ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA

PARA LA ENSEÑANZA MEDIA

Año I Enero - Febrero 1964 Número 4

Alcance y finaJidad de la Reforma

Temas denuestro tiempo: La revolución en la matemática

(conclusión).por Marshall H. STONE

Cuestiones didácticas: Caracteres de la enseñanza mo­

derna de la matemática.por Emma CASTELNUOVO

Orientación: Cálculo preposicional (continua­ción).

por Raúl A. CHIAPPA

El álgebra de Boole.por Florencio D. JAIME

Bibliografía - Miscelánea - Noticias - Correo

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ELEMENTOSSUGESTIONES PARA

PROFESORES

DE MATEMATICAS

Revista de Matemática para la Enseñanza Media Publicación bimestral

Editores: José Banfi - Alfredo B. Besio - Juan J. Rodríguez - Andrés Valeiras

Sede: Fernández Blanco 2045Dirección Postal: Casilla de Correo 12, Sucursal 11

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INTRODUCCION A LAS MATEMATICAS FINITAS - Kemeny - Snell - Thompson.............................................................

SETS RELATIONS & FUNCTIONS - McFadden - Moore - Smith

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ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA

PARA LA ENSEÑANZA MEDIA

1

OlivettiEn su constante afán de a- bastecer el mercado de má­quinas para oficina con pro­ductos actualizados y am­pliamente experimentados, Olivetti Argentina somete hoy a la consideración pú­blica su nuevo producto Olivetti QUANTA, fabrica­do en el establecimiento de Merlo, con la segundad que obtendrá el éxito logrado, con sus productos Lexikon 80. Summa 15. Elettrosum- ma 14 y Divisumma 14. Con la producción en la Ar­gentina de la Olivetti Quan- ta, se alcanza a lograr un modelo idéntico al que sale actualmente de las fábricas Olivetti en Italia.

Año I Enero - Febrero 1964 Número 4

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Alcance y Finalidad de la Reformaí

iTodo el que toma una actitud educacional inteligente —ya sea

como estudiante, ya como maestro, padre o ciudadano— tiene, más pronto o más tarde, que razonarla con referencia a lo que concibe como fines de la educación. Esos fines, no sólo determinan lo que debe hacerse sino que sin ellos la acción carece de foco. Se vuelve una cuestión de forma, de ¡miración o de rutina.

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SIDNEY HOOK, "La educación del hombre moderno".

La renovación de la enseñanza de la matemática en nuestro país se ha plantea- do y se está experimentando en la escuela secundaria mediante el desarrollo de los programas propuestos para ello. Pero esto de ninguna manera es suficiente: la re- novación debe alcanzar a todos los niveles de la enseñanza y no puede estar circuns­cripta a los contenidos.

La matemática se enseña desde la escuela primaria hasta la universidad; a lo largo de las tres etapas el aprovechamiento debe ser máximo; ello requiere una tarea coordinada que evite saltos, repeticiones innecesarias y lagunas. Por otra parte, no debe descuidarse el imprescindible perfeccionamiento didáctico que estimule el apren­dizaje, aliente vocaciones y destierro el prejuicio contra la asignatura con que muchos estudiantes ingresan a los distintos ciclos.

No concebimos una escuela primaria insensible a la permanente evolución del pensamiento moderno; como educadores sabemos cuánto cuesta desarraigar hábitos mentales o rectificar nociones, cuando unos y otras fueron adquiridos en una edad en que las impresiones resultan ser más duraderas. Por otra parte, siendo la única etapa obligatoria para todos, debe proveer los conocimientos y técnicas matemáticas elementales que hoy requieren las tareas de una gran mayoría de hombres y mu je-

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La QUANTA es una sumadora Im­presora eléctrica portátil Suma, resta, da el saldo negativo, multiplica por su­mas sucesivas, imprimiendo los términos y resultados de cada operación. Es la sumadora para la tienda, la agencia, la oficina, el comerciante, el artesano, el administrador. Olivetti Quanta

: Olivetti Argentina S. A. Buenos Aíras

resulte necesario volver a encararlas en la escue-

TEMAS DE NUESTRO TIEMPOseguridad tal que nores. con una la secundaria.

Mucho menos imaginamos una universidad que proporcione una imagen obso­leta de la disciplina. Y, por supuesto, de ninguna manera admitimos que la fórma­

la estructuración moderna de la ma­rión de los futuros docentes aparente ignorar feria que aspiran a trasmitir a sus futuros alumnos. Si ello ocurre, los estudiantes que cursen un plan moderno en su adolescencia se encontrarán con que en etapas poste­riores su saber y su formación intelectual no serán aprovechados como corresponde. Lo que es más grave, egresarán del ciclo superior con un bagaje matemático anti­

do que difícilmente se pueda justificar.

La Revolución en la

Matemática (i)cua

conocimiento claro y actualizado deLa reforma debe proponerse suministrar la matemática. Con toda autoridad se ha dicho que “la preparación matemática del hombre culto, que es en definitiva el que la escuela procura formar, no puede estar atrasado en dos siglos por la única razón de no especializarse en las disciplinas tíficas

un MAR5HALL H. STONE (Universidad de Chicago - EE. UU.)

Cieil- PROBLEMAS PARA EL EDUCADOR UNIVERSITARIO p)

sidad de una reforma general que con­duzca a la modernización ¿o los progra­mas de matemática en los tres niveles y áe ha trabajado diligentemente para satisfacer esa necesidad. Aunque nues­tras universidades no han descuidado este problema, parece claro que se han hecho progresos más sustanciales

En una época en que es cada vez mayor la infiltración matemática en los domi­nios de las actividades científicas, técnicas, económicas y humanas en general, se im­pone no descuidarse en la tarea de proporcionar al estudiante de cualquier nivel los conocimientos que presuntivamente haya de necesitar en su actuación futura.

En lugar de ello, podemos ahora con­siderar brevemente unos pocos proble­mas específicos con los que parece in­dudable que el educador universitario deba enfrentarse en un futuro inmediato. Nos referiremos tan sólo a aquellos pro­blemas que de una manera u otra sur­gen del progreso de la matemática, ex­cluyendo estrictamente todos los que tie­nen otros orígenes. Por lo ya dicho, es evidente que, entre los más importantes, están los siguientes: primero, decidir qué parte del núcleo será enseñada por la universidad y cómo se la organizará en un programa adecuado; luego, decidir qué cursos especializados adicionales se­rán ofrecidos por el departamento de matemática de una universidad determi­nada, y finalmente efectuar una coordina­ción adecuada entre la instrucción ofre­cida por ese departamento de matemá­tica y los cursos relacionados con la matemática, pero que están bajo la ju­risdicción de otros departamentos.

A pesar de que los matemáticos inte­resados en la evolución general y en las tendencias principales de la matemática tienen una idea bastante buena de có­mo está constituido el núcleo central en el momento actual, esa idea no está, de ninguna manera .adecuadamente expre­sada en los programas de matemática habitualir.ente ofrecidos por las escue­las, universidades y departamentos de graduados. Sin embargo, en los últimos años, se ha sentido vastamente la nece-

fi para

resolverlo en los niveles de las escuelas secundarias y escuelas de graduados. En lo que concierne a la enseñanza de la matemática, nuestras universidades se encuentran, por lo tanto, bajo la influen­cia de los cambios, proyectados o ya ini­ciados, tanto en el nivel superior en el inferior. En la práctica, el efecto de estos cambios es trasladar gran par­te del material matemático hacia el nivel

Por último, ha de meditarse mucho sobre el aspecto fundamental, esto es, so­bre el aspecto formalivo que universalmepte y en todos los tiempos se ha reconocido a la enseñanza y al consiguiente aprendizaje de la matemática. Es indiscutible que nuestra asignatura tiene influencia primordial sobre el hábito de pensar correctamen­te; aprovechar como es debido su enseñanza para arraigar en cada estudiante la for-

del pensamiento matemático es un imperativo que cada docente —primario, se­cundario, universitario— debe tener presente en todo momento de su labor.

fma como

LOS EDITORES(0 Traducción, autorizada por el autor, del

artículo aparecido en la revista “Liberal Edu- cation” (EE.UU.), vol. XLVII, número H, yo 1961, pg. 304-327. Véase ELEMENTOS, N9 3, página 55.

(2) Esta sección del artículo de STONE es­tuvo originalmente dirigida a los educadores de los Estados Unidos; pero con sólo pocas mo­dificaciones puede aplicarse a nuestras facul­tades universitarias e institutos del profesorado. La organización de la educación americana en los distintos niveles es diferente de la nues­tra; a la escuela secundaria, “júnior” y “sénior ljigh school” (aproximadamente ciclos básico y superior de la nuestra), siguen los “colleges” y luego la “university” (o “gradúate school”). El ‘'college” es una escuela preuniversitaria. En esta versión la palabra “college” que no tiene equivalente • en nuestra organización se ha tra­ducido como “universidad” y consideramos que puede corresponder a nuestros primeros años universitarios “College educator” se ha traducido como “educador universitario”. (Nota de les Edi­tores) *

ma-

Este es, a grandes rasgos, nuestro pensamiento. Muchas otras opiniones deben escu­charse y esperamos que se hagan oír clara y profusamente en beneficio del indis­pensable proceso de superación que debe vitalizar fructuosamente nuestros esquemas educacionales clásicos. Las páginas de ELEMENTOS se ofrecen para recoger y difundir estas opiniones.

ELEMENTOS, N9 3, pág. 54: "Necesidad de la Reforma".

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ticular, puede mencionarse que, en su totalidad, el problema de enseñar sufi­ciente álgebra moderna en el nivel uni­versitario no ha sido resuelto —y requie-

estudio cuidadoso por parte de

inferior, a una otapa algo anterior en la experiencia del estudiante. En realidad, el colegio de graduados presiona a la universidad para que ofrezca cursos algo más avanzados, incluyendo algunos ge- neralmen'.o ofrecidos ahora para gradua­dos, de manera que sus estudiantes gra-

sus estudios

del cuerpo de estudiantes como las ca­lificaciones profesionales del cuerpo ¿o profesores tendrán influencia lección. Es fácil mencionar una cantidad de temas especiales que, con bastante pertinencia, podrían enseñarse a estu­diantes universitarios, tales como análi­sis numérico y técnicas de computación, mecánica, introducción a la física temática, lógica, teoría de juegos, pro­gramación lineal, y otros más. Pocas uni­versidades pueden ofrecer una línea pleta de las preferencias posibles, hay razón, por cierto, para que ninguna universidad lo intente siquiera. Por otra parte, el interés de los estudiantes exige seguramente que se ofrezcan algunos cursos de esa naturaleza, por el depar­tamento de matemática o por algún otro de los departamentos en los que se dis­cuten aplicaciones de la matemática. Así, el educador universitario que se preocu­pe por los modernos desarrollos en ma­temática y por el aumento incesante de sus aplicaciones, estimulará activamente a su cuerpo docente para estudiar lo que pueda hacerse mediante 1 o s rebursos combinados de los departamentos inte­resados, con el fin de proporcionar una instrucción adecuada en alguna de las partes más especializadas de la mate­mática.

De cualquier modo, este problema está íntimamente relacionado con el de la coordinación, el cual, como ya lo hemos señalado, difícilmente pueda ser evita­do por el educador de hoy. 'Puede nece­sitarse algo más que estímulo para obte­ner el contacto adecuado entre los de­partamentos comprometidos. Sin duda, nuestra experiencia sugiere que sin cier­ta compulsión o supervisión exterior es difícil mantener una cooperación íntima entre dos departamentos. Hoy en día, hay algunos campos donde las circuns­tancias parecen excepcionalmente favo­rables para iniciar un serio esfuerzo co­operativo para correlacionar los planes de estudio y programas de ciertos depar­tamentos. Éste es indudablemente el caso en lo que se refiere a la matemática y la física. Si se desea aprovechar y ex­plotar estas oportunidades, considero que el presidente de la universidad no debe vacilar en ejercer una dirección fuerte.

