Embed Size (px)
Citation preview
Elektrotehnički fakultet u Beogradu Katedra za Mikroelektroniku i tehničku fiziku Elementi atomske i kvantne fizike Dr Dejan Gvozdić
2Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike 1. Istorijska perspektiva
1. (1900) Rad Max Planck-a na problemu zračenja crnog tela → uvođenje kvanta energije.
2. (1913) Niels Bohr→ Predlog modela atoma sa kvantovanim elektronskim orbitama.
3. (1925) Prava kvantna mehanika → set matematičkih i konceptualnih alata je stvoren do 1928. Godine
2. Osnovne postavke kvantne mehanike 1. Kvantizacija
2. Dualnost
3. Neodređenost
2.1. Kvantizacija
• Veličine makroskopskog sveta su kontinualne (energija, impuls, moment impulsa...), ali ova osobina NE važi u mikrosvetu, gde su veličine uglavnom diskretne-kvantovane.
• Istorijski, ova osobina mikrosveta bila je poznata i pre nastanka Kvantne mehanike: nakon nastanka spektroskopije 1900. godine postalo je poznato da je zračenje iz atoma i molekula različitih boja (frekvencija).
• Kako je ova osobina dokazana? Kroz razvoj modela atoma.
1. Najstariji model atoma su dali J.J. Thomson and Lord Kelvin 1904. godine, tzv. ”puding od šljive”, gde su elektroni (šljive) smešteni u masu od pozitivnog naelektrisanja (puding).
2. Ernest Rutherford je 1911. godine zbog velikog rasejanja α snopa zaključio da je pozitivno naelektrisanje atoma skoncentrisano u maloj zapremini, tzv. nukleusu, a da elektroni kruže oko njega kao planete oko sunca. Nobelovu nagradu je dobio za svoj rad na razumevanju radioaktivnosti 1908. godine.
3Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike 3. Niels Bohr je 1912. godine nakon posete
Rutherfordu predložio novi model, koji se razlikuje od prethodnog po tome što tvrdi da elektron ne bi emitovao energiju zbog ubrzanog kretanja. Energija se emituje samo onda kada ima određenu vrednost. To znači da elektron ima diskretne nivoe energije u atomu. Promena energije se odvija po uzoru na Planck-ov model zračenja.
• Eksperimentalni dokaz kvantizacije-1914. godine:
Postavka eksperimenta:
U eksperimentu koji su sprovodili u periodu od nekoliko godina, Franck i Hertz su
pokušavali da izmere jonizacioni potencijal različitih atoma. Tom prilikom su koristili cev koja je bila ispunjena atomima nekog gasa ili atomima metala u formi pare, najčešće žive (Hg). Primenom termoelektronske emisije, koja se postiže električnim grejanjem katode, formira se elektronski oblak u njenoj okolini. Broj tako stvorenih elektrona je srazmeran struji koja zagreva katodu. Anoda koja se nalazi na višem potencijalu od katode, ubrzava elektrone koji su stvoreni u njenoj okolini, čime oni stiču kinetičku energiju koja je određena razlikom potencijala između anode i katode. Na svom putu ka anodi, elektroni doživljavaju sudare sa atomima žive. Ovi sudari imaju uglavnom elastičan karakter sve dotle dok elektron u spoljašnjoj (valentnoj) orbitali atoma žive ne stekne u sudarima dovoljnu energiju da pređe na neko više pobudjeno stanje (eksitovano stanje) ili, kako su verovali Franck i Hertz, ne bude jonizovan (potpuno odvojen od ostatka atoma). U situaciji kad nastupi neelastičan sudar elektroni koji su krenuli sa katode i doživeli sudar sa atomom žive, gube energiju i bivaju prikupljeni rešetkom koja se nalazi na nešto malo višem potencijalu od potencijala anode. Ova rešetka ima malu površinu, tako da u situaciji kada su elektroni dovoljno brzi, odnosno kada nisu doživeli neelastične sudare sa atomima žive, ne utiče na protok struje između anode i katode. U eksperimentu je razmatrana zavisnost struje između anode i katode u funkciji od napona između njih. Rešetka je uvek na fiksnom potencijalu u odnosu na anodu. Kada raste napon između anode i katode, raste i kinetička energija elektrona koji sa katode idu ka anodi. Ako je napon dovoljno veliki, ovako ubrzani elektroni mogu u sudarima sa atomima
James Franck (1882-1964)
Gustav Hertz (1887-1975)
4Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike žive eksitovati jedan ili više atoma žive. Ako je preostala kinetička energija dovoljno velika, oni će proći kroz rešetku i pasti na anodu, ali ako im je preostala energija mala ili bliska nuli, onda će pasti na rešetku i time će struja kroz anodu biti smanjena. Energija eksitacije u atomu žive, iznosi 4.9 eV, što je energija potrebna da se elektron u atomu pobudi sa osnovnog na prvo više stanje. To znači da će pri naponu od 4.9 V ili celobrojnom umnožku ovog napona, doći do intenzivnih neelastičnih sudara, koji će za posledicu imati elektrone koji nisu u stanju da dopru do anode, a samim tim i pojavu smanjenja struje za vrednosti napona koje su nešto malo više od ovih kritičnih vrednosti. Rezultat ovog eksperimenta prikazan je na slici gde se jasno vidi da nakon kritične vrednosti struja naglo pada sa porastom napona a onda ponovo počinje da raste, jer elektroni nakon sudara imaju sve više energije i lakše dopiru do anode, prevazilazeći potencijal rešetke. Iako ovaj eksperiment nije otkrio jonizacione energije pojedinih atoma, njegov značaj je u tome što je pokazao da su energetska stanja u atomima diskretna kao i energije prelaza između pojedinih stanja.
2.2. Dualnost
• Njutnova mehanika → čestica i njeno stanje su definisani kada su poznate njena koordinata i impuls (ili brzina). Poznavanje stanja čestice podrazumeva ”prostornu lokalizaciju”, odnosno prenos energije kroz prostor i vreme kao koncentrisanog paketa. Prenos ovog paketa određen je trajektorijom čestice.
• Talasi → nema prostorne lokalizacije energije. Talas poseduje energiju i impuls, ali ne lokalizovane već raspodeljene u talasnom frontu. Pored toga talas podleže difrakciji i interferenciji.
Primer: Elektromagnetski talasi (recimo svetlost) prostiru se kroz prostor u vidu talasa koji nose energiju distribuiranu preko kontinualnih nelokalizovanih sfernih talasnih frontova (James Clerk Maxwell, 1831-1879). U 19. veku je delovalo da Maxwell-ova teorija elektromagnetskih talasa može da opiše sve relevantne fenomene.
• 1899. godine Philipp Lenard, osvetljavao je metalnu foliju svetlošću različitih boja u cilju efikasnijeg dobijanja katodnih zraka, kako se kasnije otkrilo elektrona i tada je uočio fotoefekat → samo neke boje dovode do pojave emisije elektrona iz metalnih folija.
5Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike
• 1905. godine Albert Einstein (1879-1955) “vaskrsava” ideju o čestičnoj prirodi svetlosti tako što pretpostavlja da elektromagnetski talas dolazi na foliju u energetskim paketima koje naziva fotonima a čija energija prema Planck-u zavisi od učestanosti svetlosti. Einstein je 1921. Godine dobio Nobelovu nagradu za objašnjenje fotoefekta.
