ELEMENTOSREVISTA DÉ MATEMÁTICA

PARA- LA ENSEÑANZA MEDIA

Número 6Año I Mayo-Junio 1964

La formación del profesor

Temas denuestro tiempo: La arquitectura de las matemá­

ticas (conclusión).por Nicolás BOURBAKI

Programas y métodos en la en­señanza de la matemática mo­derna.

Panorama:

por Emma CASTELNUOVO

Espacios vectoriales.por Luis A. SANTALO

Orientación:

El álgebra de Boole (cont.)por Florencio D. JAIME

Opiniones y experiencias

Bibliografía - [Miscelánea - Noticias - Correo

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ELEM ENTOSDUCILOREVISTA DE MATEMATICA PARA LA ENSEÑANZA MEDIA

Publicación bimestral S.A.I.C.

Editores: José Ranfi - Alfredo B. Bcsio

Consultor: José BabiniCorresponsales: Andrés Valeiras (Latinoamérica)

Nélida 1. Melani (Córdoba)José A. Pctrocclli (La Plata)

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editores.Ejemplar suelto: 50 m$n.(En venta en Librería del Colegio; Alsina y Bolívar, Bs. Aires, y sucursales)

En el próximo número:

Transformaciones y matrices. !

Las estructuras matemáticas y las estructuras operatorias de la inteligencia.

La reunión de Bogotá.

El álgebra de Boole (conclusión).

Registro Propiedad Intelectual W 776.799Tarifa Reducida

Concesión N9 7267

Franqueo Pagado Concesión N9 609

ELEMENTOSREVISTA DÉ MATEMÁTICA

PARA LA ENSEÑANZA MEDIA

IBM en el mundo

LOS HOMBRES

DE

VOLUNTAD

Año I Número 6Mayo-Junio 1964í

'i]

La Formación del ProfesorLa historia de la educación secundaría de muchos países es

una sucesión trágica de reformas estériles, que modificaron única­mente la estructura do las carreras y los programas de estudios, sin atacar nunca de frente el problema esencial, el de la formaejón de sus profesores, clave para la solución de los demás.

LUIZ A. DE MATTOS, "Compendio de Didáctica General".

IBM fabrica sus productos en 16 países del mundo Máquinas eléctricas de escri­bir, computadoras electrónicas, clasifica­doras. perforadoras, reproductoras, in­tercaladoras, calculadoras, verificadoras, máquinas de contabilidad, salen de sus distintas plantas. Son máquinas hechas por hombres. Por hombres que forman una empresa de avanzada, que elabora elementos de avanzada para el desarro­llo de nuevas técnicas y nuevas ciencias. Pero ellos son, sobre todo, hombres de buena voluntad. Hombres con fe en el destino de los hombres y el mundo, que fabrican, venden, exportan, aprenden, en­señan, mejoran, realizan, disponen. Miles de hombres dispersos por todo el mun­do, forman la familia IBM y hacen de IBM una empresa cuyos productos y servicios mejoran la educación, la defensa, la in­dustria, el comercio, la investigación es­pacial, la administración pública y todas las ramas del saber humano.

NECESIDAD DE SU ACTUALIZACION

Ningún cambio en los programas de enseñanza de la matemática podrá lle­varse a cabo satisfactoriamente si no se cuenta con los profesores bien preparados que han de llevarlos a la práctica. Pareciera innecesario repetirlo; los hechos mues­tran, desgraciadamente, que muchas veces se lo olvida. Ahora bien, si se considera, y ello es inevitable. que ese cambio puede generalizarse en pocos años más, se hace imprescindible modificar el esquema tradicional de formación del profesorado para ponerlo a la altura que esa circunstancia requiere. No se puede seguir formando docentes que al terminar sus estudios no conozcan debidamente los temas que hoy ya se proponen aquí y allá para la escuela secundaria.

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L J L □ Que no es un problema típicamente nuestro lo pone en evidencia la declam­en la reunión de Bogotá, de diciembre de 1961:

IBM World Trade CorporationAv. Pte. R Sáenz Peña 933. Bs. As□ ción del profesor Begle (EE. UU.)

<eTodos los años se gradúan en nuestras instituciones del profesorado gran número de alumnos que no están preparados para enseñar los nuevos programas. A medida que reentrenamos a nuestros profesores actuales, nos vemos obligados a hacer lo mismo

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TEMAS DE NUESTRO TIEMPOLa Arquitectura de las

Matemáticas'*’

número igual de recién graduados que también lo necesitan . Empero, no po­demos correr riesgo tan costoso; la experiencia ajena tatnbién debe servirnos.

Afortunadamente parece manifestarse ya en nuestro país una tendencia hacia la actualización de los estudios del profesorado. Se insinúa tímidamente y esto nos resulta un tanto inexplicable— en 1963 en el Instituto Superior del Profesorado y se delinea más nítidamente en el nuevo plan de la Escuela Normal de Profesoras de Rosario. Estos intentos parciales no bastan, seguramente; la renovación debe ser com­pleta y rotunda, y debe alcanzar aún a las universidades, si quieren seguir compitien­do en este terreno.

Sin duda, no contribuirá favorablemente a ello el panorama que, en materia de formación de profesores, muestra nuestro país. La creación desmesurada e incon­trolada. de institutos y cursos no asegura la capacidad científica necesaria y deja fuertes dudas acerca de la seriedad de los estudios que en ellos se realizan. Si en muchos centros poblados grandes no es fácil cubrir las cátedras con personal de la suficiencia que ellas requieren, fuera de esos centros el nivel científico no parece responder a las exigencias mínimas de la actualización propugnada.

Exponemos hoy estas preocupaciones porque bregamos por la jerarquización de la ¡unción docente apoyada fundamentalmente en una capacitación adecuada a la delicada tarea que le incumbe. Y porque —acaso un poco duramente— conceptua­mos desleal no proporcionar a los futuros profesores los conocimientos necesarios pa­ra desenvolverse con eficiencia en el mañana inmediato.

con un

NICOLAS BOURBAKI (París, Francia)

vulgar de "orden": "sean cuales fueren x y y, se tiene xRy o yRx". Dicho de otra manera, no se excluye el caso en que dos 'elementos puedan ser incomparables. A primera vista eso puede parecer para­dójico, pero es fácil dar ejemplos muy importantes de estructuras de orden en los que se presenta ese fenómeno. Es lo que pasa cuando, si X y Y designan par­tes de un mismo conjunto, la relación XRY significa "X está contenido en Y"; o también cuando, si x y y son números enteros > 0, xRy significa "x divide a y"; o, finalmente, cuando, si f (x) y g (x) son funcionas reales definidas en un interva­lo a < x < b, f (x) Rg (x) significa "cual­quiera que sea x, f (x) < g (x)'\ Estos ejemplos muestran al mismo tiempo la gran variedad de dominios en los que intervienen las estructuras de orden y hacen presentir el gran interés de su estudio.

Diremos aún algunas palabras sobre un tercer gran tipo de estructuras, las estructuras topológicas (o topologías): ellas dan una formulación matemática abstracta a las nociones intuitivas de vecindad, de límite y de continuidad a las cuales nos conduce nuestra concep­ción del espacio. El esfuerzo de abstrac­ción que requiere el enunciado de los axiomas de tal estructura es en este caso notamente superior al de los ejemplos precedentes y el marco de esta exposi­ción nos obliga a remitir a los tratados especiales a los lectores que deseen ma­yor precisión sobio este punto

LOS GRANDES TIPOS DE ESTRUCTURAS

Las relaciones que constituyen el punto de partida de una estructura pueden ser de naturaleza bastante variada. La que intervierta en las estructuras de grupo es lo que se llama una "ley de compo­sición", es decir, una relación entre ele­mentos que determina el tercero de ma­nera única en función de los dos prime­ros. Cuando las relaciones de definición de una estructura son "leyes de compo­sición", la estructura correspondiente es llamada estructura algebraica (por ejem­plo, una estructura de cuerpo se define por dos leyes de composición, con axio­mas adecuados: la adición y la multipli­cación de los números reales ¿-afinen una estructura de cuerpo sobre el conjunto de estos números).

Otro tipo importante es el que presen­tan las estructuras ¿’afinidas por una relación de orden; esta vez se trata de una relación entre dos elementos x, y, que escribiremos de manera g-aneral xRy. Aquí no se supone en absoluto que la relación determine unívocamente al­guno de los dos elementos x, y »an fun­ción del otro. Los axiomas a los cuales está suteta son los siguientes: a) para todo x, se tiene xRx; b) las relacionas xRy y yRx implican que x = y; c) las relaciones xRy y yRz implican xRz. Un ejemplo evidente de conjunto provisto de tal estructura es el conjunto de los nú­meros enteros (o el de los números r-aales), reemplazando el signo R por el signo Pero se observará que no hemos inclui­do en los axiomas la propiedad siguien­te, que parece inseparable de la noción

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LOS EDITORES

♦“.. .En épocas como la actual, en que el conocimiento científico se extiende impetuosamente en profundidad y alcance, con una velocidad que hace bien notorios los cambios durante el lapso —de 20 a 30 años— en que un profesor ejerce su misión, la preparación matemática de los profesores no sólo no puede ser estática y definitiva, sino que debe poseer la altura y la dinámica necesarias para poder adaptarse a los posi­bles cambios y evolucionar al compás de los mismos. El requisito primero, que el profesor conozca bien las matemáticas actuales, pasa, a nuestro entender, al primer plano”.

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(*) Véase ELEMENTOS N? 5. págs. 111 a P5.LUIS A. SANTALO y ANDRES VALEIRAS

1^ Conferencia Interamericana de Educación Matemática; Bogotá, 1961.

" Ver por ejemplo, nuestros Elément, (Intr. y cap. 1), Actual. Scient. et Industr., n9 858.

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pecto al paisaje matemático en el cual se mueve. Piénsele, para tomar un ejem­plo antiguo, en el progreso realizado a comienzos del siglo XIX por la represen­tación geométrica á*e los imaginarios; desde nuestro punto de vista, era des­cubrir en el conjunto de los números complejos una estructura topológica bien conocida, la del plano euclidiano, con todas las posibilidades de aplicación que olla implicaba y que, en manos de Gauss, Abel, Cauchy y Riemann, renovaron el Análisis en menos de un siglo.

Tales ejemplos se han multiplicado en los últimos cincuenta años. Los espacios de Hilbert, y con más generalidad los espacios funcionales, que introducen las estructuras topológicas en conjuntos de elementos que ya no son puntos, sino funciones; números p-ádicos de Hensel, en los que, cosa aún más sorprendente, la topología invade lo que era hasta en­tonces el reino de lo discreto, de lo dis­continuo por excelencia, o sea el con­junto de los números naturales; la medi­da de Haar, que amplía inconmensura­blemente el campo de aplicación de la noción de integral y permite un análisis muy profundo de las propiedades de los grupos continuos; todo ello son otros tan­tos momentos decisivos del progreso de las matemáticas, virajes en los que un chispazo de genio ha decidido la orien­tación nueva de una teoría, revelando en ella una estructura que no parecía a priori representar un papel importante.

Es decir, menos que nunca la matemá­tica se reduce actualmente a un juego puramente mecánico de fórmulas aisla­das; más que nunca la intuición reina soberanamente en la génesis de los des­cubrimientos. Pero dispone hoy en día de las potentes palancas que le sumi­nistra la teoría de los grandes tipos de estructuras y domina simultáneamente inmensos campos unificados por la axio­mática, terrenos en los que antaño pare­cía reinar el caos más informe.

como las primeras nomenclaturas de las especies animales, se limitaba a colocar una al lado de otra las teorías que re­presentaban más semejanzas exteriores. En lugar de los compartimientos bien de­limitados del Algebra, el Análisis, la Teo­ría de Números y la Geometría, veremos, por ej'emplo, que la teoría de números primos se avecina a la de las curvas algebraicas, o la geometría euclidiana a fas ecuaciones integrales. El principio ordenador eerá la concepción de una je­rarquía de estructuras, que va de lo sim­ple a lo complejo, de lo general a lo particular.

En el centro están los grandes tipos de estructuras, de los cuales hemos 'enume­rado 1 a s principales, las estructuras- madres, podría decirse. En cada uno de estos tipos reina ya una gran diversidad, pues hay quo distinguir entre la estruc­tura más general del tipo considerado, que tiene el menor número de axiomas, y aquéllas que se obtienen enriquecién­dolas con axiomas suplementarios, de los cuales cada uno aporta su cosecha de nuevas consecuencias. Es así cómo la teoría de grupos, además de las genera­lidades válidas para todos los grupos y que no dependen más que de los axio­mas enunciados antes, engendra una teo­ría particular de los grupos finitos (en la que se agrega el axioma de que el nú­mero de elementos del grupo es finito), una teoría particular de los grupos abe- lianos (en los que se tiene x r y = y r x cualesquiera que sean x y y), así como una teoría de los grupos abelicmos finitos (en la que se suponen verificados esos dos axiomas simultáneamente). Del mis­mo modo, en los conjuntos ordenados se distinguen aquéllos en los que (como para el .orden de los números enteros o de los números reales) dos elementos cualesquiera son comparables, y se los llama totalmente ordenados; entre estos últimos, se -estudian, particularizando aún más, los conjuntos llamados bien orde­nados (en los cuales, como para los en­teros > 0, todo subconjunto tiene un "ele­mento mínimo"). Hay una gradación análoga en las estructuras topológicas.

Más allá de este primer núcleo, apare­cen las estructuras que se podrían llamar múltiples, en las que intervienen a la vez

LA UN1FORMACION DEL INSTRUMENTAL MATEMATICO

dos o más de las estructuras-madres, no simplemente yuxtapuestas (lo que no aportaría nada nuevo), sino combinadas orgánicamente por uno o varios axiomas que las unen. Así se conoce el álgebra topológica, estudio de las estructuras en las que figuran a la vez una o varias leyes de composición y una topología, sujetas a la condición de que las opera­ciones algebraicas sean funciones con­tinuas (para la topología considerada) de los elementos sobre los que se aplican. No menos importante es la topología al­gebraica, en la que ciertos conjuntos de puntos del espacio, definidos por propie­dades topológicas (símplex, ciclos, etc.) se toman en sí mismos como elementos sobre los que operan leyes de composi­ción. La combinación de las estructuras de orden y del álgebra es también fértil en resultados, que conducen, por una parte, a la teoría de la divisibilidad y de los ideales, y por otra a la integración y a la "teoría espectral” de los operado­res, en la cual la topología también des­empeña un papel importante.

