Elementy ﬁzyki kwantowej 1 Narodziny mechaniki kwantowej ...cmf.p.lodz.pl/iowczarek/materialy/fizyka/mibm_2kwant_new13i.pdf · Postulaty mechaniki kwantowej Stan układu kwantowego

Elementy fizyki kwantowej

dr inz. Ireneusz Owczarek

CMF PŁ[email protected]://cmf.p.lodz.pl/iowczarek

2013/14

1 dr inz. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej

Plan wykładu

1 Narodziny mechaniki kwantowej

Rozkład widmowy promieniowania

Zdolnosc emisyjna – prawa

2 Pierwsze hipotezy

Oscylator harmoniczny

Zjawisko fotoelektryczne

Doswiadczenie Comptona

Fale i czastki

3 Postulaty mechaniki kwantowej

Stan układu kwantowego

Ewolucja w czasie stanu układu

Interpretacja wyników pomiarów w mikroswiecie

Spin

Symetria funkcji falowej

4 Model Bohra atomu wodoru

Porzadek wsród atomów

Energia elektronu

5 Atom wodoru w mechanice kwantowej

Równanie Schrödingera

Liczby kwantowe


Narodziny mechaniki kwantowej Rozkład widmowy promieniowania

Ciało doskonale czarne

Klasyczny obraz swiata, w którym materia składa sie z punktowych

czastek, a promieniowanie składa sie z fal, okazuje sie niewystarczajacy do

opisu ruchu elektronów i ich oddziaływania.

Szczególnie uwidacznia to sie w wymianie energii pomiedzy

promieniowaniem a materia.

Nalezało znalezc inny sposób opisu zjawisk.

Kazde ciało stałe, ciecz lub gaz, emituje promieniowanie termiczne w postaci

fal elektromagnetycznych, a takze absorbuje je z otoczenia.

Wg fizyki klasycznej

widmo emitowane przez ciała stałe ma charakter ciagły,

charakter tego widma prawie nie zalezy od rodzaju substancji,

widmo silnie zalezy od temperatury.

Ciało doskonale czarne

to ciało całkowicie pochłaniajace promieniowanie elektromagnetyczne

padajace na jego powierzchnie.


Narodziny mechaniki kwantowej Zdolnosc emisyjna – prawa

Zdolnosc emisyjna

Czestotliwosc odpowiadajaca

maksimum zdolnosci emisyjnej

wzrasta liniowo ze wzrostem

temperatury.

Całkowita moc wyemitowana

przez powierzchnie jednostkowa

(pole pod krzywa) rosnie

z temperatura.

Prawo Stefana

Całkowita zdolnosc emisyjna ciała doskonale czarnego

R(T ) = σ · T 4

gdzie stała Stefana-Boltzmana

σ = 5, 67 · 10−8 Wm2K4

.


Narodziny mechaniki kwantowej Zdolnosc emisyjna – prawa

Teoria Wiena

Krzywe te zaleza tylko od temperatury

i sa całkiem niezalezne od materiału

oraz kształtu i wielkosci ciała.

Prawo Wiena

Iloczyn temperatury i długosci fali odpowiadajacej maksimum widmowej

zdolnosci emisyjnej w tej temperaturze jest stały

λmax · T = 2898µmK.

lub

Prawo Wiena

Ze wzrostem temperatury T czestotliwosc νmax ulega przesunieciu

w kierunku wyzszych czestotliwosci.


Pierwsze hipotezy Oscylator harmoniczny

Narodziny kwantów

Atomy scian ciała doskonale czarnego zachowuja sie jak oscylatory

harmoniczne, które emituja (i absorbuja) energie, z których kazdy ma

charakterystyczna czestotliwosc drgan.

Załozenia Maxa Plancka

energia oscylatora jest skwantowana i moze przyjmowac tylko scisle

okreslone wartosci

E = nhν gdzie n = 1, 2, ...

promieniowanie elektromagnetyczne jest emitowane lub absorbowane

w postaci osobnych porcji energii (kwantów ) o wartosci

∆E = hν.