• Planck-ov zakon zračenja “crnog tela”
Pod “crnim telom” podrazumeva se objekat koje neprekidno apsorbuje i reemituje energiju. Krajem 19. veka postavljalo se pitanje učestanosti elektromagnetskih talasa koje ovakav objekat zrači.
Klasična teorija predviđa da energija zračenja na datoj talasnoj dužini raste sa porastom učestanosti (Rayleigh-Jeans-ova formula), tzv. ”ultraljubičasta katastrofa”. Ono što je Planck želeo da odredi je spektralna gustina zračenja:
),(2
TdVd
Ed νρν
=
W.Wien (1864-1928)→ 3~νρ , J.Štefan (1835-1893)→ 4~ TdV ρ
• Planck-ov model (No.1): molekuli zida šupljine ponašaju se kao oscilatori sa naelektrisanjem što dovodi do zračenja ovih molekula ali je energija koju mogu da emituju ili da prime kontinualna i ovu energiju oni mogu da razmenjuju sa okolinom zračenjem:
1)/exp(),(
3
−=
TB
AT
νννρ
• Planck-ov model (No.2): U cilju teorijskog objašnjenja Planck polazi od II zakona termodinamike i entropije (Ludvig Boltzman, 1844-1906). Tada uspeva da objasni prethodne zakone, ali samo kada pretpostavi da je energija pojedinačnog oscilatora konačna (diskretna, ”quanta”) i da pri tome zavisi od učestanosti ν kao hν, a ne da teži 0 kako je prethodno mislio. Time je nevoljno, neverujući u svoj rad, postao ”otac” kvantne mehanike. Ipak je za svoj rad dobio Nobelovu nagradu 1918. godine.
1)/exp(8),( 3
2
−=
Tkh
h
cT
Bννπννρ
6Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike • Einstein je prihvatio Planck-ov zakon bez oklevanja i kroz fotoelektrični efekat
potvrdio da energija elektromagnetnog talasa dolazi u kvantima, što je karakteristika čestica! → Svetlost ima čestičnu prirodu!!!
• 1923. godine Arthur H. Compton (1892-1962) proučavao je rasejanje X-zraka (rentgensko zračenje λ ~ 10-10 m) i merio pomeraj talasne dužine X zraka usled rasejanja. Primenom talasne teorije nije bilo moguće objasniti fenomen, ali je primenom ideje o fotonu kao čestici i klasičnom teorijom sudara pokazao da je promena talasne dužine očekivani rezultat.
• Difrakcija elektrona
Ovaj eksperiment potvrđuje da osim fotona i drugi mikroobjekti imaju talasnu prirodu, budući da je difrakcija karakteristika talasa.
1927. godine Davisson i Germer analiziraju difrakciju elektronskog snopa sa periodičnom površinskom strukturom od nikla i primećuju tačkice na zastoru, koje nisu difuziono rasejane, već pravilno raspoređene u koncentričnim prstenovima.
postavka eksperimenta: Difrakcija elektrona na 2 proreza
7Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike
Šta se dešava u toku vremena na detektoru?
Pretpostavimo da je brzina kojom elektroni izlaze iz izvora vrlo mala, tako da elektroni jedan po jedan padaju na detektor (što na primer odgovara situaciji od nekoliko elektrona u jedinici vremena).
Ako bi elektroni bili talasi (kao što su na primer fotoni) onda bi se posle izvesnog vremena na detektoru pojavila bleda interferentna slika, koja bi, kako vreme prolazi postajala sve jača i jača. Međutim to se ne dešava! Ono što se može videti nakon nekog vremena su tačkice, koje pokazuju da elektroni nisu talasi, jer talasima odgovara nelokalizovani talasni front, a ne koncentrisana materija (energija).
U toku kratkog vremenskog perioda deluje da se elektroni slučajno raspoređuju po detektoru, što je samo privid! Posle dovoljno dugo vremena stvara se interferentna slika koja pokazuje da se elektroni nisu slučajno raspoređivali po detektoru, već da su pratili raspodelu određenu interferencijom neke vrste talasa. To pokazuje da je potreban dovoljno veliki broj elektona (ili dovoljno dugo vremena) da bi se formirala statistički relevantna interferencijska slika.
Mogući zaključak: U kratkom vremenskom intervalu elektroni se ponašaju kao čestice dok se u dužem periodu ponašaju kao talasi.
Da li elektron prolazi kroz prvi ili drugi procep? Da li međusobno interaguju?....
Elektron kao da interferira sam sa sobom ali na detektor pada kao jedinstvena čestica!!!
Na svom putu ”prolazi” kroz oba procepa, tačnije ”prepoznaje” prisustvo oba procepa i ponaša se po talasnim zakonima!!!
Ako je procep kroz koji elektron prolazi poznat NE formira se interferentna slika!!!
• 1923. godine Prince Louise de Brogile (1892-1975) zaključuje da ako su i fotoni i elektroni, i talasi i čestice onda se i drugi objekti sličnih dimenzija mogu opisati na isti način. Po njemu, ovim objektima je moguće pridužiti, kako ih on naziva, "materijalne talase" (???)
• "Materijalni talasi" imaju svoju talasnu dužinu: ph /=λ
• 1926. godine Max Born, daje tumačenje de Brogile-vih talasa. On postavlja sledeća pitanja:
o Kako objasniti pojavu interferencijske slike ako ne možemo nešto da superponiramo? Da li su to možda materijalni talasi?
o Pošto se interferencijska slika dobija sa dovoljno velikim brojem elektrona, onda se ovakvo ponašanje može opisati teorijom verovatnoće.
čestična priroda (28 elektrona) u kraćem vremenskom periodu
talasna priroda (10000 elektrona) u dužem periodu
8Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike o Svaki prolaz kroz procep je jedan "događaj" sa aspekta verovatnoće i
moguće ga je opisati funkcijom gustine verovatnoće.
o Detektor meri raspodelu verovatnoće položaja elektrona, polazeći od intenziteta slike koji se dobija.
o Odatle sledi da se princip superpozicije i interferencija mogu protumačiti kao superpozicija raspodela verovatnoća →
Verovatnoća ~ |talas|2
Intenzitet materijalnih talasa de Brogile-a daje pozicionu verovatnoću čestice!!!
2.3. Neodređenost
• U klasičnoj fizici sistem je skup čestica koje interaguju između sebe putem unutrašnjih sila, a mogu da interaguju sa okruženjem preko spoljašnjih sila.
• Čestica je nedeljiva tačkasta masa koja poseduje niz fizičkih osobina koje se mogu meriti tzv. observable. Skup observabli opisuje stanje. Stanje sistema je
skup stanja čestica koje ga čine.
• Prema klasičnoj fizici sve osobine čestice mogu se odrediti sa proizvoljnom (beskonačnom) preciznošću. Samo je pitanje eksperimentalne tehnike ili preciznosti instrumenta. Odatle je naše znanje o fizičkom univerzumu limitirano samo observablama, a ne samom prirodom.
• Ishod svakog merenja je u klasičnoj fizici predvidljiv kroz trajektoriju. Trajektoriju
svake čestice određuje pozicija čestice → r(t) i impuls→ p(t).
