Elementær Matematik

Rumgeometri

Ole Witt-Hansen 2008

Indhold

1. Koordinatsystem i rummet...........................................................................................................1 1.1 Vektorer i rummet......................................................................................................................1 1.2 Skalarprodukt .............................................................................................................................3 1.3 Parameterfremstilling for en linie i rummet...............................................................................5 2. Krydsprodukt af to vektorer .........................................................................................................6 3. Den geometriske fortolkning af krydsproduktet ..........................................................................9 4. Afstand fra punkt til en linie i planen .......................................................................................10 5. Ligning for en plan. Afstand fra et punkt til en plan..................................................................11 5.1 Parameterfremstilling for planen..............................................................................................12 6. Vinklen mellem to planer og skæring mellem to planer ............................................................13 7. Vinkel mellem vektor og plan....................................................................................................14 8. Afstanden mellem to vindskæve linier.......................................................................................15 9. Afstand fra linie til et punkt i rummet........................................................................................16 10. Projektion af vektor på en plan ................................................................................................17 11. Kuglen......................................................................................................................................17 12. Rumfang og rumprodukt ..........................................................................................................19 13. Tre ligninger med tre ubekendte ..............................................................................................22

Rumgeometri 1

1. Koordinatsystem i rummet

På samme måde, som man i planen fastlægger et koordinatsystem ved 2 ortogonale akser, så fastlægger man et koordinatsystem i rummet, som 3 ortogonale akser med fælles begyndelsespunkt. I planen vælger man x-aksen og y-aksen, således at y-aksen er drejet +900 i forhold til x-aksen. I rummet fastlægges x-aksen og y-aksen på samme måde, men således at z-aksen, sammen med x-aksen og y-aksen danner en højreskrue. Højreskrue betyder i denne sammemhæng, at ved en drejning med højre hånd fra x-aksen til y-aksen, vil z-aksen ligge i tommelfingerens retning. I rummet har et punkt P(x,y,z) tre koordinater, som svarer til projektionen af P på de tre akser - helt på samme måde, som det er tilfældet med projektionen på to akser i planen.

1.1 Vektorer i rummet

Angående notation: I matematisk litteratur kan man angive en vektor som et lille bogstav med en pil

over eller ved et fremhævet bogstav. De to symboler a og

a har derfor samme betydning. Vi vil herefter anvende begge notationer, når det ikke kan give anledning til misforståelser. Punkter i rummet (og i planen) angives altid med store bogstaver. For vektoren, der forbinder de to

punkter A og B skriver man dog altid

AB , men man kan godt skrive c =

AB . I det følgende, vil vi gøre udstrakt anvendelse af nedenstående konstatering, som det derfor er vigtigt at notere sig. Der er ingen principiel forskel på vektorer i planen og i rummet, så længe højst to vektorer er involveret, idet to egentlige, ikke parallelle vektorer altid udspænder en plan, som man kan vælge som x - y planen.

Rumgeometri 2

Vi har tidligere vist, at alle egenskaber ved vektorer i planen er uafhængige af koordinatsystemet. Derfor kan vi umiddelbart overtage alt hvad, der gælder for to vektorer i planen til to vektorer i rummet. Koordinaterne (x, y, z) til et punkt P i rummet er projektionen af P på hver af de 3 koordinatakser, helt på samme måde, som det er tilfældet i planen, hvor (x ,y) er projektionen af et punkt P på hver af de to koordinatakser. Se figuren ovenfor.

På samme måde, som man i planen indfører basisvektorerne

i og

j , indfører man i rummet 3

basisvetorer

i ,

j og

k . De er ortogonale enhedsvektorer, ensrettet med hver af de koordinatakser x, y og z. Herefter kan vi bestemme koordinaterne til en vektor.

En vektor

a anbringes med begyndelsespunkt i (0,0,0), således at

a =

OP .

OP kaldes som hidtil for Stedvektoren til punktet P. Projektionen af P på x - y planen betegnes Q (x,y,0). Projektionen af P på z-aksen betegnes T (0,0,z). Projektionen af Q på x-aksen og y-aksen betegnes henholdsvis R (x,0,0) og S (0,y,0).

Det er så det indlysende, at

OR =

ix og

OS =

jy og dermed, (som det altid gælder i xy-planen)

OQ =

OR +

OS =

ix +

jy

Af figuren fremgår endvidere at

QP =

OT =

kz og at

OP =

OQ +

QP .

Der gælder således, (da

OT og

OQ danner en plan)

(1.1)

a =

OP =

OQ +

OT =

OS +

OR +

OT =

ix +

jy +

kz

Fremstillingen af

OP ved hjælp af de 3 basisvektorer er entydig.

Koordinaterne til vektoren

a er derfor (x, y, z) . Ofte skriver man koordinaterne på "højkant"

(1.2)

a =

z

y

x

Dette vil vi dog ikke altid gøre – af typografiske grunde.

Vi ser, at det ligesom i planen gælder, at et punkt P og stedvektoren til punktet

OP har samme koordinater (x, y, z) . Ud fra opløsningen af to vektorer i basisvektorer:

a = a1·

i + a2 ·

j + a3 ·

k og

b = b1·

i + b2 ·

j + b3 ·

k

Rumgeometri 3

og ud fra regnereglerne for vektorer i planen, er det ligetil at indse, at vektorerne

bac og

bad har koordinaterne.