Oscylatory nie wypromieniowuja (nie pobieraja) energii w sposób ciagły, lecz

porcjami, czyli kwantami, podczas przejscia z jednego stanu w drugi.



Narodziny kwantów . . .

Na podstawie swoich hipotez Planck otrzymał nastepujaca funkcje rozkładu

R(ν, T ) =8πν2

c3hν

ehν

kT − 1.

Doswiadczalna wartosc stałej Plancka

h = 6, 62 · 10−34J · s



Narodziny kwantów . . .

Skwantowany oscylator harmoniczny

Kwantowanie dotyczy wszelkich obiektów fizycznych o jednym stopniu

swobody, które wykonuja proste drgania harmoniczne.

Energia całkowita oscylatora jest wielokrotnoscia hν.

Raz wyemitowana energia rozprzestrzenia sie w postaci fali

elektromagnetycznej

Konsekwencje załozen Plancka

jezeli oscylator nie emituje i nie absorbuje energii, to znajduje sie

w stanie stacjonarnym,

poziomy energetyczne (stany stacjonarne) molekuł musza byc

dyskretne,

zmiana energii musi byc wielokrotnoscia hν,

fala elektromagnetyczna jest skwantowana.



Narodziny kwantów - przykład

Czy ta hipoteze mozna wykorzystac do znanych oscylatorów?

Np. sprezyna o masie m = 1kg i stałej sprezystosci k = 20Nm

wykonujaca

drgania o amplitudzie 1cm.

Czestotliwosc drgan własnych:

ν =1

2π

√

k

m= 0, 71Hz.

Wartosc energii całkowitej:

E =1

2kA2 = 1 · 10−3J.

Jezeli energia jest skwantowana to jej zmiany dokonuja sie skokowo przy

czym ∆E = hν.Wzgledna zmiana energii wynosi wiec:

∆E

E= 4, 7 · 10−31.

Zaden przyrzad pomiarowy nie jest wstanie zauwazyc tak minimalnych zmian

energii.


Pierwsze hipotezy Zjawisko fotoelektryczne

Fotoefekt

Polega na emisji elektronów z powierzchni ciała stałego pod wpływem

padajacego swiatła.

Cechy, których nie mozna wyjasnic na gruncie klasycznej falowej teorii

swiatła:

1 Energia kinetyczna fotoelektronów powinna wzrosnac, ze wzrostem

natezenia wiazki swiatła. Jednakze nie zalezy od natezenia swiatła.2 Zjawisko fotoelektryczne powinno wystepowac dla kazdej czestotliwosci

swiatła, gdy natezenie swiatła jest wystarczajaco duze, aby dostarczona

została energia konieczna do uwolnienia elektronów.3 Gdy wiazka swiatła jest dostatecznie słaba, powinno wystepowac

mierzalne opóznienie czasowe pomiedzy chwila, kiedy swiatło zaczyna

padac na powierzchnie płytki, a momentem uwolnienia z niej elektronu.



Długofalowa granica fotoefektu

Wyniki eksperymentu

prad nie popłynie dopóki czestosc

padajacego swiatła nie osiagnie

pewnej, zaleznej od materiału

katody wielkosci zwanej

długofalowa granica fotoefektu,

maksymalna wartosc energii

kinetycznej emitowanych

elektronów jest tym wieksza im

wieksza jest czestotliwosc fali, nie

zalezy jednak od natezenia

oswietlenia,



Napiecie hamowania

prad płynie nawet wówczas, gdy

napiecie miedzy elektrodami jest

równe zeru,

natezenie pradu rosnie wraz ze

wzrostem napiecia do wartosci,

tzw. prad nasycenia,

natezenie pradu nasycenia rosnie

ze wzrostem strumienia

padajacej fali,

przy dostatecznie duzym napieciu

(U0) zwanym napieciemhamowania prad zanika

Ekin = eU0,

dla swiatła monochromatycznego

napiecie hamujace zalezy od

czestotliwosci padajacego

swiatła.