Trajektorija → {r(t), p(t); t ≥ t0 }
)()()( tvmtrdt
dmtp
=≡ ),()(2
2
trVtrdt
dm
−∇=
sile na i početni masa između čestica uslovi
Trajektorija → {r(t), p(t); t ≥ t0 }
9Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike • Klasična fizika opisuje univerzum kao „objektivnu realnost“, nezavisnu od
posmatrača. Pri tome posmatrač i ono što se posmatra, uz dovoljnu pažnju mogu učiniti tu interakciju zanemarljivom.
• Polazeći od Njutnovih zakona i poznajući početne uslove, bez obzira na komplikacije moguće je predvideti budućnost → determinizam.
• Odavde sledi da je za svaki događaj moguće naći njegov uzrok idući u prošlost → kauzalnost.
• Mračna strana determinizma → sve nam je već unapred „suđeno“, ciljevi i nade su irelevantni, ljudske želje uzaludne.
• Ovaj determinizam je prilično dosadan!!!
Na sreću i pogrešan!!!
• Dualna priroda subatomskih čestica podriva klasičan koncept čestice. U principu osobine kvantnih čestica nisu u potpunosti definisane sve do momenta dok se ne izmere. One su pre „potencijalne“ ili „latentne“ (skrivene), sve dok se ne izmere.
• Za razliku od klasičnog stanja, kvantno stanje je skup (konglomerat) više mogućih ishoda. Zato se kvantno stanje definiše preko verovatnoće.
• Kvantno stanje je u biti statističko, neopisuje definitivne ishode pojedinačnih merenja već moguće rezultate merenja na velikom broju identičnih sistema.
• Merenje pozicije pojedinačne čestice daje za rezultat jednu vrednost. Tada sa razlogom tvrdimo da znamo poziciju čestice, ali ne znamo ništa o tome šta je prethodilo merenju - pa se ne može govoriti o poziciji pre merenja. Tako pozicija koja je bila skrivena ili potencijalna, u toku merenja postaje pojedinačna i tačno definisana → Nema jasno definisane prošlosti
• Tokom merenja mikroskopski sistem se ne može posmatrati bez neposredne interakcije i promene stanja samog sistema ili čestice. Efekat posmatrača na sistem se NE može smanjiti na 0 i što je još gore, ni kontrolisati.
• Pojam trajektorije kvantne čestice. Za određivanje trajektorije potrebno je znati x(t0) i p(t0). Eksperiment se ponavlja na većem broju identičnih čestica, ali i pored toga različita merenja dovode do različitih rezultata iako je sistem identičan??!! Prema klasičnoj fizici fluktuacija rezultata oko neke srednje vrednosti nas ne zabrinjava jer verujemo da to ako želimo, možemo eliminisati. Prema kvantnoj fizici ne možemo jednoznačno odrediti vrednosti ovih observabli za mikroskopsku česticu →
Heisenberg-ov princip neodređenosti pokazuje da svaki pokušaj da se istovremeno odrede x i p dovodi do netačnosti u merenju.
π221 h
px ≥Δ⋅Δ Heisenberg(1927. godine
princip neodređenosti)
10Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike 3. Postulati kvantne mehanike
• U cilju uvođenja postulata kvantne mehanike, razmotrićemo još jednom eksperiment difrakcije elektrona. Pri tome ćemo poći od Bornovog tumačenja materijalnih talasa i hipoteze koja se naslanja na ovo tumačenje.
Hipoteza: Ponašanje elektrona je opisano talasom verovatnoće Ψ(x,t). U svakom trenutku, ova funkcija određuje talas, čiji kvadrat amplitude određuje verovatnoću položaja elektrona na mestu x. U eksperimentu sa difrakcijom detektor meri intenzitet talasa tj. kvadrat njegove amplitude.
Posmatra se postavka standardnog eksperimenta difrakcije na dva uska proreza koja se nalaze na rastojanju 2a. Detektor koji snima difrakcionu sliku nalazi se na rastojanju L od zaklona sa prorezima.
Slika 1. Postavka eksperimenta difrakcije na dva proreza
Neka je broj elektrona po jedinici dužine, koji pada na detektor, kada je samo jedan od proreza otvoren, određen kvadratom modula funkcija koje imaju formu Gauss-ove raspodele:
++
+−= 222
2
41 )(exp2
)(exp1)( Laxikax
xσσπ
ψ
])(exp[2
)(exp1)( 222
2
42 Laxikax
x +−
−−=σσπ
ψ
Pri tome je P1 ~ |ψ1(x,t)|2 funkcija koja određuje raspodelu elektrona (broj elektrona po jedinici dužine) duž x ose kada je otvoren prvi (levi) prorez, a zatvoren drugi (desni) prorez, dok je P2 ~ |ψ2(x,t)|2 funkcija koja odgovara obrnutom slučaju (zatvoren prvi, a otvoren drugi prorez).
Deo funkcija (1) i (2) određen faktorom
11Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike
±− 2
2
4 2)(exp1
σσπax
predstavlja amplitudu funkcije, dok faktor
])(exp[ 22 Laxik +−
predstavlja fazni deo koji zavisi od rastojanja posmatrane tačke na detektoru od proreza kroz koji elektroni prolaze.
Umesto gore navedene hipoteze i situacije u kojoj su oba proreza istovremeno otvorena, posmatraćemo situaciju u kojoj je samo jedan od proreza otvoren i pretpostavićemo na trenutak da se elektronu dodeljuje verovatnoća da je pogodio datu tačku na detektoru nakon prolaska kroz levi (P1), odnosno desni prorez (P2). Tada je ukupna verovatnoća nalaženja elektrona u datoj tački detektora, kada su oba proreza istovremeno otvorena, određena zbirom (superpozicijom) verovatnoća koje odgovaraju situacijama kada je samo jedan od proreza otvoren. Dakle, ukupna raspodela prikazana na slici 2 (puna linija) odgovara zbiru raspodela koje se dobijaju kada je samo jedan od proreza otvoren (isprekidane linije), uz pretpostavku da je vreme u toku koga je svaki od proreza prohodan za elektrone jednako u oba slučaja.
Slika 2. Verovatnoće nalaženja čestice u datoj tački detektora kada je otvoren samo jedan od proreza (isprekidane linije). Superpozicija verovatnoća za otvoren samo jedan od proreza odgovara situaciji
kada su istovremeno otvorena oba proreza (puna linija). Ova raspodela ne odgovara rezultatu koji se dobija u eksperimentu.
Ove verovatnoće odgovaraju onome što bi se dobilo kada bi se za svaki elektron pojedinačno utvrđivalo da li će i kroz koji prorez da prođe i koju tačku duž detektora će pogoditi. U skladu sa tim je i rezultat, koji u suštini proizilazi iz osobine neodređenosti, a koji tvrdi, da ako smo uspeli da utvrdimo kroz koji prorez je elektron prošao, neće doći do formiranja interferentne slike, jer je eksperiment narušen samim posmatranjem njegovog ishoda.
Raspodela prikazana na slici 2 ne odgovara onome što se dobija kada su oba proreza istovremeno otvorena. Ako se ponovo vratimo na početnu hipotezu, onda zaključujemo da umesto superponiranja verovatnoća, ustvari treba superponirati
12Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike materijalne talase. Raspodela elektrona u eksperimentu difrakcije određena je kvadratom modula superponiranih materijalnih talasa, pri čemu nije moguće uzeti samo amplitude talasa već i njihove faze. Tačnije, dobijena slika raspodele određena je relacijom: P12 ~ |ψ12(x,t)|2 , gde je funkcija ψ12(x,t) = ψ1(x,t) + ψ2(x,t). Ovaj rezultat prikazan je na slici 3 sa jasno vidljivim rezultatima interferencije.
