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Elettrostatica I
• Forza di Coulomb
• Principio di Sovrapposizione Lineare
• Campo Elettrico
• Linee di campo
• Flusso, teorema di Gauss e sue applicazioni
• Conduttori
• Energia potenziale elettrostatica
Elettricita e Magnetismo
Fenomeni elettrici e magnetici sono stati osservati fin dall’antichita.
Un po’ di storia:
• In Cina, documenti suggeriscono che il magnetismo fu osservato gia
nel 2000 AC
• In Grecia, fenomeni elettrici e magnetici (esperimenti con ambra e
magnetite) erano gia noti nel 700 AC
Un po’ di storia piu recente:
• 1785: Charles Coulomb formula la legge dell’inverso del quadrato per
le forze elettriche
• 1820: Hans Ørsted scopre che l’ago della bussola cambia direzione
quando e posto vicino ad un filo che porta corrente
Elettricita e Magnetismo - segue
• 1831: Michael Faraday e Joseph Henry mostrano che se un filo e in
moto vicino ad un magnete, una corrente elettrica e prodotta nel filo
• 1870: James Clerk Maxwell usa osservazioni e altri fatti sperimentali
come base per formulare le leggi dell’elettromagnetismo note come
equazioni di Maxwell
Unificazione di elettricita e magnetismo – sono le equazioni giuste, ma non sono
consistenti con il principio di relativita galileiana
• 1888: Heinrich Hertz verifica le predizioni delle leggi di Maxwell e
produce onde elettromagnetiche
• 1905: Albert Einstein propone la soluzione per l’inconsistenza fra
equazioni di Maxwell e relativita galileiana (teoria della relativita)
Legge di Coulomb
• Ci sono due tipi di cariche elettriche: positive e
negative
– Le cariche negative sono il tipo posseduto dagli elettroni
– Le cariche positive sono il tipo posseduto dai protoni
• Cariche dello stesso segno si respingono
Cariche di segno opposto si attraggono
• La forza e diretta lungo la congiungente fra le
due cariche u12
La forza e proporzionale all’inverso del quadrato della distanza r:
~F12 = kq1q2r2
u12
nel vuoto. Ovviamente vale la III legge di Newton, per cui ~F21 = −~F12
Unita di misura della carica
Quanto vale la costante k che appare nell’espressione
F12 = kq1q2r2
della forza di Coulomb? dipende dall’unita di misura della carica.
Nel SI, la carica q si misura in Coulomb (indicata con C); k vale:
k ≡(
1
4πε0
)= 8.99× 109N ·m2/C2
La costante ε0 = 8.85 × 10−12C2/N/m2 e introdotta per convenienza
ed e chiamata costante dielettrica del vuoto.
Da notare che k = 10−7c2 unita SI, dove c ' 3× 108 m/s e la velocita della luce.
Due cariche di 1C a distanza di 1m si attirano quindi con una forza
F = 9× 109 N!
Quantizzazione della carica
Molti esperimenti mostrano che la carica elettrica e quantizzata,
ovverosia esiste solo in pacchetti discreti: q = ±Ne, dove N e un
intero, e e l’unita fondamentale di carica:
• e = 1.6× 10−19 C. Per gli elettroni: q = −e; per i protoni: q = +e.
Dato il gran numero di cariche presenti nella materia, l’uguaglianza delle
cariche fondamentali positive e negative deve essere esatta, o altrimenti
tutti i corpi avrebbero una carica netta.
La carica netta di un sistema isolato e sempre
conservata. Per esempio, se si elettrizza un corpo
per sfregamento, non c’e ne creazione ne distruzione
di carica, ma solo trasferimento di carica (elettroni)
dal materiale che si carica positivamente (vetro) a
quello che si carica negativamente (seta).
Esempio: l’atomo di idrogeno
Il modello piu semplice dell’atomo piu semplice: un sistema formato
da un elettrone e un protone, tenuto insieme dalla forza di Coulomb.
Consideriamo orbite circolari, assumiamo il protone (particella di massa
mp ' 1800me >> me ' 0.9× 10−30 kg) fisso nel centro.