Równanie Einsteina

Załozenia Einsteina

fala elektromagnetyczna o czestotliwosci ν jest strumieniem fotonów

o energii E = hν kazdy,

fotony moga byc pochłaniane tylko w całosci, a maksymalna energia

kinetyczna elektronu po opuszczeniu metalu

Ekin = hν −W.



Równanie Einsteina . . .

Wnioski

jezeli pochłonieta energia jest wieksza badz równa pracy wyjsciaWelektronu z metalu, elektron moze opuscic powierzchnie katody,

maksymalna energia kinetyczna fotoelektronów zwiazana jest tylko

z energia poszczególnych fotonów, a nie z ich iloscia (natezeniem

oswietlenia),

ze wzrostem oswietlenia powierzchni katody (tzn. wzrostem ilosci

fotonów padajacych) rosnie liczba elektronów emitowanych

z powierzchni,

róznice energii pomiedzy energia fotonu a praca wyjscia elektron unosi

w postaci jego energii kinetycznej,

energia dostarczana jest w postaci skupionej (kwant, porcja), a nie

rozłozonej (fala), dlatego nie wystepuje ”gromadzenie” energii przez

elektrony, które praktycznie natychmiast pochłaniaja energie fotonu

i ewentualnie opuszczaja fotokatode.


Pierwsze hipotezy Doswiadczenie Comptona

Efekt Comptona

Doswiadczalne potwierdzenie istnienia fotonu jako skonczonej porcji energii

zostało dostarczone przez Comptona.Wiazka promieni X o dokładnie

okreslonej długosci fali pada na blok

grafitowy. Mierzono natezenie wiazki

rozproszonej pod róznymi katami jako

funkcje λ.W klasycznym podejsciu długosc fali

wiazki rozproszonej powinna byc taka

sama jak padajacej.

Rozproszone promienie X maja

maksimum dla dwóch długosci fali.

Jedna z nich jest identyczna jak λ fali

padajacej, druga λ′ jest wieksza o ∆λ.To tzw. przesuniecie Comptonazmienia sie z katem obserwacji

rozproszonego promieniowania X.


Pierwsze hipotezy Doswiadczenie Comptona

Efekt Comptona . . .

Jezeli padajace promieniowanie potraktujemy jako fale to pojawienie sie fali

rozproszonej o długosci λ′ nie da sie wyjasnic.

Fotony (jak czastki) ulegaja zderzeniu

z elektronami swobodnymi w bloku

grafitu. Podobnie jak w typowych

zderzeniach sprezystych zmienia sie

kierunek poruszania sie fotonu oraz

jego energia (czesc energii

przekazana elektronowi), to oznacza

zmiane czestotliwosci i zarazem

długosci fali.

Stosujac zasade zachowania pedu oraz zasade zachowania energii

∆λ = λ− λ′ = h

m0c(1− cosΘ) = Λc(1− cosΘ)

gdzie Λc = 2, 426 · 10−12m jest comptonowska długoscia fali.


Pierwsze hipotezy Fale i czastki

Natura swiatła

Czasteczki w modelu korpuskularnym (czasteczkowym)

sa traktowane jako obiekty punktowe,

znajduja sie w ciagłym chaotycznym ruchu,

maja w danej chwili scisle okreslone połozenie, predkosc i ped,

poruszaja sie po scisle okreslonym torze,

całkowita energia jest suma energii poszczególnych czasteczek.

Fale

rozpoznawane sa poprzez zmiany w czasie i przestrzeni okreslonych

wielkosci fizycznych,

do ich opisu stosuje sie predkosc i długosc (czestotliwosc) fali w danym

osrodku,

przenosza energie, ale nie przenosza materii. Przenoszona energia jest

proporcjonalna do kwadratu amplitudy.

Fale mechaniczne nie rozchodza sie w prózni (musza miec osrodek

sprezysty).

Fale elektromagnetyczne w tym swiatło, rozchodza sie w prózni.