Slika 3. Superpozicija materijalnih talasa u eksperimentu difrakcije elektrona na dva proreza
Funkcije koje su izabrane u ovom primeru, u principu mogu izgledati drugačije, ali se u svakom slučaju može primeniti isti formalizam. U slučaju kada su funkcije
)exp(|~|),( 111 αitx ΨΨ i )exp(|~|),( 222 αitx ΨΨ ,
dolazi se do toga da je:
)cos(|),(||),(|2|),(||),(||),(),(||),(~|
212
212
22
1
221
21212
αα −ΨΨ+Ψ+Ψ==Ψ+Ψ=Ψ
txtxtxtx
txtxtxP
što pokazuje da monotoni rast ili opadanje fazne razlike dovodi do oscilatorne forme intneziteta difrakcione slike.
• Funkcija stanja – opisuje stanja koja se mogu fizički realizovati (zove se još i „vektor stanja“ - Ψ)
Prvi postulat kvantne mehanike (KM):
Svako stanje sistema koje se može fizički realizovati u KM se opisuje funkcijom Ψ koja sadrži sve dostupne informacije fizičke prirode o sistemu u tom stanju.
Ne možemo znati baš sve, ali ono što znamo o sistemu je „sadržano“ u Ψ.
Ψ može biti Ψ(p,t), Ψ(E,t), Ψ(x,t), a mi najčešće koristimo Ψ = Ψ(položaj,vreme):
1D prostor: ),( txΨ=Ψ
3D prostor: ),( trΨ=Ψ Mnoštvo čestica: ),...,,( 21 trr
Ψ=Ψ
13Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike • Princip superpozicije: Ako Ψ1 i Ψ2 predstavljaju 2 stanja koja se fizički mogu
realizovati onda je stanje Ψ = C1Ψ1 + C2Ψ2 treće stanje koje se može realizovati u sistemu gde su C1 i C2 proizvoljne kompleksne konstante. Ako je moguće realizovati N stanja onda je
→ΨΨΨ N,...,, 21 novo stanje: Ψ=ΨN
iiiC
Drugi postulat kvantne mehanike: način kako izvući informacije iz Ψ !
Ako je sistem u nekom kvantnom stanju predstavljen talasnom funkcijom Ψ onda
je ⏐Ψ⏐2dV verovatnoća da će se čestica naći u infinitezimalnoj zapremini dV.
(dV→dx (1D), dxdydz (3D), dx1dx2dy1dy2dz1dz2...)
1D prostor (x0): dxtxtxdxtx ⋅Ψ⋅Ψ=Ψ ),(),(|),(| 0*
02
0
3D prostor (r0): dxdydztrtrdxdydztr ⋅Ψ⋅Ψ=Ψ ),(),(|),(| 0*
02
0
• Uslov normalizacije: Ako je integral divergentan (beskonačan) onda Ψ nije odgovarajuća talasna funkcija → fizički zahtev da čestica postoji odgovara matematičkim ograničenjima klase funkcija koje mogu predstaviti stanja u prirodi. Ako | x | → ∞ Ψ(x,t) → 0 što sledi iz inegrabilnosti talasne funkcije Ψ.
(Za domaći: Pokazati da Ψ i Ψ·exp(iδ) opisuju isto stanje sistema.)
4. Osobine talasne funkcije
1. Jednoznačnost - Talasna funkcija je jednoznačna (jedinstvena). Višeznačna funkcija ne može određivati gustinu verovatnoće položaja.
Jednoznačna funkcija Višeznačna funkcija (za jedno x jedna vrednost Ψ(x,t)) (za jedno x više vrednosti Ψ(x,t), npr 3.)
2. Konačnost - Mora biti ispunjen uslov normiranja: 1|| 2 =Ψ+∞
∞−
dx . Funkcija mora biti
ograničena osim u konačnom broju tačaka: |x| → ∞ onda Ψ(x) → 0
),( txΨ ),( txΨ
x x
14Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike 3. Neprekidnost - Funkcija koja nije neprekidna, zapravo je dvoznačna sa leve i
desne strane u tački prekida, pa ne zadovoljava uslov jednoznačnosti; matematički izvod ne bi postojao da je funkcija prekidna
neprekidna funkcija funkcija sa prekidom
4. Glatkost:
glatka funkcija nije glatka funkcija
5. Schrödinger-ova jednačina Talasna svojstva objekata u kvantnoj mehanici ne mogu se opisati veličinama
klasične mehanike baziranim na trajektoriji čestice. U klasičnoj mehanici trajektorija predstavlja strogo definisan položaj čestice koji je kontinualna funkcija vremena određena Newton-ovim zakonima kretanja. Da bi se talasna svojstva kvantno-mehaničkih objekata, koji suštinski pokazuju osobine raznih tipova polja, mogla uzeti u obzir, potrebno je definisati jednačinu koja obavlja sličnu funkciju kao i Newton-ova, a koja po svojoj suštini mora da odražava distribuiranost i prostorno-vremensku zavisnost ovih polja. To je moguće postići talasnom jednačinom.
Postoje u osnovi dve veličine koje karakterišu stanje objekta, a to su momenat p i energija E. Ove veličine, koje su praktično čestične karakteristike, određuju prostornu i vremensku zavisnost talasne funkcije i njen talasni vektor k i učestanost ω.
Najprostija forma talasa koja zadovoljava ova svojstva je ravanski talas:
)](exp[),( tkxiCtx ω−=Ψ (1.1)
),( txΨ ),( txΨ
x x
),( txΨ ),( txΨ
x x
15Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike gde je C amplituda talasa. Ovaj talas u sebi sadrži informacije o energiji i impulsu koji su sa učestanošću i talasnim vektorom povezani relacijama:
ων == hE (1.2)
kp ⋅= (1.3)
Kako je kod ovog talasa, disperzija koja određuje grupnu brzinu talasa vg konstanta:
constvvkk fg ====
∂∂ ωω
, (1.4)
zaključujemo da na česticu-talas ne deluje nikakva sila koja bi je ubrzavala ili usporavala. Zbog toga dati ravanski talas odgovara prostiranju slobodne čestice.
