Embed Size (px)
Citation preview
Elementær Matematik
Parameterkurver
Ole Witt-Hansen 2008
Indhold
1. Indledende betragtninger .........................................................................................................2 2. Vektorfunktioner.......................................................................................................................2 3. Tangent til en parameterkurve .................................................................................................4 3.1 Lodrette, vandrette tangenter og spidser. ..............................................................................7 4. Undersøgelse af parameterkurver ...........................................................................................8
5. Kurvelængde og overstrøget areal .............................................................................................14
Parameterkurver 2
1. Indledende betragtninger Når vi hidtil har behandlet funktioner, så har det altid været funktioner, hvor definitionsmængde og værdimængde er delmænger af de reelle tal. Funktionsbegrebet er imidlertid et specialtilfælde af det mere generelle afbildningsbegreb. Definition. Lad der være givet to ikke tomme mængder A og B. Ved en afbildning f af A ind i B, som skrives:
BAf : forstås en forskrift f, som til ethvert element i en delmængde af A, knytter et og kun et element i B. De elementer i A, som har et billede i B, kaldes for definitionsmængden for afbildningen, og de elementer i B, som er billede af et element i A, kaldes for billedmængden. Det element y i B, som er knyttet til et element x i A ved afbildningen f, kaldes for billedet af x og skrives y = f(x) Hvis der for vilkårlig to elementer x1 og x2 i A, gælder: )()( 2121 xfxfxx siges afbildningen at være injektiv, og hvis ethvert element i B er billede af et element i A, siges afbildningen at være surjektiv. Hvis en afbildning er både injektiv og surjektiv siges den at være en bijektion.
2. Vektorfunktioner Lad V betegne mængden af vektorer i planen. En vektorfunktion er da en afbildning fra R ind i V.
Parameterkurver 3
Hvis t betegner tiden, og et punkt Pt bevæger sig rundt i planen, vil punktet beskrive en kurve. Da der er netop en position af Pt til ethvert tidspunkt t, er dette en afbildning af R ind i mængden af
punkter i planen. Hvis
tOP er stedvektoren til dette punkt, kan vi definere en vektorfunktion på
følgende måde:
(2.1)
)(
)()()(
ty
txOPtrtf t
Vi får dog brug for et afstandsbegreb mellem to vektorer. Ved afstanden mellem to vektorer a og b, forstår man længen af deres differensvektor | a – b|. Med denne definition, er vi nu i stand til at definere, at en vektorfunktion har en grænseværdi, at den er kontinueret og differentiabel. (2.2) Definition: f(t) går imod a for t gående mod t0 , som skrives f(t) → a for t → t0
|)()(|||:00 00 tftftt
(2.3) Definition: f(t) er kontinuert i t0
f(t) → f(t0) for t → t0
(2.4) Definition: f(t) er differentiabel i t0 hvis og kun hvis brøken:0
0 )()(
tt
tftf
har en
grænseværdi for t gående mod t0. Grænseværdien, (hvis den eksisterer) betegnes
)(' 0tf og kaldes
for differentialkvotienten af f(t) i t0. Dette kan skrives mere kompakt:
Parameterkurver 4
(2.5)
)(')()(
lim 00
0
0
tftt
tftftt
Behandlingen af vektorfunktioner ligner på mange måder behandlingen af reelle funktioner, idet en vektor funktion kan opfattes som de to reelle koordinatfunktioner. Uden så meget omsvøb, vil vi derfor fastslå: (2.6) at en vektorfunktion er kontinuert, hvis og kun hvis begge koordinatfunktionerne er
kontinuerte. (2.7)
at en vektorfunktion er differentiabel, hvis og kun hvis begge koordinatfunktionerne er differentiable.
Regnereglerne for kontinuitet og differentiabilitet følger regnereglerne for reelle funktioner.
3. Tangent til en parameterkurve På figuren nedenfor er illustreret begrebet tangent for en parameterkurve f(t) = r(t).
Det to nabopunkter ttt PogP svarer til funktionsværdierne i ttogt . Vektoren
)()( trttrr svaret til en sekant på kurven. For t > 0 er vektoren t
r
t
trttr
)()(
fremadrettet, dvs. ensrettet med vektoren
r . For t < 0 er vektoren
r bagudrettet, mens t
r
stadig vil være fremadrettet.