Hipoteza de Broglie’a

Dualizm korpuskularno-falowy jest własnoscia charakterystyczna nie tylko dla

fali elektromagnetycznej, ale równiez dla czastek o masie spoczynkowej

róznej od zera.

Oznacza to, ze czasteczki takie jak np. elektrony powinny równiez

wykazywac własnosci falowe. Fale te nazwa sie falami materii.

Długosc fal materii

λ =h

p

Foton

p =h

λ= ~k

E = pc = hν

Elektron

p = mv = ~k

E =p2

2m= hν

k =2π

λ- liczba falowa

Foton (kwant swiatła) ma ped równy

pf =hν

c.



Fale materii

Elektron

masa m = 9, 11 · 10−31kg,napiecie V = 1 000V ,

energia kinetyczna

Ek = 1 000eV = 1, 6 · 10−16J

λ =h

p=

h√2mEk

=6, 63 · 10−34Js

√

2 · 9, 1 · 10−31kg · 1, 6 · 10−16=

= 4 · 10−11m.Długosc λ jest porównywalna

z odległoscia miedzy atomami w ciele

stałym.

Piłka

masa m = 1kg,predkosc v = 1m

s

λ =h

mv=6, 63 · 10−341kg · 1m

s

=

= 6, 63 · 10−34m.

Wielkosc niemozliwa do zmierzenia.

Brak własnosci falowych ciał

makroskopowych.


Postulaty mechaniki kwantowej Stan układu kwantowego

Obraz interferencyjny

De Broglie załozył, ze wiazka czastek bedzie tworzyc obraz interferencyjny

na odpowiedniej podwójnej szczelinie charakterystyczny dla doswiadczenia

Younga.

Rysunek: Rozkład charakterystyczny dlaA+B nie ma miejsca!

Rysunek: Rozkład intensywnoscielektronów zgodnie z teoria kwantowa.

Jedyny sposób wyjasnienia to stworzenie nowego formalizmu

matematycznego pozwalajacego opisac falowe własciwosci czastek

materialnych na poziomie mikroswiata.20 dr inz. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej


Funkcja falowa Ψ

O stanie układu kwantowego

Stan czastki okresla funkcja falowa Ψ(x, y, z, t) zalezna od połozenia czastki

i od czasu t.

Zgodnie z hipoteza de Broglie’a, czastki takie jak elektron czy proton, maja

własnosci falowe. Opisuje je tzw. funkcja falowa, która:

musi byc funkcja ciagła, a takze musi miec ciagła pochodna,

w ogólnym przypadku jest funkcja zespolona współrzednych

przestrzennych oraz czasu:

Ψ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z) · e−iωt,

gdzie ψ(x, y, z) jest funkcja falowa niezalezna od czasu (“amplituda”

funkcji falowej Ψ), a i2 = −1.

Klasycznie

Stan układu fizycznego w kazdej chwili czasu opisuje punkt w przestrzeni

fazowej, a wiec zarówno połozenia jak i ped kazdej czastki xi(t), pi(t).



Funkcja falowa Ψ . . .

W przypadku jednowymiarowym, dla czastek poruszajacych sie w kierunku

osi xΨ = Aeikx = A(cos kx+ i sin kx).

Zgodnie z zasada superpozycji funkcja falowa wielu zdarzen:

Ψ = Ψ1 +Ψ2.




Prawdopodobienstwo znalezienia czastki

w chwili t w elemencie objetosci dxdydz

p(x, y, z, t) = Ψ∗(x, y, z, t) ·Ψ(x, y, z, t)dxdydz ,

gdzie Ψ∗ to funkcja sprzezona do Ψ (rózni sie znakiem czesci urojonej).

Suma prawdopodobienstw znalezienia czastki w poszczególnych elementach

objetosci rozciagnieta na cała przestrzen musi spełniac tzw.

Warunek normalizacji∫

V

Ψ∗(x, y, z, t) ·Ψ(x, y, z, t)dV = 1.

