ 5= 1 + 3

s+ 2

(s+ 2)2 + 1(13.41)

und daraus unter Verwendung der Korrespondenz (9) dasselbe Ergebnis.

Beispiel 51 Die Polynomdivision kann mit Hilfe der Matlabfunktion deconv durchge-führt werden.P = [1 7 11]; Q = [1 4 3][Q, R] = deconv (P, Q)Q = 1 , R = [0 3 8]Bei der Partialbruchzerlegung müssen zuerst die Nullstellen des Nennerpolynoms be-

rechnet werden und das Nennerpolynom in die Wurzeldarstellung gebracht werden. Dannmüssen die Zählerkoeffi zienten (die Residuen12) ermittelt werden.

Wir zerlegen F (s) = 7s+11s2+4s+3

1. Berechnen der Nullstellen von s2 + 4s+ 3 = 0⇒ s0,1 = −3, s02 = −1

2. F (s) = 7s+11(s+3)(s+1) = R1

s+3 + R2

s+1

Die Zählerkoeffi zienten erhalten wir durch Ausmultiplizieren und Koeffi zientenvergleich

7s+ 11 = R1(s+ 1) +R2(s+ 3) = s(R1 +R2) + (R1 + 3R2) (13.42)

7 = R1 +R2 ; 11 = R1 + 3R2 (13.43)

R1 = 5 ; R2 = 2 (13.44)

F (s) =7s+ 11

s2 + 4s+ 3=

5

s+ 3+

2

s+ 1(13.45)

Unter Verwendung der Beziehung (4) aus der Korrespondenztabelle erhalten wir nachRücktransformation

f(t) = δ−1(t)5e−3t + δ−1(t)2e−t (13.46)

12Bei der direkten Berechnung der inversen Laplace-Transformation wird das Integral mit Hilfe desResiduensatzes ausgewertet. Die Zählerkoeffi zienten der Partialbruchzerlegung nennt man Residuen.


Beispiel 52 Die Partialbruchzerlegung kann mit Hilfe der Matlabfunktion residue durch-geführt werden. In diesem Fall ist bei m ≥ n keine explizite Polynomdivision erforderlich,residue liefert als Ergebnis die Residuen (R), Pole (P) und Quotienten (K). Für dasBeispiel F (s) = 7s+11

s2+4s+3 erhalten wirP = [7 11]; Q = [1 4 3][R, P, K] = residue (P, Q) =⇒ R’= [5 2] P’= [-3 -1] K = [ ]

Residuen-Methode Die Berechnung der Residuen durch Koeffi zientenvergleich istDie Residuen-Methodeist bei der Partialbruch-zerlegung schneller undeinfacher als der Koeffi zi-entenvergleich.

aufwändig, eine schnellere Lösung für die händische Berechnung der Zählerkoeffi zientenfinden wir über den folgenden Zusammenhang

F (s) =bms

m + bm−1sm−1 + ...+ b1s+ b0

sn + an−1sn−1 + ...+ a1s+ a0=P (s)

Q(s)(13.47)

=R1

s− λ1+

R2

s− λ2+ ...+

Rns− λn

(13.48)

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit s − λ1 und werten an der Stelles = λ1 aus, dann wird

(s− λ1)F (s) |s=λ1 = R1 +R2 (s− λ1)

s− λ2+ ...+

Rn (s− λ1)

s− λn|s=λ1 (13.49)

Auf der rechten Seite verschwinden alle Terme bis auf R1, da (s− λ1)|s=λ1 = 0, wirerhalten daher

R1 = (s− λ1)F (s) |s=λ1 (13.50)

Diesen Vorgang können wir für auch für alle anderen Residuen durchführen und er-halten

Rk = (s− λk)F (s) |s=λk k = 1, 2, ..., n (13.51)

Beispiel 53 Wir berechnen die Residuen der Funktion

As+B

s2 + 2as+ c=

As+B

(s+ a)2 + ω2=

R1

s+ a+ jω+

R2

s+ a− jω (13.52)

s2 + 2as+ a2 + ω2 → ω =√c− a2 (13.53)

R1 =(As+B) (s+ a+ jω)

(s+ a+ jω) (s+ a− jω)

∣∣s=−(a+jω) (13.54)

A[−(a+ jω)] +B

−(a+ jω) + a− jω =Aω + j(B −Aa)

2ω(13.55)

|R1| =1

2

√A2c− 2ABa+B2

ω2(13.56)

ϕ = arctan

(Aa−BAω

)(13.57)

R2 = R∗1 (13.58)

As+B

s2 + 2as+ c=

0.5 |R1| ejϕs+ (a− jω)

+0.5 |R1| e−jϕs+ (a+ jω)

(13.59)

Mehrfache Nullstellen Wir haben bisher nur Netzwerkfunktionen mit einfachen Null-stellen des Nennerpolynoms betrachtet. Treten mehrfache Nullstellen im Nennerpolynomauf, dann wird die Partialbruchentwicklung

13.4. SYSTEMANTWORT 151

F (s) =P (s)

(s− α)n

(s− λ1)(s− λ2)...(s− λm)(13.60)

=A0

(s− α)n +

A1

(s− α)n−1 + ...+

An−1

(s− α)(13.61)

+R1

(s− λ1)+

R2

(s− λ2)+ ...+

Rm(s− λm)

(13.62)

Die Koeffi zienten R1, R2, ..., Rm können wie bisher berechnet werden. Die Koeffi zien-ten A0, A1, ..., An−1 erhält man

A0 = (s− α)nF (s) |s=α (13.63)

A1 =d

ds[(s− α)

nF (s)] |s=α (13.64)

Ai =1

i!

di

dsi[(s− α)

nF (s)] |s=α (13.65)

Beispiel 54

F (s) =1

s(s+ 2)2=R

s+

A0

(s+ 2)2 +

A1

(s+ 2)(13.66)

R = sF (s) |s=0 =1

4(13.67)

A0 = (s+ 2)2 1

s(s+ 2)2

∣∣∣∣s=−2

= −1

2(13.68)

A1 =d

ds

[(s+ 2)

2 1

s(s+ 2)2

]∣∣∣∣s=−2

= − 1

s2

∣∣∣∣s=−2s=−2

= −1

4(13.69)

F (s) =1/4

s− 1/2

(s+ 2)2 −

1/4

(s+ 2)(13.70)

Oder durch Berechnung mit Matlab13 P = [1], Q = [1, 4, 4, 0].[R,P,K] = residue[P,Q], R = [−0.25 − 0.5 0.25]; P = [−2 − 2 0] K = []

R(j)

(s− pj)+R(j + 1)

(s− pj)2 + ...+R(j + n− 1)

(s− pj)n(13.71)

F (s) = − 0.25

(s+ 2)− 0.5

(s+ 2)2 +

0.25

(s)(13.72)

13.4 Systemantwort

Unter Systemantwort verstehen wir die Antwort eines Systems auf ein gegebenes Ein-gangsignal.

13.4.1 Lösung im Frequenzbereich

Das Verhältnis von Antwort (Ausgangssignal) zu Erregung (Eingangssignal) im s−Bereich Die Systemfunktion ei-nes LTI-Netzwerkes (dasVerhältnis von Eingangs-signal zu Ausgangssignalim s-Bereich) ist immereine gebrochen rationalekomplexwertige Funktion.

nennt man Systemfunktion (Netzwerkfunktion, Übertragungsfunktion). Bei LTI-Netzwerkenist die Systemfunktion stets eine gebrochen rationale Funktion, die sich in folgender Formdarstellen lässt

13Die Partialbruchzerlegung von gebrochen rationalen Funktionen ist ein schlecht konditioniertes Pro-blem. Kleine Änderungen in den Koeffi zienten oder Rundungsfehler bewirken große Änderungen bei denPolen und Residuen!


Abbildung 13.11: Netzwerkberechnung mit Laplace-Transformation

H(s) =B(s)

A(s)=bms

m + bm−1sm−1 + ...+ b1s+ b0

ansn + an−1sn−1 + ...+ a1s+ a0(13.73)

Da s komplex ist, ist H(s) ist eine Funktion komplexer Variablen und liefert daher einkomplexes Ergebnis. Die Koeffi zienten bk, ak sind durch die Bauelemente des Netzwerksbestimmt und daher stets reell.

Lösung mit Hilfe der Laplace-Transformation

Die Netzwerkgleichungen können sehr vorteilhaft mit der Laplace-Transformation gelöstwerden.

Beispiel 55 Das einfache Beispiel nach Abbildung 13.11 zeigt die Vorgangsweise.DasRC-Netzwerk wird von der Eingangsspannung ~uE = UEe

sEt, sE = σE + jωE angeregt.Wie man sieht ist die Eingangspannung für ωE 6= 0 eine komplexe Zeitfunktion, wasphysikalisch sinnlos ist. Wir rechnen dennoch mit komplexen Größen und finden im wei-teren Verlauf der Rechnung physikalisch sinnvolle Interpretationen. Der Strom in dieserSchaltung ist

I(s) =U(s)

R+ 1Cs

=s

s+ 1RC

1

RU(s) (13.74)

Die Laplace-Transformierte der Eingangsspannung uE = UEesEt wird laut Transforma-

tionstabelle (4) U(s) = UEs−sE . Für den Strom I(s) erhalten wir dann

I(s) =s

(s− sN )(s− sE)

1

RUE , sN = − 1

RC(13.75)

Wir zerlegen diesen Ausdruck in Partialbrüche und erhalten

I(s) =UER

(R1

s− sN+

R2

s− sE

)(13.76)

I(s) =UER

sN

sN−sEs− sN︸︷︷︸

Einschwing-Anteil

+sE

sE−sNs+ sE︸︷︷︸

Erreger-Anteil

(13.77)

Gleichung (13.77) besteht aus zwei Teilen: Dem Einschwinganteil der vom Netzwerkstammt und dem Erregeranteil, der von der Spannungsquelle stammt.

Anmerkung 56 Die Unterteilung in Einschwing- und Erregeranteil darf nicht zur An-nahme verleiten, die beiden Anteile ließen sich unabhängig voneinander berechnen undman müsse bei einem gegebenen Netzwerk für eine andere Erregung lediglich den Erre-geranteil neu berechnen. System und Erregung wirken über die Partialbruchkoeffi zientenauf beide Anteile ein!


Unter Verwendung der Transformationstabelle (4) erhalten wir durch Rücktransfor-mation

i(t) =UER

(sN

sN − sEesN t +

sEsE − sN

esEt)

(13.78)

Die Eingangsfunktion uE = UEesEt hat keine physikalische Bedeutung.

Wenn aber sE = σE und damit sE reell wird, dann ist uE = UEeσEt eine zum Zeitpunkt

t = 0 eingeschaltete, abklingende Exponentialfunktion mit der Antwort

i(t) =UER

(1

1 +RCσEe−

1RC t +

σE

σE + 1RC

eσEt)

(13.79)

Der zweite technisch interessante Fall liegt vor, wenn die Eingangsspannung sinusförmigist, d.h. σE = 0. Dann wird ~uE = UEe

jωEt, die zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltetekomplexe Exponentialfunktion und ~i(t) wird.

i(t) =UER

1

1 + jRCωEe−

1RC t︸︷︷︸

abklingender Anteil

+jωERC

1 + jωERCejωEt︸︷︷︸

Wechselstromanteil

(13.80)

Wie wir sehen, liefert Gleichung (13.80) als Ergebnis einen Strom mit komplexen Werten,was physikalisch nicht sinnvoll ist. Wir müssen daher bei der Auswertung von (13.80)den Realteil bilden.Gleichung (13.80) besteht aus zwei Teilen, die abklingender Anteil und Wechselstroman-teil genannt werden. Der abklingende Anteil verschwindet für t→∞ da e−

1RC t → 0 und

es bleibt der Wechselstromanteil ejωEt (mit der komplexen Amplitude jωERC1+jωERC

) übrig.Dieses Ergebnis hätte man auch direkt, mit Hilfe der Wechselstromrechnung, erhalten.Ein interessanter Fall liegt vor, wenn Eingangsfunktion und Netzwerkfunktion (abgesehenvon einem konstanten Faktor) dieselbe Laplace-Transformierte haben (Resonanz-Fall).

I(s) =s

(s− sN )2

UER

(13.81)

Die Nullstelle im Nenner tritt doppelt auf, die Partialbruchzerlegung liefert

I(s) =s

(s− sN )2

UER

=UER

(1

s− sN+

sN(s− sN )2

)(13.82)

Nach Rücktransformation in den Zeitbereich erhalten wir

i(t) =UER

(1 + sN t)esN t =

UER

(1− t

RC)e−

tRC (13.83)

Wie man aus Gleichung (13.83) erkennen kann, steigt die Amplitude des Stroms i(t)linear —proportional zu tesN t —an (Resonanzeffekt). Die Exponentialfunktion klingt aberschneller ab, sodass sich der Amplitudenanstieg nicht auswirken kann. (Die Gültigkeit derLösung von Gleichung (13.83) ist auf die Zeit t ≥ 0 eingeschränkt, man müsste dahermit δ−1(t) multiplizieren. Da man den Gültigkeitsbereich kennt, wird die Multiplikationmit δ−1(t) häufig weggelassen.)


Die folgende Tabelle fasst die Systemfunktion einfacher Schaltungen zusammen:

H(s) =Ua(s)Ue(s)

(6) LCs2

LCs2+1

(1) 1RCs+1 (7) 1

LCs2+RCs+1

(2) RLs+R (8) 1

R2C2s2+3RCs+1

(3) RCsRCs+1 (9) R2C2s2

R2C2s2+3RCs+1

(4) LsLS+R (10) RCs

LCs2+RCs+1

(5) 1LCs2+1 (11) LCs2+1

LCs2+RCs+1

TP...Tiefpass, HP...Hochpass, BP...Bandpass, BSp...Bandsperre

Null- und Polstellen

Wie wir gesehen haben, treten bei der Analyse von elektrischen Netzwerken (LTI-Systemen)Die Nullstellen des Zäh-lerpolynoms von H(s) hei-ßen Nullstellen der Sys-temfunktion, die Nullstel-len des Nennerpolynomsheißen Polstellen.

gebrochen rationale Funktionen auf. Eine besondere Bedeutung für das Systemverhal-ten hat die Lage der Nullstellen des Zähler- und Nennerpolynoms dieser Funktionen.Zur Unterscheidung bezeichnet man die Nullstellen des Zählerpolynoms als Nullstellen,da Netzwerkfunktion Null wird. Die Nullstellen des Nennerpolynoms bezeichnet manals Polstellen. In den Polstellen wird die Netzwerkfunktion ∞.Wird die Lage der Poleund Nullstellen in der komplexen Ebene dargestellt, spricht man vom Pol-/Nullstellen-Diagramm (PN-Diagramm). Zur Unterscheidung werden Nullstellen als und Pole als× gezeichnet.

Anmerkung 57 Durch Angabe der Pol- und Nullstellen ist die Systemfunktion einesDie Systemfunktion ist bisauf einen konstanten Fak-tor durch Angabe der Pol-und Nullstellen eindeutigbestimmt.

LTI-Systems bis auf eine reelle Konstante vollständig bestimmt.Der konstante Faktor muss getrennt ermittelt werden. Beschreibt die Systemfunktion z.B.das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung mit H(s) = V Ua

Ue , dann nennt manV die Spannungsverstärkung - oder abschwächung.

Beispiel 58 Wir berechnen die Systemfunktion des in Abbildung 13.12 gezeigten Netz-werks.Durch Knotenanalyse erhalten wir die die Knotenspannungen


Abbildung 13.12: LC-Tiefpassfilter

Abbildung 13.13: Pol-/Nullstellendiagramm 1s3+2s2+2s+1

U1 =(R+ L2s)Ue

R+ s(L1 + L2) + s2CL1R+ s2CL1L2(13.84)

U2 =RUe

R+ s(L1 + L2) + s2CL1R+ s2CL1L2(13.85)

Die Ausgangsspannung ist Ua = U2, die Systemfunktion ist UaUe . Nach Einsetzen der kon-kreten Werte für L1, L2, C und R und Vereinfachen des entstandenen Ausdrucks erhaltenwir als Ergebnis der Netzwerkanalyse

H(s) =Ua(s)

Ue(s)=

1

s3 + 2s2 + 2s+ 1(13.86)

Da die Systemfunktion H(s) = Ua(s)Ue(s)

als das Verhältnis von Eingangssignal und Aus-gangssignal (im s-Bereich) definiert ist, erhält man die Laplace-Transformierte des Aus-gangssignals einfach durch Multiplikation der Laplace-Transformierten des Eingangssi-gnals mit der Systemfunktion.

Ua(s) = Ue(s) ·Ua(s)

Ue(s)= Ue(s) ·H(s) (13.87)

Beispiel 59 Wir berechnen (mit Matlab) die Nullstellen von s3 +2s2 +2s+1 und stellendas Nennerpolynom in Produktform darroots([1 2 2 1] ⇒ (-1.0), (-0.5+0.8660i), (-0.5-0.8660i)⇒ (s + 1)(s + 0.5 + j0.866)(s + 0.5 − j0.866) = (s + 1)(s − e−j120)(s − ej120). Daszugehörige PN-Diagramm ist in Abbildung 13.13 gezeigt.

Beispiel 60 Für die Darstellung des PN-Diagramms stellt Matlab die Funktion pzmapzur Verfügung. Für das Beispiel F (s) = 7s+11

s2+4s+3 erhalten wirP = [7 11]; Q = [1 4 3]sys = tf(P,Q); pzmap(sys)eine Nullstelle bei − 11

7 und Polstellen bei −1,−3.

Das Nennerpolynom der SystemfunktionH(s) nennt man charakteristisches Polynom. Die Wurzeln des Nenner-polynoms (= charakteris-tischen Polynoms) einerSystemfunktion (die Pole)stellen Eigenfrequenzendes zugehörigen Systemsdar.

Die Wurzeln des charakteristischen Polynoms (die Pole) werden auch Eigenfrequenzen


3 2.5 2 1.5 1 0.5 01

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10.240.460.640.780.870.93

0.97

0.992

0.240.460.640.780.870.93

0.97

0.992

0.511.522.53

PoleZero Map

Real AxisIm

agin

ary

Axi

s

Abbildung 13.14: PN-Diagramm von 7s+11s2+4s+3

0 2 4 6 8 10 121

0.5

0

0.5

1

Impulse Response

T ime (sec)

Ampl

itude

h1(t)

h2(t)

h(t)

Abbildung 13.15: h(t) = h1(t) + h2(t)

des Netzwerks genannt. Um zu einem besseren Verständnis der Eigenfrequenzen vonNetzwerken zu gelangen, gehen wir vom Netzwerk mit der Systemfunktion (13.86) ausund transformieren in den Zeitbereich.Die Laplace-Transformierte des Dirac-Impulses ist δ0(t)⇔ 1. Wird also das Netzwerk

mit einem Dirac-Impuls angeregt, ist Die Laplace-Transformierte des Ausgangssignals1 ·H(s). Die Rücktransformation der Systemfunktion in den Zeitbereich liefert daher dieImpulsantwort. Die Eigenschwingungen sind die Reaktionen des Systems auf AnregungDie Impulsantwort ei-

nes Systems setzt sichaus dessen Eigenschwin-gungen zusammen.

mit dem Dirac-Impuls.

H(s) =1

s3 + 2s2 + 2s+ 1=

1

s+ 1− s

s2 + s+ 1(13.88)

h(t) = δ−1(t)e−t︸︷︷︸h1(t)

− δ−1(t)2√3e−

t2 cos(

√3

2t+ 30)︸︷︷︸

h2(t)

(13.89)

Wie man in Abbildung 13.15 sieht, sind die Eigenschwingungen unseres Beispiels dieabklingende Exponentialfunktion e−t und die abklingende Kosinusfunktion 2√

3e−

t2 cos(

√3

2 t+

30), die den Polen bei −1 und e±j120 entsprechen.

Anmerkung 61 Ein Netzwerk nennt man stabil, wenn die Eigenfrequenzen abklingen.Das ist immer dann der Fall, wenn die Pole in der linken offenen Halbebene des s−Bereichsliegen. Liegen die Pole in der offenen rechten Halbebene, dann klingen die Schwingungenan, was physikalisch nicht möglich ist und wir haben ein instabiles Netzwerk vorliegen.Pole auf der imaginären Achse stellen ein Netzwerk mit ungedämpften Schwingungen dar(Oszillator). (Vgl. Abbildung 2.8 im Abschnitt 2.4)


Die folgende Tabelle stellt die PN-Diagramme einfacher Systeme und die zugehörigenImpulsantworten dar.

PN-Diagramm F (s) f(t)14

1s+a e−at

ss+a δ0(t)− ae−at

1(s+a1)(s+a2)

1D (e−a1t − e−a2t)

s(s+a1)(s+a2)

1D (−a1e

−a1t + a2e−a2t)

1(s+a+jω)(s+a−jω) = 1

(s+a)2+ω21ω e−at sinωt

s(s+a+jω)(s+a−jω) = s

(s+a)2+ω2Dω e−at cos(ωt+ ϕ)

1(s+a)2

te−at

s(s+a)2

(1− at)e−at

Systemantwort auf eine beliebige Erregung

Die Systemantwort berechnet man aus Ag(s) = H(s)G(s). Hat man H(s) durch Netz-werkanalyse ermittelt, ist die Laplace-Transformierte der Eingangsfunktion zu ermitteln.Bei der Untersuchung des Übertragungsverhaltens von Netzwerken beschränkt man sichbei der Eingangsfunktion meistens auf sinusförmige Eingangsgrößen (aus denen beliebigeEingangssignale aufgebaut werden können) und auf die Impuls- und Sprungfunktion. Fürdiese Eingangssignale können wir die Laplace-Transformierte den Transformationstabel-len entnehmen. Bei der Ermittlung der Systemantwort auf beliebige Erregung gehen wirwie folgt vor.

1. Die Erregung wird vom Zeitbereich in den Frequenzbereich transformiert: g(t) ⇒G(s)

2. Die Systemfunktion wird mit der Erregung multipliziert Ag(s) = H(s)G(s)

14Zur Erinnerung: Die Zeitfunktion f(t) ist nur für t ≥ 0 definiert. Der kürzeren Schreibweise willen,ist die Multiplikation mit δ−1(t) weggelassen.


3. Die Antwort wird durch Rücktransformation ermittelt ag(t)⇐ Ag(s)

Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung zerlegt man die Systemantwort Ag(s) in einfa-che Ausdrücke, für die man in Transformationstabellen die entsprechende Zeitfunktionnachschlagen kann.Anstelle der Lösung der Netzwerkgleichungen mit Hilfe von Differentialgleichungen

gelingt es durch die Operatorenrechnung (Laplace-Transformation) die Aufgabenstellungauf die Lösung algebraischer Gleichungen zu vereinfachen. Da die Eigenschaften des Sys-tems ausschließlich im Frequenzbereich (s−Bereich) formuliert sind, spricht man auchvon der Lösung im Frequenzbereich.

Stationäre Lösung (Wechselstromrechnung)

Ein wichtiger Sonderfall (Wechselstromrechnung) ist die Erregung eines Netzwerks miteiner stationären Schwingung der Kreisfrequenz ωi

~g(t) = ~Kejωit ⇒ G(s) =~K

s− jωi(13.90)

Ag(s) = H(s)~K

s− jωi(13.91)

Die Systemantwort Ag(s) besteht aus einem Einschwing- und einem Erregeranteil.Bei stabilen Systemenklingt der Einschwingan-teil ab und es bleibt nurder Erregeranteil übrig.

Bei stabilen System klingt der Einschwinganteil ab und es bleibt nur der stationäreErregeranteil übrig. Der stationäre Anteil hat einen einfachen Pol bei s∞ = jωi mit demResiduum ~Rstat

Agstat(s) =~Rstats− jωi

~Rstat = H(jωi) ~K (13.92)

~agstat(t) = ~Rstatejωit = H(jωi) ~Ke

jωit (13.93)

~agstat ist die Antwort auf die Erregung ~Kejωit, die (komplexe) Eingangsamplitude ~Kwird zur (komplexen) AusgangsamplitudeH(jωi) ~K verändert. Für die reelle Zeitfunktionagstat ist der Realteil zu bilden agstat(t) = Re ~agstat(t) .Bei Erregung eines stabilen Systems durch eine stationäre Schwingung der Frequenz ωWird ein stabiles Sys-

tem durch eine sinusoi-dale Schwingung ange-regt, entsteht am Ausgang(nach dem Abklingen desEinschwinganteils) wiedereine sinusoidale Schwin-gung mit der gleichenFrequenz, die die sichvon der Erregerschwin-gung nur in der Amplitu-de und Phasenlage unter-scheidet.

ist die Antwort (nach Abklingen der Einschwingzeit) ebenfalls eine stationäre Schwingungder Frequenz ω, deren komplexe Amplitude aus der komplexen Amplitude der Erregungdurch Multiplikation mit H(jω) folgt. Die Funktion H(jω) nennt man die Frequenzant-wort des Systems.Im Frequenzbereich ist die Betrachtung der Kurvenform nicht erforderlich, da die

Kurvenform bekannt ist, es interessiert lediglich die komplexe Amplitude. Die komple-xe Amplitude nach Betrag und Winkel als Funktionen von ω dargestellt, nennt manAmplituden- und Phasengang oder Bodediagramm.

Beispiel 62 Für die numerische Berechnung des Frequenzgangs stellt Matlab die Funk-tion bode zur Verfügung. Für das Netzwerk (13.86) B = [1]; A = [1, 2, 2, 1] erhalten wirunter Verwendung von bode(B,A) das Bodediagramm in Abbildung 13.16.

Anmerkung 63 Der Frequenzgang von LTI-Systemen interessiert meistens über einengroßen Frequenz- und Amplitudenbereich. Daher verwendet man häufig eine logarithmi-sche Darstellung für beide Achsen.Das Verhältnis von Eingangs- zu Ausgangsgröße wird immer als Leistungsverhältnis undin Dezibel [dB] ausgedrückt.

a[Bel] = logPausPein

; a[dB] = 10 logPausPein

bei Leistungen (13.94)

a[dB] = 10 log

(UausUein

)2

= 20 logUausUein

bei Spannungen (13.95)


120

100

80

60

40

20

0

Mag

nitu

de (d

B)

102

101

100

101

102

270

180

90

0Ph

ase

(deg

)

B ode Diagram

Frequency (rad/sec)

Abbildung 13.16: Bode-Plot LC-Tiefpass H(s) = 1s3+2s2+2s+1 |s=jω

100

80

60

40

20

0

Mag

nitu

de (d

B)

102

101

100

101

102

0

45

90

135

180

Pha

se (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Abbildung 13.17: Frequenzgang RC-Hochpass R2C2s2

R2C2s2+3RCs+1

Beispiel 64 Matlab stellt zur Umrechnung in Dezibel die Funktion dB(x) zur Verfü-gungx = [0.01, 0.1, 1√

2, 1,√

2,10, 100]

dB(x)⇒ -40 -20 -3 0 3 20 40% Das Verhältnis

√2 , 3dB entspricht der doppelten Leistung.

Beispiel 65 Für das einfache RC-Netzwerk (9) H(s) = R2C2s2

R2C2s2+3RCs+1 mit RC = 1wirdB=[1 0 0]; A=[1 3 1] und wir erhalten das Bodediagramm in Abbildung 13.17

13.4.2 Lösung im Zeitbereich

Die direkte Berechnung der Systemantwort im Zeitbereich durch Lösung der Differenti-algleichung ist für komplizierte Erregungsfunktionen zu umständlich. Für einfache Zeit-funktionen wie die Impulsfunktion δ0(t) kann man die Systemantwort aber leicht berech-nen.Im Kapitel über die Elementarfunktionen haben wir gesehen, dass sich beliebige Ein-

gangssignale durch Abtastung mit der Impulsfunktion darstellen lassen.

g(t) ∗ δ0(t) =

t∫−0

g(τ)δ0(τ − t)dτ = g(t) (13.96)

Wie wir wissen, gilt bei LTI-Systemen der Überlagerungssatz. Denken wir uns das Das Ausgangssignalkann man sich alsÜberlagerung vonSystemantworten aufImpulse, aus denen sichdas Eingangssignal zu-sammensetzt, vorstellen.


Abbildung 13.18: Zerlegung des Eingangssignals

Eingangssignal aus lauter Impulsen zusammengesetzt, so können wir für jeden dieserImpulse die Impulsantwort bestimmen, die Überlagerung dieser Impulsantworten liefertdann die Systemantwort auf das Eingangssignal. Um die Zusammenhänge verständlichzu machen, stellen wir das Eingangssignal als Summe von Rechteckimpulsen, wie inAbbildung 13.18 gezeigt dar.Um den Übergang zu Dirac-Impulsen herzustellen, gehen wir wie bei der Definition

der Dirac-Impulse vor: Der Impuls hat eine Breite ∆τ , die Höhe 1/∆τ , die Fläche 1 und∆τ → 0. Die » Stärke« des Impuls entspricht seiner Fläche, also g(n∆τ)∆τ , der Impulswird also [g(n∆τ)∆τ ] δ0(t− n∆τ).

Sie Systemantwort auf den Impuls δ0(t) ist h(t) und wir erhalten

δ0(t)⇒ h(t) (13.97)

δ0(t− n∆τ)⇒ h(t− n∆τ) (13.98)

[g(n∆τ)∆τ ] δ0(t− n∆τ)︸︷︷︸Eingang Einzelpuls

⇒ [g(n∆τ)∆τ ]h(t− n∆τ)︸︷︷︸Ausgang Einzelpuls

(13.99)

Das Eingangssignal müssen wir aus einer Summe von einzelnen Dirac-Impulsen zu-sammensetzen und erhalten

lim∆τ→0

∞∑n=−∞

g(n∆τ)δ0(t− n∆τ)∆τ︸︷︷︸Eingangsignal

⇒ lim∆τ→0

∞∑n=−∞

g(n∆τ)h(t− n∆τ)∆τ︸︷︷︸Ausgangsignal

(13.100)

∞∫−∞

g(τ)δ0(t− τ)dτ ⇒∞∫−∞

g(τ)h(t− τ)dτ (13.101)

Da wir nur Zeitfunktionen für t ≥ 0 betrachten können wir die Integration von −0bis t erstrecken und erhalten

ag(t) = g(t) ∗ h(t) =

∫ t

−0

h(τ)g(t− τ)dτ (13.102)

Die Antwort eines Systems auf das Eingangssignal g(t) berechnet man durch FaltungDie Systemantwort ergibtsich durch die Faltungdes Eingangssignalsmit der Impulsantwortdes Systems.

des Eingangssignals mit der Impulsantwort. Gleichung (13.102) nennt man Superpositi-onsintegral und spricht von der Lösung der Systemantwort im Zeitbereich.Die Impulsantwort h(t) kann man durch direkte Lösung der Differentialgleichung des

LTI-Systems bestimmen oder zweckmäßiger durch Berechnung der Impulsantwort durchinverse Laplace-Transformation der Systemfunktion H(s).


Abbildung 13.19: Anfangsbedingungen Induktivität

Abbildung 13.20: Anfangsbedingungen Kapazität

13.4.3 Anfangsbedingungen

Alle bisherigen Untersuchungen treffen nur auf Systeme mit energielosem Anfangszu- Zum Zeitpunkt t = 0 ge-ladene Kapazitäten oderstromdurchflossene Induk-tivitäten werden durchzusätzliche Strom- oderSpannungsquellen model-liert.

stand zu. Das bedeutet, dass zum Zeitpunkt t = 0 alle Kapazitäten ungeladen und alleInduktivitäten stromlos sein müssen. Wenn diese Bedingung nicht zutrifft, müssen dieAnfangsbedingungen durch zusätzliche Erregungen berücksichtigt werden. Der Zustandeines Netzwerkes zu einem gegebenen Zeitpunkt t ist durch die Ströme in den Spulenund die Spannungen an den Kapazitäten vollständig bestimmt. Sein zukünftiges Ver-halten kann aus diesem Zustand und den ab diesem Zeitpunkt wirksamen Erregungenberechnet werden.Für die Induktivität mit Anfangsstrom erhalten wir das Ersatzschaltbild in Abbildung

13.19.Für die Kapazität mit Anfangsladung erhalten wir das Ersatzschaltbild in Abbildung

13.20.Wenn das Netzwerk nicht im energielosen Anfangszustand ist, müssen die Netz-

werkgleichungen mit den Ersatzschaltungen in den Abbildungen 13.19 und 13.20 ingewohnter Form erstellt werden. Die Berechnung des Netzwerkes wird dadurch zwarumständlicher, jedoch prinzipiell nicht schwieriger. Durch die zusätzlichen Erregungen,die die Anfangsbedingungen berücksichtigen, verliert die Systemfunktion als Verhältnisvon Antwort/Erregung ihren ursprünglichen Sinn, da das Netzwerk jetzt an mehrerenStellen erregt wird.

13.4.4 Eigenschaften der Systemfunktion

Die Systemfunktion ist eine Funktion der komplexen Variablen s = σ + jω, die für al-le s definiert ist. Bei der Berechnung der Systemantwort für beliebige Erregungen istdie Systemfunktion und die Laplace-Transformierte der Erregung erforderlich. Für denSonderfall s = jω, liegen die Werte der Systemfunktion über der imaginären Achse,die technischen Frequenzen liegen also auf der imaginären Achse. Die inverse Laplace-Transformation der Systemfunktion ist die Impulsantwort des Systems. Sowohl System-funktion, als auch PN-Diagramm (bis auf einen konstanten Faktor), als auch Impulsant-wort liefern eine vollständige Beschreibung des Übertragungsverhalten eines Systems.