Más lejos comienzan las teorías parti­culares propiamente dichas, -en las cua­les los elementos de los conjuntos que se consideran, totalmente indeterminados en las estructuras generalas, reciben una individualidad más caracterizada. Aquí se produce el encuentro con las teorías de la matemática clásica: análisis de las [unciones de variable real o compleja, geometría diferencial, geometría algebrai­ca, teoría de números, etc,; pero éstas han perdido su autonomía de antaño y son ahora encrucijadas donde se cruzan y actúan unas sobre otras numerosas estructuras matemáticas más generales.

Para mantener una perspectiva justa, tenemos q ue añadir inmediatamente, después de este rápido esbozo, que éste no debe ser considerado más que como una aproximación muy grosera del esta­do actual de las matemáticas tal como es en realidad. Es un esbozo a la vez es­quemático, idealizado y estereotipado.

Esquemático, porque en los detalles las cosas no ocurren de manera tan sim­ple y regular como podría suponerse de lo que hemos dicho; hay, entre otras co­sas, inesperados retrocesos, en los que una teoría sumamente particular como

Creemos haber dicho lo suficiente como para permitir al lector hacerse una idea bastante precisa acerca del método axio­mático. Su rasgo más descollante, según lo que precede, es el de realizar una considerable economía de pensamiento. Las "estructuras" son herramientas para el matemático. Una vez que ha discer­nido, entre los elementos que estudia, re­laciones que satisfacen a los axiomas de una estructura de un tipo conocido, dis­pone inmediatamente de todo el arsenal de teoremas genéralos relativos a las es­tructuras de ese tipo, mientras que antes debía forjarse penosamente él mismo, medios de ataque cuya potencia depen­día de su talento personal, y que a menu­do debían recargarse con hipótesis in­útilmente restrictivas, debidas a las par­ticularidades del problema «estudiado. Se podría decir, pues, que el método axio­mático no es más que el "sistema Tay- lor” de las matemáticas.

Pero la comparación es defectuosa. El matemático no trabaja maquinalmente, como el obrero en la cadena. Nunca se insistirá demiasiado en el papel funda­mental que representa, en sus investiga­ciones, una intuición particular10, que no es la intuición sensible vulgar, sino más bien una especie de adivinación directa (anterior a todo razonamiento) del com­portamiento normal que parece tener de­recho a esperar por parte de entes mate­máticos con los que ha tenido una fre­cuentación tan prolongada que s*a han convertido en entes casi tan familiares como los del mundo real. Pues cada es­tructura lleva en sí su lenguaje propio, cargado de resonancias intuitivas parti­culares, provenientes de las teorías de donde las ha extraído el análisis axio­mático descrito anteriormente; y para el investigador que descubre bruscamente esta estructura en los fenómenos que es­tudia, es como una modulación súbita que orienta de golpe en una dirección inesperada la corriente intuitiva de su pensamiento y aclara bajo un nuevo as-

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UNA VISION DE CONJUNTO

Guiados por la concepción axiomática tratemos de representarnos el conjunto del universo matemático. Ya no recono­ceremos en él el orden tradicional que,

,ü Intuición que, por otra parte, como toda in­tuición, a menudo se equivoca.

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sino el término de una evoluciónla de los números'reales acude a pres­tar una ayuda indispensable a la 'edifi­cación de una teoría general como la Topología o la Integración.

Idealizado, pues se está muy lejos de haber reconocido y delimitado perfecta­mente la parte exacta de cada una de las grandes estructuras en todos los ám­bitos de las matemáticas; en ciertas teo­rías (por ejemplo, en Teoría de Números) subsisten aún numerosos resultados ais­lados que hasta ahora no V3 ha sabido clasificar ni unir de manera satisfacto­ria con algunas de las estructuras co­nocidas. Estereotipado, finalmente, por­que nada hay más alejado del método axiomático que una concepción estática de la ciencia, y no quisiéramos hacer creer al lector que hemos pretendido des­cribir un estado definitivo de ésta. Las estructuras no son inmutables, ni en su número ni en su esencia. Es muy posible que el desarrollo ulterior de las matemá­ticas aumente el número de las estructu­ras fundamentales, revelando la fecun­didad de nuevos axiomas o de nuevas combinaciones de axiomas y se puede esperar de antemano progresos decisivos de estas invenciones de las estructuras, si se juzga por lo que han aportado las estructuras actualmente conocidas. Por otra parte, estas últimas no son de nin­gún modo edificios acabados y sería muy sorprendente que todo el zumo de sus principios se encontrara desde ya agota­do.

Así, con estas correcciones indispensa­bles, se puede tomar conciencia de la vida interna de la matemática, de lo que constituye a la vez su unidad y su di­versidad. Es como una gran ciudad, cuyos suburbios no cesan de progresar, de ma­nera un poco caótica, sobre el terreno circundante, mientras que el centro se reconstruye periódicamente, siguiendo un plan cada vez más claro y una disposi­ción cada vez más majestuosa, echando abajo los viejos barrios y sus laberintos de callejuelas para lanzar, hacia la pe­riferia, avenidas cada vez más directas, más amplias y más cómodas.EXAMEN DEL PASADO Y CONCLUSION

La concepción que hemos tratado de exponer aquí no se ha formado de golpe;

no es,proseguida desde hace más de medio si­glo y que no ha dejado de encontrar se­rias resistencias, tanto entre los filósofos

entre los matemáticos mismos. Mu-

menos experimentales y las estructuras matemáticas, parecen confirmarlo de la manera más inesperada los descubri­mientos recientes de la física contempo­ránea; pero ignoramos totalmente sus ra­zones profundas (en el caso de que se pueda dar un sentido a estos términos), y las ignoraremos quizás siempre. De todos modos, a este respecto hay una comprobación que podría incitar a los filósofos, en el futuro, a tener más pru­dencia. antes de los desarrollos revolu­cionarios de la física moderna, se han gastado muchas energías en pretender derivar a toda costa las matemáticas de verdades experimentales, especialmente de intuiciones espaciales inmediatas; pe­ro, por una parte, la física de los cuantos ha mostrado que esta intuición "macros­cópica" de lo i'eal cubría fenómenos "mi­croscópicos" de naturaleza muy diferen­te, que exigían ramas de las matemáticas no concebidas, por cierto, con vista a una aplicación a las ciencias experi­mentales; y por otro lado, el método axio­mático ha demostrado que las "verdedes" con las que se quería hacer el pivote de. las matemáticas no eran, sino aspec­tos muy especiales de concepciones ge­nerales que de ninguna manera limita­ban su alcance a ellas. De modo que,

12 No tratamos aquí las objeciones planteadas por la aplicación de las reglas de la lógica formal a loe razonamientos de las teorías axiomáticas, que se re­lacionan con las dificultades lógicas halladas en la Teoría de Conjuntos. Señalemos simplemente que es­tas dificultades pueden ser superadas de una ma­nera que no deja ningún malestar ni duda alguna acerca de la corrección de los razonamientos; se podrá consultar sobre el tema los artículos de H Carian y J. Dieudonné citados anteriormente.

a fin de cuentas, esa íntima fusión cuya armoniosa necesidad se nos hacía ad­mirar, se nos aparece tan sólo como un contacto fortuito de dos disciplinas cuyos lazos están en realidad mucho más ocul­tos de lo que podía suponerse a priori.

En la concepción axiomática, la mate­mática aparece, en suma, como un re- servorio de formas abstractas, las estruc­turas matemáticas; y resulta que, ciertos aspectos de la realidad experimental vie­nen a moldearse, sin que ce sepa muy bien por qué, en algunas de estas formas, como por una suerte de adaptación pre­via. Es innegable, claro está, que la ma­yoría de estas formas tenían *an su origen un contenido intuitivo bien determinado; pero es precisamente vaciándolas volun­tariamente de este contenido que co ha podido darles toda la eficacia que lle­vaban en potencia, y que se las ha he­cho susceptibles de recibir interpreta­ciones nuevas y de cumplir plenamente su papel elaborador.

Es únicamente en este sentido de la palabra "forma" que ce puede decir del método axiomático que es un "formalis­mo"; la unidad que confiere a la mate­mática no es el armazón de la lógica formal, unidad de esqueleto sin vida; es la savia nutricia de un organismo en pleno desarrollo, *al instrumento flexible y fecundo de las investigaciones en las que han trabajado conscientemente, des­de Gauss, todos los grandes pensadores de las matemáticas, todos los qu*3, según la fórmula de Lejeune-Dirichlet, han ten­dido siempre a "sustituir el cálculo por las ideas".

:omochos de estos últimos, durante largo tiem­po no han querido ver en la axiomática más que vanas sutilezas de lógicos, in­capaces de fecundar cualquier teoría. Esta crítica se explica, sin duda, por un

accidente histórico: las primeraspuroaxiomatizaciones, y las que tuvieron ma­yor resonancia (las de la aritmética, con Dedekind y Peono, y de la geometría euclidiana, con Hilbert), se referían a teo­rías univalentes, es decir, tales que el sistema global de sus axiomas las deter­minaba enteramente y no era susceptible, por consiguiente, de aplicarse a ninguna otra teoría que no fuera aquella de don­de se lo había extraido (al contrario de

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lo que hemos visto con la teoría Ó3 gru­pos, por ejemplo). Si hubiera ocurrido lo mismo para todas las estructuras, el reproche de esterilidad dirigido al méto­do axiomático habría estado plenamente justificado 11. Pero éste ha demostrado el movimiento andando y las repugnancias que todavía se encuentran aquí y allá no se explican más que por el esfuerzo que debe realizar naturalmente el es­píritu para admitir que, ante un proble­ma concreto, una forma de intuición dis­tinta a la sugerida directamente por los datos (y que a menudo no se obtiene, sino por una abstracción superior y a veces difícil) pueda resultar igualmente fecunda.

En cuanto a las objeciones de los filó­sofos, se extienden principalmente sobre un terreno »an el que nos cuidaríamos mucho, por falta de competencia, de aven­turamos seriamente; es el gran problema de las relaciones entre el mundo 'experi­mental y el mundo matemático12. Que hay una conexión estrecha entre los fenó-

PRECURSORES DEL ALGEBRA MODERNAT“Puede decirse que la concepción moderna del álgebra comenzó con los “re­

formadores” británicos Peacock, Herschel, De Morgan, Babbage, Gregory y Boole. Lo que era una novedad un tanto herética cuando Peacock publicó su “Treatise on Algebra” en 1830, hoy es un

ilugar común de cualquier texto escolar competentemente

escrito. De una vez por todas, Peacock rompió con la superstición de que x, y, z,..., en relaciones como x -j- y = y -(- x, xy = yx, x(y -)- z) = xy -f- xz, y así siguiendo, que encontramos en álgebra elemental, “representan necesariamente númerosEso no es así, y constituye una de las cosas más importantes del álgebra y la fuente de su peder en las aplicaciones. Las x, y, z,... son meramente símbolos arbitrarios que se combinan de acuerdo con ciertas operaciones, una de las cuales se simboliza

(Sigue en la págiiia 147)

11 Se asistió también, sobre todo en los co­mienzos de la axiomática, a un florecimiento de es­tructuras teratológicas, totalmente desprovistas da aplicaciones y cuyo únic'o mérito era el de mostrar el alcance exacto de cada axioma, observando lo que ocurría cuando se lo suprimía o se lo modifi­caba. ¡Evidentemente, uno podía haberse sentido ten­tado a concluir que eran ésos los únicos productos que era dable esperar del método!

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de la vida cotidiana; pero muy a menu­do estos ejemplos parecen al niño exce­sivamente triviales y demasiado "sepa­rados" del análogo problema matemáti­co; se tiene, en suma, la impresión de una cierta artificiosidad.

En otras escuelas, en cambio, y citamos entre ellas a la Ecolo Decroly (-), ningún programa nuevo viene a sustituir al an­tiguo; pero los temas fundamentales del programa clásico se ven bajo una nueva luz: es el espíritu de la matemática mo­derna que encauza el curso unificando conceptos, propiedades, temas. En esta escuela se encuentra realizado cuanto se ha sugerido en el ya citado volumen de la O.E.C.E.: "El profesor debería estar listo para utilizar estas nociones —se trata de la teoría de conjuntos— que aparecen bruscamente y reaparecen re­petidamente en los contextos más diver­sos. En ciertos casos, estas nociones per­miten la clarificación y también la sim­plificación del vocabulario de los alum­nos. En otros casos, permiten exponer una propiedad matemática mediante una expresión simple o una fórmula b:eve. No se trata, pues, sólo de organizar los estudios de manera de incluir estos te­mos, sino de poder recurrir a ejemplos e ilustraciones en cantidad para apunta­lar los conocimientos en el momento opor­tuno". Resulta grato mostrar cómo este espíritu nuevo que debe penetrar en la clase de matemática y que se re­sume en "unidad de la enseñanza ma­temática, coordinación con las otras ma­terias científicas y actividad propia del alumno", se inserta armónicamente, y diría necesariamente, complementando los principios de aquella escuela que Ovide Decroly había fundado a princi­pios de siglo para los niños más peque­ños y sin un programa particular para la matemática. Y como siempre pareció natural, espontáneo y vivo todo lo que, desde la escuela maternal, se venía en­señando al niño según la metodología decroliana, igualmente natural, espontá­nea y viva resulta hoy una enseñanza que ha sabido escoger de las nuevas concepciones matemáticas aquello que(2) En esta escuela, la enseñanza de la matemática se

desarrolla bajo la guía de Paul LIBOIS, profesor de la Universidad de Bruselas.

hay de esencial, de informal, de gran­diosamente unitario (3).