F = meac = −meω2r =⇒ k
e2
r2= meω
2r
da cui ω =e
r
√k
rme
Per l’atomo di H, r = 0.529 × 10−10 m e si trova F ' 8.2 × 10−8 N,
mentre la frequenza di rotazione vale f =ω
2π' 6.6 × 1015 Hz, come
la frequenza delle onde elettromagnetiche emesse o assorbite. Velocita:
v = ωr ' 2.2× 106 m/s, circa 1/100 della velocita della luce.
Principio di sovrapposizione
• La legge di Coulomb e lineare nella carica.
• Per essa vale il principio di sovrapposizione lineare:
La forza risultante agente su di una carica e uguale alla somma
vettoriale delle forze individuali dovute a tutte le altre cariche
Nel caso in cui non sia possible o conveniente
tenere traccia delle forze individuali (per esempio
quando si ha una distribuzione continua di cariche)
la forza risultante puo essere scritta come somma
(o integrale) vettoriale delle forze esercitate da ogni
volumetto infinitesimo di carica
Campo Elettrico
La forza elettrica agente su di una carica 2 da parte di una carica 1 e
fattorizzabile come prodotto della carica del corpo 2 per una funzione
vettoriale che dipende solo dalle caratteristiche della carica 1.
Quest’ultima si dice campo e si indica di solito con la lettera E:
~F12 = q2 ~E1
~E1 e il campo elettrico generato dalla particella 1, che sappiamo valere
~E1 =kq1r212
u12
In generale, un campo (vettoriale) associa ad ogni punto dello spazio
un vettore. Esempio gia noto: campo gravitazionale terrestre, ~g (sulla
superficie della Terra). E’ un esempio di campo costante.
Linee di Campo
Per rappresentare graficamente un campo, e
per darne una descrizione qualitativa, si usano
le linee di campo:
• si tracciano linee tangenti in ogni punto
al campo, indicandone il verso con una
”freccetta”:
• le linee sono piu fitte in regioni di campo
forte, meno fitte in regioni di campo debole.
In figura le linee di campo per il campo di una
carica. Notare che le linee di campo ”escono”
dalle cariche positive (o ”entrano” nelle cariche
negative).
Linee di Campo II
Le linee di campo per un campo costante sono
parallele e con spaziatura costante. Come e
diretto il campo?
Campo generato da due cariche
uguali. Vicino ad ogni carica, le
linee di forza somigliano a quelle
di una singola carica. Attorno al
punto C non ci sono linee: perche?
Linee di campo per due cariche
uguali ma di segno opposto (un
dipolo): notate come le linee
”escano” dalla carica positiva ed
”entrino” nella carica negativa.
Campo elettrico di un dipolo
Il campo elettrico di un dipolo (vedi figura) e un
caso semplice (ma non banale) ed importante.Nel punto P, ~E e diretto lungo x e vale
E = E1x + E2x = 2kq
r2cos θ = 2
kq
a2 + y2a√
a2 + y2
ovvero E = k2qa
(a2 + y2)3/2. Notare la dipendenza dal
fattore D = 2qa, noto come momento di dipolo.
A grandi distanze, y >> a, si trova: E ' kDy3
.
Introduciamo un vettore ~D di modulo D e diretto dalla
carica negativa a quella positiva: ~E ' −k~D
y3.
Qual e il valore del campo elettrico se il punto P e lungo l’asse x?
Elettrone in campo costante
Supponiamo che un elettrone sia
”iniettato” in una zona di campo elettrico
costante. Qual e il suo moto?
La forza ~F = e ~E e costante in modulo e direzione, quindi il moto e
uniformemente accelerato lungo ~E, uniforme in direzione perpendicolare
a ~E:
x(t) = vit, y(t) =1
2at2, a = −eE
me
La traiettoria e una parabola: y = − eE
2mev2ix2.
Notare la dipendenza dae
me, rapporto fra carica e massa dell’elettrone.