10.5

00.5

1 2

1

0

1

250

0

50

Im(s )Re(s )

Abbildung 13.21: Axonometrische Darstellung von |H(s)| in [dB]

Die Systemfunktion von elektrischen Netzwerken hat nur reelle Koeffi zienten, diedurch die Bauelementewerte bestimmt sind. Die Pole und Nullstellen der Systemfunk-tion können daher nur entweder reell oder konjugiert komplex sein, wobei die Zahl derPole und Nullstellen der Ordnung der Nenner- und Zählerpolynome entspricht. Die kon-jugiert komplexe Systemfunktion ist gleich der Systemfunktion für konjugiert komplexesArgument.

H∗(s) = H(s∗); H∗(jω) = H(−jω) (13.103)

Für s = jω ist der Realteil der Systemfunktion eine gerade, der Imaginärteil eineungerade Funktion. Der Betrag der Systemfunktion für s = jω ist eine gerade Funktion,die Phase eine ungerade Funktion.Trägt man den Betrag von |H(s)| über der komplexen Ebene auf, so entsteht ein

» Funktionsgebirge«. Der Schnitt des Gebirges mit der Ebene durch die imaginäre Achse( die dicke Linie in Abbildung 13.21) ist der Amplitudengang der Funktion. Abbildung13.21 zeigt drei Pole und zwei Nullstellen in axonometrischer Darstellung15 . Die axono-metrische Darstellung dient dem besseren Verständnis der Systemfunktion und ist sehraufwändig. Daher werden in der Regel nur die Pol- und Nulstellen der Systemfunktiondargestellt (PN-Diagramm).


Bei der Lösung der Netzwerkgleichungen für Gleichstromnetzwerke, die mit Hilfe derSchleifen- oder Knotenanalyse erstellt werden, muss ein System von linearen Gleichungengelöst werden und man erhält die gewünschten Netzwerkgrößen.Nach der Einführung der komplexen Widerstände für L und C kann die Netzwerk-

analyse in gleicher Form wie bei der Gleichstromanalyse durchgeführt werden. Anstelleder reellen Widerstände der Gleichstromanalyse treten die komplexen Widerstände derWechselstromanalyse. Die gewünschten Netzwerkgrößen können durch Lösung eines Sys-tems von linearen Gleichungen mit komplexen Koeffi zienten gefunden werden. KomplexeWiderstände können nur für sinusförmige Wechselgrößen definiert werden, diese Formder Netzwerkberechnung ist daher nur für sinusförmige Erregungen anwendbar.

15Der Betrag ist logarithmisch dargestellt. Die Nullstellen liegen daher bei −∞.


Für Erregungen mit beliebigem Zeitverlauf liefert die Netzwerkanalyse ein Systemvon Integro-Differentialgleichungen, die nach den Regeln der Lösung von Differential-gleichungen zu lösen sind. Derartige Verfahren werden in der Netzwerkanalyse allerdingskaum eingesetzt, da durch die auf der Basis der Laplace-Transformation eingeführteOperatorenrechnung ein wesentlich leistungsfähigeres Verfahren zur Lösung der Diffe-rentialgleichungen zur Verfügung steht, das darüber hinaus noch weitere Aussagen überdie Eigenschaften des Netzwerks ermöglicht. Die erregenden Zeitfunktionen sind auf denBereich t ≥ 0 eingeschränkt, was in technischen Anwendungen sinnvoll ist, da Zeitfunk-tionen » eingeschaltet« werden. Mit Hilfe der Laplace-Transformation stellen wir dasNetzwerk im s−Bereich (Frequenzbereich) dar, aus den linearen Differentialgleichungenwerden dadurch algebraische Gleichungen. Die Rücktransformation aus dem s−Bereich inden Zeitbereich wird mit Hilfe bekannter Korrespondenzen zwischen Zeit- und s−Bereichdurchgeführt. Dazu wird die Systemfunktion mit Hilfe der Partialbruchzerlegung in ein-fache gebrochen rationale Funktionen zerlegt, für die man Korrespondenzen in Trans-formationstafeln findet. Einschränkend ist festzuhalten, dass mit dieser Methode nurZeitfunktionen erfassbar sind, deren Laplace-Transformierte, so wir die Systemfunkti-on, eine gebrochen rationale Funktion ist. Diese Einschränkung ist für die wichtigstenZeitfunktionen Sinus, Impuls und Sprung erfüllt. Eine Ausnahme ist die nichtrationaleFunktion e−as, die über den Verschiebungssatz f(t−a)⇔ easF (s) berücksichtigt werdenkann.Die Laplace-Transformation ist zunächst nur für energielosen Anfangszustand an-

wendbar, Anfangsbedingungen können aber durch entsprechende Ersatzschaltungen fürL und C berücksichtigt werden. Die Wechselstromanalyse ist als Sonderfall s = jω ims−Bereich enthalten und beschreibt das Netzwerk, wenn der Einschwingvorgang, durchdas » Einschalten« des Zeitsignals, abgeklungen ist. (Die Zeitsignale sind nur für t ≥ 0definiert, während bei der Wechselstromrechnung sinusförmige Zeitsignale verwendet wer-den, die für −∞ < t <∞ definiert sind.) Bei stabilen System ist der Einschwingvorgangpraktisch in endlicher Zeit abgeschlossen (exponentielles Abklingen).Wenn die Pole der Systemfunktion in der offenen linken komplexen Ebene liegen, ist

das System stabil, da es nur abklingende Eigenschwingungen hat. Nullstellen auf derimaginären Achse sind Nullstellen der Systemfunktion, Erregungen mit einer Frequenz,die diesen Nullstellen entspricht, werden vom System unterdrückt.Den Frequenzgang (das Bode-Diagramm) eines Systems erhält man durch Berechnen

des Betrags und der Phase der Systemfunktion für s = jω.Für die Lösung im Zeitbereich muss die Impulsantwort des Systems bekannt sein. Die

Antwort des Systems auf eine beliebige Erregung wird dann durch Faltung (Superpo-sitionsintegral) der Impulsantwort mit der Erregung gefunden. Die Impulsantwort kannentweder durch direkte Lösung der Netzwerk-Differentialgleichungen gefunden werdenoder durch inverse Laplace-Transformation der Systemfunktion.


Kapitel 14

Wellenausbreitung aufLeitungen

Inhalt14.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16514.2 Ersatzschaltbild der Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16514.3 Herleitung der Leitungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 16614.4 Verlustfreie Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

14.4.1 Allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

14.4.2 Lösung für harmonische Vorgänge . . . . . . . . . . . . . . . 169

14.4.3 Reflexionsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

14.4.4 Impedanzverlauf einer Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

14.1 Einleitung

Zur Beschreibung elektromagnetischer Vorgänge auf Leitungen, gibt es eine Reihe vonmehr oder weniger stark vereinfachten Modellen.Bei der Berechnung des Ausbreitungsverhaltens elektromagnetischer Felder entlang

von Leitungen muss ein Randwertproblem für die Maxwellschen Gleichungen gelöst wer-den. Selbst unter vereinfachten Annahmen (R = 0, G =∞) gelingt es nur in Spezialfällenanalytische Lösungen anzugeben. Im allgemeinen Fall können meistens nur Näherungs-oder numerische Lösungen gefunden werden.Für den Sonderfall des sinusförmig eingeschwungenen Zustands, lässt sich die Lösung

dieser Randwertprobleme auf ein Eigenwertproblem zurückführen.

14.2 Ersatzschaltbild der Leitung

Wir gehen von folgendem Ersatzschaltbild (Abbildung 14.1) eines Leitungsstückes (Zwei-drahtleitung) aus1 .

R’......Längswiderstandsbelag[

Ωm

]L’......Längsinduktivitätsbelag

[Hm

]G’......Querleitwertsbelag

[Sm

]C’......Querkapazitätsbelag

[Cm

]Der Längswiderstandsbelag beschreibt die Wärmeverluste entlang der Leitung, der

Querleitwertsbelag beschreibt die Wärmeverluste in der Isolierung.Wir nehmen weiter an, dass der Abstand der Leiter D << λ (keine Abstrahlung).

1Die Herleitung der Leitungsgleichungen folgt einem Skriptum des Instituts für Kommunikationsnetzeund Satellitenkommunikation der TU Graz.

165

166 KAPITEL 14. WELLENAUSBREITUNG AUF LEITUNGEN

Abbildung 14.1: Ersatzschaltung eines Zweidraht-Leitungsstücks

14.3 Herleitung der Leitungsgleichungen

Wir wenden die Maschengleichung auf das Ersatzschlatbild Abbildung 14.1 an und er-halten:

u+ du− u+ i+ iR′dz + L′di

dtdz = 0

Nach Umformen wird daraus

ϑu

ϑz= −iR′ − L′ ϑi

ϑt

Wenden wir nun die Knotengleichung auf das Ersatzschaltbild Abbildung 14.1 an, soerhalten wir:

i+ di+ (u+ du)G′dz + C ′d (u+ du)

dtdz − i = 0

Nach Umformen wird daraus

ϑi

ϑt= −G′u− C ′ϑu

ϑt

Die allgemeinen Leitungsgleichunge in DIfferentialform lauten daher

ϑu (z, t)

ϑz= −L′ϑi (z, t)

ϑt−R′i (z, t) (14.1)

ϑi (z, t)

ϑz= −C ′ϑu (z, t)

ϑt−G′u (z, t) (14.2)

Aus den Gleichungen 14.1 und 14.2 folgt nach partieller Ableitung

ϑ2u (z, t)

ϑz2= −L′ϑ

2i (z, t)

ϑzϑt−R′ϑi (z, t)

ϑz

ϑ2i (z, t)

ϑzϑt= −C ′ϑ

2u (z, t)

ϑt2−G′ϑu (z, t)

ϑt

und gegenseitigem Einsetzen

ϑ2u (z, t)

ϑz2= L′C ′

ϑ2u (z, t)

ϑt2+ L′G′

ϑu (z, t)

ϑt+R′C ′

ϑu (z, t)

ϑt+R′G′u (z, t)

bzw.

ϑ2i (z, t)

ϑz2= L′C ′

ϑ2i (z, t)

ϑt2+ L′G′

ϑi (z, t)

ϑt+R′C ′

ϑu (z, t)

ϑt+R′G′i (z, t)

Die Gleichungen 14.3 und 14.4

14.3. HERLEITUNG DER LEITUNGSGLEICHUNGEN 167

ϑ2u (z, t)

ϑz2= R′G′u (z, t) + (R′C ′ +G′L′)

ϑu (z, t)

ϑt+ L′C ′

ϑ2u (z, t)

ϑt2(14.3)

ϑ2i (z, t)

ϑz2= R′G′i (z, t) + (R′C ′ +G′L′)

ϑi (z, t)

ϑt+ L′C ′

ϑ2i (z, t)

ϑt2(14.4)

werden Telegraphengleichung2 genannt. Die Telegraphengleichung hat sowohl für u (z, t)als auch für i (z, t) dieselbe Gestalt. Unterschiede in den Lösungen ergeben sich aus denRandbedingungen der Differentialgleichungen. u und i kommen in der Telegraphenglei-chung nur linear vor, wir haben also eine lineare partielle Differentialgleichung.Eine wichtige Anwendung von Leitungen finden wir mit dem harmonischen Lösungs-

ansatz (sinusoidale Größen bzw. die Überlagerung sinusoidaler Größen).In komplexer Darstellung erhalten wir

u(z, t) = Re−→U (z)ejωt

i(z, t) = Re

−→I (z)ejωt

und Orts- und Zeitabhägigkeit sind separiert.Aus Gleichung 14.1 bzw. 14.2 wird für diesen Lösungsansatz

d−→U (z)

dz= − (R′ + jωL′)

−→I (z)

d−→I (z)

dz= − (G′ + jωC ′)

−→U (z)

Nach Differenzieren und Einsetzen erhalten wir

d2−→U (z)

dz2= (R′ + jωL′) (G′ + jωC ′)

−→U (z)

d2−→U (z)

dz2= γ2−→U (z) (14.5)

γ =√

(R′ + jωL′) (G′ + jωC ′) = α+ jβ (14.6)

Gleichung 14.5 ist die Wellengleichung, die komplexe Größe γ (14.6) nennt man Aus-breitungskonstante, wobei α [Npm ] Dämpfungskonstante und β [

radm ] Phasenmaßgenannt

wird. Die Dämpfungskonstante wird entweder in Neper (Basis natürlicher Logarithmus)oder in dB (Basis dekadischer Logarithmus) angegeben. 1 Neper = 20 log e = 8, 68 dBFür die Wellengleichung 14.5 finden wir folgenden Lösungsansatz

−→U (z) = vorlaufende Welle + rücklaufende Welle (14.7)

=−→Ae−γz +

−→Beγz

Schreiben wir die Zeitabhängigkeit wieder an, so erhalten wir

−→Ae−γzejωt =

−→Ae(−αz−jβz+jωt) =

−→Ae−αz︸︷︷︸

Dämpfung

ej(ωt−βz)︸︷︷︸Phasenänderung

Für einen Punkt konstanter Phase muss gelten ωt− βz = const.Daraus erhalten wir z = ωt

β −constβ , z wächst proportional mit der Zeit d.h. der Punkt

bewegt sich mit der Phasengeschwindigkeit

2Sie wurde zum ersten Mal bei der Berechnung der Fortpflanzung von Telegraphiesignalen auf See-kabeln aufgestellt.


vphase =dz

dt=ω

β(14.8)

entlang der Leitung. In Gleichung 14.8 handelt es sich um eine vorlaufende Welle, diesich in positiver z−Richtung ausbreitet. Für die rücklaufende Welle aus Gleichung 14.5ist die Phasengeschwindigkeit vphaseR = −ωβ .Unseren Lösungansatz 14.7 muss auch Gleichung

d−→U (z)

dz= − (R′ + jωL′)

−→I (z)

erfüllen. Setzen wir ein, so erhalten wir

d−→U (z)

dz= −γ−→Ae−γz + γ

−→Beγz = − (R′ + jωL′)

−→I (z)

daraus folgt für

−→I (z) =

−→A

Zwe−γz −

−→B

Zweγz

Die komplexe Größe Zw nennt man Wellenwiderstand.

Zw =R′ + jωL′

γ=

√R′ + jωL′

G′ + jωC ′

Der Wellenwiderstand ist der Quotient von−→U (z)−→I (z)

für eine Welle (vorlaufend oder

rücklaufend).Die Wellenlänge auf der Leitung berechnen wir über die Beziehung

ej(ωt−βz−2nπ)︸︷︷︸elektrisch

= ej(ωt−β(z+nλ))︸︷︷︸geometrisch

Der kleinste Abstand zweier Stellen mit gleicher Phase ist die Wellenlänge 2nπ = βnλ

β =2π

λ

Aus Gleichung 14.8 erhalten wir

vphase = fλ

14.4 Verlustfreie Leitung

Für gute Leiter (z.B. Kupfer) mit guter Isolierung kann man R′ = G′ = 0 setzen underhält die verlustfreie Leitung.

14.4.1 Allgemeine Lösung

Für den Sonderfall der verlustfreien Leitung werden die Telegraphengleichungen 14.3 und14.4 zu den Wellengleichungen

ϑ2u (z, t)

ϑz2= L′C ′

ϑ2u (z, t)

ϑt2

ϑ2i (z, t)

ϑz2= L′C ′

ϑ2i (z, t)

ϑt2

Der allgemeine Lösungsansatz lautet

14.4. VERLUSTFREIE LEITUNG 169

Abbildung 14.2: Leitung mit Abschlussimpedanz

u(z, t) = vorlaufende Welle+ rücklaufende Welle

= F1(vphaset− z) + F2(vphaset+ z)

i(z, t) =1

Zw[F1(vphaset− z) + F2(vphaset+ z)]

wobei F1 und F2 beliebige Funktionen sind. Wir betrachten im weiteren nicht dieallgemeine Lösung sondern konzentrieren uns auf sinusoidale Vorgänge.

14.4.2 Lösung für harmonische Vorgänge

Bei der verlustlosen Leitung ist R = G = 0 und wir erhalten folgende Vereinfachungen

γ ⇒ γ =√

(R′ + jωL′) (G′ + jωC ′) = α+ jβ = jω√L′C ′

α = 0, ......β = ω√L′C ′ =

ω

vphase

Zw =

√R′ + jωL′

G′ + jωC ′=

√L′

C ′Zw ⇒ reell

Als Lösung für diesen Fall erhalten wir daher

−→U (z) =

−→Ae−jβz +

−→Bejβz (14.9)

−→I (z) =

−→A

Zwe−jβz −

−→B

Zwejβz (14.10)

14.4.3 Reflexionsfaktor

Wird die Leitung mit einer beliebigen Impedanz abgeschlossen, verändert sich die ortsab-hängige Impedanz über die Leitung. Nur wenn mit einer Impedanz = Wellenwiderstandabgeschlossen wir, kann eine Reflexion vermieden werden und die Impedanz bleibt überdie gesamte Leitung konstant.Aus 14.9 und 14.10 erhalten wir

Z0 =U(z)

I(z)

∣∣∣∣z=0

=

−→A +

−→B

−→A −−→B

Zw

Nach weitere Umformung wird

−→AZ0 −

−→BZ0 =

−→AZw +

−→BZw

−→B (Z0 + Zw) =

−→A (Z0 − Zw)


−→B =

Z0 − ZwZ0 + Zw

−→A = ρ0

−→A

ρ0 =

−→B−→A

=Z0 − ZwZ0 + Zw

= |ρ0| ejδ0

ρ0 ist eine komplexe Größe und wird Reflexionsfaktor am Ort z = 0 genannt. Es gilt|ρ0| ≤1. Unter Verwendung von ρ0 wird aus 14.9−→

U (z) =−→A(e−jβz + ρ0e

jβz)

=−→Ae−jβz

(1 + ρ0e

j2βz)

Die Spannungsamplitude der vorlaufenden Welle ist also−→Ae−jβz, die Amplitude der

rücklaufenden Welle ist−→Ae−jβzρ0e

j2βz.

Der Reflexionsfaktor ρ(z) beschreibt das Amplitudenverhältnis von rück- zu vorlau-fender Welle am beliebigen Ort z. Somit wird

−→U (z) =

−→Ae−jβz [1 + ρ(z)]

und

−→I (z) =

−→A

Zw

(e−jβz − ρ0e

jβz)

=

−→A

Zwe−jβz

(1 + ρ0e

j2βz)

bzw.

−→I (z) =

−→A

Zwe−jβz [1− ρ(z)]

mit

ρ(z) = ρ0ej2βz = ρ0e

j 4πλ z

Für den Widerstand am beliebigen Ort z erhalten wir

Z(z) =U(z)

I(z)= Zw

1 + ρ(z)

1− ρ(z)= Zw

1 + ρ0ej2βz

1− ρ0ej2βz

= R(z) + jX(z)

Nach Umformen erhalten wir

ρ(z) = ρ0ej2βz =

Z(z)− ZwZ(z) + Zw

Für Z0 = Zw wird ρ0 = 0, es tritt keine Reflexion auf und wir sprechen von Anpassung.Anpassung ist von großer praktischer Bedeutung, da keine Reflexionen auf der Leitungauftreten und die ganze verfügbare Leistung der Quelle an den Verbraucher abgegebenwird.

Spannungs- und Stromverteilung auf der Leitung

Die Spannungs(Strom)verteilung auf einer Leitung hängt vom Ort und von der Zeit ab.Für harmonische Anregung ist

u(z, t) = ReU(z)ejωt

= Re

|U(z)| ejϕejωt

= |U(z)| cos (ωt+ ϕ)

Wir ermitteln den Verlauf der Spannungsverteilung und erhalten

−→U (z) =

−→Ae−jβz [1 + ρ(z)] =

−→Ae−jβz

[1 + |ρ0| e(j2βz+δ0)

]=−→Ae−jβz [1 + |ρ0| cos (2βz + δ0) + j |ρ0| sin (2βz + δ0)]

Daraus ermittlen wir den Betrag


Abbildung 14.3: Spannungsverlauf auf einer Leitung (Z0 kapazitiv)

Abbildung 14.4: Spannungs- und Stromverteilung einer kurzgeschlossenen Leitung

∣∣∣−→U (z)∣∣∣ =

∣∣∣−→A ∣∣∣√[1 + |ρ0| cos (2βz + δ0)]2

+ |ρ0|2

sin2 (2βz + δ0) (14.11)

=∣∣∣−→A ∣∣∣√1 + |ρ0|

2+ 2 |ρ0| cos (2βz + δ0)

Analog erhalten wir für∣∣∣−→I (z)

∣∣∣∣∣∣−→I (z)

∣∣∣ =

∣∣∣−→A ∣∣∣Zw

√1 + |ρ0|

2+ 2 |ρ0| cos (2βz + δ0) (14.12)

Die Gleichungen 14.11 und 14.12 stellen die Amplitudenverteilung von stehenden(ortsfesten) Wellen dar, die mit der Frequenz cos(ωt+ϕ) oszillieren. Für kapazitive Lasterhalten wir die Spannungsverteilung 14.3Wenn die Leitung kurzgeschlossen ist erhalten wir die Verteilung 14.4Der Spannungsverlauf ist vergleichbar mit den mechanischen Schwingungen eines Seils

mit fest eingespanntem Ende.Wenn die Leitung angepasst abgeschlossen tritt keine Reflexion auf, die Spannungs-

bzw. Stromamplituden sind nicht ortabhängig

14.4.4 Impedanzverlauf einer Leitung

Die Eingangsimpedanz einer Leitung in normierter Darstellung ist

ze = z(−l0) =ZeZw

=1 + ρ(−l0)

1− ρ(−l0)

Für die kurzgeschlossene Leitung erhalten wir (Z0 = 0, ρ0 = −1)


Abbildung 14.5: Spannungs- und Stromvereilung Z0 = Zw

Abbildung 14.6: Impedanz der Leitung der Länge l0

Z(z) = Zw1− ej2βz1 + ej2βz

= Zwe−jβz − ejβze−jβz + ejβz

= −jZw tan(βz)

Abbildung 14.7 zeigt den ImpedanzverlaufFür die Länge 0 > z > −λ4 ist die Impedanz induktiv., für

−λ4 > z > −λ2 ist die

Impedanz kapazitiv, bei z = 0,−λ2 , ... haben wir das Verhalten eines Serienschwingkreises,bei z = 0,−λ4 , ...haben wir das Verhalten eines Parallelschwingkreises.


Abbildung 14.7: Impedanzverlauf einer kurzgeschlossenen Leitung


Kapitel 15

CMOS-Technologie

Inhalt15.1 Der nMOS-Transistor (Anreicherungstyp, enhancement ty-

pe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

15.2 p-MOS-Transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

15.3 Schwellenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

15.4 MOS Entwurfsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

15.5 Der CMOS-Inverter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Complementary Metal Oxide Semiconductors (CMOS) sind Halbleiterbauelemente,bei denen p- und n-Kanal MOS Feldeffekt-Transistoren auf einem gemeinsamen Sub-strat verwendet werden. Die CMOS-Technologie ist heute die meistgenutzte Technologiebei integrierten Schaltkreisen.Ein MOS-Transistor wird durch Überlagerung von mehreren Schichten aus leiten-

dem, isolierendem und Halbleitermaterial gebildet. Abbildung ?? zeigt eine schematischeDarstellung eines n-Kanal bzw. eines p-Kanal-Transistors.In p-dotiertes Basismaterial werden n-dotierte Bereiche eingebracht, die Drain- bzw.

Source-Region des n-Kanal-Transistors bilden. Das Gebiet zwischen Drain und Sourcenennt man Kanal. Über dem Kanal befindet sich das durch eine Isolierschicht getrennteGate. Durch Anlegen einer positven Spannung am Gate kann der Stromfluss zwischenSource und Drain gesteuert werden.1 Beim p-Kanal-Transistor wird Drain und Sourcedurch p-Dotation in n-leitendem Matarial gebildet.Ein sehr einfaches Verhaltensmodell, das für logische Schaltkreise ausreichend ist, ist

das Schaltermodell. Der n-Kanal-Transistor wird bei Anlegen der positiven Versorgungs-spannung (logisch Eins) leitend (Schalter geschlossen), liegt die Spannung Null (logischNull) an, ist der Transistor nichtleitend (Schalter offen). Der p-Kanaltransistor ist beiAnlegen der positiven Versorgungsspannung nichtleitend (Schalter offen), bei Anlegen derSpannung Null ist er leitend (Schalter geschlossen). Wir betrachten beim Schaltermodelldas Verhalten der MOS-Transistoren nur idealisiert für die Zustände Schalter geschlos-sen und offen. Das Schließen (Öffnen) von Schaltern passiert durch den Übergang derSchaltspannung on 0 V auf die Versorgungspannung VDD.Die idealisierte Annahme Schalter Offen/Geschlossen überprüfen wir am besten mit

der analogen Transistorkennlinie, wie in Abbildung 15.1 gezeigt. Die Werte für den Drain-strom sind nicht beziffert, da sie von der Kanallänge und -breite und von Technologiepa-rametern abhängen. Bei Kanallängen im µm-Bereich liegt der Drainstom des gesperrtenTransistors im Picoamperebereich, moderne Technologien (z.B. 30 nm Kanallängen) ha-ben deutlich höhere Sperrströme. Insgesamt sind die Ströme aber so gering, dass man

1Bei den ersten Feldeffekttransistoren dieses Typs war das Gate aus Metall (Aluminium), daherder Name Metal-Gate. Heute ist das Gatematerial polykristallines leitendes Silizium., daher der NamePolygate.

175

176 KAPITEL 15. CMOS-TECHNOLOGIE

Abbildung 15.1: ID, VGS− Kennlinie (VDS ≈ 0.1V )

Abbildung 15.2: p- und n-Kanaltransistor als Schalter

von » Abschalten« sprechen kann, der » Schalterwiderstand« ist aber nicht∞, wie er fürOffen sein müsste.Die Stromleitung setzt bei einer Gate-Source-Schwellenspannung von ca. 0.7 V ein.

Der Kanalwiderstand Rch = ∆VGS∆ID

ist nicht Null, wie beim geschlossenen idealen Schalter.Den genauen Spannungs- und Stromverlauf an den Transistoren müssen wir aus den

Kennlinien der Transistoren ermitteln, wie später gezeigt wird.In der CMOS-Logik-Technologie treten n- und p-Kanaltransistoren immer paarweise

auf. Abbildung 15.2 zeigt Transistor- und Schalterdiagramm, sowie die Realisierung einesInverters in CMOS-Technik.Liegt am Eingang, dem verbundenen Gate von n-Kanal und p-Kanal-Transistor, die

Versogungsspannung VDD (logisch "1") an, dann ist der n-Kanal-Schalter geschlossen,der p-Kanal-Schalter ist offen. Der Ausgang des Inverters liegt daher auf null Volt (logischNull). Liegt der Eingang auf null Volt (logisch Null), ist der n-Kanal-Schalter offen undder p-Kanal-Schalter offen, der Ausgang liegt daher auf VDD (logisch ”1”). Weder imZustand logisch 0, noch im Zustand logisch 1 fließt ein Querstrom durch den Inverter.Beim Übergang von 0→ 1→ 0 fließt ein Querstrom durch den Inverter, wie weiter untendargestellt.Der größte Anteil an der von CMOS-Logik verbrauchten Verlustleistung ist durch dasUmladen der Eingangs- und Ausgangskapazität des Inverters verursacht. Transistoren in

15.1. DER NMOS-TRANSISTOR (ANREICHERUNGSTYP, ENHANCEMENT TYPE)177

Abbildung 15.3: Schaltsymbole MOSFETS

heutiger Technologie schalten nicht mehr vollständig ab, wodurch ständig ein Querstromfließt, der erheblichen Anteil an der Verlustleistung der CMOS-Schaltkreise hat.In Abbildung ?? ist der Aufbau eines Inverters in Form eines Schnittbildes, in Abbil-

dung ?? in Form eines schematischen Layouts gezeigt.

15.1 Der nMOS-Transistor (Anreicherungstyp, enhan-cement type)

Von den vielen Bauarten der Feldeffektransistoren behandeln wir, wegen seine Bedeu-tung für die Chiptechnologie, nur den Anreicherungstyp. Dieser FET ist selbstsperrend(normally off), erst durch Anlegen einer Gatespannung formt sich ein ein leitender Kanalzwischen Drain und Source. Das Schaltsymbol des Transistors bildet die Eigenschaft desSelbstsperrens daduch ab, dass die Verbindung zwischen Source und Drain strichliert ge-zeichnet wird. Das Gate ist von Drain und Source isoliert (insulation gate) und grafischauch so dargestellt. (Abbildung 15.3)Die Struktur eines n-Kanal Anreicherungstyps ist in Abbildung ?? dargestellt.In einem leicht dotierten p-Substrat sind die beiden stark dotierten n+ Bereiche, die

Source und Drain bilden, aufgebaut. Zwischen Drain und Source liegt der Channel, überdem die durch eine Isolierschicht (SiO2, gate oxide) getrennte Steuerelektrode, das Gate(aus polykristallinem Silizium), liegt. Da das Gate isoliert ist, fließt bei Anlegen einerSpannung an das Gate (praktisch) kein Strom in das Substrat, es fließt lediglich derLadestrom der Gatekapazität.Im Betrieb liegt zwischen Drain und Source eine positive Spannung Vds an. Wenn

die Spannung zwischen Gate and Source Vgs = 0 ist, fließt kein Strom zwischen Drainund Source. Eine zwischen Source und Substrat angelegte positive Spannung erzeugtein elektrisches Feld E quer zum Substrat. Dieses elektrische Feld zieht Elektronen inRichtung Gate und stößt Löcher ab. Bei geeignet hoher Gatespannung (Feldstärke) undentsprechender Anreicherung von Elektronen ändert der Bereich unter dem Gate seinLeitverhalten von p-Typ auf n-Typ, man spricht von Inversion, und bildet eine leitendeSchicht zwischen Drain und Source (n-Kanal). Diese Zusammenhänge sind in Abbildung?? dargestellt.Der MOS-Tranistor verhält sich wie ein elektrisch gesteuerter Schalter, die Stromlei-

tung setzt ein, wenn Vgs die Schwellspannung Vth erreicht hat. Die elektrischen Felder


von Ugs und von Uds sorgen für die Leitfähigkeit im Kanal, wobei die Feldkomponentein Richtung Drain-Source für den Stromfluss von Drain zu Source sorgt.Der MOS-Transistor verhält sich wie ein spannungsgesteuerter Schalter der leitet,

wenn die Gate-Source-Spannung, Vgs, gleich der Schwellenspannung (threshold voltage)Vth ist. Liegt die Spannung Vds zwischen Drain und Source an und ist Vgs = Vt, dannbewirken die horizontalen (durch die Drain-Source-Spannung) und vertikalen Feldkompo-nenten (durch die Gate-Substrat-Spannung) elektrische Leitung entlang das Kanals. Diehorizontale Komponente des elektrischen Feldes auf Grund der Drain-Source-Spannung(Vds > 0) bewirkt die Bewegung der Elektronen im Kanal in Richtung Drain. Bei steigen-der Spannung Vds beginnt der Spannungsabfall entlang des Kanals die Form des Kanalseinzuschnüren, wie in Abbildung ?? (a -c) dargestellt.Am Source-seitigen Ende das Kanals bewirkt die volle Gate-Spannung die Inversion

des Kanals. Am Drain-seitigen Ende ist nur die Differenz zwischen Drain- und Gate-Spannung wirksam. Wenn die effektive Gate-Spannung (Vgs − Vt) größer als die Drain-Spannung ist, wird der Kanal tiefer, wenn Vgs ansteigt. Diese Situation nennt man linear,resistiv, bzw. ungesättigt, der Kanalstrom Ids hängt von den Gate- und Drain-Spannungenab. Wenn Vds > Vgs − Vt, dann ist Vgd < Vt und der Kanal wird abgeschnürt, d.h.der Kanal erreicht nich mehr den Drain-Bereich, wie in Abbildung ?? (c) dargestellt.In dieser Situation wird die Leitfähigkeit durch einen Driftmechanismus bewirkt, dieElektronen driften unter dem Einfluss der positiven Drain-Spannung. Die Elektronenverlasssen den Kanal und werden in Richtung Drain beschleunigt. Die Spannung entlangdes abgeschnürten Kanals bleibt konstant auf dem Wert Vgs − Vt. Diese Situation nenntman den gesättigten Zustand, der Kanalstrom wird von der Gate-Spannung gesteuertund ist fast unabhängig von der Drain-Spannung.Für eine feste Drain-Source-Spannung und eine feste Gate-Spannung hängt der Strom

Ids von folgenden Größen ab:

• Abstand zwischen Drain und Source (Kanallänge)

• Kanallbreite

• Schwellspannung Vt

• Dicke und Dielektrizitätskonstante der Gate-Isolierschicht

• Beweglichkeit µ der Ladungsträger (Elektronen bzw. Löcher)

Wir können drei Arbeitsbereiche des MOS-Transistors unterscheiden

• Sperrbereich (Cut-off): Es fließt nur ein sehr geringer Drain-Source-Leckstrom2 .

