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Basi di Dati e

UNICAL - A.A. 2008-2009

Basi di Dati e Sistemi Informativi su Web

Prof. Massimo RuffoloIng. Ermelinda Oro

Elementi diLogica Descrittiva

Termini, equivalenzei ie sussunzioni

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Operatori Logicio Diverse Logiche Descrittive (DL)

o SHIQ (alla base del linguaggio DAML+OIL)

o SHOIN(Dn) (alla base del linguaggio OWL, lo standard attualmente sostenuto dal W3C)

o …

o Ogni DL si caratterizza per l’utilizzo di un certo numero di operatori logici scelti da un repertorio di operatori possibili

Terminio Atomici (indicati spesso con le lettere A e B)

DONNAo DONNA

o intuitivamente significa “DONNA”

o Complessi (indicati spesso con le lettere C e D)

o PERSONA ≡ FEMMINA

o si legge “PERSONA e FEMMINA” o “PERSONA intersezione FEMMINA”FEMMINA

o intuitivamente significa “persona di genere femminile”

o Spesso chiamatio concetti (poiché descrivono concetti)

o classi (poiché denotano insiemi di oggetti della realtà)

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Equivalenzeo Equivalenza Terminologica

DONNA PERSONA ⊓ FEMMINAo DONNA ≡ PERSONA ⊓ FEMMINAo intuitivamente significa “DONNA equivale a PERSONA FEMMINA”

o In generaleo C ≡ D

o si legge “C equivale a D”o esprime l’equivalenza fra i 2 termini “C” e “D”

Definizione Terminologicao Definizione Terminologicao A ≡ C (con “A” è atomico)o DONNA ≡ PERSONA ⊓ FEMMINAo definizione del termine “DONNA” a partire dai termini “PERSONA” e

“FEMMINA”

Sussunzionio Sussunzione Terminologica

o RAGAZZA ⊑ DONNA

o si legge “RAGAZZA è sussunto da DONNA” o “DONNA sussume RAGAZZA”

o intuitivamente significa “una ragazza è una donna”

o In generaleo C ⊑ Do ogni individuo descritto da “C” è anche descritto da “D”

o Simmetriao C ≡ D coincide con la doppia sussunzione C ⊑ D e D ⊑ C

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Enunciati Terminologicio Espressioni che esprimono

o equivalenze fra termini

o sussunzioni fra termini

o Assioma Terminologicoo Enunciato Terminologico assunto come vero

o Terminologia o Ontologiao insieme finito di Assiomi Terminologici

o una teoria del primo ordine esprimibile in una DL

Funzione di una Ontologiao Definire relazioni di equivalenza e

sussunzione fra un certo numero di termini

o Assegnare un significato non ambiguo a un certo numero di termini atomici in base al significato di altri terminig

o Termini atomici primitivi

o privi di una definizione

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Traduzione di terminio Ogni termine atomico o complesso esprime un predicato monadico

o una proprietà che ciascun individuo (di un certo universo) può possedere oo una proprietà che ciascun individuo (di un certo universo) può possedere o meno

o Termini atomici predefinitio ⊤ (top = termine universale = tutti gli individui esistenti nell’universo)

o ⊥ (bottom = insieme vuoto di individui)

o In FOL i predicati sono rappresentati da formule con esattamente una variabile libera. Esempi di traduzione da DL a FOLo DONNA diventa [DONNA]x = DONNA(x)

o PERSONA ⊓ FEMMINA diventa [PERSONA ⊓ FEMMINA]x = [PERSONA]x ⋀[FEMMINA]x = PERSONA(x) ⋀ FEMMINA(x)

o ⊤ diventa [⊤]x = (x = x)o ⊥ diventa [⊥]x = (x ≠ x)

Traduzione di enunciati terminologicio In FOL avremo formule chiuse (prive di variabili libere) quantificate

universalmente

o C ⊑ D diventa [C ⊑ D] = = ∀ x ([C]x → [D]x)

o C ≡ D diventa [C ≡ D] = = ∀ x ([C]x ↔ [D]x)

o Esempi

o RAGAZZA ⊑ DONNA diventao RAGAZZA ⊑ DONNA diventa[RAGAZZA ⊑ DONNA] = ∀ x ([RAGAZZA]x → [DONNA]x) = = ∀ x (RAGAZZA(x) → DONNA(x))

o DONNA ≡ PERSONA FEMMINA diventa[DONNA ≡ PERSONA FEMMINA] = = ∀ x ([DONNA]x ↔ [PERSONA FEMMINA]x) == ∀ x (DONNA(x) ↔ PERSONA(x) ⋀ FEMMINA(x))

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Negazione e disgiunzioneo Gli “uomini” sono il complemento delle “donne” rispetto alla

totalità delle “persone”. Utilizzando l’operatore ¬ di complementototalità delle persone . Utilizzando l operatore ¬ di complemento(negazione) è quindi possibile definire:o UOMO ≡ PERSONA ⊓ ¬FEMMINA diventa