Koristeći princip superpozicije koji važi za talasnu funkciju, moguće je konstruisati generalnu formu talasne funkcije koja u osnovi predstavlja sumu, tačnije integral raznih planarnih talasa:
dktkxikCtxk −=Ψ )](exp[)(),( ω (1.5)
Međutim, ova generalizacija ne daje ništa novo, jer se kod ovog talasa ne može uočiti promena brzine, zato što ga sačinjavaju ravanski talasi koji održavaju ukupnu grupnu brzinu fiksnom. Da bi se dobila forma koja omogućava da se pojave svi mogući ravanski talasi i uspešno opiše promena grupne brzine u prisustvu sile tj. spoljašnjeg potencijala, potrebno je postaviti jednačinu u kojoj ne figurišu k i ω. Pri tome se polazi od zakona održanja energije:
),(2
2
txUm
pE += (1.6)
Evo kako se to sprovodi:
a) Odredi se drugi izvod talasne funkcije ravanskog talasa (relacija (1.1)) po x i poveže sa talasnim vektorom k i kasnije sa impulsom p:
Ψ+=∂Ψ∂
ikx
Ψ−=∂
Ψ∂ 22
2
kx
2
2222
xk
∂Ψ∂
Ψ−=
b) Odredi se prvi izvod talasne funkcije ravanskog talasa po t i poveže sa ω odnosno sa E:
Ψ⋅−=∂Ψ∂ ωit
t
i
∂Ψ∂
Ψ=ω ),(
2),(
2
222
txUm
ktxU
m
pE +=+==
ω
c) Zamenom poslednje relacije pod a) u poslednju relaciju pod b), dobija se:
(1.7) t
ix,tUxm
2 ∂
Ψ∂=Ψ+∂
Ψ∂− )(2
22
najopštija forma Schrödinger-ove jednačine (vremenski zavisna Schrödinger-ova jednačina) Schrödinger
(1926. godina – jednačina kretanja kvantne čestice)
16Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike Kako je dobijena jednačina linearna i homogena po Ψ, onda ona važi za proizvoljnu linearnu superpoziciju ravanskih talasa sa različitim ω i k, koji istovremeno zadovoljavaju jednačinu (1.6). Rešavanje ove jednačine za odgovarajuće granične i početne uslove daje talasne funkcije i dozvoljene vrednosti energije za proizvoljan potencijal U(x, t).
5.1 Vremenski nezavisna Schrödinger-ova jednačina
Kada je potencijal U u kome se čestica kreće takav da nije funkcija od vremena već samo od koordinate U = U(x), talasna funkcija se može napisati kao proizvod funkcije po koordinati i funkcije po vremenu:
)()(),( txtx ζψ ⋅=Ψ (1.8)
Rešenje jednačine (1.7) se sada može naći metodom razdvajanja promenljivih:
=+
−
dt
tdixtxxU
dx
xd
mt
)()()()()()(2
)( 2
22 ζψζψψζ
(1.9)
Kada se prethodna relacija podeli sa )(txx,t ζψ ⋅=Ψ )()( , dobija se:
E
dt
tdi
txU
dx
xd
mx=
=+
− )(
)(1)()(
2)(1
2
22 ζζ
ψψ
(1.10)
Leva strana prethodne relacije je funkcija po koordinati x, a desna strana je funkcija po vremenu t. Prethodna jednakost može biti zadovoljena samo ako je i leva i desna strana jednaka konstanti, koju ćemo obeležiti sa E, a koja ima smisao energije u konzervativnom sistemu:
)()()()(
2 2
22
xExxUdx
xd
mψψψ =+−
(1.11)
)exp(exp)()()(tit
i
EttE
dt
tdi ωζζζ −=
==
(1.12)
0)()]([222
2
=⋅−+ xxUEm
dx
d ψψ
(1.13)
(stacionarna Schrödinger-ova jednačina )
17Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike 6. Rešavanje Schrödinger-ove jednačine u
jednodimenzionalnim kvantnim sistemima sa deo-po-deo konstantnim potencijalom
6.1 Elektron u potencijalnoj jami
U ovom razmatranju od interesa su dva slučaja. U prvom je energija elektrona E veća od vrednosti potencijala U(x) u svim oblastima u kojima se razmatra problem, dok je u drugom na nekim mestima E < U(x).
1° Kada je E > U(x) u celom domenu definisanosti, onda je elektron slobodna čestica koja se opisuje ravanskim talasom. Elektron može imati proizvoljnu vrednost energije, pa se zato kaže da njegova energija pripada kontinualnom delu spektra. Kretanje čestice se ostvaruje sa leva na desno (slika 4). Kretanje u suprotnom smeru je potpuno ravnopravno i dovodi do analognog razmatranja. Iako čestica ima energiju dovoljnu da pređe preko potencijalne jame, u kvantno-mehaničkom razmatranju postoji konačna verovatnoća da se to ne desi. U slučaju klasične mehanke čestica prelazi preko jame sa verovatnoćom 1. Ispitivanje ponašanja čestice zasniva se na Schrödinger-ovoj jednačini, koju je potrebno rešiti na svakom od domena u kome je potencijal konstantan (u jami, levo i desno od nje). Propagacija incidentog monoenergetskog ravanskog talasa koji je pridružen čestici ostvaruje se sa leva na desno i određena je pozitivnim faznim stavom u ravanskom talasu exp(+ikx). Reflektovani deo talasa koji se prostire u suprotnom smeru ima negativan fazni stav u talasu exp(−ikx). Delovi talasa koji se prostiru u pozitivnom smeru x ose, u slučaju nailaska talasa sa leva na desno, su incidentni talas na mestu x = 0, zatim deo talasa koji je transmitovan na tom istom mestu, a koji postaje incidentni na mestu x = a, i konačno talas koji je transmitovan na x = a. U suprotnom pravcu, prostiru se talasi koji su reflektovani na mestu x = 0 i x = a. Reflektovani talas u oblasti x > a ne postoji jer u toj oblasti ne postoje diskontinuiteti potencijala.
Slika 4. Nailazak elektrona energije E > U0 na potencijalnu jamu.
18Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike Kretanje elektrona opisano je Schrödinger-ovom jednačinom:
0)()]([2
22
2
=⋅−+ xxUEm
dx
d ψψ
(1.14)
gde je U(x) definisano u oblastima u kojima je potencijal konstantan i to na sledeći način:
∞<<<<
<<∞−=
III II I
)( x; U
x;
x; U
xU
aa00
0
0
0
(1.15)
Talasna jednačina se ponaosob rešava u svakom delu prostora za koji je potencijal konstantan i to kao linearna diferencijalna jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Rešenje je jedinstveno i na granicama povezano uslovima neprekidnosti i glatkosti. Talasna funkcija jeste ograničena, ali ne teži 0 u beskonačnosti. Zbog toga ona ne podleže klasičnom uslovu normiranja kao što je to slučaj sa talasnim funkcijama kada je energija čestice E < U. O tome će biti reči na kraju ovog razmatranja.
I oblast: 210
2kUE
m =− )(2 02
12
2
=+ ψψk
dx
d (1.16)
II oblast: 222
02kE
m =− )(
0222
2
=+ ψψk
dx
d (1.17)
III oblast: 2102
2kUE
m =− )(
0212
2
=+ ψψk
dx
d (1.18)
Jednačine rešavamo primenom karakterističnog polinoma:
022/1
2 =+ ks 2/1iks ±= ]exp[ 2/1 x±ik~ψ
Rešenje: I oblast: )exp()exp( 11111 xikBxikA −+=ψ (1.19)
II oblast: )exp()exp( 22222 xikBxikA −+=ψ (1.20)
III oblast: )exp()exp( 13133 xikBxikA −+=ψ (1.21)
Na granici oblasti talasne funkcije su povezane uslovima neprekidnosti i glatkosti:
0=x
neprekidnost: 0212211 ==+=+ xBABA ψψ , (1.22)
I izvod (glatkost): 022221111 =′=′−=− xBikAikBikAik 21 ψψ (1.23)
ax =
neprekidnost: axaikAaikBaikA ===−+ 32 ψψ)exp()exp()exp( 132222 (1.24)
19Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike I izvod (glatkost): axaikAaikBikaikAik =′=′=−− 32 ψψ)exp()exp()exp( 13222222 (1.25)
Ovim je dobijen sistem linearnih nehomogenih jednačina po nepoznatim koeficijentima A1, A2, B1 i B2. Kako su dostupne samo četiri jednačine, a kako je determinanta sistema različita od nule, svi koefcijenti zavise od A3 i mogu se dobiti za bilo koju vrednost ovog koeficijenta. To znači da elektron može imati proizvoljnu energiju E > U0.
