ELEMENTOSREVISTA DÉ MATEMÁTICA

PARA LA ENSEÑANZA MEDIA

Número 5Marzo - Abril 1964Año I

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Dificultades da la. Reforma

Temas denuestro tiempo: La arquitectura do las matemá­

ticas.por Nicolás BOURBAKl

El programa de la 0. E. C. E.Panorama:

Orientación:El álgebra de Boole (continua­ción).! por Florencio D. JAIME

r Cálculo proposicional (continua­ción).

por Raúl A. CHIAPPA

Opiniones y experiencias

Bibliografía - Miscelánea - Noticias - Correo

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LEMENT0SREVISTA DE MATEMÁTICA

PARA LA ENSEÑANZA MEDIA

IBM en el mundo

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La dificultad esencial que encuentra el movimiento de renovación es de orden psico-sociológico: resistencia instintiva de toda sociedad a la novedad, sobre todo cuando ella exige un esfuerzo; oposición a ese esfuerzo, que se intenta cubrir con los cofores más seductores; amar­gura de los que se han dejado llevar por la ilusión de saber todo lo que era "razonable" saber, y a las que les duela admitir qu la ciencia se ha transformado a pesar de eUos, aun en sus aspectos elementales.

ANDRÉ REVUZ, "Matemática moderna, matemática viva"

IBM fabrica sus productos en 16 países del mundo. Máquinas eléctricas de escri­bir, computadoras electrónicas, clasifica­doras. perforadoras, reproductoras, in­tercaladoras, calculadoras, verificadoras, máquinas de contabilidad, salen de distintas plantas. Son máquinas hechas por hombres. Por hombres que forman una

sus

empresa de avanzada, que elabora elementos de avanzada para el desarro­llo de nuevas técnicas y nuevas ciencias. Pero ellos son, sobre todo, hombres de buena voluntad. Hombres con fe en el destino de los hombres y el mundo, que fabrican, venden, exportan, aprenden, en­señan, mejoran, realizan, disponen. Miles de hombres dispersos por todo el mun­do, forman la familia IBM y hacen de IBM una empresa cuyos productos y servicios mejoran la educación, la defensa, la in­dustria. el comercio, la investigación es­pacial, la administración pública y todas las ramas del saber humano.

Al plantearse la posibilidad de la reforma de la enseñanza de la matemáti­ca en nuestro país, se previo, sin duda, que habrían de surgir las dificultades pro­pias de todo proceso renovador. Hoy ya se tiene la seguridad de su existencia y la conciencia de su gravedad. Y es necesario considerarlas atentamente para erradicar­las, o por lo menos atenuarlas, si es que la tarea emprendida quiere llevarse seria­mente al término acertado que exige toda experiencia realizada en terreno tan de­licado y respetable como es el de la educación.

En primer lugar, no obstante el esfuerzo de grupos aislados y de órganos de difusión, lo cierto es que la información acerca de la reforma es todavía incom­pleta. Y sin información adecuada, no hay decisión satisfactoria.

En el plano docente, esta deficiencia en la información se traduce en gene­ral en una preparación insuficiente del profesorado en ejercicio, aun del especia­lizado, que desgraciadamente ha sido formado con planes que han perdido vigen­cia. Lo que es peor, pese a las normas legales terminantes, ni siquiera se ofrece aliciente apropiado a aquellos entusiastas que se preocupan por lograr una supera-

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IBM World Trade CorporationAv. Pte. R. Sáenz Peña 933. Bs. As

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don de sus conocimientos y aptitudes. Claro está que esto es parte de un sistema que se caracteriza por no asegurar al docente condiciones de vida y de trabajo que le permitan dedicarse a su actividad específica con la consagración y cariño que ésta requiere.

TEMAS DE NUESTRO TIEMPO

La Arquitectura de las

Matemáticas' ’

En el plano social, si bien los argentinos no somos propensos por idiosincra­sia a interesarnos por los problemas educativos de cierto matiz técnico, es del todo evidente que no ha trascendido en absoluto al dominio público este propósito de reforma que en otros países, en cambio, ha sido precedido por un intenso movi­miento de opinión y ha logrado interesar aun a las altas esferas económicas.

En segundo lugar, se tiene la sensación —y ojalá nos equivoquemos— de que la experiencia en marcha no está debidamente planeada; los distintos ensayos parecen responder más a la inquietud personal de los docentes ejecutores, que a una organización dirigida y controlada por quienes tienen en sus manos la respon­sabilidad de hacerlo en virtud de las funciones que desempeñan en la orientación de la enseñanza. Nos tememos que todavía sigamos manejándonos en el ámbito del empirismo pedagógico. Si la experiencia quiere encauzarse seriamente, se debe cons­tituir una comisión permanente, integrada por matemáticos, psicólogos y educadores, que la siga de cerca y resuelva sus dificultades sin demora. Y además la extienda adecuadamente. \

NICOLAS BOURBAKI(París, Francia)

¿LA MATEMÁTICA O LAS MATEMÁTICAS?

cuanto a aquellos que, como Poincaré o Hilbert, imprimen el sello de su genio en casi todos los dominios, constituyen, aun entre los más grandes, una rarísima ex­cepción.

No se trata, pues, de dar al profano una imagen precisa de lo que los mis­mos matemáticos no pueden concebir en su totalidad. Pero podemos preguntar­nos si esta proliferación exuberante es el desarrollo de un organismo vigorosa­mente conformado, que adquiere cada día más cohesión y unidad de los apor­tes que recibe, o si, por el contrario, no es sino el signo exterior de una tenden­cia a una dispersión cada vez más avan­zada, debida a la naturaleza misma de las matemáticas, y si estas últimas no es­tán en vías de convertirse en una torre de Babel de disciplinas autónomas, ais­ladas unas de otras, tanto en sus fines co­mo en sus métodos y hasta en su len­guaje. En una palabra, hoy en día ¿hay una matemática o varias matemáticas?

Aunque más actual que nunca, no hay que creer quo este problema es nuevo; se ha planteado casi desde los primeros pasos de la ciencia matemática. Es que, en efecto, aun dejando de lado las ma­temáticas aplicadas, subsiste entre la geometría y la aritmética (al menos en su aspecto elemental) una evidente dua­lidad de origen. La segunda era inicial­mente la ciencia de lo discreto, la pri-

la de la extensión continua, dos

iDar, en el momento actual, una idea

de conjunto de la ciencia matemática, es una empresa que a primera vista parece ofrecer dificultades casi insuperables, en razón de la extensión y la variedad del tema. Como en todas las otras ciencias, el número de los matemáticos y de los trabajos consagrados a las matemáticas ha aumentado considerablemente desde fines del siglo XIX. Las memorias de ma­temáticas puras publicadas en el mundo en el curso de un año normal, abarcan varios millares de páginas. No todo lo que ahí se encuentra tiene el mismo va­lor; pero después de la decantación, del inevitable desecho, no es menos cierto que cada año la ciencia matemática se enriquece con una cantidad de resulta­dos nuevos, se diversifica y se ramifica constantemente en teorías sin cesar mo­dificadas, refundidas, confrontadas y combinadas entre sí. No hay un solo ma­temático, aunque consagre a ello toda su actividad, que esté hoy en día en condiciones de seguir este desarrollo en todos sus detalles. Muchos de ellos se acantonan en un rincón de las matemá­ticas del que no tratan de salir, y no so­lamente ignoran casi completamente to­do lo que no atañe a su tema, sino que inclusive no estarían en condiciones de comprender el lenguaje y la terminología empleados por sus cofrades que pertene­cen a una especialidad alejada de la suya. No hay casi ninguno, aun entie aquellos cuya cultura es más vasta, que no se sienta extranjero en ciertas regio­nes del inmenso mundo matemático; en

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Por último, es incuestionable la resistencia que, abierta o solapadamente, ofrecen algunos sectores al movimiento de renovación. Son casi siempre el escepti­cismo, la falta de convicción o la inercia, las causas de su actitud negativa. Se olvi­dan que la educación de los jóvenes es empresa de idealismo optimista y de confian­za en el porvenir.

LOS EDITORES

Este es, a grandes rasgos, nuestro pensamiento. Muchas otras opiniones deben escu­charse y esperamos que se hagan oír clara y profusamente en beneficio del indis­pensable proceso de superación que debe vitalizar fructuosamente nuestros esquemas educacionales clásicos. Las páginas de ELEMENTOS se ofrecen difundir estas opiniones.

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para recoger y

iELEMENTOS, N9 3, pág. 54: "Necesidad de la Reforma".

meraaspectos que so oponen radicalmente

(*) Agradecemos a EUDEBA (Editorial Universitaria de Buenos Aires) habernos autorizado la publicación de este capitulo de la obra de F. Le Lionnais, "Las grandes corrientes del pensamiento.matemático" que comentamos en ELEMENTOS, W 1, pág. 20 (N. de los E.)

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ciones particulares, delimitadas con pre­cisión", unidas por "mil caminos de co­municación" que permitía a los métodos propios de una de estas disciplinas ir a beneficiar a otra o varias otras (Brun­schvicg, loe. cit., p. 447). Hoy, por el con­trario, creemos que la evolución inter­na de la ciencia matemática, a pesar de las apariencias, ha estrechado más que nunca la unidad de sus partes diversas y ha creado una especie de núcleo cen­tral más coherente de lo que ha sido nunca. Lo esencial de esta evolución consistió en una sistematización de las relaciones existentes entre las diversas teorías matemáticas y se resume en una tendencia que se conoce generalmente bajo el nombre de "método axiomá­tico".

A veces se dice también "formalismo" o "método formalista"; pero es necesario desde el principio advertir el riesgo de confusión qu«3 provocan estas palabras mal definidas, confusión que a menudo es explotada por los adversarios de la axiomática. Todos saben que el carácter externo de las matemáticas es presen­tarse bajo el aspecto de esa "larga ca­dena de razones" de la que hablaba Descartes. Toda teoría matemática es un encadenamiento de proposiciones que se deducen una de otras conforme a las re­glas de una lógica que, en lo esencial, es la codificada desde Aristóteles bajo el nombre de "lógica formal", conveniente- men'.e adaptada a los fines particulares del matemático. Es, pues, una perogru­llada trivial decir que este "razonamien­to deductivo" es un principio de unidad para la matemática; una observación tan superficial no puede «explicar, ciertamen­te, la manifiesta complejidad de las di­versas teorías matemáticas, así como no se podría, por ejemplo, reunir en una ciencia única a la física y la biología bajo el pretexto de que ambas aplican el método experimental. El modo de razo­namiento por encadenamiento de si­logismos no es más que un mecanismo transformador, aplicable indistintamente a toda clase de premisas y que no pue­de, por tanto, caracterizar la naturaleza de éstas. En otros términos, es la forma exterior qu*3 el matemático da a sus pen­samientos, el vehículo que lo hace asi­

milable a otros (2) y, para decirlo palabra, el lenguaje propio de la temática; pero no hay que buscar ahí otra cosa. Codificar este lenguaje, orde­nar su vocabulario y clarificar su sintaxis es cumplir una tarea muy útil, que cons­tituye efectivamente un aspecto del mé­todo axiomático, el que se puede llamar propiamente d«3l formalismo lógico (o, co­mo también se dice, el de la "logística"). Pero insistimos en este punto, no es más que un aspecto, y el menos interesante.

Lo qu«3 se propone como fin esencial la axiomática es precisamente lo que el for­malismo lógico, por sí solo, es incapaz de suministrar: la inteligibilidad profunda de las matemáticas. Lo mismo que el méto­do experimental parte de la creencia "a priori" en la permanencia de las leyes naturales, el método axiomático halla su punto de partida en la convicción de que si las matemáticas no son un «encadena­miento de silogismos que se despliegan al azar, tampoco son .una colección de artificios más o menos "astutos", hechos de aproximaciones fortuitas, en las que triunfa la pura habilidad técnica. Ahí don­de el observador superficial no ve más que dos o varias teorías en apariencia muy distintas, que se prestan, por me­diación de un matemático de genio, un "inesperado socorro" (Brunschvicg, loe. cit., pág. 446), el método axiomático en­seña a buscar las razones profundas de este descubrimiento, a «encontrar las ideas comunes sepultadas bajo el aparato ex­terior de los detalles propios de cada una de las teorías consideradas, a discernir estas ideas y a llevarlas a la luz.

desde el descubrimiento de los irracio­nales. Además, precisamente este descu­brimiento fue fatal para la primera ten­tativa de unificación de la ciencia, el aritmetismo de los pitagóricos ("todas las cosas son números").