Parameterkurver 5
Hvis f(t) = r(t) er differentiabel, vil grænseværdien )('lim0
trt
rt
være lig med
differentialkvotienten f’(t). Samtidig vil grænsestillingen af t
r
(hvis den ikke er nul-vektoren)
være en fremadrettet tangentvektor til kurven. (3.1) Dette fører til følgende definition: Hvis f(t) = r(t) er differentiabel i t0, og f’(t0) ≠0
(nulvektoren), så siges grafen for f at have en fremadrettet halvtangent i t0. 3.2 Eksempel. Sammenhængen mellem kinematik (bevægelseslære) og parameterkurver. Hvis t betegner tiden, så svarer f(t) = r(t) til en bevægelse i planen. Differentialkvotienten v(t) = r’(t) vil være hastigheden i bevægelsen og a(t) = r’’(t) vil være accelerationen. Fra fysikken har man overtaget den konvention at man betegner længden af en vektor med det samme bogstav uden vektorstreg over. Farten i bevægelsen er længden af hastighedsvektoren v(t) = |v(t)|. Størrelsen af accelerationen er givet ved længden af accelerationsvektoren: a(t) = |a(t)| 3.3 Eksempel. Jævn retlinet bevægelse.
En jævn retlinet bevægelse er givet ved en parameterfremstilling:
14
33
)(
)()(
t
t
ty
txtr
Man finder hastigheden ved differentiation af koordinatfunktionerne:
4
3
)('
)(')(')(
ty
txtrtv
Man ser at hastigheden er en konstant vektor. Farten er v = 52423 .
I nogle tilfælde, kan man opnå en ligning for parameterkurven ved eliminination af t. I dette tilfælde er det meget simpelt, idet man finder: x = 3t – 3 t = 1/3x +1 indsat i y = 4t + 1 => y = 4/3x +5. Hvilket man genkender som ligningen for en ret linie.
3.4 Eksempel. Skråt kast. Bevægelse i tyngdefeltet.
Vi betragter en bevægelse er givet ved en parameterfremstilling:
tt
t
ty
txtr
625
8
)(
)()(
Man finder hastigheden ved differentiation af koordinatfunktionerne:
610
8
)('
)(')(')(
tty
txtrtv
Begyndelseshastigheden (for t = 0) er
6
8)0(v og begyndelseshastigheden er 1026280 v
Accelerationen er konstant rettet nedad (lig med tyngdeaccelerationen)
10
0)(')( tvta
Bevægelsen starter fra (0, 0). Vi vil bestemme det tidspunkt, hvor partiklen igen rammer x-aksen.
2,1006250 tttty .
Vi indsætter det sidste tidspunkt i udtrykket for x = 9,6. Denne værdi kaldes for kastevidden.
Stighøjden findes ved at sætte vy = 0 6,00610 tt , som indsættes i y. 8,16,0626.05 y
Parameterkurver 6
Endelig kan man beregne kastevinklen som 09,368
6
0
0tan
xv
yv.
Til slut vil vi bestemme ligningen for banekurven ved at eliminere t.
xxyttyxttx4
3264
5625
8
18
Vi genkender udtrykket som ligningen for en parabel. En såkaldt kasteparabel. På grafen nedenfor er banekurven vist sammen med hastighedsvektorerne i nogle punkter.
3.5 Eksempel. Jævn cirkelbevægelse.
Vi betragter en bevægelse er givet ved en parameterfremstilling:
t
t
ty
txtr
2sin3
2cos3
)(
)()(
At banekurven er en cirkel ses let ved at udregne 9)22sin22(cos922sin922cos922 ttttyx .
Banekurven er en cirkel med ligningen 22 yx 9.
Hastighedsvektoren findes ved differentiation:
t
t
ty
txtrtv
2cos6
2sin6
)('
)(')(')(
Det bemærkes, at )(2)(' trtr
, hastighedsvektoren er vinkelret på radius vektor, rettet langs tangenten.
Vi finder dernæst accelerationsvektoren:
Parameterkurver 7
t
t
ty
txtrtvta
2sin12
2cos12
)(''
)('')('')(')(
Hvoraf ses, at accelerationen til stadighed er rettet modsat )(tr
, altså mod centrum, hvorfor accelerationen betegnes
centripetalaccelerationen. Dette var tidligere en del af fysikpensum på den matematiske linie.
3.1 Lodrette, vandrette tangenter og spidser.
Hvis en parameterkurve )()( trtf
er differentiabel i t0 og
0)(' tr , så gælder der,
hvis x’(t0) = 0, så har kurven en lodret tangent i t0. hvis y’(t0) = 0, så har kurven en vandret tangent i t0.
Hvis )()( trtf
ikke er differentiabel i t0 , men differentiabel far højre og venstre, altså, hvis både
t
rtrog
t
rtr
tttt
00
lim)('lim)(' 00
eksisterer, men
)(')(' 00 trtr , så siges parameterkurven at have en spids i t0.