Sin agregar más, debemos reconocer que una introducción de la matemática moderna en este sentido exige de parte del docente una seria preparación y una amplia visión de la ciencia, junto a un profundo conocimtento de la psicología infantil; es toda la postura metodológica la que debe cambiar y llevar a una in­terpretación distinta de los programas. Es justamente por estas dificultades que les libros de texto con tendencias moder­nas aparecidos hasta ahora siguen sus­tancialmente la primera orientación y algunos no están exentos de graves crí­ticas desde el punto de vista didáctico (*).

Esta "batalla" de dos tendencias en torno a la introducción de la matemática moderna debe suscitar fecundas refle­xiones e invitar al estudio. Nosotros, los(3) En abril de 1962, la Ecole Decroly desarrolló

"Journées de demonstrations mathématiques" con el objeto, precisamente, de dar una idea del trabajo que se lleva a cabo en la escuela para la enseñanza de la matemática encuadrada en la Reforma pre­conizada por la O.E.C.E. Después, en ¡unió de 1963, una interesante "Exposition mathématique" relativa a los tres primeros años de la escuela se­cundaria, ponía aún más de relieve el tipo de experiencias didácticas que se realizan en esta escuela y el significado que se quiere dar a la introducción de la matemática moderna en los cur­sos de preadolescentes. (Ver: Journées pédagogiques internationales tenues a l'Ecole Decroly, 9-12 avril 1962; Bruxolles, Ministére de l'Education Nationale et de la Culture.)

(4) Citamos algunos libros de texto aparecidos en estos últimos años en Bélgica, Francia, Suiza, Estados Unidos de América-.

L. JERONNEZ et A. JAUMAIN, Nouveau course d'arithmétique; Ed tions Sciences et Lettres; liége, 1962.

G. PAPY, Mathématique moderne, volume I; Edi- teur Marcel Didier; Bruxelles, 1963.

C. BREARD, Mathématique; Les Editions de l'Ecole; París, 1959.

A. HUISMAN et J. ITARD, Cours de mathéma­tique; Editions Wesmael-Chartier; Paris. 1962-63,

A. DELESSERT, Géométrie plañe; Editions Spes; Lausanne, 1960.

School Mathematics Study Group, Mathematics for Júnior High School; Yole Uníversity Press,- New Ha- ven (Conn.), 1960.

En Italia, el libro de U. MORIN y F. BUSULINI, Elementi di geometría per le scuole medie superiori (Edizioni Cedam; Padova, 1963) aunque siguiendo la axiomática tradicional, se inspira en los concep­tos fundamentales de la matemática moderna; con­cluye con un capitulo elemental sobre la teoría de conjuntos y toda la materia no está distribuida "por figuras", sino "por tipo de propiedades". La lectura de este libro es muy interesante.

PANORAMA !i■

LProgramas y Métodos

de la Matemática Moderna' ’

i/Si

en la enseñanzaiii

;EMMA CASTELNUOVO

(Roma, Italia)

abstracto con ejemplos tomados de lo concreto, sino, en cambio, una visión am­plia de esa matemática.

En el Cap. III también hemos señalado la actividad de la escuela belga en cues­tiones de didáctica de la matemática. Nos parece que justamente de ese país nos pueden llegar sugerencias e ideas: existen en Bélgica, hemos dicho, varias escuelas secundarias en las que se expe­rimentan nuevos programas y nuevos métodos. Se advierten allí dos tendencias con orientaciones distintas en la intro­ducción de la matemática moderna, par­tiendo incluso, de las clases de niños más pequeños.

En algunas escuelas se ha desarrolla­do un curso ordenado sobre los temas fundamentales de la matemática moder­na como, por ejemplo, la teoría de con­juntos. En el desarrollo del curso se vuel­ven a encontrar, bajo otra luz y otro aspecto, aquellos conceptos y aquellas propiedades de aritmética o de geometría elementales (tales como el máximo co­mún divisor o el teorema de Pitágoras) que se leen en los programas clásicos; dichos temas vienen así a formar parte de un tratamiento unitario, llano, límpido, pero —a mi parecer— excesivamente for­mal y, por consiguiente, privado de esa emoción científica y de esos "imprevis­tos" que gustan al niño. Se busca, es verdad, animar las nociones abstractas con ejemplos tomados de lo concreto y

•1IEn el Cap. II hemos hablado de la

actividad internacional y hemos destaca­do cómo, de todo el mundo matemático, llega a nosotros, docentes secundarios, un incesante estímulo para la introduc­ción, aun en las escuelas infantiles, de un programa de matemática moderna. También nos hemos referido a los pro­gramas sugeridos en 1960 por un grupo de matemáticos de varios países reuni­dos por iniciativa de la O.E.C.E. 0).

En este Cap. III se ha visto cómo, muy a menudo, la metodología adoptada al enseñar un tema nuevo conduce, arras­tra diría, al estudio de nuevos conceptos y nuevos temas. Estos nuevos conceptos y estos nuevos temas se llamaban con­juntos, funciones, transformaciones. No­ciones todas que, aflorando aquí y allá, en los más diversos capítulos de la ma­temática, tenían el poder de unificar cuestiones diferentes, ligar ramas aleja­das, sintetizar en un símbolo propieda- d e s, relaciones, ideas, iluminando el concepto fundamental de estructura.

Es pu*3s la misma metodolgía adoptada la que a menudo ha conducido a intro­ducir en la escuela el espíritu de la ma­temática moderna. Pero, reconozcámoslo, no hemos desarrollado un curso ordena­do de esta matemática, y lo hemos hacho voluntariamente: por nuestra propia ex­periencia, y por todo lo que hemos visto en el extranjero en estos últimos años, nos sentimos obligados a sostener que lo que debemos ofrecer a nuestros niños no es un curso riguroso sobre los dis­tintos capítulos de la matemática moder­na, aunque él se haya hecho menos(1) En el N9 5 de ELEMENTOS nos hemos ocupado del

Programa de la O.E.C.E. (N. de los E.)

i!

¡

(*) Agradecemos a la Profesora Emma CASTELNUOVO su gentil autorización para publicar nuestra versión española del párr. 14, cap. I!l, de su reciente obra "Didattíca della Matemática", que comentamos en este mismo número. (N. de los E.)

— 145 —- 144 -

tales innovaciones deben ser realizadas con extrema prudencia y con el más íino tacto pedagógico, si no se quiere crear en los alumnos una repulsión invencible por la matemática o conducirlos a la ad­quisición de un formalismo vacío y com­pletamente estéril. En efecto, la moderna orientación de la matemática es un arma de dos filos: según el empleo que de ella se haga podrá hacer mucho más atrayente y mucho más eficaz a la en­señanza, pero mal aplicada también pue­de conducir a resultados completamente opuestos".

italianos, debemos además, tener siem­pre presente cuánto ocurrió en nuestro país hace un siglo: Cremona, Betti y Brioschi habían intioducido en las ‘es­cuelas secundarias una enseñanza ins- pircda en la crítica de los principios, en­señanza que —como hemos visto en el Cap. III, párrafo 1— tenía indudables aspectos favorables, pero que también presentó graves inconvenientes en la es­cuela y, por consiguiente y de reflejo, en la sociedad, dado el excesivo relieve asignado a las ideas puristas. Porque una materia, cuando es de fecha muy reciente, está también poco "madura" y por tanto, poco sintetizada en la mente del docente; existe por eso el peligro Ó3 excederse en las cuestiones demasiado formales, en perjuicio de una visión gene­ral de los distintos temas, y de caer en un purismo del que el niño no está en condiciones de apreciar la sugestión.

Nos sentimos estimulados en nuestro punto de vista por las declaraciones de Marshall H. Stone, presidente de la Unión Matemática Internacional (5): "Es obvia —dice Stone refiriéndose a la enseñanza de la matemática en la escuela secun­daria— la necesidad actual de sustituir una gran cantidad del material empleado hasta ahora; pero de cualquier modo debemos evitar cometer el error del pa­sado, esto es, el de seguir demasiado estrictamente una orientación determi­nada". De la misma opinión es José Sil­va (c), y nos place terminar con las pa­labras de tan autorizado algebrista: "Es­tamos, sin duda, de acuerdo —dice— en que es necesario introducir en la ense­ñanza secundaria algunos temas de ma­temática moderna, sobre todo el espíritu de esta matemática, no sólo para ase­gurar una mejor formación intelectual de los alumnos, sino también para evitar una desarticulación que se hace siempre más sensible en los estudios secundarios y en los universitarios. Sostenemos que

coordenadas. Consideración de la recta y de las escalas.3. En verlo y emplearlo; en observarlo (ob­servación por el niño, ayudado por el profe­sor); en compararlo con otros conjuntos es­tructurados,- en transformarlo.

El profesor conducirá la atención, guiando al alumno sin forzarlo, sobre los procesos de extensión-restricción y de abstracción-concre­ción. En la misma forma actuará con las nociones de relación y de función.4. Se pondrá, poco a poco, en evidencia la estructura de grupo,- se estará atento a la estructura lineal. Entre los 12 y los 15 años se volverán cada vez más conscientes las nocio­nes de grupo de transformaciones, de permu­taciones (conmutativo y no conmutativo), adi­tivo de los reales (en vinculación con las tras­laciones), multiplicativo de los reales (en vincu­lación con las homotecias positivas). Hacia los 15 años se precisarán las estructuras de grupo, anillo, cuerpo no conmutativo.

SEGUNDO CICLO (16-18 años)

Objetivo esencial: Al mismo tiempo que se desarrolla el estudio de los conjuntos estruc­turados ya encontrados y se ponen de mani­fiesto otros nuevos, hacer surgir tres estructu­ras fundamentales (de grupo, lineal y de orden) y aclarar los conjuntos estructurados estudiados.

Indicaciones generales: Mientras se prosigue y desarrolla el estudio de conjuntos estructu­rados, hacer más concretas y más precias la noción de estructura de grupo y las nociones derivadas; hacer surgir y explicitar la noción de estructura linea!; analizar la estructura de orden; aclarar los conjuntos estructurados es­tudiados, con la captación siempre más pro­funda, más precisa y más completa, de su estructuración.

Cuestiones del desarrollo: 1 ¿Cuáles nuevos conjuntos estructurados? 2. ¿Cómo hacer sur­gir la noción de linealidad, de estructura li­neal? 3. ¿Qué aspectos nuevos de los con­juntos estructurados?

1. a) Conjuntos de números: complejos, cua- terniones.

b) Conjuntos de transformaciones: auto- morfismos del espacio euclídeo, del cilindro (indefinido), de la esfera, del plano, de la circunstancia, de la recta, de la escala. Pro­yección cónica definida,- inversión con punto en el infinito.

c) Conjuntos de funciones-, racionales, pe­riódicas, continuas, derivables.

d) Conjuntos de puntos: espacios afines de1. 2, 3 dimensiones. Extensiones "proyectiva" y "conforme" del espacio euclidiano de 2 y 3 dimensiones. Espacios de Galileo y de la relatividad restringida.2. Los dos elementos fundamentales que se vuelven a encontrar a los 17-18 años son las nociones de combinación lineal (álgebra) y de espacio estructurado linealmente (estructu­ras de espacio afín y de espacio proyectivo). La estructura de espacio afín surgirá del es­tudio del espacio euclidiano. La noción de combinación lineal conducirá a la estructura de espacio vectorial. Se examinarán, tomán­dolos repetidomente, los vínculos entre Rs, espacio afín (real de 3 dimensiones) y espacio vectorial (real de 3 dimensiones).3. De los conjuntos estructurados a las estruc­turas; de las estructuras a los conjuntos estruc­turados.

Unidad de la matemática:Conjuntos de funciones--------Conjuntos de

puntos

APENDICE (7)

PRIMER CICLO (12-15 años).Objetivo esencial: Estudiar ciertos conjuntos estructurados.Cuestiones del desarrollo: 1. ¿Qué tipo de estudio? 2. ¿Cuáles conjuntos estructurados? 3. ¿En qué consistirá el estudio, en el primer ciclo, de un conjunto estructurado? 4. ¿Se pondrán en evidencia las estructuras?1. Vivo, activo, inteligente, ágil.2. a) Conjuntos de números: naturales (nu­meración decimal y binaria), enteros, raciona­les, decimales (expresiones finitas e infinitas, periódicas y no periódicas), reales, binarios (expresiones finitas e infinitas, periódicas y no periódicas), clases residuales. Representa­ción espacial de estos conjuntos numéricos.

b) Conjuntos de transformaciones: movi­mientos en 2 y 3 dimensiones (traslaciones, rotaciones), semejanzas positivas en 2 y 3 dimensiones (homotecias positivas), isometrías en 2 y 3 dimensiones (simetrías central, axial y especular), semejanzas positivas y negativas (dilataciones y contracciones'. Proyecciones ortogonal, paralela, cónica. Afinidad en 2 dimensiones. Empleo de coordenadas y vec­tores.

c) Conjuntos de funciones: funciones linea­les homogéneas y no homogéneas con 1 y 2 variables, polinomios de grado dado. Repre­sentación espacial de estas funciones.

d) Conjuntos de puntos: esfera, cilindro (definido e indefinido), plano, circunferencia, recta, escala, espacio. Empleo de sistemas de

Conjuntos de números--------Conjuntos detransformaciones

(Aspecto espacial)(Aspecto numérico)Empleo de instrumentos diversos, de técnicas

diversas en ocasión de un problema mate­mático.

Un mismo conjunto aparece más o menos estructurado (abstracción-concreción). Se pasa de la observación al análisis de los conjuntos estructurados, es decir, a poner en evidencia las principales propiedades de esos conjuntos y a buscar las relaciones existentes entre sus propiedades. Estos análisis conducen a la elaboración de definiciones (que se modifican eventualmente según la edad de los alumnos) y, en número muy restringido de casos, a la de axiomáticas.

(5) Stone ha pronunciado estas palabras en la discusión que siguió a la conferencia de H. Fehr sobre "re­forma de la enseñanza de la geometría" publicada en el Informe sobre la 19 Conferencia Interameri- cana de Educación Matemática, reunida en Bogotá, Colombia, en diciembre de 1961.

(ó) "Sulla introduzione delle matematiche moderne nell' insognamcnto secundario" (Informe de la Subcomi­sión portuguesa de la OEM), Archimede, 1962, n. 5.