Nos veríamos arrastrados demasiado lejos si tuviésemos que seguir, desde el pitagorismo hasta maestros días, las vi­cisitudes de la concepción unitaria de las matemáticas. Además, es ésa una tarea para la cual un filósofo está mejor preparado que un matemático; pues constituye un rasgo común de las di­versas tentativas por integrar en un to­do coherente el conjunto de las matemá­ticas —ya se trate de Platón, de Descar­tes o de Leibniz, del aritmetismo o de la logística del siglo XIX— el que hayan sido hechas en conexión con un sistema filosófico más o menos ambicioso, que partía siempre de ideas a priori sobi«3 las relaciones de la matemática con el doble universo del mundo exterior y del mun­do del pensamiento. No poá«3mos hacer nada mejor que remitir al lector sobre este punto al estudio histórico y crítico de Brunschvicg: Les Etapes de la Philo- sophie Mathématique 0). Nuestra tarea es más modesta y más circunscrita. No tra­taremos de examinar las relaciones de las matemáticas con lo real o con las gran­des categorías del pensamiento. Es en el interior de la matemática dond«3 per­maneceremos y buscaremos, mediante el análisis de su actividad propia, una res­puesta al problema que nos hemos plan­teado.

en una ma-

mieníos que en ella figuran; luego, to­mando cada uno de ellos aisladamente y planteándolo como principio abstracto, desarrollará las consecuencias que le son propias; finalmente, volviendo a la teoría estudiada, combinará de nuevo los elementos anteriormente separados y es­tudiará cómo actúan unos sobre otros. Claro está que no hay nada nu*3VO en es­te balanceo clásico del análisis a la sín­tesis; toda la originalidad del método reside en la manera en que es aplicado.

Para ilustrar con un ejemplo el pro- cedimtento cuya descripción esquemáti­ca acabamos de hacer, tomaremos una de las teorías axiomáticas más antiguas (y más simples), la de los "grupos abstrac­tos". Consideremos, por ejemplo, las tres operaciones siguientes: l9) la adición de los núm«3ros reales, donde la suma de dos números reales (pqsitivos, negativos o nulos) se define de la manera ordinaria; 2?) la multiplicación de los números ente­ros "módulo un número primo p", donde los elementos que se consideran son los números naturales 1, 2, ...., p-1, definien­do por convención el "producto" de dos de estos números como el resto de la di­visión por p de su producto en «3l sen­tido ordinario; 3?) la "composición" de los desplazamientos en el espacio euclidia- no de 3 dimensiones, definiendo el "com­puesto" (o el "producto") de dos despla­zamientos S y T (en este orden) el despla­zamiento obtenido al efectuar primero el T y luego el S. En cada una d«3 estas tres teorías, a dos elementos x, y (toma­dos en este orden) del conjunto de ele­mentos considerado («3n el primer caso, el conjunto de los números reales; en el segundo, el conjunto de los números 1, 2, ..., p-1; en el tercero, el conjunto d«3 todos los desplazamientos) se hace co­rresponder (por un procedimiento parti­cular de la teoría) un tercer etemento bien determinado, que convendremos en designar simbólicamente en los tres ca­sos por x t y (esto s«3rá la suma de x e y si x e y son números reales, su produc­to "módulo p" si son números natura­les ^ p-1 o su "compuesto" si son des­plazamientos). Si ahora se examinan las propiedades de esta "operación" en cada una d«3 las tres teorías, se comprueba que presentan un notable paralelismo.

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FORMALISMO LÓGICO Y MÉTODO AXIOMÁTICO LA NOCIÓN DE ESTRUCTURA

¿Bajo qué forma se va a hacer esta operación? Es aquí donde la axiomática más se aproxima al método experimen­tal. Bebiendo como éste en la fuente car­tesiana, aquélla "dividirá las dificultades para resolverlas mejor"; en las demostra­ciones de una teoría, tratará de disociar los resortes principales de los razona-

(5) Todo matemático sabe, además, que no so "com­prende" verdaderamente una demostración en tanto uno se limite a verificar paso a paso la corrección de las deducciones que figuran en ella, sin tratar de captar claramente las ideas que llevaron a construir esta ca­dena de deducciones con preferencia a cualquier otra.

C«3spués del fracaso más o menos evidente de los diversos sistemas a que aludimos más arriba, parecía que, a co­mienzos de este siglo, se hubiese renun­ciado, casi, a ver »3n las matemáticas una ciencia caracterizada por un obje­to y un método únicos; existía más bien la tendencia a considerarlas como "una serie de disciplinas fundadas sobre no-

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(*) París, Alean, 1912. [Hay versión española, Ed. Lautaro, Colección Tratados Fundamentales, Buenos Ai­res, 1945.]

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manera, aplicable a todos los casos: de la relación xry = XTZse deduce (dan­do a x' el sentido definido antes) x' T (x r y) = x' r (x r z); luego, apli­cando a), (x'rxlry = (x' r x) T z; uti­lizando c), esta relación puede escribir­se ery=--erzy finalmente, aplicando b) es y = z, que era lo que se debía demostrar. En este razonamiento, hemos hecho abstracción total de la naturaleza de los elementos x, y, z considerados, es decir, no nos hemos preocupado por sa­ber si eran números reales, números en­teros ^ p-1 o desplazamientos; la única premisa que intervino fue que la ope­ración x r y sobre estos elementos sa­tisfacía las propiedades a), b) y c). Aun­que más no fuera para evitar repeticio­nes fastidiosas, se comprende, pues, que sea cómodo desarrollar de una vez por todas las consecuencias lógicas de las tres propiedades a), b), y c) solamente. Naturalmente, para comodidad de len­guaje, es necesario adoptar una termino­logía común; se dice que un conjunto en el que se ha definido una operación "r" que satisface a las tres propieda­des a), b) y c) está provisto de una estruc­tura de grupo (o, más brevemente, que es un grupo); las propiedades a), b) y c) son llamadas los axiomas (5) de las es­tructuras de grupo, y desarrollar sus consecuencias es hacer la teoría axiomá­tica de grupos.

Ahora podemos hacer comprender lo que, de una manera general, debe en­tenderse por una estructura matemática. El rasgo común de las diversas nociones agrupadas bajo este nombre genérico es que ellas se aplican a conjuntos de elementos cuya naturaleza (°) no está especificada; para definir ;una’- estruc­tura, se dan una o varias relaciones en

las que intervienen estos elementos (7) (en el caso de los grupos, era la relación

x r y entre tres elementos arbitra­rios); se postula luego que la o las rela­ciones dadas satisfacen ciertas condicio­nes (que se enumeran) y que son los axiomas de la estructura considerada (8).

Pero en el interior de cada una de estas teorías, estas propiedades dependen unas de otras y un análisis de sus conexiones lógicas conduce a discernir un pequeño número que son independientes (es decir que ninguna es consecuencia lógica de todas las otras). Por ejemplo (3), se pue­den tomar las tres siguientes, que noso­tros expresaremos con nuestra notación simbólica común a las tres teorías, pero que son muy fáciles de traducir al len­guaje particular de cada una de ellas:

a) Sean cuales fueren los elementos x, y, z, se tiene x t (y r z) =(x r y) r z (“aso- ciatividad" de la operación r).

b) Existe un elemento e tal que, para todo elemento x, se tiene erx = xre = x (para la adición de los números reales, es el número 0; para la multiplicación “módulo p", es el número 1; para la com­posición de desplazamientos, es el des­plazamiento “idéntico" que deja fijo a cada punto del espacio).

c) Para todo elemento x, existe un elemento x' tal que x r x' = x' r x = e (para la adición de números reales, x' es el opuesto, —x; para la composición de desplazamientos, x' es el desplaza­miento "inverso" de x, es decir, el que lleva a cada punto desplazado por x a su posición primitiva; para la multipli­cación “módulo p", la existencia de x' resulta de un razonamiento aritmético muy simple) (4).

Se verifica entonces que las propieda­des que son susceptibles de expresarse de la misma manera en las tres teorías, con ayuda de la notación común, son consecuencias de las tres precedentes. Por ejemplo, propongámonos demostrar que la relación x r y = x r z implica que y = z. Podría hacérselo en cada una de las tres teorías por razona- namtentos particulares a ellas; pero se puede proceder también de la siguiente

(*) Esta elección no es absoluta,- se conocen numerosos .sistemas do axiomas "equivalentes” al que exponemos aquí. Los enunciados de los axiomas de cada uno de estos sistemas son consecuencias lógicas de los axiomas de uno cualquiera de los otros sistemas.

(4) Es de notar que los restos de la división por p de los números x, x2,..xn, ... no pueden ser distintos; al expresar que dos de estos restos son iguales, se de­muestra fácilmente que una potencia x,u de x tiene un resto igual a uno; si x' c-s el resto de la división de xm'J por p, se deduce de esto que el producto "mó­dulo p" de x y de x' es igual a l.

Hacer la teoría axiomática de una es­tructura dada es deducir las consecuen­cias lógicas de los axiomas de la es­tructura, con exclusión de toda otra hi­pótesis acerca d*e los elementos consi­derados (en particular, toda hipótesis so­bre su “naturaleza" propia).

H. CARTAN: "Sur les fondements logiques des mathé- matiques". Revue Scientifique, LXXXI, 1943, págs. 3-11.

(’) En realidad, esta definición de las es suficientemente general para las necesidades de la matemática; habría que considerar también el que las relaciones que definen una estructura se dieran, no entre elementos del conjunto considerado, sino entre partes de este conjunto, y aún, generalizando más, en­tre elementos de conjuntos de "grado" todavía más elevado, en lo que se llama la "escala de tipos". Para mayor precisión sobre este punto, ver nuestros "Eléments de Mafhématiques", I (fase, de résultats). Actual Scient. et Industr., N9 846.

( ) En el caso de los grupos, para ser absolutamente rigurosos, habría que contar como axioma, fuera de las propiedades a), b) y c) enunciadas más arriba, el hecho de que la relación z = x t y determina y solamente uno, dados x e y. De ordinario, se consi­dera que esta propiedad está implícita al escribir la relación.

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nociones matemáticas, primero a la del número en­tero, y luego, en una segunda etapa, a la noción de conjunto. Esta última, considerada durante mucho tiem­po "primitiva" e "indefinible", ha sido objeto do po­lémicas interminables, debidas a su carácter de extrema generalidad y a la naturaleza muy vaga de las repre­sentaciones mentales aue evoca; sólo se desvanecieron las dificultades cuando se disipó la noción de conjunto (y con ella, todos los seudoproblemas metafísicos sobre los "entes" matemáticos), a la luz de las investigaciones recientes sobre el formalismo lógico; según esta nueva concepción, las estructures matemáticas se convierten, propiamente hablando, en los únicos objetos de las ma­temáticas.

En los artículos que citamos a continuación, el lector oncontrará más desarrollado este punto.

J. DIEUDONNÉ: "Les méthodes axiomatiques modernes et les fondements des mafhématiques". Revue Scientifi­que, LXXVII, 1939, págs. 224-232.

íestructuras no

caso en

una z

ALGEBRA LINEALEn general, no se tiene conciencia clara de que, en la escuela secundaria —fuera

de los rudimentos del cálculo infinitesimal—, no se enseña otra cosa que álgebra lineal. El encasillamiento tradicional en disciplinas aparentemente distintas: “geome­tría pura”, “geometría analítica”, “trigonometría”, “números complejos”, “geome­tría no-euclidiana”, etc.... no hace más que enmascarar este hecho y complicar las exposiciones. La enseñanza de la “geometría pura” según el método euclidiano pro­viene de una técnica ineficaz e inútilmente complicada, reliquia de un tiempo en que la noción de recta orientada, y menos aún la de vector, no se había precisado, y en que no se disponía de otro instrumento que el triángulo, al que había que reducirse por construcciones auxiliares artificiales. Actualmente, la antigua “geometría” es simplemente considerada como el estudio, en un espacio de dos o tres dimensiones, sobre el cuerpo de los reales, de una forma bilineal simétrica (x/y), el producto escalar, sometido a la condición suplementaria (x/x) > 0 para todo x ^ 0, lo que permite definir la longitud de un vecior por la fórmula |.t| = (x/x)h Los teoremas claves de antes, a los que no se llegaba más que por caminos oscuros y tortuosos, como los teoremas de Tales o de Pitágoras, se han convertido, bajo la óptica del álgebra lineal, sea en axiomas —como el teorema de Tales que se escribe: }. (x -j- y) ■= X x + \'y —, sea en consecuencias inmediatas de los axiomas— como el teorema de Pitágoras, pues la bilinealidad de (x/y) jnuestra que:

*O Es obvio que no hay ningún punto común entre

este sentido de la palabra "axioma" y el sentido tradi­cional de "verdad evidente".

(e) Nos colocamos aquí en el punto de vista "inge­nuo" y no abordamos las espinosas cuestiones, mitad filosóficas, mitad matemáticas, que ha planteado el pro­blema de la "naturaleza" de los "entes" u "objetos" matemáticos. Baste decir que el pluralismo inicial de la representación mental de estos "entes" —imaginados en un comienzo como "abstracciones" ideales de la expe­riencia sensible, y que conservan toda la heterogeneidad de ésta— ha sido substituido a raíz de las investiga­ciones axiomáticas de los siglos XIX y XX por una con­cepción unitaria, que reduce progresivamente todas las

(x + y/x + y) = (x/x) + (y/y) -f 2 (x/y), y si los vectores son ortogonales, o sea (x/y) = 0, se obtiene: \x + y[2 *= |rc|2 -f |y|2.