(1.3)

bac = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) og

bad = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3) I øvrigt gælder alle de regneregler, vi kender for to vektorer i planen. Specielt gælder den vigtige indskudsregel for tre vilkårlige punkter A, B, C i rummet:

(1.4)

BCABAC Hvis vi anvender indskudsreglen for de to punkter A (a1, a2, a3) og B (b1, b2, b3), kan man bestemme koordinaterne til den vektor, som forbinder A og B på følgende måde:

(1.5)

ABOAOBABABOAOB ( b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3) Altså koordinaterne til den vektor, der forbinder A med B bestemmes, som

endepunktet af vektorens koordinater minus begyndelsespunktets af vektorens koordinater.

Fuldstændig analogt til den formel, som vi kender fra vektorer i planen.

1.2 Skalarprodukt

Skalarproduktet er kendt fra vektorer i planen. Om skalarproduktet for vektorer i planen ved vi, at: (1.5) a·b = |a||b| cosv Hvor v er vinklen mellem de to vektorer. Da de to vektorer udspænder en plan, kan vi uden videre overtage og anvende denne definition af skalarprodukt i rummet. Endvidere gælder for skalarproduktet for vektorer i planen den kommutative og den distributive lov. (1.6) a·b = b·a a·(b + c) = a·b + a·c Den sidste relation involverer 3 vektorer, som ikke nødvendigvis ligger i en plan, men i rummet kan den relativt nemt vises geometrisk, idet den følger af, at summen af projektionerne af b og c på a er lig med projektionen af sumvektoren b + c. Det er ikke ualmindeligt, at man i planen definerer skalarproduktet af to vektorer ud fra deres koordinatudtryk.

Hvis a =

2

1

a

a og b =

2

1

b

b så defineres skalarproduktet som: a·b = a1b1 + a2b2 .

Rumgeometri 4

I rummet vil vi i stedet anvende den geometriske definition (1.5) og ud fra dette udlede et koordinatudtryk for skalarproduktet af to vektorer.

Da de 3 basisvektorer

i ,

j ,

k er indbyrdes ortogonale enhedsvektorer, gælder ifølge (1.5):

1

kkjjii og 0

kikjji . Lad de to vektorer være givet ved koordinatudtrykkene: a = (a1, a2, a3) og b = (b1, b2, b3), eller udtrykt ved basisvektorerne:

a = a1

i + a2

j + a3

k og b = b1

i + b2

j + b3

k

Ved udregning af skalarproduktet

a·b = (a1

i + a2

j + a3

k )·(b1

i + b2

j + b3

k ) vil blandingsprodukterne mellem alle basisvektorerne blive 0 (da basisvektorerne er ortogonale), mens de 3 resterende skalarprodukter vil blive 1. Skalarproduktet bliver således ikke overraskende. (1.7) a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3 Relationen |a|2 = a2 = a·a følger også af definitionen på skalarprodukt, og kan overtages uændret fra vektorer i planen. For kvadratet på længden af en vektor finder man: (1.8) |a|2 = a2 = a·a = a1

2 + a22 + a3

2

|a| , altså selve længden af vektor er da kvadratroden af denne størrelse.

(1.9) |a| = 23

22

21 aaa

Afstanden mellem punkterne A (a1, a2, a3) og B (b1, b2, b3) er det samme som længden af vektoren

AB ( b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3). Heraf fås afstandsformlen, (hvor man i formlen har byttet om på rækkefølgen af a'erne og b'erne)

(1.10) 233

222

211 )()()(||),( bababaABBAdist

For cosinus til vinklen v mellem to vektorer, gælder ifølge definitionen (1.5) som hidtil

(1.11) ||||

cosba

bav

Rumgeometri 5

For projektionen af vektor a på vektor b er formlen ligeledes uændret i rummet (selv om skalarproduktet og længden af vektorerne udregnes på en anden måde).

(1.12) bb

baab

2||

1.13 Eksempel. Vi vil bestemme koordinaterne til den vektor som forbinder punkterne A(-2,6,4) og B(3,-3,7). Ifølge (1.4) får man:

)3,9,5()47,63),2(3( AB

Længden af denne vektor er 1153)9(5|| 222 AB

1.14 Eksempel. Vi vil bestemme vinklen mellem vektorerne a = (2,-4,5) og b = (-3,2,2). Ifølge (1.5) a·b = |a||b| cosv finder man

032,981745

1086cos

vv

1.3 Parameterfremstilling for en linie i rummet

I planen blev liniens ligning fastlagt ved et punkt på linien og en normalvektor til linien. Dette kan ikke benyttes for en linie i rummet, fordi en sådan linie har uendelig mange ikke parallelle normalvektorer. I stedet vil vi karakterisere linien ved et punkt P0 (x0, y0, z0) på linien og en retningsvektor for linien. En retningsvektor r = (r1, r2, r3) er en egentlig vektor, som er parallel med linien. Vi udtrykker derfor i stedet, at et punkt P (x, y, z) ligger på linien l, hvis og kun hvis, der findes et tal t, således at

),,(),,( 3210000 rrrtzzyyxxrtPP

Heraf følger liniens parameterfremstilling. t betegnes parameteren. Alle punkterne på linien fremkommer, når t gennemløber de reelle tal. Specielt er P=P0 for t = 0.

Koordinaterne til liniens parameterfremstilling er skrevet ud nedenfor.

(1.13)

3

2

1

0

0

0

r

r

r

t

z

y

x

z

y

x

og skrevet ud for hver koordinat finder man:

Rumgeometri 6

(1.13) 302010 ;; rtzzrtyyrtxx

1.14 Eksempel. Find en parameterfremstilling for linien med retningsvektor (-2,3,-5), og som går gennem punktet P(-1,3,6). Vi kan direkte opskrive efter (1.13)

5

3

2

6

3

1

t

z

y

x

1.15 Eksempel Find en parameterfremstilling for linien, der går gennem punkterne A(-1,3,6) og B(5,-2,1).

En retningsvektor for linien er )5,5,6()61,3,2),1(5( AB Heraf fås parameterfremstillingen

5

5

6

6

3

1

t

z

y

x

2. Krydsprodukt af to vektorer

For to vektorer a og b i rummet, definerer man retningen af det såkaldte krydsprodukt eller vektorprodukt.