(Viene de la página 143)por _i_ y [a 0tra por X (o simplemente por xy, en lugar de x X y)> de acuerdo postulados establecidos al comienzo, como los ejemplos * + 7 = 7 + x, elc.y que se muestran más arriba'(E. T. BELL, “Mens o\ Malhematics”. Versión española: Los grandes matemáticos).

(7) Para completar esta colaboración de E. Castelnuovo agregamos este apéndice informativo de cómo se encara en la Ecole Décroly la enseñanza de los conjuntos estructurados, según un documento de junio de 1963. (N. de los E.)

con

- 146 - - 147 -

v$

a . x' r: a . a (por T. VII. 2 y regla de sust.)

a . x# = 0(por Ax. V y regla de sust.)

Análogamente se demuestra b . x' = 0 y c . x' = 0

Probaremos ahorax' = y

Será cierto que x' es el elemento com­plemento del y, si se cumplen las dos condiciones siguientes:

Y + x'=lyy.x' = 0 requeridas por el Ax. V.

Efectivamnte:y + x' = y -f [ (a + b) + c]'

(por sustitución de x) y -4- x' = y + [(a + b)' . c ]

(por 1? Ley de De Morgan, T. XII. 1, y regla de sust.)

Y + x' = Y+ Ha' . b') . c'](oor la misma razón)

Y + x' = [y + (a' . b')] . [y + c ] (por Ax. IV. 1 y regla de sust.)

y + x' = [(y 4- a') . (y + b')] . [y + c ] (por la misma razón)

Y + x [(a' + y) . (b' + y)] . (c + y] \ (por Ax. III. 1 y regla de sust.)

y + x' = [1 . 1] . [1](por Lema 1? y regla de sust)

Y + x = [1] . [1](por Ax. II. 2 —aplicado a 1— y regla

de sust.)Y + x' = 1

(por la misma razón)

(por unicidad del elemento complenvant.)

x = Y (por T. IX y regla de sust.)ORIENTACION Y

o sea:(a 4- b) -| • c = a -(- (b + c)

(por sust. de x y y por sus respectivos significados)

que:

El Algebra de Boole'*’ que:El Teorema XIII.2 se justifica aplicando la ley de

dualidad.FLORENCIO D. JAIME

(Instituto Superior del Profesorado - fís. As.)i

RELACIONES DUALES

Definiremos ahora dos relaciones entre elementos del conjunto K: la inclusión y la comprensión.

Def.: Se dice que un elemento a, de K, está incluido en otro elemento b, de K,(y ello se indica con «al símbolo " c ", que se lee: "está incluido en'') cuando el pro­ducto de a por el complementario b' de b' es igual a 0.

En símbolos:a C b . =. a . b' =: 0

Esta relación es susceptible de la si­guiente interpretación gráfica:

(por Ax. IV 1 y regla de sust.) b' + y = b' + í [a + (b + c)] . b \

(por sust. de y)b' + y = b' -!- \ b . [a + (b + c)] \

(por Ax. III. 2 y regla de sust.) b' + Y = b'-j- -¡b . a+b . (b-j-c)l

(por Ax. IV. 2 y regla de sust.) b' + y = b' + \ b . a + b \

(por T. VII.2 — aplicado a b y c— y regla de sust.)

b' -)- y = b' -|- -ib-j-h al*(por Ax. III. 1 y regla de sust)

b' + y = b' + b(por T. VIL 1 —aplicado a b y a— y regla

de sust.)b' + Y = b + b'

(por Ax. III. 1 y regla de sust.) b' + Y = 1

(por Ax. V y logia de sust.) Análogamente se demuestra que:

c' + Y = 1Demostración del Lema 29

a . x' = a . x' + 0 (por T. II. 1)

a . x' = a . x' + a . a'(por Ax. V y regla de sust.)

a . x' = a . (x + a')

T. XIII. 1 (llamado "ley asociativa ¿»a la adición"). Para todo a, todob y todo c, de K, se verifica que:

(a + b) -|~ c = a + (b + c)T. Xin. 2 (llamado "ley asociativa de

la multiplicación"). Para todo a, todo b y todo c, de K, se verifica que:

(a . b) . c = a . (b . c) Demost.ación del Teorema XHI. 1

l■1

En virtud del Ax. I. 1, existe un ele­mento x de K, tal que:

(a -j- b) -j- c y también existe un elemento y» de K, tal que:

C)x

a -¡- (b + c) = y Se trata de probar que x = y Para ello, si demostramos que x' = y',

tendremos luego, en virtud de la unicidad del elemento complementario (T. IV), que:

(xT = (y')'a c b porque a O b' = 0

Def.: Se dice que un elemento a, de K, comprende a otro elemento b, de Kf (y ello se indica con el símbolo " 2 ", que se lee: "comprende a") cuando la suma de a más el complemento b\ de b, es igual a 1.

En símbolos:a 3 b .=. a + b' = 1

Esta relación es susceptible de la si­guiente interpretación gráfica:

o sea:x = y (por T. IX y regla de sust)

A fin d'3 obtener estas conclusiones, de­mostraremos previamente dos lemas a saber:Lema: 1° a' + y = b' + y = c' -f y = 1 Lema 29 a . x' = b . x' = c . x' = 0

Demostración del Lema l9 a' + y = a' + [a + (b + c)]

(por sust. de y)a -|- y *= 1

(por T. XI 1 aplicado aayb + cy regla de sust.)

Luego, se cumple la primera condición. Por otra parte:

y . x' = [a + (b + c)] . x* por sustitución de y)

y . x' = a . x' + (b + c) . x' por T. III. 2 y regla de sust.)

y . x' = a . x' + [b . x' + c . x'] (por la misma razón)

y . x' = 0 + [0 + 0](por Lema 2° y regla de sust)

y . x' = 0 -j- 0(por Ax. II. 1 —aplicado a 0— y regla de

sustitución) y . x' =0

(por la misma razón)Luego, se cumple la segunda condición. Por lo tanto es cierto que:

x = y (por Ax. V)

(*)(por Ax. IV. 2 y regla de sust.) a . x' = a . ¡ [(a + b) + c]' + a# f

(por sustit. de x)b)' .c' + a'l

(por Ia Ley de De Morgan, T. XIII. 1, y regla d*a sust.)

a . x' =: a . *! (a' . b') . c' + a' I* (por la misma razón)

a . x' — a . i a' + (a' . b') . c' \ (por Ax. III. 1 y regla de sust.)

a . x = a . Ua' + (a' + b')] . [a + c] l (por Ax. IV. 1 y regla de sust.) a . x' = a . i a' . [a# + c ] \(por T. VII. 1 y regla de sust.)

a . x' = a . *1 (a

Por otra parle:b' + y = (b# + y) . 1

(por T. II, 2 y regla de sust.) b' + y = (b' + y) . (b + b') (por Ax. V y regla de sust.)

b' -j- y = (b' + y) . (b' -{- b) (por Ax. III. 1 y regla de sust.)

b' + y = b' + (y . b)

a

L

a 3 b porque a U b' = 1

de donde: (*) El símbolo se lee "significa, por defini­ción, que¡": (xT = (y7(“) Véase ELEMENTOS N? 5, págs. 121-128.

- 149 -— 148 —¡í

\

Pero:Los significados de las relaciones de inclusión y comprensión, expresados por los segundos miembros de sus respecti­vas definiciones, son duales puesto que se obtienen uno del otro permutando los símbolos y "0" y “1". De ahí resulta que los símbolos ”c" y "z>" son también permutables. Se obtiene así la ley amplia de dualidad que permile permutar, en los enunciados de los teo­remas y en sus demostraciones, los símbo­los: y v\ "0" y ’T\ ”c" y ”2-„

T. XIV. 1. Si a c b, entones b Da.T. XIV. 2. Si a D bf entonces be a.

Demostración el Teorema XTV. 1.(por hipótesis)(por def. de inclusión)

(por unicidad del ele­mento complementario, T IV)

a' -f- (bT = 0' (por 2? Ley de De Mor­gan, T. XII. 2 y regla de sust.)(por T. IX y regla Ó3 sust.)(por T. X. 1 y regla de sust.)(por Ax. III. 1 y regla de sust.)(por def. de comprensión)

a . b' + 0 = 0 (por Ax. V y re­gla de sust.)(por T. II. 1 y re­gla de sust.)(por def. de in­clusión)

a . b' = 0 A 0 = b . a' (por Ax. V y regla de sust.)

(por T X. 2)Sustituyendo en el segundo miembro

de la identidad inicial: a . 1' = a . 0 (por regla de sust.) a . 1# = 0

1' = 0a . b' = 0 o bien:

a . b' = 0 A b . a' = 0 (por carácter simétrico de la ident.)

de donde:a c b

(por T. VI. 2 y regla de sust) Luego: a c b A b 3 a

(por def de inclusión)a C 1LuegoEl Teorema XV.2 se justifica por la ley amplia do

a -j— b b —* a C bEntonces, de ambas condiciones resul- Luego:dualidad. a = b-»aCbAbCa

Condición suficiente:Decimos que a c b A b c a a = b. En efecto:

ta que:T. XVI. 1. Cada elemento de K está in­

cluido en sí mismo.T. XVI. 2. Cada elemento de K se com­

prende a sí mismo.Demostración del Teorema XVI. 1.

Será cierto que a c a, si se verifica que a a = 0 (por def. de inclusión).

Pero esto es cierto en virtud del Ax. V.Luego:

a C b ^ a b = b (por ley de equivalencia de proposiciones)

El T. XVII. 2 se justifica por la ley am­pia de dualidad. De es>3 teorema resulta a c b (por hipótesis)

. b - a (por T. XVIII. 1) b c a (por hipótesis)

.*. b . a = b (por T. XVIII. 1)

. . aa su vez que:a 3 b^a.b = b

T. XVIII. 1. A fin de que a c b, es ne­cesario y suficiente que a. b = a.

T. XVIII. 2. A fin de que aD b, es ne­cesario y suficiente que a + b =a.

a c ba . b' = 0'

de donde:(a . bT = 0'

Pero:a . b = b . a (por Ax. III. 2)

De donde:a c aEl Teorema XVI.2 se justifica por la ley amplia de

dualidad.a =: b (por regla de sust.)DemosLación del Teorema XVIII. 1

Decimos que: Luego:a c b A b c a a = b

De ambas condiciones, resulta enton-T. xvn. 1. A fin de que a c b, es ne­

cesario y suficiente que a + b == b.T. XVII, 2. A fin de que a 3 b, es ne­

cesario y suficiente que a . b = b.

aCbí=ía.b = aEn efecto:

a' + b = 0' ces que:a c b <=* b 2 a(por colorario teoremas XIV. 1,2) a = b a C b A b C a

El Teorema XIX.2 se ¡ustifea por la ley amplia de dualidad.

T. XX. 1 Cada sumando está incluido en la suma.

En símbolos:aCa + bybc a + b

a + b =± 1 yDemostración del Teorema XVI. 1.

Condición necesaria: o c b

a . b' = 0 de donde:

b “3 a <-=3 b . a — a (por T. XVII. 2 aplicado a b y a)

aCb^±b.a = a(por carácter transit. de la equivalencia)

O sea:

b + a' = 1(por hipótesis)(por def. de inclus.)

Luegoa . b' b = 0 + b (por unicidad de la

suma, Ax. I. 1)(por Ax. II. 1 y re­gla de sust.)

(a + b) . (b' -|- b) = b (por T. III. 1 y regla de sust.)

(a + b) . (b + b') = b (por Ax. III. 1 y re­gla de sust.)(por Ax. V y regla Ó3 sust.)(por T. II. 2 y regla de sust)

acb^a.b=a (por Ax. III. 2 y regla de sust.)

El T. XVIII. 2 so justifica por la ley am­plia de dualidad. De este teorema resul­ta a su vez que:

a 3 b 5=± a T. XIX. 1. A fin de que sea a idéntico el b es necesario y suficiente que a esté incluido en b y que b esté incluido en a.

En símbolos:a = b^aCb Abe a

T. XIX 2. A fin de que sea a idéntico a b, es necesario y suficiente que a com­prenda a b y que b comprenda a a.

En símbolos:a = bí¿a2bA b 3 a

Demostración del Teorema XIX. 1.Condición necesaria:

a c b b 3 aEl Teorema XIV.2 se justifica por la ley amplia de

dualidad.

T. XX. 2. Cada factor comprende al pro­ducto.

En símbolos:a . b' + b = b

Corolario: a c b equivale a b 3 a.En efecto:

a c b -► b3 a (por T. XIV 1)

a 3 a . b y b 3 a . bb = a Demostración del Teorema XX. 1.

Será cierto que: a c a + b si se verifica que:a . (a + b)' = 0

yb 3 a - ac b (por T XIV. 2) por lo tanto:a Q b «=± b 3 a (por ley ce la equivalen­

cia de proposiciones)T. XV. 1. Todo elemento a, de K, está

incluido en 1.T. XV 2. Todo elemento a, de K, com­

prende al 0.Demostración del Teorema XV. 1.Será cierto que a 5 1, si se verifica que

a . 1# = 0 (por def. de inclusión).En efecto:

a . V = a . 1' (por carácter reflexivo de la identidad)

(a + b) . 1 = b(por def. de in­clusión)a-f b = b

En efecto:i

a . (a -f- b)' = a (a + b)' (por carácter re-flex. de la ident.)

a . (a + b)' = a (a' . b') (por 1? ley de DeMorgan, T. XII. 1, y regla de sust.)

a . (a-}-b)' = (a . a') . b' (por 1? ley de Dela mult., T. XIII. 2, y regla sust.)

a . (a + b)' = 0 . b' (por Ax. V y re­gla de sust.)

Luego:a C b-*a + b = b

Condición suficiente: a + b = b (por hipótesis)• • (a + b) . b' = b . b' (por unicidad del

producto, Ax. I.2) a = b (por hipótesis)

a . b# = b . V A a . af = b . a' (por unicidad del producto, Ax. I, 2)

o sea:

de donde:a b' + b b' = b . b' (por T. III. 2 y re-

gla de sust.)