Se ignora, corrientemente, que, desde alrededor de 1880, la teoría de los inva­riantes —que no es otra cosa que la teoría de las representaciones lineales del grupo lineal— nos proporciona un procedimiento automático para formar todos los ciados verdaderos de la “Geometría elemental”; no se comprende pues muy bien el interés que se pone en dar demostraciones separadas y particulares en cada caso. (De una conferencia radiofónica de J. Dieudonné, en Francia, en marzo de 1964,

según el Bulletin de la A.P.M.)

enun-

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V. Desigualdades; cotas superior e inferior de resultados de cálculos aproximados.VI. Representación gráfica. Gráficos lera con números naturales.Vil. Enteros negativos; la ecuación x -j- a = b, siendo a y b números naturales.VIII. Números fraccionarios y racionales; la ecuación a.x = b, siendo a y b números en­teros.IX. Fracciones decimales y, después, fraccio­nes binarías. Valor decimal aproximado de número racional.X. Representación lineal de los racionales so­bre un eje.XI. Gráficos cartesianos y la función asociada.XII. Magnitud proporcional a otra (x -*■ ax); relación con el teorema de Tales.XIII. Funciones lineales y el gráfico lineal de x -*■ ax + b, siendo x entero y x racional.XIV. Ecuación de primer grado con una in­cógnita.XV. Inecuación de primer grado con una in­cógnita.XVI. Potencias enteras (positivas, negativas).XVII. Concepto de grupo.XVIII. Divisibilidad de enteros.XIX. Conceptos de anillo y cuerpo.XX. Polinomios con una o más variables. Adi­ción, sustracción, multiplicación, división eucli- diana.XXI. Funciones racionales elementales con va­rias variables.XXII. Ecuaciones lineales con dos incógnitas, con solución gráfica. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas; soluciones numé­ricas y gráficas. Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.XXIII. La función de segundo grado, x x2. Representación gráfica.XXIV. Raíces cuadradas de un número positivo-, x -*■ Vx y x -► - -\/x.XXV. Ecuación de segundo grado con una in­cógnita.XXVI. Progresiones aritméticas y geométricas. Isomorfismos y preparación para el estudio de los logaritmos.

En la confección de este programa se han tenido presentes estos objetivos: a) El contenido de la enseñanza en este

ciclo debe mantener lo que es co­rriente en muchos países en la actua­lidad: estudio del sistema de numera­ción decimal y procedimientos de cálculo en este sistema; destreza en el cálculo algebraico; ecuaciones e

inecuaciones lineales con una incóg­nita; sistemas de ecuaciones con dos y tres incógnitas; ecuaciones de se­gundo grado con una incógnita.

b) Los procedimientos didácticos deben cambiarse necesariamente para in­troducir y emplear frecuentemente las nociones de la teoría de conjuntos ai mismo tiempo que el estudio de las propiedades características de las ope­raciones, con vista a la introducción de los conceptos de grupo, anillo y cuerpo.

c) La enseñanza de la aritmética, el ál­gebra y la geometría debe ser coor­dinada, atendiendo al objetivo prece­dente.

Se procura que las nuevas nociones antes citadas no se traten en forma teó­rica y formal, y que se llegue a ellas por vía del descubrimiento personal por par­te de los alumnos. En la ejercitación nece­saria para adquirir destreza en el cálcu­lo numérico y algebraico, se aconseja evitar complicaciones inútiles, de valor dudoso para el desarrollo de la aptitud matemática; se pretende, en cambio, orientar la .atención reflexiva sobre las operaciones y sus propiedces. Como "innovación" en la orientación sugerida podría señalarse la insistencia en el em­pleo de técnicas experimentales en arit­mética.

PANORAMAen esca-

:i

El Programa de la O.E.C.E.!•

un

tal que se pudieran adaptar a un nivel estudiantil medio, mientras que los del segundo se destinan esencialmente —sal­vo en Probabilidad y Estadística en que se hacen distinciones entre la orientación científica y la no científica— a aquellos alumnos orientados hacia estudios cien­tíficos, y en especial a los de matemá­tica y física.

Se piensa, sin embargo, que muchos estudiantes capaces, sin intereses ni ob­jetivos científicos, encontrarán en los nuevos programas un desafío para su curiosidad intelectual y una introducción adecuada al pensamiento matemático actual.

El aporte de la Reunión no pretende ser definitivo; se ofrece como una prime­ra tentativa que deberá someterse a de­bida experimentación. Pero sus autores están convencidos de que la "buena ma­temática" que él implica responde a una concepción moderna "perfectamente adaptada a las exigencias y posibilida­des" de los alumnos secundarios.

PRIMER CICLOLos programas sugeridos para el Pri­

mer Ciclo (11 a 15 años) son los siguien-

De acuerdo con una de las recomenda­ciones del Seminario de Royaumont (1) —la referente a la confección de un pro­grama moderno para la enseñanza se­cundaria de la matemática—, entre agos­to y septiembre de 1960, se reunió en Yugoslavia el grupo de expertos (2) a los que la Organización Europea de Coope­ración Económica (O.E.C.E.) (3) encargó dicha tarea.

Como el tiempo disponible era escaso, se decidió realizar parcialmente la labor encomendada ocupándose de aquellas partes de la matemática —álgebra, geo­metría, probabilidad y estadística— que presentaban la mayor urgencia. Pese a ello, se redactaron algunas recomenda­ciones refeientes a la enseñanza del aná­lisis, cuyo programa no se creyó oportuno alterar.

Por otra parte se convino en dedicarse a formular un programa paro les alum­nos secundarios mejor dotados, por con­siderarlos más capaces de asimilar un material más moderno y avanzado que el actual. Empero, el Seminario de Royaumont había recomendado que el temario fuera eventualmente accesible a todos los alumnos.

Esto determinó que se encarara la es­cuela media como compuesta de dos ci­clos de tres años cada uno, redactándose los programas del primer ciclo en forma

I¡

i

i.Geometría

I. Introducción de la noción de vector como segmento de recta orientada. Adición, sustrac­ción, multiplicación por un escalar.II. Angulo. Propiedades de los ángulos estu­diadas con relación a rectas paralelas, polí­gonos, círculos. Estudio de las propiedales de los ángulos en paralelogramos y triángulos.III. Simetría. El triángulo isósceles.IV. Transformaciones estudiadas desde un punto de vista físico e intuitivo, para investigar pro­piedades de las figuras. Las transformaciones deben obtenerse por: a) plegado del papel; b) reflexión; c) rotación; ch) traslación; d) re­cortado de figuras; e) puntos espaciados regu­larmente sobre un círculo y los polígonos re­gulares.V. Transformaciones algebraicas simples: x' = ai x + bi, y' ai; x + b2/ con los valo-

tes:Kk

Aritmética y Algebra *

I. Nociones elementales de la teoría de con­juntos de elementos; propiedades y relaciones.II. Aplicación de un conjunto en y sobre otro. Número cardinal.III. Las cuatro operaciones con naturales. Propiedades de las operaciones.IV. Operaciones en el sistema de numeración decimal. Nociones sobre sistemas de numera­ción con bases distintas de 10, y en particular con base 2.

(1) Véase ELEMENTOS, N? 3> pág. 60.(2) Constituido por: E. Artin (Alemania), O. Botsch

(Alemania), G. Choquet (Francia), B. Derasimovic (Yugoslavia), H. F. Fehr (EE.UU.), C. Hope (Gran Bretaña), E. Krisfensen (Dinamarca), D. Kurepa (Yu­goslavia), P. Libois (Bélgica), L. Pauli (Suiza), L. Rade (Suecia), B. Schoeneberg (Alemania), W. Ser­váis (Bélgica), M. H. Stone (EE.UU.), P. Theron (Francia) y M. Villa (Italia).

(3) Actualmente O.C.D.E., Organización de Coopera­ción y Desarrollo Económico.

— 116 - • V - 117 -

Algebra ro con este programa —y con cualquiera, agregamos nosotros—. Los conceptos in­troducidos en el primer ciclo (conjuntos, anillos, cuerpos, grupos, álgebra lineal) ocupan aquí un lugar preponderante y reaparecen constantemente en el estudio de la geometría; 'esto último obliga a una adecuada coordinación de ambas mate­rias.Geometría

I. Grupos de transformaciones: a) Simetría axial; b) Simetría central; c) Traslación; ch) Ro­tación; d) Reflexión; e) Isometría.II. Geometría afín: a) Los números reales y la recta; b) Coordenadas; c) Vectores y espacios vectoriales; ch) Geometría analítica.III. Geometría euclidiana; a) Perpendiculari­dad; b) Producto interno de vectores,- c) Espa­cios vectoriales; norma,- ch) Trigonometría.IV. Cónicas: a) Lugares geométricos; b) Trans­formaciones afines,- c) Formas cuadráticas, re­presentación paramétrica; ch) Propiedades pro- yectivas,- geometrías proyectiva y descriptiva.V. Estudio axiomático de: a) Espacio vectorial; b) Espacio afín; c) Espacio métrico euclidiano; ch) Geometría euclidiana sintética. (No se tra­tarán todos estos temas).

Se supone, según se expresó más arir- ba, que esta geometría del segundo ci­clo se estudiará conjunta y simultánea­mente con el álgebra. En particular, el tratamiento de la geometría se propone:a) Desarrollar la noción del espacio

concebido como un conjunto con subconjuntos particulares que poseen estructuras encadenadas entre sí; en particular, el espacio afín, el espacio euclidiano y el «espacio vectorial.

b) Desarrollar el conocimiento de la rela­ción precisa entre la "recta” y el con­junto de los número reales.

c) Desarrollar la comprensión d«e las prin­cipales transformaciones utilizadas en las diferentes geometrías, y de los grupos de transformaciones; en par­ticular en la geometría afín y la eucli­diana.

ch) Desarrollar la comprensión ría la no­ción de estructura axiomática a tra­vés de estudios del tipo de: recta afín, plano afín, espacios afines, espacios métricos euclidicmos, espacios vecto­riales.

los términos nuevos según el contexto con que son empleados, teniendo en cuen­ta que su empleo, al mismo tiempo que el conocimiento creciente de las propie­dades a él asociadas, preparan el cami­no para la definición que sea necesaria; desarrollar la abstracción matemática a partir de modelos materiales o experien­cias, pues, aunque la matemática es abstracta y se refieie a relaciones entre entes abstractos, el adolescente necesita previamente de una experiencia concre­ta, rica y variada; «estimular la creación y la intuición en los alumnos, fomentan­do descubrimientos y soluciones propias, y tratando de despertar atracción por la asignatura, de modo que ella no sólo interese sino también apasione.

Probabilidad y'Estadística

res de ai, a2, b\, b2, que den sólo ejemplos de transformaciones afines.VI. Representaciones gráficas simples (del ál­gebra): estudio de las curvas y = mx + b y y = ax2 -|- bx + c; desarrollo de ideas bá­sicas para el estudio del cálculo. Las relaciones entre la recta y la parábola, y los coeficientes de sus ecuaciones.Vil. Ideas fundamentales incluidas en los con­ceptos de área y de volumen. Teorema de P¡- tágoras y sus extensiones.VIII. Propiedades no métricas de la recta y el plano, e introducción a la notación de los con­juntos. La figura geométrica como un conjunto de puntos.IX. Semejanza y leyes asociadas, en áreas y volúmenes.X. Trigonometría; seno, coseno, tangente y sus aplicaciones.XI. Empleo de cortas "demostraciones lógicas” para justificar algunas de las propiedades geo­métricas tratadas precedentemente en forma intuitiva.

ler. año:

I. Conjuntos. Introducción a la teoría de con­juntos,- símbolos.II. Aplicaciones. Noción de función.III. Relaciones, especialmente de equivalencia y de orden.IV. Anillos, cuerpos, grupos. Definiciones y pro­piedades elementales.V. Sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas (m ^ n ^ 3).VI. Introducción a la teoría de vectores, espe­cialmente para la resolución de un sistema de 2 ó 3 ecuaciones con 2 ó 3 incógnitas.Vil. Primeros pasos hacia el estudio formal de los números reales. (Valores absolutos, cuer­pos ordenados, radicales).VIII. Ecuaciones de segundo grado.IX. Números complejos.

j

I

I;

29 año:I. Estudio de fenómenos aleatorios para intro­ducir las nociones de espacio de muestras, su­ceso y probabilidad de un suceso.II. Ley empírica de la estabilidad de las fre­cuencias.III. Métodos numéricos y gráficos en estadísti­ca descriptiva.IV. Conceptos de: media, mediana, moda, des­viación, desviación ¡ntercuartil.V. Diagrama de barras, diagrama puntual de frecuencia, histograma y polígono de frecuen­cias acumuladas. (Si es posible, se podrán tra­tar diagramas bidimensionales de dispersión, diagramas de control y representación gráfica de series temporales).VI. Estudio de la inferencia estadística.

Este programa, como los del segundo ciclo, no está concebido como un curso mínimo; algunos temas pueden conside­rarse como optativos, y aun omitirse. Pretende dar un fundamento intuitivo de la teoría da probabilidades y familiari­zar a los alumnos con sus nociones bási­cas, así como presentarles los métodos fundamentales de la estadística descrip­tiva. Presupone el conocimiento del cálcu­lo con números enteros, la medición d«a longitudes y el cálculo de áreas senci­llas.

I. Principio de inducción completa.II. Divisibilidad en el anillo de los enteros; nú­meros primos.III. Factores; anillo de las clases residuales.IV. Anillo de polinomios.V. Conjuntos; operaciones lógicas, conjuntos numerables y no numerables.VI. Grupos. Isomorfismos, homomorfismos.Vil. Estructura axiomática del sistema de los números reales.VIII. Noción general de relaciones.IX. Combinaciones y permutaciones.