Es bastante evidente que cualquier

éxito que logre alcanzar haciendo de la coordinación una realidad, marcará un avance educacional real para su insti­tución. La naturaleza del problema de la coordinación no es difícil de definir, y los medios para su solución están muy a mano. El mayor obstáculo para alcan­zarla reside en la dificultad humana pa­ra mantener la coordinación en una si­tuación que manifiestamente lo exige, a pesar de las marcadas diferencias en los puntos de vista. Por lo tanto, como etapa inicial para establecer la coopera­ción entre el departamento de matemá­tica y cualquier otro departamento que esté interesado, debe intentarse zanjar estas diferencias. En lugar de ir direc­tamente a la consideración de los deta­lles de cómo deben relacionarse los sos específicos, sería mejor intentar pri­mero un examen conjunto del estado ge­neral de las dos materias y de los puntos de vista concernientes a ellas sostenidos por los miembros de los dos departa­mentos. En la mayoría de los casos, la diferencia básica de opinión muy pro­bablemente resida en los juicios de lor sobre la antitesis entre lo concreto y lo abstracto o la antitesis matemática correspondiente entre manipulación y discernimiento de configuraciones. Des­de que la abstracción y el discernimien­to de configuraciones están desempe­ñando papeles cada vez más importan­tes en el estudio científico de la natu­raleza —lo que es muy notablemente claro en el caso de la teoría cuántica del campo— el deseo de los matemáticos de destacar los aspectos abstracto y estruc­tural de la matemática, ambos a causa de su interés intrínseco y de la prensión más firme que proporcionan sobre situaciones concretas y técnicas instrumentales, puede hoy comenzar a recibirse con más simpatía que en tiem­pos pasados. Por otra parte, es impor­tante que el matemático no descuide los aspectos instrumentales de su materia ni insista en que su propio interés por la generalidad y la precisión sea partido engodos los momentos y circuns­tancias por los que se dedican a las aplicaciones de la matemática. Acep­tando que se pueda alcanzar algún en­tendimiento mutuo sobre estos puntos, la coordinación real de la enseñanza de

en su se-

re unlos profesores universitarios de matemá­tica. Incluso el éxito completo de los es­fuerzos actuales para modernizar la en­señanza del álgebra en el colegio secun­dario no significará que en ellos ha de enseñarse mucha álgebra moderna por la simple razón de que la parte princi­pal del álgebra del colegio secundario,

la concibe en el momento ac­tual, poco tiene de álgebra en el sentido moderno, estando relacionada principal­mente con el análisis elemental de fun­ciones polinómicas, reales o complejas. La determinación de lo que debe ense­ñarse de geometría en el nivel universi­tario es otro problema que está lejos de ser resuelto satisfactoriamente, como ya lo hemos mencionado en nuestras pri­meras consideraciones. En verdad, debe­mos esperar que nuestras ideas sobre este problema cambiarán mucho ’an el transcurso de la próxima década, como respuesta al progreso que en este cam­po está haciendo la investigación.

duados puedan comenzcr mejor preparados y llegar más rápida­mente a los puntos más avanzcdos de nuestro conocimiento matemático actual. Por otra paria, la escuela secundaria es­tá comenzando a considerar algunos de los temas tradicionalmente enseñados en la universidad como posible material de

ciclos básico y superior. Por ejemplo, algunas escuelas secundarias han 'asta­do enseñando los elementos del cálculo desde hace muchos años, y hay muchos indicios de que, antes de que transcurra

década, la mayoría de nuestras ras-

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com- y no

una

como se

sus

cur-

unacuelas secundarias más grandes habrá hecho lo mismo. Así, el educador uni­versitario está enfrentando el problema de elevar el nivel da los programas de su departamento de matemática e inte­grarlo con los profesores mejor prepa­rados. Suponiendo, para el objeto de nuestra discusión, que no pasará mucho tiempo antes de que el curso común de matemática del primer año de la uni­versidad sea un tratamiento riguroso y completo del cálculo integral y diferen­cial enseñado a estudiantes que ya han tenido una introducción más o menos in­tuitiva en el colegio secundario, podemos esperar razonablemente que la gran ma­yoría de nuestras universidades más grandes ofrecerá a través de sus ciclos buenos cursos de introducción a la teo­ría de las funciones analíticas de una variable compleja, geometría diferencial moderna y análisis funcional del tipo qu*a ofrecen ahora las escuelas de gradua­dos.- Si se fijaran de tal manera los lí­mites superior e inferior del programa de matemática de la universidad, 'enton­ces el problema principal podría redu­cirse a organizar los cursos esenciales que deberían enseñarse en esa etapa. Aquí es necesario hacer mucho, tanto, por cierto, que muy bien puede ser ne­cesario realizar un ataque coordinado según las líneas sugeridas por lo que se está haciendo en el campo de la ma­temática del colegio secundario. En par-

va-

Hablando con claridad, la universidad difícilmente pueda emprender un progra­ma de matemática más rico y avanzado salvo que esté dispuesta a eliminar una apreciable cantidad de material inútil de su programa tradicional. Hay muchas cuestiones obvias para eliminar, temas que deberían enseñarse en la escuela se­cundaria o no enseñarse nunca. Citemos el álgebra universitaria, la geometría del espacio, la mayor parte de la trigono­metría numérica, la geometría descripti­va y algunos tópicos de cálculo. Dado que muchas —quizás la mayoría de nuestras universidades— están todavía ensoñando esos temas, el trabajo de re­forma'debe comenzar por eliminarlos de sus planes de estudio. Sólo cuando -esto se haya logrado, podrá darse su justo alcance al programa de matemática de la universidad y llevárselo a un nivel adecuado de calidad.

En lo que concierne a los cursos ofre­cidos como complementos especializados del programa central, deba esperarse que haya gran variación de una univer­sidad a otra. Tanto el interés profesional

com-

com-

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tantes de nuestro tiempo, el propósito de ponerdel pensamiento humano.

RESUMENEn resumen, hemos visto cómo la ma­

temática ha sufrido cambios revolucio­narios y un explosivo desarrollo en el siglo XX; hemos visto cómo simultánea­mente ha multiplicado sus contactos con otros campos de investigación, asumien­do en muchos de ellos el papel clave y en otros, por lo menos, un indispensable papel auxiliar. Hemos identificado mu­chos problemas educacionales serios que se oponen a la necesidad urgente de mo­dernizar nuestra 'enseñanza de la mate­mática. Estos .problemas son particular­mente agudos en el nivel universitario y constituyen un gran desafío contemporá­neo a la sabiduría y energía de nuestros cuerpos de profesores y presidentes de universidades.

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CUESTIONES DIDACTICAS^

Caractere5 de la Enseñanza

Moderna de la Matemática

la matemática con las otras materias puede ser considerada en una atmósfe­ra favorable. El departamento d.e mate­mática hará lo mejor que pueda para ofrecer les temas convenientes en el mo­mento debido, con alguna orientación hacia las aplicaciones que puedan con­templarse, y, por otra parte, los^ otros departamentos interesados tratarán de usar, y d*3 usar correctamente, los ma- feriales preparatorios provistos por el de­partamento de matemática, y asumirán alguna obligación para dar a sus estu­diantes preparación práctica adicional en los principios matemáticos y las téc­nicas implicadas. Obviamente, una coor­dinación tal como la que hemos des- cripto exig*2 mucho trabajo, difícil y pa­ciente, para su realización. No se la pue­de lograr de la noche a la mañana, o sin el máximo de buena voluntad y de­dicación para el que debe ser uno de los propósitos «educacionales más impor-

de manifiesto la unidad esencial

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EMMA CASTELNUOVO (Roma, Italia)

Estoy convencida de que no es posible considerar la enseñanza de la matemá­tica sin observarla en relación con las otras asignaturas, es decir, desde un punto de vista muy amplio dentro del marco de una didáctica general. Me re­fiero, a la enseñanza de la matemática a alumnos de 11 a 14 años, o sea de esa edad anterior a la adolescencia que re­sulta extremadamente interesante.

Comencemos por preguntarnos por qué razón se habla ahora tanto de enseñanza de la matemática. ¿Acaso la matemática no es siempre más o menos la misma? ¿Acaso los alumnos no son siempre más o menos iguales? No pretendemos cam­biar nada; sólo queremos pensar en esa enseñanza a la luz de una pedagogía ac­tiva, de los estudios psicológicos recien­tes y de las modernas investigaciones matemáticas. Sólo después de realizado este examen podremos pensar en pro­gramas y métodos de enseñanza; sólo entonces podremos preguntarnos: 1) qué debemos enseñar de matemática, y 2) qué métodos debemos emplear en esa ense­ñanza.

En el año 1657 se publicó un libro in­titulado “Didáctica Magna” que puede considerarse como la primera obra de pe­dagogía científica. Su autor era Comenio, un hombre de familia muy modesta, un hijo del pueblo. Lo que le indujo a escri­birlo no fue un motivo estrictamente di­dáctico, sino más bien social. El princi­pio fundamental expresado en su obra es el del “método cíclico”. Permítaseme ci­tar algunas líneas de Comenio sobre este principio: “Aunque estas escuelas sean diferentes —escuela de la primera in­fancia, escuela primaria, escuela para adolescentes, escuela para jóvenes— no queremos, sin embargo, que los alumnos aprendan cosas diferentes sino las mis­mas cosas de diferente manera. Con esto quiero decir que ellos deben aprender todo lo que ayuda a los hombres a ser verdaderamente hombres y a los cientí­ficos a ser verdaderamente científicos. Todo eso lo deben aprender de acuerdo con la edad y el nivel de preparación previa, que debe tender a elevarse en forma gradual y amplia”.

Advertimos claramente que este prin­cipio tiene un fin social; se habla en efecto de “enseñar todo a todos”, de ma­nera que después de cada ciclo el alum­no posea una cultura general y esté, por tanto, en condiciones de ubicarse debi­damente en la comunidad.

En nuestros cursos primarios y secun­darios se aplica muchas veces el “méto­do cíclico”; por ejemplo, -en la enseñanza de la geometría. En la escuela primaria se habla a los niños de triángulos, cua­drados, círculos, siempre desde un punto de vista práctico y experimental. Las

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CICLOIDE

Esta curva plana —descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin resbalar sobre una recta y que consta de infinitos arcos sucesivos e iguales —es llamada a veces la “Helena de la geometría” por su airosa forma y sus hermosas propiedades. No era conocida por los antiguos y parece haber sido entrevista sólo a principios del siglo XVI por C. Bouvelles y N. de Cusa; su nombre se debe a Galileo.

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Entre sus propiedades merecen citarse las siguientes: la longitud de un arco es ocho veces la del radio de la circunferencia generatriz; la superficie comprendida entre ese arco y la cuerda que lo subtiende, es el triple de la superficie del círcuilo correspondiente. Huyghens descubrió una importante propiedad mecánica de la cicloide: es la curva tautócrona, esto es, la trayectoria de un péndulo ideal cuyo período de oscilación es efectivamente independiente de la amplitud. Juan Bernoulli agregó más: la cicloide es la curva braquislócrona, es decir, la trayectoria de tiempo mínimo entre dos puntos para un cuerpo pesado.

Si la recta sobre la que rueda la circunferencia generatriz se sustituye por oLra circunferencia, se obtienen la epicicloide y la hipocicloide, según que aquélla ruede externa o internamente sobre la segunda. Ya Hiparco y Tolomeo se valieron de las epicicloides para describir los movimientos celestes; el mismo Copérnico no pudo prescindir del movimiento epicicloidal. Hoy día, estas curvas tienen mucha impor­tancia en la mecánica aplicada.

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LA PEDAGOGÍA MODERNA

; En primer lugar, digamos algo acerca de pedagogía. Se ha hablado mucho en estos últimos años sobre enseñanza ac­tiva y clases activas; pero los principios fundamentales de esta escuela activa son muy antiguos. Estos principios esián ligados a los nombres de dos personali­dades de la educación: el bohemio Jan Amos Komenski, más conocido como Co­menio, y el suizo Enrique Pestalozzi.