(2.1) bac

som en vektor, der for egentlige ikke parallelle

vektorer a

og b

er vinkelret på såvel a

som b

således at a

,b

og bac

, nævnt i denne rækkefølge danner en "højreskrue", og således at længden af krydsproduktet:

(2.1) vbaba sin||||||

Begrebet højreskrue refererer til den måde, man i almindelighed vælger et 3-retvinklet koordinatsystem. Udfører man med højre hånd den numerisk mindste drejning v fra a til b så ligger c i tommelfingerens retning. Vi skal dog ikke anvende denne definition direkte, men i stedet forsøge at bestemme et koordinatudtryk for krydsproduktet. Senere viser vi, at koordinatdefinitionen er i overensstemmelse med den geometriske definition ovenfor. Vi stiller os derfor opgaven: For to egentlige ikke parallelle vektorer a = (a1,a2,a3) og b = (b1,b2,b3), vil vi bestemme en vektor c = (x,y,z), som står vinkelret på såvel a og b. Dette kan udtrykkes ved, at de to skalarprodukter med c skal være 0.

Rumgeometri 7

a·c = 0 og b·c = 0 Skrevet op i koordinater får man ligningerne:

a1x + a2 y + a3z = 0 og b1x + b2 y + b3z = 0 Ved at flytte leddet med z over på den anden side af lighedstegnet får man ligningerne (2.2) a1x + a2 y = - a3z

b1x + b2 y = - b3z Dette kan vi betragte som to ligninger med to ubekendte (x,y), som kan løses på sædvanlig vis med determinantmetoden. Før vi gør dette, vil vi dog lige dvæle ved betingelsen at vektorerne a og b ikke må være parallelle. At to egentlige vektorer a og b er parallelle er ensbetydende med at der findes et tal t, således at b = t·a. Skrevet ud i koordinater: (b1,b2,b3) = t·(a1,a2,a3). Dette kan udmøntes i 3 ligninger. (b1,b2) = t·(a1,a2) og (b2,b3) = t·(a2,a3) og (b1,b3) = t·(a1,a3) Opfatter man disse koordinatsæt, som koordinater til vektorer i planen, læser man, at (i hvert af de 3 tilfælde) at vektorerne er parvis parallelle. For egentlige vektorer, har vi tidligere vist, at dette er ensbetydende med, at deres determinant er nul. De 3 ligninger kan derfor skrives:

(2.3) 00011

33

33

22

22

11 ba

ba

ba

ba

ba

ba

Vi har her skrevet koordinaterne på "højkant", som man i almindelighed gør for vektorer, men determinanten er uforandret den samme, hvis man skriver koordinaterne vandret.

(2.4) 00013

13

32

32

21

21 bb

aa

bb

aa

bb

aa

Vi rekapitulerer: To egentlige vektorer a = (a1,a2,a3) og b = (b1,b2,b3) i rummet er parallelle, hvis og kun hvis de 3 determinanter ovenfor alle er nul. Vi vil nu løse ligningssystemet (2.2) med determinantmetoden. Vi minder om løsningsformlen, som blev udledt under vektorregningen. Ligningssystemet:

a1x + b

1y = c

1 (a1, b

1) (0,0)

a2x + b

2y = c

2 (a2, b

2) (0,0)

med determinanten: 122122

11 bababa

baD har netop en løsning, hvis 0D

Rumgeometri 8

(2.4) 1221

1221

22

11

22

11

baba

bcbc

ba

ba

bc

bc

x

og 1221

1221

22

11

22

11

baba

caca

ba

ba

ca

ca

y

Anvendes denne løsningsformel på ligningssystemet (2.2) finder man:

22

11

31

31

22

11

23

23

ba

ba

zbb

zaa

y

ba

ba

bzb

aza

x

Vi har antaget at vektorerne a og b ikke er parallelle, men derfor kan nævner determinanten D godt være 0. I dette tilfælde kunne vi så løse ligningssystemet (2.2) med hensyn til x og z eller med hensyn til y og z. Alle de tre nævner determinanter kan ikke være nul, hvis linierne ikke er parallelle, så vi antager at nævnerdeterminanten overfor er forskellig fra 0. Minustegnet på en søjle kan fjernes ved at man bytter om på de to søjler, og man kan flytte z, som er en konstant faktor i en søjle uden for determinantsymbolet. Endelig ombytter vi a2 og b1 i nævner determinanten. Heraf finder man:

21

21

13

13

21

21

32

32

bb

aa

bb

aa

zy

bb

aa

bb

aa

zx eller 12

31

12

23

d

dzy

d

dzx

med indlysende betegnelser d12 , d23 , d31 for de tre determinanter . For enhver værdi af z forskellig fra nul vil c = (x, y, z) være en vektor, der er vinkelret på såvel a som b. Vælger vi nu specielt z = d12, så er c givet ved udtrykket:

(2.5) c = a x b = ),,(21

21

13

13

32

32

bb

aa

bb

aa

bb

aa

Udtrykket har nogle behagelige symmetriegenskaber, og det er denne vektor, som man definerer som krydsproduktet af a og b. Vi viser nedenfor, at dette er i overensstemmelse med den geometriske definition. Man bemærker, at det netop er de 3 determinanter fra (2.4) som indgår i udtrykket, og dermed at krydsproduktet c = 0 (nulvektoren), hvis og kun hvis vektorerne a og b er parallelle.