Las finalidades de este temario pueden resumirse así:a) Establecer, intuitivamente, ciertos re­

sultados geométricos mediante la ex­periencia física y la observación.

b) Emplear deductivamente los resulta­dos así obtenidos para justificar otros resultados e investigar propiedades que son invariantes en las transforma­ciones físicas y algebraicas.

c) Integrar métodos variados (algebrai­cos y sintéticos) para resolver un pro­venía geométrico.

d) Desarrollar, a medidas que avanza el curso, cortas cadenas deductivas que conduzcan a las propiedades funda­mentales admitidas inicialmente como verdaderas por los alumnos, porque no podían aplicar los métodos de de­mostración en «el momento en que fue­ron introducidas.

El programa proyectado significa un abandono del desarrollo tradicional y re­fleja las tendencias modernas en la ma­nera de ^tratar los distintos temas. Hoy la geometría abarca todos los aspectos del espacio en su concepción más abstracta y su tratamiento sintético es reforzado por las técnicas algebraicas.

Se recomienda: no emplear una termi­nología difícil y prematura, sino definir

;

3er. año:

I. Concepto abstracto de espacio vectorial; aplicaciones a los sistemas de ecuaciones li­neales y a la geometría.II. Aplicaciones lineales, matrices./II. Aplicaciones de la teoría de grupos.IV. Cónicas. Formas y funciones cuadráticas.♦

VE1 programa propuesto debe conside­

rarse también como un máximo y su desarrollo dependerá del tiempo disponi­ble y de la capacidad d«e los alumnos. Para ayudar a lograr la abstracción que el curso implica, se aconseja una copio­sa ejemplificación (ejemplos y contra­ejemplos) y una adecuada ejercitación que induzca a la investigación; la pasi­vidad del alumno lleva al fracaso s«egu-

!

SEGUNDO CICLO

Para el Segundo Ciclo (15 a 18 años) se proponen los siguientes programas:

- 119 -- ti:8 -

¡

üAunque probabilidad y estadística se

presentan por separado, no se descarta posible curso combinado. Con la pri-

parte (A) se procura hacer la teoría fundamental de las probabili­dades, insistiendo en las nociones que se necesitan para el estudio de la estadística indicando en la segunda parte (B). Con este último estudio no se pretende for-

estadísticas profesionales, sino ayu­dar a conocer los principios básicos del razonamiento de este tipo. El curso com­pleto requiere conocimientos de permuta­ciones y combinaciones, del teorema del binomio, de progresiones geométricas, de la función exponencial y de elementos de análisis.

Orientación científica. Además de los indica­dos para la orientación no científica, se pro­ponen los siguientes temas:a) Axiomas de la teoría de las probabili­

dades.b) Teoría de las probabilidades condiciona­

das. Sucesos independientes.c) Distribución de Poisson (si es posible).

El curso, que presupone los conoci­mientos requeridos para la otra orienta­ción, se propone especialmente hacer co­nocer la teoría fundamental de las pro­babilidades y los principios básicos del razonamiento estadístico. Ni este progra­ma, ni el precedente, deben ser conside­rados como programas mínimos, según se expresó antes.

Para concluir esta reseña, debe agre­garse que el grupo de expertos reunidos en Yugoslavia estimó conveniente agre­gar a su proyecto de programas algunos desarrollos y comentarios óa temas y una breve información bibliográfica.

ORIENTACIONd) Desarrollar la destreza aplicable a los diversos métodos de estudio geo­métrico para la solución de proble­mas originales, tanto matemáticos puros como aplicados.

En resuman, se pretende proporcionar al alumno una visión clara y precisa de la naturaleza de la asignatura y de sus aplicaciones a la física.

Probabilidad y Estadística

Orientación no científica.A. Teoría de las probabilidades.I. Introducción intuitiva a la teoría.II. Probabilidades en espacios finitos de mues­tras.III. Teoremas de la teoría de las probabilida­des. Sucesos independientes.IV. Esbozo de la teoría axiomática.V. Variables aleatorias y su distribución pro- babilística.VI. Variables aleatorias discretas y continuas. Funciones de frecuencia.Vil. Medias y varianzas.VIII. Distribuciones binomial y normal.IX. Sumas de variables estocásticas indepen­dientes.X. Desigualdad de Tchebycheff y ley de los grandes números.B. Estadística.I. Estadística descriptiva.II. Ejemplos de inferencia estadística.III. Control de hipótesis.IV. Inferencia estadística referente a la media de una población normal con desviación "stan­dard" conocida.V. Ajuste de una distribución normal a los resultados estadísticos.VI. Diagramas de control.Vil. Inferencia estadística concerniente a mo­delos de regresión.

unconocermera

El Algebra de Boole'*1mar

!FLORENCIO D. JAIME

(Instituto Superior del Profesorado - Bs.,

REGLAS DEL RAZONAMIENTO Regla de sustitución. El signo = ex­presa, en la Lógica, la relación de iden­tidad, relación, ésta, que sólo existe entre cada cosa y ella misma. Por consiguiente, cuando decimos que x = y estamos ex­presando que tanto "x" como "y" son símbolos representativos de una misma cosa. Surge de ahí la siguiente regla ló­gica, llamada "regla de sustitución”: Cuando x = y, cualquiera de los símbo­los V e "y” puede ser sustituido por el otro en uno, en varios o en todos los lu­gares en que aparezca dentro de una dada proposición.

Por ejemplo: 5 + 1 = 3 +3, puesto que tanto el símbolo "5 + 1” como el símbolo "3 -f- 3” representan una misma cosa: el número 6.

Por lo tanto, en la proposición:

Conforme con lo expresado anterior­mente, demostraremos los teoremas ateniéndonos a las reglas lógicas de la inferencia. Convendrá, pues, recordar las más empleadas a fin de que, cuando se las invoque, sea correcta su interpre­tación.

Regla de separación. (Esta regla, lla­mada también "Modus ponendo ponens” (Modo de afirmar afirmando), dice que: Cuando una implicación es verdadera y el antecedente de ella también lo es, se puede separar el consecuente y afirmar que él también es verdadero. En efecto, una implicación verdadera no es más que una verdad hipotética que no permi­te asegurar la veracidad del consecuente si no se ha comprobado que se cumplen las condiciones impuestas por la hipóte­sis. Así, por ejemplo, la implicación "si el triángulo ABC es equilátero, entonces el triángulo ABC es equiángulo” es ver­dadera, pero no habilita para afirmar aisladamente que el triángulo ABC es equiángulo si antes no se ha comproba­do que es equilátero. Sólo entonces es válida la conclusión: "Luego el triángulo ABC es equiángulo”.

Regla de aplicación. Esta regla dice que: Lo que se verifica para todo x es aplicable, en particular, para cada signi­ficado que x pueda tener, siempre que ese significado se ponga en lugar de la variable x en todos los lugares en que ella aparezca dentio de la expresión vá­lida para todo x.

(*) Véase ELEMENTOS N? 4, págs. 93-9Ó.

í

(5 + !)2 = (5 + 1) . (5 + 1);

se podrán efectuar las sustituciones que conducen a las siguientes conclusiones:

(3 + 3)2 = (5 + 1) . (5 + 1);\5 + D- = (3 + 3) . (5 + 1);(5 + l)s = (5 + 1) . (3 + 3);(3 + 3)2 = (3 + 3) . (5 + 1);(3 + 3)2 = (5 + 1) . (3 + 3);(5 + l)2 = (3 + 3) . (3 + 3);(3 + 3)- = (3 + 3) . (3 + 3).

:

CONDUCTA PARA UN MATEMATICO Acaso nos preguntemos si el tiempo que dedicamos a cuestiones de la. enseñanza

no estaría mejor empleado en la investigación científica. Y bien, respondemos que es un deber social el que nos obliga a tratar estos problemas. En efecto, no basta producir la riqueza/ es necesario procurar que su distribución ocurra'sin retardo ni dispersión. ¿1 no es acaso la ciencia una riqueza, tal vez la más valiosa de las riquezas, aquélla que constituye nuestro orgullo y es la fuente de nuestras satisf dones más puras? ¿No debemos facilitar a nuestros semejantes la adquisición del saber que es, al mismo tiempo, poder y felicidad?(Guido Castelnuovo, Conferencia Internacional de la enseñanza matemática’ París

1914)

La regla de sustitución no es válida para otros tipos de igualdad que no sea la identidad.

Propiedad de Euclides. Se llama "re­lación igualiforme" a toda relación que goce de los caracteres idéntico o reflexi­vo, recíproco o simétrico y transitivo (*). Las relaciones de identidad, congruencia,

ac-

■ r —

- 120 - - 121 -

i

I

/sustituciones permitidas por las identi­dades (3) y (4) se tiene que:

0* = 0 (por regla de sustitución).Si cualquier elemento de K que satis­

face la condición del 0 resulta idéntico a éste, se puede afirmar que el 0 de Boole es único.

Para demostrar el Teorema I, 2 basta aplicar la ley de dualidad.

T. II. 1. Para todo elemento a, de K, se verifica que:

T. IV. (dual de si mismo). El elemento complementario de un elemento cual­quiera a, de K, es único.

paralelismo, semejanza y equivalencia son ejemplos de relaciones igualiformes. La propiedad de Euclides dice que: Si dos cosas están ligadas por una misma relación igualiforme con una tercera, lo están entre sí. La propiedad de Euclides, referida en particular a la relación de identidad, dice, pues, que: Dos cosas idénticas a una tercera son idénticas en­tre sí.

TEOREMAS DEL ALGEBRA DE BOOLE

T. I. 1. El 0 de Boole es único.T. 1. 2. El 1 de Boole es único.

Demostración del Teorema I. 1

(por T. Ií. 1 y regla de sustitución)

a.a-a11

¡ Para demostrar el Teorema V. I basta aplicar la ley de dualidad.

T. VI. 1. Para todo elemento a, de K, se veiiifca que:

DemostraciónEn virtud del Ax. V, para cada ele­

mento a, de K, existe al menos un ele­mento complementario a', de K, tal que:

a + a'zrrl y a . a' = 0 Sea ahora a" un elemento cualquiera

de K que también sea complementario del a, es decir, que cumpla las condicio­nes:

a + 1 « 1T. VI. 2. Para todo elemento a, de K,(1) (2) se verifica que:

a . 0 = 0¡ia -j- 0 = a Demostración del Teorema VI. 2i T. II. 2. Para todo elemento a, de K, se

(3) a + a" = 1 y a . a" = 0 Vamos a demostrar que a" = a. En

efecto: a = a .1

(4)verifica que: Sabemos que, para todo a, de K, se verifica que: a . 0 «= a . 0 -J- 0

a . 1|í a(por T. II. 1 aplica­do a a . 0)

a . 0 = a . 0 + a . a' (por Ax. V y regla de sustitución)(por Ax. IV. 2 y re­gla de sustitución) (por Ax. III. 1 y re­gla de sustitución) (por Ax. V y regla de sustitución)

Demostración del Teorema II. 1 (por T. II. 2)(por (1) y regla de sustitución)

a” = a" . a -f a" . a' (por Ax. IV. 2 y re­gla de sustitución)

a' = a . a" + a" . a# (por Ax. III. 2 y re­gla de sustitución) (por (4) y regla de sustitución)

a" = a . a' + a" . a (por (2) y regla de sustitución)(por T. III. 2 y regla de sustitución)(por (3) y regla de sustitución)

' (por Ax. II. 2 y re­gla de sustitución)

Si cualquier 'elemento de K que sea complementario del a es idéntico al com­plementario a' de a, cuya existencia afirma el Ax. V, resulta que este com­plementario a! es único.

T. V. 1. Para todo a, de K, se verifica

= a" . (a + a')//En virtud del Ax. II. 1, existe al menos

un elemento 0 de K, tal que, para todo a:0 + a = a

Sea ahora 0* (léase "cero asterisco") un elemento cualquiera, de K, tal que, para todo a, se verifique que:

aEn virtud del Ax. III. 1, para todo a y todo b, de K, se verifica que:

a + b = b + aPor consiguiente, para todo a y para

b = 0 deberá verificarse, en particular, que:

a . 0 «= a . (0 -f a*)(1)

a . 0 = a a'

a*' = 0 + a" . a a . 0= 0a -f 0 = 0 -f a (por regla de aplicación)

i.i

0* + a = aVamos a demostrar que 0* = 0. En

efecto, puesto que para todo a se verifi­ca la identidad (1), deberá verificarse en particular, para a = 0*, que:

0 + 0* = 0*

(2)El T. VI. 1 se justifica aplicando la ley de dcalidad.T. VIL 1. Para todo a y todo b, de K,

se verifica que:Pero:

(por Ax. II. 1)0 + a = a a" = (a + a") . a'Luego: a + a . b = a

T. VIL 2. Para todo a y todo b, de K, se verifica que:

a -j- 0 = apor carácter transitivo de la identidad y regla de separación.