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desarrollaba libremente, me convenció cada vez más de que una enseñanza es verdadera y educativa sólo cuando está basada en la actividad de los niños. Al enseñarle a trazar líneas, ángulos y círculos se desarrolla la intuición de cada objeto y en cada niño se genera una energía activa que le ayudará a percibir

más claridad los conceptos abarca­dos por el círculo de su experiencia”.

En estas líneas se habla de intuición. La etimología de este vocablo procede del verbo latino intueri, que significa mi-

profundamente, con atención. El sen­tido, es pues, originariamente, de contem­plación pasiva. Este significado de la pa­labra intuición lo hallamos desde Platón hasta Rousseau y Pestalozzi. Sobre todo en las obras de este último cambia el sentido, y de actitud pasiva se convierte en activa. Para Pestalozzi, intuición sig­nifica construcción. Esta aclaración es muy importante para nosotros cuando hablamos de geometría intuitiva; en efecto, tendremos dos geometrías intuiti­vas diferentes según Ja interpretación que demos al t.rmino intuición: la intuición como actitud pasiva o la intuición como actitud activa.

La consecuencia que se deriva de la interpretación moderna de la palabra intuición es que los alumnos estarán siempre activos y la lección nunca ten­drá carácter verbal. Acerca de esta cues­tión escuchémos una vez más a Comenio y Pestalozzi. Dice Comenio: "El conoci­miento tiene que originarse necesaria­mente a través de los sentidos. Entonces, ¿por qué iniciar la enseñanza con una exposición verbal de las cosas y no con la observación real de las mismas? Sólo después de haber observado las cosas, podrá explicárselas eficazmente”. Pesta­lozzi va aún más lejos: "Cualquier ñanza científica cuyas definiciones se viertan en la mente de los muchachos como un deus ex machina o revistan la apariencia de algo sugerido, a la ra de lo que hace el apuntador en teatro, no tiene más valor que el de estudio destinado a producir mediocres comediantes. Si quedan adormecidas las fuerzas esenciales del espíritu y sobre su sueño se vierten palabras huecas, sólo se formarán soñadores que imaginarán sombras tanto más vanas cuanto más

mismas figuras se tratan en los primeros años de la escuela secundaria; pero en tonces no se pretende dar justificaciones sólo por la vía experimental, sino valién­dose de razonamientos. Más tara-a, las mismas figuras formarán parte de un sistema axiomático. Se trata siempre, pues, de los mismos asuntos, pero consi­derados cada vez con mayor amplitud y profundidad en los ciclos sucesivos.

Es justamente este desarrollo, esta am­pliación pausada y progresiva, lo^ que constituye el principio de este método. De esta manera, después de cada ciclo el educando tendrá una conciencia tal de cada asignatura que podrá ubicarse sin inconveniente en la sociedad. Cone­nio se propone obtener un "hombre com­pleto” —son sus palabras— después de cada ciclo.

Se comprende que este método tenga como objetivo el respeto a la personali­dad humana, y conmueve pensar que su principio, base de la moderna pedagogía, fuera enunciado hace ya tres siglos por un hombre, Comenio, surgido del pueblo mismo.

Otro principio fundamental de la es­cuela activa lo encontramos expresado en las obras de Enrique Pestalozzi, . en modo particular en su libro "Cómo ense­ña Gertrudis a sus hijos”, publicado en 1801.

Antes de citar algunas de sus líneas, quiero decir algo sobre su vida. Pestalozzi pertenecía a una distinguida familia sui­za y su existencia podría haber trascu­rrido tranquila y feliz; pero desde muy joven dejó la vida fácil para irse a tra­bajar al campo y llevar la vida de los campesinos y la gente más pobre. Re­cuerdo muy bien sus palabras: "Viví mucho tiempo en compañía de unos cin­cuenta niños pobrísimos, compartí con ellos mi pan en la pobreza, viví como un mendigo, para enseñar a los mendigos a vivir como hombres”.

Éste fue Enrique Pestalozzi, el hombre. Veamos ahora lo que nos dice como pe­dagogo: "Unos niños enseñaban a los otros —se refiere a una de las escuelas fundadas por él—, trataban de hacer lo que yo les decía y, de esta forma, llega­ban por sí solos a descubrir los medios más convenientes por las maneras más diversas. Esta actividad personal, que se

grandiosas y pretenciosas hayan sido las palabras que se vertieron sobre el tedio y ia mediocridad de su psique.. . Las des­cripciones deben preceder a las defini­ciones. Si algo está claro para mí, ello no significa que lo pueda definir, sino sólo que lo puedo describir, o sea, que puedo decir con precisión cómo está formado, pero no qué cosa es”.

Esta última frase podría ser aceptada, sin duda alguna, por el profesor más tradicionalista. Es obvio —dice el profe­sor— que nunca me permitiría dar la de­finición de un concepto o propiedad sin antes haber descrito el concepto o expli­cado la propiedad. Pero no es eso lo que Pestalozzi pretendía expresar; el sentido de su afirmación es mucho más profundo. Pestalozzi quería decir lo siguiente: “si un concepto es claro para mí, no es cierto que mediante una explicación verbal esté yo en condiciones de hacerlo claro también para ti”.

La explicación verbal ayuda muy poco cuando se enseña a muchachos de 11 a 13 años Quiero aclarar esta afirmación con un ejemplo geométrico; se trata de una experiencia que quizá han tenido muchos docentes.

Deseo introducir la noción de ángulo. Si doy a niños de 11 a 12 años la defini­ción dada por el francés Arnaud hacia 1600 —ángulo es la parte de plano com­prendida entre dos semirrectas del mismo origen— y hago el dibujo correspondien­te, podemos estar casi seguros de que muchos alumnos, cuando se les pida que dibujen un ángulo más grande, prolon­garán sencillamente los trazados de los lados.

Si en lugar de esta definición doy la de Euclides —ángulo es la inclinación de una recta sobre otra— y hago el di­bujo de un ángulo distinguiendo su am­plitud con el consabido arco circular, po­demos estar seguros de que muchos ni­ños, instados a dibujar un ángulo más grande, se limitarán a trazar un arco más distante del vértice, es decir de mayor radio. Y debe tenerse presente que en gran parte de los casos se t’ata de alum­nos que son capaces de repetir exacta­mente la definición de ángulo.

Estos errores son muy significativos y nos obligan a reflexionar sobre el tema. Nos preguntamos por qué es tan difícil

la noción de ángulo. Después de muchos años, ahora estoy investigando las difi­cultades que plantea esa noción a los alumnos. A tal fin, les he propuesto • es­tas cuatro preguntas sobre los ángulos, que debían contestar por escrito.

1) Entre los objetos que te rodean, ¿ves ángulos?

2) ¿Es posible describir un ángulo con un movimie.nto de tus miembros?

3) ¿Se puede medir un ángulo con el metro?

4) ¿Qué es un ángulo?Por razones de brevedad no me referiré

a las ;ospuestas concernientes a las tres primeras preguntas; todas ellas son inte­resantes, pero, sin niguna duda, lo son más las que conciernen a la cuarta. He llevado a cabo la investigación con unos quinientos alumnos. Bien; unos doscien­tos escribieron: "ángulo es el punto en que se encuentran dos rectas”, es decir, ángulo es el vértice. El porcentaje de ni­ños que dieron esta respuesta es tan gran­de que nos invita a investigar el por qué de este error. Yo creo que se debe a que en el lenguaje habitual decimos que un objeto anguloso es un objeto con puntas, y la correspondiente sensación táctil impresiona al niño

En conclusión, antes de dar una defi­nición y describir un concepto, debemos investigar sobre la noción que los niños tienen de ese concepto, noción muchas veces adquirida a través del lenguaje corriente o por su propia experiencia.

Por ello, si queremos una enseñanza activa, la moderna pedagogía nos obliga a dar ai término intuición el sentido de construcción; esto es, nos exige que nues­tra enseñanza sea de carácter construc­tivo.

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ense-f NUEVAS TÉCNICAS PSICOLÓGICAS\

Satisfecha esta exigencia es evidente que si los alumnos deben estudiar sin una guía demasiado ríqida del profesor, su labor partirá de la observación de lo concreto para abst'aer los conceptos ma­temáticos. ¿Qué significa esto? ¿Qué sen­tido se debe dar a ese "concreto”?

Lamentablemente no podemos exten­demos sobre la evolución que se ha ope­rado en el tiempo en el significado de la

mane-unun

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Lo que interesa es la forma de manejo del material; esto es, las operaciones que se realicen.

29) Se presentan al niño dos cuadrados iguales de cartón verde; ellos —se le dice— representan dos prados. Se le agrega que en los cuadrados se meten dos vacas, una en cada uno. Entonces, se le pregunta: '‘¿Las dos vacas tienen la misma cantidad de hierba para co­mer?" Todos los niños interrogados con­testan afirmativamente.

A continuación, en el primero de los cartones y en su centro se coloca un car- tonciío marrón y se dice al niño que re­presenta una casa. Si se le pregunta: ¿Ahora las dos vacas tiene la misma cantidad de hierba para comer? Todos están de acuerdo en que la vaca del pri­mer prado tiene menos hierba para co­mer porque la casa está ocupando un "•espacio" en él.

Ahora bien —y aquí está el hecho psi­cológicamente interesante— si colocamos en el segundo cartón un cartoncito ma­rrón como el del primero, pero no en su centro sino en una 'esquina, los niños empiezan a sentirse confundidos y con­testan que ahora los espacios libres a disposición de las vacas no son los mis­mos, porque cuando la casa está en la esquina del prado, la vaca tiene "más espacio" y, por lo tanto, más hierba pa­ra comer.

Me- parece que los errores de esta clase hay que atribuirlos, ya sea al significado que se da a la palabra "espacio" (por ejemplo, si en una habitación se coloca una mesa en un rincón, en lugar de ha­cerlo en el medio, decimos que hay más "espacio"), ya sea a la confusión que el niño se hace siempre entre la noción de superficie y la de perímetro; ya sea so­bre todo —según mi opinión—al hecho de que para llegar a la conclusión de que las vacas tienen la misma canti­dad de hierba para comer, se necesita comprender que los dos prados son 'equi­valentes porque son diferencias entre polígonos iguales dos a dos, y esta con­sideración requiere una cierta facultad de abstracción.

De -estas dos experiencias se deduce cuál es el papel que Piaget asigna al ma­terial empleado. La función del material es para él exclusivamente operativa. Es

mayor parte a niños cuya edad es sobre las transformaciones de configura­ción a configuración hacia donde se debe enfocar la atención y la actividad del ni­ño, y no sobre las configuraciones en sí mismas, ¿*e las cuales el niño debe libe­rarse poco a poco.

Teniendo en cuenta qu*3 estas inves­tigaciones se han hecho con millares de niños, Piaget llega a la conclusión de que en el niño surgen primero las estruc­turas topológicas y después las algebrai­cos (por ejemplo, la reversibilidad de .las acciones) y las de orden (por ejemplo, la posibilidad de disponer bastoncitos se­gún sus tamaños).

Estas observaciones tienen gran impor­tancia no sólo desde el punto de vista psicológico, sino por el hecho de que las estructuras que nacen naturalmente en la mente infantil son idénticas a aquéllas que, según la escuela de Bourbaki, cons­tituyen la base del edificio matemático. Se comprende fácilmente que esta corres­pondencia entre el nacimiento de los pri­meros conceptos matemáticos y los fun­damentos de la matemática moderna, es muy importante y debe tener sus conse­cuencias en la didáctica.

Resumiendo, podemos decir que los es­tudios relativos a la psicología del niño, nos obligan a dar a la enseñanza de la matemática un carácter operativo.

frase "recurrir a lo concreto"; nos limita­remos a hacerlo brevemente.

