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ELETTROLOGIA

ELETTROSTATICA ELETTRODINAMICA

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ELETTROSTATICA INDICE: Carica elettrica Durata delle proprietà di elettrizzazione Tipi di elettrizzazione Protoni ed elettroni Corpi carichi o neutri – Squilibrio della carica elettrica Isolanti e conduttori Elettrizzazione per contatto – conservazione della carica Elettrizzazione per induzione Induzione elettrostatica e separazione permanente della carica – Messa a terra Strumenti di indagine qualitativa – Elettroscopio a foglie Uso dell’elettroscopio LA FORZA ELETTRICA

x LA LEGGE DI COULOMB x Definizione operativa della grandezza fisica “carica elettrica” x Unità di misura della carica elettrica x Numero di cariche elementari nell’unità di misura della carica x Analisi dimensionale della legge di Coulomb e della costante elettrica K x La legge di Coulomb e la costante dielettrica H x Alcuni valori della costante dielettrica relativa x ESERCIZI – LA LEGGE DI COULOMB x Le forze di induzione elettrostatica x Elettroforo di Volta

IL CAMPO ELETTRICO

x Introduzione x Analisi della legge di Coulomb

x La legge di Coulomb dal punto di vista tridimensionale x L’attrazione o repulsione Coulombiana – Curvatura dello spazio x L’azione a distanza e il movimento delle cariche x IL CAMPO ELETTRICO x La definizione di campo elettrico x Analisi dimensionale della grandezza “campo elettrico” x Campo elettrico e gravitazionale – analogia x Linee di flusso – linee o superfici di livello o equipotenziali

Linea di flusso – linea di forza Linee di flusso passanti per un segmento del piano Tubi di flusso Linee e tubi di flusso – analogia con il campo gravitazionale Linee o superfici di livello (equipotenziali)

x Principali tipologie di campo elettrico Campo radiale Campo bipolare Campo uniforme – condensatore

x Rappresentazione grafica dell’intensità di campo – principio di Faraday x Analogia con un tubo di flusso di una corrente d’acqua x Campo elettrico generato da un dipolo

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x Campo elettrico generato da una carica distribuita su un filamento rettilineo di

Lunghezza infinita x Campo elettrico generato da una carica distribuita su anello di raggio R x Campo elettrico generato da una carica distribuita su un disco circolare

o lastra piana. x ESERCIZI – CAMPO ELETTRICO

Derivata di una grandezza scalare rispetto ad una direzione – Gradiente di uno scalare Derivata direzionale della funzione U rispetto alla normale FLUSSO DL CAMPO ELETTRICO

x Flusso di un campo elettrico variabile su superficie estesa – Integrale di superficie x LEGGE DI GAUSS

Campo radiale e sfera Gaussiana con centri coincidenti Campo radiale e sfera Gaussiana con centri non coincidenti Legge di Gauss – Caso di simmetria cilindrica – Densità lineare di carica Legge di Gauss – Caso di simmetria piana – densità superficiale

x Una sola lamina piana, sottile ed isolante x Due lastre piane, sottili e conduttrici

Legge di Gauss – Caso di simmetria sferica – Strato sferico di carica Legge di Gauss – Caso di simmetria sferica – Volume sferico di carica

x Teorema di Coulomb – Densità superficiale e campo elettrico x Teorema di Coulomb

x Flusso uscente da una superficie chiusa – Divergenza del campo elettrico

Legge di Gauss in forma differenziale ESERCIZI – FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO E LEGGE DI GAUSS

L’ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA – POTENZIALE ELETTRICO

x L’energia potenziale di un campo radiale x Differenza di energia potenziale elettrostatica del campo radiale x L’energia potenziale infinitesima e le regole d’integrazione x Campo di forze conservativo x Energia potenziale elettrostatica per uno spostamento qualsiasi x Energia potenziale per un percorso chiuso x Energia potenziale in un campo generato da più cariche x IL POTENZIALE ELETTROSTATICO x IL POTENZIALE x DIFFERENZA DI POTENZIALE x Il movimento delle cariche elettriche per effetto del potenziale x Unità di misura del potenziale – il Volt x Potenziale in un punto di un campo, prodotto da più cariche x Linee e superfici equipotenziali x Caso generale x Superfici equipotenziali del campo radiale x Superfici equipotenziali in un campo uniforme x RELAZIONE TRA CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE x ESERCIZI – ENERGIA POTENZIALE E POTENZIALE ELETTROSTATICO

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CAPACITA’ ELETTRICA

x Introduzione – Analogia con il potenziale del campo gravitazionale x Capacità elettrica di una sfera conduttrice x Capacità elettrica x Unità di misura della capacità x Determinazione del raggio di una sfera avente capacità di 1 Farad x Determinazione della capacità di un sfera di raggio 1 metro x Sottomultipli del Farad x Condensatore – Conduttore isolato dall’ambiente esterno x Condensatore – Conduttore non isolato dall’ambiente esterno x Condensatore – Principio di funzionamento – Condensatore piano x Definizione di nuove unità di misura per la costante dielettrica x Condensatore cilindrico x Condensatore sferico x L’energia elettrostatica del condensatore x ESERCIZI – CAPACITA’ ELETTRICA – CONDENSATORI x Condensatori impiegati nella tecnica x Simbologia adottata per la rappresentazione dei condensatori x Leggi di collegamento dei condensatori x Condensatori in parallelo x Condensatori in serie x ESERCIZI – LEGGI DI COLLEGAMENTO IN SERIE E PARALLELO x Condensatore in presenza di un dielettrico x Tensione massima nel dielettrico – Potenziale disruptivo x L’aspetto atomico dei dielettrici x Momento torcente su un dipolo e polarizzazione dei dielettrici

ELETTRODINAMICA La corrente elettrica Generatore di tensione Simbologia grafica per i generatori L’equilibrio elettrostatico del generatore di tensione DIFFERENZA DI POTENZIALE – FORZA ELETTROMOTRICE

x Definizione e unità di misura della corrente reale x Unità di misura dell’intensità di corrente elettrica x Nuova definizione delle unità di misura dell’elettrostatica x Verso convenzionale della corrente x Corrente elettrica convenzionale x Densità di corrente x La velocità delle cariche elettriche – velocità di deriva

ESERCIZI – CORRENTE ELETTRICA RESISTENZA ELETTRICA – LEGGE DI OHM PER I CONDUTTORI

x Unità di misura della resistenza x Simbologia per la rappresentazione delle resistenze ohmiche x La legge di Ohm estesa ai vari tratti di circuito

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x Esempio ESERCIZI – PRIMA LEGGE DI OHM LA SECONDA LEGGE DI OHM – CONDUTTIVITA’ E RESISTIVITA’

x Resistenza totale – resistenza specifica o resistività x TABELLE RESISTIVITA’ – CONDUCIBILITA’ – COEFFICIENTE TEMPERATURA

ESERCIZI – RESISTIVITA’ DEI CONDUTTORI Influenza della temperatura sulla resistenza e resistività Conduttori metallici Conduttori non metallici Soluzioni conduttrici o elettroliti ESERCIZI – RESISTENZA E TEMPERATURA Estensione della legge di Ohm all’intero circuito – Resistenza interna generatori ESERCIZI – ESTENSIONE DELLA LEGGE DI OHM ALL’INTERO CIRCUITO ENERGIA E POTENZA DELLA CORRENTE ELETTRICA – LEGGE DI JOULE

x Energia e legge di Ohm – Circuito esterno x Energia e legge di Ohm – Estensione all’intero circuito x Potenza della corrente

ESERCIZI – ENERGIA E POTENZA DELLA CORRENTE EFFETTO TERMICO DELLA CORRENTE – LEGGE O EFFETTO JOULE

x Analogia con l’esperimento di Joule – Equivalente meccanico della caloria x Legge di Joule –Effetto termico della corrente x Fattori di conversione

ESERCIZI – LEGGE DI JOULE – EFFETTO TERMICO

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ELETTROSTATICA

CARICA ELETTRICA: La definizione della grandezza fisica “carica elettrica” parte dalla scoperta, già in essere sin dai tempi antecedenti l’impero romano, che alcuni materiali, opportunamente trattati, acquistano la proprietà di attrarre a sé oggetti di massa estremamente piccola. Pezzi minuscoli di carta, crine, piume ecc. ecc, sono attirati sia da materiali resinosi quanto da materiali vetrosi nel caso in cui questi, siano stati, in precedenza, opportunamente strofinati con panni di lana o materiali similari. Il vetro e la resina fossile (ambra) costituiscono i principali rappresentanti rispettivamente della famiglia di materiali vetrosi e di quella dei resinosi. Il fenomeno di attrazione dei corpuscoli da parte di detti materiali prende il nome di “attrazione elettrostatica”; i corpi vetrosi o resinosi, responsabili di tale attrazione, si dicono “elettrizzati” o dotati di “carica elettrica; il trattamento che tali materiali devono subire per assumere le caratteristiche descritte è definito “elettrizzazione per strofinio” proprio in virtù dell’azione necessaria per generare una carica elettrica, cioè lo sfregamento con un panno di lana o materiali similari. Oltre al vetro e alla resina fossile, le proprietà di elettrizzazione per strofinio sono comuni anche a materiali tipici del nostro uso quotidiano come la plastica ed in generale i polimeri (polistirolo, materiali sintetici ecc. ecc.).

Figura 1 – FENOMENO D’ATTRAZIONE ELETTROSTATICA DURATA DELLE PROPRIETA’ DI ELETRIZZAZIONE: Le proprietà di elettrizzazione dei materiali vetrosi o resinosi non sono permanenti, essi hanno, infatti, una spiccata tendenza a perdere tale caratteristica dopo intervalli di tempo piuttosto brevi. E’ quindi consuetudine affermare che stato di elettrizzazione rappresenta un fenomeno transitorio, mentre, il fenomeno di perdita d’elettrizzazione rappresenta il cammino inverso che conduce ad una completa “scarica” o, in altre parole, allo stato naturale o elettricamente neutro.

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La durata del periodo di elettrizzazione per strofinio, generalmente breve, dipende soprattutto dai materiali posti a contatto con il corpo elettrizzato ed, in particolare da alcune loro caratteristiche elettriche.In ogni caso l’elettrizzazione per sfregamento, come si vedrà più avanti, non comporta generalmente una diminuzione o un aumento delle particelle interne ai corpi ma, piuttosto, una modificazione geometrica della forma molecolare ed una conseguente diversa distribuzione delle proprietà elettrostatiche dei materiali. Si dirà più avanti che materiali amorfi come il vetro e la resina fossile subiscono il fenomeno d’elettrizzazione per effetto di “polarizzazione molecolare”. Un corpo che non presenta fenomeni dovuti all’elettrizzazione è definito “elettricamente neutro” o più semplicemente “neutro”. TIPI DI ELETTRIZZAZIONE: La scoperta del fenomeno d’attrazione elettrostatica e di carica per strofinio, tipica dei materiali anzidetti, è stata subito seguita dalla constatazione che i materiali vetrosi e resinosi si comportano elettricamente in modo opposto. Sia il vetro che l’ambra hanno la capacità di esercitare forze attrattive a distanza su piccoli corpuscoli ma, mentre tra due oggetti elettrizzati di tipo diverso (vetro-ambra) continua a manifestarsi una forza attrattiva, tra due oggetti elettrizzati dello stesso tipo si manifesta una forza repulsiva. Risulta così evidente che le caratteristiche elettriche dei due materiali sono uguali ma sostanzialmente di tipo opposto. Due bacchette di vetro, elettricamente cariche per strofinio, hanno una tendenza a respingersi che è tanto più evidente quanto più esse sono ravvicinate. Lo stesso succede, quando sono due bacchette d’ambra ad essere vicine. Al contrario, avvicinando una bacchetta di vetro ad una d’ambra, si osserva un fenomeno d’attrazione reciproca. Per contraddistinguere i due tipi d’azione, tra loro opposti, si utilizzano comunemente i segni algebrici “positivo” e “negativo”. La carica elettrostatica caratteristica del vetro e di tutti i materiali vetrosi è definita, convenzionalmente, di tipo “positivo” mentre quella caratteristica dell’ambra e dei materiali resinosi di tipo “negativo”. Sarà carico negativamente quel materiale che si comporta da materiale resinoso, positivo quando si comporta da materiale vetroso.

Figura 2 – CARICHE POSITIVE E NEGATIVE – FORZE D’ATTRAZIONE E REPULSIONE

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PROTONI ED ELETTRONI: Una volta definita la convenzione di segno che si utilizzerà normalmente per contraddistinguere la tipologia di carica elettrica, risulta relativamente agevole riconoscere in due componenti atomici di base, le caratteristiche elettriche simili ora ai materiali vetrosi, ora ai materiali resinosi. L’elettrone possiede una carica elettrica permanente del tutto simile a quella posseduta per definizione dai materiali resinosi. La carica elettrica dell’elettrone è dunque negativa in quanto esso si comporta elettricamente in modo analogo alla resina fossile. Il protone possiede al contrario una carica positiva e si comporta quindi come un materiale vetroso. Il neutrone, come indicato dallo stesso nome, è elettricamente neutro e, di conseguenza, non soggetto a forze attrattive o repulsive di tipo elettrico. Malgrado la grandezza dell’elettrone e del protone e le quantità di massa che li contraddistinguono siano completamente diverse (la massa del protone è riconosciuta circa duemila volte maggiore di quella dell’elettrone), essi posseggono lo stesso valore di carica elettrica cioè di elettrizzazione. Il valore numerico che contraddistingue la carica elettrica dell’elettrone e del protone, a parte la diversità di segno, è convenzionalmente riconosciuto come la più piccola carica elettrica esistente. Convenzionalmente si indica:

e Carica negativa elementare dell’elettrone p Carica positiva elementare del protone

Il valore numerico delle due cariche è uguale ma di segno opposto. Considerato che, comunque, il segno algebrico della carica complessiva resta stabilita dal numero di elettroni in eccesso o in difetto, è opportuno fare sempre riferimento alla carica elettrica dell’elettrone. CORPI CARICHI O NEUTRI - SQUILIBRIO DI CARICHE ELEMENTARI Considerato che ogni corpo, di qualsiasi tipo e specie, è essenzialmente composto da particelle atomiche dotate di carica elettrica elementare permanente, e che ognuna di esse, a seconda che sia un elettrone o un protone, possiede una uguale carica elettrica di segno positivo o negativo, si può ragionevolmente definire come un corpo “NEUTRO” quello che possiede in ugual misura i due tipi di carica o, più semplicemente, quello che possiede lo stesso numero di protoni e di elettroni. In questo caso la “neutralità elettrica” si manifestata dall’assenza di forze elettrostatiche generate dal corpo stesso. In generale ed in condizioni normali ogni atomo possiede un ugual numero di protoni ed elettroni ed è quindi evidente che la normalità estesa a tutti gli atomi ci permette di associare l’idea della neutralità. Se, per qualche motivo, si genera uno squilibrio tra il numero di protoni ed elettroni è, di conseguenza, alterato lo stato di neutralità. Il corpo presenta una deviazione dalla normalità elettrica ed è quindi “carico”. Le molecole composite nelle quali si manifesta la mancanza o l’eccesso di elettroni rispetto alle condizioni normali, sono comunemente definite “ioni”. Se lo squilibrio è a favore del numero d’elettroni, la carica elettrica sarà negativa, viceversa, se lo squilibrio è a favore del numero di protoni, sarà positiva. Alcune osservazioni importanti:

Le nostre conoscenze attuali ed il livello della sperimentazione ci permettono di stabilire che le particelle atomiche contenute nel nucleo non possono essere rimosse dallo stesso se non in condizioni molto particolari (reazione di fissione nucleare generata dal bombardamento del nucleo con neutroni provenienti dall’esterno).

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Da questa constatazione si può trarre la conclusione che un eventuale squilibrio di cariche elettriche non può essere ottenuto mediante la riduzione dei protoni positivi ma solo variando il numero di elettroni. Se il numero di elettroni aumenta saremo in presenza di un corpo complessivamente negativo, se diminuisce, di un corpo complessivamente positivo.

Dopo aver stabilito che il valore numerico della carica elettrica posseduta dall’elettrone è quello più piccolo in assoluto e che la carica elettrica è generata dallo squilibrio di elettroni rispetto al numero costante dei protoni, è evidente che il valore numerico della carica elettrica complessiva posseduta dal corpo dipende unicamente dal numero d’elettroni mancanti o in eccesso rispetto alle condizioni di neutralità per quel corpo. Anticipando la simbologia che si adotterà in seguito:

enQ Con: Q Valore numerico del grado d’elettrizzazione o CARICA ELETTRICA n Numero d’elettroni in eccesso o in difetto e Valore elementare della carica elettrica dell’elettrone

La grandezza del valore numerico della carica elettrica posseduta da un corpo è quindi

indipendente dalle dimensioni dello stesso. Corpi di piccole dimensioni posseggono una grande carica elettrica se lo squilibrio di elettroni rispetto ai protoni è grande. Naturalmente deve valere anche il contrario.

Ogni condizione di squilibrio rappresenta una deviazione dallo stato naturale ed è quindi

ovvio, già come avviene per i fenomeni meccanici e termici, che anche la carica elettrica abbia la tendenza ad annullarsi riportando il corpo alla stato neutro.

Figura 3 – CORPO NEUTRO – CORPI POSITIVI E NEGATIVI

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MATERIALI ISOLANTI E CONDUTTORI: Stabilire che la carica elettrica dipende dal numero di elettroni in difetto o in eccesso significa ammettere la possibilità di poter variare a piacere il loro numero all’interno della struttura atomica della materia che costituisce i corpi. La possibilità di poter estrarre o inserire elettroni dipende essenzialmente dal tipo di legame molecolare e dalla posizione occupata dalle particelle negative all’interno dell’atomo. Sostanzialmente è possibile interagire con gli elettroni dotati di elevata energia cinetica e costretti, per questo motivo, a rimanere distanti dal proprio nucleo risentendo, di conseguenza, di una scarsa attrazione. Questi elettroni sono debolmente legati e posseggono una relativa libertà di spostamento all’interno della struttura molecolare. Essi sono definiti “elettroni di conduzione”. Solitamente gli elettroni di conduzione sono numerosissimi nel caso in cui il corpo sia costituito da elementi chimici ad elevato numero atomico. Tutti i metalli posseggono un elevato numero atomico e una grande quantità di elettroni liberi, cioè elettroni di conduzione, per i quali è relativamente semplice l’estrazione o l’inserimento. Al contrario, nelle sostanze vetrose e resinose, anche in virtù del tipo di legame molecolare che le caratterizza, tutti gli elettroni sono fortemente legati alla struttura atomica. Per questo motivo in tali sostanze non compaiono elettroni di conduzione e non è quindi possibile modificare lo stato di neutralità elettrica modificando il numero di elettroni. L’elevato numero di elettroni di conduzioni rende agevole sia la possibilità di generare una carica elettrica statica sia il passaggio dinamico di cariche elementari da un punto ad un altro. Le sostanze dotate di elevato numero di elettroni di conduzione sono definite “CONDUTTORI”. Rappresentanti fondamentali della famiglia dei conduttori sono tutti i metalli. Le sostanze amorfe, vetrose, resinose e tutte quelle scarsamente dotate di elettroni liberi, sono definite “ISOLANTI ” o “dielettrici”. Il vetro, la resina, i materiali sintetici sono quindi ottimi “isolanti elettrici” Per quanto riguarda il fenomeno d’elettrizzazione per strofinio, tipico delle sostanze vetrose e resinose, quindi fortemente isolanti, si può dire che esso non può essere causato dalla modifica del numero d’elettroni – in quanto fortemente legati ai loro atomi o molecole – ma ad un fenomeno definito di “POLARIZZAZIONE MOLECOLARE”. Sostanzialmente lo strofinio provoca la modifica dell’orientamento molecolare sino alla deformazione “dell’edificio atomico” – inizialmente caotico – per ricondurlo in un'unica direzione. Ciò provoca la formazione di due poli elettrici di segno contrario e una conseguente “carica elettrica apparente” di spostamento, senza squilibrio del numero di cariche. La famiglia dei “CONDUTTORI” elettrici è poi classificata in funzione del grado di efficienza, nel modo seguente:

Conduttori metallici o di prima classe. Sono i metalli e molte leghe metalliche. Danno luogo a conduzione metallica; il flusso di carica elettrica (corrente elettrica) è dovuto al moto degli elettroni di conduzione, capaci di passare dall’uno all’altro atomo metallico. Gli atomi privi di uno o più di questi elettroni costituiscono degli ioni positivi, che restano fermi o quasi durante la conduzione elettrica metallica.

Conduttori elettrolitici o di seconda classe.

Sono particolarmente le soluzioni e i Sali fusi. Danno luogo a conduzione elettrolitica; il flusso di cariche elettriche (elettricità) è dovuto al moto di porzioni di molecole cariche positivamente (ioni positivi o cationi) e cariche negativamente (ioni negativi o anioni).

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Il movimento degli ioni elettrolitici è assoluto in quanto entrambi i tipi si muovono nella stessa direzione ed in verso apposto attirati da poli elettrici contrari.

Conduttori gassosi.

Negli aeriformi sa ha conduzione gassosa. Il flusso di cariche elettriche è dovuto, di regola, al moto di ioni gassosi, talvolta anche al moto di elettroni liberi. Uno ione gassoso è costituito da una molecola che ha perso o acquistato uno o più elettroni.

Semiconduttori.

Sono sostanze solide, cristalline, nelle quali è presente una lieve conduzione elettrica, il cui carattere, in definitiva, è ancora elettronico ma accompagnato da alcune proprietà specifiche tra cui, di particolare importanza, l’asimmetria direzionale del flusso elettronico. In pratica, nei semiconduttori, il flusso elettronico direzionale è permesso in un solo verso. Nel verso opposto i semiconduttori si comportano come un perfetto isolante.

ELETTRIZZAZIONE PER CONTATTO – PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA CARICA E’ un fenomeno molto evidente specialmente nel caso di conduttori metallici ed è riconducibile ed assimilabile al principio di conservazione dell’energia e al secondo principio della termodinamica ove è affermato che il calore si propaga e si trasmette da un corpo più caldo ad un corpo freddo. Il fenomeno di elettrizzazione per contatto è meglio interpretabile se paragonato a tutti i fenomeni fisici durante i quali è ricercato l’equilibrio. L’elettrizzazione per contatto è il risultato della ricerca, da parte dei corpi interessati ed interagenti, dell’equilibrio elettrostatico. In altre parole:

x Quando un corpo elettricamente squilibrato (carico) è posto a contatto con un corpo neutro, avviene spontaneamente un passaggio di cariche tale da permettere il raggiungimento di una nuova situazione in cui è diminuito lo squilibrio nel corpo carico ed è aumentato nel corpo neutro. Il risultato finale è una nuova situazione in cui la differenza di carica elettrica tra i due corpi si è ridotta. Il fenomeno avviene spontaneamente ed è valido il principio di conservazione della carica elettrica. La quantità di carica posseduta complessivamente dai due corpi si mantiene costante e pari alla carica posseduta prima del contatto.

Così, ad esempio, se un corpo dotato di una quantità di carica positiva (difetto di elettroni) è posto a contatto con uno o più corpi elettricamente neutri, si verifica un trasferimento di elettroni che tende a riportare allo stato neutro il corpo positivo. Gli elettroni sono estratti dal corpo neutro dall’azione elettrostatica attrattiva esercitata dal corpo carico. L’estrazione ed il passaggio di elettroni determina la riduzione della carica elettrica positiva originale (diminuisce lo squilibrio), ma, nel contempo, genera un nuovo squilibrio nel corpo che in origine era neutro. Alla fine, dopo il contatto, entrambi i corpi posseggono una carica elettrica positiva ed il fenomeno è quindi assimilato ad un trasferimento di carica con mantenimento del valore originale. Al contrario, ponendo a contatto un corpo negativo (eccesso di elettroni) con uno o più corpi neutri, si ha una passaggio di elettroni dal corpo carico ai corpi neutri. I corpi, in origine neutri, assumono una carica negativa tanto più grande quanto più elevato è il numero di elettroni trasferito, mentre, il corpo in origine negativo, riduce il valore della carica originale. Si ha in questo caso un trasferimento permanente di cariche negative.

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La quantità di carica trasferita da un corpo carico ad uno neutro o diversamente carico dipende essenzialmente dalla forma dei corpi. Teoricamente, nel caso di corpi dimensionalmente uguali, le carica è dimezzata.

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Figura 4 – ELETTRIZZAZIONE PER CONTATTO

ELETTRIZZAZIONE PER INDUZIONE Un altro modo per elettrizzare un corpo conduttore è quello di provocare la separazione delle cariche positive e negative già possedute inizialmente. Si tratta di una separazione transitoria determinata essenzialmente dallo spostamento delle cariche negative mobili (gli elettroni di conduzione) solitamente attratte o respinte rispettivamente da polarità positiva o negativa esterna. Il risultato di tale attrazione o repulsione è la concentrazione delle cariche negative ad un’estremità del conduttore e la conseguente concentrazione – per difetto d’elettroni – delle cariche positive dalla parte opposta. Il corpo è quindi “polarizzato” dalla presenza di un “polo positivo” e di un “polo negativo” ma, il numero di cariche elettriche originali non è modificato. L’induzione è quindi una forzatura transitoria che modifica lo stato delle cariche ed è provocata dall’attrazione elettrica dovuta alla presenza ravvicinata di un altro corpo elettricamente squilibrato. Il responsabile dell’induzione è definito “induttore o inducente” mentre il corpo che la subisce è definito “indotto”. L’induzione o polarizzazione della materia scompare – ritorno allo stato neutro - se cessa l’azione dell’induttore oppure, in generale, se l’indotto e l’induttore sono allontanati l’uno dall’altro. L’effetto d’induzione su di un conduttore neutro (ad esempio un metallo) si manifesta ogni qualvolta gli è avvicinato un corpo (conduttore o isolante polarizzato) carico.

x Corpo induttore positivo: Avvicinando ad un’estremità del corpo neutro un induttore positivo (corpo conduttore caricato positivamente, estremità positiva di un isolante polarizzato oppure estremità positiva di un conduttore polarizzato), gli elettroni di conduzione contenuti nel corpo neutro si spostano, per attrazione elettrica, verso la parte positiva dell’induttore. Il corpo inizialmente neutro è quindi polarizzato con il polo negativo verso l’induttore. La polarizzazione indotta scompare se i due corpi sono allontanati, ovvero se cessa l’azione elettrostatica dell’induttore.

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IN D U T T O R E P O S IT IV O

IN D O T T O IN IZ IA L M . N E U T R O

P O L O N E G A T .P O L O P O S IT .

S O S T E G N O IS O L A N T E

IN D O T T O IN IZ IA L M . N E U T R O

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P O L O P O S IT .

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S O S T E G N O IS O L A N T E

P O L O N E G A T .

P O L A R IZ Z A T OIN D U T T O R E P O S IT IV O

Figura 5 – INDUTTORE POSITIVO (PERMANENTE O POLARIZZATO TRANSITORIO)

x Corpo induttore negativo: Il fenomeno è analogo al precedente con la differenza che gli elettroni si allontanano dall’induttore trasferendosi all’estremità più distante dell’indotto.

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IN D U T T O R E N E G A T IV O

IN D O T T O IN IZ IA L M . N E U T R O

P O L O N E G A T . P O L O P O S IT .

S O S T E G N O IS O L A N T E

IN D O T T O IN IZ IA L M . N E U T R O

S O S T E G N O IS O L A N T E

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P O L A R IZ Z A T O

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P O L O P O S IT .P O L O N E G A T .

Figura 6 - INDUTTORE POSITIVO (PERMANENTE O POLARIZZATO TRANSITORIO)

La formazione di poli d’induzione contrapposti sul corpo inizialmente neutro è chiaramente visibile dal movimento del pendolino elettrico (piccola sferetta caricata positivamente o negativamente e appesa ad un filo leggero) posto nelle vicinanze delle estremità del corpo.

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IN D U T T O R E N E G A T IV O

IN D O T T O IN IZ IA L M . N E U T R O

P O L O N E G A T . P O L O P O S IT .

S O S T E G N O IS O L A N T E

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IN D O T T O IN IZ IA L M . N E U T R O

P O L O N E G A T .

IN D U T T O R E P O S IT IV O

S O S T E G N O IS O L A N T E

P O L O P O S IT .

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Figura 7 – AZIONI ELETTROSTATICHE SU UN PENDOLINO POSITIVO

INDUZIONE ELETTROSTATICA E SEPARAZIONE PERMANENTE DELLE CARICHE. MESSA A TERRA Sfruttando il solo fenomeno d’induzione risulta impossibile, secondo quanto visto prima, caricare in modo permanente un corpo conduttore (indotto). Per far ciò occorre associare l’induzione elettrostatica all’artificio della messa a terra. Si tratta, in pratica, di collegare il corpo indotto al terreno per mezzo di un filo conduttore (messa a terra) e procedere poi secondo il seguente procedimento:

x Il collegamento del corpo neutro (da caricare) al terreno ci permette di considerare come indotto l’insieme terra-filo-corpo

x Avvicinando l’induttore all’indotto si ottiene, per induzione, il trasferimento delle cariche negative e la polarizzazione elettrica dell’insieme terreno-filo-corpo.

x Le cariche elettriche utilizzano il filo come ponte tra il corpo ed il terreno. x Il corpo è quindi sede di una polarità positiva o negativa in funzione della carica

dell’induttore. Se l’induttore è negativo il corpo posto all’estremità dell’insieme si carica positivamente, se l’induttore è positivo si carica negativamente

x Il filo è poi eliminato separando così il terreno dal corpo ed impedendo alle cariche negative la possibilità di riequilibrare l’insieme

x L’induttore è poi allontanato dall’indotto x L’eccesso o il difetto di cariche negative nel corpo risulta in questo modo permanente.

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S O S T E G N O IS O L A N T E

IN D U T T O R E N E G A T IV O

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T E R R E N O

C O R P O IN IZ IA L M . N E U T R O

F IL O C O N D .

C O R P O P O S IT IV O

T E R R E N O

F IL O C O N D .

S O S T E G N O IS O L A N T E

Figura 8 – CARICA PERMANENTE PER INDUZIONE E MESSA A TERRA

S O S T E G N O IS O L A N T E

T E R R E N O

F IL O C O N D .

IN D U T T O R E P O S IT IV O

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T E R R E N O

F IL O C O N D .

S O S T E G N O IS O L A N T E

C O R P O N E G A T IV OC O R P O IN IZ IA L M . N E U T R O

Figura 9 – CARICA PERMANENTE PER INDUZIONE E MESSA A TERRA

L’induzione elettrostatica unita alla messa a terra permette teoricamente di generare, utilizzando la carica elettrica di un solo induttore, una quantità di carica elettrica infinitamente grande prelevandola direttamente dalla terra che si comporta, in questo caso, come una sorgente di elettricità infinitamente grande. Se ci si limita a considerare la sola carica elettrica generata sui conduttori in esame, non ha più validità il principio di conservazione così come illustrato per il caso di elettrizzazione per contatto. Il principio di conservazione della carica è però in realtà soddisfatto se prendiamo in esame l’intero sistema terra-filo-corpo.

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STRUMENTI DI INDAGINE QUALITATIVA ELETTROSCOPIO A FOGLIE – ELETTROMETRO AD AGO Considerando che la carica elettrica è una grandezza fisica definita dalla somma delle cariche elettriche elementari possedute dagli elettroni in eccesso o in difetto e che risulterebbe, per ovvi motivi, assurda ed impossibile una misurazione diretta mediante conteggio di tali particelle, risulta necessario stabilire:

x Le modalità per la valutazione delle condizioni elettrostatiche che caratterizzano il conduttore

x Il sistema di misura e la relativa unità di misura della carica elettrica x Le modalità per la valutazione numerica dell’intensità di carica

Per quanto riguarda il sistema di misura e le modalità di valutazione numerica, occorre riprendere l’argomento, in prima battuta, durante la trattazione delle forze elettriche e successivamente durante lo studio dei flussi di carica nei conduttori (corrente elettrica). Per il primo punto - la valutazione qualitativa delle condizioni elettrostatiche - è sufficiente ricollegarsi alla condizione iniziale che ha permesso la scoperta dell’elettricità cioè l’esistenza delle azioni elettrostatiche repulsive e attrattive a distanza. Il primo strumento d’indagine qualitativa è “l’elettroscopio a foglie”. Esso ci permette sostanzialmente di determinare, sfruttando il fenomeno di attrazione elettrostatica, se un corpo è carico o neutro, se l’eventuale carica è positiva o negativa e, se opportunamente tarato, una prima valutazione dell’intensità o grandezza numerica della carica. Può essere utilizzato sia tramite contatto che induzione ed è sostanzialmente costituito da un’asta metallica inserita in un recipiente di vetro per mezzo di un tappo di materiale isolante. L’estremità interna al recipiente è dotata di due sottili lamine metalliche incollate all’asta con una sostanza conduttrice, l’altra estremità, esterna, è dotata di un terminale sferico metallico. Esistono poi diverse altre modalità costruttive come, ad esempio, l’elettroscopio ad ago mobile comunemente definito “elettrometro” nel quale l’azione delle lamine metalliche è sostituita dal movimento rotatorio di una sbarretta metallica sottile (ago) rispetto ad un’asta metallica fissa.

S F E R A M E T A L L IC A

A S T A M E T .

T A P P O IS O L A N T E

L A M IN E

R E C . V E T R O

S F E R A M E T A L L IC A

R E C . V E T R O

T A P P O IS O L A N T E

A S T A M E T .F IS S A

A G O

S C A L A

Figura 10 – ELETTROSCOPIO A LAMINE METALLICHE – ELETTROMETRO AD AGO

21

USO DELL’ELETTROSCOPIO:

Per determinare se un corpo è neutro o carico: L’elettroscopio è utilizzato sia per contatto che per induzione. Ponendo a contatto la sfera esterna dell’elettroscopio con il corpo in esame (si desidera determinare se il corpo è carico o no), parte dell’eventuale carica elettrica si trasferisce dal corpo alla sfera e, attraverso l’asta metallica, si distribuisce anche sulle lamine. L’apertura delle lamine metalliche è indice della presenza della forza elettrostatica repulsiva agente sulle due lamine per effetto di cariche elettriche dello stesso segno. Naturalmente nulla accade se il corpo in esame è neutro. Nel caso di apertura delle lamine non ci è permesso di determinare il segno algebrico della carica.

++ +

+

+ +++

++

++

++

+++

+

++

+

++

----

-- -

----

-- ---

- -----

--- ----

--------

++++ - -

-

-

Figura 11 – PER CONTATTO

Avvicinando il corpo alla sfera dell’elettroscopio il corpo, si ottiene, per effetto dell’induzione elettrostatica, la separazione delle cariche sull’asta, le lamine e la sfera stessa. L’elettroscopio si polarizza assumendo sulla sfera esterna la polarità opposta al segno della carica del corpo e, sulle lamine, la stessa polarità. Le lamine, ancora per effetto di forze elettrostatiche repulsive, si allontanano confermando così che il corpo induttore è carico. Nulla succede nel caso di corpo neutro. Allontanando il corpo dalla sfera cessa la polarizzazione dell’elettroscopio e le lamine assumono la posiziona naturale di verticalità, chiudendosi. Anche in questo caso, pur riuscendo a determinare se il corpo è carico o neutro, non ci è permesso di conoscere il segno algebrico della carica. Dalla maggiore o minore apertura delle lamine ci è invece consentito di paragonare l’intensità di carica di due diversi corpi posti a contatto in tempi diversi.

22

++

++

++

++

-----

---

+++

++

++

--

---

------

- ----

-

--- -

++

++

+++

-- -- -- -

Figura 12 – PER INDUZIONE

Per determinare il segno algebrico della carica: Qualora l’utilizzo dell’elettroscopio abbia segnalato la presenza di una carica elettrica e si desideri determinarne il segno algebrico, la procedura che si descrive è solo un più complicata. Inizialmente si procede a caricare per contatto l’asta e le lamine dell’elettroscopio scegliendo a priori il segno della carica elettrica.

x Se si decide di precaricare positivamente l’elettroscopio: Utilizzando una bacchetta di plastica strofinata e un conduttore metallico collegato a terra, per mezzo dell’induzione, si procede a caricare in modo positivo il conduttore stesso, come illustrato nello schema seguente:

e

ee

S O S T A N Z A R E S IN O S A

C O R P O IN IZ IA L M . N E U T R O

S O S T E G N O IS O L A N T E

e

e

e

e

T E R R E N O

F IL O C O N D .

C O N D U T T O R E C O N D U T T O R E

C O R P O S IC U R A M E N T E P O S IT IV O

T E R R E N O

F IL O C O N D .

S O S T E G N O IS O L A N T E

A A

Figura 13 – COME SI GENERA UN CORPO CONDUTTORE POSITIVO

23

Usando il corpo conduttore positivo generato e un manico isolante per evitare che si scarichi a terra, si carica per contatto l’asta, le sfera e le lamine dell’elettroscopio.

+

+

+ ++

++

++

++

+++

+

++

+

++

A

+ + +A

Figura 14 – CARICARE POSITIVAMENTE L’ELETTROSCOPIO

Si avvicina ora alla sfera dell’elettroscopio precaricato positivamente il corpo per il quale si desidera determinare il segno algebrico della carica. Si potranno verificare due diversi casi in funzione dei quali sarà determinato il segno della carica del corpo induttore: x Le lamine tendono ad allontanarsi anor più x Le lamine tendono a richiudersi Caso 1: Il corpo possiede un’ipotetica carica positiva, l’elettroscopio è già positivo. Avvicinando il corpo, che si ipotizza positivo, alla sfera sicuramente positiva e tenendo conto del fenomeno d’induzione elettrostatica, si conclude quanto segue: La presenza della carica positiva costringe elettroni di conduzione dell’elettroscopio ad allontanarsi dalle lamine e trasferirsi all’estremità superiore ove è presente la sfera già caricata positivamente. L’afflusso sulla sfera di nuovi elettroni di conduzione, negativi, riduce il difetto d’elettroni in prossimità del corpo carico positivamente. Nel contempo gli elettroni trasferiti dalle lamine aumentano ancor di più la carica positiva sulle lamine. Di conseguenza, avendo precaricato positivamente l’elettroscopio e constatando l’ulteriore allargamento delle lamine, si conclude che la carica del corpo induttore deve essere sicuramente positiva come ipotizzata. Caso 2: Il corpo possiede un’ipotetica carica negativa, l’elettroscopio è già positivo. Avvicinando il corpo, che si ipotizza negativo, alla sfera sicuramente positiva e tenendo conto del fenomeno d’induzione elettrostatica, si conclude quanto segue: La presenza della carica negativa ipotetica costringe elettroni di conduzione sulla sfera dell’elettroscopio ad allontanarsi dalla stessa e trasferirsi all’altra estremità ove sono presenti le lamine già caricate positivamente.

24

L’afflusso di nuovi elettroni di conduzione, negativi, riduce il difetto d’elettroni sulle lamine e, di conseguenza, le forze elettriche repulsive diminuiscono permettendo così alle lamine di richiudersi. Di conseguenza, avendo precaricato positivamente l’elettroscopio e constatando la chiusura delle lamine, si conclude che la carica del corpo induttore deve essere sicuramente negativa come ipotizzato.

++

++

++

+++

+

++

+

++

+

++

+++ +

++++++++++++

+

-ee -

+

Figura 15 – CASO 1

++

++

++

+++

+

++

+

++

+

+

+

--- - -

----- -

++++

++++++

++

e --e

Figura 16 – CASO 2

25

LA FORZA ELETTRICA L’interazione elettrica o forza elettrica è una forza fondamentale causata da una caratteristica, intrinseca delle particelle atomiche costituenti la materia, che si materializza esternamente sotto forma di carica elettrica complessiva. Le forze elettriche o elettrostatiche, molto più intense delle forze gravitazionali e di tipo sia attrattivo che repulsivo, sono azioni “a distanza” per le quali non occorre, come d’altra parte anche per le forze gravitazionali, l’effettivo contatto tra i corpi. Il termine “forza elettrostatica” è tipico dei casi in cui le particelle che si attraggono o respingono non modificano, nel tempo la loro posizione, mentre il termine “forza elettrica” è più generico ed include quindi anche il caso di corpi o particelle in movimento le une rispetto alle altre. Com’è risaputo, la materia è costituita da un insieme di particelle di dimensioni ridottissime, che definiamo comunemente “atomi”, quasi sempre riunite in agglomerati definiti a loro volta “molecole”. In base alla loro massa ed ad altre caratteristiche morfologiche, quali ad esempio la densità o lo stato, gli atomi sono riuniti e classificati nella “Tavola Periodica degli elementi” o “Tavola periodica di Mendeleev” basata sul Carbonio 12 e aggiornata con gli elementi di sintesi. La classificazione prevede un numero di elementi atomici elementari suddivisi in metalli, non metalli, liquidi e gas nobili e elementi atomici di sintesi. Indipendentemente dal tipo di elemento, ogni atomo è poi costituito da particelle - protoni e neutroni – contenute nel nucleo – e da altre particelle, gli elettroni, in rotazione attorno al nucleo stesso. Le caratteristiche intrinseche di cui si accennava all’inizio, sono proprie dei protoni e degli elettroni che, pur avendo masse completamente diverse (la massa del protone equivale a quella di circa 2.000 elettroni), ne posseggono un’uguale quantità. La quantità di cui si parla è comunemente definita “carica elettrica”. L’elettrone e il protone posseggono lo stesso valore di “carica elettrica” anche se di segno opposto; l’elettrone di segno negativo, il protone di segno positivo. La definizione di “carica elettrica di segno positivo” e “carica elettrica di segno negativo” è basata sul presupposto che, in natura, esistono due tipi di materiale – l’ambra, o resina fossile, e il vetro – che per sfregamento con un panno di lana assumono la proprietà di attirarsi vicendevolmente. Per definizione, i materiali che hanno caratteristiche elettriche uguali a quelle del vetro sono definiti “POSITIVI”, mentre i materiali elettricamente uguali all’ambra sono definiti “NEGATIVI”. Due corpi, elettricamente carichi entrambi o di segno positivo o di segno negativo, si respingono vicendevolmente; due corpi, carichi di segno contrario, si attirano vicendevolmente. La forza con la quale si respingono o si attraggono è la “FORZA ELETTRICA O ELETTROSTATICA”. L’intensità delle “FORZE ELETTRICHE” è direttamente proporzionale al prodotto dei valori numerici delle cariche elettriche possedute dai due corpi, inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza e dipendono, inoltre, dal materiale nel quale sono immersi i corpi. Inoltre, essendo reciprocamente applicate ai corpi carichi, le forze elettriche sono dirette secondo la retta direttrice che congiunge i due baricentri ed hanno sempre verso opposto. La legge sperimentale che permette di determinare il valore della FORZA ELETTRICA è stata scoperta dallo scienziato francese COULOMB ed è quindi conosciuta come “LEGGE DI COULOMB”:

26

2Er

qQkF

LEGGE DI COULOMB

Con il seguente significato della simbologia:

EF FORZA ELETTRICA O ELETTROSTATICA DI ATTRAZIONE O REPULSIONE

k COSTANTE ELETTRICA DEL MATERIALE IN CUI SONO IMMERSE LE CARICHE ELETTRICHE Q E q.

Q CARICA ELETTRICA MAGGIORE q CARICA ELETTRICA MINORE r DISTANZA TRA I BARICENTRI DELLE CARICHE

Figura 17 - FORZE ELETTRICHE ATTRATTIVE TRA DUE CARICHE DI SEGNO CONTRARIO

27

Figura 18 – FORZE ELETTRICHE REPULSIVE TRA DUE CORPI DI UGUAL SEGNO.

1. DEFINIZIONE OPERATIVA DELLA GRANDEZZA FISICA “CARICA ELETTRICA”: Come già anticipato la carica elettrica è una proprietà specifica dei protoni e degli elettroni contenuti nell’atomo. Il protone si comporta, elettricamente, allo stesso modo del vetro ed è quindi positivo mentre l’elettrone si comporta come l’ambra ed è quindi negativo. La carica elettrica dell’elettrone e del protone, pur essendo di segno contrario, hanno però lo stesso valore numerico. Il segno positivo e negativo non indicano, come in matematica, un numero rispettivamente maggiore o minore di zero ma, come si vedrà più avanti, sono indicatori simbolici del senso della corrente elettrica i o, meglio, del senso del potenziale elettrico V . Nel caso di applicazione della LEGGE DI COULOMB per il calcolo della forza elettrica il segno positivo o negativo ci indicherà il verso delle forze. Ogni atomo, qualsiasi sia il suo numero atomico, possiede un ugual numero di protoni ed elettroni cosicché la quantità di carica elettrica, pensata sia positiva che negativa, per un osservatore posto all’esterno, è nulla. In queste condizioni l’atomo è elettricamente neutro e non si manifestano interazioni elettriche con l’ambiente circostante. C’è però da considerare il fatto che, in determinate circostanze, è possibile generare uno squilibrio elettrico all’interno dell’atomo aggiungendo o togliendo elettroni negativi senza alterazione del numero di protoni, che all’interno del nucleo, sono inamovibili. Lo squilibrio elettrico è tanto più elevato quanto è maggiore il numero di elettroni aggiunti o tolti; se sono aggiunti elettroni la carica elettrica complessiva sarà negativa per eccesso di elettroni mentre, se si estraggono elettroni, la carica elettrica complessiva sarà positiva per eccesso di protoni. Il valore complessivo della carica potrà essere determinato, per l’atomo singolo, dal numero di elettroni in più o in meno.

28

Supponendo di definire con e la carica elettrica del singolo elettrone, con E

n il numero di

elettroni estratti o aggiunti e con A

N il numero di atomi contenuti in un corpo, sarà possibile determinare lo squilibrio di cariche elettriche, ovvero la carica elettrica complessiva, ricorrendo alla semplice relazione:

AE Nenq u

La carica complessiva q sarà positiva se gli elettroni sono estratti, negativa se aggiunti:

q Numero di elettroni minore del numero di elettroni. q Numero di elettroni maggiore del numero di protoni.

E’ quindi chiaro che l’intensità di carica elettrica dipende unicamente dal numero complessivo di elettroni mancanti o in eccesso. La carica elettrica dell’elettrone

La carica elettrica e posseduta dall’elettrone è quindi la più piccola che si conosca e il suo valore

numerico è stato determinato in base alla definizione dell’unità di misura della grandezza fisica “carica elettrica”:

Coulomb10602,1e 19 Naturalmente essa è uguale, a parte il segno, alla carica elettrica del protone:

Coulomb10602,1p 19 2. UNITA’ DI MISURA DELLA CARICA ELETTRICA: L’unità di misura da utilizzarsi per la grandezza fisica “carica elettrica” è il COULOMB la cui abbreviazione simbolica è C . La quantità di carica elettrica il cui valore è di C1 è definita nel modo seguente:

Date due sfere metalliche di dimensioni puntiformi, poste alla distanza di m1 una dall’altra, nel vuoto, e collegate ognuna ad una molla dinamometrica in grado di contrastare i loro spostamenti e, nello stesso tempo, di misurare le forze applicate:

29

Figura 19 – SFERE METALLICHE NEL VUOTO E MOLLE DINAMOMETRICHE

Data una macchina, di tipo qualsiasi, collegata ad entrambe le sfere e in grado di trasferire elettroni da una sfera all’altra:

Figura 20 – MACCHINA DI TRASFERIMENTO ELETTRONI

Considerando che, a causa del trasferimento di elettroni, le due sfere si caricano

elettricamente di segno opposto, che la quantità di carica aumenta durante il funzionamento della macchina in funzione del tempo e della portata elettrica della macchina, cioè del numero di elettroni al secondo trasferiti, che le sfere – caricandosi elettricamente di segno opposto – si attirano vicendevolmente con due forze elettriche uguali e contrarie e che dette forze aumentano gradatamente in funzione dell’aumento della carica elettrica:

30

Figura 21 – CARICA ELETTRICA E FORZE ELETTRICHE ATTRATTIVE

Si definisce Carica elettrica di 1 (Coulomb) - C1Q - la carica elettrica assunta

singolarmente da ogni sfera nel momento in cui le forze elettriche EF raggiungono il valore

di Newton109 9

Figura 22 – CARICA ELETTRICA DI 1 (Coulomb)

3. NUMERO DI CARICHE ELEMENTARI NELL’UNITA’ DI MISURA DELLA CARICA: Considerando che la carica elementare è quella dell’elettrone eq e il suo valore numerico,

espresso in Coulomb C10602,1e 19 , si può determinare il numero di cariche elementari occorrenti per formare una carica di valore pari all’unità di misura, con la semplice relazione:

C1Qen e

31

Da cui:

¸¹

ᬩ

§#

C

elettroni1024,61062422,0

C10602,1

C1

e

Qn 1819

19e

4. ANALISI DIMENSIONALE DELLA LEGGE DI COULOMB E DELLA COSTANTE K: Dall’analisi dimensionale della legge e tenendo conto che la Forza non è una grandezza fondamentale ma derivata ed è definita dal 2° Principio della Dinamica o “Legge del moto” come il prodotto della massa per l’accelerazione:

amF si possono determinare le dimensioni fisiche della COSTANTE ELETTRICA k :

2Er

qQkF

FORZA ELETTRICA IN UN MATERIALE QUALSIASI

qQ

rFk

2E

> @qQ

Lt

LM

qQ

ramk

2

22

»¼

º«¬

ª

o

o

»¼

º«¬

ª

o

qQt

LMk

2

3

Nell’analisi dimensionale compare la grandezza “carica elettrica” come definita ai punti precedenti ma, più avanti, con la definizione di un’ulteriore grandezza fondamentale quale l’intensità di corrente elettrica i - la cui unità di misura sarà l’AMPERE A - anche la carica elettrica dovrà essere riferita al valore dell’intensità di corrente secondo la relazione:

tiQ sA

Cosicché le dimensioni della costante elettrica saranno:

»¼

º«¬

ª

o

qQtM

Lk

2

3

»¼

º«¬

ª

222

3

sAt

LM

La stessa Costante elettrica espressa invece in termini di unità di misura, tenendo conto del fatto che è stato definito il NEWTON (N) come unità di misura della forza, si ottiene:

qQ

rFk

2E

Da cui:

2

22

C

mN

CC

mNk

0ppure

22

22

sA

mN

sAsA

mNk

Il valore numerico della Costante Elettrica k dipende dal materiale in cui sono immerse le cariche. Se le cariche sono nel vuoto la Costante è definita “Costante elettrica del vuoto” e il suo valore si ricava tenendo conto della definizione dell’unità di misura della carica elettrica. La legge di COULOMB assume la forma:

2Er

qQkF

) FORZA ELETTRICA TRA CARICHE NEL VUOTO

32

In cui )

k è la “Costante elettrica del vuoto”.

¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

) 2

29

2292E

C

mN109

C1C1

m1N109

qQ

rFk

Il valore numerico della costante elettrica del vuoto è quello massimo tra tutti i valori possibili ovvero, in altre parole, le forze elettriche che si sviluppano se le cariche sono nel vuoto sono sempre le più intense. 5. LA LEGGE DI COULOMB E LA COSTANTE DIELETTRICA ASSOLUTA H : Oltre alla formulazione classica della LEGGE DI COULOMB nella quale compare la costante elettrica k relativa al materiale -

)k per il vuoto – si utilizza praticamente una seconda

formulazione, tipica per le distribuzioni di carica di forma sferica, in cui compare una seconda costante, con dimensioni invertite rispetto alla classica k , che è definita “COSTANTE DIELETTRICA ASSOLUTA” e il cui simbolo è H . La Legge di Coulomb, riscritta con l’utilizzo della costante dielettrica assoluta, è la seguente:

2Er

qQ

4

1F

HS FORZA ELETTRICA IN UN MATERIALE QUALSIASI

2Er

qQ

4

1F

HS

)

FORZA ELETTRICA NEL VUOTO

E il legame tra la “costante elettrica” e la “costante dielettrica assoluta” è ottenuto paragonando le due espressioni della legge:

HS

4

1k

Da cui:

k4

1

S H

Relativamente al caso in cui le cariche siano disposte nel vuoto, si utilizzerà la “costante dielettrica del vuoto”

)H il cui valore numerico si ottiene:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ S

S

H

)

) 2

212

2

29

2

29 mN

C108464,8

mN

C100088464,0

C

mN1094

1

k4

1

6. LA COSTANTE DIELETTRICA RELATIVA

RH :

Come si è detto, per il calcolo delle forze elettriche, oltre all’intensità delle cariche Q e q e alla loro distanza r , occorre essere a conoscenza anche della costante dielettrica assoluta H caratteristica del materiale in cui sono immerse le cariche. E’, a questo scopo, definita un ulteriore costante, i cui valori sono reperibili su apposite tabelle, che è la “Costante Dielettrica relativa”

RH dipendente dalla costante dielettrica assoluta del materiale e

dalla costante dielettrica del vuoto, secondo la seguente relazione:

)H

H H R

E’ così possibile determinare il valore numerico della costante dielettrica assoluta:

33

)HH H R

E la formulazione finale della Legge di COULOMB:

2R

Er

qQ

4

1F

HHS

)

FORZA ELETTRICA IN UN MATERIALE QUALSIASI

I valori della “COSTANTE DIELETTRICA RELATIVA” per i materiali in cui, più sovente sono immerse le cariche elettriche, sono i seguenti:

Per materiali liquidi: Acqua distillata 07,81R H Alcool etilico 28R H Nitrobenzene 36R H Olio minerale 5,2R H Olio di paraffina 3R H Olio per trasformatori 5,22R H Petrolio 1,2R H Silicone 8,2R H Vaselina 5,2R H

Per materiali aeriformi: Anidride carbonica 000946,1R H Aria secca 000590,1R H Elio 000074,1R H Idrogeno 000264,1R H Vapore acqueo 007,1R H

Per materiali solidi: Ambra 8,2R H Bakelite 7,6R H Carta compressa 3,27,1R H Celluloide 0,3R H Ceralacca 3,4R H Cloruro polivinile 3,3R H Ebanite 5,2R H Gomma 0,4R H Marmo 86R H Mica 65R H Paraffina 1,2R H Plexiglass 0,3R H Polistirolo 5,2R H Porcellana 3,5R H Vetro 0,5R H

Per il vuoto: 0,1R H

34

ESERCIZI

ESERCIZIO 1: Due sfere elettricamente cariche di elettricità di segno contrario, poste alla distanza di 50 cm l’una dall’altra, si attraggono con una forza di 5 N. Se sono portate alla distanza di 15 cm, con quale forza si attrarranno? Soluzione:

x La forza elettrica d’attrazione tra le due sfere, per le quali non si conosce né il valore numerico delle cariche elettriche né il tipo di materiale che le contiene, è data dalla Legge di Coulomb in una qualsiasi delle sue formulazioni: Ad esempio:

2R

Er

qQ

4

1F

HHS

)

Dai dati del problema e considerando che alcuni dei valori non cambiano, anche se le sfere si avvicinano, possiamo calcolare il valore dei termini incogniti:

2222E

R

mN25,1m5,0N5rF4

qQ

HHS

)

Con il risultato ottenuto e applicando la Legge di Coulomb, determiniamo ora il valore della forza elettrica, quando le sfere si avvicinano a 15 cm:

N55,55m15,0

1mN25,1

r

1

4

qQF

22

2

2R

E HHS

)

ESERCIZIO 2: Due cariche elettriche, supposte puntiformi, una di C105 2 e l’altra di C108 4 , si trovano nel vuoto ad una distanza di 50 cm. Determinare la forza con la quale si attraggono. Quale sarebbe la forza d’attrazione se le cariche fossero immerse in vaselina? Soluzione:

x Per cariche nel vuoto: Vale la Legge di Coulomb per cariche immerse nel vuoto:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

S

HHS

))) 22

42

2

212

2R

Em5,0

C108C105

mN

C1085,814

1

r

qQ

4

1F

N1044,1

mC

mNC1044,11044,1

10

1010

25,085,814

85F 6

22

2261242

12

42

E ¸¸

¹

·

¨¨

©

§

S

)

x Per cariche nella vaselina 5,2VASR H :

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

S

HHS

)22

42

2

212

2VASR

VASELINAEm5,0

C108C105

mN

C1085,85.24

1

r

qQ

4

1F

N107,5

mC

mNC1057,01057,0

10

1010

25,085,85,24

85F 5

22

2261242

12

42

VASE ¸¸

¹

·

¨¨

©

§

S

35

ESERCIZIO 3: Determinare a quale distanza si devono mettere, in acqua, due corpi puntiformi con cariche uguali di C102 4 , affinché la forza ACQUAEF con cui si respingono sia di N105,2 3 . Soluzione:

x E’ ancora applicabile la Legge di Coulomb:

2ACQUAR

ACQUAEr

qQ

4

1F

HHS

)

Dalla quale, invertendo la formula, si ricava il valore incognito della distanza r :

S

HHS

)312

44

ACQUAEACQUAR 105,21085,807,814

102102

F4

qQr

m042,010777,110777,1101025,2

104

10528.22

104r 3948

94

8

9

8

#

cm2,4m042,0r

ESERCIZIO 4: Determinare la carica che, posta nel vuoto alla distanza di 1 metro da una seconda carica di C3 , l’attrae con la forza FE kg10F Soluzione:

x Dalla Legge di Coulomb:

2R

Er

qQ

4

1F

HHS

))

)

Invertendo la formula e considerando che una forza d’attrazione è negativa, si ottiene:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

¸

¹

ᬩ

§

HHS

)))

C3

m1mN

C1085,8114.34

kg

N81,9kg10

q

r4FQ

222

212

ff2

RE

C1063,3C108,634.3

C3

m1mN

C1085,8114.34

kg

N81,9kg10

Q 912

222

212

ff

#

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

¸

¹

ᬩ

§

ESERCIZIO 5: Tre cariche C103q;C105q;C105q 4

34

23

1 sono poste nel vuoto ai vertici di un

triangolo rettangolo i cui cateti misurano rispettivamente cm10 e cm15 . Calcolare l’intensità della forza elettrica agente su 2q . Soluzione:

x Su ogni carica si manifestano due forze elettriche dovute alla presenza delle altre due cariche. Essendo posizionate ai vertici di un triangolo rettangolo su una delle tre cariche devono agire delle forze perpendicolari tra loro. La carica sulla quale agiscono forze perpendicolari è proprio la 2q in base al seguente schema:

36

Figura 23

La forza risultante, sulla carica 2q , è data, per il Teorema di Pitagora, da:

2.32

2.12

2 FFF In cui:

N1049,221049,221,01085,814

105105

r

qq

4

1F 51243

212

43

2.12

21

R2.1

S

HHS

)))

N1099,51049,221,01085,814

105103

r

qq

4

1F 41244

212

44

2.12

23

R2.3

S

HHS

)))

Si ottiene quindi:

N10249,21099,51049,22F 624252 #

ESERCIZIO 6: Due sfere uguali, una con carica C105q 3

1u e l’altra C104q 4

2u , sono poste a

contatto e poi allontanate di 50 cm. Determinare la forza che esercita su di esse, supponendo che l’esperienza si svolga in olio minerale. Soluzione: La carica 1q è negativa in quanto presenta un eccesso di elettroni rispetto alla neutralità. Il numero di elettroni in eccesso è determinato dalla seguente relazione:

enq 11 Da cui si può determinare il numero con:

el1012,310602,1

105

e

qn 16

19

31

1 u u

u

Per l’altra carica c’è un difetto d’elettroni (o meglio un eccesso di protoni) pari a:

37

el1049,210602,1

104

e

qn 15

19

42

2 u u

u

Dato che le due sfere hanno uguale geometria e avviene il contatto, dovendo inoltre valere il principio di conservazione della carica, e supponendo inalterato il numero di cariche complessivamente presenti dopo il contato, pari alla somma dei protoni in eccesso e degli elettroni in difetto, alla fine la somma d:

161516

21 1068,12

1049,21012,3

2

nnu

uu

161616M1

*1 1044,11068,11012,3nnn u uu

161615M2

*2 1044,11068,11049,2nnn u uu

L’eccesso di elettroni nella prima sfera si è ridotto, mentre nella seconda sfera l’eccesso protoni è stato annullato ed è comparso un eccesso di elettroni pari a quello finale sulla prima. Le due sfere sono ora negative e posseggono un uguale carica elettrica negativa di valore pari a:

C103,2el

C)10602,1(el1044,1qq 31916*

2*1

u ¸¹

ᬩ

§u

ESERCIZIO 7: Una carica C102q 3

1u è posta, nel vuoto, sulla retta congiungente due cariche

C104q 42

u e C103q 53

u che distano tra loro 2 (m). Determinare la forza a cui è assoggettata la carica 1q , sapendo che essa è distante 80 cm dalla carica 3q . Soluzione:

La forza che la carica 2 esercita sulla carica 1 è attrattiva, quindi, secondo il disegno, rivolta verso sinistra e negativa nel sistema normale d’assi cartesiani. Il suo valore è dato da:

38

N105

m2,1

C104C102C

mN109

r

qqkF 3

22

43

2

29

212

2112 u

uu¸¸

¹

·

¨¨

©

§ u

)

La forza che la carica 3 esercita sulla carica 1 è ancora attrattiva, quindi, secondo il disegno, rivolta verso destra e positiva nel sistema normale d’assi cartesiani. Il suo valore è dato da:

N1044,8

m8,0

C103C102C

mN109

r

qqkF 2

22

53

2

29

213

3113 u

uu¸¸

¹

·

¨¨

©

§ u

)

Complessivamente la carica 2 è dunque sottoposta ad una forza rivolta verso sinistra, dalla parte negativa dell’asse orizzontale del sistema cartesiano, il cui valore è pari alla differenza:

N156.4N844N000.5F T ESERCIZIO 8: Due sferette aventi ciascuna una massa di 10 grammi sono sospese per mezzo di due fili lunghi 1,3 m. Dopo che sono state elettrizzate si distanziano di 10 cm una dall’altra. Determinare la carica elettrica di ogni sferetta. Soluzione: La repulsione elettrica produce un allontanamento delle sferette che sono costrette a muoversi su di un arco di circonferenza la cui corda è pari alla distanza finale tra le sferette, cioè 10 cm. La rotazione angolare dei fili è dunque data da:

03856,0cm130

cm5sen D

qr#D 2,2 Complessivamente, l’angolo formato, nella posizione di equilibrio elettrostatico e meccanico, risulta di circa 4,4 °. La componente parallela al filo, della forza peso di ciascuna sferetta, nella posizione di equilibrio, è data da:

g9926,92,2cosg10cospp N q D

La componente perpendicolare al filo, quindi tangente alla circonferenza, è invece data da: g38,02,2seng10senpp T #q D Considerato che la rotazione angolare è sufficientemente piccola, è possibile confondere l’arco di circonferenza con la corda. Ritenendo valida tale approssimazione, risulta che la forza elettrica equilibrante deve essere uguale e di segno opposto alla forza tangenziale. Per cui si ricava il valore delle cariche:

2

2

TEr

qkpF

)

39

C1044,6

C

mN109

m1,0kg

N81,9kg108,3

k

rpq 8

2

29

224

2T

)

u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ u

¸¹

ᬩ

§u

ESERCIZIO 9: Determinare il rapporto esistente tra la forza elettrica e la forza gravitazionale che si esercita tra due elettroni, sapendo che la massa dell’elettrone è pari a kg1011,9 31u .

Soluzione: Dalle relazioni che esprimono la forza gravitazionale ed elettrica si ottiene:

2Er

eekF

)

2ee

Gr

mmGF

42

23111

2199

2e

2

G

E 10172,41011,91067,6

10602,1109

mG

ek

F

Fu

u

uu

)

ESERCIZIO 10: Un corpo elettrizzato è sospeso con un filo isolante ad un piattello di una bilancia. Si pone, al di sotto di questo, alla distanza di 10 cm, un corpo con una carica di C105 3u e, per equilibrare la bilancia occorre aggiungere sull’altro piattello un peso di 10 grammi. Calcolare la carica posseduta dal corpo sospeso al piattello con l’ipotesi che il peso del corpo elettrizzato sia trascurabile. Soluzione: La forza elettrica tra il corpo elettrizzato e quello sottostante, deve essere pari al peso necessario per riequilibrare la bilancia e diretta verso il basso. Quindi il segno della carica elettrica del corpo elettrizzato deve essere sicuramente positivo. Il valore della carica sarà data da:

2X

Er

QqkpF

)

C1018,2

C105C

mN109

m1,0kg

N81,9kg101

Qk

rpq 11

3

2

29

222

2

X

)

u

u¸¸

¹

·

¨¨

©

§ u

¸¹

ᬩ

§u

ESERCIZIO 11: Calcolare la velocità di rotazione di un elettrone attorno ad un protone (atomo di idrogeno) sapendo che l’orbita è circolare con raggio m105r 11u e la massa dell’elettrone è

kg1011,9m 31e

u . Soluzione: Potendo trascurare la forza d’attrazione gravitazionale tra il protone e l’elettrone in quanto notevolmente più piccola rispetto all’attrazione elettrica, si può impostare la relazione seguente:

40

E

2T

eC Fr

vmF

Cioè: la forza centripeta, responsabile della rotazione dell’elettrone sulla circonferenza con centro il protone, deve essere uguale alla forza d’attrazione elettrostatica che il protone e l’elettrone si scambiano vicendevolmente. Si ricava quindi:

¸¹

ᬩ

§u

u

u¸¸

¹

·

¨¨

©

§ u

)

s

m1025,2

m105kg1011,9

C10602,1C

mN109

m

rr

ek

m

rFv 6

1131

2219

2

29

e

2

2

e

ET

41

LE FORZE DI INDUZIONE ELETTROSTATICA Dalla legge sperimentale di Coulomb si può desumere che le forze elettriche sono esercitate tra due corpi ravvicinati solo se questi sono entrambi dotati di carica elettrica. Si può quindi concludere che l’attrazione o repulsione elettrostatica risulterebbe nulla se uno dei due corpi fosse neutro. In effetti la realtà pratica sperimentale sembra in contrasto con quanto afferma la legge di Coulomb; si può infatti dimostrare che, avvicinando un corpo elettrizzato (per strofinio o per contatto) ad un corpo conduttore neutro, si nota l’immediata comparsa di un’azione attrattiva a distanza dovuta, evidentemente, all’esistenza di una forza elettrica. Tale fenomeno, che come si vedrà non è affatto in contrasto con quanto affermato dalla legge di Coulomb permettendo anzi di ampliarne i concetti anche a livello delle particelle subatomiche, è definito “Induzione Elettrostatica”. Le forze elettriche d’attrazione dovute all’induzione elettrostatica sono da interpretare nel modo seguente:

x La carica elettrica, presente sul corpo non neutro, esercita forze di segno contrario sulle cariche elementari positive e negative contenute in uguale numero nel corpo neutro.

x Agli elettroni di conduzione sono quindi applicate forze elettriche che ne provocano lo spostamento nel verso concorde con il verso delle forze.

x Se il corpo carico è positivo, gli elettroni di conduzione nel corpo neutro sono attirati e si spostano, all’interno del materiale, sino alla superficie più prossima alla superficie del corpo carico.

x Sulla superficie opposta, più distante dal corpo carico, è dislocata la zona con la maggior concentrazione di atomi privi dei relativi elettroni di conduzione.

x Il conduttore, inizialmente neutro, si è quindi polarizzato per effetto d’induzione. x Sulle cariche di segno contrario dislocate ai poli del conduttore sono ora esercitate, dal

corpo carico induttore, due forze elettriche di segno contrario: una forza attrattiva è esercitata sul polo negativo più prossimo, una forza repulsiva sul polo positivo più distante.

x Essendo le due forze elettriche inversamente proporzionali alla distanza al quadrato si può concludere che la forza attrattiva è maggiore della forza repulsiva e, di conseguenza, il corpo neutro, ora polarizzato, si avvicina macroscopicamente al corpo carico positivamente.

+ ++++++

+-----------

Figura 24 – RISULTANTE ATTRATTIVA DI INDUZIONE ELETTROSTATICA

42

N e u tro P o la r iz z a to

- - -

--

-

------

-

+

++

+++

Figura 25 - RISULTANTE ATTRATTIVA DI INDUZIONE ELETTROSTATICA

Se il corpo carico che è avvicinato è negativo la forza d’induzione elettrostatica è comunque attrattiva in quanto la polarizzazione è opposta alla precedente (gli elettroni sono sospinti sulla superficie più distante). Un’altra dimostrazione della comparsa di forze di induzione elettrostatiche attrattive, del fenomeno di polarizzazione e di carica per induzione, è quella che si ottiene con un’esperienza simile alla precedente, ma ove si utilizzano due sfere, inizialmente neutre, collegate tra loro con un filo conduttore (oppure semplicemente in intimo contatto) e un corpo conduttore carico con funzioni d’induttore. Il corpo conduttore carico è avvicinato ad una delle due sfere neutre ed esercita forze elettrostatiche sulle cariche elementari negative (elettroni) che si spostano così liberamente nei materiali approfittando del punto o punti contatto tra i due corpi conduttori. In questo modo la sfera più vicina all’induttore si polarizza con segno contrario all’induttore stesso, mentre, quella più distante di segno uguale all’induttore. Nel contempo la risultante delle forze elettrostatiche indotte, come nell’esempio precedente, provoca l’avvicinamento dell’insieme “sfere a contatto” all’induttore. Se le due sfere sono separate oppure è eliminato il filo di collegamento, mentre l’induttore è ancora presente, la polarizzazione risulta irreversibile ed ognuna mantiene quindi permanentemente la polarità acquisita durante l’induzione. Eliminando l’induttore, le due sfere scollegate si attraggono vicendevolmente. L’esperienza descritta è utilizzata come principio di funzionamento di un’apparecchiatura che è utilizzata per generare, separare, movimentare ed accumulare quantità discrezionali di carica elettrica sia di tipo positivo che negativo. Si tratta di un’apparecchiatura definita “Elettroforo di Volta”.

43

A T T R A Z . P E R M A N E N T EA T T R A Z . IN D O T T AS F E R E N E U T R E

321

-+------

+

++

++

L’ELETTROFORO DI VOLTA: L’elettroforo di Volta è costituito essenzialmente da un piatto conduttore metallico collegato rigidamente ad un supporto di materiale isolante che permette all’operatore di utilizzare l’apparecchiatura senza contatto elettrico. Il piatto metallico è appoggiato su di una superficie resinosa o vetrosa preventivamente elettrizzata per strofinio con un panno di lana o similari. Si prestano solitamente a tale uso molti materiali sintetici come, ad esempio, il polistirolo espanso che, strofinato, si elettrizza negativamente. Il materiale sintetico assume quindi il ruolo di corpo induttore, mentre il piatto metallico dell’elettroforo svolge il ruolo dell’indotto similmente alla sfera vicina al corpo carico delle esperienze precedenti. Il piatto metallico, così appoggiato all’induttore elettrizzato, isolato dall’esterno dal manico isolante, risentendo dell’azione elettrostatica dell’induttore, polarizza le cariche interne sulle due superfici rispettivamente più prossime e più distanti dall’induttore. Così la superficie appoggiata all’induttore si elettrizza di carica contraria alla carica inducente, mentre, la superficie opposta, più distante, si carica dello stesso segno. La polarizzazione permane ma modificata se l’operatore tocca con un dito, mantenendo appoggiato il piatto sull’induttore, la superficie superiore del piatto. In questo caso la polarizzazione riguarda l’insieme “piatto-corpo dell’operatore-terreno” ove il corpo dell’operatore svolge il ruolo di filo conduttore. Il risultato è la separazione delle cariche alle estremità dell’insieme. Sul piatto si concentrata una carica contraria a quella dell’induttore sintetico strofinato, mentre il terreno si carica dello stesso segno dell’induttore. Eliminando il contatto diretto tra l’operatore e il piatto, la polarizzazione risulta irreversibile ed il piatto stesso è elettrizzato in modo permanente.

44

IL CAMPO ELETTRICO

INTRODUZIONE: Come è dimostrato dalla legge di Coulomb, le interazioni tra due cariche elettriche 1q e 2q collocate ad una distanza r una dall’altra, sono direttamente proporzionali al prodotto dei valori numerici delle due cariche, direttamente proporzionali ad un coefficiente K ed inversamente proporzionali alla distanza al quadrato. Proprio dallo studio della legge di Coulomb relativa alle caratteristiche elettriche della materia, si possono dedurre alcune importanti osservazioni e deduzioni che, unitamente a quelle tratte dallo studio delle leggi analoghe per la gravitazione universale e il magnetismo, contribuiscono alla formulazione del nuovo concetto unificatore di CAMPO VETTORIALE. La legge di Coulomb relativa alle interazioni elettriche, la legge di Newton relativa alle interazioni gravitazionali e, come si vedrà, la seconda legge di Coulomb relativa alle interazioni magnetiche, pur prendendo in esame grandezze fisiche completamente dissimili quali la massa, la carica elettrica e la carica magnetica, sono espresse da relazioni formalmente analoghe nella sostanza e derivate da analoghi principi di base. Da ciò nasce l’idea che tali proprietà della materia e non, così dissimili tra loro, siano, in qualche modo, tanto confondibili l’una con le altre, da poter pensare ad un’unica provenienza originale come, effettivamente confermato, dagli studi sull’elettromagnetismo e dalla teoria della relatività. Il generico concetto di CAMPO DI FORZA VETTORIALE rappresenta un primo piccolo passaggio per la costruzione di una teoria generale unificatrice il cui scopo dovrebbe essere quello di raffigurare l’ipotetica origine comune delle interazioni fondamentali e di tutte le altre leggi della fisica. Le conoscenze scientifiche attuali ci permettono di formulare l’ipotesi che tutte le sostanze esistenti, da noi conosciute o no, pur così diverse per caratteristiche e proprietà, siano il risultato finale di processi di aggregazione nei quali è intervenuto un unico componente originale. Risulta più complessa la formulazione e la verifica di ipotesi relative alle motivazioni che hanno provocato i diversi processi di aggregazione; ancora più complessa l’ipotesi del componente originale a sua volta costituito da ulteriori elementi semplici, ma, occorre sicuramente una mentalità completamente diversa per poter affrontare l’ipotesi che, alla fine, supponendo di aver finalmente scoperto la vera ed unica essenza della materia, questa possa presentarsi in forme completamente diverse secondo le condizioni in cui si trova.

45

D’altra parte è ormai confermato dall’esperienza, il fatto che una certa quantità di materia, in particolari condizioni, perde le caratteristiche tipiche, per assumerne altre, esclusive dei fenomeni ondulatori quali la frequenza, la lunghezza d’onda e l’energia trasportata. Il dualismo materia-onda elettromagnetica e il relativo fenomeno di trasformazione è confermato dalle numerose esperienze, mentre, rimane da stabilire se, come avviene sovente nei processi naturali, sia necessario pensare ad in processo irreversibile o ad uno reversibile. Cioè, risulta forse possibile che l’energia posseduta da un fenomeno ondulatorio in assenza di propagazione di materia subisca un’inversione riconvertendo tutta l’energia o una parte in nuova materia? E se la risposta fosse affermativa, quale tipo di materia prenderebbe origine dalla riconversione parziale o totale dell’energia? Forse la materia essenziale o una sua forma di aggregazione successiva? D’altra parte, come avviene per molti processi naturali quali il trasferimento di calore, la semplice caduta di un grave, l’espansione improvvisa di un gas, è pur vero che essi avvengono spontaneamente in un solo verso, ma, nessuno nega la possibilità inversa se si ammette una forzatura con intervento di azioni artificiali esterne. Nel contempo, se si dovesse ammettere irreversibile anche con l’intervento di azioni esterne il processo di trasformazione massa-energia, sorgerebbe spontaneo domandarsi da dove provenga la materia e quale sarà il termine della trasformazione. Se, alla fine, si ammette l’originalità della materia e il dualismo materia-onda elettromagnetica si perviene dunque all’ipotesi di partenza, per altro confermata dall’analogia delle leggi fisiche, che tutti i fenomeni - ed in particolare quelli riguardanti le interazioni fondamentali gravitazionali, elettriche e magnetiche – pur rappresentati da relazioni diverse siano, in realtà, governati da un’unica legge fisica generale. ANALISI DELLA LEGGE DI COULOMB: Occorre innanzi tutto far presente che tutte le considerazioni svolte nei passaggi successivi e riguardanti l’analisi della legge di Coulomb per l’elettrostatica e volte all’introduzione del concetto di Campo Elettrico, sono valide anche nei confronti della legge di Coulomb per il magnetismo (ove sarà introdotto il concetto di Campo Magnetico) e della legge di Newton per la gravitazione universale (ove è stato introdotto il concetto di Campo Gravitazionale). L’unica sostanziale differenza e fragile barriera di separazione tra le due leggi di Coulomb da una parte, e la legge di gravitazione universale dall’altra, è rappresentata dalla constatazione che, mentre la teoria fisica sviluppata dalla legge di gravitazione prevede la presenza di sole forze attrattive tra quantità di materia, quella che segue le leggi di Coulomb per l’elettrostatica e il magnetismo ammette forze sia di tipo attrattivo che repulsivo. Il problema è facilmente superato sia dal punto di vista matematico (relazioni fondamentali delle forze e del campo) che da quello geometrico (raffigurazione delle forze e del campo). Le relazioni matematiche utilizzano segni positivi e negativi per definire versi concordi e discordi delle forze, mentre, le grandezze vettoriali sono utilizzate per le rappresentazioni geometriche. E’ naturale ed evidente che la simbologia vettoriale e matematica sono compenetrate una nell’altra secondo una metodologia affinata che permette, secondo le necessità ed in ogni momento, le conversioni e/o l’utilizzo contemporaneo.

LA LEGGE DI COULOMB DAL PUNTO DI VISTA TRIDIMENSIONALE Quanto visto sino ad ora relativamente alla forza elettrica coulombiana generata dalla presenza contemporanea di due o più cariche elettriche, ci permette di stabilirne il valore numerico (modulo o intensità del vettore associato), la direzione (retta direttrice) e il segno algebrico (verso del vettore associato). I due vettori rappresentativi delle forze di attrazione o repulsione reciproche non sono però determinati in senso stretto sino a quando non si provvede a definire la posizione spaziale delle cariche elettriche.

46

Il più delle volte la posizione è stabilita con l’utilizzo di un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale (oppure un sistema polare, cilindrico, ecc. ecc) ove il punto origine è solitamente rappresentato dall’operatore stesso. La determinazione della posizione iniziale delle due o più cariche elettriche generatrici, pur essendo esaustiva per il calcolo delle forze elettrostatiche istantanee, non è, però sufficiente, qualora si debba prendere in considerazione gli accadimenti successivi all’istante per il quale è stato eseguito il calcolo. Occorre tenere presente che la definizione di “forza elettrostatica” si riferisce esclusivamente al caso in cui non è previsto il movimento reciproco delle cariche sottoposte alle azioni delle rispettive forze elettriche né il caso in cui almeno una delle due cariche sia dotata di movimento indipendentemente dall’azione esercita dall’altra. Lo studio delle azioni elettrostatiche è quindi semplicemente riferito ad un ben determinato istante, mentre, se è imposto il calcolo relativo ad un’estensione temporale, le azioni saranno definite “elettrodinamiche”. Nel primo caso le posizioni assunte dalle cariche nel sistema tridimensionale di riferimento risultano indipendenti dal tempo assumendo la funzionalità di “parametri di stato fisico” bastevoli alla determinazione di grandezze elettrostatiche associate. Nel secondo occorrerà l’introduzione di funzioni temporali di posizione. Nel caso più semplice, fissando la posizione di una delle due cariche nell’origine del sistema di riferimento cartesiano e congiungendo con un segmento il centro delle due cariche (supposte sferiche e puntiformi) si ottiene il “VETTORE POSIZIONE”, di modulo evidentemente uguale ad r (distanza tra le cariche) ed indicatore della direzione delle forze elettrostatiche. E’ importante sottolineare, a riguardo della futura definizione della grandezza “Campo Elettrico”, che la decisione di porre una delle due cariche nell’origine del sistema di riferimento, equivale, in pratica, a porre in evidenza tale carica facendo assume all’altra un ruolo di secondaria importanza. Ciò è sicuramente ammissibile specialmente nel caso in cui la differenza quantitativa tra i valori numerici delle due cariche è talmente elevata da far ritenere che le forze elettriche reciproche possano significativamente influenzare il solo movimento della carica minore. L’analogia con il campo gravitazionale terrestre è evidente: la massa del pianeta è estremamente più rilevante rispetto alle masse che comunemente gravitano libere attorno al pianeta stesso. Le forze gravitazionali che sono scambiate reciprocamente influenzano in modo notevole, in virtù del secondo principio della dinamica, le masse infinitamente più piccole ed in modo del tutto trascurabile il movimento del pianeta. Tornando alla rappresentazione spaziale si decide quindi di porre la carica Q nel centro del sistema e la carica q in un punto qualsiasi. Potendo scegliere a piacimento il segno delle cariche si decide di assegnare ad entrambe la polarità positiva. Le cariche Q e q si comporteranno quindi entrambe come sostanze vetrose. La simbologia adottata non ha, per il momento, nessuna connessione con il valore numerico delle cariche, ma, successivamente sarà da intendersi proprio con questo scopo. Il vettore Qp indicato in figura è definito “vettore posizione” per l’evidente motivo che è da solo bastevole a definire in modo completo la “posizione spaziale” ove è collocata la carica q . Sono, infatti, infiniti i punti dello spazio caratterizzati dalla uguale distanza r (tutti evidentemente collocati sulla stessa sfera di raggio r ), ma uno solo di essi, congiunto al centro Q , forma un segmento parallelo a Qp .

47

Il modulo del vettore posizione Qp è quindi rappresentativo della distanza r tra le due cariche e da esso dipende in modo inversamente proporzionale anche il modulo della forza elettrostatica come definita dalla legge di Coulomb.

q

r

Q+

+

X

Y

Z

D

E

z

x

yx y

Figura 26 – VETTORE POSIZIONE

Il vettore posizione rQp è il risultato della somma vettoriale dei suoi componenti z,y,x diretti rispettivamente secondo gli assi principali Z,Y,X .

Utilizzando la goniometria: D cosrxy E cosxyx E senxyy

D senrz

22222 zyxzxyr

Determinata in questo modo la posizione della carica q ed applicando la legge di Coulomb alle due cariche, il modulo della forza elettrica risultante è dato da:

222R

2222Ezyx

qQ

4

1

zyx

qQk

r

qQkF

HHS

)

Con: k costante elettrica del materiale in cui some immerse le cariche

)H Costante dielettrica del vuoto

RH Costante dielettrica del vuoto

Naturalmente il vettore forza sarà orientato secondo la direzione del vettore posizione Qp e, nel caso di cariche entrambe positive, avrà verso concorde al vettore posizione stesso, opposto nel caso in cui una delle due, supponiamo q , sia negativa.

48

Le componenti del vettore forza elettrica sono ricavate dunque tenendo conto delle stesse inclinazioni del vettore posizione rispetto agli assi principali:

D cosFFxy

E cosFF XYX

E senFF XYY

D senFFZ

q

r

Q+

+

X

Y

Z

x

y

z

x y

D

E

FF z

F x

F yx yF

Figura 27 – VETTORE FORZA ELETTRICA E SUOI COMPONENTI – CARICHE POSITIVE

q

r

Q+

-

X

Y

Z

x

y

z

x y

D

E

F F z

F x F yx yF

Figura 28 – VETTORE FORZA ELETTRICA E COMPONENTI – CARICA NEGATIVA

49

L’ATTRAZIONE O REPULSIONE COULOMBIANA – CURVATURA DELLO SPAZIO

Utilizzando gli schemi tridimensionali raffigurati, unitamente all’ipotesi di poter ritenere immobile la carica Q posta nell’origine – ipotesi plausibile se la massa di Q è tale da risentire in modo trascurabile della forza elettrica che la carica q gli applica –, supponendo che un osservatore sia in grado di visualizzare gli accadimenti da un punto di vista particolare, che la carica q non sia ostacolata nei movimenti provocati dalla forza elettrica e in assenza di forze gravitazionali, proviamo ad immaginare cosa potrebbe vedere e pensare un osservatore sdraiato su un piano parallelo a xy , dalla parte positiva dell’asse z, con lo sguardo rivolto verso il basso. A tale scopo immaginiamo che possa vedere contemporaneamente l’accadimento anche un osservatore con lo sguardo rivolto perpendicolarmente al piano verticale nel quale è contenuta la forza elettrica.

r

+Q

y

D

x y

x

E

-

Y

z

FxF

F F z

x y

q

Z

yF

X

Figura 29 – OSSERVATORE DALL’ALTO

50

q -

F

+Q

F x

zF

Z

X

Figura 30 – OSSERVATORE LATERALE

L’osservatore laterale, avendo la possibilità di rendersi conto del movimento verticale e potendo osservare istantaneamente ed in modo reale le variazioni del vettore forza elettrica, vedrà il movimento della carica lungo la traiettoria rettilinea costituita dalla retta che congiunge i baricentri della carica. Disponendo di un cronometro e verificando gli spazi percorsi, esso si renderà sicuramente conto che il moto della carica lungo tale traiettoria è sicuramente accelerato, che l’accelerazione è sovrapposta alla traiettoria e che aumenta sempre di più mano a mano che la carica negativa si avvicina alla carica positiva. Esso dovrebbe sicuramente concludere che l’aumento di accelerazione, mentre la massa sulla quale è disposta la carica q non varia, non può essere spiegata in altro modo se non quello che la forza traente aumenta mano a mano che il corpo si avvicina al centro ove è collocata la carica Q. Tale conclusione è adeguata alla realtà del fenomeno in quanto questo osservatore conosce perfettamente la legge di Coulomb. La conclusione sarebbe comunque corretta, anche se l’osservatore intendesse studiare il moto della carica scomponendolo secondo le due direzioni principali del moto. In questo caso egli vedrebbe il moto lungo la traiettoria reale come se fosse composto da un moto rettilineo orizzontale (carica in movimento verso sinistra) ed un moto rettilineo verticale (carica in movimento verso il basso). Anche in questo caso i due movimenti risulterebbero di tipo accelerato con accelerazioni crescenti sia sull’orizzontale che sulla verticale mano a mano che la carica si avvicina rispettivamente all’asse Z e all’asse X. L’osservatore non tarderebbe sicuramente a concludere che la forza orizzontale e quella verticale, responsabili dei rispettivi moti accelerati, altro non sono che le componenti del vettore forza elettrica e che aumentano mano a mano la carica si avvicina al centro del sistema. Diverso è il discorso per l’osservatore con lo sguardo parallelo all’asse Z.

51

Esso non si rende conto, infatti, che il movimento della carica avviene in realtà anche in verticale. A tale osservatore il fenomeno appare come se si verificasse su un piano XY parallelo al piano sul quale è sdraiato. Esso, di conseguenza, vedrebbe la carica q muoversi verso il centro di una circonferenza virtuale su un’unica direttrice parallela all’asse X. Misurando tempi e distanze sarebbe anch’esso in condizioni tali da concludere che il moto è accelerato e che l’accelerazione aumenta mano a mano che la carica si avvicina al centro del piano che sta osservando. Considerando la possibilità che tale osservatore, non potendo osservare il movimento verticale e non essendo a conoscenza dalla presenza della carica Q posta al centro di un piano molto distante da quello che sta osservando, potremo così dare un’interpretazione della sua possibile conclusione:

x Il corpo q si muove di moto accelerato su una retta passante per il punto centrale di una circonferenza. L’accelerazione non è costante, ma aumenta mano a mano che il corpo si avvicina al punto centrale. E’ quindi necessario che tale moto sia prodotto da una forza di intensità crescente. Dal punto di vista dell’osservatore tale forza sarebbe rappresentata dal vettore che il primo osservatore ha individuato e definito come XF .

x Considerando che egli probabilmente non si rende conto della presenza della forza elettrica, potrebbe essere tentato di spiegare il fenomeno come se il moto del corpo fosse provocato dal rotolamento su un piano inclinato sotto l’azione di una forza gravitazionale attrattiva esercitata da una massa ancora sottostante. Chiaramente l’osservatore deve essere a conoscenza del moto di un corpo su un piano inclinato se l’azione è di tipo gravitazionale. Questa prima conclusione, pur spiegando il moto verso il punto centrale, non è però coerente con la reale variazione dell’accelerazione. L’osservatore è perfettamente a conoscenza del fatto che il moto di un corpo lungo un piano inclinato a pendenza costante è sì accelerato, ma l’accelerazione non subisce variazioni. Quindi la presenza del piano inclinato non è sufficientemente esaustiva per lo scopo.

x Alla fine, unendo la prima idea di piano inclinato e la realtà dell’accelerazione crescente, l’osservatore sarebbe costretto a concludere affermando che il moto del corpo avviene su un piano inclinato la cui inclinazione, rispetto ad una retta orizzontale di riferimento, deve aumentare mano a mano il corpo si avvicina al centro. Questo piano inclinato dovrà essere sagomato come una linea continua a curvatura variabile i cui centri di curvatura sono situati nella parte di spazio sottostante la linea stessa e i raggi di curvatura sono decrescenti mano a mano che ci si avvicina al punto centrale.

x L’osservatore sarebbe quindi indotto a trarre la seguente conclusione finale: La presenza di un corpo posto al centro dello spazio che egli vede causerebbe una modificazione geometrica dei piani, simile a quella provocata dalla presenza di una massa disposta sulla superficie perfettamente orizzontale di un telo elastico. La modificazione geometrica deve essere permanente, provocata dalla presenza di un corpo al centro dello spazio e tanto più rilevante quanto più potente è l’azione del corpo centrale. Tale spiegazione, tratta essenzialmente dallo studio delle forze gravitazionali per spiegare il moto ellittico dei pianeti attorno al Sole, è perfettamente adattabile anche

52

al caso della forza elettrica e costituisce un altro passo verso la definizione di CAMPO ELETTRICO.

