Elementarne funkcijeVedrana Vazdar

2. srpnja 2015.

– 0 –

Sadržaj1 Uvod 1

1.1 Osnovna svojstva funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Inverzna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Elementarne funkcije 42.1 Linearna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Apsolutna vrijednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Kvadratna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Eksponencijalna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Hiperbolne i area funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6 Trigonometrijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

– 1 –

1 Uvod

1.1 Osnovna svojstva funkcijaNeka su A,B neprazni skupovi.

Definicija 1. Funkcija je uređena trojka (A,B, f), gdje je f pravilo pridruži-vanja takvo da za svaki x ∈ A postoji jedinstveni y ∈ B takav da y = f(x):

(∀x ∈ A)(∃!y ∈ B)(y = f(x)).

Skup A zovemo domena, a skup B kodomena funkcije i funkciju simboličkizapisujemo f : A→ B. Ovdje će uvijek biti A,B ⊆ R.

Slika 1: Ovo je funkcija Slika 2: Ovo nije funkcija

Neka je f : A → B funkcija. Skup svih mogućih funkcijskih vrijednostizovemo slika funkcije f :

Imf = Rf = {f(x) : x ∈ A} ⊆ B.

Graf funkcije f je skup

Γ(f) = {(x, f(x));x ∈ Df} ⊆ AxB

Definicija 2. Kažemo da je funkcija f : I → R:

1. rastuća na skupu I ⊆ R, ako

(∀x1, x2 ∈ I)(x1 < x2)⇒ (f(x1) ≤ f(x2)) (1)

2. strogo rastuća na skupu I ⊆ R, ako

(∀x1, x2 ∈ I)(x1 < x2)⇒ (f(x1) < f(x2)) (2)

3. padajuća na skupu I ⊆ R, ako

(∀x1, x2 ∈ I)(x1 < x2)⇒ (f(x1) ≥ f(x2)) (3)

– 2 –

4. strogo padajuća na skupu I ⊆ R, ako

(∀x1, x2 ∈ I)(x1 < x2)⇒ (f(x1) > f(x2)) (4)

Definicija 3. Funkcija f : A→ B je injekcija ukoliko za sve x1, x2 ∈ A takveda x1 6= x2 vrijedi f(x1) 6= f(x2):

(∀x1 ∈ A)(∀x2 ∈ A)(x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2)) (5)⇔(∀x1 ∈ A)(∀x2 ∈ A)(f(x1) = f(x2)⇒ x1 = x2) (6)

Definicija 4. Funkcija f : A → B je surjekcija ako za svaki y ∈ B postojix ∈ A takav da y = f(x):

(∀y ∈ B)(∃x ∈ A)(y = f(x)) (7)

Dakle, funkcija je surjekcija ako je njena slika jednaka čitavoj kodomeni: B =Imf .

Definicija 5. Funkcija f : A→ B je bijekcija ako je injekcija i surjekcija, tj.ako za svaki y ∈ B postoji jedinstveni x ∈ A takav da y = f(x):

(∀y ∈ B)(∃!x ∈ A)(y = f(x)). (8)

Slika 3: Injekcija Slika 4: Surjekcija Slika 5: Bijekcija

Definicija 6. Neka su f : A → B i g : C → D funkcije takve da je Imf ⊆ C.Funkciju h : A→ D definiranu s

h(x) = g(f(x)), x ∈ A,

zovemo kompozicijom funkcija g i f i pišemo h = g ◦ f . Dakle, (g ◦ f)(x) =g(f(x)), x ∈ A.

– 3 –

1.2 Inverzna funkcijaUkoliko za funkciju f : A→ B postoji funkcija g : B → A takva da

(g ◦ f)(x) = (f ◦ g)(x) = x (9)

zasvaki x ∈ A, onda je takva funkcija jedinstvena, označavamo ju sa f−1 izovemo inverzna funkcija funkcije f .

Teorem 1. Funkcija f : A→ B ima inverz ako i samo ako je f bijekcija.

Dokaz. Neka postoji f−1 : B → A. Tada za svaki y ∈ B postoji x = f−1(y) sasvojstom f(x) = f [f−1(y)] = y, tj. f je surjekcija. Sada, (f(x1) = f(x2)) ⇒(f−1[f(x1)] = f−1[f(x2)])⇔ (x1 = x2), tj. f je injekcija. Dakle f je bijekcija.

Neka je sada f bijekcija. Uvjet (8) kaže nam da je svakom y ∈ B na je-dinstven način pridružen x ∈ A, y = f(x). Tada je dobro definirana funkcijag : B → A, g(y) = x. Pokažimo da ta funkcija zadovoljava uvjet 9. Naime,

(∀x ∈ A), g[f(x)] = g(y) = x

(∀y ∈ B), f [g(y)] = f(x) = y

Dakle, g = f−1.

Teorem 2. Neka je funkcija f : I → R strogo monotona na skupu I ⊆ R. Tadaje ona injekcija.

Dokaz. Neka je funkcija strogo rastuća. Uzmimo x1, x2 ∈ I, x1 6= x2. Tada zax1 < x2 iz 2 slijedi (f(x2) < f(x1)), a za x1 > x2, (f(x2) > f(x1)). U svakomslučaju je (f(x2) 6= f(x1)) pa funkcija zadovoljava definiciju 3.