- Hasta comienzos de este siglo, dicha frase significaba mostrar a los educandos dibujos apropiados u objetos tales dados, pelotas, etc. Se reclamaba la atención del niño sobre estas figuras y la percepción de este "concreto" se gra­baba en su mente como si se tratase de una impresión sobre una placa fotográ­fica. Tan sólo a principios de siglo, pe­dagogos como la italiana María Mon- tessori y el belga Ovide Decroly dieron a la noción de "recurrir a lo concreto" un sentido más activo, tal como lo había postulado Pestalozzi. María Montessori sugiere que se facilite al niño un material de construcción especial. Manipulando este material, llegará a percatarse del número y la medida. El material sugerido es de carácter sintético: partiendo de cada uno de los elementos integrantes se llega a construir la totalidad de la figu­ra. Decroly expone una tendencia opues­ta: sostiene que el niño se siente más atraído por la observación de la totali­dad que por la de sus elementos consti­tutivos. Sugiere, en consecuencia, que se lo guíe hacia la observación de fenóme­nos complejos, como por ejemplo los fe­nómenos naturales y, poco a poco, a su posterior análisis, para llegar así a des­cubrir el número y la medida. Puede de­cirse, pues, que el método propugnado por Decroly es analítico.

Ambas metodologías, aún teniendo ca­rácter activo, fueron criticadas por Jean Piaget, el psicólogo suizo contemporá­neo. Según éste, los métodos de Mon­tessori y Decroly, aún siendo construc­tivos, fuerzan al niño a seguir una vía determinada y, consecuentemente, cons­tituyen una pedagogía que no puede con­siderarse libre.

Piaget se propone estudiar el desarro­llo de las estructuras mentales del niño. Dicho estudio se lleva a cabo mediante conversaciones privadas entre maestro y alumno; en ellas no se procura el análi­sis o la síntesis con un material especial, sino que se aborda el problema de las operaciones que, mediante ese material, se pueden realizar y que, en tanto que operaciones, no dependen del tipo de material.

Las experiencias de Piaget se refieren

en suinferior a los 11 años. Pero no dejan de ser también interesantes para nosotros

método puede, sin duda.porque suadaptarse a alumnos de más edad. En el

particular de los comprendidos en­tre 11 y 14 años, se ha hecho muy poco; por tanto, tendrán mucha importancia las investigaciones que podamos reali­zar con nuestros alumnos.

Para tener una idea más clara de la metodología propugnada por Piaget, creo oportuno referirme a dos experiencias: la primera consiste en la adquisición del concepto de número y la otra, en la del concepto de medida. Los niños con los que se ha experimentado tienen menos de 6 años.

I9) Se presentan al niño dos recipien­tes cilindricos de vidrio iguales, en uno de los cuales hay agua coloreada de rojo y en el otro, de azul; en ambos hasta el mismo nivel. El contenido del segundo recipiente se vierte en un tercero, igual­mente de vidrio, pero más alto y estrecho. Se pregunta al niño si el primer y el ter­cer recipientes contienen la misma canti­dad de líquido. Hasta los 5 años, la res­puesta es negativa. Los niños dicen: "contiene más el tercer recipiente, por­que el agua llega hasta un nivel más alto".

comocaso

í¡

Idéntica experiencia puede realizarse con cantidades discontinuas, valiéndose por ejemplo, de bolitas rojas y azules, que el propio niño puede introducir en los recipientes. Pero el resultado es siem­pre el mismo: la comprensión del niño es exclusivamente de índole perceptiva.

Sólo hacia los 6 años el niño posee la noción de "conservación del conjunto"; sonríe entonces cuando se le hace esa pregunta y dice: "¡Claro que la cantidad de agua es la misma! Basta volcar la azulada en el recipiente que ocupaba antes para ver que alcanza otra vez el mismo nivel". Ahora el niño está en po­sesión de la ley de reversibilidad.

Estas experiencias nos inducen a creer que el niño no puede aprehender el con­cepto de número mientras le falta la ley de conservación del conjunto, o sea, el principio de la invariancia del número.

Se advierte que en las experiencias de Piaget no es el material lo importante; es indiferente que sean bolitas o líquidos.

ORIENTACION DE LA MATEMATICA ACTUAL

He aludido a las relaciones de los 'es­tudios psicológicos con las investigacio­nes matemáticas modernas. Ahora qui­siera exponer más detalladamente la transformación, o mejor dicho, la evolu­ción de la matemática en 'estos últimos cincuenta años. Me limitaré a dar una imagen global y visual de la matemáti­ca moderna, comparándola con la mate­mática clásica.

Tengo presente el cuadro que se solía dar de la matemática «en el novecientos: se la representaba como una inmensa construcción encerrada por una muralla, una construcción formada por muchos edificios más o menos altos; algunos ter­minados, otros, la mayor parte, todavía en ejecución; armónicos algunos, s i n gracia los otros. Estos edificios no esta­ban aislados unos de otros; no sólo se

!

11f

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/dores y pasadizos, sin detenerse en los recintos y aposentos de las diversas sas,iguales que se encuentran en arquitec­turas diferentes y que en el día de maña­na podrán sugerirnos otras construcciones similares.

Gustave Choquet resume en pocas {ra­la diferencia entre la matemática

clásica y la de nuestros días: '‘El mate­mático tradicional —dice— estudiaba argumentos particulares que reagrupa­ba según su color (aritmética, álgebra, geometría, trigonometría, etc.). El descu­brimiento de las grandes estructuras ha cambiado la urdimbre y la trama de la fábrica de nuestro mundo. En lugar de las fibras horizontales vemos las verti­cales".'"A la matemática que se estudiaba ha­ce 50 años se la denomina hoy matemá­tica clásica. En ella —me permito insistir — la atención se concentraba sobre '‘los edificios", o sea sobre los diferentes ca­pítulos de la matemática, y sobre ''los cimientos de esos edificios", esto es, los elementos fundamentales de las teorías: el número, el punto, la recta, etc.

Por lo contrario, se da el nombre de matemática moderna a esa matemática cuya esencia no reside en la calidad del material con que opera sino en las leyes que rigen las operaciones que permitie­ron su construcción. Ahora, en lugar de razonar sobre entes determinados, s*e consideran diversos sistemas de reglas (las axiomáticas); cada uno de estos siste­mas Z'3 aplica después en muchos mo­delos diferentes. Y son justamente estas axiomáticas las que constituyen los ci­mientos de la matemática moderna. En nuestro modelo se podrá interpretar a esas reglas como las leyes arquitectóni­cas que son siempre válidas cualquiera sea la forma de construcción y la calidad del material empleado.

Es, por consiguiente, sobre las estruc­turas, sobre las relaciones, que debemos guiar la atención de los educandos. En conclusión, la enseñanza de la matemá­tica deberá tener por esta causa un ca­rácter relaciona!.

podía entrar a cada uno de ellos por la respectiva puerta, sino que, y esto era la más interesante, un sistema de puentes, pasadizos, corredores, intercomunicaba los pisos altos con los bajos de los di­ferentes edificios, sobreponiéndose y en­trecruzándose como rutas aéreas. Los edi­ficios representaban los diversos capí­tulos de la matemática: el álgebra, el análisis, las geometrías, etc.; los puentes, pasadizos y corredores indicaban que los diversos capítulos no estaban aislados, sino que muchas relaciones permitían pasar de una teoría a la otra.

Esta imagen de la construcción ma­temática siempre me ha impresionado y he encontrado muy sugestivo —aun en la enseñanza de niños— hacer alusión a aquellas intercomunicaciones.

En nuestro siglo, de la imagen de la fortaleza medioeval dada a la matemá­tica, sin haber perdido nada de la su­gestión y »al valor que tenía, queda, al igual que ocurre con las obras de arte, un hermoso cuadro que representa a la. matemática de otra época, una época que abarca más de 2000 años. Hoy ve­mos aquella imagen con el mismo espí­ritu con que contemplamos un pueblo en una pintura de Breughel o Corot, y de­cimos que es un pueblo de otros tiem­pos, como lo decimos también si se des­cubre una forma de vida que ya no existe, en algún lugar perdido, al que se llega ocasionalmente movido por la cu­riosidad y la devoción de revivir justa­mente lo que ya ha muerto.

¿Qué le ha sucedido a la matemática en estos últimos decenios? ¿Por qué han cambiado, y siguen cambiando, las in­vestigaciones matemáticas? ¿En qué con­sisten estos cambios?

También aquí para recoger el espí­ritu de la matemática moderna, emplea­mos una imagen: no se trata ahora de observar un paisaje con sus casas y edi­ficios, sino de analizar, de estudiar ana­tómicamente, desde los cimientos, las estructuras de esas construcciones. Hoy no se podría presentar la obra matemá­tica como el modelo de un conjunto de casas y puentes; hoy la investigación nos lleva al análisis detallado de los corre-

ORIENTACIONca-trátando de recoger las estructuras

El Algebra de Boole”ses

FLORENCIO D. JAIME(Instituto Superior del Profesorado - Bs. As.)

ORIGEN DEL ALGEBRA DE BOOLE la clase o conjunto de todas las cosas que se habrán de tomar en considera­ción. Con 0 indicaba la inexistencia de elementos en una clase, o sea lo que hoy llamamos la clase vacía. Los sím­bolos X, Y, Z, representaban clases. A los elementos de estas clases los llama­ba "los Xs", '‘los Ys", “los Zs", respec­tivamente. Aplicar como factor uno de los símbolos x, y o z al símbolo repre­sentativo de una clase significaba selec­cionar los Xs, los Ys o los Zs, respecti­vamente, que existieran en esa clase. Cuando no se indicaba a quién multi­plicaba uno de esos símbolos, debía 'en­tenderse que multiplicaba al símbolo 1 del universo, que se había dejado so­breentendido. El símbolo x significaba, pues, x . 1, y este producto significaba •el conjunto de los Xs que existieran en el universo 1, ó sea el conjunto X. De mo­do, pues, que:

Descartes, el genial filósofo y matemá­tico francés que en 1637 introdujo la re­presentación de los puntos por sus co­ordenadas, logró con ello reducir el razonamiento geométrico al razonamien­to algebraico que, como sabemos, se expresa por medio de símbolos comunes a todos los idiomas. Cuarenta y dos años después, Leibniz, el ilustre filósofo y ma­temático alemán que participó en la creación del Cálculo Infinitesimal, conci­bió un proyecto más ambicioso aún que el de Descartes: la creación de un len­guaje simbólico de carácter universal que permitiera efectuar todos los razonamien­tos científicos aplicando las reglas de un cálculo especial a los símbolos de ese lenguaje. El mismo Leibniz efectuó al­gunos ensayos al respecto, pero sin al­canzar una solución satisfactoria.

Debió transcurrir algo más de un si­glo y medio antes de que se inventara una nueva álgebra adecuada para reali­zar con éxito la plausible idea de Leibniz. Tal invento se debió al lógico inglés George Boole (1815-1864), quien lo expu­so en su libro "The Mathematical Ana- iysis of Logic" publicado en 1847. Boole fue un hombre de escasos recursos pe­cuniarios, circunstancia adversa que te impidió realizar su deseo de graduarse en Matemáticas; pero, convertido en au­todidacto, triunfó sin embargo en la em­presa de justificar, con procedimientos algebraicos por él ideados, las reglas aristotélicas del silogismo. Para ello, re­presentaba por 1 al universo, o sea a

fi

x = x.l = X y análogamente y = y.l == Y

z = z.l = Zy

En cambio x . y significaba el conjunto formado por aquellos Xs que existieran en la clase Y. Cuando la clase Y no contiene elementos Xs, el producto x . y,= 0; cuando las clases x e y tie­nen elementos comunes, los Xs conteni­dos en Y son los mismos que los Ys con­tenidos enX, de modo que x . y = y . x.

{

(*) En el centenario de la muerte de George BOOLE (1815-1864), ELEMENTOS rinde homenaje a su memoria publicando esta colaboración del profesoi JAIME.