X

Y

Z

X

Y

Figura 31 – DEFORMAZIONE SPAZIALE PROVOCATA DALLA CARICA Q

L’AZIONE A DISTANZA E IL MOVIMENTO DELLE CARICHE Sempre dall’analisi della legge sperimentale di Coulomb risulta sufficientemente chiaro che il valore numerico delle forze elettriche tra due cariche dipende anche dal materiale in cui sono inserite. Tenendo presente che l’azione elettrostatica ha il massimo valore nel vuoto si conclude immediatamente che si deve trattare di un’azione a distanza, senza intervento di alcun materiale di collegamento. Propria tale constatazione, considerata inaccettabile per gli studiosi dell’epoca, ha contribuito non poco a sviluppare la teoria del CAMPO ELETTRICO VETTORIALE. Si è pensato di sostituire all’azione diretta a distanza, esercitata reciprocamente dalle due cariche, un’azione indiretta cui sarebbe sottoposta una delle due cariche per effetto di una modificazione dello spazio circostante generato dall’altra. Lo spazio modificato assume così il ruolo di mediatore tra una delle due cariche, considerata preponderante, e l’altra o le altre. Le azioni elettrostatiche dipendono quindi dallo spazio circostante modificato ed attivo e il tipo e la potenza della modifica è una diretta conseguenza dalla grandezza e dalla disposizione della carica preponderante. Lo spazio così modificato è definito CAMPO ELETTROSTATICO O CAMPO ELETTRICO. La definizione e l’utilizzo del concetto di campo elettrico permette di rendere meno evidente la difficoltà di pensare all’azione diretta a distanza. Si immagini, per esempio, che in due punti ben distinti dello spazio, magari anche a distanza notevole uno dall’altro, compaiano improvvisamente e contemporaneamente (il concetto di contemporaneità rappresenta un altro grosso problema) due cariche elettriche.

53

La legge di Coulomb ci permette di calcolare, conosciuta la distanza e il tipo di materiale in cui sono immerse le cariche, le due forze reciproche che esse si scambiano. La stessa legge non dà alcuna informazione circa il tempo intercorrente tra la comparsa delle cariche e il manifestarsi delle forze. E’ un gravissimo problema. Potremmo ipotizzare, in modo generico e incappando comunque in un errore, che l’intervallo di tempo sia funzione della distanza, ma ciò significherebbe aver in qualche modo quantificato una velocità di propagazione dell’azione a distanza. Dunque l’azione a distanza è una specie di onda che si propaga nel vuoto ad una velocità forse uguale a quella della luce? O forse superiore? E’ forse lecito assimilare l’azione a distanza ad un onda elettromagnetica? Ribaltando il problema ed utilizzando l’analogia con le forze gravitazionali e la velocità della luce potremmo porci la seguente domanda: Se, ad un certo istante, scomparisse improvvisamente la massa solare, noi, dalla Terra, ci accorgeremmo prima della mancanza della luce o della forza gravitazionale? Sappiamo che la luce impiega circa otto minuti a percorrere la distanza Sole-Terra e siamo in grado di immaginare i fronti d’onda; si pensa di riuscire ad immaginare allo stesso modo la velocità di spostamento di qualcosa d’immateriale come l’azione a distanza? Tra le altre cose, che cos’è l’azione a distanza? Se, allo stesso modo, scomparisse una delle cariche, l’altra risentirebbe subito della mancanza della forza elettrica oppure no? Per non parlare poi della possibilità di movimento di una o entrambe le cariche. Ad esempio, se una delle due cariche, prima ferma, inizia ad oscillare con una frequenza elevatissima attorno al punto ove era collocata inizialmente, l’altra risente immediatamente dell’oscillazione oppure no? E se le oscillazioni della prima sono forzate lo saranno allo stesso modo anche quelle della seconda? Tanto vale, per uscire da questo corto circuito mentale, sostituire la propagazione immateriale dell’azione a distanza con un’altra propagazione, questa volta di tipo geometrico, ma pur sempre immateriale, di un elemento per il quale abbiamo una raffigurazione almeno dal punto vista della geometria: lo spazio. Ora, finalmente, potremmo almeno ragionare sul fatto che, per trasmettersi da un punto all’altro, la modifica dello spazio deve necessariamente iniziare nel punto ove compare la causa e coinvolgere, uno dopo l’atro, tutti i punti successivi. Certamente si tratta di nuovo di un ragionamento analogo a quello che facciamo, quando discutiamo delle dimensioni fisiche del punto geometrico, ma, almeno possiamo esprime opinioni.

IL CAMPO ELETTRICO: La presenza di una o più cariche elettriche è quindi in grado di generare, in una regione di spazio teoricamente infinita, ma praticamente limitata ai punti di solo nostro interesse, la modificazione di cui si è parlato. Tale modificazione è rappresentata da una nuova grandezza fisica, di tipo vettoriale, che prende il nome di CAMPO ELETTRICO. Per la definizione operativa di “campo elettrico” è necessario far riferimento allo schema tridimensionale utilizzato per illustrare le proprietà dei vettori posizione e forza elettrica.

54

Rinunciando a visualizzare una delle tre dimensioni, per esempio la profondità, indicata nello schema dall’asse Y, la rappresentazione grafica si semplifica notevolmente rendendo più agevole la comprensione del concetto specifico. Supponiamo quindi di poterci immedesimare con un osservatore il cui interesse è limitato a quello che succede nel solo piano XZ. Lo sguardo di tale osservatore deve quindi essere diretto verso superfici piane orientate perpendicolarmente all’asse Y. Potendo scegliere una qualsiasi di tali superfici, decidiamo di prendere in esame il piano di riferimento formato dall’intersezione dei due assi principali X e Z. Tale piano ha anche il vantaggio, tra tutti i piani perpendicolari a Y, di essere l’unico che contiene l’origine del sistema di riferimento cartesiano. Proprio nell’origine si era deciso di collocare una carica elettrica positiva Q , affermando, nello stesso tempo, che la scelta della simbologia non era da considerarsi determinate relativamente al valore numerico della carica. Ora però, contrariamente a quanto si era detto, occorre immaginare che l’ordine di grandezza di tale carica positiva sia notevolmente maggiore a quello di tutte le altre possibili cariche presenti nel piano XZ del sistema e che saranno indicate con il simbolo q . Questo concetto è espresso dalla seguente relazione matematica:

n21 q,........,q,qQ ²²²² Limitiamoci, per ora, a considerare la presenza di una sola carica Q notevolmente più grande di tutte le altre. In un punto qualsiasi del piano XZ immaginiamo ora di collocare una carica positiva q il cui valore, per l’ipotesi precedente, è trascurabile rispetto a quello della carica centrale, anch’essa positiva. Detta carica non ha alcuna possibilità di influire, se non in modo del tutto trascurabile, sulla modificazione dello spazio generata dalla carica centrale e, per questo motivo, è definita “Carica Esploratrice”, mentre, all’opposto, è definita “Generatrice di campo elettrico” la carica Q .

55

Z

X

Q+

+q

F e

F x

zF

r

z q

x q

F eF z

F x

r

**

*

*

F e

F e

eF

*F e

*F e

C a r ic a g e n e ra tr ic e

C a r ic a e s p lo ra tr ic e

S fe ra e q u ip o te n z ia le 1

S fe ra e q u ip o te n z ia le 2

F o rz a e le t t r ic a

L in e e d i f lu s s o

L in e a d i f lu s s o

Figura 32 – FORZE ELETTRICHE NEL PIANO XZ – CERCHI (SFERE) EQUIPOTENZIALI.

Le coordinate z,x del punto ove è situata la carica ci permettono di determinare tutte le

caratteristiche (modulo, direzione e verso) del vettore posizione rQq dal quale poi, applicando la legge di Coulomb, è possibile ottenere le proprietà del vettore “forza elettrica” eF e delle due componenti xF e zF . Si presuppone la conoscenza della costante dielettrica relativa del materiale in cui sono immerse le cariche.

22 zxr

x

ztg D

2R

er

qQ

4

1F

HHS

)

D cosFF ex

D senFF ey

56

Modificare la posizione della carica esploratrice significa determinare, per ogni punto del piano o dello spazio, nuovi vettori “forza elettrica” sicuramente diversi uno dall’altro (si tenga conto che per essere definiti uguali due o più vettori debbono possedere le stesse quattro proprietà). Perciò ad ogni singolarità dello spazio sarà associato un solo ed unico vettore forza elettrica. Ciò significa, nel comune linguaggio matematico, che, fissata una coppia qualsiasi di coordinate piane z,x (oppure una terna di coordinate spaziali convergenti), esiste un solo vettore eF le cui caratteristiche soddisfano le relazioni sopra indicate. Naturalmente ciò è valido se per tutti i punti non sono modificate le altre grandezze che intervengono nel calcolo, cioè, le costanti dielettriche, la grandezza della carica generatrice e quella della carica esploratrice. Dallo schema raffigurante il piano di riferimento e le forze elettriche è possibile trarre almeno due immediate ed importanti constatazioni:

Sui cerchi (nel piano) o sulle sfere (spazio) concentriche con centro nell’origine e raggio pari al modulo del vettore posizione, i vettori “forza elettrica”, pur diversi tra loro, sono però caratterizzati dallo stesso modulo o valore numerico. Ciò è subito evidenziato dalla stessa legge di Coulomb. I cerchi o le sfere concentriche saranno definiti rispettivamente, linee o superfici equipotenziali. Su ogni punto di un cerchio o sfera equipotenziale insisterà una forza elettrica di modulo costante, definito esclusivamente dal valore del raggio del cerchio o della sfera. I cerchi o le sfere con raggio minore saranno caratterizzate da forze elettriche più intense. Per i tratti infinitesimi di circonferenza o i tratti infinitesimi di superficie sferica le rispettive tangenti saranno sempre perpendicolari al vettore forza elettrica nel punto di tangenza.

Le cariche elettriche esploratrici, potendo essere pensate puntiformi anche per quanto riguarda la massa, risentiranno in modo molto evidente l’azione delle forze elettriche subendo accelerazioni proporzionali alle forze stesse ed inversamente proporzionali alla massa. In ogni caso, per il solo schema considerato, gli spostamenti saranno sempre diretti secondo la congiungente del punto considerato con il centro del sistema ove è collocata la carica generatrice. Non è quindi difficile concludere che ogni punto del piano o dello spazio sarà caratterizzato da una sola traiettoria possibile e che tutte le traiettorie avranno un solo punto in comune, cioè il centro del sistema. Ognuna delle traiettorie possibili è definita “LINEA DI FLUSSO” ed è costituita dalla semiretta che inizia nell’origine e termina all’infinito, in quanto solo all’infinito si annulla il valore della forza responsabile dello spostamento. Le linee di flusso saranno quindi percorse dalle cariche esploratrici in un verso o nell’altro in funzione del segno algebrico della carica generatrice ed esploratrice. Nel caso particolare sono da intendersi percorse dall’interno verso l’esterno.

LA DEFINIZIONE DI CAMPO ELETTRICO Per quanto riguarda il concetto e la definizione di CAMPO ELETTRICO è necessario utilizzare il seguente semplice ragionamento:

x Come stabilito precedentemente, ad ogni punto dello spazio, è associato un solo ed unico vettore forza elettrica

x Tale vettore dipende dalla posizione, dalla carica generatrice, dalla carica esploratrice e dalle proprietà elettriche dei materiali.

x Dato per assodato che il nostro vero interesse è costituito dalla modifica dello spazio causata dalla carica generatrice, possiamo pensare di mantenerne costante il valore e la posizione e

57

verificarne gli effetti su una carica di valore variabile da mantenere in posizione fissa rispetto alla prima.

x A questo scopo si potrebbe determinare la forza elettrica agente su una carica estremamente piccola (per non perturbare lo spazio circostante) e confrontarne il valore che risulterebbe nel caso in cui si decidesse di raddoppiare, triplicare ecc. ecc. il valore numerico della piccola carica.

x Usiamo quindi, come carica esploratrice, una piccola massa di materiale conduttore caricata elettricamente dalla mancanza di un solo elettrone. Il valore numerico della carica è quindi pari alla carica elementare di un elettrone pensato positivo:

C10602,1q 191

u x Di conseguenza, il modulo della forza elettrica in quel punto, sarà dato da:

21

1er

qQkF

x Mantenendo inalterata la posizione decidiamo ora di raddoppiare la carica esploratrice: 1

192 q2C)10602,1(2q u uu

Il nuovo valore della forza elettrica in quel punto e per effetto della stessa carica generatrice sarà:

1e21

22

2e F2r

q2Qk

r

qQkF

u

Se la carica è triplicata:

1e21

23

3e F3r

q3Qk

r

qQkF

u

x Verifichiamo ora i rapporti tra le forze elettriche e i rispettivi valori delle cariche esploratici usando la stessa legge di Coulomb:

2

1

1e

r

Qk

q

F

2

1

1e

1

1e

2

2e

r

Qk

q

F

q2

F2

q

F

u

u

2

1

1e

1

1e

3

3e

r

Qk

q

F

q3

F3

q

F

u

u

Cioè: Kr

Qk

q

F2

e

x In conclusione:

Le variazioni del valore della carica esploratrice, in un punto fisso dello spazio, causano la variazione della forza elettrica, ma, il rapporto tra la forza elettrica risultante e la relativa carica esploratrice si mantiene costante ed indipendente dal valore di quest’ultima. Il valore del rapporto, caratteristico di ogni punto dello spazio, da ritenersi dipendente soltanto dalla grandezza della carica generatrice, è definito “CAMPO ELETTRICO” generato da quella particolare carica generatrice Q in quel particolare punto dello spazio ed è sinteticamente rappresentato dalle seguenti relazioni:

q

FE e CAMPO ELETTRICO

2r

QkE CAMPO ELETTRICO

58

Si tratta naturalmente di una grandezza fisica vettoriale che ha la stessa direzione, verso e punto d’applicazione della forza elettrica e il cui modulo è uguale al rapporto tra la forza e la carica esploratrice. Il Campo Elettrico è quindi anche un “CAMPO DI FORZA VETTORIALE”.

Ora dovrebbe essere più chiaro il concetto di modifica dello spazio:

Un campo elettrico, presente in una data regione dello spazio, presuppone sicuramente l’intervento di una o più cariche generatrici. La conoscenza dei valori numerici del campo elettrico in ogni punto ci permette di determinare le forze elettriche anche senza alcun dato relativo alla carica che l’ha generato. Resta così superato il grave problema dell’azione a distanza in quanto sostituito da un’azione locale. Il valore della forza elettrica agente su una carica q, in un punto qualsiasi dello spazio ove è presente un campo elettrostatico di valore E, indipendentemente da come è stato generato, è dato da:

qEFe

Z

X

Q+

+q

E

E x

zE

r

z q

x q

r

*

*

C a r ic a g e n e ra tr ic e

C a r ic a e s p lo ra tr ic e

S fe ra e q u ip o te n z ia le 1

S fe ra e q u ip o te n z ia le 2

C A M P O E L E T T R IC O

L in e e d i f lu s s o

E

E E

E z

E x

*

*

E

*

E

E*

L in e a d i f lu s s o

Figura 33 – VETTORI CAMPO ELETTRICO

59

ANALISI DIMENSIONALE DELLA GRANDEZZA “CAMPO ELETTRICO” Il valore numerico del campo elettrico E è espresso dimensionalmente dalle unità di misura caratteristiche del rapporto tra la forza e la carica elettrica. Sarà introdotta in seguito la nuova unità di misura del Sistema Internazione, l’Ampere, poi utilizzata, in modo definitivo, per esprimere univocamente le grandezze tipiche dell’elettrostatica, quindi anche la carica elettrica, dell’elettrodinamica e dell’elettromagnetismo. Dall’espressione del campo elettrico, rinunciando alla notazione vettoriale, si ottiene:

q

FE e

C

NE

qEFe

CC

NFe

Quindi il campo elettrico E rappresenta numericamente l’intensità della forza elettrica, espressa in Newton, agente su una carica di valore q, espresso in Coulomb, in un determinato punto dello spazio. Se è utilizzato il Sistema Internazionale in cui si prevede l’Ampere quale unità di misura della corrente elettrica, allora il campo elettrico sarà misurato in:

ti

F

q

FE ee

sA

NE

Con: i Intensità di corrente elettrica A t Tempo s tiq Relazione tra carica elettrica, tempo ed intensità di corrente CAMPO ELETTRICO E CAMPO GRAVITAZIONALE – ANALOGIA L’interazione elettrica tra due o più cariche, operata localmente tramite la funzione Campo Elettrico, è fondamentalmente analoga a quella di gravità applicata dal Campo Gravitazionale a due o più quantità di materia. L’analogia è ancora più evidente nel caso in cui sono confrontati campi elettrici e gravitazionali di tipo “radiale”, generati cioè da una sola carica elettrica o da una sola massa. Il campo gravitazionale terrestre rappresenta quindi un termine di paragone fondamentale, anche se, contrariamente a quanto succede con il campo elettrico, esso esercita solo azioni attrattive. La forza gravitazionale esercitata dal pianeta su una massa m posta ad una distanza r dal baricentro del pianeta stesso, è determinata dalla legge di Newton o legge di gravitazione universale:

2

Tg

r

mMGF

La distanza r è da considerarsi come un “vettore posizione” in grado di individuare, per mezzo del modulo e della direzione, il punto esatto ove è collocata la massa m, rispetto ad un sistema di riferimento tridimensionale con il centro di gravità del pianeta nell’origine. La latitudine e longitudine sono appunto gli angoli formati del vettore posizione con il piano equatoriale ed un piano longitudinale di riferimento. Nel caso della forza gravitazionale occorre poi ricordare che, in base al secondo principio della dinamica o legge del moto, è possibile stabilire la seguente relazione:

60

amFg

Ove con a s’intende l’accelerazione provocata dall’azione della forza gravitazionale terrestre sulla massa m posta alla distanza r. Tale accelerazione è ancora da considerarsi un vettore con direzione stabilita dalla congiungente i centri di gravità e modulo variabile proprio in funzione della distanza r. Nei casi più interessanti ove la massa m è posizionata non troppo distante dalla superficie terrestre,

il modulo del vettore a ha un valore pressoché costante pari a ¸¹

ᬩ

§2s

m81,9 ed è comunemente

indicato con il simbolo g (accelerazione di gravità terrestre). Quindi la forza gravitazionale – detta comunemente “peso” – applicata ad un corpo non troppo distante dalla superficie terrestre, è data da:

2T

Tg

r

mMGgmF

Tr raggio terrestre

Se ora, alla forza (azione a distanza), si sostituisce l’azione locale del Campo gravitazionale, ottenuta ancora con il ragionamento fatto per introdurre il concetto di Campo elettrico, si ottiene:

m

FH

g Campo gravitazionale

2

T

r

MGg

m

gmH

Quindi il campo gravitazionale in prossimità della superficie terrestre è un vettore di modulo costante, pari all’accelerazione g, e direzione perpendicolare alla superficie stessa considerata sferica. Come il campo elettrico dipende unicamente dalla grandezza della carica generatrice, allo stesso modo il campo gravitazionale terrestre dipende unicamente dalla grandezza del nostro pianeta. LINEE DI FLUSSO – LINEE O SUPERFICI DI LIVELLO O EQUIPOTENZIALI LINEA DI FLUSSO: Si consideri ora di disporre una piccola carica esploratrice, ad esempio positiva, in un punto A qualsiasi di una regione di spazio in cui è presente un campo elettrico generico (diverso dal tipo “radiale” o dal tipo “uniforme” che saranno presi in considerazione successivamente). Per semplicità supponiamo che il punto sia contenuto in un piano X-Z e che la retta direttrice del vettore campo elettrico in ogni punto sia sempre contenuta in tale piano pur potendo cambiare inclinazione rispetto, ad esempio, all’asse X. Ciò significa che il modulo del vettore campo elettrico è definito in modo univoco dalle coordinate AA z;x del punto d’applicazione e da quelle del punto terminale 1B1A z;x ove è da intendersi collocato il verso. Supponiamo inoltre che il campo sia stato generato dalla presenza, in qualche parte dello spazio circostante, da cariche elettriche positive la cui posizione e numero non è precisata in quanto non è per noi interessante considerato che conosciamo il campo. La carica q , posta nel punto A del campo in modo tale da ritenere nulla la velocità iniziale, risente immediatamente della forza elettrica il cui valore è dato da:

qEF AAe Con:

AE Vettore campo elettrico nel punto A ¸¹

ᬩ

§

C

N

61

q Carica elettrica C La forza elettrica AeF , necessariamente diretta secondo la direzione del campo AE in quel punto e applicata alla massa m caratteristica della carica q, provoca la comparsa dell’accelerazione a e un conseguente spostamento S della carica sempre in direzione del campo elettrico.

qEF AAe

m

qEa

22 tm

qE

2

1ta

2

1S ¸

¸¹

·¨¨©

§

La carica elettrica raggiunge quindi una posizione B ove è generalmente presente un vettore campo elettrico diverso BE sia in modulo che in direzione da quello esistente nel punto A. La direzione e il modulo della forza, dell’accelerazione e dello spostamento, costringeranno la carica verso una nuova posizione C. E’ chiaro quindi che, ragionando in termini finiti anche piccolissimi, le continue variazioni del campo provocano il movimento della carica su una successione di traiettorie rettilinee costituenti, nell’insieme, una linea spezzata. Ora, se si immagina continua la variazione del campo, sarà continua anche la variazione della traiettoria che, alla fine, sarà sicuramente rappresentata da una linea continua curva. Tale traiettoria, caratterizzata dal fatto che in ogni suo punto il vettore campo elettrico è sempre tangente, è definita “linea di flusso”. Per come è stata definita, esiste una e una sola linea di flusso per ogni punto del campo, con esclusione dei soli punti che rappresentano una singolarità come, ad esempio, i punti sorgente ove sono collocate le cariche generatrici. In detti punti passano infinite linee di flusso. L’infittirsi delle linee di flusso in determinate regioni dello spazio è indicativo della presenza ravvicinata di un punto singolare.

Z

X

A

B

CD

E B

AE

CE

E

A AE

B

Z

X

E

B

CC

D

L I N E A D I F L U S S OA*

*DL I N E A D I F L U S S O

Figura 34 – COSTRUZIONE DI UNA LINEA DI FLUSSO

62

LINEE DI FLUSSO PASSANTI PER UN SEGMENTO DEL PIANO: Con i medesimi criteri seguiti precedentemente è possibile determinare, per ogni punto di un segmento qualsiasi contenuto nel piano, la relativa linea di flusso. Risulterà una successione di linee la cui distanza dipende unicamente dalla distanza dei punti scelti sul segmento.

E

AAE

B

Z

X

E

B

CCD

L I N E E D I F L U S S O

D

*A

S E G M E N T O

*

*D

*D

Figura 35 – LINEE DI FLUSSO PASSANTI PER IL SEGMENTO DD* TUBO DI FLUSSO: Estendendo il concetto allo spazio tridimensionale, il segmento di cui prima, è sostituito da una linea chiusa che racchiude una superficie S' . Tracciando una linea di flusso per ogni punto appartenente alla linea e alla superficie S' , si ottiene un condotto virtuale, solitamente a sezione variabile definito “tubo di flusso” il cui asse principale contiene i baricentri della sezione iniziale e terminale.

A

Z

X

D

T U B O D I F L U S S O

D *

*A

Y

E

EE

S

Figura 36 – TUBO DI FLUSSO

63

LINEE E TUBI DI FLUSSO – ANALOGIA CON IL CAMPO GRAVITAZIONALE: Anche in questo caso si sfrutta l’analogia tra il campo gravitazionale terrestre ed il campo elettrico generato da una sola carica centrale, ad esempio positiva, nello spazio circostante laddove sono presenti solo cariche negative. In questo caso si tratta di campi vettoriali radiali entrambi di tipo attrattivo. Le linee di flusso caratteristiche del campo gravitazionale rappresentano la traiettoria seguita da una massa libera di muoversi per effetto della presenza del campo. La linea di flusso caratteristica di un punto sulla superficie terrestre è quindi indicata dalla direzione del filo a piombo e, per punti non troppo distanti tra loro, le relative linee di flusso risultano praticamente parallele per l’impossibilità di misurarne la reale convergenza.

Figura 37 – LINEE E TUBO DI FLUSSO DEL CAMPO GRAVITAZIONALE TERRESTRE Dal punto di vista di un comune osservatore e per una porzione limitata di superficie terrestre racchiusa entro una linea circolare, il tubo di flusso deve apparire come un cilindro, mentre, chi gode di un punto d’osservazione abbastanza distante dalla terra, si rende conto che esso ha, in realtà una forma conica. Il punto singolare del campo gravitazionale terrestre è unico, in esso convergono tutte le linee di flusso ed è evidentemente rappresentato dal centro di gravità terrestre. LINEE O SUPERFICI DI LIVELLO (SUPERFICI EQUIPOTENZIALI): Anche in questo caso conviene rifarsi all’analogia con il campo gravitazione la cui azione e proprietà sono forse più famigliari. Supponiamo quindi di esaminare lo spostamento di una massa collocata inizialmente in un punto A del campo gravitazionale ove, come detto prima, passa una sola linea di flusso AL diretta verso il centro gravitazionale terrestre. Sia B un altro punto del campo e BL la relativa linea di flusso. Per quanto detto precedentemente, un osservatore non privilegiato potrà visualizzare tutte le linee di flusso che, virtualmente, caratterizzano i punti appartenenti al segmento AB. Esse risulteranno fondamentalmente parallele. Sfruttando la definizione di linea di flusso e supponendo che i due punti non siano troppo distanti tra loro, si giungerà facilmente alla conclusione che tutti i vettori “campo elettrico” E in ogni punto

64

del segmento AB, pur diversi tra loro, sono caratterizzati dallo stesso modulo e dalla stessa direzione parallela alle linee di flusso. Quindi anche le forze gravitazionali gmFg godranno delle stesse caratteristiche. Durante il possibile movimento dal punto A al punto B, sul corpo sarà quindi applicata una forza

gF di intensità e direzione costanti.

La posizione del punto B sulla linea di flusso BL si permette di determinare l’angolo D formato dal segmento AB con la direzione delle linee.

D cosABh

AB

hcos D

¸¹

ᬩ

§ D

AB

hcosar

A

B

D

D

m

F = m gg

gF = m g

m

m

m

m

L A L B

a

h

Dato che la forza è costante nell’intorno del punto A, si potrà calcolarne il lavoro compiuto per lo spostamento AB, con la formula:

hFcosABFL gg D D’altra parte lo spostamento verso il basso (nel caso della figura), risultando a carico del campo gravitazionale, riduce l’energia potenziale PE iniziale di un valore pari a hgmE P ' . Se lo spostamento è perpendicolare alla direzione della forza, o, in altri termini, del campo, l’angolo D vale 90°, il coseno è nullo ed automaticamente è nullo il lavoro eseguito dalla forza gravitazionale. Di conseguenza ha valore nullo anche la variazione di energia potenziale per cui, alla fine, il punto B è caratterizzato dalla stessa energia potenziale del punto A. Il segmento che congiunge i due punti è perpendicolare alle linee di flusso. Si conclude quindi che, in un campo gravitazionale, fissata la posizione di un punto A sulla relativa linea di flusso esiste una e una sola linea i cui punti godono della caratteristica di restituire un’uguale energia potenziale. Tale linea deve necessariamente essere perpendicolare alla linea di flusso nel punto A e, di conseguenza, a tutte le altre linee di flusso.

65

Un osservatore privilegiato si accorgerebbe che tale linea è in realtà una circonferenza nel piano e una sfera nello spazio e affermerebbe che, su tale linea o superficie, tutti i punti hanno la stessa energia potenziale. Si tratta appunto di linee o superfici “Equipotenziali” o curve di “livello”. Per il campo elettrico generato da una sola carica puntiforme le osservazioni sono formalmente identiche a quelle valide per il campo gravitazionale:

x Le linee di flusso sono radiali a partire dalla posizione della carica elettrica. Sono percorse dall’interno verso l’esterno nel caso di campo generato da una carica positiva e cariche esploratrici positive, dall’esterno verso l’interno nel caso o casi opposti

x Le linee equipotenziali o linee di livello sono circonferenze concentriche con centro comune nel punto centrale. Le tangenti alla circonferenza nei punti in cui essa interseca le varie linee di flusso sono perpendicolari alle linee di flusso (proprietà del raggio e della circonferenza)

x Le superfici equipotenziali sono superfici sferiche per le quali valgono le stesse proprietà descritte.

Anche nel caso di campo elettrico diverso da quello radiale, sono valide queste osservazioni: In un punto qualsiasi di una qualsiasi linea di flusso passa una sola linea equipotenziale. La linea di flusso e la linea equipotenziale sono perpendicolari. Nei casi diversi dal campo radiale le linee e superfici equipotenziali non sono circonferenze o sfere e la loro forma dipende esclusivamente dalla conformazione del campo elettrico. PRINCIPALI TIPOLOGIE DI CAMPO ELETTRICO CAMPO RADIALE: Il campo elettrico radiale è generato da una sola carica Q positiva o negativa. Per convenzione la carica esploratrice è sempre considerata positiva. Le linee di flusso o linee di forza del campo sono da considerarsi uscenti od entranti rispettivamente nella carica generatrice positiva o negativa. Il verso di percorrenza delle linee di flusso è stabilito dalla punta di un vettore. Le linee equipotenziali sono circonferenze concentriche, mentre, le superfici equipotenziali sono sfere concentriche. Si tratta di un campo caratterizzato da vettori di modulo variabile in funzione della distanza dal centro. Il campo radiale è quindi un campo variabile ed è rappresentato da:

66

+ -

L I N E E D I F L U S S O

S U P E R F I C I E Q U I P O T E N Z I A L I

Figura 38 – CAMPO RADIALE PRODOTTO DA CARICA POSITIVA E NEGATIVA

CAMPO BIPOLARE PRODOTTO DA DUE CARICHE UGUALI E OPPOSTE: Il campo elettrico bipolare è il risultato della somma vettoriale, eseguita punto per punto, di due campi elettrici radiali prodotti da cariche aventi lo stesso valore ma segno opposto. I criteri da utilizzare per il calcolo e la rappresentazione sono dettati dalla legge di Coulomb e dalle classiche regole di somma vettoriale. Si pensa di posizionare una carica esploratrice positiva in un punto qualsiasi del campo. Sono quindi determinati il modulo, la direzione e il verso, dei due vettori campo elettrico relativi alle rispettive cariche. Poi, con il metodo del parallelogramma, è determinato la direzione, il verso ed il modulo del campo elettrico risultante. Quindi procedendo per incrementi finiti di spostamento si determina la linea di flusso e i relativi vettori campo per ogni punto di essa. Infine la linea spezzata risultante è approssimata con una line curva.

S U P E R F I C I E Q U I P O T E N Z I A L I

E

E

E

+ -

L I N E E D I F L U S S OE

Figura 39 – CAMPO ELETTRICO DI UN “DIPOLO ELETTRICO”

67

Le linee e superfici equipotenziali godono sempre di essere perpendicolari alle linee di flusso e del fatto che per un punto di una linea di flusso passa una e una sola superficie equipotenziale. Le superfici equipotenziali sono dunque, in questo caso, molto più complesse che nel caso di campo radiale. CAMPO ELETTRICO UNIFORME: Due lastre metalliche piane, parallele, poste ad una certa distanza una dall’altra, elettrizzate con cariche di segno opposto, producono un campo elettrico uniforme contenuto esclusivamente nella regione di spazio compreso tra le lastre stesse. Si intende che nei vari punti di detto spazio, il vettore campo elettrico è costante in modulo, direzione e verso. La direzione è quella perpendicolare ai piani delle lastre, il modulo dipende dalla quantità di carica o meglio, dalla densità superficiale di carica, dalla distanza tra le lastre e dal materiale interposto alle lastre stesse. Il campo elettrico uniforme è tipico di apparecchiature definite “condensatori”. Il procedimento da seguire per determinare il valore del campo è simile a quello adottato per il campo elettrico bipolare. Le azioni elettrostatiche repulsive generate sulla carica esploratrice positiva devono essere sommate alle azioni attrattive applicate dalla lastra negativa. Considerato che, mano a mano, la carica si allontana dalla lastra positiva perché respinta da essa ed attratta dall’altra, diminuisce l’effetto repulsivo ma, nel contempo aumenta l’effetto attrattivo. Risulta quindi una forza elettrica e un campo elettrico di valore costante. Inoltre l’effetto repulsivo generato verso le superfici laterali dalla piastra positiva – che tenderebbero ad espellere le cariche positive lungo il perimetro – sono compensate dall’effetto attrattivo della lastra negativa che, invece tende ad attirare eventuali cariche esterne al perimetro. Risulta perciò un campo elettrico delimitato dalla regione di spazio compreso tra le lastre e perimetro esterno. Questa regione di spazio è dunque assimilata ad un parallelepipedo avente come base la superficie delle lastre e come altezza la loro distanza.

+ -

-

-

-

-

-

-

--

-

-

-

-

-

-

-

-

-

S U P E R F I C I E Q U I P O T E N Z I A L I

+

+

+E

+ E

+

+ E

+

E+

+E

+

+

+

+

+ E

+E

+

+L I N E E D I F L U S S O

-

Figura 40 – CAMPO ELETTRICO UNIFORME – CONDENSATORE PIANO

68

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELL’INTENSITA’ DEL CAMPO ELETTRICO Ad ogni punto di un campo elettrico, dovuto ad una o più cariche puntiformi o distribuite, si può associare, come visto, un vettore E campo elettrico, il quale rappresenta la risultante delle forze del campo sulla carica esploratrice q , diviso la carica stessa (o, ed è la stessa cosa, la risultante delle forze del campo su di una carica positiva unitaria, posta nel punto considerato). La direzione del vettore E , in ogni punto del campo, risulta tangente a quelle linee ideali definite linee di flusso o linee di forza del campo elettrico. Per ogni punto del campo passa una ed una sola linea di forza la quale individua sostanzialmente la traiettoria che verrebbe descritta dalla carica esploratrice posta in quel punto con velocità iniziale nulla ed abbandonata a se stessa, cioè lasciata libera di muoversi sotto l’azione del campo. Le linee di forza sono linee orientate, cioè su di esse è fissato un verso di percorrenza che convenzionalmente, ed in accordo con la definizione di campo elettrico, è assunto come quello descritto da una carica positiva. In tal modo, relativamente ad ogni punto del campo, la linea di forza che passa per quel punto stabilisce non solo la direzione, ma anche il verso del vettore E . La costruzione delle linee di flusso o linee di forza è eseguita secondo i criteri e le modalità descritte. La rappresentazione grafica di un campo elettrico è eseguita secondo il criterio proposto da Faraday. Si è convenuto di rappresentare graficamente un campo elettrico tracciando, per ogni piccola area di superficie perpendicolare alla direzione delle linee di forza, un numero di linee di flusso N uguale al prodotto tra l’intensità del campo al centro della superficie e l’estensione della superficie stessa S' :

SEN ' Una rappresentazione del campo elettrico effettuata con la suddetta convenzione ha il vantaggio di visualizzare graficamente l’intensità del campo in ogni punto: infatti l’intensità sarà tanto più grande quanto più fitte saranno le linee di forza nell’intorno del punto considerato e viceversa sarà tanto più piccola quanto più rade saranno tali linee di forza.

SE

N = E S

Figura 41 – CRITERIO DI FARADAY PER LA RAPPRESENTAZIONE DEL CAMPO

69

ANALOGIA CON UN TUBO DI FLUSSO DI UNA CORRENTE D’ACQUA: Il tubo di flusso relativo ad una superficie di area S' contenuta all’interno di un campo elettrico E può sicuramente essere paragonato in modo analogico alla corrente d’acqua uscente da un foro praticato, ad esempio, su una parete laterale del recipiente che la contiene. Il movimento del liquido è infatti relativo a tutte le molecole contenute nel recipiente che sono convogliate dalla forza gravitazionale verso la superficie del foro d’uscita. Ne risulta una corrente d’acqua che scorre in condotto virtuale le cui sezioni iniziale e finale corrispondono rispettivamente alla superficie libera del recipiente e alla superficie libera del foro d’uscita. Se il movimento è sufficientemente lento, i filetti fluidi scorrono su linee curve senza modificare la direzione. Tali linee sono l’analogo alle linee di flusso del campo e il condotto virtuale che le contiene rappresenta il tubo di flusso. Mano a mano che il liquido, partendo dalla superficie libera, si avvicina alla superficie d’uscita, evidentemente molto più piccola della superficie libera, i filetti fluidi tendono ad avvicinarsi e ad infittirsi. Nel contempo potremmo porre in evidenza il fatto che in detto tubo si manifesta un campo vettoriale delle velocità costituito da vettori velocità sempre tangenti alle linee di flusso e il cui modulo aumenta mano a mano che le sezioni virtuali del tubo diminuiscono. Evidentemente il massimo valore del campo di velocità è localizzato nel baricentro del foro d’uscita.

v

v

v

T U B O D I F L U S S O L I Q U I D O

C A M P O D E L L E V E L O C I T A '

v

L I N E E D I F L U S S O

Figura 42 – FLUSSO VIRTUALE DI UNA CORRENTE D’ACQUA

CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UN DIPOLO ELETTRICO La presenza di due cariche elettriche 1Q e 2Q della stessa intensità ma di segno contrario, separate da una distanza d , costituisce una configurazione di “dipolo elettrico”. La distanza d tra i baricentri delle due cariche è da considerare come modulo di un vettore d la cui direzione è definita “asse del dipolo” ed il verso è orientato dalla carica negativa alla carica positiva.

Il punto mediano del vettore d è il “centro del dipolo”, è posizionato sull’asse del dipolo e dista 2

d

da entrambe le cariche.

70

Il campo elettrico AE , provocato dal dipolo in un punto A ad una distanza z dal centro e collocato sulla direzione individuata dall’asse del dipolo stesso, risulta la sommatoria algebrica dei moduli dei campi elettrici 1E ed 2E prodotti rispettivamente dalla carica positiva e dalla carica negativa su una carica esploratrice. I due campi elettrici hanno la stessa direzione, verso contrario e moduli inversamente proporzionali al quadrato della distanza del punto considerato dalle cariche del dipolo.

21

11

r

Q

4

1

q

FE

HS

22

22

r

Q

4

1

q

FE

HS

Con:

2

dzr1

2

dzr2

Per cui:

»»»»

¼

º

««««

¬

ª

¸¹

ᬩ

§

¸¹

ᬩ

§

HS

2221A

2

dz

1

2

dz

1

4

QEEE

°°

¿

°°

¾

½

°°

¯

°°

®

­

»¼

º«¬

ª¸¹

ᬩ

§

»¼

º«¬

ª¸¹

ᬩ

§

HS

2221A

z2

d1z

1

z2

d1z

1

4

QEEE

°°

¿

°°

¾

½

°°

¯

°°

®

­

¸¹

ᬩ

§

¸¹

ᬩ

§

HS

22221A

z2

d1

1

z2

d1

1

z

1

4

QEEE

»»¼

º

««¬

ª¸¹

ᬩ

§

¸

¹

ᬩ

§

HS

22

221Az2

d1

z2

d1

z

1

4

QEEE

71

Q+

-Q

q +

d

d / 2

d / 2

z

r 1

1r

A S S E D E L D I P O L O

D I P O L O E L E T T R I C O

C A R I C A E S P L O R .

-Q

D I P O L O E L E T T R I C O

+Q

A S S E D E L D I P O L O

+q

E 1

E 2

M O M E N T O D E L D I P O L O

p = Q d

A A

Figura 43 – MOMENTO DEL DIPOLO ELETTRICO

Considerando che, solitamente, la distanza z del punto considerato è notevolmente più grande delle

dimensioni geometriche del dipolo, il rapporto z2

d

ha un valore molto minore dell’unità:

Per ipotesi: dz ²²

Di conseguenza:

1z2

d¢¢

I binomi con esponente negativo possono essere quindi approssimati con le seguenti serie:

...........x!3

2n1nnx

!2

1nnxn1x1 32n

...........x!3

2n1nnx

!2

1nnxn1x1 32n

Per cui, ponendo:

xz2

d

2n Si ottiene:

»¼

º«¬

ª¸¹

ᬩ

§

¸

¹

ᬩ

§

HS ....

z2

d21.......

z2

d21

z

1

4

QEEE

221A

Dove i termini mancanti sono trascurabili per effetto dell’elevazione a potenza superiore a uno di un rapporto già piccolo in partenza. Si ottiene quindi:

72

¸¹

ᬩ

§

HS

z

d

z

d

z

1

4

QEEE

221A

¸¹

ᬩ

§

HS

z

d2

z

1

4

QEEE

221A

3321Az

p

2

1

z

dQ

2

1EEE

HS

HS

Il prodotto dQ , contenente le grandezze caratteristiche intrinseche del dipolo – valore numerico delle cariche elettriche e distanza tra le cariche, è definito “MOMENTO DI DIPOLO ELETTRICO” e deve essere considerato come un vettore con direzione sovrapposta all’asse del dipolo e orientato dalla carica negativa a quella positiva. Il campo elettrico prodotto da un dipolo di momento dQp in un punto , anche non posizionato

sull’asse, distante r da centro del dipolo, è variabile in funzione di 3r

1 .

CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA CARICA DISTRIBUITA SU UN FILAMENTO RETTILINEO DI LUNGHEZZA L (SUPPOSTA INFINITA). Si suppone ora di disporre di un filamento rettilineo lungo e sottile sul quale è distribuita, complessivamente, una certa quantità di carica elettrica Q , ad esempio positiva. Conoscendo la lunghezza L del filo e il valore complessivo della carica, è possibile determinare la carica lineare specifica o “densità di carica lineare”, cioè la quantità di carica distribuita su ogni metro di lunghezza:

mL

CQ O ¸

¹

ᬩ

§ ¸

¹

ᬩ

§O

m

sA

m

C Densità lineare di carica

Se, al contrario, è determinata la densità di carica lineare O , risulta possibile immaginare un filamento di lunghezza infinitamente grande. Il campo elettrico generato dal filamento rettilineo, in un punto A posto ad una distanza r, misurata perpendicolarmente all’asse del filamento, può essere considerato come la sommatoria vettoriale di tutti i campi elettrici generati, nello stesso punto, dai tratti infinitesimi in cui può pensarsi suddiviso il filamento. Se la lunghezza del filamento è sufficientemente grande, per ogni tratto di filo posto ad una distanza s sopra al punto A, ne corrisponde un altro posto alla medesima distanza sotto A. Pertanto, quando si sommano vettorialmente i campi elettrici prodotti da tutti gli elementi, le componenti parallele alla direzione del filamento si annullano reciprocamente. Sono quindi da considerare le sole componenti perpendicolari all’asse del filamento. Il campo elettrico complessivo sarà quindi orientato secondo la direzione perpendicolare al filo e con verso da stabilirsi in funzione del segno della carica distribuita e da quello della carica esploratrice da collocare nel punto A.

73

r

RD

D

r

q

A

s

s

' s

' s

E 1 x

EE 1 y

' Q

' Q

+

+

+

1

E 2 y

F I L O C A R I C O

Figura 44 – CAMPO ELETTRICO PRODOTTO DA UN FILAMENTO CARICO

Pensando di suddividere il filamento, supposto di lunghezza infinita, in tratti di lunghezza s' , la componente orizzontale xE del campo elettrico prodotto nel punto A da ogni tratto recante la carica

sQ 'O ' risulta determinata da:

121

11x1 cosr

1

4

scosEE D

HS

'O D

121

121

11

11x1 cosr

1

4

scos

r4q

qQcos

q

FcosEE D

HS

'O D

HS

' D D

Con: Rcosr 11 D

1

1r

Rcos D

Per cui:

1

21

11x1r

R

r

1

4

scosEE

HS

'O D

D’altra parte la distanza 1r di ogni tratto s' dal punto A è variabile in funzione della distanza s del tratto considerato dall’intersezione tra il filamento e la perpendicolare al filamento condotta dal punto A. Applicando il teorema di Pitagora:

21

21 sRr

Per cui, sostituendo, si ottiene:

74

2

122

1211x1

sR

R

sR

1

4

scosEE

HS

'O D

2

321

2x1

sR

R

4

sE

HS

'O

2

321

2x1 sR

4

RsE

HS

'O

Il campo elettrico complessivamente prodotto da tutti i tratti di filamento, nel punto A, posto alla distanza R dal baricentro del filo, risulta quindi determinato dal doppio dalla sommatoria di tutti i contributi (tratti posti sopra e sotto l’orizzontale condotta dal punto):

2

32i

2ni

1inxx2x1X sR

4

Rs2E.............EE2E

¦HS

'O

Passando agli incrementi infinitesimi, la sommatoria è sostituita dall’integrale:

2

3

0

22X sR

4

Rds2E

f

³ HS

O

dssR4

R2E

2

3

0

22X ³

HS

O

f

L’integrale è risolto ponendo:

2

122 sRT

Da cui:

ds

sR

1

4

R2E

02

322

X ³

»»»

¼

º

«««

¬

ª

HS

O

f

dsT

1

4

R2E

03X ³ »¼

º«¬

ª

HS

O

f

Integrando (utilizzando le tavole di DWIGHT) si ottiene

f

»¼

º«¬

ª

HS

O

0222X

sR

s

R

1

2

RE

f

»¼

º«¬

ª

HS

O

022

XsR

s

R2E

Tra i limiti d’integrazione:

f

»»

¼

º

««

¬

ª

f

f

HS

O

0

2222X

0R

0

RR2E

75

> @R2

01R2

E XHS

O

HS

O

CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA CARICA DISTRIBUITA UNIFORMEMENTE SU UN ANELLO DI RAGGIO R IN PUNTI APPARTENENTI ALL’ASSE DI SIMMETRIA. Si considera ora una carica elettrica Q , ad esempio positiva, distribuita uniformemente su un anello circolare di raggio R. La densità lineare di carica risulta uguale a:

¸¹

ᬩ

§ ¸

¹

ᬩ

§

S O

m

sA

m

C

R2

Q

R

RC

r z

r

E 1

E 1 r

E 2 r

Q' +

+' Q

' s

s'

E 2

2 zE=E 1 z

F I L O C A R I C O

Figura 45 – CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA DISTRIBUZIONE AD ANELLO

Anche in questo caso, trattandosi di carica distribuita, è possibile suddividere la circonferenza in tratti di lunghezza piccola a piacere s' recanti, ognuno, una quantità di carica data da:

sQ 'O '

Il campo elettrico complessivamente prodotto dalle cariche, in un punto A appartenente all’asse di simmetria passante nel centro della circonferenza e alla distanza z dal piano della circonferenza stessa, sarà pari alla somma di tutte le componenti parallele all’asse di simmetria izE e prodotte, ognuna, dal singolo tratto s' . La somma delle componenti perpendicolari iRE all’asse di simmetria, quindi parallele al piano della circonferenza, sarà evidentemente nulla per il fatto che coppie di carica diametralmente opposte produce componenti orizzontali ( R2R1 EE ) uguali e contrarie. Occorre quindi considerare le sole componenti parallele all’asse di simmetria i cui valori sono espressi dalla seguente relazione:

D cosEE 1Z1

76

Con:

221

1r4

s

q

1

r4

qQ

q

FE

HS

'O

HS

Quindi:

DHS

'O cos

r4

sE

2Z1

D’altra parte la simmetria del problema ci consente di affermare che, per tutti i tratti carichi appartenenti alla circonferenza, è costante sia la distanza r del punto A sia il valore dell’angolo e del relativo coseno:

22 zRr

2

122 zR

z

r

zcos

D

Si ottiene quindi:

2

1221

122

Z1

zR

z

zR4

sE

HS

'O

In cui i termini z e R sono costanti rispettivamente per aver fissato la distanza del punto A sull’asse e per aver fissato il raggio della circonferenza.

Il campo elettrico complessivo è quindi la sommatoria delle singole componenti:

nZZ3Z2Z1Z E...............EEEE

n321

2

322

Z s.........sss

zR4

zE ''''

HS

O

Ma la somma di tutti i tratti s' altro non è che la lunghezza totale della circonferenza:

R2s.........sss n321 S ''''

Quindi:

R2

zR4

zE

2

322

Z S

HS

O

Da notare poi che il prodotto della densità lineare di carica O per la lunghezza complessiva della circonferenza R2 S è la carica Q complessivamente presente. Quindi, in conclusione:

77

2

322

Z

zR4

zQE

HS

Inoltre il valore del campo è nullo, per simmetria rispetto alla distribuzione circolare, quando il punto è collocato nel centro dell’anello, cioè per z uguale a zero:

0E 0Z 0Fe

Il campo elettrico è ancora nullo ad una distanza infinitamente grande dal centro, infatti: Per:

f#z 1z

z

Rz

z22

f

f

#

f#z 0R

1

Rz

1222

f

Quindi:

0

Rz

z

Rz

1

4

qE

2222Z

HS

Il valore massimo del campo elettrico si ottiene imponendo l’annullamento della derivata prima della funzione:

0Rzz

dz

d

Rz

z

dz

d2

322

2

322

»¼

º«¬

ª

»»»

¼

º

«««

¬

ª

Ottenendo:

2

3222

322 Rz

dz

dzz

dz

dRzz'f

z2Rz2

3z1Rzz'f

12

3222

322 ¸

¹

ᬩ

§

212

3222

322 z2Rz

2

3Rzz'f

22

5222

322 zRz3Rzz'f

Per cui:

0zRz3Rzz'f 22

5222

322

2

52222

322 Rzz3Rz

2 522

2

2 322 Rz

z3

Rz

1

78

22222

2

2222 RzRz

z3

RzRz

1

2

2222

22222

z3RzRz

RzRz

222 z3Rz 0Rz3z 222 0Rz2 22 Equazione di secondo grado che ammette il seguente risultato:

2

Rz

Il campo elettrico prodotto da una distribuzione di carica q su un anello di raggio R

sull’asse dell’anello, è dunque massimo in un punto distante 2

Rz dal centro della

circonferenza. Il suo valore è:

2

3

2

322

)MAX(Z

R2

342

Rq

2

RR24

RqE

¸¹

ᬩ

§HS

¸¸

¹

·

¨¨

©

§HS

2

1

)MAX(Z2

R3

26

q

R2

3R

2

342

RqE

¸¹

ᬩ

§

HS

HS

CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UN DISCO CARICO In questo caso la carica complessiva Q, ad esempio positiva, è distribuita uniformemente su di una superficie circolare (disco) e si vuole determinare il campo elettrico prodotto in un punto A posizionato ad una distanza z dalla superficie del disco e sull’asse di simmetria passante per il centro del disco. Si tratta ora di determinare la densità superficiale di carica tenendo conto del raggio R del disco. La densità superficiale di carica è data da:

¸¹

ᬩ

§ ¸

¹

ᬩ

§

S O

222 m

sA

m

C

R

Q

A

Q

Il problema non è molto dissimile da quello precedente se si immagina di suddividere la superficie complessiva del disco in un numero sufficientemente elevato di anelli concentrici di larghezza r' costante e di diametro variabile da un valore massimo pari al diametro del disco al valore nullo. Su ogni anello, definito propriamente dal raggio e dalla larghezza, sarà distribuita una carica elettrica determinabile in base alla seguente relazione:

rr2Q ii 'SO

79

RC

zr

R

r

E 11 zE

E 1 r

2 rE

Q' +

' +Q

s'

s'

2E

= E 2 z

D I S C O C A R I C O

A

Figura 46 – CAMPO ELETTRICO PRODOTTO DA UN DISCO CARICO

Tenendo quindi presente il risultato ottenuto precedentemente per la distribuzione ad anello, ogni singolo anello produce, nel punto A considerato, un campo elettrico parallelo all’asse di simmetria del disco il cui valore è stabilito dalla relazione:

2

322

1

1Z1

zr4

zQE

HS

2

322

1

1Z1

zr4

zrr2E

HS

'SO

Il campo elettrico complessivo nel punto A è quindi la somma di tutti i contributi relativi ai singoli anelli che, nell’insieme, costituiscono il disco. Da notare che la densità superficiale di carica O e la distanza z del punto A dal piano del disco hanno valore costante per tutti gli anelli che si considerano. Per cui si ottiene:

¸¸¸

¹

·

¨¨¨

©

§

'

'

'

H

O

2

322

n

n

2

322

2

2

2

322

1

1Z

zr

rr2............

zr

rr2

zr

rr2

4

zE

Passando alla forma integrale si ottiene:

dr

zr

r

4

z2E

R

02

322

Z ³

H

O

L’integrale si risolve ponendo:

2

122 zrT

Ottenendo quindi:

80

drT

r

4

z2E

R

03Z ³

H

O

Integrando (sono utilizzate le tavole di DWIGHT) si ottiene:

R

0Z

T

1

4

z2E »¼

º«¬

ª

H

O

R

02

122

Z

zr

1

4

z2E

»»»

¼

º

«««

¬

ª

H

O

R

02

122

Z

zr

1

4

z2E

»»»

¼

º

«««

¬

ª

H

O

R

02

122

Zz

1

zR

1

4

z2E

»»»

¼

º

«««

¬

ª

H

O

»

»»

¼

º

«««

¬

ª

H

O

2

122

Z

zR

z1

z

1

4

z2E

Infine:

»¼

º«¬

ª

H

O

22Z

zR

z1

2E

Da notare che, per un disco con raggio infinitamente grande, il secondo termine nella parentesi tende ad annullarsi ed il campo elettrico è quello prodotto da una superficie piana carica di dimensioni infinite.

H

O

2E Z

81

ESERCIZI – CAMPO ELETTRICO Esercizio 1: Su una carica C103q 5u , posta in un punto di un campo elettrico, agisce una forza

N103F 2u . Determinare l’intensità del campo in quel punto. Soluzione: Dalla relazione che definisce il campo elettrico si ottiene:

q

FE

Sostituendo i valori numerici noti:

¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

¸¹

ᬩ

§

u

u

m

Volt

mC

J

Cm

J

C

N10

C103

N103

q

FE 3

5

2

Con:

mNJ m

JN

C

JV Definizione di potenziale espresso in Volt V

Si è qui anticipata, con le unità di misura, la definizione di potenziale elettrico – da misurarsi in Volt – ed espresso dal rapporto tra l’energia potenziale elettrostatica (Joule) e la carica elettrica (Coulomb).

Esercizio 2: Determinare la forza elettrostatica a cui è soggetto un protone quanto, nel vuoto, si trova in un

campo elettrico la cui intensità è pari a ¸¹

ᬩ

§ ¸

¹

ᬩ

§

m

Volt15

C

N15E .

La carica elettrica del protone è positiva ed ha un valore numerico pari a quella dell’elettrone, cioè C10602,1p 19 u .

Soluzione: Dall’espressione del campo elettrico si ricava la formula inversa:

q

FE qEF

Tenendo presente il valore dell’intensità del campo elettrico a cui è sottoposta la carica elettrica del protone, si ricava, sostituendo:

Nm

C

C

mN

m

C

C

J

m

CV104,2C10602,1

m

V15pEF 1819 ¸

¹

ᬩ

§

¸

¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§ u u¸

¹

ᬩ

§

82

Esercizio 3: Una massa puntiforme, elettricamente carica, si trova in un punto di un campo elettrico la cui

l’intensità è pari a ¸¹

ᬩ

§ ¸

¹

ᬩ

§

m

V50

C

N50E ed è soggetta ad una forza pkg15F .

Determinare il valore della carica elettrica. Soluzione: Dall’espressione del campo elettrico si ricava la relazione inversa:

q

FE

E

Fq

Sostituendo i valori numerici e tenendo presente che le forze devono essere espresse in Newton, si ottiene:

C15,147

V

J

V

mN15,147

m

V50

kg

N81,9kg15

qp

p

¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

¸¹

ᬩ

§

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

C15,147

N

CN15,147

C

N50

kg

N81,9kg15

qp

p

¸¹

ᬩ

§

¸¹

ᬩ

§

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

Esercizio 4: Una carica elettrica C102,1Q 5u è immersa in un dielettrico con costante dielettrica relativa pari a 5,2R H . Determinare l’intensità del campo elettrico da essa generato ad una distanza di 6 m. Soluzione: Si utilizza l’espressione del campo elettrico unitamente alla legge di Coulomb:

q

FE e

2R

2er4

qQ

r4

qQF

HHS

HS

)

Da cui si ottiene:

2R

2R r4

Q

q

1

r4

qQE

HHS

HHS

))

Con: H Costante dielettrica assoluta del materiale

RH Costante dielettrica relativa del materiale

)H Costante dielettrica del vuoto ¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u#

2

212

mN

C1085,8

83

Il valore e le unità di misura della costante dielettrica del vuoto sono ricavate dalla legge di Coulomb tenendo presente la definizione di carica unitaria:

221

221

er

QQ

4

1

r

QQkF

HS

)

)

¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

u

)

) 2

29

229

21

2e

C

mN109

C1C1

m1N109

QQ

rFk

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ uS

S

H

)

) 2

212

2

29 mN

C10846,8

C

mN1094

1

k4

1

Sostituendo i valori nell’espressione del campo, si ottiene:

¸¹

ᬩ

§

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

HHS

)C

N5,199.1

m6mN

C1085,85,24

C102,1

r4

QE

22

2

212

5

2R

¸¹

ᬩ

§ ¸

¹

ᬩ

§

¸

¹

ᬩ

§

m

V5,199.1

mC

J5,199.1

C

N5,199.1E

Esercizio 5: Determinare la forza che agisce su una carica C103q 5

2u posta alla distanza di 30 cm, nel

vuoto, da una carica C105q 41

u . Soluzione: Si possono utilizzare, indifferentemente, sia direttamente la legge di Coulomb sia la relazione del campo elettrico. Nel primo caso si ottiene:

N500.1

m3,0mN

C1085,84

C103C105

r4

qqF

22

2

212

54

221

e #

u¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

uu

HS

)

Nel secondo caso occorre determinare il campo elettrico generato dalla carica 1q nel punto in cui è collocata la carica 2q , poi, con il valore del campo determinare la forza sulla seconda carica:

¸¹

ᬩ

§u#¸

¹

ᬩ

§u#

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

HS

)m

V105

C

N105

m3,0mN

C1085,84

C105

r4

qE 77

22

2

212

4

21

N500.1C103C

N105qEF 57

2e u¸¹

ᬩ

§u

I due risultati sono naturalmente uguali. Esercizio 6: Determinare l’intensità del campo elettrico risultante nel punto di mezzo tra due cariche di ugual segno C103q 6

1u e C104q 8

2u che distano tra loro 20 cm.

Determinare inoltre la forza che agisce su una carica C105q 6u situata nel suddetto punto. Si consideri che il mezzo nel quale sono immerse le cariche ha una costante dielettrica relativa pari a 7,2R H . Soluzione:

84

Le due cariche di ugual segno producono, nel punto mediano, due campi elettrici di segno contrario. Il campo elettrico risultante sarà quindi dato dalla sottrazione algebrica dei due vettori. Il verso del campo elettrico risultante sarà orientato dalla carica più grande a quella più piccola. Quindi da 1q a 2q .

¸¹

ᬩ

§#

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

HHS

)C

N10

m1,0mN

C1085,87,24

C103

r4

qE 6

22

2

212

6

2R

11

¸¹

ᬩ

§#

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

HHS

)C

N300.13

m1,0mN

C1085,87,24

C104

r4

qE

22

2

212

8

2R

22

I segni algebrici dei due campi elettrici sono stabiliti pensando di posizionare la carica 1q a sinistra. Di conseguenza il campo elettrico da essa prodotto nel punto ove si immagina di collocare una carica esploratrice positiva, è orientato verso la parte destra, quindi positiva. Il campo elettrico risultante ha quindi un’intensità pari a:

¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§ u

m

V700.986

C

N700.9861033,110EEE 46

21

Di conseguenza la forza elettrica esercitata sulla carica q di valore noto sarà:

N93,4C105C

N700.986qEF 6

e u¸¹

ᬩ

§

Esercizio 7: Un corpo pesante pg1 , avente una carica C105q 5u , parte da fermo da un punto A di un

campo elettrico uniforme di intensità pari a ¸¹

ᬩ

§

C

N000.1E .

Tale corpo raggiunge un punto B dopo un tempo di 1 s. Determinare la distanza tra i due punti. Soluzione: La forza esercitata sulla massa del corpo carico dall’azione del campo elettrostatico uniforme è determinata da:

N105C105C

N000.1qEF 25

e u u¸

¹

ᬩ

§

Tale forza si mantiene costante durante il movimento in quanto il valore del campo non varia da punto a punto ed è causa di un’accelerazione di valore pari a:

¸¹

ᬩ

§

u

2m

3

2e

s

m50

kg10

N105

m

Fa

Lo spazio percorso dalla carica in un tempo di 1 s, per effetto dell’accelerazione costante, è dato da:

m25s1s

m50

2

1ta

2

1S 22

2

2 ¸¹

ᬩ

§

ANTICIPAZIONE DEI CONCETTI DI ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA E DIFFERENZA DI POTENZIALE

85

Si sfrutta l’esercizio per anticipare la definizione ed il calcolo dell’energia potenziale elettrostatica e della differenza di potenziale elettrostatico tra il punto A ed il punto B nel campo elettrico uniforme. L’energia potenziale elettrostatica tra il punto A e B nel campo elettrico uniforme è pari al lavoro prodotto dal campo stesso sulla carica per consentirne lo spostamento:

D cosSFLW eABAB Con:

q D 0 1cos D

Quindi: J25,1m25N105SFcosSFLW 2

eeABAB D La differenza di potenziale tra i due punti è definita dal rapporto tra l’energia potenziale W e la carica q caratteristica del corpo in movimento:

Volt000.25C105

J25,1

q

WV

5AB

AB u

Esercizio 8: Determinare il tempo necessario affinché una pallina, pesante 3 g e con una carica C103q 3u percorra uno spazio di 1 m, se si trova all’interno di un campo elettrico uniforme di intensità pari a

¸¹

ᬩ

§

m

V10E .

Si suppone nulla la velocità iniziale. Soluzione: La forza esercitata dal campo elettrico sulla pallina carica è data da:

N103C103C

N10qEF 23

e u u¸

¹

ᬩ

§

L’accelerazione subita dalla pallina per effetto della forza:

¸¹

ᬩ

§

u

u

23

2e

s

m10

kg103

N103

m

Fa

Il tempo impiegato per percorrere uno spazio di 1 m con l’accelerazione calcolata:

2ta2

1S

s447,0

s

m10

m12

a

S2t

2

¸¹

ᬩ

§

Lo stesso esercizio svolto con i teoremi relativi all’energia potenziale elettrostatica e alla definizione di differenza di potenziale:

qVW ABAB 2feAB vm

2

1SqESFW

fe vmtF

86

22f

e

f

qE

mSqE2SqE2

qE

1

qE

mSqE2

qE

m

SqE2m

qE

vm

F

vmt

s447,0

N

kgm2,0

C103C

N10

kg103m12

qE

mS2

qE

mSqE2t

3

3

22 ¸

¹

ᬩ

§

u¸¹

ᬩ

§

u

Esercizio 9:

Un elettrone è proiettato orizzontalmente con velocità ¸¹

ᬩ

§

s

m600v X entro un campo elettrico

uniforme con direzione verticale ed intensità pari a ¸¹

ᬩ

§

C

N5E Y .

Determinare le componenti orizzontali e verticali dell’accelerazione, la traiettoria percorsa in orizzontale e verticale dall’elettrone in un tempo s10t 6 Si consideri la massa dell’elettrone pari a kg1011,9m 31

eu

Soluzione: La direzione verticale del campo elettrostatico permette di affermare che deve essere nulla la componente orizzontale dell’accelerazione cui è sottoposto l’elettrone. La componente verticale dell’accelerazione ha un’intensità di:

¸¹

ᬩ

§#

u

u¸¹

ᬩ

§

2

11

31

19

e

eYeYY

s

m1079,8

kg1011,9

C10602,1C

N5

m

qE

m

Fa

Lo spazio percorso in verticale dall’elettrone, in moto uniformemente accelerato, risulta dunque:

m44,0s10s

m1079,8

2

1t0ta

2

1tvS 212

2

112iYY ¸

¹

ᬩ

§u

Lo spazio percorso in orizzontale, in moto uniforme, è invece dato da:

m106s10s

m600tvS 46

iXX u ¸

¹

ᬩ

§

La traiettoria è rappresentata dalla funzione ottenuta risolvendo rispetto al tempo il seguente sistema di equazioni:

°

°®

­

2

iX

ta2

1y

tvx

°°¯

°°®

­

2

iX

ta2

1y

v

xt

°°

¯

°°

®

­

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

2iX

2

iX

v

xa

2

1y

v

xt

2

2iXe

eY xvm

qE

2

1y

Esercizio 10: Tre cariche uguali C103qqq 8

321 sono poste nei vertici di un triangolo equilatero di lato

10 cm. Determinare il campo elettrico nel baricentro del triangolo e nel punto mediano di uno dei lati.

87

Le cariche sono immerse nel vuoto. Soluzione: Il baricentro del triangolo è collocato nel punto d’incontro delle tre bisettrici che, per il triangolo equilatero, corrispondono anche alle perpendicolari ai rispettivi lati condotte nel punto mediano di ciascun lato. Le distanze tra i vertici, ove sono collocate le cariche, e il baricentro è dunque ricavato tenendo conto della seguente relazione:

2

L30cosr q

Da cui si ottiene:

m058,0866,02

m1,0

30cos2

Lr

q

I campi elettrici prodotti dalle tre cariche nel baricentro hanno modulo uguale di intensità pari a:

¸¹

ᬩ

§u#

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

S

u

HS

)C

N108

m058,0mN

C1085,84

C103

r4

qEEE 4

22

2

212

8

21

321

Se si considera che i tre vettori hanno lo stesso modulo e sono inclinati tra loro di 120° si riconosce che la loro somma vettoriale deve essere nulla per simmetria. Il campo elettrico nel baricentro è dunque nullo.

Nel punto mediano di uno dei lati si annullano i campi elettrici prodotti dalle due cariche disposte sui vertici appartenenti al lato, mentre il campo elettrico complessivo risulta perpendicolare al lato considerato ed è prodotto dalla carica disposta sul vertice opposto al lato. L’intensità del campo è data da:

2r4

qE

HS

)

Con: m0866,0866,0m1,030cosLr q

¸¹

ᬩ

§u#

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

S

u

HS

)C

N106,3

m0866,0mN

C1085,84

C103

r4

qE 4

22

2

212

8

21

M

Esercizio 11: Determinare a quale distanza da una carica C108q 5u si ha un campo elettrico

¸¹

ᬩ

§u

m

V105E 5 .

Soluzione: Dall’espressione del campo elettrico si ricava la formula inversa che permette di determinare la distanza:

2r4

qE

HS

)

E4

qr

HS

)

88

Sostituendo nella relazione i valori noti, si ottiene la distanza:

m2,1m44,1

C

N105

mN

C1085,84

C108r 2

5

2

212

5

¸¹

ᬩ

§u¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

Esercizio 12: Una carica puntiforme produce, nel vuoto e in un punto distante 40 cm, un campo elettrico pari a

¸¹

ᬩ

§u

C

N102E 4 . Determinare il valore della carica.

Soluzione:

2r4

QE

HS

)

Da cui si ottiene:

C1056,3C

N102m4,0

mN

C1085,84Er4Q 7422

2

2122 u ¸

¹

ᬩ

§u¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

uS HS

)

Esercizio 13: Determinare il campo elettrico complessivo nel punto di mezzo di un segmento lungo 30 cm, agli estremi del quale sono collocate due cariche elettriche C101Q 6

1u e C103Q 6

2u .

Soluzione: Supponendo di disporre orizzontalmente il segmento con la carica positiva posizionata sull’estremità sinistra e una carica esploratrice positiva nel punto mediano del segmento, il campo elettrico totale sarà la somma di un campo elettrico positivo (rivolto verso destra e causato dalla carica positiva) e di uno ancora positivo (rivolto verso destra causato dalla carica negativa). I valori dei campi saranno:

¸¹

ᬩ

§u#

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

HS

)C

N102,1

m15,0mN

C1085,84

C103

r4

QE 6

22

2

212

6

21

1

¸¹

ᬩ

§u#

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

HS

)C

N104

m15,0mN

C1085,84

C101

r4

QE 5

22

2

212

6

22

1

Il campo elettrico risultante:

¸¹

ᬩ

§u uu

C

N106,1104102,1E 656

Diretto dalla carica positiva a quella negativa. Esercizio 14: Quattro cariche puntiformi sono disposte, nel vuoto ai vertici di un quadrato di lato 50 cm, come mostrato nella figura. Determinare il campo elettrico nel baricentro del quadrato.

89

Soluzione: I campi elettrici prodotti dalle cariche nei vertici B e D si annullano in quanto uguali e contrari per effetto dell’uguaglianza delle cariche e delle distanze. I campi elettrici prodotti dalle cariche nei vertici A e C si sommano in quanto sulla stessa direzione (la diagonale del quadrato) e con eguale verso (dalla carica positiva a quella negativa). Per cui:

¸¹

ᬩ

§u#

»»»

¼

º

«««

¬

ª

q¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

S

u

HS

u

)

C

N1016,2

m45cos

2

5,0

mN

C1085,84

C103

r4

C103E 5

2

2

2

212

6

2

6

C

¸¹

ᬩ

§u#

»»»

¼

º

«««

¬

ª

q¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

S

u

HS

u

)

C

N1044,1

m45cos

2

5,0

mN

C1085,84

C102

r4

C102E 5

2

2

2

212

6

2

6

A

Il campo elettrico risultante è quindi:

¸¹

ᬩ

§u uu

C

N106,31044,11016,2E 555

- 2 x 1 0 ( C )- 6

+ 5 x 1 0 ( C )- 6

+ 5 x 1 0 ( C )- 6

+ 3 x 1 0 ( C )- 6

A B

CD

rL / 2

E

Esercizio 15: Due cariche puntiformi C105,1q 7

1u e C105,3q 7

2u . Sono poste agli estremi di un

segmento lungo 70 cm. Determinare in quale punto del segmento si annulla il campo elettrico. Soluzione:

90

A B

- 7

2q = + 3 ,5 x 1 0 ( C )- 7

q = + 1 ,5 x 1 0 ( C )1

x L - x

C

Occorre imporre che i campi elettrici prodotti dalle singole cariche siano di uguale intensità. Per cui:

B2

22

1A E

xL4

q

x4

qE

HS

HS

Da cui si ottiene, semplificando i termini uguali:

22

21

xL

q

x

q

22

21 xqxLq

0xqxxL2Lq 22

221

0LqqL2xqqx 21121

2 Equazione di secondo grado risolvendo la quale si ottiene la distanza richiesta:

21

2121

21

21

qq2

Lqqq4qL4qL2x

r

7

2772727

104

7.0105,11024105,17,04105,17,02x

u

uuuru

m33,1;m278,0104

1021,3101,2x

7

77

u

uru

Tra le due soluzioni è accettabile solo la prima, perciò il punto in cui il campo elettrico è nullo è posizionato a circa 28 cm dalla carica 1q di sinistra.

Esercizio 16: Una carica è distribuita uniformemente lungo un filamento rettilineo di lunghezza infinita. La

densità lineare di carica è pari a ¸¹

ᬩ

§u O

m

C103 4 .

Determinare il campo elettrico generato dal filamento in un punto situato ad una distanza di 5 metri misurata perpendicolarmente al filamento.

91

Il filamento è immerso nel vuoto. Soluzione: Occorre utilizzare la relazione determinata con le regole d’integrazione:

R2E X

HS

O

)

Con: XE Vettore campo elettrico diretto perpendicolarmente al filamento

R Distanza tra il punto ed il filamento misurata sulla perpendicolare al filo passante per il punto

Per cui:

¸¹

ᬩ

§u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

¸¹

ᬩ

§u

C

N1008,1

m5mN

C1085,82

m

C103

E 6

2

212

4

X

E’ anche possibile, anticipando la relazione contenuta nel Teorema di Gauss, determinare il valore del campo elettrico per mezzo del calcolo del flusso attraverso una superficie chiusa qualsiasi all’interno della quale sono contenute una o più cariche. Si tratta di un caso di simmetria nel quale si considera una superficie chiusa cilindrica con il raggio delle basi circolari pari alla distanza dal centro al punto che si è considerato, quindi m5R , e una carica Q, distribuita sull’asse del cilindro, di valore pari al prodotto della densità lineare di carica per l’altezza H del cilindro. Il caso di simmetria consente di affermare che il campo elettrico generato dal filamento è sempre perpendicolare all’asse del cilindro ed è quindi nullo il flusso attraverso le due superfici circolari del cilindro. Il flusso uscente dal cilindro è quindi dato da:

HR2ESE XX S ' ) Mentre, con il teorema di Gauss si ha:

)) H

O

H

¦ )

HQ i

Uguagliando le due relazioni:

HR2EH

X S H

O

Da cui si ottiene il valore del campo nel punto considerato:

R2E X

HS

O

)

Pervenendo allo stesso risultato ottenuto applicando le regole d’integrazione al filamento.

92

r

RD

D

r

q

A

s

s

' s

' s

E 1 x

EE 1 y

' Q

' Q

+

+

+

1

E 2 y

F I L O C A R I C O

q

A

E x

Q +

+F I L O C A R I C O

R

H

R

R

xE

Y

S U P E R F I C I E C I L I N D R I C A D I G A U S S

RxE

R

O H

Esercizio 17: Una carica positiva è distribuita uniformemente nel volume di una regione cilindrica di raggio

cm15R e lunghezza infinita. La densità di carica volumica è pari a ¸¹

ᬩ

§u V

3cm

C103 .

Determinare il campo elettrico ad una distanza m3r dall’asse del cilindro. Soluzione: Anche in questo caso si tratta di simmetria rispetto all’asse del cilindro. Ancora il campo elettrico è contenuto è radiale e contenuto nei piani perpendicolari all’asse e il flusso del campo è nullo dalle superfici circolari del cilindro Gaussiano di raggio pari alla distanza del punto ed altezza H qualsiasi. Il flusso è uscente solo dalla superficie laterale del cilindro.

93

Quindi, utilizzando il teorema di Gauss e la definizione di flusso del campo, si ottiene:

)H

¦ )

Q Flusso uscente in base al teorema di Gauss

SE X ) Combinando le due relazioni:

)H

¦ )

QSE X

Da cui si ottiene il valore del campo:

S

QE X

H

¦

)

Con: HRVQ 2 SV V ¦

Hr2S S

Per cui:

)) H

V

HS

SV

r2

R

Hr2

HRE

22

X

Sostituendo i valori noti:

¸¹

ᬩ

§u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§¸

¹

ᬩ

§u

H

V

) C

N1027,1

mN

C1085,8m32

m15,0m

cm10

cm

C103

r2

RE 5

2

212

22

3

36

3

10

2

X

Q +

r = 3 m

H

Y

S U P E R F I C I E C I L I N D R I C A D I G A U S S

94

Esercizio 18: Una carica è distribuita uniformemente nel volume di un cilindro di raggio cm30R . La densità

volumica di carica è pari a ¸¹

ᬩ

§u V

3

10

cm

C103 . Determinare il campo elettrico ad una distanza di

15 cm dall’asse del cilindro. Soluzione: Il cilindro Gaussiano è interno alla distribuzione volumica cilindrica di raggio R. Occorre tenere conto della sola carica contenuta all’interno della superficie di Gauss.

)H

¦ )

Q Flusso uscente in base al teorema di Gauss

SE X ) Combinando le due relazioni:

)H

¦ )

QSE X

Da cui si ottiene il valore del campo:

S

QE X

H

¦

)

Con:

HrVQ 2 SV V ¦ Hr2S S

Per cui:

)) H

V

HS

SV

2

r

Hr2

HrE

2

X

H

Y

S U P E R F I C I E C I L I N D R I C A D I G A U S S

R = 3 0 c m

+Q

95

Esercizio 19: Una sferetta di massa g0,5m è sospesa con un filo di massa trascurabile lungo 50 cm, di fronte

ad un piano verticale su cui è distribuita una carica con densità superficiale ¸¹

ᬩ

§u V

2

8

m

C105,7 .

Se, in posizione di equilibrio, la sferetta risulta spostata di 4,2 cm dalla verticale, verso il piano, determinare in modulo e segno la carica presente sulla sferetta. Soluzione: Il campo elettrico prodotto dal piano carico è paragonabile a quello generato da un disco di raggio infinito. Dato che sferetta è attratta dal piano risulta immediata l’affermazione che la carica posseduta dalla sferetta è di segno contrario alla carica distribuita sul piano. Il campo elettrico prodotto dalla distribuzione superficiale di carica è ricavato tenendo conto della relazione relativa al campo prodotto da un disco di raggio R:

»¼

º«¬

ª

H

V

22 zR

z1

2E

Se si pensa ad un disco di raggio infinitamente grande f#R , il secondo termine contenuto in parentesi tende ad annullarsi: Per:

f#R 0zR

z22

#

Di conseguenza:

> @H

V

H

V

201

2E

La sferetta, nella posizione d’equilibrio indicata dal problema, è quindi sottoposta all’azione di tre forze:

x La forza peso gmP diretta verticalmente verso il basso x La forza elettrica attrattiva esercitata sulla carica incognita dal campo elettrico orizzontale E

prodotto dalla distribuzione piana verticale x La reazione del filo R inclinata rispetto alla verticale.

96

h

a

D

R x

R

R y

F e

P = m g

C A R I C A S U P E R F I C I A L E

Q+

- -q

La reazione del filo è la somma di una componente orizzontale, uguale e contraria alla forza elettrica esercitata dal piano, e di una componente verticale orientata verso l’alto uguale e contraria alla forza peso. La configurazione d’equilibrio permette di determinare le componenti:

gmcosRR Y D eX FasenRR

Con:

D senLa

L

asen D

D

cos

gmR

L

a

cos

gmsen

cos

gmR X

D

D

D

L

aL

L

hcos

22 D

22

XaL

agmR

Da cui si ottiene, sostituendo i valori:

N104

m042,05,0

m042,0kg

N81,9kg005,0

aL

agmR 3

2222X

u

¸¹

ᬩ

§

La carica elettrica della sferetta è quindi determinata dalla conoscenza della forza attrattiva e del campo elettrico generato dalla distribuzione superficiale di carica:

qEFR eX

97

V

H )2R

E

Rq XX

Quindi:

C1044,9

m

C105,7

mN

C1085,82N104

2R

E

Rq 7

2

8

2

2123

XX

) u

¸¹

ᬩ

§u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u

V

H

Il segno della carica q è negativo per il motivo sopra esposto. Esercizio 20: Due anelli di raggio R sono tra loro paralleli e normali ad un asse sul quale sono centrati. L’anello 1 ha una carica uniforme 1q e l’anello 2 ha una carica uniforme 2q . La distanza tra gli anelli è

R3d . Sapendo che il campo elettrico è nullo in un punto dell’asse posto a distanza R dall’anello 1,

determinare il rapporto 2

1

q

q tra le cariche.

Soluzione: Il campo elettrico prodotto da un anello circolare di raggio R sul quale è distribuita uniformemente un carica q, in un punto a distanza z sull’asse di simmetria passante per il centro dell’anello, è dato dalla relazione:

2

322

Z

zR4

zqE

HS

L’annullamento del campo elettrico nel punto indicato dall’esercizio, presuppone che le cariche distribuite sui due anelli abbiano ugual segno. Il campo prodotto dall’anello 1 ha quindi modulo uguale al campo prodotto dall’anello 2. La relazione è così espressa:

21

211

1zR4

zqE

HS

2

2222

2zR4

zqE

HS

HS

21

211

zR4

zq

22

222

zR4

zq

HS

22

222

1

R4R

R2q

RR

Rq

22

222

1

R4R

2q

RR

q

5

4

R5

R4

q

q2

2

2

1

98

R3

R

2 RR

P

q 2q 1

Esercizio 21: In un punto, distante z dal centro, sull’asse centrale di un anello carico recante una carica distribuita positiva q , è posizionato un elettrone e . La velocità iniziale dell’elettrone è nulla. L’elettrone è quindi abbandonato nel campo elettrico prodotto dall’anello. Dimostrare che le forze elettrostatiche prodotte dal campo provocano un’oscillazione dell’elettrone attorno al centro dell’anello, caratterizzata da una frequenza angolare:

3Rm4

qe

HS

Z

)

Soluzione: L’anello carico positivamente produce un campo elettrico attrattivo nei confronti dell’elettrone negativo. Tale forza è il risultato del prodotto dell’intensità del campo per la carica elettrica dell’elettrone, ove il campo elettrico, relativamente all’asse dell’anello, è comunque sempre sovrapposto alla direzione dell’asse. D’altra parte, sia analizzando l’espressione del campo elettrico sia prendendo in esame le basi di partenza per la determinazione dell’espressione stessa, ci si rende conto che la forza elettrica è variabile in funzione della distanza del punto dal centro dell’anello secondo il valore del coseno dell’angolo.

D

HS

HS

HS

cos

zR4

q

zR

z

zR

1

4

q

zR4

zqE

222222

2

322

Z

D cosFF eX

Inoltre il valore del campo è nullo, per simmetria rispetto alla distribuzione circolare, quando il punto è collocato nel centro dell’anello, cioè per z uguale a zero:

0E 0Z 0Fe

99

Il campo elettrico è ancora nullo ad una distanza infinitamente grande dal centro, infatti:

Per:

f#z 1z

z

Rz

z22

f

f

#

f#z 0R

1

Rz

1222

f

Quindi:

0

Rz

z

Rz

1

4

qE

2222Z

HS

Il valore massimo del campo elettrico si ottiene imponendo l’annullamento della derivata prima della funzione:

0Rzz

dx

d

Rz

z

dx

d2

322

2

322

»¼

º«¬

ª

»»»

¼

º

«««

¬

ª

Ottenendo:

2

3222

322 Rz

dz

dzz

dz

dRzz'f

z2Rz2

3z1Rzz'f

12

3222

322 ¸

¹

ᬩ

§

212

3222

322 z2Rz

2

3Rzz'f

22

5222

322 zRz3Rzz'f

Per cui:

0zRz3Rzz'f 22

5222

322

2

52222

322 Rzz3Rz

2 522

2

2 322 Rz

z3

Rz

1

22222

2

2222 RzRz

z3

RzRz

1

2

2222

22222

z3RzRz

RzRz

222 z3Rz 0Rz3z 222 0Rz2 22 Equazione di secondo grado che ammette il seguente risultato:

100

2

Rz

Il campo elettrico prodotto da una distribuzione di carica q su un anello di raggio R

sull’asse dell’anello, è dunque massimo in un punto distante 2

Rz dal centro della

circonferenza. Il suo valore è:

2

322

322

)MAX(Z

R2

342

Rq

2

RR24

RqE

¸¹

ᬩ

§HS

¸¸

¹

·

¨¨

©

§HS

2

12

22)MAX(Z

2

R3

R26

q

R2

3R

2

342

RqE

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

HS

HS

322)MAX(Z

R36

q

R3R2

342

2RqE

HS

HS

Il campo elettrico e, di conseguenza la forza elettrica attrattiva agente sull’elettrone, è quindi

variabile da un valore massimo nel punto 2

Rz ad un valore nullo nel punto centrale in funzione

del coseno dell’angolo (oppure della distanza dal centro). Immaginiamo dunque di porre l’elettrone nel punto in cui il campo è massimo ed è massima anche la forza d’attrazione verso il centro. Naturalmente si ha un’inversione dei segni algebrici, quando l’elettrone, per effetto dell’energia cinetica acquistata nella prima parte del movimento – ad esempio da destra verso sinistra – oltrepassa il centro. Esistono quindi i presupposti per affermare che il movimento dell’elettrone sottoposto al campo generato dall’anello non può che essere un moto armonico lungo la direzione dell’asse z. L’accelerazione del moto armonico sarà massima nei punti estremi della traiettoria e potrà essere paragonata all’accelerazione costante di un moto circolare virtuale:

2

Rf2z

z

z

z

va 22

222t

MAX S Z Z

Con: Z velocità angolare

2

Rz raggio della circonferenza virtuale e ampiezza massima del moto armonico

f Frequenza oscillazione 1s D’altra parte l’accelerazione variabile del moto armonico, la massa dell’elettrone e la forza elettrica, sono legati dal secondo principio della dinamica:

eMAXX2

e)MAX(Xe)MAX(e qE2

RmamF Z

Per cui si ottiene:

101

z

R

e

z

r

z = R / 2

D q

M A XEF M A XF M A XE M A X

q +

102

DERIVATA DI UNA GRANDEZZA SCALARE RISPETTO AD UNA DIREZIONE GRADIENTE DI UNO SCALARE Si consideri ora la presenza di un campo scalare costituito da una funzione f delle coordinate

z,y,x del punto che sia in grado di restituire, per ogni terna di coordinate, un particolare valore del campo. Individuando con il simbolo U il valore numerico del campo in quel determinato punto, si potrebbe adottare la seguente simbologia:

z,y,xfU

Nel caso in cui, per terne diverse di coordinate, la funzione f restituisse valori uguali del campo U, potremmo affermare che, l’insieme dei punti dello spazio individuati ognuno da una terna diversa potrebbe costituire una superficie di livello o equipotenziale. D’altra parte, come visto precedentemente, una superficie di livello di un campo è proprio caratterizzata dal fatto che in tutti i punti ad essa appartenenti il valore del campo è costante. Ad esempio la superficie di una sfera di raggio r è una superficie di livello di un campo elettrico radiale caratterizzato da una funzione f:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

2222e

zyx

1Qk

r

1Qk

q

FEU

Supponiamo che, per una terna di coordinate )z,y,x( 111 relative ad un punto 1, la funzione sia in grado di restituire il valore 1U del campo:

1111 z;y;xfU E, tanto per fare un esempio, supponiamo che la funzione f sia definita dalla seguente relazione:

222 z3

4y7x4z;y;xf

E’ un tipo di funzione a tre variabili che restituisce sempre valori positivi. Per cui:

222 z3

4y7x4U

Ora, avendo anticipato che le tre variabili contenute nella funzione rappresentano le coordinate di un punto nello spazio, occorrerà supporre l’esistenza di un legame tra le coordinate in grado di indicare in modo univoco la posizione del punto. Ad esempio, per una sfera con centro nell’origine degli assi, ogni sezione con un piano parallelo al piano X-Y individuato in altezza dalla coordinata Z, è un cerchio di raggio decrescente mano a mano il valore della coordinata Z si avvicina al valore del raggio r. Tutti i punti appartenenti al piano di una qualsiasi delle sezioni circolari così ottenute sono quindi caratterizzati dallo stesso valore z, ma, solo quelli situati sul perimetro del cerchio appartengono contemporaneamente al piano e alla sfera. Potremo dire quindi che per un determinato valore di z cui corrisponde una sezione circolare di raggio R le altre coordinate X e Y dovranno soddisfare alla seguente relazione:

222 Ryx

103

Per cui le terne di coordinate che individuano punti sulla sfera saranno sicuramente del tipo:

¸¹

ᬩ

§ z;xRy;x 22

Figura 47 Tornando alla funzione supponiamo ora spostare di un breve tratto la posizione del punto 1 individuando così una nuova posizione 2. Per detta nuova posizione il valore della funzione sarà 2U non troppo dissimile da 1U . Il piccolo spostamento potrebbe essere indicato da incrementi piccolissimi delle coordinate che, proprio in virtù del fatto di essere unidirezionali, possono esser considerati vettori paralleli agli assi principali. Per cui si avrà:

xixx 12 ' yjyy 12 ' zkzz 12 '

Con: i Vettore unitario diretto secondo l’asse principale X j Vettore unitario diretto secondo l’asse principale Y z Vettore unitario diretto secondo l’asse principale Z

z,y,x ''' Incrementi numerici Il nuovo valore restituito dalla funzione f secondo le nuove variabili, sarà indicato con:

> @zz;yy;xxfU 1112 '''

Utilizzando la funzione presa a titolo di puro esempio:

212

12

12 zz3

4yy7xx4U '''

104

21

21

21

21

21

212 zzz2z

3

4yyy2y7xxx2x4U ''''''

La differenza tra il nuovo valore 2U ed il precedente valore 1U è quindi data da:

¸¹

ᬩ

§

''''''

21

21

21

21

21

21

21

21

2112

z3

4y7x4

zzz2z3

4yyy2y7xxx2x4UU

Da cui si ottiene: 2

12

12

1 z3

4zz

3

8y7yy14x4xx8U '''''' '

Se si considera poi che, per ipotesi, gli incrementi sono piccoli, allora è possibile pensare trascurabili i rispettivi quadrati (infinitesimi di ordine superiore) e riscrivere dunque la variazione

U' nel modo seguente:

zz3

8yy14xx8U 111 ''' '

D’altra parte i termini 111 z3

8,y14,x8 altro non sono che le derivate prime parziali della

funzione z;y;xfU rispetto alle relative variabili, cioè:

112

222

x8x42x

z3

4y7x4

x

f

w

¸¹

ᬩ

§w

w

w nel punto 1x

112

222

y14y72y

z3

4y7x4

y

f

w

¸¹

ᬩ

§w

w

w nel punto 1y

112

222

y3

8z

3

42

z

z3

4y7x4

z

f

w

¸¹

ᬩ

§w

w

w nel punto 1z

Mentre gli incrementi z,y,x ''' possono essere intesi come le componenti di un vettore spostamento indicato dalla distanza orientata la posizione del punto 1 e del punto 2:

kzjyixr ''' ' La variazione della funzione U potrà essere riscritta nel modo seguente:

zz

Uy

y

Ux

x

UU '¸

¹

ᬩ

§

w

w'¸

¹

ᬩ

§

w

w'¸

¹

ᬩ

§

w

w '

rz

U

y

U

x

UU ¸

¹

ᬩ

§

w

w¸

¹

ᬩ

§

w

w¸

¹

ᬩ

§

w

w '

Le derivate parziali della funzione sono le componenti secondo gli assi principali di un vettore definito “GRADIENTE DI U” che indichiamo con “grad U”. Quindi la variazione U' di una grandezza scalare U può pensarsi ottenuto come risultato di un prodotto scalare tra due vettori. Come è risaputo la caratteristica essenziale di un prodotto scalare tra vettori comunque diretti è che il risultato non è più un vettore ma uno scalare. Quindi:

105

rUgradU '

IL GRADIENTE DELLA FUNZIONE E LA SUPERFICIE EQUIPOTENZIALE Ora vediamo il significato del nuovo vettore “grad U”. Supponendo che il punto 1 e il punto 2 siano posizionati su una superficie del livello sarà ovviamente nulla la variazione della funzione U. Si avrà dunque:

0U '

A titolo d’esempio possiamo utilizzare la definizione di superficie di livello per un campo radiale e quella di campo elettrico radiale:

x La superficie di livello di un campo elettrico radiale è una sfera. Su tutti i punti della sfera il campo elettrico è un vettore di modulo costante e direzione secondo la congiungente del punto al centro ove è situata la carica generatrice. La superficie della sfera e il vettore campo elettrico sono sempre perpendicolari. Considerando un piccolo spostamento sulla superficie della sfera, l’inclinazione del vettore campo elettrico subisce una variazione trascurabile per cui la differenza vettoriale tra il campo elettrico dei due punti è anch’essa trascurabile cioè circa zero:

Ma il prodotto scalare tra due vettori qualsiasi di modulo diverso da zero, è nullo solo nel caso in cui l’angolo formato tra i vettori sia di 90°. Ricordiamo a questo proposito la definizione di lavoro meccanico:

D cosSFSFL Prodotto scalare Il lavoro meccanico è nullo se la forza e lo spostamento sono perpendicolari cioè se l’angolo

formato dalle direzioni dei vettori F e S vale 90° ¸¹

ᬩ

§ Srad

2.

