Osnovne akademske studije PREDMET: Upravljanje sistemima TEMA: Inverzna Laplasova transformacija Predmetni nastavnik: Prof. dr Milorad Stanojević Asistent: mr Marko Đogatović

Inverzna Laplasova transformacija je transformacija suprotna Laplasovoj transformaciji kojom se data funkcija F(s) preslikava iz kompleksnog domena u funkciju f(t) u vremenskom domenu. Simbolički se označava kao

1 .f t F s Primenjuje se uglavnom na slučajeve kompleksnih likova datih u vidu realnih racionalnih funkcija kompleksne promenljive s, datih odnosom dva polinoma po s sa realnim koeficijentima, odnosno

pri čemu je stepen polinoma u brojiocu manji ili jednak stepenu polinoma u imeniocu (m n ).

11 1 0

11 1 0

......

m mm m

n nn

P s b s b s b s bF sQ s s a s a s a

Nule polinoma P(s) i Q(s) se nazivaju respektivno polovi i nule realne racionalne funkcije F(s). Pošto su ovi polinomi sa realnim koeficijentima, njihove nule, odnosno polovi i nule kompleksnog lika F(s), se mogu javljati ili kao realne, ili u konjugovano-kompleksnim parovima, a mogu biti proste i/ili višestruke. Za nalaženje ILT od posebnog interesa su polovi funkcije F(s),, tj. nule polinoma Q(s), odnosno koreni jednačine

Ova se jednačina naziva karakterističnom jednačinom, polinom karakterističnim polinomom.

11 1 0... 0.n n

nQ s s a s a s a

1. slučaj: Polovi su realni i prosti Ukoliko su sva rešenja jednačine Q(s) = 0 (p1, p2, ... , pn) realna i prosta, kompleksni lik F(s) se može napisati u sledećem faktorizovanom obliku

1 2

,... n

P s P sF s

Q s s p s p s p

koji razvijamo u pracijalne razlomke

1 2

1 2

... ,n

n

P s K K KF sQ s s p s p s p

gde su Kk, (k = 1,2,...,n) koeficijenti (ostaci funkcije F(s) u polovima p1, p2, ... , pn), koje treba odrediti.

Množeći levu i desnu stranu poslednjeg izraza sa (s-pk) i zatim u tako dobijeni izraz stavljajući s = pk dobijamo

, 1,2,...,k

k k

s p

P sK s p k n

Q s

čime je su određeni svi koeficijenti Kk. Rešenje je trivijalno kada je Q(s) dato u faktorizovanom obliku. Međutim, rešenje je moguće izračunati i kada Q(s) nije faktorizovano, na sledeći način

lim , 1,2,...,s pk

k kP s

K s p k nQ s

.

Kada s pk poslednji izraz postaje neodređen „0/0“ jer Q(s) sadrži (s-pk). Zbog toga treba primeniti pravilo Lopitala, posle čega se dobija

lim

lim

, 1,2,...,

s pk

s pk

k

k

k

k

k

d s p P sdsK d Q s

dsdP s s p P sds

d Q sds

P pk n

Q p

Zamenom dobijenih vrednosti za koeficijente Kk izraz postaje

1

1nk

k k k

P pF s

Q p s p

.

Za nalaženje ILT 1f t F s na osnovu prethodnog izraza, uočimo da su svi članovi na desnoj strani predstavljaju kompleksne likove eksponencijalnih funkcija,

znajući da je 1ates a

. Znajući lik eksponencijalne

funkcije dobijamo

1

1

1

1

, 0k

nk

k k k

np tk

k k

P pf t

Q p s p

P pe t

Q p

Prikazani postrupak za nalaženje originala od lika se naziva Hevisajdovim razvojem.

Primer 1. Naći original f t kompleksnog lika 2 51 2sF s

s s

.

Koreni karakteristične jednačine 1 2 0Q s s s su 1 1p i

2 2p . Brojilac komplesnog lika glasi 2 5P s s . Izvod karakterističnog polinoma po s glasi 2 1 2 3Q s s s s .

1 2

21 21

1 1 2

1 2 22 1 5 2 2 53

2 1 3 2 2 3

kk p t p t p t

k k

t t t t

P p P p P pf t F s e e e

Q p Q p Q p

e e e e

Potvrda dobijenog rešenja Laplasovom transformacijom

2 3 2 13 1 2 531 2 1 2 1 2

t t s s sf t L e es s s s s s

Primenom Symbolic toolbox Matlab-a rešenje dobijamo na sledeći način: syms s; % Kreiramo simbolicku promenljivu s F = (2*s+5)/(s+1)/(s+2); % Pravimo funkciju F(s) f = ilaplace(F); % Nalazimo inverznu LT funkcije % F(s) disp(f) % Stampamo original

pri čemu je izlaz:

3/exp(t) - 1/exp(2*t).