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i

/

ALGEBRAS MODERNAS

En 1881, el lógico-matemático italiano Giuseppe Peano desarrolló la Aritmética de los números naturales con método axiomático, partiendo de tres conceptos primitivos (no definidos previamente pero caracterizados implícitamente por los axiomas) y de cinco axiomas expresivos de las relaciones fundamentales existen­tes entre aquellos conceptos primitivos. En 1899, el matemático alemán David Hilbert estructuró en forma axiomática la Aritmética de los números reales consi­derando como conceptos primitivos el de número real, los de las operaciones de adición y multiplicación, y los de mayor y menor; y aceptando'como axiomas al­gunas de las propiedades que se de­muestran en la Aritmética ordinaria, para deducir de ellas las demás. En 1905, el matemático estadounidense Edward V. Huntington encontró un conjunto de con­ceptos primitivos y un sistema de axio- más que permitía desarrollar directa­mente la Aritmética de los números com­plejos y, como parte de ellos, la de los números reales, dentro de los cuales se podían caracterizar como tipos especia­les, los números racionales, los enteros y los naturales.

Ahora bien, esos interesantes trabajos precedentemente mencionados consti­tuían exposiciones nuevas, sí, pero de la misma vieja Aritmética que todos hemos estudiado de otro modo. En cambio, los trabajos de Bolyai, publicados entre 1832 y 1835, y los de Lobachevsky, desarro­llados en el lapso comprendido 1833 y 1855, habían conducido Geometría métrica nueva, que se llamó Geometría no euclidiana hiperbólica, a la que se agregó otra Geometría más ideada por Riemann en 1854: la Geome­tría no euclidiana elíptica. ¿A qué obe­decían las difeiencias entre estas geo­metrías y la de Euclides? Sencillamen­te a que aquellos matemáticos habían aceptado los cuatro primeros postulados de Euclides y habían sustituido el quinto por otro que lo contradecía. Este modo de proceder sugirió la idea de crear ál­gebras nuevas aceptando, como axio­mas, algunas de las propiedades de la Aritmética ordinaria y alguna o algunas otras proposiciones que no se verificaran

sus trabajos en tal sentido, publicados en los dos primeros decenios del pre­sente siglo; y, precisamente, fue él quién indicó, de dos maneras distintas, cuáles podrían ser los conceptos primitivos y los axiomas que habrían de permitir la reconstrucción del Algebra de Boole con método axiomático. En lo que sigue, adoptaremos uno de esos puntos de par­tida señalados por Huntington.

en esa Aritmética. Claro está que, con estos cambios, los números dejarán de ser interpretaciones de los símbolos con que se op*ere en las nuevas álgebras y las operaciones indicadas con los símbo­los " + " y "." habrán de tener significa­dos distintos de los que se les atribuyen en la Aritmética clásica. El mismo Hun­tington, anteriormente mencionado, fue uno de los que más se distinguieron por

Para ilustrar esta propiedad conmutativa, ponía el siguiente ejemplo: Supongamos que 1 sea el conjunto de todos los ani­males, que Y sea el conjunto de los ove­junos y qu*e X sea el conjunto de los animales que tienen cuernos En tal caso x . y es el conjunto de los animales con cuernos existentes entre los ovejunos, o sea el de los carneros. A su vez y . x es el conjunto de los ovejunos existentes entre los animales con cuernos, o sea. otra vez, el conjunto de los carneros.

Con estos ingeniosos recursos Boole consiguió expresar simbólicamente las proposiciones que intervienen en los si­logismos clásicos. Así, por ejemplo, la proposición universal afirmativa:

Todos los Xs son Ysse traducía en símbolos mediante el si­guiente razonamiento: Si todos los Xs están en Y, entonces seleccionando los Xs que hay en Y se obtienen todos los Xs existentes; luego:

/

RECONSTRUCCION AXIOMATICA DEL ALGEBRA DE BOOLE

Entes primitivos

1) Un conjunto K formado por elementos desconocidos;2) Una primera operación, llamada "adición" e indicada con el símbolo "H-°,

realizable con elementos de K;3) Otra operación, llamada "multiplicación" e indicada con el símbolo reali­

zable con elementos de K.Notación

A las variables a, b, c, ... les atribuiremos como campo de variabilidad elcuales-conjunto K; de modo, pues, que dichas variables representarán elementos

quiera del referidos conjunto.#A xio mas(1)X . y = X

Por otra parte, si todos los Xs están en el conjunto Y, entonces, al quitar del universo el conjunto Y, no quedará nin­gún elemento de X en el conjunto res­tantes 1 — Y; luego:

! Ax. I. 2, llamado "de existencia y uni­cidad del producto y de cierre del con­junto K con respecto a la multiplicación":

Para cada elemento a y cada elemen­to b, de K, existe un elemento c, de K, tal que:

Ax. 1.1, llamado "de existencia y uni­cidad de la suma y do cierre del conjun­to K con respecto a la adición":'

Para cada elemento a y cada ele­mento b, de K, existe un elemento c, de K, tal que:

x (1 — y) = 0 (2) a . b = c

Ax. II. 2, llamado "existencial de un elemento neutro en la multiplicación":

Existe al menos un elemento de K» llamado "uno" y representado por "1", tal que para ese elemento y cualquiera a, de K, se verifica que:

> a -r b = c

Ax. II. 1, llamado "existencial de un elemento neutro en la adición":

Existe al menos un elemento de K, lla­mado "cero" y representado por "0", tal que para ese elemento y cualquiera a, de K, se verifica que:

Cualquiera de las igualdades (1) y (2) puede servir de expresión simbólica de la proposición universal afirmativa. Obsérvese que de la (1) se puede pasar a la (2) por transposición de términos y factoreo; mientras que de la (2) se puede pasar a la (1) aplicando la propiedad distributiva y transponiendo términos. Pero no todas las propiedades del álge­bra ordinaria subsisten en el Algebra de Boole. Así, por ejemplo, x . x significa el conjunto de los Xs que hay en X, o sea el mismo conjunto X, de modo que x . x = x, lo que no es cierto para todo x en el álgebra ordinaria.

No interesa por el momento seguir des­cribiendo el Algebra óa Boole jen su for­ma original, porque en la actualidad se la puede desarrollar en forma más abstracta y más general empleando el método exiomático, como habremos de hacerlo más adelante.

entre a una

1 . a = a0 + a r= a

Ax. III. 1, llamado "propiedad conmu­tativa de la adición":

Para todo elemento a y todo elemen­to b, de K, se verifica que:

Ax. III. 2, llamado "propiedad conmu­tativa de la multiplicación".

Para todo elemento a y todo elemento b, de K. se verifica que:

a + b = b + a a . b = b . a

Ax. IV. 1, llamado "propiedad distri­butiva hacia la derecha de la adición con respecto a la multiplicación".

Para todo elemento a, todo elemento b y todo elemento c, de K, se verifica que:

Ax, IV. 2, llamado "propiedad distri­butiva hacia la derecha de la multipli­cación con respecto a la adición":

Para todo elemento a, todo elemento b y todo elemento c, de K, se verifica que:

a -{- (b . c) = (a + b) (a -j- c) a (b + c) =ja . b + a . c

- 94 - 95

Ax. V, llamado “existencial de un ele­mento complementario":

'■

Para cada elemento a, de K, existe al otro elemento a', de K, Riamadomenos

“elemento complementario del a", tal aque:

a . a' = 0

Ax. VI, “de la mínima composición de K":

Existen por lo menos dos elementos distintos en el conjunto K.

a + a = 1 y

1 es el rectángulo, 0 la clave vacía, el signo indica unión de conjuntos, y el signo intersección. Dada una fi­

gura a (por ejemplo un círculo), su com­plementaria a" es la que se obtiene ex­cluyendo del rectángulo la figura a.

(Continuará)

© © ©cuencia dual extraida del grupo de axio­mas duales de los del anterior.

En virtud de la expresada ley, basta demostrar uno sólo de cada dos teore­mas duales, pues la demostración del otro se puede obtener mecánicamente haciendo las permutaciones indicadas y cambiando la numeración de los axio­mas invocados como justificativo por la de sus respectivos duales.

Ley de dualidad del Algebra de Boole

Los axiomas I. 1,1. 2, II. 1, II. 2, III. 1, III. 2, IV. 2 y VI expresan propiedades co­munes al Algebra de Boole y a la Arit­mética ordinaria. Los axiomas IV. 1 y V, que no se cumplen en la Aritmética or­dinaria, completan en el Algebra de Boole una relación que se advierte entre los axiomas referentes a la adición y los referentes a la multiplicación. Esa rela­ción consiste en lo siguiente: Si en el enunciado de uno cualquiera de los axiomas del Algebra de Boole se per­mutan los símbolos “1", se obtiene el enunciado de otro axioma del Algebra de George Boole, llamado “dual" del primitivo. Los pares de axiomas designados con un mismo número romano son duales entre sí; el axioma V es dual de sí mismo y el VI se puede considerar también como dual de sí mismo, ya que no sufre modifica­ción al efectuar las indicadas permuta­ciones de símbolos por carecer de ellos.

La relación de dualidad existente en­tre los axiomas del Algebra de Boole da origen a la siguiente ‘ley de j dualidad de esa misma Algebra: Si en el enuncia­do y en la demostración de un teorema cualquiera, que exprese una consecuen­cia lógica (directa o indirectamente ex­traida) de un determinado grupo de axio­mas del Algebra de Boole, se permutan los símbolos y *7', “0" y "l", seobtiene el enunciado y la demostración de otro teorema, expresivo de la conse-

JOSE HERNANDEZ, ¿FILOSOFO DE LA MATEMATICA?

Según Leopoldo Kronecker (1823-1891), “Dios creó los números naturales; todo lo demás es obra de los hombres“Con estas palabras —dicen Courant-Ro- bbins—, indicó el terreno seguro sobre el cual puede cojistruirse la estructura de la matemática”.

Por su parle José Hernández (1834-1886), nuestro máximo poeta gauchesco, pone en boca de Martín Fierro, en su contrapunto con el Moreno, los siguientes versos: __ _

Ji

INTERPRETACION ILUSTRATIVA !Uno es el sol, uno el mundo, sola y única es la luna; ansí, han de saber que Dios no crió canlidá ninguna.El ser de todos los seres sólo formó la unida; lo demás lo ha criado el hombre después que aprendió a contar.

“ + " y V', “0" y El Algebra de Boole, desarrollada con método axiomático, es abstracta y, por lo tanto, no requiere el conocimiento previo de interpretación alguna de sus entes primitivos. Más aún: las demostra­ciones deben ser efectuadas con prescin- dencia absoluta de toda interpretación de esos entes a fin de que las conclusio­nes tengan validez general y aplicación a cualquiera de las interpretaciones que satisfagan los axiomas. Sin perjuicio de ello, y a simple título ilustrativo, es útil disponer de una interpretación que per­mita entender y retener conceptos y enunciados. La siguiente puede pleada al efecto:

Como conjunto K se considera el con­junto constituido por la clase vacía y por todas las figuras geométricas que se puedan formar con los puntos de un rectángulo dado, incluso el rectángulo mismo, consideradas todas juntos de puntos.

.

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ser em-

VALORES APROXIMADOS DE \/2

Siendo m y n enteros positivos arbitrarios, probar que \/2 está siempre com­prendido entre m/n y {m + 2n)/{m + n), y que esta últimd es en cualquier caso una aproximación mejor que la primera (Problema propuesto por G. H. Hardy, A. Course of Puré Malhcmatics, y tratado por el Dr. F. Herrera eru el curso de perfec­cionamiento de San Luis de 1964).como con-

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;

/

Cálculo Proposicional1*’ prefación" ambas tienen igual V. Ó3 V. Por ejemplo: "Si llueve, iré al cine" y "Si no voy al cine, no llueve".

Para determinar si una proposición A es equivalente a otra proposición B, se establece el bicondicional A±^B y se construye su T.V. de V. Si el bicondicio­nal A ^ B es tautológico, diremos que A equivale (formalmente) a B y lo sim­bolizaremos por A: A === B.

También pueden demostraros las si­guientes leyes generales de la equiva­lencia:

a) Toda proposición es equivalente a sí misma.

b) Si una proposición es equivalente a otra, ésta es equivalente a la primera.

c) Si una proposición es equivalente a otra y ésta a una tercera, la primera es equivalente a la tercera.!

Mediante el estudio de la equivalencia entre proposiciones, es posible verificar si distintos enunciados pueden conside­rarse con igual significado; es decir, si representan a la misma proposición.