Ma, d’altra parte, se lo spostamento infinitesimo è stato tale da mantenere il nuovo punto sulla superficie di livello, allora sicuramente il vettore r deve essere parallelo alla superficie stessa. Si giunge così alla conclusione che, relativamente alla superficie di livello o equipotenziale, il vettore definito “gradiente di U” è sicuramente perpendicolare alla superficie di livello o, il che è lo stesso, che le linee di flusso del vettore “grad U” devono essere ortogonali alla superficie di livello del campo scalare U.

106

P1

P2

g r a d U

r

U 1

U 1

U 1

U 1

U 1U 1 U 1

S u p e r f ic ie d i l iv e llo

Figura 48 – GRADIENTE PERPENDICOLARE ALLA SUPERFICIE DI LIVELLO

DERIVATA DIREZIONALE DELLA FUNZIONE U RISPETTO ALLA NORMALE: Consideriamo ora il caso in cui lo spostamento tra il punto 1 e il punto 2 avviene in direzione perpendicolare alla superficie di livello, ovvero, parallelamente alle linee di flusso del campo. In questo caso il vettore spostamento infinitesimo è perpendicolare alla superficie e può essere indicato con:

nr

La conseguente variazione della funzione U è quindi data da:

nUgradU ' Avendo stabilito precedentemente che, nel caso di una superficie di livello, il vettore grad U è parallelo alla normale alla superficie, è ora evidente che i due vettori sono paralleli, l’angolo formato è nullo e, di conseguenza, valore del coseno è pari all’unità. In questo caso il prodotto scalare è uguale alla semplice moltiplicazione algebrica dell’intensità dei vettori, quindi:

nUgradU ' Da cui si ottiene:

Ugradn

U

'

Cioè il modulo del vettore Ugrad rappresenta fisicamente la variazione della funzione U per uno spostamento unitario nella direzione perpendicolare alla superficie di livello, ovvero, per uno spostamento unitario in direzione della linea di flusso passante in quel punto.

107

P1

P2

g r a d U

n

U 1

U 1

U 1

U 1

U 1U 1 U 1

S u p e r f ic ie d i l iv e llo

L I N E A D I F L U S S O

Figura 49 – SPOSTAMENTO PARALLELO ALLA LINE DI FLUSSO IL FLUSSO DEL VETTORE CAMPO ELETTRICO Supponiamo ora di inserire nel campo elettrico, presente nella regione di spazio che ci interessa, una superficie S' qualsiasi, di area infinitamente piccola A' racchiusa all’interno di una linea chiusa. Potendo scegliere sia il tipo di campo elettrico che la forma della superficie decidiamo di disporre una superficie piana racchiusa all’interno di un quadrato di lato l' , all’interno di un campo elettrico E uniforme generato da due lastre cariche di segno contrario (condensatore elettrostatico). Nello spazio compreso tra le due lastre il vettore campo elettrico E , indipendentemente dal punto preso in esame, è costante sia in modulo che in direzione. La direzione è quella perpendicolare al piano delle lastre ed il verso del vettore E è orientato dalla lastra positiva a quella negativa. Pur non essendo indispensabile, possiamo immaginare che i lati della linea chiusa di forma quadrata siano costituiti da un filo sottile e rigido convenientemente piegato. Sulla mezzeria di due lati contrapposti si potrebbe immaginare la presenza di due perni sporgenti, anch’essi di filo rigido, da utilizzare dall’esterno per provocare la rotazione della superficie attorno all’asse dei perni. Considerando che la superficie quadrata di cui si parla può essere intesa solo virtualmente presente, la sua raffigurazione materiale rappresenta solo un artificio da utilizzarsi per visualizzare concretamente le procedure che seguiranno. Supponiamo inoltre che tale superficie quadrata sia caratterizzata da uno spessore infinitesimo in modo da poter individuare materialmente la presenza di due facce diametralmente opposte. Per esempio si potrebbe pensare, come spessore, lo stesso diametro del filo. Inoltre, su una delle due facce quadrate, dobbiamo pensare alla presenza di un vettore n , solidale con la superficie stessa, applicato nel baricentro e ad essa perpendicolare. Il modulo del vettore n sarà rappresentato numericamente dall’area A' della superficie e si intenderà, come verso positivo, quello rivolto all’esterno. Dopo aver scelto il verso positivo del vettore n è da intendersi fissato in modo univoco anche il verso di rotazione positivo lungo il perimetro della superficie (si intende, con il termine rotazione, il modo di percorrere i lati del quadrato).

108

A questo scopo è da ritenersi applicata seguente la regola “dell’uomo di AMPERE”: x Con la superficie disposta su un piano orizzontale ed il vettore n rivolto in verticale verso

l’alto, un osservatore si colloca con i piedi nel baricentro in modo da farsi idealmente attraversare, dai piedi verso la testa, dal vettore n . Per tale osservatore il verso positivo di percorrenza del perimetro della superficie è da intendersi quello antiorario.

-+

E

E

E

E

E

E

E

+ -

E

E

E

E

E

E

E

E

E

Figura 50 – CAMPO ELETTRICO UNIFORME TRA LE LASTRE

+ -

n = A

E

E

P e r n o

P e r n o

A

S e n s o p o s . a n t io r .

S

C a m p o e le t tr ic o

L in e e d i f lu s s o

A s s e d i ro ta z io n e

E

E

E

E

E

F a c c ia p o s it iv a

F a c c ia n e g a t iv a

Figura 51 – ELEMENTO S' DI SUPERFICIE A' CON NORMALE n

109

La rotazione attorno all’asse del perno dispone l’elemento di superficie S' e il vettore normale n ad esso collegato rigidamente in modo da formare un angolo M con la direzione costante del campo elettrico E . Il valore dell’angolo M è evidentemente una funzione della velocità angolare Z con la quale l’elemento ruota e del tempo t .

tf2tT

2t S

S Z M rad

Con: T Periodo s

f Frequenza Hzs 1 Da notare che il valore dell’angolo M è quindi da intendersi espresso in radianti. Partendo da una posizione iniziale di riferimento alla quale corrisponde un valore nullo dell’angolo M con la normale n e la direzione del campo E tra loro paralleli e concordi (e l’area A' attraversata perpendicolarmente dal massimo numero di linee di flusso del campo) e supponendo che l’elemento inizi a ruotare attorno all’asse del perno con velocità angolare costante, risulta evidente che la proiezione dell’area nella direzione perpendicolare al campo subisce variazioni rispetto alla situazione iniziale. Da notare che, agli effetti pratici, la rotazione dell’elemento di superficie può benissimo essere sostituito con una corrispondente rotazione del dispositivo (condensatore) che genera il campo elettrico. In questo caso è il campo elettrico che ruota, mentre l’elemento di superficie è immobile. Oppure si potrebbe pensare a mantenere fermi sia l’elemento di superficie sia il condensatore, variando, nel contempo, la quantità di carica sulle lastre e la polarizzazione. Si tratterebbe, in questo caso, di un campo elettrico a direzione costante ma, di modulo e verso variabili nel tempo. In particolar modo sono evidenti e notevoli le seguenti condizioni:

L’angolo formato dal vettore Normale e dal vettore campo elettrico è nullo: rad0 M

La superficie è perpendicolare al campo elettrico che, quindi, l’attraversa nel verso concorde alla normale (entra cioè nella faccia negativa ed esce dalla faccia positiva)

L’angolo formato dal vettore Normale e dal vettore campo elettrico è pari a 90° ( rad2

S ):

rad2

S M

Il vettore campo elettrico è perpendicolare al vettore normale, la superficie è quindi parallela o tangente alle line di flusso. La proiezione dell’area A' nel piano perpendicolare al campo è nulla. Il numero di linee di flusso passanti attraverso la superficie è nullo. La superficie laterale di un tubo di flusso ne è l’esempio tipico, il vettore campo è sempre tangente.

L’angolo formato dal vettore Normale e dal vettore campo elettrico è pari a 180° ( radS ):

radS M Ora la superficie è nuovamente perpendicolare alla direzione del campo, ma, la normale n ha verso discorde con il vettore campo.

110

Il numero di linee di flusso passanti attraverso la superficie è nuovamente massimo, ma le linee entrano attraverso la superficie positiva ed escono dalla superficie negativa.

L’angolo formato dal vettore Normale e dal vettore campo elettrico è pari a 270° ( radS ):

rad2

3 S M

E’ una situazione corrispondente a quella con angolo q M 90 . La proiezione dell’area nel piano perpendicolare al campo è nulla. Il campo non attraversa la superficie.

L’angolo formato dal vettore Normale e dal vettore campo elettrico è pari a 360° (2 radS ): E’ la situazione che ripete quella di partenza.

L’angolo formato dal vettore Normale e dal vettore campo elettrico è un angolo qualsiasi di valore compreso tra 0° e 360°, funzione della velocità angolare e del tempo:

tZ M La proiezione dell’area sul piano perpendicolare al campo dipende dall’angolo ed è definita dalla seguente relazione:

M Z' M' 'A

cosntcosAcosAA E

Il numero di linee che attraversano la proiezione della superficie diminuisce od aumenta in funzione dell’angolo. Inoltre dal valore dell’angolo dipende anche il tipo di faccia attraverso cui il campo entra ed esce.

+ -

n = A

E

E

E

EE

E

E

E E

+ -

E

E

E

E

E

E E

9 0 °

M q q M q F lu s s o m a s s im o p o s it iv o F lu s s o n u llo

A

n = A

A

Figura 52 – VARIAZIONE DELL’ANGOLO PER ROTAZIONE DELLA SUPERFICIE

111

+ -

n = A

E

E

EE

E

E

E E

+ -

E

E

n = A

E

E

E E

9 0 °

M q M q F lu s s o m a s s im o p o s it iv oF lu s s o n u llo

1 8 0 °

n = AA

A

Figura 53 – VARIAZIONE DELL’ANGOLO PER ROTAZIONE DELLA SUPERFICIE

+ -M Z tF lu s s o v a r ia b ile

A c o s ( )M

M Z tM

MD

ED

A

n = A

E

M

s e n ( )M

E

E =n

co s (

)M

E

=n

E

Figura 54 – ANGOLO QUALSIASI PER ROTAZIONE DI S'

In base alle considerazioni fatte, è definita una nuova grandezza fisica, di tipo scalare, ottenuta dalla moltiplicazione scalare (prodotto scalare) del vettore campo elettrico E e del vettore normale n rappresentativo sia del valore dell’area A' sia della sua inclinazione M rispetto al campo.

tcosAEcosAEnE Z' M' ')

112

Tale grandezza è definita “FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO” attraverso la superficie elementare S' . Si noti come la relazione che permette di determinare il flusso del campo elettrico, potendo essere scritta in modi diversi, si presta a interpretazioni diverse:

> @M' ') cosAE Con:

M' cosA Area apparente della superficie S' proiettata sul piano della lastra

> @ AcosE 'M M' Con:

M cosE Componente del vettore campo perpendicolare alla superficie S' oppure parallela al vettore n

Le unità di misura della grandezza Flusso del campo elettrico si ricavano dalla relazione:

M'¸¹

ᬩ

§ ') cosmA

C

NE 2

C

mN 2

Oppure, anticipando la definizione dell’unità di misura della corrente elettrica (Sistema Internazionale):

M'¸¹

ᬩ

§

') cosmA

sA

NE 2

sA

mJ

sA

mN 2

Mentre, con la definizione di Potenziale elettrostatico (vedere oltre), il flusso è misurato con:

VVoltCq

JWV Potenziale elettrostatico

M'¸¹

ᬩ

§ ') cosmA

C

NE 2 mV

C

mJ

C

mN 2

Stabilito che sia il valore della velocità angolare Z e quello del campo elettrico (supposto uniforme), allora la variazione del flusso del campo deve seguire una legge sinusoidale in funzione della variazione del coseno dell’angolo tenendo comunque conto del fatto che, in corrispondenza dei valori dell’angolo pari a 0° e 180°, si ha il massimo flusso positivo ed il massimo flusso negativo.

113

)'

M

) M a x

) M a x

S S S

S

) M a x

7 7

) M a x

)'

7 7

C

N m 2

C

N m 2

t ( s ) ( r a d )

Figura 55 – RAPPRESENTAZIONE SINUSOIDALE DEL FLUSSO ')

FLUSSO DI UN CAMPO ELETTRICO VARIABILE SU SUPERFICIE ESTESA INTEGRALE DI SUPERFICIE Se il campo elettrico è variabile, sia in modulo che direzione, nella regione di spazio ove è collocata una superficie S, non infinitesima, allora il flusso del campo è complessivamente dato dalla somma, estesa a tutta la superficie, dei valori assunti dal vettore campo elettrico nei baricentri delle aree infinitesime in cui è possibile suddividere la superficie totale, moltiplicati scalarmene per i relativi vettori normali alla superficie infinitesima di competenza.

n 1

1E

2n

2E

3n

E 3

4n

4

1

M 2

3M

4M

E S

M

1' S

' S 2

S' 4

' S 3

Figura 56 – CAMPO E VETTORE n VARIABILI – INTEGRALE DI SUPERFICIE Cioè in altri termini:

n321TOT ............. ')')')') )

114

Con:

111111 cosSEnE M' ') Per cui il flusso totale attraverso la superficie S sarà dato dalla sommatoria ovvero dall’integrale del prodotto scalare esteso a tutta la superficie S:

³ ¦ )

Sni

ni

1iiTOT dAEnE

D’altra parte, supponendo di essere a conoscenza delle componenti rispetto agli assi principali di un sistema cartesiano, sia dei vari vettori campo elettrico sia dei vettori normali alle superfici infinitesime, si potrà anche adottare la seguente forma di relazione:

yxEzxEzyE zyx '''''' ')

zzyyxx nEnEnE ') Con il seguente significato dei termini:

zyx E;E;E Componenti del vettore E nel punto considerato rispetto a X,Y,Z

xnzy '' Componente xn del vettore normale, corrispondente alla proiezione della superficie elementare interessata sul piano YZ

ynzx '' Componente yn del vettore normale, corrispondente alla proiezione della superficie elementare interessata sul piano XZ

znyx '' Componente zn del vettore normale, corrispondente alla proiezione della superficie elementare interessata sul piano XY

Per cui il flusso totale:

> @ ...........yxEzxEzyE 1z11y11x1TOT '''''' ) Oppure con l’integrale:

³ ³ ³ )

xyyz Sxyz

Sxzxzy

SyzxTOT dSEdSEdSE

115

LEGGE DI GAUSS E’ una legge di carattere generale con cui è possibile determinare il flusso del vettore campo elettrico attraverso ad una superficie chiusa di forma qualsiasi contente una carica elettrica di valore noto. La carica elettrica può essere costituita da una o più cariche puntiformi oppure da una distribuzione lineare, superficiale o volumica, uniforme o non uniforme. La superficie che si prende in esame è detta “Superficie GAUSSIANA” ed è, praticamente costituita dall’area delle pareti laterali del solido virtuale contenuto al suo interno. Il solido avrà una forma qualsiasi, anche se, solitamente, si preferisce utilizzare volumi semplici quali la sfera, il cubo, il cilindro, caratterizzati dalla possibilità di determinare facilmente l’area delle pareti laterali che li racchiudono e dalla presenza di assi di simmetria. Se, ad esempio, si prendesse in esame il volume di una patata, allora la “superficie Gaussiana” sarebbe rappresentata dal sottile strato esterno che la riveste. Allo scopo di semplificare al massimo le argomentazioni che conducono alla Legge di Gauss, occorre prendere inizialmente in esame il caso più semplice di campo elettrico e superficie Gaussiana e cioè il campo elettrico radiale generato da un’unica carica puntiforme, ad esempio positiva, unitamente ad una superficie sferica di raggio R il cui centro è collocato esattamente nel baricentro della carica puntiforme. CAMPO RADIALE E SFERA GAUSSIANA CON CENTRI COINCIDENTI In ogni punto appartenente alla superficie sferica, il modulo del vettore campo elettrico generato dalla carica puntiforme ha lo stesso valore. Esso è determinato dal rapporto tra la forza elettrica eF generata dal campo radiale su una carica esploratrice q posizionata in un punto della superficie sferica ed il valore dalla stessa carica esploratrice:

q

R4

qQ

q

FE

2e HS

2R

1

4

QE

HS ¸

¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

m

V

C

N

Supponendo di suddividere la superficie sferica in un numero elevatissimo di elementi superficiali di area S' , nel baricentro di ognuno dei quali passa la retta direttrice del campo elettrico, risulta abbastanza evidente (per definizione di campo radiale e superficie sferica) affermare che il vettore campo elettrico E e la perpendicolare n alla superficie dell’elemento S' , sono paralleli, anzi sovrapposti. Inoltre, dato che il campo è generato da una carica puntiforme positiva, i vettori E ed n hanno lo stesso verso.

116

y

z

E

' S

Q

E

n

' S

x

Figura 57 – FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO RADIALE ATTRAVERSO UNA SFERA

Con questi presupposti, il flusso del campo elettrico E attraverso la superficie sferica di riferimento di raggio R è quindi un integrale di superficie esteso a tutti gli elementi infinitesimi costituenti superficie della sfera. Ragionando in termini di sommatoria di elementi piccolissimi ma finiti si ottiene, per il flusso totale uscente dalla superficie sferica, la seguente relazione:

n321 ............... ')')')') ) Con:

iiiin1 SEcosSEnE........ ' D' u ') I' Con:

E Modulo costante del vettore campo elettrico per tutti gli elementi ¸¹

ᬩ

§

C

N

n Normale ad ogni elemento sempre parallela al vettore E in quel punto Sn ' Modulo del vettore n pari al valore della superficie dell’elemento 2m q D 0 Per vettori paralleli e concordi

1cos D Per cui: n21n21 S.......SSESE.......SESE ''' ''' )

n212S.......SS

R4

Q'''¸

¹

ᬩ

§

HS )

117

D’altra parte, la sommatoria di tutti gli elementi finiti di superficie deve essere necessariamente uguale alla superficie complessiva della sfera, che, come risaputo, dipende dal raggio R in base alla relazione: 2

n21 R4S.......SS S ''' Superficie totale sfera di raggio R

Quindi, alla fine, indipendentemente dalla grandezza della sfera considerata, il flusso uscente del campo elettrico è uguale a:

H

S¸¹

ᬩ

§

HS )

QR4

R4

Q 2

2

H )

Q LEGGE DI GAUSS

Con: Q Valore della sola carica interna alla superficie gaussiana

La relazione tra il flusso uscente, il valore della carica interna e la costante dielettrica assoluta del materiale in cui si manifesta il campo rappresenta la “LEGGE DI GAUSS”.

mVm

C

Jm

Cm

J

mC

N

mN

C

C 22

2

2¸

¹

ᬩ

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

¸¹

ᬩ

§

»»»»»

¼

º

«««««

¬

ª

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

)

Da notare che:

x Il valore numerico del flusso uscente è quindi indipendente dalle dimensioni della superficie sferica presa come riferimento in quanto per superfici di raggio maggiore corrisponde un decremento del campo (e viceversa).

x Come si vedrà di seguito, il valore del flusso uscente è anche indipendente dalla forma della superficie gaussiana che si considera e dalla posizione della carica generatrice del campo.

Se si pensa alla proprietà additiva del flusso elettrico in quanto grandezza scalare e se le cariche contenute nella superficie sono più d’una, si ottiene la generalizzazione della LEGGE DI GAUSS:

H

¦

H

H

H ))) )

QQ.....

QQ... N21

N21T

CAMPO RADIALE E SFERA GAUSSIANA CON CENTRI NON COINCIDENTI Si intende ora dimostrare che, anche nel caso di un campo radiale generato da una sola carica e di una superficie gaussiana sferica con centro non coincidente con la posizione della carica, continua ad essere valida la LEGGE DI GAUSS come prima esposta.

118

' S

y

x

En 1

1

n

2E

D

1D

S 1' c o s ( )D1

1

2

S 2'

1

D' 2 c o s ( )S 1

R 2

1R

r

rQ

D 1

1D

r

Figura 58 – SUPERFICIE GAUSSIANA SFERICA SCENTRATA La carica Q generatrice è interna alla superficie gaussiana di raggio r ma spostata rispetto al centro della sfera. Allo scopo di semplificare la dimostrazione si riduce la sfera ad una circonferenza nel piano x-y. I tratti di circonferenza contrassegnati con 1S' e 2S' sono in realtà delle superfici inclinate rispetto alle direzioni dei tre assi principali. I vettori 1n ed 2n , perpendicolari alle rispettive superfici, sono ovviamente paralleli al raggio della circonferenza passante per i baricentri delle superfici stesse. Anche in questo caso si immagina si suddividere la sfera in un numero elevatissimo di elementi superficiali di area S' attraverso i cui baricentri passano sia la retta direttrice del vettore campo elettrico sia la direzione della semiretta condotta dal centro della circonferenza. Considerando il fatto che la carica non è posta nel centro, si conclude immediatamente che, per ogni elemento superficiale di sfera, il vettore E ed il relativo vettore n sono ora inclinati, l’uno rispetto all’altro, di angoli sempre diversi dall’angolo nullo.

119

' S

En 1

1D

1D

1

1

rD 1

' 1S Dc o s ( )1

Figura 59 – PARTICOLARE DEL VETTORE CAMPO E DEL VETTORE NORMALE Il flusso complessivamente uscente dalla superficie sferica gaussiana è ancora dato dalla sommatoria, estesa a tutti gli elementi superficiali di area S' , dei flussi relativi ad ogni singolo elemento. Occorre però, diversamente dal caso precedente, tenere conto delle diverse inclinazioni. Per cui:

n321 ............... ')')')') ) Con:

1R1111111 SEcosSEnE A' D' u ') Con:

1E Modulo (sempre variabile) del vettore campo elettrico per tutti gli elementi

1n Normale ad ogni elemento. Sempre parallela alla direzione del raggio della sfera e orientata verso l’eterno.

1S' Area dell’elemento superficiale di sfera

1D Angolo formato dal vettore campo col vettore normale n 11R cosSS

1D' ' A Area della superficie proiettata sul piano perpendicolare alla

direzione della distanza r Per cui: nnn222111 cosSE........cosSEcosSE D'D'D' )

120

nn2n

1121

cosSr4

Q........cosS

r4

QD'

HSD'

HS )

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ D'

D'

D'

HS )

2n

n222

222

1

11

r

cosS..........

r

cosS

r

cosS

4

Q

Occorre adesso definire il concetto di angolo solido Z . Si intende, per “angolo solido”, la parte di spazio contenuta in un cono che, con vertice nel centro di una sfera di raggio r, intercetta sulla sfera stessa una calotta di superficie S. L’unità di misura dell’angolo solido è definita “STERADIANTE” ed è così definita: DEFINIZIONE DELLO STERADIANTE – UNITA’ DI MISURA DELL’ANGOLO SOLIDO

x L’angolo solido contenuto in un cono che intercetta su una sfera di raggio R una calotta avente una superficie S uguale a 2R , ha un valore di 1 Steradiante.

R

RS =2

1 s tr d

Figura 60 – ANGOLO SOLIDO – STERADIANTE

Tenendo conto della definizione dell’unità di misura dell’angolo solido e del fatto che la superficie di una sfera è data da:

2R4S S Il numero di steradianti contenuti complessivamente nello spazio è dato da:

strd4R

R4

R

S2

2

2S

S

Inoltre, supponendo di conoscere la superficie intercettata da un certo angolo solido Z contenuto in un cono di raggio r, è possibile determinare il valore dell’angolo Z dal rapporto:

121

2r

S Z

A titolo d’esempio si determina il valore dell’angolo solido contenuto in un cono di raggio

m3r se la superficie intercettata è pari 2cm30S .

strd1033,3

m3

cm

m10cm30

4

22

2

242

u ¸¸

¹

·

¨¨

©

§

Z

Tornado ora sul calcolo del flusso, è possibile notare che esso è formato da un fattore comune costante e da una sommatoria di rapporti tra aree e relativi quadrati delle distanze dalla carica generatrice:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ D'

D'

D'

HS )

2n

n222

222

1

11

r

cosS..........

r

cosS

r

cosS

4

Q

Con:

HS4

Q Fattore costante

2

i

ìi

r

cosS D' Fattori variabili

D’altra parte i fattori variabili rappresentano proprio l’angolo solido sotto il quale le varie superfici S' sono viste dalla carica generatrice Q:

Z'

'

D' A

2n

r

2i

ìi

r

S

r

cosS strd

Per cui, se la superficie gaussiana è chiusa, la somma estesa a tutti gli angoli solidi relativi ad ogni elemento superficiale, non può che essere pari all’angolo solido che sottende la superficie completa della sfera, cioè:

strd4.....

r

cosS..........

r

cosS

r

cosSn212

n

n222

222

1

11 S Z'Z'Z' ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ D'

D'

D'

Si conclude quindi che il flusso complessivamente uscente dalla superficie è pari a:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ D'

D'

D'

HS )

2n

n222

222

1

11

r

cosS..........

r

cosS

r

cosS

4

Q

H

SHS

Z'Z'Z'HS

)Q

44

Q..........

4

Qn21 LEGGE DI GAUSS

Con: Q Valore della sola carica interna alla superficie gaussiana Tale risultato è perfettamente coincidente con il caso precedente ed è quindi dimostrato che, anche nel caso in cui la carica generatrice sia posizionata in un luogo diverso dal centro della sfera la LEGGE DI GAUSS continua ad essere valida. E’ inoltre possibile concludere con alcune importanti osservazioni:

122

x La dimostrazione precedente procede e si conclude in modo perfettamente analogo anche nel caso in cui la superficie gaussiana abbia una forma regolare qualsiasi (ad esempio un cilindro, un cubo, un ellissoide o quant’altro) o un forma irregolare (ad esempio la forma di una patata). Una qualsiasi superficie chiusa è vista da un punto qualsiasi situato all’interno sotto un angolo solido pari a strd4 S :

x Anche nel caso di una superficie gaussiana regolare o irregolare diversa dalla sfera e di cariche interne comunque posizionate, vale il principio additivo del flusso del campo elettrico:

H

¦ )

Q

Con: ¦ Q Somma dei valori delle sole cariche (ognuna con il proprio segno)

interne alla superficie gaussiana x Se le cariche generatrici del campo sono esterne alla superficie gaussiana il flusso uscente

dalla superficie è uguale al flusso entrante e, di conseguenza, è nullo il loro bilancio. x La legge di Gauss è valida anche nel caso in cui le cariche interne siano di tipo distribuito

(lineari, superficiali o volumiche)

H

O

H

¦ )

LQ H

V

S H

U

V

Con:

O Distribuzione lineare ¸¹

ᬩ

§

m

C

V Distribuzione superficiale ¸¹

ᬩ

§2m

C

U Distribuzione volumica ¸¹

ᬩ

§3m

C

Q

Q

Q

Q

12

3 4

) 1Q 2Q 3Q 4Q

H

2Q 1Q

Q 4Q 3

S F E R A C I L I N D R O

4Q21 QQ Q)

3

H

2Q

1Q

)QQ 1 2

H

E L L I S S O I D E

1Q

Q 3

Q 4

2Q

4Q1 QQ)

3

H

S U P . Q U A L S I A S I

Figura 61 – LEGGE DI GAUSS APPLICATA A SUPERFICI GAUSSIANE QUALSIASI

123

LEGGE DI GAUSS – CASO DI SIMMETRIA CILINDRICA – DENSITA’ LINEARE Si tratta di determinare il valore del campo elettrico prodotto da una distribuzione lineare di carica su un filamento rettilineo in un punto ad una determinata distanza z , misurata perpendicolarmente all’asse del filamento stesso. Il filamento è considerato infinitamente esteso.

La distribuzione lineare di carica è indicata con il simbolo O ed è misurata in ¸¹

ᬩ

§

m

C .

In virtù della simmetria verticale delle cariche sul filamento, come già visto con il metodo di integrazione, in un punto qualsiasi dello spazio circostante si annullano le componenti del campo parallele al filo ed il campo elettrico risultante non può che essere diretto radicalmente ed avere intensità costante sulle circonferenze concentriche centrate sull’asse.

E 1 xE 2

1 y

r

' s ' Q +

Es

DA

r3

r1 r2

E 1

E 3

1EF I L O

+2 y

+

r

F I L O C A R I C OE

RD

q

s

' s ' Q

2E

E 13E

Figura 62 – DISTRIBUZIONE LINEARE DI CARICA

Se si utilizza la Legge di Gauss e la definizione di flusso del campo elettrico considerando come superficie chiusa un cilindro di raggio r ed altezza H con l’asse coincidente con l’asse del filo, si ottengono i seguenti risultati:

H

O

H

¦ )

HQ Legge di Gauss

Hr2ESE rrr S ) Definizione di flusso del campo Il campo elettrico fluisce perpendicolarmente alla superficie laterale del cilindro ed il flusso attraverso le due basi del cilindro è nullo in quanto il campo è parallelo d esse. Combinando le due relazioni:

H

O S

HHr2E r

Si ottiene il valore del modulo del campo alla distanza r dall’asse:

r2Hr2

HE r

HS

O

HS

O

Dimensionalmente:

124

mVmC

J

Cm

J

C

N

mrmN

C2

m

C

E

2

2r ¸¹

ᬩ

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

¸¹

ᬩ

§

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

HS

¸¹

ᬩ

§O

r

RD

D

r

q

A

s

s

' s

' s

E 1 x

EE 1 y

' Q

' Q

+

+

+

1

E 2 y

F I L O C A R I C O

r1 r2

r3

3E

E 2

3E

2E

1E

1E

F I L O

H

Figura 63 – SUPERFICIE GAUSSIANA CILINDRICA

LEGGE DI GAUSS – SIMMETRIA PIANA – DISTRIBUZIONE SUPERFICIALE DI CARICA Per la determinazione del campo elettrico generato da una distribuzione di carica posta sulla superficie di una lamina piana infinitamente estesa (si tratta anche del caso limite di un disco circolare di raggio infinitamente grande già trattato con il metodo d’integrazione) è possibile ancora utilizzare la legge di Gauss e la definizione di flusso del campo. Si ottiene in questo modo una notevole semplificazione dei calcoli rispetto al metodo d’integrazione. Si prendono in esame i due casi più rilevanti:

1. Carica distribuita su una sola lamina piana 2. Carica distribuita su due lamine piane, parallele e molto ravvicinate

UNA SOLA LAMINA PIANA SOTTILE ED ISOLANTE: La carica Q è distribuita su una lamina piana infinita e si suppone di conoscere il valore della densità di carica superficiale V . Anche in questo caso, per ragioni di simmetria, sono nulle le componenti del campo elettrico parallele al piano della lamina. Il campo elettrico è quindi formato da linee di flusso perpendicolari al piano carico considerato ed è quindi conveniente utilizzare, come superficie gaussiana, un cilindro che interseca il piano stesso e il cui asse di simmetria è parallelo alle linee di forza. In questo modo il flusso del campo attraverso le pareti laterali del cilindro risulta nullo, mentre, è massimo attraverso le due basi di area 2rA S :

2r2ESE S )

125

Utilizzando la legge di Gauss e tenendo presente che la carica interna al cilindro gaussiano è collocata sulla sezione di piano intersecata dal cilindro di raggio r, si ottiene:

H

SV

H

¦ )

2rQ

Combinando le due relazioni si ricava il valore del campo in un punto prossimo al piano: 2

2

r2Er

S H

SV

H

V

2E

r

+

+

+

+

E+

C a r ic a in te r n a+

+ E

A s s e s im m .

+r+

+

+

+

+ C ilin d r o g a u s s ia n o

+

+

+

V+

+

+

+

Figura 64 – LAMINA PIANA INFINITA

DUE LASTRE PIANE - SOTTILI E CONDUTTRICI: Si supponga ora di caricare elettricamente una lastra sottile di materiale conduttore con la stessa carica fornita nel caso precedente alla lamina di materiale isolante. Si può pensare che tale carica si distribuisca immediatamente ed in modo uniforme sulle due facce della lastra dando luogo ad una densità di carica su ogni faccia pari alla metà della densità di carica precedente:

21

V V Densità di carica relativa ad una faccia della lastra

Il campo elettrico contenuto nello spessore della lastra deve essere necessariamente nullo in quanto risultante della somma dei due campi prodotti dalle cariche sulle superfici esterne. Inoltre è possibile pensare al fatto che, se non fosse nullo, eserciterebbe forze elettrostatiche sugli elettroni di conduzione interni costringendoli a muoversi all’interno del conduttore modificando le densità di carica originali. Si potrebbe ancora utilizzare la legge di Gauss e una superficie di riferimento cilindrica con l’asse perpendicolare al piano della lastra, una base esterna alla lastra e l’altra interna contenuta nello spessore della lastra. Ovviamente tale ipotesi è applicabile in modo simmetrico per le due facce della lastra. Ancora ragioni di simmetria ci permettono di ipotizzare la presenza di vettori campo elettrico costituiti dalla sola componente perpendicolare ai piani.

126

Applicando la legge di Gauss ai due cilindri, simmetrici rispetto allo spessore della lastra e tenendo conto dell’assenza di cariche interne al materiale, si otterrà, per entrambe le facce, il valore del campo elettrico:

22

1 rErQ

S H

SV

H

¦ )

H

V

H

V

2E 1

+++

++

+

++

+

++

++

++

+

+++

+

+

++

+

+

++

+

++

+

++

+

++

+ ++

V 1 V

V V 1

EE

C ilin d r o g a u s s ia n oC ilin d r o g a u s s ia n o

C a r ic a in te r n aC a r ic a in te r n a

+ +

++

++

++

++

+

V V+

1

+

++

+

++

++

+

C ilin d r o g a u s s ia n o

+

+

++

++

++++

C a r ic a in te r n a

E

+++

+

+

+

+

+

V 1V

E

C a r ic a in te r n a

Figura 65 – LASTRA PIANA DI MATERIALE CONDUTTORE

Nulla cambierebbe nel caso si decidesse di adottare un unico cilindro gaussiano contenente entrambe le cariche superficiali, infatti:

22

12

1 r2ErrQ

S H

SVSV

H

¦ )

H

V

H

V

2E 1

Se ora, di fronte alla lastra caricata positivamente si suppone di porne un’altra uguale ma caricata negativamente e con la stessa densità, risulta evidente che, per effetto dell’attrazione coulombiana tra le cariche opposte, si manifesta un’azione in grado di provocarne la migrazione sulle facce più ravvicinate. In altre parole, le cariche situate sulle facce esterne si trasferiscono sulle rispettive facce interne raddoppiando la densità di carica. Le due lastre ravvicinate hanno quindi la capacità di “condensare” le cariche presenti in origine su quattro facce solo su due. Le due lastre parallele e ravvicinate sono dunque dei “condensatori” di carica. Tornando al problema della determinazione del campo elettrico, si ha dunque una situazione diversa dalla precedente. Collocando un cilindro gaussiano tra le due lastre senza che esso le intersechi, risulta nulla la carica interna ed è, di conseguenza, nullo anche il flusso del campo. Ciò significa che il flusso entrante ed il flusso uscente dalle basi del cilindro sono uguali ed è quindi il campo E tra le lastre deve essere uniforme.

127

Il campo prodotto dalla lastra positiva in un punto tra le lastre e quello prodotto dalla lastra negativa nello stesso punto devono essere uguali. Se infatti si utilizzano due cilindri gaussiani contenente ognuno le sole cariche della relativa lastra, si ottiene:

22

r2ErQ

S H

SV

H

¦ )

H

V

2E 1

22

r2ErQ

S H

SV

H

¦ )

H

V

2E 1

H

V 21 EEE

Per il campo elettrico risultate tra le lastre, oltre ad essere uniforme per il motivo prima esposto, ha un valore pari al doppio di quello generato da una sola lastra:

H

V E Campo elettrico tra le lastre

+

+

++

V

E

C ilin d r o g a u s s ia n o

C a r ic a in te r n a C a r ic a in te r n a

+

++

+

++

+

++

++

+

++

+

+

++

++

+++

+++

+

++

+

++

+

--

----

---

---

-----

-

---

--

----

--

-

--

---

---

---

----

-

----

--

V

E

V

Q = 0

Figura 66 – FLUSSO ENTRANTE UGUALE FLUSSO USCENTE - CAMPO UNIFORME

128

+

+

++

V

E

C ilin d r o g a u s s ia n o

C a r ic a in te r n a C a r ic a in te r n a

+

++

+

++

+

++

++

+

++

+

+

++

++

+++

+++

+

++

+

++

+

--

----

---

---

-----

-

---

--

----

--

-

--

---

---

---

----

-

----

--

V

V

C ilin d r o g a u s s ia n o

1

E

E

E 21E +

+E 1 2E

Figura 67 – CAMPO TRA LE LASTRE PARI AL DOPPIO DELLA LASTRA SINGOLA Infine, per quanto riguarda lo spazio esterno alle lastre, applicando ancora la legge di Gauss alla superficie di un cilindro gaussiana che taglia le due lastre e contiene sia la carica positiva che negativa, si possono trarre le seguenti conclusioni:

x il flusso del campo attraverso il cilindro è nullo in quanto la somma delle cariche positive e negative contenute in esso è pari a zero.

x Il campo generato dalle cariche all’interno delle lastre non attraversa alcuna superficie del cilindro in quanto parallelo alle superfici laterali e per il fatto di essere limitato alle facce interne del sistema.

x Il campo elettrico generato dalla carica positiva nelle regioni di spazio a destra e sinistra delle facce esterne del sistema è uguale e contrario a quello generato, nelle stesse regioni di spazio, dalla carica negativa.

x Il flusso attraverso il cilindro è quindi nullo non perché somma di uguali flussi positive e negativi (entranti ed uscenti) ma per annullamento del campo elettrico.

x Le regioni di spazio esterne alle lastre sono quindi prive di campo elettrico

129

--+

+

++

E

+

+++

C ilin d r o g a u s s ia n o++

+

+

++

++

+

++

C ilin d r o g a u s s ia n o

V --

--

----

--

---

----

--

----

--

C a r ic a in te r n a

+ V

C a r ic a in te r n a

++

++

++

+

+

++

+

++

+

+++

V --

--

-----

--

---

--

--

--

--

-

--

EE+

E-

+E

-E

E-

E+

E-

E+

LEGGE DI GAUSS – SIMMETRIA SFERICA – STRATO SFERICO DI CARICA Una distribuzione di cariche, uniforme su uno strato sferico, genera un campo elettrico che ha le seguenti proprietà:

Le particelle caricate elettricamente e poste esternamente allo strato sferico sono attratte o respinte come se tutta la carica contenuta nello strato fosse concentrata nel centro dello stesso. Uno strato sferico si comporta dunque, nei confronti di altre cariche esterne, come se fosse una carica puntiforme.

Lo strato sferico carico uniformemente non esercita alcuna forza elettrostatica su particelle cariche poste al suo interno. Il campo elettrico interno allo strato è dunque nullo.

Si suppone quindi di prendere in esame uno strato sferico, di raggio R e di spessore s trascurabile, in cui è distribuita uniformemente la carica Q. La densità di carica superficiale è data dal rapporto tra la carica totale e la superficie della sfera:

2R4

Q

S

Q

S V

Si utilizza ora la legge di Gauss applicata alle due superfici sferiche virtuali e concentriche aventi raggio rispettivamente maggiore o minore di R.

130

R

r

r

Q

1S

1S

Figura 68 – STRATO SFERICO E SUPERFICI GAUSSIANE SFERICHE CONCENTRICHE Per quanto riguarda la superficie gaussiana sferica di raggio minore del raggio dello strato, l’applicazione della legge di Gauss ci consente di stabilire immediatamente che il campo elettrico nei punti appartenenti alla superficie 1S deve essere nullo. Infatti sono nulle le cariche contenute all’interno, di conseguenza è nullo il flusso e se, per ipotesi, si considerasse non nullo il campo, allora, vista la simmetria del problema, risulterebbe non nullo il flusso. Essendo falsa l’ipotesi si dovrà concludere che per avere flusso nullo dovrà sicuramente essere nullo il campo. Caso 1:

Rr ¢ 0Q INTERNA

0Q INTERNA

1 H

)

Ipotesi: 0E z

Tesi:

01 z) In contrasto con la legge di Gauss Conclusione: 01 ) solo per 0E

Per quanto riguarda la superficie gaussiana avente raggio maggiore dello strato, applicando nuovamente la legge di Gauss, otteniamo il seguente risultato: Caso 1:

Rr ² QQ INTERNA

H

H

)QQ INTERNA

1

E, di conseguenza, il campo elettrico sarà:

131

H )

QSE 2

2r4

QE

HS

Cioè, in conclusione, il campo elettrico generato alla distanza r da uno strato di raggio R Rr ² è pari a quello generato, alla stessa distanza, da una carica puntiforme di valore uguale a quella contenuta nello strato.

LEGGE DI GAUSS – SIMMETRIA SFERICA – VOLUME SFERICO DI CARICA La carica elettrica potrebbe anche essere distribuita con densità volumica all’interno di una sfera di raggio R. Si potrebbe pensare di suddividere la sfera in un numero elevatissimo di strati sferici (come gli strati di una cipolla) ad ognuno dei quali non sarebbe sbagliato applicare i risultati visti precedentemente. La quantità di carica presente su ogni strato sarà considerata di tipo superficiale uniformemente distribuita (come nel caso precedente), mentre, non è indispensabile che ogni strato sia caratterizzato dalla stessa densità V . Vale a dire che, per una distribuzione di carica continua entro un volume sferico, la densità V può variare può essere variabile ma solo in funzione della distanza dello strato dal centro. Ciò vuol anche dire che la densità volumica U relativa alla distribuzione sferica complessiva non è costante

Q

2S

1

2Q

3Q

4Q5Q

1S

rr

V 1

2S

S 1

Figura 69 – CARICA VOLUMICA SFERICA

Per punti esterni alla distribuzione, applicando la legge di Gauss, vale quanto detto a proposito dello strato sferico:

Il campo elettrico esterno è uguale a quello generato, alla stessa distanza, da una carica puntiforme di valore pari alla somma di tutte le cariche presenti nella distribuzione sferica.

Per Rr ² :

132

22 r4ESE

qS

H

¦ )

Da cui:

2r4

QE

HS

¦

Con: nn2211n21 s.......ssQ.....QQQ VVV ¦

Per punti interni alla distribuzione sferica, quindi interni alla superficie 1S , si può fare il seguente ragionamento: ¾ Le cariche esterne a tale superficie non generano alcun campo elettrico sulla superficie

stessa ¾ Le cariche interne generano un campo elettrico uguale a quello che produrrebbe, nello stesso

punto, una carica puntiforme di valore uguale alla loro somma. Quindi, per un punto interno alla distribuzione volumica, si avrà un campo di valore pari a:

2INT

r4

QE

HS

¦

Ove la sommatoria deve essere estesa alle sole cariche contenute nella superficie interna.

TEOREMA DI COULOMB – DENSITA’ SUPERFICIALE E CAMPO ELETTRICO Il teorema di Coulomb è derivato dall’applicazione della legge di Gauss e permette di determinare il valore del campo elettrico prodotto sulla superficie di un conduttore elettricamente carico. Occorre innanzi tutto definire le modalità con cui la carica elettrica si dispone in un conduttore di forma qualsiasi. A questo proposito è logico supporre che, durante il processo di trasferimento delle cariche elettriche – ad esempio negative – al conduttore inizialmente neutro, queste ultime, causa la repulsione reciproca, siano obbligate a posizionarsi nei punti estremi del conduttore stesso cioè, in altre parole, sul sottilissimo strato che costituisce la superficie esterna. Il trasferimento ed il riposizionamento degli elettroni avviene in tempi rapidissimi e, al termine del processo di carica, possiamo facilmente immaginare una situazione elettrostatica consolidata senza ulteriori movimenti delle cariche superficiali. Questa semplice ipotesi ci permette di escludere, nella fase stazionaria successiva al processo di carica, anche il movimento traslatorio degli elettroni sulla superficie e di giungere alla seguente conclusione:

Le cariche elettriche si dispongono sulla superficie del conduttore e sono assoggettate ad una forza elettrica necessariamente perpendicolare alla superficie nel punto considerato. Di conseguenza saranno sottoposte all’azione di un campo elettrico di superficie orientato anch’esso secondo la perpendicolare.

D’altra parte questa prima conclusione ci permette di affermare, in base a quanto già illustrato a proposito dei campi elettrici, che:

Se in ogni punto della superficie il campo elettrico è perpendicolare, il contorno della superficie stessa – considerata bidimensionale o tridimensionale – deve necessariamente essere una superficie equipotenziale.

133

La legge di Gauss applicata allo strato superficiale carico ci permette inoltre di concludere che:

All’interno del conduttore il campo elettrico è nullo. Se così non fosse esso eserciterebbe forze elettrostatiche sulle cariche libere costringendole a muoversi e variando così la fase stazionaria ipotizzata.

Stabilito che la carica si distribuisce solo sulla superficie esterna del conduttore e che, all’interno, il campo elettrico è nullo, occorre valutare se la densità superficiale conseguente sia o meno uniforme sulla superficie stessa. Nel caso di conduttori sferici, ragioni di simmetria ci conducono ad affermare che non esiste alcun motivo che comporti l’esistenza di parti di superficie con densità diversa. In altre parole, su una superficie sferica le cariche si distribuiscono in modo regolare ed uniforme dando luogo ad una densità di carica pari al rapporto tra la carica complessiva e la superficie della sfera. Per cui – solo per una sfera – si ha:

2r4

Q

S V

Per superfici qualsiasi – solitamente caratterizzate da contorni curvi senza discontinuità e con raggio di curvatura variabile – stabilita che sia la quantità di carica complessivamente presente, la densità superficiale di carica è inversamente proporzionale al raggio di curvatura. Sulle superfici a curvatura minore si ha una concentrazione e una densità maggiore e viceversa. Nei punti ove la curvatura presenta discontinuità – cuspidi o zone appuntite – si nota un aumento così elevato della densità tale da provocare fenomeni di espulsione e/o polarizzazione delle molecole d’aria circostanti la zona. Nelle stesse zone il campo elettrico tende a valori elevatissimi.

-

-

--

--

- -

--

-

-

- -

-

-

--

-

-

-

-- -

-

-

-

-

-

--

-

C

E

E

E

C o s ta n teV

E C o s ta n te

V

- -

4 - -E3E- -

----

-

22E -----

- ---

= V a r ia b ile V

= V a r ia b ile E

- -

1E

------ - ---

( M A X .)

1VV 5

-

----

--

-

---

V--

V -

-4

3-

P u n ta

Figura 70 – DENSITA’ COSTANTE E VARIABILE – SUPERFICI APPUNTITE

134

TEOREMA DI COULOMB Dopo aver stabilito qualitativamente la variazione della densità superficiale di carica in base al raggio di curvatura di una superficie qualsiasi, ci si propone di determinare quantitativamente il valore del campo elettrico in una qualsiasi zona della superficie del conduttore ove è conosciuta la densità superficiale. A tale scopo è impiegata la legge di Gauss ad una superficie cilindrica con asse perpendicolare alla superficie nel punto considerato. Il cilindro, di raggio piccolissimo, interseca e taglia la superficie in modo tale da rimanerne in parte all’esterno ed in parte all’interno. Le cariche contenute nel cilindro sono collocate sulla superficie circolare intersecata in quel punto. Il valore della carica interna dipende ovviamente dalla densità superficiale in quel punto cosicché per le zone ad ampio raggio di curvatura si avranno meno cariche rispetto a zone più curvate.

V 2

3V

4V

5V

E 1

1V

2E

3E

4E

( M A X .)

P u n ta

C ilin d r i g a u s s ia n i

++++++++

+++

+

+

+

+

+

+

+++++

+++ ++ + +++

+ + + ++

+

+

++++++

+

+

+

++++

E 3

2 r

P A R T I C O L A R E

S

V 3

Figura 71 – CILINDRO GAUSSIANO INFINITESIMO SUPERFICIALE Applicando quindi la legge di Gauss al cilindro - tenendo conto che il campo elettrico interno è nullo e quello superficiale è parallelo alle pareti laterali del cilindro - si ottiene:

H

SV S )

22 r

rE

Con: r Raggio del cilindro infinitesimo e della superficie circolare intersecata Da cui si ricava il valore del campo elettrico superficiale nel punto considerato:

H

V E TEOREMA DI COULOMB

135

FLUSSO USCENTE DA UNA SUPERFICIE CHIUSA DIVERGENZA DEL CAMPO ELETTRICO LEGGE DI GAUSS IN FORMA DIFFERENZIALE Se la superficie è chiusa e racchiude al suo interno una parte del volume dello spazio ove è presente il campo elettrico, l’area attraversata dal vettore campo è costituita dalle pareti laterali della figura geometrica tridimensionale. Si può trattare di una sfera, un cilindro, un cono oppure una figura qualsiasi. Anche in questo caso si inizia a trattare il caso in cui la superficie sia di tipo elementare, caratterizzata cioè, da dimensioni spaziali infinitesime. Si può trattare, ad esempio, di un parallelepipedo o, ancor meglio, di un cubo le cui pareti laterali sono uguali, parallele a due a due e disposte secondo direzioni perpendicolari che possono quindi coincidere con gli assi principali del sistema di riferimento tridimensionale. Si consideri, per l’appunto, un cubo inserito nel sistema di riferimento cartesiano in modo tale da avere i lati z,y,x ''' paralleli agli assi cartesiani X,Y,Z. La superficie esterna del cubo sarà quindi costituita da sei superfici quadrate, a due a due parallele, rispettivamente di area zy;zx;yx '''''' le cui normali (perpendicolari) coincidono rispettivamente con le direzioni dell’asse Z, dell’asse Y e dell’asse X. Anche in questo caso occorre immaginare che, ad ognuna di esse, sia possibile associare un vettore perpendicolare n di modulo uguale all’area e con verso orientato dall’interno all’esterno del volume. Nel complesso le superfici laterali quadrate saranno quindi caratterizzate da sei vettori n diretti, a due a due, parallelamente agli assi principali e di verso discorde. Il senso positivo di percorrenza del perimetro di ogni superficie è stabilito dalla regola “dell’uomo di Ampere”: guardando le facce della superficie dall’esterno del volume in modo che ogni vettore n sia rivolto verso lo sguardo dell’osservatore, è stabilito positivo il verso di percorrenza del perimetro osservato quello con senso antiorario. Il campo elettrico E può essere uniforme o variabile e diretto secondo una direzione qualsiasi individuabile dagli angoli formati dalle sue componenti principali ZYX E;E;E con i rispettivi piani di riferimento YZ, XZ e XY. Tali inclinazioni sono definiti “coseni direttori”.

136

n

n*n Y

' X'

Y

Y

Z

X*

' Z

X

n

X

X'*n Z

n

' YY

' Z

Z

Figura 72 – SUPERFICIE CUBICA INFINITESIMA

X

Y

Z

E

E X Z

E Y Z

E X Y

E X

ZE

ZE

XE

E Y

YE

ZE

XE

YE

DIR

ET

TR

ICE

DE

L C

AM

PO

DIR

ET

TR

ICE

DE

L C

AM

PO

Figura 73 – VETTORE E E SUOI COMPONENTI NELLO SPAZIO Dopo aver definito la posizione e le caratteristiche geometriche e vettoriali della superficie cubica e quelle del vettore campo elettrico, occorre ancora generalizzare, supponendo che la retta direttrice,

137

il modulo ed il verso del vettore campo E possano subire variazioni passando da un punto ad un altro dello spazio. Ciò significa che vettore campo elettrico nel baricentro di una faccia del cubo, potrebbe essere diverso da quello presente sulla faccia diametralmente opposta. Questo fatto non costituisce un reale problema se siamo in grado di determinare le componenti

ZYX E;E;E del vettore in un punto qualsiasi della regione che ci interessa, per esempio, nei due baricentri delle superfici zy'' caratterizzate dalle coordinate X e IX . Ciò vale naturalmente anche per le altre quattro facce. Se si considera, per l’appunto, le componenti parallele a X del campo elettrico, si può semplificare la spiegazione limitando l’osservazione degli accadimenti, guardando dall’alto, cioè parallelamente all’asse Z, quello che succede nel piano orizzontale XY.

X

Y

x x

E x

I

E xI

IE x

E x

' x

' y ' x y'xn n x

I

Figura 74 – COMPONENTE VARIABILE XE DEL CAMPO ELETTRICO

Con queste considerazioni iniziali si tratta di determinare il flusso della componente XE del campo elettrico uscente dalla superficie S, ove si considera per superficie S, l’insieme delle due facce del cubo caratterizzate dai vettori normali Xn e I

Xn .

Il modulo di n , uguale a quello di In , ha un valore pari all’area delle rispettive superfici verticali zy '' , le direzioni sono, per entrambi, parallele a X, mentre, i versi sono opposti ed entrambi

uscenti quindi, per Xn si considera un verso negativo, positivo invece per IXn .

Allora il flusso uscente del campo sarà la somma algebrica (si tratta di grandezze scalari) del flusso entrante nell’area zy '' - da considerarsi negativo in quanto il vettore campo XE ed il vettore normale Xn sono discordi – e del flusso uscente dall’area Izy '' da considerarsi positivo in

quanto IXE e I

Xn sono concordi. Per cui:

138

I

XXX.U ')') ') Con:

zyEnE XXXX '' ')

zyEnE IX

IX

IX

IX '' ')

Quindi:

zyEE XIXX.U '' ') Flusso uscente del campo elettrico variabile

D’altra parte se si suppone che il vettore campo sia rappresentato da una funzione continua delle coordinate dei punti dello spazio x, y, z , allora la variazione della componente parallela a X risulterà uguale alla derivata parziale della funzione rispetto a tale direzione moltiplicata per la variazione della coordinata X, cioè, in termini matematici:

x

x

y,y,xEEE X

IX '

w

w

x

x

y,y,xEEE X

IX '

w

w

La variazione può essere positiva, allora si tratterà effettivamente di flusso uscente, o negativa, nel qual caso il flusso sarà da considerarsi entrante. Supponiamo che sia positiva.

Allora, sostituendo, si ottiene:

zyEE X

IXX.U '' ')

zyx

x

z,y,xEX.U '''

w

w ')

V

x

z,y,xEX.U '

w

w ')

Con:

Vzyx ' ''' Volume infinitesimo contenuto nel cubo Ragionando in modo analogo anche per le altre componenti del vettore campo, si ottengono, naturalmente, le seguenti relazioni:

Vy

z,y,xEY.U '

w

w ')

V

z

z,y,xEZ.U '

w

w ')

Quindi il flusso uscente totale dall’elemento di volume infinitesimo V' , sarà la somma algebrica dei componenti:

Vz

z,y,xE

y

z,y,xE

x

z,y,xET.U '¸

¹

ᬩ

§

w

w

w

w

w

w ')

139

Se, al limite, il volume racchiuso entro la superficie chiusa tende a ridursi sino ad un valore nullo, il rapporto tra il flusso totale uscente e il volume tendente a zero è definito “DIVERGENZA DEL CAMPO ELETTRICO” ed è indicato utilizzando la seguente simbologia:

EdivV

lim U

0V ¸

¹

ᬩ

§

'

I'

'

Occorre passare dagli incrementi finiti ' a quelli infinitesimi d . Quindi la divergenza del campo elettrico:

z

z,y,xE

y

z,y,xE

x

z,y,xEEdiv

w

w

w

w

w

w

Da cui si ottiene:

dVEdivd ) La divergenza, essendo in pratica costituita da incrementi direzionali delle componenti può scriversi in forma vettoriale:

z

z,y,xEk

y

z,y,xEj

x

z,y,xEiEdiv

w

w

w

w

w

w

Mentre, in termini dimensionali, la divergenza è misurata con le seguenti unità di misura:

222

3211

m

V

mC

J

mC

mN

mC

Nmm

C

NVSEVEdiv

¸

¹

ᬩ

§ )

Si giungerebbe alla stessa conclusione, anche se la superficie infinitesima considerata non avesse la forma cubica ma forma qualsiasi con lati tendenti uniformemente al valore nullo. Se ora si applica la legge di Gauss alla superficie chiusa laterale del cubo infinitesimo, supponendo che in esso sia racchiusa una quantità di carica volumica di densità U , si ottiene la relazione:

H

'U

H

¦ ' ')

VQT

Che, paragonata ed abbinata a quella precedente:

Vz

z,y,xE

y

z,y,xE

x

z,y,xEV'¸

¹

ᬩ

§

w

w

w

w

w

w

H

'U

¸¹

ᬩ

§

w

w

w

w

w

w

H

U

z

z,y,xE

y

z,y,xE

x

z,y,xE

H

U Ediv Legge di Gauss in forma differenziale

140

RELAZIONE DI GAUSS – TEOREMA DELLA DIVERGENZA E FLUSSO DEL CAMPO La relazione di Gauss permette di collegare il flusso totale del vettore campo elettrico attraverso una superficie chiusa qualsiasi (quindi una sommatoria di flussi infinitesimi o integrale di superficie) alla sommatoria di tutti i flussi uscenti da ciascun elemento di superficie chiusa racchiudenti una porzione infinitesima del volume contento globalmente nella superficie chiusa. Per la dimostrazione si suppone di inserire in una regione di spazio in cui è presente un campo elettrico, una qualsiasi superficie chiusa contenente un volume confinato all’interno della superficie. Supponiamo inoltre che il volume interno non contenga cavità non appartenenti al campo. La superficie è posizionata nel solito sistema cartesiano di riferimento.

Y

Z

X

141

ESERCIZI

FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO – LEGGE DI GAUSS Esercizio 1: Una carica elettrica puntiforme C102,1Q 5u è immersa in un dielettrico di costante relativa

5,2R H . Determinare il campo elettrico da essa generato ad una distanza di 6 m. Soluzione: Applicando la legge di Gauss alla carica puntiforme e ad una superficie gaussiana sferica di raggio pari alla distanza r, si ottiene (tenendo conto che il vettore campo e i vettori normali alla superficie sferica sono sempre paralleli):

1SE )

R

QQ

HH

H )

)

Da cui:

R2

R r4

Q

S

QE

HHS

HH

))

Si noti come, dalla legge di Gauss, si è ottenuta la legge di Coulomb. Sostituendo i valori noti si ricava evidentemente lo stesso risultato ottenuto in precedenza (vedi esercizio già risolto):

¸¹

ᬩ

§u#

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

HH

) C

N102,1

5,2mN

C1085,8m64

C102,1

S

QE 3

2

2122

5

R

Esercizio 2: Determinare il flusso che attraversa una superficie 2cm25S immersa in un campo elettrico

uniforme di intensità ¸¹

ᬩ

§

C

N500E . Si supponga che la superficie sia:

x perpendicolare al campo x parallela la campo x inclinata di 45° x inclinata di 225°

Soluzione: Dalla relazione che esprime il flusso del campo elettrico:

D u ) cosSEnE Con: u Prodotto scalare E Vettore campo elettrico n Vettore normale alla superficie e orientato secondo la regola di Ampere E Modulo del campo S Superficie (pari al modulo del vettore n ) D Angolo formato dai due vettori (misura in senso antiorario a partire da vettori

paralleli e concordi)

142

Si ottiene:

Caso 1 – Superficie perpendicolare al campo: q D 0

q D 180

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ ¸

¹

ᬩ

§

¸

¹

ᬩ

§

¸¸

¹

·

¨¨

©

§¸

¹

ᬩ

§r D )

C

mNm

C

mNm

C

J

mV25,11cm

m10cm25

m

V500cosSE

2

2

242

1

Caso 2 – Superficie parallela al campo: q D 90 q D 270

00cm

m10cm25

m

V500cosSE

2

242

2 ¸¸

¹

·

¨¨

©

§¸

¹

ᬩ

§ D )

Il flusso è nullo in quanto il campo non attraversa la superfcie.

Caso 3 – Superficie e campo inclinati di 45°: q D 45

mV1083,8707,0cm

m10cm25

m

V500cosSE 1

2

242

3 u ¸¸

¹

·

¨¨

©

§¸

¹

ᬩ

§ D )

Il flusso è positivo in quanto uscente dalla superficie.

Caso 4 – Superficie e campo inclinati di 225°: q D 225

mV1083,8707,0cm

m10cm25

m

V500cosSE 1

2

242

4 u ¸¸

¹

·

¨¨

©

§¸

¹

ᬩ

§ D )

Il flusso è negativo in quanto entrante nella superficie.

143

D q

E E E

D q

n n

D q

E

D q

E

n

n

n n

E

D qD q

Esercizio 3: Determinare il flusso del campo elettrico generato da una carica puntiforme C103Q 4u attraverso una superficie sferica di raggio r avente centro sulla carica stessa. Soluzione: Il flusso del campo elettrico attraverso ad una superficie gaussiana sferica contenente una carica puntiforme Q è indipendente dalla forma e dalla posizione della carica in essa contenuta. Il flusso attraverso alla sfera di raggio r è quindi uguale a quello che si otterrebbe utilizzando una sfera più grande o più piccola o qualsiasi altra superficie chiusa diversa dalla sfera. Anche se la carica fosse posizionata in un qualsiasi punto interno alla sfera o ad un’altra qualsiasi superficie chiusa, non si avrebbe variazione del flusso. Quindi, usando la legge di Gauss:

mVm

m

Vm

C

N1039,3

mN

C1085,8

C103Q 227

2

212

4

¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u

u

H )

)

Esercizio 4: Un cubo di lato m4,1L è orientato con gli spigoli paralleli agli assi cartesiani di riferimento in una regione in cui il campo elettrico è uniforme. Si considerano i tre casi in cui il vettore campo elettrico è determinato dalle sue componenti: ¾ i6E 1 ¾ j2E 2 ¾ k4i3E 3

Si determini il flusso del campo attraverso la faccia più a destra nel caso dei tre campi elettrici agenti singolarmente. Soluzione:

144

E 1 = 6 x i X

Y

Z Z

E = - 2 x j2

X

Y

Z

E 3 = -3 x i

X

Y

= 4 x kE 3

Il flusso dei tre campi elettrici attraverso la faccia del cubo più a destra nel sistema di riferimento indicato, è dato da:

¸¹

ᬩ

§ ¸

¹

ᬩ

§ ) 222

X11 mC

N76,11m4,1

C

N61SE Uscente

¸¹

ᬩ

§ ¸

¹

ᬩ

§ ) 222

X22 mC

N0m4,1

C

N01SE Nullo

¸¹

ᬩ

§ ¸

¹

ᬩ

§ ) 222

X33 mC

N88,5m4,1

C

N31SE Entrante

Esercizio 5: In un certo conduttore isolato, complessivamente scarico, è provocata una separazione di cariche, per induzione con una bacchetta caricata positivamente posta nelle vicinanze. Si determini il flusso attraverso le cinque superfici gaussiane mostrate in figura. Si supponga che le cariche racchiuse in 1S , 2S ed 3S siano uguali in intensità. Soluzione:

145

S 2S 1

S 3

S 4

5S

+

+++

- --

++

+

Dalla legge di Gauss:

H )

q1 Uscente

H )

q2 Entrante

H )

q3 Uscente

04 )

H )

q5 Uscente

Esercizio 6: Una carica puntiforme C108,1Q 6u si trova al centro di una superficie gaussiana cubica di lato pari a 55 cm. Determinare il flusso elettrico attraverso la superficie. Soluzione: Ancora con la legge di Gauss senza preoccuparci della dimensione della superficie cubica:

mV1003,2

mN

C1085,8

C108,1Q 5

2

212

6

u#

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u

u

H )

)

146

Esercizio 7: Il flusso elettrico netto attraverso ciascuna faccia di un cubo ha intensità pari a

NC

mN10

23 ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§ ) in cui N è il numero progressivo che compare su ogni faccia del cubo. Per N

dispari il flusso è entrante, uscente per N pari. Determinare la carica netta contenuta all’interno del cubo. Soluzione: Il flusso complessivo attraverso le sei facce del cubo, numerate da 1 a 6 è dato da:

¸¹

ᬩ

§ ) 233333333 m

C

N10312910610410210510310110

La carica netta complessivamente presente (ottenuta eventualmente da una somma di cariche opposte), è la seguente:

C1066,2mN

C1085,8

C

mN103Q 6

2

212

25

) u ¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u¸

¸

¹

·

¨¨

©

§ H)

Dato che la somma dei flussi è negativa si tratta di flusso entrante, quindi la carica netta interna deve essere negativa. Esercizio 8:

Una carica puntiforme +Q si trova ad una distanza 2

d da una superficie quadrata di lato d ed è

proprio sopra al centro del quadrato. Si determini il flusso elettrico attraverso il quadrato. Soluzione: Dai dati elencati nel testo del problema si comprende che la carica è posta nel baricentro del cubo che ha per facce proprio dei quadrati di lato d. Considerata la simmetria del problema e la legge di Gauss, il flusso da determinare sarà uguale ad una sesta parte del flusso complessivamente uscente dal cubo equivalente. Per cui:

)H

) )

6

Q

6

)CUBO(T Il flusso è uscente

Esercizio 9:

Il campo elettrico posto sulla superficie di un cilindro ha intensità pari a ¸¹

ᬩ

§u

C

N103,2E 5 .

Determinare la densità superficiale di carica sul cilindro supponendolo di materiale conduttore. Soluzione: E’ ancora utilizzata la legge di Gauss tenendo conto del fatto che la carica, uniformemente distribuita sulla superficie del cilindro, sia in regime stazionario. Se si pensa di intersecare una piccola superficie circolare posta sul cilindro conduttore con una superficie gaussiana cilindrica con asse perpendicolare all’asse del cilindro reale e, tenendo conto che il campo elettrico prodotto dalle cariche all’interno del cilindro conduttore deve essere nullo per

147

mantenere la situazione stazionaria, è possibile, utilizzando la legge di Gauss determinare il flusso attraverso la superficie gaussiana. Il campo elettrico fluisce esclusivamente attraverso la base del cilindro posta all’esterno, mentre è nullo attraverso le pareti laterali e la base interna in quanto rispettivamente parallelo alle pareti e nullo all’interno. Perciò:

H ' )

QSE

Con: 2rS S '

2rQ SV Si ottiene quindi:

22

rEr

S H

SV

H

V E Teorema di Coulomb

H V E Sostituendo:

¸¹

ᬩ

§u ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

u¸

¹

ᬩ

§u V

2

6

2

2125

m

C1004,2

mN

C1085,8

C

N103,2

r

E

E = 0Q = SV

S EE = 0

VQ = S

r

Esercizio 10: Una sfera conduttrice uniformemente carica ed avente raggio m2,1R , ha una densità di carica

superficiale ¸¹

ᬩ

§u V

2

6

m

C101,8 . Determinare la carica totale sulla sfera ed il flusso uscente dalla

superficie sferica gaussiana di raggio pari al raggio della sfera conduttrice. Soluzione: La carica complessivamente presente sulla superficie sferica è data da:

148

C1046,1m2,14m

C101,8r4Q 422

2

6 u S¸¹

ᬩ

§u SV

Il campo elettrico sulla superficie sferica:

¸¹

ᬩ

§u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

¸¹

ᬩ

§u

H

V

C

N1029,1

mN

C1085,8

m

C1046,1

E 5

2

212

2

6

Il flusso uscente dalla superficie gaussiana sferica:

¸¹

ᬩ

§u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u

H )

27

2

212

4

mC

N1065,1

mN

C1085,8

C1046,1Q

Esercizio 11: Una distribuzione rettilinea di carica, infinitamente estesa, genera un campo elettrico

¸¹

ᬩ

§u

m

V105,4E 4 ad una distanza di 2 metri dall’asse. Si determini la densità lineare di carica.

Soluzione: Il campo elettrico generato da una distribuzione di carica si può ottenere applicando la legge di Gauss alla superficie di un cilindro gaussiano contenente la distribuzione di carica e di raggio pari alla distanza ove è generato il campo elettrico noto. Si ottiene, tenendo conto della simmetria:

HrEH 2 S H

O )

Da cui si ricava il valore della densità lineare:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

uS¸

¹

ᬩ

§u HS O

mm

CV105m2

mN

C1085,8

m

V105,4rE

2622

2

21242

¸¹

ᬩ

§¸

¸

¹

·

¨¨

©

§¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

u O

m

C

m

C

C

N

mm

CV105

226

Esercizio 12: Il cilindro dell’esercizio 9 ha una lunghezza di 42 cm e un diametro di 12 cm. Tenendo conto che il

campo elettrico generato sulla superficie ha un valore ¸¹

ᬩ

§u

C

N103,2E 5 determinare la carica

complessivamente presente sul cilindro. Se il cilindro fosse lungo 28 cm ed avesse un diametro di 8 cm e si intendesse mantenere il campo elettrico prodotto pari al precedente, quale sarebbe la carica totale necessaria?

149

Soluzione: Con il teorema di Coulomb si determina la densità superficiale:

)H

V E

¸¹

ᬩ

§u#¸

¹

ᬩ

§u¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

u H V

) 2

65

2

212

m

C102

C

N103,2

mN

C1085,8E

La carica complessivamente presente sul cilindro è:

C102,3m42,0m06,02m

C102Hr2SQ 7

2

6 u S¸¹

ᬩ

§ SV V

Se si intende utilizzare un cilindro più piccolo mantenendo inalterato, non cambia la densità superficiale, mentre la carica complessiva sarà:

C104,1m28,0m04,02m

C102Hr2SQ 7

2

6 u S¸¹

ᬩ

§ SV V

Esercizio 13: Un lungo tubo metallico avente parete sottile e raggio R ha una carica superficiale O espressa per unità di lunghezza del tubo. Si determini l’espressione del campo elettrico E nei seguenti casi: In un punto esterno al tubo ad una distanza dall’asse pari a Rr ² In un punto interno al tubo ad una distanza dall’asse pari a Rr ¢

Si traccino i risultati da 0r a cm5r tenendo conto di ¸¹

ᬩ

§u O

m

C102 8 ed cm3R .

Soluzione. Utilizzando una superficie gaussiana cilindrica coassiale con l’asse del tubo carico ed avente raggio minore di quello del tubo stesso, unitamente alla legge di Gauss, si conclude immediatamente che il campo elettrico nei punti interni al tubo (quindi per cm3r0 ¢¢ ) è nullo. Per punti situati sulla superficie del tubo (quindi per cm3r ) si può, ad esempio, utilizzare il teorema di Coulomb tenendo conto della densità superficiale effettiva:

)H

V E

Con:

¸¹

ᬩ

§u

S

¸¹

ᬩ

§u

S

O V

2

7

8

m

C101,1

m03,02

m

C102

LR2

L

S

Q

Quindi:

¸¹

ᬩ

§u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uu

¸¹

ᬩ

§u

C

N102,1

mN

C1085,8

m

C101,1

E 4

2

212

2

7

Per punti situati all’esterno si utilizza ancora un cilindro gaussiana cor raggio maggiore del raggio del tubo e la simmetria del problema:

150

)) H

O

H S )

LQLr2ESE

Da cui si ottiene il valore del campo in funzione della distanza:

r

359

r

1

mN

C1085,82

m

C102

r2E

2

212

8

u

¸¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨¨

©

§

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

¸¹

ᬩ

§u

HS

O

)

Si ottengono quindi i valori del campo per punti distanti da 3 cm a 5 cm dall’asse:

¸¹

ᬩ

§u

C

N102,1

03,0

359E 4

CM3 Analogo a quello già calcolato

¸¹

ᬩ

§u

C

N101,7

05,0

359E 3

CM5

R

L

r

Esercizio 14: Una gocciolina d’olio che porta una carica C106,1q 19u e sospesa nell’aria, in equilibrio tra due larghi piatti metallici orizzontali distanti tra loro 2 cm. Su tali piatti esistono due cariche

opposte distribuite, con densità uniforme V e V rispettivamente, con ¸¹

ᬩ

§ V

2

7

m

C10 .

Determinare la massa della gocciolina e l’accelerazione iniziale della gocciolina quando su di essa la carica raddoppia, ferme restando le altre condizioni. Soluzione:

151

+

-EEE E EE E E

-

+

m g

2 F

2 q-

e

q

m g

eF

-

Dato che la gocciolina è caricata negativamente ed è attirata verso il basso dalla forza di gravità, è necessario, per garantirne l’equilibrio, che la lastra caricata positivamente sia posizionata in alto rispetto alla lastra negativa. Stabilita la configurazione delle lastre occorre imporre le condizioni necessarie a mantenere sospesa la gocciolina tra le due lastre. Ciò accade, quando la forza elettrostatica generata sulla carica recata dalla goccia dalla presenza del campo elettrico tra le due lastre è uguale e contraria alla forza gravitazionale:

qEFgm e

Con: m Massa della goccia kg

g Accelerazione gravitazionale ¸¹

ᬩ

§2s

m81,9

E campo elettrico tra le lastre Q carica elettrica sulla goccia C

Il campo elettrico generato tra le lastre è la risultante del campo elettrico, rivolto verso il basso, prodotto dalla lastra positiva e del campo elettrico, sempre rivolto verso il basso prodotto dalla lastra negativa (il loro verso è stabilito dalla presenza di una carica esploratrice positiva). Con il teorema di Coulomb è possibile determinare il campo prodotto da ogni lastra:

)H

V

2E Y1

)H

V

2E Y2

)H

V YE

Quindi la condizione d’equilibrio:

qgm H

V

)

152

Da cui si ricava il valore della massa della goccia:

kg

m

ss

mkg

m

sN1084,1

mN

C1085,8

s

m81,9

C106,1m

C10

g

qm

2

2216

2

212

2

19

2

7

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u¸

¹

ᬩ

§

u¸¹

ᬩ

§

H

V

)

Se raddoppia la carica sulla goccia, le condizioni d’equilibrio non sono più rispettate e, di conseguenza si avrà un movimento accelerato verso l’alto caratterizzato da un’accelerazione pari a:

amq

qEF H

V

)

Da cui:

¸¹

ᬩ

§

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uu

u¸¹

ᬩ

§

H

V

)2

2

21216

19

2

7

s

m8,9

mN

C1085,8kg1084,1

C106,1m

C10

m

qa

L’accelerazione risultate sarà da considerare negativa in quanto diretta in verso opposto all’accelerazione gravitazionale

Esercizio 15: Una sfera di massa m, appesa ad un filo di lunghezza L, si trova tra due lastre piane aventi densità di carica 1V e 2V , disposte una orizzontale l’altra verticale. Determinare lo spostamento orizzontale e verticale della massa sapendo che la stessa possiede una carica Q positiva. Trovare la relazione che deve sussistere tra le varie grandezze in modo che il filo si disponga in posizione orizzontale. Soluzione:

+

++

+

E xy

E

q+

x

y

V

V

xF

yF

m gm g

xF

F y-

R V

R

D

L

q

D

153

Le lastre piane cariche positivamente – supposte infinitamente estese ed isolanti - generano, nello spazio circostante, due campi elettrici diretti perpendicolarmente alla rispettiva lastra. I valori dei campi dipendono dalla densità superficiale di carica secondo la relazione:

)H

V

2E

Per cui:

)H

V

2E 1

X

)H

V

2E 2

Y

I due campi esercitano, sulla sfera carica positivamente, le rispettive forze elettrostatiche dirette orizzontalmente e verticalmente e di verso concorde ad essi:

)H

V

2

qqEF 1

X

)H

V

2

qqEF 2

Y

La sfera è quindi sottoposta all’azione di tre forze esterne, di cui, due verticali di verso discorde (forza elettrostatica Fy e forza peso mg) ed una orizzontale (forza elettrostatica Fx). La risultante complessiva è poi equilibrata dalla reazione vincolare esercita dal filo secondo la direzione della risultante delle forze esterne e diretta in verso opposto.

La risultante delle forze esterne ha dunque un modulo pari a:

2Y

2X

2 FmgFF L’inclinazione della risultante e della reazione vincolare – rispetto l’asse y – è data da:

XFsenF D

E, per similitudine, la stessa inclinazione del filo:

L

xsen D

2

Y2X

XX

FmgF

F

L

x

F

Fsen

D

2

Y2X

X

FmgF

LFx

Sostituendo all’espressione di XF e YF , si ottiene lo spostamento orizzontale x:

2

Y2X

1

FmgF2

Lqx

H

V

)

154

)))

)H

V

H

V

H

VH

V

2

qmg2

4

qmg

4

q2

Lqx

22

2222

2

221

1

q2mgqmg4q

Lqx

222

22222

1

1

VHVHV

V

))

2

12

2

1

qqmg2

Lqx

VVH

V

)

Lo spostamento in verticale è ottenuto dallo spostamento orizzontale x con la relazione:

> @D D cos1LcosLLy

¸¹

ᬩ

§ D

L

xsen 1

Inoltre il filo si disporrà orizzontalmente, quando la forza elettrica verticale sarà uguale e contraria al peso della sfera:

mg2

q2 H

V

)

0qmg2 2 VH )

Cioè per:

q

mg22

H V )

In tali condizioni estreme lo spostamento x sarà ovviamente pari a L:

21

22

1

qqmg2

Lqx

VVH

V

)

Lq

Lqx

21

1 V

V

Esercizio 16: Due cilindri metallici concentrici di raggio a e b, con ba ¢ , sono caricati con la stessa densità lineare per unità di lunghezza ma di segno opposto. Utilizzando la legge di Gauss si dimostri che il

campo elettrico è nullo all’interno del cilindro più piccolo e che vale r2

1E

O

HS

)

nella zona

compresa tra i due cilindri. Soluzione: Per un punto compreso nella zona interna al cilindro di raggio minore, passa una superficie cilindrica gaussiana che non contiene cariche. Data la simmetria del problema si può affermare che il flusso è nullo in quanto nullo il campo elettrico. In un cilindro gaussiano di raggio r , compreso tra a e b, contiene la quantità di carica del cilindro metallico più piccolo:

¦ O LQ Per cui il flusso vale:

H

O S )

LLr2ESE

155

Da cui si ottiene E:

r2

1E

O

HS

Esercizio 17: Su un lungo cilindro conduttore di lunghezza L, è presente una carica totale q positiva. Esso è circondato da un guscio cilindrico conduttore (anch’esso di lunghezza L) su cui è presente una carica totale 2q negativa. Si utilizzi la legge di Gauss per determinare:

x Il campo elettrico nei punti esterni al guscio conduttore x Il campo elettrico nella regione compresa tra il cilindro e il guscio.

Soluzione:

q2 q

+-

Nello spazio esterno al conduttore il campo elettrico è ottenuto applicando la legge di Gauss al cilindro gaussiano di raggio maggiore che contiene entrambe le cariche:

))) H

H

H

¦ S

qq2qqLr2ESE

Lr2

qE

HS

)

Convenzionalmente il campo elettrico è radiale e diretto verso l’interno. Il campo elettrico tra il cilindro interno e il guscio esterno è ottenuto applicando la legge di Gauss al cilindro gaussiano di raggio minore, che contiene la sola carica +q:

))) H

H

H

¦ S

qqqLr2ESE

Lr2

qE

HS

)

156

Esercizio 18: Due lunghi cilindri coassiali carichi hanno raggi di 3,00 cm e 6,00 cm. La carica per unità di

lunghezza è ¸¹

ᬩ

§u O

m

C105 6

1 sul cilindro interno e ¸¹

ᬩ

§u O

m

C107 6

2 sul cilindro esterno.

Determinare il campo elettrico ad una distanza cm4r e ad una distanza cm8r dall’asse radiale. Soluzione:

O 1

2r

+

1

4

8

r

E

E

O -2

Il campo elettrico alla distanza di 8 cm dall’asse radiale, vale:

)

) H

¸¹

ᬩ

§uu

H

¦ S

Lm

C107105

qLd2ESE

66

2

¸¹

ᬩ

§u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

¸¹

ᬩ

§u

HS

¸¹

ᬩ

§u

)

C

N1050,4

mN

C1085,8m08,02

m

C102

d2

m

C102

E 5

2

212

6

2

6

Alla distanza di 4 cm dall’asse radiale:

)

) H

¸¹

ᬩ

§u

H

¦ S

Lm

C105

qLd2ESE

6

1

¸¹

ᬩ

§u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

¸¹

ᬩ

§u

HS

¸¹

ᬩ

§u

)

C

N1025,2

mN

C1085,8m04,02

m

C105

d2

m

C105

E 6

2

212

6

1

6

157

Esercizio 19: Un positrone di carica C106,1q 19u percorre un’orbita circolare di raggio R concentrica ed interna ai cilindri dell’esercizio n. 16. Determinare la sua energia cinetica se il raggio del cilindro

interno è 2 cm, il raggio del cilindro esterno è 3 cm e la carica ¸¹

ᬩ

§u O

m

C1030 9 .

Soluzione:

O+

O -

cF

v

E

R

Considerando che il positrone – di massa e carica uguale all’elettrone ma positiva – ruota su una circonferenza di raggio compreso tra il cilindro interno e quello esterno, risulta sottoposto al campo elettrico radiale diretto verso il centro dei cilindri di valore variabile pari a:

)

)) H

¸¹

ᬩ

§u

H

O

H S

Lm

C1030

LqLR2E

9

.INT

)HS

O

R2E

La carica positiva del positrone è dunque attratta verso il centro dal campo elettrico che si manifesta con una relativa forza elettrostatica EF :

)HS

O

R2

qqEFE

La rotazione del positrone lungo l’orbita circolare è quindi provocata dalla forza elettrostatica che, in questo caso, ha le caratteristiche di forza centripeta (s’intende che la velocità iniziale del positrone sull’orbita sia pari alla velocità di rotazione tipica della forza centripeta agente). Tra la forza centripeta e la velocità tangenziale del positrone deve quindi valere la relazione:

158

R2

q

R

vmamF

2t

CEHS

O

)

Da cui si ottiene la velocità di rotazione:

m2

qv 2

tHS

O

)

E la conseguente energia cinetica:

)HS

O

4

qvm

2

1E 2

tC

Sostituendo i valori noti:

JmN1032,4

mN

C1085,84

C106,1m

C1030

4

qE 17

2

212

199

C u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u¸¹

ᬩ

§u

HS

O

)

Esercizio 20: Una carica è distribuita uniformemente in un cilindro infinitamente lungo di raggio R. Si mostri che il campo elettrico E ad una distanza r dall’asse del cilindro (quando r è minore di R) è dato da:

)H

U

2

rE

Dove con U s’intende la densità volumica di carica. Si scriva l’equazione del campo E nel caso in cui r sia maggiore di R. Soluzione: Con la legge di Gauss applicata ad una superficie cilindrica contenuta all’interno del cilindro carico uniformemente:

)) H

SU

H

¦ S

LrqLr2ESE

2

IH

U

2

rE

Per una superficie gaussiana di raggio maggiore a quello del cilindro:

)) H

SU

H

¦ S

LRqLr2ESE

2

r2

RE

2

H

U

I

Esercizio 21: Un piatto metallico di forma quadrata, ha il lato lungo 8,00 cm e lo spessore trascurabile, con una carica totale C106q 6u . Si determini l’intensità del campo elettrico al centro e appena al di fuori del piatto (ad esempio, ad una distanza di 0,5 mm), supponendo che la carica sia uniformemente distribuita sulle due facce del piatto. Si determini inoltre il campo elettrico ad una distanza di 30 metri dal piatto. Soluzione:

159

Il valore del campo elettrico, ricavato mediante regole d’integrazione applicate ad un disco carico di raggio R, è dato dalla relazione:

»¼

º«¬

ª

H

V

22Z

zR

z1

2E

Con: z Distanza del punto dal piano del disco R Raggio del disco V Densità superficiale Supponendo di utilizzare un disco carico al posto del piatto metallico, considerando un punto vicinissimo al piano del disco e utilizzando il lato del quadrato come raggio del disco, si otterrebbe un campo elettrico pari a:

H

V#

H

V

»»

¼

º

««

¬

ª

u

u

H

V

20062,01

210504,0

m1051

2E

242

4

Per un punto collocato proprio sul piano del disco si avrà evidentemente: 0z

H

V

2E

A tale risultato si perviene anche applicando la legge di Gauss ad un cilindro perpendicolare al piano del disco – che interseca il piano e lo oltrepassa - e tenendo conto della densità superficiale globale (il campo elettrico è presente su tutte e due le facce) oppure applicando sempre la legge di Gauss ad un cilindro non passante e tenendo conto della densità superficiale su una sola faccia del disco.