Korolar 1. Neka je funkcija f : I → Rf ,Rf ⊆ R strogo rastuća (padajuća)na skupu I ⊆ R. Tada ona ima inverznu funkciju f−1 : Rf → I koja je strogorastuća (padajuća) na Rf

Dokaz. Funkcija f : I → Rf , je strogo rastuća surjekcija na skupu I ⊆ R, paje po toremu 2 bijekcija, te po teoremu 1 postoji f−1 : Rf → I. Uzmimo saday1 < y2 ∈ R. Pokažimo da vrijedi uvjet 2 za funkciju f−1. U suprotnom bivrijedilo da postoje y1, y2 ∈ Rf , y1 < y2 i f−1(y2) < f−1(y1). No, tada bismozbog strogog rasta funkcije f imali f [f−1(y2)] < f [f−1(y1)], tj. y2 < y1 što jesuprotno pretpostavci.

– 4 –

2 Elementarne funkcije

2.1 Linearna funkcijaGraf linearne funkcije y = ax+ b, a 6= 0, je pravac u ravnini, kao na slici.

-4 -2 2 4x

-5

5

10

y

y=2 ∗x+3y=−3 ∗x+1

Linearna funkcija je bijekcija sa < −∞,∞ >→< −∞,∞ >.

2.2 Apsolutna vrijednostFunkciju f : R→ R definiranu sa:

f(x) =

x ako x > 0,

0 ako x = 0,

−x ako x < 0.

(10)

zovemo apsolutna vrijednost realnog broja.

-4 -2 2 4x

1

2

3

4

5

y

y=|x|

– 5 –

2.3 Kvadratna funkcijaFunkciju zadanu formulom f(x) = ax2, x ∈ R zovemo kvadratna funkcija. Toje funkcija f : R→ R čiji graf je parabola.

-4 -2 2 4x

5

10

15

20

25

y

y=x2

-4 -2 0 2 4

x

-60

-50

-40

-30

-20

-10

y

y=−2 ∗x2 +x−4

Opća kvadratna funkcija je zadana formulom f(x) = ax2 + bx + c. Tjemekvadratne funkcije je točka u kojoj funkcija prelazi iz padajuće u rastuću iliobrnuto. Njene koordinate su:

x = − b

2 a, y = − b

2

4 a+ c

.Nultočke opće kvadratne funkcije su:

x = −b+√b2 − 4 ac

2 a, x = −b−

√b2 − 4 ac

2 a

.Kvadratna funkcija očito nije injekcija pa nema inverz na cijelom R. No,

restrikcija f : [0,∞]→ [0,∞] ima inverz koji zovemo korijen.

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

2

4

6

8

y

y=x2

y=√x

Kako je kvadratna funkcija strogo rastuća na [0,∞], iz Korolara 1 slijedi daje i korijen strogo rastuća funkcija, što vidimo i na slici.

– 6 –

2.4 Eksponencijalna funkcijaTeorem 3. Postoji točno jedna bijekcija f : R →< 0,∞ > tako da vrijedif(0) = 1, f(1) = a > 0 i f(x+ y) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ R.

Bijekciju iz teorema 3 zovemo eksponencijalna funkcija s bazom a i oz-načavamo sa f(x) = ax. Eksponencijalna funkcija je strogo rastuća za a > 1, astrogo padajuća za 0 < a < 1.

Eksponencijalna funkcija stoga ima inverznu funkciju f−1 :< 0,∞ >→ Rkoja je također strogo rastuća za a >1 i strogo padajuća za 0 < a < 1. Tufunkciju zovemo logaritamska funkcija te zapisujemo:

loga (x) =log (x)

log (a)

-3 -2 -1 1 2 3x

-4

-2

2

4

6

8

y

y=2x

y=log2x

-3 -2 -1 1 2 3x

2

4

6

8

y

y=0.5x

y=log2

Specijalno, za a = e ≈ 2.718281828 dobivamo eksponencijalnu funkciju ex injen inverz označavamo sa ln(x).

2.5 Hiperbolne i area funkcijePomoću eksponencijalne funkcije definiramo hiperbolne funkcije sljedećim for-mulama.

sinh(x) =ex − e−x

2,∀x ∈ R (sinus hiperbolni) (11)

cosh(x) =ex + e−x

2,∀x ∈ R (kosinus hiperbolni) (12)

tanh(x) =sinhx

coshx=e2x − 1

e2x + 1,∀x ∈ R (tangens hiperbolni) (13)

coth(x) =coshx

sinhx=e2x + 1

e2x − 1,∀x ∈ R\{0} (kotangens hiperbolni) (14)

Sve ove funkcije su bijekcije na nekoj restrikciji domene, pa te restrikcijeimaju inverze koje nazivamoArea funkcije, primjerice "area sinus hiperbolni".Domene i kodomene funkcija i pripadnih inverza donosimo u tablici 1.

Prikažimo sada grafove hiperbolnih funkcija i njihovih inverza.