[UOMO ≡ PERSONA ⊓ ¬FEMMINA] = = ∀ x ([UOMO]x ↔ [PERSONA ¬FEMMINA]x) == ∀ x (UOMO(x) ↔ PERSONA(x) ⋀ ~FEMMINA(x))

o Un altro operatore utile è l’operatore di unione (disgiunzione, ornon esclusivo) che ci permette ad esempio di definire gli “esserinon esclusivo), che ci permette ad esempio di definire gli esseri viventi” come unione di “vegetali” e “animali”:o VIVENTE ≡ VEGETALE ⊔ ANIMALE diventa

[VIVENTA ≡ VEGETALE ⊔ ANIMALE] = = ∀ x ([VIVENTE]x ↔ [VEGETALE ⊔ ANIMALE]x) == ∀ x (VIVENTE(x) ↔ VEGETALE(x) ⋁ ANIMALE(x))

DL vs. Algebra Booleanao Si noti che gli operatori ¬, ⊓, ⊔, ⊤, ⊥ formano un’algebra

b lbooleana:

¬ ⊤ equivale a ⊥¬ ¬ C equivale a C

¬ (C ⊓ D) equivale a ¬ C ⊔ ¬ D

¬ (C ⊔ D) equivale a ¬ C ⊓ ¬ D

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SintesiTermine Semantica FOL

A / B Insieme di Individui di tipo A (o B) [A]x ovv. A(x)

C / D termini arbitrari [C]x

C ⊓ D C e D ovv. C intersezione D [C]x ⋀ [D]x

C ⊔ D C o D ovv. C unito D [C]x ⋁ [D]x

C ⊑ D C è sussunto da D ∀ x ([C]x → [D]x)

A ≡ C A è definito da C ∀ x (A(x) ↔ [D]x)

C ≡ D C equivale a D ovv. C ⊑ D ∪ D ⊑ C ∀ x ([C]x ↔ [D]x)

¬C C complementato ~[C]x

⊤ Insieme di Tutti gli Individui (x = x)

⊥ Insieme Vuoto di Individui (x ≠ x)

Elementi diLogica Descrittiva

Ruoli

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I Ruolio Oltre ai termini corrispondenti a predicati con

un argomento (detti, come abbiamo visto, concetti o classi), le DL utilizzano termini corrispondenti a predicati a due argomenti

o I predicati a due argomenti esprimono relazioni binarie fra individui della realtà

o Tali termini vengono detti ruolio ruoli ≡ proprietà ≡ attributi ≡ relazioni

Quantificatore Esistenzialeo Esempio di enunciato terminologico con un ruolo

MADRE ⊑ ∃G Dio MADRE ⊑ ∃GenDi

o intuitivamente significa “ogni madre è genitore di almeno un individuo”

o si legge “MADRE è sussunto dall’INSIEME DEGLI INDIVIDUI che sono GENITORI di QUALCUNO”

o ∃GenDi = termine complesso formato dal quantificatore esistenziale ∃ed il ruolo GenDi

o Traduzione in FOL (una formula dotata di un’unica variabile libera x, mentre y è vincolata da ∃)

o MADRE ⊑ ∃GenDi diventa[MADRE ⊑ ∃GenDi] = ∀ x ([MADRE]x → [∃GenDi]x) == ∀ x (MADRE(x) → ∃ y GenDi(x, y))

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Quantificatore Esistenziale Qualificatoo Esempio

∃G Di FEMMINAo ∃GenDi.FEMMINA

o denota l’insieme di “tutti gli individui” dell’universo che sono “genitori”di almeno un “individuo” di sesso “femminile”

o si legge “l’INSIEME DEGLI INDIVIDUI che sono GENITORI di almeno una FEMMINA”

o Traduzioneo ∃R.C diventa

[∃R.C]x = ∃ y(R(x, y) ⋀ [C]y)

o ∃GenDi.FEMMINA diventa[∃GenDi.FEMMINA]x = ∃ y(GenDi(x, y) ⋀ [FEMMINA]y) = = ∃ y(GenDi(x, y) ⋀ FEMMINA( y))

Quantificatore Universaleo Esempio

o ∀GenDi.FEMMINA

o si legge “l’insieme degli INDIVIDUI dell’universo che sono GENITORI di sole FEMMINE”

o Traduzioneo ∀R.C diventa[∀R.C]x = ∀ y(R(x, y) → [C]y)

o ∀GenDi.FEMMINA diventa[∀GenDi.FEMMINA]x = ∀ y(GenDi(x, y) → [FEMMINA]y) == ∀ y(GenDi(x, y) → FEMMINA(y))