Por ejemplo, las siguientes proposicio­nes pueden clasificarse en dos grupos de proposiciones equivalentes:

plica la proposición "Juan vino", pues si la primera es verdadera, debe serlo la se­gunda.

Recordando la definición de razona­miento correcto se observa que puede definirse como aquel razonamiento en el que las premisas implican formalmente a la conclusión. Por ello, el estudio de la implicación es uno de los principales propósitos de la lógica, interesada espe­cialmente en la determinación de téc­nicas que muestren si una proposición se deduce, o no, "lógicamente" de otra.

Para determinar si la proposición A implica a la proposición B, se esiablece el condicional A-*B y se hace su T. V. de V.

Si el condicioanl A->B es tautológico, •diremos que A implica (formalmente) a B. Lo simbolizaremos: A=>B.

En el ejemplo anterior tendríamos que verificar que efectivamente "Juan vino y Pedro se fue" implica "Juan vino". Para ellos estableceremos la T. V. de V. •de la proposición AAB-»A, siendo: A: "Juan vino" y B: "Pedro se fue":

RAUL A. CHIAPPA(Universidades de Bs. As. y del Sur)

acuerdo con sus propiedades, en tauto­lógicas, contradictorias y contingentes.

Una proposición es contingente (lác­tica) cuando su T.V. de V. da verdad o falsedad según sea la valoración (V, F) de sus componentes simples. Perra deter­minar su V. de V. debe recurrirse a la experiencia; es decir, el V. de V. final depende de la "interpretación'’.E¡.: "Sí llegas temprano, ¡remos al cine o al teatro",

que se formaliza C -* (D V E), siendo: C. "Llegas temprano", D: "Iremos al cine", E: "Iremos al tea­tro".

Una proposición es tautológica cuando su T.V. de V. da siempre verdad, cual­quiera sea la "interpretación"' de sus componentes. Tautología es sinónimo deverdad lógica.Ej.: "Voy al cine o no voy al cine", que se formaliza:

A V —A, siendo A: "Voy al cine".

Una proposición es contradictoria cuando su T.V. de V. da siempre false­dad, cualquiera soa la "interpretación" de sus componentes.E¡.: # Aprobare el examen y no aprobaré el examen",

que se formaliza: E /\ —E, siendo E: "Aprobaré el examen".

RELACIONES FORMALES ENTRE PROPOSICIONES

Al definir los conectivos "implicación material" y "equivalencia material", hi­cimos notar que no debía confundírselos con las relaciones de "implicación for­mal". A estas relaciones nos referiremos en general diciendo simplemente "impli­cación" y "equivalencia".

Implicación. Una proposición implica (formalmente) a otra cuando no es posi­ble interpretarlas de manera que si la primera es verdadera, la sequnda falsa.

Por ejemplo, puede verse que la pro­posición "Juan vino y Pedro se fue" im-

DETERMINACION DEL VALOR DE VERDAD

Recordando lo dicho en Tablas de Va­lores de Verdad, tendremos que, defini­dos los coneciivos, podemos determinar el V. de V. de las proposiciones com­puestas mediante un método mecánico. Veamos, por ejemplo, cómo se constru­ye la tabla de la siguiente proposición:

"No es cierto que si hoy llueve, en­tonces iré al cine o me quedaré en casa".

Supuesto que:

A: "Hoy llueve",B: "Hoy iré al cine",C: "Hoy me quedaré en casa",

se obtiene la siguiente formalización- — | A-»(B V C)]. En tal caso, la T. V. de V. será:

I

i\

A B AAB AAB-A1) Si hoy llueve o tengo frío, entonces hoy es martes.2) Hoy no es martes; luego no es cierto que llueva o

tenga frío.3) Es martes o no Hueve y por ello no tengo frío.4) No es cierto que no es martes y que llueve o tengo

frío.5) No tengo frío, pero si no es martes, entonces no

llueve.6) Si no es martes, no llueve y no tengo frío.7) Es martes y no tengo frío o no es cierto quo llueve

o tengo frío7'.

VVV V F VV F F F

VFABC BVC A-KBVC) -[A^BVC)]VFVV V V

F V VV F V F F VV V F FVF ' VV F F F F F

V V FFV V F

Luego, AAB-+A corresponde a quema de razonamiento correcto y po­dríamos poner: AAB=>A.

De acuerdo con lo expuesto pueden demostrarse las siguientes leyes genera­les de la implicación:

a) Toda proposición se implica a sí misma.

b) Si una proposición'implica a otra y •ésta a una tercera, la primera implica a la ieroera.

c) Una proposición contradictoria im­plica cualquier proposición y es impli­cada sólo por proposiciones contradicto - rias.

• d) Una proposición tautológica es im­plicada por cualquier proposición e im­plica sólo proposiciones tautológicas.

Equivalencia. — Dos proposiciones son equivalentes cuando significan lo mis-

decir, cuando para cada "inter-

V V F un es-V V FV V F

V FF F V Análogamente, es posible determinar

cuáles Ó3 los siguientes razonamientos son válidos (1):

F V F

CLASIFICACION DE LAS PROPOSICIONES 1) Si el enemigo se siente derrotado, iza bandera

blanca.El enemigo no se siente derrotado._______________

Aplicando el método de las T.V. de V. a distintas proposiciones, observamos que hay proposiciones cuyo V. de V. es siempre verdad, cualesquiera sean los valores que se asignen a las proposicio­nes simples componentes; hay otras ya T.V. de V. da siempre falsedad. Por último, la T.V. de V. de algunas propo­siciones da verdad en algunos casos y falsedad en otros. Sobre esta base, las

El enemigo no iza bandera blanca.

2) Se producirá inflación, si los precios continúan subien-■

do.No se producirá inflación.Los precios no suben.

cu- sea 3) Juan es alto o Pedro ha mentido. Juan no es alto.Pedro ha mentido.

(1) Las premisas se transcriben encima de la raya; la con­clusión correspondiente va colocada debajo.proposiciones se pueden clasificar, de

(*) Véase ELEMENTOS N9 3, pág. 71. mo, es

/ - 9 9 -- 98 -

■

i

I

!Asociativa:4) Si trabajo gano dinero y si no trabajo me divierto. ;ABC BVC A A (BVC) AAB AAC ,(AAB) V (AAC) A A (BVC)^=- (A A B) V (AAC)Gano dinero o me divierto. (A^±B)^C = -•A^(B^C) V V V

F V VV F V F'FV VV V F F V FV F F F F F

V V V ViAsimismo, mediante la equivalencia formal pueden 'expresarse las más impor­tantes propiedades de los conectivos ló­gicos y leyes del cálculo proposicional, demostrables por las T. V. de V. corres­pondientes, a saber:

VV F F F FV VNo idempotente: F V V

F F F FA ^ A# A V V V F VV F F F F

Leyes Importantes del Cálculo Proposicional

F F F Tp FF F F F F

Propiedades importantes de los conectivos lógicos Ley de absorción: CONDICIONALES CONJUGADOS Para analizar las relaciones que exis­

ten entre los V. de V. de los condiciona­les conjugados, confeccionamos las co­rrespondientes T. V. de V.:

A V (B A A) = A A (B V A) = A

Leyes de dualidad (de De Morgan):

— (A A B) s= — A V — B— (A V B) = — A A — B

Negación: Involutiva — (— A) == A (2)

Conjunción: Conmutativa A A B = B A A Asociativa (A A B) A C ==A A (B A C) Idempotente A A A == A Distributiva respecto de la disjunción

A A (B V C) ss (A A B) V (A A C)

Disjunción: Conmutativa A V B = B V A Asociativa (A V B) V C == A V (B V C) Idempotente A V A == A Distributiva respecto de la conjunción A V (B A C) = (A V B) A (A V C)

En las ciencias deductivas, y en parti­cular en la matemática, la mayor parte de los enunciados de los teoremas son implicaciones en las que el antecedente recibe el nombre de hipótesis y el conse­cuente, el de tesis.

Dado un condicional que diremos di­recto, pueden obtenerse otros tres condi­cionales cuyos V. de V. están relaciona­dos directamente con el condicional dado. Conocer tales relaciones es conve­niente, pues evitará demostraciones inútiles o permitirá facilitarlas, recurrien­do a un enunciado equivalente más •adecuado.

Estos cuatro condicionales, que llama­remos conjugados, serán:

directo: A ->■ B recíproco: B -► A

contrario: — A -* — B contrarrecíproco: — B -► — A

Dado el condicional directo obtenemos el condicional recíproco permutando an­tecedente y consecuente; el condicional contrario negando antecedente y conse­cuente; el condicional contrarrecíproco formando el contrario del recíproco o el recíproco del contrario.

Obsérvese que los condicionales son en realidad (respectivamente) contrarios, recíprocos o contrarrecíprocos entre sí; por lo tanto, cualquiera de ellos puede ser tomado como directo.

Las relaciones existentes entre los con­dicionales conjugados pueden visuali­zarse' en el siguiente cuadro:

A B A-B B-A —A-+—B — B-—ALey de contraposición (de contrarrecí­

procos):VVV V V V

F V V FV F F VF F V V

VFFVA“*B== — B — A VV

Ley de exportación:. De ellas se concluye que: i

(AAB)-C = A^(B-»C) B-*A=— A — B A-B=—B-—AEmpleando estas leyes puede verifi­

carse la clasificación en grupos de pro­posiciones equivalentes propuesta en la página 99.

A título de ejemplo demostraremos una de las equivalencias de la lista an­terior, dejando las restantes como ejer­cicio para el lector. Sea la ley distribu­tiva de la conjunción respecto de la dis­junción:

iEs decir:

a) los condicionles contrarrecíprocos son equivalentes;

b) el recíproco o el contrario de un condicional verdadero no son necesa­riamente verdaderos ni falsos.

Observando las relaciones existentes entre los condicionales conjugados puede afirmarse que si es cierto un condicional y su recíproco, o su contrario, son cier­tos los cuatro condicionales conjugados (esto es válido también para teoremas); en tal caso, antecedente y consecuente son equivalentes.

Diremos que un teorema es válido si y sólo si el condicional establecido entre hipótesis y tesis es tautológico; en caso contrario habría alguna interpretación que verificaría a la hipótesis y no a la tesis. Es decir que H = > T.

Por lo tanto, si consideramos el caso especial de un teorema, que diremos di­recto, podemos afirmar que el contra­rrecíproco es equivalente (o sea que es indistinto demostrar uno cualquiera de •ellos), mientras que nada podemos afir-

r

Condicional: No conmutativa

A -+ B B A

No asociativa(A - B) - C # A - (B - C)

No idempotente:¡

fA A A

iA A (B V C) = (A A B) V (A A C)Distributiva (a la derecha) respecto de la conjunción: Para construir la T.V. de V., luego de

indicar las 2n combinaciones iniciales, aplicaremos, tantas veces como sea ne­cesario, la tabla que define cada conec­tivo, en la proposición dada. Si, y sólo si, la columna que corresponde a la proposición dada es tautológica, dire­mos que dicha proposición es una ley lógica.

La tabla construida indica que, inde­pendientemente del V. de V. que en al­guna "interpretación'" corresponda a cada proposición elemental, la equiva­lencia analizada se cumple, es decir que ambos miembros son distintas formula­ciones de una misma proposición.

■

A - (B A C) »(A - B) A (A - C)

Seudodistributiva (a la izquierda) respec­to de la disjunción:

(A V B) -♦ C ss (A - C) A (B -♦ C)

Bicondicional:

Conmutativa: B-AA B------recíprocos

contrarios contrarrecíprocos contrarios/A^B = B?íA

\/(2) Obsérvese que la ley involutiva sólo vale para la ne­

gación.—B —Arecíprocos—A —B

- 101- 100 -

i

vmSegún definimos, un razonamiento es válido si, y sólo si, supuestas ciertas las premisas, la conclusión también lo ello equivalo a decir que es tautológico el condicional formado por la conjunción de las premisas como antecedente y la conclusión como consecuente.