Elettrone in campo costante II
Supponiamo ora la situazione in figura. Qual
e il moto dell’elettrone, e quanto vale la sua
energia cinetica finale?
Supponiamo x(t = 0) = xi = 0. Avremo:
x(t) =1
2at2, v(t) = at, a =
eE
me
L’elettrone arriva in x = xf al tempo t:
t =√
2xf/a, con velocita vf =√
2xfa.
L’energia cinetica finale e
Kf =1
2mev
2f =
1
2me(2xfa) = eExf
Da notare che eExf e il lavoro fatto dalle forze elettriche sulla carica.
Campo elettrico per distribuzioni di carica
Per un sistema di molte cariche puntiformi, il campo elettrico si puo
calcolare come somma di tutti i contributi delle varie cariche:
~E =∑i
~Ei =∑i
kqir2iri
Se le cariche sono presenti in numero macroscopico, conviene introdurre la densita dicarica ρ(~r): carica per unita di volume, in funzione della posizione. La somma diventaun integrale sul volume:
~E = k
∫rdq
r2= k
∫r
r2ρdxdydz
dove ~r e la distanza fra la carica dq e il punto in cui si calcola il campo.
Il calcolo del campo elettrico puo diventare assai laborioso. Esiste pero
un altro approccio, spesso piu conveniente, basato sul concetto di flusso
del campo elettrico.
Flusso del campo elettrico
Il Flusso di un campo elettrico (o di
qualunque campo) costante ~E attraverso
una superficie A e definito come
Φ = AE cos θ
dove θ l’angolo fra il campo elettrico e la normale alla superficie.
Se il campo elettrico e la normale
alla superficie sono allineati, il flusso e
semplicemente il prodotto della superficie
per il campo elettrico: Φ = AE.
E se la superficie non e un piano? e se il campo elettrico non e costante?
Flusso del campo elettrico II
Dividiamo la nostra superficie in tanti elementi di superficie ∆Ai
con direzione ni che possiamo considerare piani e sui quali possiamo
considerare ~E = ~Ei costante
Flusso su ogni elemento di superficie:
Φi = ~Ei ·∆ ~Ai = Ei∆Ai cos θi
dove ∆ ~Ai = ni∆Ai. Flusso complessivo:
Φ =∑i
Φi =∑i
~Ei ·∆ ~Ai
Nel limite di elementi di superficie infinitesimi,
la somma diventa un integrale sulla superficie:Φ =
∫~E · d ~A
Teorema di Gauss
Per il flusso su di una superficie chiusa
del campo elettrico, vale:
Φ =
∮~E · d ~A = 4πkQ =
Q
ε0
dove Q e la carica contenuta all’interno
della superficie∮indica integrazione su superficie chiusa
• La dimostrazione e semplice per una carica puntiforme; in generale,
la si puo ottenere dal principio di sovrapposizione lineare
• Il teorema di Gauss e valida solo per forze ∝ 1/r2
• E’ equivalente ad una delle equazioni di Maxwell.
Teorema di Gauss II
Conseguenze del teorema di Gauss:
Il flusso prodotto dalla carica puntiforme
e lo stesso attraverso tutte le superfici
S1, S2, S3,.., che circondano la carica;
il flusso attraverso questa superficie e
invece nullo se la carica e all’esterno.
Applicazione: Filo uniformemente carico
Assumiamo un filo di lunghezza infinita. Il campo elettrico non puo
dipendere dalla posizione lungo il filo; inoltre ha simmetria cilindrica,
per cui deve essere diretto radialmente rispetto al filo.
Scegliamo una superficie chiusa come in
figura: il flusso attraverso di essa e
Φ = 2πrlE
Solo la superficie laterale del cilindro da
un contributo: per le altre due, d ~A ⊥ ~E.
La carica contenuta e Q = λl (λ carica per unita di lunghezza), da cui
2πrlE =λl
ε0=⇒ E(r) =
λ
2πε0r=
2kλ
r
Notate la dipendenza come 1/r, distanza dal filo!
Applicazione: piano infinito uniformemente carico
Per simmetria, il campo elettrico non dipende dalla posizione sul piano,
e ortogonale al piano, ha verso opposto da lati opposti.
