Eletromagnetismo Newton Mansur

Organização do curso de Eletromagnetismo I

1 – Análise Vetorial: Álgebra Vetorial, Sistemas e Transformações de

Coordenadas, Cálculo Vetorial (parte apresentada a medida que for

necessária);

2 – Campo Elétrico Estacionário: Lei de Coulomb e Lei de Gauss;

3 – Energia e Potencial elétrico;

4 – Campo elétrico em meio material;

5 – Dielétricos e Capacitância;

6 – Equações de Poisson e Laplace;

7 – Campo Magnético Estacionário: Lei de Biot-Savart e Lei de Ampère;

8 – Força, Materiais e Dispositivos Magnéticos e Indutância;

9 – Campos variantes no tempo e Equações de Maxwell;

Livros de Referência:

Eletromagnetismo - Willian H. Hayt, Jr. e John A. Buck

Elementos de Eletromagnetismo – Matthew N. O. Sadiku

História da Eletricidade

História Eletricidade – A Faisca - BBC

TV Escola - http://tvescola.mec.gov.br

Documentários online- http://www.xn--documentriosonline-5rb.blog.br/2015/09/a-historia-da-eletricidade-episodio-01.html

x

y

z

𝑉

𝑊

3

2

−2

1

𝑉 = 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧

𝑉 = 14𝑟 𝑟 =3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧

14

𝑉 = 13𝜌 + 𝑧 𝜌 =3𝑥 + 2𝑦

13

𝑊 = 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧

𝑊 = 14𝑟 𝑟 =3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧

14

𝑊 = 13𝜌 + 𝑧 𝜌 =3𝑥 − 2𝑦

13

𝑟

𝜌

𝜌

𝑟

x

y

z

R

R

z0

𝑧 = 0

𝑟 = 𝑅 𝜃 =𝜋

2

𝜌 = 𝑅 𝑧 = 0

𝑧 = 𝑧0

𝑟 = 𝑅2 + 𝑧02 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑅

𝑧0

𝜌 = 𝑅 𝑧 = 𝑧0

𝜃

𝜃

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2

Lei de Coulomb

rr

qqkF ˆ

2

21F

F

k = 8,9 x 10 9 Nm2/C2

x

y

z

r̂

kzjyixr ˆˆˆ

r

r

rr

ˆ

Suponha um corpo carregado num

determinado ponto do espaço, tão pequeno

que podemos considerá-lo um corpo pontual

Estabelecemos um sistema

referencial, de tal forma que o corpo

fique na origem

Colocamos uma outra carga num

determinado ponto do espaço, cujo

vetor posição é definido pelo vetor r

e pelo versor r̂Sendo as duas cargas de mesmo

tipo, haverá uma força de repulsão

entre elas

F

Podemos definir o vetor posição em

função do sitema de coordenadas

definindo também o versor da forma

Desta forma, a lei de Coulomb

pode ser definida como

Onde k é a constante (no SI)

Lei de Coulomb

rr

qqkF ˆ

2

21

k = 8,9 x 10 9 Nm2/C2

x

y

z

r̂

kzjyixr ˆˆˆ

r

r

rr

ˆ

F

F

Se a carga for de tipo diferente

Haverá então uma força de

atração entre elas.

Uma delas será negativa e outra

positiva, fazendo com que a força

possua o sentido contrário ao

versor.

Algebra Vetorial

▪ Vetor Precisa de no mínimo duas informações para defini-lo.