– 7 –

sinh : R→ R Arsh: R→ Rcosh : R→ [1,∞ > Arch: [1,∞ >→ [0,∞ >tanh : R→< −1, 1 > Arth:< −1, 1 >→ Rcoth : R\{0} →< −∞,−1 > ∪ < 1,∞ > Arcth:< −∞,−1 > ∪ < 1,∞ >→ R\{0}

Tablica 1: Domene i slike hiperbolnih i area funkcija

-3 -2 -1 1 2 3x

-3

-2

-1

1

2

3

y

sinhArsh

-3 -2 -1 1 2 3x

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y

coshArch

-3 -2 -1 1 2 3x

-2

-1

1

2

y

tanhArth

-3 -2 -1 1 2 3x

-6

-4

-2

2

4

6

y

cothArcth

2.6 Trigonometrijske funkcijeNeka je u Kartezijevom koordinatnom sustavu zadana kružnica polumjera 1(trigonometrijska kružnica) i na njoj središnji kut α s vrhom u ishodištu. Kutuα pridružujemo realan broj koji odgovara duljini luka na kružnici kojeg odje-caju krakovi kuta α. Tu mjeru kuta nazivamo radijan. Sa slike ispod vi-dimo da je funkcija koja realnom broju koji odgovara radijanima središnjihkuteva pridružuje točke jedinične kružnice bijekcija. Označimo tu funkciju saα0 : [0, 2π >→ K. Ako definiramo sada funckiju α : R→ K kao α(x) = α0(rx),gdje je x = 2kπ + rx, k ∈ Z, 0 ≤ rx < 2π, dobili smo proširenje na čitav R.

Na sljedećoj slici prikazane su geometrijske definicije trigonometrijskih funk-cija.

– 8 –

x

y

−1 − 12

1

−1

− 12

12

1

α

sinα

cosα

tanα =sinα

cosα

U primjeru je kut α 30◦ odnosno π/6 radijana. Sinus α, je vi-sina crvene linije, a iznosi

sinα = 1/2.

Po Pitagorinom poučku imamo cos2 α+sin2 α = 1. Stoga duljinaplave linije, što je kosinus od α, mora biti

cosα =√

1− 1/4 = 12

√3.

To pokazuje da je tanα, tj. visina narančaste linije

tanα =sinα

cosα= 1/

√3.

Zbog prethodno objašnjenjog proširenja funkcije α, ovako definirane trigonome-trijske funkcije mogu se proširiti na čitav R. Definirajmo još i funkciju kotan-gens, cot(x) = cos(x)

sin(x) .Nacrtajmo sada ove funkcije.

– 9 –

-10 -5 5 10x

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

y

sin xcos x

-4 -2 2 4x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

tg x

-4 -2 2 4x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

ctg x

Primjetimo da su funkcije sinus i kosinus periodične s periodom 2π, doksu tangens i kotangens periodične s periodom π. Naravno, periodične funkcijenisu injekcije pa nemaju inverze, no njihove restrikcije na dijelove domene nakojima su strogo monotone jesu injekcije. Inverze tih restrikcija zovemo zovemoarkus funkcije. U tablici 2 nalaze se domene i kodomene restrikcija i pripadnihinverza.

Sin : [−π2 ,π2 ]→ [−1, 1] arcsin : [−1, 1]→ [−π2 ,

π2 ]

Cos : [0, π]→ [−1, 1] arccos : [−1, 1]→ [0, π]Tg :< −π2 ,

π2 >→ R arctan : R→< −π2 ,

π2 >

Ctg :< 0, π >→ R : R→< 0, π >

Tablica 2: Domene i slike trigonometrijskih i arkus funkcija

Na slici 6 dan je grafički prikaz ovih funkcija i njihovih inverza.Za hiperbolne i trigonometrijske funkcije vrijede donekle slične formule koje

prikazujemo u tablici 3.

– 10 –

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

y

sin xarcsin x

-1 1 2 3x

-1

1

2

3

y

cos xarccos x

-4 -2 2 4x

-3

-2

-1

1

2

3

y

tan xarctan x

-3 -2 -1 1 2 3x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

cot xarccot x

Slika 6: Trigonometrijske i arkus funkcije

Trigonometrijske funkcije Hiperbolne funkcijecos2 x+ sin2 x = 1 cosh2 x− sinh2 x = 1

sin(x± y) = sinx cos y ± cosx sin y sinh(x± y) = sinhx cosh y ± coshx sinh ycos(x± y) = cosx cos y ∓ sinx sin y cosh(x± y) = coshx cosh y ± sinhx sinh y

sin 2x = 2 sinx cosx sinh 2x = 2 sinhx coshx

cos 2x = cos2 x− sin2 x cosh 2x = cosh2 x+ sinh2 x

Tablica 3: Adicijske formule

Za primjer pokažimo:

sinhx cosh y + coshx sinh y =1

4[(ex − e−x)(ey + e−y) + (ex + e−x)(ey − e−y)]

=1

4(ex+y + ex−y − e−x+y

− e−x−y + e−x+y − ex−y − e−x−y)

=1

2(ex+y − e−(x+y))

= sinh(x+ y)