Para demostrar el Teorema II. 2 bosta aplicar la ley de dualidad.

a" = 1 . a(3)(por regla de aplicación)

Análogamente, de (2), para a = 0, se iiene que:

a" = a a . (a + b) = a

Demostración del Teorema VII. 10* + 0 = 0(por regla de aplicación)

Ahora bien, para todo a y todo b, de K, se verifica que:

a -|- b = b -f- a (por Ax. III. 1); luego, en particular para a = 0 y b = 0*. se tendrá que:

(4)! T. III 1. Para todo a, todo b y todo c, de K, se verifica que:

(a . b) + c = (a + c) . (b + c)T. ID. 2. Para todo a, todo b y todo c,

de K, se verifica que:(a + b).c = a.c-j-b.c

Demostración del Teorema DI. 1

Sabemos que, para todo a, todo b y todo c, se verifica que:

(a . b) + c = c + (a b)(por Ax. I. 2 y Ax. III. 1)

(a . b) + c = (c + a) . (c -f- b)(por Ax. IV. 1 y regla de sustitución)(a . b) + c = (a + c) . (b + c)

(por Ax. III. 1 y regla de sustitución)Para demostrar el Teorema III. 2 basta aplicar la ley

de dualidad.Las propiedades expresadas por los

Teoremas III. 1 y III. 2 se llaman distri­butivas hacia la izquierda.

i(por carácter reflexivo de la identidad)

a + a . b = a . 1-f-a.b (por T. II. 2 yregla de sust.) (por Ax. IV. 2 y regla de sus­titución)

a + a. b a + a . b

que:a + a = a

T. V. 2. Para todo a, de K, se verificaa-f-a.b = a.(l-f-b)

0 + 0* = 0* + 0(por regla de aplicación);

y haciendo en esta última proposición las------- , •: /(*) Tarski, en su "Infroduction to Logic" (pág. 96) se­

ñala que no existe Hasta ahora un término umver­salmente aceptado para denotar esta clase de rela­ciones. Añade que a veces se las llama IGUALDADES o EQUIVALENCIAS y critica el empleo de un mismo término para designar cosas distintas, insistiendo en que su uso conduce a ambigüedades. Por eso, noso­tros preferimos designar a las mencionadas relacio­nes con el calificativo inconfundible de IGUALIFOR- MES introducido por Padoa en el II Congreso de la asociación "Mathesis" realizado en 1909 (V. "Perió­dico di Matemático", Serie III - Vol. Vil - págs. 229 y 258).

que:a . a = a a-f-a. b==a.(b-|-l) (por Ax. III. 1,

regla de api. y regla da sust.) (por T. VI. 1 y regla de sust.) (por T. II. 2 y regla de sust.)

El T. Vil. 2 se justifica aplicando la ley de dualidad.T. VIII. 1. Para todo a y todo b, de K,

se verifica que:

Demostración del Teorema V. 2a -4- a . b = a . 1

Sabemos que, para todo a, de K, se verifica que: a . 1 = a a . (a + a') == a

a . a + a . a' = a

a . a + 0 *= a

a + a . b = a(por Teorema II. 2) (por Ax. V y regla de sustitución)(por Ax. IV. 2 y re­gla de sustitución) (por Ax. V y regla de sustitución)

(a + b) . (a + b') *= a T. VIII. 2. Para todo a y todo b, de K,

se verifica que:

- 123 -- 122 -

'a . b + a . b'

Demostración del Teorema VIII. 1

. b'

T. XI. .1. Para todo a y todo b, de K. se verifica que:

«= a

Cálculo ProposicionaCa' + (a + b) = 1T. XI. 2. Para todo a y todo b, de K,

se verifica que:(a + b) . (a + b') = a + b

(por Ax. IV. 1)(a + b) . (a -}- b) «= ct —J— 0

(por Ax. V y regla de sust.)(a + b) . (a + b') *= a

(por T. II. 1 y regla de sust.)El T. VIII. 2 se justifica aplicando la ley de dualidad.T. IX (Dual de sí mismo). El elemento

complementario (a')' del elemento com­plementario a' de un elemento cualquiera a, de K, es este mismo elemento ai. O sea, en símbolos, que:

RAUL A. CHIAPPA(Universidades de Bs. As. y del Sur)

Estas tablas corresponden a las expre­siones A A B, A V B y — A, respectiva­mente. En estas condiciones, un circuito en serie representa la conjunción lógica, un circuito en paralelo la disjunción ló­gica y el tercero la negación lógica; en este último caso, — A representa un in­terruptor solidario con A tal que toma los valores opuestos a éste.

Razones técnicas, pueden hacer nece­sario que a distintas ocurrencias de una proposición deban corresponder distin­tos interruptores y en tal caso debemos asegurarnos que todos ellos tengan en todo momento igual estado: cerrado- abierto.

En tal convención un circuito serie re­presenta la conjunción lógica y un cir­cuito paralelo, la disjunción lógica.

Siendo los otros conectivos definibles en términos de negación o disjunción, re­sulta que por aplicación reiterada pue­den construirse los circuitos correspon­dientes a cualquier proposición.Ejemplo:(A V C) A (B-+A) s(AVC) A (—B V A) se representa con:

a' . (a . b) = 0"CIRCUITOS LOGICOS"Demostración del Teorema XI. 1

a + (a + b) — 1 . [a + (a + b)] (por Ax. 11.2)

a + (a 4- b) = (a + a) . [a' + (a (por Ax. V y regla de sust.)

a' + (a + b) «= (a' + a) . [a' + (a + b)] (por Ax. III. 1 y regla de sust.)

a' + (a + b) = a' + a . (a + b) (por Ax. IV, 1 y regla de sust)

a + (a -|- b) *= a' + a (por T. VII. 2 y regla de sust.)

a' + (a + b)« a + a'(por Ax. III 1 y regla de sust.)

a' + (a + b) = 1 (por Ax. V y regla de sust)

El T. XI. 2 se justifica aplicando la ley de dualidad.T. II. 1 (llamado "primera ley de De

Morgan"). El elemento complementario de la suma de dos elementos de K es el producto de los complementarios de los sumandos.

En símbolos:

Una de las aplicaciones técnicas más interesantes —espectaculares, diría— es la que ce refiere a circuitos eléctricos, que ha tenido fundamental importancia en el progreso del cálculo electrónico.

Hasta ahora, hemos convenido en que a cada proposición pueden corresponder dos valores "V" y "F" (análogamente podríamos haber convenido en asignar "1" y "0", "+" y "—", etc.); también se pueden interpretar dichos valores como significando respectivamente "pasa co­rriente" y "no pasa corriente"; en este caso podremos construir, dada cualquier proposición, un circuito eléctrico que la represente, y recíprocamente.

Dicha interpretación es de suma impor­tancia en la construcción de las compu­tadoras electrónicas, pues con circuitos apropiados se dota a la máquina de ca­pacidad de comparar o decidir entre dis­tintas alternativas.

Para señalar la analogía lógica entre diversos circuitos y las operaciones del cálculo proposicional, asignemos a la expresión "pasa corriente" el valor V y a "no pasa corriente" el valor F; en tal caso, los circuitos con dos interruptores en serie o en paralelo, responden a las siguientes tablas:

b)3

I

i(a')' = a

Demostración del Teorema IXPor hipótesis:(a*)' es el elemento complementario del

a*. (1) Además, por ser a' el complemen­tario del a, deberá verificarse que:

a -f a' = 1 y a . a' = 0 (por Ax. V) de donde:

a' + a = 1 y a' . a = 0 en virtud del Ax. III. 1, del Ax. III. de la regla de sustitución.

De las dos últimas identidades duce, en virtud del Ax. V, que:

un elemento complementario de a' (2). De (1) y (2) resulta

S

u2 y

se d*e-

(a + b)' = a' . b'T. XII. 2 (llamado "segunda ley de De

Morgan"). El elemento complementario del producto de dos elementos de K esla suma de los complementarios de los factores.

En símbolos:

a esque:

(a7 = a (por T. IV)T. X. 1. El elemento complementario de

0 es 1.En símbolos:¡

A -B0' = 1dJl esi} EI elemento comPlementario de

En símbolos:

(a . b)' «= a' + b'Demostración del Teorema XII.

En virtud del Ax. V, será cierta la tesis si se cumplen las dos condiciones si­guientes:

!__.\£_l A1 \1' = 0 Nótese que si la proposición represen­

tada es una tautología, el paso de co­rriente en el circuito correspondiente se produce independientemente de la posi- cin de los interruptores.

Análogamente si la proposición corres­pondiente es contradictoria nunca pasa corriente y si es fáctica (contingente) el paso de corriente depende de la posi­ción de los interruptores.

Por ejemplo, el circuito correspondien­te a la proposición

.1SuDemostración del Teorema X.

Será cierta la tesis si dos condiciones siguientes:

0+1 = 1 y 0 . 1

V—1(a - 1W + (a' . b') = 1r

se verifican las y «---•A(a + b) . (a' . b') = 0

Efectivamente:(a + b) + (a . b') =

= t(a 4- b) + a'] [(a + b) + b'](por Ax. IV. 1 y regla de sust.)

(a + b) + (a' . b') == [a' + (a + b)] . [b' + (a + b)]

(por Ax. III. 1 y regla de sust.)(a + b) + (a' . b') ==: 1 . [b* + (b + a)]

(por T. XI. 1, Ax. III. 1 y regla sust.)

Continúa en la pá(¡. 128

A BA B Circuito A B Circuito= 0(por Ax. V)

0 4-1 = 1(por Ax. II. 1 aplicado a 1)

yO.1=0(por T. II. 2 aplicado a 0)

V FV V VV F VF V VF F F

V V VV F F F V F ^ F F

Efectivamente:F V

Luego, (*) Véase ELEMENTOS N9 4, pág. 98.0' = 1

Por ejemplo, el circuito correspondiente a la proposición [A V (B A — B)] A ■{— B -*• [(— B A C) V (— B A-C)][

.1 es equivalente al funcionamiento del interruptor A.

- 125 -

El T. X. 2 se justifica aplicando la ley de dualidad.

- 124 -

formulación algebraica que responde a esa tabla se puede sistematizar en los tres siguientes pasos:

a) Tomar los casos en que el valor fi­nal es V.

b) Determinar las conjunciones lógicas que les corresponden, es decir, en el ejemplo:

A A B A C. A A -B A C, AA-BA —c, —a a —b a —cc) Establecer la adición lógica de esas

Análogamente, si se da el circuito:inferir "P-+Q" a partir de “P-* Ri", ”Ri~* R2'\... "Rn-l-Rn"

b) Otra manera de demostrar "P-*Q" consiste en demostrar el contrarrecíproco, es decir "—Q-»—P".

Esta manera de demostrar "P-K2" (ca­so especial de "método por reducción al absurdo") es muy usada.

c) Si se tiene que demostrar una impli­cación de la forma especial "(P V Q)-*R" se puede demostrar "P-*R" y "Q“*R", luego por la forma Fi se puede infeiir "(PVQHR"

Nos referimos al proceso de demostrar "(PvQHR" demostrado "P-*R" y "Q“*R" como "demostración por casos". Notemos la generalización por la cual si "Pi“*Q", "P2-Q", ..., "Pn-Q", luego("Pi V P2 V. ..V P„)~*Q". Nótese que si corresponden a todas las situaciones posibles de presen­tarse compatibles con la hipótesis, cuan­do al menos una de las hipótesis "Pi", "P2" .. . "Pn" es verdadera resulta, por aplicación de forma Fi y de modus po- nens que "R" es verdadera.

d) Un caso especial e interesante de lo que precede se da cuando podemos de­mostrar "P-+Q" y "—P-*Q'\ Luego, por Forma Fi obtenemos ("P V —P)-+Q". Sin embargo, tenemos que “P V —P" es tautológico, de modo que por "modiis ponens" obtenemos "Q". Este proceso ha sido reducido a un solo paso en la for­ma Fi, que dice que a partir de "P-*Q" y "—P-*Q" obtenemos "Q".

El uso de este principio también se llama, "demostración por casos".

Reductio ad absurdum: Hay numerosas • variaciones menores del "reductio ad absurdum", y veremos algunas de las más comunes. Sin embargo, el prototipo de todas las demostraciones por reduc­ción al absurdo es la siguiente: qu-ere- mos demostrar "P" y lo hacemos' supo­niendo la negación "—P" y derivando una contradicción. (Recordemos que lla­mamos contradicción a cualquier enun­ciado de la forma "Q /* —Q"). Si pode­mos derivar una contradicción a partir de "—P", esto quiere decir que podemos probar que "—P~KQ A —Q)". Lu*ago, por contraposición, inferimos "P".

En general no es necesario que "Q"

necesitan métodos más profundos de prueba. Sin embargo, las fórmulas uni­versalmente válidas (tautológicas) sirven para justificar numerosos principios útiles de razonamiento. De hecho, uno de los méritos del cálculo proposicional reside en que él es efectivamente un depósito de tales principios útiles de razonamien­to. Todas las fórmulas que figuran en la lista anterior son fórmulas de las cua­les se pueden deducir principios útiles de razonamiento válido. (Véase ELEMEN­TOS, N* 4, pág. 100).

Por ejemplo: Aplicando "Modus Po­nens". si se ha probado la verdad de "P" y también la de "P—>Q" es lícito afirmar la verdad de "Q".

Una generalización evidente permite, si se han demostrado las proposiciones"Pi"; "P1-P2"; "Pa-P»" "Pn-i-Pn”,inferir la verdad de "Pn".

En tal generalización consiste lo que se suele denominar "método analítico de prueba", utilizado muy comúnmente; un ejemplo es la demostración usual de la fórmula de la ecuación general de se­gundo grado a partir de la de la ecua­ción reducida.