• Linearer Bereich: Hier tritt schwache Inversion auf, der Drain-Strom steigt linearmit der Gate-Spannung an.

• Sättigungsbereich: Der Kanal ist stark invertiert, der Drain-Strom hängt nicht vonder Drain-Spannung ab.

15.2 p-MOS-Transistor

Das Verhalten des p-MOS-Transistors entspricht im wesentlichen dem des n-MOS-Transistors.Anlegen einer negativen Spannung (in Bezug auf Source), zieht Löcher in den Bereichunter das Gate und ändert den Kanal von n-Typ auf p -Typ. Die Leitung erfolgt durchLöcherleitung und nicht, so wie beim n-Kanal-FET durch Elektronen. (Löcher habeneine etwa halb so große Beweglichkeit wie Elektronen.) Abbildung ?? zeigt die Zusam-menhänge beim p-MOS-FET.

2 In heutiger Technologie ist der Abstand zwischen Drain und Soruce sehr gering und die Transis-toren lassen sich nicht mehr vollständig » abschalten« . Der Anteil der Leckströme kann über 30 % derGesamtleistung betragen.

15.3. SCHWELLENSPANNUNG 179

15.3 Schwellenspannung

Die Schwellenspannung ist ein Technologieparameter und hängt von folgenden Größenab:

• Gate Material

• Gate Isoliermaterial

• Dicke der Isolierschicht

• Kanaldotierung

• Spannung zwischen Source und Substrat

• Temperatur

15.4 MOS Entwurfsgleichungen

Vereinfachte Entwurfsgleichungen für den MOS-FET sind

Ids =

0 Vgs − Vt ≤ 0 Sperrbereich

β[(Vgs − Vt)Vds − V 2

ds

2

]0 < Vds < Vgs − Vt linearer Bereich

β2 (Vgs − Vt)2

0 < Vgs − Vt < Vds Sättigungsbereich

β =µε

tox

(W

L

);

ε . . . Permittivität der Gate-Isolierungµ . . . Beweglichkeit der Ladungsträgertox . . . Dicke der Gate-IsolierungW . . . Breite des Transistors

L . . . Kanallänge

W und L sind die Parameter, die dem Schaltungsentwickler zur Verfügung stehen.Die Transistorgleichungen sind in Abbildung ?? dargestellt.

15.5 Der CMOS-Inverter

Der CMOS-Inverter ist in Abbildung 15.2 dargestellt. Zur Bestimmung der Inverter-kennlinie müssen die (nichtlinearen) Transistorgleichungen für p- und n-Kanal-Transistorgelöst werden. Was interessiert, ist die Inverterkennlinie (Eingangspannung gegen Aus-gangsspannung) und der Inverterstrom. Diese Größen können graphisch bestimmt wer-den, wie in Abbildung ?? gezeigt.Abbildung ?? (a) zeigt die Strom-Spannungskennlinien von p- und n-Transitor. Wir

spiegeln die Kennlinie des p-Transistors entlang der x-Achse und erhalten Abbildung ??(b). Der Drainsstrom des p-Transistors wird als Betrag dargestellt. Überlagern wir diebeiden Transistorgleichungen, so erhalten wir Abbildung ?? (c). Die Eingangs-Ausgangskennliniedes Inverters wird durch die Schnittpunkte der Kennlinien bei gleicher Gate-Spannungbestimmt. Die Lösung für Vinp = Vinn und Idsp = Idsn liefert die in Abbildung ?? gezeigteTransferkennlinie des Inverters.Die Transferkennlinie des Inverter ist eine analoge Kennlinie. Betrachten wir den

Inverter als logisches Schaltelement, dann betrachten wir nur logisch ”0” und ”1”; ”0”entspricht 0 Volt, ”1” entspricht VDD. Den analogen Bereich der Kennlinie ignorieren wir(Logikabstraktion).In Abbildung ?? sehen wir, dass der Querstrom durch p- und n-Kanal Null3 ist, wenn

der Invertereingang ”1”(Vdd) bzw. ”0”(0 V ) ist. Strom fließt nur beim Übergang von0 → 1 bzw. 1 → 0. Dieser Querstrom bewirkt einen Leistungsverbrauch im Inverter.

3 In heutigen Technologien schalten die Transistoren nicht vollständig ab, es fließt daher auch bei 0und 1 ein (geringer) Querstrom.


Dieser Leistungsverbrauch ist aber in der Regel klein gegen den dynamischen Leistungs-verbrauch Pd = CLV

2DDf , der durch das Umladen der Eingangskapazität des Inverters

hervorgerufen wird. CL ist die Lastkapazität (Inverter + Kapazität der Verbindungslei-tungen), f ist die Schaltfrequenz.

Teil V

Analoge Signalverarbeitung

181

Kapitel 16

Verstärkerschaltungen

Inhalt16.1 Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

16.1.1 Der unbeschaltete Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . 185

16.1.2 Der reale Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

16.2 Gesteuerte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19016.2.1 Spannungsgesteuerte Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . 190

16.2.2 Stromgesteuerte Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . 190

16.2.3 Spannungsgesteuerte Stromquellen . . . . . . . . . . . . . . . 190

16.2.4 Stromgesteuerte Stromquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

16.3 Addierer und Subtrahierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19116.4 Integratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19216.5 Differentiatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19216.6 Lösung von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 19316.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Verstärker sind Schaltelemente die Signale kleiner Eingangsamplitude in Signale grö- Verstärker setzen Signa-le kleiner Amplitude inSignale großer Amplitudeum.

ßerer Ausgangsamplitude umsetzen, um nachfolgende Einheiten ansteuern zu können.Zum Beispiel muss das Signal eines Mikrofons vom µV-Bereich in den Volt-Bereich ver-stärkt werden, um es über einen Lautsprecher wiedergeben zu können. Verstärker werdenaus elektronischen Bauelementen (Transistoren, Widerständen, Kondensatoren) aufge-baut und sind meistens monolithisch integriert. Der Aufbau von Verstärkern aus Einzel-transistoren in diskreter Schaltungstechnik wird heute nur in Sonderfällen, für die keineintegrierte Lösung vorliegt, durchgeführt. Abbildung 16.1 zeigt das Schaltungssymboleines Verstärkers.Die heutige Halbleitertechnologie stellt sehr leistungsfähige und kostengünstige Schalt-

kreise zur Verfügung und die Verarbeitung von Signalen wird daher wegen der technischenVorteile zunehmend digital mit Mikroprozessoren, Signalprozessoren oder dedizierter di-gitaler Hardware durchgeführt. Die zu verarbeitenden Signale stammen aber in der Regelvon analogen Quellen (magnetische Sensoren, lichtempfindliche Bauelemente, Thermoele-mente, Empfangsantennen) und müssen vor der Digitalisierung verstärkt werden. Nachder digitalen Verarbeitung müssen die Signale wieder in analoge Form gebracht werdenund für die ”Wiedergabe”an Aktoren (Elektromotoren, Anzeigeeinrichtungen, Heizele-mente, Sendeantennen, ...) verstärkt werden.

Abbildung 16.1: Schaltungssymbole für Verstärker

183

184 KAPITEL 16. VERSTÄRKERSCHALTUNGEN

Abbildung 16.2: Blockdiagramm einer Signalverarbeitungskette

Abbildung 16.2 zeigt den typischen Aufbau einer Signalverarbeitungskette.Obwohl die Schaltungstechnik sehr ähnlich ist, werden die Verstärker für ihre Aufgabe

optimiert. Ein (Kleinsignal-)Verstärker für ein Mikrofonsignal ist anders dimensioniertals ein (Leistungs-)Verstärker zur Ansteuerung eines Lautsprechers für ein Popkonzert.Ein weiteres Unterscheidungsmerkmal ist der Frequenzbereich (untere und obereVerstärker werden für ver-

schiedene Leistungen undFrequenzbereiche dimen-sioniert.

Grenzfrequenz) für den der Verstärker ausgelegt ist. Bei der unteren Grenzfrequenzunterscheidet man zwischen Gleich- und Wechselspannungsverstärkern. Bei der oberenGrenzfrequenz spricht man von Nieder- und Hochfrequenzverstärkern, wobei die Grenzefließend ist und bei etwa 1 MHz liegt. Verstärker arbeiten mit schmalen und breiten Fre-quenzbändern und können auch nach der Anwendung in Audio- Video-, Zwischenfrequenz-, Radiofrequenz- und Mikrowellenverstärker eingeteilt werden. Meistens werden hoheVerstärkungsfaktoren verlangt, die durch mehrstufigen Aufbau der Verstärker realisiertwerden. Der prinzipielle Schaltungsaufbau der Stufen ist fast identisch, das wesentlicheUnterscheidungsmerkmal ist die Kopplung der einzelnen Stufen: Direkte (galvanische)Kopplung bei Gleichspannungsverstärkern, kapazitive Kopplung bei Wechselspannungs-verstärkern oder selektive Kopplung bei Schmalbandverstärkern.Eine besondere Stellung nehmen die Operationsverstärker ein, die universell einsetz-

bare Gleichspannungsverstärker sind. Für Standardaufgaben kommen fast ausschließlichOperationsverstärker zu Einsatz.

16.1 Operationsverstärker

Operationsverstärker (OPV) sind mehrstufige Gleichspannungsverstärker mit sehr hoherOperationsverstärkersind universell einsetzbaremehrstufige Gleichspan-nungsverstärker mit sehrhoher Verstärkung.

Verstärkung der Eingangsspannung Ud in Abbildung 16.1. Die (Differenz)verstärkungvon Standard-OPVs liegt im Bereich von 104− 105 und erreicht Werte bis 107 für Präzi-sionsverstärker. Es besteht kein prinzipieller schaltungstechnischer Unterschied zwischennormalen Verstärkern und Operationsverstärkern. Der Unterschied zwischen den beidenTypen rührt daher, dass die Eigenschaften des normalen Verstärkers durch seinen inne-ren Aufbau gegeben sind, während die Eigenschaften des Operationsverstärkers durchdie externe Beschaltung festgelegt sind. Das ist möglich, da die Verstärkung der OPVsDie Eigenschaften des

OPV sind durch seineäußere Beschaltungfestgelegt.

sehr hohe Werte annimmt.Operationsverstärker wurden in der Vergangenheit in Analogrechnern verwendet.

Analogrechner wurden eingesetzt, um mathematische Berechnungen (z. B. lösen vonDifferentialgleichungen) durchzuführen. Dabei mussten Rechenoperationen wie Additi-on und Integration durchgeführt werden, daher die Bezeichnung Operationsverstärker.Analogrechner haben heute keine Bedeutung, da durch die Digitaltechnik wesentlich ge-nauere und leistungsfähigere Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen zur Ver-fügung stehen.Operationsverstärker werden praktisch ausschließlich als monolithisch integrierte Schal-

tungen angeboten und unterscheiden sich in Größe und Preis kaum von Einzeltransis-toren. Es gibt Dutzende von OPV-Typen, die entweder für allgemeine Aufgaben (Uni-versaltypen) oder für spezielle Aufgaben (hohe Genauigkeit, geringes Rauschen, hohe

16.1. OPERATIONSVERSTÄRKER 185

Abbildung 16.3: Schaltsymbol des Operationsverstärkers

Ausgangsspannung, hohe Bandbreite, gute Schalteigenschaften) entwickelt sind.Die Innenschaltung von Operationsverstärkern wird dem Anwender nicht bekannt-

gegeben und steht lediglich als Prinzipschaltung oder als Rechnermodell zur Verfügung.Die Berechnung der grundlegenden Eigenschaften der OPV-Schaltungen ist so einfach,dass sie mit der Hand durchgeführt werden kann. Detailliertere Untersuchungen werdenmit entsprechenden OPV-Modellen und einem Netzwerksimulator (z. B. SPICE) durch-geführt.Man unterscheidet vier Typen von OPVs:

1. Die Eingangsspannung Ud steuert die Ausgangsspannung: Ua = VdUd. Diesen Typnennt man normalen OPV.

2. Die Eingangsspannung Ud steuert den Ausgangsstrom: Ia = SdUd. Diesen Typnennt man Transkonduktanz-Verstärker.

3. Der Eingangsstrom Iin steuert die Ausgangsspannung: Ua = ZIin. Diesen Typnennt man Transimpedanz-Verstärker.

4. Der Eingangsstrom Iin steuert den Ausgangsstrom: Ia = ViIin. Diesen Typ nenntman Strom-Verstärker.

Wir werden uns im weiteren Verlauf auf den normalen Operationsverstärker beschrän-ken.

16.1.1 Der unbeschaltete Operationsverstärker

Abbildung 16.3 zeigt das Schaltungssymbol eines normalen idealen Operationsverstär-kers.Der nichtinvertierende P-Eingang wird mit einem +, der invertierende N-Eingang

wird mit einem − gekennzeichnet. Der OPV wird mit zwei Betriebsspannungen, die einegegen Masse positiv, die andere gegen Masse negativ, versorgt. Damit sind Eingangs-und Ausgangsruhepotentiale von 0 V möglich. Die OPVs selbst besitzen keinen Masse-anschluss, obwohl Eingangs- und Ausgangsspannungen darauf bezogen werden.Die Differenzverstärkung des idealen OPV ist sehr hoch, im theoretischen Grenzfall Die Verstärkung des idea-

len OPVs ist ∞. Der Ein-gangswiderstand ist eben-falls ∞.

ist sie V →∞. Der Eingangswiderstand (Widerstand zwischen Eingang und Masse) desVerstärkers beim P- und N-Eingang ist theoretisch unendlich R → ∞. Wird also eineSpannung (bezogen auf die Masse) an einen Eingang gelegt, fließt kein Strom in oder ausdem OPV.OPVs werden nur im beschalteten Zustand eingesetzt, im unbeschalteten Zustand rei- OPVs werden nur im be-

schalteten Zustand einge-setzt.

chen schon sehr kleine Spannungen aus, um den Operationsverstärker bis an die positiveoder negative Versorgungsspannung auszusteuern.

Der invertierende Operationsverstärker

Abbildung 16.4 zeigt den OPV in invertierender Beschaltung.Zur Berechnung des Verhältnisses Ua/Ue wenden wir die Kirchhoff’sche Knotenregel

auf den Knoten (1) an


Abbildung 16.4: Der invertierende OPV

IR1+ IR2

= 0→ UR1

R1+UR2

R2= 0 (16.1)

In den negativen Eingang des Verstärkers fließt kein Strom, da der Eingangswider-stand des idealen OPV unendlich ist. Daher ist

IR1+ IR2

= 0→ UR1

R1+UR2

R2= 0 (16.2)

Ue + UdR1

+Ua + UdR2

= 0 (16.3)

Ua = V Ud (16.4)

Wir setzen Ud = Ua/V ein und erhalten

−UeUa

=R1

R2

(1 +

1

V

)+

1

V(16.5)

Die Größe V bezeichnet man als Leerlaufverstärkung (open loop gain) des Operati-onsverstärkers. Das Verhältnis von Ausgangsspannung zu Eingangsspannung A = Ua/Uenennt man Spannungsverstärkung (closed loop gain).Typische Werte für die Leerlaufverstärkung sind V = 105 und für die Spannungsver-

stärkung A = 102. Für große Werte von V können wir 1/V vernachlässigen und erhaltenDie Spannungsverstärkung A des gegengekoppelten OPV ist negativ, praktisch un-Die Spannungsverstär-

kung des invertierendenOPV ist negativ undhängt praktisch nur vondem Verhältnis der ange-schlossenen Widerständeab.

abhängig von V (solange V großgenug ist) und hängt nur von der externen Beschaltungab.

Anmerkung 66 Wegen der hohen Verstärkung von OPVs ist die Differenzspannung Udsehr klein und man sagt, dass der negative Eingang des OPV virtuell auf Masse liegt.

Der Eingangswiderstand des invertierenden OPV nach Abbildung 16.4 ist gleich R1,da der invertierende Eingang virtuell auf Masse liegt. Der Ausgangswiderstand ist sehrgering, das Verhalten der Ausgangsspannung ist nahe dem Verhalten einer idealen Span-nungsquelle.

Der nichtinvertierende Verstärker

Die Beschaltung des nichtinvertierenden OPV ist in Abbildung 16.5 gezeigt.Die Untersuchung der Schaltung liefert folgende Zusammenhänge

Un =R1

R1 +R2Ua (16.6)

Ua = V Ud = V (Ue − Un) (16.7)

Nach Umformung wird daraus

A =UaUe

=V

1 + αVα =

R1

R1 +R2(16.8)


Abbildung 16.5: Der nichtinvertierende OPV

Abbildung 16.6: RC-Tiefpass

Für den Ausdruck UeUa

= 1A = 1

V + R1

R1+R2sehen wir, dass für hohe Werte der Verstär-

kung 1/V vernachlässigt werden kann und wir erhalten

1

A=

R1

R1 +R2(16.9)

A=1 +R2

R1(16.10)

Eingangsspannung und Ausgangsspannung haben dasselbe Vorzeichen, die Eingangs- Beim nichtinvertieren-den OPV haben Ein-gangsspannung und Aus-gangsspannung das selbeVorzeichen. Die Verstär-kung wird durch die exter-ne Beschaltung bestimmt.

spannung wird bei dieser Beschaltung des OPV nicht invertiert.Das Eingangssignal der Schaltung in Abbildung 16.5 liegt direkt am nichtinvertieren-

den Eingang des OPV, der Eingangswiderstand ist daher hochohmig. Der Ausgangswi-derstand ist, wie beim invertierenden OPV, sehr niederohmig.Im Gegensatz zum invertierenden OPV bei dem die Eingangsspannungen Un und

Up praktisch Null sind, tritt beim nichtinvertierenden OPV eine Gleichtaktaussteuerungauf, da Un=Up = Ue. Ideale OPVs verstärken lediglich die Differenzspannung Ud undzwar unabhängig von der Gleichtaktspannung. Bei realen OPVs ist das nicht der Fall,man misst eine Gleichtaktverstärkung, die typisch in der Größenordnung von 1 liegt unddamit mehrere Zehnerpotenzen kleiner als die Differenzspannungsverstärkung ist. AlsKenngröße für OPVs wird die Gleichtaktunterdrückung G = Ud iff e r e n z

Ug l e i changegeben.

Frequenzverhalten des Operationsverstärkers

Die Differenzverstärkung eines realen Operationsverstärkers nimmt bei höheren Frequen- Das Frequenzverhaltendes OPV kann annä-hernd durch einen RC-Tiefpass modelliert wer-den.

zen ab. Die Ursache dafür sind Kapazitäten der Transistoren der Verstärkerschaltungenund Schaltungswiderstände, die Tiefpässe bilden. In erster Näherung kann das Frequenz-verhalten des OPV durch einen RC-Tiefpass, wie in Abbildung 16.6 gezeigt, modelliertwerden.Die Netzwerkanalyse der Schaltung Abbildung 16.6 liefert unter Verwendung der Ab-

kürzung fg = 1/2πRC

~Ua~Ue

=1

1 + j (f/fg)= ~H(f) (16.11)

Daraus berechnen wir den Betrag der Systemfunktion


102

101

100

101

102

40

35

30

25

20

15

10

5

0

Mag

nitu

de (d

B)

Frequengang RCGlied

Frequency (rad/sec)

20db/Dekade

Abbildung 16.7: Asymptoten an Frequenzgang

|H(f)|dB = 20 log |H(f)| = 20 log

(1√

1 + (f/fg)2

)(16.12)

= 20 log(1)− 20 log√

1 + (f/fg)2 (16.13)

= −10 log

[1 +

(f

fg

)2]

(16.14)

Gleichung (16.14) liefert für kleine Werte f fg denWert Null und kann daher in Ab-bildung 16.7 als Gerade durch den Ursprung dargestellt werden. Für große Werte f fgerhalten wir |H(f)|dB = −20 log(f/fg), eine Gerade mit der Steigung −20 dB/Dekade(in logarithmischer Darstellung), wie in Abbildung 16.7 gezeigt. Den Schnittpunkt beiderGeraden bezeichnen wir als Grenzfrequenz. Bei fg ist das Verhältnis von Ausgangsspan-Bei der Grenzfrequenz

(3 dB-Punkt) ist das Ver-hältnis von zu Ausgangs-spannung Eingangsspan-nung 1/

√2 = − 3 dB.

nung zu Eingangsspannung 1√2=− 3dB, man nennt die Grenzfrequenz daher auch den 3

dB-Punkt.In erster Näherung verhält sich der Frequenzgang des OPV wie ein RC-Glied, mit

dem Unterschied, dass durch den OPV eine Verstärkung auftritt. Die Verstärkung beif = 0 nennen wir V0, die Leerlaufgleichspannungsverstärkung.

V (f) =V0

1 + j (f/fg)(16.15)

Die Frequenzabhängigkeit der Leerlaufverstärkung eines OPV ist in Abbildung 16.8dargestellt.Berücksichtigen wir die Frequenzabhängigkeit der Leerlaufverstärkung für den gegen-

gekoppelten OPV, setzen (16.15) in die Gleichung (16.8) ein, dann erhalten wir

A(f) =UaUe

=V (f)

1 + αV (f)(16.16)

A(f) =

Vo1+j(f/fgol)

1 + α V01+j(f/fgol)

(16.17)

Mit den Abkürzungen

A0 =Vo

1 + αV0fgcl = fgol(1 + αV0) (16.18)


102

101

100

101

102

40

35

30

25

20

15

10

5

0

Mag

nitu

de (d

B)

Frequengang RCGlied

Frequency (rad/sec)

20db/Dekade

V o+

fgol

fgcl

A o

Abbildung 16.8: Frequenzgang ohne und mit Gegenkopplung

wird daraus

A(f) =A0

1 + j(f/fgcl)(16.19)

fgol ist die Grenzfrequenz der Leerlaufverstärkung, fgcl ist die Grenzfrequenz dergegengekoppelten Schaltung.Bilden wir das Produkt aus Verstärkung und Bandbreite so erhalten wir

A0fgcl =V0

1 + αV0· fgol(1 + αV0) = V0fgol = 1 · fT (16.20)

Das Produkt aus Verstärkung und Bandbreite ist unabhängig von α und wird Das Verstärkungs-Bandbreitenproduktgibt die Frequenz an,bei der die Verstärkungso weit abnimmt, dassdie Amplitude des Aus-gangssignals gleich derAmplitude des Eingangs-signals ist.

VerstärkungsBandbreitenprodukt fT genannt . Bei der Frequenz fT ist die Verstärkung1 oder 0 dB (unity-gain bandwidth). Das Verstärkungs-Band-breiten-produkt von OPVsliegt im Bereich von 0.1MHz bis 1GHz.

Anmerkung 67 Die Bandbreite des gegengekoppelten Verstärkers wird auf Kosten einergeringeren Verstärkung erhöht, das Produkt aus Verstärkung und Bandbreite ist konstant.

In Abbildung 16.8 ist dieser Zusammenhang grafisch dargestellt.

16.1.2 Der reale Operationsverstärker

Die Differenzverstärkung des realen OPV liegt im Bereich zwischen 104 bis 107. DieGleichtaktunterdrückung liegt ebenfalls in diesem Bereich. Die Übertragungskennlinieder realen OPV Ua = Ua(Ud) geht nicht durch den Ursprung, sondern ist um die Offset-spannung verschoben. Werte der Offsetspannung liegen typisch im Bereich von 10µV bis1mV.Die Eingangswiderstände der Operationsverstärker sind nicht ∞, es fließen daher

Eingangsströme im Bereich von pA bis 10nA. Durch die Beschaltung (Gegenkopplung)der OPVs werden die hohen Eingangswiderstände noch weiter um die Schleifenverstär-kung g = V

A vergrößert. Der Ausgangswiderstand eines OPV ist sehr gering, durch dieGegenkopplung wird dieser Widerstand um die Schleifenverstärkung reduziert.Das Abweichen von realen OPVs muss durch Ersatzschaltungen berücksichtigt wer- ∇Die (idealen) Annahmen

sind bei realen Verstär-kern verletzt und müs-sen durch Ersatzschaltun-gen modelliert werden.

den, deren Werte aus den Datenblättern der OPVs kommen oder als Modelle vom Her-steller zur Verfügung gestellt werden.Wie bei allen analogen Schaltungen tritt auch bei OPV Rauschen auf. Das Rauschen

lässt sich in Form einer auf den Eingang bezogenen Rauschspannungsdichte beschreiben.Die Rauschspannung ist frequenzabhängig, ist bei niedrigen Frequenzen am höchsten und


Abbildung 16.9: Stromgesteuerte Spannungsquelle

nimmt bei höheren Frequenzen ab. Darüber hinaus hängt die Rauschspannung noch vonTechnologie der Schaltung ab. Die Eingangsrauschspannungsdichte liegt im Bereich von1− 25nV/

√Hz.

16.2 Gesteuerte Quellen

Die einfachste Aufgabe bei der analogen Signalverarbeitung ist die Verstärkung von Si-gnalen. Die von Sensoren stammenden Signale können als Spannungs- oder Stromquellenauftreten, deren niedrige Signalpegel für die Weiterverarbeitung verstärkt werden müs-sen.

16.2.1 Spannungsgesteuerte Spannungsquellen

Spannungsgesteuerte Spannungsquellen mit niedrigem Ausgangswiderstand lassen sichSpannungsgesteuerteSpannungsquellen könnendurch invertierende odernichtinvertierende Opera-tionsverstärker realisiertwerden.

mit Hilfe des invertierenden (Abbildung 16.4) oder nichtinvertierenden (Abbildung 16.5)OPVs realisieren. Die Verstärkung ist durch die externe Beschaltung einstellbar. DerEingangswiderstand des invertierenden OPV ist R1, wobei die Werte von R1 relativniedrig sind. Diese Schaltung ist daher nicht für die Verstärkung von Signalquellen mithohem Innenwiderstand geeignet. Bei Quellen mit hohem Innenwiderstand, die dahernicht belastbar sind, kann der nichtinvertierende OPV eingesetzt werden, dessen Ein-gangswiderstand sehr hoch ist. Der Nachteil des nichtinvertierenden OPV ist der durchdie Gleichtaktaussteuerung entstehende Fehler. Dieser Nachteil tritt beim invertierendenOPV nicht auf.

16.2.2 Stromgesteuerte Spannungsquellen

Abbildung 16.9 zeigt eine Realisierung mit Hilfe eines OPV.Eine StromgesteuerteSpannungsquelle kannaus einem invertierendenOPV durch Nullsetzendes eingangswiderstandserzeugt werden.

Wegen der hohen Spannungsverstärkung liegt der invertierende Eingang virtuell aufMasse, wodurch sich ein sehr niedriger Eingangswiderstand ergibt, der ja Voraussetzungfür die Stromsteuerung ist. Die Ausgangsspannung dieser Schaltung ist Ua = (−R)Ie, dader Strom in den Verstärkereingang vernachlässigt werden kann.

Ua = −RIe (16.21)

Re =R

V(16.22)

Der Eingangwiderstand der Schaltung ist Re = UeIe

= RUa

UaV , wobei V die (sehr große)

Leerlaufverstärkung des OPV ist.

16.2.3 Spannungsgesteuerte Stromquellen

Wie in Abbildung 16.10 gezeigt, fließt beim invertierenden und nichtinvertierenden OPVEine Spannungsgesteu-erte Stromquelle erhältman, indem man beieinem invertierenden odernichtinvertierenden OPVden Gegenkopplungs-widerstand durch denVerbraucher ersetzt.

durch den Gegenkopplungswiderstand R2 der Strom Ia = Ue/R1.Die Übertragungsfunktion ist also

16.3. ADDIERER UND SUBTRAHIERER 191

Abbildung 16.10: Spannungsgesteuerte Stromquellen

Abbildung 16.11: Summationsverstärker

Ia =1

R1Ue (16.23)

und wir haben spannunsgesteuerte Stromquellen, wenn man den Verbraucher als Ge-genkopplungswiderstand einsetzt1 . Die Eingangsimpedanz der beiden Schaltungen ist wiebeim (nicht)invertierenden OPV.Der Innenwiderstand der Stromquelle, also der Ausgangswiderstand unserer beiden

Schaltungen, sollte theoretisch ∞ sein, was praktisch nicht erreichbar ist. Dazu kommt,dass bei hochohmigen Ausgangswiderständen die praktisch auftretenden Kapazitäten derSchaltung nicht vernachlässigbar sind und der Ausgangswiderstand daher stark frequenz-abhängig ist.

16.2.4 Stromgesteuerte Stromquellen

Die invertierende OPV-Schaltung in Abbildung 16.10 hat den Eingangswiderstand Re = Eine stromgesteuerteStromquelle kann auseiner spannungsgesteu-erten Stromquelle durchNullsetzen des Eingangs-widerstands erzeugtwerden.

R1. Macht man R1 = 0, dann wird Ia = Ie und man hat eine stromgesteuerte Stromquellemit sehr guten Eigenschaften.

16.3 Addierer und Subtrahierer

Der invertierende OPV mit mehreren Eingängen nach Abbildung 16.11 summiert (undinvertiert) mehrere Eingangsspannungen.Durch Anwendung der Kirchhoff’schen Knotenregel erhalten wir Ein Addierer oder Sub-

trahierer ist ein invertie-render OPV mit mehrerenEingängen.

U1

R1+U2

R2+ ...+

UnRn

= −UaRg

(16.24)

−Ua =RgR1

U1 +RgR2

U2 + ...+RgRn

Un (16.25)

Die Subtraktion kann auf eine Addition zurückgeführt werden, indem man das zusubtrahierende Signal vorher mit einer invertierenden OPV-Schaltung verstärkt.

1Für spannungsgesteuerte Stromquellen mit geerdetem Verbraucher müssen andere Schaltungen ein-gesetzt werden.


Abbildung 16.12: Integrator

16.4 Integratoren

Ersetzt man beim invertierenden OPV den Gegenkopplungswiderstand durch eine Kapa-Ersetzt man bei eineminvertierenden OPVden Gegenkopplungs-widerstand durch eineKapazität, bekommt maneinen Integrator.

zität, wie in Abbildung 16.12 gezeigt, dann liefern die Netzwerkgleichungen die Beziehung

ie + ic = 0 (16.26)

ic = Cduadt

(16.27)

ueR

+ Cduadt

= 0 (16.28)

ua = − 1

RC

∫ τ

0

uedt+ Ua|t=0 (16.29)

Die Ausgangsspannung ist das zeitliche Integral der Eingangsspannung, Ua|t=0 ist dieAnfangsbedingung bzw. die Spannung an C zum Zeitpunkt t = 0.Liegt eine konstante Eingangsspannung am Integrator an, so entsteht am Ausgang

eine linear ansteigende Spannung, liegt am Eingang eine Rechteckwechselspannung an,so entsteht am Ausgang eine Dreieckspannung.Legt man die Eingangspannung ue = Ue cosωt an, so wird die Ausgangsspannung

ua = − 1

RC

∫ τ

0

uedt = − UeRCω

sinωt (16.30)

Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung (der Frequenzgang) ist

H =~Ua~Ue

= −ZCR

= − 1

RCs

∣∣∣∣s=jω

(16.31)

|H| = 1

RCω(16.32)

Der Betrag des Frequenzgangs ist in 16.13 dargestellt.In der logarithmischen Darstellung der Abbildung 16.13 erkennt man, dass die Stei-

gung des Betrags des Frequenzgangs −20 dB/Dekade (6dB/Oktave) beträgt. Diese Eigen-schaft ist ein einfaches Kennzeichen dafür, ob sich eine Schaltung als Integrator verhält.Beim realen Integrator können sich Eingangsruhestrom und Offsetspannung sehr un-

günstig auswirken, da sich deren Wirkung zeitlich summiert.

16.5 Differentiatoren

Vertauscht man bei einem Integrator R und C, wie in Abbildung 16.14 gezeigt, undVertauscht man bei einemIntegrator R und C, erhältman einen Differentiator.

wenden wir die Knotenregel auf den Summationspunkt an, dann erhalten wir

Cduedt

+uaR

= 0 (16.33)

ua = −RC duedt

(16.34)

16.6. LÖSUNG VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 193

20

15

10

5

0

5

Mag

nitu

de (d

B)

100

101

89

89.5

90

90.5

91Ph

ase

(deg

)

Bode D iagram

Frequency (rad/s ec )

Abbildung 16.13: Bodediagramm des idealen Integrators

Abbildung 16.14: Differentiator

Die Schaltung verhält sich wie ein Differentiator.Für sinusförmige Eingangsspannungen Ue sinωt erhalten wir die Ausgangsspannung

ua = −RCωUe cosωt. Der Betrag des Frequenzgangs ist |H| = RCω. Bei doppelt loga-rithmischer Darstellung eine Gerade mit der Steigung 20 dB/Dekade (beim Integrator−20 dB/Dekade).Die praktische Realisierung von Differentiatoren bereitet Schwierigkeiten, da große

Schwingneigung besteht. (Die Erklärung dafür liegt in der Phasennacheilung des Gegen-kopplungsnetzwerkes und der Phasennacheilung des realen OPV, die hier nicht bespro-chen wurden.)