Rumgeometri 9

2.6 Eksempel Find krydsproduktet mellem vektorerne a = (2, -3, 4) og b = (-1, 5, 2). Ifølge (2.5), får man:

7,8,2651

32,

12

24,

25

43

ba

3. Den geometriske fortolkning af krydsproduktet

Vi vil vise, at længden af krydsproduktet |a x b| er lig med arealet af det parallelogram, som udspændes af vektorerne a og b, altså at: (3.1) |a x b| = |a| |b| sin v hvor v er vinklen mellem de to vektorer og 0 v 1800. Vi skal her anvende, at længden og retningen af a x b er uafhængig af valget af koordinatsystem. At retningen er det følger af den geometriske definition, og sætningen ovenfor vedrører kun længden af vektorer, som er uafhængige af koordinatsystem. Vi vil nu udregne a x b i et koordinatsystem, hvor x -y planen er sammenfaldende med den plan, der udspændes af a og b. Da a x b står vinkelret på denne plan, har den kun en komposant langs z-aksen, dvs. x og y koordinaterne er 0.

21

21,0,0bb

aaba

Ifølge formlen for krydsproduktet ses det, at z-koordinaten netop er lig med determinanten for de to vektorer

a = (a1,a2,,0) og b = (b1,b2,0) i x-y planen. Vi har tidligere vist, at |det(a,b) | = |a| |b| sin v, lig med arealet af parallelogrammet, som udspændes af a og b. Med det valgte koordinatsystem er længden af a x b lig med z-koordinaten numerisk, så i dette tilfælde er sætningen korrekt. Da krydsproduktet er uafhængigt af valg af koordinat-system, vil udtrykket imidlertid gælde i alle tilfælde.

Hermed har vi godtgjort, at definitionen af krydsproduktet ud fra vektorernes koordinater er i overensstemmelse med den geometriske definition.

Rumgeometri 10

4. Afstand fra punkt til en linie i planen

Formlen for afstanden mellem et punkt og en linie i planen, er nært beslægtede, så vi udleder først denne formel, som også blev udledt i vektorregningen (og i den analytiske geometri). Lad en linie l i planen være fastlagt ved et punkt P0 (x0,y0) og en normalvektor til linien n = (a,b). Vi kan da udtrykke følgende:

Punktet P(x,y) ligger på linien, hvis og kun hvis

vektorerne n og

PP0 er ortogonale, altså hvis

n·

PP0 = 0

a(x-x0) + b(y-y0) = 0

(4.1) ax + by +c = 0

hvor vi har sat c = -ax0 - by0. Det bemærkes, at dette

også er opfyldt, når P = P0, idet

PP0 = 0.

Afstanden d = dist(P1,l) fra punktet P1 til linien l , kan på samme måde findes ved at udtrykke, at d er

lig med længden af projektionen af vektoren 10

PP

på n. For projektionen ab af en vektor a på en vektor b har vi udtrykket

(4.2) bb

baab 2

med længden

b

baab

Vi får derfor:

(4.3) 22

11

22

01010 )()(

||),(

ba

cbyax

ba

yybxxa

n

PPnPldistd

Det sidste udtryk svarer til det, vi tidligere har udledt med og uden brug af vektorer.

Rumgeometri 11

5. Ligning for en plan. Afstand fra et punkt til en plan

Det viser sig, at udledningen af formlen for afstanden fra et punkt i rummet til en plan, kan overtages næsten ordret fra den tilsvarende formel for afstanden fra et punkt i planen til en linie. En plan er fuldstændig fastlagt ved et punkt i planen og en normalvektor til planen. Lad en plan være fastlagt ved et punkt P0 (x0, y0 ,z0) i planen og en normalvektor til planen n = (a, b, c). Vi kan da udtrykke følgende: Punktet P (x, y, z) ligger i planen, hvis og kun hvis

vektorerne n og

PP0 er ortogonale, altså hvis

n·

PP0 = 0

(5.1) a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0

(5.2) (5.1) ax + by +cz + d = 0 hvor vi har sat d = -ax0 - by0 - cz0. Det bemærkes, at (5.1) også er opfyldt, når P = P0.

(5.1) kaldes en ligning for planen eller planens ligning

For afstanden h fra et punkt P1 (x1 ,y1 ,z1) til en plan med ligningen ax + by +cz + d = 0, bemærker

vi at h er lig med længden af projektionen af vektoren 10

PP på normalvektoren n.

Formlerne for projektion af vektor på vektor er de samme i rummet som i planen og vi finder derfor:

222

00001

)()()(

||),(

cba

zzcyybxxa

n

PPnPdisth

og hermed

(5.3) 222

1111

||),(

cba

dczbyaxPdisth

Man ser, at formlen næsten er identisk med den tilsvarende formel for afstand fra punkt til linie. 5.4 Eksempel Bestem ligningen for den plan, som går gennem P(2,1,2) og har normalvektoren n = (-1,2,-3). Ifølge (5.1) finder man ved direkte indsættelse. -1(x - 2) + 2(y - 1) -3(z - 2) <=> -x + 2y - 3z + 6 = 0

Rumgeometri 12

5.5 Eksempel Find ligningen for den plan, som går gennem punkterne A(2,1,2) , B(6,4,-2) og C(-1,2,-3).

For at bestemme en normalvektor til planen, udregner vi krydsproduktet af for eksempel AB = (4,3,-4) og

AC =(-3,1,-5)

13,32,1113

34,

35

44,

51

43

ACAB

Ligningen for planen kan herefter findes. -11(x - 2) + 32(y - 1) + 13(z - 2) = 0 <=> -11x + 32y + 13z - 36 = 0 5.6 Eksempel Fin afstanden fra punktet Q(-3,0,4) til planen med ligningen –x + 2y - 3z + 6 = 0. Ifølge (5.3) finder man:

14

1411

14

11

941

|4302)3(|),(

Qdist

5.7 Eksempel. Skæring mellem linie og plan Vi vil finde skæringspunktet (hvis det findes) mellem planen α: 3x – 4y - 2z + 5= 0 og linien med parameterfremstillingen: (x,y,z) = (1+ 2t, 3 - t, 4t - 1).