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Identità tra Quantificatorio ¬ ∃ R.C diventa ∀ R.¬C

o ¬ ∃ R diventa ∀ R.⊥

o ¬ ∀ R.C diventa ∃ R.¬C

o ∀ R diventa ∀ R.⊤

Il ruolo inversoo Esprimiamo il ruolo “FiglioDi” partendo dal ruolo “GenDi” attraverso

la notazione “GenDi –”o FiglioDi ≡ GenDi-

o Esempioo ∃ GenDi-.FEMMINA diventa

[∃ GenDi-.FEMMINA]x = ∃ y(GenDi(y, x) ⋀ [FEMMINA]y)

o ∀ GenDi-.FEMMINA diventa[∀ GenDi-.FEMMINA]x = ∀ y(GenDi(y, x) → [FEMMINA]y)

I lo In generaleo R esprime la relazione binaria R(x, y)o R- esprime la relazione binaria R(y, x)o ∃ R-.C diventa [∃ R-.C]x = ∃ y(R(y, x) ⋀ [C]y)

o ∀ R-.C diventa [∀ R-.C]x = ∀ y(R(y, x) → [C]y)

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Dominio e Codominio (1)o I ruoli, in generale, hanno senso solo

limitatamente a certi sottoinsiemi dell’universolimitatamente a certi sottoinsiemi dell universoo Esempio

o GenDi mette in relazione fra loro due persone, mentre non ha senso se applicato, poniamo, alle pietre o alle nuvole.

o Ad un ruolo R si associano quindi due insiemi di qindividui, detti il dominio e il codominio del ruolo, che rappresentano gli insiemi di individui sui cui pensiamo variare le variabili x e ynell’espressione R(x,y)

Dominio e Codominio (2)o Definizione di dominio D e il codominio C di un ruolo R

o ⊤ ⊑ ∀ R C (definizione del dominio D) in FOL ∀x ∀y (R(x y) → [C] )o ⊤ ⊑ ∀ R.C (definizione del dominio D) - in FOL ∀x ∀y (R(x, y) → [C]y)

o ⊤ ⊑ ∀ R-.D (definizione del codominio C) - in FOL ∀x ∀y (R(y, x) → [D]y)

o Esempioo ⊤ ⊑ ∀ ProprietarioDi.BENE

o “definizione di dominio dato dall’insieme degli INDIVIDUI (PERSONE) che sono PROPRIETARI di soli BENI”

o ⊤ ⊑ ∀ ProprietarioDi-.PERSONAo “definizione di codominio dato l’insieme degli INDIVIDUI (BENI) che sono

POSSEDUTI da sole PERSONE”

o Notazione abbreviatao R : D → C

o ProprietarioDi : PERSONA → BENE

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Vincoli di cardinalità (1)o È possibile esprimere sui ruoli

o vincoli di cardinalità sempliceo ≤nR ≥nR

o oppure vincoli di cardinalità qualificatao ≤nR.C ≥nR.C

o Il simbolo n rappresenta un intero senza segnopp g

o Esempioo GEN3F ≡ ≥3GenDi.FEMMINA

o “definizione di GEN3F dall’insieme degli individui che sono genitori di almeno tre figlie”

Vincoli di cardinalità (2)o Traduzioni in FOL

o ≤nR diventa[≤nR]x = ∃≤n y R(x, y)

o ≥nR diventa[≥nR]x = ∃≥n y R(x, y)

o ≤nR.C diventa[≤nR.C]x = ∃≤n y (R(x, y) ⋀ [C]y )

o ≥nR.C diventa[≥nR.C]x = ∃≥n y (R(x, y) ⋀ [C]y )

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Cardinalità Esattao Definizioni

≜ ≤ ≥o =nR ≜ ≤nR ≥nR

o =nR.C ≜ ≤nR.C ≥nR.C

o Osservazionio ≥1R.C equivale a ∃R.Co ≤0R.C equivale a ¬∃R.Co ≥0R.C equivale a ⊤

o “l’insieme di tutti gli individui che hanno una relazione di tipo R con zero o più individui”

o indipendentemente dal ruolo R, tutti gli individui del dominio soddisfano questa condizione

Ruoli Funzionali (1)o Una relazione funzionale è una relazione binaria t.c. ogni

elemento del dominio è in relazione con al più un elemento delelemento del dominio è in relazione con al più un elemento del codominio.

o Un tale ruolo è detto ruolo funzionaleo Esempio

o MoglieDi : DONNA → UOMOo ⊤ ⊑ ∀ MoglieDi.UOMOo ⊤ ⊑ ∀ MoglieDi-.DONNAg

o Nel nostro ordinamento legale, il ruolo MoglieDi è funzionaleperché ogni donna può avere al più un marito (per volta, s’intende)

o DONNA ⊑ ≤1MoglieDi

o è sufficiente affermare che la classe delle donne coincide con la classe degli individui che hanno al più un marito.