16.6 Lösung von Differentialgleichungen

Viele technisch physikalische Probleme lassen sich in Form von Differentialgleichungen(DGL) darstellen. Die Lösung dieser Differentialgleichungen lässt sich dadurch finden,dass man sie durch die beschriebenen Analogrechenschaltungen nachbildet und die sicheinstellenden Ausgangsspannung (die ”Lösung”der DGL) misst. Um die beim Differen-tiator angedeuteten Stabilitätsprobleme zu umgehen, formt man die DGL so um, dassausschließlich Integratoren verwendet werden.Die Umsetzung einer DGL in eine Schaltung zeigen wir anhand eines Beispiels einer

zeitabhängigen DGL 2. Ordnung

τ2 d2y

dt2+ k1τ

dy

dt+ k0y = f

(t

τ

)(16.35)

Wir bringen die nicht abgeleiteten Größen auf eine Seite und erhalten


Abbildung 16.15: OPV-Schaltung zur Lösung von DGL 2. Ordnung

k0y − f(t

τ

)= −τ2 d

2y

dt2− k1τ

dy

dt(16.36)

Jetzt integrieren wir diese Gleichung und dividieren durch −τ

−1

τ

∫ [k0y − f

(t

τ

)]dt︸︷︷︸

z1

= τdy

dt+ ky (16.37)

Die linke Seite z der Gleichung lässt sich mit der Integrationsschaltung der Abbildung16.12 berechnen und wir können sie als einen Schaltungsblock auffassen: Die Eingangs-größen sind die Erregungsgröße f

(tτ

)und k0y, wobei y die zunächst unbekannte und

erst zu berechnende Ausgangsgröße ist. Wir erhalten dadurch die DGL

z1 = τdy

dt+ k1y (16.38)

1

τ(z1 − k1y) =

dy

dt(16.39)

die wir wie vorher integrieren. Wir erhalten

−1

τ

∫(z1 − k1y) dt︸︷︷︸z2

= −y (16.40)

Diesen Ausdruck können wir mit einem zweiten Summenintegrator integrieren, dessenWerden Funktionen alsZeitsignale aufgefasst,können Differentialglei-chungen gelöst werden,indem sie durch analogeSchaltungen nachgebildetwerden und das Zeit-signal, das die Lösungdarstellt, gemessen wird.

Eingangsgrößen z1 und k1y sind, wobei auch hier y zunächst unbekannt ist. Die gesuchteAusgangsgröße y erhalten wir durch Inversion von z2.Abbildung 16.15 zeigt die Teilschaltungen und die Gesamtschaltung zur Lösung der

DGL.Analogrechner lösen Differentialgleichungen auf sehr elegante Art und mit hoher Ge-

schwindigkeit. Parameteränderungen der DGL sind durch Änderung der Bauelemente-werte der OPV-Schaltungen sehr leicht durchzuführen. Wegen des geringen Dynamikbe-reichs analoger Schaltung und der daher nur geringen ”Rechengenauigkeit” und wegendes nichtidealen Verhaltens der OPVs, Widerstände und Kapazitäten haben Analogrech-ner heute ihre Bedeutung verloren und wurden durch Digitalrechner ersetzt, mit deneneine wesentlich höhere Genauigkeit erreichbar ist. Der Hybridrechner EAI SIMSTAR (ei-ne Kombination aus Analog- und Digitalrechner) der TU Wien wurde Ende 1991 außerBetrieb genommen.



Verstärker sind elektronische Schaltungen die kleine Eingangssignale verstärken, damit siein nachfolgenden Einheiten verarbeitet werden können. Je nach Aufgabenstellung müssendie Verstärkerschaltungen optimiert werden, was zu einer Vielzahl von Lösungen führt.Heute werden Verstärker nur in seltenen Fällen aus diskreten Bauelementen aufgebautsondern stehen normalerweise als integrierte Schaltungen zur Verfügung.Eine Sonderstellung haben die Operationsverstärker, deren Verhalten nicht von der

Innenschaltung, sondern von der externen Beschaltung abhängt. Mit Operationsverstär-kern können Schaltungen aufgebaut werden, die mathematische Operationen wie Additi-on, Subtraktion, Multiplikation, Differentiation und Integration mit Signalen durchführenkönnen. Man kann sogar Schaltungen zum Lösen von Differentialgleichungen aufbauen.In der Praxis haben solche Schaltungen durch die Digitaltechnik, die wesentlich leistungs-fähiger und vor allem genauer ist, ihre Bedeutung verloren.


Kapitel 17

Analoge Signalverarbeitung

Inhalt17.1 Analoge Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

17.1.1 Approximation eines idealen Tiefpassfilters . . . . . . . . . . 199

17.1.2 Realisierung von analogen Filtern . . . . . . . . . . . . . . . . 207

17.1.3 Normierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

17.1.4 Frequenztransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

17.2 Nichtlineare analoge Signalverarbeitung . . . . . . . . . . . . 20917.2.1 Signalgleichrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

17.2.2 Komparator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209


Mit Mikroprozessoren und (digitalen) Signalprozessoren kann man heute mathemati- Analoge Schaltungen kön-nen nicht so hohe Genau-igkeit erreichen wie digi-tale Schaltungen. Bei ge-ringen Genauigkeitsanfor-derungen werden sie oftbevorzugt, da sie kosten-günstiger sind.

sche Operationen in fast beliebiger Genauigkeit ausführen. Die zu verarbeitenden Signaleliegen allerdings in der Regel in Form von kontinuierlichen Größen, häufig in Form vonelektrischen Spannungen oder Strömen vor. Für die digitale Verarbeitung müssen dieseanalogen Signale zuerst mit Hilfe von Analog-Digital-Wandlern umgesetzt werden undnach der Signalverarbeitung meistens wieder durch Digital-Analog-Wandler in analogeForm zurückgebracht werden.In vielen Anwendungen sind die Genauigkeitsanforderungen nicht sehr hoch und man

kann kostengünstige Lösungen mit analogen Schaltungen realisieren, wobei die Genauig-keit, die man mit analogen Schaltungen erreichen kann, bei 0.1 % liegt.Darüber hinaus gibt es Anwendungen bei denen die auftretenden Signalfrequenzen so

hoch sind, dass man sie mit heutiger Technologie nicht in Echtzeit A/D-wandeln kann.Schließlich ist in fast jedem digitalen Signalverarbeitungssystem eine (analoge) Signal-

verarbeitung auf der A/D-Seite und auf der D/A-Seite erforderlich, um das Frequenzbandder Eingangssignale zu begrenzen und um die digitalen Ausgangswerte zu interpolieren.Die analoge Signalverarbeitung wird daher nie ihre Berechtigung verlieren, wenngleich Analoge Schaltungen ha-

ben auch heute noch ih-re Bedeutung, obwohl siein manchen Bereichen zu-nehmend durch digitaleSchaltungen ersetzt wer-den.

ihre wirtschaftliche Bedeutung zu Gunsten der digitalen Verarbeitung abnimmt.Die Entwicklung analoger Schaltungen erfordert sehr viel schaltungstechnische Erfah-

rung. Trotz guter Simulationsmöglichkeiten entscheidet letztlich die physikalische Rea-lisierung, ob eine Schaltung die gewünschten Spezifikationen erfüllt. Bei kompliziertenSchaltungen ist in der Regel immer ein Versuchsaufbau und eine nachfolgende Schal-tungsoptimierung nötig. Es sei hier daran erinnert, das die Modellierung durch R, Lund C nicht genau der physikalischen Wirklichkeit entspricht und dass es keine idealenBauelemente gibt.Dieses Problem tritt bei digitalen Schaltungen nicht auf. Digitale Systeme kann man

sehr exakt modellieren und die Umsetzung in eine Schaltung funktioniert in der Regelauf Anhieb, wenn man von Überlegungsfehlern beim Entwurf absieht.Im weiteren Verlauf werden wir uns, wie schon bei der Netzwerkanalyse, auf ideali-

sierte Schaltungen beschränken und lediglich das prinzipielle Verhalten der Schaltungen

197

198 KAPITEL 17. ANALOGE SIGNALVERARBEITUNG

80

60

40

20

0

20

Mag

nitu

de (d

B)

102

100

102

180

135

90

45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Tiefpass (rad/sec)

150

100

50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

102

100

102

0

45

90

135

180

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Hochpass (rad/sec)

60

50

40

30

20

10

0

Mag

nitu

de (d

B)10

210

010

290

45

0

45

90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Bandpass (rad/sec)

400

300

200

100

0

Mag

nitu

de (d

B)

102

100

102

270

315

360

405

450

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Bandpass (rad/sec)

Abbildung 17.1: Frequenzverhalten von Filtern

darstellen.

17.1 Analoge Filter

Elektrische Netzwerke werden häufig zur Unterdrückung von Frequenzanteilen in SignalenAnaloge Filter sind elek-trische Netzwerke, die be-stimmte Frequenzantei-le von Signalen unter-drücken.

eingesetzt. Entsprechend nennt man Netzwerke Tiefpassfilter / Tiefpässe, wenn sie nurtiefe Frequenzen (ω ∈ [0, ωgrenz]) durchlassen, Hochpassfilter / Hochpässe, wenn sie nurhohe Frequenzen durchlassen (ω ∈ [ωgrenz, ω∞]), Bandpassfilter / Bandpässe, wenn sienur Frequenzen in einem bestimmten Frequenzbereich durchlassen (ω ∈ [ωunten, ωoben])und Bandsperren, wenn sie einen Frequenzbereich unterdrücken ω /∈ [ωunten, ωoben]).Bei einfachen Netzwerken kann man das Übertragungsverhalten leicht aus der Schal-

tungsstruktur erkennen: Kapazitäten verhalten sich bei niedrigen Frequenzen wir einLeerlauf, bei hohen Frequenzen wie ein Kurzschluss, Induktivitäten verhalten sich beiniedrigen Frequenzen wie ein Kurzschluss, bei hohen Frequenzen wie ein Leerlauf.Abbildung 17.1 zeigt das Verhalten der verschiedenen Filtertypen.Analoge Filter werden entweder mit passiven elektrischen Komponenten (R, L, C)

oder mit Operationsverstärkerschaltungen realisiert. Das Übertragungsverhalten der Fil-ter wird durch die Systemfunktion des Filters, d.h. das Verhältnis von Ausgangs- zuEingangsspannung in Abhängigkeit vom komplexen Frequenzparameter s beschrieben.

H(s) =Ua(s)

Ue(s)(17.1)

Die Systemfunktion ist eine gebrochen rationale Funktion1 der Form

1Wir beschränken uns auf LTI-Systeme.

17.1. ANALOGE FILTER 199

Abbildung 17.2: Toleranzschema eines Filters

H(s) =bms

m + bm−1sm−1 + b1s+ b0

ansn + an−1sn−1 + a1s+ a0(17.2)

Ein Beispiel für die Systemfunktion eines Tiefpassfilters wäre Die Filtereigenschaftenwerden durch die Sys-temfunktion eindeutigbestimmt.

H(s) =1

2s3 + 2s2 + 2.5s+ 1(17.3)

Die Koeffi zienten bm, ..., b0; an, ..., a0 der Systemfunktion hängen von den Werten derelektrischen Bauelemente ab und legen damit die Filtereigenschaften fest.Idealerweise möchte man die gewünschten Frequenzkomponenten eines Signals voll- Beim Filterentwurf ist

meistens ein Toleranz-schema vorgegeben, dasaußer dem Durchlass-und Sperrbereich auchdie maximale Durch-lassdämpfung und dieminimale Sperrdämpfungangibt.

ständig durchlassen und die unerwünschten Anteile vollständig unterdrücken. Das istaber praktisch nicht möglich. Die Übertragungseigenschaften von Filtern werden daherdurch ein Toleranzschema festgelegt, das sich aus Qualitätsforderungen der Anwendungergibt. Abbildung 17.2 zeigt das Toleranzschema eines Tiefpassfilters.Die Dämpfung des Signals im Durchlassbereich darf nicht größer als ein maximaler

Die Kennlinie eines idea-len Filters kann nichtpraktisch realisiert wer-den. Sie kann nur durcheine gebrochen ratio-nale Funktion angenä-hert werden.

Wert aD[dB] sein, die Dämpfung im Sperrbereich muss größer als ein minimaler WertaSP [dB] sein. Der Dämpfungsverlauf innerhalb der Toleranzfelder kann einen beliebigenVerlauf annehmen.Aufgabe des Filterentwurfs ist es, eine Übertragungsfunktion H =

~Ua~Uezu finden, die

in das gewünschte Toleranzfeld » passt«. Da bei linearen elektrischen Netzwerken nurgebrochen rationale Funktionen als Übertragungsfunktionen auftreten können, kann diegewünschte und schaltungstechnisch realisierbare Netzwerksfunktion nur eine gebrochenrationale Funktion sein. Aus den Koeffi zienten der Netzwerkfunktion kann man wiederumdie Bauelementewerte der elektrischen Schaltung ermitteln.

17.1.1 Approximation eines idealen Tiefpassfilters

Ein ideales Tiefpassfilter überträgt alle Frequenzkomponenten im Durchlassbereich undunterdrückt alle Frequenzkomponenten im Sperrbereich. Die Systemfunktion und dieDämpfung eines idealen Tiefpasses sind in Abbildung 17.3 dargestellt.Diese ideale Filterkennlinie ist nicht realisierbar, wir müssen daher eine gebrochen ra-

tionale Funktion finden, die den Betrag der Übertragungsfunktion so gut wie gewünschtannähert. Die Betragsbildung ist eine nichtlineare Operation, mit der wir nicht gut rech-nen können. Durch Verwendung der Beziehung

|H(jω)|2 = H(jω)H(−jω) (17.4)

erhalten wir aber eine Darstellung mit der wir gut umgehen können. Es ist vorteilhaft,eine neue Funktion F (jω) = 1/H(jω) einzuführen und F (jω) zu approximieren.


Abbildung 17.3: Frequenzkennline eines idealen TP-Filter

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

|F(j ω)|²

ω

n = 2

n = 7

Abbildung 17.4: Approximation durch Potenzansatz

Potenzapproximation

Wir verwenden für die weitere Rechnung die bekannte Schreibweise in s und wählen denBei der Potenzapproxi-mation wird die idealeFilterkennlinie durch Pa-rabeln angenähert.

folgenden Approximationsansatz

F (s)F (−s) = 1 + s2n für n = 2, 4, 6, ... (17.5)

= 1− s2n für n = 1, 3, 5, ... (17.6)

= 1 + (−1)ns2n (17.7)

Abbildung 17.4 zeigt den Verlauf der Approximationsfunktion für unterschiedliche n.Unser Approximationsansatz mit Parabeln n−ter Ordnung zeigt, dass das ideale Ver-

halten (in Abbildung strichliert gezeichnet) umso besser angenähert wird, je höher dieOrdnung ist: Der Verlauf der Approximationsfunktion wird im Durchlassbereich bei hö-herer Ordnung flacher, der Anstieg im Sperrbereich wird bei höherer Ordnung steiler.Alle Kurven gehen bei ω = 1 —der Grenzfrequenz —durch den Punkt |F (jω)|2 = 2, dieVerstärkung (Dämpfung) in diesem Punkt beträgt daher −3 dB.

Bei der Approximation haben wir das Produkt F (s)F (−s) angenähert, wir brauchenaber nicht das Produkt, sondern die Funktion F (s). Die Zerlegung in die Teile F (s) undF (−s) führen wir mit Hilfe der Nullstellendarstellung durch.

F (s)F (−s) = 1 + (−1)ns2n = 0→ (−1)ns2n = −1 (17.8)

d.h., die Nullstellen liegen auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene. Wir erhal-ten für


(a)

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

(b)

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

1 0 11

0.5

0

0.5

1

1 0 11

0.5

0

0.5

1

Abbildung 17.5: Nullstellen von (a) F (s)F (−s) = 1 + s8 (b) F (s)F (−s) = 1− s6

n = ungerade s0,k = ejkπ/n k = 1, 2, ..., 2nn = gerade s0,k = ej(2k−1)π/2n k = 1, 2, ..., 2n

(17.9)

Abbildung 17.5 zeigt ein Beispiel für n = 4 und n = 3.Das Produkt hat also die Form

F (s)F (−s) = (s− s0,1)(s− s0,2)(s− s0,3)...(s− s0,2n) (17.10)

Die einzelnen Nullstellen (Klammerausdrücke in 17.10) können (aus mathematischerSicht) den Funktionen F (s) und F (−s) beliebig zugeordnet werden, wobei aber zweiauf dem Einheitskreis gegenüberliegende Nullstellen nicht der selben Funktion zugeord-net werden können2 . Die Nullstellen der Hilfsfunktion F (s) sind aber die Polstellen vonH(s). Wir wissen, dass bei stabilen Netzwerken alle Pole in der linken offenen komplexenHalbebene liegen müssen. Daher spalten wir das Produkt F (s)F (−s) so auf, dass wiralle Nullstellen in der linken s−Ebene F (s) zuordnen und alle Nullstellen in der rechtens−Ebene F (−s) zuordnen.Berechnet man daraus die Übertragungsfunktionen H(s) für die zweite bis vierte

Ordnung, so erhält man

H(s) =1

s2 + 1.4142s+ 1(17.11)

H(s) =1

s3 + 2s2 + 2s+ 1(17.12)

H(s) =1

s4 + 2.613s3 + 3.4142s+ 2.6131s+ 1(17.13)

Filter die auf diesem Approximationsansatz beruhen nennt man Potenzfilter (Butter-worth Filter).

Beispiel 68 Die Lage der Polstellen der Übertragungsfunktion H(s) der Potenzfilter be-rechnet die Matlab-Funktion [z,p,k]=buttap(n). Die Darstellung [z,p,k] (Zeros, Po-les, Gain) kann mit Hilfe der Funktion [num,den]=zp2tf(z,p,k) in die Übertragungs-funktion (transfer function) umgerechnet werden, wobei [num] die Koeffi zienten des Zäh-lerpolynoms und [den] die Koeffi zienten des Nennerpolynoms enthält. (Die Umrechnungfunktioniert auch in die andere Richtung. [Z,P,K] = TF2ZP(NUM,DEN) liefert Zeros, Po-les, Gain aus Zähler- und Nennerpolynom der Übertragungsfunktion.

Tschebyscheff-Approximation im Durchlassbereich

Zum Unterschied von der Potenzapproximation, die im Durchlassbereich einen flachen Der Tschebyscheff-Ansatz weist einenschnelleren Übergangvom Durchlass- in denSperrbereich als der Po-tenzansatz auf, der abermit einer (parametrisier-baren) Welligkeit imDurchlassbereich zubezahlen ist.

Verlauf aufweist, zeigt die Approximation durch Tschebyscheff’sche Polynome im Durch-lassbereich ein welliges Verhalten auf, wie Abbildung 17.6 zeigt.

2Eine Nullstelle von F (s) impliziert eine auf dem Einheitskreis gegenüberliegende Nullstelle vonF (−s).


0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Mag

nitu

de (a

bs)

Potenzansatz

Frequency (rad/sec)0 1 2 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Mag

nitu

de (a

bs)

TschebscheffAnsatz

Frequency (rad/sec)

Abbildung 17.6: Frequenzgang Potenz- und Tschebyscheff-Filter 5. Ordnung

Die Welligkeit ist ein Entwurfsparameter und wird so gewählt, dass das gewünsch-te Filterverhalten im Durchlassbereich erreicht wird. Bei der Welligkeit Null geht dasTschebyscheff-Filter in das Potenzfilter über.Filter sollen Durchlass- und Sperrbereich möglichst gut trennen, diese Aufgabe wird

umso besser erfüllt, je steiler der Übergang zwischen Durchlass- und Sperrbereich ist.Bei gleicher Ordnung ist die Flankensteilheit von Tschebyscheff-Filtern größer als dievon Potenzfiltern, wie man in Abbildung 17.6 erkennen kann. Die Flankensteilheit istauch größer, wenn man eine höhere Welligkeit im Durchlassbereich tolerieren kann.Tschebyscheff-Filter sind also frequenzselektiver als Potenzfilter.

Beispiel 69 Die Lage der Polstellen der Übertragungsfunktion H(s) der Tschebyscheff-Filter3 berechnet die Matlab-Funktion [z,p,k]=cheb1ap(n,r). r ist die Welligkeit in dBim Durchlassbereich.

Cauer-Filter

Wird eine Tschebyscheff-Approximation im Durchlass- und im Sperrbereich gewählt,Die Cauer-Filter sinddie frequenzselektivs-ten, weisen aber eine(parametrisierbare) Wel-ligkeit im Durchlass-und im Sperrbereichauf.

dann erhalten wir Cauer- oder elliptische Filter. Bei diesem Approximationsansatz kanndie Welligkeit im Durchlass- und im Sperrbereich voneinander unabhängig gewählt wer-den. Die Cauer-Filter sind die Filter mit der größten Flankensteilheit zwischen Durchlass-und Sperrbereich. Abbildung 17.7 zeigt das Frequenzverhalten eines Cauerfilters mit 1dB Welligkeit im Durchlassbereich und mindestens 60 dB Dämpfung im Sperrbereich inlinearer und doppelt logarithmischer Darstellung. Cauer-Filter haben Übertragungsnull-stellen im Sperrbereich, die man in der linearen Darstellung nicht gut erkennen kann. Inder logarithmischen Darstellung sind die Nullstellen aber gut erkennbar (log 0 = −∞).

Beispiel 70 Die Lage der Pol- und Nullstellen der Übertragungsfunktion H(s) der Cauer-Filter4 berechnet die Matlab-Funktion [z,p,k]=ellipap(n,rp,rs). rp, rs sind die Wel-ligkeiten in dB im Durchlass- und Sperrbereich.

Die Bedeutung der Phase

Abbildung 17.8 zeigt ein Signal bestehend aus drei sinusförmigen Komponenten. DiePhasenverschiebungenvon Frequenzkompo-nenten eines Signalsverursachen im Allgemei-nen eine Verzerrungseiner Kurvenform.

Komponenten in (a) und (b) haben gleiche Frequenz, aber unterschiedliche Phase. Ab-bildung (c) zeigt die Summe der in Abbildung (a) dargestellten Komponenten, Abbildung

3 In der englischsprachigen Literatur wird Tschebyscheff mit Chebyshev transkribiert.4Für das Approximationsproblem hat Wilhelm Cauer eine geschlossene Lösung angegeben, bei der

vollständige elliptische Integrale erster Gattung auftreten. Daher heißen diese Filter in der englischenLiteratur elliptische Filter.


0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Mag

nitu

de (a

bs)

CauerFilter

Frequency (rad/sec) 10 2 10 0120

100

80

60

40

20

0

Mag

nitu

de (d

B)

CauerFilter

Frequency (rad/sec)

Abbildung 17.7: Cauerfilter 5. Ordnung (linear und doppelt logarithmisch)

0 100 2001

0

1(a)

0 100 2001

0

1(c)

0 100 2001

0

1(b)

0 100 2002

0

2(d)

Abbildung 17.8: Sinuskomponenten mit unterschiedlicher Phase


0 200 400 600 8000

0.2

0.4

0.6

0.8

Tscheb 5. Ordnung, 1 dB

200 400 600 800

0.5

1

1.5

0 200 400 600 8000

0.2

0.4

0.6

0.8

Eingangssignal

200 400 600 800

0.5

1

1.5

0 200 400 600 8000

0.2

0.4

0.6

0.8

LinPhase 40.Ordnung, max. flach

200 400 600 800

0.5

1

1.5

Abbildung 17.9: SZeilensignalïn Falschfarbendarstellung

(d) zeigt die Summe der in (b) gezeigten Komponenten. Wie man ohne Zweifel feststel-len kann, unterscheiden sich die Signalformen (c) und (d) deutlich voneinander. Dennochkann das menschliche Ohr keinen Unterschied zwischen (c) und (d) feststellen! Das Ohrkann keine Phasenunterschiede erkennen, die in den Signalen (c) und (d) » kodierte«Klanginformation steckt ausschließlich in der Frequenz. Beim Filtern von Signalen dienur Frequenzinformation enthalten kann das frequenzselektivste Filter —das Cauer-Filter—eingesetzt werden, der Phasengang des Filters ist ohne Bedeutung.Eine völlig unterschiedliche Situation liegt vor, wenn die Information im Zeitbereich,Bei manchen Signalen

(z.B. Fernsehsignale) istihre Kurvenform wich-tig, für andere Signale(z.B. Audiosignale) spieltlediglich ihre Frequenz-zusammensetzung eineRolle.

also in der Kurvenform des Signals kodiert ist. Ein gutes Beispiel dafür ist das Zeilensignaleines Fernsehbildes.Abbildung 17.9 zeigt ein digitales Signal mit einem unerwünschten Störimpuls (a).

(Dem digitalen Signal sind Farbwerte zugeordnet, die unterhalb der Signale dargestelltsind.) Durch Filterung soll der Störimpuls unterdrückt werden, die Streifen sollen abermöglichst scharf abgebildet werden.Bei dieser Aufgabenstellung sind wir im Dilemma: Einerseits möchte man den hoch-

frequenten Störimpuls unterdrücken, man muss also ein Filter entwerfen, das die (hoch-frequenten) Signalkomponenten des Störimpulses unterdrückt. Andererseits möchte manaber die scharf begrenzten Streifen, die ebenfalls hochfrequente Signalkomponenten ent-halten, erhalten und müsste daher diese hochfrequenten Komponenten durchlassen. DieseAufgabenstellung ist also nur mit einem Kompromiss zwischen Störimpulsunterdrückungund Unschärfe der Streifen lösbar.In unserem Beispiel setzen wir für diese Filteraufgabe ein Tschebyscheff-Filter 5.Ist der Phasengang eines

Filters linear, bleibt dieKurvenform des durch-gelassenen Signals erhal-ten.

Ordnung ein (b). Der hochfrequente Störimpuls wird abgeschwächt und ist im Bild fastnicht mehr zu sehen, es tritt allerdings ein starkes Überschwingen des Filters auf, daszu sichtbaren Streifen führt. Besser geeignet ist das Linear-Phasenfilter, bei dem zwardie Farbübergänge etwas unscharf werden, aber kein Überschwingen und damit keineStreifen auftreten. Das Linear-Phasenfilter in unserem Beispiel ist 20. Ordnung und vielaufwändiger als das Tschebyscheff-Filter 5. Ordnung. Die lineare Phase ist dafür verant-wortlich, das die Kurvenform der Signale (die Treppenform in unserem Beispiel) erhaltenbleibt.

Bemerkung 71 Immer dann, wenn die Kodierung der Information in der Kurvenformdes Signals steckt (wie bei Biosignalen oder in Fernsehbildern), ist die Eigenschaft derlinearen Phase wichtig. Wenn die Information in den Frequenzkomponenten steckt (wie


0

0.5

1

Mag

nitu

de (

abs)

0 1 2 3450

360

270

180

90

0

Pha

se (

deg)

TschebyscheffAnsatz

Frequency (rad/sec)

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9M

agni

tude

(ab

s)

0 1 2 3180

135

90

45

0

Pha

se (

deg)

BesselAnsatz

Frequency (rad/sec)

Abbildung 17.10: Bessel- und Tschebyscheff-Tiefpass 5. Ordnung

bei Audiosignalen) ist der Phasenverlauf des Filters von untergeordneter Bedeutung, dadas menschliche Ohr nur wenig von der Phase abhängig ist. Hohe Frequenzselektivität(bei gleicher Ordnung des Filters) erzielt man nur mit Filtern, die keine lineare Phase(linearen Phasengang) haben.

Bessel-Filter

Wenn bei der Filterung der Erhalt der Kurvenform eine wichtige Rolle spielt, muss für Bessel-Filter habeneinen annähernd linea-ren Phasengang, ihreFrequenzselektivitätist aber eher gering.

die Übertragungsfunktion eine linear ansteigende Phase approximiert werden. Mit Hilfevon Bessel-Polynomen kann eine lineare Phase approximiert werden5 .Die Bessel-Polynome sind wir folgt definiert

B1 = x+ 1 (17.14)

B2 = x2 + 3x+ 3 (17.15)

B3 = x3 + 6x2 + 15x+ 15 (17.16)

B4 = x4 + 10x3 + 45x2 + 105x+ 105 (17.17)

Bn = (2n− 1)Bn−1 + x2Bn−2 Bo = 1, B−1 = 1/x (17.18)

Die Übertragungsfunktion von Bessel-Filtern ist

H(s) =b0

Bn(s)=

b0sn + bn−1sn−1 + ...+ b1s+ b0

(17.19)

Beispiel 72 Die Lage der Polstellen der Übertragungsfunktion H(s) der Bessel-Filterberechnet die Matlab-Funktion [z,p,k]=besselap(n).

Abbildung 17.10 zeigt die Bodediagramme eines Tschebyscheff-Filters 5. Ordnung mit1 dB Welligkeit und eines Bessel-Filters 5. Ordnung.Wie man in 17.10 erkennen kann, ist das Phasenverhalten des Bessel-Tiefpasses im

dargestellten Bereich linear, allerdings ist die Flankensteilheit des Besselfilters wesentlichgeringer als die des Tschebyscheff-Filters. Um eine ähnlich hohe Flankensteilheit wie beimTschebyscheff-Filter zu erreichen, müsste ein Besselfilter wesentlich höherer Ordnung —mit höherem Hardwareaufwand —eingesetzt werden.

5 Im Abschnitt über FIR-Filter werden wir digitale Filter kennen lernen, deren Phasenverhalten exaktlinear ist.


0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

T scheyscheff

Frequenzgang

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

Potenz

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

Bessel

0 50 1000

0.5

1

1.5Sprungantwort

T scheyscheff

0 50 1000

0.5

1

1.5

Potenz

0 50 1000

0.5

1

1.5

Bessel

Abbildung 17.11: Frequenzgang und Sprungantworten Filter 5. Ordnung

Vergleich der Filterapproximationen

Das wichtigste Selektionsmerkmal eines Filters ist die Steilheit des Übergangs vomFilter werden mit zu-nehmender Ordnung fre-quenzselektiver.

Durchlass- in den Sperrbereich, die Auskunft über die Selektivität des Filters gibt. Jesteilflankiger das Filter ist, desto besser wird das gewünschte ideale Filter angenähert.Die Flankensteilheit eines Filters hängt von der Ordnung (von der Zahl der verwende-

ten Bauelemente) und von der Approximationsfunktion ab. Je höher die Ordnung, destogrößer die Flankensteilheit. Kein realisierbares Filter ist in der Lage, das Ausgangssignalim Sperrbereich vollständig zu unterdrücken.Die Frequenzselektivität des Cauer-Filters ist am größten, die Steilheit des Über-Filter nach Frequenzselek-

tivität:1. Cauer2. Tschebyscheff3. Potenz4. Bessel

gangs vom Durchlass- in den Sperrbereich ist auch von der Welligkeit im Durchlass-und Sperrbereich abhängig. Je größer die Welligkeit im Durchlassbereich und je kleinerdie Sperrdämpfung, desto größer die Steilheit. Welche Welligkeit im Durchlassbereichakzeptabel ist und wie hoch die minimale Sperrdämpfung sein muss, hängt von der An-wendung ab. Das Tschebyscheff-Filter hat ein ähnliches Verhalten wie das Cauer-Filter,die Dämpfung im Sperrbereich steigt aber monoton an.Das Potenzfilter ist der Sonderfall des Tschebyscheff-Filters für die Welligkeit Null.

Die geringste Selektivität (bei gleicher Filterordnung) weist das Bessel-Filter auf.Beim Phasenverhalten liegen die Verhältnisse genau umgekehrt: höchste Frequenzse-

lektivität bedeutet nichtlinearen Phasengang, was zur Folge hat, dass die Kurvenformder Signale stark verzerrt wird. Zur Erhaltung der Kurvenform sind Filter mit angenä-hert linearem Phasengang —wie beim Besselfilter —erforderlich. Ein gutes Testsignal zurBewertung des Phasenverhaltens liefert der Eingangssprung. Filter mit linearem Phasen-gang zeigen praktisch kein Überschwingen (die Kurvenform wird erhalten).Abbildung 17.11 zeigt Frequenzgang und Sprungantwort von Tschebyscheff-, Potenz-

und Bessel-Filter.Während das Besselfilter kein Überschwingen des Ausgangssignals zeigt, schwingt das

Tschebyscheff-Filter stark und langanhaltend über. Die Reaktion eines Filters auf denSprung — die Verzögerungszeit — hängt von der Ordnung des Filters ab, je höher dieOrdnung, desto größer die Verzögerungszeit.Welcher Filtertyp ausgewählt wird, hängt von der Aufgabenstellung ab. Wir wissen,Signale, die in ihrer Kur-

venform Information tra-gen, müssen mit linear-phasigen Filtern gefil-tert werden.

dass Signale dafür verwendet werden Information zu » kodieren«. Das Kodieren von


Information kann entweder im Zeitbereich oder im Frequenzbereich erfolgen. Wenn dieInformation in der Frequenz steckt, können selektive Filter eingesetzt werden, da dieKurvenform keine Rolle spielt. Steckt die Information aber in der Kurvenform, dannmüssen Filter mit linearer Phase eingesetzt werden, um die Verzerrungen klein zu halten.

17.1.2 Realisierung von analogen Filtern

LC-Filter

Die Approximation des gewünschten Filterverhaltens liefert die Systemfunktion des Fil-ters. Die Netzwerkanalyse liefert eine gebrochen rationale Funktion. Durch Koeffi zien-tenvergleich können die Bauelementewerte bestimmt werden.

Beispiel 73 Die Potenzapproximation für ein Filter 2. Ordnung liefert die Systemfunk-tion H(s) = 1

s2+1.4142s+1 . Die Analyse des folgenden RLC-Netzwerks ergibt die System-

funktion H(s) = 1LCs2+RCs+1 .