Consideriamo la superficie come in
figura. Il teorema di Gauss da
Φ = 2AE =Q
ε0
ovvero ponendo Q = Aσ, dove σ e
la carica per unita di superficie:
E =σ
2ε0
indipendente dalla distanza dal piano!
Applicazione: condensatore piano
Due piani paralleli uniformemente carichi di carica opposta a distanza x
formano un condensatore.
Con il risultato precedente e immediato trovare
che il campo elettrico nello spazio fra i due piani
vale
E =σ
ε0dove σ e la densita di carica superficiale per il
singolo piano; mentre nello spazio al di fuori dei
piani vale E = 0. Questo risultato e valido, in
modo approssimato, anche per piani finiti, purche
x sia piccolo rispetto alle dimensioni dei piani,
nella zona lontana dai bordi.
Applicazione: sfera di densita di carica uniforme
Per una sfera (di raggio a) uniformemente carica (con densita
di carica ρ = Q/(4πa3/3)) il campo elettrico e radiale ovunque.
a) Superficie esterna alla sfera:
4πr2E(r) =Q
ε0
b) Superficie interna alla sfera:
4πr2E(r) =q(r)
ε0=
1
ε0
ρr3
a3
Dal caso a) si ottiene: E(r) =Q
4πε0r2=kQ
r2, come se la carica fosse
concentrata nel centro (risultato gia trovato da Newton per la gravita).
Applicazione: sfera di densita di carica uniforme II
Dal caso b) si ottiene
E(r) =ρr
4πε0a3=kρr
a3=kQr
a3
cioe solo la carica presente all’interno
di una sfera di raggio r da contributo
al campo elettrico.
Il campo elettrico e quindi nullo, aumenta linearmente con il raggio fino
alla superficie, poi inizia a decadere come 1/r2.
Questi risultati hanno un corrispettivo per la forza gravitazionale, che
obbedisce alla legge 1/r2 come la forza elettrostatica e per la quale vale
il teorema di Gauss.
Conduttori
In un conduttore esistono cariche (elettroni) mobili. Di conseguenza:
• il campo elettrico all’interno di un conduttore
e nullo ovunque: le cariche si distribuiscono
sulla superficie in modo da annullare il campo
• la carica totale all’interno di un conduttore e
nulla, in conseguenza del teorema di Gauss
• il campo elettrico appena fuori del
conduttore e ortogonale alla superficie e vale
E = σ/ε0, dove σ e la densita di carica di
superficie del conduttore (si dimostra con il
teorema di Gauss, vedi figura)
Energia potenziale di due cariche
Si puo dimostrare che la forza di Coulomb
e conservativa e quindi esiste una energia
potenziale elettrostatica. Consideriamo per
semplicita una carica q1 nel campo generato
da un’altra carica q2 fissa nell’origine.
L’energia potenziale si ricava dal lavoro fatto
dalla forza elettrica fra rA e rB:
U(rB)− U(rA) = −∫ B
A
~F · d~s
ed ha la seguente espressione: U(r) =kq1q2r
Il risultato e analogo al caso della forza di gravita; l’energia potenziale gravitazionale
U(r) = −GMm/r si riduce alla forma nota U = mgh sulla superficie della terra
Energia potenziale elettrostatica II
Nel caso in cui abbiamo molte cariche, l’energia potenziale U e data da
U(~r1, ~r2, ...) =∑i>j
∑j
kqiqj|~ri − ~rj|
ovvero dalla somma dell’energia potenziale di tutte le coppie di cariche.
Se consideriamo invece una carica q in un campo elettrico ~E dato,
possiamo definire l’energia potenziale U tramite l’espressione
U(~rB)− U(~rA) = −∫ B
A
q ~E · d~s
(possiamo prendere U(~r) = 0 per un qualche valore di ~r, come nell’espressione
dell’energia potenziale di due cariche in cui si e assunto U(∞) = 0; oppure limitarci a
considerare differenze di energia potenziale che sono le sole significative)