Dette opnås ved at indsætte parameterudtrykkene i planes ligning og løse ligningen med hensyn til t. Hvis ligningen ikke har nogen løsning er linien parallel med planen. Hvis ligningen er opfyldt for alle t, ligger linien i planen og hvis der er netop en løsning, skærer linien planen i et punkt.

3(1 + 2t)-4(3 - t)-2(4t - 1)+5=0 <=> t = 1, som indsat i parameterfremstillingen giver: (x,y,z) = (3,2,3)

5.1 Parameterfremstilling for planen

I stedet for at karakterisere en plan i rummet ved et punkt og en normalvektor, kan planen fastlægges: ved et punkt P0 i planen og to ikke parallelle, egentlige vektorer: p =(p1 , p2 , p3 ) og q =(q1 , q2 , q3 ), som er parallelle med planen. Da opløsningen af en vektor i planen efter to givne retninger er entydig, kan ethvert punkt P(x,y,z) i planen bestemmes ved:

(5.4)

qtpsPP0

3

2

1

3

2

1

0

0

0

q

q

q

t

p

p

p

s

z

y

x

z

y

x

Rumgeometri 13

Dette kaldes for en parameterfremstilling for planen. Alle planens punkter fremkommer, når de to parametre s og t gennemløber de reelle tal. 5.5 Eksempel Bestem en parameterfremstilling for den plan som er udspændt af vektorerne a=(2,1,2) og b=(-3,2,5) og som går gennem P(1,-1,1). Ifølge (5.4)

5

2

3

2

1

2

1

1

1

ts

z

y

x

Bestem, dernæst en ligning for denne plan.

Dette kan naturligvis gøres ved at bestemme en normalvektor som

ba , men det er ofte lettere at isolere de to parametre s og t fra to af ligningerne og indsætte i den tredje.

2s - 3t = x - 1 løses mht. 7s og 7t for -7t = x – 2y - 3 Indsættes i udtrykket for z s + 2t= y + 1 at undgå brøkregning 7s = 2x + 3y + 1 z = 2s +5t +1 => 7z = 2(2x + 3y + 1) +5(2y – x + 3) + 7 <=> -x + 16y - 7z + 24 = 0

6. Vinklen mellem to planer og skæring mellem to planer

To planer, der ikke er parallelle, skærer hinanden i en linie. Ved vinklen mellem planerne, forstår man vinklen mellem to halvlinier, der afsat ud fra samme punkt, begge er vinkelrette på skæringslinien, og som ligger i hver sin plan. Afsætter man de to normalvektorer n1 og n2 ud fra det samme punkt, ser man, at man genfinder denne vinkel som vinklen mellem normalvektorerne. Vinklen mellem de to planer kan derfor beregnes af:

(6.1) ||||

cos21

21

nn

nnv

6.2 Eksempel Bestem vinklen mellem de to planer: -x + 2y - 4z – 3 = 0 og 2x - 4y + z + 2 = 0. Ifølge (6.1) får man:

019,48081,13121

14

11641641

14)4(221cos

vvv

Rumgeometri 14

6.3 Eksempel. Skæringslinie mellem to planer Vi illustrerer metoden ved et eksempel. Lad de to planer være givet ved ligningerne:

07524

0532

zyx

zyx

Vi ønsker at bestemme alle de koordinatsæt (x,y,z), som tilfredsstiller begge ligninger. Dette gøres ved at vælge en af koordinaterne som parameter t. Vælger vi z = t, og indsættes dette ligningerne kan ligningssystemet løses med hensyn til x og y, således at alle 3 koordinater (x, y, z) er udtrykt ved en parameter, som svarer til parameterfremstillingen for skæringslinen linie mellem de to planer. Alle de koordinatsæt, der ligger på linien opfylder jo netop de to ligninger ovenfor.

7524

532

tyx

tyx Ligningssystemet har determinanten 8

24

32

D

Da 0D har ligningssystemet netop en løsning. Hvis D = 0, er planerne enten sammenfaldende, hvis de to ligninger er identiske eller parallelle, hvis de to ligninger er i strid med hinanden, dvs. at de ikke er opfyldt samtidig for noget (x,y,z) Ligningerne kan da løses på sædvanlig vis f.eks. med determinantmetoden.

),4

3

4

3,

8

13

8

11(),,(

8

66

8

1113

8

754

52

8

275

35

tttzyx

tzt

yt

xt

t

yt

t

x

Vi har tilføjet z = t, hvorefter vi har en parameterfremstilling for skæringslinien.

7. Vinkel mellem vektor og plan

Ved vinklen mellem en vektor og en plan, forstår man vinklen mellem vektoren og dens projektion på planen. Hvis projektionen er nulvektoren er vinklen 900. Hvis vinklen mellem en vektor a og planen er v, så er vinklen mellem a og én af de to normalvektorer 900 – v og vinklen mellem a og den anden normalvektor er 900 + v. I begge tilfælde finder man vinklen mellem vektor og plan ud fra formlen for vinklen mellem to vektorer.

(7.1) ||||

)90cos(

an

anv

Her skal man anvende + tegnet, hvis den fundne vinkel er større en 900 og – tegn, hvis den fundne vinkel er mindre end 900.