Durch Koeffi zientenvergleich erhalten wir darausLC = 1;RC = 1.4142. Daraus können wir die Bauelementewerte6 R,L und C ermitteln.

Für den praktischen Entwurf von Filtern gibt es Filterkataloge und CAE-Programme, Bei der Implementierungvon analogen Filtern sindBauelemene mit den er-rechneten Werten meis-tens nicht erhältlich undmüssen durch Ersatzschal-tungen nachgebildet wer-den.

mit denen die Bauelementewerte ermittelt werden können. Widerstände und Kondensa-toren sind in genormten Werten (E-Reihen) erhältlich. Je feiner die Abstufung zwischenden Bauelementen und je präziser die Werte der Bauelemente sind, desto teurer sind dieKomponenten. Aber auch bei der feinsten erhältlichen Abstufung ist es nur selten möglichKatalog-Bauelemente zu finden, die genau den für eine Filterapproximation nötigen Werthaben. In diesen Fällen muss durch Zusammenschaltung mehrerer Katalog-Bauelementeder gewünschte Wert » eingestellt« werden. Alternativ können auch abstimmbare Bauele-mente (Potentiometer, Drehkondensatoren) verwendet werden, deren Kosten aber deut-lich höher liegen als die Kosten der Festwert-Bauelemente.Induktivitäten sind in der Regel nicht mit den erforderlichen Werten erhältlich und

müssen individuell hergestellt werden. LC-Filter werden heute nur mehr bei höherenFrequenzen eingesetzt.

Aktive Filter

LC-Filter sind bei niedrigen Frequenzen wegen der großen Bauelementewerte schlecht Bei aktiven Filtern wer-den Operationsverstär-ker eingesetzt.

herstellbar. Für die Herstellung von Induktivitäten in niedrigen Frequenzbereichen sindsehr viele Windungen erforderlich, was den ohmschen Widerstand der Induktivität er-höht und damit ein Abweichen vom idealen Bauelementverhalten bewirkt. Auf Grundder technologischen Entwicklung der Halbleitertechnik sind heute aktive Bauelemente(Operationsverstärker, OPV) oft kostengünstiger als passive Bauelemente wie z.B. In-duktivitäten. Wenn es der Frequenzgang der OPVs zulässt, wird man daher bevorzugtaktive Schaltungen einsetzen.Abbildung 17.12 zeigt ein aktives Tiefpassfilter 2. Ordnung.Die Netzwerkanalyse liefert für die Systemfunktion

H(s) =UaUe

= − R2/R1

C1C2R2R3s2 + C1

(R2 +R3 + R2R3

R1

)s+ 1

(17.20)

6Wir haben zwei Gleichungen für drei Unbekannte, können daher den Wert eines Bauelements wählen.Die Wahl erfolgt nach Gesichtspunkten der praktischen Realisierung.


Abbildung 17.12: Aktiver Tiefpass

Die Bauelementewerte können durch Koeffi zientenvergleich mit der gewünschten Ap-proximationsfunktion bestimmt werden. Filter höherer Ordnung werden durch Kaskadie-rung von Filtern 2. Ordnung realisiert. Dazu müssen die Approximationsfunktionen inTerme zweiter Ordnung aufgespaltet werden.Für die praktische Berechnung von aktiven Filtern gibt es Filterkataloge, außerdem

stellen die Hersteller von OPVs Filterentwurfsprogramme zu Verfügung.

17.1.3 Normierung

Wegen der einfacheren Darstellbarkeit werden Netzwerke häufig normiert, da man esIn der normierten Dar-stellung von Netzwer-ken treten meistens Wertein der Größenordnungvon 1 auf.

dann mit Zahlen in der Größenordnung von Eins zu tun hat.Bei der Widerstandsnormierung werden alle Größen des Netzwerks durch einen Be-

zugswiderstand R0 dividiert, man spricht von der Widerstandsnormierung auf R0. Beider Frequenznormierung wird die komplexe Frequenz s durch eine reelle Bezugsfrequenzω0 dividiert. Den Quotienten snorω = s/ω0 bezeichnet man als normierte Frequenz. Inder Regel werden Widerstands- und Frequenznormierung gleichzeitig angewendet.

unnormiert R−normiert ω−normiert R & ω−normiert

Run RnorR = Ru nR0

Rnorω = Run Rnor = Ru nR0

Cun CnorR = Cun .R0 Cnorω = Cun .ω0 Cnor = Cun .R0.ω0

Lun LnorR = Lu nR0

Lnorω = Lun .ω0 Lnor = Lun · R0ω0

17.1.4 Frequenztransformation

Wenn die Systemfunktion eines Tiefpasses bekannt ist, dann kann man mit Hilfe der Fre-Durch eine geeigneteTransformation der derSystemfunktion könnenverschiedene Filtertypenineinander umgewandeltwerden.

quenztransformation einen Hochpass, einen Bandpass und eine Bandsperre erzeugen. DieSchaltungen findet man, indem man Induktivitäten und Kapazitäten des Tiefpassfiltersdurch entsprechende Zweipole ersetzt.Aus dem Tiefpass entsteht ein Hochpass, indem man s→ 1/s setzt:HTP (s) = 1

s3+2s2+2s+1 → HHP (s) = s3

1+2s+2s2+s3

Entsprechend wird aus dem Tiefpass ein Bandpass, indem man

s→ 1

ω0 − ωu

(s+

1

s

)(17.21)

setzt und eine Bandsperre, indem man

s→ ω0 − ωus+ 1

s

(17.22)

setzt. Die Transformationsbeziehungen auf der Bauelementebene sind in Abbildung17.13 gezeigt. B = ω0 − ωu

17.2. NICHTLINEARE ANALOGE SIGNALVERARBEITUNG 209

Abbildung 17.13: Frequenztransformation

17.2 Nichtlineare analoge Signalverarbeitung

Neben der einfachen linearen Signalverarbeitung können durch aktive Schaltungen auchFunktionsnetzwerke für Logarithmus, Exponentialfunktion, Sinus- und Kosinusfunktionrealisiert werden. Durch geeignete Schaltungen kann man auch Analog- Multiplizierenund die Umwandlung von kartesischen in Polarkoordinaten und umgekehrt durchführen.Diese Schaltungen haben heute nur mehr in Sonderfällen Bedeutung.

17.2.1 Signalgleichrichtung

Die Betragsbildung von Signalen lässt sich auf analoge Weise sehr einfach durch Signal- Eine Eigenschaft der Di-ode ist, dass sie Stromnur in einer Richtung» durchlässt«.

gleichrichtung erreichen. Das dafür verwendete Bauelement ist die (Halbleiter)Diode.Der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung an einer Diode ist gegeben durch dieBeziehung

ID = IS

(eUDnUT − 1

)(17.23)

n ≈ 1 bis 2 ist ein Technologieparameter. UT = kT/q ≈ 26 mV, ist die sogenannteTemperaturspannung, IS ≈ 10−12 bis 10−6 nennt man den Sättigungssperrstrom. Wegendes exponentiellen Verhaltens des Diodenstroms und wegen des praktisch vernachläs-sigbaren Stromes bei negativer Diodenspannung kann man für die Diode ein einfachesErsatzschaltbild verwenden: In Durchlassrichtung UD > 0 leitet die Diode und hat einensehr kleinen Widerstand, in Sperrrichtung UD < 0 fließt praktisch kein Strom und dieDiode sperrt. Wenn das einfache Schaltermodell der Diode nicht ausreichend ist, kanndie Diode durch die Ersatzschaltung nach Abbildung 17.14 dargestellt werden.Im Durchlassbereich fällt an der Diode die Spannung UF ab. Für Siliziumdioden

ist UF ≈ 0.7 V, bei Germanium- und Schottky Dioden ist UF ≈ 0.3 V. Bei Betrieb inDurchlassrichtung ist der Schalter geschlossen, in Sperrrichtung ist der Schalter offen. Fürgenauere Modellierung kann noch der Bahnwiderstand RB berücksichtigt werden. DenWert von RB kann man aus Datenblättern entnehmen oder durch Messungen bestimmen.Zur Gleichrichtung (Betragsbildung) verwendet man den in Abbildung 17.15 darge-

stellten Brückengleichrichter.

17.2.2 Komparator

Eine häufig vorkommende Aufgabe der Schaltungstechnik ist der Vergleich von zwei Für den Vergleich zwei-er Spannungen eignetsich ein OPV ohne Ge-genkopplung.

Spannungen. Dafür eignet sich der OPV ohne Gegenkopplung sehr gut. Schaltung undVerhalten sind in Abbildung 17.16 dargestellt.Solange U1 > U2 ist die Differenzspannung positiv und auf Grund der hohen Verstär-

kung des OPV stellt sich der Ausgang auf die maximale Ausgangsspannung (die positive


Abbildung 17.14: Diode und Ersatzschaltung (Strichlierte Linien stehen für ein genaueresModell)

Abbildung 17.15: Gleichrichtung

Abbildung 17.16: Komparator


Versorgungsspannung) ein. Bei U1 < U2 wird die Differenzspannung negativ und es stelltsich die minimale Ausgangsspannung (die negative Versorgungsspannung) ein. Mit Hilfedieser Schaltung kann man auch eine variable Spannung gegen eine feste Referenzspan-nung vergleichen.


Mit Hilfe analoger Schaltungen lassen sich Aufgabenstellungen der Signalverarbeitungim Genauigkeitsbereich von ca. 0.1 % gut und oft kostengünstig lösen.Beim Aufbau von elektrischen Schaltungen werden analoge Bauelemente verwendet,

die einer Fertigungsstreuung unterliegen, analoge Schaltungen müssen daher oft abgegli-chen werden. Die Bauelemente zeigen ein Alterungsverhalten, wodurch sich Schaltungs-eigenschaften im Laufe der Zeit ändern können. Alle diese Probleme können bei derdigitalen Signalverarbeitung vermieden werden. Wie aber in den folgenden Abschnittennoch gezeigt wird, brauchen digitale Realisierungen beim Übergang zwischen analogerund digitaler sowie beim Übergang von digitaler in analoge Signaldarstellung immer ana-loge Filter. Analoge Signalverarbeitung wird daher schon aus diesem Grund immer ihrenPlatz haben.Digitale Signale werden durch Abtastung gewonnen. Mit heutiger Technologie kann

der Audiobereich und Teile des Videobereichs digital verarbeitet werden, bei höherenFrequenzen kann aber nach wie vor nur analoge Schaltungstechnik eingesetzt werden.Wo immer wirtschaftlich und technisch möglich, wird man wegen der überlegenen Eigen-schaften die digitale der analogen Signalverarbeitung vorziehen.


Teil VI

Signalabtastung

213

Kapitel 18

Signalabtastung

Inhalt18.1 Vorteile digitaler Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21618.2 Abtastung im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21618.3 Mathematische Darstellung des Abtastvorgangs . . . . . . . 21718.4 Aliasing und Folding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22018.5 Signalrekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22118.6 Filterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

18.6.1 Interpolationsfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22418.6.2 Antialiasing Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

18.7 Digitalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22518.8 Die zeitdiskrete Fourier-Transformation (DTFT) . . . . . . 22618.9 Abtastung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . 22718.10Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) . . . . . . . . . 22818.11Systeme mit unterschiedlichen Abtastraten (Multirate Fil-

ter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23118.12Zusammenfassung Fouriertransformationen . . . . . . . . . . 23218.13Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Mit Hilfe der analytischen Darstellung gewinnt man wichtige Einblicke in Signale undSysteme. Für numerische Untersuchungen in einem Rechner ist diese Darstellung abernicht geeignet, dazu müssen wir die Signale » diskretisieren«, d.h. wir müssen den kon-tinuierlichen Signalen Proben entnehmen und diese Proben digitalisieren. Durch diesesVorgehen erhalten wir aus einem kontinuierlichen Signal eine Folge von Zahlen und esist einleuchtend, dass der Vergleich der beiden Darstellungen nicht einfach ist.In diesem Kapitel befassen wir uns mit diskreten Signalen. Diskrete Signale entstehen

durch » Entnahme« von Signalproben aus kontinuierlichen Signalen. Bei der Entnahmevon Signalproben - Abtastung genannt - müssen wir entscheiden, (1) in welchen zeitli-chen Abständen die Signalproben entnommen werden und (2) mit welcher Genauigkeitdie Signalproben entnommen werden, d. h. wir müssen eine Quantisierung in Zeit undAmplitude vornehmen.In praktischen Anwendungen wird das kontinuierliche Signal zu den gewünschten Bei der Abtastung wer-

den Signalen zu bestimm-ten Zeitpunkten Probenentnommen. Diese werdenim nächsten Schritt durchAD-Wandler in Zahlenumgesetzt.

Zeitpunkten durch eine Abtast- und Halteschaltung (sample & hold) abgetastet undkonstant gehalten, um der Analog-/Digitalwandler-Schaltung genügend Zeit für die Um-wandlung zu geben. Man kann leicht sehen, dass sich das vom A/D-Wandler erzeugtedigitale Signal, wegen der Quantisierung im Zeit- (Abtastung) und im Amplitudenbereich(A/D-Wandlung), deutlich vom analogen Signal unterscheidet. Dennoch können wir beigeeigneten Quantisierungen eine höhere Qualität der digitalen Signalverarbeitung errei-chen, als das mit analogen Methoden möglich ist.Die Quantisierung führen wir zur Gewinnung eines digitalen Signals durch, um dann

Methoden der digitalen Signalverarbeitung einsetzen zu können. Am Ende der (digitalen)

215

216 KAPITEL 18. SIGNALABTASTUNG

Signalverarbeitungskette ist in der Regel eine Rückumwandlung des digitalen Signals inein kontinuierliches Signal notwendig, z. B. um ein Sprachsignal über den Lautsprechereines CD-Spielers wiederzugeben.In diesem Zusammenhang stellt sich die Frage, ob es möglich ist, ein kontinuierliches

Signal in ein diskretes und wieder zurück in ein kontinuierliches zu wandeln, ohne dasshörbare Qualitätsverluste bei den Signalen auftreten. Die tägliche Erfahrung am Beispielvon Audio-CDs, MP3-Musik, Mobiltelefonen lehrt uns, dass die Umwandlung möglichist und wir wollen in den nächsten Abschnitten untersuchen, welche Bedingungen dabeieinzuhalten sind.

18.1 Vorteile digitaler Signale

Bandbegrenzte analoge Signale (alle praktischen Signale sind bandbegrenzt) können indigitale Signale umgewandelt werden. Die Voraussetzung dafür ist die Einhaltung des Ab-tasttheorems (bei der Zeitquantisierung) und eine den Qualitätsforderungen angemesseneAuflösung (bei der Amplitudenquantisierung). Bei der Umwandlung analoger Signale indigitale Signale entstehen erhebliche Datenmengen, weshalb häufig Datenkompressioneingesetzt wird. Bei einer Stereo-Audio-CD wird eine Abtastfrequenz von 44.1 kHz ver-wendet, die Auflösung beträgt 16 bit, womit sich eine Datenrate von 44.1 [kHz] × 16[bit] × 2 [Kanäle] = 1.4 Mb/s ergibt, bei der Super-Audio-CD (Direct Stream Digital)beträgt die Datenrate 2.8224 Mb/s, bei der Audio-DVD bis zu 192 × 24 × 2 = 9.216Mb/s.Mit den heute zur Verfügung stehenden elektronischen Schaltkreisen kann digitale

Signalverarbeitung in Echtzeit im Audiobereich, aber nur teilweise im Videobereich be-werkstelligt werden.Die digitale Signalverarbeitung bietet eine Reihe von Vorteilen, deshalb wird sie, wennDigitale Signale lassen

sich im Allgemeinen vieleinfacher verarbeiten,übertragen, speichern undvervielfältigen als analogeSignale.

technisch möglich, der analogen Verarbeitung vorgezogen.

1. Digitale Signale sind weniger störanfällig als analoge, da nur die Signalzustände Nullund Eins existieren und sich die Signale eindeutig rekonstruieren lassen, solange dieStörungen unterhalb der Erkennungspegel für Null und Eins liegen.

2. Digitale Signale können bei Störungen auf Übertragungsstrecken ohne Qualitäts-verlust regeneriert werden und über lange Distanzen übertragen werden.

3. Digitale Signale lassen sich einfacher kodieren (Kompression oder Sicherheit) undverarbeiten als analoge Signale.

4. Die Vervielfältigung digitaler Daten ist sehr einfach. Analoge Daten (Filme, Ton-bänder) verlieren bei der Vervielfältigung Qualität durch unvermeidbare Störsigna-le.

5. Das Speichern von digitalen Signalen ist einfacher und kostengünstiger als das vonanalogen Signalen.

6. Digitale Hardware lässt sich einfacher und kostengünstiger bauen als analoge Kom-ponenten. Die Kosten digitaler Hardware nehmen laufend durch die Weiterentwick-lung der Chiptechnologie ab.

18.2 Abtastung im Zeitbereich

Wir gehen von einem kontinuierlichen Signal aus und wählen der Einfachheit halber dieFunktion

s(t) = A cos(ωt+ ϕ) (18.1)

18.3. MATHEMATISCHE DARSTELLUNG DES ABTASTVORGANGS 217

0 1 2 3 4 5

2

0

2

Zeit tA

mpl

itude

0 1 2 3 4 5

2

0

2

Index

Am

plitu

de

0 1 2 3 4 5

2

0

2

Index

Am

plitu

de

Abbildung 18.1: Signalabtastung

Das (zeit)diskrete1 Signal erhalten wird durch Entnahme von Proben in äquidistantenPunkten, deren Zeitabstand Ts sei.

s[n] = s(nTs) −∞ < n <∞ (18.2)

Als Ergebnis erhalten wir eine Folge von Werten des kontinuierlichen Signals. Die Ein abgetastetes Signalist nichts mehr als eineFolge von Zahlen.Die Zeitinformationgeht bei der Abtastungverloren.

Zahlenwerte der Folge können beliebige Werte annehmen, sind also noch nicht digitalisiert(quantisiert). Aus unserem Ausgangssignal wird dann

s[n] = s(nTs) = A cos(ωnTs + ϕ) = A cos(ωn+ ϕ) (18.3)

Die Größe ω bezeichnet man als normalisierte Kreisfrequenz ω = ωTs. Sie gibt denWinkelunterschied (in rad) zwischen zwei Signalproben an.

Bemerkung 74 Durch die Abtastung geht die Zeitinformation des kontinuierlichen Si-gnals verloren. Schreibt man die Abtastwerte auf eine Liste, kann man nicht erkennen,welche Zeit zwischen den Abtastwerten vergeht. Erst bei Kenntnis des AbtastschrittesTs kann eine zeitrichtige Rekonstruktion vorgenommen werden. Diese Tatsache verwen-det man z.B. bei Synthesizern: Man speichert die Werte der Sinusfunktion von 0 − 90

(die restlichen Werte auf 360 lassen sich daraus leicht errechnen) und » schickt« dieseWerte mit unterschiedlicher Geschwindigkeit an einen Digital/Analogwandler, um Töneunterschiedlicher Frequenzen zu erzeugen.Die Dimensionslosigkeit der Folge zeigt sich natürlich auch im mathematischen Aus-druck: Die Kreisfrequenz ω hat die Dimension [Zeit−1], die Zeit Ts hat die Dimension[Zeit], ωTs ist daher dimensionslos.

Abbildung 18.1 zeigt den Zusammenhang zwischen kontinuierlichen und diskretenSignalen. Offensichtlich stellt das Signal mit dichterer Abtastfolge das kontinuierlicheSignal optisch besser dar als das Signal mit weniger dichter Abtastung. Aber je mehrAbtastwerte entnommen werden, desto mehr Daten müssen verarbeitet und gespeichertwerden. Man ist daher daran interessiert möglichst wenige Abtastungen vornehmen zumüssen, will aber das kontinuierliche Signal wieder eindeutig rekonstruieren können.

18.3 Mathematische Darstellung des Abtastvorgangs

Die Abtastung eines Signals f(t) kann dargestellt werden, indem man f(t) mit einer Mathematisch kanndie Abtastung einesSignale durch Multipli-kation mit einer Folgevon Einheitsimpulsenmodelliert werden.

Folge von Einheitsimpulsen δ0T (t) im Abstand von Ts Sekunden (dem Abtastabstand)

1Zur Unterscheidung verwenden wir für kontinuierliche Signale runde Klammern, für diskrete Signaleeckige Klammern.


multipliziert. (Die Abtastung mit δ0−Impulsen ist ein theoretisches Konzept, das inelektronischen Schaltungen nur näherungsweise realisiert werden kann.)

δ0T (t) =∑k

δ0(t− kTs)

fS(t) = f(t)δ0T (t) =∑k

f(t)δ0(t− kTs) (18.4)

Die Impulsfolge δ0T (t) ist eine periodische Funktion und kann daher in eine Fourier-reihe zerlegt werden

δ0T (t) =

∞∑k=−∞

Dkejkωst ωs =

2π

Ts(18.5)

Dk =1

Ts

∫ Ts/2

−Ts/2δ0T (t)e−jkωstdt (18.6)

Die Berechnung dieses Integrals liefert Dk = 1Tsund wir erhalten daher

δ0T (t) =1

Ts

∞∑k=−∞

ejkωst (18.7)

Die Gleichung (18.7) stellt aber nichts anderes dar, als Spektrallinien im Abstand vonω0 mit den Amplituden 1/Ts.

In reeller Schreibweise der Gleichung (18.7) erhalten wir

δ0T (t) =1

Ts[1 + 2 cosωst+ 2 cos 2ωst+ 2 cos 3ωst+ ... (18.8)

+2 cos kωst] (k →∞)

(Die Sinusanteile heben sich gegenseitig aufgrund der ungeraden Symmetrie des Sinusauf. sin(k · jωst) = − sin(−k · jωst) ) Aus Gleichung (18.4) wird

fS(t) = f(t)δ0T (t) =1

Ts[f(t)+2f(t) cosωst+2f(t) cos 2ωst+2f(t) cos 3ωst+ ...] (18.9)

Das Spektrum Fs(ω) des abgestasteten Signals fS(t) ermitteln wir durch die Berech-nung der Fouriertransformierten von fS(t).

f(t)⇔ F (ω) (18.10)

f(t) cosωst⇔1

2[F (ω − ωs) + F (ω + ωs)] (18.11)

Transformieren wir nun die Terme von Gleichung (18.9) vom Zeitbereich in den Fre-quenzbereich, so erhalten wir: F (ω);F (ω−2ωs)+F (ω+2ωs);F (ω−3ωs)+F (ω+3ωs); ...

Fs(ω) =1

Ts

∞∑n=−∞

F (ω − nωs) (18.12)

Das Spektrum des abgetasteten Signals setzt sich periodisch im Abstand ωs fort.Das Spektrum eines abge-tasteten Signals setzt sichaus dem periodisch fort-gesetzten Spektrum desOriginalsignals zusam-men, wobei die Periodeder Abtastfrequenz ent-spricht.

Abbildung 18.2 stellt diesen Zusammenhang grafisch dar. (Die Bandbreite erstreckt sichvon −B bis +B beträgt also 2B. Da wir F (ω) darstellen und ω = 2πf wird daraus2π · 2B.)Das Spektrum F (ω) des Orginalsignals f(t) ist im Spektrum des abgetasteten Si-

gnals fs(t) enthalten und kann aus Fs(ω) durch » Herausschneiden« mit einem idealenTiefpassfilter fehlerfrei wiederhergestellt werden.

18.3. MATHEMATISCHE DARSTELLUNG DES ABTASTVORGANGS 219

Abbildung 18.2: Periodisches Spektrum

Abbildung 18.3: Überlappen von Spektren

Aus Abbildung 18.2 kann man erkennen, dass die periodische Wiederholung des Spek-trums im Abstand von ωs erfolgt. Je größer ωs ist, desto weiter rücken die Spektrenauseinander. Wird ωs aber kleiner, dann rücken die Spektren näher aneinander, wennωs = 2π 2B, dann stoßen die Spektren aneinander. Ist ωs < 2π 2B, dann überlappendie Spektren. Abbildung 18.3 stellt diesen Zusammenhang grafisch dar.Wie man aus Abbildung 18.3 erkennen kann, lassen sich die Spektren für ωs > 2B

leicht separieren, für ωs = 2B kann eine Trennung nur mit einem rechteckigen (idealen)Filter erfolgen. Derartige Filter lassen sich aber nicht realisieren. Für den Fall dass ωs <2B lassen sich die Spektren nicht mehr trennen.Daraus folgt das Shannon’sche Abtasttheorem Damit ein kontinuier-

liches, bandbegrenztesSignal mit einer Minimal-frequenz von 0 Hz undeiner Maximalfrequenzfmax nach der Abtastungfehlerfrei rekonstruiertwerden kann, muss dieAbtastfrequenz größer2× f max sein..

Satz 75 Ein kontinuierliches Signal s(t), das keine Frequenzkomponenten größer alsfmax enthält, kann exakt aus einer Folge von Proben s[n] = s(nTs) rekonstruiert werden,wenn die Abtastfrequenz fs = 1/Ts größer als 2× fmax ist.

Das Abtasttheorem gilt nur für bandbegrenzte Signale, d.h. für Signale die sinusför-mige Komponenten mit einer obersten Frequenz enthalten (fmax 6= ∞). Sprachsignale


Abbildung 18.4: Aliasing

enthalten Frequenzkomponenten bis 4 kHz, Musiksignale Frequenzkomponenten bis 20kHz. Die Abtastfrequenz von Audio-CDs beträgt 44.1 kHz, liegt also knapp über denerforderlichen 2 × 20 kHz.Die niedrigste Abtastfrequenz, um ein Signal fehlerfrei rekonstruieren zu können, wird

Nyquist-Frequenz genannt.

18.4 Aliasing und Folding

Bei Verletzung des Abtasttheorems überlagen sich die abgetasteten Spektren und Spek-Aliasing und Folding trittauf, wenn das Abtasttheo-rem verletzt wurde.

tralkomponenten des Nachbarspektrums werden in das » Nutzspektrum« verschoben.Wir zeigen die Verletzung des Abtasttheorems an zwei Beispielen:

Beispiel 76 Ein sinusförmiges Signal der Frequenz f = 100 Hz werde mit fs = 90Bei Aliasing ist die Fre-quenz des falsch rekon-struierten Signals posi-tiv. Die Abtastfrequenzwar kleiner als die größteFrequenzkomponente desOriginalsignals.

Hz abgetastet. Das 100 Hz-Signal hat im Frequenzbereich Spektrallinien bei ±100 Hz.Durch die Abtastung entstehen Spektrallinien der periodischen Fortsetzung (ω ± nωs) :100, 190, 280, 370, .., 10,−80,−170, ...Es wird aber auch die negative Frequenz periodisch fortgesetzt: −100,−10, 80, 170, ...,−190,−280,−370.Wir sehen an diesem Beispiel, dass negative Frequenzkomponenten eine wichtige Rollespielen. Das abgetastete Signal wird nun durch Filterung rekonstruiert, die Filterband-breite beträgt ±fs/2 = ±45 Hz. Innerhalb dieses Bandes » findet« das Filter das Ali-assignal mit den Frequenzen ±10 Hz, das abgetastete 100 Hz-Signal wird also falsch als10 Hz-Signal rekonstruiert, da das Abtasttheorem verletzt wurde! Abbildung 18.4 stelltdie Zusammenhänge grafisch dar.

Beispiel 77 Als zweites Beispiel betrachten wir unser sinusförmiges 100 Hz-Signal, tas-Bei Folding ist dieFrequenz des falschrekonstruierten Signalsnegativ. Die Abtastfre-quenz war zwar größerals die größte Fre-quenzkomponente desOriginalsignals, jedochnicht großgenug.

ten es aber diesmal mit 110 Hz ab. Wir erhalten die Spektralkomponenten: 100, 210, 320, ...,−10,−120,−230, ...,sowie die Spektralkomponenten −100, 10, 120, 230, 340, ...,−210,−320, ...Die Rekonstruktion des Orginalsignals aus dem abgetasten Signal durch Filterung mit±fs/2 = ±55 Hz liefert wie im vorigen Beispiel wieder die Signalkomponenten ∓10Hz. Wir sehen aber, dass die Signalkomponenten im Vergleich zum vorherigen Beispielgespiegelt sind! Diese Verletzung des Abtasttheorems nennt man Folding.

Beispiel 78 Ein besonders einprägsames Beispiel für die Verletzung des AbtasttheoremsAliasing und Folding kannman bei rotierenden Rä-dern im Film beobachten.

tritt bei Filmen auf. Filme sind Folgen von Einzelbildern, die mit einer Rate von 25 Bil-dern/Sekunde aufgezeichnet werden. Das Auge kann die Einzelbilder nicht mehr auflösenund es entsteht der Eindruck von kontinuierlichen Bewegungen. In der Regel sind dieseBewegungen langsam gegen die Bildfrequenz, das Abtasttheorem wird eingehalten. Am

18.5. SIGNALREKONSTRUKTION 221

Abbildung 18.5: Folding

Abbildung 18.6: Drehung eines Speichenrads

Beispiel von Kutschenrädern kann man aber die Verletzung des Abtasttheorems deutlichbeobachten: Eine Kutsche bewegt sich, man sieht aber, dass sich die Speichen der Kut-sche nur ganz langsam in die Bewegungsrichtung der Kutsche drehen, während sich dieKutsche offensichtlich schneller bewegt. Es kann sogar der Fall eintreten, das sich dieKutsche vorwärts bewegt, während die Räder scheinbar stehen oder sich nach rückwärtsdrehen.

Abbildung 18.6 liefert die Erklärung für dieses Phänomen. Wir betrachten die strichliertgezeichnete » Speiche«. Das Rad dreht sich und die Kamera nimmt 25 Bilder/Sekundeauf. Wenn sich die betrachtete Speiche zwischen zwei Bildern um einen geringen Winkeldreht, dann kann man im Film die korrekte Drehung des Rades beobachten (Abtasttheo-rem eingehalten). Das Rad kann sich aber viel schneller drehen und zwar, zwischen denAbtastungen mehrmals um die eigene Achse (Abtasttheorem verletzt).Wenn sich die Speiche mehrmals um die eigene Achse dreht und die Bilder aber immerdann genommen werden, wenn sich die Speiche genau n−mal gedreht hat, dann steht dasRad scheinbar.Wenn sich die Speiche zwar mehrmals um die eigene Achse dreht, die Bilder aber im-mer dann genommen werden, wenn der Winkel der Speiche n2π+α ist, dann dreht sichdas Rad scheinbar langsamer. Wir beobachten den Aliasingeffekt wie in unserem vorigemBeispiel, wo aus einem 100 Hz-Signal ein 10 Hz-Signal wurde. Aus einer Raddrehung vonvielen Umdrehungen/Sekunde wird eine Raddrehung aus wenigen Umdrehungen/Sekunde.Schließlich tritt noch der Fall auf, dass sich die Speiche mehrmals um die eigene Achsedreht, das Bild aber zu einem Zeitpunkt aufgenommen wird, wo die Speiche etwas vor dervollen Umdrehung steht n2π−α. In diesem Fall dreht sich das Rad scheinbar rückwärts—also mit negativer Frequenz —und wir beobachten den Effekt des Foldings.

18.5 Signalrekonstruktion

Abgetastete Signale nehmen an den Abtastpunkten Proben aus kontinuierlichen Signalen. Ein kontinuierliches Si-gnal kann durch In-terpolation zwischen denAbtastwerten aus einemdiskreten Signal erzeugtwerden.

Für die Wiederherstellung eines kontinuierlichen Signals müssen daher die » Lücken«


Abbildung 18.7: Rekonstruktion mit Rechteckimpulsen

Abbildung 18.8: Rekonstruktion mit Dreieckpulsen

zwischen den Abtastwerten interpoliert werden.Die einfachste Form der Interpolation erhält man, indem man den Abtastwert zwi-

schen den Lücken konstant hält. Diese Form der Interpolation kann man auch darstellen,indem man sich das rekonstruierte Signal als eine Folge von gewichteten Rechteckimpul-sen vorstellt. Abbildung 18.7 stellt den Zusammenhang grafisch dar.Die Interpolation mit Rechteckimpulsen führt nur zu einer groben Annäherung an

das ursprüngliche Signal. Durch dichteres Abtasten kann man eine bessere Anpassungerreichen, allerdings zum Preis einer höheren Datenmenge.Eine bessere Form der Interpolation ist die lineare Interpolation zwischen den Ab-

tastpunkten. Die lineare Interpolation kann durch Überlagerung von gewichteten Drei-eckimpulsen dargestellt werden, wie in Abbildung 18.8 gezeigt.Mit Hilfe von Rechteck- und Dreieckimpulsen stellen wir die Interpolation im Zeit-Ein kontinuierliches Si-

gnal kann aus einem dis-kreten Signal auch durch(analoge) Filterung er-zeugt werden.

bereich dar. Bei der mathematischen Darstellung des Abtastvorgangs in (18.12) undAbbildung 18.2 sehen wir, dass das Spektrum des abgetasteten Signals die periodischeFortsetzung des Spektrums des kontinuierlichen Signals ist. Die Rekonstruktion des konti-nuierlichen Signals muss also fehlerfrei durch Filterung mit einem idealen Tiefpass-Filtermöglich sein. Wir rekonstruieren das Signal also nicht durch Interpolation im Zeitbereich,sondern durch Filterung im Frequenzbereich, wie in Abbildung 18.9 dargestellt.