Gestoscia prawdopodobienstwa zdarzenia nazywa sie

Ψ∗(x, y, z, t) ·Ψ(x, y, z, t) = |Ψ(x, y, z, t)|2 .Formalnie funkcja falowa Ψ = Ψ(x, y, z, t) charakteryzuje sie własciwosciami

klasycznych fal, lecz nie reprezentuje takich wielkosci jak np. wychylenie

czastki z połozenia równowagi.




Ψ∗ ·Ψ = Ae−i(kx−ωt) ·Aei(kx−ωt) = A2.Funkcja falowa musi spełniac nastepujace warunki:

1 Ψ musi miec tylko jedna wartosc w kazdym punkcie. Warunek

zapobiega istnieniu wiecej niz jednego prawdopodobienstwa znalezienia

czastki w danym miejscu,2 Ψ oraz pochodne dΨ

dxmusza byc ciagłe. Warunek ten nie dotyczy miejsc,

gdy energia potencjalna dazy do nieskonczonosci (w poblizu jadra

atomowego),3 całka Ψ∗Ψ po całej przestrzeni musi byc równa 1. Wartosc funkcji musi

byc skonczona dla duzych x.


Postulaty mechaniki kwantowej Ewolucja w czasie stanu układu

Hamiltonian

O ewolucji w czasie stanu układu

Równanie czasowej ewolucji funkcji falowej Ψ

i~∂Ψ

∂t= HΨ,

gdzie H jest hamiltonianem czastki

H = − ~2

2m∆+ U(þx).

Jest to równanie Schrödingera zalezne od czasu.

Operator Laplace’a (laplasjan) to operator rózniczkowy drugiego rzedu

∆ =∂2

∂x2+∂2

∂y2+∂2

∂z2.

Postac równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego

HΨ = EΨ.

Gdy układ jest odosobniony (izolowany, zachowawczy) to operator H jest

operatorem energii układu.25 dr inz. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej

Postulaty mechaniki kwantowej Interpretacja wyników pomiarów w mikroswiecie

Zasada nieoznaczonosci Heisenberga

O interpretacji wyników pomiarów w mikroswiecie

Pomiar dowolnej wielkosci fizycznej zmienia na ogół stan układu

kwantowego.

Postulat ten dotyczy pomiaru idealnego, a wiec nie obarczonego błedem

wynikajacym z niedoskonałosci przyrzadu pomiarowego.

Obowiazuje zasada nieoznaczonosci: pewnych wielkosci fizycznych nie

mozna zmierzyc równoczesnie z dowolna dokładnoscia.

Proces pomiaru zaburza stan układu

Mechanika klasyczna

dokładnosc pomiaru jest zdeterminowana jedynie jakoscia aparatury

pomiarowej,

nie ma teoretycznych ograniczen na dokładnosc z jaka moga byc

wykonane pomiary.



Zasada nieoznaczonosci Heisenberga . . .

Zasada nieoznaczonosci

Iloczyn niepewnosci jednoczesnego poznania pewnych wielkosci (np.

chwilowych wartosci pedu ∆p i połozenia ∆x, energii ∆E i czasu jej pomiaru

∆t) nie moze byc mniejszy od stałej Plancka h podzielonej przez 2π

∆x ·∆px ÿ ~

∆E ·∆t ÿ ~.

Rysunek: Funkcja rozkładu B(p) wzgledem pedu i odpowiadajaca jej paczka falowa(ponizej). Szerokosc paczki falowej na rys. (a) jest wieksza niz szerokosc na rys. (b).



Zasada nieoznaczonosci Heisenberga . . .

Przykład

Zasada nieoznaczonosci dla równoczesnego pomiaru energii i czasu

∆E ·∆t ÿ ~

Przykład

Czas przebywania atomu sodu

w stanie wzbudzonym zmierzono

z dokładnoscia ∆t = 1, 6 · 10−8s.Z jaka maksymalna dokładnoscia

mozna było wyznaczyc wartosc

energii tego stanu?

∆E ÿ ~

∆t=6, 63 · 10−34Js2 · π · 1, 6 · 10−8s =

= 0, 66 · 10−26J · 6, 24 · 1018eV/J == 4, 12 · 10−8eV.