Jedan pol je nula, a ostali polovi su realni i prosti Ukoliko su sva rešenja jednačine Q(s) = 0 realna i prosta, pri čemu je prvi koren jednak nuli karakteristični polinom postaje

2 1... nQ s s s p s p sQ s Pri čemu je 1 2 3 ... nQ s s p s p s p . Prvi izvod od Q(s) po s će glasiti

1 1Q s Q s sQ s .

Hevisajdov razvoj postaje

1 1 1 1

k k

n np t p tk k

k kk k k k

P p P pf t e e

Q p Q p p Q p

.

Obzirom da je p1 = 0 i da je Q1(s) jednako nuli za p2, p3,..., pn važiće

1

1 1 1

1

21 1 1 1 1 1 1

0

21 1 1 1

21 1

00 0 0

00

k

k

k

k

np tk

k k k k

np tp t k

k k k k

np tt k

k k k

np tk

k k k

P pf t e

Q p p Q p

P p P pe e

Q p p Q p Q p p Q p

P P pe e

Q Q p p Q p

P P pe

Q p Q p

Hevisajdov razvoj u slučaju kada je jedan pol nula, a ostali polovi realni i prosti

21 1

00

k

np tk

k k k

P P pf t e

Q p Q p

Primer 2. Naći original f t kompleksnog lika 1F ss

.

Koren karakteristične jednačine 0Q s s je 1 0p . Brojilac komplesnog lika glasi 1P s . Polinom 1Q s glasi, 1 1Q s . Prvi izvod polinoma 1Q s po s glasi 1 0Q s .

11

21 1 1

0 0 1 10 0 1

kk p t

k k k

P pP Pf t F s e

Q p Q p Q

.

Primer 3. Naći original f t kompleksnog lika 1F s

s s a s b

.

Koren karakteristične jednačine 0Q s s s a s b je 1 0p ,

2p a i 3p b . Brojilac komplesnog lika glasi 1P s . Polinom 1Q s glasi, 1Q s s a s b . Prvi izvod polinoma 1Q s po s glasi 1 2Q s s b s a s a b .

32

3321

21 1 1 2 1 2 3 1 3

1 1 1

0 00 0

0 1 1 10

1 1 1

kk p t p tp t

k k k

at bt at bt

at bt

P p P pP P P pf t F s e e e

Q p Q p Q p Q p p Q p

P P a P be e e e

Q a Q a b Q b ab a b a b a b

e eab a a b b b a

U Matlab-u primenom Symbolic Toolbox-a rešenje bi smo dobili na sledeći način: syms s a b; % Kreiramo simbolicke promenljive s, a % i b F = 1/s/(s+a)/(s+b); % Pravimo funkciju F(s) f = ilaplace(F,s); % Nalazimo inverznu LT funkcije F(s). % Prvi argument je funkcija cija se % inverzna LT % trazi, a drugi argument % je promenljiva po kojoj % se vrsi integracija disp(f) % Stampamo original Izlaz iz skript datoteke glasi: 1/(a*b) + 1/(a*exp(a*s)*(a - b)) - 1/(b*exp(b*s)*(a - b))

2. slučaj: Polovi su realni i višestruki Pretpostavimo da funkcija F(s) ima višestruki pol s = p1. Svi ostali polovi p2, p3, ..., pn su realni i prosti. Tada se izraz za F(s) može razviti u parcijalne razlomke, kao

31 2

11 12 133 2

211 1

...

1r

rk

k k k

P s P sF s

Q s s p s p s p

P pK K Ks p Q p s ps p s p

Inače, mora da bude zadovoljeno da je zbir višestrukosti svih polova jednak n (m1 + m2 + ... + mr = n).

Da odredimo koeficijente K11, K12 i K13 pomožimo levu i desnu stranu gornjeg izraza sa 3

1s p , posle čega dobijamo

3 2 3

1 11 12 1 13 1 12

k

rp tk

k k

P s P ps p K K s p K s p s p e

Q s Q p

Stavljajući 1s p u prethodni izraz dobijamo

1

311 1

s p

P sK s p

Q s

Za K12 potrebno je diferencirati izraz po s, pa zatim u tako dobijeni izraz uvrstiti 1s p . Tako se dobija da je

1

312 1

s p

P sdK s pds Q s

Na sličan način, zamenom 1s p , u izraz dobijen posle dvostrukog diferenciranja po s, dobija se

1

23

13 12

12

s p

P sdK s pds Q s

.

Na sličan način može se dobiti opšti izraz za koeficijente Kkl (l=1,2,...,mk), uz višestruki pol ks p , višestrukosti mk

1

1

11 !

k

k

lm

kl kls p

P sdK s pl ds Q s

.