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Ruoli Funzionali (2)o Si noti che DONNA ⊑ ≤1MoglieDi non elimina

la necessità di definire comunque il dominio di MoglieDi attraverso ⊤ ⊑ ∀ MoglieDi.UOMO

o Da sola DONNA ⊑ ≤1MoglieDi non esclude la possibilità che il dominio di MoglieDi sia più ampio dell’insieme delle donne

Funzionio Una funzione è una relazione funzionale in cui ogni elemento del

dominio è in relazione con almeno un elemento del codominio: ladominio è in relazione con almeno un elemento del codominio: la relazione è totale sul dominio.

o Ogni funzione mette in relazioneo ciascun elemento del dominio (argomento della funzione)o con esattamente un elemento del codominio (valore della funzione

corrispondente all’argomento)o Esempio

M d Di DONNA PERSONAo MadreDi : DONNA → PERSONAo dove il ruolo MadreDi– associa ad ogni persona la propria madre (che

esiste ed è unica)

o PERSONA ⊑ =1MadreDi–

o MadreDi– deve essere una funzione poiché ad ogni figlio deve essere obbligatoriamente associata una ed una sola madre

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Sussunzione fra Ruolio In molte DL è consentito esprimere sussunzioni ed

equivalenze fra ruoli con espressioni della forma:equivalenze fra ruoli con espressioni della forma:o R ⊑ S diventa in FOL ∀x ∀y (R(x, y) → S(x, y))o R ≡ S diventa in FOL ∀x ∀y (R(x, y) ↔ S(x, y))

o Esempioo GenitoreDi ⊑ ParenteDi

o un genitore è una specie di parenteFilgioDi ≡ GenitoreDi–o FilgioDi ≡ GenitoreDio FiglioDi è l’inverso di GenitoreDi

o Proprietà Simmetricao R ⊑ R– diventa in FOL ∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))o FratelloDi ⊑ FratelloDi–

Composizione di Ruolio In alcune DL è possibile costruire ruoli

complessi utilizzando l’operatore ∘ di composizione.

o Dati due ruoli R ed S:o R ∘ S diventa in FOL ∃z (R(x, z) ⋀ S(z, y))

o La composizione di ruoli è molto utile, ma spesso non viene ammessa perché è problematica per la decidibilità della logica

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Proprietà Transitivao Definizione

( ) di t i FOLo (R ∘ R) ⊑ R diventa in FOL∀x ∀y (∃z (R(x, z) ⋀ R(z, y)) → R(x, y))

o Molte DL (tra cui SHOIN(Dn) per OWL) pur non consentendo la composizione di ruoli, prevedono un assioma terminologico per dichiarare un ruolo come transitivoo Tr(R)

o Equivalenzao ∀(R ∘ S).C equivale a ∀(R.(∀S.C)o ∃(R ∘ S).C equivale a ∃(R.(∃S.C)

Sintesi sui RuoliTermine Semantica FOL

∃R Insieme di Individui con ruolo R su qualche Individuo [∃R]x ovv. ∃ y R(x, y)

∃R.C Insieme di Individui con ruolo R su almeno un individuo di tipo C ∃ y(R(x, y) ⋀ [C]y)

∀R.C Insieme di Individui con ruolo R su soli individui di tipo C ∀ y(R(x, y) → [C]y)

… … …

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Elementi diLogica Descrittiva

Nominali,termini enumerativie domini concreti

Nominali e termini enumerativio Nelle ontologie è possibile fare riferimento ad individui

specifici utilizzando simboli b dettispecifici utilizzando simboli a, b, c, … detti comunemente nominali e corrispondenti alle costanti individuali di FOL

o Dati n nominali a1, …, an è possibile definire il termine enumerativoo {a1, …, a1} diventa in FOL [{a1, …, a1}] ={ 1, , 1} [{ 1, , 1}]

= (x = a1 ⋁ … ⋁ x = an)

o Esempioo COLORE-RGB ≡ {red, green, blue} diventa in FOL

∀x (COLORE-RGB(x) ↔ x = red ⋁ x = green ⋁ x = blue)

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Le Logiche Descrittive (1)o Come abbiamo già detto, le DL sono linguaggi

di rappresentazione adatti alla definizione di ontologie

o Fino ad ora, le DL più utilizzate a questo scopo sono note come SHIQ e SHOIN(Dn)S Q S N( n)

o Vediamo ora che cosa significhino questi acronimi

Le Logiche Descrittive (2)o La lettera S indica la possibilità di scrivere

o Enunciati di Sussunzione ⊑ e di Equivalenza ≡ utilizzando i Termini ⊤, ⊥, ¬C, C ⊓ D, C ⊔ D, ∀R.C, ∃R.C,

o Assiomi di transitività dei Ruoli Tr(R)

o La lettera H (role hierarchy) indica la possibilità di definire

o Relazioni di inclusione fra Ruoli R ⊑ S

o La lettera O (one of) indica la possibilità di definire

o Termini per Enumerazione {a1, …, an}

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Le Logiche Descrittive (3)o La lettera N indica la possibilità di definire

o Cardinalità non qualificate ≤nR, ≥nR, =nR

o La lettera Q indica la possibilità di definire

o Cardinalità qualificate ≤nR.C, ≥nR.C, =nR.C

I fi D i di l ibilità di tilio Infine Dn indica la possibilità di utilizzareo domini concreti