Abbildung 18.9: Interpolation durch ideales Filter

18.5. SIGNALREKONSTRUKTION 223

00

H( ω

)ω

0

0

1

h(t)

Zeit t

2 πB

1/2B

2πB

T

4/2B3/2B2/2B4/2B 3/2B 2/2B 1/2B

Abbildung 18.10: Impulsantwort des idealen Filters

Wir fragen uns nun, welcher Interpolation im Zeitbereich die ideale Filterung imFrequenzbereich entspricht und schicken dazu das abgestastete Signal durch ein idealesFilter. Ein ideales Tiefpass-Filter lässt im Durchlassbereich alle Frequenzen ungehindertdurch, während es im Sperrbereich alle Frequenzen vollständig unterdrückt. Wir berech-nen zunächst die Antwort des Filters auf einen Einheitsimpuls. Die Antwort des Filtersauf die Impulsfolge fs(t) berechnen wir dann durch Überlagerung der Antworten auf diegewichteten, zeitlich versetzten Einheitsimpulse.Die Impulsantwort eines Filters erhält man durch inverse Fouriertransformation des Die Impulsantwort des

idealen Filters bekommtman durch inverse Fou-riertransformation derRechteckfunktion (dieSystemfunktion einesidealen Filters ist einRechteck).

Frequenzgangs H(ω) ⇒ h(t). Die Bandbreite des idealen Filters ergibt sich aus derNyquist-Frequenz Fs = 2B, das Abtastintervall ist dann T = 1/2B. Der Frequenzgangdes idealen Tiefpassfilters ist

H(ω) =

T |ω| < 2πB0 |ω| ≥ 2πB

(18.13)

h(t) =1

2π

∫ 2πB

−2πB

Tejωtdω = 2BT sinc (2πBt) (18.14)

h(t) = sinc (2πBt) da bei der Nyquistfrequnez 2BT = 1 (18.15)

Wir treffen wieder auf die Si-Funktion. Während bei der Fouriertransformierten desRechteckimpulses die Si-Funktion im Frequenzbereich auftritt, tritt bei der Fouriertran-formierten des idealen Filters die Si-Funktion im Zeitbereich auf. Abbildung 18.10 zeigtFrequenzgang und Impulsantwort eines idealen Filters2 .

Aus Abbildung 18.10 können wir sehen, dass h(t) = 0 bei allen Vielfachen der Nyquist-Abtastpunkte t = ± n

2B Null ist, mit Ausnahme von t = 0.Da das ideale Filter das ursprüngliche, kontinuierliche Signal fehlerfrei herstellt, muss Die Filterung mit einem

idealen Tiefpass ent-spricht mathematisch derFaltung mit der sinc-Funktion.

auch die Überlagerung der Impulsantworten des idealen Filters das Ausgangssignal feh-lerfrei herstellen

f(t) =∑k

f(kT )h(t− kT ) =∑k

f(kT )sinc (2πBt− kπ) (18.16)

Während die Rekonstruktion des Signal durch Rechteck- und Dreiecksimpulse nureine ungenaue Wiedergewinnung des Signal ermöglichte, stellt die Rekonstruktion durchüberlagerte und gewichtete sinc-Pulse das Signal fehlerfrei her. Abbildung 18.11 zeigt dieSignalrekonstruktion (Wegen der besseren Übersichtlichkeit sind die Interpolationspulsenur für jeden zweiten Abtastpunkt gezeichnet.).

2Wie wir sehen, ist die Impulsantwort eines idealen Filters nicht-kausal, d.h. das Filter antwortetbereits vor dem Anlegen des Impulses. Nichtkausale Filter sind nicht realisierbar!


0 1 2 3 4 51

0.5

0

0.5

1

Zeit t

f(t)

Abbildung 18.11: Rekonstruktion durch sinc-Pulse

18.6 Filterung

18.6.1 Interpolationsfilter

Ideale (analoge) Tiefpass-Filter sind nicht-kausal und daher nicht realisierbar. Man kannEin ideales Filter istnicht-kausal und dahernicht realisierbar.

zwar steilflankige analoge Filter mit hoher Dämpfung im Sperrbereich bauen, es ist abernicht möglich Filter zu realisieren, die die Signale im gesamten Sperrbereich vollständigunterdrücken. Eine praktische Lösung dieses Problems wird dadurch gefunden, dass dasSignal mit Abtastfrequenzen größer als der Nyquist-Frequenz abgetastet wird. Damitentstehen Lücken im periodisch fortgesetzten Spektrum und die Anforderungen an dieFlankensteilheit des Filters werden geringer. Man erreicht eine praktisch ausreichendeUnterdrückung, aber nie die theoretische geforderte vollständige Ausblendung des Sperr-bereichs.

18.6.2 Antialiasing Filter

Eine weiteres Problem besteht darin, dass jedes praktische Signal von endlicher LängeEin Signal, das gleich-zeitig zeitbegrenzt undbandbegrenzt ist, gibtes nicht.

ist. Wie wir von der Fouriertransformation wissen, hat ein Signal endlicher Länge einunendlich breites Spektrum.

Bemerkung 79 Ein Signal kann nicht gleichzeitig zeitbegrenzt und bandbegrenzt sein!Ist das Signal zeitbegrenzt, hat es also eine endliche Dauer, dann erstreckt sich das Spek-trum von −∞ bis ∞ und ist daher nicht bandbegrenzt. Ist das Signal bandbegrenzt, dannmuss sich das Signal über eine unendliche Dauer im Zeitbereich erstrecken, ist also nichtzeitbegrenzt.

Aus diesem Grund überlappen sich benachbarte Spektren, wie Abbildung 18.12 zeigt.Um das Problem der überlappenden Spektren praktisch in den Griff zu bekommenAntialiasing Filter be-

grenzen das Band vonSignalen vor der Abtas-tung. Es geht daher immerum analoge Filter.

setzt man (analoge) Antialiasing-Filter ein, die die Bandbreite begrenzen und damit dieÜberlappung verhindern. Die Antialiasing Filterung muss vor der Abtastung erfolgen,da ja erst die Abtastung das Spektrum periodisch fortsetzt. Abbildung 18.13 zeigt dasBlockdiagramm eines digitalen Signalverarbeitungssystems.Das Interpolationsfilter ist das (analoge) Tiefpassfilter nach dem DA/Wandler, das

die Werte zwischen den Abtastpunkten im Zeitbereich interpoliert. Im Frequenzbereichentspricht diese Interpolation dem Herausschneiden des gewünschten Spektrums aus demperiodisch fortgesetzten Spektrum.

18.7. DIGITALISIERUNG 225

Abbildung 18.12: Überlappung benachbarter Spektren

Abbildung 18.13: Blockdiagramm digitale Signalverarbeitung

18.7 Digitalisierung

Nach der Abtastung haben die Abtastwerte noch immer kontinuierliche Werte. Erst durchdie Umwandlung der kontinuierlichen Werte in diskrete Werte entstehen digitale (quan-tisierte) Signale. In praktischen Fällen geschieht das durch Analog-/Digital-Wandlung.

Die Auflösung des Analog-/Digital-Wandlers wird nach Qualitätskriterien ausgewählt. Bei der Digitalisierungwird die Amplitude derabgetasteten Signalwertequatisiert.

Für Sprachsignale reicht eine Auflösung von 8 bit aus, bei Musiksignalen auf einer Audio-CD beträgt die Auflösung 16 bit. Je geringer die Auflösung des A/D-Wandlers ist, destostärker weicht das digitale Signal vom analogen Signal ab.Abbildung 18.14 zeigt das Fehlersignal für niedrigere und höhere Auflösung. Beim

Abhören hört man einen » reinen« Ton, der von einem rauschartigen Störsignal überlagertist, man spricht daher vom Quantisierungsrauschen. Je höher die Auflösung des A/D-Wandler desto geringer ist der zu hörende Rauschanteil.Das digitale Signal weicht vom kontinuierlichen, analogen Wert ab, wobei der dabei

entstehende Fehler von der Auflösung des Wandlers abhängt. Die Amplitude des Quan-tisierungsfehler ist maximal ∆, wobei ∆ = ± 1

2LSB der Auflösung des A/D-Wandlersentspricht. Wir können zwar nichts über die Kurvenform des Fehlersignals sagen, sehrwohl aber über die Leistung, die im Fehlersignal steckt und die sich als Rauschen3 be-merkbar macht. Zur Abschätzung des durch die Quantisierung entstehenden Rauschensbetrachten wir ein Signal s(t), in dem alle Signalamplituden gleich wahrscheinlich auf-treten. Die mittlere Leistung des Fehlersignals ist dann

e2eff =

1

∆

∫ ∆/2

−∆/2

s2ds =∆2

12(18.17)

Das Quantisierungsrauschen hat den Effektivwert von Die Differenz zwischendem ursprünglichen Si-gnal und dem quantisier-ten Signal wird Quan-tisierungsrauschen ge-nannt und hat die Ampli-tude maximal 1/2 LSB.

eeff =∆√12

=LSB√

12≈ 0.29LSB (18.18)

3Rauschsignale sind unregelmäßige Signale die z.B. beim Geräusch eines Wasserfalls, beim Klatschenoder beim elektrischen Strom durch unregelmäßige Teilchenbewegung auftreten.


0 20 40 601

0

1

Zeit t

f(t)

0 20 40 601

0

1

Zeit t

f(t)

0 20 40 601

0

1

Zeit tF(

t)

0 20 40 601

0

1

Zeit t

F(t)

0 20 40 600.5

0

0.5Fehler: ∆ = f(t) F(t)

Zeit t

∆

0 20 40 605

0

5x 10

10 Fehler: ∆ = f(t) F(t)

Zeit t

∆

Abbildung 18.14: Amplitudenquantisierung

Bei einem 8-bit Wandler beträgt das effektive Rauschen 0.29/256 oder 1/900 des Wer-tebereichs, bei 12 bit 0.29/4096 oder 1/14000 des Wertebereichs, bei 16 bit 0.29/65536oder 1/226000 des Wertebereichs. Jedes analoge Signal enthält aus physikalischen Grün-den bereits einen Rauschanteil, die Quantisierung erhöht diesen Rauschanteil in Abhän-gigkeit von der Auflösung des Wandlers!Diese Angaben gelten nur für gleichverteilte Quantisierungsfehler und z.B. nicht, wenn

sich ein analoges Signal über einen langen Zeitabschnitt nur so gering ändert, dass derdigitale Wert konstant bleibt. In derartigen Fällen äußert sich der Quantisierungsfehlernicht als Zufallsrauschen, sondern wie ein (störender) Begrenzungseffekt. Zur subjektivenVerbesserung eines derartigen digitalen Signals wird dem analogen Signal ein kleinerRauschanteil (mit dem Amplitudenbereich von 2 LSB Spitze-Spitze) hinzugefügt, derbewirkt, dass das digitale Signal nicht konstant bleibt sondern zwischen den benachbartenWerten umschaltet. Dadurch wird der analoge Signalwert im Mittel genauer erreichtund das Signal mit dem hinzugefügten Rauschen wird bei Tonsignalen als natürlicherempfunden als der Begrenzungseffekt. Dieses Verfahren wird Dithering genannt und istirreversibel.

18.8 Die zeitdiskrete Fourier-Transformation (DTFT)

Die zeitdiskrete Fourier-Transformation (DTFT) einer Folge x[n] ist definiertDie DTFT ist die Fou-riertransformationeines abgetasteten(zeitdiskreten) Signals.Das Spektrum ist da-bei kontinuierlich undperiodisch.

X(ejω) =

∞∑n=∞

x[n]e−jωn (18.19)

Man kann es sich auch als einen Spezialfall der kontinuierlichen Fouriertransformationvorstellen, wo die zu transformierende Funktion aus gewichteten Dirac-Impulsen bei nbesteht und sonst überall Null ist.In der Polardarstellung X(ejω) =

∣∣X(ejω)∣∣ ejϕ(ω) können wir ϕ(ω) durch ϕ(ω) + 2πk,

k...ganzzahlig ersetzen, ohne das sich X(ejω) ändert. Da das Argument von X(ejω) (diekomplexe Exponentialfunktion ejω) selber eine kontinuierliche periodische Funktion vonω ist, muss das Spektrum der DTFT auch kontinuierlich und periodisch fortgesetzt sein.

Beispiel 80 Wir berechnen die DTFT von

x[n] = 0.5nδ−1[n]

18.9. ABTASTUNG IM FREQUENZBEREICH 227

10 5 0 5 100.5

1

1.5

2

Betrag

10 5 0 5 101

0.5

0

0.5

1

Phase

Abbildung 18.15: DTFT von x[n] = 0.5nδ−1[n]

und erhalten

X(ejω) =

∞∑n=0

0.5ne−jωn =∞∑n=0

(0.5e−jω

)n=

1

1− 0.5e−jω

Abbildung 18.15 zeigt, dass das Betrags- und Phasenspektrum der abklingenden Sprung-funktion x[n] = 0.5nδ−1[n]. Wir sehen, dass das Spektrum X(ejω) einer Folge von Ab-tastwerten x[n] eine kontinuierliche Funktion ist, die mit Hilfe eines Digitalrechners nichtdarstellbar ist, da man ja ∞ viele Punkte für die Darstellung bräuchte. Wir können abernur eine endliche Zahl von Punkten speichern, müssen daher das Spektrum im Frequenz-bereich abtasten.

18.9 Abtastung im Frequenzbereich

Bei der Abtastung im Zeitbereich haben wir gezeigt, dass ein bandbegrenztes Signal Um ein Spektrum imRechner darstellen zukönnen, muss es ebenfallsabgetastet werden.

der Bandbreite B Hz aus den Abtastwerten wiederhergestellt werden kann, wenn dieAbtastwerte mit einer Abtastfrequenz von Fs > 2B entnommen werden.Wir untersuchen nun den Abtastvorgang im Frequenzbereich. Während wir es beim

Abtasttheorem im Zeitbereich mit bandbegrenzten Signalen zu tun hatten, haben wir esbeim Abtasttheorem im Frequenzbereich mit zeitbegrenzten Signalen zu tun. Wir zeigen,dass das Spektrum F (ω) eines zeitbegrenzten Signals der Länge τ aus den Abtastwertenvon F (ω), die mit einer Rate von R > τ Proben pro Hertz entnommen werden, rekon-struiert werden kann. Abbildung (18.16) gibt eine Übersicht über die Zusammenhänge4 .

F (ω) =

∫ ∞−∞

f(t)e−jωtdt =

∫ τ

0


Wir rekonstruieren nun fP (t), ein periodisches Signal, das aus f(t) durch periodischeFortsetzung im Abstand T0 gebildet wird. Periodische Signale werden durch eine Fourier-Reihe dargestellt:

fP (t) =

∞∑k=−∞

Dkejkω0t ω0 =

2π

T0τ < T0 (18.21)

4F (ω) ist in der Regel eine komplexwertige Funktion, die hier der Einfachheit halber reell dargestelltwird.


Abbildung 18.16: Abtastung im Frequenzbereich

Dk =1

T0

∫ T0

0

f(t)e−jkω0tdt =1

T0

∫ τ

0

f(t)e−jkω0tdt (18.22)

Setzen wir (18.20) in (18.22) ein, erhalten wir

Dk =1

T0F (kω0) (18.23)

Dieses Ergebnis bedeutet, dass die Koeffi zienten der Fourier-Reihe für fP (t) gleichDurch die inverse Fourier-transformation eines ab-getasteten Spektrumsentsteht ein periodischesZeitsignal.

den mit 1/T0 multiplizierten Abtastwerten des Spektrums F (ω) im Abstand von ω0 sind.Solange τ < T0 gibt es keine Überlappung und f(t) kann eindeutig aus fP (t) rekonstruiertwerden. Das impliziert, dass auch F (ω) aus seinen Abtastwerten rekonstruiert werdenkann, wenn für die Abtastung die Bedingung F0 = (1/T0) , T0 ≥ τ eingehalten wird (F0 istdabei der Abstand zwischen zwei Abtastwerten auf der Frequenzachse). Wir können daskontinuierliche Spektrum F (ω) aus den Abtastwerten von F (ω) rekonstruieren, wenn dieProben in Abständen nicht größer als F0 = 1/τ Hz entnommen werden. Die Abtastrateim Frequenzbereich ist alsoDas Spektrum eines

zeitbegrenzten Si-gnals, das mit einergenügend hohen Abta-strate abgetastet wird,lässt sich eindeutig wie-der von den Abtastwertenrekonstruieren.

R =1

F0≥ τ Abtastwerte/Hz.

Ähnlich der Interpolation im Zeitbereich ergibt sich im Frequenzbereich der Zusam-menhang

F (ω) =∑n

F (kω0)sinc(ωτ

2− kπ

)ω0 =

2π

τ(18.24)

18.10 Die diskrete Fourier-Transformation (DFT)

Die DFT ist ursprünglich aus der Berechnung der Fourier-Koeffi zienten und der Fourier-Transformation auf digitalen Rechnern entstanden und ist eines der wichtigsten Werk-zeuge der Signalverarbeitung.Signale liegen in der Regel nicht in Form von mathematischen Funktionen vor, dieBei der DFT wird sowohl

im Zeitbereich als auch imFrequenzbereich nur mitendlich vielen diskre-ten Werten gerechnet.

Fouriertransformation kann daher nur bei einfachen, idealisierten Signalen analytischberechnet werden. Für praktische Signale muss die Berechnung des Spektrums numerischerfolgen, es können daher sowohl im Zeitbereich als auch im Frequenzbereich nur endlichviele diskrete Werte berechnet werden.

• Für die Berechnung der DFT gehen wir von zeitbegrenzten Signalen f(t) der Längeτ aus (Abbildung 18.17(a)). Zeitbegrenzte Signale haben ein Spektrum F (ω) dasnicht unendlich breit ist (Abbildung 18.17(b)).

18.10. DIE DISKRETE FOURIER-TRANSFORMATION (DFT) 229

Abbildung 18.17: Abtastung im Zeit- und Frequenzbereich

• Aus dem zeitbegrenzten Signal gewinnen wir das diskrete Signal fs(t) = f [n] durchAbtastung von f(t) im Abstand T = 1/Fs, wie in Abbildung 18.17(c) gezeigt. Durchdie Abtastung wird das Spektrum periodisch mit der Periodendauer Fs = 1/T undwir erhalten das Spektrum Fs(ω), wie man in Abbildung 18.17(d) sieht.

• Die Abtastung des Spektrums im Abstand F0 = (1/T0) nach Abbildung 18.17(f)führt zur periodischen Fortsetzung des abgetasteten Zeitsignals, mit der PeriodeT0, wie Abbildung 18.17(e) dargestellt.

Aus Abbildung 18.17 sehen wir, dass ein abgetastetes und periodisch wiederholtes Die DFT rechnet nurmit periodischen Zeit-signalen und periodi-schen Spektren, obwohlman immer nur eine Peri-ode betrachtet.

Zeitsignal zu einem abgetasteten periodischen Spektrum führt. Bei der Berechnung derDFT haben wir es also immer mit periodischen Folgen zu tun, wobei wir die Werte immernur für eine Periode berechnen müssen. (Weil wir wissen, dass sie sich weiter nur mehrwiederholen,).

Bemerkung 81 Beachten Sie, dass es keine mit dem Computer berechenbare Fourier-transformation für endliche digitale Signale gibt. Ist das diskrete Signal zeitbegrenzt, dannentsteht ein kontinuierliches periodisches Spektrum (DTFT), das (vielleicht) analytischberechnet werden kann, aber nicht in einem Rechner gespeichert werden kann. Das Spek-trum kann nur durch Entnahme von Proben (aus einer Periode) gespeichert werden, wasbewirkt, dass die Zeitfunktion periodisch fortgesetzt wird.Mit anderen Worten: Die DFT kennt nur periodische Zeitfunktionen und periodischeSpektren!

Aus Abbildung 18.17 finden wir noch den wichtigen Zusammenhang, dass die ZahlN0 der Proben pro Periode im Zeitbereich identisch mit N

′

0, der Zahl der Proben imFrequenzbereich pro Periode ist, da

N0 =T0

TN′

0 =FsF0

(18.25)

Da aber

Fs =1

Tund F0 =

1

T0(18.26)

erhalten wir


N0 =T0

T=FsF0

= N′

0 (18.27)

Aus Abbildung 18.17(d,f) sehen wir, dass sich die Spektren durch die periodischeDie Anzahl der Probendes Zeitsignals ist gleichder Anzahl der Proben desSpektrums.

Fortsetzung überlappen. Diese Überlappung kann durch Erhöhen der AbtastfrequenzFs verringert, aber für zeitbegrenzte Signale f(t) nie vollständig eliminiert werden, daderen Spektrum F (ω) unendlich breit ist. Hätten wir ein bandbegrenztes Signal, trätezwar keine Überlappung im Frequenzbereich auf, aber die periodische Fortsetzung imZeitbereich durch die Abtastung im Frequenzbereich würde zu einer Überlappung imZeitbereich führen.Die bei der numerischen Berechnung der direkten oder inversen FouriertransformationDie DFT weist einen Feh-

ler auf, der sich durchErhöhen der Abtastfre-quenz verringern lässt,aber nie verschwindenkann.

auftretenden Fehler können wir durch Erhöhen der Abtastfrequenz zwar klein machen,sie lassen sich aber nie vollständig eliminieren!Für die diskrete Fouriertransformation erhalten wir die Transformationspaare

f [n] =1

N0

N0−1∑k=0

F [k]ejkΩ0n (18.28)

F [k] =

N0−1∑n=0

f [n]e−jkΩ0n (18.29)

Ω0 = ωoT =2π

N0(18.30)

In der Literatur ist häufig eine kompaktere Schreibweise in Gebrauch, bei der mandie Ähnlichkeit zu den anderen Fourieroperationen nicht mehr erkennen kann, aber dieSymmetrie zwischen DFT und IDFT deutlich wird.

f [n] =1

N0

N0−1∑k=0

F [k]w−kn (18.31)

F [k] =

N0−1∑n=0

f [n]wkn (18.32)

w = e−j2πN0 (18.33)

Schreibt man die Transformationsbeziehungen in Matrixdarstellung an, so erhält man

F [0]F [1]F [2]...

F [N − 1]

︸︷︷︸

F

=

1 1 1 . . . 11 w1 w2 . . . w(N−1)

1 w2 w4 . . . w2(N−1)

......

.... . .

...1 w(N−1) w2(N−1) . . . w(N−1)(N−1)

︸︷︷︸

W

·

f [1]f [2]f [3]...

f [N − 1]

︸︷︷︸

f

(18.34)

oder

F = W · f (18.35)

und

f [1]f [2]f [3]...

f [N − 1]

=1

N

1 1 1 . . . 11 w−1 w−2 . . . w−(N−1)

1 w−2 w−4 . . . w−2(N−1)

......

.... . .

...1 w−(N−1) w−2(N−1) . . . w−(N−1)(N−1)

·

F [0]F [1]F [2]...

F [N − 1]

(18.36)

18.11. SYSTEMEMIT UNTERSCHIEDLICHEN ABTASTRATEN (MULTIRATE FILTER)231

oder

f = W−1 · F =1

NW∗ · F (18.37)

Aus der Matrixdarstellung kann man die Symmetrie der Operationen erkennen. Bei Die FFT ist ein effi zi-enter Algorithmus zurberechnung der DFT.

der Berechnung der (I)DFT durch Matrixmultiplikation werden viele Rechenschrittemehrfach ausgeführt und die Zahl der (komplexen) Rechenoperationen ist ∼ N2. DurchAusnützen der Symmetrie lässt sich der Rechenaufwand mit Hilfe der schnellen Fourier-transformation (FFT) auf N logN reduzieren.Es ist überraschend, dass die Rechenvorschrift für DFT und IDFT, abgesehen vom

Vorzeichen und vom Skalierungsfaktor N , vollständig symmetrisch ist, obwohl den Trans-formationen sehr unterschiedliche Überlegungen zu Grunde liegen.Signale enthalten nach der Abtastung keine Zeitinformation, sondern sind lediglich

Folgen von Zahlen. Auch im Frequenzbereich haben wir es daher lediglich mit Folgen vonZahlen zu tun und man stellt daher das Spektrum über der Zahlenfolge von 0 bis N/2dar5 . In praktischen Anwendungen ist der Frequenzbereich bekannt, man wählt daher fürdie Darstellung eine » Frequenzachse«, die dem Problem angepasst ist, wobei folgendeDarstellungen gebräuchlich sind

0 ≤ k ≤ N/2 0 ≤ f ≤ 0.5 0 ≤ ω ≤ π 0 ≤ f ≤ fabtast/2 (18.38)

Welche Darstellung gewählt wurde, kann in der Regel dem Zusammenhang entnom-men werden.

18.11 Systememit unterschiedlichen Abtastraten (Mul-tirate Filter)

Durch Verwendung unterschiedlicher Datenraten können die Vorteile analoger und digi- Bei diesen Systemen wer-den die guten Eigenschaf-ten von analogen unddigitalen Filtern kombi-niert.

taler Systeme kombiniert werden. Wir zeigen die Vorteile am Beispiel der Bearbeitungeines Sprachsignal der Bandbreite 100 Hz bis 3 kHz. Zur Bandbegrenzung setzen wir eineinfaches (und damit kostengünstiges, analoges) RC-Filter ein, tasten das Signal aber mit64 kS/s ab (Oversampling). Das Spektrum des abgetasteten Signals erstreckt sich bis 32kHz, das Band von 3 - 32 kHz ist aber bedeutungslos und kann daher mit einem digitalenTiefpassfilter der Grenzfrequenz 3 kHz unterdrückt werden. Der höhere Aufwand durchdas Oversampling und die Realisierung des digitalen Tiefpassfilters kann mit heutigerTechnologie kostengünstiger verwirklicht werden als ein selektives analoges Antialiasing-Filter. Schließlich kann die Abtastfrequenz des digitalen Signals von 64 kS/s auf 8 kS/sreduziert werden, indem sieben von acht Abtastwerten entfernt werden. Dieser Vorgangwird Dezimation genannt.Diese Art der Signalverarbeitung (einfaches und billiges analoges RC-Filter, scharfes,

aber dennoch einfach und günstig zu realisierendes, digitales Filter) erzielt die selbenErgebnisse wir ein scharfes aber aufwändiges Analogfilter.Unterschiedliche Abtastraten werden auch bei der Interpolation eingesetzt. In ein

Datensignal werden Nullen eingefügt. Z.B. wird aus einem analogen 3 kHz Signal das mit8 kS/s abgetastet wurde durch Einfügen von sieben Nullen nach jedem Abtastwert ein 64kS/s-Signal. Dieses Signal enthält das 3 kHz Sprachsignal und periodische Fortsetzungendes Spektrums bis 32 kHz. Durch einfach zu realisierende digitale Filterung werden dieFrequenzkomponenten über 3 kHz entfernt, durch D/A-Wandlung ein analoges Signalerzeugt, das mit einem einfachen analogen RC-Interpolationsfilter geglättet wird.Durch Multirate-Filter können (teure) analoge Komponenten durch digitale Signal- Eine höhere Abtastrate

verringert die Anforde-rungen an Antialiasing-und Interpolationsfilter.Die hohe Abtastrate istoft kostengünstiger zu rea-lisieren als leistungsfähigeanaloge Filter.

verarbeitung ersetzt werden. Darüber hinaus kann die Genauigkeit analoger Signalverar-beitung (1 %) bei digitaler Verarbeitung auf den Quantisierungsfehler verbessert werden.

5Aus Symmetriegründen reicht die Darstellung von 0 bis N/2, obwohl N Punkte berechnet werden.


18.12 Zusammenfassung Fouriertransformationen

Wir fassen die Transformationsbeziehungen zwischen Zeit- und Frequenzbereich zusam-men. Abbildung 18.18 zeigt die zugehörigen Signalformen im Zeitbereich. Man nenntF (ω) die (direkte) Fouriertransformation von f(t) und f(t) die inverse Fouriertransfor-mation von F (ω).

Abbildung 18.18: Fourierreihe (FR), Fouriertransformation (FT), Zeitdiskrete FT(DTFT), Diskrete FT (DFT)

Fourierreihe (FR)Kontinuierliche, periodische (unendliche) Zeitfunktion f(t)⇔ (un)endlich breites Li-

nienspektrum F [k].

f(t) =

+∞∑k=−∞

F [k]ejkω0t (18.39)

F [k] =1

T

T∫0

f(t)e−jkω0tdt (18.40)

Fouriertransformation (FT)Aperiodische, kontinuierliche Zeitfunktion f(t)⇔ unendliches kontinuierliches Spek-

trum F (ω).

f(t) =1

2π

∞∫−∞


F (ω) =

∞∫−∞


Zeitdiskrete Fouriertransformation (DTFT)Aperiodische, diskrete Zeitfunktion x[n] ⇔ periodisches kontinuierliches Spektrum

X(ejω).

x[n] =1

2π

π∫−π

X(ejω)ejωndω (18.43)

X(ejω) =

∞∑n=∞

x[n]e−jωn (18.44)

Diskrete Fouriertransformation (DFT)Periodische, diskrete Zeitfunktion f [n]⇔ diskretes, periodisches Spektrum F [k].


f [n] =1

N

N−1∑k=0

F [k]ejkω0n ω0 = ωT =2π

N(18.45)

F [k] =

N−1∑n=0

f [n]e−jkω0n (18.46)

Die Transformationsbeziehungen stellen den Zusammenhang zwischen Zeit- und Fre-quenzbereich her und unterscheiden sich lediglich dadurch, dass bei kontinuierlichenFunktionen Integrale, bei diskreten Funktionen Summen auftreten.Bei der Zerlegung einer periodischen, kontinuierlichen Funktion ist die Annäherung

nichtstetiger Funktionen zwar so genau, dass die Energiedifferenz zwischen Orginal- undFouriersignal gegen Null geht, es tritt aber das Gibbs’sche Phänomen auf. Bei disketenSignalen ist die Fourierzerlegung exakt, d.h. es tritt keine Differenz zwischen Orginal-und Fourierfolge auf.Signale können periodisch oder aperiodisch, kontinuierlich oder diskret sein. Je nach

Signaltyp verwenden wir die Fourierreihe (periodisch/kontinuierlich), die Fouriertransfor-mation (aperiodisch/kontinuierlich), die Zeitdiskrete Fouriertransformation (aperiodisch/diskret)oder die Diskrete Fouriertransformation (periodisch/diskret).In allen Fällen sind die Aufbaufunktionen Sinusfunktionen bzw. -folgen, die sich von

−∞ bis ∞ erstrecken. Kontinuierliche, aperiodische Signale brauchen unendlich vieleFrequenzkomponenten zur Darstellung der Zeitfunktion.Es gibt keine Fourierdarstellung für diskrete Signale endlicher Länge. Man behilft

sich dadurch, dass man das zeitbegrenzte Signal mit Nullen fortsetzt oder indem mandie Zeitfunktion periodisch fortsetzt. Im Fall des Auffüllens mit Nullen gelangt man zurDTFT, die zur Darstellung der Zeitfunktion eine unendliche Zahl von Sinuskomponentenbenötigt, was bedeutet, dass es unmöglich ist, die DTFT mit einem Rechneralgorith-mus zu berechnen. Die einzige Möglichkeit die uns zur Verfügung steht, ist die DFT,weil Rechner nur mit diskreten Signalen endlicher Länge, die periodisch fortgesetzt sind,rechnen können.


In unserer Umwelt treten in der Regel zeitund amplituden-kontinuierliche Signale auf.Beispiele dafür sind Temperatur-, Druck-, akustische, ... Signale. Die Verarbeitung dieserSignale kann in » analoger« Form durch Messwertaufnehmer, Verstärker, analoge Filter,... erfolgen.Analoge Systeme beruhen in ihrer Wirkungsweise auf Massen und elektrischen Ladun-gen und den zwischen ihnen wirksamen physikalischen Kräften. Die Beschreibung bzw.mathematische Modellierung derartiger Systeme erfolgt mit den bekannten Gesetzen derPhysik.

Beispiel 82 Wir betrachten die Schallplatte als Vertreter eines analogen Systems. DieSchallschwingungen eines Mikrofons werden in spiralförmigen, zum Mittelpunkt der Schall-platte verlaufenden Rillen gespeichert. Bei der Wiedergabe wird die Nadel des Tonab-nehmers analog zur Schallamplitude bewegt. Diese mechanische Bewegung wird in einelektrisches Signal umgewandelt, verstärkt und über Lausprecher wiedergegeben.