2° Kada je E < U(x) levo i desno od jame, elektron se nalazi u stanju koje se naziva vezanim. Energija ovog stanja ne može biti proizvoljna, jer uslovi na granicama, kao i asimptotsko ponašanje talasne funkcije, ne mogu biti zadovoljeni za svaku vrednost energije vezanog elektrona. Drugim rečima, energetski spektar je diskretan, a ne kontinualan.
Talasne funkcije vezanih stanja imaju oscilatorni karakter u oblastima gde je E > U, a eksponencijalno opadajući u oblastima kada je E < U i to tako da funkcija asimptotski opada na nulu kada x teži beskonačnosti (slika 5). Time je ostvaren uslov integrabilnosti talasne funkcije, kao i njene normalizacije na način kako je to definisano na početku ovog poglavlja. Kako vrednost diskretnog stanja nije unapred poznata, sledi da je problem koji se postavlja teži, jer je osim nepoznate talasne funkcije potrebno odrediti i nepoznatu energiju, što se naziva svojstvenim problemom. Dobijene energije
nazivamo svojstvenim energijama a funkcije koje im odgovaraju svojstvenim funkcijama. Funkcije koje odgovaraju različitim energetskim stanjima zadovoljavaju uslov ortogonalnosti:
+∞
∞−
= mnnm dx δψψ * (1.26)
gde je δmn Kronecker-ova delta funkcija.
Dozvoljena diskretna energetska stanja mogu se odrediti tek nakon rešavanja talasne jednačine po segmentima sa konstantnim potencijalom. Naime, potrebno je rešiti linearne diferencijalne jednačine na svakom segmentu, a zatim polazeći od graničnih uslova koji podrazumevaju uslov neprekidnosti i glatkosti, kao i iz uslova asimptotskog ponašanja talasne funkcije u beskonačnosti, formirati sistem linearnih algebarskih jednačina po nepoznatim koeficijentima rešenja diferencijalne jednačine. U ovom slučaju, sistem je homogen, pa je jedini način da ima netrivijalna rešenja, da determinanta sistema bude jednaka nuli. Iz determinante sistema moguće je dobiti transcedentnu jednačinu, čijim se rešavanjem dolazi do dozvoljenih energija u sistemu pri kojima je determinanta nula. Kada se energije odrede, nije problem da se korišćenjem uslova normalizacije i relacijama koje su nastale iz graničnih uslova, odrede nepoznati koeficijenti i time za svaku vrednost dozvoljene energije odredi odgovarajuća talasna funkcija.
U slučaju slobodne čestice, uslov normiranja koji je definisan ranije ne može da važi, jer talasna funkcija ne opada na nulu u beskonačnosti, već je po modulu konstantna. Zbog toga se talasna funkcija samo u ovom slučaju normira drugačije, preko Dirac-ove δ – funkcije:
20Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike
+∞
∞−′ ′−= )(),(),(* kkdxtxtx kk δψψ (1.27)
O načinu normiranja slobodne čestice neće biti više govora, jer prevazilazi okvire ovog kursa.
Slika 5. Elektron energije E < U0 u potencijalnoj jami. Isprekidanom linijom prikazana je talasna funkcija osnovnog energetskog stanja.
Ponovo polazimo od Schrödinger-ove jednačine:
0)()]([2
22
2
=⋅−+ xxUEm
dx
d ψψ
(1.28)
I oblast:
)(2)(2
02022
1 EUm
UEm
k −=−−=
0212
2
=− ψψk
dx
d (1.29)
II oblast:
E
mE
mk 22
22
2)0(2
=−= 02
22
2
=+ ψψk
dx
d (1.30)
III oblast:
)(2
022
1 EUm
k −=
0212
2
=− ψψk
dx
d (1.31)
Kao i u prethodnom slučaju, tražimo nule karakterističnog polinoma:
021
2 =− ks 1ks ±= (1.32)
022
2 =+ ks 2iks ±= (1.33)
pa su talasne funkcije:
)exp()exp( 11111 xkBxkA −+=ψ (1.34)
)exp()exp( 22222 xikBxikA −+=ψ (1.35)
21Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike )exp()exp( 13133 xkBxkA −+=ψ (1.36)
Rešenje u oblastima I i III nije prostoperiodično, nego eksponencijalno.
Talasne funkcije moraju da zadovolje uslove konačnosti, jednoznačnosti, neprekidnosti i glatkosti:
1) da bi ψ1 bilo konačno B1 = 0
da bi ψ3 bilo konačno A3 = 0
2) Nema dve funkcije koje opisuju jedan proces jednoznačnost je zadovoljena
3) Neprekidnost i glatkost:
)0()0( 21 ψψ = 0221 =−− BAA (1.37)
)0()0( 21 ψψ ′=′ 0222211 =+− BikAikAk (1.38)
)()( 32 aa ψψ = 0)exp()exp()exp( 132222 =−−−+ akBaikBaikA (1.39)
)()( 32 aa ψψ ′=′ 0)exp()exp()exp( 131222222 =−+−− akBkaikBikaikAik (1.40)
Sistem linearnih algebarskih jednačina po nepoznatim koeficijentima rešenja diferencijalne jednačine je homogen, pa je jedini uslov da ima netrivijalna rešenja da determinanta sistema bude jednaka nuli:
0),,,,( 0 == mEUaDD 0]cos2sin))[(exp(2 221221
221 =⋅−⋅−−= akkkakkkakiD (1.41)
Iz determinante sistema moguće je dobiti transcedentnu jednačinu, čijim se rešavanjem dolazi do dozvoljenih energija u sistemu:
2
122
212
2)tan(kk
kkak
−= , (1.42)
gde su )(202
21 EU
mk −=
i E
mk 2
22
2
= . Rešenja za energiju su diskretna !!!
Kada su rešenja za diskretne vrednosti energije poznata onda je moguće dobiti kompletna rešenja za talasne funkcije. Svaka od energija dobijena rešavanjem transcedentne jednačine određuje jednu talasnu funkciju. Najčešće jednoj energiji odgovara jedna talasna funkcija, međutim, u nekim posebnim slučajevima može se desiti da jednoj energiji odgovara više talasnih funkcija, što se onda naziva degeneracijom energetskog stanja, gde broj različitih talasnih funkcija određuje stepen degenracije stanja. Zamenom poznate vrednosti energije u izraze za talasne vektore moguće je dobiti konkretan sistem linearnih algebarskih jednačina po nepoznatim amplitudama talasne funkcije A1, A2, B2 i B3. Rang ovog sistema nije više 4, već 3, pa je potrebno sistem rešiti tako što se svi koeficijenti osim jednog (npr. A2, B2 i B3) izraze preko tog jednog (npr. A1) koji se smatra poznatim. Zatim se na tako definisanu talasnu funkciju primenjuje uslov normiranja i iz uslova da je integral kvadrata modula talasne funkcije po celoj oblasti definisanosti jednak 1, određuje nepoznati koeficijent (u ovom slučaju,
22Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike A1). Na slici 6(a). prikazani su profili talasnih funkcija, koji se dobijaju za tri najmanja rešenja transcedentne jednačine tj. za tri najniža energetska nivoa.