Con el objeto de una utilización pos­terior damos a continuación una lista de formas de razonamiento:

maracerca de la validez de los teoremas recíproco y contrario, que dependerá del caso especial que se analice.

! €■ • ■ ■■ * • .■ .•

V-es;

flH: x es positivo {x > 0)T: x5 es positivo

o) T. directo; Si x es positivo, x5 es positivo.b) T, recíproco: Si x= es positivo, x es positivo.c) T. contrario: Si x no es positivo, x5 no es positivo.d) T. contrarrecíproco: Si x5 no es positivo, x no es

positivo.Los casos a) y d) (controrrecíprocos) son en reali­dad distintas formulaciones del mismo teorema; ambos afirmaciones son verdaderas. En los casos b) y c), cualquier valor de x negativo es contraejem­plo; por lo tanto estas últimas afirmaciones son fal­sas aun cuando anda podemos afirmar respecto de su validez para algún x.

E¡.:j

! i

IVIModus ponens: A -*■ B

A i:B

&o, de otra manera:Como la validez col teorema directo

no permite afirmar la validez del recípro­co, ni su falsedad, debe tenerse especial cuidado al utilizar el método de “demos­tración por reducción" (generalmente lla­mado método analítico) y según el cual supuesto cierto lo que debe demostrarse, se deducen consecuencias cuya verdad se conoce; en este caso siempre debe verificarse que la inversión del razona­miento también es válida.

Nótese además que la equivalencia entre teoremas contranecíprocos justifi­ca el méiodo de “demostración por el absurdo", según el cual de la negación de la tesis se llega a la negación de la hipótesis.

Debe tenerse también en cuenta que si. dos proposiciones son equivalentes, no lo son necesariamente sus respectivas recíprocas.

(A"+B)AA => B

Modus tolens: A -*■ B

Curso de verano en San Luis—B

—A mente al estudio) este curso fue una agradable y provechosa experiencia, sobre todo por per­mitirnos confrontar nuestros puntos de vista sobre la enseñanza de la materia con colegas de otras provincias, cotejo fructífero especial­mente para los de las ciudades chicas, a los que rara vez se nos presenta oportunidad de hacerlo. La convivencia de alumnos y profeso­res en el Hotel de Turismo, facilitó el contacto recíproco y prolongó la clase formal más allá del aula y del horario establecido.

Paso ahora a señalar los aspectos que a jui­cio de la mayoría de nosotros fueron puntos débiles del curso y pueden ser mejorados. En primer termino, el tiempo resultó escaso para un aprovechamiento integral de los cursos desarrollados, situación agravada para muchos que al dispersarnos perdimos la posibilidad de consultar y aclarar dudas; este misma falta de tiempo no permitió aprovechar debidamente l:s apuntes que los profesores se tomaron el tra­bajo de redactar. Además, se. advirtió la con­veniencia de que los profesores encargados de los cursos, conozcan lo que atañe a su ense­ñanza en el nivel secundarlo: en general, nos faltó la orientación fundamental de cómo en­carar nuestra labor en la aplicación de los nue­vos programas, lo que contribuyó a mantener las dudas que a muchos nos embargan sobre

Organizado por el Consejo Nacional de In­vestigaciones Científicas y Técnicas, se llevó a cabo en la ciudad de San Luis, entre el 6 y el 30 de enero, un curso de perfeccionamiento para profesores de matemática, en prosecución de la campaña tendiente a crear en los docen­tes secundarios la conciencia de la necesidad •de reformar ios programas de esa asignatura, incorporando conocimientos que ha hecho ne­cesarios el estado actual de la técnica y la cul­tura y eliminando otros que por análogos mo­tivos no deben figurar en ellos.

Se dictaron cursos de geometría (Ing. Ro­berto Ovejero, Salta), álgebra (Dr. Enzo Gen- tile y Lie. Lucrecia Iglesias, Buenos Aires), pro­babilidades (Prof. Hugo H. Torriani, La Plata) y análisis (Dr. Félix Herrera, Tucumán); en todos ellos se procuró desarrollar los temas de los programas propuestos para la escuela se­cundarla por la Subcomisión Argentina de la C.LE.M. Las clases se dictaron en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Cuyo.

Entre los participantes —cerca de cincuenta incluidos los oyentes— se estableció, casi desde •el primer momento, una típica camaradería estudianti>, con sus rasgos más simpáticos: Ja casi comunidad de elementos de trabajo, la anulación poco menos que total de las barreras de edad y procedencia, la participación cordial•en reuniones y pasees.

A pesar del trabajo abrumador, con seis ho­ras diarias de clase —¡y las horas fueron de sesenta minutos!— y las tareas adicionales de preparación de ejercicios y redacción de apun­tes (estos últimos aún continúan en nuestros hogares, pues no fue posible terminarlos en San Luis), que llegó hasta limitarnos las horas de sueño, para muchos de nosotros (mujeres y hombres con familia y otras obligaciones, que desde nuestra época estudiantil no habíamos dispuesto de un mes para dedicarlo íntegra-

!o, de otra manera: i

í(A - B); —B A —A

Silogismo hipotético:

A->B;B-C .*. A-C

Silogismo disjuntivo: A V B; —A .’. B- Simplificación A A B A Conjunción; A; B .'. A A B Disjunción: A A V B

I

Fi) A - C B - C

F',) A - C —A-C

AVB-C CA -*■—A A - (B A —B)Ej.: P -+ (Q -> R) == (P A Q) R

pero (Q —♦ R) —► P ^ R —♦ (P A Q) Fo) F.,)—A —A

Por lo tanto, haciendo cambios »an el enunciado de un teorema, que no afecten a su validez, puede alterarse el grado de validez que correspondo a sus recí­procos.

(AA-B)-B A -*■ B; —A CF,) Fa)

—(A A —B) B VC

Recordando la definición del condicio­nal, es inmediato que F.j) da un método- para demostrar que A B. (En realidad es un caso de demostración por reducción al absurdo).

Aplicando estas formas de razonamien­to puede comprobarse la validez de los razonamientos de la página 99.

(Continúa en la pág. 105)?

I el éxito de nuestra tarea.En conclusión, entiendo —y creo concordar

con la mayoría de los colegas que fuimos dis­puestos a trabajar— que el saldo del curso es netamente positivo y es una lástima que no se puedan realizar otros similares con mayor fre­cuencia, para permitir a un mayor número de docentes actualizar sus conocimientos y compe­netrarse de los alcances de la proyectada refor-

FORMAS VALIDAS DE RAZONAMIENTO

Diremos “forma válida de razona­miento a un esquema de razonamiento que sea válido (correcto) independiente- men'.o de la interpretación que se le asig­ne a las proposiciones que lo componen.

ma.Prof. Eusebio Sastre

Paso de los Libres (Corrientes)

- 103 -- 102 -

I

ien la deducción ¿*el teorema de Bayes para pasar al estudio de procesos esto- cásticos y del caso particular de los en­sayos repetidos con los cuales llegan a la ley de los grandes números y a la idea de desvío "standard"; los 'ensayos repetidos con más de dos probabilida­des en cada uno, el concepto de valor esperado y nociones sobre cadenas de Markov terminan es te notable capítulo cuarto, quizá el más importante del libro. El quinto, se dedica a las matrices; para mostrar la importancia práctica del tra­bajo con ellas, se introducen las nociones de vector fila y vector columna y se muestra la necesidad de construir su producto, para resolver, por ejemplo, ciertos problemas de costos. Se genera­liza el concepto de matriz y se estable­cen en ciertas condiciones sus productos por vectores y la suma y producto de matrices. Se estudian luego sistemas de ecuaciones lineales y su solución por 'el método de reducción; el concepto de matriz inversa, cuya existencia para matrices regulares se prueba única­mente para las de orden 2X2 enun­ciándose en. el caso general, y las aplicaciones a cadenas de Markov ini­ciadas en el capítulo anterior. El capítulo concluye con funciones lineales y trans­formaciones y el análisis de los grupos y subgrupos que se forman con matrices de permutación.

El penúltimo capítulo expone elemen­tos de programación lineal y teoría de

juegos; en el primer caso se demuestra que una función lineal definida sobre un polígono convexo tiene sus extremos en vértices del mismo y se resuelven proble­mas de dos variables usando represen­taciones planas. En cuanto a juegos, se consideran los de matriz 2 X 2 y luego los de matriz m X n; se pasa, por último, a los d*e matrices 2 X n y m X 2 para mostrar la determinación del valor y las estrategias óptimas en los juegos 2X2 derivados de ellos.

Las aplicaciones más interesantes, pues muestran la creciente importancia de la matemática en los campos más diversos y aparentemente alejados de ella, ocu­pan el último capítulo; se refieren al uso de matrices de dominancia y a la deter­minación de poderes individuales en so­ciometría; al uso de matrices para red-es de comunicación; se señala la importan­cia de la teoría de las probabilidades y en especial de las cadenas de Markov en genéiica y en probtemas de comporta­miento por aprendizaje en animales, y de las matrices y vectores en problemas de expansión y equilibrio económico.

La presentación del libro -es muy bue­na; sólo se pueden lamentar algunos errores de imprenta fácilmente subsana­bles.

El lector interesado en los aspectos d*e la matemática moderna aplicables en la escuela secundaria encontrará en este libro un valiosísimo auxiliar para sus tareas docentes.

•'’■

:

:

J. G. KEMENY, J. L. SNELL y G. L. THOMPSON. Introducción a las mate­máticas finitas. Ed. Continental; Mé­xico, 1962.

permitido profundizar los temas en la mayor de lo que hubiera sido posi­ble en caso contrario" y obtener simplicidad mayor que incluyendo tiones vinculadas con procesos infinitos.

En el primer capítulo se encara el álgebra de proposiciones; comienza fizando los conectivos más comunes y sus tablas de verdad; luego se conside­ran las relaciones lógicas, especialmen­te las de aplicación usual en los razona­mientos matemáticos, es decir, la impli­cación y sus variantes, y el método de demostración por el absurdo; se termina con su empleo en el estudio de circuitos simples. El segundo capítulo está dedi­cado al álgebra de conjuntos y sus rela­ciones con -el álgebra de proposiciones y con el álgebra de las clases residuales, módulo 2, analizando para éstas todas las posibles tablas de suma, una de las cuales lleva, además, a la idea del sis­tema binario de numeración. En 'el ter­cero, se consideran las particiones de un conjunto y problemas de conteo, es de­cir, de determinación del número de •elementos de un conjunto o de cualquie­ra de sus subconjuntos; se estudian las permutaciones simples o con repetición de n elementos, estas últimas vinculadas a los problemas de particiones ordena­das, y se llega naturalm-ente al estudio de los números aplicaciones de polinomios.

Los conceptos estudiados hasta aquí permiten a los autores fundamentar con toda sencillez la idea de medida d-3 pro­babilidad y sus propiedades, de las que deducen elegantemente los resultados fundamentales de la teoría de las proba­bilidades, se detienen en algunos -ejem­plos en los que la intuición sugiere re­sultados muy alejados de la realidad y

•esca- -

unacues-

ana- IEste libro data de 1957; desde enton­ces se menciona en casi todas las bi­bliografías de obras de actualización de conceptos matemáticos y sus aplicacio-

Fue recomendado por la C I.E.M, para su traducción a otros idiomas; la edición en español es la que comenta­mos.

nesI

iSu éxito proviene de la selección de

los temas, de la elegancia con que son presentados y d*e la gran cantidad de ejemplos y aplicaciones claras, intere­santes y, en general, novedosas de las cuestiones que trata. Si se comparte la opinión de que la matemática »es total­mente entendida sólo cuando se trabaja sobre ella y con ella, es decir, si se acep­ta que no basta conocer los aspectos teóricos d*e una cuestión, sino que es in­dispensable trasladarlos a sus aplica­ciones prácticas, la lectura de este libro —mejor dicho, el trabajo rial— ha de cada tema

í

t> €> e

con su mate- ser muy provechoso LIBROS RECIBIDOSpues

se presenta con numerosos ejemplos de aplicación y es seguido por una serie de ejercicios y problemas que el lector debe resolver y que complemen­tan magníficamente la teoría. Correspon­de asimismo destacar la unidad de la exposición: los temas de sus diversos capítulos se relacionan naturalmente mediante ejemplos y aclaraciones opor­tunas; en particular los cinco primeros componen "una unidad natural", como lo señalan en el prólogo los autores.