Pošto smo odredili koeficijente K11, K12 i K13, f(t) postaje

1 1 1 111 12 133 2

11 1

2

1 1 1

k

rp tk

k k

f t F s K K Ks ps p s p

P pe

Q p

što se k može napisati kao

1 1 11 21112 13

2

, 02

k

rp tp t p t p t k

k k

P pKf t F s t e K te K e e tQ p

.

Gornji izraz je dobijen korišćenjem teoreme množenje sa t i Laplasove transformacije eksponencijalne funkcije na sledeći način

1

. .1

2 2

. .2 1 2

2 3 3

1 1

1 1 1

1 2 1 12

at at

T M tat at

T M tat at at

e es a s a

dte teds s a s a s a

dt e t te t eds s a s a s a

Primer 4. Naći original f t kompleksnog lika 2

31 2sF s

s s

.

Koren karakteristične jednačine 21 2 0Q s s s je 1 11 2p m i 2 22 1p m . Brojilac komplesnog lika glasi

3P s s , dok je prvi izvod od Q s , 22( 1)( 2) ( 1)Q s s s s

11 12 22 1 21

P s K K KF sQ s s ss

1 12

11 21 11 1

1 3 3lim 1 lim 21 1 ! 21 2s s

d s sK sds ss s

2 12

12 2 22 11 1 1

1 3 3 2 3lim 1 lim lim 12 1 ! 21 2 2s s s

d s d s s sK sds ds ss s s

2

2 2 3 12 0 1

PK

Q

1 1 1 111 12 22

2

1 1 11 21

2 t t t

f t F s K K Ks ss

te e e

U Matlab-u rešenje bi glasilo syms s; % Kreiramo simbolicku promenljivu s F = (s+3)/(s+1)^2/(s+2); % Pravimo funkciju F(s) f = ilaplace(F); % Nalazimo inverznu LT funkcije F(s). disp(f) % Stampamo original

sa izlazom 1/exp(2*t) - 1/exp(t) + (2*t)/exp(t)

Primer 5. Naći original f t kompleksnog lika 22

1

1F s

s

.

Koren karakteristične jednačine 2 21 1 0Q s s s je 1 11 2p m i 2 21 2p m . Brojilac komplesnog lika glasi 1P s .

11 12 21 222 21 11 1

P s K K K KF sQ s s ss s

1 12

11 2 21 11 12

1 1 1 1lim 1 lim1 1 ! 411s s

dK sds ss

2 12

12 2 2 42 11 1 12

2 11 1 1 4 1lim 1 lim lim2 1 ! 16 41 11s s s

sd dK sds ds s ss

1 12

21 2 21 11 12

1 1 1 1lim 1 lim1 1 ! 411s s

dK sds ss

2 12

22 2 2 42 11 1 12

2 11 1 1 4 1lim 1 lim lim2 1 ! 16 41 11s s s

sd dK sds ds s ss

1 1 1 1 111 12 21 222 2

1 1 1 11 11 1

1 1 1 14 4 4 4

t t t t

f t F s K K K Ks ss s

te e te e

a

Izračunavanje originala integracijom po konturi Košijeva teorema ostataka

U opštem obliku inverzna Laplasova transformacija lika F(s) se izračunava korišćenjem sledećeg integrala

1 12

jst

j

f t F s F s e dsj

.

gde je realni broj koji je veći od realnog dela bilo kog signulariteta (pola) funkcije F(s). Na osnovu teoreme o poznate iz teorija kompleksne promenljive, gornji integral jednak je zbiru ostataka (reziduuma) u polovima funkcije što pišemo kao

Resk

sts p

kf t F s e .

Ostatak u polu se izračunava korišćenjem sledećeg izraza

1

1

1Res lim1 !

kk

k kk

mmst st

s p kms pk

dF s e s p F s em ds

,

tako da će izraz za nalaženje originala funkcije glasiti

1

11

1

1 lim1 !

kk

kk

mrm st

kms pk k

df t F s s p F s em ds

,

gde je r broj polova.

Primer 6. Naći original f t kompleksnog lika 2

11

F ss

.

Koreni karakteristične jednačine 2 1 0Q s s su konjugovano-kompleksni i glase 1 1 1p j m i 2 2 1p j m .

1 1 1 1

1 1 2 1 1 2

1 1 1 1lim lim1 1 ! 1 1 1 ! 1

lim lim sin2 2 2

st st

s j s j

st st jt jt jt jt

s j s j

d df s s j e s j eds s ds s

e e e e e e ts j s j j j j

Primer 7. Naći original f t kompleksnog lika 22 1

sF ss

.

Koreni karakteristične jednačine 2 21 1 0Q s s s su 1 11 2p m i 2 21 2p m .