H

V

H

V

2E 1

Per un punto situato ad una distanza di 30 metri dal piano si ottiene il seguente valore del campo elettrico:

03004,0

301

2E

22Z #

»»

¼

º

««

¬

ª

H

V

Il campo elettrico è quindi praticamente nullo a tale distanza. Per determinare i valori numerici basta sostituire nelle formule trovate il valore della densità superficiale:

¸¹

ᬩ

§u

¸¹

ᬩ

§

u V

2

4

2

6

m

C104,9

2m08,0

C106

A

q

Quindi si ottiene, per un punto sul piano e al centro del quadrato:

¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u

¸¹

ᬩ

§u

H

V

m

V

C

N103,5

mN

C1085,82

m

C104,9

2E 7

2

212

2

4

Per un punto situato a 30 m:

¸¹

ᬩ

§#

C

N50E

160

Esercizio 22: Su una superficie piana isolante e molto estesa è distribuita uniformemente una carica con densità superficiale V . Un piccolo foro circolare di raggio R è ricavato nel punto centrale della superficie. Ignorando la distorsione del campo lungo i bordi, determinare il campo elettrico nel punto P ad una distanza z dal centro del foro lungo il suo asse. (suggerimento: si veda l’equazione del campo elettrico prodotto da un disco circolare e si utilizzi il principio di sovrapposizione degli effetti. Soluzione:

R

z

Il campo elettrico prodotto da una distribuzione superficiale disposta su un disco infinitamente grande in un punto ad una distanza z, sull’asse centrale del disco, ha un valore pari a: Per f#R

)) H

V

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

H

V

2zR

z1

2E

22

Mentre il campo che produrrebbe, nel medesimo punto, una carica distribuita sul disco di raggio R (che in effetti manca):

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

H

V

)22 zR

z1

2E

Il campo elettrico risultante è quindi da immaginarsi come la differenza tra il campo prodotto dalla superficie piana senza il foro ed il campo prodotto dalla carica sul foro:

222222 zR2

z

zR

z11

2zR

z1

22E

H

V

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

H

V

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

H

V

H

V

))))

161

Se, per ipotesi, il raggio del disco di carica mancante è molto piccolo, la radice al denominatore è circa uguale a z quindi il campo elettrico risultante è approssimativamente uguale a quello generato dalla lastra senza foro circolare. Ciò risulta abbastanza evidente in quanto la carica mancante è piccola.

Esercizio 23: In figura è rappresentata una piccola sfera avente massa di 1 mg e carica C102q 8u , appesa ad un filo isolante e formante un angolo di 30° con la superficie verticale di un grande piatto carico uniformemente. Considerando il peso della sfera si determini la densità di carica sul piatto. Soluzione: Utilizzando il campo elettrico prodotto da una lastra infinitamente estesa (ricavato con la legge di Gauss), si può determinare la forza orizzontale sulla sferetta carica:

)I

V

2E

)H

V

2

qqEF

Sulla sferetta agisco quindi la forza peso, diretta in basso, la forza elettrostatica F orizzontale e diretta verso destra e la reazione del filo inclinata di 30° rispetto la verticale, per cui:

gm2

q

gm

F30tan

H

V

q

)

Da cui si ricava il valore di V :

u

¸¹

ᬩ

§¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

u

Hq

V

)

C102

kg

N81,9kg10

mN

C1085,82577,0

q

gm230tan8

6

2

212

¸¹

ᬩ

§u

u

¸¹

ᬩ

§¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

u

V

2

9

8

6

2

212

m

C105

C102

kg

N81,9kg10

mN

C1085,82577,0

Esercizio 24: Un elettrone è proiettato verso il centro di un grande piatto metallico, carico positivamente con

densità superficiale uguale a ¸¹

ᬩ

§u V

2

6

m

C102 . Se l’energia cinetica iniziale dell’elettrone fosse di

100 eV e se dovesse fermarsi (a causa della repulsione elettrostatica) proprio prima di raggiungere il piatto, da quale distanza dovrebbe essere proiettato? Soluzione: L’energia cinetica posseduta dall’elettrone è di 100 eV (elettronvolt). Considerando che l’energia di 1 eV corrisponde a J106,1 19u , l’energia cinetica dell’elettrone è dunque pari a:

J106,1E 17C

u La forza repulsiva elettrostatica deve quindi compiere un lavoro resistente uguale all’energia cinetica persa dall’elettrone per fermarsi. In questo caso la velocità finale dell’elettrone si annulla.

162

Considerando che il piatto metallico carico ha dimensioni infinite rispetto alle distanze z in gioco, il valore del campo elettrico non dipende dalla distanza, ma è da ritenersi costante e pari a:

)) H

V

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

H

V

2zR

z1

2E

22

Infatti, con l’ipotesi: f R

0zR

z22

#

Quindi, dato che il campo elettrico è costante, lo è pure la forza elettrostatica repulsiva il cui Valore è dato da:

N1081,1

mN

C1085,82

C106,1m

C102

C106,12

eEF 14

2

212

19

2

6

19e

)

u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u

u¸¹

ᬩ

§u

uH

V

Allora, dall’espressione del lavoro resistente fatto dal campo elettrico e considerando che deve essere uguale alla quantità di energia cinetica persa per annullare la velocità dell’elettrone, si ricava la distanza percorsa z:

mzN1081,1zFEW 14C uu

mm884,0m1084,8N1081,1

mN106,1

F

Ez 4

14

17

e

C u u

u

Esercizio 25: Due grandi piatti metallici di area uguale 2m1A si affacciano l’un l’altro. Si trovano ad una distanza di 5 cm e hanno cariche uguali ma di segno opposto sulle superfici interne. Se il campo

elettrico tra i piatti è ¸¹

ᬩ

§

C

N55E quale sarà il valore della carica su ogni piatto?

Soluzione: Usando la legge di Gauss applicata ad un cilindro con una base interna allo spessore del piatto metallico positivo, l’altra base posta in prossimità del piatto negativo e con asse perpendicolare ai due piatti, si ottiene il valore del campo elettrico tra i piatti anche tenendo conto che, all’esterno, il campo elettrico è nullo:

)I

V E

¸¹

ᬩ

§u ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

u¸

¹

ᬩ

§ H V

) 2

10

2

212

m

C1087,4

mN

C1085,8

C

N55E

Si ottiene quindi la carica su ogni piatto:

C1087,4m1m

C1087,4AQ 102

1

10 u ¸¹

ᬩ

§u V

163

Esercizio 26: Il peso di un elettrone è esattamente bilanciato dalla forza esercitata dall’elettrone da un campo elettrico. Se il campo elettrico è generato da due piatti paralleli, conduttori e caricati con segno opposto posti alla distanza di 2,3 cm, quale sarà la densità di carica superficiale uniforme sui piatti? Soluzione: Il campo elettrico generato da due piatti conduttori e caricati di segno opposto è dato da:

)H

V E

Considerando che l’elettrone ha una carica negativa di C106,1 19u ed una massa di kg1011,9 31u , risulta in equilibrio tra i piatti quando la forza elettrica è pari al valore

della forza gravitazionale, cioè:

GE FF

gme

e H

V

)

Da cui si ricava il valore della densità superficiale di carica:

¸¹

ᬩ

§u

u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u¸

¹

ᬩ

§u

H

V

)

2

22

19

2

21231

e

m

C1094,4

C106,1

mN

C1085,8

kg

N81,9kg1011,9

e

gm

Esercizio 27: Una lastra piana di spessore d, ha una densità di carica volumica U uniforme. Determinare l’intensità del campo elettrico in tutti i punti dello spazio interni alla lastra ed esterni, in funzione della distanza z misurata dal piano medio della lastra. Soluzione: Per qualsiasi punto, compreso nelle regioni di spazio esterne alla lastra, il campo elettrico non dipende dalla distanza dal piano mediano della lastra. Infatti, la legge di Gauss applicata ad un cilindro perpendicolare alla lastra e passante attraverso essa ci porta a concludere:

H

SU

H

U

H

¦ )

dRVQ 2

2R2E S ) Da cui si ottiene:

H

U

2

dE z Indipendente dalla distanza z

A tale risultato si perviene anche considerando la simmetria (campi elettrici uguali uscenti da entrambe le facce parallele) e la perpendicolarità del vettore campo rispetto ai piani della lastra.

Per i punti contenuti nello spessore della lastra si può ragionare nel modo seguente:

x La legge di Gauss applicata a due cilindri gaussiani, aventi lo stesso raggio R e perpendicolari alla lastra, il primo con la base sinistra posizionata esattamente sulla faccia sinistra della lastra e la base destra posizionata in un punto P ad una distanza z dal piano mediano della lastra, ed il secondo, con la base sinistra posizionata nel punto P e la base destra posizionata esattamente sulla faccia destra della lastra:

164

dz

R

1

2E 2

E 11E

E 2

P

U

Il campo elettrico prodotto nel punto P, dalla carica contenuta nel cilindro 2 - supponendo la carica positiva - è diretto verso destra e vale:

H

¸¹

ᬩ

§SU

H

U S

z2

dR

VR2E

2

222

¸¹

ᬩ

§

H

U z

2

d

2E 2

Il campo elettrico prodotto nel punto P, dalla carica contenuta nel cilindro q – con carica

positiva – è diretto verso sinistra e vale:

H

¸¹

ᬩ

§SU

H

U S

z2

dR

VR2E

2

121

¸¹

ᬩ

§

H

U z

2

d

2E 1

La somma algebrica dei vettori campo discordi è quindi il campo risultante in quel punto:

H

U ¸

¹

ᬩ

§

H

U

zz

2

dz

2

d

2EEzE 21

Nel punto centrale il campo è ovviamente nullo.

165

Esercizio 28: Un conduttore sferico di raggio 10 cm ha una carica sconosciuta. Se il campo elettrico che si trova a

15 cm dal centro della sfera è ¸¹

ᬩ

§u

C

N103E 3 e si dirige radicalmente verso l’interno, quale sarà la

carica netta sulla sfera? Soluzione: Il campo elettrico generato in un punto ad una distanza maggiore del raggio della sfera è determinato dalla legge di Gauss e dalla simmetria sferica:

H

H

¦ )

Qq

2

.SFRr r4ESE S ) ² Da cui si ottiene la carica totale:

2r4EQ

S H

2r4EQ HS )

C105,7mN

C1085,8m15,04

C

N103Q 9

2

212223 u ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

uS¸

¹

ᬩ

§u

Esercizio 29:

Una carica puntiforme forma un flusso ¸¹

ᬩ

§ ) 2m

C

N750 attraverso ad una superficie gaussiana

sferica di 10 cm di raggio centrata sulla carica. Se il raggio della sfera fosse doppio, quanto flusso passerebbe attraversa la superficie? Determinare inoltre il valore della carica puntiforme. Soluzione: Dato che il flusso attraverso una superficie qualsiasi non dipende dalla grandezza della superficie ma solo dalla quantità di carica in essa contenuta, se il raggio della sfera fosse doppio il flusso sarebbe lo stesso. Il valore della carica puntiforme è dato da:

)H

¦ )

Q

C1063,6mN

C1085,8

C

mN750Q 9

2

212

2

) u ¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u¸

¸

¹

·

¨¨

©

§ H)

La carica è negativa in quanto il flusso è negativo, cioè entrante. Esercizio 30: Un sottile guscio sferico metallico ha un raggio di 25 cm ed una carica di C102 7u . Determinare il campo elettrico E per un punto P all’interno del guscio, appena al di fuori di esso e a 3 metri dal centro. Soluzione: Applicando la legge di Gauss ad una sfera di raggio minore di quello del guscio e tenendo conto della simmetria, si deduce che, il flusso attraverso la sfera deve essere nullo, ma può essere nullo solo se il campo elettrico è anch’esso nullo.

166

Per un punto P appena oltre la superficie del guscio si ottiene:

)H )

Q

2r4E S )

Da cui:

¸¹

ᬩ

§u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

S

HS

)C

N108,28

m25,0mN

C1085,84

C102

r4

QE 4

22

2

212

7

2

Per un punto P a 3 metri dal centro:

Esercizio 31: Un sottile guscio metallico sferico di raggio a ha una carica aq . Un secondo guscio sferico concentrico con il primo e di raggio b (con ab ² ) ha una carica bq . Determinare il campo elettrico in un punto distante r dal centro per: 1. ar ¢ 2. r compreso tra i due gusci 3. br ² Soluzione: Per un punto interno al guscio di raggio minore il campo elettrico è nullo in virtù della simmetria e per il fatto che attraverso una sfera gaussiana di raggio ar ¢ il flusso è nullo (non contiene cariche). 1. Per:

ar ¢ 0E 2. Per:

br ² Il flusso attraverso una sfera gaussiana di raggio r è dato da:

2BA r4Eqq

S H

)

)

Da cui si ricava il valore del campo:

2BA

r4

qqE

HS

)

Diretto radicalmente con verso dato dal segno algebrico risultante dalla somma delle cariche sui gusci.

3. Per:

Raggio compreso tra le due sfere:

2A

r4

qE

HS

)

Il verso del vettore è stabilito dal segno di Aq

¸¹

ᬩ

§

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

S

HS

)C

N200

m3mN

C1085,84

C102

r4

QE

22

2

212

7

2

167

Esercizio 32: Il campo elettrico nei punti vicini ad una superficie conduttrice carica è determinato anche per

mezzo del teorema di Coulomb e vale H

V E . Si applichi questa equazione ad un conduttore sferico

di raggio r e carica q e si mostri che il campo elettrico al di fuori della sfera è identico al campo generato da una stessa carica puntiforme posta al centro della sfera. Soluzione: La legge di Gauss applicata ad una superficie sferica di pari raggio:

2r4Eq

S H

)

2r4

qE

HS

Ma il rapporto:

V S 2r4

q è la densità di carica

Per cui:

H

V E

La relazione vale anche per dimostrare che il campo elettrico esterno alla sfera è pari a quello generato da una carica puntiforme. Basta tenere in considerazione la definizione di campo elettrico prodotto ad una distanza r. Esercizio 33. Su una sfera isolante (si può immaginare la sfera costituita da tanti gusci sferici isolati uno dall’altro

da sottili fogli isolanti) di raggio R, c’è una distribuzione non uniforme pari a R

rr 0 U U , dove

0U è una costante e r è la distanza dal centro della sfera. In pratica la densità di carica aumenta con la distanza del guscio dal centro sino ad un massimo pari a 0U .

Si dimostri che la carica totale sulla sfera è 30 RQ US e che il campo elettrico all’interno della

sfera è dato da 2

4r

R

Q

4

1E

HS .

Soluzione:

168

L’ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA L’azione di una forza elettrostatica, generata cioè dalla presenza di un campo elettrico applicato ad una particella o ad un corpo anch’esso carico elettricamente, non è dissimile da quella di una forza qualsiasi applicata alla massa di un oggetto. Se non sono presenti altre forze dissipative, quali l’attrito o la resistenza del mezzo, e se la forza elettrostatica è l’unica ad agire sul corpo, allora essa provoca sicuramente un moto accelerato. Il modulo, la direzione ed il verso dell’accelerazione dipendono dalle caratteristiche della forza (ad esempio, se la forza elettrostatica è di tipo centrale, il moto potrebbe essere circolare o ellittico). Se, al contrario, sono presenti forze dissipative o resistenti o altre forze di diversa origine, resta comunque sempre valido il secondo principio della dinamica:

amRRFFF VADE ¦¦¦¦

Con:

EF Forze elettrostatiche

VR Reazioni vincolari

DF Forze diverse

AF Forze d’attrito o resistenza del mezzo R Risultante Le varie sommatorie coinvolgono grandezze vettoriali ed occorre quindi tenere conto dei moduli e della direzione dei vettori.

In tutti i casi l’applicazione di una forza esterna provoca, quasi sempre o solitamente, un movimento, più o meno complesso, che dipende dal tipo d’azione (moto rettilineo uniforme nel caso in cui la risultante è nulla, moto uniformemente accelerato quando la risultante ha un valore costante nel tempo, moto armonico quando la risultate è variabile con legge sinusoidale, ecc. ecc.). D’altra parte, per un qualsiasi tipo di movimento, risulta più o meno facilmente individuabile lo spostamento del corpo cui le forze sono applicate. Ora, anche per la forza elettrostatica, come per tutti gli altri tipi di forza, allo spostamento subito dal corpo e all’intensità e direzione della forza stessa, sono immediatamente associabili le grandezze omogenee LAVORO ed ENERGIA. In altre parole:

Una qualsiasi forza elettrostatica applicata ad un corpo carico che, per effetto di essa, subisce uno spostamento, effettua un lavoro meccanico trasferendo energia dal campo elettrostatico al corpo.

L’energia che il campo elettrico potrebbe trasferire al corpo carico provocandone lo

spostamento, dalla posizione in cui trova inizialmente all’interno del campo, sino ai limiti del campo stesso (punto ove il campo è nullo) è definita “ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA”.

L’ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA, come tutte le altre forme d’energia, è

misurata in Joule.

169

L’ENERGIA POTENZIALE DI UN CAMPO ELETTRICO RADIALE Si prende ora in esame il campo elettrico radiale generato da una sola carica puntiforme Q positiva supponendo di disporla nell’origine di un sistema cartesiano tridimensionale. Per ogni punto P dello spazio circostante, caratterizzato da una terna di coordinate cartesiane PPP z;y;x , è definito un solo vettore campo elettrico E avente modulo uguale al rapporto tra la forza elettrica EF esercitata dalla carica generatrice Q su una carica elettrica esploratrice q (supposta anch’essa positiva) e la stessa carica esploratrice q:

q

FE E

2

2

r4

Q

qr

1

4

qQ

EHS

HS

La retta direttrice del vettore campo è la congiungente i baricentri delle due cariche (ovvero la retta passante dal punto P e dall’origine degli assi), mentre, il verso è orientato dall’interno all’esterno del sistema di riferimento. La retta direttrice del vettore campo elettrico rappresenta la linea di flusso del campo nel punto P ed è fisicamente la traiettoria che seguirebbe la carica q se potesse muoversi liberamente per l’azione della forza elettrostatica F o del campo E. Stabilita la posizione iniziale del punto P all’interno del sistema, tramite le sue coordinate, risulta individuato in modo univoco il “vettore posizione” cioè quel vettore caratterizzato da un modulo pari alla distanza r dal punto all’origine:

2P

2P

2P zyxr

E da un’inclinazione stabilita dalla conoscenza dei coseni direttori, cioè dagli angoli formati dal vettore con gli assi principali X, Y e Z:

2P

2P

2P

PP

zyx

x

r

xcos

D

2P

2P

2P

PP

zyx

y

r

ycos

E

2P

2P

2P

PP

zyx

z

r

zcos

J

Di conseguenza anche il vettore campo elettrico E, giacendo sulla direzione del vettore posizione, risulta inclinato degli stessi angoli. Facciamo un esempio, supponendo che il punto P sia caratterizzato dalle seguenti coordinate:

m1x m1y m1z

La distanza tra il punto e l’origine del sistema, è data da:

m732,13111r 222

170

I coseni direttori del vettore posizione saranno:

577,0

m732,1

m1

zyx

m1

r

xcos

2P

2P

2P

P

D q D 77,54

577,0

m732,1

m1

zyx

m1

r

ycos

2P

2P

2P

P

E q D 77,54

577,0

m732,1

m1

zyx

m1

r

zcos

2P

2P

2P

P

J q D 77,54

Cosicché il vettore posizione si può indicare anche in forma vettoriale come somma dei tre vettori componenti:

kcosrjcosricosrr JED

zyx rrrr

Ove con k;j;i sono indicati vettori unitari (versori) paralleli rispettivamente all’asse X, all’asse Y e all’asse Z. Il campo elettrico provocato da una carica positiva Q nel punto considerato avrà un modulo pari a:

¸¹

ᬩ

§

HS ¸

¹

ᬩ

§

HS

HS

4

Q33,0

4

Q

3

1

r

1

4

QE

22

E potrà essere considerato come risultante dalla somma vettoriale delle tre componenti parallele ai rispettivi assi:

kcosEjcosEicosEEEEE ZYX JED Un altro esempio, supponendo che il punto P sia caratterizzato da coordinate:

m2x m3y m1z

La distanza tra il punto e l’origine del sistema, è data da:

m74,314132r 222 I coseni direttori del vettore posizione saranno:

53,0

m74,3

m2

zyx

m2

r

xcos

2P

2P

2P

P

D q D 99,57

80,0

m732,1

m3

zyx

m3

r

ycos

2P

2P

2P

P

E q E 97,36

577,0

m732,1

m1

zyx

m1

r

zcos

2P

2P

2P

P

J q J 76,54

171

Cosicché il vettore posizione si può indicare anche in forma vettoriale come somma dei tre vettori componenti:

kcosrjcosricosrr JED Il campo elettrico provocato da una carica positiva Q nel punto considerato avrà un modulo pari a:

¸¹

ᬩ

§

HS ¸

¹

ᬩ

§

HS

HS

4

Q071,0

4

Q

14

1

r

1

4

QE

22

E potrà essere considerato come risultante dalla somma vettoriale delle tre componenti parallele ai rispettivi assi:

kcosEjcosEicosEEEEE ZYX JED

q

r

Q+

+

X

Y

Z

x

y

z

x y

DE

J

P

Figura 75 – VETTORE POSIZIONE ED ANGOLI DI DIREZIONE

Se il punto è collocato su uno degli assi di riferimento, ad esempio l’asse X, le coordinate y e z del punto sono automaticamente nulle. Ciò significa che è stata scelta la linea di flusso coincidente con l’asse principale X e che la traiettoria di una particella q, carica positivamente e libera di muoversi per l’azione del campo, non potrà discostarsi dall’asse X. La posizione iniziale della carica è stabilita dalla coordinata Ax che coincide dunque – in quanto nulle le altre due – con la distanza r.

172

Il valore iniziale della forza e del campo elettrostatico sono rispettivamente:

2A

F2A

Ax

K

r

1

4

qQF

HS

2A

E2A

F2A

Ax

K

xq

K

r

1

4

QE

HS

D’altra parte, sia la forza elettrostatica che il campo elettrico, se si tiene conto dello spostamento lungo l’asse X per effetto dell’applicazione della forza stessa, sono inversamente proporzionali al quadrato della distanza dal centro, quindi, mano a mano che la particella carica positivamente si sposta verso destra, l’intensità della forza e del campo diminuiscono:

2F

x

KxF

2E

x

KxE

Sia la forza che il campo risultano infinitamente grandi per un punto collocato nel centro ed infinitamente piccoli per un punto collocato ad una distanza infinita dal centro. La variazione delle due grandezze, relativamente alla distanza dal centro, è quindi di tipo iperbolico. Da notare che l’area compresa tra l’asse verticale a destra, l’asse orizzontale in basso e la linea

curva rappresentativa della funzione 2x

1 in alto, è maggiormente concentrata nella zona compresa

tra l’asse verticale (valore di r oppure x uguale a zero) e una retta verticale indicante un’ascissa di 1-1,4. Inoltre, dal grafico affiancato, si intende che l’area sottostante la curva rappresenta il lavoro eseguito da una forza elettrostatica di un campo radiale, espresso in Joule.

0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0 1 ,2 1 ,4 1 ,6 1 ,8 2 ,0 2 ,62 ,42 ,2 3 ,43 ,23 ,02 ,8

2 5 ,0 0

6 ,2 5

2 ,7 8

1 ,5 6

r

1 /r 2

1 ,5 6

2 ,7 8

6 ,2 5

1 ,40 ,60 ,40 ,2 1 ,21 ,00 ,8 2 ,22 ,01 ,81 ,6 2 ,8 3 ,02 ,4 2 ,6 r3 ,2 3 ,4

F (r )2 5 ,0 0

0 ,3 -1 ,6W

Figura 76 – FUNZIONE 1/X2 E GRAFICO DI FORZA ELETTROSTATICA RADIALE

173

Tenendo conto che la forza e il conseguente spostamento della carica sono paralleli, si ricava il lavoro applicato con la relazione generale:

SFcosSFW EE D

Che deve essere in questo caso modificata per tenere conto del fatto che la forza è variabile con la distanza:

SxFcosSFW EE D

Per il calcolo del lavoro eseguito dalla forza elettrostatica che sposta la carica da un punto A ad un punto B del campo – spostamento AB – è necessario suddividere il segmento AB in un numero elevato N di segmenti piccolissimi per ognuno dei quali si può calcolare il lavoro tenendo conto della forza elettrostatica media agente.

1 2 3 4 N

A B

x A

x B

S

Q + +q q+

Figura 77 – DIFFERENZA D’ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA (SOMMATORIA)

Per uno degli N segmenti, di lunghezza:

N

ABS '

Il lavoro è determinato dalla seguente relazione:

iii SFW ' ' Con:

1n1ni FFF Media geometrica tra la forza agente nel punto (n-1) e la forza agente nel punto (n+1)

174

i Tratto di segmento considerato. Il numero

complessivo di tratti è N, per cui l’indice i è variabile partendo dal numero 1 sino al numero N

2

1n

1nx

1

4

qQF

¸¹

ᬩ

§

HS

2

1n

11nx

1

4

qQF

¸¹

ᬩ

§

HS

Per cui si ottiene:

i1n1n

i21n

21n

1n1ni Sxx

1

4

qQS

xx

1

4

qQSFFW '

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

HS

'

HS

' '

D’altra parte ogni tratto di segmento iS' è determinato dalla differenza tra la distanza dal centro del suo punto terminale e la distanza sempre dal centro del suo punto iniziale. Genericamente dunque:

1n1ni xxS '

Quindi:

1n1n1n1n

i1n1n

i xxxx

1

4

qQS

xx

1

4

qQW

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

HS

'

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

HS

'

Da cui:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

HS

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

HS

'

1n1n1n1n

1n1ni

x

1

x

1

4

qQ

xx

xx

4

qQW

La stessa formula vale per tutti gli N tratti in cui è stato suddiviso il segmento AB cioè lo spostamento complessivo.

Il lavoro che la forza applica alla carica in movimento sulla linea di forza (coincidente con l’asse principale X) e per lo spostamento dal punto A al punto B, è dunque la sommatoria, estesa agli N tratti, dei lavori elementari iW' , cioè:

¦ '

o

Ni

1iiBA WW

¸¸¹

·¨¨©

§

HS

¸

¸¹

·¨¨©

§

HS

¸

¸¹

·¨¨©

§

HS

¸

¹

ᬩ

§

HS

o

B1N1N2N322ABA

x

1

x

1

4

qQ............

x

1

x

1

4

qQ

x

1

x

1

4

qQ

x

1

x

1

4

qQW

¸¹

ᬩ

§

HS

o

B1N1N43322ABA

x

1

x

1

x

1....

x

1

x

1

x

1

x

1

x

1

x

1

4

qQW

¸¹

ᬩ

§

HS

o

BABA

x

1

x

1

4

qQW

175

Se il punto B si trova infinitamente distante dal centro del sistema (ciò equivale ad immaginare che il campo elettrico continui ad esercitare la sua azione sulla carica sino a spingerla infinitamente distante), il secondo termine nella parentesi si annulla ed il lavoro è quindi dato da:

AAA

x

1

4

qQ1

x

1

4

qQW

HS

¸

¹

ᬩ

§

f

HS

fo

In termini dimensionali:

AAA

x

1

4

qQWW

HS

fo JmN

m

1

C

mNC

m

1

mN

C

CC2

22

2

2

L’espressione del lavoro (o energia) applicato dal campo elettrico alla carica positiva per trasportarla dal punto A iniziale sino ai limiti del campo, cioè all’infinito, è l’ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA del campo radiale nel punto A. Essa è indicata brevemente con AW . Un’espressione analoga a quella relativa al punto A deve necessariamente valere anche per un punto qualsiasi del campo, ad esempio un punto B. Per tale punto l’ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA vale:

BBBB

x

1

4

qQ1

x

1

4

qQWW

HS

¸

¹

ᬩ

§

f

HS

fo

DIFFERENZA DI ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA DEL CAMPO RADIALE Se ora si immagina di permettere al campo elettrico di spostare la carica positiva dal punto B sino ai limiti del campo, di fornire cioè alla carica, una quantità d’energia pari all’energia potenziale elettrostatica BW , si perviene ad una situazione non più modificabile dalla sola azione del campo. In altre parole:

x Quando la carica, partendo dal punto B, giunge ai limiti del campo, la forza elettrica s’annulla e non risulta possibile l’inversione dello spostamento se non con l’intervento di una o più forze agenti dall’esterno in senso contrario all’azione della forza elettrica.

Per riportare la carica dai limiti del campo nuovamente al punto B di partenza, occorrerà una quantità d’energia esterna pari naturalmente alla quantità d’energia BW fornita dal campo. Tale quantità d’energia è naturalmente di segno opposto all’energia potenziale elettrostatica. Supponiamo ora di collocare la carica nel punto A e di permettere al campo di spostare la carica all’infinito fornendo ad essa l’energia potenziale elettrostatica AW . Spostiamo poi la carica dall’infinito sino ad un punto B fornendo dall’esterno una quantità d’energia pari all’energia potenziale elettrostatica che fornirebbe il campo per lo spostamento contrario. Ora la carica è nel punto B. La quantità netta d’energia scambiata tra la particella, il campo elettrico e l’ambiente esterno risulta evidentemente pari alla somma algebrica del lavoro positivo del campo ed il lavoro negativo dell’ambiente esterno, cioè:

176

BABABA WWWWWW fofooffo

Tale differenza d’energia potenziale elettrostatica quantifica il lavoro applicato dal campo per spostare la particella dal punto A al punto B:

BABA WWW o L’ENERGIA POTENZIALE INFINITESIMA E LE REGOLE D’INTEGRAZIONE Se si ripete il procedimento con il quale si è determinata l’energia potenziale elettrostatica di un campo radiale supponendo di suddividere lo spostamento AB in un numero infinito di segmenti, ognuno di lunghezza infinitamente piccola dS , non ha più significato tenere conto della forza elettrostatica media relativa ad ogni segmento. La forza elettrostatica media coincide, infatti, con la forza elettrostatica relativa al punto che si considera e occorrerà quindi passare dalla teoria degli incrementi finiti S' a quella degli incrementi infinitesimi dS . In altre parole occorrerà sostituire, per il calcolo dell’energia potenziale, la sommatoria di termini finiti con una sommatoria di termini infinitesimi cioè con un integrale, esteso allo spostamento AB, dei prodotti:

dSsFdW Cioè:

dSsFWB

A

XS

XSBA ³

o

Il risultato dell’integrazione rappresenta, in termini esatti, l’area sottostante la curva iperbolica della variazione della forza elettrostatica in funzione della distanza dalla carica generatrice e compresa tra l’ascissa del punto A – a destra – e quella del punto B – a sinistra. Tale area rappresenta a sua volta il lavoro applicato dal campo per spostare la carica dal punto A al punto B cioè, la differenza di energia potenziale elettrostatica. Sostituendo nell’integrale la funzione sF o xF si ottiene:

³SH

³ ¸

¹

ᬩ

§

HS

³

o

B

A

B

A

B

A

X

X2

X

X2

XS

XSBA

x

dx

4

qQdx

x

1

4

qQdSsFW

Il risultato dell’integrale, tra i limiti desiderati Ax e Bx , è il seguente:

¸¹

ᬩ

§ »

¼

º«¬

ª¸¹

ᬩ

§ »¼

º«¬

ª ³

BAAB

X

X

X

X2 x

1

x

1

x

1

x

1

x

1

x

dx B

A

B

A

E il lavoro quindi risulta uguale a quello già determinato con gli incrementi finiti e la sommatoria:

177

¸¹

ᬩ

§

HS

³

HS

o

BA

X

X2BA

x

1

x

1

4

qQ

x

dx

4

qQW

B

A

L’energia potenziale elettrostatica del punto A e del punto B è quindi espressa dalle stesse relazioni precedenti.

ALCUNE OSSERVAZIONI CIRCA IL CAMPO ELETTRICO RADIALE:

Tenendo conto che ogni punto, appartenente ad una sfera di raggio R, è situato alla stessa distanza dal centro e che ogni linea di flusso deve essere trattata come nel caso precedente è stata trattata una linea di flusso coincidente con l’asse X, si può concludere che l’energia potenziale elettrostatica W è uguale per tutti i punti della sfera.

Nel caso in cui la carica Q - che genera il campo - e le cariche q esploratrici – che lo

subiscono - sono positive, i punti appartenenti a sfere di raggio minore sono caratterizzati da una maggiore energia potenziale elettrostatica rispetto a quelli su sfere di raggio maggiore.

In un campo elettrico radiale generato da una carica positiva, le cariche esploratrici positive

sono costrette a spostarsi da punti più vicini al centro verso punti più distanti. Le cariche negative, come ad esempio gli elettroni, si muovono da punti più distanti – a minore energia potenziale – verso punti più vicini, a maggiore energia.

L’ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA NON DIPENDE DAL PERCORSO MA SOLO

DALLA POSIZIONE DEL PUNTO INIZIALE E FINALE DELLO SPOSTAMENTO.

CAMPO DI FORZE CONSERVATIVO Si intende ora dimostrare che il lavoro applicato dalle forze elettrostatiche ad una particella carica che si sposta da un punto A ad un punto B del campo, non dipende dal tipo di percorso ma solo dalla posizione iniziale e finale dello spostamento. Deve quindi esistere una particolare funzione attraverso la quale si perviene alla determinazione dell’energia potenziale elettrostatica mediante la sola conoscenza delle coordinate del punto iniziale e finale. Tale funzione non è quindi una funzione di linea ma di punto. Nota: In meccanica il lavoro svolto dalla forza gravitazionale su un corpo in caduta verticale o lungo un piano inclinato privo d’attrito, ha il medesimo valore se le altezze di caduta sono le stesse. Si considera quindi un campo elettrico radiale generato da una carica positiva Q posizionata nell’origine di un sistema cartesiano tridimensionale e si suppone di prendere in esame i soli punti collocati nel piano X-Y per i quali è nulla la coordinata Z. Il problema si semplifica in quanto è possibile rappresentarlo su un piano utilizzando circonferenze piuttosto che sfere. Una carica positiva q è inizialmente posizionata in un punto A appartenente all’asse X per il quale è nulla la coordinata Y. Tale punto è quindi caratterizzato dalle coordinate:

178

¯®­

oo

0y

xxA A

Si suppone ora che la carica possa spostarsi obliquamente lungo una linea retta sino a raggiungere una nuova posizione B caratterizzata dalle coordinate:

¯®­

oo

B

B

yy

xxB

Durante lo spostamento agisce, sulla particella carica q, la forza elettrostatica generata da Q che si trova nell’origine degli assi.

A1 2 3 4

1

2

3

4

B

5C

D

E

J D E

J

rA

Br

X

Y

F ( x )

F ( B )

x

Bry

Q+

Figura 78 – LAVORO DI UNA FORZA ELETTROSTATICA PER LO SPOSTAMENTO AB Occorre innanzi tutto trovare una relazione tra le coordinate dei punti della traiettoria cioè del segmento AB. Per far ciò è necessario determinare l’equazione della retta passante per i suddetti punti utilizzando, ad esempio, la regola di similitudine tra triangoli:

A

A

AB

AB

xx

yy

xx

yy

AAB

AB

xx

y

xx

yym

Axxmy Con:

D

tan

xx

yym

AB

AB Coefficiente angolare della retta

179

Per dare concretezza al problema teniamo conto delle seguenti coordinate:

¯®­

oo

0y

m2xA

A

A

¯®­

oo

m2y

m4xB

B

B

Il coefficiente angolare vale dunque:

124

02m

Mentre l’angolo formato dal segmento con l’asse X ha un valore di: q D 45mtan 1

L’equazione della retta cui il segmento appartiene è quindi numericamente espressa da:

Axx1y

Axxy 2xy Con i limiti imposti dal segmento che interessa:

2x t 4x d

Nel contempo per ogni punto appartenente al segmento è possibile individuare il vettore forza elettrica generata da Q sulla carica q. 1. Per quanto riguarda l’intensità della forza:

2xEr

1

4

qQF

HS

¸¹

ᬩ

§

HS

22xEyx

1

4

qQF

»¼

º«¬

ª

HS

22xE2xx

1

4

qQF

»¼

º«¬

ª

HS

4x4xx

1

4

qQF

22xE

»¼

º«¬

ª

HS

4x4x2

1

4

qQF

2xE

»¼

º«¬

ª

HS

2x2x

1

8

qQF

2xE

Con:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

HS

»¼

º«¬

ª

HS

2A

Ax

1

4

qQ

2

1

8

qQF per 2x

180

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

HS

¸

¹

ᬩ

§

HS

¸

¹

ᬩ

§

HS

2B

2B

Byx

1

4

qQ

20

1

4

qQ

10

1

8

qQF

2. Per quanto riguarda l’inclinazione della forza rispetto all’asse orizzontale: xcosr E

4x4x2

x

4x4xx

x

2xx

x

yx

x

r

xcos

2222222

E

Con: Per 2x : 1cos E q E 0 Per 4x

894,020

4

444162

4cos

E q E 56,26

L’inclinazione della forza elettrostatica, in ogni punto della traiettoria rappresentata dal segmento AB, rispetto alla direzione orizzontale dell’asse X, è compresa tra il valore nullo ed il valore massimo di 26,56°.

L’angolo formato dalla direzione della forza elettrostatica con il segmento AB è quindi la differenza tra l’angolo costante formato dal segmento con l’asse X e l’angolo variabile formato dalla forza con l’asse X:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

J q

4x4x2

xcos45x

2

1

Con un massimo per il punto A ed un minimo per il punto B: 1. Per 2xx A

q qq q ¸¸

¹

·

¨¨

©

§

J q 450451cos45

42422

2cos452 1

2

1

2. Per 4xx B

q qq q ¸¸

¹

·

¨¨

©

§

J q 44,1856,2645894,0cos45

44442

4cos454 1

2

1

Il lavoro applicato dalla forza elettrostatica alla carica è dunque determinato dall’integrale, per x variabile da + 2 a + 4, del prodotto:

JD

³ J³ o coscos

dxxFcosdSxFW BA

JD

³ J³ o coscos

dxxFcosdSxFW BA

q

»»¼

º

««¬

ª

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

q³ ¸

¹

ᬩ

§

HS

o45cos

dx

4x4x2

xcos45cos

4x4x2

1

4

qQW

2

14

22BA

181

45cos

dx

4x4x2

xcos45cos

4x4x2

1

4

qQW

2

14

22BA

»»¼

º

««¬

ª

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

q³ ¸

¹

ᬩ

§

HS

o

Risolvendo si ottiene:

HS

o

4

qQ276,0W BA

D’altra parte, per quanto detto precedentemente, la differenza d’energia potenziale elettrostatica tra due punti situati sulla stessa linea di forza, il primo ad una distanza di 2 m dal centro ed il secondo ad una distanza pari al raggio della circonferenza passate per B, vale:

HS

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

HS

¸

¹

ᬩ

§

HS

4

qQ276,0

24

1

2

1

4

qQ

r

1

x

1

4

qQW

22BA

AB

Per cui, alla fine, la quantità di lavoro BAW o applicata dal campo radiale per spostare la carica lungo il segmento AB è uguale a quella che dovrebbe fornire per provocarne lo spostamento su una linea di flusso sino ad un punto situato sulla stessa circonferenza (sfera) passante per B. In questo senso l’azione della forza elettrostatica è del tutto simile all’azione di un campo gravitazionale agente in verticale o lungo un piano inclinato. E’ pur vero che il punto B, terminale del segmento, non coincide con il punto C, terminale della linea di flusso passante per A, ma occorre tenere conto del fatto che il lavoro della forza elettrostatica su una traiettoria circolare dal punto C al punto B è necessariamente nullo in quanto forza e spostamento sono perpendicolari. ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA PER UNO SPOSTAMENTO QUALSIASI Quanto dimostrato per uno spostamento della carica su un segmento che interseca le linee di forza radiali, deve necessariamente essere valido anche nel caso si tratti di un percorso qualsiasi, curvilineo o rettilineo, tra gli stessi due punti. Infatti, anche una linea curva può essere immaginata come successione continua di segmenti di lunghezza infinitesima per ognuno dei quali vale la dimostrazione precedente. Si può quindi immaginare che la carica possa percorrere, in modo indifferente nei riguardi dell’energia prelevata dal campo (o ceduta), o un tratto di segmento inclinato oppure prima un tratto un tratto della linea di flusso caratteristica della posizione iniziale e poi un tratto di circonferenza (sfera) sino a raggiungere il successivo punto della curva. L’energia prelevata o ceduta per muoversi lungo un tratto di segmento è uguale a quella prelevata o ceduta lungo per muoversi sul tratto di linea di flusso. L’energia per il movimento sui tratti di circonferenza è invece nulla per quanto detto precedentemente. In altre parole:

x L’energia fornita dal campo per il movimento dal punto A al punto B lungo la linea curva è uguale a quella che il campo fornirebbe se il movimento da A a B fosse una successione continua di tratti di linea di flusso ed archi di circonferenza oppure un tratto di linea di flusso sino al punto C e l’arco di circonferenza da C ad B.

x La quantità d’energia sarà dunque, in ogni caso, pari alla differenza d’energia potenziale:

¸¹

ᬩ

§

HS

ooo

BAZAGZIGBCABA

r

1

r

1

4

qQWWW

182

+X

CA

B

F E

Y

Figura 79 – ENERGIA POTENZIALE PER PERCORSO QUALSIASI ENERGIA POTENZIALE PER UN PERCORSO CHIUSO Se una particella carica, ad esempio positivamente, è inserita in un campo elettrico E ed è costretta a percorrere un qualsiasi percorso chiuso che inizia e termina nello stesso punto A anche passando per un punto B, lo scambio netto di energia tra la particella, il campo elettrostatico e l’ambiente esterno è NULLO. In sintesi:

¸¹

ᬩ

§

HS

¸

¹

ᬩ

§

HS

³ o

oo

BACACA1

1BABA

r

1

r

1

4

qQ

r

1

r

1

4

qQWdssFW

¸¹

ᬩ

§

HS

¸

¹

ᬩ

§

HS

³ o

oo

BACACA2

2BABA

r

1

r

1

4

qQ

r

1

r

1

4

qQWdssFW

¸¹

ᬩ

§

HS

¸

¹

ᬩ

§

HS

³ o

oo

BACACA3

3BABA

r

1

r

1

4

qQ

r

1

r

1

4

qQWdssFW

0WWWWdssFW BABAA2BBA

A2B1AA2B1A ³ ooooooooo

0WWWWdssFW BABAA3BBAA3B1A

A3B1A ³ ooooooooo

183

+X

CA

B

F E

Y

1

23

rA Cr B= r

Figura 80 – PERCORSO CHIUSO

ENERGIA POTENZIALE IN UN CAMPO GENERATO DA PIU’ CARICHE PUNTIFORMI In un punto P di un campo elettrico generato dall’azione contemporanea di cariche puntiformi 1Q ,

2Q , ,Q 3 ………, NQ , l’energia potenziale elettrostatica è pari alla somma delle energie potenziali 1PW , 2PW , 3PW , ……. , NPW generate singolarmente, nello stesso punto, da ogni carica Q. Anche in questo caso, per la dimostrazione, si ricorre alla considerazione che il lavoro effettuato dalla forza elettrica non dipende dal tipo di percorso ma solo dalla posizione iniziale e finale dello spostamento ed è nullo per qualsiasi spostamento perpendicolare alla forza. Supponiamo che il campo elettrico sia generato da tre cariche puntiformi 1Q , 2Q , ,Q 3 ad esempio positive e consideriamo una carica esploratrice q , anch’essa positiva, posta in un punto qualsiasi del campo. Supponiamo inoltre che le cariche generatrici mantengano, in qualche modo, la posizione iniziale, cioè che le azioni elettrostatiche reciprocamente scambiate siano annullate da altrettanti vincoli fissi. La forza elettrostatica sulla carica esploratrice nel punto P sarà la somma vettoriale delle tre forze che le cariche Q esercitano singolarmente.

321E FFFF

Per effetto della risultante delle forze, la carica esploratrice si sposterà dal punto P verso un altro punto A secondo una traiettoria PA avente la direzione della risultante. Ma lo spostamento modifica la posizione del punto e, di conseguenza, il modulo e la direzione delle tre forze componenti e della nuova risultante costringendo così la carica esploratrice a spostarsi nuovamente in direzione diversa dalla precedente.

184

Sostanzialmente l’azione contemporanea delle tre cariche generatrici avrà l’effetto di spostare la carica esploratrice sino all’infinito – limiti del campo – su una traiettoria curva dipendente dalla posizione iniziale del punto, dalla posizione e grandezza delle tre cariche. Se si considera quanto detto precedentemente a proposito di un unico campo radiale - il lavoro effettuato dal campo per spostare la carica dal punto iniziale ad un punto infinitamente distante è indipendente dal percorso e dal valore della forza durante lo spostamento ed il suo valore è l’energia potenziale elettrostatica PW tipica del punto P – allora il lavoro effettuato dalle cariche generatrici non può che essere la somma algebrica (si tenga presente che il lavoro o energia è una grandezza scalare) del lavoro effettuato da ogni campo per spostare la particella dal punto P iniziale sino all’infinito lungo il percorso provocato dall’azione contemporanea delle tre cariche.

Quindi: 3P2P1PP WWWW

Con:

1

11P

r

1

4

qQW

HS

2

22P

r

1

4

qQW

HS

3

33P

r

1

4

qQW

HS

Ove con r sono intese le distanze iniziali tra il punto e le relative cariche generatrici.

Se, al contrario, anche le tre cariche generatrici sono sensibili alle azioni elettrostatiche reciproche, cioè, se anche ad esse sono consentiti liberi spostamenti, allora si può definire energia potenziale del sistema la somma delle quantità di lavoro eseguite dal sistema per spostare tutte le cariche dalla posizione iniziale sino ai limiti del campo, cioè, all’infinito. Al lavoro fatto dalle tre cariche per spostare la carica esploratrice sono dunque da aggiungere:

x Il lavoro fatto da due cariche, ad esempio 2Q e 3Q per spostare all’infinito 1Q :

31

13

21

12132

r

1

4

QQ

r

1

4

QQW

SH

HS

x Il lavoro fatto per spostare l’ultima carica, ad esempio Q 2 all’infinito:

23

2323

r

1

4

QQW

HS

L’ultima carica 3Q , alla fine, essendo le altre già all’infinito, può essere considerata fissa in quanto non risente più di alcun campo elettrico. L’energia potenziale complessiva del sistema di cariche considerato è dunque dato da:

23132P WWWW

¸¹

ᬩ

§

HS

23

23

31

13

21

21

3

3

2

2

1

1

r

QQ

r

QQ

r

QQ

r

Qq

r

Qq

r

Qq

4

1W

185

IL POTENZIALE ELETTROSTATICO Occorre innanzi tutto far presente alcuni concetti che sono stati, sino ad ora, volutamente tralasciati per dar spazio alle relazioni fondamentali dell’elettrostatica, alle dimostrazioni e alla parte applicativa, numerica e simbolica. La trattazione delle argomentazioni sino ad ora espresse ha avuto origine dalla constatazione che una qualsiasi distribuzione di carica elettrica Q – puntiforme, distribuita linearmente o su una superficie oppure entro un volume – è causa della comparsa di un’intensa forza, di tipo elettrostatico, che è stata definita “Forza elettrica”. La forza elettrica si manifesta solo nel caso in cui la distribuzione principale di cariche (carica generatrice) interagisce con una o più particelle anch’esse dotate delle stesse caratteristiche, cioè, caricate elettricamente con lo stesso segno o segno diverso. In questo senso, la forza elettrica non dipende quindi dalla sola carica generatrice, ma è variabile anche in funzione della grandezza della stessa carica che la subisce: la carica esploratrice. Allo scopo di rendere meno laboriosi i calcoli e, nello stesso tempo, svincolare e rendere indipendente il concetto di forza dalla presenza e dalla grandezza della carica che la subisce, è poi stata definita una nuova grandezza vettoriale in grado di descrivere le caratteristiche e le modificazioni della regione di spazio che contiene la distribuzione di cariche generatrici. Tale grandezza, denominata “Campo elettrico o elettrostatico”, ha quindi caratteristiche più generali rispetto alla grandezza “Forza elettrica” in quanto prende in esame le modificazioni dello spazio per il solo effetto delle cariche generatrici senza coinvolgimento delle cariche esploratrici. Il vantaggio di trattare una grandezza più generale, come il campo elettrico, è parzialmente ridotto dalle notevoli complicazioni che insorgono per i calcoli, quando sono coinvolte grandezze vettoriali piuttosto che scalari ed è anche per questo motivo che, ove possibile, risulta più vantaggioso utilizzare la definizione di una nuova grandezza, questa volta di tipo scalare, denominata “Flusso del campo”. Si può quindi concludere affermando che le modificazioni della regione di spazio circostante una distribuzione qualsiasi di cariche elettriche sono identificate, quando si è a conoscenza di una funzione di coordinate spaziali in grado di restituire, elaborando i valori delle coordinate stesse, una quantità scalare denominata “Flusso del campo” ed indicata con il simbolo ) . D’altra parte, un ragionamento analogo può essere preso d’esempio anche nei riguardi dell’ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA associata ad un punto P qualsiasi appartenente alla regione di spazio contenente le cariche generatrici. Essa, pur presentando tutti i vantaggi tipici delle grandezze scalari, è pur sempre determinata solo se si conoscono i parametri che ne consentono il calcolo, cioè: la forza elettrica, lo spostamento e la loro inclinazione reciproca. Il problema sembra quindi ritornare al punto di partenza ove una grandezza scalare è definita solo dalla conoscenza delle grandezze vettoriali che la compongono con tutte le complicazioni annesse e connesse. D’altra parte occorre dire che l’energia potenziale elettrostatica, oltre ad essere una grandezza scalare, ha il vantaggio di essere il risultato dell’azione di un campo di forze conservativo per il quale, come si è visto, deve esistere una funzione indipendente sia dallo spostamento che

186

dall’inclinazione reciproca tra lo spostamento e la forza applicata e i cui argomenti sono individuati nelle sole coordinate spaziali delle estremità dello spostamento stesso. Se la conoscenza della funzione “flusso del campo” ci permette di risalire al calcolo della forza e se, per mezzo della definizione di campo conservativo, siamo in grado di elaborare la funzione ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA, allora rimane, come unica variabile, la grandezza della carica esploratrice. Cioè, in altre parole:

L’energia potenziale elettrostatica dipende oltre che dalle cariche generatrici e dalla posizione del punto all’interno del campo, anche dalla grandezza della carica che subisce il campo stesso. Per un campo radiale si è, infatti, dimostrato che l’energia potenziale è definita da:

PP

r

1

4

qQW

HS

Se ora si ricorda la definizione di campo elettrico E, procedendo poi alla sostituzione nella formula, si ottiene:

2P

EP

r

1

4

Q

q

FE

HS

P2P

P2P

2P

2P

PP rq

r4

Qr

r4

qQ

r

r

r

1

4

qQW ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

HS ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

HS

¸

¹

ᬩ

§

HS

PPP2P

P rqErqr4

QW ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

HS

Se poi si tiene presente la definizione di flusso del vettore campo e la legge di Gauss ad esso associata:

H )

QSE PPP

2P

Pr4

Q

SE

SH

)

Allora l’energia potenziale elettrostatica assume la forma:

pPPP2P

P rqS

rqErqr4

QW

) ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

HS

Come si dovrebbe notare esaminando l’espressione dell’energia potenziale relativa ad un punto P interno ad un campo radiale, la funzione contiene variabili esclusivamente dipendenti dalla posizione del punto come la distanza ed il flusso ed è dipendente dal valore della carica q. Tale difficoltà può quindi essere risolta utilizzando un ragionamento perfettamente simile a quello utilizzato per derivare il campo elettrico dalla forza elettrica annullando la dipendenza dalla carica esploratrice. Si giunge in questo modo alla definizione di una nuova grandezza di FONDAMENTALE IMPORTANZA per l’elettrostatica, l’elettrodinamica e per tutti gli argomenti correlati.

187

Tale nuova grandezza - il POTENZIALE ELETTRICO O ELETTROSTATICO – è di tipo scalare ed è una funzione che dipende unicamente dalle posizioni dei punti e dal tipo e grandezza delle cariche generatrici. IL POTENZIALE ELETTRICO Si consideri la presenza di un campo elettrico radiale generato da una carica puntiforme Q positiva ed un sistema di riferimento cartesiano con la carica nel punto d’origine O. Una delle infinite linee di forza del campo – tutte uscenti dalla sorgente in O – è proprio l’asse X sul quale si immagina di collocare, in un punto A distante Px dall’origine, la solita carica esploratrice q , ad esempio positiva. Per effetto della forza AF o del conseguente campo elettrico repulsivo AE ed in assenza di altre forze di diversa origine, la carica esploratrice sarà spostata, in moto accelerato non uniforme, lungo l’asse X, dalla posizione iniziale Ax sino alla posizione finale corrispondente ai limiti del campo e caratterizzata da una distanza dal centro infinitamente grande f x . Ci si potrebbe domandare che cosa succede alla carica, quando, alla fine, giunge in una posizione infinitamente distante cui corrisponde evidentemente una forza repulsiva nulla ed una velocità infinitamente elevata per effetto di un’accelerazione sempre decrescente ma sempre positiva. Ma questo è un altro problema e non si desidera per nulla entrare in particolari prendendo in considerazione l’infinito. Si tenga presente però che le forze elettrostatiche, al pari delle gravitazionali, sono rapidamente decrescenti con la distanza al quadrato. Per quanto visto precedentemente, per lo spostamento della carica q all’infinito è necessaria l’erogazione di una quantità di lavoro, da parte del campo elettrico, pari all’energia potenziale elettrostatica caratteristica del punto A. Tale quantità d’energia è stata determinata integrando tra i limiti indicati la funzione ottenuta dal prodotto della forza per lo spostamento ed il suo valore (in Joule) è:

A

qAx

1

4

qQW

HS

Come si nota l’energia potenziale elettrostatica di un campo radiale è funzione della carica Q, della carica q e della distanza iniziale del punto dalla carica Q. Potendo naturalmente non tener conto delle costanti al denominatore. Ora supponiamo di raddoppiare la carica esploratrice e ripetiamo tutto il ragionamento precedente. L’energia potenziale elettrostatica sarà evidentemente doppia rispetto alla precedente: Infatti:

qAA

q2A W2x

1

4

q2QW

HS

Potremmo ora triplicare la carica ottenendo ovviamente:

qAA

q3A W3x

1

4

q3QW

HS

Ovviamente l’energia potenziale elettrostatica aumenta in proporzione all’aumento della carica -diminuisce nello stesso modo se si diminuisce la carica - , mentre, è costante il rapporto tra l’energia e la relativa carica:

188

Kx

1

4

Q

q

W

A

qA

HS

K

x

1

4

Q

q2

W

A

q2A

HS

K

x

1

4

Q

q3

W

A

q3A

HS

Il rapporto tra l’energia potenziale caratteristica del punto A del campo e la grandezza della carica esploratrice cui l’energia si riferisce, è la nuova grandezza fisica definita “POTENZIALE ELETTROSTATICO”. Il POTENZIALE è uno scalare e la funzione che lo determina è una funzione di punto e non di linea come d’altra parte richiede il campo conservativo. La simbologia da utilizzarsi, relativamente al punto A e al campo considerato, è la seguente:

q

WV A

A ¸

¹

ᬩ

§

C

JV A

A

Ar

1

4

QV

HS

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

m

1

mN

C

CV

2

2A ¸¹

ᬩ

§

C

mNV A

Il potenziale elettrico relativo al punto A è misurato numericamente dalla quantità di lavoro, espressa in JOULE, (positivo o negativo) effettuato dalle forze elettrostatiche del campo per trasportare l’unità positiva di carica, espressa in COULOMB, sino ai limiti del campo. Per quanto attiene la definizione dell’unità di misura risultante è meglio far riferimento alla differenza di potenziale come più avanti descritto. Allo stesso modo si deduce che per un punto B, appartenente alla stessa linea di forza e collocato ad una distanza Bx dal centro oppure su una sfera di raggio Bx , il POTENZIALE deve valere:

q

WV B

B

B

Br

1

4

QV

HS

189

DIFFERENZA DI POTENZIALE Una volta stabilito che il potenziale AV di un punto A, appartenente ad un campo elettrico E, è dato dal rapporto tra l’energia potenziale AW del campo in quel punto e la grandezza della carica esploratrice q e che il valore del potenziale è indipendente dalla grandezza della carica q, è necessario ribadire quanto dimostrato precedentemente a proposito dell’energia potenziale relativa ad un percorso qualsiasi seguito dalla carica per passare dal punto A ad un punto B. Come si è visto, il lavoro eseguito dal campo durante il percorso AB è dato dalla differenza tra il lavoro necessario per spostare la carica dal punto A all’infinito ed il lavoro necessario per riportare la carica dall’infinito al punto B. Le due quantità di lavoro sono, rispettivamente, l’energia potenziale elettrostatica del punto A e l’energia potenziale elettrostatica del punto B cambiata di segno. Se il campo è generato da una carica positiva e se la carica esploratrice è anch’essa positiva, allora:

BABABAABAB WWWWWWWL fofooffo Come si è verificato, la differenza d’energia potenziale elettrostatica non dipende dal particolare percorso AB ma solo dalla posizione del punto iniziale e finale. Ad ulteriore conferma, supponiamo che le forze del campo elettrostatico applicate ad una carica q siano in grado di provocare uno spostamento AB su due percorsi diversi.

A

B

2

1

Figura 81 – Se, per ipotesi, il lavoro compiuto dal campo per spostare la carica da A a B sul percorso 1 è maggiore di quello relativo al percorso 2 e se si suppone che la carica segua il ciclo chiuso composto dai due percorsi partendo e ritornando nel punto A, allora si dovrebbe concludere:

2AB1AB WW ²

0WWWW 2AB1AB2BA1AB ²

190

L’ipotesi è evidentemente assurda in quanto ammette come risultato la creazione di energia che consentirebbe il moto perpetuo. Proviamo a pensare ad un esempio concreto come il movimento di un corpo all’interno del campo gravitazionale in assenza di forze dissipative quali l’attrito. Sia A la posizione iniziale del corpo individuata dall’altezza h da terra, B la posizione finale collocata al termine del segmento che individua l’ipotenusa di un triangolo rettangolo ABC.

A

B

1

2 Figura 82

Se ammettiamo di poter recuperare il lavoro eseguito dal campo gravitazione durante il percorso di caduta lungo l’ipotenusa AB (indicato con 1) e di poterlo poi nuovamente applicare al corpo facendogli percorrere il percorso 2 (base + altezza del triangolo) e se, per ipotesi assurda, il lavoro recuperato fosse maggiore di quello occorrente per riportare il corpo nella posizione A col percorso 2, allora l’applicazione integrale dell’energia recuperata sarebbe in grado di sollevarlo ad una altezza maggiore di quella da cui era partito (si tenga conto che, in assenza di forze dissipative, il tragitto orizzontale non richiede lavoro). Ciò è chiaramente in contrasto con la realtà in quanto, proseguendo con tale metodo, si otterrebbe la fuoriuscita dal campo gravitazionale solo a spese del campo e si violerebbe il principio di conservazione dell’energia meccanica. Se, invece, fosse minore ciò sarebbe ancora in contrasto con il principio di conservazione dell’energia in quanto occorrerebbe ammettere che la diminuzione di energia potenziale nel passaggio da A a B lungo il tragitto 1 non è compensata da un ugual aumento di energia cinetica ed il corpo non è più in grado, con il lavoro recuperato, di risalire nel punto A. Tornando quindi al problema iniziale e tenendo presente la definizione di potenziale elettrostatico si avrà:

BAAB WWW Con:

q

WV A

A qVW AA

191

q

WV B

B qVW BB

Da cui si ottiene:

qVqVW BAAB

BAAB

VVqW

q

WV AB

AB '

q

WV AB

AB DIFFERENZA DI POTENZIALE

Al pari dell’energia potenziale elettrostatica anche la differenza di potenziale

ABV è un grandezza

scalare che dipende solo dalla posizione dei punti all’interno campo e dalla carica che lo genera. IL MOVIMENTO DELLE CARICHE ELETTRICHE PER EFFETTO DEL POTENZIALE Il movimento di una o più particelle elettricamente cariche all’interno di un campo elettrico E per effetto della differenza di potenziale ABV , dipende dal segno della carica:

Le cariche esploratrici positive, all’interno di un campo generato da cariche positive, sono respinte dai punti interni del campo verso punti esterni. Tale movimento richiede cessione di lavoro da parte del campo perciò la differenza di energia potenziale elettrostatica ABW deve essere considerata positiva BA WW ² . Di conseguenza anche la differenza di potenziale è positiva ed il potenziale del punto A risulta maggiore di quello del punto B. Le cariche positive si muovono da punti a potenziale maggiore verso punti a potenziale minore.

Le cariche esploratrici negative, all’interno di un campo generato da cariche positive, sono attratte da punti esterni verso punti interni. Si muovono quindi da punti a potenziale minore verso punti a potenziale maggiore. N.B. Considerando che gli elettroni di conduzione sono negativi e che sono liberi di muoversi più o meno liberamente all’interno del materiale conduttore che li contiene, essi si sposteranno verso i punti del conduttore ove esiste un potenziale maggiore abbandonando i punti a potenziale minore. Allo stesso modo si dovranno muovere gli ioni negativi (anioni) presenti nelle soluzioni, mentre, all’opposto gli ioni positivi (cationi).

192

Q +q +

V BAV

V A > V B

Q +

V A

q -

BV

>AV BV

Figura 83 – MOTO DI CARICHE POSITIVE E NEGATIVE

UNITA’ DI MISURA DELLA DIFFERENZA DI POTENZIALE – IL VOLT L’unità di misura del potenziale V e, in particolar modo, della differenza di potenziale V' , cui è dato il nome di “ VOLT ” V rappresenta la differenza di potenziale esistente tra due punti di un campo elettrostatico tale da produrre, su una carica di 1 Coulomb, un lavoro di 1 Joule. Per cui:

q

WVVV AB

BA '

C1

mN1

Coulomb1

Joule1volt1V

'

La differenza di potenziale V' è anche denominata “TENSIONE ELETTRICA” o “d.d.p.” – diff. di potenziale. Sono inoltre da riconsiderare le unità di misura delle grandezze elettriche “CAMPO ELETTRICO” e “FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO”, prendendo come base l’unità di misura del potenziale:

Per quanto riguarda il campo elettrico (vettoriale): Cq

NFE E qEFE SFW E

SEq

SqE

q

SF

q

WV E

SEV

S

VE ¸

¹

ᬩ

§

m

VoltE

Per quanto riguarda il flusso del campo elettrico (scalare):

193

mVoltmm

voltSE 2 ¸

¹

ᬩ

§ )

POTENZIALE IN UN PUNTO DI UN CAMPO PRODOTTO DA PIU’ CARICHE PUNTIFORMI Se il campo elettrico è generato dalla presenza contemporanea di più cariche puntiformi 1Q , 2Q , ……., NQ , allora il potenziale elettrico in un punto P del campo è dato dalla somma algebrica dei potenziali prodotti singolarmente da ogni carica considerata con il proprio segno.

PNP3P2P1P V.......VVVV Con:

1

1

1

1P1P1

r

Q

4

1

q

1

r

1

4

qQ

q

WV

HS ¸

¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

HS

Quindi:

¦ ¸¹

ᬩ

§

HS

Ni

1i 1

iP

r

Q

4

1V

Si perviene a tale risultato considerando che il lavoro prodotto dalle cariche puntiformi generatrici su una carica esploratrice posizionata inizialmente nel punto P, per il fatto di non dipendere dal percorso e dalla variazione del campo durante lo stesso, è la somma delle energie potenziali elettrostatiche delle singole cariche nel punto P. LINEE E SUPERFICI ALLO STESSO POTENZIALE - EQUIPOTENZIALI Si tratta di dimostrare che, in un campo elettrico generato da una certa distribuzione di carica, esistono punti particolari caratterizzati dallo stesso valore di potenziale. Tali punti sono collocati su linee o superfici chiuse (a seconda che si consideri il campo nel suo sviluppo bi o tridimensionale) denominate “linee o superfici equipotenziali”. Ogni superficie equipotenziale è distinta da quella che la precede e da quella che la segue. CASO GENERALE: Si prende in esame un campo elettrico qualsiasi rappresentato graficamente dalle linee di forza caratteristiche. Si ricorda che, in un punto del campo – con esclusione dei punti sorgente – passa una sola linea di forza e che essa è costituita dall’insieme, rettilineo o curvilineo, dei punti occupati dalla carica esploratrice, posizionata inizialmente nel punto considerato, durante il moto provocato dalle forze del campo. Fissato un punto P su una linea di flusso ed altri due punti A e B appartenenti ad un segmento passante per P e posti ad una distanza tale dal primo da poter ritenere costante in modulo e direzione il campo elettrico, è possibile determinare simbolicamente la differenza di potenziale tra i due punti in funzione della posizione relativa del segmento AB rispetto alla direzione della linea di forza:

D D

cosABEq

cosABF

q

WVVV EAB

BAAB

Se, per ipotesi, i due punti A e B devono avere lo stesso potenziale, allora la differenza di potenziale deve essere automaticamente nulla:

BA VV Stesso potenziale

194

0VV BA Di conseguenza, per essere confermata l’ipotesi, occorre che il prodotto scalare tra campo elettrico e spostamento sia nullo:

0cosABE D

Ma tale ipotesi è vera alla sola condizione che sia nulla la proiezione del segmento AB sulla direzione del vettore campo e tale condizione si realizza solo nel caso in cui il segmento AB sia perpendicolare al vettore campo. Quindi, in conclusione: Dato un campo elettrico qualsiasi e le linee di flusso che lo caratterizzano e preso a piacere un punto P interno al campo, esiste una sola linea passante per P i cui punti sono allo stesso potenziale del punto P. Tale linea deve essere necessariamente perpendicolare alla linea di flusso e a tutte le linee di flusso passanti nei punti appartenenti alla linea equipotenziale

A

B

A

B*

*

E

9 0 °

L in e a d i fo rz a

L in e a d i fo rz a

L in e a d i fo rz a

9 0 °

9 0 °

L IN E A E Q U IP O T E N Z IA L E

P9 0 °

9 0 °

9 0 °

9 0 °

9 0 °

9 0 °

V

R

X

P

RV

V X

V X

V R

PV

Figura 84 – LINEE O SUPERFICI EQUIPOTENZIALI. SUPERFICI EQUIPOTENZIALI IN UN CAMPO RADIALE Considerata la simmetria del campo rispetto al centro risulta chiaro che le linee equipotenziali (caso bidimensionale) sono circonferenze concentriche mentre le superfici equipotenziali (caso tridimensionale o campo spaziale) sono sfere concentriche. Nel caso di carica puntiforme positiva, i punti appartenenti a circonferenze o sfere di raggio minore presentano potenziale maggiore e viceversa. Al contrario se la carica è negativa.

195

PV

RV

VX

Figura 85 – SUPERFICI EQUIPOTENZIALI IN CAMPO RADIALE SUPERFICI EQUIPOTENZIALI IN UN CAMPO UNIFORME Nel campo uniforme prodotto da due distribuzioni superficiali piane parallele, distanti d tra loro e caricate di segno diverso, considerando che le linee di flusso sono tutte parallele tra loro e perpendicolari ai piani carichi, le superfici equipotenziali sono necessariamente costituite dai punti appartenenti a piani paralleli alle lastre.

E

VRVP VXVQ YV

+ -

Figura 86 – SUPERFICI EQUIPOTENZIALI NEL CAMPO UNIFORME

196

RELAZIONE TRA CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE Utilizziamo ancora la linea di flusso coincidente con l’asse X di un campo elettrico radiale generato da una carica Q positiva posta nell’origine degli assi. Una carica esploratrice q, positiva, è posizionata ad una distanza Ax dall’origine ed è quindi costretta dal campo E ad allontanarsi procedendo all’infinito da punti a potenziale maggiore AV verso punti a potenziale minore BV . Da quanto visto in precedenza, già sappiamo che il valore del potenziale dipende dalla distanza e che, in un campo radiale, tale valore è espresso da:

AA

x

1

4

QV ¸

¹

ᬩ

§

HS ¸

¹

ᬩ

§

C

J volt

BB

x

1

4

QV ¸

¹

ᬩ

§

HS V

Ed in generale, per un punto ad una distanza x dal centro:

x

1

4

QxV ¸

¹

ᬩ

§

HS V

Naturalmente per il punto collocato ad una distanza infinitamente grande, il potenziale è nullo:

01

4

QxV #

f¸

¹

ᬩ

§

HS f

Per due punti A e B, distanti Ax e Bx dal centro, la variazione del potenziale è dunque ottenuta dalla sottrazione algebrica dei due rispettivi valori:

¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

HS '

BAABBA

x

1

x

1

4

QVVV

La variazione del potenziale è di entità più elevata se i due punti presi in esame si avvicinano al centro del campo.

0 ,6

V (v o lt)

2 ,4

f (x ) =

P O T E N Z IA L E

V (x )

1 ,4

0 ,8

1 ,2

1 ,0

0 ,6

0 ,4

0 ,8

0 ,2

0 ,2 0 ,4 0 ,6 1 ,61 ,0 1 ,2 1 ,4 1 ,8 2 ,0 2 ,2

3 ,2

1 ,6

2 ,6

3 ,0

2 ,8

2 ,4

1 ,8

2 ,0

2 ,2

3 ,4

3 ,6

3 ,8

4 ,0

4 ,2

4 .4

4 ,6

4 ,8

5 ,0

f (x ) =

V' 2

0 ,40 ,2Q+

0 ,2

0 ,8

0 ,4

0 ,6

3 ,22 ,6 3 ,02 ,8 3 ,4 x (m )

1 /x

' x

'V1

1 ,8

1 ,0

1 ,2

1 ,6

1 ,4

2 ,2

2 ,0

2 ,4

2 ,6

1D

3 ,6

2 ,8

3 ,0

3 ,2

3 ,4

4 .4

4 ,2

4 ,0

3 ,8

V (v o lt) 4 ,8

4 ,6

5 ,0

P O T E N Z IA L E

2 ,21 ,40 ,8 1 ,21 ,0

x'

1 ,6 2 ,01 ,8 3 ,02 ,4 2 ,82 ,6 3 ,2 3 ,4

f (x ) =

V (x )f (x ) =

1 /x

x (m )

D 2

1D

2D

Figura 87 – VARIAZIONE DEL POTENZIALE ELETTRICO – CAMPO RADIALE

197

Ciò significa che il valore della tangente alla curva in un punto ad una distanza x dal centro passa da un valore negativo infinitamente grande (per un angolo appena superiore a 90° il coseno è piccolissimo e negativo) ad un valore prossimo a zero (per un angolo prossimo a 180° il seno è positivo e piccolissimo mentre il coseno è prossimo a - 1). La tangente è dunque sempre negativa ma con valori elevati, per punti prossimi al centro, e valori piccoli per punti molto distanti. D’altra parte il valore della tangente alla curva è ottenuto dividendo l’incremento di potenziale (che si misura in volt) per l’incremento di spazio (che si misura in metri) ottenendo quindi un risultato che, dimensionalmente, è espresso in (volt/m). Si deve quindi concludere che, fisicamente, la tangente alla curva ha le stesse dimensioni del campo elettrico E. Ma il valore della tangente in un punto della curva altro non è che la derivata prima della funzione potenziale e, a parte il segno negativo, rappresenta il valore del campo elettrico in quel punto. Il valore del campo elettrico nel punto considerato è dunque pari al valore assunto dalla derivata prima del potenziale calcolata nel punto considerato e cambiato di segno:

X

xVdx

dxE »¼

º«¬

ª

Proviamo quindi a determinare la funzione derivata del potenziale V(x) tenendo presente

che, a parte il termine costante tipico del campo radiale HS4

Q , il potenziale è variabile in

funzione di x

1 :

x

1K

x

1

4

QxV ¸

¹

ᬩ

§

HS

Occorre quindi derivare la funzione x

1 , determinare il valore della derivata nel punto

che ci interessa, moltiplicare per il termine costante K e, infine, per determinare il campo elettrico, cambiare di segno. Quindi:

¸¹

ᬩ

§

x

1

dx

dKxV

dx

d

x

VVlim

x

1

dx

d XXX0X

'

¸

¹

ᬩ

§ 'o'

Tale operazione equivale a porre infinitamente vicini due punti successivi della curva ottenendo quindi, come risultato, il valore della tangente nel punto considerato. Utilizzando la funzione potenziale e sostituendo i valori, si ottiene:

x

x

1

xx

1

x

x

1

x

1

x

VVlim XXXXXX

0X'

¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

'

'

¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

'

''o'

xxxx

x

xxxx

xxx

x

xxx

xx.x

x

x

1

xx

1

lim 0X''

'

''

'

'

'

'

'

¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

'o'

198

xxxx

xlim 0X

''

'o'

xxx

1lim 0X

'o'

220Xx

1

xxx

1lim

'o'

Quindi la derivata prima del potenziale, cioè il campo elettrico cambiato di segno, è

una funzione dipendente da 2x

1 .

22 x

1

4

Q

x

1KxV

dx

d¸

¹

ᬩ

§

HS ¸

¹

ᬩ

§

Si riconosce immediatamente che il valore della derivata del potenziale altro non è che il campo elettrico nel punto x cambiato di segno e si può quindi concludere che:

2x

1

4

QxV

dx

dxE ¸

¹

ᬩ

§

HS

Cioè:

xVdx

dxE

P O T E N Z IA L E

f (x ) =

2 ,40 ,8

0 ,2

0 ,8

0 ,4

0 ,6

1 ,0

1 ,2

0 ,60 ,40 ,2

2 ,2

2 ,0

1 ,8

2 ,4

2 ,8

3 ,0

2 ,6

1 ,6

1 ,4

1 ,61 ,41 ,21 ,0 2 ,22 ,01 ,8 3 ,22 ,8 3 ,02 ,6 3 ,4

1 /x

x (m )

V (x )

V (v o lt)

4 ,8

4 ,6

4 .4

4 ,2

4 ,0

3 ,8

3 ,6

3 ,2

3 ,4

5 ,0

f (x ) =

Q+

'V1

x'

2V'

D 1

D 1

D 2

1D 2D

Figura 88 – INCLINAZIONI NEGATIVE DELLA TANGENTE

199

0 ,80 ,2 0 ,4 0 ,6 1 ,61 ,0 1 ,2 1 ,4

2 ,41 ,8 2 ,0 2 ,2 3 ,22 ,6 3 ,02 ,8 3 ,4

V (v o lt)

x

1 ,4

1 ,2

1 ,0

0 ,6

0 ,4

0 ,8

1 ,6

0 ,2

3 ,4

3 ,2

2 ,6

3 ,0

2 ,8

2 ,4

1 ,8

2 ,0

2 ,2

3 ,6

3 ,8

4 ,0

4 ,2

4 .4

4 ,6

4 ,8

5 ,0

1 /xf (x ) =

P O T E N Z IA L E

f (x ) = V (x )

g (x ) = V (x )d

d xf '(1 /x ) =

2

1-

x=

D E R IV A T A D E L P O T E N Z IA L E

2 ,40 ,80 ,2

0 ,4

0 ,2 0 ,4 0 ,6 1 ,61 ,0 1 ,2 1 ,4 1 ,8 2 ,0 2 ,2 x3 ,22 ,6 2 ,8 3 ,0 3 ,4

2 ,2

4 ,0

5 ,0

4 ,8

4 ,6

4 .4

4 ,2

3 ,6

3 ,8

3 ,2

3 ,4

2 ,6

3 ,0

2 ,8

2 ,4

0 ,4

1 ,8

2 ,0

1 ,4

1 ,6

1 ,2

1 ,0

0 ,6

0 ,8

0 ,2

tan

(

) x = 0 ,6 0

Dx

=0

,60

g (x ) = f '(1 /x ) =V (x )d x

d= -

x1

2

D E R IV A T A D E L P O T E N Z IA L E

x=

1,2

0D

tan

(

)

Figura 89 – ANDAMENTO DELLA DERIVATA DEL POTENZIALE

4 ,2

0 ,2

0 ,6

0 ,4

2 ,4

1 ,6

1 ,2

1 ,4

0 ,8

1 ,0

2 ,0

2 ,2

1 ,8

3 ,0

3 ,2

2 ,6

2 ,8

3 ,8

4 ,0

3 ,6

3 ,4

5 ,0

4 ,8

4 .4

4 ,6

1 ,20 ,80 ,6 1 ,00 ,40 ,2 1 ,61 ,4 1 ,8 2 ,0 2 ,2 2 ,4 2 ,6 2 ,8 3 ,0 3 ,2 3 ,4

E (v o lt /m )

g ' (x ) = =d x

dV (x )- f '(1 /x ) =-

2x1

x (m )

C A M P O E L E T T R IC O

Dta

n (

)

x=

1,2

0-

x=

0,6

0-

Dta

n (

)

E ( x = 1 ,2 0 )

E (x = 0 ,6 )

Figura 90 – DERIVATA DEL POTENZIALE CAMBIATA DI SEGNO – CAMPO ELETTRICO

Si perviene allo stesso risultato ottenuto derivando la funzione POTENZIALE, cioè alla relazione tra campo e potenziale, anche con il ragionamento inverso, supponendo cioè di conoscere la funzione CAMPO ELETTRICO e da essa ricavare la funzione POTENZIALE.

200

Supponiamo allora di concentrare l’attenzione allo spostamento orizzontale, dal punto iniziale distante Ax , ad un punto qualsiasi distante Bx dal centro. Ora la differenza di potenziale BAV o (misurata in volt) tra il punto A ed il punto B è data dal rapporto tra la differenza di energia potenziale elettrostatica dei due punti BAAB WWW (o anche il lavoro necessario per spostare la carica) e la grandezza della carica esploratrice:

q

WV AB

BA o

Nel caso in cui il punto B non è troppo distante dal punto A iniziale, possiamo ritenere sufficientemente piccola la variazione del campo elettrico, della forza elettrostatica, dell’energia potenziale e del potenziale. E’ ammissibile utilizzare, nella formula precedente, le variazioni finite per tratti brevi di spostamento:

q

WV AB

AB

' '

Se il punto B è infinitamente vicino (da intendersi quasi coincidente) al punto iniziale, allora alle variazioni finite indicate con ' , potremo sostituire le variazioni infinitesime, indicate con "dW" AB e ".dV" AB La formula si scriverà dunque:

q

dWdV

D’altra parte la variazione infinitesima di lavoro elettrostatico dW può essere sviluppata nei termini infinitesimi che la compongono se si considera che essa è determinata dal prodotto della forza elettrostatica, caratteristica del punto in esame e diretta come X, per lo spostamento infinitesimo dx:

dxxFdW E Oppure, tenendo conto del vettore campo elettrico E nel punto in esame (anch’esso diretto come X):

dxqxEdxxFdW E Allora la variazione infinitesima di potenziale assume la forma:

dx

q

qxE

q

dWdV

dxxEdV

Tale formulazione ci indica che la variazione infinitesima di potenziale è data dal prodotto del valore del campo elettrico nel punto considerato per la variazione infinitesima di spostamento. Si riconosce cioè, ritornando agli incrementi finiti ' , un valore pari all’area del trapezio che ha come base la variazione finita di spostamento x' , come altezza minore il valore del

201

campo 1E nel punto iniziale dello spostamento e come altezza maggiore il valore del campo

2E nel punto finale. Oppure l’area del rettangolo che ha come base la variazione finita di spostamento e come altezza, il valore intermedio XME del campo tra il punto iniziale e finale dello spostamento. Se lo spostamento è infinitesimo occorre invece pensare all’area di un rettangolo avente come base lo spostamento infinitesimo dx e, come altezza, il valore del campo tipico del punto considerato XE . D’altra parte, dalla formula precedente, si può ricavare la formula inversa:

dxxEdV dxxEdVVV 1221

dxxEdVVV 12

> @

dx

xVdxE

Cioè, deve esistere una funzione della distanza, denominata potenziale, tale per cui la sua

derivata prima, > @dx

xVd , cambiata di segno e calcolata proprio nel punto distante x dal

centro determini il valore del campo E nel punto x. Tale prima osservazione coincide esattamente con quanto visto precedentemente a proposito della derivata del potenziale.

In sostanza: Se si ragiona in termini finiti la variazione di potenziale tra i punti A e B corrisponde alla sommatoria di tutte le aree rettangolari o trapezoidali che approssimano la funzione E (x); se si ragiona in termini infinitesimi allora si deve tener conto dell’integrale, esteso a tutto lo spostamento, della funzione E(x). Cioè:

dxxEVVVB

A

X

XBAAB ³ Integrale (Potenziale esatto)

i

Ni

1iiBAAB xEVVV '¦

Sommatoria (Potenziale approssimato)

Oppure:

ABBA

X

X

VVVVdxxEB

A

³

Se il punto B è infinitamente distante dal centro, allora il suo potenziale caratteristico è nullo e la variazione ffo VVV AA corrisponde evidentemente a AV . Per cui l’integrale tra un punto A e l’infinito, che corrisponde graficamente all’area della superficie sottostante la curva del campo elettrico E limitata a sinistra dalla verticale condotta dalla distanza Ax , in basso dall’asse X e a destra dal punto d’intersezione dell’asse

202

X con la curva del campo (tale punto si trova all’infinito), altro non è che la variazione di potenziale foAV o anche il valore della funzione potenziale nel punto Ax . L’integrazione di una funzione è infatti l’operazione inversa della derivazione:

Integrare una funzione xf significa, in altre parole, supporre che il valore della funzione xf nel punto considerato rappresenti la derivata di una diversa funzione originale xg , cioè il valore della tangente della funzione originale xg nel punto.

Ma il valore della tangente alla funzione originale nel punto è dato dal rapporto tra la

variazione della funzione originale e la variazione infinitesima della posizione del punto dx.

Per cui, il prodotto del valore della tangente per l’incremento dx deve necessariamente

restituire la variazione della funzione originale. Moltiplicare i valori della funzione xf per gli incrementi infinitesimi significa quindi determinare la funzione originale xg . L’area racchiusa tra la funzione f(x) ed i limiti rappresenta quindi la variazione di g(x).

Cioè:

dx

dg

dx

xgdxxgxftanxg

dx

dX

D

dxxfdxtandg X D dxxfxg ³

D’altra parte, il campo elettrico in un punto qualsiasi della linea di flusso in un campo radiale dipende in modo inversamente proporzionale alla distanza al quadrato ed è direttamente proporzionale al valore della carica generatrice:

22 x

1K

x

1

4

QQ;xEQ;xf

HS

Quindi l’integrale, cioè la funzione originale o funzione POTENZIALE, assume la forma:

dxx

1

4

QdxxEV

2XX

A

AA

³HS

³ ff

fo

I valori costanti sono portati fuori del simbolo d’integrazione (ciò significa determinare il resto dell’integrale come se fosse una funzione semplice e moltiplicare poi il risultato per fattore costante K:

dxx

1KV

AX2A ³

f

fo

Il risultato dell’integrale restituisce la funzione originale dalla quale, attraverso la derivazione rispetto ad x, si ottiene la funzione da integrare, cioè:

¸¹

ᬩ

§

x

1

dx

d

x

12

203

Il risultato dell’integrale è quindi la funzione Potenziale: ff

fo »¼

º«¬

ª ³

AA XX2A

x

1Kdx

x

1KV

Sostituendo i limiti: f

f

fo »¼

º«¬

ª

f ³

AA XAX2A

x

11Kdx

x

1KV

AAA

x

1

4

Q

x

1KV ¸

¹

ᬩ

§

HS fo

E, tenendo conto di un punto qualsiasi:

x

1

4

QxV ¸

¹

ᬩ

§

HS FUNZIONE POTENZIALE

(v o lt /m )E

2 ,2

1 ,8

2 ,0

1 ,4

1 ,2

1 ,0

0 ,6

0 ,4

0 ,8

1 ,6

0 ,2

5 ,0

3 ,6

3 ,8

4 ,0

4 ,2

4 ,8

4 ,6

4 .4

3 ,2

2 ,6

3 ,0

2 ,8

2 ,4

3 ,4

5 ,2

5 ,4

5 ,6

5 ,8

6 ,0

6 ,2

6 ,4

Q + x1 ,40 ,60 ,2 0 ,4 1 ,00 ,8 1 ,2 2 ,21 ,81 ,6 2 ,0 2 ,4 2 ,6 2 ,8 3 ,0 3 ,2 3 ,4 3 ,6 3 ,8 4 ,0 4 ,2 4 ,4

A = ³=- VAV E (x )V

Ax

d x

Figura 91 – L’AREA COMPRESA TRA I LIMITI E’ IL POTENZIALE La stessa teoria può essere applicata anche al caso più generale del campo radiale ove è coinvolta una qualsiasi linea di flusso diversa dall’asse X, contenuta nel piano o nello spazio. In questo caso la funzione “campo elettrico” dipende dalla distanza del punto dal centro cioè dal raggio della circonferenza o della sfera e, di conseguenza dalle coordinate x, y, z del punto in comune alla linea di flusso e alla sfera. Nel caso più semplice di una linea di flusso radiale contenuta in un piano X-Y con al centro la carica generatrice Q (ma il procedimento si può facilmente estendere allo spazio X-Y-Z), il campo elettrico dipende dalle coordinate del punto iniziale e del punto finale.

204

Si vuole determinare la differenza di potenziale tra detti punti con il metodo visto in precedenza, anche se sarebbe possibile determinarlo in modo molto semplice e rapido. Tralasciamo il calcolo più semplice per riprenderlo alla fine a scopo di verifica. Supponiamo quindi che il punto iniziale A sia stabilito dalle coordinate:

¯®­

cm40y

cm10xA

A

A

Mentre il punto finale B, dalle coordinate:

¯®­

cm100y

cm30xB

A

A

I vettori campo elettrico nei punti A e B sono determinati dai moduli e dalle direzioni:

2A

2A

Ayx

1KE

2B

2B

Byx

1KE

Considerando che il potenziale dipende unicamente dalla posizione dei punti e non varia se varia il percorso, possiamo pensare al seguente percorso:

x Mantenendo inalterata la coordinata Ax iniziale, sia variata la sola y sino al massimo valore possibile cioè By (percorso verticale parallelo a Y)

x Mantenendo poi inalterata la coordinata By , sia variata la sola x sino al massimo valore possibile cioè Bx (percorso orizzontale parallelo a X)

Durante il primo tratto verticale il modulo del campo elettrico E deve variare in funzione delle coordinate dei punti del segmento:

22A yx

1E

Mentre la sua direzione è stabilita, durante la variazione di Y, dall’angolo formato con l’asse Y, dalla relazione:

D cosry

22

A yx

y

r

ycos

D

Di conseguenza la componente del campo E, parallela all’asse Y, è data da:

2

322

A

22A

22A

22A

Y

yx

y

yx

y

yx

1

yx

yEcosEE

D

Allora, per quanto visto prima, la differenza di potenziale 1V' , tra il punto iniziale ed il punto intermedio del percorso, è dato da:

dyEVB

A

Y

YY1 ³ '

³

»»

¼

º

««

¬

ª

³

»»»

¼

º

«««

¬

ª

'1

4,050,122

Y

Y2

322

A

1 43,1dyy1,0

ydy

yx

yV

B

A

K43,1V1 '

205

Durante il secondo tratto, orizzontale, il campo elettrico è dato da:

22b xy

1E

Mentre la sua direzione è stabilita, durante la variazione di X, dall’angolo formato con l’asse X, dalla relazione:

E cosrx

22

b xy

y

r

xcos

E

Di conseguenza la componente del campo E, parallela all’asse X, è data da:

2

322

B

22B

22B

22B

X

xy

x

xy

x

xy

1

xy

xEcosEE

E

Allora, per quanto visto prima, la differenza di potenziale 2V' , tra il punto intermedio ed il punto finale del percorso, è dato da:

dxEVB

A

X

XX2 ³ '

037,0dx

x1

xdx

xy

xV

3,0

1,02

322

X

X2

322

B

2

B

A

³

»»»

¼

º

«««

¬

ª

³

»»»

¼

º

«««

¬

ª

'

K037,0V 2 '

La differenza di potenziale complessiva è dunque data dalla somma delle due differenze di potenziale:

K467,1037,043,1KVVV 21AB '' '

¸¹

ᬩ

§

HS '

4

Q467,1K467,1V AB

D’altra parte la differenza tra i potenziali tra i due punti – che sono collocati su circonferenze aventi raggi diversi – è anche data dalla relazione:

¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

HS '

BAAB

r

1

r

1

4

QV

Con: m412,0yxr 2

A2AA

m044,1yxr 2B

2BB

Per cui:

K469,1044,1

1

412,0

1

4

QV AB ¸

¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

HS '

Si nota quindi che i due risultati sono praticamente coincidenti.