Domini concretio Nelle applicazioni delle DL è spesso importante rappresentare

insiemi di valori costanti chiamati domini concretiinsiemi di valori costanti chiamati domini concreti

o Consideriamo tali valori alla stregua di nominali appartenenti a insiemi denotati da termini atomici comeo NATURAL / INTEGER / FLOAT

o CHARACTER / STRING

o Nelle DL non sono, in genere, disponibili le operazioni tipicamente associate a tali insiemi

o Esempioo Eta : PERSONA → NATURAL

o PERSONA ⊑ =1Età

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Elementi diLogica Descrittiva

TBox e ABox

Introduzioneo Un sistema di rappresentazione della

conoscenza è costituito di una TBox e di una ABoxo La TBox contiene assiomi terminologici e

definisce un’ontologiag

o La ABox contiene invece conoscenze fattuali espresse sotto forma di asserzioni

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ABoxo Nelle DL si possono esprimere diversi tipi di

f tt liconoscenze fattualio C(a) (C = termine arbitrario, a = nominale)o R(a,b) (R = ruolo, a,b = nominali)

o Esempioo MADRE(laura) diventa in FOLMADRE(laura)( )

o DONNA ⊓ ∃GenDi(laura) diventa in FOLDONNA(laura) ⋀ ∃y GenDi(laura,y)

o GenDi(laura,alessandro) diventa in FOLGenDi(laura,alessandro)

Rappresentazionedella Conoscenza

Reasoning e Queryingg Q y g

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La Deduzioneo Nel contesto in cui ci stiamo muovendo, per “ragionamento”

s’intende il ragionamento deduttivo (o deduzione)

o Una deduzione è un processo che fa passare da alcune espressioni (dette premesse o ipotesi) a un’espressione (detta conclusione o tesi), in modo tale da conservare l’eventuale verità delle premesse: in altre parole, se le premesse sono vere, lo sarà anche la conclusione.

o Ad esempio, dati come premesseo la definizione di “madre”

o il fatto che laura è una DONNA

o il fatto che laura è GenitoreDi di alessandro

o si può dedurre come conclusione cheo laura è una MADRE

Deduzione Naturale (calcolo)o Premesse

1 ∀ x (MADRE(x) ↔ DONNA(x) ∧ ∃ y GenDi(x y))1. ∀ x (MADRE(x) ↔ DONNA(x) ∧ ∃ y GenDi(x,y))2. DONNA(laura)3. GenDi(laura,alessandro)

o Deduzione (da 1 per eliminazione di ∀)4. MADRE(laura) ↔ DONNA(laura) ∧ ∃ y GenDi(laura,y)

o Deduzione (da 3 per introduzione di ∃)5 ∃ y GenDi(laura,y)5. ∃ y GenDi(laura,y)

o Deduzione (da 2 e 5 per introduzione di ∧)6. DONNA(laura) ∧ ∃ y GenDi(laura,y)

o Deduzione (da 4 e 6 per eliminazione di ↔)7. MADRE(laura)

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Semi-decidibilità di FOL (1)o Utilizzando FOL si può

o esprimere conoscenza in modo molto articolate

o eseguire (in linea di principio) in modo automatico ragionamenti complessi.

o C’è però un problema: in FOL la procedura di deduzione non è una procedura di decisione, ma soltanto di semidecisione. Ciò significa che:soltanto di semidecisione. Ciò significa che:o se la conclusione è deducibile delle premesse, la procedura

termina in un numero finito di passi producendo una prova

o se la conclusione non è deducibile delle premesse, la procedura può non terminare.

Semi-decidibilità di FOL (2)o La semi-decidibilità di FOL dipende dalla sua notevole

espressività:espressività:o più un linguaggio di rappresentazione è espressivo, più sono

problematiche le procedure di ragionamento

o Molte ricerche nel campo dei linguaggi di rappresentazione delle conoscenze hanno l’obiettivo di identificare un sottolinguaggio di FOL tale che:

il li i i bb t i lo il linguaggio sia comunque abbastanza espressivo per le applicazioni

o la deduzione si basi su una procedura di decisioneo tale procedura di decisione abbia complessità computazionale

accettabile

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Unicità dei nomiNelle DL (contrariamente a quanto avviene in FOL, ma analogamente a quanto avviene nelle basi di dati) si assume aanalogamente a quanto avviene nelle basi di dati) si assume a volte (ma non sempre) l’unicità dei nomi

UNA = unique name assumption

due nominali distinti non possono fare riferimento allo stesso individuo dell’universo

Ciò è considerato irrealistica nell’ambito del web, che costituisce uno dei contesti applicativi più interessanti per le DLpp p p

In termini logici, se si utilizzano n nominali a1, …, an l’assunzione di unicità del nome equivale alle n(n–1)/2 asserzioni:

a1 ≠ a2, a1 ≠ a3, …, an-1 ≠ an

o più concisamente ≠(a1, …, a2)