Dette er f.eks. tilfældet på kurven vist nedenfor,
Når man vil beregne spidsens åbningsvinkel, angiver man det ikke som vinklen mellem
)(')(' 00
trogtr men som vinklen mellem )(')(' 00
trogtr .
Vinklen beregnes ved almindelig vektor regning, som:
|)('||)('|
)(')('cos
00
00
trtr
trtrv
Parameterkurver 8
4. Undersøgelse af parameterkurver En undersøgelse af en parameterkurve udføres i princippet på samme måde som en funktionsundersøgelse, forskellen ligger i, hvorledes man fortolker resultaterne. 1. Skæring med koordinatakserne. For at bestemme skæringen med x-aksen skal man løse ligningen y(t) = 0. Lad os antage, at man finder løsningerne 21 tttt Tilsvarende for at bestemme skæringen med y-aksen skal man løse ligningen x(t) = 0. Lad os antage, at man finder løsningerne 543 tttttt
Man laver da en fortegnsvariation som vist på nedenstående figur. Det man kan læse af fortegnsvariationerne – ud over skæringer med akserne – er hvilket kvadrant kurven forløber i. Dette er markeret på den øverste tallinie. Hvis x > 0 og y < 0, forløber kurven f.eks. i 4. kvadrant. Tilsvarende bestemmer man positionen af eventuelle lodrette og vandrette tangenter ved at løse ligningerne x’(t) = 0 og y’(t) = 0. Lad os antage, at 9876 0)('0)(' tttttyogtttttx
Man laver da ligesom før en fortegnsvariation for x’(t) og y’(t). Vist nedenfor på figuren.
Parameterkurver 9
Ud over at kunne se, hvor der er lodrette og vandrette tangenter, så kan man aflæse i hvilken retning kurven forløber i hvert af monotoniintervallerne. Uden at kende til egentlige støttepunkter, kan man herefter få et overblik over kurvens forløb. Nedenfor er tegnet grafen for en parameterkurve, som opfylder kravene fra de to fortegnsvariationer:
4.1 Eksempel. Nedenfor er vist en Computerlavet kurveundersøgelse, af en parameterkurve, som ligner kurven ovenfor. Blandt andet er skæringen med akserne og de lodrette og vandrette tangenter bestemt, endelig er grafen tegnet.
Parameterkurver 10
4.2 Eksempel. Firkløver. Hvorfor denne parameterkurve har fået dette navn, fremgår af figuren nedenfor. Parameterfremstillingen er:
t
tt
tt
tt
ty
txtr
sin
cos2sin3
sin2sin3
cos2sin3
)(
)()(
Parameterkurven kan opfattes som en jævn cirkelbevægelse, men med en radius, som varierer mellem 0 og 3 med en periode på π. Nedenfor er vist en Computerlavet kurveundersøgelse, samt grafen for parameterkurven.
4.3 Eksempel. Cykloiden. Cykloiden er en klassisk parameterkurven. Det er den kurve som et punkt af fælgen på et hjul beskriver, når hjulet trilles af sted. For at bestemme parameterfremstillingen, betragtes nedenstående figur.
Af figuren fremgår:
trr
trrt
tr
tr
r
rt
ty
txtr CPOCOP
cos
sin
)2
3sin(
)2
3cos(
)(
)()(
Parameterkurver 11
Parameterfremstillingen bliver da:
trr
trrt
ty
txtr
cos
sin
)(
)()(
Betragter vi cykloiden, som en funktion y = f(x), så ses det at den er periodisk med perioden 2π.
Differentialkvotienten bliver:
tr
trr
ty
txtr
sin
cos
)('
)(')('
Idet
0)0('r har cykloiden ingen tangent for t = 0. For alligevel at få et indblik i kurvens forløb omkring 0, kan vi
betragte forholdet )('
)('
tx
ty for t gående mod 0 fra højre og fra venstre. Dette forhold er nemlig ”tangenthældningen” i
punktet.
2sin
2cos
22sin2
2cos
2sin2
cos1
sin
)('
)('t
t
t
tt
t
t
tx
ty
.
Heraf ses, at
)('
)('
0lim
)('
)('
0lim
tx
ty
tog
tx
ty
t
Vi slutter heraf, at cykloiden har en lodret spids i punkterne t = p2π, p = 0, ±1, ±2,… Nedenfor er vist en computer undersøgelse af cykloiden efterfulgt af en graf. Der er også udregnet et overstrøget areal, hvilket vi skal vende tilbage til.