- 150 - - 151 -

\

Pero:Los significados de las relaciones de inclusión y comprensión, expresados por los segundos miembros de sus respecti­vas Definiciones, son duales puesto que se obtienen uno del otro permutando los símbolos "-p" y ”0" y '‘1". De ahí resulta que los símbolos ”c" y "3" son también permutables. Se obtiene así la ley amplia de dualidad que permite permutar, en los enunciados de los teo­remas y en sus demostraciones, los símbo­los: •”+" y V\ "0" y *T\ "c” y

T. XIV. 1. Si ac b, entones b Da.T. XIV. 2. Si a 3 b, entonces be a.

Demostración el Teorema XTV. 1. (por hipótesis)

a . h' == 0' (por def. de inclusión) de donde:(a . bT = 0' (por unicidad del ele­

mento complementario, T. IV)(por 2? Ley de De Mor­gan, T. XII. 2 y regla de sust.)(por T. IX y regla d*e sust.)(por T. X. 1 y regla de sust.)(por Ax. III. 1 y regla de sust.)(por def. de comprensión)

a • b' + 0 = 0 (por Ax. V y re­gla de sust.)(por T. II. 1 y re­gla de sust)(por def. de in­clusión)

a . b' = 0 A 0 = b . a' (por Ax. V y regla de sust.)

]' = 0 (por T. X. 2)Sustituyendo en el segundo mlómbro

de la identidad inicial: a . 1' = a . 0 (por regla de sust.)a . r = 0

a . b' = 0 o bien:a . b' = 0 A b . a = 0

(por carácter simétrico de la ident.) de donde:

a c b(por T. VI. 2 y regla de sust) Luego: a c b A b 3 a

(por def de inclusión)a C 1Luego

El Teorema XV.2 se justifica por la ley amplia dea + b b a C b

Entonces, de ambas condiciones resul­ta que:

Luego:dualidad. a = b-*aCbAbCa

Condición suficiente:Decimos qu»3 aCb Abe a a = b. En efecto:

T. XVI. 1. Cada elemento de K está in­cluido en sí mismo.

T. XVI. 2. Cada elemento de K se com­prende a sí mismo.

Demostración del Teorema XVI. 1.Será cierto que a c a, si se verifica

que a. a = 0 (por def. de inclusión).Pero esto es cierto en virtud del Ax. V.Luego:

a C b ^ a b — b (por iey de equivalencia de proposiciones)

El T. XVII. 2 se justifica por la ley am­pia de dualidad. De es lo teorema resulta a c b (por hipótesis)

. b - a (por T. XVIII. 1) b c a (por hipótesis)

.*. b . a = b (por T. XVIII. 1)

a su vez que: . . aa 3 b ^ a . b = b

T. XVIII. 1. A fin de que a c b, es ne­cesario y suficiente que a. b = a.

T. XVm. 2. A fin de que a 3 b, es ne­cesario y suficiente que a b =a.

a c b

Pero:a (por Ax. ÜI. 2)ci . b — b

De donde:a c aEl Teorema XVI.2 se justifica por la ley amplia de

dualidad.a = b (por regla de sust.)Demostración del Teorema XVIII. 1

Decimos que: Luego:a' + (bT = 0'a c b A b c a a = b

De ambas condiciones, resulta enton-T. xvn. 1. A fin de que a c b, es ne­

cesario y suficiente que a -f b = b.T. XVTI, 2. A fin de que a 3 b, es ne­

cesario y suficiente que a . b = b.

aCb<=±a.b = aEn efecto’

a' + b = 0' ces que:a c b <=* b ¡2 a(por colorado teoremas XIV. 1,2) a = b^=iaCbAbC a

El Teorema XIX.2 se justifea por la ley amplia de dualidad.

T. XX. 1 Cada sumando está incluido en la suma.

En símbolos:acia + bybc a-{-b

a + b = 1 YDemostración del Teorema XVI. 1.

Condición necesaria: ocb.’. a . b' = 0 de donde:

b 3 a^b . ar=a (por T. XVII. 2 aplicado a b y a)

.’. acb«=b.a = a(por carácter transit. de la equivalencia)

O sea.

b + a' n= 1(por hipótesis)(por def. de inclus.)^ 2a

Luegoa . b' -{- b = 0 + b (por unicidad de la

suma, Ax. I. 1)(por Ax. n. 1 y re­gla de sust)

(a -|- b) . (b' + b) = b (por T. III. 1 y regla de sust.)

(a + b) . (b + b') = b (por Ax. III. 1 y re­gla de sust.)(por Ax. V y regla Ó3 sust.)(por T. II. 2 y regla de sust.)

acb^a.b=a (por Ax. III. 2 y regla de sust.)

El T. XVIII. 2 so justifica por la ley am­plia de dualidad. De este teorema resul-

a c b b 3 aEl Teorema XIV.2 se justifica por lo ley amplia de

dualidad.

T. XX. 2. Cada factor comprende al pro­ducto.

En símbolos:a . b' + b = b

Corolario: a c b equivale a b 3 a.En efecto:

a c b b 3 a (por T. XIV 1)

a ¡2 a . b y b 3 a . bta a su vez que:a 3 b ^ a -j- b = a ^

T. XIX. 1. A fin de que sea a idéntico a b es necesario y suficiente que a esté incluido en b y que b esté incluido en a.

En símbolos:

Demostración del Teorema XX. 1.Será cierto que: a c a + b

si se verifica que:a . (a + b)' = 0

yb 3 a -> ac b (por T. XIV. 2) por lo tanto:u c b b 3 a (por ley De la equivalen­

cia de proposiciones)T. XV. 1. Todo elemento a, de K, está

incluido en 1.T. XV 2. Todo elemento a, de K, com­

prende al 0.Demostración del Teorema XV. 1.Será cierto que a d 1, si se verifica que

a . I' = 0 (por def. de inclusión).En efecto:

a . 1' = a . 1' (por carácter reflexivo de la identidad)

(a + b) . 1 = b(por def. de in­clusión)a 4- b = b a = b^aCb/\bC a

T. XIX 2. A fin de que sea a idéntico a b, es necesario y suficiente que a com­prenda a b y que b comprenda a a.

En símbolos:a = b^a2bAb3 a

Demostración del Teorema XIX. 1.Condición necesaria:

En efecto:

a . (a -f b)' = a (a -(- bT (por carácter re-flex. de la ident.)

a . (a + b)' = a (a* . b') (por 1? ley de DeMorgan, T. XII. 1, y regla de sust.)

a . (a+b)' = (a . a') . b' (por 1? ley de Dela mult., T. XIII. 2, y regla sust.)

a . (a + b)' = 0 . b* (por Ax. V y re­gla de sust.)

Luego:a c b-*a-|-b = b

Condición suficiente: at + k == b (por hipótesis)• • (a -|- b) . b' = b . b' (por unicidad del

. producto, Ax. I.2) a = b (por hipótesis)

.’. a . b' = b . b' A a . a' = b . a (por unicidad del producto, Ax. I, 2)

o sea:

de donde:a • b + b b' = b . b' (por T. III. 2 y re­

gla de sust.)

- 150 - - 151 -

N

T. XXII. 1. Si un elemento a, de K, está incluido en otro elemento b, de K, enton­

el complementario ct' del primero comprende al complementario b* del se­gundo.

En símbolos:

(por Ax. 111. 2 y regla de sust.) (por T. VI. 2 y regla de sust.) (por deí. de incl.)

a . (a + b)f = b' . 0 Espacios Vector¡ales<*>tia . (a + b)’ = 0 ces:

!) LUIS A. SANTALÓf Universidad de Buenos Aires)

Se llama vector a un segmento orien­tado. ¿Qué es un segmento orientado? Es un segmento *en el cual se distinguen sus dos extremos: uno, se llama origen y el otro extremo; el vector “va" de O a A que no es lo mismo que si “íuera" de A a O; para dar un vector hay que dar entonces, su dirección es decir, su recta sostén o una paralela a ella, su sentido sobre esa recta y su módulo o sea, la longitud del segmento; lo designaremos con OA o con una minúscula a.

Dos vectores son iguales si tienen igua­les la dirección, el sentido y el módulo; resulta que pueden cor iguales aunque tengan distinto origen o pertenezcan a distintas rectas.

Históricamente, los vectores aparecie­ron primero en física, donde tres concep­tos que son representantes típicos de los vectores, los desplazamientos, las fuer­zas y las velocidades, tienen fundamental importancia. En toda velocidad hay que decir hacia dónde se encamina el móvil (dirección y sentido) y con qué intensidad (módulo) lo hace; lo mismo ocurre con las fuerzas. En geometría también apare­cieron los vectores, aunque lo hicieron más tarde; pero es en geometría donde co comprende mejor la definición ante­rior de igualdad. Los \ odores aparecen con las traslaciones; cuando una trasla­ción se representa por un vector se esta­blece que todo punto del conjunto que se traslada —un plano, por ejemplo— tiene un correspondiente —trasladado— que determina con el primero un vector igual al que define la traslación. Los vec­tores, en matemática, son los llamados vectores libres en física, os decir, los que no dependen de su punto de aplicación.

Definidos los vectores, corresponde es­tudiar las operaciones que lo pueden realizar con ellos. También el conocimien­to de física nos dice que se pueden su­mar y cómo se realiza la operación. Es clásico el e/emplo del cruce de un río: se lo quiere cruzar en un bote con velocidad v, pero al mismo tiempo la corriente lo

.’. ac a + b Por otra paite,

b cb + a

: .

a c b - a' 2 b'T. XXII. 2. Si un elemento a, de K,

comprende a otro elemento b, de K, en­tonces el complementario a' del primero está incluido en el complementarlo b' del segundo.

En símbolos:

(por el caso pre- ced. aplic. a b)

Un importante matemático francés contemporáneo, G. Choquet, ha dicho que el principal defecto de Euclides es el de haberse olvidado de los vectores, lo cual, dado el influjo que su autoridad ejerció durante dos milenios, ha determi­nado que los matemáticos no se hayan ocupado del álgebra vectorial. En el si­glo pasado comenzaron a hacerlo los fí­sicos, y apenas en éste, en los últimos treinta o cuarenta años, los matemáticos le han dado carta de ciudadanía como •elemento abstracto de su disciplina. En cambio, lo dice Choquet, si Euclides hu­biese construido su geometría empleando vectores, aunque resulte aventurado pre­decir lo que hubiera ocurrido, no hay du­da de que se hubiera adelantado más. Se puede afirmar que hasta hace muy poco, los vectores eran empleados en fí­sica por el profesor de mecánica, pero poco o nada se habló de ellos en las cla­ses de matemática, ni en el bachillerato ni en la universidad. Después se ha visto —algunos ya lo previeron un poco an­tes— que son muy útiles no sólo para la física sino también para la matemática, tanto desde el punto de vista geométrico como desde el punto de vista abstracto.

Antes de llegar a la definición de los espacios vectoriales trataremos de dar las ideas intuitivas básicas sobre vectores, necesarias para una mejor comprensión de aquélla, por otra parte, es corriente que un conjunto de axiomas visto por primera vez no diga nada si para su in­terpretación no se cuenta con el conoci­miento intuitivo —que, por supuesto, de­be ser riguroso— de algún sistema de elementos que lo satisfaga. Como ade­más, estas ideas son familiares para la mayoría, no entraremos en detalles, co­menzando por la definición de vector (’).

(*) Versión autorizada por el Dr. Santaló de su clase sobre el tema dictada, en agosto de 1963, en la Esc. Normal N? 4. Agradecemos a la Prof. María E. Fernández Núñez habernos facilitado sus apuntes para poder redactarla. (N. de los E.)

(1) Véase ELEMENTOS, N° 2. pág. 40. (N. de los E.j

:

Perob -f a = a } b (por Ax III. 1)

!:(por regla sust.)

El Teorema XX.2 se justifica por la ley amplia de dualidad.

b C a + b•i

a 2 b -*• a' c b'Demostración del Teorema XXII. 1

T. XXI. 1. (llamado “carácter transitivo de la inclusión") Si a está incluido en b y b está incluido en c, entonces a está incluido en c.

En símbolosaCb/\bCc-*ac c

T. XXI. 2 (llamado “carácter transitivo de la comprensión"). Si a comprende a b y b comprende a c, entonces a compren­de a c.

En símbolos:a2bAb2c-+a2 c

Demostración del Teorema XXI. 1

a z b a . b' = 0

De donde- (a . bT = 0'

(por hipótesis)(por def. de inclusión)

I

(por unicidad de elemen­to complement., T. IV) (por 2a ley de De Morgan, T. XII. 2, y regla sust.) (por T. X. 1 y regla de sust.)(por def. de comprensión aplicada a a' y b')

a' + (bT = 0'

a + (bT = 1

a 2 b'

Luego:(por hipótesis) (por T, XVII. í)

a c b a c b a' 2 b'El Teorema XXII.2 se justifica por la ley amplia de

dualidad.Corolario: a c b equivale a a' 3 b'

En efecto:

a + b = b (a + b)-{-c=b-|-c (por unicidad de la

suma, Ax. I. 1)+ c (por propiedad aso­

ciativa de la suma, T. XIII. 1)

(1) (por T. XVII. 2)

a + (b + c) = b(1)

(por T. XXII. 1) a' 2 b" - (a7 c (bT

(por T. XXII. 2)a c b + c

Por otra parte: b c c.'. b + c = c

Sustituyendo en (1): a c c

(por hipótesis) (por T. XVII. 1)

o sea.(2)a' 2 b# -*■ a c b

(por T. IX y regla de sust.) De (1) y (2):(por regla de sust)

. *. a c b A b c c -* a Ul c a c b a 2 b'(por ley de equivalencia de proposiciones)

(Continuará)El Teorema XXI.2 se justifico por la ley amplia de

dualidad.

\. ¿PENSO UD. ALGUNA VEZ QUE...