x

y

𝐴

x

𝐴

vx

x

v

0 a

a

v

a

b

𝐴

𝐴 𝑥

𝐴 𝑦

𝐴 = 𝐴 𝑥 + 𝐴 𝑦

𝐴 𝑎

𝐴 𝑏

𝐴 = 𝐴 𝑎 + 𝐴 𝑏 𝐴 = 𝑎𝑥 + 𝑣𝑣 𝑥

Álgebra Vetorial

▪ Versor Vetor unitário, adimensional, que define direção e sentido de um vetor

x

y

𝐴

𝐴 𝑥

𝐴 𝑦 𝐴 = 𝐴𝑎 𝐴

𝑎 𝐴

𝑎 𝑥

𝑎 𝑦

𝐴 𝑥 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥

𝐴 𝑦 = 𝐴𝑦𝑎 𝑦

𝐴 = 𝐴 𝑥 + 𝐴 𝑦

𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦

𝐴𝑎 𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦

𝑎 𝐴 =𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦

𝐴

𝑎 𝐴 =𝐴𝑥

𝐴𝑎 𝑥 +

𝐴𝑦

𝐴𝑎 𝑦

𝜃

𝑎 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎 𝑦

𝑎 𝐴 =𝐴

𝐴

Álgebra Vetorial

▪ Representação vetorial

x

y

𝐴

𝐴 𝑥

𝐴 𝑦

𝑎 𝐴

𝑎 𝑥

𝑎 𝑦

𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧𝑎 𝑧

z

𝑎 𝑧 𝐴 𝑧

Álgebra Vetorial

▪ Soma e subtração de vetores

x

y

𝐴

𝑎 𝑥

𝑎 𝑦

𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧𝑎 𝑧

z

𝑎 𝑧

𝐵

𝐵 = 𝐵𝑥𝑎 𝑥 + 𝐵𝑦𝑎 𝑦 + 𝐵𝑧𝑎 𝑧

𝐶 = 𝐴 +𝐵 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧 + 𝐵𝑧 𝑎 𝑧

𝐶

𝐷 = 𝐴 -𝐵 = 𝐴𝑥 − 𝐵𝑥 𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦 − 𝐵𝑦 𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧 − 𝐵𝑧 𝑎 𝑧

𝐷

Álgebra Vetorial

▪ Produto Escalar

x

y

𝐴

𝑎 𝑥

𝑎 𝑦

𝐸 = 𝐴 ∙ 𝐵

z

𝑎 𝑧

𝐵

𝐵𝐴 𝐵⊥

𝐸 = 𝐴𝐵𝐴 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑆𝑒 𝐴 ⊥ 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴 ∙ 𝐵 = 0

𝑆𝑒 𝐴 ∥ 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐸 = 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ⋅ 𝐴

𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧𝑎 𝑧

𝐵 = 𝐵𝑥𝑎 𝑥 + 𝐵𝑦𝑎 𝑦 + 𝐵𝑧𝑎 𝑧

𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥𝐵𝑥+𝐴𝑦𝐵𝑦+𝐴𝑦𝐵𝑦

𝜃

Álgebra Vetorial

▪ Produto Vetorial

x

y

𝐴

𝑎 𝑥

𝑎 𝑦

𝑉 = 𝐴 × 𝐵

z

𝑎 𝑧

𝐵

𝐵𝐴 𝐵⊥

𝑉 = 𝐴𝐵⊥ = 𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑆𝑒 𝐴 ⊥ 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝐵

𝑆𝑒 𝐴 ∥ 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑉 = 𝐴 × 𝐵 = 0

𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴

𝐴 × 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 + 𝐴 × 𝐶

𝑉

O sentido do vetor 𝑉 pode ser obtido pela regra da mão direita

𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑥 = 0 𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑦 = 0 𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑧 = 0

𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑦 = 1 𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑧 = 1 𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑧 = 1

𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑧 𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑧 = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑦

𝑎 𝑦 × 𝑎 𝑥 = −𝑎 𝑧 𝑎 𝑧 × 𝑎 𝑦 = −𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑧 = −𝑎 𝑦

𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦 + 𝐴𝑧𝑎 𝑧

𝐵 = 𝐵𝑥𝑎 𝑥 + 𝐵𝑦𝑎 𝑦 + 𝐵𝑧𝑎 𝑧

𝑉 = 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑦 𝑎 𝑥 + 𝐴𝑧𝐵𝑥 − 𝐴𝑥𝐵𝑧 𝑎 𝑦 + 𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐴𝑦𝐵𝑥 𝑎 𝑧 𝑉 =

𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧

𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