4.4 Eksempel. Arkimedes spiral. Arkimedes spiral, fremkommer ved at man udfører en jævn cirkelbevægelse, samtidig med at radius vokser
proportional med drejningsvinklen. Lader vi
t
tte
sin
cos så gælder der
te
t
tte
cos
sin'
I sin mest simple form er parameterfremstillingen derfor
Parameterkurver 12
tettr )(
tt
tt
ty
txtr
sin
cos
)(
)()(
og mere generelt
trt
trt
ty
txtr
sin
cos
)(
)()(
For hastigheden finder vi:
)(
cossin
sincos
)('
)(')(')( trte
ttt
ttt
ty
txtrtv
Nedenfor er vist grafen for en Arkimedes spiral.
Også på denne figur er der tegnet et par tangenter, samt markeret et overstrøget areal. 4.5 Eksempel. Logaritmisk spiral. Den logaritmiske spiral er en spiral, hvor radien vokser proportionalt med t, mens drejningsvinklen vokser proportionalt med logaritmen til t. Den logaritmiske spiral er derfor næsten ”uendelig lang tid” om at foretage en omgang. Nedenfor er vist en computerundersøgelse af en logaritmisk spiral med parameterfremstillingen.
tt
tt
ty
txtr
lnsin1.0
lncos1.0
)(
)()(
Parameterkurver 13
4.6 Eksempel. Ubådsjagt. Årsagen til at den logaritmiske spiral er medtaget er, at den kommer ud som løsning i en bestemt slags problemer. Lad os antage at en destroyer og en ubåd får visuel kontakt, hvor de befinder sig i afstanden d fra hinanden. Ubåden dykker straks ned og tager flugten uden at ændre kurs med en bestemt hastighed u. Destroyeren kan sejle med farten v. Det antages, at v > u. Problemet er nu, om destroyeren kan sejle på en sådan måde, at den vil møde ubåden ligegyldig, hvilken kurs ubåden har taget. Situationen er illustreret nedenfor, hvor der også er indlagt et passende koordinatsystem.
Parameterkurver 14
Ubåden vil befinde sig på en cirkelperiferi med radius r = ut. Løsningen for destroyeren er, at den skal sejle på den samme periferi indtil den har nået en omgang. Da hastigheden v > u , skulle dette principielt være muligt. Først skal destroyerne sejle direkte mod ubåden til et punkt, på den cirkelperiferi, hvor ubåden befinder sig. Dette er nemt at finde, idet der må gælde: ut + vt = d, så t =d/(u+v). Vi begynder analysen ud fra dette punkt, som vi sætter til t = 0. Opgaven simplificeres, hvis vi skriver destroyerens position (x,y) i polære koordinater. Det er kendt fra trigonometrien, at ethvert punkts koordinater kan skrives som: )sin,cos(),( rryx Vi skriver da destroyerens
parameterfremstilling som
)(sin)(
)(cos)(
)(
)()(
ttr
ttr
ty
txtf
Det er klart, at radialhastigheden er r’(t). Den bue ds, der overstryges, når vinklen forøges med d er ds = r(t) d .
Heraf følger det, at tangentialhastigheden er )(')()( ttrdt
dtr
dt
ds
Da destroyeren til stadighed skal befinde sig på samme cirkelperiferi, skal den sejle med samme radialhastighed u. Heraf følger, at r’(t) = u eller r(t) = ut. Destroyerens fart er kvadratroden af kvadratsummen af radial og tangentialhastighed. Vi får således:
2))('(2 tutuv
som kan løses mht. )(' t til at give.
0
ln)(11
2
22)('
t
tt
ttu
uvt
hvor vi har sat
2
22
u
uv
t0 er det tidspunkt, hvor jagten langs periferien begynder. t0=d/(u+v). For simpelheds skyld sætter vi t0 = 1 og finder:
tt ln)( . Vi indsætter nu dette i parameterfremstillingen og ser, at destroyerens bane netop vil være en
logaritmisk spiral.
)lnsin(
)lncos(
)(
)()(
tut
tut
ty
txtf
Vi kan forsigtigt forsøge at vurdere, hvor lang tid det vil tage destroyeren for at sejle en hel omgang, og hvor lang væk ubåden så er kommet. Vi antager derfor at u = 12 knob og v = 25 knob. Vi finder da α = 1,83. Vi skal da løse ligningen: αln(t) = 2π 1,83ln(t) = 2π. => t = 30,98, på hvilket tidspunkt ubåden har sejlet 12∙30,98 sm = 371,8 sømil = 689 km.