“Uno de los errores que ha demorado el descubrimiento de definiciones co­rrectas en esta parte de la matemática es la idea común de que cualquier extensión del concepto de número incluye a las especies anteriores como casos particulares. Se pensaba que tratando con números enteros positivos y negativos, los enteros positivos podían ser identificados con los números naturales primitivos, desprovistos de signo. Ademes se pensó que una fracción cuyo denominador es 1 puede ser iden­tificada con el número natural que tiene por numerador. De los números irracionales,

(Continúa en la pág. 163)

¡

- 153 -- 152 -

.arrastra con velocidad w; el bote se mo­verá con una velocidad que on tísica se llama resultante y en matemática suma: u = v -f w, de las dos velocidades. La experiencia indica que los dos movimien­tos son independíenlos y que el cruce se realiza entonces por la diagonal del pa- ralelogramo cuyos lados son el despla­zamiento que tendría el bote con veloci­dad v si no hubiera corriente y el despla­zamiento con velocidad w debido al arrastre de la corriente ('-). Experiencias similares pueden hacerse con tuerzas y en matemática se llega al mismo resul­tado componiendo traslaciones; la deíi- nlción de suma de vectores se correspon­de con los resultados de estas experien­cias: se llama suma do dos vectores a la diagonal del paralelogramo que deter­minan, (tomada de modo que en sus ex­tremos coincidan los tres orígenes o los tres extremos).

La segunda operación por considerar es la de producto de un vector por un escalar; en cálculo vectorial se distin­guen los vectores o segmentos orienta­dos, de los números o escalares. Si se co­mienza pensando en el producto de un vector a por 2, será 2a = a + a y con­siderando que el paralelogramo se re­duce a un segmento de recta, se obtiene como suma un vector de igual dirección y sentido, pero de módulo doble; en for­ma análoga se puede obtener el pro­ducto por cualquter número natural n y generalizando para cualquier número real positivo k se tiene:

Se llama producto del vector a por el escalar k positivo al vector de igual di­rección y sentido que a y cuyo módulo es el producto k . a.

La intuición y la experiencia nos acon­sejan distinguir el vector a del vector —a por el cambio de sentido del vector; con el mismo criterio se define el producto de a por el número negativo —k como el vector —(k . a), es decir como el vector de la misma dirección que a, sentido opuesto y módulo k . a.

La tercera operación es el producto es­calar de dos vectores: Al considerar, en física, el trabajo de una fuerza cuanio

su punto de aplicación se desplaza, apa­rece el producto f . d . eos a donde f y d son la intensidad de la fuerza y el des­plazamiento de su punto de aplicación y « el ángulo que forman ambos; llevada esta experiencia física al dominio de la matemática sirve para definir una nueva operación entre vectores:

Se llama producto escalar de dos vec­tores a y b al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman:

a . b = a . b . eos a

Al interpretarlo geométricamente, se ve que es el producto de la proyección de a sobre b por el módulo de éste; el re­sultado es siempre un escalar.

No es nuestro objeto entrar a consi­derar en detalle las conocidas propieda- dades de estas operaciones; se trató, únicamente de mostrar el origen intuiti­vo de los conceptos que llevaron a la idea abstracta de espacio vectorial. Re­sumiendo lo visto, las tres operaciones consideradas son:

1. Suma de vectores: a + b = c.2. Producto de un vector por un esca­

lar: k . a — p.3. Producto escalar de dos vectores:

a . b = a . b . eos « = c.El paso de los conceptos intuitivos al

de espacio vectorial ilustra el camino que en todos los casos sigue la llamada "Ma- ‘emádica moderna"; en forma similar a la utilizada por Hilbert al fundamentar axiomáticamente la geometría euclidia- na, comenzando con: "Pensemos tres distintos sistemas de entes: a los entes del primer sistema los llamamos pun­tos..., a los del segundos rectas... y a los del tercero planos...", dejando la posibilidad de dar a los conceptos de punto, recta y plano cualquier interpre­tación, se puede encarar la axiomatiza- ción de la teoría de los espacios vecto­riales diciendo: "Supongamos un con­junto de entes a los que llamamos vecto­res, entre los cuales se pueden estable­cer ciertas operaciones con determina­das propiedades", dejando abierta la po­sibilidad de dar al concepto abstracto "vector" la interpretación que en cada caso nos convenga. Naturalmente, en ambos casos, los matemáticos han cons­truido los sistemas de axiomas pensando

en su base intuitiva y la dificultad de la construcción radica en elegir los axiomas de modo tal que el sistema sea útil, to­mando la menor cantidad posible de axiomas que caractericen a la estructura intuitiva y que puedan aplicarse a la mayor variedad posible de conjuntos de elementos que los satisfagan.

Consideremos un conjunto E de ele­mentos a, b, c, . . llamados vectores, ce­rrado para una operación interna que llamamos suma:

tos que encontremos en la matemática y que satisfaga todas las condiciones de la definición será un espacio vectorial y para él valdrán todos los resultados ya obtenidos para éstos; los elementos de ese conjunto serán los "vectores" para tal caso particular. Como ejemplos podemos dar los siguientes:

El conjunto de vectores de un pla­no con las operaciones de suma: suma geométrica de vectores y pro­ducto por un escalar: producto de un vector por un número recl.El conjunto de polinomios con coe­ficientes reales con la suma: suma de polinomios y el producto por un escalar: producto por un número real.

i1.

!

a + b = cy el conjunto de los números reales, con los cuales se puede definir otra opera­ción, externa, el producto de un vector por un escalar:

2.

Ik . a

que cumplen las siguientes condiciones:í■

3. El conjunto de los números comple­jos, con la suma: suma de comple­jos y el producto por un escalar: producto por un número real.

A partir de las condiciones de la de­finición es necesario demostrar todas las otras propiedades de los espacios vec­toriales, aún aquéllas que parecen más triviales; por supuesto, en las demostra­ciones tendremos que utilizar los recur­sos que nos proporciona la lógica; como ejemplo, demostraremos que la suma es conmutativa:

11. x + (y H- z) = (x + y) + z12. 3 0: x + 0 = xla- Y x 3—x: x + (—x) = (—x) + x = 0I.,. a (x + y) = ax + ayIr,- (a + b) x == ax -j- bxlo- a (bx) = (ab) xI7 1 X = X

I*. 3 L j; x = x' i + x" jEn tales condiciones, se dice que el

conjunto E está estructurado en espacio vectorial.

Los tres primeros axiomas expresan que el conjunto E está estructurado en grupo aditivo; el último pone de mani­fiesto que se trata de un espacio vecto­rial plano, es decir, de dos dimensiones; por otra parte, es evidente que todos ellos expresan propiedades de los vec­tores fácilmente demostrables siguiendo las líneas del cálculo vectorial clásico, a partir de los conocimientos intuitivos mencionados antes.

Puede parecer por ello trivial el plan­tear un sistema axiomático que no pone de manifiesto ninguna cosa nueva; no obstante, hay un aspecto fundamental que es el que da a la matemática mo­derna su potencia, que le ha permitido poner de manifiesto su utilidad en los campos más variados del saber, aún en aquéllos que hasta hace muy poco pa­recían escapar totalmente al tratamiento matemático: se ha ganado en generali­dad, pues cualquier conjunto de elemen-

:

x + Y = Y + x 3 (1 + 1) (x + y)

(por estar definida la operación producto per un escalar)

(1 + 1) (x + y) = (1 + 1) x + (1 + 1) y (por I4)

(1 + 1) (x fy) = x + x-f-Y + Y (por Ir, y I7)

.(1 + 1) (x + y) (x + y) + (x + y)- (por Ir, y I?)

Los dos resultados son lógicamente iguales, por ser iguales a (1 + 1) (x + y); por lo tanto:

x-t-x + Y + Y = x-f y+x + y;sumando —x a la izq. y aplicando I3:

x + y + y = y + x + y; sumando —y a !a der. y aplicando I3:

x -|- y = Y + xEs muy claro que no era necesaria es­

ta demostración para saber que la suma era conmutativa, recurriendo a las ideas intuitivas sobre vectores; sin embargo,(2) Adviértase que los desplazam'entos son proporcio­

nales a las velocidades. (N. de los E.). .- 155 -

- 154 -

:

vectorial puede cor el conjunto de los nú­meros complejos y la representación gráfica de éstos.

Dos vectores no nulos son ortogonales cuando su producto escalar es nulo: si x £ 0, y £ 0/ x . y = 0 í=? x 1 y; la in­terpretación intuitiva es muy clara, ya que debe ser eos w = 0, es decir, q = 90°.

Dado que es lo mismo hablar del vec­tor a o del punto A, su extremo, la dife­rencia entre los vectores a y b, será el c, representado por A-B con la definición usual de la diferencia. También será lo mismo hablar del producto a . b o del A . B. Gráficamente es la otra diagonal del paralelogramo.

Si en la relación: (A — B) (C — H) + + (B — C) (A — H) + (C — A) (B — H) = = 0 que se verifica muy fácilmente apli-

en la estructura abstracta, se obseiva que esta propiedad es consecuencia de los axiomas establecidos y esto nos aclara el hecho de no liaber sido incluido esta propiedad como un axioma más.

Con esta definición de espacios vecto­riales se puede desarrollar el cálculo vec­torial que no se relacione con cuestiones de medida; para incluir estas últimas se debe agregar un grupo de axiomas vin­culados con el producto escalar, es decir, en ti o los elementos del conjunto E se de­fine una segunda operación, el producto escalar, caracterizada por los siguientes axiomas:ll,: x . y = y . xID: x.(Y + z) = x.y+x.zlia: a . (x . y) = (a . x) . yII,. x . x > 0; x . x = 0 x = 0

Es esencial en el estudio intuitivo de los vectores y en sus aplicaciones en fí­sica, la consideración de un elemento númerico, el módulo; con el primer gru­po de axiomas no aparece ningún resul­tado que sea un número real; por ello se requiere este segundo grupo de axiomas.

El axioma II., nos permite dar la defini­ción de módulo: Se llama módulo del vector x a la raíz cuadrada de x . x:

| x | = V x . xSi un conjunto estructurado en espa­

cio vectorial satisface también los postu­lados del segundo grupo, se dice que es un espacio métrico; es muy importanfe señalar que un conjunto puede ser un espacio vectorial sin serlo métrico; entre los ejemplos dados antes, ocurre esto con el espacio vectorial de los polinomios de una variable con coeficientes reales: los otros ejemplos lo son también de espacios métricos.

A partir de aquí, con los dos grupos de postulados podemos construir la geome­tría analítica; daremos algunos ejemplos.

De llama plano euclidiano al espacio vectorial métrico de dos dimensiones. In­tuitivamente, estamos expresando que es lo mismo considerar un vector que con­siderar el punto que es su extomo (to­mando como origen de todos los vectores un mismo punto); quizás resulta más cla­ro aún si se considera que ese espacio

de módulo 1 (versores) y ortogonales, es decir, que constituyen una base ortonor- mal del espacio vectorial. Se demuestra que a partir de una base cualquiera se puede obtener una base ortonormal. Di­remos que si:*

denadas y aplicando la propiedad distri­butiva del producto escalar respecto de la suma de vectores, se deduce la ecua­ción cartesiana de la recta. En efecto:

X . A = (x'i + x"j) (ai + a"j) = c X . A = x'a'i- + x'a"i . j + x"a'j . i +

+ x" a" j2 = cx = x'i + x"j

x' y x" son las coordenadas del vector x o de su extremo X (referidos a un sistema de ejes cuyos versores son i y j).

3e llama recta al conjunto de puntos X (vectores x) tajes que su producto es­calar por un punto fijo A (vector a) es constante:

y por las con\ 'endones hechas sobre i y j es:

i2 = i2 = 1;Resulta entonces:

X . A = xa' + x"a" = c donde al variar el punto X sobre la recta se obtiene la ecuación conocida:

a'x' -|- a"x" — c = 0

i . j = 0

X . A == c

Intuitivamente, los puntos de la recta determinan con el origen del sistema de coordenadas vectores cuya proyección sobre el vector a es constante, es decir, determinan la recta normal al vector a a la distancia c = | a | del origen.

Expresando los vectores por sus coor-

En la misma forma se define un semi­pleno como el conjunto de puntos ’X tales que X.A>coX.A<c; resulta así que el semipleno está representado por la inecuación a'x' + a"x'' — c > 0 o a'x'' + a"x" — c < 0.

*

r

NUMEROLOGIA

En muchas de las antiguas civilizaciones se puede observar una correspondencia simbólica entre los números y los objetos o conceptos. Rastros de este simbolismo, hallados en las mitologías, subsisten en algunas supersticiones, sin que pueda asignár­seles contenido racional alguno. 6,7 y 40 eran los números jatidicos de los hebreos; la teología cristiana heredó el número 7. Los babilonios preferían el 60 y sus múl­tiplos. Los pitagóricos fueron particularmente devotos de estas especulaciones simbó- lico-numéricas; se diría que por el temor de ofender a un número ignorándolo, atribuyeron un significado trascendente a la mayor parle de ellos hasta el 50; cada número era identificado con algún atributo humano. En la plegaria pitagórica, 10 era el número sagrado que deriva de los cuatro primeros: 1 2 3 4 •= 10.Este misticismo numérico influyó considerablemente en el pensamiento helénico; despojado de hálito religioso, pone de manifiesto la idea fundamental de que sólo el número y la forma permiten interpretar al universo. En esta numerología pitagórica se habla de números amigos, como 220 y 284, cada uno de los cuales es suma de los divisores del otro; también hay números perfectos, como 6 y 28, iguales a las sumas de sus divisores; eran conocidos ya por los hindúes y los hebreos; y algunos comentaristas bíblicos los consideran como los números básicos de la Creación. Hasta hoy, se conocen solamente diecisiete números perfectos; el último tiene 1373 cifras. La fórmula 2a"1 (2n-1) da un número perfecto cuando 2n-d es primo. No se sabe si hay números perfectos impares. En la observación de estas relaciones e influencias entre los números y las actividades humanas, etsto es, en la numerología, puede hallar­se la génesis de la moderna teoría de números.

cando II2 y I.s, se considera el caso en quo A, B, y C son tres puntos no alinea­dos y H es el punto donde se cortan dos de las alturas (BH y CH, por ej.) del trián­gulo qu*3 determinan, por ser ortogonales B — H y C — A y también C — H y A — B, resulta:

(B — H) (C — A) = 0y también:

(C — H) (A — B) = 0Será entonces: t

V(B — C) (A — H) = 0y por lo tanto:

(B — C) l (A — H)\Es decir, que AH es la tercera altu­

ra, con lo que demostramos que las tres alturas de un triángulo concurren en un punto.