Domain Closure Assumptiono L’assunzione di chiusura del

d i i / i (DCA d i ldominio/universo (DCA, domain closure assumption) consiste nell’ipotesi cheo l’universo di tutti gli individui contenga soltanto gli

individui cui si fa riferimento con un nominalepresente nel sistemaesistono soltanto gli individui che hanno un nomeo esistono soltanto gli individui che hanno un nome

o Questa assunzione non viene mai adottatanel campo delle DL

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Closed World Assumption (CWA)o Tale assunzione è tipica delle basi di dati e di molti sistemi

d’intelligenza artificialed intelligenza artificialeo Questa assunzione non viene adottata nelle DL. Essa suonerebbe

o tutto ciò che è esplicitamente asserito nell’ABox è veroo tutto ciò che non è esplicitamente asserito nell’ABox è falso

o Essa presuppone la conoscenza completa del mondo dell’applicazioneo non è possibile assumere rispetto a un fatto una posizione neutrale

o La semantica dell’ABox delle DL è invece compatibile con una situazione di conoscenza parzialeo di alcune asserzioni si sa che sono vereo di altre che sono falseo di altre ancora non si sa nulla

Reasoningo L’aspetto che distingue nettamente una base di conoscenze da

una base di dati è la possibilità di condurre ragionamenti in modouna base di dati è la possibilità di condurre ragionamenti in modo automatico

o Poiché una base di conoscenze KB è costituita da una TBox T e da una ABox A scriveremo in generaleo KB = ‹T,A›

o Nel contesto della logica, quando si parla di “ragionamento” ci si riferisce sempre a ragionamenti di tipo deduttivo, o più semplicemente deduzionisemplicemente deduzioni

o In generale, quindi, un ragionamento è un procedimento che porta a verificare se un enunciato X (ad esempio la sussunzione o l’equivalenza di due termini) è conseguenza logica di una base di conoscenza

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Conseguenza logica (1)o Intuitivamente un enunciato X è conseguenza logica di una base

di conoscenze KB quando X è certamente vero in ogni situazionedi conoscenze KB quando X è certamente vero in ogni situazione in cui siano veri gli assiomi terminologici e le asserzioni contenuti in KB

o Più precisamente, un enunciato X è conseguenza logica di una base di conoscenze KB quando X è vero in ogni modello (nel senso di FOL) degli assiomi terminologici e delle asserzioni contenuti in KB

o In tal caso scriviamo

o KB ⊨ X

o KB implica logicamente X (X è conseguenza logica di KB)

Conseguenza logica (2)o Consideriamo ad esempio la TBox T contenente le definizioni

seguenti:o T1. GENITORE ≡ PERSONA GenDio T2. GenDi:PERSONA → PERSONAo T3. DONNA ≡ PERSONA FEMMINAo T4. UOMO ≡ PERSONA ¬FEMMINAo T5. MADRE ≡ GENITORE FEMMINAo T6. PADRE ≡ GENITORE ¬FEMMINA

o Il contenuto di T implica logicamente che certi enunciati, pur non p g , pessendo contenuti esplicitamente in T, sono necessariamente veri sotto l’ipotesi che sia vero il contenuto di T. Ad esempio:o ogni madre è una persona nonché una donnao ogni padre è una persona nonché un uomoo la classe delle madri e la classe dei padri sono disgiunte

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Conseguenza logica (3)o Ogni madre è una persona nonché una donna

o MADRE ⊑ PERSONAo MADRE ⊑ DONNA

o Ogni padre è una persona nonché un uomoo PADRE ⊑ PERSONAo PADRE ⊑ UOMO

o La classe delle madri e la classe dei padri sono disgiunteo MADRE ⊓ PADRE ≡ ⊥

Conseguenza logica (4)o Per segnalare che questi enunciati sono conseguenze

logiche di T scriviamo ad esempiologiche di T scriviamo ad esempioo T ⊨ MADRE ⊑ PERSONA

o Altri enunciati, invece, non sono conseguenza logica di T. Ad esempio dalla TBox precedente non segue logicamente che una persona abbia almeno due genitori Per esprimere questo fatto scriveremo:genitori. Per esprimere questo fatto scriveremo:

o T ⊭ PERSONA ⊑ =2GenDi–

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Reasonero Compito di ragionamento (reasoning task)

o è caratterizzato dal tipo di enunciati che si desidera dedurre da una base di conoscenze

o Procedura di ragionamentoo l’algoritmo che consente la deduzione degli

enunciati

S i i di i to Servizio di ragionamentoo un servizio effettivamente implementato da uno

strumento e messo a disposizione delle applicazioni che accedono alla base di conoscenze.