206

ESERCIZI ENERGIA POTENZIALE - POTENZIALE

Esercizio 1: Una sfera metallica con carica C102Q 2 è spostata dall’aria all’acqua. Determinare di quanto varia il potenziale da essa prodotto in un punto generico del campo alla distanza r. Soluzione: Il potenziale generato da una distribuzione di carica di forma sferica è pari a quello che si avrebbe nel medesimo punto se la carica fosse tutta concentrata nel baricentro o centro della sfera. Il suo valore è pari a:

r

1

4

Q

r

1

4

QV

RR

HHS

HS

)

Quando la carica è nell’aria:

r

1

4

QV

ARIARR

HHS

)

)

Quando è nell’acqua:

r

1

4

QV

O2HRO2HR

HHS

)

La variazione di potenziale è quindi data da:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

H

H

HS

) O2HRARIARR

11

r4

QV

Dato che per l’aria la costante dielettrica relativa è approssimativamente uguale all’unità, si ottiene:

r4

Q

81

80

81

1

1

1

r4

QV R

HS ¸

¹

ᬩ

§

HS

))

Il rapporto tra i due potenziali è:

81V

V

ARIAR

O2HR

O2H

#H

H )

Cioè il potenziale generato nell’acqua, ad una distanza r dal centro, è 81 volte minore di quello generato nello stesso punto nell’aria.

Esercizio 2: In un rettangolo ABCD di dimensioni 3m x 4m sono poste nei vertici A, B e C rispettivamente le seguenti cariche elettriche:

C103Q 4A

u C105Q 2

Bu C104Q 5

Cu

Determinare il potenziale generato dalle tre cariche nel punto corrispondente al vertice D del rettangolo. Soluzione:

207

Il potenziale elettrico generato da una carica puntiforme in un punto dipende dalla grandezza della carica e dalla distanza tra la carica e il punto:

r

1

4

QV

HS

Il potenziale dovuto alla presenza di più cariche è pari alla somma algebrica dei potenziali generati nel punto da ogni singola carica:

¸¹

ᬩ

§

HS

C

C

B

B

A

A

r

Q

r

Q

r

Q

4

1V

A

B C

D

3 m

4 m

Per cui:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ u

HS

4

C104

169

C105

m3

C103

4

1V

524

»¼

º«¬

ª¸¹

ᬩ

§u

HS

m

C1091,9

4

1V 3

¸¹

ᬩ

§ u »

¼

º«¬

ª¸¹

ᬩ

§u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

C

mN1091,8

m

C1091,9

mN

C1085,84

1V 73

2

212

VvoltC

J

C

mN1091,8V 7 ¸

¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§ u

Esercizio 3: Tre cariche puntiformi positive di valori C101Q 5

1u , C102Q 5

2u , C103Q 5

3u ,

sono poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato 5,2 m. Determinare il potenziale del sistema nel baricentro del triangolo. Soluzione:

208

A

B C5 ,2 m

Il baricentro del triangolo equilatero è collocato alla metà della base e ad una distanza da essa pari ad un terzo dell’altezza h:

m50,460sen2,5h q

m5,13

h

La distanza di ogni carica dal baricentro è data da:

m00,35,12

2,5r 2

2

¸¹

ᬩ

§

Il potenziale generato in tal punto da ogni carica è dunque:

volt

C

mN1080,1C106

m34

1V 55 ¸

¹

ᬩ

§ u u

HS

Esercizio 4: Una sfera conduttrice di raggio R=5 cm è caricata fino ad assumere un potenziale di 100 V. Determinare:

x La carica elettrica ricevuta dalla sfera x L’intensità del campo elettrico nel centro della sfera x L’intensità del campo elettrico a 50 cm dal centro della sfera.

Soluzione: Si tenga presente che la carica elettrica si distribuisce solo sulla superficie esterna della sfera e che, nella fase stazionaria successiva al processo di carica, la carica complessiva è distribuita in modo uniforme con una densità superficiale V costante. In tali condizioni non è quindi possibile che le cariche interne possano muoversi ulteriormente verso l’esterno perché, altrimenti, varierebbe la carica complessiva. Ciò equivale a dire che il campo elettrico, all’interno della sfera, deve essere nullo. Quindi alla seconda richiesta del problema occorre dire che il campo elettrico è nullo al centro della sfera. D’altra parte se si ammette nullo il campo elettrico interno, allora, per la relazione:

209

Eds

dV

Significa che la derivata della funzione potenziale all’interno della sfera ha un valore nullo per tutti i punti interni. Ciò significa che la funzione potenziale deve essere costante e quindi pari al potenziale esistente sulla superficie come d’altra parte confermato anche dall’integrazione della funzione campo elettrico. Il potenziale interno alla sfera vale quindi 100 Volt. Ma il potenziale calcolato al centro della sfera, per una distanza dalla superficie costantemente uguale al raggio, è uguale alla sommatoria di tutti i contributi delle cariche poste sulla superficie:

¸¹

ᬩ

§ 'V

'V

'V

HS

r

S..........

r

S

r

S

4

1V N21

¸¹

ᬩ

§ '

'

'

HS

V

r

S..........

r

S

r

S

4V N21

N21 S.........SSr

1

4V '''

HS

V

Con: 2

N21 r4S.........SS S ''' Superficie complessiva della sfera Per cui:

H

V S

HS

V

rr4

r

1

4V 2

Da cui si ricava la densità superficiale:

r

V H V

¸¹

ᬩ

§u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u¸

¹

ᬩ

§

V

2

82

212

m

C1077,1

m05,0

mN

C1085,8

C

J100

La quantità di carica complessiva sulla sfera è data da:

C1056,5r4m

C1077,1SQ 102

2

8 u S¸¹

ᬩ

§u V

Il campo elettrico prodotto alla distanza di 50 cm dal centro è dato utilizzando la legge di Gauss:

H )

QSE

¸¹

ᬩ

§

S¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u

u

S

H

C

N20

m5,04mN

C1085,8

C1056,5

r4

1QE

22

2

212

10

21

210

Esercizio 5: Due sferette metalliche, entrambe con carica C105Q 3u , sono poste nell’aria rispettivamente in due punti A e B distanti 3 m uno dall’altro. Determinare l’intensità del campo elettrico ed il potenziale nel punto intermedio alle due cariche e in un punto posto sulla retta congiungente le due cariche a 1 metro di distanza da una di esse (internamente al segmento AB). Soluzione: Il campo elettrico prodotto dalle cariche nel punto intermedio è nullo in quanto ogni carica genera un campo elettrico di pari valore ma di segno contrario. Il potenziale è la somma dei potenziali prodotti da ogni carica:

volt106

m2

3

mN

C1085,84

C10522

r

1

4

QV 7

2

212

3

u#

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

HS

Ad un metro di distanza da una delle due cariche:

22

21

21

22

22

21

21rr

rr

4

Q

r

1

r

1

4

QEEE

HS ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

HS

¸¹

ᬩ

§u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

HS

C

N1037,3

m21mN

C1085,84

m12C105

rr

rr

4

QE 7

422

2

212

2223

22

21

21

22

Con:

21

1r

1

4

QE

HS

22

2r

1

4

QE

HS

m1r1 m2r2

Per quanto riguarda il potenziale:

volt1075,6m2

1

1

1

4

C105

r

1

r

1

4

QV 71

3

21

u ¸¹

ᬩ

§

HS

u ¸

¹

ᬩ

§

HS

211

Esercizio 6: Si determini il potenziale elettrostatico nei punti A, B e C del campo generato da due cariche disposte come nella figura seguente, di valore C103Q 6

1u e C103Q 8

2u

Soluzione:

ABC

1 0 c m

1 0 c m

1 0 c m

2 0 c m

Q 1

Q 1

Nel punto A:

voltC

J1072,2

m1,0mN

C1085,84

C103103QQ

r4

1V 5

2

212

86

21A

A ¸¹

ᬩ

§u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

uu

HS

Nel punto B:

voltC

J1092,1

45cos

1,0

mN

C1085,84

C103103QQ

r4

1V 5

2

212

86

21C

B ¸¹

ᬩ

§u

q¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

uu

HS

Nel punto C:

voltC

J1036,1

m2,0mN

C1085,84

C103103QQ

r4

1V 5

2

212

86

21C

B ¸¹

ᬩ

§u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

uu

HS

Esercizio 7: Calcolare il lavoro meccanico necessario per portare un elettrone da un punto ad un altro tra cui esiste una differenza di potenziale (d.d.p. o tensione) pari a volt000.1V ' . Soluzione: Si intende che l’elettrone, la cui carica negativa è pari a 1,602 (C), si muova in modo spontaneo, per effetto del campo elettrostatico che genera la differenza di potenziale, da un punto a potenziale minore verso punti a potenziale maggiore.

212

Il valore della differenza di potenziale è comunque dato dal rapporto tra la quantità di lavoro necessario per trasportare una carica q da un punto all’altro del campo diviso per la grandezza della carica che si sposta:

q

WV AB

AB

Per determinare il lavoro occorre dunque utilizzare la formula inversa e tenere conto della carica dell’elettrone:

J10602,1C10602,1C

J000.1eVW 1619

ABAB u u¸

¹

ᬩ

§

Quindi se l’elettrone si sposta da punti a potenziale basso verso punti a potenziale più elevato, il lavoro è fornito dal campo, mentre il lavoro deve essere fornito dall’esterno per provocare il movimento contrario. Esercizio 8: Calcolare il lavoro richiesto da una carica di C103 3u per essere portata da un punto A di un campo elettrico il cui potenziale è 500 V sino ai limiti del campo. Soluzione: Il lavoro richiesto è dato dalla relazione:

J5,1C103V500qVW 3AA u

fo Esercizio 9: Determinare il potenziale che si ha in un punto A in cui una carica di C103 5u possiede un’energia potenziale elettrostatica di 0,03 (J). Soluzione: L’energia potenziale che la carica possiede nel punto A del campo è pari al lavoro che dovrebbe fare il campo per trasferirla dal punto A sino ai limiti del campo. Nel punto considerato si può determinate il potenziale dal rapporto tra l’energia potenziale e la grandezza della carica, per cui:

volt10C103

J103

q

WV 3

5

2A

A u

u

Esercizio 10: Due lamine metalliche uguali e parallele distano tra loro 3 cm. Tra le lamine esiste una differenza di potenziale (tensione elettrica) V000.2V . Calcolare l’intensità del campo elettrico esistente tra le lamine sapendo che è interposta aria. Soluzione: Il campo elettrico generato da due lamine cariche e parallele è di tipo uniforme. Quindi l’intensità del campo è costante. Dato che la funzione potenziale si ottiene dall’integrale della funzione campo elettrico:

dxEdV

213

Allora la differenza di potenziale è data dal termine costante E moltiplicato per la distanza tra le lamine:

xEV ' '

Ed il valore uniforme del campo, di conseguenza:

¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

¸

¹

ᬩ

§

¸

¹

ᬩ

§u

'

'

C

N

mC

mN

mC

J

m

V1067,6

m03,0

V000.2

x

VE 5

Esercizio 10: Determinare la carica elettrica di un corpo immerso in un campo elettrico sapendo che il lavoro compiuto dal campo per spostarlo da un punto ad un altro punto in cui il potenziale è maggiore di 2.000 V è di 1 J. Soluzione: Dato che il campo compie un lavoro sul corpo carico spostandolo da un punto a potenziale più piccolo verso un altro punto a potenziale maggiore, occorre che la carica posseduta dal corpo sia negativa. Dalla relazione dell’energia potenziale elettrostatica si ottiene:

qVW ABAB

C105

C

J000.2

J1

V

Wq 4

AB

AB

¸¹

ᬩ

§

Esercizio 11: Determinare il lavoro che è necessario fornire ad un corpo carico con C103q 5 per portarlo da un punto che dista 50 cm da una carica C102Q 4u , ad un punto che è distante 5 cm dalla stessa carica. Soluzione: La carica negativa attrae i corpi carichi positivamente e respinge i corpi carichi negativamente. Per questo motivo lo spostamento da punti più lontani dalla carica a punti più ravvicinati, da effettuarsi su una carica negativa, richiede l’intervento di una quantità di lavoro esterno pari a quello che farebbe il campo per lo spostamento opposto.

¸¹

ᬩ

§

HS

BAAB

r

1

r

1

4

qQW

J971m18

mN

C1085,84

C103C102

5,0

1

05,0

1

4

qQW 1

2

212

54

AB

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

uu ¸

¹

ᬩ

§

HS

214

Esercizio 12: Nel passaggio di una carica puntiforme C103,0q 3u da un punto A ad un punto B di un campo elettrico, rispettivamente a potenziale V300V A e V500V B , quale lavoro è necessario compiere? Soluzione: In un campo elettrico qualsiasi è definito potenziale nullo quello caratterizzato da un punto posto all’infinito. Se la carica che genera il campo è positiva e se la carica esploratrice è anch’essa positiva, ogni punto del campo diverso dall’infinito è caratterizzato dal lavoro AW che il campo compie per spostare la carica dal punto sino all’infinito. Tale lavoro è positivo e, di conseguenza, il potenziale AV è positivo. Se la carica che genera il campo è negativa ed essendo nullo per definizione il potenziale a distanza infinita, allora lo spostamento di una carica positiva richiede un lavoro esterno che consideriamo negativo. Quindi il potenziale di ogni punto è caratterizzato da valori grandi negativi per punti prossimi alla carica generatrice che tendono al valore nullo per punti distanti. Allora anche in questo caso le cariche positive si spostano in modo naturale nel campo passando da punti distanti (potenziali più grandi in senso algebrico) a punti più vicini (potenziali più piccoli in senso algebrico) Nel caso dell’esercizio, la carica elettrica positiva passa da un valore elevato positivo ad un valore negativo con una differenza di potenziale pari a:

V800V ' Il lavoro occorrente è quindi:

J24,0C103,0V800qVW 3ABAB u

Esercizio 13: Calcolare il lavoro compiuto dalle forze del campo nel portare una carica di C103 5u da un punto distante 3 metri ad un punto distante 100 metri da una carica di C102 3 che produce il campo elettrico. Si opera in olio minerale la cui costante dielettrica relativa è 5,2R H . Soluzione: La carica generatrice è positiva, la carica che si sposta è positiva. Il lavoro è eseguito dal campo che spinge la carica da punti più vicini (potenziale grande e positivo) a punti più distanti (potenziale piccolo e sempre positivo). Il lavoro eseguito dal campo è pari alla differenza di energia potenziale elettrostatica tra il punto più vicino e quello più distante:

BAAB WWW

¸¹

ᬩ

§

HHS

) BARAB

r

1

r

1

4

qQW

J81,69

100

1

3

1

mN

C1085,85,24

C103102W

2

212

253

AB ¸¹

ᬩ

§

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

uu

215

Esercizio 14: Tra due piastre metalliche poste a 50 cm di distanza una dall’altra vi è una differenza di potenziale di 1.000 V. Un corpo carico puntiforme, con carica di C105 4u , partendo da una piastra, si arresta a 10 cm dalla seconda. Determinare il lavoro compiuto dalle forze del campo. Soluzione: Considerando che il campo elettrico è uniforme tra le piastre e che la differenza di potenziale è data dall’integrale, esteso a tutta la distanza, del campo elettrico, si ottiene, conoscendo la differenza di potenziale, il valore del campo:

xEV000.1V ' '

¸¹

ᬩ

§

'

'

m

V000.2

m50,0

V000.1

x

VE

La forza elettrostatica cui è sottoposta la carica ha quindi un valore di: qEFE

Mentre il lavoro fatto da tale forza è dato da: 1E xFW '

J4,0m40,0C105m

V000.2xqEW 4

1 u¸¹

ᬩ

§ '

Esercizio 15: La differenza di potenziale (d.d.p. o tensione) tra due punti appartenenti ad una linea di forza di un campo elettrico uniforme è di 200 V. Sapendo che la forza agente su una carica C102q 4u , immersa nel campo, è N104F 3

Eu , calcolare la distanza tra i due punti:

Soluzione: La differenza di potenziale tra i due punti del campo è data dal rapporto tra la quantità di lavoro effettuato dal campo per trasferire la carica da un punto all’altro e la grandezza della carica stessa:

q

WV AB

AB

' '

Dato che il campo è uniforme (come quello generato da due piastre parallele caricate di segno contrario), la forza elettrica applicata è costante ed il lavoro è dato dalla relazione:

ABABEAB SqESFW ' Per cui la differenza di potenziale è determinata da:

q

SqE

q

WV ABAB

'

'

ABSEV ' Da cui si ottiene la distanza:

E

VS AB

'

216

EE

ABF

qV

q

F

VS

'

'

mNC

CmN

NC

CJ

N

CV10

N104

C102V200S

3

4

AB ¸¹

ᬩ

§

¸

¹

ᬩ

§

¸

¹

ᬩ

§

u

u

Esercizio 16: Due cariche, C104Q 5

1u e C105Q 4

2u , sono fissate rispettivamente ai punti A e B che

distano tra loro 1 metro. Determinare il lavoro richiesto per trasferire una carica C103q 4u dal punto C al punto D. Soluzione:

A1 m

DCB

La differenza di potenziale tra il punto C e D è pari al rapporto tra il lavoro necessario per lo spostamento della carica e la grandezza della carica stessa:

q

WV CD

CD

Per cui, se si conoscesse la differenza di potenziale, si otterrebbe: qVW CDCD

D’altra parte per determinare la differenza di potenziale occorre conoscere i potenziali dei due punti:

DCCD VVV Ed i potenziali sono rispettivamente ottenuti sommando algebricamente i potenziali generati dalle due cariche nei punti che ci interessano:

217

¸¹

ᬩ

§

HS

HS

HS

BC

B

AC

A

BC

B

AC

AC

r

Q

r

Q

4

1

r

1

4

Q

r

1

4

QV

¸¹

ᬩ

§

HS

HS

HS

BD

B

AD

A

BD

B

AD

AD

r

Q

r

Q

4

1

r

1

4

Q

r

1

4

QV

Si ottengono i seguenti risultati:

¸¹

ᬩ

§

HSu »

¼

º«¬

ª u

u

HS ¸

¹

ᬩ

§

HS

4

11047,2

m2,0

C105

m2,1

C104

4

1

r

Q

r

Q

4

1V 3

45

BC

B

AC

AC

¸¹

ᬩ

§

HSu »

¼

º«¬

ª u

u

HS ¸

¹

ᬩ

§

HS

4

11022,1

m4,0

C105

m4,1

C104

4

1

r

Q

r

Q

4

1V 3

45

BD

B

AD

AD

La differenza di potenziale è quindi data da:

¸¹

ᬩ

§

HSu uu¸

¹

ᬩ

§

HS

4

11025,11022,11047,2

4

1VVV 333

DCCD

Il potenziale del punto D è quindi più elevato del potenziale del punto C. La carica esploratrice è positiva quindi tende a muoversi da punti a potenziale maggiore verso punti a potenziale minore. Nel nostro caso occorre un lavoro esterno per provocare il movimento contrario da C a D, quindi, il lavoro è negativo e vale:

J1037,3C103V4

11025,1qVW 343

CDCD u u¸¹

ᬩ

§

HSu

Esercizio 17: Calcolare la velocità che acquista una sfera pesante 5 grammi, avente una carica di C102 3u , nel passare da un punto con potenziale di 1.500 V ad un punto alla stessa quota, ai limiti del campo. Si suppone nulla la velocità iniziale della sfera. Soluzione: Potendo considerare nullo il potenziale di un punto ai limiti del campo, il potenziale del punto considerato moltiplicato per la grandezza della carica che si sposta altro non è che il lavoro fornito. Sfruttando il teorema dell’energia cinetica è allora possibile determinare la velocità finale della sfera nel punto ai limiti del campo:

2AA vm

2

1qVW fo

Dato che la quota non cambia, l’energia potenziale non varia e non incide nel calcolo. Con la formula inversa:

m

qV2v A2

¸¹

ᬩ

§

u¸¹

ᬩ

§

kg

mN200.1

kg005,0

C102C

mN500.12

v

3

218

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

¸¹

ᬩ

§

2

222

s

mm

kgs

mkg

kg

mN200.1v

¸¹

ᬩ

§ ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

s

m64,34

s

m200.1v

2

2

Esercizio 18: Una particella pesante 10 grammi e con carica elettrica C105q 3u si trova in quiete in un punto A di un campo elettrico uniforme. Determinare il tempo che impiega per giungere in B (distante da A 10 metri) sapendo che tra A e B vi è una differenza di potenziale (tensione) di 1.000 V. Soluzione: Il lavoro applicato dal campo uniforme per spostare la carica dal punto A al punto B è dato da:

J5C105C

J000.1qVW 3

ABAB u¸¹

ᬩ

§

La forza elettrostatica costante ha quindi un valore: ABEAB SFW

N5,0m10

mN5

S

WF

AB

ABE

L’accelerazione costante cui è sottoposta la particella vale: amFE

¸¹

ᬩ

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

2

2E

s

m50

kgs

mkg

50kg01,0

N5,0

m

FFa

Il tempo impiegato, con l’accelerazione calcolata, per percorrere lo spazio di 10 metri è dato da:

2ta2

1S

s63,0s4,0

s

m50

m102

a

S2t 2

2

¸¹

ᬩ

§

Esercizio 19: Una sfera di 10 cm di raggio, caricata con una carica C103Q 5u , è posta a contatto con una seconda sfera, scarica, di raggio 25 cm. Successivamente le due sfere sono allontanate. Determinare la densità superficiale di carica su ogni sfera dopo il contatto. Soluzione: La prima sfera, caricata positivamente, assume sulla superficie un valore di potenziale elettrostatico pari a quello di un punto interno qualsiasi come, ad esempio, al centro della sfera.

219

Detto potenziale è determinato dalla somma algebrica di tutti i potenziali generati nel centro da ogni tratto di superficie esterna caricata con una densità superficiale iniziale V :

¸¹

ᬩ

§ 'V

'V

'V

HS

r

S.......

r

S

r

S

4

1VV N21

SUPERFICIECENTRO

H

V S

HS

V ¸

¹

ᬩ

§¦ '

HS

V

rr4

r4S

r4VV 2

Ni

1iiSUPERFICIECENTRO

La seconda sfera, inizialmente scarica, ha un potenziale elettrostatico nullo. Ponendo a contatto la sfera carica con la sfera scarica, gli elettroni di conduzione negativi presenti nella sfera scarica sono costretti a passare da punti a potenziale nullo (sfera scarica) verso punti a potenziale maggiore (sfera carica). Durante il processo transitorio che avviene durante il contatto, elettroni negativi provenienti dalla sfera scarica giungono continuamente sulla sfera carica a potenziale maggiore provocando la riduzione della quantità di carica positiva iniziale, una conseguente riduzione della densità superficiale di carica e del potenziale iniziale. Nel contempo, il trasferimento di elettroni provoca, nella sfera inizialmente scarica, la comparsa di una uguale quantità di carica positiva, l’aumento della densità superficiale di carica e un conseguente aumento del potenziale. Il potenziale cui si porterà la seconda sfera sarà determinato dalla relazione precedente tenendo conto del raggio della sfera:

H

V S

HS

V ¸

¹

ᬩ

§¦ '

HS

V

112Ni

1iiSUPERFICIECENTRO

rr4

r4S

r4VV

Il trasferimento di elettroni cesserà quando viene a mancare la causa che lo provoca, cioè quando il potenziale della seconda sfera (in aumento) ed il potenziale della prima sfera (in diminuzione) raggiungeranno lo stesso valore, cioè:

H

V

H

V rr 211

Alla fine il rapporto tra le due densità superficiali di carica sarà dato da:

rr 211 V V

12

1

r

r

V

V

D’altra parte, per il principio di conservazione della carica elettrica, si dovrà avere:

C103Qr4r4 522

211

u SVSV Ricavando 1V dalla precedente e sostituendo:

C103r4r4r

r 522

21

1

2 u SVSV

C103r4r4r 52212

u SVSV C103rrr4 52

12u SV

¸¹

ᬩ

§u

S

u V

2

5

21

5

2m

C1082,6

rrr4

103

¸¹

ᬩ

§u V

2

51

m

C1073,2

220

Esercizio 20: Determinare il potenziale elettrico V a una distanza m1012,2r 12u dal nucleo di un atomo di idrogeno (che possiede un solo protone). Soluzione: Il nucleo di un atomo di idrogeno contiene un solo protone avente carica positiva pari, in valore assoluto, a quella dell’elettrone. Il potenziale generato dal protone positivo è dunque:

r

p

4

1V r

HS

Da cui si ricava:

volt

C

mN79,6

m1012,2

C10602,1

mN

C1085,84

1V

10

19

2

212

r ¸¹

ᬩ

§

u

u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

Esercizio 21: Determinare l’energia potenziale elettrostatica di un elettrone posto alla medesima dell’esercizio precedente dal nucleo dell’atomo di idrogeno. Soluzione: Considerando pari a zero l’energia potenziale elettrostatica di un elettrone posto ad una distanza infinitamente grande dal nucleo allora l’energia potenziale caratteristica della posizione considerata corrisponde al lavoro occorrente per trasportarlo all’infinito. Dato che il protone attrae l’elettrone occorre quindi l’intervento di lavoro esterno che deve essere considerato negativo. La quantità di lavoro esterno negativo sarà pari, in valore assoluto, al lavoro positivo che compie il campo per spostare la carica dall’infinito sino al punto:

r

1

4

epWW AA

HS

fo

JmN1009,1m1012,2

1

mN

C1085,84

C10602,110602,1W 18

10

2

212

21919

A u u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

uu

E’ anche possibile determinare l’energia potenziale elettrostatica tenendo presente il potenziale calcolato precedentemente e ricordando che il potenziale ad una distanza infinita è nullo. La differenza di potenziale tra il punto e l’infinito è proprio uguale al potenziale del punto r. Quindi:

AA WW fo

AAAA VVV

e

W

e

W f

fo

J1009,1Volt79,6C10602,1VeW 1819AA

u u

221

Esercizio 22: La differenza di potenziale elettrico tra il terreno e una nuvola durante un temporale è

V102,1V 9u ' . Determinare la variazione dell’energia potenziale elettrostatica di un elettrone che si muove tra questi punti. Soluzione: Dalla relazione:

q

WV

' '

Si ottiene la variazione dell’energia potenziale elettrostatica:

J1092,1C10602,1C

J102,1eVqVW 10199 u u¸

¹

ᬩ

§u ' ' '

Tale energia può essere anche misurata in elettronvolt (eV) tenendo presente che un eV corrisponde al lavoro necessario per spostare la carica di un elettrone tra due punti con una differenza di potenziale di 1 Volt:

J10602,1C

JC10602,1volt1C10602,1eV1 191919 u ¸

¹

ᬩ

§u u

Quindi:

GeV19,1eV1019,1

eV

J10602,1

J1092,1W 9

19

10

u

¸¹

ᬩ

§u

u '

Esercizio 23: Si supponga che in un tipico lampo di un fulmine la differenza di potenziale tra nuvole e terreno sia

V101V 9u ' e la quantità di carica trasferita C30Q . Determinare: 1. L’energia trasferita dal lampo 2. La velocità finale di un corpo di massa 1000 kg, inizialmente fermo, se tutta l’energia del lampo

potesse essere trasferita integralmente al corpo 3. La quantità di ghiaccio che potrebbe fondersi con tale energia (calore latente di fusione a 0°

uguale a ¸¹

ᬩ

§u

kg

J103,3 5

Soluzione: L’energia coinvolta nel passaggio di una quantità di carica di 30 C per effetto di una differenza di potenziale data, è pari a:

QVW ' ' J103C30V101W 109 u u '

Se tale quantità di energia fosse trasferita al corpo di massa data si potrebbe determinare la velocità finale assunta utilizzando il teorema dell’energia cinetica:

2FI.CF.C vm

2

1EEWL ' '

¸¹

ᬩ

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

u u

'

s

m746.7

kg

ms

mkg

106kg000.1

mN1032

m

W2v

27

10

F

222

La quantità di ghiaccio che fonderebbe con l’energia del fulmine sarebbe data da: LcmW '

tonn91kg1009,9

kg

J103,3

J103

c

Wm 4

5

10

L

#u

¸¹

ᬩ

§u

'

Esercizio 24: Due cariche lineari di lunghezza infinita sono disposte parallelamente ad un asse Z. La prima, con densità di carica lineare O , si trova ad una distanza Ar a destra dell’asse principale. L’altra, con densità di carica O , alla stessa distanza Ar a sinistra dell’asse principale. Le linee di carica e l’asse Z sono sullo stesso piano. Determinare il potenziale generato in un punto posto a 3 metri. Soluzione:

ra ar

O

O

A

z

r

tt

r

R14 - 1

La distribuzione lineare positiva di destra produce nel punto A un potenziale pari alla somma di tutti i potenziali generati dai tratti di filo carico. Per il tratto di filo posto ad una distanza z dall’origine degli assi, il potenziale è determinato dalla relazione:

22a

22A

zr2

1

4

dz

zr

1

4

dz

t

1

4

dQdV

HS

O

HS

O

HS

Il potenziale AV generato dal filo di destra deve quindi essere l’integrale della funzione

calcolato entro i limiti dell’altezza z da un minimo pari a – infinito ad un massimo pari al valore infinito. Per cui:

223

dzzr2

4dz

zr2

1

4V

z

z

2

122

a

z

z2

122

a

A ³ HS

O ³

HS

O

f

f

f

f

> @ f

f

HS

O 22

aA zr2zlog4

V

La funzione è illimitata e non è quindi possibile determinarne il valore per un limite infinito, occorre perciò porre un limite superiore finito supponendo, ad esempio, che il filo abbia una lunghezza complessiva di 2.000 m. Il limite superiore sarà quindi posto a 1.000 m. Occorre fissare anche la distanza del filo dall’asse Z. Per esempio 4 m. Allora il valore del potenziale sarà dato da:

> @ 000.1

000.122

A z42zlog4

V

HS

O

Si ottiene:

73,114

V A HS

O

Allo stesso risultato ma con segno negativo si perviene determinando il potenziale nello stesso punto per effetto di un filo uguale ma caricato di segno negativo:

> @ 000.1

000.122

A z42zlog4

V

HS

O

Si ottiene:

73,114

V A HS

O

Il potenziale nel punto A collocato sull’asse Y al centro della circonferenza di raggio 4 metri è quindi nullo. Tutti i punti collocati sull’asse Y, per simmetria, saranno caratterizzati da potenziale nullo.

r ar a

r a

A

R14 - 2

224

Esercizio 25: Nell’esperimento di Millikan con le goccioline d’olio, un campo elettrico avente valore

¸¹

ᬩ

§u

C

N1092,1E 5 è instaurato tra due piatti posti ad una distanza di 1,50 cm.

Si determini la differenza di potenziale tra i due piatti. Soluzione: Il valore costante del campo elettrico tra le piastre permette di determinare la differenza di potenziale V' tramite il semplice calcolo del lavoro effettuato dal campo per spostare le cariche elettriche. Il lavoro effettuato dal campo su una carica positiva q per lo spostamento da A a B si determina tenendo conto che la forza elettrica è costante in tutti i punti tra le piastre:

dqEdFW EAB u

La differenza di potenziale è pari al rapporto tra la differenza di energia potenziale elettrostatica (o lavoro effettuato) e il valore della carica stessa:

dEq

WV AB

AB

Dunque:

VC

J

C

mN880.2m015,0

C

N1092,1V 5

AB ¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§ ¸

¹

ᬩ

§u

Esercizio 26: Due grandi piatti paralleli conduttori sono posti ad una distanza di 12 cm l’uno dall’altro e sulle loro superfici sono presenti cariche uguali ed opposte. Un elettrone posto a metà strada tra i due piatti è soggetto a una forza N109,3F 15

Eu .

Determinare il campo elettrico Nella posizione dell’elettrone e la differenza di potenziale elettrostatico tra i due piatti. Soluzione: Il campo elettrico è uniforme tra i piatti ed ha un valore pari a:

¸¹

ᬩ

§u

u

u

m

V1043,2

C10602,1

N109,3

e

FE 4

19

15E

La differenza di potenziale tra i piatti è data dal prodotto del campo elettrico per la distanza tra gli stessi:

V1091,2m12,0m

V1043,2dEV 34 u ¸

¹

ᬩ

§u '

225

Esercizio 27:

Un piano carico infinito ha una densità di carica ¸¹

ᬩ

§u V

2

6

m

C101,0 su una faccia. A quale

distanza si trovano le superfici equipotenziali il cui potenziale differisce di 50 V? Soluzione: Il campo elettrico prodotto dal piano carico ha un valore pari a:

H

V

2E

La differenza di potenziale tra le superfici equipotenziali è data da: dEV '

Si ricava quindi la distanza tra le superfici:

V

H'

'

2V

E

Vd

mm9,8m0089,0

m

C101,0

mN

C1085,82V50

d

2

6

2

212

¸¹

ᬩ

§u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u

Esercizio 28: Una lamina sottile non conducente ha una densità di carica positiva V disposta su una faccia. Determinare, in modo simbolico, la quantità di lavoro esercitata dal campo elettrico del foglio mentre una piccola carica q è spostata da una posizione iniziale sul foglio ad una posizione finale posta ad una distanza z dal foglio. Si dimostri poi che il potenziale prodotto dal foglio ad una distanza z è espresso dalla relazione:

z2

VV 0 ¸¹

ᬩ

§

H

V

Dove con 0V si intende il potenziale sulla superficie carica. Soluzione: Il campo elettrico generato sulla superficie della lastra è dato da:

H

SV S )

22 r

r2E

H

V

2E

Quando la carica q, per effetto del campo è spostata ad una distanza z, la quantità di lavoro ZW è espressa dalla relazione:

z2

qzqEW Z

H

V

La differenza di potenziale tra un punto situato sulla superficie ed un punto alla distanza z è quindi espressa da:

z2q

WVV Z

0 H

V

Quindi il potenziale alla distanza z risulta essere:

z2

VV 0 H

V Come si voleva dimostrare

226

Esercizio 29: Un cilindro metallico avente diametro di 2,0 cm contiene, posizionato sul suo asse, un filo di diametro pari a cm102,1 4u . Sapendo che tra la superficie del filo e la parete interna del cilindro è applicata una differenza di potenziale di 850 V, determinare il campo elettrico sulla superficie del cilindro e del filo. Soluzione: Sfruttando la legge di Gauss applicata ad una superficie gaussiana cilindrica di raggio variabile da un minimo pari al raggio del filo ad un massimo pari al raggio del cilindro e contenente la carica disposta sul filo, si può determinare il valore del campo elettrico lungo una linea di flusso. Il valore del campo elettrico dipenderà, oltre che dalla distanza lungo la linea, anche dalla densità superficiale di carica del filo. 1. Legge di Gauss:

H

SV

H S )

Hr2QHz2zEz FFFILO

Da cui si ottiene:

z

rzE FF

H

V

La differenza di potenziale di 850 V è data dall’integrale, esteso tra il limite inferiore pari al raggio del filo ed il limite superiore pari al raggio del cilindro, della funzione campo elettrico, variabile con la distanza e dipendente dalla densità di carica sul filo: 2. Integrazione del campo elettrico

³H

V ³

H

V ³ '

C

F

C

F

C

F

R

R

FFR

R

FFR

R z

dzr

z

dzrdzzEV850V

Integrando tra i limiti:

m105,6cm1065,0

2

cm103,1r 74

4

F

u u u

m101cm1

2

cm2r 2

Cu

Si ottiene:

³H

V

u

u

2

7

101

105,6

FF

z

dzrV850

2

7

101

105,6

FF zlogr

V850

u

u

H

V

72FF 105,6log101logr

V850 uuH

V

24,14605,4r

V850 FF H

V

H

V FF r

64,9V850

Sostituendo i valori noti (raggio del filo e costante dielettrica assoluta), si determina la densità di carica sul filo:

227

¸¹

ᬩ

§u

u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u¸

¹

ᬩ

§

V

2

3

7

2

212

Fm

C102,1

m105,664,9

mN

C1085,8

C

mN850

Il valore del campo elettrico sulla superficie del filo è quindi dato da:

¸¹

ᬩ

§u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u

¸¹

ᬩ

§

H

V

C

N1035,1

mN

C1085,8

m

C102,1

rzE 8

2

212

2

3

FF

Il campo elettrico sulla superficie interna del cilindro si ottiene calcolando la funzione con z uguale al raggio del cilindro:

¸¹

ᬩ

§u

u¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u

¸¹

ᬩ

§

H

V

C

N1081,8

m101mN

C1085,8

m105,6m

C102,1

r

rrzE 3

2

2

212

7

2

3

C

FFC

rcrf

R14 - 3

Esercizio 30: Una carica puntiforme C101q 6u . Si consideri il punto A, posto alla distanza di 2,0 m a destra della carica ed il punto B posto ad una distanza di 1 m a sinistra della carica. Determinare la differenza di potenziale tra i due punti. Determinare la differenza di potenziale nel caso in cui il punto B sia ad un metro di distanza ma sulla verticale condotta per q.

228

Soluzione: Il potenziale nel punto A vale:

V498.4m2

1

mN

C1085,84

C101

r

1

4

qV

2

212

6

AA

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

HS

Il potenziale nel punto B:

V996.8

m1

1

mN

C1085,84

C101

r

1

4

qV

2

212

6

BB

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

HS

La differenza di potenziale:

V500.4996.8498.4VV BA Se il punto B è sulla verticale, sempre ad un metro di distanza dalla carica, la differenza di potenziale non cambia in quanto è comunque sempre collocato sulla stessa superficie equipotenziale sferica, di raggio 1 m, del punto precedente.

AB

B

q

VA

VA

VB

21

1

R14 – 4

Esercizio 31: Si consideri una carica puntiforme C105,1q 8u ed il potenziale nullo all’infinito. Quali sono la forma e le dimensioni di una superficie equipotenziale di 30 V. Le superfici equipotenziali che differiscono tra loro solo per una costante sono distanziate in modo uguale o disparato? Soluzione: La superficie equipotenziale richiesta è sicuramente una sfera il cui raggio è determinato imponendo il valore del potenziale dato:

229

r

1

4

qV

HS

Da cui si ricava:

m5,4

C

mN30

mN

C1085,84

C105,1

V

1

4

qr

2

212

8

¸¹

ᬩ

§ ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

HS

Le altre superfici equipotenziali, differendo solo per una costante – ad esempio k -, hanno un raggio determinato dalla relazione:

Vk

1

4

qrK

HS

Il rapporto tra i raggi delle sfere con potenziali multipli di V o sottomultipli di V è quindi dato da:

k

1

r

rK

Per cui:

k

rrK

Così le sfere con potenziale rispettivamente di: 15, 60, 90,120 hanno raggi di: m9r2r15

25,22

rr60

5,13

rr90

Esercizio 32: Determinare il potenziale raggiunto da una sfera conduttrice isolata di raggio 16 cm con una carica pari a C1050,1Q 8u se si suppone di porre il potenziale all’infinito pari a zero? Soluzione: La carica elettrica si dispone sulla superficie della sfera dando luogo ad una densità di carica pari a:

2r4

Q

S V

Il campo elettrico sulla superficie della sfera è perpendicolare alla superficie ed è costante in modulo su tutti i punti della sfera. Di conseguenza la superficie sferica, essendo perpendicolare al campo, è anche una superficie equipotenziale. All’interno della sfera è nullo il campo elettrico (altrimenti comparirebbero ulteriori fenomeni di movimento delle cariche e varierebbe di conseguenza la densità di carica). Il potenziale che caratterizza i vari punti interni alla sfera deve essere necessariamente costante in quanto la derivata della funzione che lo rappresenta, cioè il campo elettrico, è nulla. Si conclude che il potenziale di un punto interno alla sfera è pari al potenziale sulla superficie della stessa e, in particolare, risulta abbastanza semplice determinarne il valore per il punto centrale della sfera. Esso è il risultato della somma di tutti i potenziali elementari generati nel centro dalle infinite distribuzioni superficiali di carica che possono essere individuate suddividendo la superficie sferica in aree piccolissime S' :

2Ni

1ii

Ni

1i iSUPERFICIECENTRO r4

r4S

r4

1

r

1

4

QVV S

HS

V ¦ 'V

HS ¦

HS

'

230

r4

Qr

r4

QrVV

2SUPERFICIECENTROHS

HS

H

V

V4,843

m16,0mN

C1085,84

C105,1VV

2

212

8

SUPERFICIECENTRO

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

Da notare che il potenziale sulla superficie della sfera, per effetto di una carica distribuita uniformemente, è pari al potenziale che la stessa carica totale provocherebbe in un punto ad una distanza pari al raggio se fosse tutta concentrata nel centro. Esercizio 33: Quando una navetta spaziale si muove nel gas ionizzato rarefatto della ionosfera terrestre, il suo potenziale varia di circa – 1 Volt per ogni rivoluzione. Supponendo che la navicella sia sferica con raggio pari a 10 m determinare la quantità di carica raccolta per ogni rivoluzione. Soluzione: Il potenziale assunto da una superficie sferica caricata elettricamente con una quantità Q, è pari a quello che assumerebbe un punto posizionato ad una distanza pari al raggio se la carica fosse tutta concentrata nel centro:

r

1

4

QV

HS

Da questa relazione si deduce la quantità di carica necessaria per produrre una variazione di potenziale di – 1 V sulla navicella di raggio 10 m:

r4VQ HS

C1011,1m10mN

C1085,84

C

mN1Q 9

2

212 u u¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

uS¸

¹

ᬩ

§

Esercizio 34: Molti dei materiali che costituiscono gli anelli di Saturno hanno la forma di minuscole particelle sferiche di raggio pari a circa m10 6 . Queste particelle si trovano in una regione che contiene gas ionizzato rarefatto e raccolgono elettroni in eccesso. Se si ritiene, in modo approssimato, che il potenziale sulla superficie della particella sferica sia di -400 V, è possibile determinare il numero di elettroni in eccesso raccolti. Soluzione: Si utilizza la soluzione del problema precedente.

r

1

4

QV

HS

C1044,4m10mN

C1085,84

C

mN400Q 146

2

212 u u¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

uS¸

¹

ᬩ

§

Considerando poi la carica unitaria dell’elettrone: enQ

231

elettroni377.419

.elett

C10602,1

C1044,4

e

Qn

19

14

¸¹

ᬩ

§u

u

Esercizio 35: Determinare la quantità e la densità superficiale di carica sulla superficie di un conduttore sferico di raggio 0,15 m il cui potenziale è di 200 V. Soluzione: Ancora con la soluzione del problema precedente:

r

1

4

QV

HS

C1033,3m15,0mN

C1085,84

C

mN200Q 9

2

212 u u¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

uS¸

¹

ᬩ

§

La densità superficiale si ottiene considerando la superficie sferica:

¸

¹

ᬩ

§u

S

u V

2

8

22

9

m

C1018,1

m15,04

C1033,3

S

Q

Esercizio 36: Una goccia d’acqua sferica su cui è presente una carica C103Q 13u , ha un potenziale superficiale di 500 V. Determinare il raggio della goccia ed il potenziale che assumerebbe se la goccia si combinasse con un’altra goccia, scarica e con uguale raggio, per formarne una più grande. Soluzione: Con il valore del potenziale e la quantità di carica, si determina il raggio della goccia d’acqua:

r

1

4

QV

HS

m104,5

C

mN500

mN

C1085,84

C103

V4

Qr 6

2

212

13

u

¸¹

ᬩ

§ ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

HS

Il volume della goccia è quindi:

3163 m1058,6r3

4Volume u S

Raddoppiando il volume e determinando il raggio della nuova goccia, si ottiene:

m108,64

3Vol2r 63 u

S

E si determina poi il potenziale della nuova goccia:

Volt396

m108,6mN

C1085,84

C103

r

1

4

QV

6

2

212

13

u¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

HS

232

Esercizio 37:

Un campo elettrico di circa ¸¹

ᬩ

§

m

V100E è spesso osservato sulla superficie della Terra. Se questo

campo fosse costante sull’intera superficie, quale sarebbe il potenziale elettrico in un punto della superficie terrestre. Soluzione: Il teorema di Coulomb ci permette di determinare la densità di carica superficiale di carica a partire dalla conoscenza del campo elettrico in prossimità:

H

V E

Da cui si ottiene:

¸¹

ᬩ

§u ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

u¸

¹

ᬩ

§ H V

2

10

2

212

m

C1085,8

mN

C1085,8

C

N100E

La conoscenza del raggio terrestre ci permette poi di determinare la quantità di carica complessivamente presente sulla superficie terrestre nel caso in cui il campo fosse costante in tutti i punti:

C453.452m1038,64m

C1085,8SQ 226

2

10 uS¸¹

ᬩ

§u V

Il potenziale sarebbe dato da:

V1038,61038,64

C453.452

r

1

4

QV 8

6u

uHS

HS

Esercizio 38: Si supponga che la carica elettrica negativa complessivamente contenuta in una moneta di rame avente massa di 3,11 grammi, sia completamente rimossa e portata ad una grande distanza dalla Terra (ad esempio su un’altra galassia) e chela carica positiva rimanente sia distribuita uniformemente sulla superficie terrestre. Di quanto varierebbe il potenziale sulla superficie della Terra? Soluzione: Il numero atomico del rame è 29. Equivale a dire che un atomo di rame allo stato neutro è formato da 29 protoni positivi e 29 elettroni negativi. Moltiplicando il numero di elettroni per il numero di Avogadro si ottiene il numero complessivo di elettroni che sarebbero contenuti in una grammo-mole della sostanza in esame. L’effettivo numero di moli di rame costituenti la moneta è dato dal rapporto tra la quantità in grammi effettivamente presente nella moneta e il numero di grammi costituente una grammo-mole cioè il peso atomino della sostanza. Quindi:

x Calcolo del numero di elettroni presenti in una grammo-mole di rame:

elettroni1075,1moleg

atomi1002,6

atomo

el29n 2523 u ¸

¹

ᬩ

§

u¸

¹

ᬩ

§

x Calcolo delle moli di rame contenute nella moneta:

moli049,0

mole

g63

g11,3

molare.P

mmoli.n

¸¹

ᬩ

§

233

x Calcolo del numero di elettroni presenti nella moneta:

elettroni1058,8moli049,0mole

elettroni1075,1.elettr.n 2325 u ¸

¹

ᬩ

§u

x Calcolo della carica elettrica negativa (e positiva) contenuta nella moneta:

C371.137elttr

C10602,1elett1058,8p.prot.ne.elet.nQ 1923 ¸

¹

ᬩ

§uu

Se la carica elettrica positiva fosse distribuita uniformemente sulla superficie terrestre essa darebbe luogo ad un potenziale – uguale in un qualsiasi punto – pari a quello generato sulla superficie della Terra dalla carica concentrata nel centro della Terra:

Volt285.705.193

m1038,6mN

C1085,84

C371.137

r

1

4

QV

6

2

212T

u¸¸

¹

·

¨¨

©

§

S

HS

La carica elettrica negativa trasportata ad enorme distanza non avrebbe alcuna influenza sul potenziale terrestre.

Esercizio 39: Il punto P è al centro di un rettangolo di base 2d ed altezza d. Ai vertici del rettangolo ed al centro dei due lati maggiori sono collocate le cariche come illustrato nel disegno sottostante. Determinare il potenziale nel punto P. Soluzione:

+ 3 q

+ 5 q

+ 5 q

-3 q-2 q

-2 q

P

d d

d d

d d

d /2e

R14 - 5

Il potenziale nel punto P è la somma algebrica dei potenziali prodotti, nello stesso punto, dalle cariche ognuna considerata con il suo segno. Per cui:

234

¸¹

ᬩ

§

HS

d

q2

d

q2

e

q3

e

q3

e

q5

e

q5

4

1V B

¸¹

ᬩ

§

HS

d

q4

e

q10

4

1V B

Con:

2

d5e

¸¹

ᬩ

§

HS

d

q4

5d

q20

4

1V B

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

HS

5d

q54q20

4

1V B

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

HS

5

5420

d4

qV B

d4

q94,4V B

HS

Esercizio 40: Una carica puntiforme e0,6Q 1 è tenuta fissa nell’origine di un sistema di coordinate cartesiane. Una seconda carica puntiforme e10Q 2 è fissata in un punto a distanza mm6,8x . Il luogo dei punti del piano x-y nei quali il potenziale è nullo, è una circonferenza centrata sull’asse x. Si trovi la posizione Cx del centro della circonferenza e il raggio della circonferenza. Soluzione: Occorre determinare a quale distanza, da una delle due cariche si annulla il potenziale sapendo che esso è determinato dalla somma algebrica dei potenziali prodotti singolarmente da ogni carica. Per un punto situato sull’asse x, di coordinata y nulla, deve valere:

¸¹

ᬩ

§

HS

x6,8

e10

x

e6

4

1V X

¸¹

ᬩ

§

HS

x6,8

10

x

6

4

eV X

¸

¹

ᬩ

§

HS

x6,8x

x10x6,86

4

eV X

¸¹

ᬩ

§

HS

x6,8x

x166,51

4

eV X

Imponendo l’annullamento del potenziale si ricava la distanza x:

¸¹

ᬩ

§

HS

x6,8x

x166,51

4

e0

0

x6,8x

x166,51 ¸

¹

ᬩ

§

mm23,316

6,51x

Oppure:

235

¸¹

ᬩ

§

HS

6,8x

e10

x

e6

4

1V X

¸¹

ᬩ

§

HS

6,8x

10

x

6

4

eV X

¸

¹

ᬩ

§

HS

6,8xx

x106,8x6

4

eV X

¸¹

ᬩ

§

HS

6,8xx

x46,51

4

eV X

Imponendo nuovamente l’annullamento del potenziale:

¸¹

ᬩ

§

HS

6,8xx

x46,51

4

e0

0x46,51 mm90,12x

Il valore del raggio e dato da:

m1007,8mm07,82

23,390,12r 3u

Il centro del cerchio è collocato ad una distanza dal centro dell’origine pari a: mm83,407,890,12x C

Esercizio 41: Una bacchetta, di lunghezza L, è caricata con una densità di carica uniforme O . Determinare il potenziale generato dalla bacchetta in un punto P collocato ad una distanza d misurata perpendicolarmente alla bacchetta nel suo punto mediano. Soluzione:

P

d

L /2 L /2

OO

x

g

R14 - 6

Il potenziale nel punto P è pari alla somma algebrica dei potenziali generati da ogni tratto infinitesimo dx di bacchetta.

236

Per ogni tratto il potenziale in P dipende dalla distanza g secondo la formula:

g

1

4

dxdV P

HS

O

Con: 22 dxg

Per cui il potenziale complessivamente prodotto da un metà della bacchetta è pari all’integrale:

³

HS

O

2/L

0 22P

dx

dx

4V

Dall’integrazione si ottiene:

2/L

0

22P dxxlog

4V

HS

O

2222

P d00logd2

L2/Llog

4V

¸¸

¹

·

¨¨

©

§¸

¹

ᬩ

§

HS

O

d

d4

L

2

L

log4

V

22

P

HS

O

E, tenendo conto anche dell’altra metà della bacchetta:

d

d4

L

2

L

log4

2V

22

P

HS

O

Esercizio 42: Una bacchetta ha la forma di un arco di cerchio con apertura angolare di 120°, raggio R e possiede una carica complessiva –Q. La carica è uniformemente distribuita su tutta la bacchetta. Determinare il potenziale nel punto centrale della circonferenza. Soluzione: Ogni tratto ds della bacchetta produce nel centro un potenziale:

R

1

4

dqdV C

HS

R

1

4

dsdV C

HS

O

La lunghezza complessiva dell’arco è pari alla terza parte della circonferenza di raggio R:

3

R2S

S

La densità lineare di carica è dunque data da:

R2

Q3

S

Q

S

O

Il potenziale totale è dunque l’integrale esteso a tutta la lunghezza dell’arco, di:

³HS

³ ³

SHS

HS

O

S

3

R2

022

S

0

S

0C ds

R8

Q3ds

R2R4

Q3

R4

dsV

237

> @R4

Q

3

R2

R8

Q3s

R8

Q3V

223

R2

022CHS

¸¹

ᬩ

§ S

HS

HS

S

Esercizio 43: Determinare il potenziale in un punto P, ad una distanza d dall’estremità di un bacchetta carica di lunghezza L e carica totale Q. Soluzione: Il potenziale è dato dalla somma dei contributi di ogni tratto dx posto alla distanza x dall’estremità della bacchetta. La distanza di ogni tratto di bacchetta dal punto P è dunque la somma della distanza fissa del punto dall’estremità e della distanza x del tratto.

PL

x

d

Y

X

O

x + d

R14 - 7 Per cui:

dx

1

4

dqdV P

HS

dx

1

4

dxdV P

HS

O

dx

1

4

dxL

Q

dV P

HS

dx

1

L4

dxQdV P

HS

Integrando si ottiene:

³

HS

L

0P

dx

dx

L4

QV

238

L

0P xdlogL4

QV

HS

> @dlogLdlogL4

QV P

HS

d

Ldlog

L4

QV P

HS

¸¹

ᬩ

§

HS

d

L1log

L4

QV P

Esercizio 44: Determinare l’energia potenziale elettrostatica di due elettroni separati da una distanza

m102d 9u . Soluzione: L’energia potenziale elettrostatica del sistema dei due elettroni è pari al lavoro applicato dal campo o dall’esterno per spostarne uno dei due dalla posizione iniziale ad una posizione finale ove non esiste più l’interazione tra le due cariche, cioè all’infinito. La relazione tra energia potenziale e differenza di potenziale, permette di determinare l’energia:

AAA V0VV ' fo

e

WV A

Afo

fo

' '

fofo ' AA VeW Per cui:

VoltC

J721,0

m102

1

mN

C1085,84

C10602,1

r

1

4

eV

9

2

212

19

AA ¸

¹

ᬩ

§

u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

HS

eV721,0

eV

J10602,1

J1015,1J1015,1

C

J721,0C10602,1W

19

191919

A

¸¹

ᬩ

§u

u u ¸

¹

ᬩ

§¸¹

ᬩ

§

fo

Esercizio 45: Due cariche uguali di valore C102q 9 sono fisse nello spazio ad una distanza d=2,0 cm una dall’altra. Supponendo il potenziale nullo all’infinito, determinare il potenziale elettrico in un punto C posto a 10 cm sulla perpendicolare passante per la mediana delle due cariche. Una terza carica, uguale alle precedenti, è portata lentamente dall’infinito sino al punto C. Determinare il lavoro necessario e l’energia potenziale U del sistema quando la terza carica è nel punto C. Soluzione: Il potenziale generato dalle due cariche nel punto C è dato dalla somma dei potenziali generati singolarmente:

V1057,2

m014,0mN

C1085,82

C102

r4

q2V 6

2

212

6

C u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

HS

239

Quando la carica n. 3 è spostata dall’infinito sino al punto C occorre una quantità di lavoro esterno, quindi negativo, pari al prodotto del potenziale in C per la grandezza della carica:

J14,5C102V1057,2qVVqVW 66CCC uu

fofof

Quando la terza carica è giunta nel punto C, l’energia potenziale del sistema è pari al lavoro che il sistema applica per giungere ad una configurazione di potenziale nullo. In altre parole occorre pensare alla somma del lavoro fatto da due cariche per trasportare la terza all’infinito e da una delle due cariche rimanenti per spostare all’infinito anche quella rimanente. Il lavoro fatto dalle due cariche per spostare la terza all’infinito è pari all’inverso del lavoro calcolato in precedenza.

Perciò

J94,602,01085,84

10414,5

r4

qqJ14,5U

12

12

12

uS

u

HS

P

1 c m 1 c m

1 c m1 ,4 c m1 ,4 c m

q

R14 -8 Esercizio 46: Due cariche elettriche, di valori rispettivamente C100,3Q 6

1u e C100,4Q 6

2u , sono

trasportate da punti infinitamente distanti (V=0) in due punti di un piano cartesiano di riferimento aventi rispettivamente le coordinate: ^

^ cm5,0y

cm5,3x

1

1

^

^ cm5,1y

cm0,2x

2

2

Determinare il lavoro necessario per far assumere al sistema la configurazione richiesta. Soluzione:

240

Q 1

Q 2

1 ,5 c m

0 ,5 c m

3 ,5 c m2 ,0 c m

5 ,5 c m

1 ,0 c m5 ,6 c m

R14 - 9

Il potenziale generato dalla carica 1 nel punto 2 ove deve essere trasportata la carica 2 è dato da:

V1082,4m056,0

1

mN

C1085,84

C103

r

1

4

QV 5

2

212

61

2 u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

HS

Il lavoro per trasportare la carica 2 dall’infinito – supponendo presente la carica 1 – è eseguito dal campo elettrico ed ha un valore pari a:

J93,11082,4104V0C104VQW 562

6222 uuu u

of Tale lavoro rappresenta anche il lavoro complessivo in quanto si suppone che per trasportare la carica numero 1 dall’infinito sino al punto 1, quando la carica 2 si trova all’infinito, non occorra lavoro. Se si ragiona supponendo che la carica 2 sia già nel punto 2, si avrà il seguente risultato:

V1043,6

m056,0

1

mN

C1085,84

C104

r

1

4

QV 5

2

212

62

1 u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

HS

Il lavoro che occorrerebbe per trasportare la carica 1 dall’infinito sarebbe dato da: J93,11043,6103V0C103VQW 56

16

111 uuu u of

Come si noterà il lavoro necessario per trasportare la carica 1 dall’infinito è pari al lavoro per trasportare la carica 2 dall’infinito. Tale lavoro, cambiato di segno, è anche l’energia potenziale elettrostatica del sistema.

241

Esercizio 47: Prima che Einstein pubblicasse la sua teoria della relatività, lo scienziato J. Thomson ipotizzò che l’elettrone potesse essere composto da piccole parti e che la sua massa fosse dovuta all’interazione elettrica delle parti. Inoltre affermò che l’energia fosse pari a 2cmE . Si valuti sommariamente la massa dell’elettrone nel modo seguente:

x Si assuma che l’elettrone sia composto da tre parti identiche portate dall’infinito e poste ai vertici di un triangolo equilatero con lati uguali al raggio classico dell’elettrone cioè

m1082,2 15u . x Si trovi l’energia potenziale elettrica totale di questa disposizione. x Si divida per 2c e si confronti il risultato con il valore della massa dell’elettrone,

comunemente riconosciuta come kg1011,9m 31e

u . Soluzione: Supponendo di partire dalla configurazione finale, con le tre parti dell’elettrone disposte ai vertici del triangolo equilatero, potremo calcolare l’energia potenziale del sistema pensando prima di permettere a due cariche fisse, applicando il proprio campo elettrico, lo spostamento della terza carica e, poi, ad una delle due cariche rimanenti di spostare l’altra all’infinito. La somma del lavoro ottenuto sarà l’energia potenziale elettrostatica.

1) Lavoro di due cariche sulla terza: Il potenziale prodotto dalle due cariche nel punto in cui è posizionata la terza è dato dalla somma dei potenziali singoli:

r

1

6

e2

r

1

43

e

V1 HS

uHS

Il lavoro eseguito dalle due cariche sulla terza è quindi:

r

1

18

eV

3

eW

2

11 HS

2) Lavoro di una cariche sull’altra:

r

1

12

e

r

1

43

e

V 2 HS

HS

r

1

36

eV

3

eW

2

22 HS

Lavoro totale:

r12

e

36

21

r

e

36

1

18

1

r

eWWW

222

21HS

¸¹

ᬩ

§

HS ¸

¹

ᬩ

§

HS

J1073,2

m1082,2mN

C1085,812

C10602,1W 14

15

2

212

2219

u

u¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

Ipotizzando ora che tale energia potenziale sia l’espressione di un equivalente quantità di materia – secondo quanto ipotizzato da Thomson – tale quantità di materia dovrebbe essere ottenuta dividendo l’energia per la velocità della luce al quadrato:

2cmW

242

kg1003,3

103

J1074,2

c

Wm 31

28

14

2

u

u

Seguendo l’ipotesi di Thomson e supponendo di considerare diviso in tre parti l’elettrone e la relativa carica elettrica, risulterebbe una massa pari a circa 1/3 di quella classica.

Esercizio 48: Ricavare un’espressione per quantificare il lavoro necessario per disporre le quattro cariche come raffigurato, assumendo che le cariche siano infinitamente lontane tra loro. Soluzione

-q+ q

-q + q

1

23

a

a a

a

R14 - 10

a24

q

a4

q

a4

qV1

HS

HS

HS

a4

q

a24

qV 2

HS

HS

a4

qV 3

HS

qVW 11 qVW 22 qVW 32

¸¹

ᬩ

§

HS 1

2

1111

2

1

a4

qVVVqW

2

312

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

HS ¸

¹

ᬩ

§

HS

2

21

a2

q2

2

2

a4

qW

22

243

Esercizio 49: Tre cariche di 0,12 C formano un triangolo equilatero di lato 1,70 metri. Se si fornisce energia con potenza di 0,83 kW, quanto tempo occorre per spostare una delle cariche nel punto medio del lato del triangolo ad essa opposto? Soluzione:

+ q + q

+ q

1 .71 .7

1 .7

A

B1 ,4 7

R14 - 11

La carica q deve essere spostata dal punto A, vertice del triangolo equilatero, al punto B, medio del lato contrapposto al vertice A. Occorre quindi passare dal potenziale caratteristico del punto A a quello del punto B fornendo energia dall’esterno per vincere le azioni repulsive del campo elettrostatico. Il campo elettrostatico dovuto alle due cariche che rimangono fisse è variabile in funzione della posizione della carica lungo il percorso AB ed è dato dalla somma delle componenti perpendicolari al lato contrapposto del triangolo:

D cosE2E Y

Con:

2r

1

4

qE

HS

22 x47,185,0r D cosrx47,1

22 x47,185,0

x47,1cos

D

Quindi:

> @

> @ 2

122

22Y

x47,185,0

x47,1

x47,185,0

1

4

q2E

HS

244

> @ 2

322

Y

x47,185,0

x47,1

4

q2E

HS

Di conseguenza, la forza da applicare alla carica deve essere uguale e contraria alla forza elettrostatica variabile:

> @ 2

322

Y

x47,185,0

x47,1

4

qq2F

HS

Il lavoro che esegue la forza per lo spostamento della carica dal punto alla massima distanza

a quello a distanza nulla dal lato contrapposto è quindi dato da:

> @dx

x47,185,0

x47,1

2

qL

oY

47,1Y2

322

2

AB ³

HS

> @dx

x47,185,0

x47,1

mN

C1085,82

C12,0L

0X

47,1X5,122

2

212

22

AB ³

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

> @dx

x47,185,0

x47,1

mN

C1085,82

C12,0L

0X

47,1X5,122

2

212

22

AB ³

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

J751.154.152L AB

Fornendo energia con una potenza ¸¹

ᬩ

§

s

J830P è necessario un tempo pari a:

tPL AB

s1084,1

s

J830

J1052,1

P

Lt 5

8AB u

¸¹

ᬩ

§

u

In giorni:

giorni12,2

d

h24

h

s3600

s1084,1t

5

¸¹

ᬩ

§u¸

¹

ᬩ

§

u

Se si determina il potenziale nel punto A e nel punto B per effetto delle sole due cariche fisse si ottiene:

2r

1

4

qV A

HS

V1027,127,1

1

1085,84

12,0V 9

12A u uS

2r

1

4

qV

1B

HS

V1054,2285,0

1

1085,84

12,0V 9

12B u uS

V1027,1V 9AB u '

245

J000.400.152W AB Poi il calcolo segue lo stesso procedimento di prima conducendo allo stesso risultato. D’altra parte, come controprova, occorre anche ricordare che la derivata della funzione potenziale altro non è che il campo elettrico e che, di conseguenza, l’integrale del campo elettrico rispetto alla distanza, entro i limiti d’integrazione prefissati, è la variazione di potenziale. Per cui, calcolando l’integrale del campo elettrico tra i limiti precedenti si dovrebbe determinara la variazione di potenziale già calcolata.

> @ V1027,1dx

x47,185,0

x47,1

2

qdxxEV 9

0

47,15,122

0X

47,1XAB u ³

HS ³

Esercizio 50: Determinare il lavoro occorrente per trasportare la carica +5q da un punto all’infinito, cui corrisponde potenziale nullo, lungo la linea indicata, in un punto B posto vicino alle due cariche fisse +4q e -2q. Soluzione:

+ 4 q

-2 q

+ 5 q

+ 5 q

2 d

d6 0 °4 3 °

A

B

Il potenziale nel punto B, al termine dello spostamento, è dato dalla somma dei potenziali prodotti nello stesso punto dalle cariche fisse considerate singolarmente:

0d

1

4

q2

d2

1

4

q4V B

HS

HS

Considerando che il potenziale è nullo sia all’infinito – punto A - che nel punto B, il lavoro occorrente per lo spostamento AB è automaticamente nullo. Sarebbe comunque nullo il lavoro per uno spostamento qualsiasi con estremi A e B.

246

Esercizio 51:

Un elettrone è lanciato con una velocità iniziale di ¸¹

ᬩ

§u

s

m102,3 5 direttamente verso un protone

tenuto fisso in un punto. Se l’elettrone è, inizialmente, ad una grande distanza dal protone, a quale distanza dal protone la sua velocità sarà istantaneamente uguale al doppio del suo valore iniziale. Soluzione: Con il teorema dell’energia cinetica si determina la quantità di lavoro che il campo elettrico prodotto dal protone deve applicare all’elettrone per raddoppiarne la velocità:

2I

2I

2F v3m

2

1vvm

2

1W

Tale lavoro corrisponde alla variazione di energia potenziale elettrostatica del campo:

r

1

4

epW

HS

Con: r distanza dal protone Per cui si ricava la distanza:

r

1

4

ep

HS

2Iv3m

2

1

2Ivm6

epr

HS

¸¸

¹

·

¨¨

©

§uu¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

u

2

22531

2

212

219

s

m102,3kg1011,9

mN

C1085,86

10602,1r

m1065,1r 9u Esercizio 52: Due elettroni sono tenuti ad una distanza fissa di 2 cm. Un altro elettrone è lanciato dall’infinito e si arresta a metà strada tra i due. Determinare la velocità iniziale dell’elettrone. Soluzione: L’elettrone in movimento passa da un potenziale nullo all’infinito al potenziale corrispondente al punto di mezzo dei due elettroni fissi:

V1088,2

m101mN

C1085,82

C10602,12

r

1

4

eV 7

2

2

212

19

u

u¸¸

¹

·

¨¨

©

§

S

u

HS

L’energia occorrente per effettuare tale movimento è dunque:

J1062,4C

J1088,2C10602,1VeW 26719 u ¸

¹

ᬩ

§uu

Dal teorema dell’energia cinetica, tenendo conto che la velocità finale è nulla, si ottiene: 2Ivm

2

1W

¸¹

ᬩ

§

u

u

s

m318

1011,9

1062,42

m

W2v

31

26

I

247

Esercizio 53: Due superfici conduttrici parallele, piane, distanziate di 1 cm hanno una differenza di potenziale di 625 (V). Un elettrone è proiettato da un piatto verso l’altro. Determinare la velocità iniziale dell’elettrone sapendo che esso si ferma a metà strada tra i due piatti. Soluzione: Se l’elettrone raggiungesse la piastra negativa fermandosi allora la sua energia cinetica iniziale sarebbe pari alla differenza di potenziale moltiplicata per la carica. Considerando che si ferma a metà strada allora esso dovrà possedere un’energia cinetica pari alla metà:

J105

2

V625C10602,1Ve

2

1E 17

19

C

u u

La sua velocità iniziale sarà quindi:

¸¹

ᬩ

§u

u

u

s

m10048,1

1011,9

1052

m

E2v 7

31

17C

Esercizio 54: Una carica di valore pari a C100,9Q 9u è uniformemente distribuita intorno ad un anello di raggio 1,5 metri che giace sul piano YZ con il centro sull’origine. Una carica puntiforme di valore pari a C106q 12u è posta sull’asse X a 3,0 cm distanza dal centro della distribuzione ad anello. Determinare il lavoro occorrente per spostare la carica nell’origine. Soluzione: La distribuzione ad anello genera, nel punto a 3 cm dall’origine, un potenziale elettrostatico dato dalla somma di tutti i contributi dei vari tratti ds di anello. Tale potenziale è dato da:

22

N

22

1B

35,1

1

4

s..........

35,1

1

4

sV

HS

'O

HS

'O

N2122

B s.....ss35,1

1

4V '''

HS

O

S35,1

1

4V

22B

HS

O

R235,1

1

4V

22B S

HS

O

V14,2435,1

1

1085,84

QV

2212B

uS

La stessa distribuzione genera, nel centro dell’anello – origine degli assi - , un potenziale pari a:

5,1

1

4

s..........

5,1

1

4

sV N1

A HS

'O

HS

'O

N21A s.....ss5,1

1

4V '''

HS

O

248

S5,1

1

4V A

HS

O

R25,1

1

4V A S

HS

O

V98,535,1

1

1085,84

QV

12A uS

La differenza di potenziale tra i due punti è dunque:

V84,29V ' Mentre il lavoro necessario a spostare la carica è dato da:

J1079,184,29106VqW 1012 u u '

Allo stesso risultato si perviene integrando la funzione campo elettrico tra i due punti ed i rispettivi limiti.

249

CAPACITA’ ELETTRICA INTRODUZIONE ANALOGIA CON IL POTENZIALE DEL CAMPO GRAVITAZIONALE. Allo scopo di meglio comprendere il concetto “Capacità elettrica” può risultare utile assimilare il potenziale elettrico di un corpo conduttore al potenziale gravitazionale del liquido contenuto in un recipiente. A tale scopo si supponga di aver a disposizione un volume V di liquido, ad esempio acqua, da travasare, completamente ed in tempi diversi, in recipienti cilindrici di vetro ognuno dei quali ha una base circolare di raggio disuguale. Si supponga inoltre che tutti i recipienti cilindrici siano in grado di contenere il volume d’acqua che ricevono senza traboccare. Ciò significa, in altre parole, che l’altezza H di ogni cilindro deve essere inversamente proporzionale alla sua superficie di base. Travasando quindi il liquido nei vari cilindri risulta evidente che, essendo costante la quantità, l’altezza raggiunta deve essere variabile in funzione della superficie di base. Potendo associare all’altezza della colonna d’acqua un relativo potenziale gravitazionale, si dirà che, pur non variando il volume d’acqua contenuto, ad ogni recipiente corrisponderà un’altezza di liquido diversa. In altre parole, il potenziale gravitazionale caratteristico del liquido dipende unicamente dalla forma del recipiente che lo contiene e, più precisamente, che esso è inversamente proporzionale al valore che caratterizza l’area di base (se il recipiente è cilindrico). Il rapporto tra la quantità di liquido (costante per tutti i recipienti) e l’altezza raggiunta dal liquido nel recipiente altro non è che la superficie dell’area di base (per il recipiente cilindrico):

BASEAREAH

VOLUME

La possibilità di contenere una quantità di liquido, cioè la capacità del recipiente, dipende dunque, a parità d’altezza, dalla sua area di base. CAPACITA’ ELETTRICA DI UNA SFERA CONDUTTRICE. Anche nel caso della descrizione dei fenomeni determinati dalla presenza di un corpo squilibrato elettricamente o, in altre parole, dotato di una carica elettrica positiva o negativa, è possibile ricollegarsi all’esempio precedente:

Una determinata quantità di carica elettrica Q è trasferita, completamente ed in tempi differenti, a conduttori sferici caratterizzati ognuno dal proprio raggio o diametro.

Ogni conduttore assume, per effetto della carica contenuta, un potenziale elettrico

numericamente espresso dalla somma dei potenziali generati dalla distribuzione superficiale di carica ed uguale al potenziale che tutta la carica genererebbe in un punto della superficie del conduttore se fosse concentrata nel suo centro:

r

1

4

Q

r4

Sr4

r4s

r4r4

sV 2

Ni

1ii

Ni

1i 1

i HS

HS

O S

HS

O ¦ '

HS

O ¦

HS

'O

Si ricorda che:

x Il vettore campo elettrico in un punto qualsiasi della superficie è sempre perpendicolare alla tangente alla superficie in quel punto.

250

x In particolare, per un conduttore sferico, il campo elettrico è parallelo alla direzione del raggio in quel punto.

x La superficie esterna del conduttore è una superficie equipotenziale x Il valore numerico del campo elettrico dipende dal valore della densità superficiale di

carica nel punto che si considera. La densità di carica dipende dal raggio di curvatura della superficie nel punto considerato.

x All’interno del conduttore è nullo il campo elettrico x All’interno del conduttore il potenziale è costante ed è uguale al potenziale di un

punto qualsiasi sulla superficie esterna. x Il potenziale ha un valore costante su tutta la superficie del conduttore

indipendentemente dalla forma del conduttore.

Il potenziale che assume il conduttore sferico di raggio r prefissato dipende quindi – a parità di raggio – dalla quantità di carica contenuta. Raddoppiando o triplicando la carica, raddoppia o triplica il potenziale.

Di conseguenza il rapporto tra la quantità di carica ed il potenziale deve essere una costante caratteristica del particolare conduttore utilizzato e, in particolare per la sfera di raggio r:

r4

r4

Q

Q

V

QC HS

HS

La costante di proporzionalità C è definita “CAPACITA’ ELETTRICA” della sfera conduttrice di raggio r.

Occorre inoltre precisare che la costante dielettrica assoluta H si riferisce al tipo di materiale

che circonda la sfera conduttrice. Tenendo presente che la costante dielettrica assoluta è data dal prodotto tra la costante dielettrica del vuoto e la costante dielettrica relativa del materiale e che tutti i materiali sono caratterizzati da costanti relative superiori all’unità, risulta evidente che non esistono costanti dielettriche assolute minori od uguali a quella del vuoto.

)HH H R 1R ²H Per tutti i materiali

)H²H

Di conseguenza la capacità elettrica di una sfera circondata dal vuoto è, tra tutte quelle possibili, quella minore. Il rapporto tra la capacità della sfera inserita in un dielettrico e della stessa sfera immersa nel vuoto è data dalla seguente relazione:

r4C HS )) r4r4C R HHS HS )

RR

r4

r4

C

CH

HS

HHS

)

)

)

Cioè: )H CC R

Ovviamente, a parità di quantità di carica Q e per sfere di uguale raggio, quella circondata dal vuoto assume potenziali più elevati:

251

)

) C

QV

RC

QV

H

)

)

)

)) H

H

CQ

CQ

V

V R

VV R H ) Esempio: Determinare la capacità elettrica ed il potenziale assunto da due sfere di raggio m1r per effetto di una carica C12Q . La prima sfera è nel vuoto mentre la seconda in alcool etilico 28ALCOOLR H . Soluzione:

Per la sfera nel vuoto:

FaradV

C

mN

C1011,1m1

mN

C1085,84C

210

2

212 ¸

¹

ᬩ

§¸

¸

¹

·

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©

§

u ¸

¸

¹

·

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©

§

uS

)

V109

V

C1011,1

C1

C

QV 9

10

u

¸¹

ᬩ

§u

)

)

Per la sfera nell’alcool etilico:

9

2

212

ALCOOL 1011,3m1mN

C1085,8284C u ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

V1021,3

V

C1011,3

C1

C

QV 8

9ALCALCOOL u

¸¹

ᬩ

§u

Se la stessa quantità di carica è trasferita ad una sfera di raggio minore, si ottiene, di conseguenza, un potenziale maggiore e una “Capacità elettrica” minore. Infatti: Per ipotesi:

21 rr ²

11

r

1

4

QV

HS

2

2r

1

4

QV

HS

12 VV ² Di conseguenza:

11

1 r4V

QC HS

252

22

2 r4V

QC HS

12 CC ¢ CAPACITA’ ELETTRICA La relazione che definisce la nuova grandezza “CAPACITA’ ELETTRICA” è applicabile a corpi di forma e dimensioni qualsiasi e si può quindi concludere con le seguenti osservazioni:

Corpi che hanno la stessa estensione superficiale e la stessa carica elettrica ma forma diversa, presentano potenziali differenti. Di conseguenza anche la capacità elettrica che li caratterizza sarà diversa.

Corpi che hanno la stessa carica e la stessa forma ma superficie diversa presentano potenziali

differenti. Anche in questo caso la capacità elettrica che li caratterizza sarà diversa.

Corpi che hanno una maggiore estensione superficiale presentano un potenziale minore e una capacità elettrica maggiore.

UNITA’ DI MISURA DELLA CAPACITA’ ELETTRICA Si assume come unità di misura standard della nuova grandezza “CAPACITA’ ELETTRICA” quella tipica di un corpo che, caricato con una quantità di carica pari all’unità – cioè 1 COULOMB – assume un valore di potenziale elettrico pari all’unità – cioè 1 VOLT. L’unità di misura della capacità, definita in questo modo, prende il nome di “FARAD”. Per cui:

¸¸¸¸

¹

·

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©

§

¸

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ᬩ

§

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¹

·

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©

§

2

2

22

s

mkg

sA

mN

sAsA

C

J

sA

Volt1

Coulomb1Farad1

DETERMINAZIONE DEL RAGGIO DI UNA SFERA AVENTE CAPACITA’ DI 1 FARAD Il valore unitario della capacità elettrica – 1 Farad – corrisponde alla capacità di una sfera che assume un potenziale di 1 volt per effetto di una carica pari a 1 Coulomb. Tenendo conto dell’espressione del potenziale di una sfera si ottiene dunque:

V1

C1F1C

r4

r4

C1

C1F1C HS

HS

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

#

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

S

¸¹

ᬩ

§

HS

2

29

2

212 CV

mNC109

mN

C1085,84

V

Q1

4

F1r

253

mC

mC

CC

J

mJC

CV

mNC109r

22

29 ¸

¹

ᬩ

§

¸¸¸¸

¹

·

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§

¸

¸

¹

·

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©

§

#

DETERMINAZIONE DELLA CAPACITA’ ELETTRICA DI UNA SFERA DI RAGGIO 1 M. Per una sfera di raggio unitario – 1 metro – la capacità elettrica è:

r4C HS

¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§ ¸

¸

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§¸

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©

§

u ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

V

C

J

CC

J

C

mN

C1011,1m1

mN

C1085,84C

2210

2

212

Farad1011,1V

C1011,1C 1010 u ¸

¹

ᬩ

§u#

SOTTOMULTIPLI DI USO COMUNE PER LE MISURE DI CAPACITA’ ELETTRICA Per le misure di capacità elettrica relativa ai corpi di uso comune si utilizzano alcuni sottomultipli del Farad quali: 1 microfarad F10F1 6 P 1 millimicrofarad o nanofarad F10nF1 9 1 micromicrofarad o picofarad F10pF1 12

CONDENSATORE CONDUTTORE ISOLATO DALL’AMBIENTE ESTERNO - La capacità elettrica di un corpo conduttore è dunque il rapporto tra la quantità di carica in esso contenuta ed il valore del potenziale assunto dal corpo per effetto di tale carica:

V

QC

La costante di proporzionalità – detta appunto capacità elettrica – è una caratteristica morfologica del corpo in quanto dipende dalla sua forma e dimensioni. In particolare, per una sfera di raggio r posta nel vuoto, la costante C assume un valore pari a:

r4C HS ) F

La capacità elettrica di un corpo conduttore perfettamente isolato elettricamente dall’ambiente che lo circonda è dunque costante ed invariabile. CONDUTTORE NON ISOLATO DALL’AMBIENTE ESTERNO - CONDENSATORE: Per i conduttori non isolati dall’ambiente esterno e quindi in grado di risentire delle azioni elettrostatiche causate dalla presenza di altri corpi conduttori carichi elettricamente posti nelle vicinanze, occorre rivedere le basi teoriche che hanno condotto alla definizione della capacità elettrica. Supponiamo quindi di caricare elettricamente un corpo conduttore, ad esempio sferico. Terminata la fase transitoria di passaggio dallo stato neutro allo stato finale, le cariche elettriche si dispongono su uno strato spesso alcune unità atomiche della superficie esterna del conduttore. Ciò è causato dall’azione repulsiva tra cariche di ugual segno.

254

All’interno il campo elettrico E è nullo ed il potenziale V assume il valore costante pari a quello di un qualsiasi punto appartenente alla superficie. Di conseguenza il flusso del campo elettrico ) attraverso ad una qualsiasi superficie gaussiana contenuta nel contorno della sfera è nullo ad indicare che la quantità di carica contenuta nella sfera è pari a zero (infatti tutta la carica è sulla superficie). In queste condizioni la capacità elettrica della sfera risulta pari a:

r4V

r4

V

QC

2

HS SO

)

Si immagini ora di disporre un corpo conduttore neutro nelle immediate vicinanze della sfera carica evitando però il contatto tra i due corpi. Ora la sfera carica non è più isolata dall’ambiente esterno. Inizia quindi una nuova fase transitoria durante la quale l’azione elettrostatica delle cariche sulla superficie sferica costringe gli elettroni di conduzione presenti nel corpo neutro ad avvicinarsi o allontanarsi dalla sfera carica. Il conduttore inizialmente neutro continua a mantenersi neutro, ma è ora polarizzato in modo tale che cariche di segno contrario a quelle contenute nella sfera sono collocate sulla superficie più prossima alla sfera. Nel contempo, senza che la sfera subisca modificazioni alla quantità di carica iniziale, si noterà una diminuzione del potenziale V dovuto al fatto che la polarizzazione del conduttore neutro instaura un potenziale di segno contrario maggiore di quello dello stesso segno (le cariche di segno opposto sono più vicine alla sfera carica). L’abbassamento del potenziale della sfera al termine della fase transitoria di polarizzazione (anche segnalato da un eventuale elettrometro collegato alla sfera) ci porta a concludere che a tale situazione corrisponda un aumento della capacità elettrica della sfera. La nuova capacità elettrica dovrà essere determinata dal rapporto tra la carica Q – che non subisce variazioni – ed il nuovo valore del potenziale 1V - minore di quello iniziale – assunto dalla sfera al termine della seconda fase transitoria con la presenza del conduttore polarizzato:

CV

QC

11 ²

L’aumento di capacità è ancora maggiore se il conduttore polarizzato è collegato a terra. In questo caso tutto il corpo si carica di segno contrario alla carica della sfera ed il potenziale di segno contrario generato sui punti della sfera riduce ulteriormente il potenziale originale aumentando di conseguenza la capacità. Nello stesso tempo anche nella sfera avvengono fenomeni di polarizzazione il cui risultato finale è quello di concentrare le cariche nei punti più prossimi al conduttore inizialmente scarico. In altre parole: La presenza di due corpi conduttori ravvicinati è causa di concentrazione o “CONDENSAZIONE” delle cariche e dell’aumento del valore della capacità elettrica. Quando due corpi conduttori qualsiasi sono in posizione fissa nello spazio, l’uno in presenza dell’altro, e si instaura tra essi un campo elettrico, allora si è realizzato un “CONDENSATORE”. La capacità elettrica del condensatore è maggiore della capacità elettrica normalmente caratteristica di un solo corpo isolato.

255

+ +

+

+

++

++

+

+ +

+

+

++

++

+

+

+

+

+ ++

+++

----

- - - -

--- - - - -

++ +

++ +

+

+

++

+

+ ++

+

+

R 14 – 2/4 – CORPO ISOLATO E CORPO NON ISOLATO (CONDENSATORE)

+ +

+

+

++

++

+

+ +

+

+

++

+----

- - - -

--- - - - -

-----

- - -

- - - ---

---- --- -- -- --

--- - - - -- -- - -

R 14 – 3/4 – CONDENSATORE – CONDUTTORE A TERRA

Praticamente un CONDENSATORE è un dispositivo costituito da due corpi metallici – solitamente con superficie molto estesa – isolati elettricamente e posti a breve distanza uno dall’altro. Tra i due corpi è interposta aria o un materiale dielettrico. Di solito i corpi metallici sono definiti “Armature del condensatore”. In base alla forma delle “armature” si possono individuare le seguenti tipologie di condensatore:

Condensatore piano Condensatore cilindrico Condensatore sferico

256

CONDENSATORE – PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO

CONDENSATORE PIANO Sfruttando le definizioni sino ad ora descritte, si supponga di disporre di una larga piastra conduttrice – ad esempio rettangolare – caratterizzata da uno spessore relativamente piccolo se confrontato con le altre due dimensioni. La lastra, inizialmente neutra e isolata elettricamente dal terreno, è quindi caricata – ad esempio positivamente – con una quantità di carica Q . Trattandosi di un conduttore piano sottile potremo affermare che la carica si distribuisce in modo uniforme sulle due superfici piane e parallele dando luogo ad una densità di carica pari al rapporto tra la carica totale e la superficie complessiva delle due facce contrapposte. Se si considera una lastra avente dimensioni a e b , si avrà:

¸¹

ᬩ

§

V

2m

C

ba2

Q

Il campo elettrico generato dalla larga piastra conduttrice carica non può che essere perpendicolare alle superfici e diretto dalle superfici verso le due regioni dello spazio suddiviso dalla lastra. Il valore numerico del campo elettrostatico è determinato utilizzando la legge di Gauss applicata ad una superficie chiusa cilindrica che interseca perpendicolarmente il piano della lastra con la superficie laterale in direzione parallela al campo e le due basi poste nelle due regioni di spazio a destra e sinistra della lastra:

)H

SV S )

22 r2

r2E

Con: r raggio delle basi del cilindro V densità superficiale di carica (riferita ad una distribuzione sulle due facce) )H costante dielettrica del vuoto (si suppone che la lastra sia circondata dal vuoto)

Il valore del campo elettrico prodotto è dunque:

)H

SV S

22 r2

r2E

)H

V E

Se la lastra avesse uno spessore infinitesimo occorrerebbe pensare ad una distribuzione di carica su un solo strato di spessore atomico ed ad una conseguente densità di carica:

¸¹

ᬩ

§

V

21m

C

ba

Q

Tale distribuzione darebbe luogo nelle due regioni separate dalla lastra, ad un campo elettrico:

)H

SV S )

22 r

r2E

)H

V

2E 1

Si prenda ora una seconda lastra conduttrice neutra, di uguali dimensioni, e si disponga a breve distanza dall’altra a formare due piani paralleli. Tra le due lastre il vuoto.

257

L’effetto d’induzione della lastra carica provoca la polarizzazione di quella scarica caricando di segno negativo il piano ravvicinato e segno positivo il piano più distante e la comparsa di un campo elettrico E nella regione di spazio di lunghezza pari alla distanza tra le lastre. E’ un campo elettrico uniforme in tutti i punti della regione, diretto perpendicolarmente alle superfici delle lastre e orientato dalla lastra positiva a quella negativa. La presenza di un campo elettrico uniforme ci consente di affermare che tra le lastre si deve essere generata una differenza di potenziale V' . A una qualsiasi particella positiva q collocata sulla superficie della lastra positiva è applicata una forza elettrostatica repulsiva che ne provoca l’avanzamento verso la lastra negativa. Tale forza elettrostatica ha un valore costante in tutti i punti del segmento perpendicolare alle due lastre e sviluppa quindi un lavoro di spostamento pari a:

dqEdFW EAB Di conseguenza è possibile affermare che tra le due lastre si deve essere necessariamente instaurata una differenza di potenziale VV AB ' pari al rapporto tra il lavoro ABW e la grandezza della carica che subisce lo spostamento.

dEq

dqE

q

dF

q

WV EAB

'

Se di fronte ed a breve distanza dalla lastra già caricata positivamente con la carica Q è posizionata un’uguale lastra conduttrice neutra e collegata a terra, le forze d’induzione elettrostatica provocate dalla presenza delle cariche positive polarizzano il sistema composto dalla lastra neutra, dal filo e dal terreno. La lastra neutra si carica negativamente ed il terreno di segno contrario. Il potenziale all’interno del sistema lastra negativa-filo-terreno deve essere necessariamente nullo in quanto somma degli effetti di cariche uguali e di segno contrario. Inoltre l’induzione elettrostatica tra le cariche positive e negative sulle due lastre ravvicinate provoca la condensazione delle cariche positive e negative sulle sole facce interne delle lastre.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

---

-

--

-

-

-

-

--

-

-

--

-

+ + + ++++ ++ + ++ + +++ + +

R 14 - 4/4 - CONDENSATORE

258

Tre le due lastre si instaura dunque un campo elettrico uniforme il cui valore può essere determinato tenendo conto della legge di Gauss e del principio di sovrapposizione degli effetti. Si pensi allora di suddividere lo spazio in tre regioni distinte:

x Regione posta a sinistra della lastra positiva (1) x Regione posta a destra della lastra negativa (2) x Regione compresa tra le lastre (poste ad una distanza d) (3)

In tutte e tre le regioni il valore del campo elettrico risulta dalla somma algebrica dei campi prodotti separatamente dalle due lastre. I campi prodotti dalle lastre si ottengono applicando la legge di Gauss a cilindri che intersecano perpendicolarmente le lastre e la cui base circolare ha un raggio r generico. Per cui:

Per la regione (1) a sinistra della lastra positiva . x Campo elettrico prodotto dalla lastra positiva, uscente dalla lastra e quindi orientato verso

sinistra: 2

1

2

r2Er

S H

SV )

)

)

H

V

2E 1

x Campo elettrico prodotto dalla lastra negativa, entrante nella lastra e quindi orientato verso destra:

21

2

r2Er

S H

SV )

)

)

H

V

2E 1

Campo elettrico risultante:

0EEE 111 E’ quindi nullo il campo elettrico nella regione di sinistra.