Rumgeometri 15

7.2 Eksempel. Vi vil bestemme vinklen mellem planen 2x – 5y + 3z + 7 = 0 og vektoren a = (3,-2, 5). Ifølge (7.1)

067,54033,359038

31

92549254

53)2)(5(32)90cos(

vvv

8. Afstanden mellem to vindskæve linier

På figuren ses to vindskæve linier l og m, dvs. linierne er hverken parallelle eller skærer hinanden. Lad liniernes retningsvektorer være r1 og r2. Ved afstanden mellem linierne forstår man længden af det korteste liniestykke, som forbinder de to linier. Det er klart, at dette liniestykke må stå vinkelret på begge linier, og dermed være parallel med vektoren

n = r1 x r2 Lægger man to planer, begge med normalvektor n, som indeholder henholdsvis l og m, er afstanden mellem l og m den samme som afstanden mellem de to planer.

Endvidere ses det at enhver vektor 21

PP , hvor P1 og P2 ligger i hver sin plan har samme projektion

på n, nemlig afstanden d mellem planerne lig med afstanden mellem linierne dist(l,m). Ud fra dette kan man finde en formel for afstanden mellem linierne. Lad P1 og P2 være vilkårlige punkter på de to vindskæve linier l og m med retningsvektorer r1 og r2.

Lad endvidere n = r1 x r2 være en vektor, som er vinkelret på dem begge. Afstanden mellem linierne kan beregnes af projektionsformlen (2.1)

(8.1)

||),(

21

n

PPnmldist

hvor n = r1 x r2 og hvor P1 og P2 er et vilkårligt punkt på hver af de to linier, f.eks. det faste punkt P0, som indgår i parameterfremstillingen. 8.2 Eksempel Bestem afstanden mellem linierne l og m med parameterfremstillingerne:

l: (x, y, z) = (4 - 4t, 2t, 1 + 4t) og m: (x, y, z) = (5 - 4t, 5t, 3 – 3t) De to retningsvektorer for linierne ses, at være: r1 = (-4,2,4) og r2 = (-4,5,-3). Vi bestemmer da en normal vektor n til begge linier som krydsproduktet mellem de to retningsvektorer.

Rumgeometri 16

1604122826||54

24,

43

44,

35

42 222

12

28

26

21

nrrn

Det ses umiddelbart at P1=(4,0,1) og P2=(5,0,3) er et punkt på hver af de to linier, så )2,0,1(21 PP

Heraf finder man ifølge (8.1)

dist(l,m) = 248,11604

50

1604

|24026|

9. Afstand fra linie til et punkt i rummet

På figuren er vist et punkt P1 og en linie l. Linien l er bestemt ved retningsvektoren r og et punkt P0. P1 's projektion på l betegnes Q. Vi ønsker at bestemme afstanden |P1Q|. Anbringer man vektoren r, således at

r =

RP0 , og tegner man vektoren 10

PP , så kan man

bestemme arealet af ΔP0P1R på to forskellige måder. Man bemærker først at afstanden d = |P1Q| fra P1 til l er højden i denne trekant, som har grundlinien |r|. Arealet er derfor: T = 2

1 |r|d.

Dernæst bemærker vi, at T er halvdelen af det parallelogram, som udspændes af vektorerne r og

10

PP . Dette areal kan skrives som længden af krydsproduktet.

1021

PPrT

Sammenligner man de to formler finder man:

(9.1) ||

),(10

1

r

PPrdlPdist

9.2 Eksempel Vi vil bestemme afstanden fra punktet P(2,4,-1) til linien m med parameterfremstillingen:

(x, y, z) = (2 - 2t, 7 + 2t, 9 + 3t) med retningsvektor r = (-2,2,3). 17|| r

Det ses, at P0 = (2,7,9) er et punkt på linien, så )10,3,0(0

PP Vi udregner da krydsproduktet af r og

PP0

Rumgeometri 17

55726220211|0|

6

20

11

30

22,

010

23,

103

320

PPrPPr

Vi finder derfor ifølge (9.1):

724,517

557),( Pldist

10. Projektion af vektor på en plan

Vi ønsker at bestemme projektionen aα af en vektor a på planen α som har normalvektoren n. Afsætter vi vektorerne a og n ud fra det samme punkt i planen, kan a skrives som vektorsummen af dens projektion på planen α og dens projektion på n. a = aα + an aα = a - an

Projektionen på normalvektoren n er imidlertid blot projektion af vektor på vektor, og finder derfor udtrykket for aα.

2|| n

naaa

10.2 Eksempel. Vi vil finde projektionen af vektoren a = (6,4,-5) på planen. 2x – y – 2z – 9 = 0 . Normalvektoren til planen er n = (2,-1,-2) . Vi bestemmer først a·n = 6·2+4·(-1)-5·(-2) = 18 og n2 = 4+1+4 = 9. Heraf finder man:

1

6

2

2

1

2

9

18

5

4

6

a

11. Kuglen

En kugle er det geometriske sted for de punkter, som har samme afstand til et givet punkt.

Det faste punkt kaldes centrum for kuglen og afstanden kaldes for radius i kuglen. Hvis C (x0,y0,z0) er centrum af kuglen med radius r, og P (x,y,z) er et vilkårligt punkt på kuglen, vil der gælde |CP| = r. Ifølge afstandsformlen får man da:

rzzyyxx 20

20

20 )()()(

(11.1) 22

02

02

0 )()()( rzzyyxx

Dette udtryk kaldes for kuglens ligning.