Postulaty mechaniki kwantowej Spin

Moment pedu

O spinie czastki elementarnej

Czastka elementarna ma własny wewnetrzny moment pedu czastki

w układzie, w którym nie wykonuje ruchu postepowego, zwany spinowymmomentem pedu lub spinem

∣

∣

∣

þS∣

∣

∣

2

= S2x + S2y + S

2z = s(s+ 1)~

2

przy czym spinowa liczba kwantowa s = 12.

Wartosc własnego moment pedu elektronu:

S = ~

√

s(s+ 1).

Rzut własnego momentu pedu na

wybrana os

Sz = ms~.


Postulaty mechaniki kwantowej Symetria funkcji falowej

Fermiony i bozony

Klasycznie

Obiekty identyczne sa rozróznialne. Mozna sledzic ruch kazdej czastki nawet

jezeli jest ona identyczna z innymi.

Brak specjalnych konsekwencji identycznosci czastek.

O symetrii funkcji falowej

Czastki identyczne sa nierozróznialne.

Nierozróznialnosc ma powazne konsekwencje. Wynika z niej własnosc

stanów kwantowych:

Funkcja falowa Ψ opisujaca układ jednakowego rodzaju bozonów jest

symetryczna wzgledem zamiany współrzednych, tzn. jesli:

x1 ↔ x2, y1 ↔ y2, z1 ↔ z2, to

Ψ(1, 2, 3, ...., N) = Ψ(2, 1, 3, ...., N).

Jesli czastki 1 i 2 oznaczaja fermiony jednakowego rodzaju, to funkcja

falowa musi byc antysymetryczna, tzn.

Ψ(1, 2, 3, ...., N) = −Ψ(2, 1, 3, ...., N).



Fermiony i bozony . . .

Stany całkowicie symetryczne opisuja czastki o spinie całkowitym (bozony),

stany antysymetryczne opisuja czastki o spinie połówkowym (fermiony).

Zakaz Pauliego

Gestosc prawdopodobienstwa zastania dwóch jednakowych fermionów

w jednym miejscu i z jednakowa współrzedna spinowa jest równa 0.

W danym stanie kwantowym moze znajdowac sie jeden fermion – lub –

zadne dwa fermiony nie moga w jednej chwili wystepowac w dokładnie tym

samym stanie kwantowym.



Fermiony i bozony . . .

Konsekwencje zakazu Pauliego:

Tworzenie sie struktury orbitalowej poziomów elektronów wszystkich

atomów, z której z kolei wynikaja wszystkie własciwosci chemiczne

pierwiastków chemicznych.

Nieprzenikalnosc materii przez sama siebie. W wielu przypadkach

zasada uniemozliwia wystepowanie pewnych konfiguracji

przestrzennych orbitali blisko połozonych atomów czy czasteczek.

Wzgledna trwałosc obiektów materialnych.

Zakaz nie dotyczy bozonów o dowolnych współrzednych spinowych.


Model Bohra atomu wodoru Porzadek wsród atomów

Doswiadczenie Rutherforda (1911)

Analiza katów rozproszenia czastek alfa pozwoliła okreslic rozmiary ładunku

dodatniego wchodzacego w skład atomu złota.

Prawie cała masa atomu skupiona jest w bardzo małym obszarze – jadrze

atomowym.

Rozmiar jadra zalezy od pierwiastka, ale moze byc oszacowany jako ok.

10−15m, rozmiary atomu rzedu 10−10m.

Model atomu wprowadzał bliskie współczesnemu modelowi załozenia:

ładunek dodatni zgromadzony jest w niewielkim, a przez to bardzo

gestym jadrze gromadzacym wiekszosc masy atomu,

ładunek jadra jest równy iloczynowi liczby atomowej i ładunku elektronu,

ujemnie naładowane elektrony okrazaja jadro.