Como último ejemplo, determinaremos la ecuación de una recta y la de un se- miplano.

Para ello aceptaremos que los vectoios i y i que aparecen en el axioma I7 son

- 156 - - 157 -

dam, expone sus "reflexiones sobre la orga­nización y el método en la enseñanza mate­mática". Con este motivo se ocupa de las re­laciones entre los contenidos matemáticos en los niveles secundario y superior, subrayando la importancia de las ideas de Klein de la enseñanza de la geometría. En su con­dición de lógico previene "contra la tenden­cia a exagerar la competencia de la psicolo­gía" en los problemas que plantea la didác­tica de la matemática.

La contribución de Dieudonné se refiere a "la abstracción en matemática y la evolución del álgebra". Sostiene que los grandes pro­gresos en la disciplina están siempre relacio­nados directamente con el avance de la abs­tracción y en apoyo de esta tesis, pasa re­vista a la historia del álgebra "desde sus pri­meros balbuceos hasta nuestros días", mos­trando que su eficiencia indiscutida no es obs­táculo para exponer temas elementales. Con­cluye insistiendo, una vez más, en la impor­tancia del estudio de las estructuras, como único capaz de proporcionar "instrumentos de utilidad universal".

Con la autoridad que le confiere su vasta experiencia en la formación de profesores se­cundarios, Lichnerowicz se ocupa de la "in­troducción del espíritu del álgebra moderna en el álgebra y la geometría elementales", tarea de cuya necesidad entiende que todos debemos percatarnos. La primera parte de su artículo persigue ese propósito; en el resto muestra ejemplos de cómo lograr actualizar a la escuela secundaria en cuanto a la ma­temática respecta.

El aporte de Choquet, el más extenso de los seis, se dedica explícitamente a "la enseñan­za de la geometría elemental", exponiendo un esbozo de desarrollo de la asignatura adap­tado a la experiencia sensorial del alumno, que comienza con la geometría de la recta y continúa con la del plano. También hace Cho­quet un examen crítico de los manuales, su­mamente instructivo, y se ocupa de la elec­ción del sistema de axiomas más adecuado didácticamente. Se inclina por enunciados sencillos, fácilmente comprobables, y objeta la fundamentación de la geometría "euclí- dea" en la proyectiva, lo mismo que una axiomática basada en el grupo de los movi­mientos.

Con el trabajo de Gattegno se cierra el volumen que comentamos. Está específicamen­te dedicado al aspecto pedagógico, lo que no sorprende dada la especial dedicación del autor, por todos conocida. "El lector — dice— ha encontrado ya en los capítulos preceden­tes datos relativos a los factores psicológicos y matemáticos. Ahora veremos de qué ma­nera puede concebirse e! programa funcio­nal como una síntesis de los distintos factores". Analiza el punto de vista dinámico que pro­cura aprehender invariantes en situaciones dadas, expone ejemplos de lecciones de ál­gebra elemental, estudia la adquisición de la experiencia geométrica, cuyo objetivo consi­dera similar a la algebraica: determinación de invariantes en los grupos de transforma­ciones. Y concluye este autorizado educador: "La clase es nuestro laboratorio y debemos aprender a trabajar en él como creadores. Si podemos introducir la alegría, acompañada de mayor eficacia, estamos en la obligación de hacerlo".

Todas estas colaboraciones son precedidas por un prólogo informativo de la labor de la CIEMEM, hasta la fecha de la aparición de este trabajo, que afortunadamente prosigue con entusiasmo y acierto; asimismo se comen­tan los distintos artículos del libro y se justifica su ordenación y su razón de ser en el volumen.

El contenido de las ciento ochenta pági­nas desborda plenamente la inevitable redu­cida extensión del comentario; por eso lo ex­puesto sólo puede dar una visión incompleta de la obra que —repetimos— conceptuamos como de consulta ineludible y de comentario obligado cada vez que se pretenda, en esto de la renovación de la enseñanza de la mate­mática, "saber de qué se trata".

acerca

cargo cincelar y valorizar el más rico capital de que dispone la sociedad humana.. . Sere­mos buenos profesores en la proporción en que sepamos fundir cultura, técnica adecuada e inspiración en una dirección activa, fecun­da y estimulante, junto a nuestros alumnos y junto a la sociedad a la que servimc?".

L. ALVES DE MATTOS. Compendio de Didác­tica General. Ed. Kapelusz; Buenos Aires, 1963

El autor de esle libro —pulcramente pre­sentado— manifiesta una noble preocupación: "Nuestros hijos tienen derecho a una educa­ción segura y bien orientada, con profesores que conozcan los criterios, las técnicas y los procedimientos más indicados por la didác­tica moderna". Se siente impulsado por una arraigada convicción: "Ya no se admite que los educadores ignoren la didáctica, para confiar en su intuición y en su experiencia personales, que pueden estar mal orientadas y equivocadas y causar daños irreparables". Digamos, además, que da prueba de un realis­mo mesurado: "La habilitación profesional, asegurada por un curso de didáctica, sólo será provechosa y fecunda cuando se apoye en una vocación auténtica y en aptitudes es­pecíficas adecuadas". Y que no quiere indu­cir a engaño: "Modernamente, no se puede concebir un recetario único, inalterable e in­falible que le dicte al profesor cómo enseñar con eficiencia".

Lo expuesto puede bastar para describir suscintamente el pensamiento que inspira la obra. Agreguemos que en sus doce capítulos se tratan, con criterio moderno y con claridad expositiva, desde las nociones didácticas fun­damentales hasta los procedimientos de eva­luación del rendimiento escolar, pasando —en­tre otros— por temas de tanto interés profe­sional ocmo el de la motivación del apren­dizaje, la dirección de las actividades del aula, el manejo de la clase y el control de la disciplina.

Evidentemente, es un texto destinado a los cursos de formación o capacitación docente, pero su lectura puede contribuir a orientar mejor nuestra labor diaria. Sobre todo mere­cen una lectura detenida y meditada las con­clusiones con que este educador brasileño cierra su trabajo y cuyo último párrafo repro­ducimos parcialmente: "Como profesores per­tenecemos a una profesión que tiene a su

lJ. PIAGET, E. W. BETH, J. DIEUDONNE, A. LICHNEROWICZ, G. CHOQUET y C. GATTEG- NO. La Enseñanza de las Matemáticas. Ed. Aguilar,- Madrid, 1963. I

7Un loable esfuerzo editorial el de esta ver­

sión española del trabajo colectivo presenta­do en 1955 por la Comisión Internacional para el Estudio y el Mejoramiento de la En­señanza de la Matemática (CIEMEM). Como pecas veces, se han reunido en este volumen valiosas colaboraciones de calificados espe­cialistas; son un psicólogo (Piaget), un lógico- matemático (Beth), tres matemáticos (Choquet, Dieudonné y Lichnerowicz) y un pedagogo (Gattegno), todos miembros de la CIEMEM. La trascendencia de sus aportes es innegable; su lectura es imprescindible para ubicarse en el pensamiento aclual en este terreno. No es jn libro de didáctica en el sentido estricto; pero una didáctica moderna de !a matemá­tica no puede ignorarlo.

Piaget estudia "las estructuras matemáticas y las estructuras operatorias de la inteligen­cia" mostrando la correlación que, en el de­sarrollo psicológico infantil se manifiesta entre unas y otras. La postura científica del psicó7 logo suizo es frecuentemente citada; este ca­pítulo ayuda a compenetrarse de ella: las estructuras fundamentales de Bourbaki —que se han expuesto en ELEMENTOS, Nros. 5 y 6— constituyen, según Piaget, la prolongación for­malizada de estructuras operatorias elemen­tales de la inteligencia. Esto obliga a basar la enseñanza en la organización progresiva de esas estructuras. (*)

Beth, profesor de la Universidad de Amster-

E. CASTELNUOVO, Didattica della Matemá­tica. Ed. La Nuova Italia; Firenze, 1963.*

i

Este libro es el fruto de una gran experien­cia docente. Su autora, prestigiosa educadora italiana, especialista en nuestra disciplina, tie­ne mucho que participarnos de su valiosa ex­periencia y lo hace con honradez: "Si estu­viese convencida de que e! solo conocimiento de la matemática es suficiente para saber enseñarla bien, no habría escrito este pequeño volumen" (p. 29). Y sin jactancia ni exagera­ción: "No nos proponemos ciertamente dictar

í

i {*) ELEMENTOS se propone comenzar en el próximo número la publicación de este importante trabajo de Piaget.

- 159 -- 158 -

lector —que supone docente como ella— Q la clase misma, "porque es necesario vivir en­tre los niños para apreciar sus problemas y

muy a menudo, de sus imprevistas ob-

reglas para enseñar mejor, ni queremos pro­porcionar una fórmula para facilitar lo com­prensión de la matemática por parte del niño; queremos, en cambio, examinar aquellas difi­cultades que se presentan en la transmisión de los conceptos matemáticos por parte del docente y aquéllas que surgen en la mente del alumno en el acto del aprendizaje . (p. 2)

Está esencialmente dirigido al ciclo inferior o básico de la escuela secundaria italiana,

alumnos de 11 a 14 años, "cuyos múlti­ples intereses típicos de esa edad no deben ser sofocados, sino más bien deben servir co­mo impulso motor para un desarrollo activo del programa" (p. 2); pero sus conclusiones

válidas sin limites geográficos de apli-

OI'I.MO.XKS Y EXPERIENCIASgozarservaciones" (p. 66). Se presta también espe­cial atención al empleo del material apropia­do (Véase ELEMENTOS, Nc 4, p. 106), lo que se completa con la abundante Ilustración de

páginas. Éste es el capítulo más extenso del libro; contiene temas de tanto interés co-

el de las definiciones, el del pasaie de lo concreto a lo abstracto, el de las nociones de área, volumen y función, el de las transfor­maciones geométricas, etc. Concluye con el tema que publicamos en esle mismo número. (Véase pp. 144[6.) El último capítulo, "La clase

laboratorio de didáctica", es la conclu-

El meroLa lectura del artículo “El número real definido

por sucesiones”, aparecido en el número 2 de ELEMENTOS, me hizo pensar en la experiencia realizada en 1959 en el Colegio Nacional de San Isidro, con el objeto de mejorar la presentación usual del concepto de número irracional; en esa ocasión se definieron los números reales mediante cortaduras en el cuerpo de los números racionales, método que se emplea desde hace años en el Co­legio Nacional de Buenos Aires.

Si los alumnos de segundo año —trece o catorce años— han de tratar con sucesiones o con corla­duras, quizá sea más simple para ellos hacerlo con estas últimas. En efecto, con ellas se consigue distinguir mejor los números racionales de los irracionales, estableciendo una esencial diferencia entre los tipos de cortaduras que los definen; se facilitan además las definiciones de igualdad y de mayor o menor, aunque posiblemente no las de las operaciones; por último, es muy sencillo ex­tender el concepto de cortadura al cuerpo real y probar que no definen un nuevo tipo de número, sino que su elemento de separación es un número real.

se cumplen las tres condiciones de la definición; la única observación que se puede hacer es con respecto a la tercera, que se cumple por no haber —ya se demostró— un número racional cuyo cua­drado sea 2.

La segunda pregunta es más difícil de contestar y se une a la tercera; para demostrar que la clase A no tiene máximo se debe probar que al tomar un número a g A, existe siempre otro mayor, (a + k)g A con k > 0, lo que se consigue dando un método para determinar el valor de k.

Como a2 < 2 es a2 = 2-h y como debe ser (a + k)2 = a2 + 2ak + k2 < 2, es decir 2-h + 2ak + k2 < 2, basta que sea

2ak + k2 < h, y como siempre se puede tomar k < 1 esta relación se cumplirá, si se cumple k (2a + 1) < h, o sea

sos

mocon

son comosíón inevitable de los anteriores. "Ciencia ex­perimental, la didáctica de la matemática obliga a retornar a la escuela; entremos de nuevo, pues, en la clase, concientes de los re­sultados alcanzados y, entre los bancos, tra­bajando con los niños, comprenderemos ¡or nuestra tarea educativa", (p. 178). Su lec­tura nos emociona porque nos devuelve a nuestro diario quehacer; pero también nos ilu­mina porque nos señala aspectos de nuestra labor que muchas veces se nos pasaron por alto en el trajinar un tanto apresurado. El vo­lumen se cierra con una bibliografía comple­mentaria de las referencias que ¡alonan mu­chas de sus páginas; todas constituyen una muy útil fuente de información y muestran la especial y reconocida versación de la autora.

cación.nosEn ese estilo atrayente que nuestros lectores

han podido, y pueden, gustar, se van desa­rrollando los cuatro capítulos que, con una introducción previa, constituyen las doscientas páginas de la obra. El dinamismo que le pro­porciona la mención continuada de experien­cias vividas provechosamente es el aspecto más simpático del libro.

El primer capítulo, "De la didáctica gene­ral a la didáctica particular", está dedicado a las ideas pedagógicas y psicológicas de Comenio, Pestalozzi, Decroly, Montessori y Piaget que inspiran la enseñanza moderna de la matemática. En el segundo capítulo, "¿Qué matemática se debe enseñar?", se ana­liza el problema de contenido de los progra­mas a la luz de las más recientes conclusiones sobre el tema. En particular, Emma Castel- nuovo muestra hábilmente la manera de in­troducir en los primeros años de la escuela media las nociones de estructura e isomorfis- mo, mediante los números naturales. El capí­tulo tercero, "¿De qué maneras se puede en­señar matemática?", se dedica a reflexionar sobre el método, procurando transportar al

1.k <»me- 2a -t- 1

tomando k en estas condiciones, (a -f k) g A Se completó esta parte con ejemplos numéricos:

si a = 1,4142 es a2 = 1,99996164,h

El planteo del tema fue muy similar al del ar­tículo mencionado; al tratar los desarrollos deci­males de las fracciones ordinarias y su problema recíproco, aparece naturalmente la pregunta: ¿qué pasa con un número decimal de infinitas cifras y no periódico?; de él se pueden construir con toda facilidad numerosos ejemplos. Esto lleva al alumno a la idea de que existen números no racionales. Se demostró luego que V 2 no es racional y esta­blecida así la existencia de tales números, se cons­truyeron clasificaciones de los racionales a partir de uno de ellos, para llegar a la definición de cortadura:

h = 0,00003S36„ k <---------< 0,0000100192a + 1

con (a -b k)2 = 1,9999899241 < 2Se señaló que en forma similar se demuestra

que la clase B no tiene mínimo y se dieron las siguientes definiciones:

Se llama elemento de separación de una corta­dura en el cuerpo de los números racionales al número que es mayor o igual que todos los ele­mentos de la clase A y menor o igual que todos los elementos de la clase B.