Una característica especial sólo se

ESPASA-CALPE; Madrid, 1963.L. DE BROGLIE: Por los senderos de la ciencia.E. E\ SABBATIELLO: Números en color en el jardín de infantes (Guía didáctica de actividades).

CULTURAL ARGENTINA; Bs. As., 1963.

combinatorios y sus para determinar potencias

yendo la correspondiente T. V. de V., resulta:

(Viene de la página 102)

Demostraremos una sola de ellas y de­jaremos la demostración de las restan­tes a cargo del lector.

Por ejemplo, para demostrar la forma "Modus ponens": A A (A-*B)=>B basta verificar que es tautológico el condicio­nal A A (A -*■ B) -*• B. En efecto, constru-

A B AH3 AA(A-B) [AA(A-B)] -BV V V V VF V V F V

F VV F Fes

tratan procesos finitos “lo queha FF F V V{Continuará)

- 104 - - 105 -

;

'■

'

operaciones y relacionas. (El profesor de­mostrará algunas y los alumnos otras, como ejercicios, sin perder tiempo las triviales).

Propiedades típicas para demostrar: 0 C A, ^ A) = A, leyes de De Morgan, distributividad. Uso de paréntesis.

con los natural-as. Los conjuntos finitos no son coordinables con sus partes propias; los infinitos, sí.

Operaciones entre naturales; suma, multiplicación, potenciación. Sus propie­dades (algunas demostraciones tipo a car­go del profesor y otras como problemas; destacar el uso sistemático de la induc­ción, innecesario en el caso finito). Cam­bios de base de numeración.

VI. — Combinatoria. Variaciones, per­mutaciones y combinaciones; deducción de las fórmulas básicas. Triángulo de Pascal.' Binomio de Newton.

VII. — Números enteros: Definidos rigu­rosamente por pares de naturales o un natural y un signo. Demostrar que extien­den a los naturales (destacar el concepto de subestructura).

Demostrar que la resta es posible. Lla­mar la atención sobre la regla de los signos.

Función módulo; uso y propiedades: |ab| = [a| . |b|; ¡a + b| < |a| + |b|

VIII. — Números racionales: Definidos por pares de enteros y una equivalencia Extienden a los enteros. La división es posible, salvo por cero.

La ecuación a + bx = c Manejo de fór­mulas, pasaje de un miembro a otro, pa­réntesis.

Propiedades de las operaciones. Poten­cias de exponentes negativos. Expresión decimal de los racionales; períodos. Idem binaria. Los racionales son numerables.

Orden usual de los racionales. Entre dos racionales, siempre hay otro.

6. En Catamarca se ha constituido en junio ppdo. el Centro de Profesores de Matemática, con cade en Sarmiento 781, de esa ciudad.

7. En la Facultad de Ciencias de B. Aires se está dictando entre el 3 y el 29 de febrero, un curso de perfeccionamien­to para profesores de matemática, orga­nizado por el Consejo Nacional de In­vestigaciones Científicas y Técnicas, si­milar al desarrollado en San Luis en el mes de enero y dedicado a docentes de la Capital Federal y sus alrededores. Las clases están a cargo de los profeso­res Raúl Chiappa (Geometría), Norberto Fava (Algebra), Enzo Gentile (Algebra) y Carlos Segovia (Análisis y Probabilida­des y Estadística).

Noticias con

III. — Relaciones y funciones: Relacio­nes como propiedades con dos sujetos. Muchos ejemplos (e, <, C, =, etc.), en su mayoría de la vida cotidiana. Maneras de definir relaciones: a) coloquialmente, b) por tablas o enumeración explícita, c) por gráficos, d) por fórmulas o definicio­nes geométricas.

¿Qué es una relación de orden? Ejem-

1. En el curso de perfeccionamiento para profesores de matemática dictado en 1963 en la Escuela Normal N9 4, la Dra. Cora R. de Sadovsky desarrolló el siguiente programa: Álgebra de conjun­tos. Relaciones, funciones y operaciones. Grupos, isomorfismos y homomorfismos Anillos, ideales. Espacios vectoriales. Transformaciones lineales, matrices, de­terminantes.

2. Para el curso de verano que comen­zó a desarrollarse a principios de febrero en Lima (Perú) fueron seleccionados ca­torce profesores argentinos, la mitad de los cuales ejercen en escuelas del inte­rior del país.

3. La CIEM (Comisión de Enseñanza de la IMU) está actualmente integrada por: A. Lichnerowicz (Francia) como pre­sidente; S. Straszewicz (Polonia) y E. Moi- ca (EE. UU.) como vicepresidentes; A. De- lessert (Suiza) como secretario; Y. Akizuki (Japón), H. Behnke (Alemania), H. Freu- denthal (Holanda), A. Gloden (Luxembur- go), I. Karamata (Suiza), S. Bundgaard (Dinamarca), G. Choquet (Francia), O. Fortsman (Suecia), R. L. Jeffery (Canadá) y A. Kolmogorov (URSS) como vocales.

4. La Nuova Italia Editrice, de Flo­rencia, nos ha remitido la caja 'Constru­yamos la geometría" basada en los méto­dos didácticos expuestos por la profesora Castelnuovo en sus difundidos textos. Con­tiene varillas articulables, sectores circu­lares y elásticos, con los cuales es posible realizar las experiencias indicadas en el folleto que la acompaña. Se trata de ma­terial individual destinado a los alumnos para el aprendizaje intuitivo de propieda­des geométricas.

5. El programa de Álgebra propues­to para 2? año por la Subcomisión Argen-

tina de la C. I. E. M., que se desarrollará en 1964 en los cursos experimentales es el siguiente:

I —Necesidad del rigor y del simbo­lismo: Ejemplos de razonamientos falaces extraídos de la Geometría y la Aritmética (al nivel de 1er. año) y la vida cotidiana (analogía con los juegos) y contraejem­plos de verdades "evidentes", para de­mostrar la necesidad de hacer las deduc­ciones paso a paso, definir claramente los términos y explicitar totalmente las premisas.

Introducción de alguna terminologíaalusiva: proposición, tautología, __dicción, premisas, axiomas, términos definidos, modus ponens, etc.

Ejemplos de la necesidad de usar fór­mulas "literales" (reconstrucción presim- blica de algún teorema de 1er. año). Rigor y simbolismo como características esen­ciales de la matemática actual.

¿Qué hace se usa esta ciencia?

píos.Funciones, correspondencias o transfor­

maciones como caso especial de relacio­nes. Dominio, imagen, rango. Nomencla­tura: f: A -*■ B, f (x) =' y, etc. Variables. Funciones constantes, identidad, etc. Fun­ciones biunívocas y sobre. Composición de funciones, e/arcitación. Función inver­sa. Ecuaciones. Conjuntos coordinables. Otras relaciones de equivalencia. Núme­ro de funciones entre dos conjuntos fi­nitos.

IV. — Operaciones binarias, como fun­ciones de dos variables, dominio y rango coincidentes. Muchos ejemplos. Definición coloquial, por fórmulas, por matrices. Nú­mero de operaciones binarias en un con­junto finito. Conmutatividad, asociativi- dad, unidades, inversión, iferación. Ecua­ciones.

Dos operaciones en un conjunto. Distri­butividad. Manejo de paréntesis.

V. — Número natural: Admitido como concepto primitivo, pero destacando sus propiedades esenciales; concepto de sucesor; primer elemento; inexistencia de último elemento. Inducción completa: "Si un conjunto contiene a 0 y con cada ele­mento a su sucesor, entonces contiene a todos los naturales". Justificación de fór­mulas establecidas en capítulos ante­riores.

Concepto de contar un conjunto finito como coordinación con un intervalo ini­cial de naturales. Dos conjuntos finitos son coordinables si, y sólo si, tienen igual número de elementos. Un conjunto infini­to es el que tiene una parte coordinable

contra- tno-

matemático? ¿Para .quéun

II. — Conjuntos finitos: Conjunto, ele­mento y pertenencia serán términos ¿•afinidos. Muchos ejemplos, en su mayor parte no numéricos ni geométricos. Ter­minología y simbolismo: clase, familia, miembro, "está en", punto, s, 1 ! (R. Arg. e N. U.; a c A), A =Juan, SConjuntos

nc

f x|x.... i, •{ Pedro, iguales definidos:

maneras diferentes. Las propieda­des y los conjuntos que definen. Conjun­tos universal y vacío (0).

Parte

*de

o subconjunto, símbolo C; c no- es transitivo, paro C sí. A C A. Partes- propias. Número de partes de un conjun­to finito. Unión, intersección, diferencia y complemento. Símbolos, representación gráfica. Correspondencia con "o", "y”> no * etc. Diversas propiedades de estas

- 106 - - 107 -

I

la Escuela Normal Superior "Garzón Aguila" de su dependencia. En dicho curso se trataron temas de Algebra Li­neal, Probabilidades y Estadística, y se comentó el programa de Geometría In- tituitiva para 1er. año.

8. El Consejo de Enseñanza Media, Especial y Superior de la Provincia de Córdoba organizó un curso de perfeccio­namiento para profesores de matemáti­ca, dictado durante el mes de febrero en

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:

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Señalamos un error del número 3

Pídalos a su librero, o en la:Página 65, Miscelánea uAlgebra de Boole”, Linea 4, donde dice JS64 debe decir 4854.

EDITORIAL GUILLERMO KRAFT LTDA.Prof. Ivonne C. de Stoisa (San Martín, Mendoza): Le rogamos que aclare su consulta.

Prof. Mario M. Vázquez (• Adrogué): Recibimos su carta que publicaremos en breve. Buenos AiresT. E. 31-3411Reconquista 319

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GALILEO GALILEI (1564-1642)l

El 15 de febrero se cumplen cuatrocientos años del nacimiento de esta “figura cumbre del pensamiento modernoEn “II Saggialore”, su escrito polémico publicado en 1623, señaló la importancia del papel de la matemática en la elaboración de la ciencia natural con estas palabras: “La filosofía está escrita en este grandísimo libro constantemente abierto ante nuestros ojos (me refiero al universo), pero no se lo puede entender si antes no se comprende su lenguaje y se conocen los caracteres con que está escrito. Está escrito en lenguaje matemático y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin cuyo recurso no es posible a los humanos entender cosa alguna; sin ellos no es sino un vano deambular a través de laberinto

v.A Nuestros Lectores:

Acaba de aparecer "Álgebra para escuelas secundarias", Tomo I, Ma­

temática Intuitiva, de Oscar Varsovsky, ajustado al programa propuesto

29 año, que se publica en este número de «ELEMENTOS, pág. 106-7,paraun oscuro

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SugieraDE INDUSTRIASDINFIA MADREcías espaciales en la Argentina.Como las cifras, generalmente, dan ideas muy claras, señalemos: DINFIA, en 36 años de labor, ha construido cerca de un millar de aviones de 50 tipos distintos, 400 motores de avia­ción, 40.000 automotores, 4.000 tracto­res y 95.000 motocicletas.

Este complejo industrial de 250.000 m2 cubiertos se encuentra en los alrede­dores de la ciudad de Córdoba. Aquí trabajan 8.500 obreros utilizando casi 4.000 máquinas-herramientas.ESTO ES DINFIA, la empresa del Esta­do que creó la industria aeronáutica argentina; madre y promotora de las

‘ industrias del automotor y del tractor; fundadora, en fin, de la “Córdoba In­dustrial".Y ahora, también, se encuentra a la cabeza de la investigación y experien-

Dirección Nacional de Fabricaciones e Investigaciones Aeronáuticas

ore

EN LA VANGUARDIA DE LAS INVES­TIGACIONES Y DEL DESARROLLO IN­DUSTRIAL ARGENTINOS SE ENCUENTRA, SIEMPRE, DINFIA.

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