Model Bohra atomu wodoru

Zakładajac, ze elektron porusza sie po orbitach kołowych o promieniu r ze

srodkiem w jadrze, a srodek masy pokrywa sie ze srodkiem jadra (protonu).Z równowagi sił

Fc = ma,

1

4πǫ0

e2

r2= mv2

r,

mozna obliczyc energie kinetyczna

Ek =mv2

2=e2

8πǫ0r.

Energia całkowita

Ec = Ek + Ep =e2

8πǫ0r− e2

4πǫ0r= − e2

8πǫ0r.



Model Bohra atomu wodoru . . .

Postulaty Bohra

1 Elektron w atomie porusza sie po orbicie kołowej pod wpływem

przyciagania kulombowskiego pomiedzy elektronem a jadrem.

2 Elektron moze poruszac sie tylko po takich orbitach, dla których moment

pedu L jest równy całkowitej wielokrotnosci stałej Plancka podzielonej

przez 2π

L = nh

2π= n~ n=1, 2, 3,..

gdzie n oznacza liczbe kwantowa.

3 Elektron poruszajac sie po orbicie nie wypromieniowuje energii. Jego

całkowita energia pozostaje stała.

4 Przejsciu elektronu z orbity o energii En na orbite o energii Emtowarzyszy emisja lub absorpcja fotonu o energii

En − Em = hν.


Model Bohra atomu wodoru Energia elektronu


Z postulatu Bohra

v =n~

mr,

energia kinetycznae2

8πǫ0r=1

2m(

n~

mr

)2

,

Promien Bohra

rn =4πǫ0~

2

me2n2 = r0n

2,

gdzie r0 = 5, 29 · 10−11m.

Energia elektronu

En = −me4

32π2ǫ20~2· 1n2= −E0n2,

gdzie E0 = 13, 59eV jest energia jonizacji atomu (przejscie ze stanu n = 1 do

nieskonczonosci).




Po czasie 10−8s nastepuje samorzutne przejscie elektronu z poziomu n na

poziom k (n > k). Atom emituje kwant promieniowania o czestotliwosci

ν =En − Ekh

=me4

64π3ǫ20~3

(

1

k2− 1n2

)

.

Poniewaz

ν =c

λ,

Długosc fali emitowanego fotonu

1

λ=

me4

64π3cǫ20~3

(

1

k2− 1n2

)

= R0

(

1

k2− 1n2

)

,

gdzie R0 = 1, 09737 · 107m−1 jest stała Rydberga.

Grupe linii z jednakowymi wartosciami n nazwano seria widmowa.

Dla jonów wodoropodobnych (Z jest liczba porzadkowa w układzie

okresowym pierwiastków)

1

λ= Z2R0

(

1

k2− 1n2

)

.





Atom wodoru w mechanice kwantowej Równanie Schrödingera

Sprzecznosci z prawami fizyki klasycznej

Niestety model atomu Bohra jest niewystarczajacy:

zbyt prosty, nie pasuje do atomów wieloelektronowych,

dlaczego moment pedu elektronu jest skwantowany?

dlaczego elektron nie emituje promieniowania i nie spada na jadro?

Mimo tego wskazuje on, ze elektrony w atomie przyjmuja pewne stacjonarne

(trwałe) „stany energetyczne”.

Atom wodoru jest swego rodzaju studnia

potencjału (naturalna pułapka) dla

elektronu.

Energia potencjalna oddziaływania

elektron–jadro jest postaci

U(r) = − e2

4πǫ0r.

Równanie Schrödingera dla przypadku trójwymiarowego w układzie

kartezjanskim∂2Ψ

∂x2+∂2Ψ

∂y2+∂2Ψ

∂z2= −2m

~2(E − U)Ψ.