Un ejemplo del caso en que se utiliza la "forma de conjunción" se encontraría en la geometría del espacio, en la prueba de que dos rectas son paralelas. Efectivamente la definición de rectas paralelas involucra un producto lógico, a saber: Dos rectas son paralelas si a) ellas están en el mismo plano; b) ellas no tienden puntos propios comunes. Para demostrar que dos rectas son paralelas, se demuestra por separado cada uno de los dos factores del producto lógico, y después se infiere su producto lógico.

El procedimiento para demostrar "P-*Q" suponiendo que "P" es verdadera y de­duciendo la verdad de "Q" está fuera del alcance del cálculo proposicional; no obstante hay dentro de él numerosos métodos auxiliares que permiten probar "P-Q". -

a) Por ejemplo, podemos encontrar un enunciado "R" tal que se verifiquen "P-*R" y "R-*Q", luego, por la forma del silo­gismo hipotético, podemos inferir "P-+Q". Una generalización evidente consiste en

CB

CA -BN;6 __

ce puede expresar por:A A [(BAC) V (—BAC) V (—B A—C)] AB que se puede verificar es equivalente a: A A B A C, es decir, que el mismo tra­bajo que realiza el circuito anterior es realizado por el circuito mucho más simple, constituido por tres interruptores en serie.

expresiones,(A A B A O V (A A -B A C) V

(AA-BA —O V (—A A —B A —C)La formulación obtenida puede simpli­

ficarse, obteniéndose, por ejemplo:(AAC) V (—BA—C) =— [(AACMBAC)l

Es innegable que simplificar una pro­posición permite captar más fácilmente su significado, facilita el trabajo con pila y tiene aún ventajas de orden eco­nómico al pensar en el circuito equiva­lente.

En forma parecida puede determinarse otra formulación de la misma proposi­ción partiendo de los casos en que el va­lor final de la tabla dada sea "F".

Por ejemplo, puede determinarse el circuito que corresponda al siguiente problema:

Construir un sistema que permita a un comité de tres miembros tomar decisio­nes por simple mayoría, con voto se­creto de modo que si la votación es afir­mativa se encienda una luz.

tDETERMINACION DE PROPOSICIONES

VSegún hemos visto, a cada proposición

corresponde una T. V. de V.; se demues­tra que vale también la recíproca.

Por lo tanto, dadas n proposiciones simples (distintas) y elegidos arbitraria­mente los V. de V., que corresponden a las 2n combinaciones posibles de V. de V. de las proposiciones dadas, se puede obtener la formulación de una proposi­ción compuesta que corresponde a la tabla dada.

Es de destacar que el procedimiento es el mismo, cualquiera sea la tabla dada.

La formulación obtenida en general no es la más simple posible, pero ésta puede obtenérsela utilizando las distin­tas propiedades de los conectivos.

Ilustraremos el procedimiento con un ejemplo, sin demostrarlo. Convendremos para ello con que denotaremos con "A" o "— A" según sea "V" o "F" el V. de V. de la proposición A.

Si se da la tabla:

\

ii

'

íAPLICACIONES DEL CALCULO

PROPOSICIONAL AL RAZONAMIENTO MATEMATICO

Según hemos visto, las fórmulas del cálculo proposicional cuya tabla de valoies de verdad es tautológica corres­ponden a verdades lógicas, es decir, se cumplen cualquiera sea la significación que se asigne a cada una de sus pro­posiciones simples componentes.

Si las reemplazamos por proposiciones del dominio de la matemática diremos que estamos frente a una afirmación o frente a un razonamiento matemático.

Considerar como teorema de la temática cualquier expresión de este tipo sería elemental. Para establecer cual­quier teorema verdaderamente difícil se

r

ABC?/V V V V

F V V FV F V VF F V FV V F FF V F FV F F V ma-F F F V -----,

Uno de los caminos para obtener la%

- 126 - - 127 —’i

(!

:

lar es aquél en el cual, a partir de "P A —Q" se puede derivar "Q", puesto que como de "P A —Q", por ley de simplificación, se puede deducir "—Q", se llega a contradicción (ver forma F.,).

c) Aparentemente otro caso especial es aquél en ’al cual, a partir de "P A—Q" se deduce —P.

Obsérvese que con la sustitución:P por — Q —Q por P

este caso coincide con el anterior.En muchos de los casos en los cuates

se supone "P A —Q" y se deduce "—P" no se hace uso de "P" en la deducción. En otras palabras, "—P" se deduce de ''—Q" sólo. En tales casos podemos ele­gir un método alternativo de demostra­ción, pues ello constituye una demostra­ción legítima de "—Q -* —P", de lo cual obtenemos inmediatamente "P-*Q".

y "—Q" sean ambos deducidos a partir de "—P", puesto que por lo común "Q" se conoce do antemano como sien­do verdadera. Luego, suponiendo "—P", basta deducir "—Q" y combinando esto con la proposición conocida como verda­dera "Q" tenemos nuestra contradicción "Q /\ —Q"# e inferimos "P". Para esta última situación hay una demostración alternativa: Suponer "—P" y deducir "—Q". Esto prueba "—P —Q" de lo cual resulta "Q -*■ P" y como "Q" es co­nocida, inferimos "P" por modus ponens. En una forma extremadamente rara de

CRONICA

Curso de Verano enEn este curso, del que ELEMENTOS in­

formara en números anteriores, participa­ron en esta oportunidad, y por primera vez, en los cuatro años, becarios de otros países latinoamericanos, 61 en total, ade­más de 66 colegas peruanos. Nuestra de­legación fue la más numerosa.

Las clases se dictaron en la Escuela Nor­mal Superior de La Cantuta, en Chosica, a unos 40 km. al este de Lima. Nos alo­jamos en la misma Escuela, que es una pequeña ciudad universitaria, próxima al río Rimac, a 700 m. sobre el nivel del mar, rodeada de cerros en un paisaje encan­tador. Las autoridades del Instituto orga­nizador hicieron todo lo posible por satis­facer nuestras necesidades.

Las clases se dictaron regularmente de lunes a viernes y abarcaron una parte teórica por la mañana y otra práctica por la tarde, sobre un total de siete horas dia­rias de actividad. For supuesto que además debimos dedicar otras más para la prepa­ración de las pruebas parciales y exá­menes escritos que fueron harto frecuen­tes. Por regla general, los sábados y do­mingos debieron ser destinados al estudio, por falta material de tiempo durante el resto de la semana, sobr-a todo cuando el grupo respectivo (debía intervenir en el cursillo o el seminario. Hubo escasas po­sibilidades para conocer el país.

El total de los participantes se distri­buyó en dos niveles, según su propia vo­luntad expresada al matricularse. Las dos terceras partes lo hizo en el primero. Las asignaturas y profesores de cada uno fue­ron: 1er. nivel: Funcion’es I: conjuntos re­laciones, funciones, funciones lineales y de 29 grado, límites y derivadas, máximos y mínimos (Prof. J. Reátegui). Algebra I: conjuntos, relaciones, números naturales, operaciones, números enteros; divisibili­dad; números racionales, operaciones; nú­meros reales; estructuras algebraicas (Prof. C. Carranza). Conjuntos y Lógica: conceptos fundamentales, operaciones, con­juntos finitos, cardinalidad; lógica: pro­posiciones coligativas, funciones veritati- vas e interpretación lógica; aplicaciones al estudio de las computadoras (Prof. C: Castro). Segundo nivel: Funciones II: re­visión de los conceptos de límite, conti­nuidad y derivada; funciones elementales; integrales; ecuaciones diferenciales ordi­narias (Prof. J. Tola). Algebra II: estruc­turas algebraicas, espacios vectoriales, ma­trices, ecuaciones polinómicas reales (Prof. G. Ramos). Geometría: conceptos

fundamentales, definiciones, relaciones de incidencia, rectas y proyecciones, orden en la recta, sectores anguiares, polígonos convexos; el p-lano como espacio métrico: primeras propiedades métricas, isometrías, movimientos, simetrías, rotaciones, trasla­ciones (Prof. H. Merklen). Además de las tres asignaturas correspondientes a su ni­vel, cada becario debió seguir uno de los siguientes cursillos: Introducción de la geometría en el primer año de la ense­ñanza secundaria (Prof. H. Merklen). Introducción al estudio del cálculo numé­rico y de las computadoras (Prof. P. Wills- tatter). Finalmente todos los participan­tes debieron seguir el seminario pedagó­gico a cargo del Dr. Irving Sussman, es­pecialista norteamericano cuyo escaso co­nocimiento del idioma castellano provocó algunas dificultades; además da lecturas del citado profesor sobre interesantes te­mas, el trabajo de los grupos fonnados consistió en el estudio y discusión de los textos del S. M. S. G. facilitados a los becarios. Todos los participantes recibie­ron, además, los apuntes impresos corres­pondientes a las asignaturas de ambos niveles, lo cual constituyó, junto con la realización de extensas sesiones de prác­tica, uno de los factores del éxito de este curso, cuyo saldo es altamente positivo.

La convivencia con los colegas latino­americanos, con los que compartimos inol­vidables momentos de confraternidad, per­mitió conocer el estado actual de la en­señanza de la matemática en los respec­tivos países. Un becario venezolano y el suscripto tuvieron la oportunidad de in­formar sobre los trabajos que se realizan en bien de la actualización de los pro­gramas en el nivel secundario en sus res­pectivas patrias. Resulta grato consignar que la Argentina figura entre las más avanzadas en esta labor.

Para la sesión de clausura, muy emotiva y solemne, estuvo presente, entre otras personalidades, el Dr. Edward G- Begle, Director del S- M. S. G-, de la Stanford University, principal apoyo económico del curso. Cada participante recibió un diplo­ma con la mención del resultado de su desempeño, siendo significativo el hecho de que la mitad de los becarios argenti­nos mereció la calificación de sobresa­liente, lo que revela un alto grado de preparación y aprovechamiento.

Profesor ATILIO PIAÑA Inspector de Enseñanza Secundaria

ila "reducción al absurdo", se puede de­ducir "P" a partir de "—P" teste caso corresponde a la forma F2).

tOtras pruebas de "P-»Q" por "reduc­ción al absurdo" son las siguientes:

a) Una forma muy corriente de demos­trar "P-*Q" por "reducción al absurdo" es demostrando el contrarrecíproco co­rrespondiente.

b) Ya que "P-Q" = (P A -Q)" se puede suponer " P A —Q" y tratar de llegar a una contradicción.

Si 'alio se logra podremos afirmar "P-*Q" (ver forma F:j). Un caso particu-

( BIBLIOGRAFIA:

"lógica Matemática": José Ferrater Mora y Hugues Le- blanc.

"El sentido de la nueva lógica": Willard Quine. "Introducción a la lógica y a la metodología de las cien­

cias deductivas": Alfred Tarski."Introducción a la lógica" Irving M. Copi.

Si la lógica es la higiene del matemático, no es ella quien le provee el pan cotidiano del que vive son fos grandes problemas.

su sustento;¡• ANDRE WE1L

, , . en oíras portes, se vuelve a templar periódi­camente en lo empírico para adquirir fuerzas que no puede hallar en sí mismo.

Lo racional, en matemática como

! ARNAUD DENJOY*iViene de la púfj. 121

(a -1- b) + (a' . b') = 1 . 1 (por T. XI. 1 y regla de sust.)

(a + b) + (a' . b') = 1 (por Ax. II. 2 aplicado a 1 y regla sust.)

Luego se cumple la primera condición. En cuanto a la segunda condición, se

la verifica así:(a + b) . (a' . b')=a . (a' . b') + b . (a'.b')

(por T. III 2)(a + b) . (a . b') = a . (a'.b') + b . (b'.a')

(por Ax. III. 2 y regla sust.)

*(a -1- b).(a' . b') = (a? (a .b')+(b')' (b'.a)

(por T. IX y regla de sust.)(a + b) . (a' . b') = 0 + 0

(por T. XI. 2 —aplicado a a' y b'— y regla de sustitución)

(a + b) . (a' + b') = 0 (por Ax. II. 1 —aplicado a 0— y regí, sust.)

Luego, la segunda condición

El T. XII, 2 se justifica aplicando la ley de dualidad.

<se cum­

ple.

- 129 -- 128 -

I

'

26 de noviembre de 1894 y es seguramente uno de los genios más precoces de la historia de la ciencia; ingresó a la universidad a los 12 años y a los 15 se graduó en matemática. En 1913 se doctoró en filosofía en la Univer­sidad de Harvard, cuyo cuerpo docente pasó a integrar en 1915 después de realizar estu­dios complementarios en Cambridge y Gotin- ga. La precocidad de su talento fue confirma­da por la hondura trascendente de su obra posterior; es uno de los pocos hombres que entran en la historia como creadores de una disciplina: Wiener creó la cibernética.

En 1948 apareció su mentado libro de ca­rácter técnico, "Cybernetics", en el que por primera vez se tratan los problemas de control y comunicación en las máquinas y los seres vivos.

"La cosa —dice un comentarista— comenzó en Boston, en los años que precedieron inme­diatamente a la última guerra". A Wiener, entonces profesor de matemática del Instituto Tecnológico de Massachusetts, se le encargó, ¡unto con Bigelow, otro matemático, que estu­diara el problema práctico de las reacciones de los artilleros antiaéreos contra los aviones enemigos: "la cibernética nació virtualmente aquél día: iba a ser la ciencia que justamente aproxima la mecánica y la neurología".