Per la regione (2) a destra della lastra negativa. x Campo elettrico prodotto dalla lastra positiva, uscente dalla lastra e quindi orientato verso

destra: 2

2

2

r2Er

S H

SV )

)

)

H

V

2E 2

x Campo elettrico prodotto dalla lastra negativa, entrante nella lastra e quindi orientato verso sinistra:

22

2

r2Er

S H

SV )

)

)

H

V

2E 2

Campo elettrico risultante:

0EEE 222 E’ quindi nullo il campo elettrico nella regione di destra.

259

Per la regione (3) compresa tra le due lastre. x Campo elettrico prodotto dalla lastra positiva, uscente dalla lastra e quindi orientato verso

destra: 2

3

2

r2Er

S H

SV )

)

)

H

V

2E 3

x Campo elettrico prodotto dalla lastra negativa, entrante nella lastra e quindi orientato verso destra:

23

2

r2Er

S H

SV )

)

)

H

V

2E 3

Campo elettrico risultante:

)))

H

V

H

V

H

V

22EEE 333

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

---

-

--

-

-

-

-

--

-

-

--

-

-

-

-

--

--

-

--

-

--

-

--

-

-

++

+

+

+

+

++

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+E E +

EE-

E

E-

E

1

1

3

3-

2

2+

3

R 14 - 5/4 - CAMPO ELETTRICO NEL CONDENSATORE

Tra le lastre del sistema – ovvero del “condensatore” – si instaura quindi un campo elettrico uniforme , perpendicolare ai piani delle lastre e orientato dalla lastra positiva a quella negativa, il cui valore dipende dalla quantità di carica Q o dalla densità di carica V e dalla costante dielettrica del materiale interposto tra le lastre (in questo caso il vuoto ma in generale un dielettrico di costante relativa RH ):

)H

V 3E ¸

¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

m

V

C

N

mN

Cm

C

2

2

2

260

)) H

H

S

QS

Q

E 3 ¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

m

V

C

N

mN

Cm

C

2

22

Tra le lastre si genera una differenza di potenziale data dal prodotto tra il campo elettrico e la distanza d tra le lastre:

dS

QdEV

H '

)

Vmm

V¸

¹

ᬩ

§

ddEV H

V '

)

Risulta ora possibile determinare la “capacità del condensatore” come rapporto tra la quantità di carica immagazzinata (si considera il valore assoluto della carica presente su una sola lastra) e la differenza di potenziale tra le lastre:

V

QC

'

d

S

dS

Q

QC H

H

)

)

Farad

Dimensionalmente:

FaradV

C

J

CC

m

m

mN

CC

2

2

2

¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§ ¸

¸

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·

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©

§¸

¸

¹

·

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©

§

La capacità elettrica di un condensatore dipende unicamente dalla superficie delle lastre o “armature del condensatore”, dalla loro distanza d e dalla costante dielettrica del materiale interposto tra le armature. Più precisamente: La capacità di un condensatore è:

x Direttamente proporzionale alla superficie delle armatura x Direttamente proporzionale alla costante dielettrica del mezzo interposto x Inversamente proporzionale alla distanza

Per quanto riguarda la variazione della capacità in funzione del valore della costante dielettrica si può dire quanto segue:

La presenza di un materiale dielettrico isolante (di costante relativa RH ) tra le armature del condensatore provoca un abbassamento del valore del campo elettrico e della differenza di potenziale. Quindi si ha un aumento di capacità: Il rapporto tra la capacità con dielettrico e la capacità con il vuoto interposto è dato da:

d

SC R HH ) Capacità con dielettrico di costante RH

d

SC H )) Capacità con il vuoto interposto

261

RC

CH

)

)H CC R

Per quanto riguarda la distanza tra le armature a parità delle altre condizioni:

d

SC R HH ) Capacità a distanza d

1R1

d

SC HH ) Capacità a distanza 1d

d

d

C

C 1

1

11 C

d

dC

DEFINIZIONE DI NUOVE UNITA’ DI MISURA PER LA COSTANTE DIELETTRICA Sfruttando la definizione dell’unità di misura della capacità elettrica e la relazione che permette di calcolarne il valore nel caso di condensatore piano, è possibile dare un’interpretazione diversa alle unità di misura della costante dielettrica:

d

SC H

Da cui si ottiene:

S

dC H ¸

¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§ H

m

F

m

mF2

Nel caso della costante dielettrica del vuoto si avrà:

¸¹

ᬩ

§u ¸

¹

ᬩ

§ P ¸

¹

ᬩ

§ ¸

¹

ᬩ

§ H

)m

F1085,8

m

F85,8

m

picofarad85,8

m

faradmicromicro85,8 12

CONDENSATORE CILINDRICO Un condensatore cilindrico è costituito da due superfici cilindriche coassiali di raggio rispettivamente 1R e dRR 12 . Ove d è molto piccolo rispetto ad 1R . Si tratta, in altre parole, di un tubo esterno di piccolo spessore che contiene un cilindro più piccolo. Entrambe le superfici o armature del condensatore appartengono a corpi conduttori e, tra loro, è interposto il vuoto o un dielettrico isolante.

12 RRd Distanza tra le armature

Con: d Distanza tra le due superfici cilindriche m

2R Raggio interno del tubo conduttore esterno m

1R Raggio esterno del cilindro interno m Anche in questo caso si provvede a caricare positivamente l’armatura interna cioè il cilindro più piccolo, mentre l’armatura esterna è collegata a terra. La carica positiva Q si dispone uniformemente sulla superficie del cilindro interno e l’induzione elettrostatica polarizza il terreno e l’armatura esterna caricando quest’ultima di segno negativo con lo stesso valore Q .

262

Si genera in questo modo un campo elettrico radiale E , orientato dal cilindro interno verso quello esterno, necessariamente perpendicolare alle due superfici cilindriche. Il valore di tale campo elettrico è determinato con l’applicazione della legge di Gauss ad una superficie gaussiana cilindrica coassiale di raggio variabile da un minimo, pari al raggio esterno dell’armatura interna, ad un massimo, pari al raggio interno del cilindro esterno. Tale variazione è pari allo spazio d interposto tra i due cilindri.

1R

R 2

d

++

+

+

+

++

++

+

+

++

+

+

+

H

R

-

-

-

-

--

- -

--

-

-

-

-

-

-

R 14 - 6/4 – CONDENSATORE CILINDRICO Applicando quindi la legge di Gauss alla superficie gaussiana cilindrica che contiene la carica Q positiva, si ottiene, per i punti appartenenti alla regione compresa tra le due armature:

Hr2EQ

S H

)

Con: r Variabile da un minimo pari a 1R ad un massimo pari a 2R H Altezza delle armature H Costante dielettrica assoluta del materiale interposto Si ottiene quindi:

r

1

H2

QrE

HS Campo elettrico radiale variabile

Il campo elettrico è quindi massimo sulla superficie del cilindro interno e minimo sulla superficie interna dell’armatura cilindrica negativa:

1MAX

R

1

H2

QE

HS

2

MINR

1

H2

QE

HS

La conoscenza della funzione rE ci permette di determinare la differenza di potenziale tra le due armature:

263

drrEV2R

1R

³ '

drr

1

H2

QV

2R

1R

³HS

'

drr

1

H2

QV

2R

1R

³HS

'

> @ 2R1Rrlog

H2

QV

HS '

12 RlogRlogH2

QV

HS '

1

2

R

Rlog

H2

QV

HS ' Differenza di potenziale tra le armature

La capacità del condensatore cilindrico è quindi determinata dal rapporto:

V

QC

'

1

2

1

2

R

Rlog

H2

R

Rlog

H2

Q

QC

HS

HS

E, tenendo conto della distanza tra le armature:

¸¹

ᬩ

§

HS

¸¹

ᬩ

§

HS

HS

11

1

1

2

R

d1log

H2

R

dRlog

H2

R

Rlog

H2

Q

QC

Moltiplicando e dividendo per il raggio 1R :

¸¹

ᬩ

§

H

¸¹

ᬩ

§

HS

11

1

11

1

R

d1logR

S

R

d1logR

RH2C

Anche nel caso di condensatore cilindrico il valore della capacità elettrica dipende unicamente dal valore della costante dielettrica assoluta e dalle caratteristiche geometriche del sistema quali il raggio del cilindro interno, la distanza tra le armature (sempre molto piccola) e l’altezza del condensatore. Tra tutti i valori possibili di capacità in relazione al tipo di materiale interposto, si ottiene quello minimo, quando tra le armature è fatto il vuoto:

¸¹

ᬩ

§

H

¸¹

ᬩ

§

HS ))

)

11

1

11

1

R

d1logR

S

R

d1logR

RH2C

¸¹

ᬩ

§

HH

¸¹

ᬩ

§

HHS ))

11

1R

11

1R

R

d1logR

S

R

d1logR

RH2C

RC

CH

)

)H CC R

264

CONDENSATORE SFERICO

Si tratta di un involucro sferico o strato sferico conduttore sottile che contiene una sfera più piccola anch’essa conduttrice. Lo strato e la sfera interna sono caratterizzati, rispettivamente, da un raggio interno 2R e da un raggio 1R . La distanza tra la superficie esterna della sfera e quella interna dello strato è determinata dalla differenza tra i due raggi: dRR 12 Raggio interno dello strato sferico 1R Raggio della sfera interna 12 RRd Distanza tra le armature Anche in questo caso si provvede a caricare positivamente il conduttore sferico interno che, a sua volta, polarizza di segno contrario lo strato collegato a terra. Le quantità di carica – positiva sulla sfera e negativa sullo strato – hanno lo stesso valore Q e sono distribuite uniformemente sulle superfici affacciate. Evidentemente le densità superficiali di carica presenti sulle superfici, seppur molto simili considerando la piccola differenza tra i raggi, sono diverse tra loro. Nella regione di spazio compresa tra le superfici si instaura quindi un campo elettrico variabile, radiale e perpendicolare alla sfera. Il valore del campo elettrico si ottiene applicando la legge di Gauss ad una superficie gaussiana sferica di raggio variabile da un minimo pari al raggio esterno della sfera interna - 1R - ad un massimo pari al raggio interno dello strato. Si ottiene:

H

S )Q

r4E 2

Con: ) Flusso del campo elettrico uscente dalla sfera gaussiana rE campo elettrico variabile entro la distanza d 2r4 S Area della superficie sferica gaussiana (variabile in d) Q Carica positiva contenuta sulla sfera interna H Costante dielettrica assoluta del materiale interposto Si ottiene quindi il valore del campo:

HS

2r4

QrE

Da notare che il campo elettrico generato dalla carica interna – distribuita sulla superficie sferica – è pari al campo che genererebbe la stessa carica nel punto considerato se fosse concentrata nel centro della sfera. Il campo elettrico, prodotto dalla carica negativa sullo strato, nello spazio vuoto interno allo strato sferico stesso è nullo per simmetria sferica.

Il valore della differenza di potenziale tra la superficie esterna della sfera e quella interna dello strato, si ottiene integrando la funzione campo elettrico con i limiti imposti dai valori dei raggi. Si tenga conto che integrare la funzione campo elettrico significa determinare la quantità di lavoro che eseguirebbe il campo variabile per trasportare una carica dall’armatura positiva a quella negativa e dividere il lavoro risultante per la grandezza della carica trasportata. Quindi:

265

q

WV 2R1R o '

drrEV2R

1R

³ '

drr4

QV

2R

1R2³

HS '

drr

1

4

QV

2R

1R2³

HS '

2R

1Rr

1

4

QV »¼

º«¬

ª

HS '

¸¹

ᬩ

§

HS '

12 R

1

R

1

4

QV

¸¹

ᬩ

§

HS '

21 R

1

R

1

4

QV

¸¹

ᬩ

§

HS '

21

12

RR

RR

4

QV

La capacità del condensatore sferica è dunque data da:

¸¹

ᬩ

§

HS

'

12

21

RR

RR4

V

QC

Anche in questo caso la capacità risulta dipendente dalle sole caratteristiche geometriche delle armature e dalla costante dielettrica del materiale interposto:

x Nel vuoto:

¸¹

ᬩ

§

HS )

12

21

RR

RR4C

x In un dielettrico qualsiasi:

¸¹

ᬩ

§

HHS )

12

21R

RR

RR4C

Per cui:

)H CC R La capacità di un condensatore sferico con interposto un dielettrico è uguale a quella dello stesso condensatore con interposto il vuoto, moltiplicata per il valore della costante dielettrica relativa.

266

L’ENERGIA ELETTROSTATICA DEL CONDENSATORE Un condensatore è un’apparecchiatura in grado di immagazzinare sulle proprie armature una certa quantità di carica Q e di generare nel contempo una certa differenza di potenziale. Se si utilizza ancora l’analogia idraulica, l’azione del condensatore potrebbe essere paragonata a quella di un lago artificiale formato in quota dalla presenza di una diga, cioè contenere una determinata quantità d’acqua il cui livello energetico gravitazionale è “potenzialmente” superiore a quello che sarebbe in possesso alla stessa quantità d’acqua contenuta in un lago di pianura. L’energia potenziale dell’acqua trattenuta dalla diga in quota può essere sfruttata in qualsiasi momento e trasformata, ad esempio, in energia elettrica. La quantità di carica nel condensatore corrisponde alla quantità d’acqua, la differenza di potenziale tra le armature è paragonabile alla differenza di potenziale gravitazionale (differenza di livello) tra la quota cui è spillata l’acqua del lago e la quota ove è installata la centrale di trasformazione, mentre, lo spazio tra le armature o distanza d, sede del campo elettrico, rappresenta fisicamente il luogo ove è contenuta l’energia potenzialmente utilizzabile, cioè, in altre parole, il bacino artificiale in quota. Ciò che differenzia in modo importante il condensatore elettrostatico dall’analogia idraulica con il lago in quota, sono le modalità con le quali si accumulano rispettivamente la carica elettrica e l’acqua. Nel caso del lago artificiale l’accumulo di acqua avviene in modo naturale per merito delle precipitazioni atmosferiche senza alcun intervento od azione da parte dell’uomo. La diga deve quindi essere considerata come una limitazione all’azione gravitazionale terrestre che, altrimenti, provvederebbe a livellare l’energia convogliando l’acqua meteorica al livello più basso possibile, cioè il livello del mare. L’energia elettrica che si ottiene dallo sfruttamento dell’energia potenziale contenuta nel bacino artificiale, a parte i costi relativi alla costruzione e alla gestione delle infrastrutture, risulta completamente gratuita alla società. Se così non fosse e si pensasse di riempire il lago artificiale prelevando acqua dalla pianura, sarebbe necessario fornire dall’esterno una quantità di lavoro meccanico pari alla variazione di energia potenziale tra le due quote di tutta la quantità d’acqua. hgmL ' J Con: L Lavoro meccanico esterno M Massa d’acqua contenuta nel lago G Accelerazione gravitazionale terrestre h' Differenza di potenziale gravitazionale o differenza di livello La carica del condensatore, con l’ipotesi di collegare a terra una delle due armature, richiede, al contrario, l’applicazione di lavoro esterno almeno per quanto concerne l’instaurarsi delle azioni elettrostatiche. In altre parole:

x E’ pur vero che l’effetto d’induzione avviene spontaneamente tra l’armatura carica e quella scarica collegata a terra ma, tale effetto può solo essere provocato da una precedente azione esterna in grado di modificare l’equilibrio elettrostatico naturale dell’armatura che provocherà poi l’induzione.

x Per tale azione è richiesta la fornitura di energia dall’esterno. In questo senso il processo di carica di un condensatore è molto simile a quanto avviene durante la deformazione di una molla elastica per effetto di una forza esterna.

267

La forza elastica aumenta proporzionalmente al valore della deformazione ed il lavoro esterno occorrente a far variare di un tratto x' la lunghezza iniziale della mola è determinato dall’area sottostante la linea che, graficamente, rappresenta la relazione forza-dilatazione:

2xk2

1L '

Tale lavoro esterno è immagazzinato dalla molla sottoforma di energia potenziale elastica e può poi essere restituita all’ambiente, quando la molla torna alla sua lunghezza iniziale.

F (N )

x (m )

F = k

3

L (J )

3

R 14 – 7/4 LAVORO DI DEFORMAZIONE ELASTICA O ENERGIA POTENZIALE ELASTICA

Allo stesso modo l’energia elettrostatica immagazzinata nel campo elettrico tra le armature del condensatore è pari al lavoro che occorre applicare alle cariche elettriche per costringerle a passare da un’armatura all’altra vincendo le azioni elettrostatiche contrarie che aumentano d’intensità concordemente all’aumento di potenziale da esse stesse provocato. Ricordando che la variazione di potenziale V' è determinato dal rapporto tra il lavoro applicato e la carica trasportata, si ottiene:

Q

WV '

QVW ' Tenendo poi presente che, per un condensatore, è costante il rapporto tra la quantità di carica e la differenza di potenziale tra le armature, e che detto rapporto altro non è che la capacità:

V

QC

'

VCQ ' Si ottiene il lavoro speso per caricare il condensatore utilizzando ancora la rappresentazione grafica simile a quella della molla. Il lavoro speso, che corrisponde all’energia potenziale elettrostatica immagazzinata dal condensatore, è rappresentato dall’area del triangolo che ha per base la differenza di potenziale finale e per altezza la quantità di carica depositata sulle armature. Tale quantità di carica si ottiene tenendo conto della capacità del condensatore.

268

Q (C )

V (V o lt)

Q = C

L (J )

V

V

R 14 – 8/4 ENERGIA ELETTROSTATICA CONTENUTA NEL CONDENSATORE

Si ottiene quindi:

2

.EL.P VC2

1

2

VCVEW '

'' ENERGIA POTENZ. ELETTROSTATICA

Da notare l’analogia tra l’energia potenziale elettrostatica di un condensatore e l’energia potenziale elastica di una molla deformata. Se si utilizza la definizione di capacità per esprimere la capacità e la differenza di potenziale in funzione della carica, si ottiene:

V

QC

'

VQ2

1V

V

Q

2

1VC

2

1E 22

.EL.P ' ''

'

C

QV '

C

Q

2

1

C

QC

2

1VC

2

1E

222

.EL.P ¸¹

ᬩ

§ '

269

ESERCIZI CAPACITA’ ELETTRICA - CONDENSATORI

Esercizio 1: Le armature di un condensatore a piatti paralleli sono separati da una distanza d=1 mm. Determinare quale deve essere l’area dei piatti se la capacità è F1C . Soluzione: La capacità di un condensatore piano è data dalla relazione:

d

SC R HH )

In questo caso, in mancanza di dati precisi, si considera il vuoto come mezzo interposto, quindi dalla formula inversa si ottiene:

¸¸

¹

·

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©

§

u

¸¸

¹

·

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§

u

u¸¹

ᬩ

§

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©

§

u

u

H

) VC

mN1013,1

mN

C1085,8

m101V

C1

mN

C1085,8

m101F1dCS

38

2

212

3

2

212

3

283

83

83

8 m1013,1mN

mN1013,1

JC

CmN1013,1

VC

mN1013,1S u ¸

¸

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§

u ¸

¸

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§

u ¸

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¹

·

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©

§

u

Se si vuole la superficie in km quadrati:

22

2

26

28 km1013,1

km

m10

1m1013,1S u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§uu

Ciò corrisponde da armature quadrate di lato: km63,101013,1L 2 u

Un condensatore avente una capacità come quella data dal problema sarebbe in grado, sfruttando l’energia in esso immagazzinata, di sopperire per un tempo di un mese alla richiesta di corrente di un elaboratore. Esercizio 2: Il condensatore di un circuito integrato di memoria centrale per calcolatori (RAM), ha una capacità

fF55C . Se la carica Q immagazzinata ha dato luogo ad una differenza di potenziale pari a 5,3 V, quanti elettroni in eccesso sono presenti sull’armatura negativa? Soluzione: Anche in questo caso, per mancanza di ulteriori informazioni, si suppone il vuoto interposto tra i piatti di un condensatore piano. Il suffisso “f” prima di Farad deve essere inteso: F10Farad_femto1Ff1 15 Direttamente dalla definizione di capacità elettrica:

V

QC

'

VF1092,2V3,5Farad1055VCQ 1315 u uu '

270

CVV

C1092,2VF1092,2Q 1313 ¸

¹

ᬩ

§u u

Ricordando il valore della carica elettrica dell’elettrone, si ricava il numero di elettroni in eccesso sull’armatura negativa: enQ

elettroni10825,1

elettr

C106,1

C1092,2

e

Qn 6

19

13

u

¸¹

ᬩ

§u

u

Esercizio 3: Un conduttore con capacità:

Farad10300Farad_pico300pF300C 12u possiede una carica immagazzinata di C105Q 6u . Determinare il potenziale cui si porta. Soluzione: Dalla definizione di capacità:

V

QC

Volt1066,1

V

C103

C105

C

QV 4

10

6

u

¸¹

ᬩ

§u

u

Esercizio 4: Determinare la capacità di un condensatore sapendo che, con una carica di C103 6u , è presente tra le armature una d.d.p. di 500 V. Soluzione:

Farad_nanonF6F106V500

C103

V

QC 9

6

u u

'

Esercizio 5: In un condensatore pF50C si ha una d.d.p. tra le armature di 100 V. Determinare la carica posseduta da ciascuna armatura. Soluzione: Ogni armatura possiede una carica di:

C105V100V

C1050VCQ 912 ur u¸

¹

ᬩ

§u '

Esercizio 6: Ai capi di un condensatore che possiede una carica C102,1Q 3 si stabilisce una tensione di 600 V. Determinare la capacità del condensatore: Soluzione: Dalla definizione di capacità:

F2Farad_micro2F102V600

C102,1

V

QC 6

3

P u u

Esercizio 7:

271

Determinare la carica di un condensatore di capacità pF5 quando ai suoi capi è applicata una tensione di 300 V. Soluzione: Dalla relazione della capacità: C105,1V300F105VCQ 912 u u ' Esercizio 8: Calcolare la differenza di potenziale – d.d.p. – che nasce tra le armature di un condensatore avente capacità Farad_nano3C quando ciascuna di esse possiede una carica di C103 6u . Soluzione: La differenza di potenziale è data da:

v000.1F103

C103

C

QV

9

6

u

u '

Esercizio 9: Due conduttori sferici isolati posseggono ciascuno una carica elettrica C10Q 5 . Il primo si trova ad un potenziale di 1.000 V. Quando si stabilisce in contatto elettrico tra i due conduttori, si ha un passaggio di elettricità, dal secondo al primo, di C10 6 . Determinare la capacità del secondo conduttore. Soluzione: La capacità del primo conduttore sferico è data dalla relazione:

V

QC

Con: Q Carica su ciascuna armatura V Potenziale del conduttore. Il potenziale sulla superficie del conduttore sferico è uguale a quello caratteristico di un qualsiasi punto appartenente al corpo interno del conduttore come, ad esempio, il punto centrale. Il potenziale del punto centrale è uguale alla somma dei potenziali provocati da ogni tratto di superficie carica oppure al potenziale generato in un punto distante quanto il raggio della sfera se si immagina tutta la carica concentrata nel centro:

1R

1

4

QV

HS

)

Per cui la capacità della sfera è data da: 1R4C HS ) La prima sfera ha dunque un raggio pari a:

)HS

4

CR 1

Sostituendo a C il suo valore, ricavato dai dati in nostro possesso di ottiene:

272

m90

mN

C1085,84V000.1

C10

4V

Q

R

2

212

5

1

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uS

HS

)

Dopo il contatto con la seconda sfera, anch’essa carica, la carica della prima sfera aumenta di una quantità pari a C10 6 per cui, considerando costante la sua capacità, anche il potenziale subisce un aumento. Il potenziale sulla prima sfera dopo il contatto è dato da:

V100.1R4

1010

C

QQV

1

651 |

HS

)

A questo punto, considerando che dopo il contatto il potenziale della seconda sfera deve essere uguale a quello d’equilibrio – cioè uguale a quello della prima sfera dopo il contatto – e che la carica posseduta dalla seconda sfera è quella data dalla differenza tra la carica iniziale e quella perduta durante il contatto, si ottiene la capacità della seconda sfera:

F1018,8V100.1

C1010

V

QC 9

65

2

u

Di conseguenza il raggio della prima sfera deve essere uguale a:

mJ

mN

CV

mN59,73

mN

C1085,84

V

C1018,8

4

CR

22

2

212

9

22 ¸

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§ ¸

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·

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§

|

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¹

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§

uS

¸¹

ᬩ

§u

HS

)

Esercizio 10: Due sfere conduttrici con raggi rispettivamente di 3 e 5 cm sono poste a contatto con un morsetto di una macchina elettrostatica, che ha un potenziale di 10.000 v rispetto al potenziale nullo della terra. Se le due sfere, dopo la carica, sono poste a 50 cm di distanza una dall’altra, quale forza coulombiana si manifesta tra di esse? Soluzione: Sia la prima che la seconda sfera assumono un potenziale uguale a quello della macchina elettrostatica, assorbendo dunque una quantità di carica rispettivamente di: 11 R4C HS )

V

QC 1

1

C1033,3C

J000.10m03,0

mN

C1085,84VCQ 8

2

212

11 u ¸

¹

ᬩ

§¸

¸

¹

·

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©

§

uS

22 R4C HS )

V

QC 2

2

C1056,5C

J000.10m05,0

mN

C1085,84VCQ 8

2

212

22 u ¸

¹

ᬩ

§¸

¸

¹

·

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©

§

uS

Ponendo a 50 cm di distanza i baricentri delle sfere e supponendo che tutta la carica sia concentrata nei rispettivi baricentri, si otterrà una forza coulombiana di repulsione pari a:

273

N1066,6m5,0

1

mN

C1085,84

C1033,31056,5

r

1

4

QQF 5

22

2

212

288

221

E

)

u

¸¸

¹

·

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©

§

uS

uu

HS

Esercizio 11: Due cariche elettriche, C103Q 8

1u e C108Q 9

2 , sono poste su due sfere aventi la

prima una capacità doppia della seconda. La distanza tra i centri delle due sfere è di 1 metro. Sapendo che la differenza di potenziale tra le sfere è di 20.000 V, determinare la forza elettrostatica che agisce sulle due sfere ed il loro potenziale elettrico. Soluzione: Le capacità delle due sfere sono, rispettivamente, date da: 11 R4C HS ) 22 R4C HS ) La prima ha una capacità doppia della seconda, quindi:

2R

R

C

C

2

1

2

1

Per cui il raggio della prima è il doppio di quello della seconda: 21 RR Il potenziale sulle due sfere deve essere necessariamente determinato dalla carica posseduta da ognuna e dalla rispettiva capacità, ed inoltre, la differenza di potenziale tra le due sfere è 20.000 V, per cui:

1

11

C

QV

2

22

C

QV

Dato che le due sfere sono caricate di segno contrario, la differenza di potenziale tra esse è data dalla somma dei potenziali, per cui:

2

21

2

2

2

1

2

2

1

121

C2

2QQ

C

Q

C2

Q

C

Q

C

QVVV000.20V

'

Si determina quindi la capacità 2C e poi la capacità 1C :

F1015,1V000.202

C1082103

V2

Q2QC 12

9821

2

u

uu

'

F103,2C 121

u Determiniamo ora i potenziali delle due sfere:

V043.13

V

C103,2

C103

C

QV

12

8

1

11

¸¹

ᬩ

§u

u

V957.6

V

C1015,1

C108

C

QV

12

9

1

12

¸¹

ᬩ

§u

u

V000.20957.6043.13V '

274

Esercizio 12: Un condensatore della capacità di 100 pF ha un’armatura collegata a terra e l’altra al potenziale di 1.000 V. In seguito al contatto di questa armatura con un conduttore sferico, il potenziale dell’armatura scende a 700 V. Si determini il raggio del conduttore sferico. Soluzione: Dato che si conoscono i dati iniziali del condensatore è possibile determinare la quantità di carica da esso posseduta inizialmente:

V

QC

'

C101V0000.1V

C10100VCQ 712 u ¸

¹

ᬩ

§u '

Dopo il contatto con il conduttore sferico, l’armatura assume un potenziale d’equilibrio pari a 700 V. Per cui si determina la carica finale ancora presente sull’armatura dopo il contatto:

C107V0700V

C10100VCQ 812

11 u ¸

¹

ᬩ

§u '

Dato che il conduttore sferico ha ricevuto una quantità di carica pari a: C103QQQ 8

12u

e il suo potenziale ha pareggiato quello dell’armatura – potenziale d’equilibrio – è possibile determinarne la capacità e poi il raggio:

R4V700

C103

V

QC

8

e

22 HS

u )

Da cui si ottiene il raggio:

m386,04700

103R

8

HS

u

)

Esercizio 13: Fornendo ad un condensatore una carica C103Q 4u , si determina tra le sue armature una tensione di 100 V. Determinare la sua capacità e l’energia immagazzinata nel condensatore. Soluzione: La capacità del condensatore è data da:

F103V100

C103

V

QC 6

4

u u

'

L’energia immagazzinata nella regione compresa tra le armature può essere pensato pari al lavoro che, dall’esterno, è stato applicato per trasportare le cariche negative da un’armatura all’altra, provocando in questo modo la comparsa del campo elettrico. Il lavoro che è stato applicato dall’esterno si può determinare mediante una delle seguenti relazioni:

J105,1C

J100C103

2

1VQ

2

1W 24

AB u ¸

¹

ᬩ

§u '

J105,1V100V

C103

2

1VC

2

1VQ

2

1W 22262

AB u ¸

¹

ᬩ

§u ' '

275

Esercizio 14: Un condensatore avente la capacità F1C P è caricato fino a che si crea tra le sue armature una differenza di potenziale di 800 V. Determinare la carica esistente sul condensatore e l’energia che si rende disponibile durante la scarica. Soluzione: La carica sul condensatore è determinata da:

V108V800V

C101VCQ 46 u ¸

¹

ᬩ

§u '

L’energia potenziale elettrostatica immagazzinata:

J32,0V800V

C101

2

1VC

2

1W 2262 ¸

¹

ᬩ

§u '

Esercizio 15: Un condensatore viene caricato fino ad assumere una carica C105Q 4 ; successivamente viene scaricato e fornisce un lavoro di 0,3 (J). Determinare la capacità del condensatore. Soluzione: Conoscendo il lavoro fornito dal processo di scarica e la quantità di carica sulle armature, si determina il potenziale iniziale:

VQ2

1V

V

Q

2

1VC

2

1W 22 ' '

' '

Da cui si ottiene:

Volt102,1C105

J3,02

Q

W2V 3

4u

u

'

La capacità del condensatore è dunque data da:

F7,41V102,1

C105

V

QC

3

4

P u

'

Esercizio 16: Dimostrare che la costante dielettrica H si può misurare in F/m. Soluzione:

¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

¸

¹

ᬩ

§

¸

¸

¹

·

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©

§

H

m

F

mV

C

mJ

CC

mN

C2

2

Esercizio 17: Un condensatore ad aria ha una capacità pF3C . Determinare quale sarà la sua capacità se si interpone tra le armature uno strato di mica:

5MICAR H Soluzione: Se si suppone che il condensatore sia piano (vale comunque per altri tipi di condensatore), allora la sua capacità è data dalla relazione:

d

SC R HH )

Se poi si approssima ad 1 la costante dielettrica relativa dell’aria, si avrà:

276

pF3d

S1C ARIA H )

d

S5C MICA H )

Per cui si ottiene:

51

5

C

C

ARIA

MICA

pF15C5C MICA ) Esercizio 18: Un condensatore piano è costituito da due piastre circolari distanti tra loro 2 mm, tra le quali è interposto uno strato di carta paraffinata di costante dielettrica relativa pari a 2,1. Determinare il diametro delle armature sapendo che la capacità del condensatore è di 2 nF. Soluzione: Dalla relazione della capacità di un condensatore piano:

d

SC R HH )

Si ottiene la superficie dell’armatura e, di conseguenza il raggio:

)HH

S

R

2 dCrS

2

2

212

39

R

2 m0685,0

mN

C1085,81,2

m102F102dCr

S¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u

uu

SHH

)

m26,0r cm52d Esercizio 19: Le piastre di un condensatore ad aria hanno una superficie di 2cm50 e sono poste alla distanza di 2 cm. Sapendo che il condensatore è caricato con C1021,2Q 9u , determinare la differenza di potenziale (tensione o d.d.p.) tra le armature. Soluzione: La capacità del condensatore piano è data da:

d

SC R HH )

pF21,2J

C1021,2

m102

m1050

mN

C1085,81C

212

2

24

2

212 ¸

¸

¹

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©

§u

u

u¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

u

La differenza di potenziale tra le armature vale:

Volt000.1F1021,2

C1021,2

C

QV

12

9

u

u '

Esercizio 20: Determinare la capacità di un condensatore cilindrico le cui armature sono alte 10 cm e quella interna ha un raggio di 3 cm. Tra le armature si ha uno stato d’aria di 2 mm.

277

Soluzione: La capacità di un condensatore cilindrico è determinata dalla relazione:

¸¹

ᬩ

§

HH )

ii

iR

R

d1logR

SC

Con: iS Superficie dell’armatura interna HR2 i S iR Raggio dell’armatura interna d Distanza tra le armature Per cui:

F1061,8

m103

m1021logm103

m1,0m1032mN

C1085,81

C 11

2

32

2

2

212

u

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©

§

u

uu

uS¸¸

¹

·

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©

§

u

Esercizio 21: Determinare la capacità di una sfera conduttrice isolata di raggio pari a 0,125 m. Soluzione: La capacità di una sfera conduttrice è determinata dalla relazione standard:

V

QC

Occorre determinare il potenziale assunto dalla sfera, quando è presente la carica Q. Per far ciò bisogna considerare che la carica si distribuisce solo sulla superficie e determina un potenziale costante all’interno e sulla superficie della sfera. Il potenziale si può quindi calcolare in un punto qualsiasi della sfera come, ad esempio, il centro. Esso è dato dalla somma dei potenziali generati in detto punto da ogni elemento superficiale dotato di densità V :

r4

Qr4

r4s

r4r

s

4V 2

ii

HS S

HS

V ¦ '

HS

V ¦

'

HS

V

Per cui la capacità è data da:

r4C HS Esercizio 22: Su una sfera conduttrice isolata avente raggio R=6,85 cm è collocata una carica C1025,1Q 9u . Determinare l’energia potenziale immagazzinata nel campo elettrico generato da questo conduttore carico. Soluzione: L’energia potenziale elettrostatica immagazzinata nel campo elettrico del conduttore sferico è determinata dalla relazione:

278

2VC2

1W

Ove si intende con C la capacità e con V il potenziale assunto dal conduttore per effetto della carica. Il potenziale assunto dal conduttore sferico è uguale a quello che assumerebbe un punto qualsiasi della sua superficie se la carica fosse concentrata nel centro della sfera:

V1641085,61085,84

1025,1

R4

QV

212

9

uuS

u

HS

Per cui si ottiene:

nJ1021010102J1002,11641025,12

1V

V

Q

2

1VC

2

1W 727922 u u u

Esercizio 23: Un condensatore piano ha due armature circolari aventi raggio di 8,2 cm distanti 1,3 mm l’uno dall’altro. Determinare la capacità. Quale carica comparirà sui piatti se si applica una differenza di potenziale di 120 V ? Soluzione: Si suppone che tra le armature sia interposto il vuoto. La capacità del condensatore piano è determinata da:

pF14410144F1044,1mm103,1

m102,8

mN

C1085,8

d

SC 1210

3

222

2

212 u u

u

uS¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

u H

)

Se tra le armature compare una differenza di potenziale di 120 V, la quantità di carica è: nC3,17103,17C1073,1V120F1044,1VCQ 9810 u u uu u Esercizio 24: Si hanno due piatti metallici piani, ciascuno di superficie 1 metro quadrato, con i quali costruire un condensatore a piatti paralleli. Se la capacità deve essere di 1 F, quale deve essere la distanza tra i due piatti. Soluzione: Data la relazione per calcolare la capacità di un condensatore piano e il valore di capacità che si deve ottenere, si ricava:

d

SC H ) m1085,8

C

Sd 12

)) u H H

Non è praticamente possibile la costruzione di un tale condensatore in quanto la distanza tra le armature è esageratamente piccola. Si tratta infatti di 8,85 miliardesimi di millimetro. Esercizio 25: Le armature di un condensatore sferico hanno raggi di 38 mm e 40 mm. Determinarne la capacità. Quale dovrebbe essere l’area di un condensatore ad armature parallele con una uguale distanza e capacità ? Soluzione: La capacità di un condensatore sferico è data dalla seguente relazione:

¸¹

ᬩ

§

HS

12

21

RR

RR4C

279

Per cui:

pF5,84105,84F1045,810381040

104010384C 1211

33

33

u u ¸¸

¹

·

¨¨

©

§

uu

uuHS

La superficie delle armature di un equivalente condensatore piano dovrebbe essere di:

d

SC H

2

2

22

12

113

cm190m

cm000.10m019,0

1085,8

1045,8102CdS ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§u

u

uu

H

Esercizio 26: L’accumulo di carica elettrica sul corpo di una persona che entra in contatto con materiali sintetici (sedili automobile) provoca una scintilla di lunghezza pari a circa 5 mm quanto di cerca di toccare una sporgenza metallica. La lunghezza della scintilla indica che la differenza di potenziale tra il corpo umano e la terra è di circa 15.000 V

280

CONDENSATORI IMPIEGATI NELLA TECNICA I condensatori precedentemente descritti non sono altro che una pura idealizzazione geometrica dei componenti che effettivamente sono impiegati nel campo dell’elettrotecnica e dell’elettronica. Gli svariati tipi di condensatore esistenti, si possono, come prima suddivisione, classificare in:

x Condensatori a dielettrico gassoso x Condensatori a dielettrico solido

Si evita di costruire, per ovvi motivi pratici, condensatori a dielettrico liquido. CONDENSATORI A DIELETTRICO GASSOSO Si possono suddividere in:

x Condensatori in gas compresso Impiegati quasi esclusivamente nel campo delle alte tensioni (a partire da parecchie decine di kV) e precisamente in quel particolare settore dell’elettrotecnica industriale che riguarda le prove sui materiali e sulle parti d’impianto ad alta tensione.

x Condensatori in aria La cui importanza è in gran parte legata alla possibilità di realizzare, oltre a condensatori di capacità fissa, anche condensatori a capacità variabile. I condensatori fissi sono costituiti da due pacchi di lamine compenetrati uno nell’altro: le lamine di ciascun pacco sono collegate tra loro mediante tiranti, i quali sono fissati su di un supporto isolante. Nei condensatori variabili, un pacco di lamine è fisso, mentre l’altro può ruotare attorno ad un asse, cosicché i due pacchi si possono compenetrare in misura maggiore o minore variando di conseguenza la capacità del condensatore. Un loro tipico impiego si ha negli apparecchi radioriceventi, per ottenere la sintonizzazione su una determinata stazione trasmittente. I condensatori ad aria hanno il vantaggio di essere componenti che realizzano nel miglior modo possibile una capacità pura e che. Inoltre, conserva una grande stabilità nel tempo. Hanno però lo svantaggio di poter realizzare una gamma limitata di valori di capacità (per i condensatori fissi si hanno valori massimi attorno ai 10.000 pF, per i condensatori variabili valori massimi intorno ai 1.000/2.000 pF, ed inoltre hanno un ingombro notevole ed un costo elevato.

CONDENSATORI A DIELETTRICO SOLIDO In linea di massima si può dire che, rispetto ai condensatori in aria, si scambiano i vantaggi con gli svantaggi, Essi, infatti, possono raggiungere capacità anche molto elevate, senza avere ingombri eccessivi né costi troppo elevati. Però la complicata tecnologia costruttiva ne limita spesso la stabilità nel tempo ed anche la possibilità di realizzare una capacità pura. In base alla struttura seconda la quale sono realizzati, indipendentemente dal tipo di dielettrico impiegato, si distinguono in:

x Condensatori a pila o “impilati” che, a parte le diversità tecnologiche, hanno la stessa struttura dei condensatori in aria fissi. Sono, infatti, costituiti da tanti rettangolini metallici molto sottili (ad esempio di stagnola) che sono disposti in pile, alternando rettangolini metallici con rettangolini di dielettrico. Si collegano poi tra loro i rettangolini metallici in modo da formare due pacchi di armature compenetrate.

x Condensatori avvolti.

281

Sono costituiti da due strisce metalliche (in genere stagnola) strette e lunghe, che formano le armature, e da due strati di carta, uno interposto tra le armature e l’altro al di sopra della seconda armatura. Il tutto è poi avvolto ed infilato in un contenitore; due terminali metallici, uno a contatto con un’armatura e l’altro a contatto con l’altra armatura, provvedono ai collegamenti con il circuito esterno.

x Condensatori per piccoli valori di capacità. Non sono realizzati né con l’una né con l’altra tecnica sopra descritta, essendo costituiti sostanzialmente da pezzi di ceramica di varia forma (piastrine, tubetti, ecc.) con le armature metallizzate direttamente sulla superficie del dielettrico.

In base ai dielettrici impiegati, i condensatori a dielettrico solido si differenziano in:

x Condensatori a mica. Sono essenzialmente condensatori di tipo impilato, in cui le armature molto sottili (di solito in alluminio) sono intercalate con strati di mica; una volta fatto l’impilamento, esso è poi in qualche modo compresso, meccanicamente irrigidito e poi racchiuso in un involucro a tenuta d’umidità; i valori di capacità realizzabili vanno dalle decine di pF fino a 710 F.

x Condensatori a carta impregnata. Sono i tipici condensatori avvolti, costituiti da due strisce di stagnola alternate a due strati di carta realizzati in più strisce; non essendo la carta di per sé un buon dielettrico, essa viene impregnata con olio isolante, dopo avere subito un’essicazione in autoclave. Coprono lo stesso campo di capacità dei condensatori a mica e, rispetto ad essi, hanno lo svantaggio di peggiori caratteristiche di purezza e di stabilità, ma il vantaggio di un minor ingombro e di un minor costo.

x Condensatori a resine sintetiche. Sono essenzialmente condensatori di tipo avvolto, che usano come dielettrico il polistirolo; si avvolgono semplicemente due nastri di stagnola e due nastri di polistirolo, senza che occorra, come per la carta, alcuna impregnazione. Il polistirolo ha inoltre caratteristiche meccaniche tali da renderlo particolarmente adatto a tecniche che consentono la realizzazione di avvolgimenti molto compatti e di buona stabilità nel tempo.

x Condensatori ceramici. Di materiali ceramici adatti per essere usati come dielettrici per condensatori ne esistono in quantità notevole; possiamo distinguerli in due categorie:

Materiali ceramici a bassa costante dielettrica: Hanno valori della costante dielettrica relativa pari ad alcune decine di unità. Di solito i condensatori che utilizzano questi materiali, assumono la forma di pastiglie o di tubetti, con le armature realizzate per metallizzazione diretta del dielettrico ceramico. Servono essenzialmente nel campo dei piccoli valori di capacità (da alcuni pF fino alle migliaia di pF.

Materiali ceramici ad alta costante dielettrica. Specialmente realizzati utilizzando titanati di bario e stronzio con costante dielettrica relativa compresa tra valori di 1.000 e 10.000. Con tali materiali si realizzano condensatori il cui impiego richiede essenzialmente un piccolo ingombro; infatti l’altissimo valore della costante dielettrica consente di realizzare condensatori che, anche con valori di capacità piuttosto notevoli, hanno un ingombro modesto.

282

Come si può intuire dalla classificazione sopra fatta, i molti tipi di condensatori esistenti hanno ciascuno delle caratteristiche che lo rendono idoneo a lavorare in particolari condizioni. Una speciale attenzione deve essere fatta alla tensione di lavoro cui deve operare il condensatore (tensione che è sempre indicata sul componente, assieme alla sua capacità). Infatti, l’applicazione tra le armature di una tensione superiore a quella indicata, può portare alla perforazione dello spessore del dielettrico, con conseguente messa fuori uso del componente. SIMBOLOGIA ADOTTATA PER LA RAPPRESENTAZIONE DEI CONDENSATORI Negli schemi dei circuiti elettrici in cui compare la presenza dei condensatori elettrostatici, essi sono solitamente rappresentati graficamente con i seguenti simboli:

C 1 C 2 C 3

q 1+

q 1-

q 2+

-q 2

3q

q -3

+

A

B

+- V A B

V A B A BV V A BG E N .

R 14 – 9/4 SIMBOLO CONDENSATORE DI CAPACITA’ FISSA E VARIABILE

LEGGI DI COLLEGAMENTO DEI CONDENSATORI Il condensatore, come è stato definito precedentemente, costituisce un elemento tecnico che si inserisce nel contesto dei circuiti elettrici. Un circuito elettrico è composto da almeno un generatore di tensione (o differenza di potenziale), da fili conduttori, da fusibili di protezione, da interruttori, da resistenze elettriche e da apparecchiature utilizzatrici quali, ad esempio, lampadine, forni, resistenze per riscaldamento ecc. ecc. La combinazione di due o più condensatori presenti nel circuito è paragonabile alla presenza di un solo condensatore virtuale, definito “CONDENSATORE EQUIVALENTE”, che ha la stessa capacità della combinazione dei vari condensatori realmente presenti.

283

La possibilità di ricorrere alla definizione del “condensatore equivalente” permette una notevole semplificazione del circuito elettrico e un più rapido calcolo dei parametri che caratterizzano il circuito quali la tensione, la corrente complessiva e quella tipica nei vari rami del circuito. La combinazione dei condensatori presenti nei circuiti avviene sostanzialmente secondo i seguenti due tipi di collegamento:

CONDENSATORI COLLEGATI IN PARALLELO CONDENSATORI COLLEGATI IN SERIE

LEGGE DI COLLEGAMENTO CONDENSATORI IN PARALLELO Lo schema classico di condensatori collegati in PARALLELO è il seguente:

C 1 C 2 C 3

q 1+

q 1-

q 2+

-q 2

3q

q -3

+

A

B

+- V A B

V A B A BV V A BG E N .

R 14 – 10/4 SCHEMA DI CONDENSATORI IN PARALLELO CON GENERATORE DI TENSIONE I terminali collegati alle armature positive dei condensatori confluiscono in un punto del circuito ove è presente un potenziale o tensione AV , mentre, i terminali collegati alle armature negative in un punto ove è presente un potenziale BV . Tutti i condensatori presenti sono quindi sottoposti alla differenza di potenziale o tensione ABV che è mantenuta costante dal generatore di tensione G (batteria) inserito nel circuito. Considerando che ognuno dei condensatori è caratterizzato da capacità generalmente diverse si può concludere che le quantità di carica sulle armature di ognuno di essi è data dalla relazione:

AB

11

V

QC AB11 VCQ

284

AB

22

V

QC AB22 VCQ

AB

33

V

QC AB33 VCQ

La capacità che deve possedere il condensatore equivalente che, virtualmente, ha lo stesso effetto dei condensatori presenti collegati in parallelo nel circuito, è quindi un condensatore in grado di immagazzinare la stessa quantità di carica presente nella realtà alla stessa differenza di potenziale. Per cui:

321

AB

321AB

AB

321.EQ CCC

V

CCCV

V

QQQC

In generale:

Quando esiste un numero N di condensatori, ognuno caratterizzato dalla propria capacità C, collegati in parallelo in un circuito elettrico qualsiasi, si può sostituire ad essi un unico condensatore avente una capacità virtuale equivalente pari alla somma delle capacità dei singoli condensatori:

N321.EQC...........CCCC

¦

Ni

1ii.EQ

CC CAPACITA’ EQUIVALENTE DI COND. IN PARALLELO

LEGGE DI COLLEGAMENTO CONDENSATORI IN SERIE I condensatori sono collegati in SERIE quando i terminali delle armature positive e negative sono collegati tra loro. Il terminale collegato all’armatura positiva del primo condensatore della serie è poi collegato al morsetto positivo del generatore di tensione, mentre, quello collegato all’armatura negativa dell’ultimo condensatore della serie al morsetto negativo. Caricando di segno positivo la prima armatura della serie, si provoca la polarizzazione di tutte le altre, cosicché, su ogni armatura è presente la stessa quantità di carica Q. Dato che, solitamente, ogni condensatore della serie è caratterizzato dalla propria capacità elettrica, si ottengo quindi tra le armature differenze di potenziale diverse in base alla relazione generale:

11

V

QC

'

11

C

QV '

22

V

QC

'

22

C

QV '

33

V

QC

'

33

C

QV '

La quantità di carica effettivamente prodotta dalla presenza del generatore di tensione non è quindi la somma delle cariche di ogni condensatore ma la sola carica presente sull’armatura positiva del primo o negativa dell’ultimo della serie.

285

In effetti, le armature interne dei condensatori collegati in serie si sono solo polarizzate senza che si sia effettivamente generato uno squilibrio delle cariche totali.

C 2 C 3

-+

C 1

A B

+q q - q -q + q -+q

A BV

V 2V 1 V 3

R 14 – 11/4 CONDENSATORI IN SERIE

Tra le armature di ogni condensatore si instaura dunque una differenza di potenziale dato da:

11

V

QC

'

11

C

QV '

22

V

QC

'

22

C

QV '

33

V

QC

'

33

C

QV '

Tra i capi A e B dei due terminali della serie di condensatori, si ha dunque una differenza di potenziale pari alla somma delle differenze di potenziale:

321AB VVVV '''

321AB

C

Q

C

Q

C

QV

La capacità del condensatore equivalente che, virtualmente, può sostituire l’effetto dei condensatori collegati in serie, deve quindi essere tale da generare la stessa differenza di potenziale complessiva per effetto della sola carica Q. Per cui:

ABEQ

V

QC

286

321321

EQ

C

1

C

1

C

1

1

C

1

C

1

C

1Q

QC

¸¹

ᬩ

§

321EQ C

1

C

1

C

1

C

1

321

213132

EQ CCC

CCCCCC

C

1

133221

321EQ

CCCCCC

CCCC

CAPACITA’ EQUIVALENTE

In generale:

Quando esiste un numero N di condensatori, ognuno caratterizzato dalla propria capacità C, collegati in SERIE in un circuito elettrico qualsiasi, si può sostituire ad essi un unico condensatore avente una capacità virtuale equivalente pari alla rapporto tra il prodotto dei valori degli N condensatori e la somma dei prodotti dei valori di ogni singolo condensatore per il valore degli altri:

iN)2i()1i()1i(i

N321EQ

CC......CCCC

C........CCCC

287

ESERCIZI CONDENSATORI IN SERIE E PARALLELO

Esercizio 1: Due condensatori aventi capacità di 3 e 10 pF sono collegati in parallelo. Se ai capi del sistema si applica una tensione di 20 V, qual è la carica che si condensa su ogni condensatore? Soluzione: I condensatori sono collegati in parallelo quindi, per entrambi, la tensione applicata ai terminali è uguale a quella applicata ai capi del sistema. Non occorre, per il calcolo della carica condensata, ricorrere al condensatore equivalente, basta applicare la relazione tipica per il condensatore:

V

QC

'

Da cui si ottiene:

C106V20V

C103VCQ 1112

11 u ¸

¹

ᬩ

§u '

C102V20V

C1010VCQ 1012

22 u ¸

¹

ᬩ

§u '

Il condensatore equivalente ha una capacità di: pF13F1013CCC 12

21EQ u

C 1 C 2Q 1+

A

B

+- V A B

V A B A BV

3 p F Q 1-

1 0 p F 1Q-

Q 1+

2 0 V 1Q1 3 p FA BV

B

2 0 V-

+C

-

E Q Q 1+

A

Esercizio 2: Tre condensatori di capacità rispettivamente di F2 P , F6 P e F4 P sono collegati in serie. Determinare la capacità complessiva. E se fossero collegati in parallelo quanto sarebbe la capacità complessiva. Soluzione: La capacità complessiva dei tre condensatori collegati in serie equivale a quella di un condensatore equivalente:

288

321EQ C

1

C

1

C

1

C

1

Da cui si ottiene:

6666

666EQ

1092,01017,01025,0105,0106

1

104

1

102

1

C

1u uuu

u

u

u

F09,1F1009,1C 6EQ P u

Se fossero collegati in parallelo la capacità del condensatore equivalente sarebbe la somma delle tre capacità: F1012CCCC 6

321EQu

C 2 C 3

-+

C 1

A B

A BV

A

A B

+ -

V

C E Q

B2 E F F4 E 6 E F 1 ,0 9 FE

Esercizio 3: Si collegano 6 condensatori secondo lo schema seguente. Sapendo che ogni condensatore ha una capacità di 2 FP , determinare la capacità equivalente complessiva. Soluzione:

289

C 2C 1

A

B

C 3 C 5

4C

C 6

C

6C

C E Q 1

B

4

A

C E Q 2 C

C 6

C 4

B

E Q 3

A

B

C

C 4

E Q 4

A

I condensatori 1 e 2 sono collegati in serie, la capacità equivalente è data da:

12

1

2

1

C

1

C

1

C

1

211EQ

F1C 1EQ P I condensatori 3, 4 e 5 sono collegati in parallelo, la capacità equivalente è la somma delle capacità:

F6222C 2EQ P

Le due capacità equivalenti 1 e 2 risultano collegate in parallelo, per cui:

F761C 3EQ P

Infine il condensatore 6 e la capacità equivalente 3 sono collegate in serie, per cui risulta:

14

9

14

72

2

1

7

1

C

1

C

1

C

1

63EQTOT.EQ

F56,1F9

14C TOT.EQ P P

Esercizio 4: Due condensatori aventi capacità di F3 P e F10 P sono collegati in serie. Se ai capi del sistema si ha una differenza di potenziale di 260 V, qual è la carica che si condensa su ciascuna armatura? Soluzione: I condensatori collegati in serie hanno una capacità equivalente pari a:

290

30

13

30

310

10

1

3

1

C

1

C

1

C

1

21EQ

F31,213

30C EQ P

La carica che si condensa sull’armatura del condensatore equivalente è pari alla carica che si condensa sulle armature di ciascun condensatore. Il valore di tale carica è data da:

C10610600V260V

C1031,2VCQ 466

EQ u u ¸

¹

ᬩ

§u '

Esercizio 5: Un condensatore di F5 P è posto in serie con un altro condensatore di capacità sconosciuta. Caricando con una carica pari a C104Q 4u i due condensatori, si vede che la differenza di potenziale ai capi della serie si porta a 220 V. Determinare la capacità del secondo condensatore e l’energia accumulata dal sistema. Soluzione: La capacità complessiva equivalente del sistema formato dai due condensatori in serie, è determinata dalla definizione di capacità:

V

QC EQ

'

Da cui si ottiene la capacità equivalente:

F82,1F1082,1

V220

C104C 6

4

EQ P u u

D’altra parte la capacità equivalente di due condensatori in serie è data da:

C

1

C

1

C

1

1EQ

Ove si è indicato con 1C la capacità conosciuta e con C quella incognita. Risolvendo si ottiene la capacità incognita:

35,05

1

82,1

1

C

1

C

1

C

1

1EQ

F86,2C P L’energia elettrostatica immagazzinata nel sistema è data dalla relazione:

JC

JCVC104,4V220

V

C1082,1

2

1VC

2

1W 22262

EQ ¸¹

ᬩ

§u ¸

¹

ᬩ

§u

Esercizio 6: Tre condensatori, rispettivamente di capacità uguale a nF1,0 , nF2,0 e nF3,0 sono collegati in serie tra loro. Il sistema è poi caricato applicando ai suoi estremi una tensione di 275 V. Determinare la differenza di potenziale (d.d.p.) che si stabilisce ai capi di ogni condensatore. Soluzione: La capacità equivalente del sistema è data da:

291

33,1833,35103,0

1

2,0

1

1,0

1

C

1

EQ

F105,5nF105,5C 112EQ

u u La carica che si accumula sulle armature del condensatore equivalente è pari alla carica che si accumula su ciascun condensatore facente parte della serie. A tal riguardo si ricordi che i condensatori in serie si caricano per polarizzazione e posseggono quindi ognuno la stessa carica. Il valore della carica si ricava tenendo conto della capacità equivalente:

C1051,1V275V

C105,5VCQ 811

EQ u ¸

¹

ᬩ

§u '

La differenza di potenziale ai capi di ogni condensatore si ricava tenendo conto delle effettive capacità singole e del valore della carica accumulata. La somma delle differenze di potenziale dovrebbe essere pari alla differenza totale:

V151

V

C101,0

C1051,1

C

QV

9

8

11

¸¹

ᬩ

§u

u '

V5,75

V

C102,0

C1051,1

C

QV

9

8

22

¸¹

ᬩ

§u

u '

V33,50

V

C103,0

C1051,1

C

QV

9

8

23

¸¹

ᬩ

§u

u '

V83,273VVVV 321TOT ''' ' La differenza tra il potenziale reale ai capi del sistema e quello calcolato differisce di poco a causa dell’arrotondamento dei valori risultanti dal calcolo.

Esercizio 7: Due condensatori collegati in parallelo danno una capacità pF6C EQ . Se collegati in serie la

capacità scende a pF3

4C EQ . Determinare la capacità dei due condensatori.

Soluzione: Si tratta di risolvere un sistema di equazioni a due incognite:

°¯

°®

­

4

3

C

1

C

1

6CC

21

21

°¯

°®

­

4

3

CC

CC

6CC

21

12

21

292

°¯

°®

­

4

3

CC

CC

6CC

21

12

21

°

°®

­

2121

21

CC4

3CC

6CC

°

°®

­

21

21

CC4

36

6CC

¯®­

21

21

CC8

6CC

°¯

°®

­

21

21

C

8C

6CC

°°

¯

°°

®

­

21

22

C

8C

6CC

8

°°

¯

°°

®

­

21

2

2

C

8C

6C

C8

°¯

°®

­

21

222

C

8C

08C6C

Dall’equazione di secondo grado si ottiene la seguente radice:

pF2C 2

E, sostituendo il valore trovato nella seconda, si ottiene la capacità:

pF4C 1

Esercizio 8: Determinare la capacità di un condensatore che, aggiunto in serie ad un altro di capacità F8C P né riduce ad ¼ la capacità. Soluzione: Denominata con X la capacità incognita del condensatore iniziale e supponendo di aggiungere in serie il secondo condensatore, si ottiene:

C

1

X

1

C

1

EQ

Con i seguenti valori:

F24

8C EQ P

Si ottiene:

8

1

X

1

2

1

8

3

X

1 F7,2

3

8X P

Esercizio 9: Un condensatore avente capacità F5C P , è caricato alla tensione di 1.000 V e poi, isolato dalla sorgente di tensione, collegato in parallelo con un condensatore scarico avente capacità

F3C P . Determinare la tensione finale che si stabilisce agli estremi del sistema. Soluzione: Il condensatore, inizialmente caricato sino alla differenza di potenziale di 1.000 V, assume una quantità di carica pari a:

293

C105V000.1V

C105VCQ 36 u ¸

¹

ᬩ

§u '

Il collegamento in parallelo con un condensatore scarico, dopo che il condensatore carico è isolato dal generatore di tensione, non modifica la quantità di carica accumulata inizialmente. Essa si distribuisce sulle armature del condensatore scarico facendo assumere al sistema – quindi i due condensatori in parallelo – la differenza di potenziale data da:

EQC

QV '

Con: F835C EQ P

Per cui si ottiene:

V625

V

C108

C105V

6

3

¸¹

ᬩ

§u

u '

Esercizio 10: Due condensatori con capacità di 5 e 10 FP sono posti in parallelo e la combinazione è unita in serie con un condensatore di F20 P . La tensione ai capi del sistema è di 210 V. Determinare la carica e la differenza di potenziale ai capi dei vari condensatori. Soluzione: Si determina la capacità equivalente dei due condensatori in parallelo, data da:

F15105C P.1EQ P Poi la capacità equivalente dei condensatori in serie:

60

7

60

34

20

1

15

1

C

1

C

1

C

1

3P.1EQS.2EQ

¸¹

ᬩ

§u P

V

C1057,8F

7

60C 6

S.2EQ

Con la capacità equivalente complessiva e tenendo conto della tensione ai capi del sistema, è poi possibile determinare la quantità di carica sulle armature:

C108,1V210V

C1057,8VCQ 36

S.2EQ u ¸

¹

ᬩ

§u '

Tale quantità di carica è collocata sia sulle armature del terzo condensatore sia sulle armature del condensatore equivalente al parallelo dei primi due. Si ricava dunque la differenza di potenziale tra le armature del terzo condensatore:

V90

V

C1020

C108,1

C

QV

6

3

32

¸¹

ᬩ

§u

u '

Per differenza si può ricavare la tensione tra le armature dei primi due condensatori in parallelo:

V12090210V1 ' La tensione tra i capi del sistema dei primi due condensatori in parallelo è anche ottenibile dalla relazione:

294

V120

V

C1015

C108,1

C

QV

6

3

P.1EQ1

¸¹

ᬩ

§u

u '

La carica accumulata dal condensatore 1 in parallelo si ottiene tenendo conto che le sue armature sono alla tensione di 120 V:

C106V120V

C105VCQ 46

111 u ¸

¹

ᬩ

§u '

La carica accumulata dal secondo condensatore in parallelo si può ricavare per differenza o ancora con la relazione:

C1012V120V

C1010VCQ 46

122 u ¸

¹

ᬩ

§u '

La somma delle cariche sulle armature dei condensatori in parallelo è la quantità di carica complessiva:

21 QQQ Esercizio 11: Due condensatori di capacità 5 e 10 FP sono caricati alla tensione rispettivamente di 10 e 220 V e poi collegati in parallelo. Determinare la tensione ai capi del sistema così ottenuto. Soluzione: Si determina la quantità di carica immagazzinata da ogni condensatore caricato alla propria tensione, ottenendo:

C1025V5V

C105VCQ 66

111 u ¸

¹

ᬩ

§u

C102,2V220V

C1010VCQ 36

222 u ¸

¹

ᬩ

§u

La tensione finale dei due condensatori in parallelo si ottiene considerando che il condensatore equivalente deve necessariamente immagazzinare la somma delle quantità di carica e deve avere una capacità equivalente pari alla somma delle due capacità:

V3,148CC

QQV

21

21F

'

Esercizio 12: Due condensatori di capacità F3C 1 P e F25C 2 P sono collegati in serie ed agli estremi della serie vi è una differenza di potenziale di 1.000 V. Determinare:

x La capacità equivalente del sistema x La carica su ciascun condensatore x La differenza di potenziale ai capi di ogni condensatore x L’energia immagazzinata nei condensatori.

Soluzione: La capacità equivalente della serie dei due condensatori è data da:

295

75

28

75

325

25

1

3

1

C

1

EQ

F68,228

75C EQ P

La quantità di carica immagazzinata da ogni condensatore è data da:

C1068,2V000.1V

C1068,2VCQ 36

EQ u ¸

¹

ᬩ

§u '

La differenza di potenziale ai capi di ciascuno di essi:

V893

V

C103

C1068,2

C

QV

6

3

11

¸¹

ᬩ

§u

u '

V107

V

C1025

C1068,2

C

QV

6

3

22

¸¹

ᬩ

§u

u '

L’energia immagazzinata è data da:

J34,1V10V

C1068,2

2

1VC

2

1W 2662

EQ ¸¹

ᬩ

§u '

Esercizio 13: Quanti condensatori di capacità singola uguale a F1C P devono essere connessi in parallelo per immagazzinare una carica di 1 ( C ) applicando sul sistema una differenza di potenziale di 110 (V)? Soluzione: La capacità equivalente del sistema di condensatori di uguale capacità collegati in parallelo, si ottiene sommando le diverse capacità:

CnC..........CCCC EQ Al condensatore equivalente è poi applicata una differenza di potenziale di 110 V per effetto della quale si ottiene un accumulo di carica pari a 1 C:

V

QCnC EQ

'

Tenendo conto della quantità di carica, della differenza di potenziale e della capacità di un singolo condensatore connesso in parallelo, si ottiene:

091.9

V110V

C101

C1

VC

Qn

6

¸¹

ᬩ

§u

'

D’altra parte, considerando che tutti i condensatori sono collegati in parallelo con uguale tensione agli estremi delle armature, la carica complessiva è determinata dalla somma delle cariche che ogni condensatore assume per effetto della differenza di potenziale stabilita. Ogni singolo condensatore assume una carica pari a:

¸¹

ᬩ

§u ¸

¹

ᬩ

§u '

.Condens

C101,1V110

V

C101VCQ 46

296

Per cui per ottenere la carica complessiva di 1 ( C ) occorrerà un numero di condensatori pari a:

riCondensato091.9

.Cond

C101,1

C1n

4

¸¹

ᬩ

§u

Esercizio 14: Ciascuno dei condensatori scarichi della figura sottostante ha una capacità di F25C P . Determinare la quantità di carica che passa attraverso l’amperometro, quando si applica una differenza di potenziale di 4.200 V ai capi del sistema. Soluzione: La quantità di carica che è segnalata dall’amperometro misuratore (misurazione della corrente e del tempo occorrente per una completa carica) altro non è che la carica totale immagazzinata tra le armature dei condensatori facenti parte del circuito. Dato che i condensatori sono collegati in parallelo è possibile e posseggono la stessa capacità, è possibile determinare la carica posseduta da uno singolo e poi moltiplicare per tre:

C105,0V200.4V

C1025VCQQQ 6

321 ¸¹

ᬩ

§ '

milliC315C315,0Q3Q 1TOT

C

C C

A

4 .2 0 0 V

Esercizio 15: Il disegno sottostante rappresenta un collegamento di due condensatori in serie. La parte rigida centrale, di altezza h, si può muovere verticalmente. Si dimostri che la capacità equivalente della combinazione è indipendente dalla posizione della parte centrale rispetto alle armature fisse ed è

data da ha

SC EQ

H .

Soluzione:

297

ah

C

C

La capacità del sistema di condensatori in serie è data da:

21EQ C

1

C

1

C

1

Con:

dha

SC 1

H

*2dha

SC

H

Per cui:

**

EQ

dhadhaS

1

S

dha

S

dha

C

1

H

H

H

*

EQ

ddh2a2S

1

C

1

H

> @*

EQ

ddh2a2S

1

C

1

H

Ma la somma tra le distanze d e d* altro non è che la differenza tra a ed h, quindi:

ha*dd Per cui si ottiene:

> @ haS

1hah2a2

S

1

C

1

EQ

H

H

Da cui si ottiene la capacità equivalente:

ha

SC EQ

H

Come si voleva dimostrare.

298

Esercizio 16: Tre condensatori sono collegati in parallelo. Ciascuno di essi ha armature di superficie S e distanza d. Determinare quale deve essere la distanza tra le armature di un condensatore singolo, avente superficie S, se la sua capacità è uguale a quella dell’insieme descritto. Quale sarà la distanza se i tre condensatori sono collegati in serie? Soluzione: La capacità di un singolo condensatore, supponendolo piano, è data da:

d

SC H

Tale capacità deve essere uguale alla capacità del sistema in parallelo dei tre condensatori:

*d

S

d

S3C EQ H H

Da cui si ricava la distanza tra le armature del condensatore singolo equivalente:

*d

S

d

S3 H H

*d

1

d

3

3

d*d

Se i condensatori sono collegati in serie, si avrà:

S

d3

S

d

S

d

S

d

C

1

EQ H

H

H

H

*d

S

d3

SC EQ

H

H

Da cui si ricava:

*d

S

d3

S H

H

*d

1

d3

1

d3*d

299

CONDENSATORE IN PRESENZA DI UN DIELETTRICO CAPACITA’ IN FUNZIONE DELLA COSTANTE DIELETTRICA RELATIVA Come si è visto in precedenza, la capacità di un condensatore dipende in modo direttamente proporzionale dalla costante dielettrica assoluta del materiale interposto tra le armature che, a sua volta, dipende dal valore della costante dielettrica relativa. Interponendo tra le armature materiali isolanti ad elevato potere dielettrico come, ad esempio, composti di titanio o titanati di stronzio, si ottiene un aumento della capacità del condensatore proporzionato al valore della costante dielettrica relativa. Nel caso di un condensatore piano con interposto dielettrico, la capacità è data da:

d

SC R HH )

Mentre, se lo stesso condensatore ha le armature poste nel vuoto:

d

SC H ))

Si ottiene dunque un aumento di capacità paria a:

1CCC R H )) 1CC R H ' )

In altre parole la capacità di un condensatore con dielettrico è uguale al prodotto tra la capacità dello stesso condensatore nel vuoto e la costante dielettrica relativa del materiale interposto:

)H CC R TENSIONE MASSIMA NEL DIELETTRICO – POTENZIALE DISRUPTIVO Un’altra caratteristica del condensatore, dipendente dal tipo di materiale dielettrico isolante posto tra le armature, è la differenza di potenziale massima MAXV' che può essere applicata ai suoi capi, prima che intervenga il collasso del condensatore. Se viene superato tale potenziale, definito “potenziale disruptivo”, si innescano, all’interno del dielettrico isolante, dei percorsi preferenziali attraverso ai quali si manifestano scariche elettriche tra le armature. Il dielettrico perde quindi le sue capacità isolanti ed avviene una sorta di “corto circuito” tra le armature con conseguente scarica del condensatore. Dato che la differenza di potenziale tra le armature dipende dal valore del campo elettrico E e dalla distanza d, è evidente che la perdita del potere isolante per raggiungimento del “potenziale disruptivo” si ha quando il valore del campo E tra le armature raggiunge un limite tipico del materiale interposto. Tale limite è definito “costante di RIGIDITA’ DIELETTRICA” ed è rappresentato dal massimo valore di campo elettrico tollerato dal dielettrico prima che si raggiungano le condizioni “disruptive”. La costante di RIGIDITA’ DIELETTRICA è misurata solitamente in kV/mm. Alcuni valori della rigidità dielettrica per i materiali isolanti utilizzati per la realizzazione di condensatori:

Aria secca 3 mm/kV Acqua pura 15 “ Olio minerale 7,5-16 “ Olio per trasformatori 12 – 17 “ Bachelite 10 “ Carta 6 “

300

Carta paraffinata 40 – 50 “ Carta per condensatori 30 “ Gomma 15 – 40 “ Mica 50 – 100 “ Polietilene 50 “ Porcellana 12 – 30 “ Vetro 25 – 100 “ Ossido di titanio 5 “ Titanati di bario e stronzio 5 “

L’ASPETTO ATOMICO DEI DIELETTRICI I materiali dielettrici hanno la caratteristica di non possedere elettroni liberi di conduzione e sono quindi ottimi isolanti. Gli atomi o molecole che li compongono possono essere però considerati singolarmente come “dipoli elettrici” in possesso di un “momento di dipolo” permanente proprio o di un momento di dipolo indotto. Il momento di dipolo permanente è solitamente dovuto alla posizione degli atomi costituenti la molecola e alle relative sfere d’influenza nelle quali ruotano gli elettroni. Ad esempio, una molecola d’acqua si comporta come “dipolo permanente” in quanto i due nuclei di idrogeno sono collegati al nucleo di ossigeno secondo una struttura non simmetrica ma sbilanciata secondo un angolo di circa 105°.

H H

O s s ig e n o

L a to p o s it iv o

L a to n e g a tiv o

R 14 – 17/4 – MOLECOLA D’ACQUA CONSIDERATA DIPOLO PERMANENTE La sfera d’influenza dell’ossigeno contiene più elettroni delle sfere d’influenza dei due nuclei d’idrogeno, cosicché il lato ossigeno ed il lato idrogeno possono essere considerati come permanenti in virtù della struttura propria della molecola. I dielettrici che posseggono un momento di dipolo permanente sono definiti “Dielettrici polari”. Altri materiali, che si polarizzano geometricamente in presenza di un campo elettrico esterno, sono definiti “Dielettrici non polari”.

301

MOMENTO TORCENTE SU UN DIPOLO IMMERSO IN UN CAMPO ELETTRICO Quando un materiale dielettrico è posto tra le armature di un condensatore nel quale è presente un campo elettrico uniforme E, tutti i dipoli molecolari di cui è costituito sono contemporaneamente sottoposti all’azione di un momento torcente (rivolto perpendicolarmente al piano del dipolo) che causa una rotazione in senso orario o antiorario rispetto ad un asse perpendicolare al piano e passante nei centri di ciascun dipolo. Il momento torcente provoca quindi una rotazione di tutti i dipoli (sia quelli permanenti di tipo polare che di quelli non polari) che dispongono il proprio asse secondo direzioni parallele alla direzione delle linee di forza del campo inducente. Il momento torcente che agisce su ogni dipolo deve essere considerato come un vettore il cui modulo è dato dal prodotto vettoriale tra il vettore campo elettrico ed il vettore momento di dipolo. La direzione del momento torcente è perpendicolare al piano in cui sono contenuti il vettore campo E ed il vettore momento di dipolo p.

q +

-q

+ -

E

p

b

d

E

E

F = E q

E qF =9

R 14 – 18/4 DIPOLO IN UN CAMPO ELETTRICO UNIFORME L’azione torcente, cioè il momento torcente sul dipolo, è data dalla coppia TM il cui modulo si ottiene dalla relazione:

dFM T /

> @D sendFbFM T Se la forza elettrostatica cui sono sottoposte entrambe le cariche del dipolo è espressa in funzione dell’intensità del campo elettrico:

qEF E se la distanza tra le cariche del dipolo è espressa in funzione del momento p caratteristico del dipolo:

dqp

302

q

pd

Si ottiene un momento torcente dato da:

D¸¹

ᬩ

§ sen

q

pqEM T

D senpEM T Ma tale prodotto equivale al prodotto vettoriale tra il vettore “Campo elettrico E” ed il vettore “Momento di dipolo p”. Tornando alla rappresentazione vettoriale:

pEM T / Momento torcente del campo E sul dipolo di momento p

Il risultato dell’azione del momento torcente è l’allineamento dell’asse di tutti i dipoli secondo la direzione del campo elettrico e, conseguentemente, la formazione di un campo elettrico contrario al campo principale che induce la polarizzazione. La presenza di un materiale dielettrico tre le armature di un condensatore che, in presenza del vuoto, ha una capacità C ed assume una differenza di potenziale V' con immagazzinata una carica Q, provoca dunque la diminuzione del potenziale e l’aumento della capacità che, dal valore C, si porta al nuovo valore C*:

1VV

Q*C

''

+ -

E

E

- +

+-

+-

+-

+-

+-

+- - +

- +

-

- +

- +

- +

+

+-

- +

- +

-

- +

- +

- +

+

+-

- +

- +

-

- +

- +

- +

+

+-

- +

- +

-

- +

- +

- +

+

+-

- +

- +

-

- +

- +

- +

+

+-

+

+-

-

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

V

V 1

R 14 – 19/4 – POLARIZZAZIONE DEL DIELETTRICO

303

ELETTRODINAMICA

304

LA CORRENTE ELETTRICA In un conduttore elettrizzato le cariche elettriche sono dotate normalmente di moti disordinati caratterizzati da velocità molto elevate. In altre parole gli elettroni di conduzione sono liberi di muoversi in ogni direzione in quanto all’interno del conduttore è nullo il campo elettrico. Fissata quindi una superficie qualsiasi all’interno del conduttore si può immaginare che la quantità di elettroni passanti in un verso sia esattamente bilanciata dallo stesso numero di elettroni nel verso opposto. Non si può dire, in questo caso, che il conduttore è attraversato da una corrente di elettroni orientata in un solo senso. Si consideri ora un condensatore recante cariche uguali ed opposte sulle due armature. Il valore della quantità di carica presente è data dalla relazione:

VCQ ' L’energia spesa dall’esterno per caricare il condensatore (cioè in pratica provocare la separazione artificiale delle cariche) si ottiene dalla relazione:

C2

QVQ

2

1VC

2

1W

22

' '

E’ ovvio che, sino a quando le estremità del condensatore o capi delle armature si mantengono isolate tra loro, sia la separazione delle cariche che la differenza di potenziale mantengono le condizioni iniziali allo stesso modo con cui, per analogia, mantiene la propria energia elastica una molla compressa e trattenuta in tale posizione da opportuni vincoli. Sull’armatura positiva del condensatore sono presenti atomi in difetto d’elettroni, mentre, su quella negativa, atomi con eccesso di elettroni. Tale situazione rappresenta una specie di condizione di equilibrio instabile in quanto, sulle piastre affacciate e separate da una distanza d in cui è presente il vuoto o un dielettrico isolante, sono condensate le cariche elettriche di segno opposto che avrebbero la tendenza a riequilibrare lo scompenso elettrostatico se solo potessero oltrepassare lo spazio che le separa. Tale squilibrio si manifesta, appunto, con la comparsa di una differenza di potenziale e di un campo elettrico, diretto dalla piastra positiva a quella negativa, e contenuto nella sola regione di spazio tra le armature. Se le due armature sono ora collegate elettricamente con un cavo conduttore, il condensatore assume immediatamente le caratteristiche di un corpo elettricamente polarizzato al quale viene di colpo a mancare la causa che ha provocato appunto la polarizzazione. Ai capi del cavo conduttore che unisce le armature è applicata la differenza di potenziale V' e gli elettroni di conduzione in esso contenuti sono costretti dal campo elettrico a spostarsi da punti a potenziale minore verso punti a potenziale maggiore cioè dall’armatura negativa a quella positiva. A tale spostamento di elettroni corrisponde una diminuzione della differenza di potenziale tra le armature e nel cavo di collegamento (gli elettroni affluiscono sulla piastra positiva provocando una riduzione della carica positiva) sino al punto di annullare completamente il campo elettrico nel cavo e riequilibrare elettricamente il sistema che, alla fine, torna allo stato di neutralità. Il condensatore si scarica e restituisce all’ambiente esterno l’energia potenziale elettrostatica che in esso era contenuta. Il movimento di cariche elettriche nel cavo conduttore avviene in una sola direzione (dall’armatura negativa a quella positiva) e, analogamente a quanto succede in un tubo percorso da liquido in movimento, è definito “CORRENTE ELETTRONICA” o, più semplicemente “CORRENTE ELETTRICA”.

305

Se si tralascia, per il momento, il verso di tale “corrente”, il fenomeno di scarica di un condensatore trova un’analogia idraulica nel sistema di due recipienti che contengono un liquido a livelli diversi e sono collegati tra loro da una tubazione. L’effetto della pressione idrostatica generata dal potenziale gravitazionale terrestre sui due recipienti non consente il permanere di una tale situazione di squilibrio. L’acqua contenuta nel recipiente con livello più elevato si muove rapidamente nel tubo ed affluisce nel recipiente a livello più basso dando luogo ad uno spostamento di sostanza fluida che, anche in questo caso, è definito “corrente”. La corrente fluida non si mantiene nel tempo ed il fenomeno termina non appena i livelli nei due recipienti raggiungono lo stesso valore. La corrente di sostanza fluida è quindi diretta da punti a livello maggiore (potenziale più elevato) a punti a livello minore (potenziale più basso) e rappresenta, anche visivamente, un fenomeno che osserviamo quasi quotidianamente. La corrente di elettroni è invece un fenomeno molto famigliare al quale non corrisponde la stessa percezione visiva attribuibile alla corrente fluida in un tubo o in condotto aperto. Agli elettroni di conduzione contenuti nel cavo conduttore è applicata una forza elettrica direttamente proporzionale al valore del campo elettrico ma diretta nel senso opposto – cioè dall’armatura negativa a quella positiva – che ne provoca la migrazione verso l’armatura positiva (occorre qui ricordare che le cariche elettriche negative si muovono da punti a potenziale minire verso punti a potenziale maggiore). Il verso della corrente è quindi diretto da potenziale minore a potenziale maggiore ed è quindi esattamente opposto al movimento di una corrente fluida in una tubazione. La corrente di elettroni è anche definita “CORRENTE ELETTRICA REALE”.

+- -------

+ + + + + + + ++

--

E

E

E

E

e-

F = E q

e-

F = E q

VA

BV

VA > V B

VA V B- = V

R 14 – 20/4 – VERSO DELLA CORRENTE REALE

306

GENERATORE DI TENSIONE La corrente elettrica generata nel cavo di collegamento tra le armature del condensatore durante il fenomeno di scarica, non ha tuttavia caratteristiche di uniformità e durata nel tempo. La quantità di elettroni che attraversa una sezione del cavo è variabile in funzione del valore della differenza di potenziale (o del campo elettrico), mentre, il campo e il potenziale decrescono rapidamente mano a mano che le cariche elettriche negative giungono sull’armatura positiva. Di conseguenza il numero di cariche che si spostano, varia da un massimo, corrispondente all’istante in cui si provvede al collegamento delle armature cariche, ad un valore nullo corrispondente all’istante in cui è raggiunto l’equilibrio elettrostatico. Possiamo dire che il passaggio di corrente si esaurisce nell’istante in cui cessa la polarizzazione del sistema armature-cavo e, nel contempo, non sono presenti sistemi esterni che provvedono ad una nuova polarizzazione del sistema. Per generare un nuovo passaggio di corrente occorre dunque ricaricare il condensatore fornendo allo stesso una nuova quantità d’energia. Si ha così un’alternanza di cariche e scariche sfalsate nel tempo ed il passaggio di corrente nel cavo potrà essere rappresentato qualitativamente dal seguente diagramma:

C o rre n te

T e m p oS c a r ic a C a r ic a S c a r ic a C a r ic a S c a r ic a

R 14 – 21/4 – CORRENTE ELETTRICA DISCONTINUA Se però ora si immagina di avere a disposizione un’apparecchiatura qualsiasi - posta tra le armature - in grado di, con un’adeguata fornitura d’energia dall’esterno, prelevare istantaneamente lo stesso numero di cariche negative che affluisce sulla piastra positiva e riportarle sulla piastra negativa, allora non si verificherebbe una diminuzione della differenza di potenziale. Il campo elettrico e le forze elettriche all’interno del cavo sarebbero costanti e, di conseguenza, anche la quantità di elettroni in movimento non varierebbe nel tempo. La “CORRENTE ELETTRICA REALE” acquisterebbe così un carattere di continuità ed il numero di elettroni passanti attraverso una sezione del conduttore nell’unità di tempo non avrebbe motivo di modificarsi da un istante all’altro. Una simile corrente sarà quindi definita “CORRENTE ELETTRICA CONTINUA”. L’apparecchiatura che polarizza di continuo il condensatore, vincendo le azioni elettrostatiche che naturalmente si oppongono alla polarizzazione stessa, è definito “GENERATORE DI TENSIONE” proprio per la caratteristica peculiare di generare di continuo una differenza di potenziale o tensione separando cariche positive e negative.

307

+

-

-------

+ + + + + + + ++

--

E

E

E

E

e-

F = E q

e-

F = E q

VA

BV

VA > V B

VA V B- = V

G E N E R A T O R E D I T E N S IO N E

E N E R G IA E S T E R N A

-e

e-

e -

R 14 – 22/4 – GENERATORE DI TENSIONE E CORRENTE CONTINUA Nella realtà pratica, il “generatore di tensione”, è un condensatore in grado di generare in modo autonomo la polarizzazione elettrica delle sue estremità (capi del generatore) e la conseguente comparsa di una differenza di potenziale BA VVV ' . Se i capi del generatore di tensione sono collegati mediante un cavo conduttore, si ottiene la circolazione di corrente elettrica continua e, in questo senso, il generatore di tensione può anche essere definito “generatore di corrente. Per il momento, senza entrare in dettaglio, possiamo dire che:

Un qualunque generatore di tensione può essere considerato come un sistema capace di spostare in un dato verso gli elettroni di conduzione contenuti nei corpi conduttori di cui esso stesso è composto e che costituiscono il suo cosiddetto “circuito interno”. Le estremità di questo circuito interno sono sempre sporgenti dal corpo del generatore stesso e ne costituiscono i due “POLI” o “MORSETTI ”.

A seguito delle azioni interne al generatore che tendono a dislocare gli elettroni di

conduzione verso uno dei due poli, su di questo si accumulano le cariche negative (polo negativo), mentre, sull’altro polo, si ha un corrispondente difetto di elettroni (polo positivo).

Il polo positivo (contrassegnato con il simbolo +) assume un potenziale maggiore di quello

assunto dal polo negativo (contrassegnato con il simbolo -). Lo schema elettrico rappresentato in figura 22/4 può quindi essere semplificato nel modo seguente:

308

E

E

E

E

e-

F = E q

e-

F = E q

VA

BV

VA > V B

VA V B- = VG

+

-

R 14 – 23/4 – SCHEMA DI CIRCUITO ELETTRICO CON GENERATORE DI TENSIONE G SIMBOLOGIA GRAFICA ADOTTATA PER RAPPRESENTARE UN GENERATORE Il generatore di tensione G che è inserito nei circuiti elettrici è solitamente rappresentato graficamente nel modo seguente:

G+

VA

-

V B

+

V BAV

-

R 14 – 24/4 – RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL GENERATORE L’EQUILIBRIO ELETTROSTATICO DEL GENERATORE DI TENSIONE Un generatore di tensione di tipo qualsiasi (voltaico, termoelettrico o dinamo-elettrico) è costituito da dispositivi in grado di fornire energia (chimica, meccanica, termica, ecc. ecc.) alle cariche

309

elettriche negative e da strutture conduttrici interne che possono essere considerate come estensione del circuito esterno eventualmente collegato al generatore stesso. Quando ai poli del generatore (morsetto positivo – morsetto negativo) non è collegato alcun cavo conduttore (circuito esterno), la corrente elettrica esterna non può che ovviamente essere nulla. In tali condizioni la differenza di potenziale generata sui morsetti terminali dall’applicazione di energia è perfettamente equilibrata dalle azioni elettrostatiche contrarie che le cariche polarizzate si scambiano. Il generatore è quindi in condizioni di EQUILIBRIO ELETTROSTATICO ed il campo elettrico interno – somma algebrica del campo elettrico artificiale e del campo elettrico dovuto alla polarizzazione – risulta nullo. Quando il generatore ha raggiunto l’equilibrio elettrostatico e non è presente alcun circuito esterno, il grado di polarizzazione è massimo e non sono più possibili ulteriori movimenti di cariche elettriche nel corpo del generatore. L’equilibrio elettrostatico e la polarizzazione artificiale permangono sino a quando il generatore possiede energia in quantità sufficiente a mantenere separate le cariche. Tale condizione è analoga a quella di una molla deformata ove le forze esterne che tenderebbero a modificarne la lunghezza sono perfettamente equilibrate dalle reazioni elastiche di deformazione. L’equilibrio elettrostatico è normalmente raggiunto dal generatore in tempi molto brevi e può essere spiegato nel modo seguente:

Inizialmente il materiale conduttore che costituisce il corpo interno del generatore è elettricamente neutro. Gli elettroni di conduzione sono liberi di muoversi in tutte le direzioni e non campare quindi alcun fenomeno di polarizzazione sui morsetti terminali. Il campo elettrico interno è ovviamente nullo.

La polarizzazione ha inizio nel momento in cui l’energia (interna al generatore stesso o fornita dall’esterno) genera un campo elettrico di valore 1E che costringe gli elettroni di conduzione a muoversi in senso contrario al campo stesso e a concentrarsi su uno dei due poli che assume quindi la polarità negativa, mentre, il polo opposto assume la polarità positiva per difetto d’elettroni.

Il continuo affluire d’elettroni sul polo negativo e il conseguente deflusso dal polo positivo è causa dell’aumento di densità di carica, del grado di polarizzazione e del campo elettrico 2E contrario a quello artificialmente creato dal generatore.