Kwantowanie energii

Rozwiazanie równania Schrödingera istnieje jesli energia elektronu przyjmuje

scisle okreslone wielkosci

En = −me4

32π2ǫ20~2· Z2

n2= −13, 59eV Z

2

n2,

dla wartosci r = r0

r0 =4πǫ0~

2

me2= 5, 29 · 10−11m.

wyrazenia dla r0 i En sa identyczne jak w modelu Bohra,

kwantyzacja jest wynikiem rozwiazania równania Schrödingera, a nie

postulatem,

r0 nie jest promieniem orbity, lecz odległoscia od jadra, przy której

prawdopodobienstwo znalezienia sie elektronu osiagnie wartosc

maksymalna,

przyjecie klasycznej orbity traci sens,

moment pedu jest skwantowany L =√

l(l + 1)~ a liczba

l = 0, 1, 2, . . . , n− 1, jest tzw. orbitalna (azymutalna) liczba kwantowa.



Kwantowanie przestrzenne momentu pedu

Liczba ml jest tzw. magnetyczna liczba kwantowa

ml = 0,±1,±2, . . . ,±l.

Wartosc rzutu momentu pedu

elektronu na os okreslajaca

wyrózniony kierunek w atomie, np.

zewnetrznego pola elektrycznego lub

magnetycznego

Lz = ml~.

Jezeli długosc orbity elektronu jest równa całkowitej wielokrotnosci λ, fale de

Broglie’a nie wygaszaja sie – orbita jest dozwolona

2πr = mlλ.


Atom wodoru w mechanice kwantowej Liczby kwantowe

Liczby kwantowe w modelu Bohra

Stan elektronu okreslony jest przez

główna liczbe kwantowa n i oznacza numer orbity (odpowiada

odległosci od jadra). Przyjmuje wartosci całkowitych liczb

dodatnich, n = 1, 2, 3, ....,

orbitalna liczbe kwantowa l i oznacza wartosc bezwzgledna

orbitalnego momentu pedu. Przyjmuje wartosci liczb

naturalnych z zakresu < 0, n− 1 >,

magnetyczna liczbe kwantowaml i oznacza rzut orbitalnego momentu pedu

na wybrana os. Przyjmuje wartosci liczb całkowitych

z zakresu < −l, 0,+l >,

magnetyczna spinowa liczbe kwantowa ms okreslajaca spinowy moment

elektronu. Dla elektronu przyjmuje wartosci + 12

(prawoskretny) lub − 12

(lewoskretny).

W swobodnym atomie wodoru i jonie wodoropodobnym wszystkie stany

o danej wartosci liczby kwantowej n i róznych wartosciach liczb kwantowych li m maja te sama energie.



Kolejnosc obsadzania poziomów elektronowych

Reguła Hunga

Poziomy o jednakowej energii sa najpierw obsadzane przez pojedyncze

elektrony o takim samym spinie.

Zakaz Pauliego

W atomie dwa elektrony nie moga miec identycznych czterech liczb

kwantowych

Z zasady tej wynika,ze:

na kazdej powłoce znajduje sie maksymalnie Z = 2n2 stanów do

obsadzenia,

Na kazdej podpowłoce znajduje sie 2(2l + 1) stanów do obsadzenia.

n l ml ms Z

1 0 0 − 12,+ 12

2

2 0 0 ± 12

1 -1 ± 12

8

1 0 ± 12

1 1 ± 12



Literatura podstawowa

Kania S.

Wykłady z fizyki cz. 1 i 2.

Wydawnictwo PŁ, Łódz 2012.

Halliday D., Resnick R, Walker J.

Podstawy Fizyki t. 1-5.

PWN, Warszawa 2005.

Orear J.

Fizyka t. I i II.

WNT, Warszawa 1994.

Sawieliew I. W.

Wykłady z fizyki t. I-III.

PWN, Warszawa 1994.

Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ

http://cmf.p.lodz.pl/efizyka

e-Fizyka. Podstawy fizyki.

Kakol Z. Zukrowski J.

http://home.agh.edu.pl/˜kakol/wyklady_pl.htm

Wykłady z fizyki.


Documents

Elementy ﬁzyki kwantowej 1 Narodziny mechaniki kwantowej ...cmf.p.lodz.pl/iowczarek/materialy/fizyka/mibm_2kwant_new13i.pdf · Postulaty mechaniki kwantowej Stan układu kwantowego