Para divulgar más llanamente estas ideas, Wiener publicó en 1950 el libro que hoy co­mentamos. "La tesis de este libro —dice el au­tor— consiste en que sólo puede entenderse la sociedad mediante el estudio de los mensa­jes y de las facilidades de comunicación de que ella dispone, y, además, en que, en el futuro, desempeñarán un papel cada vez más preponderante los mensajes cursados entre

hombres y máquinas, entre máquinas y hom­bres y entre máquina y máquina".

A lo largo de sus 180 páginas, después de un prólogo acerca del concepto de la física actual sobre el universo apoyado fundamental­mente en las ¡deas de Gibbs, se tratan la historia de la cibernética; el progreso y la idea de entropía; el fenómeno del aprendi­zaje; el mecanismo y la historia del lenguaje; la organización como mensaje; los aspectos legales y políticos de las comunicaciones; el papel social del intelectual; las dos revolucio­nes industriales; el futuro de las máquinas automáticas, y, finalmente, la posición del hombre de ciencia ante la confusión y la interferencia en los mensajes que recibe del mundo que lo rodea.

Resulta difícil poder describir en pocas lí­neas el denso contenido filosófico, científico y social de este fruto de una mentalidad tan excepcional como fue la de Wiener, que im­presiona tanto por su originalidad concep­tual como por la amplitud de su versación. No en vano entra en la historia como una de las figuras científicas más destacadas de nues­tra época, que a pesar de ello nunca olvidó su condición humana. Por eso en el libro que comentamos señala que el peligro de la má­quina reside, no en la máquina misma, sino en el uso que el hombre haga de ella: "El peligro real consiste en que esas máquinas, aunque incapaces por sí mismas, puedan ser utilizadas por un ser humano, o por un grupo de ellos, para aumentar su predominio sobre el resto de la especie, o en que los conduc­tores intenten manejar la población, no me­diante las mismas máquinas sino utilizando técnicas políticas tan estrechas y tan indife­rentes a las posibilidades espirituales como si hubieran sido concebidas mecánicamente".

libro, el énfasis puesto en señalar las diversas maneras de definir los conceptos fundamenta­les y en dar sus interpretaciones gráficas, la interesante ejercitación para el alumno con sus soluciones en un apéndice que cierra el libro; en fin, el original empleo de los dia­gramas de flujo.

La impresión del l'bro —edición previa— no es la más adecuada para un texto del ciclo básico; la uniformidad tipográfica no permite distinguir los aspectos fundamentales de los accesorios; ciertas fallas dicen del apuro de la impresión, disculpables si se t¡ene en cuen­ta la necesidad del texto para las experien­cias que se están realizando.

Varsavsky ha realizado un trabajo nece­sario y muy encomiable; el tiempo dirá de su eficacia. Pero su esfuerzo debe ser imitado. Es imprescindible que también lo realicen otros matemáticos destacados, dando orientaciones, redactando textos, asesorando a los educa­dores. Será una garantía de que el movimiento renovador se realizará en concordancia con las verdaderas necesidades del momento.

Estamos frente a un acontecimiento editorial digno de destacarse: la obra que comentamos es la primera de matemática moderna para la escuela secundaria que se publica en el país y quizás en toda Latinoamérica. Debe ser leída cualquiera sea la posición que se adopte frente al movimiento de renovación.

Oscar VARSAVSKY, Algebra para escuelas se­cundarias. Tomo l, Matemática intuitiva. Eu- deba, Buenos Aires, 1964.

IEl autor desarrolló durante los últimos años

cursos para profesores en los que expuso el contenido del programa de 29 año propuesto por la Subcomisión Argentina de la C.I.E.M. (Véase ELEMENTOS, N9 4, p. 106). Esta tarea cristalizó la obra de la cual se presenta esta primera parte.

La primera lectura puede hacer pensar en las dificultades que tendrá el alumno que lo use como libro de texto; más aún, acostumbra­dos a los textos corrientes, podríamos creer que no esté al alcance de alumnos de 29 año. Una lectura más atenta modifica esa opinión y permite señalar lo que con el tiempo será, sin duda, una de sus más importantes v¡rtu-' des: la de ser un libro cuya repetición textual por el profesor o por el alumno carezca de sentido. La enseñanza de su contenido exigirá un esfuerzo importante al profesor; pero una vez realizado será de enorme utilidad para el estudiante, que también deberá esforzarse, porque deberá pensar cuidadosamente cada párrafo, cada ejemplo, cada ejercicio.

Luego de una breve introducción sobre pro­posiciones y razonamientos, los capítulos del libro se refieren a conjuntos, relaciones, fun­ciones y operaciones binarias, desarrollando detalladamente las cuatro primeras bolillas del programa propuesto. En el prólogo se anuncia la aparición de un segundo tomo para los otras cuatro.

Varios aspectos destacables tiene el libro. En primer término, el cuidado puesto en la aclaración de todos los conceptos nuevos me­díante una variada gama de ejemplos vincu­lados con la experiencia cotidiana; luego, la introducción oportuna .de numerosas demostra­ciones sin pérdida del carácter intuitivo del

V

f

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N. WIENER, Cibernética y sociedad. Ed. Sud­americana, Buenos Aires, 1958.

HEMOS RECIBIDO:A. KOESTLER: Los sonámbulos; EUDEBA, Bs. As., 1964.A. COMBES: Formulaire de mathématiques élémentaires; (VUIBERT, París, 1963.)Assoclatlon des Professeurs de Mathématiques (A.P.M.), París: Annales du B.E.P.C., Fase. 7 (1963);

(1963);Annales du Baccalaureat, Pase. 1 (1963); Fase. 2 (1963); Annales de Propédeutique, Fase.(Bulletin, février 1964.

E. CASTELNUOVO: Didattica della matemática, LA NUOVA ITALIA EDITRICE, 1964.H. CRAMER: Elementos de la Teoría de Probabilidades y Aplicaciones, AGUILAR, Madrid, 1963. J. POYEN y J. POYEN: El lenguaje electrónico, EUDEBA, 1964.O. VARSAVSKY: Algebra para escuelas secundarias, EUDEBA, 1964.G. ZADOU-NAISKY y R. LELONG: Rotation-Traslatlon (Cahier et Livre du maitre) O.C.D.L., París.

El 18 de marzo falleció en Estocolmo Nor- bert Wiener y la noticia pasó casi inadver­tida por la poca difusión que le dio la prensa. Wiener había nacido en Columbio, EE.UU., el

- 131 -130 -

OPINIONES Y EXPERIENCIAS

Informe sobre un

diferenciar los contenidos adecuándolos a los distintos ciclos de la enseñanza secundaria.

3) Aconsejamos que la experiencia prosigo en segundo año durante el presente curso lec­tivo, sobre la base de los mismos profesores y con los aiumnos promovidos de primer año (*), Esto permitirá perfeccionar el desarrollo del respectivo programa y acumular nuevos ele­mentos de juicio que servirán de valioso apor­te para su aplicación en el futuro.

4) Teniendo en cuenta que el nuevo progra­ma de 29 año requerirá una dedicación in­tensa de los profesores para la preparación de guías de trabajo y para la formulación de una didáctica adecuada, y considerando que los mismos deberán continuar también con el en­sayo en primer año, propiciamos limitar sus horas de cátedra a las de los referidos cursos... Asimismo, consideramos justo que por Resolu­ción Ministerial se destaque la meritoria labor cumplida por los profesores que llevaron c cabo la experiencia en primer año, para s> expresa constancia en su respectiva foja de servicios.

5) Propiciamos extender el ensayo a nue­vas divisiones de primer año en los mismos establecimientos en que ha sido iniciado.. . De la lectura de las respuestas a la Circular N9

65/63 surge la posibilidad de extender la experiencia a otros establecimientos. Lamenta­blemente, la situación de revista provisional de muchos de los docentes que participarían de ella y las dificultades para una eficaz super­visión impiden concretar ese propósito por es­te año...

6) Recomendamos la difusión de los resul­tados obtenidos hasta el presente...

7) Sería conveniente que en vista de los excelentes resultados obtenidos con su aplica­ción, se destine en todos los establecimientos, un plazo adecuado antes de la terminación del curso lectivo, para la integración final de los conocimientos adquiridos. Por los mismos motivos, estimamos que debe propiciarse la re­forma del régimen de exámenes orales, de manera que su recepción siga el criterio adop­tado para la de los exámenes de los cursos de ensayo. Apoyamos la sugerencia de los profesores en el sentido de autorizar la con­fección de los horarios de matemática de modo tal que, por lo menos una vez a la semana, sean asignadas dos horas seguidas al dictado de la materia..."

(*) Sólo deberá suspenderse el ensayo en el curso del Colegio Nacional H*? 2 de acuerdo con lo sugerido por el profesor de ese curso en su informe final.

iguridad y soltura para abordar problemas, dominio de un amplio campo y disposición para el trabajo.

8. Dada la brevedad de la hora de clase, es aconsejable contar con dos horas seguidas, por lo menos una vez por semana, para facili­tar la realización de las pruebas de compro­bación.

9. Es conveniente no dar temas nuevos des­pués del 30 de octubre para dedicar el tiem­po restante al manejo integral de situaciones multivalentes, relacionando todos los conoci­mientos adquiridos, en forma orgánica.

10. Es de suma importancia que el pro­grama contenga instrucciones precisas sobre: a) el contenido analítico de cada tema; b) el sentido y objeto de esos contenidos; c) la forma y espíritu que debe animar el desarrollo de los mismos. (Observación del Prof. Gabba)".

"Conclusiones y recomendaciones de las supervisores.

1) La experiencia ha sido desarrollada con la máxima seriedad, dedicación y competen­cia de los profesores a cargo del ensayo. Los resultados pueden considerarse muy satisfac­torios y difícilmente superables, si se tienen en cuenta las condiciones de trabajo (falta de textos, preparación de guías y material di­dáctico), el escaso tiempo disponible para el desarrollo de un programa muy extenso y un nivel de formación de los alumnos inferior al presupuesto.

2) El programa, redactado por profesores de la Facultad de Ciencias Exactas, fue apli­cado respetando su contenido y la finalidad perseguida por sus autores. Sentimos el deber de manifestar que, si bien una visión general de la geometría permite integrar en un solo curso nociones fundamentales de esta materia, la excesiva y evidente extensión del programa conspira contra los objetivos que se pretende alcanzar. El alumno, que es el punto de par­tida de toda didáctica, y el escaso número de clases que normalmente pueden ser dictadas durante un curso lectivo, no permiten comple­tar el aprendizaje. Además consideramos im­prescindibles incorporar nociones aritméticas que el programa no prevé para primer año y

Los inspectores José E. Encinas y Atilio Pia­ña —que tuvieron a su cargo la supervisión correspondiente— han elevado a la Dirección General de Enseñanza un informe sobre el ensayo de los nuevos programas de matemá­tica realizado en 1963 en divisiones de pri­mer año de establecimientos dependientes de esa Dirección General. (Véase ELEMENTOS, N9 1, p. 22).

De dicho informe entresacamos:"En la mayoría de los cursos pudo apre­

ciarse, desde las primeras clases, ciertas defi­ciencias de formación de la escuela primaria:

a) falta de concreción y objetividad de los conocimientos previos;

b) flojedad de aspectos conceptuales y én­fasis en verbalizaciones y recetas;

c) carencia de reversibilidad del pensa­miento,*

d) falta de asociatividade) conocimiento de cosas aisladas que no

se relacionan".

*

;

"Síntesis de las conclusiones finales expues­tas por los profesores en sus informes.

1 . El programa propuesto, tal como está redactado y con todos los temas que indica, presupone una preparación y un nivel mental de los alumnos que no concuerda con la reali­dad.

0O

Un Docente Opina2. Resulta positivo poder presentar en un

mismo año una visión total de la geometría elemental encarada con un criterio moderno.

3. No es aconsejable acortar el programa suprimiendo bolillas; pero podría revisarse la extensión de los contenidos manteniendo su unidad.

4. Nada se logrará con un simple cambio de temas, si no lleva aparejado un cambio de actitud del profesor, como consecuencia de un mejor conocimiento de nuevos métodos en el aprendizaje.

5. Una mayor homogeneidad en los niveles de los diferentes cursos permitiría acelerar el ritmo del aprendizaje.

6. El uso de nuevos métodos de evaluación permitió apreciar la evolución de los alumnos y la integración de sus conocimientos.

7. Los alumnos pusieron en evidencia se-

dos en sus distintos aspectos, desde hace diez años, aproximadamente, en congresos, confere­cías, seminarios, cursos, etc., es'amos familia:i- zados con ideas de reformas que transformen una escuela con objetivos y estructuras del siglo XIX, en una escuela al servicio de la co­munidad y de las complejas necesidades indivi­duales y sociales de esta segunda mitad vial siglo XX. Por eUo, no puede sorprendernos la actitud reformista que se vive en el campo de la Matemática y que Uds. recogen en todos, o casi todos, los artículos de vuestra publicación, y que, al margen de reunír.nes de divulgación y de otras de dilucidación de aspectos funda­mentales ha dado origen a comunicaciones ofi­ciales y a la experiencia en marcha en estable­cimientos dependientes de la Dirección General de Enseñanza Secundaria, Normal, Especial y Superior, asi como a conferencias, cursos y ex­periencias de metodologías renovadas respecto

A los Sres. Editores de “Elemento5’’

De mi mayor consideración:

Tengo el agrado de dirigirme a Uds. en vir­tud de las ideas expuestas en los editoriales de vuestra revista, y, en particular, en el párrafo final del correspondiente al tercer número de la misma.