Im Gegensatz zu analogen Systemen stehen digitale Systeme, die auf abstrakten Grö-ßen — Zahlen — und der Manipulation dieser Zahlen beruhen. (Die Manipulation derZahlen wird letztlich durch physikalische (analoge) Prozesse bewerkstelligt, die digitalabstrahiert werden.)Analoge Systeme können großim Vergleich zu digitalen Systemen sein (Vinylschall-

platte <=> MP3-Spieler) und mehr Energie verbrauchen. Analoge Systeme könnenschwer modifiziert werden, um sie für andere Aufgaben einsetzbar zu machen. Analoge


Systeme sind auf Grund ihrer physikalischen Arbeitsweise anfällig für Fehler und Störun-gen. Dennoch ist der weit überwiegende Teil unserer Systeme analog. Wo es technologischund wirtschaftlich möglich ist, werden digitale Systeme eingesetzt.Digitale Systeme sind aus dem Bedürfnis entstanden, analoge Systeme mit Digital-

rechnern zu untersuchen und erst etwa 50 Jahre alt. Bei der numerischen Berechnungvon analogen Systemen müssen auf Grund der Begrenzungen der Digitalrechner (Spei-chermöglichkeit und Zahlendarstellung) die Signale im Zeit- und im Amplitudenbereichquantisiert werden. Die Quantisierung im Amplitudenbereich wird nach Qualitätsge-sichtspunkten durchgeführt, je feiner die Auflösung desto geringer ist die Abweichungvom Orginalsignal bzw. das Quantisierungsrauschen. Die Quantisierung im Zeitbereichmuss so gewählt werden, dass das abgetastete Signal am Ende einer Verarbeitungskettewieder in ein analoges Signal umgewandelt werden kann. Die Abtastfrequenz wird durchdas Abtasttheorem festgelegt und muss größer als die doppelte maximale im Signal ent-haltene Frequenzkomponente sein. Es lassen sich also nur bandbegrenzte Signale nachAbtastung rekonstruieren. Diese Bedingung trifft aber für alle technischen Signale zu.Die mathematische Darstellung von Signalen führt in eine abstrakte Welt mit Eigen-

schaften, die nicht immer leicht verständlich sind.

• Nur Signale unendlicher Dauer haben eine eindeutige Frequenz (Spektrallinie)

• Zeitbegrenzte Signale haben ein unendlich breites (kontinuierliches) Spektrum.

• Die Frequenz eines zeitbegrenzten Signals lässt sich nicht exakt bestimmen und ist» unscharf«.

• Durch die Abtastung im Zeitbereich (Darstellung auf Digitalrechnern) wird dasSpektrum des abgetasteten Signals periodisch.

• Durch die Abtastung im Frequenzbereich (Darstellung auf Digitalrechnern) wirddie Zeitfunktion periodisch.

• Mit anderen Worten: Auf Digitalrechnern lassen sich weder zeitbegrenzte nochbandbegrenzte Signale darstellen, sondern nur periodische Signale. Begrenzung inZeit und Frequenz entsteht dadurch, dass man nur eine Periode betrachtet.

• Die digitale (numerische) Darstellung von analogen Signalen ist nur mit begrenzterGenauigkeit möglich. Die Genauigkeit kann aber so hoch gewählt werden, dass keinemerkbare Abweichung des digitalen vom analogen Signals feststellbar ist.

Kapitel 19

AD- und DA-Umsetzer

Inhalt19.1 Abtast-Halte-Glieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

19.2 AD-Umsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

19.2.1 Parallelverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

19.2.2 Wägeverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

19.2.3 Zählverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

19.3 Digital-Analog-Umsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238


Analog-Digital-Umsetzer (Analog to Digital Converter, ADC) erzeugen aus einer elek- AD- und DA- Umset-zer verwandeln elektri-sche Spannungen in Zah-len und Zahlen in elektri-sche Spannungen.

trischen Spannung eine Zahl, die zu dieser Spannung proportional ist. Umgekehrt erzeu-gen Digital-Analog-Umsetzer (Digital to Analog Converter, DAC) aus einer Zahl eineAusgangsspannung, die zur Zahl proportional ist.ADCs und DACs werden heute als Komponenten geliefert oder sind Subsysteme

von digitalen Signalprozessoren. Diese Komponenten sind monolithisch integrierte Bau-elemente, die für ihre Funktion teilweise externe Bauelemente benötigen. Es gibt eineVielzahl von ADCs und DACs, die für spezielle Aufgaben optimiert sind. Die folgen-de Darstellung gibt einen Überblick über die Funktionsweise und die wichtigsten heuteerreichbaren technischen Daten.

19.1 Abtast-Halte-Glieder

Wir werden noch sehen, dass die Abtastung von Signalen nach den Regeln des Abtast- Abtast-Halte-Glieder(Sample and Hold)speichern den Momen-tenwert einer zeitlichveränderlichen Spannung.

theorems erfolgen muss. Zu jedem Abtastzeitpunkt muss eine analoge Probe des Signalsgenommen werden und in eine Zahl umgesetzt werden. Da sich Signale, bzw. die sierealisierenden elektrischen Spannungen, zeitlich ändern, muss der Abtastwert währendder Wandlung gespeichert —gehalten —werden (Sample and Hold, SH). Die Speicherungmuss analog erfolgen und die in Abbildung 19.1 gezeigte Prinzipschaltung erläutert dieFunktionsweise.

Abbildung 19.1: Abtast- und Halteschaltung

235

236 KAPITEL 19. AD- UND DA-UMSETZER

Abbildung 19.2: Blockdiagramm 2bit-Parallelwandler

Der OP1 und OP2 haben hochohmige Eingänge und belasten daher weder die Ein-gangsspannungsquelle noch den Speicher(Halte)-Kondensator. Bei geschlossenem Schal-ter S folgt die Spannung an C der Eingangsspannung. Wird der Schalter geöffnet, dannbleibt die Ladung —und damit die Spannung —am Kondensator konstant, da der nach-folgende OP2 den Kondensator wegen seines hochohmigen Eingangs nicht entlädt.1 . DerSchalter S wird als Halbleiterschalter realisiert, um eine hohe Schaltgeschwindigkeit zuerreichen. Die Aufladezeit des Kondensators wird durch das Produkt aus dem Schal-terwiderstand und der Kapazität tE ∼ RC bestimmt. Die Spannung am Kondensatorsteigt exponentiell nach der Beziehung uc(t) = U(1 − e− 1

RC t) an. Damit uC auf 0.1 %genau ist, beträgt die Aufladezeit tE = 6.9×RC. Für schnelle Einstellzeiten muss diesesProdukt möglichst klein sein. Da sich die Schalterwiderstände von Halbleiterschaltern imgeschlossenen Zustand aus technologischen Gründen nicht beliebig klein machen lassen,muss für kleine Einstellzeiten C klein gemacht werden. Damit wird aber auch die gespei-cherte Ladung klein und das nichtideale Verhalten von OP2 wirkt sich stärker aus. Mitheutiger Technologie sind Einstellzeiten auf 0.1% unter 10 ns zu erreichen.

19.2 AD-Umsetzer

Je nach erforderlicher Wandelzeit und Auflösung werden unterschiedliche Verfahren ein-gesetzt.

19.2.1 Parallelverfahren

Mit Parallelverfahren können Umsetzfrequenzen von 10 − 1000 MHz bei Genauigkei-Beim (schnellen aberaufwendigen) Par-allelverfahren wirddie Eingangsspannunggleichzeitig mit jedermöglichen Ausgangsspan-nung verglichen.

ten von 4 − 10 bit erreicht werden. Bei Parallelverfahren wird die Eingangsspannunggleichzeitig mit mehreren abgestuften Referenzspannungen mit Hilfe von Komparatorenverglichen. Abbildung 19.2 zeigt den prinzipiellen Aufbau.Die Spannungsteilerkette R − 2R − 2R − R bildet die Referenzspannungen Uref ×

( 16 ,

36 ,

56 ), die die Quantisierung der Eingangsspannung festlegen. Liegt z.B. eine Ein-

gangsspannung Uref/3 an, dann werden die Ausgänge der Komparatoren K1 = 1,K2 =0,K3 = 0 in den Speicherelementen gespeichert und im nachfolgenden Dekoder in diegewünschte Zahlendarstellung umgewandelt. In unserem Beispiel ist die Auflösung desWandlers 2 bit.Der Aufwand des Parallelverfahrens ist sehr hoch, da man für eine N−stufige Auflö-

sung (dld(N)e bit) N − 1 Komparatoren benötigt.

1Praktische Operationsverstärker weichen vom idealen Verhalten ab, die vorgestellten Überlegungenerklären daher nur das prinzipielle Verhalten.

19.2. AD-UMSETZER 237

Abbildung 19.3: Blockdiagramm Wandler nach Zählverfahren

19.2.2 Wägeverfahren

Das Wägeverfahren kommt mit nur einem Komparator aus, benötigt allerdings eine län-gere Wandelzeit, da Binärstellen nacheinander ermittelt werden. Abbildung 19.3 zeigtden prinzipiellen Aufbau der Schaltung.Die Funktionsweise der Schaltung ist wie folgt: Zum Messbeginn wird der Inhalt des Beim Wägeverfahren

wird eine binäre Su-che nach dem Wertder Eingangsspannungdurchgeführt.

Successive Approximation Registers auf Null gesetzt. Dann wird das höchste Bit imSAR auf Eins gesetzt. Über den DAC wird dieser Wert, der der halben Referenzspan-nung entspricht, an den Komparator gelegt und geprüft, ob die Eingangsspannung größerals Uref/2 ist. Wenn ja, bleibt das höchste Bit gesetzt, wenn nein, wird es auf Null ge-setzt. Im nächsten Schritt wird der Vorgang mit dem zweithöchsten Bit wiederholt. DerVergleichsvorgang wird solange wiederholt, bis alle Bits durchlaufen sind.2 Der Umwand-lungsvorgang wird also schrittweise, für jedes Bit ein Umwandlungsschritt, gemacht unddauert daher im Vergleich zum Parallelverfahren länger, benötigt aber nur einen Kompa-rator. SAR-ADCs erreichen Umwandlungsfrequenzen bis zu 300 MHz bei Wortbreitenbis zu 8 bit. Bei höherer Auflösung ändern sich die Wandlungszeiten etwa proportionalmit der Auflösung.

19.2.3 Zählverfahren

ADCs auf Basis des Zählverfahren verlangen den geringsten Schaltungsaufwand von allendrei Verfahren, benötigen aber Umwandlungszeiten die zwischen 0.001 − 1 sek liegenund sind daher nur für langsam veränderliche Signale geeignet, erreichen aber eine hoheAuflösung. Abbildung 19.4 zeigt den prinzipiellen Schaltungsaufbau.Vor Beginn der Messung ist der Schalter S1 offen, der Schalter S2 geschlossen. Die

Ausgangsspannung des OP , der als Integrator beschaltet ist, ist daher Null. Der Zählerist auf Null gesetzt. Zu Beginn der Messung wird S1 an den Messeingang gelegt und die(positiv angenommene) Eingangsspannung wird integriert. Der Ausgang das OP wirdnegativ, der Komparatorausgang wird Eins und gibt über das &−Glied den Takteingangan den Zähler. Der Zähler läuft t1 bis zum Überlauf. Wenn der Zähler überläuft wird S1an die (negative) Referenzspannung gelegt, die integriert wird, wodurch die Ausgangs-spannung Ui ansteigt. Die Integration der Referenzspannung ist nach t2 beendet, wenn Uibis auf Null angestiegen ist, der Komparator auf Null geht und damit über das &−Gliedden Zähler stoppt. Der Zählerstand ist gleich der Zahl der Taktimpulse während t2 unddamit proportional der Eingangsspannung, da

− 1

RCUet1 −

1

RCUref t2 = 0 (19.1)

Ist die Dauer eines Zählimpulses gleich T , dann beträgt die Zeitdauer t1 = (Zmax Beim Zählverfahrenwird gemessen, wie großdas Integral der Ein-gangsspannung über einfixes Zeitintervall ist.

+1)T , wobei Zmax die höchste Zahl des Zählers ist. Die Zeitdauer t2 = ZT , wobei Z die

2Dieser Vorgang entspricht dem Wägen mit einer Gleichgewichtswaage und Meßgewichten, daher derName Wägeverfahren. Algorithmisch gesehen entspricht dieses Verfahren der binären Suche.


Abbildung 19.4: Blockdiagramm Dual-Slope-Wandler

Zahl der Zählimpulse während der Integrationsphase der Referenzspannung ist. Setzenwir ein dann wird

− 1

RCUe(Zmax + 1)T − 1

RCUrefZT = 0 (19.2)

Wir sehen, dass sich RC und T aus dieser Gleichung kürzt und dass wir den folgendenZusammenhang erhalten

Z = − UeUref

(Zmax + 1) (19.3)

Wir sehen, dass in die Messung weder die Zeitkonstante RC, noch die Taktfrequenz1/T eingehen. Es muss lediglich sichergestellt werden, dass die Taktfrequenz währendder Messung konstant bleibt. Das lässt sich mit vergleichsweise einfachen Taktgenera-toren erreichen. Die Genauigkeit der Messung hängt allerdings von der Genauigkeit derReferenzspannung Uref ab.Mit diesem Verfahren lässt sich eine Auflösung von 18 bit bei einer Genauigkeit von

±0.006 % und einer Wandlerfrequenz von einigen zehn Hz erreichen.

19.3 Digital-Analog-Umsetzer

Wie beim ADC gibt es auch beim DAC die drei Umsetzungsverfahren Parallel-, Wäge-und Zähl-, wobei alle drei Verfahren darauf beruhen, die Ausgangspannung durch Span-nungsteilung aus einer Referenzspannung zu bilden.Abbildung 19.5 zeigt den prinzipiellen Aufbau des Parallelverfahrens.Der Parallel-DA-

Wandler hat alle mög-lichen Ausgangsspan-nungen » vorbereitet«und wählt immer diegewünschte aus.

Bei diesem Verfahren werden alle möglichen Ausgangspannungen mit Hilfe eines Span-nungsteilers erzeugt. Durch einen Decoder3 wird derjenige Schalter geschlossen, der zurgewünschten Ausgangsspannung führt. Der Aufbau von Spannungsteilern nach dem Par-allelverfahren ist außerordentlich kritisch, da sehr viele Widerstände erforderlich sind, dieexakt gleich großsind. Darüber hinaus ist die Anzahl der Schalter gleich der Zahl der ge-wünschten Ausgangsspannungen Zmax. Dieses Verfahren wird daher nur in Sonderfälleneingesetzt.

3Der Decoder kann einfach durch einen Demultiplexer realisiert werden.

19.3. DIGITAL-ANALOG-UMSETZER 239

Abbildung 19.5: DA-Parallelwandler

Abbildung 19.6: DA-Wandler nach dem Wägeverfahren

Das Wägeverfahren ist in Abbildung 19.6 dargestellt und kommt mit ld(Zmax)Schaltern aus.Die Ausgangspannung wird über binär gewichtete Widerstände aufsummiert, die Beim Wägeverfahren

entsteht die Ausgangs-spannung als Summevon Teilspannungen,deren Größe den ein-zelnen Binärstellen desEingangsdatenwortsentspricht.

Schalter Si werden entsprechend der Binärzahl geschlossen. Für 0001 ist der SchalterS0 geschlossen und wir erhalten durch den invertierenden Summierverstärker die Aus-gangsspannung Ua = − 1

16Uref . Im allgemeinen Fall erhalten wir

Ua = −(

1

2

10

+1

4

10

+1

8

10

1

16

10

)Uref (19.4)

Das einfachste und langsamste Umsetzungsverfahren ist das Zählverfahren, wie inAbbildung 19.7 dargestellt.Der Schalter S wird periodisch geöffnet und geschlossen. Das RC−Glied integriert Beim Zählverfahren

wird ein PWM-Signalerzeugt und durch einenKondensator geglättet.

Abbildung 19.7: DA-Wandler nach dem Zählverfahren


(bildet den Mittelwert) der Eingangsspannung. Durch die Wahl des Tastverhältnissesdes Schalters kann die gewünschte Ausgangspannung eingestellt werden. Diese Schaltungkann nur für einfache und langsame Anwendungen eingesetzt werden.In allen drei Umsetzungsvarianten ist die Stabilität der Referenzspannung bestim-

mend für die Genauigkeit der Ausgangsspannung. Durch nichtideales Verhalten der Schal-ter und OPVs können Abweichungen vom gewünschten monotonen Verhalten der DACsauftreten. Die dargestellten Widerstandsnetzwerke stellen Idealisierungen dar. In prak-tischen Schaltungen sind mit den Widerständen und Schaltern immer (unerwünschte)Kapazitäten verbunden, die das dynamische Verhalten von schnellen Umsetzern beein-flussen, sodass es beim Umschalten von einer Zahl zur nächsten zu unerwünschten Stö-rimpulsen kommen kann.


AD- und DA-Umsetzer bilden die Schnittstelle zwischen analoger und digitaler Welt.Die Umsetzverfahren werden nach der erforderlichen Umwandlungsgeschwindigkeit undGenauigkeit ausgewählt. Die schnellste Umsetzung ist mit aufwendigen und daher teurenParalleverfahren möglich, mit denen man Umsetzungsfrequenzen bis zu einem GHz undGenauigkeiten bis zu 10 bit erreichen kann. Die parallelen Verfahren haben auch denhöchsten Leistungsbedarf von allen Umwandlungsverfahren.Wenn die Umwandlungsgeschwindigkeit geringer sein kann, werden Wägeverfahren

eingesetzt, die für Wandlungsfrequenzen von 10 kHz bis mehreren 10 MHz, bei Genau-igkeiten von 8− 16 bit verwendet werden.Die langsamsten aber genauesten Verfahren sind die Zählverfahren, mit denen Genau-

igkeiten bis zu 20 bit erzielt werden können und bei denen die Wandlerfrequenz zwischen1 Hz − 1 kHz liegt.ADCs und DACs werden überwiegend als monolitisch integrierte Bausteine angebo-

ten, die teilweise mit externen Komponenten beschaltet werden müssen. Diskrete Schal-tungen werden nur in Ausnahmefällen aufgebaut.

Teil VII

Anhänge

241

Anhang A

Komplexe Zahlen

InhaltA.1 Darstellung komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244A.2 Die Euler’schen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246A.3 Rechenregeln für komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 248

A.3.1 Regeln für kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . 248A.3.2 Regeln für Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

A.4 Geometrische Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250A.5 Achtung Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253A.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Komplexe Zahlen treten in der Schule zum ersten Mal bei der Lösung von quadra-tischen Gleichungen auf. Wir nehmen die Gleichung x2 + 6x + 25 als Beispiel. DiesenGleichungstyp können wir mit folgender Formel lösen:

x2 + px+ q = 0 ⇒ x1,2 = −p2±√(p

2

)2

− q (A.1)

Für unsere Gleichung erhalten wir x1,2 = −3 ±√

9− 25 = −3 ±√−16 und sehen,

dass diese Gleichung keine Lösung im Reellen hat, da die Zahl unter der Wurzel negativist. Durch die Einführung der imaginären Einheit1

j =√−1 (A.2)

wird der Zahlenbereich erweitert und wir finden als Lösung die komplexen Zahlenx1,2 = −3± j4.In diesem Kapitel wird der Umgang mit komplexen Zahlen zusammenfassend darge-

stellt, insbesondere sehen wir, dass

• das Rechnen mit komplexen Zahlen den Regeln der Algebra folgt (Die imaginäreEinheit i wird wie eine Konstante behandelt.),

• die Euler’sche Formel eine Brücke zwischen der Welt der Algebra und der Welt derGeometrie bildet,

• die Zeigerdarstellung ein mächtiges Werkzeug liefert, um sinusförmige Signale dar-zustellen, die wiederum eine wichtige Rolle in der Elektrotechnik und Signalverar-beitung spielen.

Die Bezeichnung „komplexe Zahlen“ verleitet dazu, an komplizierte Zahlen zu denken.Komplexe Zahlen vereinfachen jedoch die Rechnung erheblich und der „imaginäre“Anteilhilft wesentlich bei der Vorstellung und Darstellung elektrotechnischer Zusammenhänge.

1 In der Mathematik wird die imaginäre Einheit mit i abgekürzt. In der Elektrotechnik wird dieimaginäre Einheit mit j abgekürzt, um Verwechslungen zu vermeiden, da i die Abkürzung für den Stromist.

243

244 ANHANG A. KOMPLEXE ZAHLEN

2 0 2 42

1

0

1

2

3

Reel le AchseIm

agin

äre

Achs

e

4+j32+j2

3

j23j2

2j1

Abbildung A.1: Zeiger in der komplexen Ebene

A.1 Darstellung komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen sind aus reellen und imaginären Zahlen zusammengesetzt. Eine kom-plexe Zahl wird dargestellt als

z(x, y) = x+ jy = Rez+ j Imz (A.3)

wobei x und y reelle Zahlen sind und Realteil und Imaginärteil von z heißen.Anschaulich werden die komplexen Zahlen als Punkte der Ebene mit den Koordinaten

x und y dargestellt. Diese Ebene wird komplexe oder Gauß’sche Zahlenebene genannt.Die x-Achse stellt dabei die reellen Zahlen, die y-Achse die imaginären Zahlen dar. Einekomplexe Zahl wird in der Gauß’schen Zahlenebene als Pfeil vom Koordinatenursprungzum Punkt mit den Koordinaten (x, y) in der komplexen Ebene dargestellt, wie Abbil-dung A.1 zeigt.Für diesen "Pfeil"wählen wir den Begriff Zeiger, ein Zeiger stellt eine komplexe Zahl

in der Zahlenebene dar. In der Literatur wird bei der Darstellung komplexer Zahlenauch häufig die Bezeichnung Vektor verwendet. Unter Vektoren versteht man in Physikund Elektrotechnik gerichtete Größen wie Kräfte, Beschleunigungen oder Feldstärken.Komplexe Zahlen sind keine gerichteten Größen, zur Unterscheidung von Vektoren wirddaher der Begriff Zeiger verwendet.Neben der Darstellung komplexer Zahlen in kartesischen Koordinaten ist auch die

Darstellung in Polarkoordinaten möglich, wie die Abbildung A.2 zeigt. In polarer Formist ein Zeiger durch seine Länge r und seine Richtung (ϕ) definiert. Die Richtung (derWinkel) kann entweder im Grad- oder im Bogenmaßangegeben werden. Beim Rechnenmit Winkeln, ist das Bogenmaßpraktischer, für die Vorstellung ist das Gradmaßan-schaulicher, wir müssen daher oft vom Bogenmaßin das Gradmaßumgerechnen. DerKreisumfang (gemessen in rad) beträgt 2π und entspricht dem Winkel von 360, derUmrechnungsfaktor vom Bogen- in das Gradmaßbeträgt daher

ϕ [rad]× (360/2π) = ϕ [rad]× (180/π)→ ϕ [] . (A.4)

Da das Rechnen in Bogenmaßeinfacher ist, die Vorstellung aber im Gradmaßein-facher ist, wird häufig der Umrechnungsfaktor beim Anschreiben von Winkeln explizitangeschrieben. Der Winkel von 45 erscheint dann als 45 · π

180 im Bogenmaß.Für die Polardarstellung kann die Schreibweise z = r∠ϕ gewählt werden. Die Dar-

stellung von Zeigern in kartesischen Koordinaten (Real- und Imaginärteil) und Polarko-ordinaten (Betrag und Winkel) ist selbstverständlich äquivalent: 3 + j4⇔ 5∠37

A.1. DARSTELLUNG KOMPLEXER ZAHLEN 245

1

2

3

4

5

30°

210°

60°

240°

90°

270°

120°

300°

150°

330°

180° 0°

Abbildung A.2: Zeiger in Polardarstellung

Beispiel 83 Zahlen = [4 + 3j,-2 + 2j,-3,-3 - 2j,-2j,2 - 1j];abs(Zahlen) ⇒ 5.0 2.8 3.0 3.6 2.0 2.2Winkel = (180/pi)*angle(Zahlen) ⇒ 37 135 180 -146 -90 -27

Welche Form der Darstellung verwendet wird, hängt von der Rechenaufgabe ab: Ad-dition und Subtraktion lassen sich einfacher mit Real- und Imaginärteil berechnen, Multi-plikation und Division einfacher mit Betrag undWinkel. Im Zuge einer Rechnung wechseltman daher immer wieder die Koordinatensysteme.Abbildung A.3 stellt die Zusammenhänge zwischen kartesischen und Polarkoordinaten

graphisch dar

x = r cosϕ; y = r sinϕ; z = r cosϕ+ j (r sinϕ) (A.5)

r =√x2 + y2; tanϕ =

y

x=ImaginärteilRealteil

; ϕ = arctany

x

Abbildung A.3: Polar - kartesisch


4 2 0 2 43

2

1

0

1

2

3

Reelle Achse

Imag

inär

e Ac

hse

4+j3

4j3

Abbildung A.4: Zeiger im 2. Quadranten

Bemerkung 84 Bei der Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinatenist Vorsicht geboten, da der Arcustangens nur zwischen −90 und +90 definiert ist.Abbildung A.4 zeigt worauf geachtet werden muss. Bei der Berechnung des Winkels ϕdes Zeigers −4 + j3 erhalten wir ϕ = arctan(Im /Re) = arctan(− 3

4 ) = −0.6435 rad= −36.87. Wir sehen aber aus unserer Zeichnung, dass der Winkel zwischen 90 und180 liegen muss!Das Argument des Arcustangens ist in unserem Beispiel negativ, da der Realteil negativund der Imaginärteil positiv ist. Das Argument wäre aber auch dann negativ, wenn derRealteil positiv und der Imaginärteil negativ wäre. In Abbildung A.4 ist dieser Fall durchden punktierten Zeiger dargestellt. Da der arctan nur zwischen −90 und +90 definiertist, ist −0.6435 auch der Winkel des Zeigers 4− j3!Unser Zeiger liegt aber im zweiten Quadranten, der korrekte Winkel beträgt daher π −0.6435 (180 − 36.87). Dieses Problem tritt immer auf, wenn Zeiger im zweiten oderdritten Quadranten liegen.

Beim händischen Rechnen mit komplexen Zahlen kann man sich leicht verrechnen,Matlab stellt aber eine Reihe von Hilfsfunktionen zur Verfügung, die das Rechnen er-leichtern.

Matlab-Funktion Eigenschaft Beispielreal(z) Realteil von z real(3-4i) ⇒ 3imag(z) Imaginär von z imag(3-4i) ⇒ -4abs(z) Betrag von z abs(3-4i) ⇒ 5angle(z) Winkel von z angle(3-4i) ⇒ -0.9273conj(z) z konjugiert komplex conj(3-4i) ⇒ 3+4i

In der Matlab-Funktion angle() ist der Winkel von −π bis π definiert, das arctanProblem tritt daher nicht auf.

A.2 Die Euler’schen Formeln

Mit der Schreibweise z = r∠ϕ können Zeiger in Polarform dargestellt werden. Es gibtaber eine wesentlich elegantere und leistungsfähigere Form der Darstellung, die durch dieEuler’sche Formel gegeben ist.

ejϕ = cosϕ+ j sinϕ (A.6)

A.2. DIE EULER’SCHEN FORMELN 247

Abbildung A.5: Geometrische Interpretation der Euler’schen Formel

Die Euler’sche Formel lässt sich durch Reihenentwicklung wie folgt beweisen2

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+x4

4!+x5

5!+ · · · (A.7)

Durch Einsetzen des Arguments jϕ erhalten wir

ejϕ = 1 + jϕ− ϕ2

2!− j ϕ

3

3!+ϕ4

4!+ j

ϕ5

5!+ · · ·

= 1− ϕ2

2!+ϕ4

4!− · · ·︸︷︷︸

cosϕ

+ j(ϕ− ϕ3

3!+ϕ5

5!− · · · )︸︷︷︸

+j sinϕ

(A.8)

sinϕ = ϕ− ϕ3

3!+ϕ5

5!− · · ·

cosϕ = 1− ϕ2

2!+ϕ4

4!− · · ·

Die obigen Zusammenhänge sind rein algebraisch hergeleitet, wir können aber dieEuler’sche Formel (A.6) auch geometrisch interpretieren. Die Funktion ejϕ ist äquivalentmit der Polardarstellung 1∠ϕ, stellt also einen Zeiger der Länge 1 und mit dem Winkelϕ dar. Der Zeiger r∠ϕ ist also äquivalent mit rejϕ wie in Abbildung A.5 gezeigt.

Bemerkung 85 Beachten Sie, dass der Beweis der Richtigkeit der Euler’schen Formelauf Basis der Algebra erbracht wurde! Die Zahlendarstellung in der komplexen Ebe-ne liefert die geometrische Interpretation. Die Euler’sche Formel bildet eine Brückezwischen der Welt der Algebra und der Welt der Geometrie!

Formen wir die Euler’sche Formel um, dann gelangen wir nach einigen Zwischen-schritten zu einer zweiten Form der Darstellung

ejϕ = cosϕ+ j sinϕ

e−jϕ = cosϕ− j sinϕ

+−−− = −−−−−−−−ejϕ + e−jϕ = 2 cosϕ

2Bei ex = 1+x+ x2

2!+... handelt es sich um eine Potenzreihe, die für alle x aus dem Konvergenzbereich

(−∞,∞) absolut und gleichmäßig konvergiert. Deshalb darf man die Reihe umordnen und sie konvergiertgegen den gleichen Grenzwert.


Abbildung A.6: Rechts- und linksdrehende Zeiger

Wie man leicht ausrechnen kan, lässt sich auch der Sinus durch ejϕ ausgedrücken.Zusammengefasst erhalten wir die inversen Euler’schen Formeln:

cosϕ =ejϕ + e−jϕ

2; sinϕ =

ejϕ − e−jϕ2j

(A.9)

Abbildung A.6 zeigt, dass der Kosinus durch die Zusammensetzung von zwei Zei-gern (mit positivem und negativem Winkel ϕ) gebildet wird. Aus den komplexwertigenFunktionen ejϕ und e−jϕ entsteht die reellwertige Funktion cos(ϕ).Die Kreisfunktionen Sinus und Kosinus lassen sich wie folgt darstellen

cosϕ = Reejϕ oder cosϕ =ejϕ + e−jϕ

2

sinϕ = Imejϕ der sinϕ =ejϕ − e−jϕ

2i

Bemerkung 86 Die Darstellung der reellwertigen und anschaulichen Kreisfunktionendurch komplexwertige und wenig anschauliche Exponentialfunktionen mag zunächst ver-wirrend sein, bringt aber beträchtliche Vereinfachungen bei der Rechnung.

Die Rechenregeln für den Umgang mit Zeigern können sowohl über die Algebra alsauch über die Geometrie gefunden werden. Wir fassen zunächst die algebraischen Rechen-regeln zusammen und geben dann eine geometrische Interpretation zur Erleichterung desVerständnisses.

A.3 Rechenregeln für komplexe Zahlen

Die Rechenregeln für die komplexen Zahlen folgen den Rechenregeln der Algebra, wobeilediglich zu beachten ist, dass die mit j gekennzeichneten Imaginärteile eigene Größendarstellen und dass j2 = −1.

A.3.1 Regeln für kartesische Koordinaten

Additionz1 + z2 = (x1 + jy1) + (x2 + jy2) = (x1 + x2) + j(y1 + y2) (A.10)

(−2 + 3i) + (6− 9i) = 4− 6i

A.3. RECHENREGELN FÜR KOMPLEXE ZAHLEN 249

Subtraktion

z1 − z2 = (x1 + jy1)− (x2 + jy2) = (x1 − x2) + j(y1 − y2) (A.11)

(−2 + 3i)− (6− 9i) = −8 + 12i

Multiplikation

z1 × z2 = (x1 + jy1)× (x2 + jy2) (A.12)

= x1x2 + jx1y2 + jy1x2 + j2y1y2 (A.13)

= (x1x2 − y1y2) + j(x1y2 + y1x2)

(−2 + 3i)× (6− 9i) = 15 + 36i

Konjugiert komplexe Zahl

z∗1 = z′

1 = (x1 + jy1)∗ = (x1 − jy1) (A.14)

(−2 + 3i)∗ = −2− 3i

Division

z1 ÷ z2 = (x1 + jy)÷ (x2 + jy2) (A.15)z1

z2=

z1z∗2

z2z∗2=z1z∗2

|z2|2

=(x1 + jy1)(x2 − jy2)

x22 + y22(A.16)

=(x1x2 + y1y2) + j(x2y1 − x1y2)

x22 + y22

(−2+3i)(6−9i) = − 1

3

A.3.2 Regeln für Polarkoordinaten

Während Addition und Subtraktion in kartesischen Koordinaten einfach durch Additionbzw. Subtraktion der Real- und Imaginärteile durchgeführt werden, sind Multiplikationund Division in kartesischen Koordinaten unübersichtlich und können viel einfacher inPolarkoordinaten berechnet werden.