Nel momento in cui il campo elettrico 2E è perfettamente uguale e contrario al campo 1E ,

gli elettroni di conduzione non sono più sottoposti ad alcuna azione elettrostatica ed il generatore è in equilibrio.

Un elettrone di conduzione che è collocato sul polo negativo possiede quindi una quantità di

energia potenziale elettrostatica pari al lavoro che è stato applicato dal generatore per mantenerlo in tale posizione a dispetto del campo elettrico contrario. E’ questa una situazione analoga a quella in cui si trova un corpo di massa m posizionato ad un’altezza h all’interno del campo gravitazionale terrestre ed mantenuto in tale posizione da una energia perfettamente uguale a quella che esso possiede in virtù dell’altezza raggiunta. Si immagini, a questo proposito, di collocare una sfera di massa m perfettamente centrata sullo sbocco di un tubo verticale dal quale esce acqua con una certa velocità. L’energia cinetica del flusso d’acqua è trasferita alla massa della sfera che, di conseguenza, inizia a salire in verticale trasformando istantaneamente l’energia cinetica in energia potenziale.

310

All’altezza massima raggiunta dalla sfera corrisponde uno stato d’equilibrio in cui il valore d’energia cinetica istantaneamente ceduto dall’acqua alla sfera corrisponde esattamente al valore d’energia potenziale della sfera in quel punto.

DIFFERENZA DI POTENZIALE – FORZA ELETTROMOTRICE (FEM) La differenza di potenziale, o tensione, che il generatore mantiene tra i poli o morsetti quando non si ha collegamento elettrico – cioè, come si dice comunemente “A CIRCUITO APERTO” – è comunemente definita, anche in modo improprio, “FORZA ELETTROMOTRICE”. Per la forza elettromotrice si utilizza sovente l’abbreviazione “f.e.m.” ed il simbolo E. Naturalmente la forza elettromotrice non si misura in Newton – come la definizione lascerebbe intendere – ma in VOLT. DEFINIZIONE E UNITA’ DI MISURA DELLA CORRENTE REALE Si realizza un “CIRCUITO elettrico, quando i poli del generatore di tensione sono collegati tra loro mediante un cavo conduttore. Altri componenti essenziali del circuito elettrico sono:

x Interruttore - Dispositivo atto ad interrompere la continuità fisica del cavo x Resistenza – Dispositivo atto a limitare il numero di elettroni in transito nel filo x Fusibile – Dispositivo di sicurezza atto ad interrompere automaticamente la continuità del

cavo nel caso di sovracorrenti x Utilizzatore – Dispositivo in grado di trasformare il passaggio di elettroni in energia termica,

luminosa ecc. ecc. Un circuito elettrico è definito “CHIUSO”, quando non esistono ostacoli al passaggio di corrente. La differenza di potenziale, caratteristica del generatore (tensione o f.e.m.) a circuito aperto, è applicata ai capi del conduttore generando istantaneamente un campo elettrico che provoca lo spostamento di tutti gli elettroni di conduzione contenuti nel cavo e nei materiali dei vari dispositivi del circuito esterno verso il polo positivo del generatore. Il generatore di tensione, dapprima in equilibrio elettrostatico per le ragioni di cui al punto precedente, riceve quindi elettroni sul polo positivo ove la densità di carica subisce un immediato decremento; il grado di polarizzazione ed il campo elettrico resistente – interno al generatore – diminuiscono e, di conseguenza, il campo elettrico attivo creato dal generatore ha la possibilità di spostare, attraverso il corpo del generatore stesso, altri elettroni verso il polo negativo che, nel frattempo, ne aveva persi altrettanti. Il grado di polarizzazione è così ripristinato e la differenza di potenziale ai morsetti si mantiene costante (come si vedrà più avanti, il movimento di cariche elettriche attraverso il corpo del generatore provoca una caduta di potenziale, cosicché, a circuito chiuso, la tensione ai capi è minore della forza elettromotrice – f.e.m. – a circuito aperto). Risulta così evidente che l’equilibrio elettrostatico del generatore di tensione non può più essere raggiunto. Per ogni elettrone che, partendo dal polo negativo, è sospinto al polo positivo attraverso il circuito esterno, corrisponde un altro elettrone che, prelevato dal polo positivo, raggiunge il polo negativo attraverso il circuito interno del generatore. Il moto degli elettroni attraverso il circuito esterno ed il corpo del generatore è quindi “continuo” e costante nel tempo sino a quando l’energia fornita al generatore è sufficiente a mantenere invariata la forza elettromotrice originale.

311

+ -VA V B

P O L A R .E

G E N .E

=VA -V B f .e .m .

G e n e ra to re o b a tte r ia

R 14 – 25/4 – GENERATORE A CIRCUITO APERTO – EQUILIBRIO ELETTROSTATICO - f.e.m.

+ -VA V B

P O L A R .E

G E N .E

G e n e ra to re o b a tte r ia

F U S IN TR E S . L IM IT .

U T IL IZ Z A T O R E

-e

e -

e -

-e

e -

-e

-e -e

**

*VA V B*- = f .e .m . - V G E N

V E R S O C O R R E N T E R E A L E

R 14 – 26/4 – VERSO DELLA CORRENTE REALE – GENERATORE CON CIRCUITO CHIUSO

Considerando che il movimento di elettroni è continuo e supponendo di considerare due sezioni trasversali del cavo conduttore separate da una qualsiasi distanza, si conclude che il numero di cariche che entra attraverso la prima sezione deve essere uguale a quelle che escono dalla sezione successiva. Ciò è esattamente analogo a quanto succede in una tubazione attraversata da una corrente fluida in moto permanente. Si può allora comprendere che la maggiore o minore entità della corrente elettrica che percorre il circuito è definita dalla quantità di elettricità che attraversa una sezione qualsiasi del circuito stesso riferita all’unità di tempo.

312

Da questo punto di vista e sfruttando ancora l’analogia con la corrente di fluido in una tubazione che è a sua volta completamente definita dalla portata volumica, massica o in peso, si può dire che la corrente elettrica è individuata se si conosce il valore:

t

Qi

' ¸

¹

ᬩ

§

s

C

Con: Q Quantità di carica elettrica che attraversa una sezione qualsiasi C

t' Intervallo di tempo o unità di tempo s Il valore della nuova grandezza fisica risultante dal rapporto tra la carica elettrica ed il tempo è definito “INTENSITA’ DI CORRENTE” ed è considerata una “GRANDEZZA FISICA FONDAMENTALE “ che si aggiunge a quelle già considerate sino ad ora: MASSA > @M kg Chilogrammo SPAZIO > @L m Metro TEMPO > @t s Secondo TEMPERATURA > @T K Kelvin INTENSITA’ DI CORRENTE ELETTRICA > @i A Ampere INTENSITA’ LUMINOSA > @vI cd Candela QUANTITA’ DI SOSTANZA (MOLE) > @n mole Mole ……………………………………………………………….. ANGOLO PIANO rd Radiante ANGOLO SOLIDO srd Steradiante Considerando il fatto che gli elettroni sono portatori della più piccola carica elettrica, l’intensità di corrente elettrica è anche determinata dalla seguente relazione:

t

C10602,1n

t

en

t

Qi

19

'

u

'

'

Da cui si potrebbe determinare il numero di elettroni in transito nel conduttore qualora si conosca il valore dell’intensità di corrente e l’intervallo di tempo:

1910602,1

tin

u

'

Nel caso di corrente continua e supponendo che non sia modificato il valore della forza elettromotrice, il numero di cariche è costante nel tempo e l’intensità non subisce variazioni nei vari istanti. UNITA’ DI MISURA DELL’INTENSITA’ DI CORRENTE ELETTRICA L’unità di misura dell’intensità di corrente elettrica, che è denominata “AMPERE” e che si rappresenta simbolicamente con A , si ottiene considerando una carica unitaria C1Q in transito in una sezione qualsiasi del circuito in un intervallo di tempo pari ad s1t ' . Per il momento e sino a quando non saranno introdotte le azioni elettromagnetiche tra conduttori percorsi da corrente, l’Ampere resta così definito come il valore dell’intensità di corrente che determina il passaggio di una quantità di carica pari a 1 Coulomb nell’unità di tempo:

313

s1

C1A1i

La definizione dell’unità di misura dell’intensità corrente consente ora di determinare il numero di elettroni in transito nel circuito per ogni secondo:

elettroni10602,1

.elett

C10602,1

s1s

C1

10602,1

tin 19

1919

u

¸¹

ᬩ

§u

¸¹

ᬩ

§

u

'

Sono naturalmente da utilizzarsi per la risoluzione dei problemi le formule inverse che permettono di determinare la quantità di carica ed il tempo:

tiQ '

i

Qt '

Per valori di corrente inferiori all’Ampere si utilizzano solitamente i seguenti sottomultipli:

1 milliampere A10mA 3 1 microampere A10A 6 P

NUOVA DEFINIZIONE DELLE UNITA’ DI MISURA DELL’ELETTROSTATICA Come si era detto sin dall’inizio, tutte le principali grandezze caratteristiche dell’elettrostatica sono state sino ad ora definite in funzione della quantità di carica Q espressa in Coulomb. D’altra parte, con la definizione dell’intensità di corrente come nuova grandezza fondamentale, la quantità di carica Q diventa una grandezza derivata e, con essa, tutte le altre grandezze definite sino ad ora. Occorre quindi ridefinire tutte le grandezze in funzione dell’intensità di corrente i e le relative unità di misura in funzione dell’Ampere.

QUANTITA’ DI CARICA ELETTRICA La carica elettrica è ora definita dalla relazione:

tiQ > @ > @ > @tiQ u L’unità di misura della carica risulta quindi:

s1A1Q u

COSTANTE ELETTRICA DEL VUOTO

La costante elettrica del vuoto ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ u ) 2

29

C

mN109k sarà ora definita dalla seguente

relazione:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

u ) 22

29

sA

mN109k

In termini di grandezze fondamentali:

314

42

3

22

2

2

ti

LM

ti

Lt

LM

k

)

COSTANTE DIELETTRICA DEL VUOTO

La costante dielettrica del vuoto ¸¸

¹

·

¨¨

©

§

H

) 2

212

mN

C1085,8 sarà ora definita da:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

H

) 2

2212

mN

sA1085,8

In termini di grandezze fondamentali:

3

42

LM

ti

H )

CAMPO ELETTRICO Il campo elettrico risulta ora da misurarsi:

¸¹

ᬩ

§

sA

N

q

FE

Resta ancora valida la formulazione che tiene conto del potenziale:

¸¹

ᬩ

§

m

VE

Ed in termini di grandezze fondamentali:

3

2

ti

LM

tit

LM

E

POTENZIALE ELETTRICO Per il potenziale:

VoltsA

mN

sA

J

q

WV ¸

¹

ᬩ

§

¸

¹

ᬩ

§

In termini di grandezze fondamentali:

2

22

ti

LM

ti

Lt

LM

V

CAPACITA’ ELETTRICA

FaradmN

sA

sA

J

sA

V

QC

22

2

42

2

22

LM

ti

Lt

LM

tiC

VERSO CONVENZIONALE DELLA CORRENTE Si è visto che la corrente elettrica nei metalli è costituita da un moto di scorrimento degli elettroni liberi (elettroni di conduzione) che vi sono contenuti. Tali elettroni, infatti, sotto l’azione della forza elettromotrice (differenza di potenziale creata da generatore) si spostano attraverso gli spazi vuoti che separano i vari atomi della struttura cristallina di un metallo. Si ricorda che lo spostamento degli elettroni dal polo negativo verso il polo positivo (da potenziale minore a potenziale maggiore) altro non è che la CORRENTE ELETTRICA REALE.

315

Nei metalli la corrente elettrica è quindi dovuta al moto di cariche negative rispetto alle cariche positive fisse (i protoni, contenuti nei nuclei degli atomi metallici, i quali occupano posizioni nodali fisse nel reticolo cristallino). Questo tipo di conduzione è quindi una conduzione “elettronica”. A questo tipo di conduzione si contrappone la “conduzione ionica” la quale, come si vedrà, si verifica essenzialmente nelle soluzioni conduttrici (elettroliti) e nei gas ionizzati. Nel processo di “conduzione ionica”, la corrente elettrica è causata dallo spostamento contemporaneo ed in senso opposto di ioni positivi (atomi o molecole che hanno perso uno o più elettroni) e ioni negativi (derivanti da atomi o molecole che hanno acquistato uno o più elettroni). La caratteristica comune a questi due tipi di corrente elettrica, pur derivando da processi completamente diversi tra loro, è proprio il fatto che la corrente si manifesta come uno scorrimento relativo di cariche di un segno rispetto alle cariche di segno opposto. Agli effetti pratici è quindi assolutamente indifferente considerare la corrente elettrica come il movimento reale degli elettroni mentre i protoni restano fissi nel reticolo cristallino oppure un movimento “convenzionale” di cariche positive “protoni” mentre si considerano fissi gli elettroni. La corrente elettrica “CONVENZIONALE” deve essere quindi considerata come un moto “virtuale” di cariche positive nei corpi conduttori e sostituisce integralmente la corrente REALE. D’ora in avanti sarà presa in considerazione la sola “CORRENTE CONVENZIONALE”. Il verso della “corrente convenzionale” è esattamente opposto al verso della corrente reale:

CORRENTE ELETTRICA CONVENZIONALE: Occorre dunque considerare le cariche positive (protoni) in movimento dal polo positivo del generatore al polo negativo dello stesso, lungo il circuito esterno, e un uguale movimento di cariche positive dal polo negativo a quello positivo all’interno dei materiali conduttori che formano il corpo del generatore. L’intensità della corrente convenzionale è uguale a quella della corrente reale.

t

Qi C

'

CORRENTE CONVENZIONALE

t

Qi R

'

CORRENTE REALE

Le motivazioni che stanno alla base della definizione ed utilizzo della corrente convenzionale piuttosto di quella reale, sono da intendersi comprese nella naturale abitudine a considerare naturale il movimento dall’alto verso il basso di un corpo nel campo gravitazionale terrestre. Paragonando l’altezza di caduta al potenziale elettrico, risulta quindi ovvio considerare il movimento dei protoni dal polo a potenziale maggiore (polo positivo) a quello a potenziale minore (polo negativo), quello che maggiormente somiglia al nostro comune senso di percezione visiva. Di conseguenza anche la differenza di potenziale creata dal generatore (forza elettromotrice) sarà orientata in modo da assicurare alle cariche tale movimento convenzionale.

316

+ -VA V B

P O L A R .E

G E N .E

G e n e ra to re o b a tte r ia

F U S IN TR E S . L IM IT .

U T IL IZ Z A T O R E

p+

**

*VA V B*- = f .e .m . - V G E N

C O R R E N T E C O N V E N Z IO N A L E

+p p+

p+

p+

+p

p+

p+

R 14 – 27/4 – CORRENTE CONVENZIONALE

i

V

E

c

ci

i c

G+-

ABV

(A )(A )

(V o lt)

f .e .m .

R 14 – 28/4 – CORRENTE CONVENZIONALE E F.E.M. GENERATORE DENSITA’ DI CORRENTE Dopo aver definito e determinato il valore dell’intensità di corrente (si parla ora di corrente convenzionale) che attraversa un dato conduttore e i componenti del circuito esterno al generatore,

317

risulta anche possibile svolgere indagini più approfondite circa il flusso di cariche elettriche attraverso una sezione qualsiasi del conduttore stesso. A questo scopo si immagini un cavo conduttore di forma qualsiasi (ad esempio cilindrica) e una sezione, di forma circolare, perpendicolare all’asse principale di simmetria (asse del cilindro). La corrente elettrica convenzionale, per quanto detto precedentemente, avrà la stessa direzione e lo stesso verso del vettore campo elettrico nel punto considerato. Se è noto il valore dell’intensità ci è possibile determinare il numero di cariche elettriche che attraversano la sezione:

t

en

t

Qi C

'

'

Ove si indica con e la carica elettrica positiva unitaria, pari, in valore assoluto, a quella posseduta dall’elettrone (cioè, altre parole, la carica del protone). Si ottiene quindi:

'

e

tin C

Il rapporto tra l’intensità di corrente (o, in alternativa, il numero n di cariche nell’unità di tempo) e l’area della sezione trasversale prende il nome di “DENSITA’ DI CORRENTE” ed è indicata con il simbolo J:

A

i

A

iJ C

Nel caso di conduttore cilindrico e supponendo che il numero di cariche in movimento si distribuisca in modo uniforme in tutta la sezione:

2R

i

A

iJ

S

Le unità di misura della densità di corrente sono:

¸¹

ᬩ

§

2m

AJ

La densità di corrente si può anche definire “pressione della corrente elettrica” proprio in virtù della chiara analogia con la grandezza meccanica “pressione”.

Mentre l’intensità di corrente è costante in tutte le sezioni del conduttore, la densità di corrente è inversamente proporzionale all’area della sezione; basse densità per cavi di grande diametro, elevate densità per cavi di piccolo diametro. Considerando il fatto che le cariche in movimento sono costrette ad utilizzare gli spazi liberi del reticolo cristallino del conduttore e che tali spazi sono ridotti se si riduce la sezione, è agevole giungere alla conclusione che ad ogni aumento della densità corrisponde una maggiore difficoltà di spostamento e un crescente numero di urti. Più avanti si dirà che, a parità di intensità di corrente e di tipo di materiale, i conduttori di piccola sezione hanno una “resistenza” maggiore. Se il passaggio di cariche non è uniforme in tutti i punti della sezione (effetto pelle) occorrerà tenere presente del fatto che anche la densità di corrente è variabile da punto a punto.

318

J = c o s ta n te

J = v a r ia b ile

A

A

J 1

J 2

A 1 2A

R 14 – 29/4 - DENSITA’ DI CORRENTE COSTANTE E VARIABILE LA VELOCITA’ DELLE CARICHE ELETTRICHE – VELOCITA’ DI DERIVA Per meglio comprendere la definizione ed il calcolo della velocità di cui sono dotate le cariche elettriche in moto (elettroni se si considera la corrente reale, protoni quando si prende in considerazione la corrente convenzionale), è utile l’analogia con una corrente fluida in moto in una tubazione. Si ricorda brevemente che, la corrente fluida è caratterizzata dal valore della portata volumica cioè dal rapporto tra il volume di liquido passante attraverso una determinata sezione di tubo ed il tempo impiegato:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

'

s

m

t

VP

3

D’altra parte si può ottenere il volume passante attraverso una sezione : se si tiene conto della velocità di spostamento del fluido e del tempo:

tvV ': Ove il prodotto della velocità per il tempo rappresenta la lunghezza del cilindro di liquido passato attraverso la sezione e si è indicato con : l’area della sezione. Per cui la portata si ottiene da:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§¸

¹

ᬩ

§:

'

':

s

m

s

mmv

t

tvP

32

¸¹

ᬩ

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

:

s

m

ms

mP

v2

3

Nel caso di corrente elettrica, alla grandezza volume occorre sostituire la quantità di carica trasportata dagli elettroni o protoni per ottenere l’intensità della corrente che equivale quindi alla portata volumica:

VQ

Pi

319

t

Qi

'

Per ottenere la quantità di corrente Q in transito nel tempo t' attraverso una sezione del conduttore occorre, anche in questo caso, tenere conto della velocità di transito delle cariche, detta “VELOCITA’ DI DERIVA”. Se si suppone che tutte le cariche elettriche siano dotate della stessa velocità e che la densità di corrente J sia uniforme in tutti i punti della sezione, il numero di cariche N, presenti entro una lunghezza L del cavo conduttore di sezione : , sarà dato da:

LnN :

Con: n Numero di cariche elementari per unità di volume

La carica complessiva contenuta nel volume sarà quindi:

: pLnpNQ Se si indica con dv la velocità di spostamento delle cariche quando sono sottoposte al campo elettrico e tenendo conto che la quantità totale di carica è contenuta nella lunghezza L, si ottiene:

Ltv d '

dv

Lt '

Sostituendo ora nell’equazione che definisce l’intensità di corrente:

dv

L

pLn

t

Qi

:

'

: pvni d Da cui si ottiene la velocità di deriva:

:

pn

iv d

:

pn

1iv d

pn

Jv d

320

ESERCIZI CORRENTE ELETTRICA – DENSITA’ DI CORRENTE

VELOCITA’ DI DERIVA Esercizio 1: Un conduttore è percorso da una corrente A25i . Determinare la quantità di elettricità che lo attraversa in un tempo pari a 25 s. Soluzione: La corrente è definita dalla relazione:

t

Qi

'

La quantità di elettricità (quantità di carica elettrica) si ottiene con la formula inversa:

tiQ ' Si ottiene quindi:

sA625s25A25Q Dato che si ha una corrente di 1(A) quando, in un tempo di 1 (s), passa una quantità di carica pari a 1 (C), la quantità trovata corrisponde anche a:

C625Q Il numero di cariche elettriche corrispondenti a tale quantità di carica complessiva, si ottiene dalla relazione:

enpnQ Nel primo caso si considera la corrente convenzionale, quella reale nel secondo.

elememtaricariche109,31039010

6,1

625

carica

C106,1

C625

p

Qn 211919

19

u u u

¸¹

ᬩ

§u

Esercizio 2: In un filo conduttore percorso da corrente si ha, in un tempo di 30 minuti, il transito di una quantità di carica pari a C25Q . Determinare l’intensità di corrente. Soluzione:

t

Qi

A389,1

s

C10389,1

min

s60min30

C25i 2 ¸

¹

ᬩ

§u

¸¹

ᬩ

§

321

Esercizio 3: Calcolare la quantità di elettricità ed il numero di cariche elementari (positive o negative) che, in 1 minuto, passa in un conduttore percorso da una corrente di 20 (A). Soluzione:

sAC200.1min

s60min1

s

C20tiQ ¸

¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

t

pni

cariche105,7

carica

C106,1

min

s60min1

s

C20

p

tin 21

19

u

¸¹

ᬩ

§u

¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

Esercizio 4: Un accumulatore ha ricevuto, in un tempo di 12 ore, una carica complessiva di 84.000 C. Determinare l’intensità media della corrente di carica. Soluzione: L’accumulatore (ad esempio la batteria di un’automobile) è un generatore di tensione che deve essere caricato d’energia per poterla poi cedere ai dispositivi ad esso collegati (motorino d’avviamento). Supponendo costante l’intensità della corrente durante il periodo di carica:

A94,1

h

s3600h12

C000.84

t

Qi

¸¹

ᬩ

§

Esercizio 5: L’intensità di corrente che scorre in un circuito è di 20 (mA). Quanti elettroni di conduzione passano attraverso una sezione del circuito in un tempo pari a 1/1.000 di secondo? Soluzione:

tienQ

elettroni1025,1106,1

20

.elettr

C106,1

s10s

C1020

e

tin 1413

19

33

u u

¸¹

ᬩ

§u

¸¹

ᬩ

§u

Esercizio 6: Attraverso una sezione di un circuito elettrico passa un numero di elettroni pari a 16103 u per ogni secondo. Determinare il valore dell’intensità di corrente. Soluzione:

mA8,4A108,4

s1

elettrone

C106,1elettroni103

t

en

t

Qi 3

1916

u

¸¹

ᬩ

§uu

Esercizio 7:

322

Un condensatore avente capacità F2C P , caricato applicando tra le sue armature una tensione di 200 V, è poi scaricato collegando le armature con un filo conduttore. Sapendo che la corrente di scarica ha avuto un’intensità media di 0,02 (A), determinare la durata della scarica. Soluzione: Dalla capacità e dalla tensione si può determinare la quantità di carica accumulata sul condensatore:

V

QC

'

C104V200V

C102VCQ 46 u ¸

¹

ᬩ

§u '

La durata della scarica si ottiene tenendo conto dell’intensità media di corrente:

t

Qi M

s102

s

C102

C104

i

Qt 2

2

4

M

u

¸¹

ᬩ

§u

u

Esercizio 8: Dell’acqua scorre attraverso un terminale di un impianto per irrigazione. La portata volumetrica è

pari a ¸¸

¹

·

¨¨

©

§

s

cm450P

3

. Determinare l’intensità di corrente elettrica negativa ad essa associata.

Soluzione: La corrente elettrica dovuta al passaggio di cariche negative è data dalla relazione:

t

Qi

La quantità di carica negativa passante, in un tempo pari ad un secondo, è essenzialmente determinata dal numero di cariche negative che, complessivamente, attraversa la sezione. Le cariche negative sono distribuite in numero pari a 10 (otto per l’atomo di ossigeno + 2 per gli atomi di idrogeno) su ogni molecola d’acqua. Considerando che la densità dell’acqua è pari a:

¸¹

ᬩ

§

3cm

g1d

si può determinare la quantità in massa che esce dalla sezione nell’unità di tempo:

¸¹

ᬩ

§ ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§¸

¹

ᬩ

§

s

g450

s

cm450

cm

g1Pdm

3

3

Se si considera poi che la massa molecolare dell’acqua è:

¸¹

ᬩ

§

mole

g18M

si può determinare il numero di moli nell’unità di tempo:

¸¹

ᬩ

§

¸¹

ᬩ

§

¸¹

ᬩ

§

s

moli25

mole

g18

s

g450

M

mM.nun

Con il Numero d’Avogadro si determina poi il numero complessivo di molecole d’acqua:

¸¹

ᬩ

§u ¸

¹

ᬩ

§u¸

¹

ᬩ

§

s

molecole105,1

mole

molecole1002,6

s

moli25NMoli.nunN 2523

A

323

E, moltiplicando per il numero di elettroni portati da ogni molecola e per la carica elementare di ogni elettrone, si determina la quantità di elettricità negativa uscente per ogni secondo dal terminale:

¸¹

ᬩ

§u ¸

¹

ᬩ

§u¸

¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

s

C104,2

elettrone

C106,1

molecola

elettroni10

s

molecoleNQ 719

Tale risultato, essendo già espresso in Coulomb al secondo, rappresenta anche la corrente elettrica negativa associata alla portata d’acqua in esame:

A104,2i 7u Ovviamente la corrente elettrica negativa è completamente bilanciata dalla corrente elettrica positiva associata ai protoni contenuti nel flusso d’acqua. Esercizio 9: La densità di corrente in un conduttore cilindrico di raggio mm0,2R è uniforme sulla sezione

del filo ed ha un valore pari a ¸¹

ᬩ

§u

2

5

m

A102J . Determinare l’intensità di corrente che fluisce

nello strato cilindrico esterno del filo compreso tra i raggi pari ad 2

R ed R.

Soluzione: Considerando che la densità di corrente è uniforme in tutta la sezione si può utilizzare la relazione:

:

iJ

Ove con : si deve considerare la sola area della sezione anulare di raggi compresi tra R/2 ed R:

2622322

2 m104,94

m1023

4

R3

2

RR

u uS

S ¸¹

ᬩ

§SS :

L’intensità di corrente che attraversa la sezione considerata si ottiene dunque da:

: Ji

A88,1m104,9m

A102i 26

2

5 u¸¹

ᬩ

§u

Esercizio 10: Un’estremità di un filo d’alluminio avente diametro di 2,5 mm è saldato ad un filo di rame con un diametro di 1,8 mm. Il filo così composto è poi percorso da una corrente stazionaria di 17 (mA). Determinare la densità di corrente in ciascun filo supponendola uniforme in tutti i punti delle sezioni. Soluzione: La densità di corrente è data da:

:

iJ

324

Con : si intende l’area della sezione del conduttore. Per il filo di rame:

26222Cu m1054,2mm54,29,0r u S S :

¸

¹

ᬩ

§u

u

u

2

3

26

3

Cum

A1069,6

m1054,2

A1017J

Per il filo d’alluminio:

26222Al m109,4mm9,425,1r u S S :

¸

¹

ᬩ

§u

u

u

2

3

26

3

Cum

A1047,3

m109,4

A1017J

325

RESISTENZA ELETTRICA PRIMA LEGGE DI OHM PER I CONDUTTORI

Si è visto che la condizione necessaria affinché gli elettroni di conduzione contenuti in un metallo (corrente reale) o le cariche positive (corrente convenzionale), assumano contemporaneamente un movimento orientato e continuo caratterizzato da un certa velocità, definita “velocità di deriva”, è che gli estremi del circuito conduttore siano collegati ai poli di un generatore di tensione. La differenza di potenziale V' genera, all’interno dei materiali che compongono il circuito esterno, un campo elettrico e la conseguente comparsa di forze elettriche che accelerano le cariche cedendo ad esse una determinata quantità d’energia. Risulta così abbastanza evidente che la quantità di cariche in movimento nell’unità di tempo, quindi l’intensità di corrente elettrica, deve sicuramente dipendere dal valore delle forze elettriche agenti che, a loro volta, dipendono dal valore del campo elettrico il cui valore è però determinato dalla differenza di potenziale (tensione o f.e.m.) applicata dal generatore. Di conseguenza l’intensità di corrente deve essere direttamente proporzionale alla tensione applicata. Occorre però considerare che il movimento accelerato cui sono assoggettate le cariche per effetto del campo è certamente paragonabile a quello che succede, in meccanica, ad un qualsiasi corpo di massa m sul quale è applicato un sistema di forze attive e reattive. Fino a quando l’intensità della risultante delle forze attive (ad esempio forze motrici) si mantiene superiore alla risultante delle forze reattive (ad esempio le forze di attrito e la resistenza del mezzo all’avanzamento del corpo), il corpo procede di moto accelerato e tende così ad aumentare la propria velocità. Però, mano a mano che la velocità del corpo aumenta, le forze reattive (specialmente la resistenza del mezzo) si incrementano, cosicché si giunge, più o meno rapidamente, ad una condizione di equilibrio dinamico in cui la velocità raggiunta rappresenta quella massima possibile in relazione all’intensità delle forze motrici. Per variare la condizione di equilibrio dinamico, ad esempio per incrementare ulteriormente la velocità, occorre un incremento della forza motrice. Ad esempio, un paracadutista in caduta libera sottoposto all’azione gravitazionale del proprio peso, raggiunge, accelerando, una velocità massima di circa 230 k/h oltre alla quale la resistenza dell’aria oppone una forza reattiva pari alla forza gravitazionale ed il paracadutista continua il moto di caduta senza ulteriori accelerazioni e con moto rettilineo uniforme. Un simile esempio può essere utile per descrivere il moto delle cariche elettriche in un conduttore. Come si è detto la f.e.m. applicata ai capi del conduttore genera un campo elettrico e una forza motrice che costringe le cariche ad accelerare aumentando la propria velocità. Il moto delle cariche di conduzione avviene, però, in un ambiente in cui gli atomi del reticolo cristallino del materiale rappresentano ostacoli fissi e costringono le cariche in movimento a continui urti. Quando l’energia ceduta dalla forza motrice (campo elettrico) alle cariche in movimento è pari all’energia dissipata dalle stesse durante gli urti molecolari, il moto delle cariche risulta uniforme e la loro velocità è la velocità di “deriva”. Questa introduzione si rende necessaria per comprendere il fatto che, oltre alla differenza di potenziale applicata al circuito dal generatore (vera e propria forza motrice), l’intensità di corrente elettrica deve essere necessariamente influenzata anche dalle caratteristiche morfologiche (e poi, come si vedrà, anche dalla temperatura) del materiale in cui la corrente si manifesta. Ciò risulta ancora più chiaro se si considera l’analogia con due corpi entrambi sospinti da motori in grado di esercitare la stessa forza motrice ma in movimento su traiettorie o in fluidi diversi.

326

A parità di forza motrice, la velocità di un corpo in moto su una superficie orizzontale risulta sicuramente maggiore di quella mantenuta dallo stesso corpo su una superficie inclinata (se si tratta di moto verso l’alto). Alla stessa conclusione si perviene immaginando il moto di un corpo immerso in un gas piuttosto che un liquido. Diciamo dunque che la resistenza all’avanzamento delle cariche nel mezzo conduttore, a parità di differenza di potenziale applicata, agisce da limite alle velocità raggiunte dalle cariche e, considerando che dalla velocità di deriva dipende il numero di cariche che riescono ad attraversare una sezione, è quindi da considerarsi una variabile in grado di influenzare l’intensità di corrente. La conclusione ovvia di tale introduzione è la seguente:

L’intensità di corrente “ i ”, fluente nel circuito di collegamento esterno al generatore, deve essere direttamente proporzionale al valore della “DIFFERENZA DI POTENZIALE V' ” applicata ai capi, ed inversamente proporzionale al valore di una costante “ R “, caratteristica della morfologia e della geometria dei componenti che costituiscono in circuito stesso e che, in qualche modo, rappresenta la resistenza del mezzo all’avanzamento delle cariche elettriche.

Detta costante sarà, d’ora in avanti definita, “RESISTENZA DEL CIRCUITO”. Tale risultato, peraltro confermato dalla sperimentazione, è espresso da una legge definita “LEGGE DI OHM” in onore al fisico Georg Ohm cui si deve la scoperta e la formulazione:

R

Vi

' LEGGE DI OHM > @1 CORRENTE

L’intensità di corrente è direttamente proporzionale alla tensione ed inversamente proporzionale alla resistenza R.

Se si misura con un amperometro l’intensità di corrente e con un voltmetro da differenza di potenziale applicata ai capi del circuito, è quindi possibile determinare analiticamente il valore di R caratteristico del circuito:

i

VR

' LEGGE DI OHM > @2 RESISTENZA

Oppure:

iRV ' LEGGE DI OHM > @3 CADUTA DI TENSIONE

UNITA’ DI MISURA DELLA RESISTENZA – GRANDEZZE FONDAMENTALI Utilizzando ora la legge di Ohm nella sua forma > @2 risulta possibile stabilire le unità con cui misurare il valore della resistenza del circuito o di alcune sue parti. Considerando che la tensione V' (o differenza di potenziale) è misurata in Volt (V) e che la corrente è misurata in Ampere (A), si ottiene di conseguenza:

327

:¸¹

ᬩ

§

'

Ampere

Volt

i

VR

L’unità di misura della resistenza è definita “OHM” ed il simbolo che lo rappresenta è : . Un circuito o una parte di circuito ha una resistenza : 1R quando, per effetto di una differenza di potenziale V1V ' , circola un’intensità di corrente pari a A1i .

In termini di grandezze fondamentali la resistenza R si esprime con:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

32

2

2

2

ti

LM

ti

Lt

LM

A

1

sA

mN

A

1

C

J

A

VR

Multipli e sottomultipli dell’unità di misura della RESISTENZA sono: 1 mega-ohm :M = :610 1 chilo-ohm :k = :310 1 milli-ohm :m = : 310 1 micro-ohm :P = : 610

In molti casi può essere opportuno identificare il conduttore con l’inverso della resistenza elettrica cui è dato il nome di “CONDUCIBILITA’ ELETTRICA O CONDUTTANZA OHMICA” e che rappresenta la facilità con cui il conduttore si lascia attraversare dalla corrente elettrica. La “conduttanza” è rappresentata dal simbolo G:

V

i

R

1G

'

Le unità di misura della conduttanza sono quelle inverse della resistenza:

11

V

AG :¸

¹

ᬩ

§

:¸

¹

ᬩ

§

L’unità di misura della Conducibilità elettrica è il SIEMENS definito anche “Ohm reciproco”:

V1

A1

1

1S1

:

SIMBOLOGIA DA ADOTTARSI PER RAPPRESENTARE LA RESISTENZA OHMICA. La resistenza R offerta dai vari dispositivi e dai conduttori presenti in un circuito elettrico è solitamente rappresentata graficamente mediante la seguente simbologia:

328

VA VB

VA VB

R E S IS T E N Z A F IS S A

R E S IS T E N Z A V A R IA B IL E

i C

Ci

R 14 – 30/4 – SIMBOLOGIA PER LA RESISTENZA E I RESISTORI – FISSI E VARIABILI

LA LEGGE DI OHM ESTESA AI VARI TRATTI DI CIRCUITO. Quanto esposto in precedenza si riferisce a tutto il circuito elettrico, semplice o complesso, i cui terminali sono collegati ai poli del generatore. La costante R – o resistenza ohmica – deve essere necessariamente una caratteristica dell’intero circuito e quindi dipendente dalla resistenza che ogni tratto ed ogni dispositivo ad esso associato, considerato singolarmente, offre al passaggio della corrente stazionaria. Si intende “stazionaria” una corrente elettrica caratterizzata da intensità costante nel tempo. Ogni tratto di filo conduttore, ogni organo utilizzatore ed ogni dispositivo costituente il circuito, contribuisce in qualche modo a determinare la resistenza complessiva dello stesso. Tutto funziona allo stesso modo di un tubo percorso da una corrente liquida – sospinta da una pompa o semplicemente dalla forza gravitazionale – sul quale sono inseriti, o uno dopo l’altro o in parallelo, un certo numero di valvole o rubinetti di regolazione. Ogni valvola di regolazione, opportunamente manovrata in apertura o chiusura, consente di regolare sia la quantità che la pressione della corrente liquida. La regolazione delle valvole in apertura o chiusura corrisponde, rispettivamente, a diminuire o incrementare la resistenza all’avanzamento del liquido. Alla fine, però, regolate tutte le valvole e stabiliti tutti i diametri delle tubazioni di collegamento, la portata di fluido risulta completamente determinata in funzione della pressione esercitata dalla pompa. La resistenza R, opposta dal circuito idraulico, assume un valore fisso e la quantità di liquido in circolazione ne è una diretta conseguenza. E’ ovvio che la completa chiusura di una sola delle valvole di regolazione equivale ad incrementare ad un valore infinito la resistenza del circuito ed impedire la circolazione del liquido. Il funzionamento di un circuito elettrico è analogo a quello di un circuito idraulico. Una volta determinata la resistenza elettrica R complessiva del circuito (si utilizza solitamente il metodo volt-amperometrico misurando il valore della tensione ai capi del circuito e il valore

329

dell’intensità di corrente elettrica circolante) risulta poi possibile determinare la resistenza di ogni singolo dispositivo. Occorre inoltre tenere presente che la tensione ai capi del circuito è il risultato della somma delle tensioni applicate ai capi dei vari resistori per permettere in ognuno il passaggio della corrente stazionaria. In altre parole:

Ogni tratto o dispositivo del circuito, preso singolarmente, provoca un abbassamento di potenziale, comunemente definito “CADUTA OHMICA DI TENSIONE”, che è direttamente proporzionale al valore caratteristico della resistenza e dell’intensità di corrente. La somma di tutte le “cadute ohmiche” lungo il circuito deve corrispondere alla tensione applicata dal generatore ai capi del circuito. Ad ogni caduta ohmica è applicabile la legge di Ohm. Ciò si può esprimere in modo analitico con la seguente relazione (per resistori in serie):

BN32211AAB V...................VVVV '''' ' Con:

iRV CAB ' Tensione applicata dal generatore ai capi del circuito V

CR Resistenza complessiva circuito : i Corrente stazionaria A

1AV ' Caduta di tensione ohmica sul primo resistore V

BNV ' Caduta di tensione ohmica sull’ultimo resistore V Le varie cadute ohmiche sono trattate singolarmente con la legge di Ohm, perciò:

iRV 11A ' iRV 221 '

. iRV NBN '

Si può quindi pensare di visualizzare quanto detto utilizzando uno schema standard come il seguente:

330

VA VB

G

+ -

VB

21 3 4 5 6 7 8 9 1 0

AV VB

V A BVA2V

V1

V8

4V V5 V67V

3V

V9

1 0V

c c c c c c

R 1 2 43R

5 6R 7 8R

9 /1 0R

R 14 – 31/4 – CADUTE OHMICHE DI TENSIONE SU CIRCUITO ESTERNO DI CONDUTTORI E RESISTORI

VA VB

VB

21 3 4 5 6 7 8 9 1 0

V A BVA2V

V1

V8

4V V5 V67V

3V

V9

1 0V

c c c c c c

R 1 2 43R 5 6R 7 8R9 /1 0R

c

V 3 4= R i3 4

R14 – 32/4 – CIRCUITO SCHEMATIZZATO CON RESISTENZE DOVUTE AI CONDUTTORI ED UTIULIZZ. ESEMPIO: I capi di un circuito elettrico sono collegati ad un generatore di tensione. La lettura della differenza di potenziale ai capi è eseguita con un volmetro collegato in parallelo al circuito, mentre, la misura dell’intensità di corrente circolante è eseguita con un amperometro collegato in serie al circuito stesso. La differenza di potenziale (tensione) risulta essere Volt150VVV BA ' e la corrente elettrica è stazionaria ed ha un’intensità Ampere3i . Si determini la resistenza complessiva del circuito.

331

Sapendo che il circuito è costituito da quattro utilizzatori (resistenze elettriche concentrate) e da cinque tratti di cavo conduttore che collegano tra loro gli utilizzatori e i capi del generatore e supponendo che tali resistenze e conduttori abbiano i seguenti valori:

: 10R 1 : 5R 2 : 20R 3 : 10R 4 : 5,2R 1C : 3,0R 2C : 5,0R 3C : 2,0R 4C : 5,1R 5C

Determinare i valori delle differenze di potenziale o tensione al capo iniziale e terminale di ciascuno dei nove resistori. Soluzione: La resistenza elettrica complessiva nel circuito è determinata dall’applicazione della legge di Ohm tra il capo iniziale e terminale del circuito utilizzando i dati delle letture Volt-Amperometriche:

:

' 50

A3

V150

i

VR T

I valori delle differenze di potenziale che risulterebbero da una misurazione volumetrica tra i due capi di ogni resistore, sia utilizzatore che conduttore, e con l’ipotesi che ogni utilizzatore sia collegato a quello successivo con un tratto di cavo, sarebbero le seguenti:

Volt5,7A35,2iRV 1C1CA : ' Volt30A310iRV 11R1C : '

Volt9,0A33,0iRV 2C2C1R : ' Volt15A35iRV 22R2C : '

Volt5,1A35,0iRV 3C3C2R : ' Volt60A320iRV 33R3C : ' Volt6,0A32,0iRV 4C4C3R : '

Volt30A310iRV 44R4C : ' Volt5,4A35,1iRV 5C5C4R : '

¦ ' ' Volt150VV AB

332

ESERCIZI PRIMA LEGGE DI OHM

Esercizio 1: Determinare il valore dell’intensità di corrente che percorre un conduttore di resistenza pari a

: 3R , quando ai suoi capi è applicata una tensione V24E . Soluzione: Utilizzando la legge di Ohm si ottiene:

i

E

i

VR

'

Ampere8Ohm3

Volt24

R

Ei

Esercizio 2: Calcolare la tensione esistente ai capi di un apparecchio utilizzatore sapendo che in esso circola una

corrente A3i e che presente una resistenza ¸¹

ᬩ

§

A

V5R .

Soluzione: Dalla legge di Ohm:

i

E

i

VR

'

V15A35iREV : '

Esercizio 3: Calcolare la resistenza di un circuito in cui circola una corrente A20i quando ai suoi capi è applicata una tensione di 1.000 (V). Soluzione: Dalla legge di Ohm:

i

E

i

VR

'

: 50A20

V000.1R

Esercizio 4: Determinare la tensione esistente ai capi di un’apparecchiatura percorsa da una corrente A25i e che presenta una resistenza : 5R . E se l’apparecchiatura avesse una resistenza doppia e fosse percorsa da una corrente di intensità tripla della precedente, a quale valore si porterebbe la tensione esistente ai suoi capi ? Soluzione: Dalla legge di Ohm:

333

i

E

i

VR

'

V125A255iREV : ' Se la resistenza fosse doppia e l’intensità di corrente tripla:

V750A7510i3R2EV : ' Esercizio 5: Ai capi di un conduttore è applicata la differenza di potenziale di 18 V. Determinarne la resistenza, sapendo che esso è attraversato da una corrente di intensità A1027i 3u . Soluzione: Dalla legge di Ohm:

i

VR

'

:

u

66710

3

2

1027

V18R 3

3

Esercizio 6: Qual è l’intensità di corrente che percorre un conduttore di resistenza : k200R , quando si applica ai suoi estremi una differenza di potenziale di 500 V ?. Soluzione: Dalla legge di Ohm:

R

E

R

Vi

'

A105,210200

V500i 3

3

u :u

Esercizio 7: Qual è l’intensità di corrente che percorre un conduttore di resistenza : k200R , quando si applica ai suoi estremi una differenza di potenziale di 500 V ?.

334

LA SECONDA LEGGE DI OHM – CONDUTTIVITA’ E RESISTIVITA’ DEI CONDUTTORI Si consideri ora un conduttore cilindrico di lunghezza L e di sezione S (solitamente i conduttori cilindrici, denominati “cavi conduttori”, sono caratterizzati da una lunghezza L molto preponderante rispetto alle dimensioni della sezione circolare). Se il conduttore è collegato ai capi del generatore che applica una differenza di potenziale V' , si avrà una circolazione di corrente la cui intensità è data dalla prima legge di Ohm:

R

Vi

' A

Tenendo conto della definizione di “densità di corrente” vista precedentemente:

:

i

S

iJ ¸

¹

ᬩ

§2m

A

Si può ottenere il valore dell’intensità da:

SJi Confrontando il valore dell’intensità di corrente ottenuto dalla prima legge di Ohm con quello ottenuto dalla conoscenza della densità e della sezione del conduttore, si ottiene:

iSJR

Vi

'

Per cui:

SJR

V

' Amm

A 2

2 ¸

¹

ᬩ

§ > @1

Se poi si considera che, nella maggioranza dei casi, la sezione del conduttore cilindrico si mantiene costante per tutta la lunghezza, si potrà facilmente intuire (anche tenendo presente le rappresentazioni delle cadute ohmiche di tensione illustrate in precedenza) che l’abbassamento del potenziale interno è costante per ogni tratto di conduttore di pari lunghezza. Ciò è esattamente analogo a quello che succede nello spazio di lunghezza d compreso tra le armature di un condensatore. Ciò significa che il valore del campo elettrico E, in tutti i punti interni al conduttore e per tutta la sua lunghezza, deve essere costante e che la differenza di potenziale V' tra le estremità risulta definita dalla relazione:

LEV ' mm

V¸

¹

ᬩ

§ > @2

Occorre qui considerare che con il simbolo E è utilizzato per rappresentare il campo elettrico e non la tensione ai capi del circuito. Riprendendo ora la relazione i

V

E

c

ci

i c

G+-

ABV

(A )(A )

(V o lt)

f .e .m .

e tenendo presente la relazione VA VB

VB

21 3 4 5 6 7 8 9 1 0

V A BVA2V

V1

V8

4V V5 V67V

3V

V9

1 0V

c c c c c c

R 1 2 43R 5 6R 7 8R9 /1 0R

c

V 3 4= R i3 4

, si ottiene:

R

VSJ

'

R

LESJ

ESR

L

SR

LEJ ¸

¹

ᬩ

§

335

La densità di corrente all’interno di un cavo conduttore di sezione costante dipende dunque in modo direttamente proporzionale sia dal valore del campo elettrico sia dal termine contenuto in parentesi

¸¹

ᬩ

§

SR

L .

Fissati che siano la lunghezza L, la sezione S e la resistenza R del conduttore, allora il termine non può che essere costante ed è comunemente definito “CONDUTTIVITA’ ELETTRICA DEL MATERIALE”:

V ¸¹

ᬩ

§

SR

L CONDUTTIVITA’ ELETTRICA DEL MATERIALE

A parità di lunghezza L e sezione S, la “conduttività” di un cavo conduttore dipende unicamente dalle caratteristiche del reticolo cristallino del materiale con il quale è realizzato, che determina dunque la sua resistenza complessiva R. La conduttività elettrica del materiale è misurata da:

11

2m

m

m

SR

L :¸¹

ᬩ

§

:¸

¹

ᬩ

§

V

Se però si tiene conto del fatto che la lunghezza L è preponderante rispetto al valore dalla sezione S e che, solitamente, l’area della sezione (quasi sempre circolare) è compresa tra alcune unità e alcune decine di millimetri quadrati, si utilizza convenzionalmente il seguente sistema:

mmmmm

m

SR

L 21

2:¸

¹

ᬩ

§

:¸

¹

ᬩ

§

V

RESISTENZA TOTALE – RESISTENZA SPECIFICA O RESISTIVITA’ Con l’introduzione del concetto di “conduttività elettrica” di un “cavo conduttore”, risulta possibile determinarne la “RESISTENZA TOTALE” – cioè la resistenza opposta al passaggio di corrente elettrica – utilizzando la formula inversa:

S

LR

V

Con R si intende la resistenza – espressa in Ohm – di un cavo conduttore avente lunghezza L (espressa in metri) e sezione S (espressa in millimetri quadrati) realizzato con un certo materiale avente una “resistenza specifica o resistività” pari all’inverso della conduttanza specifica. E’ definita “ RESISTENZA SPECIFICA O RESISTIVITA ” la resistenza (espressa in Ohm) di un cavo conduttore realizzato con un certo materiale, avente sezione unitaria 2mm1S e lunghezza unitaria pari a m1L . Si utilizza solitamente il simbolo U :

¸¹

ᬩ

§ :U

m

mm 2

RESISTENZA SPECIFICA O RESISTIVITA’

La resistenza totale R risulta quindi determinata da una relazione denominata “ 2° LEGGE DI OHM “:

336

S

LR U

:¸¹

ᬩ

§ :2

2

mm

m

m

mm 2° LEGGE DI OHM > @3

L’inverso della “ Resistività “ è invece definito “Conduttanza specifica o conduttività” ed è indicato con il simbolo J :

U J

1 ¸

¹

ᬩ

§ ¸

¹

ᬩ

§

:

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

:

222 mm

mS

mm

m

m

mm

1

Misure sperimentali volt-amperometriche su campioni di lunghezza e sezione note, permettono di determinare la resistività e la conduttività dei materiali più comunemente impiegati per la realizzazione dei circuiti elettrici. Per temperatura pari a 0° C, i valori della resistività e conduttività sono i seguenti:

TABELLA RESISTIVITA’ E CONDUTTIVITA’ ALLA TEMPERATURA DI 0° C

Sostanza

Resistività:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ :U

m

mm 2

Conduttività:

¸¹

ᬩ

§

J

2mmS

m

D

¸¹

ᬩ

§

qC

1

Acciaio 0,15 6,66 +0,0048 Ambra 20105 u 21102 u -

Alluminio 0,028 35,71 +0,004 Argentana (Cu,Zn,Ni) 0,37 2,70 +0,00017

Argento 0,015 66,66 +0,0017 Bachelite 15101 u 15101 u - Bronzo 0,020 50 +0,004

Bronzo fosforoso 0,060 16,70 +0,004 Carbone 45 0,022 -0,0005

Carbone per spazzole 20-100 0,01-0,05 -0,0005 Carbone per archi 50-90 0,011-0,02 -0,0005

Carta 1613 1010 1316 1010 - Celluloide 14102 u 15105 u -

Costantana (Cu, Ni) 0,49 2,04 +0,000008 Ebanite 2210 2210 - Ferro 0,13 7,70 +0,0048

Ferro-Nichel 0,90 1,10 +0,0008 Ghisa 0,90 1,10 - Grafite 12 0,083 - Gomma 2010 2010 -

Manganina (Cu, Mn, Ni) 0,45 2,22 +0,00001 Marmo 1310 1310 -

Mercurio 0,94 1,06 +0,0009

337

Mica 2010 2010 - Nichel 0,104 9,61 +0,0056

Nichel-cromo 1,00 1,00 +0,0001 Ottone 0,085 11,76 +0,0015

Oro 0,021 47,62 +0,0036 Paraffina 2110 2110 - Platino 0,10 10 +0,0036 Piombo 0,21 4,76 +0,0039

Porcellana 1710 1710 - Politene 2310 2310 - Quarzo 22105 u 23102 u -

Rame commerciale 0,017 58,83 +0,0043 Rame elettrolitico 0,016 62,53 +0,0040

Silicio 0,58 1,72 - Tungsteno 0,055 18,18 +0,0042

Vetro 1810 1810 - Zinco 0,06 16,70 +0,0038

Soluzioni elettrolitiche 94 1010 49 1010 - Stagno 0,11 9,10 +0,0045

338

ESERCIZI 2° LEGGE DI OHM – RESISTIVITA’ DEI CONDUTTORI

Esercizio 1: Determinare la resistenza elettrica di un filo di rame lungo 100 m ed avente un diametro di 1 mm. Si tratta di rame commerciale. Soluzione: Si utilizza la seconda legge di Ohm tenendo presente che la resistività del rame commerciale è

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : U

m

mm017,0

2

.

Occorre prima calcolare l’area della sezione del filo:

4

drS

22 S S

222

mm44

mm1S

S

S

La resistenza R del filo è data da:

:

S¸

¸

¹

·

¨¨

©

§ : U 16,2

mm4

m100

m

mm017,0

S

LR

2

2

Esercizio 2: Quale resistenza presenta un conduttore di nichel lungo 20 m e avente sezione quadrata con lato di 2 cm?. Soluzione: Con la seconda legge di Ohm e tenendo presente la resistività del nichel:

:u

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : U 3

2

102,5mm20mm20

m20

m

mm104,0

S

LR

Esercizio 3: Determinare il lato di un conduttore a sezione quadrata avente resistenza : 25R , sapendo che è

lungo 80 m e che è costituito da un materiale di resistività pari a ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ :u U

m

mm105,3

22 .

Soluzione:

S

LR U

R

LS U

R

Ld 2 U

R

Ld U

:¸

¸

¹

·

¨¨

©

§ :u

25

m80

m

mm105,3d

22

2mm112,0d

339

mm334,0d

Esercizio 4: Un filo di platino, lungo 1 metro, presenta una resistenza : 40R . Determinare il peso del filo

sapendo che la densità del platino è ¸¹

ᬩ

§

3cm

g4,21d .

Soluzione: Occorre innanzi tutto determinare la sezione del filo con la seconda legge di Ohm:

S

LR U

R

LS U

25232

cm105,2mm105,240

m1

m

mm1,0S u u

:¸

¸

¹

·

¨¨

©

§ :

Con la sezione del filo, la lunghezza, la densità e il valore dell’accelerazione gravitazionale, si determina il peso del filo:

3325 cm105,2cm100cm105,2LSV u u

g1035,5cm105,2cm

g4,21Vdm 233

3

u u¸¹

ᬩ

§

N1025,5kg

N81,9

kg

g000.1

1g1035,5gmP 42 u ¸

¹

ᬩ

§

¸¹

ᬩ

§u

Esercizio 5: Determinare la resistenza di un conduttore di alluminio avente sezione 2mm8S e lungo 25 m. Se invece il conduttore fosse di rame, quale lunghezza dovrebbe avere se si volesse mantenere la stessa sezione e resistenza? Soluzione: Si determina la resistenza del conduttore d’alluminio:

:u ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : U 2

2

2

AlAl 1075,8mm8

m25

m

mm028,0

S

LR

Con la resistività del rame e la resistenza calcolata si determina la lunghezza incognita:

AlCu

CuCu RS

LR U

m18,41

m

mm017,0

mm81075,8SRL

2

22

Cu

AlCu

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ :

:u

U

Esercizio 6: Un filo lungo 10 m, di sezione 2

1 mm3S , presenta una resistenza : 25R 1 . Un filo, costituito dello stesso materiale, di sezione 2

2 mm10S , presenta una resistenza : 15R 2 .

340

Determinare la lunghezza del secondo filo. Soluzione:

1

11

S

LR U

1

11

L

SR U

m20mm325

m10mm1015

SR

LSRSRL

2

2

11

122222

:

:

U

Esercizio 7: Una resistenza di alluminio lunga 3 m e di sezione 2mm2S , deve essere sostituita con una di ferro di sezione 2mm3S . Determinare la lunghezza del filo di ferro affinché la resistenza rimanga invariata: Soluzione: Dalla seconda legge di Ohm applicata alle due resistenze in filo conduttore:

FeFe

FeFe

Al

AlAlAl R

S

L

S

LR U U

m97,0

m

mm13,0mm2

mm3m3m

mm028,0

S

SLL

22

22

FeAl

FeAlAlFe

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ :

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ :

U

U

Esercizio 8: La resistenza di un filo è : 50R . Quale sarebbe la resistenza se si ripiegasse il filo su se stesso per 10 volte. Cioè se riducessimo la lunghezza a 1/10 e ne facessimo un conduttore unico?. Soluzione: Ripiegando il filo e riducendo la lunghezza ad 1/10 di quella originale si aumenta di 10 volte la sezione, perciò, applicando la legge di Ohm si ottiene:

: U 50S

LR 1

: : ¸¹

ᬩ

§U

U

U 5,0

100

150

100

1

S

L

S100

L

10S10

L

R 2

Esercizio 9: Un filo metallico ha una resistenza : 3R 1 , è lungo 25 m ed ha una sezione 2

1 mm3S . Determinare la resistenza di un altro filo dello stesso materiale lungo 100 m e di sezione

22 mm1S .

341

Soluzione:

: U 3S

LR

1

111

2

212

S

LR U

12

12

1

2

LS

SL

R

R

: :

363

m25mm1

mm3m100R

LS

SLR

2

2

112

122

Esercizio 10: Determinare la resistenza di una bobina (filo conduttore avvolto su un supporto cilindrico) avente diametro di 5 cm, costituita da 200 spire di zinco con sezione 2mm2S . Soluzione:

S

LR Zn U

Con:

m4,31spire200spira

m025,02spire200r2L ¸

¹

ᬩ

§S S

: ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : 94,0

mm2

m4,31

m

mm06,0R

2

2

Bob

Esercizio 11: Due fili, uno di ferro e l’altro di costantana, aventi la stessa lunghezza, hanno la stessa resistenza. Se il primo ha un diametro di 5 mm, quale sarà il diametro del secondo filo ? Soluzione:

Cs2Cs

Cs2Fe

FeFe R

4

d

L

4

d

LR

SU

SU

2Cs

Cs2Fe

Fed

L4

d

L4

S

U

S

U

mm71,913,0

49,0mm5d

dd

Fe

CsFe

Fe

2FeCs

Cs U

U

U

U

Esercizio 12: Un filo di nichel-cromo lungo 2,5 m, con sezione 2mm2S , è percorso da una corrente di 15 (A). Determinare la differenza di potenziale (tensione) applicata ai suoi capi. Soluzione: Si determina la resistenza del filo:

342

: ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : U 25,1

mm2

m5,2

m

mm00,1

S

LR

2

2

Applicando poi la prima legge di Ohm. Si determina la tensione:

i

VR

'

V75,18A1525,1iRV : '

V75,18A15A

V25,1iRV ¸

¹

ᬩ

§ '

Esercizio 13: Attraverso la sezione di un conduttore passa in 1 secondo la carica di 3 (C). Sapendo che il conduttore è costituito da un filo di argentana di sezione 2mm3S e lunghezza 5 (m), determinare la differenza di potenziale applicata ai suoi capi. Soluzione: Si determina la resistenza del conduttore:

: ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : U 62,0

mm3

m5

m

mm37,0

S

LR

2

2

Ar

Si determina l’intensità di corrente:

A3s1

C3

t

Qi

Si determina infine la tensione:

V86,1A3A

V62,0iRV ¸

¹

ᬩ

§ '

Esercizio 14: Una rotaia di acciaio di un tram ha una sezione 2cm56S . Determinare la resistenza di una

rotaia avente lunghezza di 10 (km). La resistività dell’acciaio è ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : U

m

mm15,0

2

Acc .

Soluzione:

: ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : U 27,0

mm600.5

m000.10

m

mm15,0

S

LR

2

2

Acc

m000.10L

2

2

22 mm600.5

cm

mm100cm56S ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

Esercizio 15: Determinare la resistività del materiale costituente un filo conduttore di diametro 1 (mm), lunghezza 2 (m) e resistenza pari a : m50R . Soluzione.

S

LR U

343

m102m105m

1025m2

mr1050

L

SR 82243223

:u S¸¹

ᬩ

§ :u

S:u

U

Tale resistività, espressa in m: corrisponde a:

¸

¸

¹

·

¨¨

©

§ :#

S:u

U

m

mm02,0

m2

mm5,01050

L

SR 2223

Per convertire una resistività con sezione espressa in 2mm nella corrispondente resistività espressa in m: , occorre dividere per il fattore 610 (passare dai millimetri quadrati ai metri quadrati).

Esercizio 16: Due conduttori sono realizzati con lo stesso materiale ed hanno la stessa lunghezza. Il conduttore A è un cavo pieno di diametro 1 (mm). Il conduttore B è un tubo di diametro esterno pari a 2 (mm) e

diametro interno pari a 1 (mm). Determinare il rapporto tra le resistenze B

A

R

R dei due conduttori.

Soluzione:

AA

S

LR U

BB

S

LR U

75,0

1

5,01

r

rr

S

S

R

R2

22

2A

2I

2E

A

B

B

A

S

SS

Esercizio 17: A un cavo di rame e uno di ferro di uguale lunghezza è applicata la stessa differenza di potenziale. Quale deve essere il rapporto dei loro raggi affinché la corrente sia la stessa? Si può rendere uguale la densità di corrente con un’oculata scelta dei raggi? Soluzione: Affinché l’intensità di corrente sia la stessa nei due cavi per effetto della stessa tensione occorre che i due cavi abbiano la stessa resistenza elettrica. Perciò:

Fe2Fe

Fe2Cu

CuCu Rr

L

r

LR

SU

SU

36,013,0

017,0

r

r

Fe

Cu

Fe

Cu U

U

Non è possibile che la densità di corrente possa essere uguale in quanto a parità di corrente cambiano le sezioni. Esercizio 18: Una bacchetta quadrata di alluminio è lunga 1,3 (m) ed ha un lato di base 5,2 (mm). Determinare la resistenza. Quale deve essere il diametro di una bacchetta cilindrica di rame avente la stessa lunghezza e resistenza uguale a quella della bacchetta di alluminio? Soluzione: La resistenza della bacchetta di alluminio deve essere pari a quella cilindrica di rame:

344

CuCu

CuAL

AlAl RS

L

S

LR U U

Con i dati del problema:

Al

AlCu2Cu

SrS

U

U S

Al

AlCu2 Sr

US

U

mm57,4

m

mm028,0

mm2,5m

mm017,0

2S

2d2

222

Al

AlCu

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ :S

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ :

US

U

Esercizio 19: Quando si applica la tensione di 115 (V) ai capi di un cavo di lunghezza pari a 10 (m) e di diametro

pari a 0,30 (mm), la densità di corrente risulta essere ¸¹

ᬩ

§u

2

2

m

A104,1J . Si determini la resistività

del cavo. Soluzione: Dalla densità di corrente e con il diametro del filo, è possibile determinare l’intensità totale di corrente:

S

iJ

A101

4

m103

m

A104,1SJi 5

224

2

2

u uS

¸¹

ᬩ

§u

Con l’intensità e la tensione si calcola la resistenza del filo:

:u '

7

51015,1

A10

V115

1

VR

Con il valore della resistenza e le caratteristiche del filo si determina infine la resistività:

S

LR U

¸

¸

¹

·

¨¨

©

§ :u

S:u

Um

mm1012,8

m10

mm4

3,01015,1

L

SR 24

22

7

Esercizio 20: Per costruire una linea di trasmissione ad alta tensione che deve trasportare una corrente di 60 (A) si prendono in considerazione il rame e l’alluminio. La resistenza per unità di lunghezza deve essere

¸¹

ᬩ

§ :

km15,0R . Si calcoli, per ciascuno dei due materiali:

La densità di corrente La massa di 1 (m) di cavo

345

Soluzione: Dal valore di resistenza unitaria per ogni chilometro di cavo si ottengono i diametri:

R

L

4

dS Cu

2

Cu

U S

mm65,11

15,0

m000.1m

mm016,0

2R

L2d

2

CuCu

:S

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ :

S

U

mm42,14

15,0

m000.1m

mm028,0

2R

L2d

2

AlAl

:S

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ :

S

U

La densità di corrente è data da:

¸

¹

ᬩ

§

S

222Cu

Cumm

A56,0

mm65,11

4A60

S

iJ

¸

¹

ᬩ

§

S

222Al

Almm

A37,0

mm42,14

4A60

S

iJ

Il peso di un metro di cavo è:

g954cm100

cm

mm100

1mm

4

65,11

cm

g96,8Vdm

2

2

22

3Cu

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

S¸

¹

ᬩ

§

g440cm100

cm

mm100

1mm

4

42,14

cm

g7,2Vdm

2

2

22

3AlAl

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

S¸

¹

ᬩ

§

346

INFLUENZA DELLA TEMPERATURA SULLA RESISTENZA ELETTRICA DEI CONDUTTORI

La resistività specifica e, di conseguenza, la resistenza elettrica che, complessivamente, oppone un conduttore al passaggio di corrente, varia in modo sensibile con il livello termico e con il tipo di conduttore. L’aumento di temperatura in un conduttore metallico è accompagnato dall’incremento di energia interna, del grado di agitazione degli atomi e delle molecole e da un conseguente maggior numero di urti tra gli elettroni in movimento di deriva ed il reticolo cristallino. L’aumento di temperatura si traduce quindi, per i conduttori metallici, in una maggiore resistività e resistenza. Per i conduttori elettrolitici, l’aumento di temperatura provoca una maggiore percentuale di dissociazione ionica e un conseguente, a parità di differenza di potenziale agli elettrodi, maggior afflusso di cariche libere. In altre parole, per un conduttore elettrolitico, l’aumento di temperatura equivale ad una diminuzione di resistività. CONDUTTORI METALLICI

I conduttori metallici (metalli e loro leghe) sono caratterizzati da una resistività ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ :¢U

m

mm2

2

e

crescente con la temperatura. Questo aumento di resistività è assai meno sensibile per le leghe metalliche (ed in particolare per manganina, argentana, costantana, nichel-cromo) che non per i metalli puri. Se si costruiscono sperimentalmente i diagrammi che raffigurano la resistività dei conduttori metallici in funzione della temperatura, si vede che entro un certo intervallo di temperatura (di cui si specificheranno i limiti) tali diagrammi hanno un andamento sensibilmente lineare. Per cui, prendendo come riferimento la temperatura di 0° C ed indicando con 0U il corrispondente valore della resistività, si ha che la resistività tU del metallo alla temperatura t, si può esprimere con una relazione del tipo:

t10t DU U Con:

tU Resistività alla temperatura t

0U Resistività alla temperatura di 0° C

D Coefficiente di temperatura ¸¹

ᬩ

§

qC

1

Per la maggior parte dei metalli puri, il coefficiente di temperatura D ha un valore approssimativamente uguale a:

273

1 D

Per cui si ha:

T273273

t273t

273

11 0

00t U

¸¹

ᬩ

§ U ¸

¹

ᬩ

§U U

TT 0

0T

U U

347

Oppure:

1

21T2T

T

TU U

La resistività di un metallo puro è proporzionale alla sua temperatura assoluta. Per le leghe metalliche ad alta resistività il coefficiente di temperatura ha valori molto più piccoli: in particolare per la manganina esso vale 0,00001 Applicando la seconda legge di Ohm ad un conduttore metallico di lunghezza L e di sezione S ed utilizzando la resistività in funzione della temperatura, si ottiene la resistenza in funzione della temperatura:

S

Lt1

S

L0t DU U

t1S

LR 0t D¸

¹

ᬩ

§U

t1RR 0t D

¸¹

ᬩ

§ t

273

11RR 0t

¸¹

ᬩ

§

273

t273RR 0t

T273

RR 0

t

0

00

TT

TRT

273

RR

Oppure:

1

21T2T

T

TRR

Il coefficiente di temperatura D rappresenta l’aumento di resistenza del conduttore per ogni grado di temperatura aumentato e per ogni ohm di resistenza iniziale. Il campo di validità della relazione che prevede l’aumento o la diminuzione lineare della resistività o della resistenza in funzione dei corrispondenti aumenti o diminuzioni di temperatura, è compreso tra un limite inferiore che esclude le bassissime temperature (prossime allo zero assoluto) ed un limite superiore che esclude le temperature che si avvicinano al punto di fusione del metallo. In prossimità della temperatura assoluta )C273tK0T( q , la resistività e, di conseguenza la resistenza, si annullano ed il metallo diventa un “conduttore perfetto” o “SUPERCONDUTTORE”. Al contrario, per temperature prossime al punto di fusione caratteristico, la resistività cresce più rapidamente che con le temperature inferiori. CONDUTTORI NON METALLICI I conduttori non metallici (carbone, ossidi dei metalli alcalini e alcalino-terrosi) sono una particolare categoria di conduttori solidi che si comportano in maniera anomala dal punto di vista della resistenza elettrica, in quanto essa diminuisce con l’aumentare della temperatura.

348

Si può dire che, per tali conduttori, il coefficiente di temperatura D è negativo. SOLUZIONI CONDUTTRICI O ELETTROLITI Le soluzioni di acidi, basi e Sali hanno una resistività compresa tra i seguenti valori:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ :²U

m

mm10

24

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ :¢U

m

mm10

29

Tali resistività decrescono sensibilmente all’aumentare della temperatura per effetto di una maggiore dissociazione in ioni. ISOLANTI Per materiali solidi, liquidi o gassosi da considerarsi isolanti elettrici, la resistività è sempre superiore a:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ :²U

m

mm10

212

C’è da notare che la resistività di mantiene effettivamente a valori elevatissimi solo fino ad una temperatura di poco superiore a 100 °C. Per temperature più elevate, infatti, essa decresce molto rapidamente, tanto che il materiale assume caratteristiche elettriche che lo avvicinano più ad un conduttore che ad un isolante.

349

ESERCIZI RESISTENZA E TEMPERATURA

Esercizio 1: Un filo conduttore alla temperatura di 0°C presenta una resistenza : 5R . Determinare la sua resistenza elettrica alla temperatura di 150 °C. Si assume, come coefficiente di temperatura caratteristico del metallo, un valore pari a

1C273

1 q D

Soluzione: Utilizzando la relazione:

t1RR 0t D

»¼º

«¬

ªqq

qq C150C273

11RR 1

C0C150

: »¼

º«¬

ªqq:

q 75,7C150C273

115R 1

C150

Oppure la relazione ove si tiene conto della temperatura assoluta:

1

21T2T

T

TRR

Con: K273T1

K423150273T 2 Si ottiene:

: : 75,7K273

K4235R 2T

Esercizio 2: 25 metri di filo di un certo materiale di sezione 2mm5S presentano un resistenza : 25,0R alla temperatura di 0 °C. Determinare la resistenza di un filo dello stesso materiale, di sezione

2mm15S e di lunghezza 10 m, alla temperatura di 100 °C. Soluzione: Utilizzando la seconda legge di Ohm:

S

LR )C0()C0( U qq

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ :

:

U

q

qm

mm05,0

m25

mm525,0

L

SR 22C0

C0

Ricavando poi la resistività alla temperatura di 100 °C:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§ : U U

m

mm068,0

273

373

m

mm05,0

T

T 22

0

1K273K373

E, di conseguenza, la resistenza a quella temperatura per il secondo filo:

:u ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§ : U

qq2

2

2

1

1)C100()C100( 105,4

mm15

m10

m

mm068,0

S

LR

Esercizio 3:

350

Calcolare la lunghezza di un filo di nichel avente un diametro di 2 mm, sapendo che alla temperatura di 150 °C presenta una resistenza : 4R . Soluzione: Di determina la resistenza del filo alla temperatura di 0 °C:

t1RR C0C150 D qq

:

:

D

q

q 17,21500056,01

4

t1

RR

C150C0

Si tiene conto del coefficiente di temperatura relativo al nichel sulla tabella allegata. 0056,0Nichel D

Con la seconda legge di Ohm e la resistività del nichel alla temperatura di 0 °C, si ottiene la lunghezza del filo:

2C0C0C0d

L4

S

LR

S

U U qqq

m52,65

4m

mm104,0

mm217,2

4

dRL

2

2

C0

2C0

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ :

S:

U

S

q

q

Esercizio 4: Una bobina (più spire circolari di filo conduttore – isolato elettricamente sulla superficie – avvolte su un supporto solitamente cilindrico) è collegata elettricamente ai capi di un generatore che applica ai terminali una tensione V200V ' . L’intensità di corrente risulta essere A4i mentre la temperatura della bobina si mantiene costante ad un valore di 0 °C (273 K). Dopo 1 ora la corrente assume un’intensità di 2 (A). Supponendo che la tensione applicata sia rimasta costante, determinare la temperatura finale del filo con l’ipotesi che il coefficiente di temperatura sia pari 1C0064,0 q D . Soluzione: La resistenza della bobina nelle condizioni iniziali di tensione, corrente e temperatura, è determinata dalla legge di Ohm:

:

' q 50

A4

V200

i

VR

INIZC0

La resistenza finale alla temperatura incognita è ancora stabilita dalla legge di Ohm:

:

' 100

A2

V200

i

VR

FTF

Applicando la relazione:

t1RR C0K.TF D q

Si ricava la temperatura finale:

351

C0

TF

R

Rt1

q

D

1R

Rt

C0

TF D

q

C2,1560064,0

11

50

10011

R

Rt

C0

TFq ¸

¹

ᬩ

§

D

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

q

352

ESTENSIONE DELLA LEGGE DI OHM ALL’INTERO CIRCUITO ELETTRICO

RESISTENZA INTERNA DEL GENERATORE Sino ad ora si è considerato il caso di un circuito - costituito da cavi, dispositivi di comando, resistenze ed utilizzatori resistivi - collegato ai capi di un generatore di tensione che applica costantemente una differenza di potenziale (tensione) al circuito stesso. Si intende come differenza di potenziale V' quella misurata tra i poli del generatore, mentre nel circuito esterno circola la corrente. Per il circuito esterno è dunque valida la legge di Ohm che è ora espressa dalla seguente relazione:

i

VR E

'

iRV E ' > @1 Con:

ER Resistenza elettrica complessiva del circuito esterno : V' Differenza di potenziale misurata ai capi del circuito V

i Intensità di corrente nel circuito A D’altra parte si è anche detto che la tensione ai capi del generatore quando nel circuito esterno non circola corrente 0i (interruttore aperto) è superiore a quella misurata con circolazione stazionaria di corrente (interruttore chiuso). La “tensione nominale del generatore” – detta anche “forza elettromotrice” o FEM (f.e.m.)” – indicata solitamente con il simbolo E e rappresentata con un vettore diretto dal polo negativo a quello positivo, è la differenza di potenziale che il generatore esercita ai suoi morsetti terminali per effetto della sola polarizzazione interna e con il circuito esterno scollegato o aperto. La “tensione nominale” è una caratteristica intrinseca ed è indicata chiaramente dai costruttori sulla targhetta del generatore unitamente all’indicazione della polarità dei capi terminali e alla massima intensità di corrente sopportabile.

+ -

E

f .e .m .

G e n e ra to re o b a tte r ia

= 1 2 V

E

i = 8 0 A

R = 0 ,2 i 1

R 14 – 33/4 – GENERATORE DI TENSIONE CON INDICATA LA FEM, LE POLARITA’ E LA CORRENTE

353

La misurazione della tensione nominale si effettua con un voltmetro collegato in parallelo ai capi del generatore e con circuito esterno aperto (il circuito interno del voltmetro presenta una resistenza elevatissima e, di conseguenza, la corrente uscente dal generatore è quasi nulla). Quando il circuito esterno è chiuso e la corrente circola sia nel circuito esterno che all’interno del generatore, una frazione percentuale della tensione nominale è utilizzata per vincere le reazioni che i conduttori interni al generatore (corpo) oppongono al passaggio di corrente. Tale fenomeno riduce la tensione effettiva ai capi del generatore di una quantità – detta “caduta di tensione ohmica interna” – esprimibile utilizzando la legge di Ohm:

iRV IINT ' Con:

INTV' Caduta ohmica interna al generatore

IR Resistenza elettrica del corpo del generatore i Corrente stazionaria nel generatore e nel circuito esterno

La tensione ai capi del generatore e del circuito esterno è quindi determinata da:

INTV.m.e.fV ' '

iREV I ' > @2 Se ora si confrontano le relazioni relative al valore della tensione sul circuito esterno > @1 e sul

generatore > @2 , si ottiene la seguente equivalenza:

iRV E ' > @1

iREV I ' > @2 iRiRE EI Da cui si ottiene un’espressione della legge di Ohm valida per il circuito comprensivo del tratto interno del generatore di tensione:

iRRiRiRE IEIE LEGGE DI OHM PER L’INTERO CIRCUITO

IEIE RR

.m.e.f

RR

Ei

Con:

ER Resistenza circuito esterno IR Resistenza del generatore (caratteristica intrinseca) .m.e.fE Tensione nominale a circuito aperto del generatore (caratteristica intrinseca)

354

+ -

E

V o ltm e tro

G e n e ra to re o b a tte r ia

= 1 2 V

E

i = 8 0 AR = 0 ,2 i 1

1 2 V = f .e .m .

C o n c irc u ito a p e r to

I

R E

R I

V o ltm e tro

C o n c irc u ito c h iu s oG e n e ra to re o b a tte r ia

IR

+

I

E = 1 2 V

R = 0 ,2 i = 8 0 Ai 1

-

R Ei

i

(1 2 V - R i)I

V

R 14 – 34/4 – GENERATORE DI TENSIONE – CIRCUITO CHIUSO – CADUTA OHMICA

355

ESERCIZI

ESTENSIONE LEGGE OHM ALL’INTERO CIRCUITO Esercizio 1: Determinare la f.e.m. di una pila sapendo che la sua resistenza interna è : 2,0R I e che, chiusa su un circuito avente resistenza : 8,3R E , vi fa circolare una corrente di intensità A5,0i . Soluzione: Possiamo determinare la tensione che la pila applica al circuito esterno utilizzando la legge di Ohm:

iRV E '

Volt9,1A5,08,3V : ' Si può utilizzare ancora la legge di Ohm per determinare la caduta di tensione ai morsetti del generatore per effetto del passaggio di corrente all’interno dello stesso:

iRV IINT ' Volt1,0A5,02,0V INT : '

La tensione nominale della pila sarà quindi data dalla somma della tensione effettivamente applicata ai capi del circuito, quando circola la corrente, e della caduta ohmica di tensione attraverso il corpo del generatore:

INTVVE.m.e.f ''

Volt21,09,1.m.e.f Si perveniva allo stesso risultato applicando la relazione:

iRRE IE V2A5,02,08,3E :

Esercizio 2: Determinare la resistenza interna di un generatore con f.e.m. pari a 25 (V), sapendo che, chiudendolo su una resistenza esterna : 48R E , questo è attraversato da un’intensità di corrente pari a A5,0i Soluzione: La differenza di potenziale che il generatore applica al circuito esterno per determinare il passaggio dell’intensità di corrente data, è:

V24A5,048iRV E : '

Di conseguenza, la caduta ohmica intera è pari a:

V12425VEV INT ' ' Applicando la legge di Ohm alla caduta ohmica, si ottiene la resistenza interna:

iRV IINT '

356

: '

2A5,0

V1

i

VR INT

I

Allo stesso risultato si perveniva applicando la legge di Ohm estesa a tutto il circuito:

iRR.m.e.fE IE

i

ERR IE

: : 2485048A5,0

V25R

i

ER EI

Esercizio 3: Un circuito è formato da un filo di manganina lungo 3 (m) e di sezione 2mm8,0S ed è alimentato da una pila con f.e.m. di 1,8 (V) e resistenza interna : 4,0R I . Calcolare l’intensità della corrente e la tensione agli estremi del circuito esterno.

Resistività della manganina: ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : U

m

mm45,0

2

Soluzione: Le caratteristiche del filo ci permettono di determinare la resistenza esterna del circuito.

: ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : U 69,1

mm8,0

m3

m

mm45,0

S

LR

2

2

E

La legge di Ohm estesa a tutto il circuito elettrico ci permette di determinare l’intensità di corrente:

iRR.m.e.fE IE

A86,0

4,069,1

V8,1

RR

Ei

IE

::

La tensione applicata al filo dalla pila è quindi data dalla differenza tra la forza elettromotrice e la caduta ohmica interna:

V46,1A86,04,0V8,1iREV i : '

Esercizio 4: Un circuito elettrico è alimentato da un generatore la cui f.e.m. vale 50 (V). Il circuito, in cui circola una corrente di intensità A2i , è costituito da un filo avente resistenza : 7R E . Determinare la caduta di tensione interna al generatore. Soluzione: Con la resistenza del circuito esterno e l’intensità di corrente, si determina la differenza di potenziale realmente applicata dal generatore ai capi del filo:

V14A27iRV E : ' La caduta di tensione interna al generatore è quindi data dalla differenza tra la forza elettromotrice e la tensione effettiva:

357

V361450V.m.e.fV INT ' ' Esercizio 5: Collegando una pila con una resistenza esterna da :2 si ottiene una corrente di A1 mentre, se si collega con una resistenza da :1 si ottiene una corrente di A6,1 . Determinare la f.e.m. della pila e la sua resistenza interna. Soluzione: Dalla legge di Ohm estesa ai due diversi circuiti, si ottiene:

1I1E iRRE 2I2E iRRE

Le due equazioni relative ai circuiti costituiscono un sistema a due incognite (la f.e.m. e la resistenza interna). Utilizzando il metodo di sostituzione si ottiene dunque:

2I2E1I1E iRRiRR Da cui:

2I22E1I11E iRiRiRiR 11E22E21I iRiRiiR

:

::

67,0

A6,1A1

A12A6,11

ii

iRiRR

21

11E22EI

La f.e.m. della pila si ottiene da una delle due relazioni iniziali:

Volt67,2A167,02iRR.m.e.fE 1I1E : Esercizio 6: La f.e.m. di una pila vale 1,8 (V) e la sua resistenza interna è di : 6,0R I . Questa pila è collegata ad un circuito di : 3R E di resistenza. Determinare l’intensità di corrente nel circuito e la d.d.p. agli estremi della pila. Soluzione: Sfruttando la legge di Ohm estesa a tutto il circuito, si ottiene:

iRR.m.e.f IE

A5,06,3

V8,1

RR

.m.e.fi

IE

:

La differenza di potenziale ai capi della pila:

V5,1A5,06,0V8,1iR.m.e.fV I : '

358

ENERGIA E POTENZA DELLA CORRENTE ELETTRICA – LEGGE DI JOULE

Come si è visto sino ad ora, il movimento di cariche in un circuito elettrico – cioè la corrente elettrica – avviene solamente se ai capi del circuito stesso è applicata, da parte del generatore, una differenza di potenziale V' . Considerando però che i fenomeni fisici avvengono ed evolvono spontaneamente in modo tale da mantenere l’equilibrio (principio dei vasi comunicanti – trasferimento di calore da corpi caldi a corpi freddi ecc. ecc.) e ricordando che la differenza di potenziale altro non è che il risultato di uno squilibrio di cariche elettriche, risulta evidente giungere alla conclusione che tale squilibrio può esistere solamente nel caso in cui l’ambiente esterno provveda a fornire una certa quantità d’energia per provocarlo e mantenerlo a discapito dei fenomeni naturali che tenderebbero invece ad opporsi. Il generatore di tensione fornisce quindi l’energia sufficiente a polarizzare i suoi morsetti vincendo le azioni naturali elettrostatiche contrarie. Consideriamo il circuito sottostante dal punto di vista dell’energia posseduta dalla corrente elettrica.

VA VB

VB

21 3 4 5

67

8 9 1 0

V A BVA2V

V1

V8

4V V5 V67V

3V

V9

1 0V

c c c c c c

R 1 2 43R 5 6R 7 8R9 /1 0R

c

V 3 4= R i3 4

1

2 3

4 5

6 7

8

9

1 0

R14 – 35/4 – CIRCUITO SCHEMATIZZATO CON RESISTENZE DOVUTE AI CONDUTTORI ED UTIULIZZ.

Il circuito in esame è costituito genericamente da n. 5 resistori (R) (possiamo dire resistenze concentrate in uno spazio ridotto come, ad esempio, la resistenza di una stufetta elettrica) e da n. 5 cavi conduttori di collegamento (indicati con c). Le estremità del circuito sono collegate ai morsetti di un generatore che applica agli stessi, un differenza di potenziale BA VVV ' . Possiamo ancora dire, per precisare meglio, che la differenza di potenziale V' applicata al circuito è il risultato della differenza tra la forza elettromotrice (f.e.m. o tensione nominale) del generatore a

359

circuito aperto e la caduta ohmica di tensione nel generatore stesso per effetto del passaggio di corrente a circuito chiuso:

iREiR.m.e.fV II '

Come si vede dal grafico, le cadute ohmiche di tensione su ogni conduttore e su ogni resistore sono variabili rispettivamente in funzione di:

Per i resistori: Dal valore di resistenza caratteristica del resistore R e dal valore dell’intensità di corrente, secondo quanto stabilito dalla prima legge di Ohm:

iRV R '

Per i cavi di collegamento: Dal valore della resistività specifica U del cavo, dalla lunghezza L, dalla sezione S e dal valore dell’intensità di corrente i secondo quanto stabilito dalla seconda legge di Ohm tenuto conto anche della prima:

iS

LV C ¸

¹

ᬩ

§U '

La somma algebrica di tutte le cadute ohmiche non può che corrispondere alla differenza di potenziale tra le estremità del circuito:

¦ '¦ ' ' CR VVV

D’altra parte si è detto che tali abbassamenti di potenziale nei conduttori e resistori devono essere considerati come rapporti tra la differenza di energia potenziale elettrostatica del campo elettrico tra gli estremi e la quantità di carica q trasportata, in base alla legge:

q

WV R

R

' '

q

WV C

C

' '

Con:

RW' Lavoro compiuto dal campo elettrico per trasportare la carica da un estremo all’altro del resistore.

CW' Lavoro compiuto dal campo elettrico per trasportare la carica da un estremo all’altro del resistore.

q Carica trasportata Si ricorda che ogni carica – positiva o negativa - inserita in un campo elettrico qualsiasi, possiede energia potenziale elettrostatica in funzione della posizione occupata e dell’intensità del campo. Ad ogni spostamento della carica corrisponde quindi una variazione della quantità di energia potenziale rispetto a quella inizialmente posseduta. Tale variazione corrisponde al lavoro che la carica scambia con l’ambiente esterno e il suo valore dipende dalla grandezza della carica.

360

Il rapporto tra la quantità di energia scambiata e la grandezza della carica – cioè la differenza di potenziale – è però costante e dipende unicamente dalla posizione iniziale e finale.

Ma, a sua volta, il lavoro compiuto dal campo per trasportare le cariche può essere determinato, come in meccanica, dal prodotto della forza per lo spostamento ove per forza si intende quella elettrica e lo spostamento altro non è che lo spazio compreso tra i capi di ogni resistore o conduttore:

SqESFW E '

qVqSEW ' ' Quindi il lavoro complessivo occorrente per trasportare la carica q dal capo iniziale A del circuito a quello finale B, non può che essere la somma dei lavori parziali:

qVqV..........qVqVqVW 6C5R2C1R1CTOT '''''

E, considerando che la corrente è stazionaria – cioè ogni sezione del circuito è attraversata, nell’unità di tempo – dallo stesso numero di cariche, si conclude:

qV.............VVW 6C1R1CTOT '''

qVW ABTOT ' J Cioè:

x L’energia spesa dal generatore per permettere il trasferimento della quantità di carica q dal capo iniziale a quello terminale del circuito è uguale al prodotto tra la differenza di potenziale applicata ABV' e la quantità di carica q.

x Tale energia corrisponde, alla fine, all’energia posseduta dalla corrente elettrica

Se ora si tiene conto che la quantità di carica q passante nel circuito può essere determinata se si dispone del valore dell’intensità di corrente i e del tempo t, secondo la relazione:

t

qi

tiq sA L’energia della corrente elettrica si può determinare con:

qVW ABTO '

tiVW ' ENERGIA DELLA CORRENTE Le dimensioni e le unità di misura:

361

stAiC

JVW ¸

¹

ᬩ

§'

stAisA

JVW ¸

¹

ᬩ

§

' JW

ENERGIA E LEGGE DI OHM – CIRCUITO ESTERNO Dall’espressione dell’energia e tenendo conto della prima legge di Ohm:

tiVW ' ENERGIA

i

VR

' LEGGE DI OHM

iRV '

R

Vi

'

Si ricavano le seguenti espressioni dell’energia:

tiRtiiRW 2

tR

Vt

R

VVW

2

'

¸¹

ᬩ

§ ''

tiRW 2 > @1 Energia in funzione della corrente e resistenza

tR

VW

2

'

> @2 Energia in funzione del potenziale e della resistenza

Con:

W Energia della corrente – Pari al lavoro compiuto dal campo elettrico nel tempo t e sufficiente a spostare le cariche nei conduttori nonostante la resistenza opposta dagli stessi al loro movimento. In tal senso l’energia della corrente equivale anche al lavoro che è dissipato. Tale concetto è formalmente analogo a quello – già utilizzato in meccanica – in cui il motore di un’automobile, che si muove con velocità costante, fornisce energia sufficiente solo a mantenere uniforme la velocità contrapponendosi alla perdita di energia causata dall’attrito e dalla resistenza all’avanzamento.