Ante todo, debo manifestarles mi carencia de conocimientos espec ficos de Matemáti a, lo que me impide naturalmente, entrar a conside­rar la reforma que conmueve a las esferas vin­culadas con la asignatura en los aspectos rela­tivos al contenido de programas y planes. La presente, tiene más bien como objetivo aclarar mis propias ideas y plantear algunas preocupa­ciones cemo docente en torno a la reforma.

Los que venimos ejerciendo la docencia se­cundaria y pretendemos mantenemos aclualiz-x-

r

V

- 132 - - 133 —

En su informe, aparte de las consideraciones estrictamente alinentes a la asignatura y foques metodológicos, existen sugerencias res­pecto de los contenidos, pero se destaca ur-.a sugerencia que liace a las dudas manifestadas

eriormente. Se habla de un necesario cam­bio de actitud del docente, cambio que nUs

los contenidos parece vinculado a un más

de la enseñanza de la asignatura. Tcdo ello traduce una plausible y necesaria inquietud de adecuación a las variables y complejas circuns­tancias que rodean a la escuela.

Algunas preocupaciones, nacidas al calor '■’el deseo de ver coronadas por el mejor de los éxitos tantas energías renovadoras, obligan a la reflexión.

La reforma que se intenta en el campo de la Matemática ¿Está concebida con p'aneada ar­ticulación con las restantes asignaturas del plan? .

¿Se considera que el cambio de los contenidos de todos y cada uno de los programas de la asignatura es suficiente para la obtención de los objetivos que se persiguen?

Y, fundamentalmente ¿se ha pensado que la divulgación de los nuevos contenidos, y aún de los nuevos métodos para su enseñanza, entre el profesorado, habilitarán a éste para una labor que se anticipa ardua y se espera eficaz?

Está a mi cargo la dirección de un estable­cimiento de enseñanza secundaria, cuyo Depar­tamento de Matemática trabaja coordinada­mente, y cuyos integrantes son, en mi opinión, de una contracción no usual; en el Colegio se lleva a cabo una de las experiencias organiza­das por la Dirección General. He leído con atención e interés el informe de la docente a cuyo cargo está la experiencia y conozco Jas opiniones de los inspectores especializados que controlan la tarea. Por ello puedo afirmar que, en general, los resultados han sido alentadora­mente favorables. For otra parte la intensidad con que la Sra. Profesora volcó su esfuerzo en su tarea es á avalada por una personalidad dúctil e imbuida de modernas concepciones psicosociológicas. alcanzadas merced a estudios continuados de por lo menos un lustro de dura­ción.

Noticiasen-

an

quo aprofundo conocimiento del medio familiar y social de cada alumno, así como a una postura “abierta al cambio”, para usar una expresión cara a los socio-psico-pedagogos modernos. Se trataría al parecer, de explorar y desarrollar las capacidades individuales sin pretender uni­formidad y aceptando, por ende, las variaciones individuales nacidas de la constitución pslco- física y del bagaje cultural de cada alumno. Ante esto cabe preguntar si el secreto de los éxitos futuros radicará en la capacidad del decente para apropiarse y adecuarse a las reali­dades del alumnado, o si será suficiente la actualización de sus conocimientos científicos y el cambio de contenidos en los programas que desarrol'e.

Ustedes verán si estas breves reflexiones sa­tisfacen, aunque sea parcialmente, el deseo expuesto en el editorial citado. Asimismo, si es necesario o conveniente su publicación con o sin indicación de quien lo suscribe. Mi deseo es el de colaborar, aunque fuere con dudas, a no esterilizar esfuerzos nobles y positivos.

Al felicitarlos por la revista amena y seria­mente informativa aun para quienes no mili­tamos en la especialidad, les reitero las seguri­dades de mi consideración y respeto.

1. El Prof. Andrés Valeiras ha sido invitado por la O.E.A. para dirigir su proyecto N9 212, "Programa Latinoamericano para mejorar la enseñanza de la Ciencia", por lo cual se ale­jará de nuestro país por el lapso previsto para la realización de ese programa.

2. El Ministerio de Educación ha editado, en traducción del Prof. Atilio Piaña, el Comen­tario I (Nociones elementales de la teoría de los conjuntos; propiedades y relaciones), del programa de aritmética y álgebra, primer ciclo, de la O.E.C.E., que exponemos en este mismo número.

3. En la Universidad de Comodoro Riva- davia, se dictó el primer ciclo de verano, in­tegrado por diversos cursos, uno de los cuales fue el de Introducción al análisis vectorial y íensorial, a cargo del Ing. Sánchez Cabezudo. Diversas entidades, públicas y privadas, cola­boraron con la Universidad para hacer posible este ciclo.

4. El Departamento de Matemática de la Universidad del Sur informa que los profesores secundarios que deseen conocer o repasar el enfoque moderno del álgebra o la geometría, podrán inscribirse para seguir regularmente los cursos respectivos de la Licenciatura, en las condiciones de correlatividad y promoción ac­tualmente vigentes.

Desde hace varios años, la Facultad de Ciencias de la Universidad de Buenos Aires, permite la inscripción de profesores secunda­rios en sus cursos en condiciones similares. Como en el caso anterior, también aquí se otorgan constancias de aprobación de los cursos.

5. La Prof. Laura Gómez Rubio, concurrente al último curso de perfeccionamiento de San Luis, pronunció una conferencia sobre la re­forma de los programas actuales de Matemá­tica, en el Instituto del Profesorado de Jujuy.

ó. La Comisión Argentina para la Unesco ha organizado un curso sobre Matemática, que se dicta en el aula magna de la Facultad de Medicina. El temario comprende: Panora­

ma histórico de la matemática (Las grandes etapas de la matemática. El nacimiento de la geometría griega, del álgebra y del cálculo infinitesimal), por J. Babini; Los aspectos intui­tivos de la matemática (La intuición como base del conocimiento matemático. Subjetividad del dilema intuición-abstracción. La intuición en geometría y en álgebra), por L. A. Santaló; Los aspectos abstractos de la matemática (La abstracción en matemática como medio forma- tivo. Valor del simbolismo abstracto. El meca­nismo de la abstracción), por C. Ratto de Sadosky; La matemática y las ciencias físicas y naturales (Interacción entre la matemática y sus aplicaciones. Matemática y física actual), por A. González Domínguez; La matemática y las ciencias sociales (La utilidad de las herra­mientas matemáticas en la solución de los problemas de las ciencias sociales), por O. Cornblit; Algunas proyecciones futuras de la matemática (El cálculo automático. La llamada inteligencia artificial. Resumen del ciclo), por M. Sadosky.

7. En el Instituto Superior del Profesorado, el Prof. Roberto J. Hernández dicta un curso sobre "Introducción al álgebra,- métodos ge­néticos".

8. Por sus trabajos de investigación mate­mática realizados en Italia como becario, el Prof. Edmundo Rofman, de la Universidad del Litoral, fue distinguido por la Accademia dei Lincei con un diploma de honor y un premio en efectivo, que le fueron entregados por el académico Prof. Beniamino Segre, en su re­ciente visita a Rosario. En el acto respectivo, el distinguido matemático italiano se refirió a la orientación de la investigación científica en su país.

9. La Dirección General de Enseñanza ha autorizado el ensayo de los nuevos programas de matemática durante el año en curso en divisiones de primer y segundo años de los si­guientes establecimientos: Escuela Normal N9 4, Capital; Escuela Normal N9 10, Capital; Es-

I

1

Mario Manuel Vázquez Rector

Col Nac. Mixto '‘Alie. G. Brown” Adrogué (B. A.)

❖

LAS COMPUTADORAS SIGUEN PROGRESANDO.íLa ¡dial argentina de la I.B.M. ha anunciado un nuevo sistema electrónico de

procesamiento de datos que significa una verdadera revolución en el terreno de las computadoras. En él, las velocidades se miden en milésimas de millonésino de segundo, asombrosa velocidad de operación lograda con la incorporación de circuitos que emplean microlransistores tan. diminutos que 40.000 de ellos caben en un simple dedal de costura. El equipo dispone de dos memorias, una inmediata, con capacidad entre 8.000 y 20.000.000 de caracteres, y otra mediata, de almacenamiento auxiliar, cuya capacidad supera los diez mil millones. Cuenta también con 44: nuevos dispo­sitivos para recibir y proporcionar dalos, entre los cuales hay dos que pueden contestar oralmente consultas discadas telefónicamente. El sistema puede, además, aulodiagnosticar sus posibles fallas e indicar la zona donde ellas se hayan producido.

- 135 -134 -

mismo se escucharán los informes correspon­dientes a la experiencia en marcha en los dos primeros años.

11. En dos establecimientos! secundarios dela ciudad de Córdoba, la Escuela Normal Su­perior "Garzón Aguila" y la Escuela Superior de Comercio "J. L. de Cabrera", se están ex­perimentando los nuevos programas de mate­mática de 1er. año.

cuela Normal de lomas de Zamora; Colegio Nacional de Adrogué; Escuela de Comercio deTemperley.

10. Todos los jueves a las 18.30, a partir del A de junio próximo, la doctora Cora Ratto de Sadosky desarrollará en la Escuela Normal N 1 "Roque Sáenz Peña", ol curso sobre el programa proyectado por la Subcomisión Ar­gentina de la C. I. E. M. para tercer año. Asi-

En breve:

MATEMATICA MODERNAMATEMATICA VIVA

!

Correo de ELEMENTOSEditores

José Banji, Alfredo B. Besio, JuanJ. Rodríguez y Andrés V(deiras

Buenos Aires (Argentina)

por And ré R e v u zf

Fernández Blanco 2045 (Profesor de la Facultad de Ciencias de Poitiers, Francia)|

mos a publicar en este número, se trata el tema. Si bien el vocablo se usa indistintamente en singular o plural en este trabajo, del con­tenido del mismo es posible inducir una con­cepción unitaria de la disciplina. STONE (véa­se ELEMENTOS, N9 1, p. 9) ratifica esta con­cepción. Con estas dos autorizadas y fundadas opiniones bastaría para inclinarse por el uso en singular. Ya en 1937, nuestro colaborador J. BABINI había tratado este tema en un ar­tículo aparecido en los Anales de la Sociedad Científica Argentina, Vol. 125, en el que la conclusión es semejante.

En cuanto a la posibililad de que los edi­tores de textos uniformen la expresión, es in­dudable que sólo se conseguirá cuando antes lo hagan las autoridades educativas.

Con este número se alejan de la Revista Juan J. RODRIGUEZ y Andrés VALEIRAS. Afor­tunadamente, tanto uno como otro, continua­rán cordialmente vinculados a la tarea em­prendida en común. La reconocida capacidad de Rodríguez se mostrará, una vez más, en los aportes suyos que iremos publicando. Va- leiras ha aceptado ser nuestro corresponsal honorario en toda Latinoamérica, mientras permanezca en sus nuevas funciones. Los edi­tores restantes toman a su cargo exclusivo la pesada, pero necesaria, tarea de continuar con la publicación de ELEMENTOS.

Al par que se producen estas bajas, tan sensibles como difíciles de cubrir, ELEMENTOS se complace en poder contar ya con el inge­niero José BABINI, como Consultor, y con los profesores Nélida I. MELANI, de Córdoba y José A. PETROCELLI, de La Plata, como ponsales en sus respectivos lugares de actua­ción docente. Sus desinteresadas colaborado-

serón debidamente apreciadas por tros lectores. Más adelante, tendremos ponsales en otros importantes lugares del país y de Latinoamérica. Porque, como lo decíamos en nuestro primer editorial, queremos la comu­nicación frecuente con nuestros lectores.

Vibrante alegato en favor de la renovación de la

enseñanza de la matemática en el cual se analizan

el temor de ia novedad, la barrera del lenguaje, los

caracteres de la matemática moderna, el futuro de esta

ciencia, el proceso de su enseñanza.

Una edición de ELEMENTOScorres- Biblíografía de la circular N9 19/63 (Escuela

Nac. de Comercio de Cruz del Eje). Entende­mos que la mencionada circular informa sobre las instituciones a las que se debe recurrir en cada caso cuanlo se trata de publicaciones oficiales. En cuanto a los textos, Ies sugerimos dirigirse a nuestro avisador, la Librería del Co­legio. Por otra parte, la circular N9 3/64 insi­núa el propósito de las autoridades educati­vas de facilitar la provisión de material de esta clase. Si nuestra respuesta se considerare insuficiente, encarecemos particularizar la in­formación solicitada.

nes nues-corres-

m/n.$ 120Precio de venta en librerías

m/n.$ 90Pedidos de suscriptores¿Matemática o Matemáticas? (Srta. Lela N.

Bachur, Tucumán). Justamente, en la primera parte del artículo de BOURBAKI que comenza-

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