Rumgeometri 18

11.2 Eksempel. Bestem ligningen for den kugle, som har centrum i (-1,2,-3) og som går gennem punktet P(2,5,7). Radius bestemmes ved hjælp af afstandsformlen:

342))3(7(2)25(2))1(2(2 r

og cirklens ligning bliver:

342)3(2)2(2)1( zyx

11.3 Eksempel Vis at ligningen:

x2 +y2 + z2 +8x – 14y – 6z = 7 fremstiller en kugle og bestem centrum og radius. Vi samler leddene, og omskriver til kvadratet på en toleddet størrelse, på samme måde, som vi gjorde det for cirklens ligning. x2 + 8x + y2 - 14y + z2 - 6z = 7 <=> (x+4)2 -16 + (y-7)2 - 49 + (z-3)2 -9 = 7 <=> (x+4)2 + (y-7)2 + (z-3)2 = 81 Ligningen fremstiller altså en kugle med centrum (-4, 7, 3) og radius 9. 1.4 Eksempel. Skæring mellem en kugle og en linie. Vi ønsker at bestemme eventuelle skæringspunkter mellem kuglen med ligningen

(x – 2)2 + (y – 5)2 + (z + 3)2 = 121 og linien med parameterfremstillingen: (x, y, z) = (29 + 9t, -13 – 6t, 3 + 2t). Skæringspunkterne kan findes ved at indsætte parameterudtrykkene for x, y og z i cirklens ligning, og løse den fremkomne andengradsligning med hensyn til t.

(29 + 9t - 2)2 + (-13 - 6t - 5)2 + (3 + 2t + 3)2 = 121 <=> (27+9t )2 + (-18-6t )2 + (6+2t )2 = 121

( som efter en del udregning giver)

121t2 +726t + 968 = 0 <=> t2 +6t + 8 = 0 <=>

t = -4 eller t = -2

Ved at indsætte i liniens parameterfremstilling får man skæringspunkterne

(-7, 11, -5) og ( 11,-1,-1)

Rumgeometri 19

11.5 Eksempel. Tangentplan til en kugle En kugle er givet ved ligningen:

(x - 4)2 + (y - 7)2 + (z - 7)2 = 29.

P(6,4,3) er et punkt, der ligger på kuglen, hvilket kan ses ved indsætning.

(6-4)2 + (4-7)2 + (3-7)2 = 4 + 9 + 16 = 29.

Kuglen har centrum i C(4,7,7) så )4,3,2( CP

er en normalvektor til planen gennem P. Heraf fås tangentplanens ligning:

2(x - 6) - 3(y - 4) - 4(z - 3) = 0 <=> 2x -3y - 4z + 12 = 0

12. Rumfang og rumprodukt

Vi vil stille os den opgave at finde rumfanget af et parallelepipedum, altså en klods, der er udspændt af 3 vektorer, hvor ikke to er indbyrdes parallelle. Et sådant paralellepipedum er vist på figuren til venstre. Påstanden er, at rumfanget af et paralellepipedum, kan udregnes som højde x grundflade, og vi ved at dette gælder for en rektangulær kasse. På figuren til højre har vi tegnet en kasse og et paralellepipedum, som har samme højde og grundflade. Vi kan nu indse, at de to kasser har det samme rumfang. Hvis vi nemlig skærer det stykke som rager ud på den højre side vil det passe præcis med det stykke, der mangler på venstre. Kassen og paralellepipedet, har derfor det samme rumfang.

Vi ved at længden af krydsproduktet

ba er lig med arealet af grundfladen.

Rumgeometri 20

Højden h er lig med vc cos||

, hvor v er vinklen mellem

c og

ba . Rumfanget V, er da lig med:

vbac cos||||

, men dette kan ifølge definitionen af skalarproduktet, skrives som

(12.1) )(

bac

Dette kaldes for rumproduktet af vektorerne

cogba, . Fortegnet for rumproduktet, afhænger af orienteringerne af de tre vektorer, men i alle tilfælde er

rumfanget V =| )(

bac |. Vi vil nu udregne rumproduktet i koordinater, idet vi sætter:

),,(),,(),,,( 321321321 ccccogbbbbaaaa

312321231213123132122133113223321

21

213

13

132

32

321

)()()(

)(

cbacbacbacbacbacbababacbabacbabac

bb

aac

bb

aac

bb

aacbac

Umiddelbart virker det sidste udtryk ikke særlig overskueligt, men der er skam en streng systematik i det. Først bemærker man, at alle led indeholder et a, et b og et c, i denne rækkefølge, og hvert led indeholder indeks 1,2,3, men i forskellig rækkefølge. Bytter man om på rækkefølgen af 3 forskellige elementer, kaldes det for en permutation. Der findes 6 permutationer af elementerne 1, 2, 3. Der er nemlig 3 muligheder for at besætte 1. pladsen, 2 muligheder for 2 pladsen (i alt 6), og for hver af de 6 kun 1 mulighed for 3. pladsen. De 6 permutationer er: (1,2,3) , (1,3,2), (2,3,1), (2,1,3), (3,1,2) , (3,2,1). Enhver af permutationerne, kan opnås ud fra (1,2,3), ved at ombytte naboelementer. Den 2. permutation er opnået ved 1 ombytning af naboelementer. Den 3. ved to ombytninger af naboelementer. Hvis der skal et lige antal ombytninger til for at opnå en given permutation ud fra (1,2,3), siges det at være en lige permutation, ellers en ulige permutation. Vender vi tilbage til udregningen af rumproduktet, så ses det, at de 6 led (opskrevet abc), præcis svarer til de 6 permutationer af indices (1,2,3), således at de lige permutationer har positivt fortegn og de ulige permutationer har negativt fortegn. Dette er imidlertid noget vi allerede kender fra en 2x2 determinant.