Naturalmente l’energia è misurata in Joule.

V' Differenza di potenziale ai capi estremi del circuito. Si deve considerare quella realmente applicata al circuito dal generatore dopo

aver dedotto dal valore della forza elettromotrice E la caduta ohmica di tensione interna al generatore stesso.

Si misura in Volt. R Resistenza elettrica. i Intensità della corrente t Tempo

362

ENERGIA E LEGGE DI OHM – ESTENSIONE ALL’INTERO CIRCUITO Oltre all’energia ceduta dal generatore alle cariche in movimento nel circuito esterno occorre tenere in considerazione il fatto che il circuito esterno si chiude necessariamente attraverso il corpo stesso del generatore ove si intende localizzata la resistenza interna IR . In questo caso, per ottenere l’energia complessiva ceduta dal generatore, è necessario tenere in considerazione una quota d’energia, diversa da quella ceduta al circuito, pari a:

tiRW 2

IG

tR

VW

I

2I

G '

In questo caso occorre tenere conto di una differenza di potenziale pari alla caduta ohmica di tensione attraverso il corpo del generatore e far riferimento al valore della tensione nominale o forza elettromotrice:

ABI VVE ' '

ABI VEV ' ' L’energia complessiva è quindi data indifferentemente da una delle due relazioni:

IET WWW

tiRtiRW 2

I2

ET

tiRRW 2IET > @1

tRR

EW

IE

2

T

> @2

POTENZA DELLA CORRENTE Come in Meccanica, la potenza è definita dalla quantità di lavoro compiuto nell’unità di tempo:

t

LP

La “POTENZA” della corrente elettrica è dunque definita dal rapporto tra l’energia assorbita ed il tempo:

t

WP

Tenendo conto dell’espressione generalizzata dell’energia si ha:

iVt

tiVP '

' Watt

s

JA

sA

JA

C

JAV ¸

¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

¸

¹

ᬩ

§

Se si tiene conto della prima legge di Ohm:

363

22

iRt

tiR

t

WP

WattAVA

A

VA 22 ¸

¹

ᬩ

§:

R

V

t

tR

V

t

WP

2

2

'

'

WattAV

A

V

VV 22

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

:

La potenza elettrica di una corrente è quindi espressa, indifferentemente, da una delle due espressioni:

2iRP Watt

R

VP

2' Watt

364

ESERCIZI ENERGIA E POTENZA DELLA CORRENTE

Esercizio 1: Calcolare l’energia assorbita in un tempo di 24 ore da un motore elettrico a corrente continua che, alimentato da una tensione di 200 V, assorbe un’intensità di corrente di 10 A. Soluzione: L’energia assorbita dal motore è data dalla relazione:

qVW '

Con:

tiq Da cui:

tiVW '

J10728,1h

s3600h24A10V200W 8u ¸

¹

ᬩ

§

kWh48

kWh

J106,3

J10728,1W

6

8

¸¹

ᬩ

§u

u

Tenendo conto che l’energia dipende dalla potenza erogata in base alla relazione:

t

WP

tPW

¸¹

ᬩ

§

s

J1Watt1

¸¹

ᬩ

§

s

J10kW1 3

L’energia erogata da un motore di potenza 1 (kW) per 1 (ora) di funzionamento, è anche determinata da:

J106,3s600.3s

J000.1h1kW1W 6u ¸

¹

ᬩ

§

Da cui si ottiene l’unità di misura dell’energia: J106,3kWh1 6u

Esercizio 2: Un apparecchio utilizzatore, la cui resistenz è : 25R , è alimentato con una tensione di 125 (V). Spapendo che funziona per 3 ore al giorno, calcolare l’energia elettrica che consuma in un mese. Soluzione: L’energia consumata mensilmente è data da:

ti

W

q

WV

'

365

tiVW ' Tenendo conto della legge di Ohm:

R

Vi

'

Si ottiene:

¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

:

u ¸

¹

ᬩ

§u¸

¹

ᬩ

§u¸

¹

ᬩ

§

:

'

sV1002,2

h

s600.3

mese

gg30

gg

h3

25

V125t

R

VW

28

222

¸¹

ᬩ

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

¸¹

ᬩ

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

:

u

mese

J

mese

sAsA

J

mese

sAV

mesesA

V

sV

mese

sV1002,2W

228

L’energia espressa in kWh:

¸¹

ᬩ

§

¸¹

ᬩ

§u

¸¹

ᬩ

§

mese

kWh11,56

kWh

J106,3

mese

J1002,2

W6

8

Esercizio n. 3: Una pila com f.e.m. pari a V4,5E e con resistenza interna : 6,0R I , alimenta un apparecchio utilizzatore di resistenza : 3R . Determinare il tempo impiegato dall’utilizzatore per utilizzare un’energia kWh1W . Soluzione: La tensione applicata ai capi dell’apparecchio utilizzatore è determinata dalla legge di Ohm estesa al circuito:

iRiREV EI ' iRRE IE

A5,16,3

V4,5

RR

Ei

IE

:

L’energia ceduta all’utilizzatore si calcola:

tiRW 2E

Da cui si ricava il tempo necessario per il consumo previsto:

¸

¹

ᬩ

§

:u

:

u

:

2

5

22

6

222E A

J1033,5

A5.13

J106,3

A5,13

kWh1

iR

Wt

s

AsA

J

J

AV

J

AA

V

J

A

J1033,5t

22

5

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

¸¹

ᬩ

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

¸¹

ᬩ

§

:u

Esercizio 4: Un circuito elettrico è formato da un filo di manganina lungo 100 m, di sezione 2mm1S . Tale conduttore costituisce i 4/5 della resistenza totale del circuito stesso e l’intensità di corrente che vi

366

circola è A5,2i . Calcolare la tensione applicata ai morsetti del filo di manganina e l’energia dissipata su tale filo in un tempo di 30 minuti. Soluzione: Occorre determinare la resistenza del filo di manganina con la seconda legge di Ohm:

: ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : U 45

mm1

m100

m

mm45,0

S

LR

2

2

F

Considerando che la resistenza del filo rappresenta i 4/5 della resistenza totale del circuito, si può determinare la resistenza del circuito:

TF R5

4R

:

: 25,56

4

455R

4

5R FT

Usando ora la prima legge di Ohm, si determina la differenza di potenziale applicata ai capi del circuito:

V63,140A5,225,56iRV T : ' Ai capi del filo di manganina deve essere applicata la tensione:

V5,112A5,245iRV F1 : ' L’energia dissipata dal filo in 30 minuti:

sAV1006,5min

s60min30A5,2V5,112tiVW 5

F u ¸¹

ᬩ

§ '

JsAsA

JsAV1006,5W 5

F ¸¹

ᬩ

§

u

Convertita in kWh:

kWh14,0

kWh

J106,3

J1006,5W

6

5

F

¸¹

ᬩ

§u

u

Esercizio 5: Determinare la tensione che deve essere applicata ad un apparecchio utilizzatore percorso da una corrente di 10 (A), affinché esso assorba una potenza kW5,1P . Soluzione: Sapendo che la potenza di una corrente elettrica è determinata dalla relazione:

iV

i

V

V

R

VP

22

' '

'

'

Dalla formula inversa, imponendo il valore della potenza espresso in Watt, si ottiene la differenza di potenziale:

i

PV '

367

Volt150sA

J150

As

J

150A10

W500.1

A10

kW5,1V ¸

¹

ᬩ

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

'

Esercizio 6: Calcolare l’intensità di corrente necessaria per azionare un motore che assorbe una potenza

HP1P , sapendo che la tensione applicata ai capi del motore è V150V ' . Soluzione: La potenza di 1 (HP) corrisponde, espressa in Watt, a:

Watt735s

J735

kg

N81,9

s

mkg75

s

mkg75CV1HP1P ff ¸

¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§ ¸

¹

ᬩ

§

Conoscendo la tensione applicata ai capi del motore e la potenza assorbita, si può determinare l’intensità di corrente:

iVP '

A9,4

sA

Js

J

9,4V150

W735

V

Pi

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

'

Esercizio 7: In quanto tempo un apparecchio utilizzatore che assorbe una potenza di 10 kW consuma un’energia di 0,2 (kWh) ? Soluzione: La potenza e l’energia sono collegati dalla relazione:

t

WP

Il tempo è quindi dato dalla formula inversa:

P

Wt

Sostituendo i valori noti e tenendo conto che l’energia di 1 kWh corrisponde a:

J106,3kWh1W 6u Si ottiene:

s72

s

J

J72

kW

W000.1kW10

J106,32,0t

6

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

¸¹

ᬩ

§

u

Esercizio 8: Calcolare il lavoro e la potenza richiesta per trasferire, in un’ora, una carica di 9.650 (C) da un punto ad un altro tra cui esiste una differenza di potenziale di 2.000 (V)

368

Soluzione: L’energia richiesta è data da:

qVtiVW ' ' tiq

Sostituendo i valori noti si ottiene:

JsAsA

J1093,1sA650.9V000.2W 7 ¸

¹

ᬩ

§

u

La potenza è data dal rapporto tra l’energia calcolata ed il tempo:

kW361,5Watt361.5s3600

J1093,1

t

WP

7

u

Esercizio 9: Una lampadina elettrica, alimentata da una tensione di 120 (V), assorbe una potenza di 12 (W). Determinare quanto vale la resistenza del suo filamento.

Soluzione: Utilizzando la relazione:

R

VP

2'

Si ottiene:

:¸¹

ᬩ

§¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

'

A

V

sAV

sV

J

sV

s

J

V200.1

W12

V120

P

VR

222222

Esercizio 10: Un circuito avente resistenza : 20R è alimentato da una tensione di 200 (V). Determinare l’intensità di corrente che percorre il circuito e la potenza elettrica che è assorbita. Soluzione: Dalla legge di Ohm si ricava il valore dell’intensità di corrente:

A1020

V200

R

Vi

:

'

La potenza assorbita è data da:

WAVAA

V000.2A1020iRW 2222 ¸

¹

ᬩ

§ :

Quindi: W000.2W

Esercizio 11: Per far funzionare un apparecchio utilizzatore per 16 ore ad una tensione di 150 (V), si è consumata un’energia pari a kWh20W . Determinare la resistenza dell’apparecchio utilizzatore.

369

Soluzione: Dalla relazione dell’energia si ottiene:

tR

Vt

R

VVtiVW

2

'

'

' '

tW

VR

2

'

Sostituendo i termini noti:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ ¸

¹

ᬩ

§

¸¹

ᬩ

§u

J

sV18

ora

s600.3ore16

kWh

J106,3kWh20

V150R

2

6

22

:¸¹

ᬩ

§¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

A

V

sAV

sV

J

sV18R

22

Esercizio 12: Un circuito elettrico, alimentato da una tensione di 100 (V), assorbe una potenza di 6 (CV). Determinare l’intensità di corrente che percorre il circuito e l’energia da esso assorbita in 2 (ore) e 15 (minuti). Soluzione: La potenza assorbita di 6 (CV), espressa in Watt:

Watts

J414.4

kg

N81,9

CVs

mkg75CV6P

f

f ¸¹

ᬩ

§ ¸

¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

E’ funzione della differenza di potenziale e dell’intensità di corrente:

iVP ' Da cui si ricava il valore della corrente:

A14,44

sA

Js

J14,44

V100

s

J414.4

V

Pi

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

¸¹

ᬩ

§

'

L’energia assorbita in 2 (ore) e 15 (min) è determinata da:

tPW

J1057,3min

s60min15

h

s600.2h2

s

J414.4W 7u »

¼

º«¬

ª¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

kWh92,9

kWh

J106,3

J1057,3W

6

7

¸¹

ᬩ

§u

u

Esercizio 13: Una resistenza : 250R è calibrata per una potenza di 3 (kW). Quanta corrente può sopportare?. Soluzione:

370

Dalla relazione della potenza in funzione della resistenza e dll’intensità di corrente, si ricava:

2iRP

AA

ssA

J

AJ

sV

AJ

A

Vs

J

46,3250

W000.3

R

Pi 2

¸¸¸¸

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·

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©

§

¸

¸

¹

·

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©

§

¸¸¸¸

¹

·

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©

§

:

Quindi:

A46,3i Esercizio 14: Un circuito è percorso da una corrente di 70 (A) con una tensione di 300 (V). La potenza è fornita da una caduta d’acqua da un’altezza di 20 (m) e il rendimento complessivo dell’impianto è pari a

%65 K (solo il 65% della potenza erogata dalla caduta d’acqua è assorbito dal circuito, mentre la restante quota di potenza si può pensare disperso). Determinare la portata della condotta d’acqua. Soluzione: Il circuito assorbe una potenza elettrica pari a:

iVP U '

W101,2AsA

J101,2A70V300P 442

U u ¸¹

ᬩ

§

u

Tale potenza – potenza utile – rappresenta quindi il 65% della potenza totale che fornisce l’impianto idroelettrico, cioè:

%65100P

P

T

U K

Si può quindi ricavare il valore della potenza complessiva dell’impianto:

W307.3210065

W101,2100

65

PP

4U

T u

D’altra parte l’energia fornita in un tempo di un secondo dall’acqua che scende a valle da un’altezza di 20 (m) all’interno della condotta di adduzione, altro non è che la potenza della condotta idroelettrica.

t

Energia

t

LP Potenza della corrente nel condotto

L’energia della corrente d’acqua nella condotta si identifica nell’energia cinetica finale: 2

C vm2

1EE

Che, a sua volta, è pari – se non si tiene conto delle perdite per attrito nella condotta – alla diminuzione di energia potenziale nel passaggio dalla quota + 20 m alla quota 0,00 m (teorema di conservazione dell’energia meccanica):

2vm2

1hgm

In conclusione: La di munizione di energia potenziale in un tempo di un secondo, deve corrispondere alla potenza totale erogata dall’impianto:

371

s1

hgmPT

Da questa relazione si ricava la massa d’acqua che deve attraversare il condotto in un tempo di 1 secondo, cioè la portata in massa:

¸¸

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§ ¸

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§

¸¹

ᬩ

§

m

sN

m

smN

m

sJ

s

m

ss

J

63,164

m20s

m81,9

s1W307.32

hg

s1Pm

2

2

2

2

2

2

2

2

T

m2

2m

2

kgms

smkg

m

sN63,164m ¸

¸

¹

·

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©

§

¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

La portata in massa della condotta è quindi pari a:

¸¹

ᬩ

§

s

kg63,164Q M

E, vista la corrispondenza tra l’unità di misura della massa e del volume relativamente all’acqua, si ottiene:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

h

m66,592

s

dm63,164Q

33

V

Esercizio 15: Un motore per montacarichi, ai morsetti del quale vi è una tensione di 500 (V), alza un carico di

2.000 kg alla velocità di ¸¹

ᬩ

§

s

m7,0 , assorbendo un’intensità di corrente di 30 (A). Determinare la

potenza esercitata dal motore ed il rendimento dello stesso. Soluzione: La potenza assorbita dal motore elettrico è data da:

W000.15A30V500iVP ' D’altra parte la potenza necessaria per il sollevamento del carico alla velocità data, si può determinare calcolando il lavoro effettivamente applicato dalla fune del motore al carico in movimento. Ad esempio si può pensare che in un tempo di 1 secondo lo spazio percorso dal carico sia dato da:

m7,0s1s

m7,0tvh ¸

¹

ᬩ

§

Per detto spostamento il lavoro strettamente necessario sarà:

J734.13m7,0kg

N81,9kg000.2hFL ¸

¹

ᬩ

§

Dato che il lavoro è stato calcolato per un tempo di 1 secondo, il suo valore corrisponde anche alla potenza strettamente necessaria al sollevamento del carico. Il rendimento del motore è quindi dato dal rapporto tra la potenza utile e la potenza effettivamente assorbita:

%56,91100W000.15

W734.13100

P

P

A

U u u K

372

Esercizio 16: Uno studente tiene accesa la sua radio portatile alimentata da una tensione di 9 (V). Tenendo conto che la potenza impegnata è stata di 7 (W) e sapendo che la radio è stata accesa dalle 9 di sera alle 2 del mattino, determinare la quantità di carica passata nel circuito. Soluzione: Dal valore della potenza impegnata e conoscendo il valore della tensione, si può determinare il valore dell’intensità di corrente i:

iVP ' Da cui si ottiene:

A78,0

sA

J9

s

J7

V

Pi

¸¹

ᬩ

§

¸¹

ᬩ

§

'

Con il valore della corrente ed il tempo di funzionamento si determina poi la quantità di carica complessivamente passata attraverso il circuito:

kC14sA000.14h

s600.3h5A78,0tiq ¸

¹

ᬩ

§

Si legga (chilocoulomb) – ritornando a misurare la carica in Coulomb. Esercizio 17: Un tubo a raggi X opera con una corrente di 7 (mA) e ad una differenza di potenziale di 80 (kV). Determinare la potenza dissipata in Watt. Soluzione: La potenza impegnata durante il funzionamento dell’apparecchiatura è data da:

iVP '

Per cui:

WAsA

JAV560A107V000.80P 3 ¸

¹

ᬩ

§

u

Esercizio 17: Una resistenza qualsiasi è connessa ai morsetti di una batteria avente tensione di 3 (V). La potenza dissipata nella resistenza è di 0,54 (W). La stessa resistenza è poi collegata ai morsetti di una batteria da 1,5 (V). Qual è la potenza dissipata in questo caso? Soluzione: Dal valore della potenza e della tensione della prima batteria, si ricava il valore della resistenza:

R

VP

2'

373

:¸

¹

ᬩ

§

¸¸¸¸

¹

·

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©

§

¸¹

ᬩ

§

'

A

V

s

J

VsA

J

67,16

s

J54,0

V3

P

VR

222

La stessa resistenza, collegata alla seconda batteria, dissipa la potenza di:

W135,067,16

V5,1

R

VP

2221

:

'

Esercizio 18: Una resistenza cilindrica avente raggio di 5,00 (mm) e lunghezza di 2 (cm) è fabbricata con un

materiale che ha una resistività ¸¹

ᬩ

§ :u U

m105,3 5 .

Determinare la densità di corrente e la differenza di potenziale quando la dissipazione di potenza nella resistenza è di 1,0 (W). Soluzione: La potenza impegnata inizialmente dalla resistenza cilindrica, è determinata da:

F

2

R

VP

'

Con:

3

223

7

2725

1092,8m105

107R

mm107m102m

105,3LSR

u uS

u

:u u¸¹

ᬩ

§ :u U

La differenza di potenziale sarà quindi data da:

V1044,9sAAs

JJ1092,8

A

V1092,8

s

J1RPV 233 u ¸

¹

ᬩ

§

u ¸

¹

ᬩ

§u¸

¹

ᬩ

§ '

L’intensità di corrente è data da:

A58,101092,8

V1044,9

R

Vi

3

2

:u

u

'

La densità di corrente è pari a:

¸¹

ᬩ

§u

uS

2

5

223 m

A1035,1

m105

A58,10

S

iJ

374

EFFETTO TERMICO DELLA CORRENTE LEGGE DI JOULE – EFFETTO JOULE

Come si è detto in precedenza, l’energia ceduta dal generatore alle cariche in movimento nel circuito elettrico è quella strettamente necessaria per vincere la resistenza che il circuito stesso oppone. Tale resistenza è causata agli urti delle cariche in movimento con gli atomi costituenti il reticolo cristallino del materiale che compone il circuito e può quindi essere equiparata ad una forza d’attrito. ANALOGIA CON L’ESPERIMENTO DI JOULE EQUIVALENTE MECCANICO DELLA CALORIA Il fenomeno è quindi analogo a quanto succede durante l’esperienza condotta da Joule allo scopo di determinare l’equivalente meccanico della caloria con l’utilizzo del “Mulinello di Joule” (si veda la termodinamica). Nel caso del “mulinello di Joule”, una certa quantità d’energia era applicata ad una leggera elica, immersa nell’acqua contenuta in un calorimetro Bunsen. La quantità di lavoro esterno era determinato dalla diminuzione d’energia potenziale di alcune masse collegate per mezzo di un filo ad un meccanismo in grado di trasformare il moto rettilineo delle masse nel moto rotatorio dell’elica. La rotazione dell’elica – in moto circolare uniforme – produceva, a causa delle forze d’attrito con l’acqua, un incremento dell’energia interna del liquido con conseguente aumento di temperatura. La successiva determinazione della quantità d’energia termica prodotta durante l’esperimento permetteva a Joule di affermare che il rapporto tra l’energia meccanica fornita e l’energia termica (calore) prodotta risultava costante se la trasformazione è a ciclo chiuso. Detto rapporto – definito “EQUIVALENTE MECCANICO DELLA CALORIA” – è comunemente indicato con:

¸¹

ᬩ

§

cal

J186,4

Q

LJ

Con:

J Equivalente meccanico della caloria ¸¹

ᬩ

§

cal

Joule

L Lavoro meccanico (energia meccanica) Joule Q Energia termica (calore) cal Si ricorda che l’unità di misura del lavoro o energia meccanica è definita dalla quantità di lavoro per effetto dell’applicazione di una forza di 1 (N) e di uno spostamento di 1 (m). L’energia termica era invece solitamente misurata in calorie (cal) ove si definiva la caloria come la quantità di energia necessaria per aumentare di 1 (K) la temperatura di una massa d’acqua pari ad 1 (g).

m1N1Joule1LE M

K1Kg

cal1g1Tcmcaloria1QE

O2H

O2H/SO2HT ¸¹

ᬩ

§

'

L’esperimento di Joule ha dunque permesso di affermare che:

375

Per incrementare l’energia termica di una quantita pari a 1 (caloria) occorre una quantità di

energia meccanica pari a 4,186 (J). Per incrementare l’energia termica di una quantità pari a 1.000 (calorie), cioè 1 (Kcal), occorre una quantità d’energia meccanica pari a 4.186 (J)

Il circuito percorso da un’intensità di corrente i non è quindi molto dissimile dall’apparecchiatura utilizzata da Joule, alle seguenti condizioni:

L’energia elettrica fornita alla corrente dal generatore, equivale all’energia meccanica fornita al mulinello dall’abbassamento di energia potenziale delle masse

La resistenza del circuito corrisponde all’attrito tra l’elica rotante e l’acqua La variazione della temperatura nel circuito e in ogni utilizzatore in esso contenuto (con

conseguente aumento dell’energia termica interna), corrisponde all’incremento di energia termica dell’acqua nel calorimetro

Si può quindi concludere che, anche nel caso in cui sia fornita energia elettrica, si deve considerare un fattore d’equivalenza nella conversione in energia termica pari a J, cioè:

¸¹

ᬩ

§

cal

J186,4

E

EJ

TERMICA

ELETTR

¸¹

ᬩ

§

Kcal

J186.4

E

EJ

TERMICA

ELETTR

LEGGE DI JOULE – EFFETTO TERMICO DELLA CORRENTE In base alle considerazioni di cui sopra e tenendo presente le modalità con le quali è possibile determinare l’energia e la potenza applicate dal generatore alla corrente, si giunge a stabilire la seguente Legge di Joule: Presupposti:

¸¹

ᬩ

§

Kcal

J186.4

Q

WJ EL Equivalente meccanico o elettrico della Caloria

tiVW ' Energia elettrica (indipendente dalla legge di Ohm)

iVP ' Potenza elettrica(indipendente dalla legge di Ohm)

t

R

VW

tiRW

2

2

'

Energia elettrica (in funzione della legge di Ohm)

R

VP

iRP

2

2

'

Potenza elettrica (in funzione della legge di Ohm)

FINALITA’:

376

J

WQ EL Quantità di calore fornita dalla corrente elettrica

Per l’energia e la potenza elettrica non dipendenti dalla legge di Ohm, l’equivalente in calore e potenza termica è data dalle relazioni: ENERGIA TERMICA ESPRESSA IN GRANDI CALORIE E PICCOLE CALORIE:

> @ JtiV

J

Kcal1039,2

Kcal

J186.4

JtiVQ 4 '¸

¹

ᬩ

§u

¸¹

ᬩ

§

' Kcal

Kcal

J

J

¸¸¸¸

¹

·

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©

§

> @ JtiV

J

cal239,0

cal

J186,4

JtiVQ '¸

¹

ᬩ

§

¸¹

ᬩ

§

' cal

cal

J

J

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

POTENZA TERMICA ESPRESSA IN Kcal/s E cal/s:

¸¹

ᬩ

§

'

Kcal

J186.4

WiVPT ¸

¹

ᬩ

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

s

Kcal

Kcal

Js

J

¸¹

ᬩ

§

'

cal

J186,4

WiVPT ¸

¹

ᬩ

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

s

cal

cal

Js

J

Per l’energia e la potenza termica espresse in funzione della legge di Ohm: ENERGIA TERMICA ESPRESSA IN GRANDI CALORIE E PICCOLE CALORIE:

J

WQ E

186.4

tiRQ

2 Kcal

186.4

1

R

tVQ

2

'

Kcal

186.4

iRP

2

T

¸

¹

ᬩ

§

s

Kcal

186.4

1

R

VP

2

'

¸¹

ᬩ

§

s

Kcal

377

ESERCIZI LEGGE DI JOULE – EFFETTO TERMICO

Esercizio 1: La resistenza di un conduttore di rame lungo 2 (km) non deve superare i :3 . Calcolare la sezione minima del conduttore. Determinare inoltre l’energia dissipata per effetto Joule dal conduttore in un’ora, se questo trasporta una corrente che ha una potenza di 20 (kW) alla tensione di 10.000 (V).

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : U

m

mm017,0

2

Cu

Soluzione: La sezione minima del conduttore si ricava dalla seconda legge di Ohm:

S

LR Cu U

Da cui:

2

2

Cu mm33,113

m000.2

m

mm017,0

R

LS

:¸

¸

¹

·

¨¨

©

§ : U

mm9,133,11S

r S

S

L’energia dissipata dalla corrente, di potenza nota, in un’ora:

¸¹

ᬩ

§u ¸

¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

h

J102,7

h

s600.3

s

J000.20tPW 7 Errato

Esercizio 2: Una lampadina collegata ad una tensione di 200 (V) è percorsa da una corrente di 0,5 (A). Calcolare la potenza assorbita in Watt e le calorie sviluppate in un’ora. Soluzione: La potenza assorbita è data da:

Watt100A5,0V200iVP ' L’energia termica sviluppata in un’ora:

J106,3h

s600.3

s

J100tPW 5u ¸

¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

Tenendo conto dell’equivalente meccanico della caloria:

kcal86

kcal

J186.4

J106,3

J

WQ

5

T

¸¹

ᬩ

§

u

378

Esercizio 3: Una resistenza in nichel-cromo da :25 assorbe una corrente di 10 (A). Determinare il calore sviluppato in 2 minuti. Soluzione: L’energia posseduta dalla corrente è pari a:

J000.300s120A1025tiRW 222 : L’energia termica dissipata si ottiene convertendo l’energia elettrica con il fattore J:

kcal66,71

kcal

J186.4

J000.300Q T

¸¹

ᬩ

§

Esercizio 4: Calcolare la quantità di calore sviluppata in un’ora da un apparecchio utilizzatore avente una resistenza di :50 e alimentato da una tensione di 150 (V). Soluzione: La quantità d’energia termica sviluppata è data da:

J

WQ E

T

Esercizio 5: Una corrente di 2,5 (A) percorre un conduttore che presenta ai suoi estremi una differenza di potenziale di 100 (V). Determinare la quantità di carica trasferita in un minuto, il lavoro fatto per trasferire questa carica ed il calore prodotto. Soluzione: Il lavoro fatto equivale all’energia posseduta dalla corrente che è determinata da:

J000.15s60A5,2V100tiVWL '

La quantità di carica trasferita si ottiene da:

C150s60s

C5,2tiq ¸

¹

ᬩ

§

Il calore prodotto è pari all’energia elettrica espressa in kcal:

kcal58,3

kcalJ186.4

J000.15

J

WQ T

kcal387J

kcalJ

J

kcalsAV387Q

kcal

J

A

V

sV387

kcal

J186.450

s3600V150

186.4

tR

V

Q

T

222

2

T

¸¹

ᬩ

§ ¸

¹

ᬩ

§

¸¸¸¸

¹

·

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©

§

¸¹

ᬩ

§:

'

379

Esercizio 6: Una resistenza percorsa da una corrente di 25 (A) sviluppa un’energia termica di 3 (kcal) in un tempo di 1 (min) e 20 (s). Determinare la tensione applicata ai morsetti. Soluzione: L’energia termica di 3 (kcal) è equivalente ad un’energia elettrica di:

J558.12kcal

J186.4kcal3JQW T ¸

¹

ᬩ

§

Con il valore dell’energia elettrica si determina la tensione ai capi della resistenza:

tiVW '

V28,6s80A25

J558.12

ti

WV

'

Esercizio 7: Calcolare la quantità di calore sviluppato in un’ora da una stufa elettrica che assorbe una potenza di 2 (kW). Soluzione: La quantità di calore sviluppato dipende dalla potenza elettrica in base alla seguente relazione:

J

tP

J

WQ T

Sostituendo i valori noti si ottiene:

kcal720.1

kcal

J186.4

s600.3s

J000.2

Q T

¸¹

ᬩ

§

¸¹

ᬩ

§

Esercizio 8: Calcolare la resistenza elettrica di un filo metallico il quale, quando è percorso da una corrente di 2 (A), sviluppa in 2 minuti una quantità di calore pari a 30 (kcal). Soluzione: La quantità di calore sviluppata dal filo equivale ad un’energia elettrica:

186.4QW T

J580.125kcal

J186.4kcal30W ¸

¹

ᬩ

§

Tale quantità d’energia è data da:

tiRW 2 Da cui si ricava il valore della resistenza R:

:¸¹

ᬩ

§

A

V261

s120A2

J580.125

ti

WR

222

380

Esercizio 9: Un filo di nichel-cromo lungo 20 (m), di sezione 2mm1S , è alimentato da una pila che presenta una f.e.m. di 25 (V) e resistenza interna : 2R I . Calcolare l’intensità di corrente, la quantità di calore prodotta globalmente nel circuito in 2 (ore) e quella che, nello stesso tempo, è dissipata dal filo. Soluzione: Con le caratteristiche del filo è possibile determinare la resistenza esterna:

: ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : U 20

mm1

m20

m

mm1

S

LR

2

2

E

Data la forza elettromotrice e la resistenza interna del generatore si determina poi l’intensità di corrente utilizzando la legge di Ohm estesa a tutto il circuito:ù

A14,122

V25

RR

Ei

IE

:

La quantità di calore prodotta globalmente nel circuito è determinata calcolando l’energia della corrente:

J1005,2h

s600.3h2A14,1V25tiEW 5u ¸

¹

ᬩ

§

kcal49

kcal

J186.4

J1005,2

J

WQ

5

¸¹

ᬩ

§

u

La quantità da calore dissipata dal filo è data da:

J1087,1h

s600.3h2A14,120tiRW 5222

E u ¸¹

ᬩ

§:

kcal7,44

kcal

J186.4

J1087,1

J

WQ

5

¸¹

ᬩ

§

u

Esercizio 10: Un apparecchio utilizzatore assorbe una potenza di 0,18 (kW) ad una tensione di 12 (V). Sapendo che la resistenza dei collegamenti è di :2,0 , calcolare il rendimento dell’apparecchio (potenza utilizzata /potenza assorbita) ed il calore sviluppato dalla corrente in 1 minuto. Soluzione: Dal valore della potenza assobita e della tensione, si determina l’intensità di corrente:

iVP '

A15

ssA

J

J15

V12

s

J180

V

Pi

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

¸¹

ᬩ

§

'

La potenza assorbita dai collegamenti è data da:

W45A152,0iRP 222CC :

Quindi la potenza utilizzata dal solo appararecchio è la differenza:

381

W135PPP CU

E il rendimento si ottiene dal rapporto tra la potenza complessiva e la potenza reale sull’utilizzatore:

%75100W180

W135 K

Il calore sviluppato dalla corrente in un minuto è dato da:

kcal58,2

kcal

J186.4

s60s

J180

J

tP

J

WQ

¸¹

ᬩ

§

¸¹

ᬩ

§

Esercizio 11: Calcolare la caduta di tensione dovuta ad una resistenza di :25 che assorbe una corrente di 3 (A). Se si dimezza la tensione, per ottenere la stessa quantità di calore nello stesso intervallo di tempo, quale dovrà essere il nuovo valore della resistenza e da quale intensità di corrente essa sarà percorsa? Soluzione: La caduta di tensione sulla resistenza è data dalla legge di Ohm:

V75AA

V75A325iRV ¸

¹

ᬩ

§ : '

La quantità di calore ceduta in un determinato intervallo di tempo t, sarà data da:

J

tiV

J

WQ

'

Se il valore della tensione è dimezzato, la stessa quantità di calore sarà sviluppata con un valore di corrente:

J

tiV

J

ti2

V

Q1 '

'

Da cui si ricava il valore della corrente:

i2

i1 A6i2i1

La nuova resistenza sarà quindi data da:

:

:

' 25,6

A62

75

i

VR

1

11

382

Esercizio 12: Due bollitori sono utilizzati per portare all’ebollizione una stessa quantità d’acqua. Il primo impiega 35 minuti lavorando alla tensione di 60 (V), mentre il secondo impiega 1 ora lavorando alla tensione di 140 (V). Calcolare il rapporto tra le intensità di corrente nei due bollitori. Soluzione: La quantità di calore necessaria per portare la stessa quantità d’acqua all’ebollizione – partendo dalla stessa temperatura – è data dalla relazione:

TcmQ S '

La quantità di energia elettrica occorrente si ricava utilizzando il fattore di conversione J:

TcmJQJW S '

L’energia utilizzata dalla resistenza elettrica del primo bollitore è:

Ji000.1266035iV60tiVW 11111 ' Quella utilizzata dal secondo:

Ji000.5046060iV140tiVW 12122 ' Si ottengono quindi le due relazioni:

TcmJJi000.504W S2 ' TcmJJi000.126W S1 '

Dividendo la prima per la seconda:

1i000.126

i000.504

1

2

Da cui si ottiene il rapporto tra le intensità di corrente:

000.504

000.126

i

i

1

2

25,0i

i

1

2

Esercizio 13: Con una batteria di pile avente resistenza interna totale pari a :2,0 si alimenta una resistenza di platino lunga 1 (m) e con sezione di 2mm4 . Tale batteria alimenta per due ore il circuito con una corrente di 2 (A). Determinare: La f.e.m. della batteria La caduta di tensione interna Il calore prodotto per effetto Joule nella resistenza esterna Soluzione: La caduta di tensione sui morsetti della batteria di generatori è data da:

383

V4,0A22,0iRV I : '

La resistenza del filo di platino è determinato da:

: ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : U 025,0

mm4

m1

m

mm1,0

S

LR

2

2

E

La forza elettromotrice si ricava da:

V45,0225,0A2iRRE IE :

Il calore prodotto dal passaggio di corrente nel filo:

J720s200.7A2VEtiVW ' '

kcal172,0J

WQ

Esercizio 14: Ai capi di un filo di costantana lungo 300 (m) è applicata una tensione di 220 (V). Sapendo che il passaggio della corrente elettrica sviluppa 3.000 (kcal) in 2 ore e 30 minuti, calcolare l’intensità della corrente e la sezione del filo. Soluzione: Dalla quantità di calore sviluppato è possibile determinare l’energia della corrente:

J1026,1kcal

J186.4kcal000.3JQW 7u ¸

¹

ᬩ

§

Utilizzando il tempo si ottiene poi il prodotto: tiVW '

t

WiV '

Da cui, considerando il valore della tensione, si determina l’intensità di corrente:

A36,6

h

s600.3h5,2V220

J1026,1

tV

Wi

7

¸¹

ᬩ

§

u

'

La resistenza del filo è dunque data da:

i

VR

'

Ed è anche determinata da:

S

LR U

Uguagliando le due relazioni si ottiene la sezione:

i

V

S

L ' U

2

2

mm25,4V220

A36,6m300m

mm49,0

V

iLS

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ :

'

U

Esercizio 15: Un filo metallico immerso in 100 g di ghiaccio fondente, quando è percorso da una corrente di 5 (A), fonde 10 g di ghiaccio in 5 minuti. Determinare la resistenza del filo.

384

Il calore latente di fusione del ghiaccio è di 79,7 (cal/g) Soluzione: Dal calore latente di fusione e dalla quantità di ghiaccio fuso, si determina la quantità di calore ed energia occorrenti:

J336.3cal

J186,4

g

cal7,79g10JQW ¸

¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

Con il valore della corrente e del tempo si può determinare la resistenza:

tiRW 2

:

44,0s605A5

J336.3

ti

WR

222

Esercizio 16: Determinare il costo per riscaldare, mediante un boiler elettrico, 55 litri d’acqua da 25 (°C) a 65 (°C) assumendo un costo di dell’energia pari a 1,5 centesimi per kWh. Soluzione: La quantità d’energia occorrente per il riscaldamento è data da:

JTcmJQW S '

J1021,9kcal

J186.4C40

Ckg

kcal1kg55W 6u ¸

¹

ᬩ

§q¸

¹

ᬩ

§

q

Considerando che 1 kWh corrisponde a J106,3 6u , si ottiene:

Costo Euro038,0015,0106,3

W6

uu

Esercizio 17: In una vasca contenente 100 litri d’acqua a 25 °C, è immersa una resistenza da :5 . Applicando per 20 minuti, ai capi di questa resistenza, una tensione di 150 (V), di quanto sale la temperatura dell’acqua ? Soluzione: L’energia elettrica dissipata dalla resistenza immersa è determinata da:

tR

VW

2

'

Sostituendo i valori noti, si ottiene:

MJ4,5min

s60min20

5

V150W

22

¸¹

ᬩ

§

:

Tale quantità di energia corrisponde ad una quantità di calore pari a:

385

kcal290.1

kcal

J186.4

J000.400.5

J

WQ

¸¹

ᬩ

§

Il corrispondente aumento di temperatura si ottiene dalla relazione del calore:

TcmQ S '

K90,12

Kkg

kcal1kg100

kcal290.1

cm

QT

S

¸¹

ᬩ

§

'

La temperatura finale dell’acqua è quindi:

C90,3790,1225Ttt IF q ' Esercizio 18: Una resistenza da :50 immersa in 10 litri d’acqua fa aumentare di 70 °C la temperatura in un tempo di 15 minuti. Determinare l’intensità della corrente che attraversa la resistenza. Soluzione: La quantità di calore ceduto dalla resistenza percorsa da corrente elettrica alla massa d’acqua, è data da:

kcal700K70Kkg

kcal1kg10TcmQ S ¸

¹

ᬩ

§

'

Tale quantità di calore corrisponde ad un’energia elettrica di:

J1093,2kcal

J186.4kcal700JQW 6u ¸

¹

ᬩ

§

Tale energia elettrica è quella posseduta dalla corrente che fluisce per 15 muniti nella resistenza:

tiRW 2 Da cui si ricava il valore dell’intensità di corrente:

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

¸¹

ᬩ

§

:

¸¹

ᬩ

§:

sA

V

J07,8

s

J11,65

min

s60min1550

J000.930.2

tR

Wi

A07,8A

ssA

J

AJ

sA

V

J07,8i 2

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

Esercizio 19: Un boiler elettrico assorbe una potenza di 1,75 (kW). Il 60 % di questa potenza è dissipata sulla resistenza di riscaldamento del boiler e scalda in 10 (ore) una certa quantità d’acqua da 25 °C a 60

386

°C. Il restante 40 % di potenza è dissipato in resistenze esterne al boiler e non producono quindi effetti di riscaldamento dell’acqua. L’intensità di corrente che percorre il circuito elettrico è di 5 (A). Determinare: x Il volume d’acqua riscaldata x La tensione ai capi della resistenza di riscaldamento del boiler x L’energia utilizzata nel riscaldamento dell’acqua Soluzione: La potenza effettivamente dissipata sulla resistenza di riscaldamento del boiler è pari al 60 % di quella complessiva, cioè: kW05,16,075,1P U L’energia termica dissipata nel tempo di 10 ore dalla resistenza è quindi data da:

J1078,3h

s600.3h10

s

J050.1tPW 7

U u ¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

kcal030.9

kcal

J186.4

J1078,3

J

WQ

7

¸¹

ᬩ

§

u

Dalla relazione fondamentale del calore si ottiene la quantità in massa equivalente alla quantità in litri d’acqua:

TcmQ S '

litri258

K35Kkg

kcal1

kcal030.9

Tc

Q.Volm

S

¸¹

ᬩ

§

'

Per determinare la tensione ai capi della resistenza si utilizza il valore della potenza utile e il valore dell’intensità di corrente dato dal problema: iVP U ' Da cui:

VoltC

J

sA

J210

A5

s

J050.1

i

PV ¸

¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

¸¹

ᬩ

§

'

L’energia utilizzata per riscaldare l’acqua è già stato calcolato e è solo più convertito in kWh:

kWh5,10

kWh

J106,3

J1078,3W

6

7

¸¹

ᬩ

§u

u

Esercizio 20: Calcolare il tempo impiegato da un boiler per innalzare la temperatura di 80 litri d’acqua da 25 °C a 50 °C, sapendo che esso assorbe una potenza di 2 (kW) e che ha un rendimento del 60 %. Determinare inoltre l’energia consumata in kWh.

387

Soluzione: La potenza impegnata dalla resistenza elettrica del boiler per il solo riscaldamento dell’acqua, è pari al 60 % della potenza complessivamente assorbita: W200.1W000.26,0P U u Dalla relazione fondamentale del calore e sfruttando la definizione di potenza si ottiene il tempo occorrente per il riscaldamento dell’acqua: TcmtPW SU '

min116s976.6

s

J200.1

kcal

J186.4K25

Kkg

kcal1kg80

t

¸¹

ᬩ

§

¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

L’energia consumata complessivamente nel tempo calcolato, espressa in kWh, è data da:

kWh88,3

kWh

J106,3

s976.6s

J000.2

kWh

J106,3

tPW

66

¸¹

ᬩ

§u

¸¹

ᬩ

§

¸¹

ᬩ

§u

Esercizio 21: Un forno elettrico serve per fondere dell’acciaio che inizialmente si trova ad una temperatura di 30 °C. Sapendo che al forno è applicata una tensione di 220 V, che in 8 minuti e 30 secondi sviluppa 15.000 (kcal) e che in 15 minuti si fonde una certa quantità di acciaio con un rendimento del 60 %, calcolare l’intensità di corrente assorbita dal forno e la massa di acciaio che subisce il processo di fusione. Dati del problema:

C528.1t F q Temperatura di fusione acciaio

¸¹

ᬩ

§

Kkg

kcal113,0c S Calore specifico acciaio

¸¹

ᬩ

§

kg

kcal30C L Calore latente acciaio

Soluzione: Con la quantità di calore sviluppata nel tempo dato, si può ricavare l’intensità di corrente: tiVJQW '

A6,559

s30608V220

kcal

J186.4kcal000.15

tV

JQi

¸¹

ᬩ

§

'

La quantità di calore che, in 15 minuti, il forno cede alla massa d’acciaio, si ricava con una semplice proporzione, considerando, nello stesso tempo, il rendimento:

15t

QQ 15

388

kcal470.261550,8

000.15Q 15

kcal882.15470.266,0Q 15U u La quantità di calore serve in parte per innalzare la temperatura dell’acciaio dal valore iniziale a quello caratteristico della temperatura di fusione e, per la restante parte, per fondere una certa quantità di acciaio: LS15U CmTcmQ '

Con l’ipotesi di considerare uguali la massa d’acciaio che subisce l’incremento di temperatura e la massa che fonde, si ottiene il valore con la formula inversa:

15ULS QCTcm ' Da cui:

kg7,79

kg

kcal30K301528

Kkg

kcal113,0

kcal882.15

CTc

Qm

LS

15U

¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

'

Esercizio 22: Un fulmine si scarica su un parafulmine di rame, di sezione 2mm5 e di lunghezza 1 (m), fondendolo. La scarica è durata s102 5u e la temperatura ambiente è di 10 °C. Determinare: 1. Il calore liberato dalla scarica 2. La resistenza del parafulmine 3. Il potenziale della scarica ammettendo che la corrente di scarica rimanga costante 4. La potenza dissipata nella scarica Dati del problema:

¸¹

ᬩ

§

3cm

g9,8d densità rame

¸¹

ᬩ

§

Kkg

kcal093,0c s calore specifico rame

¸¹

ᬩ

§

kg

kcal42C L calore latente rame

C083.1t F q temperatura di fusione Soluzione: Il calore liberato dalla scarica si può ottenere considerando la massa del parafulmine e le caratteristiche fisiche e morfologiche del materiale che lo compone: Calcolo del volume del parafulmine:

389

322 cm5mm000.5mm000.1mm5hSV u Calcolo della massa:

kg1045,4g5,44cm5cm

g9,8Vdm 23

3

u ¸¹

ᬩ

§

Calcolo dl calore di fusione: LSLS CTcmCmTcmQ ' '

kcal31,6kg

kcal42K10083.1

Kkg

kcal093,0kg1045,4Q 2 »

¼

º«¬

ª¸¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

u

La resistenza del parafulmine si ottiene con la seconda legge di Ohm:

:u ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : U 3

2

2

Cu 102,3mm5

m1

m

mm016,0

S

LR

Per determinare il potenziale della scarica ammettendo costante la corrente, si può utilizzare la legge di Joule convertendo il calore e tenendo conto della relazione:

tR

VJQW

2

'

Da cui si ottiene:

V055.2

s102

102,3kcal

J186.4kcal31,6

t

RJQV

5

3

:u¸¹

ᬩ

§

'

Se si considera nullo il potenziale della terra, allora la differenza di potenziale calcolata rappresenta anche il potenziale di scarica.

La potenza dissipata dalla scarica è data da:

kW1032,1Watt1032,1102,3

V055.2

R

VJQ

t

tJQ

t

WP 69

3

222

u u :u

'

390

LEGGI DI COLLEGAMENTO ELETTRICO RESISTENZE IN SERIE E PARALLELO GENERATORI IN SERIE E PARALLELO

I CIRCUITI ELETTRICI Come si è detto sino ad ora, lo scopo dell’elettrodinamica è lo studio dei fenomeni correlati al passaggio di corrente elettrica entro cavi conduttori, resistenze ed utilizzatori, costituenti, nell’insieme, un circuito elettrico. Dato che la corrente è provocata dalla presenza di un generatore di tensione, occorre considerare il generatore stesso come parte integrante del circuito. Solitamente però, nella realtà pratica, un circuito è ben dissimile dal modello semplice che è stato utilizzato per l’introduzione delle leggi dell’elettrodinamica. La presenza di un elevato numero di resistenze, di cavi di collegamento e generatori, rende il più delle volte difficile, il calcolo delle intensità di corrente che attraversano i diversi rami del circuito. Per altro, per quanto sia complessa la distribuzione delle apparecchiature, esiste sempre la possibilità di ridurre il circuito in esame a un equivalente circuito virtuale semplice. Detto circuito semplice è definito “circuito equivalente” e le argomentazioni che seguono hanno lo scopo di illustrare i metodi da utilizzare per determinare il “circuito equivalente” partendo dallo schema del circuito complesso reale. Una prima semplificazione del circuito si può ottenere considerando che il collegamento tra due o più resistenze (ove si deve intendere come resistenze anche i cavi conduttori e, in special modo, gli utilizzatori resistivi) o tra due o più generatori di tensione, avviene essenzialmente secondo le seguenti modalità:

Resistenze o generatori in serie Resistenze o generatori in parallelo

Due o più resistenze in serie o in parallelo possono essere sostituite da una sola resistenza virtuale il cui valore è stabilito da relazioni semplici. Lo stesso si può dire per generatori in serie e/o parallelo. RESISTENZE IN SERIE Due o più resistenze, siano esse di tipo concentrato (utilizzatori resistivi) o distribuito (cavi di collegamento – resistenze continue), sono collegate in serie se ognuna è percorsa dalla stessa intensità di corrente. La caduta ohmica di tensione sui capi di ogni resistenza costituente la serie è determinata dalla prima legge di Ohm. Nel caso cui si fa riferimento, il tratto di circuito è costituito da tre resistenze 321 R;R;R percorse da un’intensità di corrente i. Ai capi di ogni resistenza la caduta ohmica sarà:

iRVVV 11BA ' iRVVV 22CB '

iRVVV 33DC '

391

La caduta ohmica complessiva, o differenza di potenziale totale, tra il morsetto iniziale della prima resistenza e quello terminale dell’ultima, è quindi pari alla somma delle cadute di tensione:

iRiRiRVVVVVV 321321DA ''' ' iRRRV 321 '

La differenza di potenziale totale per effetto di resistenze collegate in serie è dunque pari a quella che si otterrebbe in un circuito virtuale composto da una sola resistenza equivalente di valore pari alla somma delle resistenze in serie:

iRV EQ ' Con, nel caso particolare di tre resistenze:

321EQ RRRR Mentre, in generale: n21EQ R...................RRR RESISTENZE IN SERIE

VA

R 1 2R R 3

VDB C

VA VD

R E Q = 1R R 2+ + R 3

i

i

C IR C U IT O R E A L E

C IR C U IT O E Q U IV A L E N T E

R14 – 36/4 – RESISTENZE IN SERIE – RESISTENZA EQUIVALENTE

392

RESISTENZE IN PARALLELO Due o più resistenze sono collegate in parallelo, quando i morsetti di ognuna sono raggruppati in modo da formare due nodi A e B ai quali è applicata la differenza di potenziale V' . Ad ogni resistenza è quindi applicata la stessa tensione. La corrente, proveniente da un altro tratto di circuito posto a monte del nodo A, si suddivide nel nodo stesso dando luogo ad intensità di corrente 321 i;i;i inversamente proporzionali ai valori delle resistenze che attraversa. L’intensità di corrente entrante nel nodo A è uguale alla somma delle correnti che attraversano le resistenze del parallelo ed uguale alla corrente uscente dal nodo B (Equazione di continuità). La caduta ohmica di tensione ai capi di ogni resistenza in parallelo è uguale alla differenza di potenziale tra i due nodi A e B (legge di Ohm).

USCENTE321ENTRANTE iiiii EQUAZIONE DI CONTINUITA’

11

BA1

R

V

R

VVi

'

LEGGE DI OHM

22

BA2

R

V

R

VVi

'

“

33

BA3

R

V

R

VVi

'

“

Utilizzando l’equazione di continuità della corrente e le leggi di Ohm ai vari tratti del parallelo, si ottiene la seguente relazione:

¸¹

ᬩ

§'

'

'

'

321321 R

1

R

1

R

1V

R

V

R

V

R

Vi

Le resistenze collegate tra loro in parallelo hanno quindi lo stesso effetto che avrebbe un’unica resistenza virtuale equivalente di valore:

EQR

Vi

'

Dal confronto si ottiene la relazione di dipendenza tra la resistenza equivalente e le resistenze collegate in parallelo:

321EQ R

1

R

1

R

1

R

1 RESISTENZE IN PARALLELO

L’inverso della resistenza equivalente a resistenze in parallelo è uguale alla somma degli inversi di ogni resistenza componente. Nel caso più generale di n resistenze in parallelo, si ha:

n21EQ R

1................

R

1

R

1

R

1

Da notare che l’inverso della resistenza altro non è che la conducibilità.

393

VA

i

VB

i

i

R 1

R 2

R 3

1

2

3

i i

AV BV

i

E QR

i

i

1

R E Q

=1

R 1

+R

1

2 R

1+

3

C IR C U IT O R E A L E C IR C U IT O E Q U IV A L E N T E

R14 – 37/4 – RESISTENZE IN PARALLELO – RESISTENZA EQUIVALENTE GENERATORI IN SERIE Due o più generatori di tensione sono collegati in serie, quando si realizza una connessione tra morsetti di polarità opposta costituendo così una catena in cui sono liberi il polo positivo del primo generatore ed il polo negativo dell’ultimo. La stessa intensità di corrente circola in tutti i generatori. La somma delle forze elettromotrici di ciascun generatore costituisce la tensione o differenza di potenziale che la serie di generatori applica al circuito esterno connesso ai morsetti terminali della serie. La somma delle resistenze interne di ciascun generatore è la resistenza interna equivalente del generatore che, virtualmente, potrebbe sostituire la serie.

n21EQ E........EEE TENSIONE EQUIVALENTE

n.I2.I1.IEQ.I R..........RRR RESISTENZA INTERNA EQUIVALENTE Lo scopo del collegamento in serie di più generatori di tensione è proprio quello di ottenere tensioni complessive elevate utilizzando più generatori a basso o medio potenziale. Applicando la legge di Ohm al circuito equivalente si ottiene il valore dell’intensità di corrente:

EEQ.I

EQ

RR

Ei

Occorre tenere presente che, solitamente, generatori con f.em. relativamente basse non possono sopportare correnti eccessivamente elevate.

394

VA

R I.1

VD B C

VAVD

R I.E Q = I.1R R I.2+ + R I.3

i

i

C IR C U IT O R E A L E

C IR C U IT O E Q U IV A L E N T E

E 1 ER I.2

2

R I.3

E 3

R I.E Q

E E Q

E QE E+= E 1 E +2 3

R14 – 38/4 – GENERATORI IN SERIE – GENERATORE EQUIVALENTE GENERATORI IN PARALLELO Due o più generatori sono collegati in parallelo quando sono connessi in modo tale che tutti i poli positivi sono raggruppati in un nodo A e tutti i poli negativi sono raggruppati in un nodo B. La forza elettromotrice del generatore equivalente al parallelo dei generatori componenti è pari alla tensione esercitata da un singolo generatore. In questo caso, allo scopo di evitare circuitazioni di corrente all’interno del parallelo dovute allo squilibrio delle tensioni dei componenti, occorre che tutte le forze elettromotrici abbiano lo stesso valore. La resistenza interna del generatore equivalente è invece pari a quella che si ottiene considerando le resistenze interne in parallelo. L’intensità di corrente che circola nel circuito esterno (corrente totale) si suddivide nei rami del parallelo dei generatori in funzione delle resistenze interne di ognuno:

n.I2.I1.IEQ.I R

1.........

R

1

R

1

R

1

Solitamente i valori delle resistenze interne dei generatori sono uguali e, in questo caso, si ottiene:

IEQ.I R

1n

R

1

Da cui si ottiene:

n

RR I

EQ.I

L’intensità di corrente che circola nel circuito è dunque determinata da:

395

n

RR

Ei

IE

Con: ER Resistenza del circuito esterno

IR Resistenza interna di ogni generatore componente il parallelo n Numero di generatori

Nel caso in cui il numero di generatori sia elevato il termine n

R I tende ad annullarsi ed l’intensità

di corrente tende al valore che avrebbe nel caso di resistenza interna nulla:

ER

Ei #

Lo scopo del collegamento di generatori in parallelo è quello di consentire l’alimentazione del circuito esterno con una corrente di intensità superiore a quella sopportabile da un solo generatore e che è definita “ corrente di pieno carico”.

VA VB

R I.1

P A R A L L E L O

= 0 ,3 1

= 0 ,3R I.2 1

= 0 ,3R I.3 1

= 0 ,3R I.4 1

= 0 ,3R I.5 1

= 1 ,8 VE 1

= 1 ,8 VE 5

VA VB

E Q U IV A L E N T E

= 0 ,0 6= 1 ,8 VE

R I.E Q

E Q

1

= 1 ,8 VE 2

E = 1 ,8 V3

E = 1 ,8 V4

C O L L E G A M E N T O R E A L E

R14 – 39/4 – GENERATORI IN PARALLELO – GENERATORE EQUIVALENTE

396

ESERCIZI COLLEGAMENTO IN SERIE E PARALLELO

Esercizio 1: Calcolare la f.e.m. e la resistenza interna totale di 5 pile, collegate in serie e poi in parallelo, sapendo che ciascuna di esse ha una f.e.m. di 1,8 (V) e una resistenza interna : 3,0R I . Soluzione:

Collegamento in serie: La f.e.m. e la resistenza interna del generatore equivalente ai generatori in serie sono rispettivamente la somma delle f.e.m. e la somma delle resistenze interne:

V9V8,15EnE EQ : : 5,13,05RnR IEQ.I

Collegamento in parallelo:

Se le pile sono collegate in parallelo, la tensione del generatore equivalente è uguale alla tensione di una pila singola, mentre, la resistenza interna equivalente è pari alla resistenza interna della singola pila diviso il numero di pile:

V8,1E EQ

: :

06,05

3,0

5

RR I

EQ.I

VA VB

R I.1

P A R A L L E L O

= 0 ,3 1

= 0 ,3R I.2 1

= 0 ,3R I.3 1

= 0 ,3R I.4 1

= 0 ,3R I.5 1

= 1 ,8 VE 1

= 1 ,8 VE 5

VA VB

E Q U IV A L E N T E

= 0 ,0 6= 1 ,8 VE

R I.E Q

E Q

1

= 1 ,8 VE 2

E = 1 ,8 V3

E = 1 ,8 V4

C O L L E G A M E N T O R E A L E

R14 – 40/4 – COLLEGAMENTO DI GENERATORI IN PARALLELO

397

R I.1

S E R IE

= 0 ,3 1

= 0 ,3R I.2 1

= 0 ,3R I.3 1

= 0 ,3R I.4 1

= 0 ,3R I.5 1= 1 ,8 VE 1

= 1 ,8 VE 5

VA V

E Q U IV A L E N T E

= 1 ,5 0= 9 ,0 VE

R I.E Q

E Q

1

E = 1 ,8 V3

E = 1 ,8 V4

C O L L E G A M E N T O R E A L E

BVAV

= 1 ,8 VE 2

R14 – 40/4 – COLLEGAMENTO DI GENERATORI IN SERIE Esercizio 2: Calcolare la resistenza interna e la f.e.m. di una batteria costituita da 25 pile disposte in serie sapendo che 10 di esse hanno una f.e.m. di 1,5 (V) e una resistenza interna di :2,0 , mentre le altre 15 hanno una f.e.m. di 1,8 (V) e una resistenza interna di :6,0 . Soluzione: Ai capi terminali della batteria di 25 pile in serie si ha una forza elettromotrice pari alla somma delle f.e.m. di tutte le pile:

V42V8,115V5,110V '

La resistenza interna della batteria è pari alla somma delle resistenze interne:

: :: 116,0152,010R I

Esercizio 3: 20 pile, ciascuna con una tensione di 1,8 (V) e resistenza interna :7,0 , sono collegate prima in serie e poi in parallelo. Determinare l’intensità di corrente nei due casi quando il sistema alimenta un circuito esterno avente resistenza di :22 Soluzione:

Batteria di pile collegate in serie: V36V8,120E EQ

: : 147,020R20R IEQ.I Con la legge di Ohm estesa a tutto il circuito, si ha:

398

A136

V36

RR

Ei

EEQ.I

EQ

:

Batteria di pile collegate in parallelo:

V8,1E EQ

:u :

2IEQ 105,3

20

7,0

20

RR

A082,0035,22

V8,1

RR

Ei

EEQ.I

EQPAR

:

Esercizio 4: Una batteria formata da elementi uguali in serie, ciascuno con f.e.m. di 1,8 (V) e resistenza interna

:5,0 , alimenta con una corrente di 0,3 (A) una resistenza di :66 . Determinare il numero di elementi che costituiscono la batteria.

Soluzione: L’intensità di corrente che circola nel circuito è data da:

EQ.IE

EQ

RR

Ei

Tenendo presente i dati del problema ed il fatto che i generatori sono in serie, si ottiene:

::

5,0n66

V8,1ni

Da cui:

8,1n5,0n66i 8,1n5,0ni66i 5,0ni8,1n66i

66i5,0i8,1n

elementi125,03,08,1

66A3,0

5,0i8,1

66in

:

Esercizio 5: 10 pile in serie, ciascuno con tensione E uguale a 1,6 (V) e resistenza interna di :1,0 , sono collegate con una resistenza esterna di :15 . Determinare la potenza generata e la potenza utile (cioè quella che si ottiene ai capi della resistenza esterna). Soluzione: La corrente circolante nel circuito avrà un’intensità pari a:

A116

V16

1,01015

V6,110

RR

Ei

EQ.IE

EQ

:

La potenza utile ai capi della resistenza esterna si ottiene dalla relazione:

> @ Watt15A1A11V16iiREiVP EQ.IEQ : ' La potenza titale generata è pari a:

399

Watt1616

A16

RR

EP

22

EQ.IE

EQ2

:

Il rendimento della batteria di generatori in serie è quindi data da:

%9410016

15

P

P

T

U # K

Esercizio 6: Calcolare l’intensità di corrente in un circuito alimentato da 5 gruppi di pile, collegati in parallelo, sapendo che ciascuno di questi gruppi è costituito da 10 pile, collegate in serie, che presentato ciascuna una f.e.m. di 1,8 (V) e una resistenza interna di :1,0 . La resistenza esterna del circuito è di :50 . Soluzione:

5 0 1

1 ,8 V10 ,1

La tensione equivalente e la resistenza interna di un gruppo di generatori in serie è data da:

V18V8,110E SERIE.EQ

: : 11,010R SERIEEQ.I La tensione equivalente e la resistenza equivalente dei 5 gruppi in parallelo, sarà data da:

V18E PARALL.EQ

400

: :

2,05

1R PARALLEQ.I

L’intensità di corrente che circola nel circuito per effetto della batteria e della resistenza esterna, è data da:

A358,02,50

V18

RR

Ei

PARALL.EQ.IE

PARALL.EQ

:

Esercizio 7: Tre resistenze rispettivamente di :5 , :10 e :25 sono collegate in serie. Determinare la conduttanza equivalente. Soluzione: La resistenza equivalente è la somma delle resistenze componenti la serie:

: 40R EQ

La conduttanza equivalente è l’inverso della resistenza equivalente:

Siemens025,040

1G

:

Esercizio 8: Quattro resistenze hanno ciascuna un valore triplo di quella precedente. Sono collegate in serie e la resistenza totale è di :20 . Determinare il valore delle resistenze. Soluzione: Se si definisce con 1R la prima resistenza della serie, allora si avrà:

1111EQ R333R33R3RR

Da cui si ottiene:

2027931R 1

: :

5,040

20R 1

Per cui cui: : 5,1R 2 : 5,4R 3 : 5,13R 4

Esercizio 9: Determinare la resistenza da aggiungere ad una seconda resistenza da :50 affinché la resistenza complessiva si riduca a :10 .

401

Soluzione: E’ evidente che il collegamento tra le due resistenze deve essere in parallelo. Considerando il valore della resistenza equivalente e la regola per il collegamento in parallelo, si ottiene:

R

1

50

1

R

1

EQ

:

Avendo indicato con R la resistenza incognita e con EQR la resistenza complessiva, si ottiene:

50

4

50

15

50

1

10

1

50

1

R

1

R

1

EQ

Da cui:

: : 5,124

50R

Esercizio 10: Due fili di manganina, uno di sezione 2

1 mm2S e lunghezza 3 (m) e l’altro con sezione 2

1 mm3S e lunghezza 2 (m), sono collegati in parallelo. Determinare la resistenza equivalente e la lunghezza che dovrebbe avere un filo di rame di sezione 2

3 mm5,0S se fosse messo al posto dei due fili di manganina.

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : U

m

mm016,0

2

Cu

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : U

m

mm45,0

2

Mn

Soluzione: Si determina innanzi tutto la resistenza dei due fili di manganina utilizzando la seconda legge di Ohm:

: ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : U 675,0

mm2

m3

m

mm45,0

S

LR

2

2

1

1Mn1

: ¸¸

¹

·

¨¨

©

§ : U 30,0

mm3

m2

m

mm45,0

S

LR

2

2

2

2Mn2

Occorre poi determinare la resistenza equivalente dei due fili collegati in parallelo:

21

12

21EQ RR

RR

R

1

R

1

R

1

: :

:

21,0

3,0675,0

30,0675,0

RR

RRR

2

12

21EQ

Dalla valore della resistenza equivalente si determina poi la lunghezza che dovrebbe avere il filo di rame se utilizzato al posto dei due fili in parallelo:

402

Cu

CuCuEQ

S

LR U

m125,13

m

mm016,0

mm121,0SRL

2

2

Cu

CuEQCu

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ :

:

U

Esercizio 11: Due resistenze sono collegate in serie e danno una resistenza complessiva di :150 . Se invece

sono collegate in parallelo la resistenza scende a :3

100 .

Calcolare il valore delle due resistenze. Soluzione: Dalle relazioni relative al collegamento in serie e parallelo, si ricava:

: 150RR 21

> @:

3

100

RR

RR

21

21

Sostituendo nella seconda:

> @:

3

100

150

RR 21

10050RR 21

21

R

000.5R

Tornando alla prima:

150RR

000.52

2

R150R000.5 22

0000.5R150R 222

Risolvendo l’equazione di secondo grado si ottiene il valore della resistenza 2R :

r r ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§r 257562575000.5

4

150

2

150R

2

2

100R 2 50R 2 50R 1 100R 1 Esercizio 12: Un filo di nichel con resistenza di :6 è collegato in serie con un filo di manganina che presenta una resistenza di :20 . Entrambi i fili sono ad una temperatura di 0 °C: quale sarà la resistenza complessiva a 200 °C ? Coefficienti di temperatura: Nichel 0056,0 D Manganina 00001,0 D

403

Soluzione: La resistenza a 200 ° C del filo di nichel e di manganina si ottiene dalla relazione:

T1RR 0200 'D

Per cui:

: : 72,12K2000056,016R Ni : : 04,20K20000001,0120R Mang La resistenza complessiva dei due fili, collegati in serie e ad una temperatura di 200 °C, è data dalla somma delle resistenze: : 76,3204,2072,12R 200.EQ Esercizio 13: Calcolare l’intensità di corrente che attraversa due resistenze da 100 e :150 collegate in serie, quando ai capi della serie agisce una tensione di 220 (V). Soluzione: La resistenza equivalente è data dalla somma delle resistenze:

: 250R EQ

Con la legge di Ohm si determina il valore dell’intensità di corrente, comune alle due resistenze:

A88,0250

V220

R

Vi

EQ

:

'

Esercizio 14: Una batteria di pile con f.e.m. V25E e resistenza interna : 2R I , alimenta due resistenze aventi resistenza di :10 e :5 collegate in serie. Determinare l’intensità della corrente nel circuito. Soluzione: La resistenza esterna del circuito è pari alla somma delle resistenze collegate in serie, cioè:

: 15R EQ La corrente che circola nel circuito interno ed esterno si ricava tendo conto della forza elettromotrice della batteria di pile e della resistenza interna:

A47,117

V25

RR

Ei

IEQ

:

Esercizio 15: Una batteria di pile con f.e.m. V25E e resistenza interna : 4R I alimenta due resistenze da :30 e :20 rispettivamente, disposte in parallelo. Determinare l’intensità di corrente erogata dalla batteria e l’intensità di corrente che percorre ciascuna delle due resistenze.

Soluzione: Le resistenze esterne collegate in parallelo sono equivalenti ad una resistenza di:

21

12

21EQ RR

RR

R

1

R

1

R

1

404

: :

:

12

50

2030

RR

RRR

2

12

21EQ

L’intensità di corrente che circola per effetto della batteria di pile è data da:

A56,116

V25

RR

Ei

IEQ

:

La corrente che circola in ognuna delle resistenze si ricava tenendo conto della legge di Ohm e della caduta di tensione ai morsetti della batteria:

A62,030

A56,14V25

R

iRE

R

Vi

1

I

11

:

:

'

L’intensità di corrente nell’altra resistenza si calcola per differenza con la corrente totale: A94,062,056,1iii 12

VA

i

VB

i

R 1

R 2

1

2

i i

AV BV

i

E QRi

i

1

R E Q

=1

R 1

+R

1

2

C IR C U IT O R E A L EC IR C U IT O E Q U IV A L E N T E

Esercizio 16: Tre resistenze rispettivamente di :5,7 , :15 e :5,17 , sono collegate in serie tra di loro ed in parallelo con una resistenza di :25 . La tensione ai capi del sistema è di 200 (V). Calcolare l’intensità di corrente in ciascuna resistenza. Soluzione: Il collegamento in serie delle tre resistenze da luogo ad una resistenza equivalente pari a:

: 405,17155,7R 1.EQ

405

Il collegamento in parallelo di tale resistenza equivalente con l’altra resistenza, da luogo ad una resistenza equivalente di:

: :

:

38,15

65

2540

RR

RRR

2

1.Eq

1.EQ2.EQ

La corrente che circola nel circuito è data dalla legge di Ohm:

A1338,15

V200

R

Vi

2.EQ

:

'

Tale intensità di corrente si suddivide al nodo di collegamento tra la serie di resistenze e la resistenza singola in modo che la tensione ai capi dei due circuiti sia uguale, per cui:

A540

V200

R

Vi

1.EQ1

:

' nella batteria di tre resistenze in serie

A825

V200

R

Vi 2

:

' nel circuito con una sola resistenza

Esercizio 17: Due resistenze, da :10 e :25 rispettivamente, sono collegate prima in serie e poi in parallelo ai capi di un generatore di tensione da 150 (V). Calcolare la potenza che si dissipa complessivamente sulle resistenze nei due casi. Soluzione: Nel caso di collegamento in serie:

: 352510R EQ

WattAsA

JAV643

A

V

V643

35

V150

R

VP

222

EQ

2

SERIE ¸¹

ᬩ

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

:

'

Nel caso di collegamento in parallelo:

: :

:

14,7

35

250

RR

RRR

2

21

21EQ

WattAsA

JAV151.3

A

V

V151.3

14,7

V150

R

VP

222

EQ

2

PAR ¸¹

ᬩ

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

:

'

Esercizio 18: Due batterie, costituite la prima da 15 elementi e la seconda da 5 (ogni elemento presenta una f.e.m.

V8,1E e una resistenza interna : 2R I ) sono collegate prima in serie e poi in parallelo per alimentare una resistenza : 10R . Calcolare l’intensità di corrente attraverso la resistenza nei due casi. Soluzione: La prima batteria di generatori, costituita da 15 elementi in serie, è equivalente ad un generatore unico che ha le seguenti caratteristiche:

V27V8,115EnE EQ

406

: : 30215RnR IEQ.I La seconda batteria è caratterizzata da:

V0,9V8,15EnE EQ : : 1025RnR IEQ.I

Se le due batterie sono poi collegate in serie si avrà:

V36927EEE 2EQ1EQEQ

: 401030RRR 2EQ.I1EQ.IEQ

Quando le due batterie in serie alimentano la resistenza esterna, il valore dell’intensità di corrente sarà data da:

A72,01040

V36

RR

Ei

EQ.I

EQ

::

Diverso è il discorso quando le batterie sono collegate in parallelo. Occorre considerare che, ai capi del parallelo di batterie, la differenza di potenziale ha un unico valore sia che lo si consideri applicato dall’una o dall’altra serie di generatori. Inoltre la corrente che percorre il circuito esterno deve essere uguale alla somma delle correnti che attraversano i due rami del parallelo. Ragionando sul circuito esterno si ricava l’intensità di corrente:

R

Vi

' Corrente complessiva sul circuito esterno

Con:

111 iREV ' Tensione ai capi della 1° serie di batterie in parallelo

222 iREV ' Tensione ai capi della 2° serie Da cui si ricava:

122111 iREiRE Parità della tensione ai capi del parallelo Tenendo conto dell’equazione di continuità della corrente uscente o entrate ai nodi del parallelo, si ottiene:

21 iii E utilizzando una della due relazioni precedenti:

R

iRE

R

Vi 111

'

Si ricava:

R

iREii 111

21

407

In conclusione, si dispone di due equazioni contenenti ognuna le due incognite del problema, cioè i valori delle intensità di corrente attraverso i due rami del parallelo. Tali equazioni costruiscono un sistema dal quale si ricaveranno le incognite:

°

°®

­

222111

11121

iREiRE

R

iREii

Con: : 30R 1 Resistenza interna equivalente della batteria da 15 elementi in serie : 10R 2 Resistenza interna equivalente della batteria di 5 elementi in serie V27E 1 Tensione equivalente della prima batteria in serie V9E 2 Tensione equivalente della seconda batteria in serie : 10R Resistenza esterna Si può risolvere il sistema ad esempio ricavando 2i dalla seconda e sostituendo nella prima:

¯®­

222111

11121

iREiRE

iREiiR

¯®­

222111

11121

iREiRE

iREiRiR

¯®­

222111

21111

iREiRE

iREiRiR

¯®­

222111

2111

iREiRE

iRERRi

°°

¯

°°

®

­

2221

2111

1

211

iRERR

iRERE

RR

iREi

°°

¯

°°

®

­

221

21121

1

211

iRRR

iREREE

RR

iREi

°°

¯

°°

®

­

221

21121

1

211

iRRR

iREREE

RR

iREi

°

¯

°®

­

2111122121

1

211

iRRERRRiRRREE

RR

iREi

°¯

°®

­

211121222122111

1

211

iRRERiRRiRRRERERERE

RR

iREi

°¯

°®

­

1221111111222

1

211

REREREREERRRRRRRi

RR

iREi

408

°°¯

°°

®

­

A128,0700

90

103030101010

309109302710272730i

RR

iREi

2

1

211

°

°®

­

A128,0i

A643,03010

128,01027i

2

1

La tensione applicata dalla batteria di generatori in parallelo ai capi della resistenza esterna è quindi determinata da:

V71,7A643,030V27iREV 111 : ' V71,7A128,010V9iREV 222 : '

VA

Ri

i 2

i 1VB

E 2

E 1

R 2

R 1

Esercizio 19: Una resistenza di costantana lunga 3 (m) e di sezione 2mm7 è collegata ai poli di una batteria di 15 pile ciascuna con f.e.m. di 1,8 (V) e resistenza interna :8,0 . Determinare l’intensità di corrente nel circuito e la quantità di calore sviluppata dalla resistenza in 1 ora e 15 minuti di funzionamento, nei casi di pile poste in serie o in parallelo. Soluzione: Il valore della resistenza esterna di costantatana determinata dalla seconda legge di Ohm:

: ¸

¸

¹

·

¨¨

©

§ : U 21,0

mm7

m3

m

mm49,0

S

LR

2

2

409

La batteria di pile poste prima in serie e poi in parallelo è equivalente ad un generatore che ha, rispettivamente, le seguenti caratteristiche:

x In serie: V27V8,115E : : 128,015R I

x In parallelo: V8,1E

: :

053,015

8.0R

L’intensità di corrente sviluppata dai due collegamenti è data da:

A21,2

1221,0

V27

RR

Ei

I

SS

:

A84,6053,021,0

V8,1

RR

Ei

I

PP

:

La quantità di calore sviluppata dalla resistenza esterna nel tempo dato è determinata da:

J

WQ

Con: tiVW '

Quindi, nei due casi si ha:

J773.4607521,221,21227tiiREW SSS

kcal14,1

kcal

J186.4

J773.4Q S

¸¹

ᬩ

§

J245.44607584,684,6053,08,1tiiREW SSP

kcal57,10

kcal

J186.4

J245.44Q P

¸¹

ᬩ

§

Esercizio 20: Ai poli di una batteria di 15 pile in serie, ciascuna con una f.e.m. di 1,5 (V) e resistenza interna di

:4,0 , è collegato un filo di argentana di sezione 2mm2 . Sapendo che nel filo passa una corrente di 0,4 (A), determinarne la lunghezza. Soluzione: La batteria di pile in serie sviluppa una f.e.m. e una resistenza equivalente pari a:

V5,22V5,115E : : 64,015R I

Dato che si conosce l’intensità di corrente, è possibile determinare il valore della resistenza esterna dalla relazione:

410

RR

Ei

I

EiRR I

:

:

25,50

A4,0

A4,06V5,22

i

iRER I

Dalla resistenza del filo si ottiene poi la sua lunghezza:

S

LR U

m6,271

m

mm37,0

mm225,50SRL

2

2

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ :

:

U

Esercizio 21: Calcolare la resistenza di un filo che unisce i due poli di una batteria di 10 pile in serie, ciascuna della quali presenta una f.e.m. di 1,8 (V) e una resistenza interna di :2,0 , sapendo che il filo è percorso da una corrente di 0,8 (A). Determinare inoltre il tempo necessario per dissipare sulla resistenza un’energia di 0,1 (kWh). Soluzione: La tensione e la resistenza equivalente della batteria di pile in serie è:

V18E : 2R I

La resistenza del filo di unione è data da:

RR

Ei

I

:

5,208,0

8.0218

i

iRER i

Il tempo necessari per dissipare sulla resistenza l’energia data è: tiiREW i

s19min37h7s439.27

A8,0V4,16

J106,31,0

iiRE

Wt

6

I

u

Esercizio 22: Ai capi di due resistenze elettriche in serie, la prima di :500 e la seconda di :000.5 , è applicata una tensione di 220 (V). Calcolare come tale tensione si distribuisce tra le due resistenze. Soluzione: La resistenza equivalente alla serie è pari alla somma delle resistenze:

: 500.5R EQ

Per effetto di tale tensione si genera un passaggio di corrente la cui intensità è data da:

411

A04,0

A

V

V04,0

500.5

V220

R

Vi

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

:

'

Tale corrente provoca una caduta di tensione su ogni resistenza data dalla legge di Ohm:

V20A04,0500iRV 11 : ' V200A04,0000.5iRV 22 : '

Esercizio 23: Collegando ad una batteria di 30 pile in serie, ciascuna con f.e.m. di 1,8 (V) e resistenza interna di

:7,0 , un resistore a filo di nichel di sezione 2mm2 , si ha una corrente di 0,8 (A). Determinare la lunghezza del filo e l’energia dissipata nel resistore in 3 ore e 35 minuti di funzionamento. Soluzione: La tensione e la resistenza equivalenti della batteria di pile in serie:

V54E : 21R I

Dal valore dell’intensità di corrente si ricava la lunghezza del filo:

FI RR

Ei

EiRiR FI

i

iRE

S

LR I

F

U

m23,894

m

mm104,0A8,0

mm2V8,02154

i

SiREL

2

2I

¸¸

¹

·

¨¨

©

§ :

U

L’energia dissipata dal resistore esterno è data da:

tiVW ' kWh11,0J1002,4s500.13A8,0V8,02154W 5 u

Esercizio 24: Un circuito è costituito da un riscaldatore da 300 (W) e da tre lampadine in serie da 25 (W) caduna. La potenza erogata dal generatore è di 2 (CV). Calcolare il rendimento del generatore e la quantità di calore prodotta in un’ora dal riscaldatore. Soluzione: Occorre convertire la potenza del generatore, data in CV, in Watt:

Ws

J471.1

kg

N81,9

s

mkg75CV2CV2P ¸

¹

ᬩ

§ ¸

¹

ᬩ

§¸

¹

ᬩ

§

La potenza assorbita dal circuito è data dalla somma delle potenze in serie:

W37575300PA

412

Il rendimento del generatore è dato dal rapporto tra la potenza assorbita e la potenza effettivamente erogata:

%49,25100471.1

375100

P

PA K

La quantità di calore prodotta in un ora dal riscaldatore è data da:

kcal258186.4

s600.3W300

kcal

J186.4

tP

J

WQ R.A

¸¹

ᬩ

§

Esercizio 25: Il parallelo di 25 lampadine da 40 (W) è sottoposto ad una tensione di 200 (V). Determinare l’intensità della correnteche attraversa ogni lampadina. Soluzione: Tutte le lampadine in parallelo sono attraversate dalla stessa intensità di corrente in quanto alimentate dalla stessa tensione. L’intensità di corrente si determina tenendo conto della potenza caratteristica della lampadina:

W40iVP '

A2,0

sA

Js

J2,0

V200

s

J40

V

Pi

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

¸¹

ᬩ

§

'

Esercizio 26: Un generatore alimenta ad una tensione di 220 (V) il parallelo di tre lampade da 50 (W), 40 (W) e 200 (W) rispettivamente. Calcolare l’intensità di corrente erogata dal generatore. Soluzione: Con la formula dell’esercizio precedente si determina la corrente passante su ogni lampada:

A227,0

sA

Js

J227,0

V220

s

J50

V

Pi 1

1

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

¸¹

ᬩ

§

'

A181,0

sA

Js

J181,0

V220

s

J40

V

Pi 2

2

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

¸¹

ᬩ

§

'

A909,0

sA

Js

J909,0

V220

s

J200

V

Pi 3

3

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

¸¹

ᬩ

§

'

La corrente erogata dal generatore è quindi la somma di quelle calcolate:

413

A317,1i Esercizio 27: Un circuito è alimentato da una batteria avente f.e.m. di 12 (V) e resistenza interna di :1,0 . Nel circuito, percorso da una corrente di 3 (A), sono inseriti una lampada in serie con una resistenza da :2 . Calcolare la resistenza della lampada.

Soluzione: Ai capi della serie del circuito esterno (lampada e e resistenza) è applicata una tensione pari a:

V7,1131,012iREV I '

La resistenza equivalente del circuito esterno è data dalla somma della resistenza nota e della resistenza incognita della lampada:

LLEQ R2RRR Tenendo conto della tensione applicata, della corrente e della relazione della resistenza equivalente, si ottiene la resistenza della lampada:

i

VR2R LEQ

'

: : '

9,12A3

V7,112

i

VR L

Esercizio 28: Una batteria alimenta un circuito costituito da un riscaldatore da 600 (W) posto in serie con una lampadina la cui resistenza è di :30 . Sapendo che la tensione ai capi del riscaldatore è 220 (V), determinare: x l’intensità di corrente che fluisce nel circuito x la tensione ai capi della batteria x la potenza assorbita dal circuito Soluzione:

414

i

ER

R L

R R

VBAV

I

Utilizzando la caduta di tensione sul riscaldatore e la sua potenza utile, si ottiene l’intensità di corrente che attraversa il circuito:

iVP AB '

A73,2V220

W600

V

Pi

'

Applicando poi la legge di Ohm alla resistenza della lampadina si determina la caduta di tensione sulla lampadina:

V82A73,230iRV LL : ' La f.e.m. del generatore sarà quindi la somma delle cadute di tensione sul riscaldatore e sulla lampadina (si considera, in assenza di altrio dati, nulla la resistenza interna del generatore): V30282220E La potenza assorbita dal circuito è quindi data da:

W46,824A73,2V302iVP ' Esercizio 29: Una resistenza di :100 è alimentata da una tensione di 220 (V). Quale resistenza occorre aggiungere in parallelo alla prima affinché la potenza complessivamente fornita dall’alimentazione sia di 500 (W) ? Soluzione: La resistenza complessiva del parallelo che utilizza una potenza di 500 (W) è data dalla relazione:

W500R

VP

EQ

2

'

415

Da cui si ricava:

:¸¹

ᬩ

§¸

¸

¹

·

¨¨

©

§

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

'

A

V

sAV

sV

s

J

V8,96

W500

V220

P

VR

22222

EQ

Dalla legge di collegamento delle resistenze in parallelo, si ottiene la resistenza incognita:

1

1

1EQ RR

RR

R

1

R

1

R

1

1

1EQ

RR

RRR

Con R uguale alla resistenza incognita: 1EQ1 RRRRR

EQ11EQ RRRRR

:

025.3

1008,96

8,96100

RR

RRR

1EQ

EQ1

Esercizio 30: Un circuito è costituito da una resistenza di :25 avente in serie il parallelo di tre resistenze ciascuna del valore di :5 . Il circuito è alimentato da una tensione di 200 (V). determinare la resistenza totale e l’intensità di corrente che attraversa ciascun resistore. Soluzione: La resistenza equivalente al parallelo delle tre resistenze è data da:

R

13

R

1

EQ

: 67,13

5

3

RR 1.EQ

La resistenza equivalente complessiva è data dalla somma:

: 67,262567,1RRR 1.EQ2.EQ L’intensità di corrente è dunque:

A5,767,26

V200

R

Vi

2.EQ

:

'

La corrente che attraversa ciascuna delle tre resistenze in parallelo è quindi uguale ad 1/3 della corrente totale:

A5,2i P

416

Esercizio 31: Due resistenze da 10 e :15 sono collegate in serie ed una terza da :50 è disposta in parallelo ad esse. Se ai capi del circuito la tensione è di 125 (V), calcolare la d.d.p. ai capi di ogni resistenza e l’intensità di corrente che le percorre. Soluzione: La resistenza equivalente del circuito si ottiene considerando il parallelo tra la terza resistenza e la resistenza equivalente della serie delle prime due:

: 25RRR 211.EQ

:

67,16

2550

2550

RR

RRR

1.EQ3

1.EQ32.EQ

L’intensità di corrente che, complessivamente, percorre il circuito, si determina con la legge di Ohm:

A5,767,16

V125

R

Vi

2.EQ

:

'

Ancora con la legge di Ohm si determina la quota di corrente che circola nelle prime due resistenze in serie:

A525

V125

R

Vi

1.EQS

:

'

La corrente che attraversa la terza resistenza, in parallelo alle prime due, si determina o per differenza con la corrente totale o ancora con la legge di Ohm:

A5,2iii SP

A5,250

V125

R

Vi

3P

:

'

La differenza di potenziale ai capi delle tre resistenze è uguale alla caduta ohmica per effetto dell’intensità di corrente che le attraversa:

V125V 3 ' V50A510iRV S11 : ' V75A515iRV S22 : '

Esercizio 32: Calcolare l’intensità di corrente i che attraversa il circuito rappresentato dallo schema seguente. Soluzione:

417

E = 2 5 VR = 2 ,4 3 1I

2 1 14

1 5 1 6 1

1 0 11 2 1 1 2 1

12

1 5 1 12 0

1 2 1

2 1

8 ,5 7 1 2 2 ,5 7 1 2 5 1

Si tratta di determinare le varie resistenze equivalenti sino a ricondurre il circuito ad una schema semplice. Si applicano le leggi di collegamento delle resistenze e si considera, alla fine, anche la resistenza interna del generatore come in serie alla resistenza equivalente finale. La resistenza equivalente finale ha dunque un valore pari a :25 e la corrente che transita nel circuito è:

A125

V25i

:

418

Esercizio 33: Calcolare l’intensità di corrente erogata dalla batteria nel circuito seguente. Soluzione:

E = 2 1 3 VR = 1 1I

12

1 4 1 1 6 1

1 0 11 2 1

1

18

6

14

1 2 1

1

11 0

1 4 1 1 6 1 8 1

12

1

1 2 1 1 0 1

11 4 8 ,4 7

2 1

11 2

1 4 1 2 0 ,4 7 1

1 2 1

8 ,3 2 1 2 0 ,3 2 1 2 1 ,3 2 1

L’intensità di corrente erogata dalla batteria è data da:

A1032,21

V213i #

:

Il circuito è stato ridotto allo schema semplice finale tenendo conto della resistenza interna del generatore. Esercizio 34: Per il circuito indicato in figura determinare la resistenza equivalente e la corrente totale.

1 5 1

2 0 1

2 5 1

1 2 1

18

14

2 2 0 V

Calcolo della resistenza equivalente alle tre resistenze in parallelo:

419

156667,025

1

20

1

15

1

R

1

1.EQ

: 38,6R 1.EQ Calcolo della resistenza equivalente alle due resistenze in parallelo:

2083,012

1

8

1

R

1

2.EQ

: 8,4R 2.EQ Calcolo della resistenza equivalente finale:

: 18,1548,638,6R 3.EQ

La corrente che attraversa il circuito è data da:

A5,1418,15

V220i

:

Esercizio 35: Calcolare l’intensità di corrente nei bracci ab, cd, ef del circuito riportato in figura. Soluzione:

12

6 1 18

14

R =

E =

I 12

5 0 V

a b

c d

e f

Calcolo delle resistenze equivalenti: Ai capi e,f:

420

: 14R 1.EQ Ai capi c,d:

: 6R 2.EQ Ai capi a,b:

:

2,4

614

614R 3..EQ

La resistenza equivalente finale, tenendo conto della resistenza interna del generatore:

: 2,6R F.EQ

La corrente erogata dalla batteria:

A06,82,6

V50i

:

Nel braccio a,b circola la corrente complessiva sino ai nodi c e d. Nel braccio c,d la corrente è data da:

A64,5

6

206,850i cd

:

Nel braccio e,f sino ai nodi c, d la corrente è:

A42,2

14

206,850i ef

:

La tensione ai capi della batteria è:

V88,33206,850V '