2 1 2 12 2

2 22 1 2 11 12 2

2 21 1

2 2

4 41 1

1 1lim 1 lim 12 1 ! 2 1 !1 1

lim lim1 1

1 2 1 1 2 1lim lim

1 1

st st

s s

st st

s s

st st st st st st

s s

d s d sf s s e s eds dss s

d se d seds dss s

e ste s s se e ste s s se

s s

4 2 2 4 2 2 1

sh16 16 4 4 2

t t t t t t t te te e e te e te te t t

U Matlab-u rešenje bi glasilo syms s; % Kreiramo simbolicku promenljivu s F = s/(s^2-1)^2; % Pravimo funkciju F(s) f = ilaplace(F); % Nalazimo inverznu LT funkcije F(s). disp(f) % Stampamo original sa izlazom

(t*exp(t))/4 - t/(4*exp(t)).

Izračunavanje originala razvojem lika u parcijalne razlomke Prvo se lik razvije u parcijalne razlomke na sledeći način

32 321 1 3211

2 3 3

2 3131 2

2 22 1 1

21 1 1 1 1

... ... rr

k k

mm mmmr r r

m r mm ri ki ki ki

i iii k i k ik k k

P s P sF s

Q s s s p s p s b s a s b s a

A B C s Ds s p s b s a

Nakon svođenja na zajedniči imenilac i formiranja sistema linearnih jednačina nalaze se vrednosti koeficijenata. Primenom teorema LT i tabličnih funkcija nalazimo original.

Primer 8. Naći original f t kompleksnog lika 3

3 20,2 1sF s

s s

.

Razvijamo funkciju u parcijalne razlomke na sledeći način

1 2 3

3 2 33 20,2 1 0,2 1s A A A B

s s s s s s

Dovodimo oba dela jednakosti na zajednički imenilac

2 3

1 2 33 3

0,2 1 0,2 1 0,2 13 20,2 1 0,2 1

A s s A s s A s Bsss s s s

Sređivanjem i izjednačavanjem brojioca dobijamo

3 21 1 2 2 3 33 2 0,2 0,2 0,2s s A B s A A s A A A

Dobijamo sistem linearnih jednačina

1

1 21 2 3

2 3

3

0,2 00,2 0

0,52; 2,6; 2; 0,1040,2 32

A BA A

A A A BA AA

Važiće da je 2 3

0,52 2,6 2 0,1040,2 1

Y ss s s s

1 1 1 1 12 3

1 1 1 12 3

2 5

1 1 2 10,52 2,6 0,1040,2 1

1 1 2 10,52 2,6 0,525

0,52 2,6 0,52 t

y t Y ss s s s

s s s st t e

Primer 9. Naći original f t kompleksnog lika 2

11 4

F ss s s

.

Razvijamo funkciju u parcijalne razlomke na sledeći način

22

11 41 4

A B Cs Ds s ss s s

Svođenjem na na zajednički imenilac i izjednačavanjem brojioca dobijamo

3 21 4 4 4s A B C s A D C s A B D A Dobijamo sistem linearnih jednačina

00

1/ 4; 1 / 5; 1 / 20; 1 / 54 4 0

4 1

A B CA D C

A B C DA B D

A

Važiće da je

2

1 11 1 1 1 20 54 5 1 4

sF s

s s s

1 1 1 12

1 1 1 12 2

1 11 1 1 1 20 54 5 1 4

1 1 1 1 1 1 24 5 1 20 4 10 41 1 1 1cos2 sin 24 5 20 10

t

sf t F s

s s s

ss s s s

e t t

Primer 10. Naći original f t kompleksnog lika

2

2

3 3 22 4 8s sF s

s s s

.

Razvijamo funkciju u parcijalne razlomke na sledeći način

2

22

3 3 22 4 82 4 8

s s B Cs Ds s ss s s

Svođenjem na na zajednički imenilac i izjednačavanjem brojioca dobijamo

2 23 3 2 4 2 8 2s s s B C s B C D B D Dobijamo sistem linearnih jednačina

34 2 3 1; 2; 38 2

B CB C D B C DB D

Važiće da je

22

2 2 2

1 2 3 1 2 32 4 8 2 2 4

2 21 2 4 1 1 1 22 2 22 4 2 4 2 4

s sF ss s s s s

sss ss s s

1 1 1 12 2

2 2 2

1 2 1 222 22 4 2 4

12 cos2 sin 22

t t t

sf t F ss s s

e e t e t

Ovde koristimo teoremu o pomeranju kompleksnog lika

ate f t F s a

U Matlab-u rešenje bi glasilo syms s; % Kreiramo simbolicku promenljivu s F = (3*s^2+3*s+2)/(s-2)/(s^2+4*s+8); % Pravimo funkciju F(s) f = ilaplace(F); % Nalazimo inverznu LT funkcije F(s). disp(f) % Stampamo original

sa izlazom exp(2*t) + (2*(cos(2*t) - sin(2*t)/4))/exp(2*t).