Ako se pretpostavi da potencijal U0 u barijeri teži beskonačnosti, tada se prethodni problem svodi na razmatranje beskonačno duboke potencijalne jame. U tom slučaju talasni vektor k1 → ∞, pa se disperziona relacija svodi na uslov da je tan(k2a) = 0, tj sin(k2a) = 0, što daje moguće vrednosti energija za beskonačno duboku potencijalnu jamu:
2
222
2ma
nEn
π= (1.43)
Talasne funkcije prikazane na slici 6(b) odgovaraju energijama koje se dobijaju iz prethodne relacije. Poređenje rezultata dobijenih za beskonačno i konačno duboku potencijalnu jamu dovodi do sledećih zaključaka:
a) Energija posmatranog stanja u beskonačno dubokoj jami u odnosu na dno jame, veća je nego energija tog istog stanja u jami konačne dubine. Energetska razlika susednih stanja u oba slučaja raste sa rednim brojem stanja, pri čemu je to izraženije kod beskonačno duboke jame.
b) Talasne funkcije u beskonačno dubokoj jami ne "prodiru" u barijernu oblast, dok je u konačnoj jami upravo to slučaj, pri čemu je "prodiranje" funkcije u jamu veće što je jama "plića".
c) Profil talasnih funkcija unutar konačno duboke jame, liči na profil funkcija u beskonačno dubokoj jami, tačnije prati njihov oscilatorni karakter. Razlika se značajno vidi u delu oko barijere, gde kod konačno duboke jame, talasne funkcije opadaju sa udaljavanjem od jame, dok su u beskonačno dubokoj jami talasne funkcije jednake nuli.
Slika 6. Talasne funkcije za prva tri energetska stanja u (a) potencijalnoj jami dubine U0 i (b) beskonačno dubokoj potencijalnoj jami.
23Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike 6.2 Nailazak elektrona na potencijalnu barijeru
Posmatramo talasnu funkciju i odgovarajuću raspodelu verovatnoće koja se u vremenu i prostoru menja tako da se raspodela sa vremenom premešta duž x-ose. Ovakva raspodela verovatnoće može se opisati funkcijom Ψ(x,t) = φ(x-vt,t), gde je φ funkcija koja zadovoljava uslove talasne funkcije. Ako se na segmentu [a, b] posmatra verovatnoća nalaženja čestice, onda je ta verovatnoća određena relacijom:
dxtxdxtxPtbaP
b
a
b
a Ψ== 2),(),()],,([ (1.44)
Ovo je veličina koja se može eksperimentalno odrediti. Gornja relacija se menja i u trenutku t0 je P([a,b], t0) = 0, zatim u trenutku t1 ima neku vrednost koja je nešto manja od 1, da bi nakon skoro potpunog prolaska paketa u trenutku t2 vrednost integrala opala na neku malu vrednost (slika 7).
Umesto verovatnoće koju smo pripisali jednoj čestici, moguće je, ekvivalentno tome, razmatrati skup ili ansambl čestica koje se kreću sleva na desno. Neka se tom prilikom putem detektora obavlja merenje broja čestica koje se u datom trenutku nalaze na segmentu [a, b]. Onda se verovatnoća koja je definisana prethodnom relacijom može dobiti kao odnos broja čestica na segmentu [a, b], prema ukupnom broju čestica koje propagiraju sa leva na desno.
Slika 7. Verovatnoća nalaženja čestice na segmentu [a,b] u vremenskim trenucima t0, t1 i t2.
Izvod P([a,b], t) po vremenu određuje brzinu protoka verovatnoće. Ovaj parametar naziva
se gustinom struje verovatnoće.
a
b
b
a x
txtx
x
txtx
m
idxtxP
dt
d
∂
Ψ∂Ψ−∂
Ψ∂Ψ−=∗
∗),(),(),(),(
2),(
(1.45)
Desna strana prethodne relacije se može predstaviti razlikom dve funkcije na krajevima intervala:
24Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike
−=b
a
bjajdxtxPdt
d )()(),( (1.46)
gde je funkcija j(x) definisana kao:
∂
Ψ∂Ψ−∂
Ψ∂Ψ−=∗
∗
x
txtx
x
txtx
m
ixj
),(),(),(),(2
)( (1.47)
Primena izraza za j(x) na ravanski talas koji odgovara slobodnoj čestici:
]/)(exp[),( EtpxiAtx −=Ψ m
kAtxj
2),( = (1.48)
Kako se dolazi do relacije (1.45):
a
b
b
a
txx
txtxx
txm
idxtxP
dt
d
Ψ∂∂Ψ−Ψ
∂∂Ψ−= ∗∗ ),(),(),(),(
2),(
?
Polazimo od:
dxt
txtx
t
txtxdxtxtx
dt
ddxtxP
dt
d b
a
b
a
b
a
∂
Ψ∂Ψ+∂
Ψ∂Ψ=ΨΨ=∗
∗∗ ),(),(),(),(),(),(),(
Kako je:
Ψ+
∂Ψ∂−=
∂Ψ∂ )()()(
21),(
2
22
xxUx
x
mit
tx
odnosno
Ψ+
∂Ψ∂−−=
∂Ψ∂ )()()(
2),(
2
22
xxUx
x
m
i
t
tx
za konjugovano-kompleksnu vrednost važi:
Ψ+
∂Ψ∂−+=
∂Ψ∂ )()()(
2),( *
2
*22*
xxUx
x
m
i
t
tx
pa je moguće je transformisati prethodni integral u sledeću formu:
∂
Ψ∂Ψ−∂Ψ∂Ψ=
∗∗
b
a
b
a
dxx
txtx
x
txtx
m
idxtxP
dt
d2
2
2
2 ),(),(),(),(2
),(
Na osnovu:
∂
Ψ∂Ψ−∂
Ψ∂Ψ∂∂=
∂Ψ∂Ψ−
∂Ψ∂Ψ
∗∗
∗∗
x
txtx
x
txtx
xx
txtx
x
txtx
),(),(),(),(),(),(),(),(2
2
2
2
traženi integral postaje: a
b
b
a
txx
txtxx
txm
idxtxP
dt
d
Ψ∂∂Ψ−Ψ
∂∂Ψ−= ∗∗ ),(),(),(),(
2),(
25Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike Razmotrimo sada slučaj kretanja slobodne čestice koja se kreće sa leva na desno
i koja na mestu x = 0 nailazi na potencijalnu barijeru visine U0, ali takvu da je E > U0 (slika 8(a)). Kao što je već pomenuto, iako čestica ima dovoljno energije da savlada barijeru, u kvantnom svetu postoji konačna verovatnoća da do toga ne dođe (slika 8(b)). Klasična mehanika u ovom slučaju predviđa prelaz preko barijere kao siguran događaj. Kretanje čestice sleva na desno odgovara propagaciji incidentnog (upadnog) materijalnog talasa, tačnije talasne funkcije u smeru kretanja talasa. Osim ovog talasa, postoji reflektovani i transmitovani deo talasa, od kojih se prvi kreće u suprotnom smeru od incidentnog, a drugi u smeru incidentnog talasa. Za svaki od ovih talasa moguće je definisati gustinu struje verovatnoće. Polazeći od ovog parametra, moguće je predvideti verovatnoću da čestica "savlada" barijeru ili da se od nje "odbije". Ta verovatnoća je kvantitativno izražena preko koeficijenata transmisije i refleksije. Pre nego definišemo ove koeficijente, nađimo rešenje talasne funkcije za slučaj potencijala prikazanog na slici 8(a).