Se llama número irracional al elemento de se­paración de una cortadura en el cuerpo de los números racionales cuya clase A no tiene máximo y cuya clase B no tiene mínimo.

Se llama número real a todo elemento de se­paración de una cortadura en el cuerpo de los números racionales.

A través de todo el desarrollo del tema, los ejemplos deben ser muy numerosos y tomados de modo tal que aclaren todas las cuestiones teóricas; además, una vez llegados a la definición, no me parece útil ni oportuno seguir desarrollando la teo­ría de la igualdad y las operaciones aritméticas en base a la idea de cortadura.

Considero también que el problema más impor­tante será, quizás, decidir si vale la pena llevar los conceptos de cortaduras o sucesiones monótonas convergentes al colegio secundario o detenerse pre­cisamente en el momento de llegar a ellas, cuando los alumnos se han dado cuenta clara de que exis­ten números expresables en forma decimal que son racionales. En relación con esta opinión, no puedo omitir el mencionar que Dicudonné —uno de los más destacados propulsores de la enseñanza de la matemática moderna— en el Seminario de Royaumont expresó: “En el aspecto “lógico” pa-

Estamos, en fin, frente a la obra de una docente que tiene fe en su tarea cotidiana y siente cariño por el destinatario de ella, y que procura contagiar de su mismo entusiasmo al lector. Bastaría con esto para decidirse a leerla. Aunque no está traducida al español, es muy accesible con un pequeño esfuerzo, para quien no conozca italiano; vale la pena hacerlo.

Se llama corladura en el cuerpo de los números racionales a toda clasificación de los mismos en dos clases A y B tales que:

19) No sean vacías.29) Todo número de la primera sea menor que

todo número de la segunda.39) Todo número racional pertenezca a una de

las dos clases pero no a las dos.Una vez definida, volviendo sobre los ejemplos

dados antes, se demostró que tales particiones eran cortaduras y que en todas ellas el número racional a partir del cual se construyeron, es máximo de la clase A o mínimo de la B, conviniéndose en que siempre se tomaría, por comodidad, como má­ximo en la A.

Hecho esto se pasó al ejemplo clásico de la cortadura que define V 2: en A se incluyen todos los racionales negativos y todos los positivos cuyo cuadrado sea menor que 2 y en B los restantes, es decir, aquéllos positivos cuyo cuadrado es ma­yor que 2. Surgen las preguntas: ¿Es una corta­dura? ¿La clase A tiene máximo o la B mínimo? ¿Qué se debe hacer para demostrarlo? La primera pregunta se contesta fácilmente demostrando que

I

HEMOS RECIBIDO: f

Facultad de Humanidades y C. de la Educación, La Plata:Archivos de Ciencias de la Educación (39 época) Nos 1 y 2SASL’tsz ««rrs.t's.ríw'r1-;G S raIÓí.yj“,! enemigos en nueslro tiempo. SUDAMERICANA-W ?Ey Fr / “niv"s°- ESPASA-CAIPE; Madrid, 1963.w. LEY: El pez pulmonodo, el dodó

no

Bs. As., 1957.

Y el unicornio. ESPASA-CAtf>E; Madrid, 1963.

- 161 -- 160 -

jante) estas construcciones altamente abstractas_tienen ninguna importancia y estarían reservadas para los matemáticos especializados”.

"Lo que me interesa es mucho más pedestre (y también mucho más útil y esclarccedor)...

I-IILDA TAYLOR DE VALEIRAS Colegio Nacional de San Isidro

norece que, en este momento, luego de varios años de álgebra, es oportuna una descripción axiomá­tica del número real. Con esto, yo no significo, por supuesto la tradicional construcción de los números reales mediante cortaduras de Dcctekinc o sucesiones de Cantor a partir de los números racionales. En este nivel (y aún mucho mas acte-

ICIdS

1 . El 30 de abril ppdo. ha renovado autoridades el Centro Matemático Santiague- ño; desempeña ahora su presidencia la Srta. Ferreyra Vital y su secretaría general el Sr. Giménez Sari.

2. La Editorial Universitaria de Buenos Ai­res (EUDEBA) celebra el 24 de junio su sexto aniversario. Desde su creación ha realizado una relevante obra de difusión cultural, una muestra de la cual expone del 22 de ¡unió al 4 de julio en la Facultad de Ciencias Mé­dicas. Con tal motivo ha organizado sendas mesas redondas sobre: Cultura de masas y cultura de "élite"; Las dos culturas: humanis­mo y ciencia; La educación en el mundo mo­derno.

3. El departamento de Matemática de la Universidad Nacional del Sur ha organizado para 1964 un curso regular de perfecciona­miento docente para graduados y profesores en ejercicio, que constará de dos partes: la primera dedicada a una introducción sobre lógica, un estudio de conjuntos, relaciones y funciones y a la fundamentación del concepto de número; la segunda, al álgebra lineal y sus aplicaciones a la geometría.

4. La Unión Panamericana ha becado a los profesores argentinos, Sara L. Prevedel, vi­cedirectora de la Escuela Normal "Almafuer- te" de La Picada, Entre Ríos, José E. Encinas, inspector de enseñanza secundaria, y José Banfi, (coeditor de ELEMENTOS) rector del Co­legio Nacional "Sarmiento" de la Capital Fe­deral, para seguir cursos de verano entre ju­nio y agosto de este año en las universidades estadounidenses de Indiana, Wayne y Kent, respectivamente.

5. La Asociación de Profesores de Mate­mática (A.P.M.) de Francia —según leemos en su Bulletin N9 239—, en oportunidad de su última asamblea general, ha solicitado a sus asociados que se expidan acerca de la crea­ción de una comisión encargada de concebir un plan de conjunto de la enseñanza de la matemática, desde el jardín de infantes has­ta los cursos pre-universitarios, que procura­ría, además, organizar la formación de docen­tes, la continuidad de su información poste­rior, la ayuda necesaria para su trabajo co­tidiano, y las escuelas de aplicación de los necesarios ensayos didácticos previos. A los editores de ELEMENTOS les resulta grato con­signar la coincidencia con lo sugerido para nuestro país en el Editorial del N9 5, pág. 110.

ó. La Comisión Interuniones de la Ense­ñanza de las Ciencias (CIES) del Consejo In­ternacional de Uniones Científicas (ICSU) or­ganiza un congreso sobre la enseñanza cien­tífica y el progreso económico para enero de 1965 en Dakar (Senegal). Distintos grupos de trabajo —A, B y C— se ocuparán de la ense­ñanza de la matemática en la formación de biólogos, geólogos y físicos; un cuarto —el D— tratará la enseñanza científica en los niveles primario y secundario; eventualmente, un últi­mo grupo —el G— se dedicará a la enseñanza de la matemática en vista de sus aplicaciones a los problemas económicos y sociales.

7. En su número de mayo, El Correo, de la UNESCO, anuncia la participación de unos 50.000 estudiantes japoneses en un examen internacional de matemática en el que inter­vendrán no menos de quince países.

sus

COSAS DE EULER

“En 1775. Eukr, calculador tan grande como profundo analista, calculó jr. en veinte decimales, por medio de la fórmula.una hora, con

317T— = 5 Are tg----- h 8 Are tg —

7974utilizando el desarrollo 1t“ 2

C 1 + t2 )2.4t22t '+ ... i+ —11 + -Are tg l =

I3.53 1 + t2

Puede apreciarse la finura de este cálculo observando que no hace intervenir esencialmente más que las potencias de 1/50 = 0,02

..También a Euler se debe la costumbre de designar por jr a la relación de la circunferencia al diámetro. Y es a él, sobre todo, a quien hay que atribuir el gran descubrimiento que permite revelar el secreto del número jr.

"Este descubrimiento es el de un cierto parentesco entre n y otros números, e, i, no menos caros a los matemáticos. Es también el de los lazos que existen entre las ¡unciones circulares, seno y coseno ,y la función exponencial ex: ésta es periódica y su período, imaginario, es 2 jt i.

“...En esa época reinaba todavía una verdadera desconfianza, aún entre los más grandes matemáticos, con respecto a los “imaginarios”. Esa desconfianza des­apareció a principios del siglo XIX por influencia de las definiciones satisfactorias dadas por Wessel (1799) y Argand (1806), luego por Caucliy y Kronecher y sobre todo gracias a las aplicaciones verdaderamente prodigiosas que originaron los nú­meros complejos, tanto en análisis como en geometría.

Pero esta desconfianza muestra muy bien qué rasgo de genio fue el de Euler al definir, para z complejo, las funciones ez, eos z y sen z como sumas de las series

1 + t2 l!

z2 znze* = 1 + —I----- b ... + —b ...

1! 2! in!Z" /? z”'z

eos z = 1---------- 1----------2Í 4!

y llegar así a la relación fundamental: eu

|------1! 3! 5!

sen z• * ? (Viene de la Pág. 152)tales como la raíz cuadrada de 2, se supuso que podían encontrar su lugar entre las fracciones racionales como números mayores que algunas de ellas y menores que otras, de manera que los números racionales y los irracionales juntos pudieran ser reunidos en una clase denominada “números reales’.

“Cuando la idea de número fue luego extendida hasta incluir a los “números complejos”, es decir, a números que comprenden la raíz cuadrada de -1, se pensó que los números reales podían ser considerados como números complejos cuya parle imaginaria fuera cero. Todas estas suposiciones eran erróneas y deben ser descar­tadas. como veremos, si se quieren obtener definiciones correctas .

BERTRAND RUSSEEL, “Introducción a la filosofía matemática”

— eos z -|- i sen z. de dondeeTl + 1 = 0

Esta formula, tan simple y tan notable, ciertamente una de las más hermosas

(P. DUBREIL, “La historia de los números misteriosos” del pensamiento matemático” de F. Le Lionnais) en c'Las grandes corrientes

- 162 -i

i- 163 -

Correo de ELEMENTOSPronto aparecerá:

Editores

José fía,,fi y Alfredo fí. Besio MATEMATICA MODERNAMATEMATICA VIVA

Buenos Aires (Argentina)Fernández Blanco 2045

de Rosario (Sr. Sergio D. Fulgueira, Rosario). Nos resultará muy grato poder conocer en detalle el estudio realizado.

Necesidad de renovación de la enseñanza (Sr. Rosario Russo, Sgo. del Estero). Con bas­tante demora agradecemos su envío, que se­guimos teniendo presente.

"Miniatura" de álgebra (Srta. Svatetz y Sres. Aguirre y Leñemos, Tucumán). Esperamos pu­blicar en breve el trabajo que nos hicieron llegar por intermedio del Dr. Félix E. Herrera.

Observaciones sobre un curso piloto (Srta. Josefina B. Cosentino, Mendoza). Muy atina­dos e interesantes sus juicios, que refuerzan nuestra sugerencia del editorial "Dificultades de la Reforma". Pensamos que no habrá in­convenientes de su parte para publicarlos.

por Andró Revuz

(Profesor de la Facultad de Ciencias de Poitiers, Francia)

Con la aparición de este número, ELEMEN­TOS termina la primera etapa de su existen­cia. No estuvimos equivocados al entender que era necesaria una revista argentina al servicio de la enseñanza de la matemática en la escuela media. Lo confirman el interés con que se esperó su aparición y las continuadas muestras de estímulo de sus lectores amigos.

Pero erramos al confiar en el apoyo publi­citario como recurso para equilibrar las fi­nanzas. Pocas empresas nos han apoyado; pe­noso es confesar que hemos golpeado en vano a las puertas de muchos. Pese a ello, haremos todo lo posible para mantener la Revista al mismo nivel y al mismo costo; pero, de seguir las cosas así, no podrá ser por mucho tiempo.

Ensayo didáctico Escuela Industrial Superior

Sumario«

I. Desconocimiento de la matemática

El temor a lo nuevo.2. La barrera del lenguaje.3. No hay matemática sin esfuerzo.4. La ciudadela matemática.5. La matemática no es invariable.

1.

Elaboración de la matemática contemporánea

Lentitud de la evolución.El estado de la matemática en 1800.Retorno al rigor.Axiomatización.La reorganización de la matemática.Los caracteres de la matemática contemporánea.

II.

1.2.4.HONESTIDAD INTELECTUAL4.

El año más importante de mi vida intelectual ¡ue 1900, y el suceso más impor­tante de ese año ¡ue mi asistencia al Congreso Internacional de Filosofía en París. Desde que, a los once años, había comenzado con Euclides estuve preocupado por los fundamentos de la matemática; cuando, más larde, me puse a leer filosofía, encontré igualmente insatisfactorios a Kant y los enipiristas. No me gustaba el apriorismo sintético; pero sin embargo la aritmética no parecía estar constituida por generalizaciones empíricas. En París, en 1900, me impresionó el hecho de que, en todas las discusiones, Peano y sus discípulos tenían una precisión que otros no poseían. Por eso les pedí sus trabajos y me los dieron. Tan pronto como logré dominar su notación, vi que ella extendía el dominio de la precisión matemática a regiones que habían sido abandonadas a la vaguedad filosófica. Basándome en esto, inventé una notación para las relaciones. Afortunadamente Wliilehead concordó conmigo acerca de la importancia del método y rápidamente comenzamos a trabajar juntos en lemas tales como las definiciones de sucesiones, cardinales y ordinales, y la reducción de la aritmética a la lógica. Durante casi un año tuvimos una rápida suce-js&rt szsr ***r* **■ * **• ^ •>

5.6.

III. El porvenir

El futuro de la matemática.Proceso de la enseñanza de la matemática.Lo que puede y lo que debe ser esa enseñanza.

i

1.2.

i 3.

Una edición de ELEMENTOS$ 120 m/n

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