5. Kurvelængde og overstrøget areal
Figuren nedenfor antyder, hvorledes vi vil finde længden af en kurve og det areal som
)(tr overstryger mellem to tidspunkter. Formlerne udledes ved infinitesimalregning. Ved beregningen af kurvelængden betragter vi buen ds, svarende til den (infinitesimale) tilvækst dt. For infinitesimale tilvækster, vil der gælde:
dttytxdtdt
dy
dt
dxdsdydxds 22
2222 )(')(')()(
Parameterkurver 15
Vi finder således formlen
(5.1) dttytxsdttytxdst
t 2
1
2222 )(')(')(')('
Hvis man skal bestemme arealet mellem kurven og x-aksen, så kan det gøres på to forskellige måder. 1. Hvis man kan finde en ligning for kurven: y =y(x) ved at eliminer parameteren t, så kan arealet mellem kurven og x-aksen udregnes som et almindeligt integral.
(5.2) 2
1
)(x
x
dxxyA
2. Selv om man ikke kan eliminere parameteren t, kan man i nogle tilfælde alligevel bestemme arealet mellem kurven og x-aksen, idet man opskriver
(5.3) 2
1
2
1
)(')(t
t
x
x
dttxtyydxA
Hvis man derimod ønsker at bestemme det overstrøgne areal mellem parameterværdierne t1 og t2,
ser vi af figuren ovenfor, at det infinitesimale areal dA, som )(tr
overstryger i tidsrummet dt, så er
det halvdelen af det parallelogram, som udspændes af )(tr
)()( trdttrdr
. Dette areal, kan igen udtrykkes på flere måder:
Parameterkurver 16
dttrtrdtdt
drrdrrdA |)(')(||),det(||),det(|
2
1
2
1
2
1
Skal man udregne arealet med denne formel, så må man dele op i intervaller, hvor determinanten har det samme fortegn, og så tilføje et minustegn, der hvor den er negativ. Man finder da følgende formel:
(5.4)
2
1
|)(')(||)(')(|2
1
2
1t
t
dttrtrAdttrtrdA
5.5 Eksempel. Vi vil undersøge parameterkurven givet ved parameterfremstillingen:
.22
123
)(
)()( Rt
tt
ttty
txtr
Skæring med x-aksen: y(t) = 0 200)2(022 tttttt
Skæring med y-aksen: x(t) = 0 323200)122(0123 ttttttt Fortegnsvariation:
Differentialkvotient: .22
1223)('
)(')(' Rt
t
tty
txtr
Lodret tangent: x’(t) = 0 3t2 - 12 = 0 t = ±2 Vandret tangent: y’(t) = 0 2t + 2 = 0 t = -1 Fortegnsvariation:
Parameterkurver 17
Til højre er tegnet en kurve, som er i overensstemmelse med de to fortegnsvariationer. Som det ses, har kurven et dobbeltpunkt, altså to forskellige t-værdier, der giver det samme (x,y). Et dobbeltpunkt kan principielt bestemmes ved at løse de to ligninger med de to ubekendte t1 og t2 . x(t1) = x(t2) og y(t1) = y(t2). Da ligninger aldrig er lineære (så har kurven nemlig ikke et dobbeltpunkt), er man henvist til at gætte sig frem. Hvis vi gætter den ene t-værdi, kan man ofte finde den anden. Vi gætter (se grafen nedenfor) på t = 2, som giver (x,y)
= (-16,8). Dernæst løser vi ligningen: y(t) = 8 24822 tttt , som indsat giver (x,y) = (-16,8).
Vi ønsker at beregne vinklen mellem tangenterne i dobbeltpunktet.
6
36)4('
6
0)2('
22
1223)(' rogrt
ttr
Heraf finder man
46,9926202)6(236
36
|)2('||)4('|
)2(')4('cos
v
rr
rrv
Nedenfor er vist kurveundersøgelsen med et matematikprogram, samt den rigtige graf. Kurven begrænser et område af planen. Vi ønsker at bestemme arealet af dette område. Det er ud fra det foregående klart, at randen af området gennemløbes fra t = -4 til t = 2. Vi anvender derfor blot formlen (5.4).
2
1
|)(')(|2
1t
t
dttrtrA
212344
22
1223
12322
)(')( tttt
t
tt
tttrtr
Da udtrykket ses, at være negativt i intervallet [-4, 2] skal vi skifte fortegn. Vi får da.
4
234455
12
12123442
12
4
)( tttttt dtA 129,6
Hvilket er det samme resultat, som matematikprogrammet får. (De to minustegn er en mindre fejl i programmet)
Parameterkurver 18