Rumgeometri 21

122122

11 bababa

ba

Det viser sig at rumproduktet helt på samme måde kan skrives som en 3x3 determinant.

123213312132231321

333

222

111

)( cbacbacbacbacbacba

cba

cba

cba

bac

Hvert led fremkommer ved at gange en faktor fra hver af de 3 søjler, og enhver af de tre rækker. Hvis rækkeindeks er en lige permutation af 1,2,3, så skal leddet foranstilles med plus, ellers med minus. Eksempel Udregn rumfanget af det parallepipedum, der udspændes af de 3 vektorer:

)6,4,2()1,4,2(),2,5,3(

cogba . Vi opskriver determinanten:

16224)2(4)2()2(6)2(5215413643

612

445

223

Figurerne nedenfor er tegnet med et matematikprogram, som en ægte parallelprojektion.

Rumgeometri 22

13. Tre ligninger med tre ubekendte

I vektorregningen, så vi hvorledes man ved vektorregning kan finde en generel løsningsformel for 2 ligninger med to ubekendte. Løsningen blev udtrykt ved 2 x 2 determinanter. Der findes en helt generel løsningsformler for n ligninger med n ubekendte, som kaldes Cramers formler. Her er løsningen udtrykt ved n x n determinanter. Disse formler vil vi ikke forsøge at udlede, da det kræver et grundigt kendskab til matrixregning, men tilfældet n = 3, altså 3 ligninger med 3 ubekendte, kan udledes ved anvendelse af rumproduktet. Før vi gør det, vil vi notere os nogle egenskaber ved rumproduktet.

Hvis to eller flere af vektorerne i rumproduktet )(

bac er parallelle, så er 0)(

bac

Dette følger af at krydsproduktet er nul, hvis

a er parallel med

b . Hvis

c er parallel med

a eller

parallel med

b , kan

c skrives som en linearkombination af

a og

b , altså

btasc , men så vil

c , være vinkelret på

ba , og rumproduktet vil være nul.

Hvis et af de nævnte tilfælde er opfyldt, siges

cba ,, , at være lineært afhængige, hvilket er det samme som at de tre vektorer ligger i samme plan. Ud fra den geometriske fortolkning af rumproduktet som rumfanget af et paralleepipedum, der udspændes af de 3 vektorer, er det klart, at rumproduktet må være nul, når de tre vektorer ligger i samme plan. Opskriver vi rumproduktet som en determinant:

(13.1)

333

222

111

)()(),,det(

cba

cba

cba

cbabaccba

Så følger det af definitionen på determinant, at determinanten er uforandret, bortset fra et fortegnsskifte, hvis vi ombytter to søjler. Heraf følger:

)()()()()()(

acbcabcbabcaabcbac Vi opskriver nu et ligningssystem bestående af 3 ligninger med 3 ubekendte:

(13.2)

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

Hvis opfatter koefficienterne som koordinaterne til 3 vektorer, får vi:

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

,,,

d

d

d

d

c

c

c

c

b

b

b

b

a

a

a

a

Rumgeometri 23

Hvorefter vi kan skrive ligningssystemet på vektorform:

(13.3)

dczbyax

Løsning af dette ligningssystem kommer ud på at bestemme en opløsning af

d efter

a ,

b og

c .

Vi ved, at dette altid kan lade sig gøre, hvis

a ,

b og

c ikke ligger i same plan, hvilket er det

samme som at 0)(

bac . Hvis 0)(

bac og

d ligger i den samme plan har ligningssystemet uendelig mange løsninger.

Vi vil da løse ligningssystemet ovenfor under antagelsen at 0)(

bac . Vi anvender nu næsten den samme metode, som da vi løste to ligninger med to ubekendte ved vektorregning.

Vi tager først krydsproduktet af

a med

dczbyax .

dacazbyadaczbyaxa )(

Dernæst tager vi skalarproduktet med

c .

)()()(

daczcacybac ;

cacfordicac 0)( Så vi får:

),,det(

),,det(

)(

)()()(

cba

cda

bac

dacydacybac

(13.4)

333

222

111

333

222

111

cba

cba

cba

cda

cda

cda

y

Vi ser at y udregnes, som en brøk, hvor nævneren er ligningssystemets determinant og hvor tælleren er ligningssystemets determinant, men hvor den 2. søjle er erstattet med ligningens højre side. På helt same måde kan man finde x og y, under anvendelse af de ombytningsregler for determinanter, der er anført ovenfor. Herefter finder man, under forudsætning af, at ligningssystemets determinant er forskellig fra nul.

Rumgeometri 24

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

333

222

111

333

222

111

cba

cba

cba

cbd

cbd

cbd

d

dx x

333

222

111

333

222

111

cba

cba

cba

cda

cda

cda

d

dy y

333

222

111

333

222

111

cba

cba

cba

dba

dba

dba

d

dz z

Eksempel Løs ligningssystemet:

6543

36

4242

zyx

zyx

zyx

Vi udregner først ligningssystemets determinant

92)2(13)6(4354)1()2()4()1()6()4(2512

543

611

242

d

Determinanten er forskellig fra nul, så ligningssystemet har netop én løsning. Vi udregner dernæst dx.

92)2(16)6(46543)2()4(3)6()4()4(514

546

613

244

xd

og finder:

19292

dd

x x .

På helt tilsvarende måde finder man:

292

184

d

dy y

og 192

92

dd

z z

Rumgeometri 25

Løsningen til ligningssystem er derfor: )1,2,1(),,( zyx

De viste formler kan uden videre (det kræver dog et bevis) generaliseres til n ligninger med n ubekendte. De resulterende formler kaldes som nævnt for Cramers formler.