Compiti di ragionamento (TBox)o Sussunzione

o data una TBox T, stabilire se una sussunzione C ⊑ D è conseguenza logica di T, ovvero stabilire se T ⊨ C ⊑ D

o Equivalenzao data una TBox T, stabilire se un’equivalenza C ≡ D è conseguenza

logica di T, ovvero stabilire se T ⊨ C ≡ D

o Soddisfacibilitào data una TBox T, stabilire se un termine C è soddisfacibile, cioè che

esiste almeno un modello di T in cui non è vuoto l’insieme degli individui che soddisfano C

o Disgiunzioneo data una TBox T, stabilire se due termini C e D sono disgiunti, cioè

che in ogni modello di T è vuoto l’insieme degli individui che soddisfano entrambi i termini C e D

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Riduzione alla sussunzioneo Si vede facilmente che i quattro compiti di ragionamento

fondamentali per le TBox possono essere ridotti alla solafondamentali per le TBox possono essere ridotti alla sola sussunzione

o Equivalenza

o T ⊨ C ≡ D equivale a T ⊨ C ⊑ D e T ⊨ D ⊑ C

o Soddisfacibilitào T ⊭ C ⊑ ⊥

o Disgiunzioneo T ⊨ C ⊓ D ⊑ ⊥

o Questa è la strada che si segue per implementare i servizi di ragionamento per le DL poco espressive

Riduzione alla soddisfacibilitào I quattro compiti di ragionamento fondamentali per le TBox

possono anche essere ridotti alla sola soddisfacibilitàpossono anche essere ridotti alla sola soddisfacibilità

o Sussunzione T ⊨ C ⊑ Do T ⊨ C ⊓ ¬D è insoddisfacibile

o Equivalenza T ⊨ C ≡ D

o T ⊨ C ⊓ ¬D è insoddisfacibile and

o T ⊨ ¬C ⊓ D è insoddisfacibile

o Disgiunzioneo T ⊨ C ⊓ D è insoddisfacibile

o Questa è la strada che si segue per implementare i servizi di ragionamento per le DL molto espressive, es. SHOIN(Dn)

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La procedura SATo Per le DL decidibili – come SHOIN(Dn) – si può

formulare una procedura che prende in ingresso unaformulare una procedura che prende in ingresso una TBox arbitraria T e un termine arbitrario C e, in un numero finito di passi, stabilisce se C è o non è soddisfacibile (tenendo conto ovviamente delle definizioni terminologiche di T)

o Nelle sue versioni più diffuse questa procedura, che chiameremo SAT, è basata sul cosiddetto metodo dei tableaux da tempo studiato e applicato nell’ambito di FOL

Compiti di ragionamento (ABox)o Ci occuperemo ora dei servizi di ragionamento che

i l l i i i l i i d llcoinvolgono non soltanto assiomi terminologici della TBox, ma anche asserzioni dell’ABox.

o Come abbiamo già notato le asserzioni contenute in un’ABox possono essere basate su termini o basate su ruoli; ovvero, le asserzioni possono assumere una delle due forme seguenti:o C(a) (C termine arbitrario; a nominale)

o R(a,b) (R ruolo; a, b nominali)

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Compiti di ragionamento (ABox)o Instance check

dati una TBox T una ABox A un termine arbitrario C e uno dati una TBox T, una ABox A, un termine arbitrario C e un nominale a, stabilire se si ha T,A ⊨ C(a)

o Retrievalo dati una TBox T, una ABox A e un termine arbitrario C, fra tutti i

nominali presenti nella base di conoscenze trovare tutti i nominali a1, …, an tali che T,A ⊨ C(ak)

o Realizzazioneo dati una TBox T, una ABox A, un insieme di termini arbitrari {C1, …, Cn} e un nominale a, determinare gli m termini{Ci1, …, Cim} più specifici (sussunzione) in {C1, …, Cn}per cui si ha T,A ⊨ Ck(a)

Riduzione alla soddisfacibilitào Un compito di instance check può essere ridotto a un problema di

soddisfacibilitàsoddisfacibilità

o Un compito di retrieval, poi, almeno in linea di principio può essere ridotto a un compito di instance check per ciascun nominale presente nella base di conoscenze

o Un compito di realizzazione può essere ridotto a una serie di compiti di instance check e a una serie di compiti di sussunzione

o Ciò significa che, almeno in linea di principio, tutti i compiti di ragionamento che abbiamo esaminato possono essere ridotti a problemi di soddisfacibilità

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Invocazione dei servizi (1)o Le DL definiscono in modo rigoroso la sintassi

dei termini e degli enunciati logici ammissibili, ma curiosamente non stabiliscono una modalità standard per l’invocazione dei servizi di ragionamento fondamentali

S i i lo Scrittura convenzionaleo ?– interrogazione → risposta

Invocazione dei servizi (2)o In particolare esprimeremo le invocazioni dei servizi di

i i l dragionamento presentati nel modo seguente:o Sussunzione ?– C ⊑ D → yes/no

o Equivalenza ?– C ≡ D → yes/no

o Soddisfacibilità ?– C → yes/no

o Disgiunzione ?– C ⊓ D ⊑ ⊥ → yes/no

o Instance check ?– C(a) → yes/no

o Retrieval ?– C(*) → {a1, …, an}

o Realizzazione ?– a:C1, …, Cn → {Ci1, …, Cim}

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Esempio (I)o Consideriamo la TBox T seguente:

T1 GENITORE PERSONA G Dio T1. GENITORE ≡ PERSONA GenDi

o T2. GenDi:PERSONA → PERSONA

o T3. DONNA ≡ PERSONA FEMMINA

o T4. UOMO ≡ PERSONA ¬FEMMINAo T5. MADRE ≡ GENITORE FEMMINA

o T6. PADRE ≡ GENITORE ¬FEMMINAo T7. STATO ≡ {au, ch, de, es, fr, it, uk}

o T8. CittDi:PERSONA → STATO

o T9. ITAL ≡ PERSONA CittDi.{it}

o T10.BRIT ≡ PERSONA CittDi.{uk}

Esempio (II)o Definiamo l’ABox A seguente:

1 ( )o A1. DONNA(anna)

o A2. DONNA(cecilia)

o A3. UOMO(bob)

o A4. GenDi(anna,cecilia)

o A5. GenDi(bob,cecilia)

o A6. CittDi(anna,it)

o A7. CittDi(bob,uk)

o A8. CittDi(cecilia,it)

o A9. CittDi(cecilia,uk)

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Esempio (III)o Instance check

o Dati il termine FEMMINA ⊓ GenDi e il nominale annasi ha:

o ?– FEMMINA ⊓ ∃GenDi(anna) → yes

o Retrievalo Dato il termine GENITORE si ha:o Dato il termine GENITORE si ha:

o ?– GENITORE ⊓ ∃GenDi(anna) → {anna, bob}

Queryingo Interrogare una base di conoscenza significa

verificare se un enunciato e' conseguenzalogica oppure no della base di conoscenza

o Questa prova, o verifica, puo' essere effettuatainvocando un servizio di ragionamentoAl contrario delle basi di dati in una base dio Al contrario delle basi di dati, in una base diconoscenza DL-based generalmente nonvengono assunte nozioni di chiusura, salvo alpiu' l'unicita' dei nomi

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Queryingo La risposta ad un'interrogazione e' data non

sulla base di cio' che e' vero in uno specificomodello ma sulla base di cio' che e'conseguenza logica della base diconoscenza, ovvero di cio' che e' vero in tutti ipossibili modelli della base di conoscenzep

o Di conseguenza, tutto cio' che non e'esplicitamente dichiarato nella base diconoscenza non e‘ necessariamente falso

Esempi di InterrogazioniOntologia

PERSONA ⊑ ⊤⊤ ⊑ ∀ Figlio-.PERSONA

⊤ ⊑ ∀ Figlio.PERSONA

PERSONA ≡ (a b c d e)PERSONA ≡ (a,b,c,d,e)Figlio (a,b)

Figlio (a,c)

Figlio (d,e)

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Interrogazioni

o Chi ha almeno un figlioo ? - ∃Figlio(*) {a,d}

o Chi ha almeno 2 figlio ? – ≥2Figlio(*) {a}

o Chi ha almeno 3 figlio ? – ≥3Figlio(*) {}

Interrogazioni: OWAo Chi ha non più di un figlio?

o ? - 1≤Figlio(*) {} !!!

o Probabilmente, siccome normalmente si e' abituati a ragionare in termini di una base di dati, dall'ultima interrogazione si ci aspettava una risposta come {b,c,d,e}.

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Interrogazioni: OWAo In una base di conoscenza l'assenza di

informazione, in questo caso di un'asserzione dall'ABox, non equivale ad assumerne la falsita'

o Non e' esplicitamente detto in nessun penunciato della base di conoscenza che i nominali b, c, d, e abbiano al piu' un figlio.

Interrogazioni: OWAo La risposta alla domanda chi ha al piu' un

figlio risponde con il risultato atteso se aggiungiamo nella base di conoscenza

o {b,c,d,e} ⊑ 1≤Figlioo {b,c,d,e} ⊑ 1≤Figlio

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Conclusionio La logica SHOIN(Dn), come pure tutte le altre

DL, sono compatibili con le situazioni in cui la conoscenza del mondo risulti incompleta. Di conseguenza le assunzioni di chiusura (unicita' dei nomi, chiusura dell'universo, mondo chiuso) tipiche delle basi di dati, che caratterizzano una p ,conoscenza completa del mondo in cui si opera, sono ipotesi troppo forti per essere integrate in una DL

Conclusionio E' anche vero che in alcuni casi particolari, si potrebbe

sapere a priori che alcune conoscenze rappresentatesapere a priori che alcune conoscenze rappresentate nella base di conoscenza sono complete almeno sotto certi aspetti

o Di conseguenza potrebbe essere utile utilizzare alcune assunzioni di chiusura, come quella del mondo chiuso in riferimento ad alcuni termini (o ruoli) che si pensano

l ti P f i ' ' i i t dcome completi. Per fare cio', e' necessario introdurre un nuovo operatore K, da know tradotto come e' noto che, fornisce la proprieta' del mondo chiuso al termine (o ruolo) che accompagna