Slika 8. (a) Nailazak elektrona sa energijom E > U0 na potencijalnu barijeru. (b) Verovatnoća prelaska elektrona preko potencijalne barijere visine U0 = 0.5 eV za masu m = 0.067·m0.
Schrödinger-ova jednačina:
0)()]([2
22
2
=⋅−+ xxUEm
dx
d ψψ
(1.49)
I oblast: Em
k 221
2
= )exp()exp( 11111 xikBxikA −+=ψ (1.50)
II oblast: ( )0222
2UE
mk −=
)exp()exp( 22222 xikBxikA −+=ψ 02 =B (1.51)
Refleksija u oblasti II ne postoji, budući da u ovoj oblasti nema nehomogenosti koje bi mogle da dovedu do bilo kakve refleksije. Zato je B2 = 0.
Kako je gustina struje verovatnoće srazmerna broju čestica koje bi se u nekom ponovljenom eksperimentu sa dovoljno velikim brojem čestica kretale na jednu ili na drugu stranu, onda je moguće definisati koeficijente refleksije i transmisije na sledeći način:
26Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike
Gustina struje reflektovanih čestica Gustina struje transmitovanih čestica Ukupna gustina struje čestica Ukupna gustina struje čestica
U konkretnom slučaju ovi koeficijenti dati su sledećim relacijama:
12
1
12
1
kA
kBR = (1.52)
i
12
1
22
2
kA
kAT = (1.53)
Iz uslova neprekidnosti i glatkosti:
)0()0( 21 ψψ = 022011011 )exp()exp()exp( === =−+ xxx xikAikxBxikA 211 ABA =+ (1.54)
)0()0( 21 ψψ ′=′ 221111 AikBikAik =− (1.55)
moguće je odrediti sve koeficijente u funkciji amplitude incidentnog talasa:
21
112
2kk
kAA
+=
21
2111 kk
kkAB
+−=
2
21
21
+−=
kk
kkR (1.56) 2
21
21
1
22
21
1
)(42
kk
kk
k
k
kk
kT
+=
+
= (1.57)
1=+ RT (1.58)
Razlika u odnosu na klasičnu mehaniku: Iako čestica ima energiju da bez problema pređe preko barijere (E > U0) postoji konačna verovatnoća da se reflektuje unazad.
6.2.1 Tunelovanje
Tunelski efekat je jedan od fascinantnih kvatnomehaničkih efekata, koji je našao vrlo veliku primenu u mnogim tehnološkim oblastima. Kod ovog efekta, čestica čija je ukupna energija E manja od potencijalne barijere, može preći na drugu stranu barijere, iako po zakonu održanja energije, tako nešto ne bi bilo moguće u makrosvetu. Pomoću teorije tunelskog efekta moguće je objasniti udvojena energetska staja (dublete) u vibracionom spektru molekula amonijaka (NH3) koji je od značaja u realizaciji atomskih časovnika i masera. Drugi problem koji je uspešno protumačen primenom teorije tunelskog efekta je problem nuklearnog α-raspada, kao i efekat elektronske emisije putem električnog polja. Kada je reč o mikro- i nanoelektronici, za ovaj efekat se može reći da je osnova rada mnogih savremenih nanoelektronskih komponenti. To su, na primer, tunelske diode, Zenerova dioda i od skoro kvantno-kaskadni laseri, vrsta unipolarnih unutarzonskih lasera baziranih na kvantnim poluprovodničkim nanostrukturama. Međutim, fundamentalni tehnološki doprinos i primena tunelskog efekta ogleda se kroz realizaciju skenirajućeg tunelskog mikroskopa koji je devedesetih
T =R =
27Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike godina prošlog veka realizovan u IBM ovim laboratorijama u Zurich-u. Ova zadivljujuća naprava omogućava da elektroni tunelskim efektom prolaze kroz uzorak. Iako je broj ovih elektrona vrlo mali, njihov broj je moguće meriti i na taj način postići uvećanje od 100 miliona puta, pa je moguće meriti dimenzije reda veličine nekoliko stotina atoma. Za ovaj pronalazak Gerd Binning i Heinrich Rohrer dobili su 1986. godine Nobelovu nagradu za fiziku.
U razmatranju tunelskog efekta posmatramo nailazak elektrona sa leva na desno na potencijalnu barijeru koja ima širinu a i visinu U0 i energiju E manju od visine potencijalne barijere. Rešavanjem Schrödinger-ove jednačine, a zatim primenom formalizma gustine struje verovatnoće dolazimo do koeficijenta transmisije i refleksije.
Slika 9. Nailazak elektrona sa energijom E < U0 na potencijalnu barijeru visine U0 i širine a. Isprekidane oscilatorne krive u oblastima levo i desno od barijere simbolički predstavljaju incidentni i transmitovani ravanski talas, dok kriva unutar barijere označava eksponencijalni karakter talasne funkcije u toj oblasti.
I oblast: )exp()exp( 11111 ikxBxikA −+=ψ Em
k 221
2
= (1.59)
II oblast: )exp()exp( 22222 xkBxkA ++−=ψ )(202
22 EU
mk −=
(1.60)
III oblast: )exp( 333 xikA=ψ (1.61)
Nakon povezivanja rešenja u raznim oblastima primenom uslova neprekidnosti i glatkosti dobija se:
2
1
23
12
1
12
3
A
A
kA
kAT ==
)(sinh2
1
1
22
2
21
22
21 ak
kkkk
T
++
= (1.62)
0≠T , TR −= 1 (1.63)
U kvantnoj mehanici čak i kada je energija čestice manja od potencijalne barijere (E < U0) postoji konačna verovatnoća za prolazak čestice kroz barijeru. U tom smislu deluje kao da je čestica prošla nekim tajnim putem, npr. tunelom, na drugu stranu barijere, bez da je imala dovoljno energije da pređe preko visoke potencijalne barijere. Odatle potiče naziv TUNELSKI EFEKAT !!!
28Dr Dejan Gvozdić: Elementi atomske i kvantne fizike
Slika 10. Koeficijent transmisije T za tunelovanje elektrona kroz potencijalnu barijeru dubine U0 = 0.5 eV i širine a = 10 nm (isprekidana linija) i a = 4 nm (puna linija) za masu m = 0.067·m0.
Na slici 10 je pokazano da je vrednost koeficijenta transmisije različita od nule (T ≠ 0) za energije elektrona koje su manje od potencijalne barijere i da ta vrednost raste sa smanjenjem širine barijere. Takođe se vidi da pri energijama većim od visine barijere, koeficijent transmisije postaje jednak jedan, samo pri nekim vrednostima energije, a da je uopštem slučaju T < 1 iako je E > U0. Slika 11(b) prikazuje sličan efekat kao i slika 10 za slučaj kada je E > U0. Naime, kako je na slici 11, E uvek veće od E > U(x), koeficijent transmisije je jednak jedan (T = 1) samo za neke vrednosti energija.
Slika 11. (a) Nailazak elektrona energije E > U0 na potencijalnu jamu. (b) Verovatnoća prelaska (koeficijent transmisije) elektrona preko potencijalne jame dubine U0 = 1.5 eV i širine a = 15 nm (isprekidana linija) i a = 5 nm (puna linija) za masu m = 0.067·m0