Multiplikation

z1 × z2 = r1ejϕ1 × r2e

jϕ2 = r1r2ej(ϕ1+ϕ2) (A.17)

2ej30 × 3ej60 = 6ej90 = j6

Konjugiert komplexe Zahl

z∗1 =(r1e

jϕ1)∗

= r1e−jϕ1 (A.18)

(2ej30

)∗= 2e−j30


Abbildung A.7: Zeigeraddition

Division

z1 ÷ z2 =r1e

jϕ1

r2ejϕ2=r1

r2ej(ϕ1−ϕ2) (A.19)

2ej30 ÷ 3ej60 = 23e−j30

Multiplikation und Division sind in Polarkoordinaten sehr einfach durchführbar, esmüssen lediglich die Beträge multipliziert (dividiert) und die Winkel addiert (subtrahiert)werden. Die Addition und Division in Polarkoordinaten kann nur durch Umwandlung inkartesische Koordinaten, Durchführung von Addition bzw. Subtraktion und Rückum-wandlung in Polarkoordinaten durchgeführt werden.Matlab arbeitet mit komplexen Zahlen, die Rechenoperationen Addition (+), Sub-

traktion (−), Multiplikation (∗) und Division (/) gelten auch für komplexes Argument.Die Eingabe ist in kartesischer und Polardatstellung möglich, die Ausgabe erfolgt immerkartesisch und muss bei Bedarf umgerechnet werden.z1 = -2.0000 + 3.0000i 3*exp(i*45*pi/180) = 2.1213 + 2.1213iz2 = 6.0000 - 9.0000i [phi,r] = cart2pol(6,-9)z1+z2 = 4.0000 - 6.0000i r = 10.8167 phi = -0.9828z1-z2 = -8.0000 + 12.0000iz1*z2 = 15.0000 + 36.0000i = 3.6056*exp(2.1588i)*10.8167*exp(-0.9828i)z1/z2 = -0.3333

A.4 Geometrische Betrachtung

Abbildung A.7 zeigt die Addition der Zeiger z1 + z2 = z3. z1 und z2 werden wie imKräfteparallelogramm zum Zeiger z3 zusammengesetzt.Die Subtraktion von z1 − z2 ist nichts anderes als z1 + (−z2).(−z2) ist der in die gegengesetzte Richtung zeigende Zeiger z2. Die Abbildung A.8

stellt die Zeigersubtraktion graphisch dar.Die Multiplikation der Zeiger z1z2 stellt man am besten über die Polarform dar:

|z1|ejϕ1 |z2|ejϕ2 = |z1||z2|ej(ϕ1+ϕ2). Abbildung A.9 stellt diesen Zusammenhang graphischdar. Die Multiplikation mit der Zahl ejϕ2 bedeutet eine Drehung des Zeiger |z1|ejϕ1 umden Winkel ϕ2. Die Multiplikation einer Zahl mit j entspricht einer Drehung um 90, daj = ejπ/2.Auch die Division kann am besten über die Polarform dargestellt werden.

z3 =z1

z2=r1

r2ej(ϕ1−ϕ2)

Abbildung A.10 stellt die Division graphisch dar. Ein interessanter Fall tritt auf, wennz1 = r1e

jϕ und z2 = r2ej(ϕ+90) also einen Winkel von 90 einschließen. z3 = z1/z2 wird

dann −j(r1/r2).

A.4. GEOMETRISCHE BETRACHTUNG 251

Abbildung A.8: Subtraktion von Zeigern

Abbildung A.9: Zeigermultiplikation

Abbildung A.10: Zeigerdivision


Abbildung A.11: Potenzen der komplexen Zahl

Abbildung A.12: Wurzeln von 1

Ganzzahlige Potenzen eine komplexen Zahl kann man einfach über die Polarformberechnen

zN =(rejϕ

)N= rNejNϕ

Abbildung A.11 zeigt die Potenzen z1, z2, ..., z10, für die Zahl z = 0.9ej30 .Es fehlt noch dieWurzel einer (komplexen) Zahl. Als Beispiel betrachten wir 4

√1. Vom

Fundamentalsatz der Algebra wissen wir, dass das Polynom z4−1 = 0 vier Wurzeln habenmuss. Die Lösung 1 finden wir leicht, auch die Lösung −1 ist nicht schwer zu bestimmen,etwas Nachdenken ist aber für die weiteren Lösungen ±j erforderlich. Allgemein gilt dieBeziehung:

N√

1 = ej2πnN n = 0, 1, 2, ..., N − 1

Das bedeutet, dass die Wurzeln gleichverteilt auf dem Einheitskreis liegen und dassder Winkel zwischen den Wurzeln ϕ = 2π/N beträgt. Abbildung A.12 stellt diesen Zu-sammenhang dar.Im allgemeinen Fall ist aber nicht N

√1 zu bilden, sondern die Wurzel einer beliebigen

komplexen Zahl. Wir finden hier folgenden Zusammenhang:

z =N√rejϕ = N

√rej(

ϕN + 2πn

N ) n = 0, 1, 2, ..., N − 1

Abb. A.13 zeigt ein Beispiel für eine Wurzel fünfter Ordnung, wobei der Betrag derZahl, aus der die Wurzel gezogen wird, mit 1 angenommen ist. Die Lösungen liegen daherauf dem Einheitskreis, die ërste"Wurzel liegt bei ejϕ/N , die weiteren Wurzeln sind umden Winkel 2π/N gedreht. Für eine Zahl z mit Betrag 6= 1, wäre der Radius des Kreisesauf dem die Wurzeln liegen N

√|z|.

A.5. ACHTUNG PHASE 253

Abbildung A.13: Wurzel aus ej50

A.5 Achtung Phase

Bei der Darstellung nach Betrag und Winkel treten paar Besonderheiten auf, die zubeachten sind.

• Bei der Berechnung der Winkelfunktionen wird normalerweise das Bogenmaßver-wendet. Damit vermeidet man die umständliche Darstellung des Winkels im Grad-maß, die die Zahlenbasis 360 für Grad, 60 für Minuten und Sekunden und 10 fürBruchteile von Sekunden verwendet, z.B. 3045′48.1234′′. Dafür handelt man sichschwer vorstellbare Bogenwinkel für aus dem Gradmaßgut bekannte Winkel ein,z.B. 0.7854 = π/4 = 45. Daher wird die Umrechnung oft impizit angeschrieben,z.B. sin(α ∗ π/180).

• Wenn der Realteil Null ist und der Imaginärteil einen endlichen Wert hat, tritt beider Berechnung der Phase eine Division durch Null auf, da ϕ = arctan Imaginärteil

Realteil ,was in der Berechnung entsprechend berücksichtigt werden muss. Wenn die Zahlrein imaginär ist, ist die Phase π/2 bei positivem Imaginärteil und −π/2 bei nega-tivem Imaginäteil.

• Der Arcustangens ist nur für −90 ≤ ϕ ≤ 90 definiert. Für die komplexe Zahl 1+1ierhalten wir den Winkel ϕ = arctan 1

1 = 0.7854 [rad] = 45. Für die komplexeZahl −1 − 1i erhalten wir ebenfalls den Winkel ϕ = arctan(−1

−1 ) = arctan(1) =0.7854 [rad] = 45, obwohl die korrekte Phase (Zahl liegt im dritten Quadranten)ϕ = −135 beträgt. Dieses Problem tritt immer auf, wenn die komplexe Zahl imzweiten oder dritten Quadranten liegt. Sind Real- und Imaginärteil negativ, dannmuss vom berechneten Winkel 180 abgezogen werden, wenn der Realteil negativ istund der Imaginärteil positiv ist, dann müssen 180 addiert werden. Die MATLAB-Funktion angle(H) liefert die Phase vorzeichenrichtig im Bogenmaß.

• Die Phase ist wegen der Periodizität der Sinusfunktion lediglich im Bereich von0 ≤ ϕ ≤ 2π definiert. Wenn sich ein Zeiger um ϕ+ n · 2π dreht, dann ist die Phasedennoch nur ϕ. Dieser Sachverhalt führt dazu, das bei Darstellungen des Phasen-verlaufs die Phase zwischen −π und π liegt, man aber auf Grund des physikalsicehZusammenhangs weiß, dass die Phase ϕ+ n · 2π beträgt. Man wählt daher häufigeine Darstellung, die die Phase streckt (unwrapping) und dadurch die Sprungstel-len vermeidet. Abbildung A.14 zeigt die Darstellung der Phase zwischen ±180 unddie ünwraped"Darstellung.

Beispiel 87 Als Ergebnis einer Berechnung erhalten wir die komplexen Werte Hplot((180/pi)*angle(H))


0 200 400 600150

100

50

0

50

100

180° <= Phase <= 180°0 200 400 600

400

350

300

250

200

150

100

50

0

Phase "unwraped"

Abbildung A.14: Phasendarstellung

xlabel(’-180 <= Phase <= 180’)subplot(1,2,2)plot(unwrap((180/pi)*angle(H)))xlabel(’Phase ünwraped“)

• π und −π stellen dieselbe Phase dar.Durch Rundungsfehler in der Rechnung könnenSprünge in der Phase auftreten, die zu Phasensprüngen zwischen benachbartenPunkten führen können.

• Wenn die Amplitude einer komplexen Zahl Null (oder sehr klein) ist, hat die Phasekeine Bedeutung und kann sinnlose Werte annehmen.

• Der Betrag ist definionsgemäßeine positive Zahl. Dennoch läßt man gelegentlicheinen » negativen« Betrag zu, um die Darstellung zu vereinfachen. Abbildung A.15zeigt den Zusammenhang am Beispiel der Funktion sin(x)/x.

A.6 Zusammenfassung

Mit Hilfe der komplexen Darstellung lässt sich die —für Elektrotechnik und Signalverar-beitung sehr wichtige —Sinus(Kosinus)funktion in eine kompakte Form bringen, mit derman wesentlich besser rechnen kann als mit der reellen Darstellung. Durch geometischeInterpretation der komplexen Zahlen gelangt man zur Zeigerdarstellung, mit der sich dieOperationen mit komplexen Zahlen anschaulich erläutern lassen.Komplexe Zahlen können in kartesischer oder Polarform angeschrieben werden. Je

nach Rechnung ist die eine oder die andere Form zweckmäßiger, im Zuge von umfang-reicheren Berechnungen ist es daher häufig nötig zwischen den Koordinatensystemenzu wechseln. Matlab kennt komplexe Zahlen und stellt Routinen zur Durchführung derBerechnung und Darstellung komplexer Zahlen zur Verfügung.

A.6. ZUSAMMENFASSUNG 255

0 2 4 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1Betrag Sinc Function

0 2 4 61

0.5

0

0.5

1Imaginärteil Sinc Function

0 2 4 60

1

2

3

4Phase Sinc Function

0 2 4 60.5

0

0.5

1Realteil Sinc Function

Abbildung A.15: » Negativer« Betrag erzeugt Phase = 0


Anhang B

MATLAB

InhaltB.1 Der Workspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

B.1.1 Hilfe und Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258B.1.2 Bildschirmausgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258B.1.3 Namensgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258B.1.4 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258B.1.5 Skalare, Vektoren, Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

B.2 Elementare Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260B.3 Elementare komplexe Operationen . . . . . . . . . . . . . . . 260B.4 Graphiken in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260B.5 Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

B.5.1 Kommentare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261B.5.2 Scripts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261B.5.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261B.5.4 Kontrollstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261B.5.5 Ein- und Ausgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

B.6 Kontinuierliche LTI-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262B.6.1 Approximation analoger Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

B.7 Diskrete Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263B.7.1 Approximation digitaler Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

B.8 Praktischer Filterentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264B.9 Signalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264B.10 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

Die bei der Untersuchung von kontinierlichen und diskreten linearen zeitunabhängi-gen Systemen verwendeten Konzepte und Operationen sind mit Handrechnung schwerbeherrschbar. Mit MATLAB steht eine Arbeitsumgebung zur Verfügung, die die Mühender Berechnung abnimmt und so den Blick für die Eigenschaften und das Verhalten vonSystemen freihält und zum vertiefenden Experimentieren mit LTI-Systemen einlädt.MATLAB steht für MATrix LABoratory und ist eine Arbeitsumgebung für numeri-

sche Berechnungen und zur Visualisierung von Daten. MATLAB stellt eine umfangreicheSammlung von Funktionen für mathematische, statistische und technische Berechnungenzur Verfügung. Toolboxen erweitern die Standard-MATLAB-Funktionen für spezielle Ar-beitsgebiete wir Digitale Signalverarbeitung, Bildverarbeitung, Regelungstechnik, . . .Für die Untersuchung von kontinuierlichen LTI-Systemen verwenden wir die Control

Systems Toolbox, für diskrete LTI-Systeme die Signal Processing Toolbox. Für spezielleAufgaben bei der Untersuchung von digitalen Filtern steht als Erweiterung der SignalProcessing Toolbox die Filter Design Toolbox zur Verfügung.Die folgenden Kapitel fassen die wichtigsten Befehle zusammen, ausführliche Doku-

mentation steht durch die Kommandozeilenfunktion help bzw. help fnname, bzw. überdas Benützermenü Help (F1) zur Verfügung.

257

258 ANHANG B. MATLAB

B.1 Der Workspace

B.1.1 Hilfe und Orientierung

help zeigt eine Liste von Programmen, die in der MATLAB-Umbebung installiert sindhelp topic zeigt Hilfeinformation zu MATLAB-Funktionen andemo startet ein Demo-Programm zu einer Vielzahl von MATLAB-Funktionenwho listet alle aktuellen Variablenwhos listet alle aktuellen Variablen einschließlich deren Dimensionenwhat listet alle aktuellen MATLAB Dateien (Funktionen und Scripts)clear löscht alle Variablen im Workspacediary »filename« protokolliert eine MAT-LAB Sitzung diary on diary offsave variable speichert alle Variablen im File variable.matload variable.matsave varable A,B,C speichert die Variablen A, B, C im File variable.matquit beendet MATLAB

B.1.2 Bildschirmausgabe

Das Ergebnis wir standardmäßig mit fünf signifikanten Stellen ausgegeben und ist immerin der Variable ans gespeichert. Nach der Ausgabe wird am Bildschirm eine Leerzeileeingefügt. Wird eine Eingabezeile mit einem ; beendet, unterbleibt die Ausgabe auf denBildschirm.

format compact unterdrückt die Leerzeileformat loose aufheben von compactformat long eformat shortformat short eformat bank zwei Stellen nach dem Komma

B.1.3 Namensgebung

MATLAB unterscheidet zwischen Groß- und Kleinbuchstaben.

B.1.4 Zahlen

MATLAB rechnet grundsätzlich mit komplexen Zahlen.sqrt(-1) =⇒ 0 + 1.0000i(3+4i)+(6-7i) =⇒ 9.0000 - 3.0000iexp(0.5*pi*i) =⇒ 0.0000 + 1.0000iexp(0.5*pi*1j) =⇒ 0.0000 + 1.0000iBei der Eingabe kann sowohl i als auch j als imaginäre Einheit gewählt werden.

Die Ausgabe erfolgt immer mit i. Die Eingabe kann in Polarform (exponentieller Form)erfolgen, die Ausgabe ist immer in Real- und Imaginärteil.

Bemerkung 88 Achtung bei der Verwendung von i oder j als Variable:i = 34+3*i =⇒ 13 % i wurde auf 3 gesetzt!aber 4+3i =⇒ 4.0000 + 3.0000iWiederherstellen von i als imaginäre Einheit: i = sqrt(-1)Um Fehler zu vermeiden, Schreibweise 4 + 3*1i verwenden.

B.1.5 Skalare, Vektoren, Matrizen

MATLAB kennt intern nur Matrizen, ein Skalar ist eine 1x1 Matrix. Vektoren gibt esnur als einzeilige oder einspaltige Matrix, häufig Zeilenvektor (1×N) oder Spaltenvektor(N × 1) genannt. Die Dimension kann mit size(N) abgefragt werden.

B.1. DER WORKSPACE 259

A = 1size(A) =⇒ 1 1B=[1 2 3]size(B) =⇒ 1 3

Eingabe Zeilenvektoren

zv = [2 4 -5 2.345 -9.1] oder zv = [2,4,6,1.23,0]

Eingabe von Spaltenvektoren

b = [2;4;6;1.23;0] % Elemente durch ; getrennt.Die Umwandlung von Zeilen- in Spaltenvektor erfolgt durch Transponieren.zv.’ =⇒

2.00004.0000-5.00002.3450-9.1000Achtung: Es gibt zwei Formen von transpose: .’ ist das nichtkonjugierte transpose,

’ ist das konjugierte transpose.

Eingabe von Matrizen

Mat = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]

Vektor- und Matrix-Generatoren

Vektor aus fortlaufenden ZahlenX = Anfang:Schrittweite:Ende

X = 1:2:9 =⇒ 1 3 5 7 9aber X = 1:2:8 =⇒ 1 3 5 7Wenn keine Schrittweite angegeben ist, wird die Standardschrittweite »1« gesetzt.

5:10 =⇒ 5 6 7 8 9 10alpha = exp(i*[0:pi/4:2*pi]) % erzeugt Zeiger von Null bis 2*pi im Anstand von

pi/4alpha =⇒ (1.0000),(0.7071 + 0.7071i),(0.0000 + 1.0000i),...Linspace(Anfang, Ende, Anzahl_Punkte) % erzeugt Anzahl_Punkte zwischen Anfang

und Endelinspace(0, 5, 4) =⇒ 0 1.6667 3.3333 5.0000Nullmatrix = zeros(Zeilen,Spalten)ones(1,5) % erzeugt Zeilenvektor 1x5 mit den Elementen 1Einheitsmatrix = eye(7)x=0:N; y=sin(2*pi*x/N); % erzeugt eine Sinusschwingung einer Periode mit N Punk-

tenTestGleich = rand(1,8) % erzeugt Zeilenvektor aus gleichverteilten ZufallszahlenTestNormal = randn(4,7).% erzeugt Matrix aus normalverteilten Zufallszahlen

Zusammenfügen von Arrays

array = [array1,array2] % fügt array2 an array1 in Zeilenrichtung (Dimension 2)anAlternative cat(2, array1,array2)array = [array1;array2] % fügt array2 an array1 in Spaltenrichtung (Dimension 1)anAlternative cat(1, array1,array2)Die Array-Dimensionen müssen verträglich sein!


Indizierung von Arrays

Die Indizierung erfolgt über entsprechende Indexstrukturenvec =[10 20 30 40 50 60]; ind=[1 3 5];

vec(ind) =⇒ 10 30 50mat(1:2,1:2) % indiziert 1. und 2. Zeile und 1. und 2. Spalte

mat(:;1:2) % indiziert alle Zeilen und 1. und 2. Spaltemat(1:2,:) % indiziert 1. und 2. Zeile und alle Spaltenmat(:) % erzeugt einen Spaltenvektor durch Aneinanderfügen der Spaltenvektoren derMatrix

Ermittlung der Dimensionen von Arrays

size(array) % liefert Zeilenvektor mit den Dimensionen des Arrayslength(vec) % Länge des Vektors

B.2 Elementare Operationen

+ - * / ^ % Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzsqrt(N) % Berechnet Quadratwurzel von N,

wenn N komplex, dann wird nur ein komplexes Ergebnis berechnet.Die elementaren Operationen sind immer Matrizenoperationen!

mat*mat % ist eine Matrizenmultiplikationelementweise Operationen erfolgen über .-Operation:mat.*mat oder mat./matsin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x), atan(x) % Winkelfunktionen

B.3 Elementare komplexe Operationen

real(z) Realteil von zimag(z) Imaginärteil von zabs(z) Betrag von zangle(z) Phasenwinkel in radconj(z) oder z’ konjugiert komplexe Zahlcomplex(a,b) erzeugt komplexe Zahl aus Realteil a und Imaginärteil b[x,y] = pol2cart(phi,R) erzeugt kartesische aus Polarkoordinaten[phi,R] = cart2pol(x,y) erzeugt Polar- aus kartesischen Koordinaten

B.4 Graphiken in Matlab

figure(N) % dient zur Darstellung von Ergebnissen in mehreren Fensternwenn figure(N) nicht verwendet wird, dann wird die Ausgabe immer in dasselbe Fenstergeleitet.subplot(m,n,p) % dient zur Darstellung mehrere Ergebnisse im Fenster figure(N)

m × n ist die Fenstermatrix, p ist das Fenster in das die Darstellung gestellt wird. DieNummerierung der Darstellungsfenster erfolgt zeilenweise.hold on % verhindert, dass ein neuer Plot den alten löscht; damit wird das Überla-

gern von Darstellungen möglich.hold off % ein neuer Plot löscht die vorherige Darstellungclf % löscht die Darstellung und erzeugt leeres Fensterplot(x,y,s) % zeichnet die Werte von y über x

s ist eine Stringvariable die aus einem oder mehreren Elementen besteht und die Artder Darstellung festlegt.

B.5. PROGRAMMIERUNG 261

y yellow . point - solidm magenta o circle : dottedc cyan x x-mark -. dashdotr red + plus -- dashedg green * starb blue s squarew white d diamondk black v triangle down

^ triangle up< triangle left> triangle rightp pentagramh hexagram

plot(x,y,’y-’) % zeichnet eine gelbe durchgehende Liniestem(x,y) % zeichnet Datenreihe y an den von x gegebenen Punktencompass(x,y) % zeichnet Vektor mit den Komponenten x, y vom Koordinatenur-

sprung in Polarkoordinatencompass(z) % zeichnet komplexe Zahl z in Polarkoordinatentitle ’Titel’; xlabel ’x-Achse’; ylabel ’y-Achse’

B.5 Programmierung

B.5.1 Kommentare

Kommentare beginnen mit % und können auch am Ende einer Programmzeile stehen

B.5.2 Scripts

Scripts haben keine Argumente sondern sind lediglich eine Sammlung von MATLAB-Befehlen. Sie werden über den Namen des Skipt-Files aufgerufen.

B.5.3 Funktionen

Funktionen müssen das Schlüsselwort function in der ersten Zeile enthalten.function erg = lvect(x,y)% Berechnet die Länge des Vektors mit den Koordinaten x,y% mit dem Pythagoräischen Lehrsatzerg = sqrt(x.^2+y.^2)Funktionen werden mit dem Funktionsnamen aufgerufen.

B.5.4 Kontrollstrukturen

MATLAB stellt die üblichen Kontrollstrukturen zu Verfügungfor k=1:N

Anweisungsblockendif Bedingung

Anweisungsblock 1elseif Bedingung

Anweisungsblock 2else

Anweisungsblock 3endwhile Bedingung

Anweisungsblockend


B.5.5 Ein- und Ausgabe

disp(’Eingabe der Werte’)

x=input(’Zahl der Koeffizienten: ’)

Darüber hinaus stellt MATLAB umfangreiche Bibliotheken für die Oberflächenpro-grammierung zur Verfügung.

B.6 Kontinuierliche LTI-Systeme

LTI-Systeme werden im s-Bereich in Polynom- oder PN-Form dargestellt.

F (s) =B(s)

A(s)=bms

m + bm−1sm−1 + · · ·+ b1s+ b0

ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0

(B.1)

F (s) = k(s− β1) (s− β2) . . . (s− βm)

(s− α1) (s− α2) . . . (s− αn)(B.2)

Die Systemfunktion wird in den MATLAB Workspace durch die BefehleF = tf([bm,bm−1,. . . ,b1,b0],[an,an−1,. . . ,a1,a0]) bzw.F = zpk([β1,β2´,. . . ,βm],[α1,α2,. . . ,αn],k)eingegeben und steht dann als sogenanntes LTI-Objekt zur Verfügung. Mit der Funktionget(F) können alle Eigenschaften des LTI-Objektes abgefragt, mit wert=F.eigenschaft1(z.B. F.num1) kann die gewünschte Eigenschaft abgefragt werden. Die Eigenschaft lässtsich umgekehrt mit set(F,’eigenschaft’,wert) setzen.

impulse(F) berechnet die Impulsantwort und zeigt sie auf dem Schirm an[y,t] = impulse(F) berechnet die Impulsantwort und weist sie y und t zustep(F) berechnet die Sprungantwort und zeigt sie auf dem Schirm anlsim(F,x,t) berechnet Zeitanwort auf x(t)freqs(B,A) berechnet den Frequenzgangbode(F) berechnet Ampituden- und Phasengang von F[Z,P,k] = tf2zp(Zae,Nen) berechnet Pole, Nullstellen und k aus Polynomdarstellung1

[Zae,Nen] = zp2tf(Z,P,k) berechnet die Polynomdarstellung aus Polen und, NullstellenP = pole(F) liefert die Pole von FZ = zero(F) liefert die Nullstellen von Fk = dcgain(F) liefert F(0)pzmap(F) zeichnet PN-Diagramm[P,Z] = pzmap(F) berechnet Pole und Nullstellen von F[r,p,K] = residue(B,A) berechnet die Koeffi zienten der Partialbruchzerlegung[B,A] = residue(r,p,K) wandelt Partialbruch- in Polynomdarstellung umr=roots(C) berechnet Nullstellen des Polynoms c1xn + c2x

n−1 + · · ·+ cnx+ cn+1

C=poly(r) berechnet Polynom- aus NullstellendarstellungdB rechnet in Dezibel-Darstellung um

F (s) =B(s)

A(s)=

r1

s− p1+

r2

s− p2+ · · ·+ rn

s− pn+K(s) (B.3)

Bemerkung 89 Die Funktion ltiview(F) bietet ein komfortables Interface zur Dar-stellung der Systemeigenschaften von F im Zeit- und Frequenzbereich. Die Auswahl er-folgt mit Hilfe der Menüfunktionen bzw. durch Rechtsclicken auf die leere Darstellungs-fläche.

1tf2zp wird im s−Bereich verwendet. Im z-Bereich und der Darstellung (b0 + b1z−1 + b2z−2) solltetf2zpk verwendet werden.

B.7. DISKRETE SYSTEME 263

B.6.1 Approximation analoger Filter

Die folgenden Funktionen liefern die Approximationen für analoge FilterRp . . . Welligkeit im Durchlassbereich, Rs . . . Welligkeit im Sperrbereich, N . . . Ordnungdes Filters

[Z,P,K] = buttap(N) liefert die PN-Koeffi zienten für ein analoges Potenzfilter[Z,P,K] = cheb1ap(N,Rp) liefert die PN-Koeffi zienten für ein analoges Tschebyscheff-Filter[Z,P,K] = ellipap(N,Rp,Rs) liefert die PN-Koeffi zienten für ein analoges Cauer-Filter[Z,P,K] = besselapp(N) liefert die PN-Koeffi zienten für ein analoges Bessel-Filter

B.7 Diskrete Systeme

Diskrete Systeme werden im z−Bereich in Polynom- oder PN-Form dargestellt

H(z) =B(z)

A(z)=b1 + b2z

−1 + · · ·+ bmz−m

a1 + a2z−1 + · · ·+ anz−l=Zae(z)

Nen(z)(B.4)

H(z) =B(z)

A(z)= k

(z − q1)(z − q2) . . . (z − qm)

(z − p1)(z − p2) . . . (z − pl)(B.5)

a1y[n] = b1x[n] + b2x[n− 1] + · · ·+ bmx[n−m]− a2y[n− 1]− · · · − any[n− l] (B.6)

impz(B,A) berechnet die Impulsantwort und zeigt sie auf dem Schirm an[y,t] = impz(B,A) berechnet die Impulsantwort und weist sie y und t zustepz(B,A) berechnet die Sprungantwort und zeigt sie auf dem Schirm any = filter(B,A,x) berechnet Zeitanwort auf die Folge x[n]freqz(B,A) berechnet den Frequenzgang[Z,P,k] = tf2zpk(Zae,Nen) berechnet Pole, Nullstellen und k aus Polynomdarstellung2

[Zae,Nen] = zp2tf(Z,P,k) berechnet die Polynomdarstellung aus Polen und, Nullstellenzplane(B,A) zeichnet PN-Diagramm % B, A ... Zeilenvektorzplane(Z,P) zeichnet PN-Diagramm % Z, P ... Spaltenvektor[r,P,K] = residuez(B,A) berechnet die Koeffi zienten für die Partialbruchzerlegung[B,A] = residue(r,P,K) wandelt Partialbruch- in Polynomdarstellung umC = conv(A, B) Faltet Vektor A und B, Polynommultiplikation[Q,R] = deconv(B,A) Ent-Faltung (B = conv(A,Q) + R), Polynomdivisoonw = fft(x) Diskrete Fouriertransformation der Folge xx = ifft(w) Inverse DFT von wDas Spektrum eines diskreten Signals ist periodisch fortgesetzt, die Funktion fft

liefert die Werte von 0 bis 2π. Für die grafischen Darstellung ist es oft anschaulicherdas Spektrum von −π bis π zu erstrecken, d. h. die Komponente der Frequenz Nullin die Mitte des Spektrums zu verschieben. Diese Verschiebung kann mit der Funktionfftshift erreicht werden.Diskrete (und kontinuierliche) System werden häufig als Hintereinanderschaltung von

Subsystemen 2. Ordnung dargestellt.

H(z) = g

L∏k=1

Hk(z) = g

L∏k=1

b0 + b1z−1 + b2z

−2

a0 + a1z−1 + a2z−2(B.7)

wobei die second-order sections (sos) im Matrixform dargestellt werden

sos =

b01 b11 b21 a01 a11 a21

b02 b12 b22 a02 a12 a22

......

......

......

b0L b1L b2L a0L a1L a2L

(B.8)

2tf2zp wird im s−Bereich verwendet. Im z-Bereich und der Darstellung (b0 + b1z−1 + b2z−2) solltetf2zpk verwendet werden.


Zur Umrechnung stehen folgende Funktionen zur Verfügung[sos,g] = tf2sos(Zae,Nen) wandelt Zähler- und Nennerpolynom in die SOS-Darstellung um[Zae,Nen] = sos2tf(sos,g) wandelt SOS in Zähler- und Nennerpolynom um[sos,g]=zp2sos(z,p,g) wandelt PN- in SOS-Darstellung um[z,p,g]=sos2zp(sos,g) wandelt SOS- in PN-Darstellung um

Bemerkung 90 Die Funktion fvtool(B,A) bietet ein komfortables Interface zur Dar-stellung der Systemeigenschaften von H(z) = B(z)

A(z) im Zeit- und Frequenzbereich. DieAuswahl erfolgt mit Hilfe der Menüfunktion Analysis.

B.7.1 Approximation digitaler Filter

Die Parameter in den Funktionen haben folgende BedeutungN . . . Ordnung des Filters,Wn . . . Grenzfrequenz normiert 0 < Wn < 1, 1 entspricht der halben AbtastrateWn = [W1 W2], liefert ein Bandpassfilter der Orndung 2N mit dem DurchlassbereichW1 < W < W2’type’. . . ’low’, ’high’, ’stop’liefern Tief-, Hoch- bzw. Bandpass-Filter. Beim Bandpassmuss Wn = [W1 W2] sein und die Ordnung ist 2NRp . . . Welligkeit im Durchlassbereich, Rs . . . Welligkeit im Sperrbereich

FIR-Filter

B = FIR1(N,Wn) berechnet die FIR-Koeffi zienten eines TiefpassesB = FIR1(N,Wn,’high’) berechnet die FIR-Koeffi zienten eines HochpassesB = FIR1(N,Wn,’fenster’) FIR-Koeffi zienten eines Tiefpasses mit spezifizierter FensterfunktionDie Fensterfunktion beeinflusst den Frequenzgang des Filters. Je steiler der Übergang

vom Durchlass- in den Sperrbereich, desto geringer ist die Sperrdämpfung. Für Detailssiehe MATLAB Help > Search>Windows. Die Funktion wintool aus der Filter DesignToolbox visualisiert den Einfluss der Fensterfunktionen im Zeit- und Frequenzbereich.Die Standardeinstellung ist Hamming-Fenster.

IIR-Filter

Die folgenden Funktionen liefern die Approximationen für IIR Filter.[B,A] = butter(N,Wn) liefert digitalen Potenztiefpass[B,A] = cheby1(N,Rp,Wn,’high’) liefert digitalen Tschebyscheff-Hochpass[B,A] = ellip(N,Rp,Rs,Wn) liefert digitalen Cauer-Tiefpass

B.8 Praktischer Filterentwurf

Alle Filterfunktionen sind unter der MATLAB-Funktion fdatool (Filter Design & Ana-lysis Tool) zusammengefasst. fdatool erlaubt die Auswahl des Filtertyps (Tief-, Hoch-,Bandpass, Bandsperre,...), der Methode (FIR- oder IIR-Filter) und der Optionen (z.B.Fenster bei FIR-Filtern), der Ordnung des Filters, der Frequenzspezifikation, der maxi-malen Dämpfung im Durchlassbereich, der minimalen Dämpfung im Sperrbereich.An Analseverfahren können Amplituden- und Phasengang, Impuls- und Sprungant-

wort, PN-Darstellung, Filterkoeffi zienten, ... durchgeführt werden.Für die Weiterverarbeitung kann eine Filterstruktur gefunden werden, die innerhalb

von Simulink simuliert werden kann. Die Filterkoeffi zienten können in den MATLAB-Workspace zur weiteren Bearbeitung exportiert werden. Der Filterentwurf kann als C-Programm in ein DSP-Entwicklungssystem oder in ein FPGA-Board geladen werden.

B.9 Signalverarbeitung

sptool stellt eine Benützeroberfläche für Signalverarbeitungsaufgaben zur Verügung, dieaus drei Fenstern besteht.

B.10. ZUSAMMENFASSUNG 265

Im Fenster Signals können Eingangssignale, die vom MATLAB-Workspace oder vonFile importiert wurden angezeigt werden. Wenn entsprechende Audiounterstützung vor-handen sind, können die Signale auch abgespielt werden.Das Fenster Filters erlaubt die Anzeige und Änderung von Filtern. Die Filter kön-

nen importiert oder über New selbst entworfen sein. Filter können auf Signale aus demSignals-Menü angewandt werden und erzeugen dann ein Ausgangssignal, das im FensterSignals gespeichert wird.Das Fenster Spectra erlaubt die Berechnung und Anzeige von Spektren von Signalen

aus dem Fenster Signals.

B.10 Zusammenfassung

Matlab und die Control Systems Toolbox, Signal Processing Toolbox und Filter DesignToolbox enthalten zahlreiche Funktionen für Analyse und Design von kontinuierlichenund diskreten LTI-Systemen. Zusätzlich zur Online-Hilfe gibt es noch eine umfangreicheDokumention im PDF-Format.

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Elektrotechnische Grundlagen · 2013-12-10 · INHALTSVERZEICHNIS v 8.6.2 Ruheinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 9 Magnetische Materialien 97 9.1